Ch1_1

都有惟一的 x ∈ D, 满足
y = f ( x),
由此确定了一个新的函数, 该函数的定义域为 W , 值域 由此确定了一个新的函数 反函数, 为 D, 称这个函数为 y = f ( x ) 的反函数 记为
x= f
−1
( y ).
来记自变量, 习惯上总是将 x 来记自变量 所以反函数一般记成
y= f
( − ∞ , + ∞ ) = { x − ∞ < x < + ∞ }.
( a , b ] = {x a < x ≤ b };
无穷区间: 无穷区间
( a , + ∞ ) = { x a < x < + ∞ }.
或
( − ∞ , b ) = { x − ∞ < x < b }.
区间的数轴表示: 区间的数轴表示 闭区间: 闭区间
A =πr .
2
因变量
自变量
定义1.1 设 x和 y是两个变量 D是给定的数集 如果 是两个变量, 是给定的数集, 定义 按照某个法则 f , 对于每个数 x ∈ D, 变量 y 都有惟一确 定的值和它对应, 定的值和它对应 则称这个对应法则 f 为定义在D上的 函 称为这个函数的定义域 定义域, 称为自变量 自变量, 数, 数集 D 称为这个函数的定义域 x 称为自变量 y 称 为应变量. 应变量 集合 D 上的函数记为
= f ( x ) 来表示函
在以后的讨论中, 注: 在以后的讨论中 更多的是函数的定义域以默认的 方式给出, 即定义域为使表达式有效的一切实数. 方式给出 即定义域为使表达式有效的一切实数 例1.1 而值域为 例1.2 则定义域为
y = 1− x,
则定义域为 ( −∞,1].
W = { y | y ≥ 0} = [ 0, +∞ ) .
f (x) = f (−x)
f (x) =− f (−x)
就称
轴对称, 注: 偶函数的图形关于 y 轴对称 而奇函数的图形关于原 点对称. 点对称
偶函数的图形特征: 偶函数的图形特征
y
y = f ( x)
−x O
x
x
奇函数的图形特征: 奇函数的图形特征
y
y = f ( x)
−x
O
x
x
4.函数的周期性 函数的周期性 对函数
第一节 函数
一、集合与区间
1.集合的概念 集合的概念 在数学中, 在数学中 把任意指定的有限多个或无限多个事物所 组成的总体为一个集合. 组成这个集合的事物称为该集 组成的总体为一个集合 集合的元素. 集合的元素 如果元素a 在集合 A中, 记为 否则, 否则 记为
a ∈ A;
a ∉ A.
集合的表示 仅含有限个元素的集合称为有限集 否则称为无限集 仅含有限个元素的集合称为有限集, 否则称为无限集. 有限集 无限集 为有限集, 若集合 A为有限集 其中的元素为 a1 , a2 ,L, an , 则记 为
构成的复合函数 复合函数. 该函数称为由函数 f 和ϕ 构成的复合函数
一般称为中间变量 中间变量. 这里的变量 u一般称为中间变量
比如函数 y
= ln (1 + x
2
2
) 可以看成由函数 y = ln u 及
u = 1+ x
2
复合而成的. 此时函数的定义域是 复合而成的
( −∞, +∞ ) ,
的定义域. = 1 + x 的定义域 又如函数 y = 1 − x 可以看成由函数 y = u , u = 1 − x复合而成的 而u = 1 − x的定义域为 ( −∞,1) 复合而成的. 而不是 ( −∞, +∞ ) . 上例说明, 上例说明 若函数 u = u ( x )的值域超过y = f ( u ) 的 它也是函数u 定义域时, 因而在构成复合函数时, 定义域时 因而在构成复合函数时 要适当限制u 的定义域, 的定义域 使相应的值域在函数 y 的定义域中. = f ( u ) 的定义域中
−1
( x ).
函数与其反函数的图形特征: 函数与其反函数的图形特征
y
反函数 y = ϕ ( x )
Q (b, a)
直接函数 y = f ( x )
P ( a, b)
O
x
反函数存在条件 若函数 y = f ( x ) 定义在某个区间上, 并在该区间上单 定义在某个区间上 则必存在反函数. 调, 则必存在反函数
Baidu Nhomakorabea
的 x1 , x2 ∈ I , 且
f ( x1 ) < f ( x2 ),
则称函数 f 时, 总有 则称函数 f
如果 x1
< x2
f ( x1 ) > f ( x2 ),
上是单调减少 单调减少的 ( x )为区间 I 上是单调减少的.
比如函数 函数 y
上是单调减少的. ( −∞, 0 ) 上是单调减少的
a
b
x
开区间: 开区间 a 无穷区间 a b
x
x
邻域: 是实数, 邻域, 邻域 设 a, δ 是实数 且 δ > 0, 则定义点a 的δ 邻域 记 为集合: 作 U ( a, δ ) , 为集合
U (a, δ ) = x x − a < δ ,
a −δ
{
}
a
a +δ
x
如果把邻域的中心去掉, 如果把邻域的中心去掉 所得到的集合称为点a 的去心 邻域, 记作: 邻域 记作
五、复合函数与初等函数
1.复合函数 复合函数 若函数 y = f ( u ) 的定义域为 D1 , 函数 u = ϕ ( x ) 的定 义域为 D2 , 值域为W2 , 且 W2 ⊂ D1 , 由此确定了一个定 的函数, 义域 D2的函数 记为 f o ϕ , 其对应关系为
y = ( f o ϕ )( x ) = f ϕ ( x ) .
y = f ( x ) , x ∈ D.
与自变量 x 对应的因变量的值记 作 处的函数值 函数值. 点 x 处的函数值 集合
f ( x ) , 称为函数在
W = { y | y = f ( x ) , x ∈ D}
称为函数的值域 称为函数的值域. 值域 需要指出的是, 是有区别的. 需要指出的是 记号 f 和 f ( x )是有区别的 前者表示 函数关系, 处对应的函数值. 函数关系 而后者表示在点 x 处对应的函数值 但为了叙 述方便, 习惯上也常以记号 f ( x ) 或 y 述方便 数.
N = {0,1, 2,L , n ,L}
Z = {0, ±1, ±2,L , ± n,L}
p * Q = p ∈ Z,q ∈ Z q C = a + bi a, b ∈ R, i 2 = −1
{
}
集合的关系 设 A, B 是两个集合, 由此定义集合间的下列关系 是两个集合 集合的包含: 集合的包含 集合的相等: 集合的相等
f ( x ) , 如果存在一个不为零的数 T , 使得对任
意的 x ∈ D, x ± T ∈ D, 且总有
f ( x + T ) = f ( x)
就称
f ( x ) 为周期函数 T 称为 f ( x ) 的周期 通常我们 周期函数, 周期.
说的周期指的是最小正周期 说的周期指的是最小正周期. 最小正周期
A ⊂ B ⇔ ( x ∈ A ⇒ x ∈ B).
A = B ⇔ ( A ⊂ B ∧ B ⊂ A) .
2.区间和邻域 区间和邻域 设 a, b 是实数, 且 a < b, 是实数 开区间: 开区间 闭区间: 闭区间 半开半闭区间: 半开半闭区间
( a , b ) = {x
a < x < b};
[a , b ] = {x a ≤ x ≤ b}; [a , b ) = {x a ≤ x < b};
U (a, δ ) = x 0 < x − a < δ .
o
{
}
二、函数概念
在许多问题中, 往往有多个变量在同时变化着. 并且 在许多问题中 往往有多个变量在同时变化着 这些变量并不是孤立地在变, 这些变量并不是孤立地在变 而下是按照一定的规律相 互联系着. 的变化而变化, 互联系着 比如圆的面积 A 是随半径 r 的变化而变化 其关系式为
1 y= + 1− x, 2 1− x
( −∞, −1) U ( −1,1) .
以下例中函数的定义域均为实数集. 以下例中函数的定义域均为实数集 例1.3 符号函数
y = sgn x,
y
1 x > 0, y = sgn x = 0 x = 0, −1 x < 0.
y = sgn x
f ( x ) < M1,
上有下界 下界的 容易得到: 则称 f ( x ) 在 X上有下界的. 容易得到
M 2 < f ( x),
函数 f ( x ) 在 X 上有界的充分必要条件是既有上界又有
下界. 下界
例1.5
上是有界函数, y = sin x 在 ( −∞, +∞ )上是有界函数
y y = sin x
不是单调增加的, = x 2 在区间 ( −∞, +∞ )不是单调增加的 但在区间
y = x 3 在区间( −∞, +∞ ) 为单调增加的 为单调增加的,
而
y = x2
单调减少区间 单调增加区间
3.奇偶性 奇偶性 设函数 f ( x ) 的定义域为对称区间 D, 若对任意的
x ∈ D, 总有
就称
f ( x ) 为偶函数 如果对任意的 x ∈ D, 都有 偶函数. f ( x ) 为奇函数 奇函数.
1
05 .
T
5 1 0
-0 1
5 -. 05
1
比如 函数 f ( x ) = sin x, cos x 都是周期为 2π 的周期函 的周期函数. 数, 而 f ( x ) = tan x 是周期为π 的周期函数
四、反函数
设函数 f ( x ) 的定义域是 D, 值域是 W , 若对每一个
y ∈W ,
p - €€ €€ 2
-0.5
p
3p €€€€ €€€€ 2
2p
-1
②余弦函数
Y 1
y = cos x. y = cos x
3p €€€€ €€€€ 2 2p 5p €€€€ €€€€ 2 3p 7p €€€€ €€€€ 2 X
T = 2π
0.5
p - €€ €€ 2
O
x
例1.4 取整函数 y = [ x ].
y
4 3 2 1 -4 -3 -2 -1
O -1 1 -2 -3 -4
2
3
4
5
x
三、函数的几种特性 函数的几种特性
1.有界性 有界性 设函数 y = f ( x ) 的定义域为 D, 数集 X 在正数 M , 对 ∀x ∈ X , 都有
⊂ D,如果存
有界, 无界. 就称函数在 f ( x ) 在 X 上有界 否则称 f ( x ) 在 X 内无界
f ( x) ≤ M ,
有界函数与无界函数的几何表示: 有界函数与无界函数的几何表示
y M
O
y
M
有界
x
−M
O
x
−M
无界
有界函数的等价描述: 有界函数的等价描述 设 f ( x ) 的定义域为 D, X ⊂ D, 若存在常数 M 1 , 使得 对任意的
x∈ X,
都有
则称 f ( x ) 在 X 上有上界的; 平行地 若存在常数 M 2 , 上有上界 上界的 平行地, 使得对任意的 x ∈ X , 都有
= u ( x)
2.初等函数 初等函数 常见的基本初等函数是: 常见的基本初等函数是 ⑴幂函数
y = x （α 是常数） 是常数）
α
y
y = x2
y = x3
(1,1)
y=x
y= x
y= 1 x
O
x
⑵指数函数
y = a x ( a > 0, a ≠ 1) .
y =ax (0<a<1 )
y
y =ax (a >1 )
1
O
x
⑶对数函数
y = log a x ( a > 0, a ≠ 1) .
y
y = loga x (a >1)
1
O
x
y = loga x (0 < a <1)
⑷三角函数 ①正弦函数
y = sin x. y = sin x 1
0.5 Y
T = 2π
p €€ €€ 2
X
3p - 2 p - €€€€ -p €€€€ 2
A = {a1 , a2 ,L, an }.
为无限集, 如果集合A为无限集 则往往用集合中的元素所满足 的 性质来表示, 性质来表示 即
A = { x | x 满足性质 P}.
例如平面上单位圆周上的点的集合可以表示成
A = {( x, y ) | x 2 + y 2 = 1}.
常用数集: 常用数集 自然数集: 自然数集 整数集: 整数集 有理数集: 有理数集 复数集: 复数集
O
x
例1.6 y
= tan x 在 − π , π 上是无界函数 上是无界函数.
2 2 y y = tan x
O
x
2.单调性 单调性 设函数 f
( x ) 的定义域为D, 区间 I ⊂ D, 如果对任意
x1 < x2 时总有
内是单调增加 单调增加的 ( x )为区间 I 内是单调增加的;