第三章有理数的运算
七上数学第3章《有理数的运算》
青岛版数学七年级上册第3单元有理数的运算单元作业设计一、学段课程目标二、相关课程标准的解读与分解三、本章知识结构四、单元作业目标作业试卷单元目标设计表单元目标序号 单元目标描述 学习水平 cs0700301 背过理数的加法法则，用有理数的加法法则进行运算 B 掌握 cs0700302 运用运算律进行简便运算B 掌握 cs0700303 运用有理数及其运算解决简单的实际问题C 应用 cs0700304 背过有理数的减法法则，用有理数的减法法则进行运算 B 掌握 cs0700305 有理数的加减混合运算B 掌握 cs0700306 背过有理数的乘法法则，用乘法法则进行运算B 掌握 cs0700307 背过有理数乘法的运算律，运用运算律进行简便运算 B 掌握 cs0700308 说出有理数除法的两个法则，能根据情况灵活选择不同的法则进行除法运算B 掌握 cs0700309 有理数的四则混合运算B 掌握 cs0700310 说出有理数乘方的意义；正确识别乘方的底数、指数、幂 B 掌握 cs0700311 用乘方的意义进行有理数的混合运算B 掌握 cs0700312 说出()1n-的意义；用字母表示一列有规律的数 C 应用 cs0700313 说出科学记数法的定义；用科学记数法表示绝对值较大的数B 掌握 cs0700314 说出近似数的概念；按问题要求对结果取近似数 B 掌握 cs0700315 说出一个四舍五入法得到的数精确到哪一位 B 掌握 cs0700316 说出有理数混合运算的顺序，运用法则进行计算 B 掌握 cs0700317 运用运算律进行简便计算B 掌握 cs0700318 认识计算器的面板构造，知道其功能 A 了解 cs0700319使用计算器进行计算B 掌握五、单元作业设计3.1 有理数的加法和减法（第1课时）一、夯实基础 1.有理数的加法法则：①同号两数相加，取 符号，并把 相加。
②异号两数相加，取 符号，并用 减去 ；互为相反数的两个数相加得 。
有理数的四则运算法则
有理数的四则运算法则
有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，包括正整数、负
整数、零和分数。
有理数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法，下面将详细介绍有理数的四则运算法则。
一、有理数的加法
1. 同号相加：两个正数相加，结果为正数；两个负数相加，结
果为负数。
例如：3 + 5 = 8，(-3) + (-5) = -8。
2. 异号相加：一个正数和一个负数相加，结果的绝对值等于两
个数的绝对值之差，符号取绝对值大的数的符号。
例如：3 + (-5) = -2，(-3) + 5 = 2。
二、有理数的减法
有理数的减法可以转化为加法，即a - b = a + (-b)。
例如：
3 - 5 = 3 + (-5) = -2。
三、有理数的乘法
1. 同号相乘：两个正数或两个负数相乘，结果为正数。
例如：3 * 5 = 15，(-3) * (-5) = 15。
2. 异号相乘：一个正数和一个负数相乘，结果为负数。
例如：3 * (-5) = -15，(-3) * 5 = -15。
四、有理数的除法
有理数的除法可以转化为乘法，即 a ÷ b = a * (1/b)。
例如：3 ÷ 5 = 3 * (1/5)。
需要注意的是，在有理数的除法中，除数不能为0，即 b ≠ 0。
以上就是有理数的四则运算法则，通过以上规则，我们可以轻
松地进行有理数的加减乘除运算。
希望以上内容能够帮助大家更好
地理解有理数的四则运算法则，提高数学运算能力。
有理数的四则运算
基本运算法则加法运算1、同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。
2、异号两数相加，若绝对值相等则互为相反数的两数和为0；若绝对值不相等，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
减法运算减去一个数，等于加上这个数的相反数，即把有理数的减法利用数的相反数变成加法进行运算。
乘法运算同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
除法运算1、除以一个不等于零的数，等于乘这个数的倒数。
2、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
零除以任意一个不等于零的数，都得零。
乘方运算1、负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。
例如：（-2）³（-2的3次方）=-8，（-2）²（-2的2次方）=4。
2、正数的任何次幂都是正数，零的任何正数次幂都是零。
例如：2（2的2次方）=4，2 （2的3次方）=8，0（0的3次方）=0。
3、零的零次幂无意义。
4、1的任何次幂都是1，-1的偶次幂是1，奇次幂是-1。
有理数运算定律加法运算律:1、加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变，即。
减法运算律：减法运算律：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
即：。
乘法运算律：1、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，即。
2、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数先乘，或者先把后两个相乘，积不变，即。
3、乘法分配律：某个数与两个数的和相乘等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加，即：。
基本运算法则加法运算1、同号两数相加，，并把绝对值相加。
2、异号两数相加，若绝对值相等则互为相反数的两数和为0；若绝对值不相等，，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
减法运算减去一个数，，即把有理数的减法利用数的相反数变成加法进行运算。
乘法运算同号得正，异号得负，。
除法运算1、除以一个不等于零的数，。
2、两数相除，同号得正，异号得负, 。
数学 第三讲有理数的四则运算
第三讲有理数的四则运算二有理数的加减法1. 有理数加法法则（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
（3）一个数同0相加，仍得这个数。
2. 有理数加法的运算步骤法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：（1）先确定加法类型（同号还是异号）；（2）确定和的符号；（3）绝对值的加减运算。
3. 有理数加法的运算律（1）两个加数相加，交换加数的位置，和不变。
a+b=b+a(加法交换律)（2）三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
（a+b）+c=a+(b+c)(加法结合律)4. 有理数加法的运算技巧（1）分数与小数均有时，应先化为统一形式。
（2）带分数可分为整数与分数两部分参与运算。
（3）多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加，得零。
（4）若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加。
（5）若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起。
（6）符号相同的数可以先结合在一起。
5. 有理数的减法法则减去一个数，等于加这个数的相反数。
a-b=a+(-b)6. 有理数减法的运算步骤（1）把减号变为加号（改变运算符号）（2）把减数变为它的相反数（改变性质符号）（3）把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算。
7. 有理数加减法混合运算的步骤（1）把算式中的减法转化为加法；（2）省略加号与括号；（3）利用运算律及技巧简便计算，求出结果。
注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即求几个正数、负数和0的和，这个和称为代数和。
为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式，例如：（+3）+(-0.15)+(-9)+(+5)+(-11)=3-0.15-9+5-11,它的含义是正3，负0.15，负9，正5，负11的和。
第03讲 有理数的乘除法(5大考点)(解析版)
第03讲有理数的乘除法（5大考点）一、有理数的乘法1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0．要点：(1) 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．2. 有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．要点：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．3. 有理数的乘法运算律：（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．要点：（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．二、有理数的除法1.倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数．要点：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是12-，-2和12-是互相依存的；考点考向(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．2. 有理数除法法则：法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即1(0)a b a b b ÷=≠. 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 要点： （1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些． （2）因为0没有倒数，所以0不能当除数． （3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．三、有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 四、有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．考点一：有理数的乘法运算1．计算：(1)54(3)1(0.25)65⎛⎫-⨯⨯-⨯- ⎪⎝⎭； (2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0．【答案与解析】几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘．因数是小数的要化为分数，是带分数的通常化为假分数，以便能约分．几个数相乘，有一个因数为零，积就为零．(1)54(3)1(0.25)65⎛⎫-⨯⨯-⨯- ⎪⎝⎭591936548=-⨯⨯⨯=-； (2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)19-(1)(1)(1)(1)1=-⨯-⨯-⨯⋅⋅⋅⨯-=-个（1）相乘；(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0＝0．【总结升华】几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，与正因数的个数无关．当因数中有一个数为0时，积为0．但注意第一个负因数可以不用括号，但是后面的负因子必须加括号.2.运用简便方法计算：25×﹣（﹣25）×+25×．【答案与解析】解：25×﹣（﹣25）×+25×，=25×+25×+25×，考点精讲=25×（++），=25×， =．【总结升华】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘法分配律并灵活运用是解题的关键．3.用简便方法计算： (1)2215130.34(13)0.343737-⨯-⨯+⨯--⨯； (2) 3.1435.2 6.28(23.3) 1.5736.4-⨯+⨯--⨯．【答案】（1）原式2125(13)(13)0.340.343377⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2125(13)0.343377⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯++⨯-- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ (13)10.34(1)130.3413.34=-⨯+⨯-=--=-．(2) 3.1435.2 6.28(23.3) 1.5736.4-⨯+⨯--⨯＝(-3.14)×35.2+(-3.14)×2×23.3+(-3.14)×18.2＝-3.14×(35.2+46.6+18.2)＝-3.14×100＝-314．考点二:有理数的除法运算1．计算： 17(49)2(3)33⎛⎫-÷-÷÷- ⎪⎝⎭ 【思路点拨】对于乘除混合运算，首先由负数的个数确定结果的符号，同时应将小数化成分数，带分数化成假分数，算式化成连乘积的形式，再进行约分．但要注意除法没有分配律．【答案与解析】 解：17(49)2(3)33⎛⎫-÷-÷÷- ⎪⎝⎭ 331(49)773⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭331493773⎛⎫=-⨯⨯⨯=- ⎪⎝⎭ 【总结升华】进行乘除混合运算时，往往先将除法转化为乘法，再确定积的符号，最后求出结果． 2.计算：111(3)(2)(1)335-÷-÷- 【答案】原式103525()()()37621=-⨯-⨯-=- 考点三：有理数的乘除混合运算1.计算：9481(16)49-÷⨯÷-【答案与解析】在有理数的乘除运算中，应按从左到右的运算顺序进行运算. 9444181(16)811499916⎛⎫-÷⨯÷-=-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭ 【总结升华】在有理数的乘除运算中，可先将除法运算转化为乘法运算．乘除运算是同一级运算，再应按从左到右的顺序进行． 2.计算：14410(2)893-÷⨯÷- 【答案】 14410(2)893-÷⨯÷-194181941243108432843216⎛⎫=-⨯⨯⨯-=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭考点四：有理数的加减乘除混合运算1. 计算：121123031065⎛⎫⎛⎫-÷-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案与解析】方法1：121123031065⎛⎫⎛⎫-÷-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12035121303010-+-⎛⎫⎛⎫=-÷=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭方法2：211213106530⎛⎫⎛⎫-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2112(30)1031065⎛⎫=-+-⨯-=- ⎪⎝⎭所以121121303106510⎛⎫⎛⎫-÷-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【总结升华】除法没有分配律，在进行有理数的除法运算时，若除数是和的形式，一般先算括号内的，然后再进行除法运算，也可以仿照方法2利用倒数关系巧妙解决，如果按a ÷(b+c) ＝a ÷b+a ÷c 进行分配就错了．2.观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算符号）1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1，…，那么计算：= ．【答案】解：==． 考点五：含绝对值的化简1. 已知a 、b 、c 为不等于零的有理数，你能求出||||||a b c a b c++的值吗? 【思路点拨】先分别确定a 、b 、c 的取值，再代入求值．【答案与解析】解：分四种情况：(1)当a 、b 、c 三个数都为正数时，||||||1113a b c a b c a b c a b c ++=++=++=； (2)当a 、b 、c 三个数中有两个为正数，一个为负数时，不妨设a 为负数，b 、c 为正数，||||||1111a b c a b c a b c a b c-++=++=-++=； (3)当a 、b 、c 三个数中有一个为正数，两个为负数时，不妨设a 为正数，b 、c 为负数，||||||1111a b c a b c a b c a b c--++=++=--=-； (4)当a 、b 、c 三个数都为负数时，||||||(1)(1)(1)3a b c a b c a b c a b c---++=++=-+-+-=- 综上，||||||a b c a b c++的值为：3,3,1,1-- 【总结升华】在含有绝对值的式子中，当不知道绝对值里面的数的正负时，需分类讨论.2.计算a b a b+的取值.【答案】(1)当a ＞0、b ＞0时，112a b a b =+=+=原式； (2)当a ＜0、b ＜0时，112a b a b-=+=--=--原式； (3)当a ＞0，b ＜0时，110a b a b=+=-=-原式； (4)当a ＜0，b ＞0时，110a b a b-=+=-+=原式． 综上，a b a b+的值为：2,2,0- 一、单选题1．（2021·全国七年级专题练习）计算8÷（﹣2）的结果是（ ）A ．﹣4B ．﹣16C ．﹣6D ．10【答案】A【分析】根据有理数的除法法则进行计算即可．【详解】解：原式＝﹣8÷2＝﹣4．故选：A ．【点睛】本题考查了有理数的除法法则．熟记法则是解题的关键．2．（2021·广东七年级期末）计算：﹣17×□＝1，则□内应填的数是（ ） 巩固提升A ．﹣7B ．﹣1C ．17D ．7【答案】A 【分析】根据有理数的乘法法则计算可求解． 【详解】解：∵1(7)17-⨯-=， ∴□内应填的数是﹣7，故选：A ．【点睛】本题主要考查了有理数的乘法，掌握运算法则是解题的关键．3．（2021·陕西西安·交大附中分校七年级期末）23-的倒数是（ ） A ．32- B ．32 C ．23 D ．23- 【答案】A【分析】根据倒数的定义进行答题． 【详解】解：23-的倒数是32-， 故选：A ．【点睛】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．4．（2021·内蒙古七年级期末）《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，意思是说一尺长的木棍，每天截去它的一半，千秋万代也截不完，一天之后“一尺之捶”剩12尺，两天之后剩14尺，那么3天之后，这个“一尺之棰”还剩（ ）A ．12尺B ．14尺C ．18尺D ．116尺 【答案】C 【分析】两天之后14尺，那么只要计算第三天截去14的一半还剩多少即可求解． 【详解】解：两天之后剩14尺，那么第三天截去了14×12＝18尺，所以三天后，这个“一尺之棰”还剩14－18＝18尺． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了有理数的运算，读懂题意并掌握有理数的运算法则是解题的关键．5．（2021·全国七年级课前预习）下列把除法转换为乘法的过程中正确的是（ ）A ．()114433⎛⎫÷-=-⨯ ⎪⎝⎭B ．()()()13663⎛⎫-÷-=-⨯- ⎪⎝⎭C ．()11414⎛⎫÷-=⨯- ⎪⎝⎭D ．()13434⎛⎫-÷=⨯ ⎪⎝⎭【答案】C6．（2021·湖南七年级期末）若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1，…，则2021!2020!的值等于（ ） A ．2021B ．2020C ．2021！D ．2020！【答案】A【分析】根据题意列出有理数混合运算的式子，进而可得出结论． 【详解】解：1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1，…， ∴2021!202120202019...1==20212020!20202019...1⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 故选A ．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．7．（2020·浙江杭州·）若0a b +>，且0ab <，则（ ）A ．0,0a b >>B ．a ，b 异号且其中负数的绝对值较大C ．0,0a b <<D ．a ，b 异号且其中正数的绝对值较大 【答案】D【分析】根据有理数的乘法法则可得a 、b 为异号，再根据有理数的加法法则可得正数的绝对值较大，进而得到答案．【详解】解：∵ab ＜0，∴a 、b 为异号，∵a +b ＞0，∴正数的绝对值较大，故选：D ．【点睛】此题主要考查了有理数的乘法和加法法则，关键是掌握计算法则．8．（2021·全国七年级专题练习）下列运算过程中，有错误的是（ ）A ．（3﹣412）×2＝3﹣412×2B ．﹣4×（﹣7）×（﹣125）＝﹣（4×125×7）C ．91819×16＝（10﹣119）×16＝160﹣1619D ．[3×（﹣25）]×（﹣2）＝3×[（﹣25）×（﹣2）]【答案】A【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．【详解】解：A、原式＝3×2﹣92×2＝6﹣9＝﹣3，符合题意；B、原式＝﹣（4×125×7），不符合题意；C、原式＝（10﹣119）×16＝160﹣1619，不符合题意；D、原式＝3×[（﹣25）×（﹣2）]，不符合题意．故选：A．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．二、填空题9．（2021·全国七年级专题练习）计算：3×（12-）＝____．【答案】3 2 -【分析】利用有理数的乘法法则直接计算即可．【详解】解：13322⎛⎫⨯-=-⎪⎝⎭，故答案为：32 -．【点睛】本题考查有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解题的关键．10．（2021·全国七年级课前预习）计算：6×（－9）＝ __________（－6）×0＝____________2 3×94-＝________（13-）×14＝_________（－2）×54×910⎛⎫-⎪⎝⎭×23⎛⎫-⎪⎝⎭＝_____（－6）×5×76⎛⎫-⎪⎝⎭×27＝_______【答案】－54 032-112-32- 1011．（2020·浙江杭州·七年级期末）在数5-，1，3-，5，2-中任两个数相乘除，其中最大的积是_________，最小的商是_______．【答案】15 -5【分析】根据有理数的乘除法法则分别计算，再比较可得结果．【详解】解：最大的积是：-5×（-3）=15，最小的商是：-5÷1=-5，故答案为：15，-5．【点睛】此题主要考查了有理数的乘除法和比较大小，关键是掌握有理数的运算法则．12．（2021·浙江七年级期中）在2021□□□的“□”内分别填入“+”，“-”，“⨯”三个运算符号（每个符号只能填1次），最大的运算结果=________．【答案】4【分析】由运算的结果最大先确定乘号的位置，再确定加号与减号的位置即可.【详解】解：由运算的结果最大可得：0的前面与后面都不能用“⨯”，从而可确定第一个2的后面是“-”，第二个2的前面是“+”，2021 4.∴-+⨯=故答案为：4.【点睛】本题考查的是有理数的加减运算，乘法运算，有理数的大小比较，掌握有理数的加减运算与乘法运算的运算法则是解题的关键.13．（2021·全国七年级专题练习）计算：−2÷12×2＝______．【答案】8-【分析】根据有理数乘除的性质计算，即可得到答案．【详解】−2÷12×2＝2228-⨯⨯=-故答案为：8-．【点睛】本题考查了有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握有理数乘除运算的性质，从而完成求解．14．（2021·陕西七年级期中）已知a、b都不为0，则||||||a b aba b ab++的值为___________．【答案】1-，3【分析】分4种情况讨论：①a、b都是正数；②a、b都是负数；③a是正数，b是负数；④a是负数，b是正数【详解】①a、b都是正数，||||||1113a b aba b ab++=++=；②a、b都是负数，||||||1111a b aba b ab++=--+=-；③a是正数，b是负数，||||||1111a b aba b ab++=--=-；④a是负数，b是正数，||||||1111a b aba b ab++=-+-=-；综上所述，||||||a b aba b ab++的值为1-，3故答案为：1-，3【点睛】本题考查了有理数的绝对值定义和有理数除法法则，解答关键是根据题意对a、b符号进行分类讨论．15．（2018·山东七年级期中）定义一种新的运算：x*y=2x yx+，如：3*1=3213+⨯=53，则2*3=__________．【答案】4【分析】把原式利用题中的新定义计算转换为有理数运算，即可得到结果．【详解】解：根据题中的新定义得：2232*342+⨯==，故答案为：4【点睛】此题考查了新定义运算和有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．16．（2021·全国七年级课前预习）根据“除法是乘法的逆运算”探究：正数除以负数：8÷（－4）＝8×（______）负数除以负数：（－8）÷（－4）＝（－8）×（______）零除以负数：0÷（－4）＝0×（______）可知，除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的_____【答案】14-14-14-倒数17．（2021·全国七年级课前预习）探究：规定一楼地面的高度为0，从一楼向上的方向为正，从一楼向下的方向为负．小亮测量学校楼梯每一级台阶都是15 cm．如果小亮从1楼向上走1、2、3级台阶时，他所在的高度分别是多少？如何用算式表示呢？15×1 ＝____15×2 ＝____15×3 ＝____小亮测量学校楼梯每一级台阶都是15cm．如果小亮从1楼向下走1、2、3级台阶时，他所在的高度分别是多少？如何用算式表示呢？（－15）×1 ＝____（－15）×2 ＝____（－15）×3 ＝_____观察上面的式子，根据你对有理数乘法的思考，填空：正数乘以正数积为_____数负数乘以正数积为______数正数乘以负数积为______数负数乘以负数积为______数乘积的绝对值等于各乘数绝对值的_______【答案】15 30 45 －15 －30 －45 正负负正积三、解答题18．（2021·全国七年级专题练习）计算：（1）（﹣4120）×1.25×（﹣8）；（2）56⨯（﹣2.4）35⨯；（3）（﹣14）×（﹣100）×（﹣6）×0.01；（4）91819⨯15．【答案】（1）40.5；（2）65-；（3）-84；（4）414919【详解】【分析】（1）原式变形后，约分即可得到结果；（2）原式变形后，约分即可得到结果；（3）原式利用乘法法则计算即可得到结果；（4）原式变形后，利用乘法分配律计算即可得到结果．【详解】解：（1）原式815204=⨯⨯8＝40.5；（2）原式512366555=-⨯⨯=-；（3）原式＝﹣（14×6）×（100×0.01）＝﹣84；（4）原式＝（10119-）×15＝1501519-=149419．19．（2021·全国七年级专题练习）计算下列各题：（1）112136⎛⎫÷- ⎪⎝⎭；（2）151124364⎛⎫⎛⎫⨯-÷-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）1152(10)3236⎛⎫-÷-⨯÷- ⎪⎝⎭．【答案】（1）2-；（2）89；（3）1-． 【详解】（1）原式7736⎛⎫=÷- ⎪⎝⎭ 76372⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭=-（2）原式41717364⎛⎫=+⨯÷ ⎪⎝⎭ 4174361789=⨯⨯= （3）原式5110621035⎛⎫=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭1=-．20．（2021·全国七年级课前预习）计算：（1）()()74491647-÷⨯÷- （2）()41452⎡⎤⎛⎫⎛⎫-÷-÷- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 【答案】（1）1；（2）52-【详解】()441441(1)4949 1.77167716⎛⎫=-⨯⨯⨯-=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭原式 ()()()()4855(2)4244.5582⎡⎤⎛⎫=-÷-⨯-=-÷=-⨯=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦原式 21．（2021·江苏南京一中七年级月考）定义运算“*”为：*()a b a b a b =⨯-+，求2*5，(3)*(8)--．【答案】3，35．【分析】原式利用题中的新定义法则计算即可得到结果．【详解】解：*()a b a b a b =⨯-+，2*525(25)1073∴=⨯-+=-=，(3)*(8)(3)(8)(38)241135--=-⨯----=+=．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，正确理解新定义法则、熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．（2021·福建七年级期末）已知一些两位数相乘的算式：62×11，18×22，34×11，15×55，63×39，54×11．（1）观察上述算式，选出具有共同特征的3个算式，并说出它们的共同特征；（2）分别计算你选出的算式．观察计算的结果，你能发现不经过乘法运算就可以快速、直接地写出积的规律吗？请用文字描述这个规律；（3）在已知算式中，其他算式可以用上面的规律进行简便运算吗？如何能，写出你的变形过程并直接写出最后结果．【答案】（1）一个两位数与11相乘；（2）两位数乘法中，如果有一个因数为11，得数的百位上的数是两个因数最高位上的积，十位上的数是第一个因数十位数与其个位数的和，个位上的数是两个因数个位上数的积；（3）18×22＝36×11＝396，15×55＝75×11＝825．【分析】（1）确定因数为11的算式；（2）计算并发现规律；（3）根据发现的规律找算式即可．【详解】（1）解：62×11，34×11，54×11，这3个算式共同特征是：一个两位数与11相乘．（2）解：62×11＝682，34×11＝374，54×11＝594，规律：两位数乘法中，如果有一个因数为11，得数的百位上的数是两个因数最高位上的积，十位上的数是第一个因数十位数与其个位数的和，个位上的数是两个因数个位上数的积．或表述成：某个两位数与11相乘，得数的百位上的数是这个两位数的十位数，得数的十位上的数是这个两位数各位数的和，个位上的数是这个两位数个位上的数．（3）解：18×22＝36×11＝396，15×55＝75×11＝825，【点睛】本题是计算类的规律题，观察所给的算式，找出算式之间数与数的关系，还有与结果的关系，得出结论，在根据规律解决问题．23．（2021·西安市铁一中学七年级月考）已知x，y为有理数，现规定一种新运算“*”，满足x*y＝xy﹣5 例如：1*2＝1×2﹣5＝﹣3（1）请仿照上面的例题计算下列各题：①2*（﹣3）；②（4*5）*（﹣16）；（2）任意选择两个有理数，分别填入下列□和〇中，并比较它们的运算结果；多次重复以上过程，你发现：□*〇〇*□（用“＞”“＜”或“＝”填空）．【答案】（1）①﹣11；②﹣152；（2）＝【分析】（1）①利用题中的新定义计算即可求出值；②利用题中的新定义计算即可求出值，先计算括号里面的再计算；（2）设□和〇的数字分别为有理数a ，b ，利用新定义，分别计算□*〇与〇*□，再比较大小即可．【详解】解：（1）①根据题中的新定义得：原式＝2×（﹣3）﹣5＝﹣6﹣5＝﹣11；②根据题中的新定义得：原式＝（4×5﹣5）*（﹣16） ＝15*（﹣16） ＝15×（﹣16）﹣5 ＝﹣52﹣5 ＝﹣152； （2）设□和〇的数字分别为有理数a ，b ，根据题意得：a*b ＝ab ﹣5，b*a ＝ab ﹣5，即a*b ＝b*a ，则□*〇＝〇*□．故答案为：＝．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．24．（2021·重庆七年级期末）一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a ，b ，c ，d ，如果a b c d ≤≤≤，那么我们把这个四位正整数叫做顺次数，例如四位正整数1369：因为1369<<<，所以1369叫做顺次数．（1）四位正整数中，最大的“顺次数”是__________，最小的“顺次数”是__________；（2）已知一个四位正整数的百位、个位上的数字分别是2、7，且这个四位正整数是“顺次数”，同时，这个四位正整数能被7整除，求这个四位正整数．【答案】（1）9999，1111；（2）1267或2247【分析】（1）根据“顺次数”的定义，直接写出答案即可；（2）分两种情况：当1a =时，当2a =时，分别写出所有的顺次数，再验证能否被7整除，即可得到答案．【详解】（1）根据“顺次数”的定义，四位正整数中，最大的“顺次数”是9999，最小的“顺次数”是1111， 故答案是：9999，1111；(2）当1a=时，可能是1227、1237、1247、1257、1267、1277，其中，只有1267是7的倍数；a=时，可能是2227、2237、2247、2257、2267、2277，其中，只有2247是7的倍数；当2∴这个四位数是1267或2247．【点睛】本题主要考查新定义问题，理解“顺次数”的定义，是解题的关键．。
七年级数学上册 第三章 有理数的运算 3.1 有理数的加法与减法 有理数的加法教学课件 (新版)青岛版
互为相反数的两个数相加得0.
3.一个数同0相加,仍得这个数.
小结:
确定类型
同号
异号(绝对值 不相等)
定符号
相同符号
取绝对值较大的 加数的符号
绝对值
相加
相减
异号(互为相 反数)
与0相加
结果是0 仍是这个数
全的人，主要是担心漏掉重要内容,影响以后的复习与思考.，这样不仅失去了做笔记的意义，也将课堂“听”与“记”的关系本末倒置了﹙太忙于记录， 便无暇紧跟老师的思路﹚。 如果只是零星记下一些突出的短语或使你感兴趣的内容，那你的笔记就可能显得有些凌乱。 做提纲式笔记因不是自始至终全都埋头做笔记，故可在听课时把时间更多地用于理解所听到的内容.事实上，理解正是做好提纲式笔记的关键。 课堂笔记要注意这五种方法：一是简明扼要，纲目清楚，首先要记下所讲章节的标题、副标题，按要点进行分段；二是要选择笔记语句，利用短语、数 字、图表、缩写或符号进行速记；三是英语、语文课的重点词汇、句型可直接记在书页边，这样便于复习时查找﹙当然也可以记在笔记本上，前提是你 能听懂﹚；四是数理化生等，主要记老师解题的新思路、补充的定义、定理、公式及例题；五是政治、历史等，着重记下老师对问题的综合阐述。
先运动0米 又向左运动3米 则两次运动后从起点向_左__运动了_3__米
0 +(-3) =-3
找规律 0+(-3)=-3
一个数同0相加,仍得这个数
(1) 0+79 = 79 (2) 0+(-12) = -12 (3) 5+0 = 5 (4) (-3)+0 = -3
有理数的加法法则
有理数的运算教材分析
基于新型课堂教学模式下的备课东昌府区侯营中学肖春第三章《有理数的运算》教材分析一、地位和作用有理数的运算主要包括有理数的加减法、乘除法、和乘方运算的意义、法则和运算律，以及使用计算器作简单的有理数运算。
这部分的内容不仅是为下一部分内容“整式的加减”的学习作好一个铺垫，而且是整个初中（7～9年级）数学“数与代数”内容中关于“数”的学习的重要基础，通过这部分内容的学习，可以有助于学生更好地学习“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”等内容，可以说这部分内容是整个初中数学学习的重要基础，因此这部分内容是本学期教学内容的一个重点。
二、教材说明（一）设计思路在有理数运算中，教科书设置了丰富的现实背景：潮汐涨落、净胜球数、气温变化等，让学生采取自主探索，合作交流的学习方式，探求并总结有理数运算的法则和规律。
考虑到有理数运算的学习重点是对法则和运算律的理解，为了避免因为小数、分数运算的复杂性而冲淡学习的主题，有理数的运算先以整数运算的学习为出发点，然后过渡到含有小数、分数的运算。
另外，教科书还安排了大量运用有理数及其运算解决实际问题的内容，以使学生进一步体会所学知识与现实世界的联系。
本章的学习给学生提供了丰富的数学活动机会，如：归纳、猜测、验证、推理、计算、交流等等，以使学生能亲身经历这些活动，从中发现问题，探索规律，促进对知识的理解和掌握。
（二）内容分析（1）本章主要内容是有理数的运算。
首先从生活实例引入，从低级到高级依次讲解有理数的加减、乘除以及乘方运算的意义、法则和运算律，并配合有理数的运算介绍了计算器的使用。
结合学生熟悉的生活实例引入运算律，让学生经历探索法则和运算律的过程，在过程中鼓励学生用自己的语言叙述、交流，充分地进行探索，发展其观察、猜测、验证的能力，培养学生分类、归纳，概括的能力，加深对法则、运算律的理解。
加法与乘法都是在介绍运算法则－－着重是符号法则的基础上，进行基本运算的训练；减法与除法，则是着重介绍如何向加法与乘法转化，从而利用加法与乘法的运算法则、运算律进行运算。
有理数的认识与运算方法总结与解析
有理数的认识与运算方法总结与解析有理数是数学中的一类数字，可以通过分数的形式表示，其中包括整数和分数。
理解和掌握有理数的认识与运算方法对于数学的学习至关重要。
本文将总结与解析有理数的认识与运算方法。
一、有理数的认识有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括正数、负数和零。
例如，2、-3、1/2、-5/3等都是有理数。
有理数在数轴上可用有向线段表示，以0为中心，向右为正，向左为负。
二、有理数的运算方法1. 有理数的加法和减法有理数的加法可以分为同号相加和异号相减两种情况。
对于同号相加，只需将绝对值相加，并保持相同的符号；对于异号相减，可以转化为同号相加的形式，即减去一个数等于加上这个数的相反数。
例如，(-5) + (-3) = -8，(-4) - (2) = -6。
2. 有理数的乘法和除法有理数的乘法和除法满足相应的运算法则。
同号相乘得正，异号相乘得负；除法可以转化为乘法的倒数形式。
例如，(-2) * (-3) = 6，(-8) / (4) = -2。
3. 有理数的乘方运算有理数的乘方运算可以通过多次相乘的方式实现。
对于正数的乘方，底数前的符号不变，指数相乘；对于负数的乘方，可以转化为倒数的乘法形式，再进行乘方运算。
例如，(-2)^3 = -8。
4. 有理数的平方根和立方根有理数的平方根和立方根都属于特殊的乘方运算。
平方根是指一个数的二次方等于该数的正数，称为平方根；立方根是指一个数的三次方等于该数的正数，称为立方根。
例如，√9 = 3，³√27 = 3。
三、有理数的应用有理数在日常生活中有广泛的应用，例如在温度计上表示温度的正负，银行账户中表示存款的增减等。
掌握有理数的认识与运算方法有助于我们解决实际问题。
四、有理数的性质有理数具有以下性质：1. 有理数的加法和乘法满足交换律、结合律和分配律。
2. 有理数的减法和除法可以转化为加法和乘法进行计算。
3. 有理数的乘法具有零因子性质，即任何数与0相乘等于0。
青岛版七年级上册数学第3章 有理数的运算 含答案
青岛版七年级上册数学第3章有理数的运算含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、若a、b为两个有理数，且ab＜0，a+b＜0，则（）A.a、b都是正数B.a、b都是负数C.a、b异号，且正数的绝对值大D.a、b异号，且负数的绝对值大2、如果a<0，b>0，a+b<0，那么下列关系式中正确的是（）A. B. C.D.3、下列各数表示正数的是（）A. B.（a-1）² C.-（-a） D.4、下列说法：①不存在最大的负整数；②两个数的和一定大于每个加数；③若干个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数；④已知ab≠0，则a+b的值不可能为0．其中正确的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个5、下列变形，运用运算律正确的是（）A.2+（﹣1）=1+2B.3+（﹣2）+5=（﹣2）+3+5C.[6+（﹣3）]+5=[6+（﹣5）]+3 D. +（﹣2）+（+ ）=（+ ）+（+2）6、|a﹣2|+|b+1|＝0，则a+b等于（）A.﹣1B.1C.0D.﹣27、已知a＝5，│b│＝8，且满足a＋b＜0，则a－b的值为（）A.3B.－3C.－13D.138、下列说法中，正确的个数有（）①一定是负数；②一定是正数；③倒数等于它本身的数为；④绝对值等于它本身的数是正数；⑤两个有理数的和一定大于其中每一个加数；⑥如果两个数的和为0，那么这两个数一定是一正一负.A.1个B.2个C.3个D.4个9、下列说法正确的个数有（）①近似数 39.0有三个有效数字; ②近似数 2.5万精确到十分位;③如果a<0,b>0,那么ab <0; ④多项式是二次三项式A.1个B.2个C.3个D.4个10、数轴上点表示的数是，将点在数轴上平移个单位长度得到点.则点表示的数是（）A.4B.-4或10C.-10D.4或-1011、一个数比的绝对值大，另一个数比的相反数大，则这两个数的和为（）A. B. C. D.12、若有理数a、b满足ab＞0，且a+b＜0，则下列说法正确的是（）A.a、b可能一正一负B.a、b都是负数C.a、b中可能有一个为0 D.a、b都是正数13、我们知道：在整数中，能被2整除的数叫做偶数，反之则为奇数，现把2017个连续整数1，2，3，…，2017的每个数的前面任意填上“+”号或“﹣”号，然后将它们相加，则所得的结果必为（）A.正数B.偶数C.奇数D.有时为奇数；有时为偶数14、若有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是( )A.a<0，b>0B.a+b<0C.ab>0D.a－b<015、如图，数轴上A点表示的数减去B点表示的数，结果是( )A.8B.-8C.2D.-2二、填空题(共10题，共计30分)16、若，则________．17、（﹣3）2﹣（π﹣3.14）0=________．18、在算式1-|-2口3|中的“口”里，填入运算符号（在符号+，-，×，÷中选择一个）：________，使得算式的值最小.19、已知（a﹣2）2+|b+3|=0，则a﹣b=________．20、如果x<0，y＞0，且|x|＝2，|y|＝3，那么x＋y＝________.21、某种粮大户共有5块小麦试验地，每块试验地今年的收成与去年相比情况如下(增产为正，减产为负，单位：kg)：49，－30，12，－15，28，请你计算一下，今年的小麦产量与去年相比增产________kg.22、利用分配律可以得﹣2×6+3×6=（﹣2+3）×6=﹣6.如果a表示任意一个有理数，那么利用分配律可以得到﹣2a+3a=（________）a=________.23、若a=3，|b|=4且a>b，则a+b= ________24、计算：1﹣（+2）+3﹣（+4）+5﹣（+6）…+2015﹣（+2016）=________．25、某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：辆）：（1）根据记录可知前三天共生产________ 辆．（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产________ 辆．（3）该厂实行计件工资制，每生产一辆自行车50元，超额完成任务每辆车奖20元，少生产一辆扣10元，那么该厂工人这一周的工资总额是________ （元）三、解答题(共5题，共计25分)26、20﹣（﹣7）﹣|﹣2|．27、已知|x|=2，|y|=8.若xy＜0，求x+y的值.28、若甲、乙两数之和为﹣2015，其中甲数是﹣20，求乙数．29、已知|x﹣y+1|与x2+8x+16互为相反数，求x2+2xy+y2的值．30、阅读（1）题的计算方法，再计算（2）题.⑴计算：.解：原式. 上面这种解题方法叫拆项法.⑵计算；参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、D3、D4、A5、B6、B7、D8、A10、D11、A12、B13、C14、B15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、28、30、。
第三讲 有理数的四则运算
第三讲 有理数的四则运算一、 知识点：1、 有理数乘法法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘． 任何有理数和0相乘都得02、有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除． 0除以任何非0的数都得0．（注意：0不能作除数．）3、除法的法则也可以这样说，除以一个数，就等于乘以这个数的倒数． （注意：0没有倒数，即0不能作除数．）4、如何求一个数的倒数互为倒数的两个数乘积为1，所以知道其中一个数，求它的倒数就用1除以这个数即可． 如：求53-的倒数，1÷（53-）＝35- 所以35-是53-的倒数． 5、几个非0的有理数相乘除除，结果的符号怎样确定?6、有理数的四则运算和整数的四则运算一样，先算乘除，后算加减，有括号先算括号里的。
二、 例题：填空题：1.－2的倒数是 ；－0.2的倒数是 ，负倒数是 。
2. 被除数是215-，除数是1211-的倒数，则商是 。
3. 若0<a b ，0<b ，则a 0。
4. 若0<c ab ，0>ac ，则b 0。
5、一个数的相反数是－5，则这个数的倒数是 。
6、若a ·（－5）＝58，则a ＝ 。
解答题：1、（1）（—0.1）÷10；（2）（—271）÷（—145）；（3）61÷（—2.5） （4）（—10）÷（—8）÷（—0. 25）；2、（1）)5489(5.4⨯-÷-； （2）0÷（—5）÷100；（3）3.5÷（)323()154-⨯-； （4）)75.0(813542313-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-．3、求下列各数的倒数，并用“＞”连接． －32，－2，|21|，3，－1三、 课堂练习：一、 选择题1.若ab>0,a+b>0,则a 、b 两数（ ）(A)同为正数. (B)同为负数. (C)异号. (D)异号且正数绝对值较大.2.互为相反数的两数的积是（ ）(A)等于0. (B)小于0. (C)非正数. (D)非负数.3.如果两个数的差乘以这两个数的和时，积为零，则这两个数 （ ）(A)相等. (B)互为倒数. (C)互为相反数. (D)绝对值相等.4.下列各对数中互为倒数的是（ ）(A)-7和7. (B)-1和1. (C)-312和27. (D)0.25和-14. 5.（-6）÷3⨯13的值为（ ） (A)-6. (B)6. (C)-23. (D)23. 6. 计算11(5)()555⨯-÷-⨯=A.1B.25C.－5D.35 7.天安门广场面积约为44万平方米，请你估计一下，它的百万分之一可能会是（ ）(A)教室地面的面积 (B)黑板面的面积 (C)课桌面的面积 (D)铅笔盒盒面的面积8.一个非零有理数和它的相反数的商是（ ）(A)0. (B)1. (C)-1. (D)以上结论都不对.二、填空题9.等式[（-7.3÷(-517)=0 表示的数是 .10. 7.20.9 5.6 1.7---+=。
青岛版七年级上册数学第3章 有理数的运算 含答案
青岛版七年级上册数学第3章有理数的运算含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、下列式子中结果为负数的是（）A. B. C. D.2、两个有理数的和是负数，那么这两个数一定（）A.都是负数B.有一个为零C.绝对值不相等D.至少有一个数是负数3、计算的结果是（）A. B. C.6 D.4、计算：（﹣1）2017的值是（）A.1B.﹣1C.2017D.﹣20175、甲、乙、丙三人玩一种游戏，每玩一局都会将三人随机分成两组．积分方法举例说明：第一局甲、乙胜出，分别获得3分，丙获得-6分；第二局甲胜出获得12分，乙、丙分别获得-6分，两局之后的积分是：甲15分，乙3分，丙-12分．下表是三人的逐局积分统计表，计分错误开始于（）甲乙丙第一局 3 3 -6第二局15 -3 -12第三局21 3 -24第四局15 -3 -12第五局12 -6 -6第六局0 18 12A.第三局B.第四局C.第五局D.第六局6、关于代数式−x2+4x-2 的取值，下列说法正确的是（）A.有最小值-2B.有最大值2C.有最大值−6D.恒小于零7、计算的结果等于（）A. B.1 C. D.38、算式﹣3﹣5不能读作（）A.﹣3与﹣5的差B.﹣3与5的差C.3的相反数与5的差D.﹣3减去59、计算(+ )+(−3.5)+(−6)+(+2.5)+(+6)+(+ )的结果是( )A.12B.−12C.D.010、甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利10%，而后乙又将这手股票反卖给甲，但乙损失了10%．最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖给了乙．甲在上述股票交易中（）A.不赚不赔B.盈利1元C.盈利9元D.亏本1.1元11、下列代数式：中，值一定为正的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个12、将6+（-4）+（+5）+（-3）写成省略加号的和式为（）．A.6-4+5+3B.6+4-5-3C.6-4-5-3D.6-4+5-313、下列运算正确的是（）A.-4+3=-7B.6+（-10）=4C.-12+（-3）=9D.2+（-8）=-614、下列计算错误的是（）A. B. C. D.15、如图所示，数轴上点A、B对应的有理数分别为a、b，下列说法正确的是（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、若，则________．17、计算：________.18、计算：﹣（+ ）=________，﹣（﹣5.6）=________，﹣|﹣2|=________，0+（﹣7）=________．（﹣1）﹣|﹣3|=________．19、∣x∣=4, ∣y∣=6,且xy＞0,则∣x－y∣=________20、计算：________.21、（π－3）0＋（-）3－（）－2=________22、绝对值大于1而小于3的整数的和为________；23、将算式（-8）-（-10）+（-6）-（+4）改写成省略加号和括号的形式是：________．24、计算：（﹣3x）2•4x2=________．25、若有理数a、b满足，则a b的值为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：32+（﹣18）+18﹣2927、①请你在数轴上表示下列有理数：﹣，|﹣2.5|，0，﹣22，﹣（﹣4），3．②将上列各数用“＜”号连接起来.28、若(3a+2b-c)2与互为相反数，求a、b、c的值．29、如图是小明的计算过程，请仔细阅读，并解答下列问题．回答：（1）解题过程中有两处错误：第1处是，错误原因是．第2处是，错误原因是（2）请写出正确的解答过程．30、已知a2+8a+b2﹣2b+17=0，把多项式x2+4y2﹣axy﹣b因式分解．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、D3、A4、B5、D6、B7、D8、A9、D10、B11、A12、D13、D14、C15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、29、。
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行知天下（第一期）七年级数学上 1 基本的几何图形阅读与欣赏（丰富多彩的图形世界） 我们身边的图形世界 数学园地（几何名称的来历）遨游知识园阅读与欣赏（几何学的起源） 点、线、面、体知识窗（点）遨游知识园阅读与思考（七桥问题与一笔画） 线段、射线和直线数学园地（三线的故事）遨游知识园阅读与欣赏（公理） 线段的度量与比较阅读与思考（长度的测量）遨游知识园研究性学习（最佳路线）温故而知新（思维热身/思维冲浪/检测站）小窍门(怎样确定线段的条数) 有理数 阅读与欣赏(中国人最先使用负数) 生活中正数与负数 知识窗(《九章算术》)遨游知识园阅读与思考(用正负数表示加工允许误差) 数轴阅读与欣赏(数轴与实数)遨游知识园知识窗(数形结合思想) 相反数与绝对值阅读与欣赏(绝对值符号)遨游知识园小窍门(比较大小)温故而知新（思维热身/思维冲浪/检测站）阅读与欣赏(“无理数”的由来) 遨游知识园知识窗(报纸可以重复对折多少次？) 有理数的混合运算 阅读与欣赏(漫谈( )，[ ]，{ }──小括号，中括号，大括号)遨游知识园阅读与思考(地球上的淡水量) 利用计算器进行简单的计算阅读与欣赏(计算器简介)遨游知识园阅读与欣赏(欧拉) 温故而知新（思维热身/思维冲浪/检测站）阅读与欣赏(对”0”的认识) 有理数的运算 阅读与欣赏(数学符号的起源) 有理数的加法和减法 阅读与欣赏(钟面上的数学) 遨游知识园 研究性学习(填幻方)有理数的乘法与除法 阅读与欣赏(乘法) 遨游知识园 阅读与思考(翻牌游戏中的数学道理)有理数的乘方 阅读与欣赏(幂) 遨游知识园 知识窗(报纸可以重复对折多少次？)有理数的混合运算 阅读与欣赏(漫谈( )，[ ]，{ }──小括号，中括号，大括号) 遨游知识园 阅读与思考(地球上的淡水量) 利用计算器进行简单的计算阅读与欣赏(计算器简介)遨游知识园阅读与欣赏(欧拉)温故而知新（思维热身/思维冲浪/检测站）阅读与欣赏(对”0”的认识) 数据的收集与简单的统计图数学园地(什么是统计) 数据收集的方式 阅读与欣赏(生活中的数据) 遨游知识园阅读与思考(瓶子中有多少粒豆子) 数据的整理 阅读与欣赏(统计整理的概念和意义) 遨游知识园 阅读与欣赏(统计整理的内容和步骤) 简单的统计图 阅读与欣赏(统计表与统计图)遨游知识园阅读与思考(利用计算机画统计图) 统计图的相互转化 数学家故事(确立统计规律性思想的数学家——凯特勒) 遨游知识园 数学活动 温故而知新（思维热身/思维冲浪/检测站） 观察与思考（三连环一个拓扑学模型）行知天下（第三刊）七年级数学有理数的运算阅读与欣赏数学符号的起源数学除了记数以外，还需要一套数学符号来表示数和数、数和形的相互关系.数学符号的发明和使用比数字晚，但是数量多得多.现在常用的有200多个，初中数学书里就不下20多种.它们都有一段有趣的经历.例如加号曾经有好几种，现在通用”+”号.”+”号是由拉丁文”et”（”和”的意思）演变而来的.十六世纪，意大利科学家塔塔里亚用意大利文”più”（加的意思）的第一个字母表示加，草为”μ”最后都变成了”+”号.“-”号是从拉丁文”minus”（”减”的意思）演变来的，简写m，再省略掉字母，就成了”-”了.也有人说，卖酒的商人用”-”表示酒桶里的酒卖了多少.以后，当把新酒灌入大桶的时候，就在”-”上加一竖，意思是把原线条勾销，这样就成了个”+”号.到了十五世纪，德国数学家魏德美正式确定：”+”用作加号，”-”用作减号.乘号曾经用过十几种，现在通用两种.一个是”×”，最早是英国数学家奥屈特1631年提出的；一个是”〃“，最早是英国数学家赫锐奥特首创的.德国数学家莱布尼茨认为：”×”号象拉丁字母”X”，加以反对，而赞成用”〃“号.他自己还提出用”п”表示相乘.可是这个符号现在应用到集合论中去了.到了十八世纪，美国数学家欧德莱确定，把”×”作为乘号.他认为”×”是”+”斜起来写，是另一种表示增加的符号.”÷”最初作为减号，在欧洲大陆长期流行.直到1631年英国数学家奥屈特用”：”表示除或比，另外有人用”-”（除线）表示除.后来瑞士数学家拉哈在他所著的《代数学》里，才根据群众创造，正式将”÷”作为除号.平方根号曾经用拉丁文”Radix”（根）的首尾两个字母合并起来表示，十七世纪初叶，法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中，第一次用”“表示根号.十六世纪法国数学家维叶特用”=“表示两个量的差别.可是英国牛津大学数学、修辞学教授列考尔德觉得：用两条平行而又相等的直线来表示两数相等是最合适不过的了，于是等于符号”=“就从1540年开始使用起来.1591年，法国数学家韦达在菱中大量使用这个符号，才逐渐为人们接受.十七世纪德国莱布尼茨广泛使用了”=“号，他还在几何学中用”∽”表示相似，用”≌”表示全等.大于号”〉”和小于号”〈”，是1631年英国著名代数学家赫锐奥特创用.至于≯”“≮”、”≠”这三个符号的出现，是很晚很晚的事了.大括号”{ }”和中括号”[ ]”是代数创始人之一魏治德创造的.有理数的加法和减法数学园地最早的正负数加减法则我国《九章算术》中记载的正负数的运算法则，是世界上最早记载正负数加减法的资料。
原文是：正负数曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。
其中前四句是正负数减法法则。
译文是：同号（两数相减），（把绝对值）相减；异号（两数相减），（把绝对值）相加；零减正数，得负数，零减负数，得正数。
后四句是正负数加法法则。
译文是：异号（两数相加），（把绝对值）相减，同号（两数39行知天下（第一刊）七年级数学40 相加），（把绝对值）相加。
零加正数，得正数，零加负数，得负数。
当然，从现代数学观点看，古书上的文字叙述不够严谨。
上述《九章算术》中关于正负数的内容，都是和当时的“方程术”相联系的。
在《九章算术》之后，东汉的刘洪（130-196）又将正负术用于历法的计算。
在他于174年写成的《乾象历》一书中的正负术称：强正，弱负。
（译文：正负数加法：同号就是相加，异号就是相减。
）强弱相并：同名相从，异名相消。
（译文：对于减法：同号就是相减，异号就是相加。
） 无互对之。
（译文：被减数是零时，原正数变为负数，原负数变为正数。
）刘洪的说法，比《九章算术》的说法，就更清楚了。
遨游知识园超级链接在小学我们学过算术数的加、减、乘、除及它们的混合运算，它们都遵循一定的运算法 则.有理数是由算术数扩充而得到的.有理数的加法法则运算时，应掌握三个问题：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加仍得这个数.（2）由加法法则可知，在进行有理数的加法运算时应分两步，首先确定符号，然后再计算绝对值.（3）活用加法交换率.有理数减法，实质是运用”相反数”的概念将减法运算统一成加法，从而得到减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数.学习中，思考算术数的运算法则与性质有哪些被保留下来，有哪些发生了变化？把握有理数与算术数在运算法则上的区别.基础点津本单元知识框架本单元学习要求注意与算术运算的衔接.了解算术的运算法则和性质哪些被保留了下来，有哪些发生了变化，能完成知识的迁移.有理数的加法是学习本节的基础，会将加法进行分类，并根据不同的分类进行相应的计算.通过绝对值，将有理数的运算转化为算术的相应运算来进行.注意有理数的运算律的应用，并会用字母来表示相应的运算律.理解有理数的减法与加法的互相转化，相反数是转化的关键.在利用交换律、结合律进行简便计算时，注意符号问题.精讲点拨1.有理数的加法例1.-3+3=_______，-9+5=_______.评析：根据有理数的加法法则，同号两数相加取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数相加得0，因此结果分别为0，-4. 例2.已知|a+3|+|b-1|=0，则(a+b)的相反数为_______. 评析：根据已知条件，要使|a+3|+|b-1|=0，则a+3=0且b-1=0，即a=-3，b=1，所以 (a+b)=-3+1=-2，所以(a+b)的相反数是2.故答案为2.2.有理数的减法行知天下（第三刊）七年级数学41例3.(-31)-(-21)=_______. 评析：根据有理数减法的运算步骤，可以先去括号，再求值，去括号时要注意符号的变化.解：原式=-31+ 21=61.答案：61. 3.有理数的加减混合运算例4. 计算： 3125.4513151521+-+--- 解答：原式=)312513()5.4151521(++---- =1583556+- =317- 或原式 =312)513515()5.4121(++-+---=312)2(6+-+- =3128+- =317-. 评析：在交换加数位置时，连同前面符号一起交换，在遇到小数、分数计算时，通常把小数化为分数较简便. 例5.计算：（-2.5）-（+2.7）-（-1.6）-（-2.7）+（+2.4） 解答：原式=-2.5-2.7+1.6+2.7+2.4 =-2.5+（-2.7+2.7）+（1.6+2.4） =-2.5+0+4 =1.5. 评析：有理数加减法混合运算的步骤：把算式写成省去括号的和→运用加法运算率→求出结果.巩固训练一、选择题1.计算-3+2的结果是（ ）A ．1B ．-1C ．5D ．-52.水位上升7厘米，又下降3厘米，那么现在的水位比原水位（ ）A. 上升3厘米B. 下降3厘米C. 上升4厘米D. 下降4厘米3.数轴上表示-4与13的两点间距离是（ ）.A.17B.9C.-17D.-94.如果三个有理数a+b+c=0，则（ ）.A.三个数不能同号B.三个数一定都是0C.一定有两个数互为相反数D.一定有一个数等于其余两个数的和5.计算（2-3）+（-1）的结果是（ ）A ．-2B ．0C ．1D ．26.如图，若a 、b 在数轴上的位置所示，则下列各式中一定正确的是（ ）.A.a+b ＞a-b B.a-b ＞aC.a 、b 互为相反数D.-b ＜07.如果a 是有理数，那么a+|a|必是（ ）.A.正数B.负数C.非正数D.非负数二、填空题8.扬州市某天的最高气温是6℃，最低气温是-2℃，那么当天的日温差是9.计算︱21-1︱= 10.如果□+2013=0，那么“□”内应填的实数是（3）2.3+（-4.5）； （4）（-3）-（-37）；行知天下（第一刊）七年级数学42（5）（-31）+（-41）； （6）（-53）+41； （7）10-（12-13）； （8）（3-7）-（2-9）； 13.（1）（-1.24）-5.73-（-0.02）； （2）（-0.6）+0.2+（-5.4）+（-4）；（3）21-（-21）-（-43）-43； （4）（-25）+（+65）+（-21）+（611）. （5）209115111211261251-+-+- 四、解答题14.先列式，后计算：（1）比-3.5的绝对值大1的数.（2）231的相反数与-21的和是多少？ 15.第76路公交车沿东西方向行驶，如果把车站的起点记为0，向东行驶记为正，向西行驶记km ）：（1（2）该车离开出发点最远是多少千米？（3）这辆车在上述过程中一共行驶了多少路程？16.银行储蓄所办理了7件工作业务，取出950元，存进500元，取出800元，存进1200元，存进2500元，取出1025元，取出200元，这时银行现款是增加了还是减少了？增加或减少了多少元？拓展提升17.计算1-2+3-4+5-6+…+2007-2008的结果是（ ）A ．-2008B ．-1004C ．-1D ．018．清晨蜗牛从树根沿着树干往上爬，树高10m ，白天爬4m ，夜间下滑3m ，它从树根爬上树顶，需（ ）A ．10天B ．9天C ．8天D ．7天19．足球循环赛中，红队胜黄队4：1，黄队胜蓝队2：1，蓝队胜红队1：0，则下列关于三个队净胜球数的说法正确的是（ ）A ．红队2，黄队-2，蓝队0B ．红队2，黄队-1，蓝队1C ．红队3，黄队-3，蓝队1D ．红队3，黄队-2，蓝队20．右表列出了几个国外城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京时间晚的时数）：例如：2012年在伦敦举行的第三十届奥运会开幕式，将在北京时间7月28日凌晨3：00开始，而此时东京时间是4：00．（1）如果现在是北京时间8：30， ①请你确定纽约时间是几点？②如果现在倩倩在北京想给远在巴黎的姨妈打电话，你认为是否合适，为什么？ （2）第三十届奥运会开幕式是在当地时间7月27日20点开始，请你说出此时伦敦与北京的时差（时）．行知天下（第三刊）七年级数学研究性学习钟面上的数学钟面上有1，2，3，…，11，12共有12个数，在这12个数中的某些数前面添上正号，在其余的数前面添上负号，使添加符号后的12个数的和等于零.你会添吗？显然，1，2，3，…，11，12这12个数的和为78，所以，只要把这12个数分成两组，使每组的和为39，然后，在一组中所有的数前面都添上正号，另一组中所有数前面都添上负号，就能使添加符号后12个数的和等于零.因为12个数中最大的3个数之和为12+11+10=33，比39小；9个最小数的和为1+2+…+8+9=45，比39大，所以分组时，要使每组中的数至少有4个，最多有8个，也就是说，两组中所含数的个数只能是4和8，5和7，6和6.如果把这12个数分成了和都是39的甲、乙两组，那么，甲组数添正号时，乙组数就添负号；而甲组数添负号时，乙组数就添正号，所以由一种分组法可以得到两个答案.如（+12，+11，+10，+6）；（-9，-8，-7，-5，-4，-3，-2，-1）与（-12，-11，-10，-6）；（+9，+8，+7，+5，+4，+3，+2，+1）就是由一种分组法得到的两个答案.请你根据上面的分析试一试，看看你能写出多少个答案，要细心哟，本问题共有124个答案！有理数的乘法与除法数学园地加减乘除的来历加减乘除（＋、－、×(•)、÷(∶））等数学符号是我们每一个人最熟悉的符号，因为不光在数学学习中离不开它们，几乎每天的日常的生活也离不开它们。