人教课标版(B版)高中数学选修4-5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法绝对值不等式的解法3

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高中数学第1章不等式的基本性质和证明的基本方法1.2基本不等式课件新人教B版选修4_5

求下列函数的值域. (1)y＝x22＋x1；(2)y＝x22＋x1.
【精彩点拨】
把函数转化为y＝ax＋
b x
或y＝
1 ax＋bx
的形式，再利用基本不
等式求解.
【自主解答】
(1)y＝x22 ＋ x 1＝1 2 x＋1 x ，当x＞0时，
x＋
1 x
≥2，∴y≥1；当x＜0时，－x＞0，－x＋
1 －x
元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为
年平均每件产品成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不
包括促销费用).
(1)将该产品的年利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家的年促销费用投入为多少万元时，厂家的年利润最大？最大年利
润是多少万元？
【精彩点拨】 (1)可先通过m＝0时，x＝1求出常数k，再根据条件列出y关于m的函数；(2)在(1)的函数关系式下，利用基本不等式求最值.
阶1.2 基本不等式
阶1.2 基本不等式
段
段
一
三
阶1.2 基本不等式
段二
学业分1.2 基本不等式
层测
评
1.理解两个正数的基本不等式. 2.了解三个正数和一般形式的基本不等式. 3.会用基本不等式求一些函数的最值及实际应用题.
2.定理 2
如果 a，b 为数，则a＋ 2 b
ab，当且仅当 a b 时，等号成立.这个不等式
≥2
x－1·x－ 9 1＋2＝8，
当且仅当x－1＝x－ 9 1，
即x＝4时，等号成立. 所以当x＝4时，ymin＝8.
[构建·体系]
【解析】
原式变形为y＝x－ 1 3＋x－3＋3.

高中数学第一章不等式的基本性质和证明的基本方法 1_2 基本不等式课件新人教B版选修4-5

2 + 2 + 2+ 2
4
=
2 + 2
2
(当且仅当a=b 时等号成立).
≤ ≤
+
2
≤
(当且仅当a=b 时等号成立).
2 + 2
2
,
2

,
题型一
题型二
题型三
题型四
反思基本不等式有着重要的应用,在使用时还应记住重要的变
2
+
形公式.如 a,b 是正数,且 b≥a 时,a≤
1 22 +1-2 +1-2
2
∴y ≤2
3
3
4
= .
27
3
2
2
当且仅当 2x =1-x ,即 x= 时,等号成立.
3
2 3
2 3
∴y≤ 9 , 即ymax = 9 .
反思利用基本不等式解题时要注意考察“三要素”:(1)函数中的
相关项必须都是正数;(2)变形后各项的和或积有一个必须是常
数;(3)当且仅当各项相等时,才能取到等号,可简化为“一正二定三
D.若 x≤0,则 2x+2-x≥2 2 ·2- = 2

解析:对于选项 A,当 ab>0 时,有 + ≥2;
对于选项 B,当 x>1,y>1 时,有 lg x+lg y≥2 lg·lg;
4

对于选项 C,当 x<0 时,有 x+ = − -故可排除选项 A,B,C,故选 D.
答案:D
∵年生产成本=年生产费用+固定费用,
∴年生产成本为 32x+3=32

【测控指导】高中数学人教B版选修4-5课件：1.1.1 不等式的基本性质

1
��
��
③若 a>b,ab≠0,则 �� < �� ; ④若 a>b,c>d,则 ac>bd; ⑤若 �� > �� , 则 ad>bc.
解析 :对于①,当 c2=0 时不成立 ; 对于 ②,∵c >0,∴
2
1
��
��
对于 ③,a>0>b 时不成立; 对于 ④,当 a=1,b=0,c=-1,d=-2 时 ,ac>bd 不成立 ; ⑤中 cd 不一定大于 0,故不正确.
-9-
1.1.1 不等式的基本性质
目标导航
Z 知识梳理 Z 重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析 S随堂演练
IANLITOUXI
UITANGLIANXI
【做一做2-2】下列命题中正确的有 ①若a>b,则ac2>bc2;
.
②若 ��2 > ��2 , 则 a>b;
-7��
�� (n∈N*,且 n≥2)
1.1.1 不等式的基本性质
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归纳总结(1)对于性质(4)可以看成:若c>0,则a>b⇔ac>bc;若c<0, 则a>b⇔ac<bc. (2)在不等式的性质的应用中,要特别注意,除性质(1)(3)外,其余的性质均不可逆,不能逆用,若要逆用,则必须注意适用的条件. (3)上面这些不等式的基本性质是我们证明和解决不等式问题的基础和出发点. (4)在研究不等式时,需要特别注意“符号问题”,即在作乘(除)法运算时,乘(除)数的符号会影响不等式的方向.

2019_2020学年高中数学第1章不等式的基本性质和证明的基本方法1.5.3反证法和放缩法课件新人教B版选修4_5

第一章不等式的基本性质和证明的基本方法
1.5 不等式证明的基本方法 1.5.3 反证法和放缩法
学习目标：1.理解反证法在证明不等式中的应用，掌握用反证法证明不等式的方法.2.了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．
自主预习探新知
教材整理 1 反证法首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已有的 _定__义__、__定__理__，命题的条件逐步分析，得到和_命__题__的__条__件__(_或__已__证__明__过_ _的__定__理__，__或__明__显__成__立__的__事__实__)_矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来结论是正确，这种方法称作反证法．
[精彩点拨] 针对不等式的特征，关键是对左端根号内变形，配方后适当放缩去掉根号，达到证明的目的．
[自主解答]
x2＋xy＋y2＝
x＋2y2＋43y2
≥
x＋2y2＝x＋2y≥x＋2y，
同理可得： y2＋yz＋z2≥y＋2z，
z2＋zx＋x2≥z＋2x.
∴1＋ab>a2＋b2≥2ab，从而 ab<1. ∴a2＋b2<1＋ab<2. ∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab<2＋2ab<4. 而由假设 a＋b>2，得(a＋b)2>4，出现矛盾，故假设不成立，原结论成立，即 a＋b≤2.
反证法与放缩法的特点
[探究问题] 1．反证法的一般步骤是什么？ [提示] 证明的步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2)从否定结论进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论．
∴(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤614，
②
因此①式与②式矛盾．
故假设不成立，即原命题成立．

高中数学第1章不等式的基本性质和证明的基本方法章末复习课讲义新人教B版选修4_5

第1章不等式的基本性质和证明的基本方法[自我校对]①含绝对值的不等式 ②比较法 ③综合法和分析法 ④反证法和放缩法值时，和有最小值．在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．【例1】 (1)求函数y ＝x 2(1－5x )⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤15的最大值；(2)已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a ＋b ＋c ＝1，求y ＝1a ＋1b ＋1c的最小值．[精彩点拨] 根据条件，发现定值，利用基本不等式求最值． [规范解答] (1)y ＝52x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫25－2x ＝52·x ·x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫25－2x . ∵0≤x ≤15，∴25－2x ≥0，∴y ≤52⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25－2x 33＝4675. 当且仅当x ＝x ＝25－2x ，即x ＝215时，上式取等号．因此y max ＝4675.(2)y ＝1a ＋1b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c (a ＋b ＋c )＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋c a ＋a c ＋c b ＋b c ，而b a ＋a b ＋c a ＋a c ＋c b ＋b c≥6，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取到等号，则y ≥9，即y ＝1a ＋1b ＋1c的最小值为9.1．设a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1b.证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．[证明] 由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab，a >0，b >0，得ab ＝1.(1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2.(2)假设a 2＋a <2与b 2＋b <2同时成立，则由a 2＋a <2及a >0，得0<a <1；同理，0<b <1，从而ab <1，这与ab ＝1矛盾．故a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立.化成一般的不等式，主要的依据是绝对值的定义．1．公式法|f (x )|>g (x )⇔f (x )>g (x )或f (x )<－g (x )； |f (x )|<g (x )⇔－g (x )<f (x )<g (x )． 2．平方法|f (x )|>|g (x )|⇔[f (x )]2>[g (x )]2. 3．零点分段法含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号，转化为不含绝对值的不等式去解．【例2】解下列关于x 的不等式： (1)|x －x 2－2|>x 2－3x －4； (2)|x －2|－|2x ＋5|>2x .[精彩点拨] 去掉绝对值号，转化为没有绝对值的不等式求解．(1)x －x 2－2＝－x 2＋x －2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－74＜0；(2)通过分类讨论去掉绝对值． [规范解答] 法一：原不等式等价于x －x 2－2>x 2－3x －4或x －x 2－2<－(x 2－3x －4)，解得1－2<x <1＋2或x >－3，∴原不等式的解集为{x |x >－3}．法二：∵|x －x 2－2|＝|x 2－x ＋2|＝x 2－x ＋2， ∴原不等式等价于x 2－x ＋2>x 2－3x －4⇔x >－3. ∴原不等式的解集为{x |x >－3}．(2)分段讨论：①当x <－52时，原不等式变形为2－x ＋2x ＋5>2x ，解得x <7，∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－52. ②当－52≤x ≤2时，原不等式变形为2－x －2x －5>2x ，解得x <－35.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－52≤x <－35. ③当x >2时，原不等式变形为x －2－2x －5>2x ，解得x <－73，∴原不等式无解．综上可得，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－35.2．解不等式|x ＋1|＋|x |＜2.[解] 法一：当x ≤－1时，－x －1－x ＜2，解得－32＜x ≤－1；当－1＜x ＜0时，x ＋1－x ＜2，解得－1＜x ＜0；当x ≥0时，x ＋1＋x ＜2，解得0≤x ＜12.因此，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32＜x ＜12. 法二：令f (x )＝|x ＋1|＋|x |－2 ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1(x ≥0)，－1(－1≤x ＜0)，－2x －3(x ＜－1).作函数f (x )的图象(如图)，知当f (x )＜0时，－32＜x ＜12.故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32＜x ＜12. 法三：由绝对值的几何意义知，|x ＋1|表示数轴上点P (x )到点A (－1)的距离，|x |表示数轴上点P (x )到点O (0)的距离．由条件知，这两个距离之和小于2.作数轴(如图)，知原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32＜x ＜12. 法四：原不等式⇔0≤|x ＋1|＜2－|x |， ∴(x ＋1)2＜(2－|x |)2，且|x |＜2，即0≤4|x |＜3－2x ，且|x |＜2. ∴16x 2＜(3－2x )2，且－2＜x ＜2，解得－32＜x ＜12.故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32＜x ＜12.次还有反证法、放缩法、换元法、判别式法、构造函数法等，但这些方法不是孤立的，它们相互渗透、相辅相承，有的题可以有多种证法，而有的题目要同时用几种方法才能解决，因此我们在平时解题中要通过一题多解，一解多法的反复训练，加强对各种方法的区别与联系的认识，把握每种方法的长处和不足，从而不断提高我们分析问题和解决问题的能力．1．比较法证明不等式比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数大小与运算的关系．其主要步骤是：作差——恒等变形——判断差值的符号——结论．其中，变形是证明推理中的关键，变形的目的在于判断差的符号．【例3】设a ≥b ＞0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2. [精彩点拨] 作差，变形，定号，下结论即可． [规范解答] 3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2) ＝3a 2(a －b )＋2b 2(b －a )＝(a －b )(3a 2－2b 2)． ∵a ≥b ＞0，∴a －b ≥0,3a 2－2b 2>2a 2－2b 2≥0. 从而(3a 2－2b 2)(a －b )≥0，故3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2成立．3．设实数a ，b ，c 满足等式①b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，②c －b ＝4－4a ＋a 2，试确定a ，b ，c 的大小关系．[解] 由②c －b ＝(a －2)2≥0，知c ≥b . 又①－②，得b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，∴b >a ，故c ≥b >a .2．综合法、分析法证明不等式分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因寻果”逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法，一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用．【例4】已知a ，b ，c 均为正数，且互不相等，又abc ＝1. 求证：a ＋b ＋c ＜1a ＋1b ＋1c.[精彩点拨] 本题考查用综合法证明不等式，解答本题可从左到右证明，也可从右到左证明．由左端到右端，应注意左、右两端的差异，这种差异正是我们思考的方向，左端含有根号，脱去根号可通过a ＝1bc ＜1b ＋1c 2实现；也可以由右到左证明，按上述思路逆向证明即可．[规范解答] 法一：∵a ，b ，c 是不等正数，且abc ＝1，∴a ＋b ＋c ＝1bc＋1ac＋1ab ＜1b ＋1c 2＋1a ＋1c 2＋1a ＋1b 2＝1a ＋1b ＋1c. 法二：∵a ，b ，c 是不等正数，且abc ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c＝bc ＋ca ＋ab＝bc ＋ca 2＋ca ＋ab 2＋ab ＋bc2＞abc 2＋a 2bc ＋ab 2c ＝a ＋b ＋c .4．已知a ＞0，a 2－2ab ＋c 2＝0且bc ＞a 2，试证明：b ＞c . [证明] ∵a 2－2ab ＋c 2＝0， ∴a 2＋c 2＝2ab .又a 2＋c 2≥2ac ，且a ＞0，∴2ab ≥2ac ，∴b ≥c . 若b ＝c ，由a 2－2ab ＋c 2＝0，得a 2－2ab ＋b 2＝0，∴a ＝b .从而a ＝b ＝c ，这与bc ＞a 2矛盾．从而b ＞c .【例5】设a ，b ，c 均为大于1的正数，且ab ＝10. 求证：log a c ＋log b c ≥4lg c .[精彩点拨] 本题采用综合法比较困难，可采用分析式法转化为同底的对数寻找方法． [规范解答] 由于a ＞1，b ＞1，故要证明log a c ＋log b c ≥4lg c ，只要证明lg c lg a ＋lg clg b ≥4lg c .又c ＞1，故lg c ＞0，所以只要证1lg a ＋1lg b ≥4，即lg a ＋lg blg a lg b ≥4，因ab ＝10，故lg a ＋lg b ＝1，只要证明1lg a lg b≥4.(*)由a ＞1，b ＞1，故lg a ＞0，lg b ＞0，所以0＜lg a lg b ≤⎝⎛⎭⎪⎫lg a ＋lg b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，即(*)式成立．所以，原不等式log a c ＋log b c ≥4lg c 得证．5．已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，求证：a ＋12＋b ＋12≤2.[证明] 要证a ＋12＋b ＋12≤2，只要证⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12＋b ＋122≤4，即证a ＋b ＋1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12≤4. 只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12≤1，也就是要证ab ＋12(a ＋b )＋14≤1，即证ab ≤14.∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1.∴1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14，即上式成立．故a ＋12＋b ＋12≤2.3．反证法和放缩法证明不等式证明不等式除了三种基本方法，还可运用反证法，放缩法等，若直接证明难以入手时，“正难则反”，可利用反证法加以证明，若不等式较复杂，可将需要证明的不等式的值适当地放大(或缩小)，使不等式由繁化简，达到证明目的．【例6】若a ，b ，c ，x ，y ，z 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0.[精彩点拨] 在题目中含有“至少”“至多”“最多”以及否定性的结论时，用直接法证明比较困难，往往采取反证法．[规范解答] 假设a ，b ，c 都不大于0，则a ≤0，b ≤0，c ≤0，∴a ＋b ＋c ≤0，由题设知，a ＋b ＋c＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2y ＋π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2－2z ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z 2－2x ＋π6＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π ＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3， ∴a ＋b ＋c ＞0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，故a ，b ，c 中至少有一个大于0.6．已知f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)，证明：方程f (x )＝0没有负数根． [证明] 假设x 0是f (x )＝0的负数根，则x 0<0且x 0≠－1且ax 0＝－x 0－2x 0＋1，由0<ax 0<1⇒0<－x 0－2x 0＋1<1，解得12<x 0<2，这与x 0<0矛盾，所以假设不成立．故方程f (x )＝0没有负数根．【例7】求证：1＋11＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n ＜3.[精彩点拨] 不等式比较复杂，亦采用放缩法，由11×2×3×…×n ＜11×2×2×…×2＝12n －1(n 是大于2的自然数)，然后把各项求和．[规范解答] 由11×2×3×…×n ＜11×2×2×…×2＝12n －1(n 是大于2的自然数)，得1＋11＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n ＜1＋1＋12＋122＋123＋…＋12n －1＝1＋1－12n1－12＝3－12n －1＜3.7．设x ＞0，y ＞0，z ＞0，求证：x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＞x ＋y ＋z .[证明] ∵x 2＋xy ＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋3y 24＞x ＋y 2， ①y 2＋zy ＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋y 22＋34y 2＞z ＋y 2，②∴由①②得，x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋zy ＋z 2＞x ＋y ＋z .法．通过不断地转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式简单的问题．在本章，我们讨论恒成立问题，向最值转换，通过不等式性质、基本不等式、绝对值不等式求最值等问题都用到了转化的思想．【例8】若不等式|x ＋3|＋|x －7|≥a 2－3a 的解集为R ，求实数a 的取值范围． [精彩点拨] 由不等式的解集为R ，可知对x ∈R ，都有|x ＋3|＋|x －7|≥a 2－3a 成立，∴(|x ＋3|＋|x －7|)min ≥a 2－3a ，从而得出a 的不等式求解．[规范解答] ∵原不等式的解集为R ，∴x ∈R ，都有|x ＋3|＋|x －7|≥a 2－3a ，∴(|x ＋3|＋|x －7|)min ≥a 2－3a .∵|x ＋3|＋|x －7|≥|(x ＋3)－(x －7)|＝10，∴a 2－3a ≤10，解得－2≤a ≤5.∴实数a 的取值范围是[－2,5]．8．已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}． (1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围．[解] (1)由|ax ＋1|≤3，得－4≤ax ≤2.又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．当a ＞0时，－4a ≤x ≤2a，得a ＝2.(2)法一：记h (x )＝f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤－1，－4x －3，－1＜x ＜－12，－1，x ≥－12，所以|h (x )|≤1，因此k 的取值范围是k ≥1. 法二：⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝||2x ＋1|－2|x ＋1|| ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12－|x ＋1|≤1，由⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立，可知k ≥1. 所以k 的取值范围是k ≥1.1．不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( ) A ．(－∞，4) B ．(－∞，1) C ．(1,4)D ．(1,5)[解析] ①当x ≤1时，原不等式可化为1－x －(5－x )<2， ∴－4<2，不等式恒成立， ∴x ≤1.②当1<x <5时，原不等式可化为x －1－(5－x )<2， ∴x <4， ∴1<x <4.③当x ≥5时，原不等式可化为x －1－(x －5)<2，该不等式不成立．综上，原不等式的解集为(－∞，4)，故选A. [答案] A2．若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________. [解析] 由于f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |，当a >－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2a －1(x <－1)，－x ＋2a ＋1(－1≤x ≤a )，3x －2a ＋1(x >a ).作出f (x )的大致图象如图所示，由函数f (x )的图象可知f (a )＝5，即a ＋1＝5，∴a ＝4.同理，当a ≤－1时，－a －1＝5，∴a ＝－6. [答案] －6或43．设a >0，|x －1|<a 3，|y －2|<a3，求证：|2x ＋y －4|<a .[证明] 因为|x －1|<a 3，|y －2|<a3，所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|<2×a 3＋a3＝a .4．已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．[解] (1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1＜x ≤32，－x ＋4，x ＞32，故y ＝f (x )的图象如图所示． (2)由f (x )的函数表达式及图象可知，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )＞1的解集为{x |1＜x ＜3}，f (x )＜－1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞5.- 11 - 所以|f (x )|＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜13或1＜x ＜3或x ＞5. 5．已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3.因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ，当x ＝12时等号成立，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3. ①当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解．当a >1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2.所以a 的取值范围是[2，＋∞)．。

人教版B版高中数学选修4-5：第一章不等式的基本性质和证明的基本方法复习课件

c|＋|x－b|≤m，|x－c|＋|x－b|≥m. 5.会用平均值不等式求一些特定函数的最值. 6.理解不等式证明的五种方法：比较法、综合法、分析法、反
证法、放缩法，会用它用证明比较简单的不等式.
知识结构
知识梳理 1.实数的运算性质与大小顺序的关系： a>b⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，a<b⇔a－ b<0，由此可知要比较两个实数的大小，判断差的符号即可.
Hale Waihona Puke 随堂演练1.若 a，b，c∈R，且 ab＋bc＋ac＝1，则下列不等式成立的是( )
A.a2＋b2＋c2≥2
B.(a＋b＋c)2≥3
C.1a＋1b＋1c≥2 3
D.abc(a＋b＋c)≤13
解析 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc≥3(ab＋
ac＋bc)＝3，故应选 B.
答案 B
应用绝对值三角不等式证明不等式【例 3】已知 f(x)＝x2＋ax＋b (a，b∈R)的定义域为[－1，1].
(1)记|f(x)|的最大值为 M，求证：M≥12； (2)当 M＝12时，求 f(x)的表达式. (1)证明由题意 M≥|f(0)|，M≥|f(1)|，M≥|f(－1)|. ∴4M≥2|f(0)|＋|f(1)|＋|f(－1)| ＝2|b|＋|1＋a＋b|＋|1－a＋b| ≥|1＋a＋b＋1－a＋b－2b|＝2，∴M≥12.
4.基本不等式 (1)定理 1：若 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab (当且仅当 a＝b 时取“＝”). (2)定理 2：若 a，b∈R＋，则a＋2 b≥ ab(当且仅当 a＝b 时取“＝”). (3)引理：若 a，b，c∈R＋，则 a3＋b3＋c3≥3abc(当且仅当 a＝b＝ c 时取“＝”)可以当作重要结论直接应用.

人教课标版B版高中数学选修45第一章不等式的基本性质和证明的基本方法绝对值的三角不等式.ppt

k 3时,不等式的解集是{x | x R且x 3}
１．分类讨论时要层次分明，不重不漏，先对二次项系数进行讨论，再根据二次项系数的正负和差别式的值的正，负，零进行第二次的划分与讨论．
2....对于二次项系数a 0的情形, 我们一般把它先化成二次项系数为正的情形, 再求解.
(iii).当a 0时不等式的解集是R
例2. 解不等式 x2 2x 3 0.
Ⅰ. 降次, 化为不等式組.
解: 原不等式可化為 x 3x 1 0.
所以有
1.xx
3 1
0 ,
0
或
2.
x x
3 1
0 .
0
由1可得, x 3; 由2可得, x 1.
所以原不等式的解為 x 1, 或 x 3.
x x2}
{x | x R且 x b } 2a
R
ax2+bx+c<0 {x | x1 x x2}
高次不等式：a0 x n a1 x n1 a2 x n2 an 0(a0 0)
1、将原不等式的左边因式分解，化为：( x x1 )(x x2 )( x xn ) 0
2、把方程的根标在数轴上：x1,x2…,xn
5
1 1 5 3
x 1, 5 3, .
综上, 原不等式的解为 x , 5 3, .
总结
1、一元一次不等式的解法 2、一元二次不等式的解法 3、高次不等式的解法 4、分式不等式的解法 5、绝对值不等式的解法 6、无理不等式的解法 7、指数不等式、对数不等式、幂指数不等式的解法 8、三角不等式
解: 原不等式可化为
x 2x 3x 4x 1 0.
-4

高二数学人教b版选修4-5课件：第一章_1.1_1.1.1_不等式的基本性质

一分耕耘一分收获
(1)用作差法比较两个数(式)的大小时，要按照“三步一结论”的程序进行，即：作差 → 变形 → 定号 → 结论，其中变形是关键，定号是目的．
(2)在变形中，一般是变形得越彻底越有利于下一步的判断．变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等．
(3)在定号中，若为几个因式的积，需每个因式均先定号，当符号不确定时，需进行分类讨论．
一分耕耘一分收获
若 0＜a＜1＜b，则 0＜1b＜1， ∴loga1b＞0， logab＜0，条件③不可以．故应填②. 答案：②
一分耕耘一分收获
8．设 x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若 x>y，则实数 a，b 满足的条件是________________．解析：∵x>y，∴a2b2＋5－2ab＋a2＋4a ＝a2＋4a＋4＋a2b2－2ab＋1 ＝(a＋2)2＋(ab－1)2>0. ∴ab≠1 或 a≠－2. 答案：ab≠1 或 a≠－2.
一分耕耘一分收获
三、解答题 9．已知－π2≤α<β≤π2，求α＋2 β，α－2 β的范围．
解：∵－π2≤α<β≤π2， ∴－π4≤α2＜π4，－π4＜β2≤π4. 因而两式相加得－π2＜α＋2 β<π2. 又∵－π4＜β2≤π4，∴－π4≤－β2＜π4.
一分耕耘一分收获
∴－π2≤α－2 β<π2. 又∵α＜β，∴α－2 β＜0.∴－π2≤α－2 β＜0. 即α＋2 β∈－π2，π2，α－2 β∈－π2，0. 10．已知 a，b∈{正实数}且 a≠b，比较ab2＋ba2与 a＋b 的大小．解：∵ab2＋ba2－(a＋b)＝ab2－b＋ba2－a ＝a2－b b2＋b2－a a2＝(a2－b2)1b－1a

人教B版高中数学选修4-5课件：第一章不等式的基本性质和证明的基本方法

(2)已知 x>1,求函数 y =
��2 -2��+2 的最小值. 2��-2
提示:先通过恒等变形,使不等式具备“一正、二定、三相等”的条件,再应用基本不等式求最值.
8
知识建构专题一专题二专题三专题四
综合应用
真题放送
解 :(1)∵0<x<2,∴0<3x<6,∴8- 3x>0,
|5 2
.
③当 x>2 时 ,原不等式变形为 x-2-2x-5>2x,
|
3 5
.
5
知识建构专题一专题二专题三专题四
综合应用
真题放送
应用 2 若 f1(x) = 3|��- ��1 |,f2(x)=2· 3|�� - ��2 |,x∈R,p1,p2 为常数,且 f(x ) = �� 1 (��), �� 1 (��) ≤ �� 2 (��), ��2 (��),�� 1 (��) > �� 2 (��).
3
知识建构专题一专题二专题三专题四
综合应1)|x-x2-2|>x2-3x-4; (2)|x-2|-|2x+5|>2x. 提示:根据绝对值的意义,先去掉绝对值符号,再解不等式. 解:(1)解法一:原不等式等价于x-x2-2>x2-3x-4或x-x2-2<-(x2-3x-4),
∴y=x(8-3x) = 3· 3x· (8-3x)
1 3��+8-3�� 2 ≤ 3 2 4
1
=
16 , 3

人教课标版(B版)高中数学选修4-5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法绝对值不等式的解法习题

1
A．
4
1
B．
4
1
C．
2
1
D．
2
10．若 x∈R，则 x 2 是 x 1 1的什么条件
（）（）
A ．必要不充分条件 C ．充要条件
B ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件
11．已知不等式 ax2 bx 2 0 的解集为 x 1 x 2 ，则不等式 2x2 bx a 0的解集为
1 A． x 1 x
．
16．若关于 x 的不等式 x 2 x 1 a 的解集为，则 a 的取值范围为
．
三、解答题。本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤。
17． (12 分 )解不等式 1 x2 2x 1 2 ．
18．（ 12 分）解下列不等式
（ 1） x2 11x 21 x;
21． (12 分 ) 设 x 0, y 0,且 x y,
1
1
求证： ( x3 y3) 3 (x2 y2 ) 2 .
22． (14 分 ) 已知 f ( x) x2 2ax 2 ，当 x 1, 时， f (x) a 恒成立，求 a 的取值范围。
参考答案
一、 1． C 2． B 3．C 4． C 5． D 6． D 7． D 8．B 9．A 10． A 11．A 12． D
x2
或
x2 4x x 3 5
x
3或 1 x 2或 x 2.
原不等式的解集为 ( , 3) ∪（ -1， 2）∪ (2, ) ．
19．证明：
ab ( a b)
ba
( a)3 ( b)3 ( a ab
b ) ab
( a b )(a 2 ab b) ab

高中数学第1章不等式的基本性质和证明的基本方法章末综合测评新人教B版选修4-5(2021年整

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章末综合测评(一) 不等式的基本性质和证明的基本方法（时间120分钟，满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知错误!〉错误!,则下列不等式一定成立的是( )A。

a2〉b2B。

lg a〉lg bC.错误!>错误!D。

错误!错误!〉错误!错误!【解析】由ac2〉错误!,得a>b(c≠0）。

显然,当a，b异号或其中一个为0时， A,B,C不正确.【答案】D2.“｜x－1|〈2成立"是“x（x－3）<0成立”的（)A。

充分不必要条件B。

必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】｜x－1｜〈2⇔－1〈x<3，x（x－3）<0⇔0〈x〈3，则（0，3）（－1，3）。

【答案】B3。

“a＞0且b＞0”是“a＋b≥2错误!”成立的（)A。

充分不必要条件B。

必要不充分条件C。

充要条件D。

既不充分也不必要条件【解析】a＞0且b＞0⇒a＋b≥2错误!，a＋b≥2错误!D⇒/a＞0且b＞0。

【答案】A4。

若x∈(e—1，1）,a＝ln x,b＝2ln x，c＝ln3x，则( ）A。

人教课标版(B版)高中数学选修4-5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法绝对值不等式的解法练习6

选修4-5练习 §1.1.2基本不等式姓名 1.若1,0,0=+>>b a b a ，则)11)(11(22--ba 的最小值是（） A.6 B.7 C.8 D.92.若a ,b ,c ＞0且a (a +b +c )+bc =4-23,则2a +b +c 的最小值为（）A ．3-1B ． 3+1C ． 23+2D ． 23-23.若关于x 的不等式x k )1(2+≤4k ＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有（）A.2∈M ，0∈M ；B.2∉M ，0∉M ；C.2∈M ，0∉M ；D.2∉M ，0∈M4. 若14<<-x ，则22222-+-x x x 的最小值为（）7 C.1- D.1.5 函数)(,422+∈+=R x xx y 的最小值为（） A.6 B.7 C.8 D.9.6已知1273,023++=-+y x y x 则的最小值是（） A. 393 B. 221+ C. 6 D. 77. 求下列函数的最值⑴0>x 时, 求x x y 362+=的最小值．⑵设]27,91[∈x ，求)3(log 27log 33x x y ⋅=的最大值．⑶若10<<x , 求)1(24x x y -=的最大值．⑷若0>>b a ，求)(1b a b a -+的最小值为..8已知球的半径为R ，球内接圆柱的底面半径为r ，高位h ，则r 和h 为何值时，内接圆柱的体积最大？.9某单位建造一间地面面积为12m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过a 米，房屋正面的造价为400元/m 2,房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m ，且不计房屋背面的费用．（1）把房屋总造价y 表示成x 的函数，并写出该函数的定义域；（2）当侧面的长度为多少时，总造价最底？最低总造价是多少？。

人教课标版高中数学选修4-5：《不等式的基本性质》教案(1)-新版

1.1课时1不等式的基本性质一、教学目标（一）核心素养在回顾和复习不等式的过程中，对不等式的基本性质进行系统地归纳整理，并对“不等式有哪些基本性质和如何研究这些基本性质” 进行讨论，使学生掌握相应的思想方法，以提高学生对不等式基本性质的认识水平.（二）学习目标1. 理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础2. 掌握不等式的基本性质，并能加以证明.3. 会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法.（三）学习重点应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明•（四）学习难点灵活应用不等式的基本性质•二、教学设计（一）课前设计1•预习任务（1）读一读：阅读教材第2页至第4页，填空：a b _________ a b _______________ a b _________________（2）判断：下列说法是否正确？① a b, b c a c② a c b c a b③ac bc a b④ a b a3 b3⑤ a b a2b2⑥a b, c d ac bd2.预习自测（1）当x，代数式（x1）2的值不大于x1的值.【知识点】作差比较法【解题过程】（X 1）2（X 1） X2X x（x 1）【思路点拨】熟悉作差比较法【答案】[0,1]（2）若c R，则ac2 be2 a bA. B. C. D.【知识点】不等式的基本性质【解题过程】由ae2 be2，得e 0,所以e2 0 ;当a b, e 0时，ae2 be2.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】A.（3）当实数a,b满足怎样条件时，由a b能推出1 1?a b【知识点】作差比较法【解题过程】1 1 b a，因为a b，所以当ab 0时，1 1.a b ab a b【思路点拨】掌握作差比较法【答案】当ab 0时，1 1.a b（二）课堂设计1. 问题探究探究一结合实例，认识不等式•活动①归纳提炼概念人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的.【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程•活动② 认识作差比较法关于实数a,b的大小关系，有以下基本事实：如果a b，那么a b是正数；如果a b，那么a b等于零；如果a b，那么a b是负数.反过来也对.这个基本事实可以表示为： a b a b 0;a b a b 0;a b a b 0，上面的符号“ ”表示“等价于”，即可以互相推出.从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与零的大小，这是研究不等式的一个出发点.这种方法称为作差比较法.【设计意图】通过基本事实，加深对不等式的理解，突破重点.•活动③ 了解作差比较法的步骤例1 试比较(X 3)(x 7)和(x 5)(x 6)的大小. 知识点】作差比较法数学思想】分类讨论思想解题过程】思路点拨】熟悉作差比较法比较大小的步骤思考：作差比较法的步骤中，哪一步最为关键？第二步变形最重要，变形要变到可以判断代数式的正负为止，变形的方法通常有分解因式，配方，平方，有理化等 . 同类训练比较(x 1)(x 2)与(x 3)(x 6)的大小.知识点】作差比较法数学思想】分类讨论思想解题过程】因为 (x 1)(x 2) (x 3)(x 6) (x 2 3x 2) (x 2 3x 18) 20 0，所以 (x 1)(x 2) (x 3)(x 6)【思路点拨】熟悉作差比较法比较大小的步骤【答案】（X 1）（x 2）（x 3）（x 6）x 9时，(x 3)(x 7) (x 5)(x 6)；x 9时， (x 3)(x 7)=( x 5)(x 6) ； x9时， (x 3)(x 7) (x 5)(x 6)；答案】当当当第一步：作差 (x 3)(x 7) (x 5)(x 6)第二步：变形 25)(x 6) (x 210x 21) 2 (x 211x 30) x 9宀口定号当x9 0时，x 9；结论9时， (x 3)(x 7) (x 5)(x 6)；9时， (x 3)(x 7)=( x 5)(x 6) ；9时， (x 3)(x 7) (x 5)(x 6)；x= 9 ；当 x 9 0 时， x 9(x 3)(x 7) (x当x 当x当x 第三步：第四步：当 x 9 0时，【设计意图】通过对作差比较法的步骤分析，更加深刻理解不等式.探究二探究不等式的基本性质•活动① 认识不等式的基本性质我们知道，等式的基本性质是从数的运算的角度提出的•同样的，由于不等式也研究实数之间的关系，所以联系实数的运算（加、减、乘、除、乘方、开方等）来思考不等式的基本性质是非常自然的.例如，不等式两边加（或乘）同一个数，不等式是否仍然成立？等等由两个实数大小关系的基本事实，可以得出不等式的一些基本性质(1)如果a b，那么b a ；如果b a，那么a b.即卩a b b a(2)如果a b,b c，那么a c.即a b, b c a c.(3)如果a b，那么a c b c.(4) 如果a b,c0，那么acbc；如果a b,c 0，那么ac bc.(5) 如果a b0，那么a n b n(n N,n 2).(6) 如果a b0，那么n a咖(n N,n 2).通过语言叙述可以加深理解上述基本性质.例如，性质（4）可以表述为：不等式两边同乘一个正数，不等号同向；不等式两边同乘一个负数，不等号反向对于以上的基本性质，可采用作差比较法来证明，如性质（4）：证明：ac be c（a b），如果a b, c 0，则a b 0,c 0,所以ac be c（a b） 0,即ac be，同理如果a b, c 0，那么ac bc.思考：通过不等式的基本性质，在研究不等式时，需要特别注意什么问题？事实上，从上述基本性质可以发现，在研究不等式时，需要特别注意“符号问题”，即在作乘（除）法运算时，乘（除）数的符号会影响不等号的方向.【设计意图】通过对不等式的性质的认识，为后面的运用做好铺垫.•活动② 巩固理解，拓展延伸上述关于不等式的基本事实和基本性质是解决不等式问题的基本依据，研究不等式时，经常以它们作为出发点.例如，利用不等式的基本性质可以得到下列结论：(1) 如果 a b, c d ，那么 a c b d ; (2) 如果 a b 0,c d 0，那么 ac bd ；1 1(3)如果 ab 0,a b ，那么一一.a b对于上述(2),可由如下方法证明：ac bd (ac be) (be bd) c(a b) b(c d) 0，所以 ac bd .【设计意图】从给出的基本性质到延伸性质，加深对不等式的认识探究三不等式性质的应用 •活动① 利用性质证明不等式【知识点】不等式的基本性质ac bd ，所以 ac bd .【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】见解析【设计意图】通过对例题的讲解，使学生掌握利用不等式的性质证明不等式 •活动② 互动交流、判断正误例3若一一 0，以下结论中正确的有 ___________________a b①a b ab ；②|a| |b| ；③a b ；④ a 2 ab 0 【知识点】不等式的基本性质；特殊值法【数学思想】特殊与一般思想【解题过程】法1:由--0，得b a 0，所以a b 0 ab ，①正确，②③错误；a b【知识点】不等式的基本性质【解题过程】证明：因为a b 0,c d 0，所以a b 0,11d c【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】见解析同类训练求证：如果a b 0,c d0，那么 ac bd .【解题过程】证明：因为c d 0，所以cd 0，又因为a b 0，所以两式可相乘，得例2 已知a b 0,c da2ab a（a b） 0，④正确法2:取a 1,b 2，可算出各式的值，得出答案.【思路点拨】熟悉不等式的基本性质，掌握特殊值法•【答案】①④同类训练判断下列各命题的真假，并说明理由：（1）如果a b，那么ac be ；（2）如果a b，那么ac2 be2；（3）如果a b，那么a n b n（n N*） a n b n（n R）；（4）如果a b,e d，那么a e b d .【知识点】不等式的基本性质【解题过程】（1）是假命题，因为不知e的正负；（2）是假命题，因为当e 0时不成立；（3）是假命题，因为不知a,b的正负；（4）是真命题，因为a b, e d，由同向不等式的可加性知,a e b d .【思路点拨】熟悉不等式的基本性质【答案】见解析【设计意图】通过分析不等式的结论是否正确，掌握利用不等式的性质判断及特殊值判断•2. 课堂总结知识梳理（1） a b a b 0;a b a b 0; a b a b 0.（2）作差比较法的步骤：作差、变形、定号、结论.（3）不等式的基本性质.重难点归纳（1）应用不等式的基本性质推理判断命题的真假•（2）灵活应用不等式的基本性质.（三）课后作业基础型自主突破1. 设a,b R,贝U “ （a b）a2 0 ”是“ a b ”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【知识点】不等式的性质；充分必要条件【数学思想】分类讨论思想【解题过程】若(a b)a20，则a b ;若a b，则(a b)a2 0，所以“ (a b)a20”是“ a b 的充分而不必要条件.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】A2. 对于任意实数a,b,c,d，下列五个命题中：①若a b,c 0，则ac bc ；②若a b，则ac2 bc2；③若ac2 bc2，则a b ；④若a b,则 1 1；a b⑤若a b 0, c d，贝U ac bd .其中真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4【知识点】不等式的性质【解题过程】a b, c 0，当c 0时，ac bc不成立，①是假命题；a b，当c 0,c20时, ac2 bc2不成立，②是假命题；因为ac2 bc2，所以，c2 0，a b，③是真命题；a b,当a, b11 11同号时，''成立，而a,b异号时，''不成立，④是假命题；a b 0,c d时，ac bd不a b a b一定成立，只有当a b 0,c d 0时，ac bd成立，⑤是假命题.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】A3. 如果a b 0,那么()2 2 11A. a b 0B. ac bcC. a bD.--a b【知识点】不等式的性质【解题过程】利用不等式的性质：a b 0 1 10b a【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】D4. 不等式Igx 2 lg 2x 的解集是（） 1C.（100,1）U （100，）D.（0,1）U （100,）【知识点】不等式性质及对数运算•【解题过程】：由 Igx 2 lg 2 x 2lg x lg 2 x Ig x 2 或 Igx 0 x 100 或 0 x 1 【思路点拨】掌握不等式的基本性质及对数运算，注意真数大于 0.【答案】D5. 设a 1 b 1,则下列不等式中恒成立的是（） A. a b 2B.- -C.丄-D.a 2 2ba ba b【知识点】不等式的性质及应用【解题过程】由1 b 10 b 2 1,又a 1, a b 2.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】A6. 若a b 0，则下列不等式一定成立的是（）A 1 1 o 2A.B. a abbabC.a a b aD.|-| a |b| 1|a| 1【知识点】不等式的性质.【数学思想】特殊与一般思想【解题过程】当a 2 b 1时，a'b1a a1b a 1a b1，b 4选项A 、C 都不成立,又a b 0，a 2 ab ，选项B 不成立，又卓器魯 Mi 0，即【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】DA.（丄,1）B.（100,）100|b |器成立.能力型师生共研7. 已知命题p: x [1,2], x2a 0 ,命题q: x R, X 2ax 2 a 0 ,若命题p q是真命题，则实数a的取值范围是( )A. a 2或a 1B.a 2或1 a 2C.a 2D. 2 a 1【知识点】命题及不等式【数学思想】化归与转化思想【解题过程】命题p为真命题时，要使x [1,2], x2a 0，只需a (x2)min，因为x [1,2]，所以1 x24，所以(x2)min 1 ，所以a 1①；命题q为真命题时，x R, x22ax 2 a 0，即x2 2ax 2 a 0 有实数根，所以(2 a)24(2 a) 0，解得a 2或a 1②.因为p q是真命题，所以p,q均为真命题.①②取交集得a 2或a 1.【思路点拨】掌握分离参数法解含参问题【答案】A8. 已知a,b,c R，给出下列命题：①若a b，则ac2 be2;②若ab 0，则—b 2 ;③若a b 0,n N，则a n b n；b a④若log a b 0(a 0,a 1)，则a,b中至少有一个大于1其中真命题的个数为( )A.2B.3C.4D.1【知识点】不等式及不等关系，不等式的性质，对数的性质.【解题过程】当e 0时，ae2 be2 0,所以①为假命题；当a与b异号时，a 0，b 0，b a所以②为假命题；因为a b 0,n N ，所以a n b n，③为真命题.④若log a b 0(a 0,a 1)，则有可能a 1,0 b 1或b 1,0 a 1，即a,b中至少有一个大于1.是真命题.【思路点拨】掌握不等式的基本性质及对数的性质【答案】A探究型多维突破9. 集合S {x, y, zx、y、z N，且x y z、y z x、z x y 恰有一个成立}，若x,y,z S且乙w,x S,则下列选项正确的是( )A. y, z, w S, x, y, w SB. y,z,w S, x, y,w【知识点】不等关系• 【数学思想】分类讨论思想且z w x ，或z x y 且z w x ，这样可能有yw x y ，于是 x, y, w S 不一定成立， y, z,w 【思路点拨】分类讨论注意不重不漏【答案】B10. 已知a b 0，则下列不等式中总成立的是【解题过程】Q a b 0,；【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】A 自助餐11 .如果 a 、b 、c 满足 c b a ，且 ac【知识点】不等式的性质•【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】B12.已知a,b R 且a b ，则下列不等式中成立的是（）【解题过程】只有当a b 0时，选项A ，B 正确；要使ln a bC 错误；当 a b 时，a b 0, 2a b 20 1.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】DC. y, z, w S, x, y, w SD. y,z,w S, x, y,w【解题过程】从集合S 的定义，x,y,z S 可三个不等式,乙w,x S 也可得三个不等式，组合之后可知x, y, z, w 满足不等关系x yz 且x z w ，或x y z 且 w x y ，或 y z xS 也不一定成立.A1 . 1A. a — b —b a【知识点】不等式的性质 B. aC.baD.b0,那么下列选项不恒成立的是（A. ab ac2 2B.cb abC.c b a 0D. ac a c【解题过程】c a 且ac 0，故c 0,a 0，由不等式的性质知A ，C ， D 都恒成立.A. a 1b【知识点】不等式的性质.B.a 2 b 2C. l nab 0D. 2a b 10，必须a b 1，所以选项13. 设a, b, c R 且a b，贝U( )1 12 23 3A. ac beB. ——C.a2 b2D.a3 b3a b【知识点】不等式的性质.【解题过程】选项A中若e 0时,结果错，故A不正确;选项B中若0 a b时,结果错，故B不正确;选项C中若0 a b时,结果错，故C不正确;在选项D中由不等式性质可知是正确的.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】D14. 当0 x 1时，下列大小关系正确的是( )A. x33x log3xB.log3x x33xC.3x x3log3xD.log3x 3x x3【知识点】利用中间值法比较大小【解题过程】当0 x 1 时，log3x log31 0，0 x3 131，1 3°3x 31 3，所以3 xlog3 x x 3 .【思路点拨】利用中间值法比较大小时，注意找准“中值”【答案】B厂 1.4 315.设a 2 ,b 32,c ln|,则心的大小关系是( )A. a b cB. b c aC.c a bD. b a c【知识点】比较大小.【解题过程】a C，2)1.431，b 3" 1，c ln31，所以c 最小，而a221.4，b23327，所以a2 b2，即a b，所以综上得：e a b.【思路点拨】比较对数或指数大小时，可先确定其大致范围，然后再比较【答案】D16若2 a 4, 3 b 5,则3a b的取值范围为_______________________ ，旦上的取值范围为 _____________b【知识点】不等式的性质【解题过程】因为2 a 4,3 b 5，所以6 3a 12, 5 b 3，所以1 3a b 9 ；4 2a 8,1 1 1，所以1兰8，所以9兰1 11，即E空115 b 3 5 b 3 5b 3 5b 3【思路点拨】应用不等式的可加或可乘性求范围时，注意使用条件【答案】［1,9）；駅）。

人教B版高中数学选修4-5课件 1.1.1 不等式的基本性质课件 1

题型一用作差比较法比较大小
例 1 若 x∈R，试比较(x＋1)(x2＋x2＋1)与(x＋12)(x2＋x＋1)的
大小．
分析：根据这个式子的特点，先把代数式变形，再用作差法比较法比较大小．
栏目
解析：∵(x＋1)(x2＋x2＋1)
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＝(x＋1)(x2＋x＋1－x2)
＝(x＋1)(x2＋x＋1)－x2(x＋1)，
1.1.1 不等式的基本性质
1．回顾和复习不等式目
3．熟练应用不等式的基本性质进行变形与简单证明．
链
接
栏目链接
1．实数的运算性质与大小顺序的关系．
数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法和在数轴上的表示可知：
a＞b⇔a－__b_＞__0___； a＝b⇔a－__b_＝__0___； a＜b⇔a－__b_＜__0___.
即4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a ＋(n－m)b.
比较系数得24＝＝mm－＋nn，，解得nm＝＝13.，所以 f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．又因为－1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，所以－1≤f(－2)≤10.
变式训练
2．如果a，b，c均为正数且b<c，则ab与ac＋bc的
点评：比较大小的一般方法是作差比较法，先作差，再判断差与 0
的大小关系．若 a－b>0.则 a>b；若 a－b<0，则 a<b；若 a－b＝0，则 a
＝b.作差比较法的步骤是①作差；②变形；③定号；④下结论．
变式训练
1．比较x2－x与x－2的大小．解析：(x2－x)－(x－2)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，因为(x－1)2≥0，所以(x－1)2＋1>0，即(x2－x)－(x－2)>0. 所以x2－x>x－2.

人教课标版(B版)高中数学选修4-5第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法绝对值不等式的解法3

高中数学第1章不等式的基本性质和证明的基本方法1.2基本不等式课件新人教B版选修4_5

高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1_2 基本不等式课件 新人教B版选修4-5