新课标II 2014届高三名校数学(文)试题分省分项汇编专题10 立体几何学生版Word版无答案
2014年高考数学文科试题分类——立体几何解析
2014年高考数学文科试题分类——立体几何若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥∥则下列结论一定正确的是（ ）A ．14l l ⊥ B.14l l ∥ C.1l 与4l 既不垂直也不平行 D.1l 与4l 的位置关系不确定4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥6.设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（ ）A.若n m ⊥，α//n ，则α⊥mB.若β//m ，αβ⊥，则α⊥mC.若β⊥m ，β⊥n ，α⊥n ，则α⊥mD.若n m ⊥，β⊥n ，αβ⊥，则α⊥m【答案】C【解析】试题分析：对A ，若n m ⊥，α//n ，则α⊂m 或α//m 或α⊥m ，错误；对B ，若β//m ，αβ⊥，则α⊂m 或α//m 或α⊥m ，错误；对C ，若β⊥m ，β⊥n ，α⊥n ，则α⊥m ，正确；对D ，若n m ⊥，β⊥n ，αβ⊥，则α⊥m 或α⊂m 或α//m ，错误.故选C.点评：本题考查空间中的线线、线面、面面的闻之关系，容易题.10.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高位4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π5.将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得集合体的侧面积是（ ）A.4πB.8πC.2πD.π【答案】 C【解析】C r S r 选个圆：，则侧面积为，高为为旋转体为圆柱，半径.2ππ*22112==8.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ） A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且4921=S S ，则21V V 的值是 ▲ .以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于A ．π2B ．πC ．2D ．13. 某几何体的三视图（单位：cm ）若图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 372cmB. 390cmC. 3108cmD. 3138cm【答案】B【解析】试题分析：由三视图知，原几何体是由一个长方体与一个三棱柱组成， 其体积为)(90343216432cm V =⨯⨯⨯+⨯⨯=，故选B.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（A ）1727 （B ） 59 （C ）1027 (D) 13（7）正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 终点，则三棱锥111A A B C -的体积为（A ）3 （B ）32 （C ）1 （D）8．一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的体积为（ ）A ．233B ．476C ．6D ．7 4、某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ） （锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高） A 、3 B 、2 CD 、17. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 侧视图俯视图11222211A ．82π-B ．8π-C ．82π-D ．84π-7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.12B.18C.24D.30（2014•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为 _________ ．10.一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m .(13) 一个六棱锥的体积为其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 ．8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱7．在如图所示的空间直角坐标系O-xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2）， （2，2，0），（1，2，1），（2，2，2）. 给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和②20.（本小题满分12分，（1）问4分，（2）问8分）如题（20）图，四棱锥P ABCD -中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，2,3AB BAD π=∠=，M 为BC 上一点，且12BM =. （1）证明：BC ⊥平面POM ；（2）若MP AP ⊥，求四棱锥P ABMO -的体积.17、（本小题满分13分）如图，四棱锥的底面是平行四边形，，,分别是棱的中点. （1） 证明平面；（2） 若二面角P-AD-B 为， 图③ 图①图④ 图②第7题图① 证明：平面PBC ⊥平面ABCD② 求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.（18）（本小题满分12分）如图，四凌锥p —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA 上面ABCD ，E 为PD 的点。
专题10 立体几何-2014届高三名校数学(理)试题解析分项汇编
一．基础题组1. 【浙江省温州八校2014届高三10月期初联考数学(理)】已知n m ,为异面直线，⊥m 平面α，⊥n 平面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄，则（ ）A ．βα//，且α//lB ．βα⊥，且β⊥lC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l2. 【浙江省嘉兴一中2014届高三上学期入学摸底数学(理)】某三棱锥的三视图如所示，该三棱锥的体积为（ ）A ．20B ．340C ．56D ．60 【答案】B 【解析】试题分析：根据三视图可知该三棱锥为一个底面是直角三角形，高为4的棱锥，于是3404542131=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=V ，故选B. 考点：本小题主要考查三视图、体积计算3. 【浙江省嘉兴一中2014届高三上学期入学摸底数学(理)】设n m ,是空间两条直线，α,β是空间两个平面，则下列选项中不正确．．．的是（ ） A ．当α⊂m 时，“α//n ”是“n m //”的必要不充分条件 B ．当α⊂m 时，“β⊥m ”是“βα⊥”的充分不必要条件 C ．当α⊥n 时， “β⊥n ”是“α∥β”成立的充要条件 D ．当α⊂m 时，“α⊥n ”是“n m ⊥”的充分不必要条件4. 【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学理科】一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ） A ．23B ．250C ．433D ．5336.【湖北省武汉市2014届高三10月调研测试数学（理）】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A．64 B．72 C．80 D．1127.【中原名校联盟2013-2014学年高三上期第一次摸底考试理】已知四棱锥P－ABCD的三视图如下图所示，则四棱锥P－ABCD的四个侧面中的最大的面积是（）A．3 B．5C．6 D．810.【浙江省温州八校2014届高三10月期初联考数学(理)】某几何体的三视图如图所示, 则其体积为.【答案】3【解析】试题分析：根据三视图可知该几何体是圆锥的一半，发现底面圆的半径为1，高为2，所以体积32131212ππ=⋅⋅⋅⋅=V . 考点：三视图、圆锥体积公式.11. 【广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三10月三校联考(理）】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____.12. 【山西省山大附中2014届高三9月月考数学理】三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为___ ______.【答案】42【解析】试题分析：由主视图知CD ⊥平面ABC ，设AC 中点为E ，则BE AC ⊥，且AE CE 2==；二．能力题组1. 【中原名校联盟2013-2014学年高三上期第一次摸底考试理】正方形AP 1P 2P 3的边长为4，点B ，C 分别是边P 1P 2，P 2P 3的中点，沿AB ，BC ，CA 折成一个三棱锥P －ABC （使P 1，P 2，P 3重合于P ），则三棱锥P －ABC 的外接球表面积为 （ ）A ．24πB ．12πC ．8πD ．4π【结束】2. 【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学理科】正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为1，此时四面体ABCD 外接球表面积为____________ . 【答案】133π【解析】试题分析：根据题意可知，三棱锥B ACD -的三条侧棱BD AD DC DA ⊥⊥,，底面是正三考点：表面积计算三．拔高题组1. 【江西师大附中2014届高三年级10月测试试卷理】已知轴对称平面五边形ADCEF （如图1），BC 为对称轴，AD CD ⊥，1AD AB ==，3CD BC ==，将此图形沿BC 折叠成直二面角，连接AF 、DE 得到几何体（如图2）． （I ）证明：AF ∥平面DEC ； （II ）求二面角E AD B --的余弦值．由已知易得平面ABCD的一个法向量为1(1,0,0)n ，∴121cos ,7n n <>=，∴二面角E-AD-B 的余弦值为21． 考点：立体几何线面平行的证明、二面角的求解，考查学生的空间想象能力和空间向量的使用.2. 【湖北省武汉市2014届高三10月调研测试数学（理）】如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB ．（Ⅰ）证明：BC 1∥平面A 1CD ； （Ⅱ）求二面角D -A 1C -E 的正弦值．以C 为坐标原点，→CA 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz ．考点：线面平行关系，二面角，空间向量的求解.3. 如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠=，2===CA BC PB ，E 为PC 的中点，点F 在PA 上，且FA PF =2.(Ⅰ)求证：平面PAC ⊥平面BEF ；(Ⅱ)求平面ABC 与平面BEF 所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值.4. 【浙江省嘉兴一中2014届高三上学期入学摸底数学(理)】正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，CD AB CD AD //,⊥，221===CD AD AB ，点M 在线段EC 上且不与C E ,重合。
(辽宁版02期)高三数学 名校试题分省分项汇编专题10 立体几何(含解析)理 新人教B版
（辽宁版02期）2014届高三数学名校试题分省分项汇编专题10 立体几何（含解析）理新人教B版一．基础题组1.【辽宁省五校协作体2014届高三摸底考试数学（理）】一个正三棱柱的三视图如右图所示，其俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积是 cm3．2.【辽宁省抚顺市六校联合体2014届高三上学期期中考试理】一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为( )A.13B.3C.1D.33【答案】D【解析】试题分析：原几何体为直三棱锥，如图所示：二．能力题组1.【辽宁省五校协作体2014届高三摸底考试数学（理）】一个所有棱长均为1的正四棱锥的顶点与底面的四个顶点均在某个球的球面上，则此球的体积为（）A．68πB．23πC．2πD．23π【答案】D 【解析】三．拔高题组1.【辽宁省五校协作体2014届高三摸底考试数学（理）】如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，1==AC AB ，90=∠BAC ，异面直线B A 1与11C B 所成的角为 60.（Ⅰ）求证：B A AC 1⊥；（Ⅱ）设D 是1BB 的中点，求1DC 与平面11BC A 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）26.【解析】（Ⅱ）如图，2.【辽宁省抚顺市六校联合体2014届高三上学期期中考试理】(本小题共12分)如图，BCD △是等边三角形， AB AD =，90BAD ∠=︒，将BCD △沿BD 折叠到BC D '△的位置，使得AD C B '⊥．(1)求证：AD AC '⊥；(2)若M ，N 分别是BD ,C B '的中点，求二面角N AM B --的余弦值．题.令1x =，则1y z ==-，。
(新课标I 第03期)2014届高三数学 试题分省分项汇编 专题10 立体几何 文(含解析)
新课标I （第03期）-2014届高三名校数学（文）试题分省分项汇编专题10 立体几何（解析版）Word 版含解析一．基础题组1. 【某某省某某中学2014届高三上学期四调考试】如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列说法错误的是（ ）A ． MN 与CC 1垂直B ． MN 与AC 垂直 C ． MN 与BD 平行 D ． MN 与A 1B 1平行2. 【某某省某某市第四高级中学2014届高三综合测试一】一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．12πB ．43πC ．3πD ．123π宽、高补体成正方体，正方体与-P ABCD 是同一个外接球，2=3R l =3R 2234432S R πππ===.考点：1.几何体与球的组合体问题；2.球的相关问题求解.3. 【某某省某某市2014届高中毕业年级第一次质量预测试题】如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的体积为（ ）A ．33B ．93C ．63D ．1834. 【某某省某某市某某五中2014届高三12月月考】若某空间几何体的三视图如上图所示，则该几何体的体积是（）A.23B. 43C. 2D. 65. 【某某省某某市某某五中2014届高三12月月考】一个三棱锥P －ABC 的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且长度分别为1、6、3，则这个三棱锥的外接球的表面积为 （ ）A.π16B.π32C.π36D.π646. 【某某省某某中学2014届高三上学期四调考试】如图所示的几何体ABCDFE 中，△ABC ，△DFE 都是等边三角形，且所在平面平行，四边形BCED 是边长为2的正方形，且所在平面垂直于平面ABC ．（Ⅰ）求几何体ABCDFE 的体积；（Ⅱ）证明：平面ADE ∥平面BCF ；7. 【某某省某某市2014届高中毕业年级第一次质量预测试题】（本小题满分12分）在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为矩形，1AB =，12AA ，D 为1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，CO ⊥侧面11ABB A .（1）证明：1BC AB ⊥；（2）若OC OA =，求三棱锥1C ABC -的体积.8. 【某某省曲沃中学2014届高三上学期期中考试】如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱与底面垂直，AB BC ⊥，12AB BC BB ===，,M N 分别是1,AB A C 的中点（1）求证：MN ∥平面11BCC B ；（2）求证：MN ⊥平面11A B C ；（3）求三棱锥的体积11M A B C 的体积．9. 【某某市2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试】（本题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA PB AB BC ===，090PBC ∠=，D 为AC 的中点，AB PD ⊥.（1）求证：平面PAB ⊥平面ABC ；（2）如果三棱锥P BCD -的体积为3，求PA .333=解得3a =3PA =12分 考点：1.线面垂直的判定和性质；2.面面垂直的判定；3.锥体的体积公式.二．能力题组1. 【某某省某某中学2014届高三上学期四调考试】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）A.3160B. 160 C. 23264+ D.2888+2.【某某省某某市一中2014届高三12月月考试卷】长方体1111ABCD A B C D -的各个顶点都在表面积为16π的球O 的球面上，其中1::23AB AD AA =，则四棱锥O ABCD -的体积为( )63263 C.233 【答案】B【解析】试题分析：设2AB a =，AD a =，13AA a ，则22224322R l a a a a ==++=，则2R a =，24(2)16S a ππ=⨯=球，即2a =22AB =2AD =16AA =，∴1626(222)323O ABCD V -=⨯⨯⨯=. 考点：1.长方体外接球问题；2.锥体体积公式. 3. 【某某省某某市一中2014届高三12月月考试卷】右图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积等于( )A ．3465+B ．66543++C ．663413++D ．1765+4. 【某某省曲沃中学2014届高三上学期期中考试】空间几何体的三视图如所示,则该几何体的体积为 ( )A ．223π+B ．423π+C ．323π+D ．343π+5. 【某某省某某一中、康杰一中、某某一中、某某二中四校2014届高三第二次联考】如图是一几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )A.35+B. 325+C. 422+D. 423+考点：1.三视图；2.几何体的体积.6. 【某某市2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．816π+B ．816π-C ．88π+D ．168π-7. 【某某省某某市一中2014届高三12月月考试卷】（本题满分12分）右图为一组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，//EC PD ，且22PD AD EC ===（Ⅰ）求证：//BE 平面PDA ；（Ⅱ）求四棱锥B CEPD -的体积；（Ⅲ）求该组合体的表面积．∵11()32322PDCCE S PD EC DC =+⨯=⨯⨯=梯形， ∴四棱锥B CEPD -的体积1132233B CEPD PDCE V S BC -=⨯⨯=⨯⨯=梯形， （Ⅲ）∵5BE PE ==，23PB =，8. 三．拔高题组 1.【某某省某某市某某五中2014届高三12月月考】如图，将边长为5+2的正方形，剪去阴影部分后，得到圆锥的侧面和底面的展开图，则圆锥的体积是（ ）.A π3302B π362C π330 D π360 211230230333V R h πππ==⨯=. 考点：圆锥的体积公式.2. 【某某市2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试】如图，直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB AC =，侧面11BCC B 是半球底面圆的内接正方形，则侧面11ABB A 的面积为（ ）A ．2B ．1C ．2D ．223. 【某某省某某中学2014届高三上学期四调考试】如图，已知球O 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为.4. 【某某省某某市2014届高中毕业年级第一次质量预测试题】已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各项点都在同一球面上，若12AA =，2AB =，1AC =，060BAC ∠=，则此球的表面积等于.5. 【某某省某某一中、康杰一中、某某一中、某某二中四校2014届高三第二次联考】已知正四棱锥ABCD S -的所有棱长均为2，则过该棱锥的顶点S 及底面正方形各边中点的球的体积为.6. 【某某省某某一中、康杰一中、某某一中、某某二中四校2014届高三第二次联考】（本小题满分12分）已知梯形ABCD 中//AD BC ，2π=∠=∠BAD ABC ，42===AD BC AB ，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，//EF BC ，x AE =．沿EF 将梯形AEFD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF (如图)．G 是BC 的中点．（1）当2=x 时，求证：BD ⊥EG ；（2）当x 变化时，求三棱锥D BCF -体积的最大值．7.。
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一．基础题组1. 【张掖二中2013—2014学年度高三月考试卷(11月)高三数学（文科）】设,,αβγ是三个互不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（ ）A ．若,αββγ⊥⊥，则αγ⊥B ．若//αβ，m β⊄，//m α，则//m βC ．若αβ⊥，m α⊥，则//m βD ．若//m α，//n β，αβ⊥，则m n ⊥2. 【黑龙江省大庆实验中学2013--2014学年度上学期期中考试高三文科数学试题】已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α； ②若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊄α，则n ∥α； ③若α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n ；④若m ，n 是异面直线，m ⊂α，n ⊂β，m ∥β，则n ∥α. 其中正确的命题有( ) A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④3. 【黑龙江省大庆实验中学2013--2014学年度上学期期中考试高三文科数学试题】已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．143 B ．173C ．203D ．84. 【黑龙江省大庆实验中学2013--2014学年度上学期期中考试高三文科数学试题】用一个边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，半径为1的鸡蛋（视为球体）放入其中，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为5. 【黑龙江省佳木斯市第一中学2013—2014年度高三第三次调研试卷数学（文科）试卷】如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. 162π+B. 82π+C. 16π+D. 8π+6. 【黑龙江省佳木斯市第一中学2013—2014年度高三第三次调研试卷数学（文科）试卷】如图，E,F 分别是三棱锥P ABC -的棱AP BC 、的中点，1067PC AB EF ===，，,则异面直线AB 与PC 所成的角为( )A.30oB. 45oC. 60oD. 90o7. 【黑龙江省双鸭山一中2014届高三上学期期中考试数学（文）试题】如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为( )A ．15 B ．25 C ．35 D ．458. 【张掖二中2013—2014学年度高三月考试卷(11月)高三数学（文科）】有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为（ ）A.2324,12cm cm ππB. 2315,12cm cm ππ C. 2324,36cm cm ππD. 2312,12cm cm ππ9. 【黑龙江省佳木斯市第一中学2013—2014年度高三第三次调研试卷数学（文科）试卷】在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1A B 和平面11A B CD 所成角的余弦值大小为（ ）A B C D10. 【黑龙江省双鸭山一中2014届高三上学期期中考试数学（文）试题】已知直角梯形的上底和下底长分别为1和2，较短腰长为1，若以较长的底为旋转轴将该梯形旋转一周，则该旋转体的体积为( ) A ．π4 B ．π3 C ．34π D ．32π11. 【黑龙江省双鸭山一中2014届高三上学期期中考试数学（文）试题】已知直线,l m ，平面,αβ，且l α⊥，m β⊂，给出下列四个命题：①若α∥β，则l m ⊥； ②若l m ⊥，则α∥β； ③若αβ⊥，则l ∥m ； ④若l ∥m ，则αβ⊥． 其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．412. 【黑龙江省佳木斯市第一中学2013—2014年度高三第三次调研试卷数学（文科）试卷】四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其他四个侧面是侧棱长为3的等腰三角形，则二面角V AB C --的余弦值的大小为( ) A ．23B ．24C ．73D ．22313.【银川九中2014届第一学期第四次月考（文科试卷）】某几何体的三视图如图1所示,它的体积为（ ） A ．72πB ．48πC ．30πD ． 24π14.【云南省昆明市2014届高三上学期第一次摸底调研测试（文科试卷）】已知,l m 是两条不同的直线，a 是个平面，则下列命题正确的是（ ） （A ）若//,//l a m a ，则//l m (B) 若,//l m m a ⊥，则l a ⊥ (C) 若,l m m a ⊥⊥，则//l a (D) 若//,l a m a ⊥，则l m ⊥15．【云南省昆明市2014届高三上学期第一次摸底调研测试（文科试卷）】一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形，且该几何体的四个点在空间直角坐标系O xyz -中构坐标分别是(0，0，0)，(2，0，0)，(2，2，0)，(0，2，0)，则第五个顶点的坐标可能为（）（A）（1，1，1）（B）(1,12)(C) 3)(D) 3)16.【云南省昆明市2014届高三上学期第一次摸底调研测试（文科试卷）】一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的表面积与球O的表面积的比值为_____________.二．能力题组1.【张掖二中2013—2014学年度高三月考试卷(11月)高三数学（文科）】（本小题满分12分）-中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底在四棱锥V ABCD面ABCD．VA平面PBD；（Ⅰ）如果P为线段VC的中点,求证：//-的体积（Ⅱ）如果正方形ABCD的边长为2, 求三棱锥A VBD2. 【黑龙江省大庆实验中学2013--2014学年度上学期期中考试高三文科数学试题】（本小题满分12分）如图,直四棱柱ABCD – A 1B 1C 1D 1中,AB //CD ,AD ⊥AB ,AB =2,AD =错误!未找到引用源。
2014-2019年高考数学真题分类汇编专题10：立体几何1(体积与表面积)带详细答案
2014-2019年高考数学真题分类汇编专题10：立体几何（体积与表面积）选择题1．（2014•新课标Ⅱ文）正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为( )A ．3B ．32C ．1D 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由题意求出底面11B DC 的面积，求出A 到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．【解答】解：正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 中点，∴底面11B DC 的面积：122⨯A三棱锥11A B DC -的体积为：113．故选：C ．【点评】本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键．2．（2014•福建文）以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( ) A ．2πB ．πC ．2D ．1【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积． 【解答】解：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱， 则所得几何体的侧面积为：1212ππ⨯⨯=， 故选：A ．【点评】本题是基础题，考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力．3．（2014•湖北文）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为() A ．227B ．258C ．15750D ．355113【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】根据近似公式2275V L h ≈，建立方程，即可求得结论． 【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，则2L r π=，∴2212(2)375r h r h ππ=， 258π∴=． 故选：B ．【点评】本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．4．（2014•陕西文）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是() A ．4πB ．3πC ．2πD ．π【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积． 【解答】解：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱， 则所得几何体的侧面积为：1212ππ⨯⨯=， 故选：C ．【点评】本题是基础题，考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力．5．（2015•新课标Ⅰ文理）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可． 【解答】解：设圆锥的底面半径为r ，则82r π=，解得16r π=，故米堆的体积为21116320()5439ππ⨯⨯⨯⨯≈，1斛米的体积约为1.62立方，∴3201.62229÷≈， 故选：B ．【点评】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础．6．（2015•山东文）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A B C ． D ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可． 【解答】解：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体． 2112233V S h R h π=⨯=⨯2123π=⨯⨯． 故选：B ．【点评】本题考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力．是基础题． 7．（2015•山东理）在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，//AD BC ，222BC AD AB ===，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A ．23πB ．43π C ．53π D ．2π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥，几何体的体积为：2215121133πππ-⨯⨯=．故选：C ．【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．画出几何体的直观图是解题的关键．8．（2018•新课标Ⅰ文）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A ．B ．12πC ．D ．10π【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】利用圆柱的截面是面积为8的正方形，求出圆柱的底面直径与高，然后求解圆柱的表面积． 【解答】解：设圆柱的底面直径为2R ，则高为2R ， 圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，可得：248R =，解得R ，则该圆柱的表面积为：2(2)212ππ⨯+⨯． 故选：B ．【点评】本题考查圆柱的表面积的求法，考查圆柱的结构特征，截面的性质，是基本知识的考查．填空题1．（2014•福建理）要制作一个容器为34m ，高为1m 的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 160 （单位：元） 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】此题首先需要由实际问题向数学问题转化，设池底长和宽分别为a ，b ，成本为y ，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求． 【解答】解：设池底长和宽分别为a ，b ，成本为y ， 则长方形容器的容器为34m ，高为1m ，故底面面积4S ab ==，2010[2()]20()80y S a b a b =++=++，4a b +=…，故当2a b ==时，y 取最小值160， 即该容器的最低总造价是160元， 故答案为：160【点评】本题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题．2．（2014•江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为1S ，2S ，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且1294S S =，则12V V 的值是32． 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比． 【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R ，r ；高分别为H ，h ； 1294S S =， ∴32R r =，它们的侧面积相等，212RH rhππ= ∴23H h =， ∴22122323()232V R H V r h ππ===． 故答案为：32． 【点评】本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目．3．（2014•山东文）一个六棱锥的体积为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 12 ． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】判断棱锥是正六棱锥，利用体积求出棱锥的高，然后求出斜高，即可求解侧面积．【解答】解：一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，∴棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h ，则2162233h ⨯=，1h ∴=，2=， 该六棱锥的侧面积为：1622122⨯⨯⨯=．故答案为：12．【点评】本题考查了棱锥的体积，侧面积的求法，解答的关键是能够正确利用体积与表面积公式解题． 4．（2014•山东理）三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V =14． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】画出图形，通过底面面积的比求解棱锥的体积的比．【解答】解：如图，三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点， 三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，A ∴到底面PBC 的距离不变，底面BDE 底面积是PBC 面积的14BDE PBC S S ∆∆=， ∴12113143BDE PBC SV V S ∆∆==． 故答案为：14．【点评】本题考查三棱锥的体积，着重考查了棱锥的底面面积与体积的关系，属于基础题．5．（2015•上海文理）若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为，则a = 4 ． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由题意可得1(sin 60)1632a a a ︒=a 的值．【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a 的等边三角形，面积为1sin 602a a ︒，正棱柱的高为a ，1(sin 60)1632a a a ∴︒=4a ∴=， 故答案为：4．【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．6．（2015•上海理）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 3π． 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ，由已知中圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，可得2l h =，进而可得其母线与轴的夹角的余弦值，进而得到答案． 【解答】解：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ， 则圆锥的侧面积为：rl π，过轴的截面面积为：rh ， 圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π， 2l h ∴=，设母线与轴的夹角为θ， 则1cos 2h l θ==， 故3πθ=，故答案为：3π． 【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的母线与轴的夹角的余弦值，是解答的关键． 7．（2015•四川文）在三棱住111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M ，N ，P 分别是AB ，BC ，11B C 的中点，则三棱锥1P A MN -的体积是124． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】判断三视图对应的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据，求解三棱锥P AMN -的体积即可．【解答】解：由三视图可知，可知几何体的图形如图：几何体是底面为等腰直角三角形直角边长为1，高为1的直三棱柱，底面积为12，所求三棱锥的高为1NP =，三棱锥底面积是三棱柱底面三角形的14， 所求三棱锥1P A MN -的体积是：111111134224⨯⨯⨯⨯⨯=．故答案为：124．【点评】本题考查三视图与直观图的关系，组作出几何体的直观图是解题的关键之一，考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．8．（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r ，求出体积，由前后体积相等列式求得r ．【解答】解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：11962544833πππ⨯⨯+⨯=．设新圆锥和圆柱的底面半径为r ，则新圆锥和圆柱的体积和为：2221284833r r r πππ⨯+=．∴22819633r ππ=，解得：r【点评】本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．9．（2016•浙江理）如图，在ABC ∆中，2AB BC ==，120ABC ∠=︒．若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD DA =，PB BA =，则四面体PBCD 的体积的最大值是12．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由题意，ABD PBD ∆≅∆，可以理解为PBD ∆是由ABD ∆绕着BD 旋转得到的，对于每段固定的AD ，底面积BCD 为定值，要使得体积最大，PBD ∆必定垂直于平面ABC ，此时高最大，体积也最大． 【解答】解：如图，M 是AC 的中点．①当AD t AM =<时，如图，此时高为P 到BD 的距离，也就是A 到BD 的距离，即图中AE ，DM t ，由ADE BDM ∆∆∽，可得1h=，h ∴=，2221113(3)(23)1326(3)1(3)t V t t t --=-=-+-+t ∈②当AD t AM =>P 到BD 的距离，也就是A 到BD 的距离，即图中AH ，DM t =1122AD BM BD AH =，∴111(22t t =h ∴=2221113(3)(23)1326(3)1(3)t V t t t --∴=-=-+-+t ∈综上所述，213(36(3)V t --=-，(0t ∈，令[1m =，2)，则2146m V m -=，1m ∴=时，12max V =．另解：由于PD DA =，PB BA =，则对于每一个确定的AD ，都有PDB ∆绕DB 在空间中旋转，则PD AC ⊥时体积最大，则只需考察所有PD AC ⊥时的最大，设PD DA h ==，则()111302332V S h h sin h ==⋅︒⋅⋅底，二次函数求最值可知h =12． 故答案为：12． 【点评】本题考查体积最大值的计算，考查学生转化问题的能力，考查分类讨论的数学思想，对思维能力和解题技巧有一定要求，难度大．10．（2017•新课标Ⅰ理）如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，DBC ∆，ECA ∆，FAB ∆分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起DBC ∆，ECA ∆，FAB ∆，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥．当ABC ∆的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：3)cm 的最大值为 3 ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】法一：由题，连接OD ，交BC 于点G ，由题意得OD BC ⊥，OG =，设O G x =，则BC =，5DG x =-，三棱锥的高h =，求出2ABC S ∆=，451325103ABC V S h x ∆=⨯-，令45()2510f x x x =-，5(0,)2x ∈，34()10050f x x x '=-，()f x f …（2）80=，由此能求出体积最大值．法二：设正三角形的边长为x ，则1336O G x =，5FG SG ==，SO h ==【解答】解法一：由题意，连接OD ，交BC 于点G ，由题意得OD BC ⊥，OG =， 即OG 的长度与BC 的长度成正比，设OG x =，则BC =，5DG x =-，三棱锥的高h =，221)2ABC S ∆==，则2451325103ABC V S h x ∆=⨯-令45()2510f x x x =-，5(0,)2x ∈，34()10050f x x x '=-，令()0f x '…，即4320x x -…，解得2x …， 则()f x f …（2）80=，3V ∴…，∴体积最大值为3．故答案为：3．解法二：如图，设正三角形的边长为x ，则13OG x =，5FG SG x ∴==，SO h === ∴三棱锥的体积13ABC V S h ∆=13==，令45()5b x x =，则34()20b x x x '=，令()0b x '=，则4340x =，解得x =，∴348)max V cm =．故答案为：3．【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．11．（2017•江苏）如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值是 32．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积 【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果． 【解答】解：设球的半径为R ，则球的体积为：343R π，圆柱的体积为：2322R R R ππ=． 则313223423V R R V ππ==． 故答案为：32． 【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．（2018•天津文11）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则四棱锥111A BB D D -的体积为 ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】求出四棱锥的底面面积与高，然后求解四棱锥的体积．【解答】解：由题意可知四棱锥111A BB D D -的底面是矩形，边长：1，四棱锥的高：1112AC则四棱锥111A BB D D -的体积为：11133⨯=．故答案为：13．【点评】本题考查几何体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．13．（2018•天津理11）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M （如图），则四棱锥M EFGH -的体积为112．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】求出四棱锥中的底面的面积，求出棱锥的高，然后利用体积公式求解即可．【解答】解：正方体的棱长为1，M EFGH -， 四棱锥是正四棱锥，棱锥的高为12，四棱锥M EFGH -的体积：2111(32212⨯⨯=．故答案为：112．【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14．（2018•江苏10）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】求出多面体中的四边形的面积，然后利用体积公式求解即可．【解答】解：正方体的棱长为2， 八面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为1，多面体的中心为顶点的多面体的体积为：142133⨯=．故答案为：43．【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．15．（2019江苏9）如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E BCD -的体积是 ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】推导出11111120ABCD A B C D V AB BC DD -=⨯⨯=，三棱锥E BCD -的体积：1111133212E BCD BCD V S CE BC DC CE AB BC DD -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，由此能求出结果．【解答】解：长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，∴11111120ABCD A B C D V AB BC DD -=⨯⨯=， ∴三棱锥E BCD -的体积：13E BCD BCD V S CE -∆=⨯⨯1132BC DC CE =⨯⨯⨯⨯ 1112AB BC DD =⨯⨯⨯ 10=．故答案为：10．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．16．（2019•新课标Ⅲ文理16）学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型，如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -，挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H ，分别为所在棱的中点，6AB BC cm ==，14AA cm =，3D 打印所用原料密度为30.9/g cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 g ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】该模型体积为1111311664(46432)3132()32ABCD A B C D O EFGH V V cm ---=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，再由3D 打印所用原料密度为30.9/g cm ，不考虑打印损耗，能求出制作该模型所需原料的质量．【解答】解：该模型为长方体1111ABCD A B C D -，挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H ，分别为所在棱的中点，6AB BC cm ==，14AA cm =，∴该模型体积为：1111ABCD A B C D O EFGH V V ---11664(46432)332=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯⨯314412132()cm =-=，3D 打印所用原料密度为30.9/g cm ，不考虑打印损耗，∴制作该模型所需原料的质量为：1320.9118.8()g ⨯=．故答案为：118.8．【点评】本题考查制作该模型所需原料的质量的求法，考查长方体、四棱锥的体积等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查数形结合思想，属于中档题．17．（2019•天津文理12．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 ．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】求出正四棱锥的底面对角线长度和正四棱锥的高度，根据题意得圆柱上底面的直径就在相对中点连线，有线段成比例求圆柱的直径和高，求出答案即可．【解答】解：由题作图可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分， 由勾股定理得：正四棱锥的高为2，由于圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，有圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1，即半径等于12； 由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半1， 则该圆柱的体积为：21()124v sh ππ==⨯=；故答案为：4π 【点评】本题考查正四棱锥与圆柱内接的情况，考查立体几何的体积公式，属基础题．解答题1．（2014•上海理）底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是三角形123P P P ，如图，求△123P P P 的各边长及此三棱锥的体积V ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】利用侧面展开图三点共线，判断△123P P P 是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积．【解答】解：根据题意可得：1P ，B ，2P 共线，112ABP BAP CBP ∠=∠=∠，60ABC ∠=︒， 11260ABP BAP CBP ∴∠=∠=∠=︒， 160P ∴∠=︒，同理2360P P ∠=∠=︒，∴△123P P P 是等边三角形，P ABC -是正四面体， ∴△123P P P 的边长为4，3P ABC V AB -==【点评】本题考查空间想象能力以及逻辑推理能力，几何体的侧面展开图和体积的求法．2．（2016•江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -（如图所示），并要求正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍． （1）若6AB m =，12PO m =，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ，则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？【考点】组合几何体的面积、体积问题；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（1）由正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍，可得12PO m =时，18O O m =，进而可得仓库的容积；（2）设1PO xm =，则14O O xm =，11A O =，21136A B x m =-，代入体积公式，求出容积的表达式，利用导数法，可得最大值． 【解答】解：（1）12PO m =，正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍．18O O m ∴=，答：仓库的容积223162683123V m =⨯⨯+⨯=，（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ， 设1PO xm =，则14O O xm =，11A O =，211236A B x m =-，则仓库的容积22223126236)(236)431233V x x x x x x =⨯-+-=-+，(06)x <<， 226312V x ∴'=-+，(06)x <<，当0x <<0V '>，()V x 单调递增；当6x <<时，0V '<，()V x 单调递减；故当x=()V x取最大值；答：当PO=时，仓库的容积最大．1【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度中档．。
专题10 立体几何-2014届高三名校数学(理)试题解析分项汇编(第02期) Word版含解析
一．基础题组1. 【浙江省温州八校2014届高三10月期初联考数学(理)】已知n m ,为异面直线，⊥m 平面α，⊥n 平面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄，则（ ） A ．βα//，且α//lB ．βα⊥，且β⊥lC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l2. 【浙江省嘉兴一中2014届高三上学期入学摸底数学(理)】某三棱锥的三视图如所示，该三棱锥的体积为（ ）A ．20B ．340C ．56D ．60 【答案】B 【解析】试题分析：根据三视图可知该三棱锥为一个底面是直角三角形，高为4的棱锥，于是3404542131=⋅⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅=V ，故选B. 考点：本小题主要考查三视图、体积计算3. 【浙江省嘉兴一中2014届高三上学期入学摸底数学(理)】设n m ,是空间两条直线，α,β是空间两个平面，则下列选项中不正确．．．的是（ ） A ．当α⊂m 时，“α//n ”是“n m //”的必要不充分条件 B ．当α⊂m 时，“β⊥m ”是“βα⊥”的充分不必要条件 C ．当α⊥n 时， “β⊥n ”是“α∥β”成立的充要条件 D ．当α⊂m 时，“α⊥n ”是“n m ⊥”的充分不必要条件4. 【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学理科】一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．0C D6.【湖北省武汉市2014届高三10月调研测试数学（理）】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A．64 B．72 C．80 D．1127.【中原名校联盟2013-2014学年高三上期第一次摸底考试理】已知四棱锥P－ABCD的三视图如下图所示，则四棱锥P－ABCD的四个侧面中的最大的面积是（）A．3 B．．6 D．810.【浙江省温州八校2014届高三10月期初联考数学(理)】某几何体的三视图如图所示, 则其体积为.【答案】3【解析】试题分析：根据三视图可知该几何体是圆锥的一半，发现底面圆的半径为1，高为2，所以体积32131212ππ=⋅⋅⋅⋅=V . 考点：三视图、圆锥体积公式.11. 【广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三10月三校联考(理）】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____.12. 【山西省山大附中2014届高三9月月考数学理】三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为___ ______.【答案】【解析】试题分析：由主视图知CD ⊥平面ABC ，设AC 中点为E ，则BE AC ⊥，且AE CE 2==；二．能力题组1. 【中原名校联盟2013-2014学年高三上期第一次摸底考试理】正方形AP 1P 2P 3的边长为4，点B ，C 分别是边P 1P 2，P 2P 3的中点，沿AB ，BC ，CA 折成一个三棱锥P －ABC （使P 1，P 2，P 3重合于P ），则三棱锥P －ABC 的外接球表面积为 （ ）A ．24πB ．12πC ．8πD ．4π【结束】2. 【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学理科】正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为1，此时四面体ABCD 外接球表面积为____________ . 【答案】133π【解析】试题分析：根据题意可知，三棱锥B ACD -的三条侧棱BD ADDC DA ⊥⊥,，底面是正三考点：表面积计算三．拔高题组1. 【江西师大附中2014届高三年级10月测试试卷理】已知轴对称平面五边形ADCEF （如图1），BC 为对称轴，AD CD ⊥，1AD AB ==，CD BC ==BC 折叠成直二面角，连接AF 、DE 得到几何体（如图2）． （I ）证明：AF ∥平面DEC ； （II ）求二面角E AD B --的余弦值．由已知易得平面ABCD 的一个法向量为1(1,0,0)n，∴1cos ,7n n <>=，∴二面角E-AD-B 的余弦值为7． 考点：立体几何线面平行的证明、二面角的求解，考查学生的空间想象能力和空间向量的使用.2. 【湖北省武汉市2014届高三10月调研测试数学（理）】如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB ．（Ⅰ）证明：BC 1∥平面A 1CD ； （Ⅱ）求二面角D -A 1C -E 的正弦值．以C 为坐标原点，→CA 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz ．考点：线面平行关系，二面角，空间向量的求解.3. 如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠= ，2===CA BC PB ，E 为PC 的中点，点F 在PA 上，且FA PF =2.(Ⅰ)求证：平面PAC ⊥平面BEF ；(Ⅱ)求平面ABC 与平面BEF 所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值.4. 【浙江省嘉兴一中2014届高三上学期入学摸底数学(理)】正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，CD AB CD AD //,⊥，221===CD AD AB ，点M 在线段EC 上且不与C E ,重合。
2014年普通高等学校招生全国统一考试分类汇编12—立体几何(文科)
2014年普通高等学校招生全国统一考试分类汇编（12）立体几何2014年高考数学试题汇编 立体几何一．选择题1. （2014福建）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）.A 圆柱 .B 圆锥 .C 四面体 .D 三棱柱A2. (2014新课标I)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A. B. C .6 D .4【答案】：C【解析】：如图所示，原几何体为三棱锥D ABC -，其中4,AB BC AC DB DC =====6DA ==，故最长的棱的长度为6DA =，选C3. (2014新课标II)如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A. 1727 B. 59 C. 1027 D. 13【答案】 C..2710π54π34-π54π.342π944.2342π.546π96321C v v 故选积之比削掉部分的体积与原体体积，高为径为，右半部为大圆柱，半，高为小圆柱，半径加工后的零件，左半部体积，，高加工前的零件半径为==∴=•+•=∴=•=∴π 4（2014浙江）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是A. 902cmB. 1292cmC. 1322cmD. 1382cmD5. (2014江西)一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）【答案】B【解析】俯视图为在底面上的投影，易知选：B6(2014重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.54B.60C.66D.72 【答案】B 【解析】BS S S S S S 选，，，何体表的面积的上部棱锥后余下的几；截掉高为，高原三棱柱：底面三角形侧上下侧上下∴60s 2273392318152156344*3=++=+=•++===7. （2014辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．82π-B ．8π-C ．82π-D ．84π-【答案】B 【解析】..π-82)21*π-2*2(2B sh V 选几何体为直棱柱，体积===8(2014湖南)一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ） A.1 B.2 C.3 D.49(2014安徽)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（A ）321+ （B ）318+ （C ）21 （D ）18 7 A10. (2014湖北)在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和②点评：本题考查空间由已知条件 ，在空间坐标系中作出几何体的形状，再正视图与俯视图，容易题。
2014-2019年高考数学真题分类汇编专题10：立体几何3(空间线面关系)带详细答案
2014-2019年高考数学真题分类汇编专题10：立体几何（空间线面关系）（一）空间线面的平行与垂直选择题1．（2014•广东文）若空间中四条两两不同的直线1l ，2l ，3l ，4l ，满足12l l ⊥，23//l l ，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是( ) A ．14l l ⊥B ．14//l lC ．1l 与4l 既不垂直也不平行D ．1l 与4l 的位置关系不确定【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】根据空间直线平行或垂直的性质即可得到结论．【解答】解：在正方体中，若AB 所在的直线为2l ，CD 所在的直线为3l ，AE 所在的直线为1l ， 若GD 所在的直线为4l ，此时14//l l ， 若BD 所在的直线为4l ，此时14l l ⊥， 故1l 与4l 的位置关系不确定， 故选：D ．【点评】本题主要考查空间直线平行或垂直的位置关系的判断，比较基础．2．（2014•广东理）若空间中四条两两不同的直线1l ，2l ，3l ，4l ，满足12l l ⊥，23l l ⊥，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是( ) A ．14l l ⊥B ．14//l lC ．1l 与4l 既不垂直也不平行D ．1l 与4l 的位置关系不确定【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】根据在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面可得，1l ∴与4l 的位置关系不确定．【解答】解：12l l ⊥，23l l ⊥，1l ∴与3l 的位置关系不确定， 又43l l ⊥，1l ∴与4l 的位置关系不确定． 故A 、B 、C 错误． 故选：D ．【点评】本题考查了空间直线的垂直关系的判定，考查了学生的空间想象能力，在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面．3．（2014•辽宁文理）已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( ) A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】A ．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B ．运用线面垂直的性质，即可判断；C ．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D ．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．【解答】解：A ．若//m α，//n α，则m ，n 相交或平行或异面，故A 错；B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥，故B 正确；C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n α⊂，故C 错；D ．若//m α，m n ⊥，则//n α或n α⊂或n α⊥，故D 错．故选：B ．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．4．（2014•浙江文）设m 、n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则( ) A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥ B ．若//m β，βα⊥，则m α⊥ C ．若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥ D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】根据空间线线，线面，面面之间的位置关系分别进行判定即可得到结论． 【解答】解：A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥或m α⊂或//m α，故A 错误．B ．若//m β，βα⊥，则m α⊥或m α⊂或//m α，故B 错误．C ．若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥，正确．D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥或m α⊂或//m α，故D 错误．故选：C ．【点评】本题主要考查空间直线，平面之间的位置关系的判定，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理． 5．（2015•北京理）设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂，“//m β “是“//αβ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件；面面平行的判定定理【分析】//m β并得不到//αβ，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而//αβ，并且m α⊂，显然能得到//m β，这样即可找出正确选项．【解答】解：m α⊂，//m β得不到//αβ，因为α，β可能相交，只要m 和α，β的交线平行即可得到//m β；//αβ，m α⊂，m ∴和β没有公共点，//m β∴，即//αβ能得到//m β；∴ “//m β”是“//αβ”的必要不充分条件．故选：B ．【点评】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念．6．（2015•福建理）若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件；直线与平面平行与垂直关系 【分析】利用直线与平面平行与垂直关系，判断两个命题的充要条件关系即可．【解答】解：l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”可能“//l α”也可能l α⊂， 反之，“//l α”一定有“l m ⊥”，所以l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的必要而不充分条件． 故选：B ．【点评】本题考查空间直线与平面垂直与平行关系的应用，充要条件的判断，基本知识的考查． 7．（2015•广东理）若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( ) A ．至多等于3B ．至多等于4C ．等于5D ．大于5【考点】棱锥的结构特征【分析】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断．【解答】解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4个点两两距离相等，三个点在圆上，一个点是圆心，圆上的点到圆心的距离都相等，则不成立；n 大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若4n >，由于任三点不共线，当5n =时，考虑四个点构成的正四面体， 第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心， 且球的半径不等于边长，即有球心与正四面体的底面的中心重合， 但显然球的半径不等于棱长，故不成立； 同理5n >，不成立． 故选：B ．【点评】本题考查空间几何体的特征，主要考查空间两点的距离相等的情况，注意结合外接球和三角形的两边与第三边的关系，属于中档题和易错题．8．（2015•广东文）若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( ) A ．l 与1l ，2l 都不相交 B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】可以画出图形来说明l 与1l ，2l 的位置关系，从而可判断出A ，B ，C 是错误的，而对于D ，可假设不正确，这样l 便和1l ，2l 都不相交，这样可推出和1l ，2l 异面矛盾，这样便说明D 正确． 【解答】解：A ．l 与1l ，2l 可以相交，如图：∴该选项错误；B ．l 可以和1l ，2l 中的一个平行，如上图，∴该选项错误；C ．l 可以和1l ，2l 都相交，如下图：，∴该选项错误；D ．“l 至少与1l ，2l 中的一条相交”正确，假如l 和1l ，2l 都不相交； l 和1l ，2l 都共面； l ∴和1l ，2l 都平行；12//l l ∴，1l 和2l 共面，这样便不符合已知的1l 和2l 异面；∴该选项正确．故选：D ．【点评】考查异面直线的概念，在直接说明一个命题正确困难的时候，可说明它的反面不正确． 9．（2015•湖北文）1l ，2l 表示空间中的两条直线，若1:p l ，2l 是异面直线，1:q l ，2l 不相交，则( ) A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【考点】空间直线的位置关系【分析】根据充分条件和必要条件的定义结婚空间直线的位置关系，进行判断即可． 【解答】解：若1l ，2l 是异面直线，则1l ，2l 不相交，即充分性成立， 若1l ，2l 不相交，则1l ，2l 可能是平行或异面直线，即必要性不成立， 故p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件， 故选：A ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间直线的位置关系是解决本题的关键． 10．（2015•浙江文）设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，( ) A ．若l β⊥，则αβ⊥ B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若//l β，则//αβD ．若//αβ，则//l m【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】A 根据线面垂直的判定定理得出A 正确；B 根据面面垂直的性质判断B 错误；C 根据面面平行的判断定理得出C 错误；D 根据面面平行的性质判断D 错误．【解答】解：对于A ，l β⊥，且l α⊂，根据线面垂直的判定定理，得αβ⊥，A ∴正确； 对于B ，当αβ⊥，l α⊂，m β⊂时，l 与m 可能平行，也可能垂直，B ∴错误； 对于C ，当//l β，且l α⊂时，α与β可能平行，也可能相交，C ∴错误； 对于D ，当//αβ，且l α⊂，m β⊂时，l 与m 可能平行，也可能异面，D ∴错误． 故选：A ．【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了数学符号语言的应用问题，是基础题目．11．（2015•安徽理）已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( ) A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行 C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【分析】利用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答．【解答】解：对于A ，若α，β垂直于同一平面，则α与β不一定平行，例如墙角的三个平面；故A 错误；对于B ，若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行．相交或者异面；故B 错误； 对于C ，若α，β不平行，则在α内存在无数条与β平行的直线；故C 错误；对于D ，若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故D 正确； 故选：D ．【点评】本题考查了空间线面关系的判断；用到了面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理．12．（2016•浙江文理）已知互相垂直的平面α，β交于直线l ，若直线m ，n 满足//m α，n β⊥，则() A ．//m lB ．//m nC ．n l ⊥D ．m n ⊥【考点】直线与平面垂直【分析】由已知条件推导出l β⊂，再由n β⊥，推导出n l ⊥．【解答】解：互相垂直的平面α，β交于直线l ，直线m ，n 满足//m α， //m β∴或m β⊂或m 与β相交，l β⊂， n β⊥， n l ∴⊥．故选：C ．【点评】本题考查两直线关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 13．（2016•上海文）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为BC 、1BB 的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是( )A ．直线1AAB ．直线11A BC ．直线11A DD ．直线11B C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】根据异面直线的定义便可判断选项A ，B ，C 的直线都和直线EF 异面，而由图形即可看出直线11B C 和直线相交，从而便可得出正确选项．【解答】解：根据异面直线的概念可看出直线1AA ，11A B ，11A D 都和直线EF 为异面直线； 11B C 和EF 在同一平面内，且这两直线不平行；∴直线11B C 和直线EF 相交，即选项D 正确．故选：D ．【点评】考查异面直线的概念及判断，平行直线和相交直线的概念及判断，并熟悉正方体的图形形状． 14．（2016•山东文理）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件; 空间位置关系【分析】直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交” ⇒ “平面α和平面β相交”，反之不成立．【解答】解：直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交” ⇒ “平面α和平面β相交”， 反之不成立．∴ “直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选：A ．【点评】本题考查了空间位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．15．（2017•新课标Ⅰ文）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )A ．B ．C ．D ．【考点】直线与平面平行【分析】利用线面平行判定定理可知B 、C 、D 均不满足题意，从而可得答案． 【解答】解：对于选项B ，由于//AB MQ ，结合线面平行判定定理可知B 不满足题意； 对于选项C ，由于//AB MQ ，结合线面平行判定定理可知C 不满足题意； 对于选项D ，由于//AB NQ ，结合线面平行判定定理可知D 不满足题意； 所以选项A 满足题意， 故选：A ．【点评】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．16．（2017•新课标Ⅲ文）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则( ) A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】法一：连1B C ，推导出11BC B C ⊥，111A B BC ⊥，从而1BC ⊥平面11A ECB ，由此得到11A E BC ⊥． 法二：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果． 【解答】解：法一：连1B C ，由题意得11BC B C ⊥， 11A B ⊥平面11B BCC ，且1BC ⊂平面11B BCC ，111A B BC ∴⊥， 1111A B B C B =，1BC ∴⊥平面11A ECB ， 1A E ⊂平面11A ECB ， 11A E BC ∴⊥．故选：C ．法二：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为2，则1(2A ，0，2)，(0E ，1，0)，(2B ，2，0)，(0D ，0，0)，1(0C ，2，2)，(2A ，0，0)，(0C ，2，0)， 1(2A E =-，1，2)-，1(0DC =，2，2)，(2BD =-，2-，0)， 1(2BC =-，0，2)，(2AC =-，2，0)，112A E DC =-，12A E BD =，110A E BC =，16A E AC =， 11A E BC ∴⊥．故选：C ．【点评】本题考查线线垂直的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 17．（2018•浙江）已知平面α，直线m ，n 满足m α⊂/，n α⊂，则“//m n ”是“//m α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件【分析】根据线面平行的定义和性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：m α⊂/，n α⊂，∴当//m n 时，//m α成立，即充分性成立，当//m n不一定成立，即必要性不成立，mα时，//则“//mα”的充分不必要条件．m n”是“//故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据线面平行的定义和性质是解决本题的关键，是基础题．αβ的充要条件是()18．（2019新课标Ⅱ文理）设α，β为两个平面，则//A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面【考点】；充分条件、必要条件、充要条件；空间位置关系【分析】充要条件的定义结合面面平行的判定定理可得结论αβ；【解答】解：对于A，α内有无数条直线与β平行，αβ或//αβ；对于B，α内有两条相交直线与β平行，//αβ；对于C，α，β平行于同一条直线，αβ或//αβ．对于D，α，β垂直于同一平面，αβ或//故选：B．【点评】本题考查了充要条件的定义和面面平行的判定定理，考查了推理能力，属于基础题．19．（2019•新课标Ⅲ文理）如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD∆为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM EN=，且直线BM，EN是相交直线B．BM EN≠，且直线BM，EN是相交直线C．BM EN=，且直线BM，EN是异面直线D．BM EN≠，且直线BM，EN是异面直线【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】推导出BM是BDE∆中BD边上的中线，从而直线BM，EN是∆中DE边上的中线，EN是BDE相交直线，设DE a≠．=，则BD，BE=，从而BM EN【解答】解：点N为正方形ABCD的中心，ECD∆为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，BM ∴⊂平面BDE ，EN ⊂平面BDE ，BM 是BDE ∆中DE 边上的中线，EN 是BDE ∆中BD 边上的中线，∴直线BM ，EN 是相交直线，设DE a =，则BD =，BE =，BM ∴=，EN a =， BM EN ∴≠，故选：B ．【点评】本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．20．（2019•上海）已知平面α、β、γ两两垂直，直线a 、b 、c 满足：a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线a 、b 、c 不可能满足以下哪种关系( )A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】利用面面垂直的性质．画图判定【解答】解：如图1，可得a 、b 、c 可能两两垂直； 如图2，可得a 、b 、c 可能两两相交； 如图3，可得a 、b 、c 可能两两异面；故选：B ．【点评】本题考查面面垂直的性质，属于基础题．填空题1．（2016•新课标Ⅱ理）α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m n ⊥，m α⊥，//n β，那么αβ⊥． ②如果m α⊥，//n α，那么m n ⊥． ③如果//αβ，m α⊂，那么//m β．④如果//m n ，//αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确的命题是 ②③④ （填序号）【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案． 【解答】解：①如果m n ⊥，m α⊥，//n β，不能得出αβ⊥，故错误；②如果//n α，则存在直线l α⊂，使//n l ，由m α⊥，可得m l ⊥，那么m n ⊥．故正确； ③如果//αβ，m α⊂，那么m 与β无公共点，则//m β．故正确④如果//m n ，//αβ，那么m ，n 与α所成的角和m ，n 与β所成的角均相等．故正确； 故答案为：②③④【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间直线与平面的位置关系，难度中档． 2．（2019北京文理科12）已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l m ⊥；②//m α；③l α⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： 若l α⊥，l m ⊥，则//m α ．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】由l ，m 是平面α外的两条不同直线，利用线面平行的判定定理得若l α⊥，l m ⊥，则//m α． 【解答】解：由l ，m 是平面α外的两条不同直线，知： 由线面平行的判定定理得： 若l α⊥，l m ⊥，则//m α．故答案为：若l α⊥，l m ⊥，则//m α．【点评】本题考查满足条件的真命题的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．（二）空间线面所成的角1．（2014•新课标Ⅱ理）直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A ．110B ．25C D 【考点】异面直线及其所成的角【分析】画出图形，找出BM 与AN 所成角的平面角，利用解三角形求出BM 与AN 所成角的余弦值． 【解答】解：直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，如图：BC 的中点为O ，连结ON ，//1112MN B C OB ==，则0MN B 是平行四边形，BM 与AN 所成角就是ANO ∠，1BC CA CC ==，设12BC CA CC ===，1CO ∴=，AO =AN MB ==在ANO ∆中，由余弦定理可得：222cos2AN NO AO ANO AN NO +-∠===故选：C ．【点评】本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．2．（2014•大纲版文）已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为()A ．16B C ．13D 【考点】异面直线及其所成的角【分析】由E 为AB 的中点，可取AD 中点F ，连接EF ，则CEF ∠为异面直线CE 与BD 所成角，设出正四面体的棱长，求出CEF ∆的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE 与BD 所成角的余弦值． 【解答】解：如图，取AD 中点F ，连接EF ，CF ，E 为AB 的中点，//EF DB ∴，则CEF ∠为异面直线BD 与CE 所成的角，ABCD 为正四面体，E ，F 分别为AB ，AD 的中点， CE CF ∴=．设正四面体的棱长为2a ， 则EF a =，CE CF =．在CEF ∆中，由余弦定理得：2222cos 2CE EF CF CEF CE EF +-∠===故选：B ．【点评】本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．3．（2014•大纲版理）已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为( )A ．14B C D ．12【考点】异面直线及其所成的角【分析】首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线AB 与CD 所成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案．【解答】解：如图，过A 点做AE l ⊥，使BE β⊥，垂足为E ，过点A 做//AF CD ，过点E 做EF AE ⊥，连接BF ， AE l ⊥ 90EAC ∴∠=︒ //CD AF又135ACD ∠=︒ 45FAC ∴∠=︒ 45EAF ∴∠=︒在Rt BEA ∆中，设AE a =，则2AB a =，BE =， 在Rt AEF ∆中，则EF a =，AF =， 在Rt BEF ∆中，则2BF a =，∴异面直线AB 与CD 所成的角即是BAF ∠，222cos 2AB AF BF BAF AB AF +-∴∠===． 故选：B ．【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角，关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角，考查了学生的空间想象能力和作图能力，属于难题．4．（2014•四川理）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是( )A．，1] B．1] C．]3D．[3，1] 【考点】直线与平面所成的角【分析】由题意可得：直线OP 于平面1A BD 所成的角α的取值范围是111[,][,]22AOA C OA ππ∠∠．再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出．【解答】解：由题意可得：直线OP 于平面1A BD 所成的角α的取值范围是111[,][,]22AOA C OA ππ∠∠．不妨取2AB =．在1Rt AOA ∆中，111sin AA AOA AO ∠===111111sin sin(2)sin 22sin cos 2C OA AOA AOA AOA AOA π∠=-∠=∠=∠∠==>， sin12π=．sin α∴的取值范围是． 故选：B ．【点评】本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题．5．（2015•浙江理）如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成△A CD '，所成二面角A CDB '--的平面角为α，则( )A ．A DB α∠'…B ．A DB α∠'…C ．ACB α∠'…D ．ACB α∠'…【考点】二面角的平面角及求法【分析】解：画出图形，分AC BC =，AC BC ≠两种情况讨论即可． 【解答】解：①当AC BC =时，A DB α∠'=； ②当AC BC ≠时，如图，点A '投影在AE 上，AOE α=∠'，连结AA '，易得ADA AOA ∠'<∠'，A DB AOE ∴∠'>∠'，即A DB α∠'>综上所述，A DB α∠'…， 故选：B ．【点评】本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．6．（2016•新课标Ⅰ文理）平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，//α平面11CB D ，α⋂平面ABCD m =，α⋂平面11ABB A n =，则m 、n 所成角的正弦值为( )A B C D ．13【考点】异面直线及其所成的角【分析】画出图形，判断出m 、n 所成角，求解即可．【解答】解：如图：//α平面11CB D ，α⋂平面ABCD m =，α⋂平面11ABA B n =， 可知：1//n CD ，11//m B D ，△11CB D 是正三角形．m 、n 所成角就是1160CD B ∠=︒．则m 、n ． 故选：A ．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（2017•新课标Ⅱ理）已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为( )ABCD【考点】异面直线及其所成的角【分析】【解法一】设M 、N 、P 分别为AB ，1BB 和11B C 的中点，得出1AB 、1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC 、MQ ，MP 和MNP ∠的余弦值即可． 【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁． 【解答】解：【解法一】如图所示，设M 、N 、P 分别为AB ，1BB 和11B C 的中点， 则1AB 、1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角 （因异面直线所成角为(0,])2π，可知112MN AB ==，112NP BC ==； 作BC 中点Q ，则PQM ∆为直角三角形； 1PQ =，12MQ AC =， ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-∠ 141221()2=+-⨯⨯⨯-7=，AC ∴=MQ ∴=在MQP ∆中，2MP =； 在PMN ∆中，由余弦定理得222222cos 2MN NP PMMNP MN NP+-+-∠===； 又异面直线所成角的范围是(0，]2π，1AB ∴与1BC． 【解法二】如图所示，补成四棱柱1111ABCD A B C D -，求1BC D ∠即可；1BC =，BD =1C D =∴22211BC BD C D +=，190DBC ∴∠=︒，1cos BC D ∴∠==故选：C ．【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题．8．（2017•浙江）如图，已知正四面体D ABC -（所有棱长均相等的三棱锥），P 、Q 、R 分别为AB 、BC 、CA 上的点，AP PB =，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D PR Q --，D PQ R --，D QR P --的平面角为α、β、γ，则( )A ．γαβ<<B ．αγβ<<C ．αβγ<<D ．βγα<<【考点】二面角的平面角及求法【分析】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面ABC ∆的中心为O ．不妨设3OP =．则(0O ，0，0)，(0P ，3-，0)，(0C ，6，0)，(0D ，0，，Q ，(R -，利用法向量的夹角公式即可得出二面角．解法二：如图所示，连接OP ，OQ ，OR ，过点O 分别作垂线：OE PR ⊥，OF PQ ⊥，OG QR ⊥，垂足分别为E ，F ，G ，连接DE ，DF ，DG ．．可得tan OD OE α=．tan OD OF β=，tan ODOGγ=．由已知可得：OE OG OF >>．即可得出．【解答】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面ABC ∆的中心为O ．不妨设3OP =．则(0O ，0，0)，(0P ，3-，0)，(0C ，6，0)，(0D ，0，，B 3-，0)．Q ，(R -，(PR =-，(0PD =，3，，(3PQ =6，0)，(3,0)QR =--，(QD =-．设平面PDR 的法向量为(n x =，y ，)z ，则00n PR n PD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，可得3030y y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，可得(6,21)n =-，取平面ABC 的法向量(0m =，0，1)． 则cos ,||||15m n m n m n <>==，取α=同理可得：β=γ=>>．αγβ∴<<．解法二：如图所示，连接OP ，OQ ，OR ，过点O 分别作垂线：OE PR ⊥，OF PQ ⊥，OG QR ⊥，垂足分别为E ，F ，G ，连接DE ，DF ，DG ．设OD h =． 则tan ODOEα=． 同理可得：tan OD OF β=，tan ODOGγ=． 由已知可得：OE OG OF >>．tan tan tan αγβ∴<<，α，β，γ为锐角． αγβ∴<<．故选：B ．【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．9．（2018•浙江）已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点）．设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C --的平面角为3θ，则()A ．123θθθ剟B ．321θθθ剟C ．132θθθ剟D ．231θθθ剟【考点】棱锥的结构特征；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法 【分析】作出三个角，表示出三个角的正弦或正切值，根据三角函数的单调性即可得出三个角的大小．【解答】解：由题意可知S 在底面ABCD 的射影为正方形ABCD 的中心． 过E 作//EF BC ，交CD 于F ，过底面ABCD 的中心O 作ON EF ⊥交EF 于N ， 连接SN ，取AB 中点M ，连接SM ，OM ，OE ，则EN OM =， 则1SEN θ=∠，2SEO θ=∠，3SMO θ=∠． 显然，1θ，2θ，3θ均为锐角． 1tan SN SN NE OM θ==，3tan SOOMθ=，SN SO …， 13θθ∴…，又3sin SO SM θ=，2sin SOSEθ=，SE SM …， 32θθ∴…．故选：D ．【点评】本题考查了空间角的计算，三角函数的应用，属于中档题．10．（2018•新课标Ⅰ理）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A B C D 【考点】直线与平面所成的角【分析】利用正方体棱的关系，判断平面α所成的角都相等的位置，然后求解α截此正方体所得截面面积的最大值．【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，α截此正方体所得截面面积的最大，，α截此正方体所得截面最大值为：26． 故选：A ．【点评】本题考查直线与平面所成角的大小关系，考查空间想象能力以及计算能力，有一定的难度． 11．（2018•新课标Ⅰ文）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为( )A ．8B ．C ．D ．【考点】直线与平面所成的角【分析】画出图形，利用已知条件求出长方体的高，然后求解长方体的体积即可． 【解答】解：长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==， 1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，即130AC B ∠=︒，可得1tan30ABBC ==︒可得1BB ==．所以该长方体的体积为：22⨯⨯= 故选：C ．【点评】本题考查长方体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，考查计算能力．12．（2018•新课标Ⅱ文）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为( )A B C D 【考点】异面直线及其所成的角。
2014高考数学文科分类汇编：立体几何
2014高考数学文科分类汇编:立体几何目录1. 空间几何体的结构 (2)2. 空间几何体的三视图和直观图 (4)3. 平面的基本性质、空间两条直线 . (9)4. 空间中的平行关系 (11)5. 空间中的垂直关系 (16)6. 三垂线定理 (27)7. 棱柱与棱锥 (29)8. 多面体与球 (33)9. 空间向量及运算 ......................................................................................................................... 35 空间向量解决线面位置关系 .......................................................................................................35 空间角与距离的求法 .................................................................................................................. 35 10. 单元综合 .. (41)11. 空间几何体的结构[2014·安徽卷 ]如图 1-5所示,四棱锥 P -ABCD 的底面是边长为 8的正方形,四条侧棱长均为 17. 点 G , E , F , H 分别是棱 PB , AB , CD , PC 上共面的四点,平面GEFH ⊥平面 ABCD , BC ∥平面 GEFH.图 1-5(1证明:GH ∥ EF ;(2若 EB =2,求四边形 GEFH 的面积.19. 解:(1证明:因为 BC ∥平面 GEFH , BC ⊂平面 PBC ,且平面PBC ∩平面GEFH =GH ,所以 GH ∥ BC .同理可证 EF ∥ BC ,因此 GH ∥ EF .(2连接 AC , BD 交于点 O , BD 交 EF 于点 K ,连接 OP , GK .因为 P A =PC , O 是 AC 的中点,所以 PO ⊥ AC ,同理可得 PO ⊥ BD . 又BD ∩ AC =O ,且 AC , BD 都在平面 ABCD 内,所以 PO ⊥平面 ABCD . 又因为平面 GEFH ⊥平面 ABCD ,且 PO ⊄平面 GEFH ,所以 PO ∥平面 GEFH .因为平面PBD ∩平面 GEFH =GK ,所以 PO ∥ GK ,所以 GK ⊥平面 ABCD .又 EF ⊂平面 ABCD ,所以 GK ⊥ EF ,所以 GK 是梯形 GEFH 的高.由 AB =8, EB =2得 EB ∶ AB =KB ∶ DB =1∶ 4,从而 KB14DB =12,即 K 是 OB 的中点.再由 PO ∥ GK 得 GK =12PO ,所以 G 是 PB 的中点,且 GH =12=4.由已知可得 OB =, PO PB -OB =68-32=6,所以 GK =3, 故四边形 GEFH 的面积 S =GH +EF2·GK =4+823=18.[2014·福建卷 ] 以边长为 1的正方形的一边所在直线为旋转轴, 将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于 (A . 2πB . πC . 2D . 13. A [解析 ] 由题意可知,该正方形旋转一周后所得的圆柱的底面半径 r =1,高 h =1,则该圆柱的侧面积S =2πrh =2π,故选 A.[2014·湖北卷 ] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖” 的术“置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h , 计算其体积 V 的近似公式V ≈1362h . 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为 3. 那么,近似公式V ≈ 2 75L 2h23相当于将圆锥体积公式中的π近似取为 (227 25815750 D. 35511310. B [解析 ] 设圆锥的底面圆半径为 r ,底面积为 S ,则L =2πr . 由题意得 136L 2h 13,代入S =πr 2化简得π≈ 3. 类比推理,若V ≈ 275L 2h 时,π≈ 258. 故选 B.[2014·新课标全国卷Ⅱ ] 正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1的底面边长为 2,侧棱长为3, D 为 BC 中点,则三棱锥 A - B 1DC 1的体积为 (A . 3 B. 32 C . 1 D. 27. C [解析 ] 因为 D 为 BC 的中点,所以 AD ⊥ BC ,故 AD ⊥平面 BCC 1B 1, 且AD 3, 所以 V 三棱锥 A - B 1DC 1=13S △ B 1DC 1×AD =13×12B 1C 1×BB 1×AD =13×12×23×3=1.[2014·重庆卷 ] 如图 1-4所示四棱锥 P -ABCD 中, 底面是以 O 为中心的菱形, PO ⊥底面 ABCD , AB =2,∠ BAD =π3, M 为 BC 上一点,且 BM =12.(1证明:BC ⊥平面 POM ;(2若 MP ⊥ AP图 20. 解:(1证明:如图所示,因为四边形 ABCD 为菱形, O 为菱形的中心,连接 OB ,则 AO ⊥ OB . 因为∠ BAD =π3OB =AB ·sin ∠ OAB =2sin π6=1.又因为 BM =12,且∠ OBM =π3,在△ OBM 中, OM 2=OB 2+BM 2-2OB ·BM ·cos ∠ OBM =12+⎝⎛122-2×1×12×cos π3=34,所以 OB 2=OM 2+BM 2,故 OM ⊥ BM .又 PO ⊥底面 ABCD ,所以 PO ⊥ BC . 从而 BC 与平面 POM 内的两条相交直线 OM , PO 都垂直,所以 BC ⊥平面 POM.(2由 (1可得, OA =AB ·cos ∠ OAB =2×cos 63.设 PO =a , 由 PO ⊥底面 ABCD , 知△ POA 为直角三角形, 故 P A 2=PO 2+OA 2=a 2+3.又△ POM 也是直角三角形,故 PM 2=PO 2+OM 2=a 2+34连接 AM ,在△ ABM 中, AM 2=AB 2+BM 2-2AB ·BM ·cos ∠ ABM =22+122-2×2×12×4cos 2π3214.由已知 MP ⊥ AP ,故△ APM 为直角三角形,则P A 2+PM 2=AM 2,即 a 2+3+a 2+34214解得 a =32a 32(舍去 ,即 PO =32此时 S 四边形 ABMO =S △ AOB +S △ OMB =12·AO ·OB +12·BM ·OM =123×1+12×12×2 =5 38.所以四棱锥 P -ABMO 的体积 V 四棱锥 P -ABMO =13·S 四边形 ABMO ·PO =135 38×32=516.2. 空间几何体的三视图和直观图[2014·安徽卷 ]一个多面体的三视图如图 1-2所示,则该多面体的体积是 (图 1-2A. 233B. 476C . 6D . 7 8. A [解析 ] 如图所示,由三视图可知该几何体是棱长为 2的正方体截去两个小三棱锥后余下的部分,其体积 V =8-2×13×12×1×1×1=233[2014·北京卷 ] 某三棱锥的三视图如图 1-3所示,则该三棱锥最长棱的5棱长为 ________.图 1-311. 22 [解析 ] 该三棱锥的直观图如图所示,并且 PB ⊥平面 ABC , PB =2, AB =2, AC =BC =2, P A 2+2=22, PC 22+(2 2=6,故 P A 最长.[2014·湖北卷 ] 在如图 1-1所示的空间直角坐标系 O -xyz 中, 一个四面体的顶点坐标分别是 (0, 0, 2 , (2, 2, 0 , (1, 2, 1 , (2, 2, 2 .给出编号为①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为 (2A .①和②B .③和①C .④和③D .④和②7. D [解析 ] 由三视图可知,该几何体的正视图显然是一个直角三角形 (三个顶点坐标分别是 (0, 0, 2 , (0, 2, 0 , (0, 2, 2 且内有一虚线 (一锐角顶点与一直角边中点的连线 , 故正视图是④; 俯视图是一个斜三角形, 三个顶点坐标分别是 (0, 0, 0 , (2, 2, 0 , (1, 2, 0 ,故俯视图是② . 故选 D.[2014·湖南卷 ] 一块石材表示的几何体的三视图如图 1-2所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于 (图 1-2A . 1B . 2C . 3D . 4 8. B [解析 ] 由三视图可知, 石材为一个三棱柱 (相对应的长方体的一半 ,故可知能得到的最大球为三棱柱的内切球.由题意可知正视图三角形6的内切圆的半径即为球的半径,可得 R =6+8-102=2.[2014·辽宁卷 ] 某几何体三视图如图 1-2所示,则该几何体的体积为 (图 1-2A . 8-π4B . 8π2C . 8-πD . 8-2π7. C [解析 ] 根据三视图可知,该几何体是正方体切去两个体积相等的圆柱的四分之一后余下的部分,故该几何体体积 V =23-12×π×12×2=8-π.[2014·浙江卷 ] 某几何体的三视图 (单位:cm 如图所示,则该几何体的体积是 (图 1-1A . 72 cm3B . 90 cm3C . 108 cm3D . 138 cm33. B [解析 ] 此几何体是由长方体与三棱柱组合而成的,其体积为 6×4×3+12×3×4×3=90 cm3,故选 B.[2014·新课标全国卷Ⅱ ] 如图 1-1,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm,图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3 cm , 高为 6 cm的圆柱体毛坯切削得到, 则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 (图 1-117 27 5 910 27 1 36. C [解析 ] 该零件是一个由两个圆柱组成的组合体,其体积 V=π×32×2+π×22×4=34π(cm3 ,原毛坯的体积 V 毛坯=π×32×6=54π(cm3 ,被切部分的体积 V 切 =V 毛坯 -V =54π-34π=20π(cm3 ,所以 V 切V 毛坯= 20π54π1027[2014·全国新课标卷Ⅰ ] 如图 1-1,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是 (A .三棱锥B .三棱柱C .四棱锥D .四棱柱8. B [解析 ] 从俯视图为矩形可以看出,此几何体不可能是三棱锥或四棱锥,其直观图如图,是一个三棱柱.[2014·陕西卷 ] 四面体 ABCD 及其三视图如图 1-4所示, 平行于棱 AD , BC 的平面分别交四面体的棱 AB , BD , DC , CA 于点 E , F , G , H.图 1-4(1求四面体 ABCD 的体积;(2证明:四边形 EFGH 是矩形.17. 解:(1由该四面体的三视图可知,BD ⊥ DC , BD ⊥ AD , AD ⊥ DC , BD =DC =2, AD =1,∴ AD ⊥平面 BDC ,∴四面体 ABCD 的体积 V =1312×2×2×1=23.(2证明:∵ BC ∥平面 EFGH ,平面EFGH ∩平面 BDC =FG ,平面EFGH ∩ 平面ABC =EH ,∴ BC ∥ FG , BC ∥ EH ,∴ FG ∥ EH .同理 EF ∥ AD , HG ∥ AD ,∴ EF ∥ HG ,∴四边形 EFGH 是平行四边形.又∵ AD ⊥平面 BDC ,∴ AD ⊥ BC ,∴ EF ⊥ FG ,∴四边形 EFGH 是矩形.78[2014·四川卷 ] 某三棱锥的侧视图、俯视图如图 1-1所示,则该三棱锥的体积是 (锥体体积公式:V =13,其中 S 为底面面积, h 为高 (图 1-1A . 3B . 2 C. 3 D . 14. D [解析 ] 由图可知,三棱锥的底面为边长为 2的正三角形,左侧面垂直于底面,且为边长为 2的正三角形,所以该三棱锥的底面积 S =1 22×3,高 h 3,所以其体积 V 13=1 333=1,故选 D.[2014·重庆卷 ] 某几何体的三视图如图 1-2所示,则该几何体的体积为 (图 1-2A . 12B . 18C . 24D . 307. C [解析 ] 由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱去掉一个三棱 锥得到的.三棱柱的底面是一个两直角边长分别为 3和 4的直角三角形, 高为 5;截去的锥体的底面是两直角边的长分别为 3和 4的直角三角形,高为 3,所以该几何体的体积为 V =12×3×4×5131 2×3×4×3=24.[2014·天津卷 ] 一个几何体的三视图如图 1-2所示 (单位:m , 则该几何 体的体积为 ________m3 .910.20π3[解析 ] 由三视图可知,该几何体为圆柱与圆锥的组合体,其体积V =π×12×413×22×2=20π3.3. 平面的基本性质、空间两条直线[2014·安徽卷 ] 如图 1-5所示,四棱锥 P -ABCD 的底面是边长为 8的正方形,四条侧棱长均为 17. 点 G , E , F , H 分别是棱 PB , AB , CD , PC 上共面的四点,平面 GEFH ⊥平面 ABCD , BC ∥平面 GEFH.图 1-5(1证明:GH ∥ EF ;(2若 EB =2,求四边形 GEFH 的面积.19. 解:(1证明:因为 BC ∥平面 GEFH , BC ⊂平面 PBC ,且平面PBC ∩平面GEFH =GH ,所以 GH ∥ BC .同理可证 EF ∥ BC ,因此 GH ∥ EF .(2连接 AC , BD 交于点 O , BD 交 EF 于点 K ,连接 OP , GK .因为 P A =PC , O 是 AC 的中点,所以 PO ⊥ AC ,同理可得 PO ⊥ BD . 又BD ∩ AC =O ,且 AC , BD 都在平面 ABCD 内,所以 PO ⊥平面 ABCD . 又因为平面 GEFH ⊥平面 ABCD ,且 PO ⊄平面 GEFH ,所以 PO ∥平面 GEFH .因为平面PBD ∩平面 GEFH =GK ,所以 PO ∥ GK ,所以 GK ⊥平面 ABCD .又 EF ⊂平面 ABCD ,所以 GK ⊥ EF ,所以 GK 是梯形 GEFH 的高.由 AB =8, EB =2得 EB ∶ AB =KB ∶ DB =1∶ 4,从而 KB14DB =12,即 K 是 OB 的中点.10再由 PO ∥ GK 得 GK 12,所以 G 是 PB 的中点,且 GH =12BC =4.由已知可得 OB =42, PO =PB -OB =68-32=6,所以 GK =3, 故四边形 GEFH 的面积 S GH +EF 2GK =4+823=18.[2014·湖南卷 ] 如图 1-3所示,已知二面角α-MN -β的大小为 60°,菱形 ABCD 在面β内, A , B 两点在棱 MN 上,∠ BAD =60°, E 是 AB 的中点, DO ⊥面α(1证明:AB ⊥平面 ODE ;(2求异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值.18. 解:(1证明:如图,因为 DO ⊥ α, AB ⊂ α,所以 DO ⊥ AB .连接 BD ,由题设知,△ ABD 是正三角形,又 E 是 AB 的中点,所以 DE ⊥ AB . 而DO ∩ DE =D ,故 AB ⊥平面 ODE.(2因为 BC ∥ AD 与 OD 所成的角, 即∠ ADO 是 BC 与 OD 所成的角.由 (1知, AB ⊥平面 ODE ,所以 AB ⊥ OE . 又 DE ⊥ AB ,于是∠ DEO 是二面角α-MN -β的平面角,从而∠ DEO =60°.不妨设 AB =2,则 AD =2,易知 DE 3.在 Rt △ DOE 中, DO =DE ·sin 6032.连接 AO ,在 Rt △ AOD 中, cos ∠ ADO =DOAD32234. 故异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值为 34.[2014·辽宁卷 ] 已知 m , n 表示两条不同直线, α表示平面.下列说法正确的是 (A .若 m ∥ α, n ∥ α,则 m ∥ nB .若 m ⊥ α, n ⊂ α,则 m ⊥ nC .若 m ⊥ α, m ⊥n ,则 n ∥ αD .若 m ∥ α, m ⊥ n ,则 n ⊥ α4. B [解析 ] 由题可知,若 m ∥ α, n ∥ α,则 m 与 n 平行、相交或异面, 所以 A 错误; 若 m ⊥ α, n ⊂ α, 则 m ⊥ n , 故 B 正确; 若 m ⊥ α, m ⊥ n , 则 n ∥ α或 n ⊂ α,故C 错误;若 m ∥ α, m ⊥ n ,则 n ∥ α或 n ⊥ α或 n 与α相交,故 D 错误.4. 空间中的平行关系[2014·浙江卷 ] 设 m , n 是两条不同的直线, α, β是两个不同的平面 (A .若 m ⊥ n , n ∥ α,则 m ⊥ αB .若 m ∥ β, β⊥ α,则 m ⊥ αC .若 m ⊥ β, n ⊥ β, n ⊥ α,则 m ⊥ αD .若 m ⊥ n , n ⊥ β, β⊥ α,则 m ⊥ α6. C [解析 ] A, B , D 中 m 与平面α可能平行、相交或 m 在平面内α; 对于 C ,若 m ⊥ β, n ⊥ β,则 m ∥ n ,而 n ⊥ α,所以 m ⊥ α. 故选 C.[2014·安徽卷 ] 如图 1-5所示,四棱锥 P -ABCD 的底面是边长为 8的正方形,四条侧棱长均为 17. 点 G , E , F , H 分别是棱 PB , AB , CD , PC 上共面的四点,平面GEFH ⊥平面 ABCD , BC ∥平面 GEFH.图 1-5(1证明:GH ∥ EF ;(2若 EB =2,求四边形 GEFH 的面积.19. 解:(1证明:因为 BC ∥平面 GEFH , BC ⊂平面 PBC ,且平面PBC ∩平面GEFH =GH ,所以 GH ∥ BC .同理可证 EF ∥ BC ,因此 GH ∥ EF .(2连接 AC , BD 交于点 O , BD 交 EF 于点 K ,连接 OP , GK .因为 P A =PC , O 是 AC 的中点,所以 PO ⊥ AC ,同理可得 PO ⊥ BD . 又BD ∩ AC =O ,且 AC , BD 都在平面 ABCD 内,所以 PO ⊥平面 ABCD . 又因为平面 GEFH ⊥平面 ABCD ,且 PO ⊄平面 GEFH ,所以 PO ∥平面 GEFH .因为平面PBD ∩平面 GEFH =GK ,所以 PO ∥ GK ,所以 GK ⊥平面 ABCD .又 EF ⊂平面 ABCD ,所以 GK ⊥ EF ,所以 GK 是梯形 GEFH 的高.由 AB =8, EB =2得 EB ∶ AB =KB ∶ DB =1∶ 4, 从而 KB14DB =12,即 K 是 OB 的中点.1112再由 PO ∥ GK 得 GK 12,所以 G 是 PB 的中点,且 GH =12BC =4.由已知可得 OB =42, PO =PB -OB =68-32=6,所以 GK =3, 故四边形 GEFH 的面积 S GH +EF 2GK =4+823=18.[2014·北京卷 ] 如图 1-5, 在三棱柱 ABC -A 1B 1C 1中, 侧棱垂直于底面, AB ⊥BC , AA 1=AC =2, BC =1, E , F 分别是 A 1C 1, BC 的中点.图 1-5(1求证:平面 ABE ⊥平面 B 1BCC 1; (2求证:C 1F ∥平面 ABE ; (3求三棱锥 E -ABC 的体积. 17. 解:(1证明:在三棱柱 ABC - A 1B 1C 1中, BB 1⊥底面 ABC ,所以 BB 1⊥ AB . 又因为 AB ⊥ BC ,所以 AB ⊥平面 B 1BCC 1.所以平面 ABE ⊥平面 B 1BCC 1.(2证明:取 AB 的中点 G ,连接 EG , FG.因为 E , F , G 分别是 A 11 所以 FG ∥ AC ,且 FG =12AC , EC 1=12A 1C 1.因为 AC ∥ A 1C 1,且 AC =A 1C 1,所以 FG ∥ EC 1,且 FG =EC 1, 所以四边形 FGEC 1为平行四边形, 所以 C 1F ∥EG .又因为 EG ⊂平面 ABE , C 1F ⊄平面 ABE , 所以 C 1F ∥平面 ABE .(3因为 AA 1=AC =2, BC =1, AB ⊥ BC , 所以 AB AC -BC =3. 所以三棱锥 E - ABC 的体积V =13S △ ABC ·AA 1=13×12×3×1×2=33.[2014·湖北卷 ] 如图 1-5,在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中, E , F , P , Q ,M , N 分别是棱 AB , AD , DD 1, BB 1, A 1B 1, A 1D 1的中点.求证: (1直线 BC 1∥平面 EFPQ ;(2直线 AC 1⊥平面 PQMN.20. 证明:(1连接 AD 1,由 ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体,知 AD 1∥ BC 1.因为 F , P 分别是 AD , DD 1的中点,所以 FP ∥ AD 1.从而 BC 1∥ FP .而 FP ⊂平面 EFPQ ,且 BC 1⊄平面 EFPQ ,故直线 BC 1∥平面 EFPQ.(2如图,连接 AC , BD 11由 CC 1⊥平面 ABCD , BD ⊂平面 ABCD ,可得 CC 1⊥ BD .又AC ∩ CC 1=C ,所以 BD ⊥平面 ACC 1A 1.而 AC 1⊂平面 ACC 1A 1,所以 BD ⊥ AC 1.因为 M , N 分别是 A 1B 1, A 1D 1的中点, 所以 MN ∥ BD , 从而 MN ⊥ AC 1. 同理可证 PN ⊥ AC 1.又PN ∩ MN =N ,所以直线 AC 1⊥平面 PQMN .[2014·江苏卷 ] 如图 1-4所示,在三棱锥 P -ABC 中, D , E , F 分别为棱 PC , AC , AB 的中点.已知 P A ⊥ AC , P A =6, BC =8, DF =5.求证:(1直线 P A ∥平面 DEF ;(2平面 BDE ⊥平面 ABC .图 1-416. 证明:(1因为 D , E 分别为棱 PC , AC 的中点,所以 DE ∥ P A . 又因为 P A ⊄平面 DEF , DE ⊂平面 DEF ,所以直线 P A ∥平面 DEF .(2因为 D , E , F 分别为棱 PC , AC , AB 的中点, P A =6, BC =8,所以 DE ∥ P A , DE12P A =3, EF =12BC =4. 又因为 DF =5,所以 DF 2=DE 2 +EF 2, 所以∠ DEF =90°, 即 DE ⊥ EF . 又 P A ⊥ AC , DE ∥ P A , 所以 DE ⊥ AC . 因为AC ∩ EF =E , AC ⊂平面 ABC , EF ⊂平面 ABC ,所以 DE ⊥平面 ABC . 又 DE ⊂平面 BDE ,所以平面 BDE ⊥平面ABC .13[2014·新课标全国卷Ⅱ ] 如图 1-3,四棱锥 P -ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, P A ⊥平面 ABCD , E 为 PD 的中点.(1证明:PB ∥平面 AEC ;(2设 AP =1, AD 3,三棱锥 P -ABD 的体积 V =34A 到平面PBC 的距离.图 1-318. 解:(1证明:设 BD 与 AC 的交点为 O ,连接 EO.因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点.又 E 为 PD 的中点,所以 EO ∥ PB .EO ⊂平面 AEC , PB ⊄平面 AEC ,所以 PB ∥平面 AEC .(2V =13×12×P A ×AB ×AD =36,由 V34,可得 AB =32.作 AH ⊥ PB 交 PB 于点 H .由题设知 BC ⊥平面 P AB ,所以 BC ⊥ AH , 因为PB ∩ BC =B ,所以 AH ⊥平面 PBC .又 AH =P A ·ABPB1313,所以点 A 到平面 PBC 的距离为31313.[2014·山东卷 ] 如图 1-4所示,四棱锥 P -ABCD 中, AP ⊥平面 PCD , AD ∥ BC , AB =BC12, E , F 分别为线段 AD , PC 的中点.图 1-4(1求证:AP ∥平面 BEF ;(2求证:BE ⊥平面 P AC .18. 证明:(1设AC ∩ BE =O ,连接 OF , EC . 由于 E 为 AD 的中点,1415AB =BC =12, AD ∥ BC ,所以 AE ∥ BC , AE =AB =BC , 所以 O 为 AC 的中点.又在△ P AC 中, F 为 PC 的中点,所以 AP ∥ OF . 又 OF ⊂平面 BEF , AP ⊄平面 BEF , 所以 AP ∥平面 BEF .(2由题意知, ED ∥ BC , ED =BC , 所以四边形 BCDE 为平行四边形, 所以 BE ∥ CD .又 AP ⊥平面 PCD ,所以 AP ⊥ CD ,所以 AP ⊥ BE . 因为四边形 ABCE 为菱形, 所以 BE ⊥ AC .又AP ∩ AC =A , AP , AC ⊂平面 P AC , 所以 BE ⊥平面 P AC .[2014·四川卷 ] 在如图 1-4所示的多面体中,四边形 ABB 1A 1和 ACC 1A 1都为矩形.(1若 AC ⊥ BC ,证明:直线 BC ⊥平面 ACC 1A 1.(2设 D , E 分别是线段 BC , CC 1的中点,在线段 AB 上是否存在一点 M ,使直线 DE ∥平面 A 1MC ?请证明你的结论.18. 解:(1证明:因为四边形 ABB 1A 1和 ACC 1A 1都是矩形, 所以 AA 1⊥ AB , AA 1⊥ AC .因为 AB , AC 为平面 ABC 内的两条相交直线, 所以 AA 1⊥平面 ABC .因为直线 BC ⊂平面 ABC ,所以 AA 1⊥ BC .又由已知, AC ⊥ BC , AA 1, AC 为平面 ACC 1A 1内的两条相交直线, 所以 BC ⊥平面 ACC 1A 1.(2取线段 AB 的中点 M ,连接 A 1M , MC , A 1C , AC 1,设 O 为 A 1C , AC 1的交点.由已知, O 为 AC 1的中点.连接 MD , OE ,则 MD , OE 分别为△ ABC ,△ ACC 1的中位线,所以 MD 綊 12AC , OE 12,16因此 MD 綊 OE .连接 OM ,从而四边形 MDEO 为平行四边形,所以 DE ∥ MO . 因为直线 DE ⊄平面 A 1MC , MO ⊂平面 A 1MC . 所以直线 DE ∥平面 A 1MC .即线段 AB 上存在一点 M (线段 AB 的中点 ,使直线 DE ∥平面 A 1MC .[2014·天津卷 ] 如图 1-4所示,四棱锥 P - ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形, BA =BD =2, AD =2, P A =PD 5, E , F 分别是棱 AD , PC 的中点.(1证明:EF ∥平面 P AB ; (2若二面角 P -AD -B 为 60°.(i证明:平面 PBC ⊥平面 ABCD ;(ii求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值.17. 解:(1MF , AM . 因为 F 为PC 中点, 所以 MF ∥ BC , 且 MF =12BC . 由已知有 BC ∥ AD , BC =AD ,又由于 E 为 AD 中点,因而 MF ∥ AE 且 MF =AE ,故四边形 AMFE 为平行四边形, 所以 EF ∥ AM . 又 AM ⊂平面 P AB , 而 EF ⊄平面 P AB , 所以 EF ∥平面P AB .(2(i证明:连接 PE , BE . 因为 P A =PD , BA =BD ,而 E 为 AD 中点, 所以 PE ⊥AD , BE ⊥ AD , 所以∠ PEB 为二面角 P - AD -B 的平面角. 在△ P AD 中, 由 P A =PD =5, AD =2, 可解得 PE =2. 在△ ABD 中, 由 BA =BD 2, AD =2,可解得 BE =1. 在△ PEB 中, PE =2, BE =1,∠ PEB =60˚,由余弦定理,可解得 PB =,从而∠ PBE =90˚,即BE ⊥ PB . 又 BC ∥ AD , BE ⊥ AD ,从而 BE ⊥ BC ,因此 BE ⊥平面 PBC . 又 BE ⊂平面 ABCD ,所以平面 PBC ⊥平面 ABCD .(ii连接 BF ,由 (i知, BE ⊥平面 PBC ,所以∠ EFB 为直线 EF 与平面PBC 所成的角.由 PB =3及已知,得∠ ABP 为直角,而 MB =12PB =32,可得 AM =112故 EF =2. 又 BE =1, 故在直角三角形 EBF 中, sin ∠ EFB=BE EF 1111所以直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值为 211115. 空间中的垂直关系[2014·浙江卷 ] 设 m , n 是两条不同的直线, α, β是两个不同的平面 ( A .若 m ⊥n , n ∥ α,则 m ⊥ α B .若 m ∥ β, β⊥ α,则 m ⊥ αC .若 m ⊥ β, n ⊥ β, n ⊥ α,则 m ⊥ αD .若 m ⊥ n , n ⊥ β, β⊥ α,则 m ⊥ α 6. C [解析 ] A, B , D 中 m 与平面α可能平行、相交或 m 在平面内α;对于 C ,若 m ⊥ β, n ⊥ β,则 m ∥ n ,而 n ⊥ α,所以 m ⊥ α. 故选 C.[2014·北京卷 ] 如图 1-5, 在三棱柱 ABC -A 1B 1C 1中, 侧棱垂直于底面, AB ⊥BC , AA 1=AC =2, BC =1, E , F 分别是 A 1C 1, BC 的中点.图 1-5(1求证:平面 ABE ⊥平面 B 1BCC 1;(2求证:C 1F ∥平面 ABE ;(3求三棱锥 E -ABC 的体积.17. 解:(1证明:在三棱柱 ABC -A 1B 1C 1中, BB 1⊥底面 ABC , 所以 BB 1⊥AB .又因为 AB ⊥ BC ,所以 AB ⊥平面 B 1BCC 1.所以平面 ABE ⊥平面 B 1BCC 1.(2证明:取 AB 的中点 G ,连接 EG , FG.因为 E , F , G 分别是 A 11所以 FG ∥ AC ,且 FG =12AC , EC 1=12A 1C 1.因为 AC ∥ A 1C 1,且 AC =A 1C 1,所以 FG ∥ EC 1,且 FG =EC 1,所以四边形 FGEC 1为平行四边形,所以 C 1F ∥ EG .又因为 EG ⊂平面 ABE , C 1F ⊄平面 ABE , 所以 C 1F ∥平面 ABE .(3因为 AA 1=AC =2, BC =1, AB ⊥ BC ,所以 AB AC -BC =3.所以三棱锥 E -ABC 的体积V =13S △ ABC ·AA 1=13×12×3×1×2=33.[2014·福建卷 ] 如图 1-6所示,三棱锥 A -BCD 中, AB ⊥平面 BCD , CD ⊥ BD . (1求证:CD ⊥平面 ABD ;17(2若 AB =BD =CD =1, M 为 AD 中点,求三棱锥 A -MBC 的体积.图 1-619. 解:方法一:(1证明:∵ AB ⊥平面 BCD , CD ⊂平面 BCD , ∴ AB ⊥ CD .又∵ CD ⊥ BD , AB ∩ BD =B ,AB ⊂平面 ABD , BD ⊂平面 ABD ,∴ CD ⊥平面 ABD .(2由 AB ⊥平面 BCD ,得 AB ⊥ BD .∵ AB =BD =1,∴ S △ ABD = 1 2. ∵ M 是 AD 的中点,∴ S △ ABM12△ ABD =14.由 (1知, CD ⊥平面 ABD ,∴三棱锥 C -ABM 的高 h =CD =1, 因此三棱锥 A -MBC 的体积V A -MBC =V C -ABM13S △ ABM ·h =112.方法二:(1同方法一.(2由 AB ⊥平面 BCD ,得平面 ABD ⊥平面 BCD . 且平面ABD ∩平面 BCD =BD .如图所示,过点 M 作 MN ⊥ BD 交 BD 于点 N , 则 MN ⊥平面 BCD ,且 MN = 12=12.又 CD ⊥ BD , BD =CD =1,∴ S △ BCD =12.∴三棱锥 A -MBC 的体积V A -MBC =V A -BCD -V M -BCD=13·S △ BCD -13MN ·S △ BCD18= 1 12.[2014·广东卷 ] 如图 1-2所示, 四边形 ABCD 为矩形, PD ⊥平面 ABCD , AB =1, BC =PC =2,作如图 1-3折叠:折痕 EF ∥ DC ,其中点 E , F 分别在线段 PD , PC 上,沿EF 折叠后点 P 叠在线段 AD 上的点记为 M ,并且 MF ⊥ CF .(1证明:CF ⊥平面 MDF ;(2求三棱锥 M -CDE 的体积.图 1-2图 1-3[2014·湖北卷 ] 如图 1-5,在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中, E , F , P , Q , M , N 分别是棱 AB , AD , DD 1, BB 1, A 1B 1, A 1D 1的中点.求证:(1直线 BC 1∥平面 EFPQ ;(2直线 AC 1⊥平面 PQMN.20. 证明:(1连接 AD 1,由 ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体, 知 AD 1∥ BC 1.因为 F , P 分别是 AD , DD 1的中点,所以 FP ∥ AD 1.从而 BC 1∥ FP .而 FP ⊂平面 EFPQ ,且 BC 1⊄平面 EFPQ ,故直线 BC 1∥平面 EFPQ.(2如图,连接 AC , BD 11由 CC 1⊥平面 ABCD , BD ⊂平面 ABCD ,可得 CC 1⊥ BD .又AC ∩ CC 1=C ,所以 BD ⊥平面 ACC 1A 1.而 AC 1⊂平面 ACC 1A 1,所以 BD ⊥ AC 1.因为 M , N 分别是 A 1B 1, A 1D 1的中点, 所以 MN ∥ BD , 从而 MN ⊥ AC 1. 同理可证 PN ⊥ AC 1.又PN ∩ MN =N ,所以直线 AC 1⊥平面 PQMN .1920[2014·湖南卷 ] 如图 1-3所示,已知二面角α-MN -β的大小为 60°,菱形 ABCD 在面β内, A , B 两点在棱 MN 上,∠ BAD =60°, E 是 AB 的中点, DO ⊥面α(1证明:AB ⊥平面 ODE ;(2求异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值.18. 解:(1证明:如图,因为 DO ⊥ α, AB ⊂ α,所以 DO ⊥ AB .连接 BD ,由题设知,△ ABD 是正三角形,又 E 是 AB 的中点,所以 DE ⊥ AB . 而DO ∩ DE =(2因为 BC ∥ AD 与 OD 所成的角, 即∠ ADO 是 BC 与 OD 所成的角.由 (1知, AB ⊥平面 ODE ,所以 AB ⊥ OE . 又 DE ⊥ AB ,于是∠ DEO 是二面角α-MN -β的平面角,从而∠ DEO =60°.不妨设 AB =2,则 AD =2,易知 DE =在 Rt △ DOE 中, DO =DE ·sin 60°=32连接 AO ,在 Rt △ AOD 中, cos ∠ ADO =DOAD32234. 故异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值为 34.[2014·江苏卷 ] 如图 1-4所示,在三棱锥 P - ABC 中, D , E , F 分别为棱 PC , AC , AB 的中点.已知 P A ⊥ AC , P A =6, BC =8, DF =5.求证:(1直线 P A ∥平面 DEF ; (2平面 BDE ⊥平面 ABC .图 1-416. 证明: (1因为 D , E 分别为棱 PC , AC 的中点,所以 DE ∥ P A . 又因为 P A ⊄平面 DEF , DE ⊂平面 DEF ,所以直线 P A ∥平面 DEF .(2因为 D , E , F 分别为棱 PC , AC , AB 的中点, P A =6, BC =8,所以 DE ∥ P A , DE 12P A =3, EF =12BC =4. 又因为 DF =5,所以 DF 2=DE 2+EF 2, 所以∠ DEF =90°, 即 DE ⊥ EF . 又 P A ⊥ AC , DE ∥ P A , 所以 DE ⊥AC .21因为AC ∩ EF =E , AC ⊂平面 ABC , EF ⊂平面 ABC ,所以 DE ⊥平面 ABC .又 DE ⊂平面 BDE ,所以平面 BDE ⊥平面 ABC .[2014·山东卷 ] 如图 1-4所示,四棱锥 P -ABCD 中, AP ⊥平面 PCD , AD ∥ BC , AB =BC =12AD , E , F 分别为线段 AD , PC 的中点.图 1-4(1求证:AP ∥平面 BEF ; (2求证:BE ⊥平面 P AC .18. 证明:(1设AC ∩ BE =O ,连接 OF , EC . 由于 E 为 AD 的中点,AB =BC =12, AD ∥ BC ,所以 AE ∥ BC , AE =AB =BC ,所以 O 为 AC 的中点.又在△ P AC 中, F 为 PC 的中点,所以 AP ∥ OF . 又 OF ⊂平面 BEF , AP ⊄平面 BEF , 所以 AP ∥平面 BEF .(2由题意知, ED ∥ BC , ED =BC , 所以四边形 BCDE 为平行四边形, 所以 BE ∥ CD .又 AP ⊥平面 PCD ,所以 AP ⊥ CD ,所以 AP ⊥ BE . 因为四边形 ABCE 为菱形, 所以 BE ⊥ AC .又 A P ∩ AC =A , AP , AC ⊂平面 P AC , 所以 BE ⊥平面 P AC .22[2014·江西卷 ] 如图 1-1所示, 三棱柱 ABC - A 1B 1C 1中, AA 1⊥ BC , A 1B ⊥BB 1.(1求证:A 1C ⊥ CC 1; (2若 AB =2, AC 3, BC 7, 问 AA 1为何值时, 三棱柱 ABC - A 1B 1C 1体积最大,并求此最大值.19. 解:(1证明:由 AA 1⊥ BC 知 BB 1⊥ BC . 又 BB 1⊥ A 1B ,故 BB 1⊥平面BCA 1,所以 BB 1⊥ A 1C .又 BB 1∥ CC 1,所以 A 1C ⊥ CC 1. (2方法一:设 AA 1=x .在 Rt △ A 1BB 1中, A 1B =A 1B 1-BB 1=4-x .同理, A 1C A 1C 1-CC 13-x . 在△ A 1BC 中,cos ∠ BA 1C =A 1B 2+A 1C 2-BC 22A 1B ·A 1C =-x 2(4-x (3-xsin ∠ BA 1C =12-7x (4-x (3-x所以 S △ A 1BC =12A 1B ·A 1C ·sin ∠ BA 1C =12-7x 2从而三棱柱 ABC - A 1B 1C 1的体积 V =S 直 ·l =S △ A 1BC ·AA 1=x 12-7x 2因为 x 12-7x =12x -7x =-7⎝⎛x 2-672+367 所以当 x 67427AA 1=427V 取到最大值 377(2方法二:过 A 1作 BC 的垂线,垂足为 D ,连接 AD .由 AA 1⊥ BC , A 1D ⊥ BC ,得 BC ⊥平面 AA 1D ,故 BC ⊥ AD . 又∠ BAC =90°,所以S △ ABC 12·BC =12AB ·AC ,得 AD 27设 AA 1=x . 在 Rt △ AAA 1D AD -AA 1S △ A 1BC =12A 1D ·从而三棱柱 ABC - A 1B 1C 1的体积 V =S 直 ·l =S △ A 1BC ·AA 1=x 12-7x 2因为 12-7x =12x -7x -7⎝⎛x 2672367,所以当 x 67427AA 1=427V 取到最大值 37723[2014·辽宁卷 ] 如图 1-4所示, △ ABC 和△ BCD 所在平面互相垂直, 且 AB =BC =BD =2,∠ ABC =∠ DBC =120°, E , F , G 分别为 AC , DC , AD 的中点.(1求证:EF ⊥平面 BCG ; (2求三棱锥 D -BCG 的体积.附:锥体的体积公式 V =13Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高.19. 解:(1证明:由已知得△ ABC ≌△ DBC , 因此 AC =DC .又 G 为 AD 的中点,所以 CG ⊥ AD ,同理 BG ⊥ AD . 又BG ∩ CG =G ,所以 AD ⊥平面 BGC . 又 EF ∥ AD ,所以 EF ⊥平面 BCG.(2在平面 ABC 内,作 O . 由平面 ABC ⊥平面 BCD ,知 AO ⊥平面 BDC .又 G 为 AD 的中点,所以 G 到平面 BDC 的距离 h 是 AO 长度的一半. 在△AOB 中, AO =AB ·sin 603,所以V 三棱锥 D -BCG =V 三棱锥 G -BCD =13·S △ DBC ·h =13×12BD ·BC ·sin 12032=12.[2014·全国新课标卷Ⅰ ] 如图 1-4,三棱柱 ABC - A 1B 1C 1中,侧面 BB 1C 1C 为菱形, B 1C 的中点为 O ,且 AO ⊥平面 BB 1C 1C.图 1-4(1证明:B 1C ⊥ AB ;(2若 AC ⊥ AB 1, ∠ CBB 1=60°, BC =1, 求三棱柱 ABC - A 1B 1C 1的高.19. 解:(1证明:连接 BC 1,则 O 为 B 1C 与 BC 1的交点. 因为侧面 BB 1C 1C 为菱形,所以 B 1C ⊥ BC 1. 又 AO ⊥平面 BB 1C 1C ,所以 B 1C ⊥ AO , 由于BC 1∩ AO =O ,故 B 1C ⊥平面 ABO . 由于 AB ⊂平面 ABO ,故 B 1C ⊥ AB .(2作 OD ⊥ BC ,垂足为 D ,连接 AD . 作 OH ⊥ AD ,垂足为 H . 由于 BC ⊥ AO , BC ⊥ OD ,且AO ∩ OD =O , 故 BC ⊥平面 AOD ,所以 OH ⊥ BC . 又 OH ⊥ AD ,且AD ∩ BC =D , 所以 OH ⊥平面 ABC .24因为∠ CBB 1=60°,所以△ CBB 1为等边三角形,又 BC =1,可得 OD =4. 因为 AC ⊥ AB 1,所以 OA =12B 1C =12.由 OH ·AD =OD ·OA ,且 AD =OD +OA 74,得 OH =2114. 又 O 为 B 1C 的中点, 所以点 B 1到平面 ABC 的距离为 217故三棱柱 ABC - A 1B 1C 1的高为217[2014·四川卷 ] 在如图 1-4所示的多面体中,四边形 ABB 1A 1和 ACC 1A 1 都为矩形.(1若 AC ⊥ BC ,证明:直线 BC ⊥平面 ACC 1A 1.(2设 D , E 分别是线段 BC , CC 1的中点,在线段 AB 上是否存在一点 M ,使直线 DE ∥平面 A 1MC ?请证明你的结论.。
新课标I(第03期)-2014届高三名校数学(理)试题分省分项汇编 专题10 立体几何原卷版Word版无答案
一．基础题组1. 【河北省衡水中学2014届高三上学期四调考试】右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是（）A．24π B．6π C．18π D．12π2. 【河南省郑州市2014届高中毕业年级第一次质量预测试题】如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的表面积为（）A．15+ B．．30+．3. 【山西省曲沃中学2014届高三上学期期中考试】如图，是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，且正视图、侧视图都是矩形，则该几何体的体积是（）A．24 B．12 C． 8 D．44. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】已知不重合的两条直线m l ,和不重合的两个平面βα,，下列命题正确的是（ ） A ．ββ//,//,//m l m l 则 B. βαβα//,,l l m 则⊂= C. βαβα//,l l 则，⊥⊥ D. βααβ⊥⊥⊥⊥则,,,l m m l5. 【唐山市2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．816π+B ．816π-C ．88π+D ．168π-6. 【河北省衡水中学2014届高三上学期四调考试】如图，已知球O 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为 .7. 【唐山市2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试】（本题满分12分） 如图，在三棱锥P ABC -中，PA PB AB BC ===，090PBC ∠=，D 为AC 的中点，AB PD ⊥.（1）求证：平面PAB ⊥平面ABC ； （2）求二面角B PD C --的余弦值.8. 【河北省衡水中学2014届高三上学期四调考试】正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，AD CD ⊥，//AB CD ，122AB AD CD ===，点M 在线段EC 上且不与E ，C 重合.（Ⅰ）当点M 是EC 中点时，求证：//BM 平面ADEF ；（Ⅱ）当平面BDM 与平面ABF 时，求三棱锥M-BDE 的体积.9.【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】（本小题满分12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°.（1）求证：BD⊥PC；（2）设E为PC的中点，点F在线段AB上，若直线EF∥平面PAD，求AF的长；（3）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．二．能力题组1. 【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( )2. 【山西省曲沃中学2014届高三上学期期中考试】已知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点，AB=2．∠ASC=∠BSC=45°则棱锥S —ABC 的体积为( )A B C D 3. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.1B.2C. 3D. 44. 【唐山市2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试】如图，直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB AC =，侧面11BCC B 是半球底面圆的内接正方形，则侧面11ABB A 的面积为（ ）A ．2B ．1C D5. 【河南省郑州市2014届高中毕业年级第一次质量预测试题】已知三棱柱111ABC A B C -的2AB =，1AC =，060BAC ∠=，则此球的表面积等于 .6. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，设AC 与BD 相交于点O ，若060=∠=∠DBF DAB ，且FC FA =.（1）求证：EAD FC 平面∥； （2）求二面角B FC --A 的余弦值.7. 【河南省郑州市2014届高中毕业年级第一次质量预测试题】（本小题满分12分）在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为矩形，1AB =，1AA =，D 为1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，CO ⊥侧面11ABB A .（1）证明：1BC AB ⊥；（2）若OC OA =，求直线1C D 与平面ABC 所成角的正弦值.三．拔高题组1. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】已知三棱锥A-BCD 中，平面AB D⊥平面BCD ，BC⊥CD,BC=CD=4,AB=AD=32，则三棱锥A-BCD的外接球的大圆面积为（ ） A. π36B. π27C. π12D. π92. 【山西省曲沃中学2014届高三上学期期中考试】如图1，在直角梯形ABCD 中，90ABC DAB ∠=∠= ，30CAB ∠= ，2BC =，4AD =. 把DAC ∆沿对角线AC 折起到PAC ∆的位置,如图2所示,使得点P 在平面ABC 上的正投影H 恰好落在线段AC 上，连接PB ,点,E F 分别为线段,PA AB 的中点．(1) 求证：平面//EFH 平面PBC ； (2)求直线HE 与平面PHB 所成角的正弦值；(3)在棱PA 上是否存在一点M ,使得M 到点,,,P H A F 四点的距离相等？请说明理由.。
(四川 重庆版 第03期)2014届高三数学 名校试题分省分项汇编 专题10 立体几何 理
四川，重庆版（第03期）-2014届高三名校数学（理）试题分省分项汇编 专题10 立体几何一．基础题组1. 【四川省绵阳南山中学2014高三12月月考数学（理）】已知四棱锥ABCD P -的三视图如图，则四棱锥ABCD P -的全面积为( )A. 53+B. 52+C. 5D. 42. 【四川省眉山市高2014届第一次诊断性考试数学（理）】某几何体的三视图如图所示，则其体积为_______。
3. 【四川省眉山市高2014届第一次诊断性考试数学（理）】设n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若βα⊥, ,α⊂m ,β⊂n 则n m ⊥B ．若,,m m n n αβ⊥ ，则,ββα⊂⊥m C ．若n m ⊥，,α⊂m ,β⊂n 则,ββα⊂⊥m D ．若,//ββα⊂m ,αm ,β⊂n 则n m //对C 、D ，从下面两图可以看出，不成立.考点：空间直线与平面的位置关系.4. 【成都石室中学2014届高三上期“一诊”模拟考试（二）（理）】下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．1 B．13C．12D．325. 【四川省绵阳市高2014届第二次诊断性考试数学（理）】一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为（）A．8+3πB．8+23πC．8+83πD．8+163π6. 【四川省绵阳南山中学2014高三12月月考数学（理）】已知a、b、c为三条不重合的直线，下面结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个7. 【四川省绵阳南山中学2014高三12月月考数学（理）】如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( )A. 平面ABD⊥平面ABCB. 平面ADC⊥平面BDCC. 平面ABC⊥平面BDCD. 平面ADC⊥平面ABC8. 【四川省成都七中高2014届高三“一诊”模拟考试数学（理）】平面四边形ABCD 中，,且AD AB ⊥，现将ABD ∆沿着对角线BD 翻折成/A BD ∆，则在/A BD ∆折起至转到平面BCD 内的过程中，直线/A C 与平面BCD 所成的最大角的正切值为( )A 1B 12【答案】C 【解析】试题分析：如下图，1OA =，2OC =.当A C '与圆相切时，直线/A C 与平面BCD 所成角最大，最大角为30 .选C.考点：1、空间直线与平面所成的角；2、三角函数值.9. 【四川省成都七中高2014届高三“一诊”模拟考试数学（理）】已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为___________3cm10. 【四川省成都七中高2014届高三“一诊”模拟考试数学（理）】已知正四面体ABCD 的棱长为1，M 为AC 的中点，P 在线段DM 上，则2()AP BP +的最小值为_____________；考点：1、空间几何体；2、余弦定理.11. 【四川省成都七中高2014届高三“一诊”模拟考试数学（理）】已知平行六面体1111ABCD A B C D -，1AC 与平面1A BD ，11CB D 交于,E F 两点。
高三数学 名校试题分省分项汇编专题10 立体几何(含解析)理
（新课标I 版01期）2014届高三数学 名校试题分省分项汇编专题10立体几何（含解析）理一．基础题组1. 【山西省长治二中 康杰中学 临汾一中 忻州一中2013届高三第四次四校联考】已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为43的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是( )A ．36B ．312C ． 318D ． 3242. 【山西省长治二中 康杰中学 临汾一中 忻州一中2013届高三第四次四校联考】一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是球体的一部分，则这个几何体的表面积为( )A ．3π B．4π C．6π D．8π 【答案】B3. 【山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中2014届高三第一次四校联考】如图是一几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A.9B.10C.12D. 184. 【2013年河南省十所名校高三第三次联考试题】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )3 俯视图2223 3 4侧视图主视图A ．2πB ．22πC ．（22＋1）π D．（22＋2）π5. 【唐山市2013-2014学年度高三年级摸底考试】某几何体的三视图如图所示，则它的侧面积为（ ）A ．125B ．242C ．24D ．123【答案】A 【解析】试题分析：由三视图得,这是一个正四棱台,由条件22215h =+=，侧面积(24)541252S +⨯=⨯=.考点：1.三视图；2.正棱台侧面积的求法.6. 【河南省方城一高2014届高三第一次调研（月考）】一个直三棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．2327. 【2012-2013学年度南昌市高三第二次模拟测试卷】若空间几何体的三视图如图所示，则该几何体体积为（ ） A.34 B.334 C.38 D.88. 【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学】一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．23B．250C．433D．533【答案】D【解析】试题分析：观察三视图可知，这是一个正三棱柱削去一个三棱锥，底面边长为2，高为2.截去的三棱锥高为1，所以，几何体的体积为11153232232323⨯-⨯⨯=，故选.D考点：三视图，体积计算.的底面是边长为42的9. 【河北省唐山市2013届高三第二次模拟考试】四棱锥P ABCD正方形，侧棱长都等于45，则经过该棱锥五个顶点的球面面积为__________.考点：四棱锥与球的组合体问题.10. 【河南省方城一高2014届高三第一次调研（月考）】已知正四棱柱的底边和侧棱长均为32，则该正四棱锥的外接球的表面积为 .11. 【中原名校联盟2013——2014学年高三上期第一次摸底考试】（本小题满分12分）如右图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是边长为2的等边三角形，AE6＝1，CD与平面ABDE（Ⅰ）若F 是线段CD 的中点，证明：EF ⊥面DBC; （Ⅱ）求二面角D －EC －B 的平面角的余弦值．)1,21,23(),1,10()210(),010()003(F E D B C -，，，，，，，，，取BC 的中点为M ，则AM ^面BCD )0,23,23()0,23,23(−→−=−→−AMEF ，所以EF //M A u u r u u u u r ，所以EF ⊥面DBC ；12. 【山西省长治二中 康杰中学 临汾一中 忻州一中2013届高三第四次四校联考】如图，已知长方形ABCD 中，1,2==AD AB ,M 为DC 的中点. 将ADM ∆沿AM 折起，使得平面⊥ADM 平面ABCM . （I ）求证：BM AD ⊥ ；（II ）若点E 是线段DB 的中点，求二面角D AM E --的余弦值.以O 为原点如图建立空间直角坐标系，根据已知条件，得0m AE ⋅=u r u u u r ，2032220x x y z ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩，取1y =，得012x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，(0,1,2)m ∴=-u r ，5cos ,55m n m n m n⋅∴〈〉===u r ru r r u r r D AM E --55. 考点：1、空间向量垂直的坐标运算公式 ; 2、向量法求二面角.13. 【山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中2014届高三第一次四校联考】（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ABCD ⊥底面，AB AD ⊥，AC CD ⊥，PA AB BC AC ===，E 是PC 的中点．（1）求证：PD ABE ⊥平面；（2）求二面角A PD C --的平面角的正弦值．（2）如图建立空间直角坐标系，设a AC =，则(0,0,0)A 、(0,0,)P a 、(,0,0)B a 、0,,03D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，14. 【唐山市2013-2014学年度高三年级摸底考试】（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD ADEF ABGF 、、均为全等的直角梯形，且//BC AD ，2AB AD BC ==.（Ⅰ）求证：//CE 平面ABGF ； （Ⅱ）求二面角G CE D --的余弦值.（Ⅱ）由题意，AB AD AF 、、两两垂直，以AB 为x 轴，AD 为y 轴建立空间直角坐标系A xyz -． 设1BC =，则(2,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,1,2)E ，(1,0,2)G ．设平面CED 的一个法向量为(,,)m x y z =u r，考点：1.线面平行的判断定理；2.向量法解题.15. 【河南省方城一高2014届高三第一次调研（月考）】(本小题满分12分)已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1PA AD ==，2AB =，,E F 分别是AB PD 、的中点.（1）求证：//AF 平面PEC ； （2）求二面角P EC D --的余弦值.【答案】(1)证明过程详见解析；（2）33. 【解析】试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景，考查线面平行的判定和二面角的求法，可以运用传统几何法，也可以用空间向量方法求解，突出考查空间想象能力和计算能力.第一问，利用线面平行的判定定理，先找出面内的一条线ME ，利用平行四边形证明//AF EM ，从而证明线面平行；第二(2)解：以A 为原点，如图建立直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,1,0)C ， (0,1,0)D ，(1,0,0)E ，11(0,,)22F ，(0,0,1)P ．16. 【河北省唐山市2013届高三第二次模拟考试】如图，直三棱柱ABC A B C -111中，AB=BC ，∠=︒90ABC ，Q 是AC 上的点，AB 1//平面BC 1Q.（Ⅰ）确定点Q 在AC 上的位置;（Ⅱ）若QC 1与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为42，求二面角Q －BC 1—C 的余弦值.（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系．设AB ＝BC ＝a ，BB 1＝b ，则 面BC 1C 的法向量为m ＝(1，0，0)．17. 【石家庄市2013届高中毕业班第一次模拟】(本小题满分i2分） 如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA 丄平面ABCD, 090=∠=∠ADC ABC ，0120=∠BAD ,AD=AB=1,AC 和 BD 交于O 点.(I)求证：平面PBD 丄平面PAC.(II)当点A 在平面P B D 内的射影G 恰好是ΔPBD 的重心时，求二面角B-PD-A 的余弦值.（Ⅱ）过A 作AD 的垂线为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立如图所示坐标系，则 31(,,0)2B -，(0,1,0)D ，(3,1,0)C ,设(0,0,)P λ，所以31(,,)63G λ， 31(,,)2PB λ=--u u u r ，由AG PB ⊥，得3131(,)(,,)066322AG PB λλ⋅=⋅--=u u u r u u u r 解得212λ=，2λ=.………………6分 ∴P 点的坐标为2(0,； 面PBD 的一个法向量为6(3,1,2)AG ==u u u rm ，……………8分18. 【石家庄市2013届高中毕业班第一次模拟】如图,正方形ABCD中,EF//AB,若沿EF将正方形折成一个二面角后,AE:ED:AD=1：1：2,则AF与CE所成的角的余弦值为______.考点：二面角、异面直线所成的角、余弦定理.19. 【河北唐山开滦二中2013~2014学年度第一学期高三年级期中考试】（本小题满分12分 ）已知如图，平行四边形ABCD 中，2BC =，2=CD ，CD BD ⊥，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，,G H 分别是,DF BE 的中点。
高三数学 名校试题分省分项汇编专题10 立体几何(含解
（新课标II 版01期） 2014届高三数学 名校试题分省分项汇编专题10 立体几何（含解析）理一．基础题组1. 【内蒙古赤峰市全市优质高中2014届高三摸底考试理科数学】 已知矩形ABCD 的顶点都在半径为5的球O 的球面上，且AB ＝6, BC=25，则棱锥O-ABCD 的侧面积为( ) A. 20+85 B. 44 C 、205 D 、462.【吉林市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测试理科数学】 设n m ,是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，有下列四个命题： ① 若αβαβ⊥⊥⊂m m 则,,；② 若βαβα//,,//m m 则⊂；③ 若βαβα⊥⊥⊥⊥m m n n 则,,,； ④ 若//,//,//m m αβαβ则其中正确命题的序号是（ ） A. ①③B. ①②C. ③④D. ②③考点：线面关系和面面关系.3. 【齐齐哈尔市2013届高三第二次模拟考试理科数学】 某几何体的三视图如图所示，俯视图是边长为4的正三角形，则此几何体的表面积为 ．4. 【吉林省白山市高三摸底考试理科数学】 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．12B ．11C ．312 D ．311 正视 侧视图俯视图25. 【昆明第一中学2014届高三开学考试理科数学】 如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边长均为1，则该几何体的表面积为（ ）(A)21+ (B)222+ (C)13(D)22+【答案】D 【解析】试题分析：由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱锥底面是一个边长为1的正方形，故底面积6. 【吉林市普通高中2012—2013学年度高中毕业班下学期期末复习检测数学（理科）】某几何体的三视图如图所示，其正视图，侧视图，俯视图均为全等的正方形，则该几何体的体积为（ ） A.34B.38C. 6D. 627.【昆明第一中学2014届高三开学考试理科数学】已知A 、B 、C 、D 四点在半径为29的球面上，且13,5AC BD AD BC ====，CD AB =，则三棱锥D ABC -的体积是 ． 【答案】8 【解析】试题分析：8. 【吉林省白山市高三摸底考试理科数学】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .9. 【吉林市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测试理科数学】某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A．4383+ B．4283+ C．2383+ D．32310.【吉林市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测试理科数学】四面体ABCD中，共顶点A的三条棱两两相互垂直，且其长别分为1、6、3，若四面体ABCD的四个项点同在一个球面上，则这个球的表面积为 .11.【内蒙古赤峰市全市优质高中2014届高三摸底考试理科数学】某三棱锥的三视图如图所示．则该三棱锥的体积为．12.【2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测理科数学】 如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是半径为2的半圆，俯视图是半径为2的圆，则该几何体的体积等于( )（A ）34π （B ）38π （C ）316π （D ）332π13.【云南省玉溪一中2014届高三上学期第一次月考数学（理科）】 一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积是 （ ） （A ）624+ （B ）64+（C ）224+ （D ）24+14.【云南师大附中2014届高考适应性月考试卷（一）理科数学】某几何体的三视图及部分数据如图1所示，则此几何体的体积是( ) A.23 B.3 C.2 D.3【答案】A 【解析】试题分析：几何体是三棱柱，体积：2333121=⨯⨯⨯==sh V ,故选A ． 考点：三视图和几何体的体积 二．能力题组1.【吉林省白山市高三摸底考试理科数学】 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点。
高三数学 名校试题分省分项汇编试题 专题10 立体几何
（山东版 第02期）2014届高三数学 名校试题分省分项汇编试题 专题10 立体
几何 文（解析版）
一．基础题组
1. （山东省淄博一中2014届高三上学期期中模块考试）已知a 、b 为空间中不同的直线，α、β、γ为不同的平面，下列命题中正确命题的个数是( )
⑴ 若a ∥α,a ⊥b,则b ⊥α； ⑵ αβαγ⊥P ，，则βγ⊥；
⑶ 若a ,b ,a,b ββα⊂P P ,则α∥β ⑷ a αββ⊥⊥，，则a ∥α A.0 B.1 C.2 D.3
2. （山东省淄博一中2014届高三上学期期中模块考试）.一个几何体的三视图如右下图所示，则这个几何体的表面积为 .
二．能力题组
1. （山东省淄博一中2014届高三上学期期中模块考试）(本小题满分12分)
如图，矩形ABCD 中，F E BC AB ,.4,3==分别在线段AD BC 和上，AB EF //，将矩形ABEF 沿EF 折起，记折起后的矩形为MNEF ，且平面ECDF MNEF 平面⊥.
⑴ 求证：MFD NC 平面//；
⑵ 若3=EC ，求证：FC ND ⊥；
⑶ 求四面体NEFD 体积的最大值。
【解析】。
(福建 安徽版 第03期)2014届高三数学 名校试题分省分项汇编 10.立体几何 文
第十章立体几何一．基础题组1.【2014某某涡阳蒙城】如图⑴、⑵、⑶、⑷为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为（）A．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台D．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台2.【2014某某南安一中】下列图形中不一定是平面图形的是（）A. 三角形B. 四边相等的四边形C. 梯形D.平行四边形【答案】B3.【2014某某南安一中】如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）A ．π9B ．π10C ．π11D ．π124.【2014某某南安一中】ABC ∆的斜二侧直观图如图所示，则ABC ∆的面积为（ ）A ．1B ．2C ．22D ．2【答案】B【解析】试题分析：根据斜二测画法的原则可知ABC ∆的底为2，高为2，所以面积为2.考点：本题考查空间几何体的直观图及画法（斜二测画法），原则“横不变、纵减半，平行性不改变”.5．【2014某某四地六校高三第三次月考数学文】如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的表面积是A ．443+B ．12C ．43D ．8【答案】B【解析】 6.【2014某某南安一中】设m n 、是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m α⊥，//n α，则m n ⊥ ②若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥ ③若//m α，//m β，n αβ⋂=，则//m n ④若αγ⊥，βγ⊥，m αβ⋂=，则m γ⊥ 正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4俯视图 主视图 侧视图考点：本题考查直线与平面平行与垂直的判定、平面与平面的平行与垂直的判断，考查空间想象能力，逻辑思维能力．7．【2014某某四地六校高三第三次月考数学文】已知n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，下列命题正确的是( )（A ）若αα//,//n m ，则n m //．（B ）若γαβα⊥⊥,，则γβ//．（C ）若βα//,//m m ，则βα//．（D ）若βα⊥⊥m m ,，则βα//．8.【2014皖西七校联合考试数学文】已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，给出下列命题：①若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥；②若m α⊥，//n β，且m n ⊥，则αβ⊥；③若//m α，//n β，且//m n ，则//αβ；④若m α⊥，//n β，且//m n ，则//αβ.其中正确命题的个数是（ ）A .0B .1C .2D .3【答案】B【解析】①利用当两个平面的法向量互相垂直时，这两个平面垂直，可以知道①正确； ②由题意画出反例图为：9.【2014皖西七校联合考试数学文】一个几何体的三视图如图,则该几何体的表面积为.10.【2014某某南安一中】已知一个球的表面积为264cm π，则这个球的体积为3cm 。
(北京版第01期)2014届高三数学 名校试题分省分项汇编 专题10 立体几何 理(无答案)
版（第01期）-2014届高三名校数学（理）试题分省分项汇编：专题10 立体几何（原卷版）无答案一．基础题组1.【101中学2014届高三上学期10月阶段性考试数学试卷（理科）】已知某几何体的三视图（如图），其中俯视图和左视图都是腰长为4的等腰直角三角形，主视图为直角梯形，则此几何体的体积V 的大小为（ ）A.335B. 12 C. 340D. 16 2.【市海淀区2013届高三5月模拟】 某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为( )A ．180B ．240C ．276D ．3003.【市西城区2013年高三二模试卷（理科）】对于直线m ，n 和平面α，β，使m ⊥α成立的一个充分条件是（ ）（A ）m n ⊥，n ∥α （B ）m ∥β，⊥βα （C ）m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α （D ）m n ⊥，n ⊥β，⊥βα4．【市房山区2013届高三第二次模拟考试数学试题（理科）】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为( )A ．9182+ B. 1893+ C. 1832+ D. 95.【市昌平区2013届高三第二次质量抽测数学试题(理科)】已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是( )A ．3B ．25．6D ．86.【市东城区2013届高三下学期综合检测（二）数学试题(理科)】已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（ ）俯视图侧（左）视图正（主）视图A ．1B ．2C ．3D ．47.【市某某区2013届高三下学期综合检测（二）数学试题（理科）】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A．16B．13C．12D．18.【市东城区普通高中示X校2013届高三3月联考（二）数学试题（理科）】已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（）9.【市顺义区2013年高考数学二模试卷(理科)】一个几何体的三视图如图所示,若该几何体的表面积为92m2,则h m.10.【市顺义区2013届高三第二次模拟考试数学试题（理科）】一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为292m ，则______h m =.二．能力题组1.【市海淀区2013届高三5月模拟】正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若动点P 在线段1BD 上运动，则DC AP ⋅的取值X 围是______________.2.【市丰台区2013届高三第二次模拟考试数学试题（理科）】如图(1)，等腰直角三角形ABC 的底边AB=4，点D 在线段AC 上，DE AB ⊥于E ，现将△A DE 沿D E 折起到△PDE 的位置（如图（2））.（Ⅰ）求证：PB ⊥DE ；（Ⅱ）若PE ⊥BE ，直线PD 与平面PBC 所成的角为30°，求PE 的长.3.【市顺义区2013届高三第二次模拟考试数学试题（理科）】如图,在长方体1111D C B A ABCD -中,11==AD AA ,E 为CD 的中点,F 为1AA 的中点.(I)求证:⊥1AD 平面E B A 11; (II)求证://DF 平面E AB 1;(III)若二面角11A E B A --的大小为 45,求AB 的长. 三．拔高题组1.【市某某区2013届高三下学期综合检测（二）数学试题（理科）】点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面1111A B C D 上一点，则1PC PA ⋅的取值X 围是( )A ．1[1,]4--B ．11[,]24--C ．[1,0]-D ．1[,0]2- 2.【101中学2014届高三上学期10月阶段性考试数学试卷（理科）】如图所示，正方形D D AA 11与矩形ABCD 所在平面互相垂直，22==AD AB ，点E 为AB 的中点.（1）求证：1BD ∥平面DE A 1； （2）求证：E D 1⊥D A 1；（3）在线段AB 上是否存在点M ，使二面角D MC D --1的大小为6π？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由.3.【市西城区2013年高三二模试卷（理科）】如图1，四棱锥ABCD P -中，⊥PD 底面ABCD ，面ABCD 是直角梯形，M 为侧棱PD 上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示． （Ⅰ）证明：⊥BC 平面PBD ； （Ⅱ）证明：AM ∥平面PBC ；（Ⅲ）线段CD 上是否存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为43？若存在，找到所有符合要求的点N ，并求CN 的长；若不存在，说明理由．4.【市顺义区2013年高考数学二模试卷(理科)】如图,在长方体1111D C B A ABCD -中,11==AD AA ,E 为CD 的中点,F 为1AA 的中点.(I)求证:⊥1AD 平面E B A 11; (II)求证://DF 平面E AB 1;(III)若二面角11A E B A --的大小为 45,求AB 的长.5.【市昌平区2013届高三第二次质量抽测数学试题(理科)】如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ，且22PA PD AD ==,E 、F 分别为PC 、BD 的中点．(Ⅰ) 求证：EF //平面PAD ； (Ⅱ) 求证：面PAB ⊥平面PDC ；(Ⅲ) 在线段AB 上是否存在点,G 使得二面角C PD G --的余弦值为13？说明理由. 6.【市东城区2013届高三下学期综合检测（二）数学试题(理科)】如图，BCD △是等边三角形， AB AD =，90BAD ∠=︒，将BCD △沿BD 折叠到BC D '△的位置，使得AD C B '⊥．⑴求证：AD AC '⊥；⑵若M ，N 分别是BD ，C B '的中点，求二面角N AM B --的余弦值．7.【市某某区2013届高三下学期综合检测（二）数学试题（理科）】如图，四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，PD EA //，22AD PD EA ===，F ，G ， H 分别为PB ，EB ，PC 的中点．（Ⅰ）求证：FG //平面PED ；（Ⅱ）求平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小；（Ⅲ）在线段PC 上是否存在一点M ,使直线FM 与直线PA 所成的角为60？若存在，求出线段PM 的长；若不存在，请说明理由.8.【市东城区普通高中示X 校2013届高三3月联考（二）数学试题（理科）】在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，ABCD PD 底面⊥，1=AB ，2=BC ，3=PD ，F G 、分别为CD AP 、的中点． （1）求证：PC AD ⊥； （2）求证：//FG 平面BCP ；（3）线段AD 上是否存在一点R ，使得平面⊥BPR 平面PCB ，若存在，求出AR 的长；若不存在，请说明理由．F G PD CBA9.【市房山区2013届高三第二次模拟考试数学试题（理科）】如图,ABCD 是正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE AF //，3DE DA AF ==.(Ⅰ) 求证：AC ⊥BE ；(Ⅱ) 求二面角D BE F --的余弦值；（Ⅲ）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得//AM 平面BEF ，证明你的结论.10.【市海淀区2013届高三5月模拟】如图1，在直角梯形ABCD 中，90ABC DAB ∠=∠=，30CAB ∠=，2BC =，4AD =. 把DAC ∆沿对角线AC 折起到PAC ∆的位置,如图2所示,使得点P 在平面ABC 上的正投影H 恰好落在线段AC 上，连接PB ,点,E F 分别为线段,PA AB 的中点．(I)求证：平面//EFH 平面PBC ；(II)求直线HE 与平面PHB 所成角的正弦值；(III)在棱PA 上是否存在一点M ,使得M 到点,,,P H A F 四点的距离相等？请说明理由.。
(江苏版 第03期)2014届高三数学 名校试题分省分项汇编 专题10 立体几何 文
江苏版（第03期）-2014届高三名校数学（文）试题分省分项汇编 专题10 立体几何一．基础题组1. 【江苏省诚贤中学2014届高三数学月考试题】正三棱锥S ABC -中，2BC =，SB =D E 、分别是棱SA SB 、上的点，Q 为边AB 的中点，SQ CDE ⊥平面，则三角形CDE 的面积为 ．2. 【南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试】在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，侧棱PA ⊥底面A B C D ，2PA =，E 为AB 的中点，则四面体P B C E 的体积为 .3. 【苏州市2014届高三调研测试】若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为 ▲ ．4. 【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试】 m ，n 是不同的直线，α，β是不同的①.若 n m //，β⊥m ， 则 β⊥n ；②.若n m //，β//m ， 则 β//n ； ③. 若 α//m ，β//m ，则 βα//； ④.若 α⊥n ，β⊥n ，则 βα⊥．5. 【江苏省扬州中学2013—2014学年第一学期月考】 已知直线 ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题：①α∥β⇒ ⊥m；②α⊥β⇒ ∥m；③ ∥m ⇒α⊥β；④ ⊥m ⇒α∥β 其中正确命题序号是 ．⊥α，⇒ m⊥ααβ⇒⊥，③对；由 ⊥m，不能得出 ⊥β，故也不能有α∥β，④错． 考点：直线与平面垂直的判定与性质．6. 【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试】 四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD 是边长为1的正方形，ABCD PA ⊥，2=PA ，则该球的体积为 ▲_ ．7. 【苏北四市2014届高三第一次质量检测】 1，则此三棱锥的体积为 ．8. 【南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试】 如图，在正三棱锥111ABC A B C -中，E ，F 分别为1BB ，AC 的中点.（1）求证：//BF 平面1A EC ；（2）求证：平面1A EC ⊥平面11ACC A .9. 【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试】 在长方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,AD DD 的中点，2AB BC ==，过11A C B 、、三点的的平面截去长方体的一个角后.得到如图所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为403. （1）求证：EF //平面11A BC ；（2）求1A A 的长；（3）在线段1BC 上是否存在点P ，使直线1A P 与1C D 垂直，如果存在，求线段1A P 的长，如果不存在，请说明理由.P-中，底面为直角梯形，10. 【江苏省扬州中学2013—2014学年第一学期月考】如图，在四棱锥ABCD∠=，PA垂直于底面ABCD，N //,90AD BC BAD︒==2=PC,=分别为PB,2PA,BCABADM的中点．PB⊥；（1）求证：DM（2）求点B到平面PAC的距离．11. 【苏北四市2014届高三第一次质量检测】如图，在三棱锥P ABCPC AC的中-中，点,E F分别是棱,点．(1)求证：PA//平面BEF；(2)若平面PAB⊥平面ABC，PB BC⊥．⊥，求证：BC PA考点：直线与平面平行的判定、直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的性质.12. 【苏州市2014届高三调研测试】如图，在四棱锥P ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点．求证：（1）PA ∥平面MDB ；（2）PD ⊥BC ． PAB C FE D试题解析：证明：（1）连结AC 交BD 于点O ,连结OM . ………2分二．能力题组1. 【江苏省诚贤中学2014届高三数学月考试题】如图，在四棱柱1111D C B A ABCD 中，已知平面⊥C C AA 11平面,ABCD 且3===CA BC AB ,1==CD AD .(1)求证：;1AA BD ⊥(2)若E 为棱BC 的中点，求证：//AE 平面11D DCC .【答案】⑴详见解析;⑵详见解析2. 【苏州市2014届高三调研测试】如图，在空间直角坐标系O-xyz中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且13 PM BNPA BD==．（1）求证：MN⊥AD；（2）求MN与平面PAD所成角的正弦值．三．拔高题组1.2.3.。
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一．基础题组
1. 【张掖二中2013—2014学年度高三月考试卷(11月)高
三数学
（文科）
】设,,αβγ
是三个互不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A ．若,αββγ⊥⊥，则αγ⊥
B ．若//αβ，m β⊄，//m α，则//m β
C ．若αβ⊥，m α⊥，则//m β
D ．若//m α，//n β，αβ⊥，则m n ⊥
2. 【黑龙江省大庆实验中学2013--2014学年度上学期期中考试高三文科数学试题】已知
m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α； ②若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊄α，则n ∥α； ③若α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n ；
④若m ，n 是异面直线，m ⊂α，n ⊂β，m ∥β，则n ∥α. 其中正确的命题有
( ) A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．②④
3. 【黑龙江省大庆实验中学2013--2014学年度上学期期中考试高三文科数学试题】已知
一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．
143 B ．173
C ．203
D ．8
4. 【黑龙江省大庆实验中学2013--2014学年度上学期期中考试高三文科数学试题】用一
个边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，半径为1的鸡蛋（视为球体）放入其中，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为
5. 【黑龙江省佳木斯市第一中学2013—2014年度高三第三次调研试卷数学（文科）试卷】
如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A. 162π+
B. 82π+
C. 16π+
D. 8π+
6. 【黑龙江省佳木斯市第一中学2013—2014年度高三第三次调研试卷数学（文科）试卷】
如图，E,F 分别是三棱锥P ABC -的棱AP BC 、的中点，1067PC AB EF ===，，,则异面直线AB 与PC 所成的角为( )
A.30o
B. 45o
C. 60o
D. 90o
7. 【黑龙江省双鸭山一中2014届高三上学期期中考试数学（文）试题】如图，正四棱柱
1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为( )
A ．
15 B ．25 C ．35 D ．45
8. 【张掖二中2013—2014学年度高三月考试卷(11月)高
三数学
（文科）
】有一个几
何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为（ ）
A.2
3
24,12cm cm ππ
B. 23
15,12cm cm ππ C. 2
3
24,36cm cm ππ
D. 2
3
12,12cm cm ππ
9. 【黑龙江省佳木斯市第一中学2013—2014年度高三第三次调研试卷数学（文科）试卷】
在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1A B 和平面11A B CD 所成角的余弦值大小为（ ）
A B C D
10. 【黑龙江省双鸭山一中2014届高三上学期期中考试数学（文）试题】已知直角梯形
的上底和下底长分别为1和2，较短腰长为1，若以较长的底为旋转轴将该梯形旋转一周，则该旋转体的体积为( ) A ．π4 B ．π3 C ．34π D ．3
2π
11. 【黑龙江省双鸭山一中2014届高三上学期期中考试数学（文）试题】已知直线,l m ，
平面,αβ，且l α⊥，m β⊂，给出下列四个命题：
①若α∥β，则l m ⊥； ②若l m ⊥，则α∥β； ③若αβ⊥，则l ∥m ； ④若l ∥m ，则αβ⊥． 其中真命题的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12. 【黑龙江省佳木斯市第一中学
2013—2014年度高三第三次调研试卷数学（文科）试
卷】四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其他四个侧面是侧棱长为3的等腰三角形，则二面角V AB C --的余弦值的大小为( )
A B ．
4
C ．
3
D
13.【银川九中2014届第一学期第四次月考（文科试卷）】某几何体的三视图如图1所示,
它的体积为（ ） A ．72π
B ．48π
C ．30π
D ． 24π
14.【云南省昆明市2014届高三上学期第一次摸底调研测试（文科试卷）】已知,l m 是两
条不同的直线，a 是个平面，则下列命题正确的是（ ） （A ）若//,//l a m a ，则//l m (B) 若,//l m m a ⊥，则l a ⊥ (C) 若,l m m a ⊥⊥，则//l a (D) 若//,l a m a ⊥，则l m ⊥
15．【云南省昆明市2014届高三上学期第一次摸底调研测试（文科试卷）】一个几何体的
三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形，且该几何体的四个点在空间直角坐标系
O xyz -中构坐标分别是(0，0，0)，(2，0，0)，(2，2，0)，(0，2，0)，则第五个顶点的坐
标可能为（）
（A）（1，1，1）
（B）
(C)
(D) (2,
16.【云南省昆明市2014届高三上学期第一次摸底调研测试（文科试卷）】一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的表面积与球O的表面积的比值为_____________.
二．能力题组
1.【张掖二中2013—2014学年度高三月考试卷(11月)高三数学（文科）】（本小题满分12分）
-中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底在四棱锥V ABCD
面ABCD．
VA平面PBD；
（Ⅰ）如果P为线段VC的中点,求证：//
-的体积
（Ⅱ）如果正方形ABCD的边长为2, 求三棱锥A VBD
2. 【黑龙江省大庆实验中学2013--2014学年度上学期期中考试高三文科数学试题】（本小
题满分12分）
如图,直四棱柱ABCD – A 1B 1C 1D 1中,AB //CD ,AD ⊥AB ,AB =2,AD =错误！未找到引用源。
,AA 1=3,E 为CD 上一点,DE =1,EC =3
(1) 证明:BE ⊥平面BB 1C 1C ; (2) 求点1B 到平面EA 1C 1 的距离
3. 【黑龙江省佳木斯市第一中学2013—2014年度高三第三次调研试卷数学（文科）试卷】
已知空间4个球，它们的半径均为2，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这4个球都外切，则这个小球的半径为( )
A. 2
B.
3 D. 2
4.【黑龙江省佳木斯市第一中学2013—2014年度高三第三次调研试卷数学（文科）试卷】
如图，E 是矩形ABCD 中AD 边上的点，F 为CD 边的中点，2
43
AB AE AD ===，现将ABE ∆沿BE 边折至PBE ∆位置，且平面PBE ⊥平面BCDE .
⑴ 求证：平面PBE ⊥平面PEF ； ⑵ 求四棱锥P BEFC -的体积.
5. 【银川九中2014届第一学期第四次月考（文科试卷）】如图,斜三棱柱ABC-A'B'C'中,底面
是边长为a 的正三角形,侧棱长为b ,侧棱AA'与底面相邻两边AB ,AC 都成45°角. (Ⅰ)求此斜三棱柱的表面积. (Ⅱ)求三棱锥B'-ABC 的体积.
6. 【云南省昆明市2014届高三上学期第一次摸底调研测试（文科试卷）】如图，在直三棱
柱111ABC A B C -中，,D E 分别为1CC 、AD 的中点，F 为1BB 上的点，且13B F BF =
(I)证明：EF ∥平面ABC ；
(Ⅱ)若12,AC CC BC ===
3
ACB π
∠=
，求三棱锥F ABD -的体积.
三．拔高题组
1.【黑龙江省双鸭山一中2014届高三上学期期中考试数学（文）试题】直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥B1C；
（2）求证：AC1∥平面B1CD；。