课时作业48 椭圆

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人教版高三理科数学课后习题(含答案)课时规范练48椭圆

课时规范练48 椭圆基础巩固组1.已知椭圆=1的两个焦点F1,F2,M 是椭圆上一点,|MF1|-|MF2|=1,则△MF1F2是( ) A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形2.(2019山东临沂质检,6)点A,B 分别为椭圆=1(a>b>0)的左、右顶点,F 为右焦点,C 为短轴上不同于原点O 的一点,D 为OC 的中点,直线AD 与BC 交于点M,且MF⊥AB,则该椭圆的离心率为( ) A.12B.13C.√23D.√323.(2019福建福州八县(市)联考,7)椭圆x 225+y 216=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的一条直线与椭圆交于A ,B 两点,若△ABF 2的内切圆面积为π,且A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|y 1-y 2|=( ) A.√53B.103C.203D.534.已知椭圆C :x 29+y 25=1,若直线l 经过M (0,1),与椭圆交于A ,B 两点,且MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-23MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则直线l 的方程为( )A.y=±12x+1 B .y=±13x+1C.y=±x+1 D .y=±23x+15.(2019河南八市重点高中联考,9)已知F1、F2为椭圆C:=1(a>2)的左、右焦点,若椭圆C 上存在四个不同点P 满足△PF1F2的面积为4,则椭圆C 的离心率的取值范围为( ) A.(0,12)B.(12,1)C.(0,√32)D.(√32,1)6.(2019河北衡水中学高三模仿二,15)如图所示,A,B 是椭圆的两个极点,C 是AB 的中点,F 为椭圆的右核心,OC 的延长线交椭圆于点M,且|OF|=,若MF⊥OA,则椭圆的方程为 .7.(2019北京顺义区模仿,9)已知F1,F2分别为椭圆C:=1的左、右焦点,P 是C 上的恣意一点.则|PF1|·|PF2|的最大值为 ,若A(0,4),则|AP|-|PF2|的最小值为 .综合提升组8.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1(-2,0),过点F1作倾斜角为30°的直线与圆x2+y2=b2相交的弦长为√3b,则椭圆的标准方程为()A.y28+x24=1 B.x28+y24=1C.y216+x212=1 D.x216+y212=19.(2019黑龙江哈尔滨三中期末,9)已知椭圆+x2=1(a>1)的离心率e=,P为椭圆上的一个动点,则P与定点B(-1,0)连线距离的最大值为( )A.32B.2 C.52D.310.(2019河北省衡水中学一调,15)如图,A1,A2分别是椭圆+y2=1的左、右顶点,圆A1的半径为2,过点A2作圆A1的切线,切点为P,在x轴的上方交椭圆于点Q,则= .11.已知椭圆=1(a>b>0)短轴的端点P(0,b),Q(0,-b),长轴的一个端点为M,AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦,若PA,PB 的斜率之积等于-,则点P到直线QM的距离为.12.(2019山西晋城高三三模,19)已知△ABC的周长为6,B,C关于原点对称,且B(-1,0).点A的轨迹为Γ.(1)求Γ的方程;(2)若D(-2,0),直线l:y=k(x-1)(k≠0)与Γ交于E,F两点,若成等差数列,求λ的值.13.(2019河南洛阳高三统考,19)在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:=1(a>0,b>0)经过点A-,且点F(0,-1)为其一个核心.(1)求椭圆E的方程;(2)设椭圆E与y轴的两个交点为A1,A2,不在y轴上的动点P在直线y=b2上运动,直线PA1,PA2分别与椭圆E交于两点M,N,证明:直线MN颠末一个定点,且△FMN的周长为定值.14.已知动点M(x,y)满足:√(x+1)2+y2+√(x-1)2+y2=2√2, (1)求动点M的轨迹E的方程;(2)设A,B是轨迹E上的两个动点,线段AB的中点N在直线l:x=-上,线段AB的中垂线与E交于P,Q两点,是否存在点N,使以PQ为直径的圆经过点(1,0),若存在,求出N点坐标,若不存在,请阐明来由.创新应用组15.(2019贵州遵义模仿,20)已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2,点P为椭圆上一点,∠F1PF2=90°,△F1PF2的面积为1.(1)求椭圆的标准方程;(2)设点B为椭圆的上极点,过椭圆内一点M(0,m)的直线l交椭圆于C,D两点,若△BMC与△BMD的面积比为2∶1,求实数m的取值范畴.参考答案课时规范练48椭圆1.B由题意|MF1|+|MF2|=4,又|MF1|-|MF2|=1,联立后可解得|MF1|=,|MF2|=,又|F1F2|=2c=2=2,∵22+,∴MF2⊥F1F2,∴△MF1F2是直角三角形.故选B.2.B 由题意如图,MF⊥AB,且OC⊥AB,∴MF ∥OC ,同理MF ∥OD , ∴ODMF =OAAF =aa+c ,① MF OC =FB OB =a -ca ,②①×②得到OD MF ·MFOC =aa+c ·a -c a=a -ca+c =ODOC =12,∴2(a-c )=c+a ,∴a=3c ,∴e=ca =13.故选B . 3.B∵椭圆x 225+y 216=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,过焦点F 1的直线交椭圆于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,△ABF 2的内切圆的面积为π,∴△ABF 2内切圆半径r=1,S △ABF 2=12×1×(AB+AF 2+BF 2)=2a=10. ∵S △ABF 2=12|y 1-y 2|×2c=12|y 1-y 2|×2×3=10,∴|y 1-y 2|=103.故选B .4.B 设直线l 的斜率为k ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则直线l 的方程为y=kx+1.因为MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-23MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以2x 2=-3x 1,联立{y =kx +1,x 29+y 25=1,得(5+9k 2)x 2+18kx-36=0,则{x 1+x 2=-18k5+9k 2,x 1x 2=-365+9k2,2x 2=-3x 1,解得k=±13,即所求直线方程为y=±13x+1. 5.D 设P (x 0,y 0),S △PF 1F 2=1|F 1F 2|·|y 0|=c|y 0|=4√3,则|y 0|=4√3c =√3√2,若存在四个不同点P 满足S △PF 1F 2=4√3,则0<|y 0|<2,即0<√3√2<2,解得a>4,故e=√a 2-4a=√1-4a 2∈(√32,1).故选D .6.x 24+y 22=1设所求的椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0),则A (a ,0),B (0,b ),C (a 2,b2),F (√a 2-b 2,0).依题意得√a 2-b 2=√2.因为FM 的直线方程是x=√2, 所以M (√2,ba √a 2-2).由于O ,C ,M 三点共线,得b √a 2-2a√2=b2a 2,整理得a 2-2=2,所以a 2=4,b 2=2.因此所求方程是x 24+y 22=1. 7.9 4由x 29+y 25=1,可得a=3,c=2,由椭圆定义可知|PF 1|+|PF 2|=2a=6,则|PF 2|=6-|PF 1|,∴|PF 1||PF 2|=|PF 1|(6-|PF 1|)=6|PF 1|-|PF 1|2.又a-c ≤|PF 1|≤a+c , 即1≤|PF 1|≤5.∴当|PF 1|=3时,|PF 1||PF 2|取最大值,最大值为18-9=9. |AP|-|PF 2|=|AP|-(2a-|PF 1|)=|AP|+|PF 1|-6.又|AP|+|PF 1|≥|AF 1|(当且仅当P 在线段AF 1上时取等号),∴(|AP|-|PF 2|)min =|AF 1|-6=√(0+2)2+(4√6-0)2-6=4.8.B 由左焦点为F 1(-2,0),可得c=2,即a 2-b 2=4,过点F 1作倾斜角为30°的直线的方程为y=√33(x+2),圆心(0,0)到直线的距离d=√3√3+9=1,由直线与圆x 2+y 2=b 2相交的弦长为√3b ,可得2√b 2-1=√3b ,解得b=2,a=2√2,则椭圆方程为x 28+y 24=1,故选B .9.C椭圆y 2a 2+x 2=1(a>1)的离心率e=2√55,可得√a 2-1a=2√55,解得a=√5,则椭圆方程为y 25+x 2=1. 设P(cos θ,sin θ),则P 与定点B(-1,0)连线间隔为,当cos θ=14时,取得最大值52.故选C .10 连接PO,PA1,可得△POA1是边长为2的等边三角形,所以∠PA1O=∠POA1=60°,可得直线PA 1的斜率k 1=tan 60°=√3,直线PO 的斜率为k 2=tan 120°=-√3. 因此,直线PA 1的方程为y=√3(x+2),直线PO 的方程为y=-√3x.设P (m ,n ),由{y =√3(x +2),y =-√3x ,解得m=-1.因为圆A 1与直线PA 2相切于点P ,所以PA 2⊥PA 1,因此∠PA 2O=90°-∠PA 1O=30°,故直线PA 2的斜率k=tan 150°=-√33,因此直线PA 2的方程为y=-√33(x-2).代入椭圆方程x 24+y 2=1,消去y 得7x 2-16x+4=0,解得x=2或x=27.因为直线PA 2交椭圆于A 2(2,0)与Q 点,设Q (s ,t ),可得s=27.由此可得|PQ ||QA 2|=x Q -x Px A 2-x Q=s -m2-s=27+12-27=34.11.4√55b 或2√55a 不妨设A 点的坐标为(x 0,y 0),则B 点坐标为(-x 0,-y 0),则y 0-b x 0×-y 0-b -x 0=-14,由于x 02a 2+y 02b 2=1,则-b 2a 2=-14,则b a=12, 不妨设M (a ,0),直线QM 方程为bx-ay-ab=0, 则P 到直线QM 的距离为d=√a 2+b =√1+(b a) =√54=4√55b=2√55a.12.解 (1)依题意,B (-1,0),C (1,0),故|BC|=2,则|AB|+|AC|=4>|BC|=2,故点A 的轨迹是以B ,C 为焦点的椭圆(不含左、右两顶点),故Γ的方程为x 24+y 23=1(x ≠±2).(2)依题意,2·λk =1k DE+1k DF,故2λ=kkDE+kk DF.联立{y =k (x -1),3x 2+4y 2-12=0,整理得(3+4k 2)x 2-8k 2x+4k 2-12=0. 设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2), 则x 1+x 2=8k23+4k2,x 1x 2=4k 2-123+4k2.故kkDE+kkDF=k (x 1+2)y 1+k (x 2+2)y 2=k (x 1+2)k (x 1-1)+k (x 2+2)k (x 2-1)=2+3x 1-1+3x 2-1=2+3(x 1+x 2-2)(x 1-1)(x 2-1)=2+3(x 1+x 2-2)x 1x 2-(x 1+x 2)+1=2+3(8k 23+4k 2-2)4k 2-123+4k 2-8k23+4k2+1=2+3(8k 2-6-8k 2)4k 2-12-8k 2+3+4k2=2+2=4=2λ,则λ=2.13.(1)解根据题意可得{32a 2+2b2=1,b 2-a 2=1,可解得{a =√3,b =2,∴椭圆E 的方程为y 24+x 23=1.(2)证明不妨设A 1(0,2),A 2(0,-2).P (x 0,4)为直线y=4上一点(x 0≠0),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2). 直线PA 1方程为y=2x 0x+2,直线PA 2方程为y=6x 0x-2.点M (x 1,y 1),A 1(0,2)的坐标满足方程组{x 23+y 24=1,y =2x 0x +2,可得{x 1=-6x 03+x 02,y 1=2x 02-602.点N (x 2,y 2),A 2(0,-2)的坐标满足方程组{x 23+y 24=1,y =6x 0x -2,可得{x 2=18x 027+x 02,y 2=-2x 02+5402.M -6x 03+x 02,2x 02-63+x 02,N18x 027+x 02,-2x 02+5427+x 02.直线MN 的方程为y-2x 02-63+x 02=-x 02-96x 0x+6x 03+x 02,即y=-x 02-96x 0x+1.故直线MN 恒过定点B (0,1).又∵F (0,-1),B (0,1)是椭圆E 的焦点,∴△FMN 周长为|FM|+|MB|+|BN|+|NF|=4b=8.14.解 (1)x 22+y 2=1.(2)存在.理由如下,当直线AB 垂直于x 轴时,直线AB 方程为x=-12, 此时P (-√2,0),Q (√2,0),F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1,不合题意;当直线AB 不垂直于x 轴时,设存在点N -12,m (m ≠0),直线AB 的斜率为k ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由{x 122+y 12=1,x 222+y 22=1得(x 1+x 2)+2(y 1+y 2)·y 1-y2x 12=0,则-1+4mk=0,故k=14m,此时,直线PQ 斜率为k 1=-4m ,直线PQ 的方程为y-m=-4m x+12,即y=-4mx-m.联立{y =-4mx -m ,x 22+y 2=1消去y ,整理得(32m 2+1)x 2+16m 2x+2m 2-2=0,设P (x 3,y 3),Q (x 4,y 4).所以x 3+x 4=-16m 232m 2+1,x 3·x 4=2m 2-232m 2+1.由题意F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,于是F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 3-1)(x 4-1)+y 3y 4=x 3·x 4-(x 3+x 4)+1+(4mx 3+m )(4mx 4+m )=(1+16m 2)x 3·x 4+(4m 2-1)(x 3+x 4)+1+m2=(1+16m 2)(2m 2-2)32m 2+1+(4m 2-1)(-16m 2)32m 2+1+1+m 2=19m 2-132m 2+1=0, ∴m=±√1919,∵N 在椭圆内,∴m 2<78,∴m=±√1919符合条件; 综上所述,存在两点N 符合条件,坐标为N -12,±√1919. 15.解 (1)设|PF 1|=p ,|PF 2|=q ,由题意可得,pq=2,p2+q2=12,2a==4,所以a=2,b 2=a 2-c 2=4-3=1,所求椭圆的标准方程为x 24+y 2=1.(2)由题意知,直线l 的斜率必存在,设为k(k≠0),设直线l 的方程为y=kx+m ,C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),因为△BMC 与△BMD 的面积比为2∶1,所以|CM|=2|DM|,则有x 1=-2x 2,联立{y =kx +m ,x 2+4y 2=4,整理得(4k 2+1)x 2+8kmx+4m 2-4=0, 由Δ>0得4k 2-m 2+1>0,x 1+x 2=-8km4k 2+1,x 1x 2=4m 2-44k 2+1,由x 1=-2x 2可求得{x 2=8km4k 2+1,-2x 22=4m 2-44k 2+1,∴-2·64k 2m 2(4k 2+1)2=4m 2-44k 2+1.整理得4k2=1-m 29m 2-1.由k 2>0,4k 2-m 2+1>0可得1-m 29m 2-1>0,19<m 2<1, 解得13<m<1或-1<m<-13.。

2022新高考一轮复习人教版 48 椭圆作业

课时作业48 椭圆[基础达标]一、选择题1．[2021·福建省三明市第一中学周测]设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．52．[2021·河北衡水中学一模]椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或213．[2021·江西省名校高三教学质量检测]椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点C ，若F 1，C 是线段AB 的三等分点，△F 2AB 的周长为45，则椭圆E 的标准方程为( )A.x 25＋y 24＝1B.x 25＋y 23＝1 C.x 25＋y 22＝1D.x 25＋y 2＝1 4．[2021·云南昆明诊断]已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，B 为C的短轴的一个端点，直线BF 1与C 的另一个交点为A ，若△BAF 2为等腰三角形，则|AF 1||AF 2|＝( )A.13B.12C.23D ．3 5．[2021·武汉市高中毕业生学习质量检测]已知点P 在椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设PD →＝34PQ →，直线AD 与椭圆Γ的另一个交点为B ，若P A ⊥PB ，则椭圆Γ的离心率e ＝( )A.12B.22C.32D.33二、填空题6．[2021·湖南省长沙市高三调研试题]设椭圆C ：x 2100＋y 248＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点Q 在椭圆C 上，且满足|QF 1|＝23|QF 2|，则△QF 1F 2的面积为________．7．[2019·全国卷Ⅲ]设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________．8．[2021·唐山市高三年级模底考试]已知直线x －3y ＋3＝0过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F ，交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点C ，若F A →＝2FC →，则该椭圆的离心率是________．三、解答题9．已知椭圆的两焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，离心率e ＝32.(1)求此椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝x ＋m ，若l 与此椭圆相交于P ，Q 两点，且|PQ |等于椭圆的短轴长，求m 的值．10.[2021·湖北武汉调研]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22，直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值．[能力挑战]11．[2021·广州市高三年级阶段训练题]某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为( )A.1＋e 1－e r ＋2e 1－e RB.1＋e 1－e r ＋e 1－e RC.1－e 1＋e r ＋2e 1＋e RD.1－e 1＋e r ＋e 1＋eR 12．[2021·惠州市高三调研考试]已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，且△F 1AB 的面积为2－32，点P 为椭圆上的任意一点，则1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围为( )A ．[1,2]B ．[2，3]C ．[2，4]D ．[1,4]13．[2021·石家庄市重点高中高三毕业班摸底考试]已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 2的延长线交椭圆C 于点D ，若|BD |＝|DF 1|，则椭圆C 的离心率为________．课时作业481．解析：连接PF 2，由题意知，a ＝5，在△PF 1F 2中，|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.故选A. 答案：A 2．解析：若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45，得5－k 3＝45，得k ＝－1925；若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c 2＝k －5，由c a ＝45，得k －54＋k ＝1625，得k ＝21.综上可知，选C. 答案：C3．解析：由椭圆的定义，得|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以△F 2AB 的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝45，所以a ＝5，所以椭圆E ：x 25＋y 2b 2＝1.不妨令点C 是F 1A 的中点，点A 在第一象限，因为F 1(－c,0)，所以点A 的横坐标为c ，所以c 25＋y 2b 2＝1，得A ⎝⎛⎭⎫c ，b 25，所以C ⎝⎛⎭⎫0，b 225，B ⎝⎛⎭⎫－2c ，－b 225.把点B 的坐标代入椭圆E的方程，得4c 25＋b 420b 2＝1，即4c 25＋b 220＝1，化简得b 2＝20－16c 2.又b 2＝5－c 2，所以20－16c 2＝5－c 2，得c 2＝1，所以b 2＝4，所以椭圆E 的标准方程为x 25＋y 24＝1.答案：A4．解析：如图，不妨设点B 在y 轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，由题意知|AB |＝|AF 2|，|BF 1|＝|BF 2|＝a ，所以|AF 1|＝a 2，|AF 2|＝3a 2.所以|AF 1||AF 2|＝13.故选A.答案：A5．解析：如图，设P (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意有A (－x 1，－y 1)，Q (x 1，－y 1)，D ⎝⎛⎭⎫x 1，－y 12，⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1 ①x 22a 2＋y 22b2＝1 ②，①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以k PB ＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.因为k AD ＝k AB ，所以y 14x 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2，所以k P A ＝y 1x 1＝4(y 1＋y 2)x 1＋x 2.因为P A ⊥PB ，所以k P A ·k PB ＝－1，所以－4b 2a2＝－1，因为a 2＝b 2＋c 2，所以3a 2＝4c 2，所以e 2＝c 2a 2＝34，又e ＝c a ∈(0,1)，所以e ＝32，故选C. 答案：C6．解析：因为|QF 1|＝23|QF 2|，|QF 1|＋|QF 2|＝20，所以|QF 1|＝8，|QF 2|＝12.又|F 1F 2|2＝4×(100－48)＝208，所以|QF 1|2＋|QF 2|2＝|F 1F 2|2，所以△QF 1F 2是直角三角形，所以S △QF 1F 2＝12×|QF 1|×|QF 2|＝12×8×12＝48. 答案：487．解析：不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，|F 1M |2＝(x ＋4)2＋y 2＝64，x >0，y >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为(3，15)．答案：(3，15)8．解析：因为直线x －3y ＋3＝0过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左焦点F ，所以F (－3，0)，则右焦点F ′(3，0)，即c ＝3，直线x －3y ＋3＝0与y 轴交于点C (0,1)，由F A →＝2FC →，知C 为AF 的中点，故A (3，2)，因为点A 在椭圆上，所以由椭圆的定义得2a ＝|AF |＋|AF ′|＝6，即a ＝3，所以e ＝c a ＝33.答案：339．解析：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则c ＝3，c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1，所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，消去y ，得5x 2＋8mx ＋4(m 2－1)＝0，则Δ>0，得m 2<5.(*)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8m5，x 1x 2＝4(m 2－1)5，|PQ |＝ 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫－8m 52－16(m 2－1)5＝2.解得m ＝±304，满足(*)，所以m ＝±304. 10．解析：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.Δ＝24k 2＋16>0恒成立．设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2.又点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2，由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，得k ＝±1.所以当△AMN 的面积为103时，k ＝±1. 11．解析：设该卫星远地点离地面的距离为r ′，则由题意分析可知{a －c ＝r ＋Ra ＋c ＝r ′＋R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝r ＋r ′＋2R 2c ＝r ′－r 2，所以离心率e ＝ca ＝r ′－r r ＋r ′＋2R，解得r ′＝1＋e 1－e r ＋2e1－eR ，故选A.答案：A12．解析：解法一由已知得2b ＝2，故b ＝1.∵△F 1AB 的面积为2－32，∴12(a －c )b＝2－32，∴a －c ＝2－3，又a 2－c 2＝(a －c )(a ＋c )＝b 2＝1，∴a ＝2，c ＝3，∴1|PF 1|＋1|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2||PF 1||PF 2|＝4|PF 1|(4－|PF 1|)＝4－|PF 1|2＋4|PF 1|，又2－3≤|PF 1|≤2＋3，∴1≤－|PF 1|2＋4|PF 1|≤4，∴1≤1|PF 1|＋1|PF 2|≤4，即1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围为[1,4]．故选D.解法二依题意得2b ＝2，b ＝1.由△F 1AB 的面积为2－32得12(a －c )b ＝2－32，a －c ＝2－ 3.又a 2－c 2＝(a ＋c )(a －c )＝b 2＝1，∴a ＝2，c ＝ 3.设点P (x 0，y 0)，其中－2≤x 0≤2，则|PF 1|＝a ＋ex 0＝2＋32x 0，|PF 2|＝a －ex 0＝2－32x 0，1|PF 1|＋1|PF 2|＝12＋32x 0＋12－32x 0＝1616－3x 20∈[1,4]，即1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围是[1,4]，选D.解法三依题意得2b ＝2，b ＝1.由△F 1AB 的面积为2－32得12(a －c )b ＝2－32，a －c ＝2－ 3.又a 2－c 2＝(a ＋c )(a －c )＝b 2＝1∴a ＝2，c ＝ 3.设点P (x 0，y 0)，其中－2≤x 0≤2，则|PF 1|＝a ＋ex 0＝2＋32x 0，|PF 2|＝a －ex 0＝2－32x 0，|PF 1|·|PF 2|＝4－34x 20∈[1,4]，∴1|PF 1|＋1|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2||PF 1|·|PF 2|＝4|PF 1|·|PF 2|∈[1,4]，即1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围是[1,4]，选D.答案：D13．解析：如图，不妨设点B 是椭圆短轴的上端点，则点D 在第四象限内，设点D (x ，y )．由椭圆的定义得|DF 1|＋|DF 2|＝2a ，|BF 1|＝|BF 2|＝a ，又|DF 1|＝|DB |＝|DF 2|＋|BF 2|＝|DF 2|＋a ，∴(|DF 2|＋a )＋|DF 2|＝2a ，解得|DF 2|＝a2.作DE ⊥x 轴于E ，则有|DE |＝|DF 2|sin ∠DF 2E ＝a 2×b a ＝b2，|F 2E |＝|DF 2|cos ∠DF 2E ＝a 2×c a ＝c2，∴|OE |＝|OF 2|＋|F 2E |＝c ＋c 2＝3c2，∴点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫3c 2，－b 2. 又点D 在椭圆上，∴⎝⎛⎭⎫3c 22a 2＋⎝⎛⎭⎫－b 22b 2＝1，整理得3c 2＝a 2，∴e ＝c a ＝33.答案：33。

课时作业48

课时作业(四十八) 椭圆A 级1．已知椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率e ＝12，则椭圆的标准方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B ．x 2＋y 22＝1C.x 24＋y 23＝1 D.y 24＋x 23＝12．设直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 和一个顶点B (如图)，则这个椭圆的离心率e ＝( )A.255B.55C.32D.123．(2012·海淀模拟)2＜m ＜6是方程x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．23B ．6C ．43D ．125．已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到y 轴的距离为( )A.233B.263C.33D. 3 6．已知椭圆C 的中心在坐标原点，椭圆的两个焦点分别为(－4,0)和(4,0)，且经过点(5,0)，则该椭圆的方程为________．7．已知椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，椭圆的一个顶点为A (0,2)，离心率e ＝63，则椭圆方程为________．8．(2012·郑州模拟)设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |的长为________．9．(2011·新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________．10．已知椭圆的中心在原点且过点P (3,2)，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，求该椭圆的方程．11．已知椭圆的两焦点为F 1(－1,0)、F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|. (1)求此椭圆的方程；(2)若点P 在第二象限，∠F 2F 1P ＝120°，求△PF 1F 2的面积．B 级1．(2012·长春二模)在以O 为中心，F 1、F 2为焦点的椭圆上存在一点M ，满足|MF 1→|＝2|MO →|＝2|MF 2→|，则该椭圆的离心率为( )A.22B.33 C.63 D.242．底面直径为12 cm 的圆柱被与底面成30°的平面所截，截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长为________，短轴长为________，离心率为________．3．(2011·北京卷)已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆G 的方程； (2)求△P AB 的面积．答案：课时作业(四十八)A 级1．C 由题意，c ＝1，e ＝c a ＝12，∴a ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝3，又椭圆的焦点在x 轴上，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.2．A B (0,1)，F (－2,0)，故c ＝2，b ＝1，a ＝b 2＋c 2＝5，e ＝c a ＝255.3．B 若x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞06－m ＞0m －2≠6－m，∴2＜m ＜6且m ≠4，故2＜m ＜6是x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆的必要不充分条件．4．C 设椭圆的另一焦点为F ，则由椭圆的定义知|BA |＋|BF |＝23，且|CF |＋|AC |＝23，所以△ABC 的周长＝|BA |＋|BF |＋|CF |＋|AC |＝4 3. 5．B 方法一：由题意，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设M (x ，y )，则MF 1→·MF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝0，整理得x 2＋y 2＝3① 又因为点M 在椭圆上，故x 24＋y 2＝1，即y 2＝1－x 24②将②代入①，得34x 2＝2，解得x ＝±263.故点M 到y 轴的距离为263.方法二：由题可知b 2＝1，θ＝π2，c ＝3，代入焦点三角形的面积公式S ＝b 2tan θ2＝c |y P |可得，|y P |＝13，代入椭圆方程得|x P |＝263. 6．解析：由题意，c ＝4，且椭圆焦点在x 轴上，∵椭圆过点(5,0)．∴a ＝5，∴b ＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆方程为x 225＋y 29＝1.答案： x 225＋y 29＝17．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝63.∴a ＝23，故椭圆方程为x 212＋y 24＝1.答案： x 212＋y 24＝18．解析：由题意|AF 2|＋|BF 2|＝2|AB |①，由椭圆的定义，|AF 1|＋|AF 2|＝2，|BF 1|＋|BF 2|＝2，∴|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4＝|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝3|AB |，∴|AB |＝43.答案： 439．解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，由e ＝22知c a ＝22，故b 2a 2＝12. 由于△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16.故a ＝4. ∴b 2＝8.∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.答案： x 216＋y 28＝110．解析：由题设可知，椭圆的方程是标准方程． (1)当焦点在x 轴上时，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝3·2b ，9a 2＋4a2＝1，解此方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝45，b 2＝5.此时所求的椭圆方程是x 245＋y 25＝1.(2)当焦点在y 轴上时，设椭圆方程为x 2b 2＋y 2a 2＝1(a ＞b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3·2b ，9b 2＋4a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝85，b 2＝859.此时所求的椭圆方程为x 2859＋y 285＝1.故所求的椭圆方程为x 245＋y 25＝1或x 2859＋y 285＝1.11．解析： (1)依题意得，|F 1F 2|＝2，又2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝4＝2a ，∴a ＝2，c ＝1，b 2＝3. ∵焦点在x 轴上，∴所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设P 点坐标为(x ，y )，∵∠F 2F 1P ＝120°， ∴PF 1所在直线的方程为y ＝(x ＋1)·tan 120°，即y ＝－3(x ＋1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3(x ＋1)，x 24＋y 23＝1.并注意到x ＜0，y ＞0，可得⎩⎨⎧x ＝－85，y ＝335.∴S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·335＝335.B 级1．C 不妨设F 1为椭圆的左焦点，F 2为椭圆的右焦点，过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于N 点，则N 点坐标为⎝⎛⎭⎫c 2，0. 设|MF 1→|＝2|MO →|＝2|MF 2→|＝2t (t ＞0)，根据勾股定理可知，|MF 1→|2－|NF 1→|2＝|MF 2→|2－|NF 2→|2，得到c ＝62t ，而a ＝3t 2，则e ＝c a ＝63，故选C.2．解析：作出经过椭圆长轴的圆柱的轴截面，易得2a ＝12cos 30°＝8 3 cm ，短轴长即为底面圆直径12 cm ， ∴c ＝a 2－b 2＝2 3.∴e ＝c a ＝12.答案： 8 3 cm 12 cm123．解析： (1)由已知得，c ＝22，c a ＝63.解得a ＝2 3.又b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.① 设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4. 因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PE ⊥AB . 所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0. 所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离 d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△P AB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.。

高三数学第一轮复习课时作业(48)椭圆

课时作业(四十八) 第48讲椭圆时间：45分钟分值：100分基础热身1．2011²长沙四县调研已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．122．2011²济宁一模椭圆x212＋y23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上．如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是( )A ．±34B ．±32C ．±22 D ．±343．2011²临沂一模设P 是椭圆x225＋y29＝1上一点，M 、N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( )A ．9,12B ．8,11C ．8,12D ．10,124．过椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.22 B.33 C.12 D.13 能力提升5．条件p ：动点M 到两定点距离的和等于定长，条件q ：动点M 的轨迹是椭圆，条件p 是条件q 的( ) A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．即不充分又不必要条件 6．椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△FAB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( )A.3－12 B.5－12C.1＋54D.3＋147．以椭圆上任意一点与焦点所连接的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交C ．相离D ．无法确定8．2011²沈阳二中模拟椭圆x24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 在椭圆上，²＝0，则M 到y 轴的距离为( )A.233B.263C.33D. 39．已知M 是椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)上一点，左、右焦点为F 1，F 2，点P 是△MF 1F 2的内心，连接MP 并延长交F 1F 2于N ，则|MP ||PN |的值为( )A.aa 2－b 2B.b a 2－b2C.a 2－b 2bD.a 2－b 2a10．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．11．2011²济宁一模以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆有四个不同的交点，顺次连接这四个点和两个焦点，恰好得到一个正六边形，那么椭圆的离心率等于________．12．已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y2b21(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆C 上一点，且⊥.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.13．2011²吉林一中期末已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与椭圆C 相交于A 、B 两点．若＝3，则k ＝________.14．(10分)已知点A ，B 分别是椭圆x236＋y220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离的最小值．15．(13分)已知平面内曲线C 上的动点到定点(2，0)和定直线x ＝22的比等于22. (1)求该曲线C 的方程．(2)设动点P 满足＝＋2，其中M ，N 是曲线C 上的点．直线OM 与ON 的斜率之积为－12.问：是否存在两个定点F 1、F 2，使得|PF 1|＋|PF 2|为定值？若存在，求F 1、F 2的坐标；若不存在，说明理由．难点突破16．(12分)已知椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝22，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为2.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知直线l 与椭圆相交于P ，Q 两点，O 为原点，且⊥.试探究点O 到直线l 的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．课时作业(四十八)【基础热身】1．C 解析根据椭圆定义，△ABC 的周长等于椭圆长轴长的2倍，即4 3.2．A 解析不妨设F 1(－3,0)，设P (x 0，y 0)，则－3＋x 0＝0，故x 0＝3，代入椭圆方程得y 0＝±32，故点M 的纵坐标是±34. 3．C 解析由题意得最大值2a ＋2、最小值2a －2，a ＝5，故最大值是12、最小值是8.4．B 解析因为P ⎝⎛⎭⎫－c ，±b 2a ，再由∠F 1PF 2＝60°有3b 2a ＝2a ，从而可得e ＝c a ＝33. 【能力提升】5．B 解析设两定点距离2c ，定长为2a .当2a >2c 时，为椭圆；当2a ＝2c 时，为线段；当2a <2c 时，无轨迹．故动点M 到两定点距离的和等于定长时，动点M 的轨迹不一定是椭圆；当动点M 的轨迹是椭圆时，动点M 到两定点距离的和一定等于定长．6．B 解析根据已知a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，即c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52，故所求的椭圆的离心率为5－12. 7．A 解析如图，设线段是PF 1，O 1是线段PF 1的中点，连接O 1O ，PF 2，其中O 是椭圆的中心，F 2是椭圆的另一个焦点，则在△PF 1F 2中，由三角形中位线定理可知，两圆的连心线的长是|OO 1|＝12|PF 2|＝12(2a －|PF 1|)＝a－12|PF 1|＝R －r .8．B 解析条件²＝0，说明点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，点M 又在椭圆上，通过方程组即可求得点M 的坐标，即可求出点M 到y 轴的距离．椭圆的焦点坐标是(±3，0)，点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，该圆的方程是x 2＋y 2＝3，即y 2＝3－x 2，代入椭圆方程得x24＋3－x 2＝1，解得x 2＝83，即|x |＝263，即点M 到y 轴的距离．9．A 解析由于三角形内心是三个内角的平分线的交点，使用三角形内角平分线性质定理把所求的比值转化为三角形边长之间的比值关系．如图，连接PF 1，PF 2.在△MF 1F 2中，F 1P 是∠MF 1N 的平分线，根据三角形内角平分线性质定理，|MP ||PN |＝|MF 1||F 1N |，同理可得|MP ||PN |＝|MF 2||F 2N |，故有|MP ||PN |＝|MF 1||F 1N |＝|MF 2||F 2N |，根据等比定理|MP ||PN |＝|MF 1|＋|MF 2||F 1N |＋|F 2N |＝2a 2a 2－b 2＝aa 2－b2.10.x 236＋y 29＝1 解析设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，根据椭圆定义2a ＝12，即a ＝6，又c a ＝32，得c ＝33，故b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9，故所求椭圆方程为x236＋y29＝1.11.3－1 解析如图所示，设A ，B 是椭圆的两个焦点，P 是圆与椭圆的一个交点，则由正六边形的性质，△PAB 是一个直角三角形，且∠BAP ＝30°，所以AP ＝AB cos30°＝3c ，BP ＝c ，根据椭圆定义AP ＋BP ＝2a ，故3c ＋c ＝2a ，所以e ＝c a ＝23＋1＝3－1.12．3 解析方法1.设椭圆的焦点坐标为(±0)，根据椭圆定义和△PF 1F 2是一个面积等于9的直角三角形，有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|²|PF 2|＝18，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2.第一式两端平方并把第二、三两式代入可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，即b 2＝9，即b ＝3.方法2.利用本讲【问题思考】问题4的结论，b 2tan 90°2＝9，解得b ＝3.13. 2 解析根据已知c a ＝32，可得a 2＝43c 2，则b 2＝13c 2，故椭圆方程为3x 24c 2＋3y 2c2＝1，即3x 2＋12y 2－4c 2＝0.设直线的方程为x ＝my ＋c ，代入椭圆方程得(3m 2＋12)y 2＋6mcy －c 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则根据＝3，得(c －x 1，－y 1)＝3(x 2－c ，y 2)，由此得－y 1＝3y 2，根据韦达定理y 1＋y 2＝－2cm m 2＋4，y 1y 2＝－c23(m 2＋4)，把－y 1＝3y 2代入得，y 2＝cm m 2＋4，－3y 22＝－c 23(m 2＋4)，故9m 2＝m 2＋4，故m 2＝12，从而k 2＝2，k ＝± 2.又k >0，故k ＝ 2. 14．解答 (1)由已知可得点A (－6,0)，F (4,0)，设点P (x ，y )，则＝(x ＋6，y )，＝(x －4，y )，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，(x ＋6)(x －4)＋y 2＝0，则2x 2＋9x －18＝0，解得x ＝32或－6，由于y >0，故x ＝32，于是y ＝532，∴点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，532.(2)由(1)得直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0，设点M (m,0)，则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2，于是|m ＋6|2＝6－m ，又－6≤m ≤6，解得m ＝2.椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离d 有d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49⎝⎛⎭⎫x －922＋15，由于－6≤x ≤6，∴当x ＝92时，d 取得最小值15.15．解答 (1)设曲线C 上动点的坐标为(x ，y )，根据已知得(x －2)2＋y 2|x －22|＝22，化简整理这个方程得x24＋y22＝1，即为曲线C 的方程．(2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由＝＋2得(x ，y )＝(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)，即x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2，因为点M ，N 在椭圆x24＋y22＝1上，所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 22＋4x 1x 2)＋2(y 21＋4y 22＋4y 1y 2)＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2) ＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题意知，k OM ²k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12x 1x 2＋2y 1y 2＝0，所以x 2＋2y 2＝20，所以P 点是椭圆x2(25)2＋y2(10)2＝1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F 1、F 2，则由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|为定值，又因为c ＝(25)2－(10)2＝10，因此两焦点的坐标分别为F 1(－10，0)、F 2(10，0)．【难点突破】16．解答 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为e ＝22，所以c a ＝22，据题意⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，22在椭圆上，则c 2a 2＋12b 2＝1，于是12＋12b2＝1，解得b ＝1，因为a ＝2c ，a 2－c 2＝b 2＝1，则c ＝1，a ＝2，故椭圆的方程为x22＋y 2＝1.(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1，于是y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 2²2m 2－22k 2＋1＋km ²－4km 2k 2＋1＋m 2＝m 2－2k 22k 2＋1.因为⊥，所以x 1x 2＋y 1y 2＝2m 2－22k 2＋1＋m 2－2k 22k 2＋1＝3m 2－2k 2－22k 2＋1＝0，即3m 2－2k 2－2＝0，所以m 2＝2k 2＋23. 设原点O 到直线l 的距离为d ，则d ＝|m |k 2＋1＝m2k 2＋1＝2k 2＋23k 2＋1＝63. 当直线l 的斜率不存在时，因为⊥，根据椭圆的对称性，不妨设直线OP ，OQ 的方程分别为y ＝x ，y ＝－x可得P ⎝⎛⎭⎪⎫63，63，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫63，－63或者P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，－63，Q ⎝ ⎛－63，63.此时，原点O 到直线l 的距离仍为63.综上分析，点O 到直线l 的距离为定值63.。

【2020】高考数学一轮复习课时规范练48椭圆理新人教B版

则满足条件①,②,③的轨迹方程依次为()
A.C3,C1,C2
B.C1,C2,C3
C.C3,C2,C1
D.C1,C3,C2〚导学号21500759〛
5.(20xx广东、江西、福建十校联考)已知F1,F2是椭圆=1(a>b>0)的左右两个焦点,若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2,则该椭圆的离心率的取值范围是()
A. B.
C. D.
6.与圆C1:(x+3)2+y2=1外切,且与圆C2:(x-3)2+y2=81内切的动圆圆心P的轨迹方程
为.
7.(20xx湖北八校联考)设F1,F2为椭圆=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1
的中点在y轴上,则的值为.
8.
(20xx河北衡水中学三调,理20)如图,椭圆E:=1(a>b>0)左、右顶点为A,B,左、右焦点为F
,F2,|AB|=4,|F1F2|=2.直线y=kx+m(k>0)交椭圆E于C,D两点,与线段F1F2、
椭圆短轴分别交于M,N两点(M,N不重合),且|CM|=|DN|.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设直线AD,BC的斜率分别为k1,k2,求的取值范围.
.
,。

课时作业(四十八)金版新学案

课时作业(四十八) 椭圆1．(2020·黑龙江齐齐哈尔五校期中联考)已知椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m ＝( )A ．2B ．2C ．14D ．4C [∵椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，∴ 1m＝2，解得m ＝14.故选C ．]2．(2020·河北唐山一中月考)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 23 ＝1的一个焦点为点(1，0)，则椭圆C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．22D ．223B [由椭圆C ：x 2a 2 ＋y 23 ＝1的一个焦点的坐标为(1，0)，得a 2－3＝1，解得a ＝2(负值已舍去).所以椭圆C 的离心率为e ＝c a ＝12.故选B ．]3．(2020·山西大同开学考)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过点F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为( )A ．x 236 ＋y 218 ＝1B ．x 216 ＋y 210 ＝1C ．x 24 ＋y 22＝1D ．x 216 ＋y 28＝1D [因为△ABF 2的周长为16，所以|BF 2|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|AF 1|＝16.由椭圆的性质，得4a ＝16，解得a ＝4.又椭圆的离心率为22 ，即c a ＝22，所以a ＝2 c ＝4，解得c ＝22 .所以b 2＝a 2－c 2＝8.所以椭圆C 的方程为x 216 ＋y 28＝1.故选D ．]4．(2020·郑州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为23，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的方程为( )A ．x 23＋y 2＝1B ．x 23 ＋y 22＝1C ．x 29 ＋y 24 ＝1D ．x 29 ＋y 25＝1D [由椭圆的定义，知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝12，所以a ＝3.因为椭圆的离心率e ＝c a ＝23 ，所以c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝5，所以椭圆C 的方程为x 29 ＋y 25＝1，故选D ．]5．已知椭圆x 24 ＋y 23 ＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且垂直于长轴的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 1内切圆的半径为( )A ．43B ．1C ．45D ．34D [由x 24 ＋y 23 ＝1得a ＝2，c ＝1，可知△ABF 1的周长为4a ＝8，△ABF 1的面积为12 |F 1F 2|×|y A －y B |＝12 ×2×3＝3＝12 ×8×r ，解得r ＝34，故选D ．]6．已知椭圆y 2a 2 ＋x 2b 2 ＝1(a >b >0)的右顶点为A (1，0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为________________．解析：因为椭圆y 2a 2 ＋x 2b 2 ＝1的右顶点为A (1，0)，所以b ＝1，焦点坐标为(0，c )，因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以2b 2a ＝1，a ＝2，所以椭圆方程为y 24＋x 2＝1.答案： y 24＋x 2＝17．已知椭圆x 22 ＋y 2＝1与直线y ＝x ＋m 交于A ，B 两点，且|AB |＝423 ，则实数m 的值为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，消去y 并整理，得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4m3 ，x 1x 2＝2m 2－23 .由题意，得2（x 1＋x 2）2－8x 1x 2 ＝423，解得m ＝±1.答案： ±18．(2020·昆明市三诊一模)已知椭圆M ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左顶点为A ，O 为坐标原点，B ，C 两点在M 上，若四边形OABC 为平行四边形，且∠OAB ＝45°，则椭圆M 的离心率为________．解析：由题意，知A (－a ，0)，因为四边形OABC 为平行四边形，所以OA ∥BC ，且|OA |＝|BC |＝A ．又∠OAB ＝45°，所以C (a 2 ，±a 2 )，代入椭圆方程得14 ＋a 24b 2 ＝1，所以b 2a 2 ＝13 ，所以e ＝ca＝ 1－（b a ）2 ＝63.答案：639．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)与椭圆x 24 ＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3 )；(2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5，3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．解析： (1)由题意，设所求椭圆的方程为x 24 ＋y 23 ＝t 1或y 24 ＋x 23＝t 2(t 1，t 2>0)，因为椭圆过点(2，－3 )，所以t 1＝224 ＋（－3）23 ＝2，或t 2＝（－3）24 ＋223 ＝2512.故所求椭圆的标准方程为 x 28 ＋y 26 ＝1或y 2253 ＋x 2254＝1. (2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)或y 2a 2 ＋x 2b 2 ＝1(a >b >0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，（2c ）2＝52－32，解得a ＝4，c ＝2，所以b 2＝12.故椭圆方程为x 216 ＋y 212 ＝1或y 216 ＋x 212＝1.10．(2019·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点.(1)若△POF 2为等边三角形，求C 的离心率；(2)如果存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，且△F 1PF 2的面积等于16，求b 的值．解析： (1)连接PF 1.由△POF 2为等边三角形可知在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2＝90°，|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3 c ，于是2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(3 ＋1)c ，故C 的离心率e ＝ca＝3 －1.(2)由题意可知，满足条件的点P (x ，y )存在，当且仅当12 |y |·2c ＝16，y x ＋c ·yx －c ＝－1，x 2a 2 ＋y 2b 2＝1，即c |y |＝16，① x 2＋y 2＝c 2，② x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1.③ 由②③及a 2＝b 2＋c 2得y 2＝b 4c 2 ，又由①知y 2＝162c2 ，故b ＝4.11．(2020·安徽滁州模拟)已知椭圆E ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率e 的取值范围是( )A ．(0，32] B ．(0，34 )C ．(32，1) D ．[34，1)A [根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得：|AF |＋|BF |＝2a ＝4，所以a ＝2.设M (0，b )，因为d ＝|3×0－4×b |32＋（－4）2≥45 ，所以1≤b ＜2.又e ＝c a ＝1－b 2a2 ＝ 1－b 24，所以0<e ≤32.故选A ．] 12．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A ．x 22 ＋y 2＝1B ．x 23 ＋y 22 ＝1C ．x 24 ＋y 23＝1D ．x 25 ＋y 24＝1B [由题意设椭圆的方程为x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)，连接F 1A ，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a2，故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点)，则sin θ＝1a .在等腰三角形ABF 1中，cos 2θ＝a 23a 2 ＝13 ，所以13 ＝1－2⎝⎛⎭⎫1a 2 ，得a 2＝3.又c 2＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23 ＋y 22＝1.故选B ．] 13．已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b2 ＝1(a >b >0)的长轴长是短轴长的2 倍，且过点(2，2 ).(1)求椭圆的标准方程；(2)若△OAB 的顶点A ，B 在椭圆上，OA 所在的直线斜率为k 1，OB 所在的直线斜率为k 2，若k 1·k 2＝－b 2a2 ，求OA → ·OB →的最大值．解析： (1)由已知，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝22b ，4a 2＋2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22，b ＝2，所以椭圆的标准方程为x 28 ＋y 24 ＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，不妨设x 1>0，x 2>0.由k 1k 2＝－b 2a 2 ＝－12 得k 2＝－12k 1 (k 1≠0)，直线OA ，OB 的方程分别为y ＝k 1x ，y ＝k 2x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，x 28＋y 24＝1，解得x 1＝221＋2k 21 ，同理，x 2＝221＋2k 22 ，所以x 2＝221＋2⎝⎛⎭⎫－12k 12 ＝4|k 1|1＋2k 21.因为OA → ·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝12x 1x 2＝42|k1| 1＋2k21＝421|k1|＋2|k1|≤4222＝2，当且仅当|k1|＝22时，等号成立．所以OA→·OB→的最大值为2.14．如图，用与底面成45°角的平面截圆柱得一截口曲线，即椭圆，则该椭圆的离心率e为()A．22B．33C．32D．13A[设圆柱的底面圆的直径为D，则椭圆的短轴长为D．因为截面与底面成45°角，所以椭圆的长轴长为2D，所以椭圆的焦距为2（22D）2－（D2）2＝D，则e＝c a＝D222D＝22.故选A．]15．(2020·山东菏泽期中)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米，远地点B(离地面最远的点)距地面n千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则下列结论不正确的是()A．a－c＝m＋R B．a＋c＝n＋RC．2a＝m＋n D．b＝（m＋R）（n＋R）C [由题设条件可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝a －c －R ，①n ＝a ＋c －R ，②∴a －c ＝m ＋R ，故A 正确；a ＋c ＝n ＋R ，故B 正确； ①＋②得m ＋n ＝2a －2R ，可得2a ＝m ＋n ＋2R ，故C 不正确；由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋R ＝a －c ，n ＋R ＝a ＋c 可得(m ＋R )(n ＋R )＝a 2－c 2，∵a 2－c 2＝b 2，∴b 2＝(m ＋R )(n ＋R )⇒b ＝（m ＋R ）（n ＋R ），故D 正确．]。

2019大一轮高考总复习文数北师大版课时作业提升48 椭

课时作业提升(四十八) 椭圆及其性质A 组夯实基础1．(2018·深圳一模)过点(3,2)且与椭圆3x 2＋8y 2＝24有相同焦点的椭圆方程为( ) A ．x 25＋y 210＝1B ．x 210＋y 215＝1C ．x 215＋y 210＝1D ．x 210＋y 25＝1解析：选C 椭圆3x 2＋8y 2＝24的焦点为(±5，0)，可得c ＝5，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得9a 2＋4b 2＝1，又a 2－b 2＝5，得b 2＝10，a 2＝15，所以所求的椭圆方程为x 215＋y 210＝1.故选C ． 2．(2018·佛山模拟)若椭圆mx 2＋ny 2＝1的离心率为12，则mn ＝( )A ．34B ．43C ．32或233D ．34或43解析：选D 若焦点在x 轴上，则方程化为x 21m ＋y 21n ＝1，依题意得1m －1n 1m ＝14，所以m n ＝34；若焦点在y 轴上，则方程化为y 21n ＋x 21m＝1，同理可得m n ＝43.所以所求值为34或43．3．(2018·杭州模拟)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1B ． 2C ．2D ．2 2解析：选D 设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，12× 2cb＝1⇒bc ＝1,2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22，当且仅当b ＝c ＝1时，等号成立．故选D ．4．(2018·西安模拟)设F 1，F 2是椭圆4x 249＋y 26＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则△PF 1F 2的面积为( )A ．4B ．6C ．2 2D ．4 2解析：选B 由题意知，|PF 1|＋|PF 2|＝7且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，得|PF 1|＝4，|PF 2|＝3，又|F 1F 2|＝2×494－6＝5，显然，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，所以△PF 1F 2为直角三角形，故△PF 1F 2的面积为12×3×4＝6．5．(2018·临汾模拟)若直线y ＝－3x 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率为( )A ．32B ．3－12C ．3－1D ． 4－2 3解析：选C 设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，由题意可得|OF 2|＝|OA |＝|OB |＝|OF 1|＝c ．由y ＝－3x 得∠AOF 2＝2π3，∠AOF 1＝π3，∴|AF 2|＝3c ，|AF 1|＝c ．由椭圆的定义知，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ， ∴c ＋3c ＝2a ，∴e ＝ca＝3－1．6．(2018·石家庄模拟)如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在x 轴上，且焦距为3的椭圆，则椭圆的短轴长为________．解析：方程x 2＋ky 2＝2可化为x 22＋y 22k＝1，则⎝⎛⎭⎫322＋2k＝2⇒2k ＝54，∴短轴长为2×52＝5．答案： 57．(2018·长沙模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为________．解析：由题意知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，且三者成等比数列，则|F 1F 2|2＝|AF 1|·|F 1B |，即4c 2＝a 2－c 2，a 2＝5c 2，所以e 2＝15，所以e ＝55．答案：558．(2018·潍坊模拟)已知椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆交于点A 、B ，当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是________．解析：如图，设椭圆的右焦点为E ．由椭圆的定义得，△F AB 的周长为|AB |＋|AF |＋|BF |＝|AB |＋ (2a －|AE |)＋(2a －|BE |)＝4a ＋|AB |－|AE |－|BE |．∵|AE |＋|BE |≥|AB |，∴|AB |－|AE |－|BE |≤0， ∴|AB |＋|AF |＋|BF |＝4a ＋|AB |－|AE |－|BE |≤4a ．当直线AB 过点E 时取等号，此时直线x ＝m ＝c ＝1，把x ＝1代入椭圆x 24＋y 23＝1得y ＝±32，∴|AB |＝3．∴当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是12×3×|EF |＝12×3×2＝3．答案：39．已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解：(1)设F (c,0)，由条件知2c ＝233，得c ＝3．又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1．故E 的方程为x 24＋y 2＝1．(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故可设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0．当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1．从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1．又点O 到直线l 的距离d ＝2k 2＋1．所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1．设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t．因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0．所以，当△OPQ 的面积最大时，k ＝±72，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2． B 组能力提升1．(2018·贵阳模拟)已知B (－c,0)，C (c,0)，若AD →＝λDB →，A ，D 都在以B ，C 为焦点的椭圆上，当A 点的横坐标为c 2，且－5≤λ≤－72时，椭圆的离心率e 的取值范围为( )A ．⎝⎛⎭⎫33，22 B ．⎣⎡⎦⎤33，22 C ．⎣⎡⎭⎫23，32 D ．⎣⎡⎦⎤23，32 解析：选B 设A ⎝⎛⎭⎫c2，y 0，D (x 1，y 1)，则AD →＝⎝⎛⎭⎫x 1－c 2，y 1－y 0，DB →＝(－c －x 1，－y 1)，由AD →＝λDB →得x 1＝c2－cλ1＋λ，y 1＝y 01＋λ，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则⎩⎨⎧e 24＋y 20b2＝1，e 24·(1－2λ)2(1＋λ)2＋y 20b 2·1(1＋λ)2＝1⇒λ＝e 2＋2e 2－1，由于－5≤λ≤－72，所以－5≤e 2＋2e 2－1≤－72⇒33≤e ≤22．2．(2016·江苏卷改编)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是( )A ．34B ．33C ．63D ．64解析：选C 由题意可得B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，C ⎝⎛⎭⎫32a ，b 2，F (c ，0)，则由∠BFC ＝90°得BF →·CF →＝⎝⎛⎭⎫c ＋32a ，－b 2·⎝⎛⎭⎫c －32a ，－b 2＝c 2－34a 2＋14b 2＝0，化简得3c ＝2a ，则离心率e ＝c a ＝23＝63． 3．(2018·宜春模拟)已知椭圆的焦点分别为F 1(0，－3)，F 2(0，3)，离心率e ＝32，若点P 在椭圆上，且PF 1→·PF 2→＝23，则∠F 1PF 2的大小为( )A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3解析：选D 由题意可设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，且c ＝3，离心率e＝32＝c a ，a 2＝b 2＋c 2，得a ＝2，b ＝1.∴椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1．设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝4， ∵PF 1→·PF 2→＝23，∴mn cos ∠F 1PF 2＝23，又(2c )2＝(23)2＝m 2＋n 2－2mn cos ∠F 1PF 2， ∴12＝42－2mn －2×23，解得mn ＝43．∴43cos ∠F 1PF 2＝23，∴cos ∠F 1PF 2＝12， ∴∠F 1PF 2＝π3.故选D ．4．(2017·镇江期末)已知椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m ，n 为常数，m ＞n ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则PF 1→·PF 2→＝__________．解析：由题知F 1(－c,0)，F 2(c,0)，设P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝b 2，∴PF 1→·PF 2→＝(－c －x 0，－y 0)·(c －x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－c 2＝b 2－c 2＝n －(m －n )＝2n －m ．答案：2n －m5．(2018·广西检测)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 1(1,0)，离心率为e .设A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，AF 1的中点为M ，BF 1的中点为N ，原点O 在以线段MN 为直径的圆上，设直线AB 的斜率为k ，若0＜k ≤3，则e 的取值范围为________．解析：设A (m ，n )，则B (－m ，－n )，M ⎝⎛⎭⎫m ＋12，n 2，N ⎝⎛⎭⎫－m ＋12，－n 2，所以OM →＝⎝⎛⎭⎫m ＋12，n 2，ON →＝⎝⎛⎭⎫－m ＋12，－n 2．故由题设可得OM →·ON →＝0，即m 2＋n 2＝1，将其与m 2a 2＋n 2b 2＝1联立可得b 2m 2＋(1－m 2)a 2＝a 2b 2，故m 2＝a 2－a 2b 2＝1－b 4，n 2＝b 4．由题设0＜k ≤3可得n 2≤3m 2，即b 4≤3(1－b 4)，则b 2≤32，则a 2≤1＋32．故e 2＝1a 2≥22＋3，即e 2≥4－23，所以e ≥3－1，所以3－1≤e ＜1．答案：3－1≤e ＜16．(2018·西安模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为23， C 为椭圆上位于第一象限内的一点．(1)若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，53，求a ，b 的值； (2)设A 为椭圆的左顶点，B 为椭圆上一点，且AB →＝12OC →，求直线AB 的斜率．解：(1)由题意可知：椭圆的离心率e ＝ca＝1－b 2a 2＝23，则b 2a 2＝59， ①由点C 在椭圆上，将⎝⎛⎭⎫2，53代入椭圆方程4a 2＋259b 2＝1， ②解得a 2＝9，b 2＝5，∴a ＝3，b ＝5． (2)方法一由(1)可知b 2a 2＝59，则椭圆方程5x 2＋9y 2＝5a 2，设直线OC 的方程为x ＝my (m ＞0)，B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ，5x 2＋9y 2＝5a 2，消去x 整理得5m 2y 2＋9y 2＝5a 2，∴y 2＝5a 25m 2＋9，由y 2＞0，则y 2＝5a5m 2＋9，由AB →＝12OC →，则AB ∥OC ，设直线AB 的方程为x ＝my －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －a ，5x 2＋9y 2＝5a 2，整理得(5m 2＋9)y 2－10amy ＝0，由y ＝0，或y 1＝10am 5m 2＋9，由AB →＝12OC →，则(x 1＋a ，y 1)＝⎝⎛⎭⎫12x 2，12y 2，则y 2＝2y 1，则5a 5m 2＋9＝2×10am5m 2＋9，(m ＞0)，解得m ＝35，则直线AB 的斜率1m ＝533．方法二由(1)可知椭圆方程5x 2＋9y 2＝5a 2，则A (－a,0)，B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由AB →＝12OC →，则(x 1＋a ，y 1)＝⎝⎛⎭⎫12x 2，12y 2，则y 2＝2y 1，由B ，C 在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧5x 22＋9y 22＝5a 2，5⎝⎛⎭⎫12x 2－a 2＋9⎝⎛⎭⎫y 222＝5a 2，解得⎩⎨⎧x 2＝a4，y 2＝5a43，则直线AB 的斜率k ＝y 2x 2＝533．。

辽宁省沈阳市第二十一中学13—14学年下学期高三数学课时作业48：椭圆(附答案)

课时作业48 椭圆时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 2＝1 D.x 216＋y 24＝1 解析：由x 2＋y 2－2x －15＝0，知r ＝4＝2a ⇒a ＝2. 又e ＝c a ＝12，c ＝1.答案：A2．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )A ．6B ．5C ．4D ．3 解析：根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.答案：A3．已知椭圆：x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．8C ．4或8D ．以上均不对解析：由⎩⎪⎨⎪⎧10－m >0m －2>0，得2<m <10，由题意知(10－m )－(m －2)＝4或(m －2)－(10－m )＝4，解得m ＝4或m ＝8. 答案：C4．(2013·泉州质检)如图所示，在边长为a 的正方形组成的网格中，设椭圆C 1、C 2、C 3的离心率分别为e 1、e 2、e 3，则( )A ．e 1＝e 2<e 3B ．e 2＝e 3<e 1C ．e 1＝e 2>e 3D ．e 2＝e 3>e 1 解析：e 22＝a 22－b 22a 22＝16－416＝34，同理，可得e 23＝34，而e 21＝a 21－b 21a 21＝4－b 214<34，故e 2＝e 3>e 1，应选D.答案：D5．方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的椭圆的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，D 是它短轴上的一个端点，若3DF 1→＝DA →＋2DF 2→，则该椭圆的离心率为( )A.12B.13C.14D.15解析：设点D (0，b )，A (－a,0)则DF 1→＝(－c ，－b )，DA →＝(－a ，－b )，DF 2→＝(c ，－b )，由3DF 1→＝DA →＋2DF 2→得－3c ＝－a ＋2c ，即a ＝5c ，故e ＝15.答案：D6．从一块短轴长为2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b 2,4b 2]，则这一椭圆离心率e 的取值范围是( )A ．[53，32]B ．[32，22] C ．[53，22] D ．[33，32] 解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，设矩形在第一象限的顶点坐标为(x ，y )，根据对称性，知该矩形的面积为S ＝4xy ＝4ab (x a )(y b )≤2ab [(x a )2＋(yb )2]＝2ab ，即划出的矩形的最大面积是2ab .根据已知，得3b 2≤2ab ≤4b 2，即3b2≤a ≤2b ，即12≤b a ≤23，故e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝1－b a2∈[53，32]．故选A. 答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)7．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为__________．解析：由题意知|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6.∴|PF 1|＝2×5－6＝4. 答案：48．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是__________．解析：∵PM →·AM →＝0，∴AM →⊥PM →. ∴|PM →|2＝|AP →|2－|AM →|2 ＝|AP →|2－1，∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小，故|AP →|min ＝2，∴|PM →|min ＝ 3. 答案： 39．在△ABC 中，|AB |＝|AC |，顶点A 、B 在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，顶点C 为椭圆的左焦点，线段AB 过椭圆的右焦点F 且垂直于长轴，则该椭圆的离心率为__________．解析：如图所示，由椭圆的对称性可知|AC |＝|CB |，又|AB |＝|AC |，∴△ABC 为等边三角形， ∵AB 过点F 且垂直于x 轴， ∴|AF |＝b 2a，∴在Rt △AFC 中|CF |＝3|AF |＝3·b 2a＝2c ，∴3b 2＝2ac 整理得： 3e 2＋2e －3＝0解得e ＝33或e ＝－3(舍)．答案：33三、解答题(共55分)10．(15分)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b2＝1，∴b ＝4.又e ＝c a ＝35得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925.∴a ＝5.∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －225＝1，即x 2－3x －8＝0，解得 x 1＝3－412，x 2＝3＋412，∴AB 的中点坐标x ＝x 1＋x 22＝32，y ＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65. 即中点坐标为(32，－65)．11．(20分)从椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)上各取两点，将其坐标记录于下表中：(1)12(2)椭圆C 1和抛物线C 2的交点记为A ，B ，点M 为椭圆上任意一点，求MA →·MB →的取值范围．解：(1)由题意得(－3)2＝2p ×94，解得p ＝2，所以抛物线C 2的方程为x 2＝4y .把点(0，2)，(5，32)代入椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，得⎩⎨⎧2b 2＝1，5a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝2，a 2＝8，故椭圆C 1的方程为x 28＋y 22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 22＝1，x 2＝4y ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以A ，B 两点的坐标分别为(－2,1)，(2,1)．设点M 的坐标为(x 0，y 0)，因为点M 为椭圆上任意一点，所以x 208＋y 202＝1，得x 20＝8－4y 20.所以MA →·MB →＝(－2－x 0,1－y 0)·(2－x 0,1－y 0) ＝(－2－x 0)·(2－x 0)＋(1－y 0)·(1－y 0)＝x 20－4＋y 20－2y 0＋1 ＝(8－4y 20)－4＋y 20－2y 0＋1＝－3y 20－2y 0＋5 ＝－3(y 0＋13)2＋163.因为－2≤y 0≤2，所以－1－22≤－3(y 0＋13)2＋163≤163.所以MA →·MB →的取值范围为[－1－22，163]．12．(20分)(2012·重庆)如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程．解：(1)如图所示，设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c,0)．因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝c 2，结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255. 在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2.由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20，因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1.(2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0，(Δ>0恒成立)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此y 1＋y 2＝4mm 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5，又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →＝(x 2－2，y 2)，所以B 2P →·B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16＝－m 2＋m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16＝－16m 2－64m 2＋5. 由PB 2⊥QB 2，得B 2P →·B 2Q →＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0.。

2020年高中数学一轮复习课时练48 椭圆(理科)(人教A版)

课时练48 椭圆1.已知椭圆x 23+y 24=1的两个焦点F 1,F 2,M 是椭圆上一点,|MF 1|-|MF 2|=1,则△MF 1F 2是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形2.(2019山东临沂质检,6)点A ,B 分别为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右顶点,F 为右焦点,C 为短轴上不同于原点O 的一点,D 为OC 的中点,直线AD 与BC 交于点M ,且MF ⊥AB ,则该椭圆的离心率为( ) A.12B.13C.√23D.√323.(2019福建福州八县(市)联考,7)椭圆x 225+y 216=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的一条直线与椭圆交于A ,B 两点,若△ABF 2的内切圆面积为π,且A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|y 1-y 2|=( ) A.√53B.103C.203D.534.已知椭圆C :x 29+y 25=1,若直线l 经过M (0,1),与椭圆交于A ,B 两点,且MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-23MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则直线l 的方程为( ) A.y=±12x+1 B .y=±13x+1 C.y=±x+1D .y=±23x+15.(2019河南八市重点高中联考,9)已知F 1、F 2为椭圆C :x 22+y 2=1(a>2)的左、右焦点,若椭圆C 上存在四个不同点P 满足△PF 1F 2的面积为4√3,则椭圆C 的离心率的取值范围为( ) A.(0,12)B.(12,1) C.(0,√32)D.(√32,1)6.(2019河北衡水中学高三模拟二,15)如图所示,A ,B 是椭圆的两个顶点,C 是AB 的中点,F 为椭圆的右焦点,OC 的延长线交椭圆于点M ,且|OF|=√2,若MF ⊥OA ,则椭圆的方程为 .7.(2019北京顺义区模拟,9)已知F1,F2分别为椭圆C:x 29+y25=1的左、右焦点,P是C上的任意一点.则|PF1|·|PF2|的最大值为,若A(0,4√6),则|AP|-|PF2|的最小值为.8.已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1(-2,0),过点F1作倾斜角为30°的直线与圆x2+y2=b2相交的弦长为√3b,则椭圆的标准方程为()A.y 28+x24=1 B.x28+y24=1C.y 216+x212=1 D.x216+y212=19.(2019黑龙江哈尔滨三中期末,9)已知椭圆y 2a2+x2=1(a>1)的离心率e=2√55,P为椭圆上的一个动点,则P与定点B(-1,0)连线距离的最大值为()A.32B.2 C.52D.310.(2019河北省衡水中学一调,15)如图,A1,A2分别是椭圆x 2+y2=1的左、右顶点,圆A1的半径为2,过点A2作圆A1的切线,切点为P,在x轴的上方交椭圆于点Q,则|PQ||QA2|=.11.已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)短轴的端点P(0,b),Q(0,-b),长轴的一个端点为M,AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦,若PA,PB的斜率之积等于-14,则点P到直线QM的距离为.12.(2019山西晋城高三三模,19)已知△ABC的周长为6,B,C关于原点对称,且B(-1,0).点A的轨迹为Γ.(1)求Γ的方程;(2)若D(-2,0),直线l:y=k(x-1)(k≠0)与Γ交于E,F两点,若1k DE ,λk,1k DF成等差数列,求λ的值.13.(2019河南洛阳高三统考,19)在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>0,b>0)经过点A-√62,√2,且点F(0,-1)为其一个焦点.(1)求椭圆E的方程;(2)设椭圆E与y轴的两个交点为A1,A2,不在y轴上的动点P在直线y=b2上运动,直线PA1,PA2分别与椭圆E交于两点M,N,证明:直线MN经过一个定点,且△FMN的周长为定值.14.已知动点M(x,y)满足:√(x+1)2+y2+√(x-1)2+y2=2√2,(1)求动点M的轨迹E的方程;(2)设A,B是轨迹E上的两个动点,线段AB的中点N在直线l:x=-12上,线段AB的中垂线与E交于P,Q 两点,是否存在点N,使以PQ为直径的圆经过点(1,0),若存在,求出N点坐标,若不存在,请说明理由.15.(2019贵州遵义模拟,20)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,焦距为2√3,点P 为椭圆上一点,∠F 1PF 2=90°,△F 1PF 2的面积为1. (1)求椭圆的标准方程;(2)设点B 为椭圆的上顶点,过椭圆内一点M (0,m )的直线l 交椭圆于C ,D 两点,若△BMC 与△BMD 的面积比为2∶1,求实数m 的取值范围.参考答案课时练48 椭圆1.B 由题意|MF 1|+|MF 2|=4,又|MF 1|-|MF 2|=1,联立后可解得|MF 1|=52,|MF 2|=32,又|F 1F 2|=2c=2√4-3=2,∵22+(32)2=254=(52)2,∴MF 2⊥F 1F 2,∴△MF 1F 2是直角三角形.故选B .2.B 由题意如图,MF ⊥AB ,且OC ⊥AB ,∴MF ∥OC ,同理MF ∥OD , ∴ODMF =OAAF =aa+c ,①MF OC=FB OB =a -ca ,②①×②得到OD MF ·MFOC =aa+c ·a -c a=a -ca+c =ODOC =12,∴2(a-c )=c+a ,∴a=3c ,∴e=ca =13.故选B . 3.B∵椭圆x 225+y 216=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,过焦点F 1的直线交椭圆于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,△ABF 2的内切圆的面积为π,∴△ABF 2内切圆半径r=1,S △ABF 2=12×1×(AB+AF 2+BF 2)=2a=10. ∵S △ABF 2=12|y 1-y 2|×2c=12|y 1-y 2|×2×3=10,∴|y 1-y 2|=103.故选B .4.B 设直线l 的斜率为k ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则直线l 的方程为y=kx+1.因为MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-23MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以2x 2=-3x 1,联立{y =kx +1,x 29+y 25=1,得(5+9k 2)x 2+18kx-36=0,则{x 1+x 2=-18k5+9k 2,x 1x 2=-365+9k2,2x 2=-3x 1,解得k=±13,即所求直线方程为y=±13x+1. 5.D 设P (x 0,y 0),S △PF 1F 2=12|F 1F 2|·|y 0|=c|y 0|=4√3,则|y 0|=4√3c =√3√2,若存在四个不同点P 满足S △PF 1F 2=4√3,则0<|y 0|<2,即0<√3√2<2,解得a>4,故e=√a 2-4a=√1-4a 2∈(√32,1).故选D .6.x 24+y 22=1 设所求的椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0),则A (a ,0),B (0,b ),C (a 2,b2),F (√a 22,0).依题意得√a 2-b 2=√2.因为FM 的直线方程是x=√2, 所以M (√2,ba √a 2由于O ,C ,M 三点共线,得b √a 2-2a√2=b2a 2,整理得a 2-2=2,所以a 2=4,b 2=2.因此所求方程是x 24+y 22=1. 7.9 4由x 29+y 25=1,可得a=3,c=2,由椭圆定义可知|PF 1|+|PF 2|=2a=6,则|PF 2|=6-|PF 1|,∴|PF 1||PF 2|=|PF 1|(6-|PF 1|)=6|PF 1|-|PF 1|2.又a-c ≤|PF 1|≤a+c , 即1≤|PF 1|≤5.∴当|PF 1|=3时,|PF 1||PF 2|取最大值,最大值为18-9=9. |AP|-|PF 2|=|AP|-(2a-|PF 1|)=|AP|+|PF 1|-6.又|AP|+|PF 1|≥|AF 1|(当且仅当P 在线段AF 1上时取等号),∴(|AP|-|PF 2|)min =|AF 1|-6=√(0+2)2+(4√6-0)2-6=4.8.B 由左焦点为F 1(-2,0),可得c=2,即a 2-b 2=4,过点F 1作倾斜角为30°的直线的方程为y=√33(x+2),圆心(0,0)到直线的距离d=√3√3+9=1,由直线与圆x 2+y 2=b 2相交的弦长为√3b ,可得2√b 2-1=√3b ,解得b=2,a=2√2,则椭圆方程为x 28+y 24=1,故选B .9.C椭圆y 2a2+x 2=1(a>1)的离心率e=2√55,可得√a 2-1a=2√55,解得a=√5,则椭圆方程为y 25+x 2=1. 设P (cos θ,√sin θ),则P 与定点B (-1,0)连线距离为√(cosθ+1)2+5sin 2θ=√4sin 2θ+2cosθ+2=√6+2cosθ-4cos 2θ=√254-4(cosθ-14)2≤52,当cos θ=14时,取得最大值52.故选C .10.3连接PO ,PA 1,可得△POA 1是边长为2的等边三角形,所以∠PA 1O=∠POA 1=60°,可得直线PA 1的斜率k 1=tan 60°=√3,直线PO 的斜率为k 2=tan 120°=-√3. 因此,直线PA 1的方程为y=√3(x+2),直线PO 的方程为y=-√3x.设P (m ,n ),由{y =√3(x +2),y =-√3x ,解得m=-1.因为圆A 1与直线PA 2相切于点P ,所以PA 2⊥PA 1,因此∠PA 2O=90°-∠PA 1O=30°,故直线PA 2的斜率k=tan 150°=-√33,因此直线PA 2的方程为y=-√33(x-2).代入椭圆方程x 24+y 2=1,消去y 得7x 2-16x+4=0,解得x=2或x=27.因为直线PA 2交椭圆于A 2(2,0)与Q 点,设Q (s ,t ),可得s=27.由此可得|PQ |2=x Q -x Px A 2-x Q=s -m2-s=27+12-27=34.11.4√55b 或2√55a 不妨设A 点的坐标为(x 0,y 0),则B 点坐标为(-x 0,-y 0),则y 0-b x 0×-y 0-b -x 0=-14,由于x 02a 2+y 02b 2=1,则-b 2a 2=-14,则b a=12, 不妨设M (a ,0),直线QM 方程为bx-ay-ab=0, 则P 到直线QM 的距离为d=√a 2+b =√1+(b a) =√54=4√55b=2√55a.12.解 (1)依题意,B (-1,0),C (1,0),故|BC|=2,则|AB|+|AC|=4>|BC|=2,故点A 的轨迹是以B ,C 为焦点的椭圆(不含左、右两顶点), 故Γ的方程为x 24+y 23=1(x ≠±2). (2)依题意,2·λk =1k DE+1k DF,故2λ=kkDE+kk DF.联立{y =k (x -1),3x 2+4y 2-12=0,整理得(3+4k 2)x 2-8k 2x+4k 2-12=0. 设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2), 则x 1+x 2=8k23+4k2,x 1x 2=4k 2-123+4k2.故kkDE+kkDF=k (x 1+2)y 1+k (x 2+2)y 2=k (x 1+2)k (x 1-1)+k (x 2+2)k (x 2-1)=2+3x 1-1+3x 2-1=2+3(x 1+x 2-2)(x 1-1)(x 2-1)=2+3(x 1+x 2-2)x 1x 2-(x 1+x 2)+1=2+3(8k 23+4k 2-2)4k 2-123+4k 2-8k23+4k2+1=2+3(8k 2-6-8k 2)4k 2-12-8k 2+3+4k2=2+2=4=2λ,则λ=2.13.(1)解根据题意可得{32a 2+2b 2=1,b 2-a 2=1,可解得{a =√3,b =2,∴椭圆E 的方程为y 24+x 23=1.(2)证明不妨设A 1(0,2),A 2(0,-2).P (x 0,4)为直线y=4上一点(x 0≠0),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).直线PA 1方程为y=2x 0x+2,直线PA 2方程为y=6x 0x-2.点M (x 1,y 1),A 1(0,2)的坐标满足方程组{x 23+y 24=1,y =2x 0x +2,可得{x 1=-6x 03+x 02,y 1=2x 02-602.点N (x 2,y 2),A 2(0,-2)的坐标满足方程组{x 23+y 24=1,y =6x 0x -2,可得{x 2=18x 027+x 02,y 2=-2x 02+5402.M -6x 03+x 02,2x 02-63+x 02,N18x 027+x 02,-2x 02+5427+x 02.直线MN 的方程为y-2x 02-63+x 02=-x 02-96x 0x+6x 03+x 02,即y=-x 02-96x 0x+1.故直线MN 恒过定点B (0,1).又∵F (0,-1),B (0,1)是椭圆E 的焦点,∴△FMN 周长为|FM|+|MB|+|BN|+|NF|=4b=8.14.解 (1)x 22+y 2=1.(2)存在.理由如下,当直线AB 垂直于x 轴时,直线AB 方程为x=-12,此时P (-√2,0),Q (√2,0),F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1,不合题意;当直线AB 不垂直于x 轴时,设存在点N -12,m (m ≠0),直线AB 的斜率为k ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由{x 122+y 12=1,x 222+y 22=1得(x 1+x 2)+2(y 1+y 2)·y 1-y2x 1-x 2=0,则-1+4mk=0,故k=14m ,此时,直线PQ 斜率为k 1=-4m ,直线PQ 的方程为y-m=-4m x+12,即y=-4mx-m.联立{y =-4mx -m ,x 22+y 2=1消去y ,整理得(32m 2+1)x 2+16m 2x+2m 2-2=0,设P (x 3,y 3),Q (x 4,y 4).所以x 3+x 4=-16m 232m 2+1,x 3·x 4=2m 2-232m 2+1.由题意F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,于是F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 3-1)(x 4-1)+y 3y 4=x 3·x 4-(x 3+x 4)+1+(4mx 3+m )(4mx 4+m )=(1+16m 2)x 3·x 4+(4m 2-1)(x 3+x 4)+1+m2=(1+16m 2)(2m 2-2)32m 2+1+(4m 2-1)(-16m 2)32m 2+1+1+m 2=19m 2-132m 2+1=0, ∴m=±√1919,∵N 在椭圆内,∴m 2<78,∴m=±√1919符合条件; 综上所述,存在两点N 符合条件,坐标为N -12,±√1919. 15.解 (1)设|PF 1|=p ,|PF 2|=q ,由题意可得,pq=2,p 2+q 2=12,2a=√(p +q )2=√p 2+q 2+2pq =4, 所以a=2,b 2=a 2-c 2=4-3=1,所求椭圆的标准方程为x 24+y 2=1.(2)由题意知,直线l 的斜率必存在,设为k (k ≠0), 设直线l 的方程为y=kx+m ,C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),因为△BMC 与△BMD 的面积比为2∶1,所以|CM|=2|DM|,则有x 1=-2x 2,联立{y =kx +m ,x 2+4y 2=4,整理得(4k 2+1)x 2+8kmx+4m 2-4=0,由Δ>0得4k 2-m 2+1>0,x 1+x 2=-8km4k 2+1,x 1x 2=4m 2-44k 2+1,由x 1=-2x 2可求得{x 2=8km4k 2+1,-2x 22=4m 2-44k 2+1,∴-2·64k 2m 2(4k 2+1)2=4m 2-44k 2+1.整理得4k2=1-m 29m 2-1.由k 2>0,4k 2-m2+1>0可得1-m 29m 2-1>0,19<m 2<1,解得13<m<1或-1<m<-13.。

2020一轮复习北师大版（理）48　椭圆作业

课时规范练48 椭圆基础巩固组1.椭圆x 24+y 2=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P ,则|PF 2|=( ) A.72B .√32C .√3D .4 2.设椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的右顶点为A ,右焦点为F ,B 为椭圆在第二象限内的点,直线BO 交椭圆于点C ,O 为原点,若直线BF 平分线段AC ,则椭圆的离心率为 ( )A.12B .13C .14D .153.设F 1,F 2是椭圆x 249+y 224=1的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF 1|∶|PF 2|=4∶3,则△PF 1F 2的面积为( ) A.30B.25C.24D.404.已知椭圆C :x 29+y 25=1,若直线l 经过M (0,1),与椭圆交于A ,B 两点,且MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-23MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则直线l 的方程为( ) A.y=±12x+1 B .y=±13x+1 C.y=±x+1 D .y=±23x+1 5.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的短轴长为2,上顶点为A ,左顶点为B ,F 1,F 2分别是椭圆的左、右焦点,且△F 1AB 的面积为2-√32,点P 为椭圆上的任意一点,则1|PF 1|+1|PF 2|的取值范围为( )A.[1,22]B.[√2,√3]C.[√2,4]D.[1,4]6.直线m 与椭圆x 22+y 2=1交于P 1,P 2两点,线段P 1P 2的中点为P ,设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0),直线OP的斜率为k 2,则k 1k 2的值为 .7.(2018辽阳模拟,15)设F 1,F 2分别是椭圆x 225+y 216=1的左右焦点,P 为椭圆上任意一点,点M 的坐标为(6,4),则|PM|+|PF 1|的最大值为 .综合提升组8.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点为F 1(-2,0),过点F 1作倾斜角为30°的直线与圆x 2+y 2=b 2相交的弦长为√3b ,则椭圆的标准方程为( ) A.y 28+x 24=1B.x 28+y 24=1C.y 216+x 212=1D.x 216+y 212=19.(2018湖南长沙一模,10)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的右焦点为F ,短轴的一个端点为M ,直线l :3x-4y=0交椭圆E 于A ,B 两点,若|AF|+|BF|=6,点M 与直线l 的距离不小于85,则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.0,2√23B.0,√53C.√63,1D.2√23,110.已知椭圆C :x 24+y 23=1的左右两焦点分别为F 1,F 2,△ABC 为椭圆的内接三角形,已知A 23,2√63,且满足F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则直线BC 的方程为 . 11.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)短轴的端点P (0,b ),Q (0,-b ),长轴的一个端点为M ,AB 为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦,若PA ,PB 的斜率之积等于-14,则P 到直线QM 的距离为 . 12.(2018河南开封二模,20)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为√32,点M (2,1)在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程.(2)直线l 平行于OM ,且与椭圆C 交于A ,B 两个不同的点.若∠AOB 为钝角,求直线l 在y 轴上的截距m 的取值范围.13.(2018河南郑州一模,20)如图,已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F2(1,0),点H2,2√103在椭圆上.(1)求椭圆的方程.(2)点M在圆x2+y2=b2上,且M在第一象限,过点M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P,Q两点,求证:△PF2Q的周长是定值.14.已知动点M(x,y)满足:√(x+1)2+y2+√(x-1)2+y2=2√2,(1)求动点M的轨迹E的方程;(2)设A,B是轨迹E上的两个动点,线段AB的中点N在直线l:x=-12上,线段AB的中垂线与E交于P,Q 两点,是否存在点N,使以PQ为直径的圆经过点(1,0),若存在,求出N点坐标,若不存在,请说明理由.创新应用组15.(2018江西南昌高三月考,20)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的顶点坐标分别为A 1(-2,0),A 2(2,0),且对于椭圆上任意一点M (异于A 1,A 2),直线MA 1与直线MA 2斜率之积为-12. (1)求椭圆的方程; (2)如图,点P -1,12是该椭圆内一点,四边形ABCD (AB ∥CD )的对角线AC 与BD 交于点P.设直线AB :y=x+m ,记g (m )=S △PAB 2.求f (m )=g (m )-23m 3+4m-3的最大值.16.(2018浙江杭州二中高三月考,21)如图,焦点在x 轴上的椭圆C 1与焦点在y 轴上的椭圆C 2都过点M (0,1),中心都在坐标原点,且椭圆C 1与C 2的离心率均为√32.(1)求椭圆C 1与椭圆C 2的标准方程;(2)过点M 的互相垂直的两直线分别与C 1,C 2交于点A ,B (点A ,B 不同于点M ),当△MAB 的面积取最大值时,求两直线MA ,MB 斜率的比值.参考答案课时规范练48 椭圆1.A a 2=4,b 2=1,所以a=2,b=1,c=√3,不妨设P 在x 轴上方,则F 1(-√3,0),设P (-√3,m )(m>0),则(-√3)24+m 2=1,解得m=12,所以|PF 1|=12,根据椭圆定义:|PF 1|+|PF 2|=2a ,所以|PF 2|=2a-|PF 1|=2×2-12=72.2.B 如图,设AC 中点为M ,连接OM ,则OM 为△ABC 的中位线,易得△OFM ∽△AFB ,且|OF ||FA |=|OM ||AB |=12,即c a -c =12,可得e=c a =13. 3.C 因为|PF 1|+|PF 2|=14,又|PF 1|∶|PF 2|=4∶3,所以|PF 1|=8,|PF 2|=6.因为|F 1F 2|=10,所以PF 1⊥PF 2.所以S △PF 1F 2=12|PF 1|·|PF 2|=12×8×6=24. 4.B 设直线l 的斜率为k ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则直线l 的方程为y=kx+1.因为MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-23MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以2x 2=-3x 1,y=kx+1与x 29+y25=1,得(5+9k 2)x 2+18kx-36=0, 则{x 1+x 2=-18k5+9k 2,x 1x 2=-365+9k 2,2x 2=-3x 1,解得k=±13,即所求直线方程为y=±13x+1. 5.D 由题意得椭圆x 2a+y 2b=1(a>b>0)的短轴长为2b=2,b=1,S ΔF 1AB =12(a-c )b=2-√32,解得a-c=2-√3,∴a=2,c=√3,|PF 1|+|PF 2|=2a=4,设|PF 1|=x ,则|PF 2|=4-x ,x ∈[a-c ,a+c ], 即x ∈[2-√3,2+√3],∴1|PF 1|+1|PF 2|=1x +14-x =44-(x -2)2∈[1,4],故选D .6.-12 由点差法可求出k 1=-1·x 中, 所以k 1·y 中x 中=-12,即k 1k 2=-12.7.15 椭圆x 225+y 216=1中,a=5,b=4,所以c=3,焦点坐标F 1(-3,0),F 2(3,0),根据椭圆的定义得|PM|+|PF 1|=|PM|+(2a-|PF 2|)=10+(|PM|-|PF 2|),因为|PM|-|PF 2|≤|MF 2|,当且仅当P 在MF 2上时取等号,所以点P 与图中的P 0重合时,(|PM |-|PF 2|)max =√(6-3)2+(4-0)2=5,此时|PM|+|PF 1|的最大值为10+5=15.8.B 由左焦点为F 1(-2,0),可得c=2,即a 2-b 2=4,过点F 1作倾斜角为30°的直线的方程为y=√33(x+2),圆心(0,0)到直线的距离d=√3√3+9=1,由直线与圆x 2+y 2=b 2相交的弦长为√3b ,可得2√b 2-1=√3b ,解得b=2,a=2√2,则椭圆方程为x 28+y 24=1,故选B .9.B 可设F'为椭圆的左焦点,连接AF',BF',根据椭圆的对称性可得四边形AFBF'是平行四边形,∴6=|AF|+|BF|=|AF'|+|BF|=2a ,∴a=3,取M (0,b ),∵点M 到直线l 的距离不小于85,∴||√32+42≥85, 解得b ≥2,e 2=9-b 29≤59∴e ≤√53,∴椭圆E 的离心率的取值范围是0,√53,故选B .10.y=7√616x-27√632根据椭圆方程及椭圆中a ,b ,c 的关系,可得F 2(1,0).设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),因为F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,代入坐标得 -13,2√63+(x 1-1,y 1)+(x 2-1,y 2)=(0,0).又因为B ,C 在椭圆上, 所以{ -13+x 2+x 1-2=0,①2√63+y 2+y 1=0,②x 124+y 123=1,③x 224+y 223=1,④ 解方程组,得设线段BC 的中点是(x 0,y 0),则由①②得x 0=x 1+x 22=76,y 0=y 1+y 22=-√63,由③-④,得x 12-x 224+y 12-y 223=0,则y 1-y 2x 1-x 2=-3(x 1+x 2)4(y 1+y 2)=-34×73×(2√6)=7√616. 所以解得BC 的方程为y=7√616x-27√632.11.4√55b 或2√55a 不妨设椭圆P (0,b ),点A 的坐标为(x 0,y 0),则点B 坐标为(-x 0,-y 0),则y 0-b x 0×-y 0-b -x 0=-14,由于x 02a 2+y 02b 2=1,则-b 2a 2=-14,则b a =12, 不妨设M (a ,0),直线QM 方程为bx-ay-ab=0, 则P 到直线QM 的距离为d=|2ab |√a 2+b 2=2b √1+(b a) 2=2b√54=4√55b=2√55a 或b a =12,则a=2b ,所以d=4√55b .12.解 (1)依题意有{√a 2-b 2a=√32,4a 2+1b 2=1,解得{a2=8,b 2=2.故椭圆C 的方程为x 28+y 22=1.(2)由直线l 平行于OM ,得直线l 的斜率k=k OM =12, 又l 在y 轴上的截距为m ,所以l 的方程为y=12x+m.由{y =12x +m ,x 28+y 22=1, 得x 2+2mx+2m 2-4=0.因为直线l 与椭圆C 交于A ,B 两个不同的点, 所以Δ=(2m )2-4(2m 2-4)>0,解得-2<m<2. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).又∠AOB 为钝角等价于OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ <0且m ≠0, 则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2 =x 1x 2+12x 1+m 12x 2+m=54x 1x 2+m2(x 1+x 2)+m 2<0,将x 1+x 2=-2m ,x 1x 2=2m 2-4代入上式, 化简整理得m 2<2,即-√2<m<√2, 故m 的取值范围是(-√2,0)∪(0,√2).13.(1)解根据已知,椭圆的左、右焦点分别是F 1(-1,0),F 2(1,0),c=1,因为H 2,2√103在椭圆上,所以2a=|HF 1|+|HF 2|=√(2+1)2+(2√103)2+√(2-1)2+(2√103)2=6,所以a=3,b=2√2,故椭圆的方程是x 29+y 28=1.(2)证明设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则x 129+y 128=1,|PF 2|=√(x 1-1)2+y 12 =√(x 1-1)2+8(1-x 129)=√(x13-3)2, 因为0<x 1<3,所以|PF 2|=3-13x 1,在圆中,M 是切点,所以|PM|=√|OP |2-|OM |2=√x 12+y 12-8 =√x 12+8(1-x 129)-8=13x 1,所以|PF 2|+|PM|=3-13x 1+13x 1=3,同理,|QF 2|+|QM|=3,所以|F 2P|+|F 2Q|+|PQ|=3+3=6,因此△PF 2Q 的周长是定值6. 14.解 (1)x 22+y 2=1;(2)当直线AB 垂直于x 轴时,直线AB 方程为x=-12, 此时P (-√2,0),Q (√2,0),F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1,不合题意;当直线AB 不垂直于x 轴时,设存在点N -12,m (m ≠0),直线AB 的斜率为k ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由{x 122+y 12=1,x 222+y 22=1得:(x 1+x 2)+2(y 1+y 2)·y 1-y 2x 1-x2=0,则-1+4mk=0, 故k=14m ,此时,直线PQ 斜率为k 1=-4m ,直线PQ 的方程为y-m=-4m x+12,即y=-4mx-m. 联立{y =-4mx -m ,x 22+y 2=1消去y ,整理得:(32m 2+1)x 2+16m 2x+2m 2-2=0,设P (x 3,y 3),Q (x 4,y 4). 所以x 3+x 4=-16m 232m +1,x 3·x 4=2m 2-232m +1.由题意F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,于是 F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 3-1)(x 4-1)+y 3y 4=x 3·x 4-(x 3+x 4)+1+(4mx 3+m )(4mx 4+m ) =(1+16m 2)x 3·x 4+(4m 2-1)(x 3+x 4)+1+m 2=(1+16m 2)(2m 2-2)(32m 2+1)+ (4m 2-1)(-16m 2)(32m 2+1)+1+m 2=19m 2-132m 2+1=0,∴m=±√1919.∵N 在椭圆内,∴m 2<78,∴m=±√1919符合条件;综上所述,存在两点N 符合条件,坐标为N -12,±√1919. 15.解 (1)a=2,-b 2a2=-12,b 2=2,椭圆方程为x 24+y 22=1.(2)联立l AB 与椭圆方程{y =x +m ,x 2+2y 2-4=0,整理得3x 2+4mx+2m 2-4=0,Δ=48-8m 2>0⇒m 2<6,又直线AB 不过点P -1,12,得m ≠32.x 1+x 2=-4m3,x 1x 2=2m 2-43,|x 1-x 2|=√48-8m 23.设点P 到直线AB 的距离是d , 则g (m )=14d 2|AB|2 =14(m -32)22·2·48-8m 29=-2m4+6m 3+152m 2-36m+279,f (m )=-2m 4+152m 29=118·2m 2152-2m 2≤118·14·(152)2=2532当且仅当m 2=158时取等号, 所以f (m )max =2532m=±√304∈-√6,32∪32,√6.16.解 (1)依题意得对C 1中:b=1,e=√32⇒e 2=34=a 2-b 2a ,得C 1:x 24+y 2=1;同理C 2:y 2+x 214=1.(2)设直线MA ,MB 的斜率分别为k 1,k 2,则MA :y=k 1x+1,与椭圆方程联立得{x 24+y 2=1,y =k 1x +1⇒x 2+4(k 1x+1)2-4=0,得(4k 12+1)x 2+8k 1x=0,得x A =-8k 14k 12+1,y A =-4k 12+14k 12+1, 所以A-14k 12+1,-4k 12+112同理可得B-24+k 22,4-k 2222.所以MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-14k 12+1,-8k 1212,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-24+k 22,-2k 2222,从而可以求得S=12-14k 12+1·-2k 2222--24+k 22·-8k 1212=1216k 1k 2(k 2-k 1)(4k 12+1)(4+k 22),因为k 1k 2=-1,所以S=8(k 1+k 13)(4k 12+1)2,不妨设k 1>0,f (k 1)=k 1+k 13(4k 12+1)2,f'(k 1)=-4k 14-9k 12+1(4k 12+1)3, 令f'(k 1)=0,∴-4k 14-9k 12+1=0,k 12=√97-98,所以当S 最大时,k 12=√97-98,此时两直线MA ,MB 斜率的比值k 1k 2=-k 12=9-√978.。

2020高考数学一轮复习课时规范练48椭圆理新人教B版-精装版

教学资料范本2020高考数学一轮复习课时规范练48椭圆理新人教B版-精装版编辑：__________________时间：__________________【精选】20xx最新高考数学一轮复习课时规范练48椭圆理新人教B版基础巩固组1.已知椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为( )A.=1B.=1C.=1D.=12.(20xx河南洛阳三模,理2)已知集合M=,N=,M∩N=()A.⌀B.{(3,0),(0,2)}C.[-2,2]D.[-3,3]3.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为,过F2的直线l 交C于A,B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为( )A.=1B.+y2=1C.=1D.=14.(20xx安徽黄山二模,理4)在△ABC中,B(-2,0),C(2,0),A(x,y),给出△ABC满足条件,就能得到动点A的轨迹方程.下表给出了一些条件及方程:条件方程①△ABC周长为10 C:y2=251②△ABC面积为10 C:x2+y2=4(y≠0)2③△ABC中,∠A=90°C:=1(y≠0)3则满足条件①,②,③的轨迹方程依次为( )A.C3,C1,C2B.C1,C2,C3C.C3,C2,C1D.C1,C3,C2 〚导学号21500759〛5.(20xx广东、江西、福建十校联考)已知F1,F2是椭圆=1(a>b>0)的左右两个焦点,若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2,则该椭圆的离心率的取值范围是( )A. B.C. D.6.与圆C1:(x+3)2+y2=1外切,且与圆C2:(x-3)2+y2=81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为.7.(20xx湖北八校联考)设F1,F2为椭圆=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则的值为.8.(20xx河北衡水中学三调,理20)如图,椭圆E:=1(a>b>0)左、右顶点为A,B,左、右焦点为F1,F2,|AB|=4,|F1F2|=2.直线y=kx+m(k>0)交椭圆E于C,D两点,与线段F1F2、椭圆短轴分别交于M,N两点(M,N不重合),且|CM|=|DN|.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线AD,BC的斜率分别为k1,k2,求的取值范围.〚导学号21500760〛综合提升组9.已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=( )A.3B.6C.9D.1210.(20xx河南郑州三模,理10)椭圆=1的左焦点为F,直线x=a与椭圆相交于点M,N,当△FMN的周长最大时,△FMN的面积是( )A. B. C. D.11.(20xx安徽安庆二模,理15)已知椭圆=1(a>b>0)短轴的端点P(0,b),Q(0,-b),长轴的一个端点为M,AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦,若PA,PB的斜率之积等于-,则点P到直线QM的距离为. 〚导学号21500761〛12.(20xx湖南邵阳一模,理20)如图所示,已知椭圆C:=1(a>b>0),F1,F2分别为其左,右焦点,点P是椭圆C上一点,PO⊥F2M,且=λ.(1)当a=2,b=2,且PF2⊥F1F2时,求λ的值;(2)若λ=2,试求椭圆C离心率e的范围.创新应用组13.(20xx河南南阳、信阳等六市一模,理16)椭圆C:=1的上、下顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[-2,-1],则直线PA1斜率的取值范围是.14.(20xx北京东城二模,理19)已知椭圆C:=1(a>b>0)的短轴长为2,右焦点为F(1,0),点M是椭圆C上异于左、右顶点A,B的一点.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线AM与直线x=2交于点N,线段BN的中点为E,证明:点B关于直线EF的对称点在直线MF上.〚导学号21500762〛参考答案课时规范练48 椭圆1.A 由题意知a=13,c=5,则b2=a2-c2=144.又椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆方程为=1.2.D 集合M==[-3,3],N==R,则M∩N=[-3,3],故选D.3.A 由椭圆的定义可知△AF1B的周长为4a,所以4a=4,即a=,又由e=,得c=1,所以b2=a2-c2=2,则C的方程为=1,故选A.4.A ①△ABC的周长为10,即AB+AC+BC=10.∵BC=4,∴AB+AC=6>BC,故动点A的轨迹为椭圆,与C3对应;②△ABC的面积为10,∴BC·|y|=10,即|y|=5,与C1对应;③∵∠A=90°,∴=(-2-x,-y)(2-x,-y)=x2+y2-4=0,与C2对应.故选A.5.B ∵F1,F2是椭圆=1(a>b>0)的左右两个焦点,∴离心率0<e<1,F1(-c,0),F2(c,0),c2=a2-b2.设点P(x,y),由PF1⊥PF2,得(x-c,y)·(x+c,y)=0,化简得x2+y2=c2,联立方程组整理,得x2=(2c2-a2)·≥0,解得e≥,又0<e<1,∴≤e<1.故选B.6.=1 设动圆的半径为r,圆心为P(x,y),则有|PC1|=r+1,|PC2|=9-r.所以|PC1|+|PC2|=10>|C1C2|,即P在以C1(-3,0),C2(3,0)为焦点,长轴长为10的椭圆上,得点P的轨迹方程为=1.7. 由题意知a=3,b=.由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6.在△PF1F2中,因为PF1的中点在y轴上,O为F1F2的中点,由三角形中位线性质可推得PF2⊥x轴,所以|PF2|=,所以|PF1|=6-|PF2|=,所以.8.解 (1)因为2a=4,2c=2,所以a=2,c=,所以b=1.所以椭圆E的方程为+y2=1.(2)直线y=kx+m(k>0)与椭圆联立,可得(4k2+1)x2+8mkx+4m2-4=0.设D(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,又M,N(0,m),由|CM|=|DN|得x1+x2=xM+xN,所以-=-,所以k=(k>0).所以x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2.所以-≤-2m≤且m≠0,所以====,所以=-1-.又因为=-1-上单调递增,所以7-4=7+4,且≠1,即7-4≤7+4,且≠1,所以∈[7-4,1)∪(1,7+4].9.B ∵抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),∴E的右焦点的坐标为(2,0).设椭圆E的方程为=1(a>b>0),则c=2.∵,∴a=4.∴b2=a2-c2=12.于是椭圆方程为=1.∵抛物线的准线方程为x=-2,将其代入椭圆方程可得A(-2,3),B(-2,-3),∴|AB|=6.10.C 设右焦点为F',连接MF',N F',△FMN的周长=|FM|+|FN|+|MN|≤|FM|+|FN|+|MF'|+|NF'|=4a=4.∵|MF'|+|NF'|≥|MN|,∴当直线x=a过右焦点时,△FMN的周长最大.把c=1代入椭圆标准方程可得=1,解得y=±.∴此时△FMN的面积S=×2×2×.故选C.11. 根据题意可得P(0,b),Q(0,-b),设A(x,y),B(-x,-y),由直线PA,PB 的斜率之积为-,则kPA·kPB==-,由点A在椭圆上可得=1,则=-,∴,即a=2b.△PMQ的面积S=·|PQ|·|OM|=×2b·a=2b2,设点P到直线MQ的距离为d,则S=·|MQ|·d=·d=b·d=2b2,解得d=b,∴点P到直线QM的距离为.12.解 (1)当a=2,b=2时,椭圆C为=1,F1(-2,0),F2(2,0),∵PF2⊥F1F2,∴P(2,)或P(2,-),当P(2,)时,kOP==-,直线F2M:y=-(x-2), ①直线F1M:y=(x+2), ②联立①②解得xM=,∴λ==4.同理可得当P(2,-)时,λ=4.综上所述,λ=4.(2)设P(x0,y0),M(xM,yM).∵=2,∴(x0+c,y0)=(xM+c,yM),∴M.∵=(x0,y0),∴x0+=0,即=2cx0. ③又=1, ④联立③④解得x0=(舍去)或x0=(∵x0∈(-a,a)),∴x0=∈(0,a),即0<a2-ac<ac.∴e>.又0<e<1,∴e∈.13. 由椭圆的标准方程可知,上、下顶点分别为A1(0,),A2(0,-),设点P(a,b)(a≠±2),则=1,即=-.直线PA2斜率k2=,直线PA1斜率k1=.∵k1k2==-,∴k1=-.∵直线PA2斜率的取值范围是[-2,-1],即-2≤k2≤-1,∴直线PA1斜率的取值范围是.14.(1)解由题意得b=,c=1,解得a=2.所以椭圆C的方程为=1.(2)证明“点B关于直线EF的对称点在直线MF上”等价于“EF平分∠MFB”.设直线AM的方程为y=k(x+2)(k≠0),则N(2,4k),E(2,2k).设点M(x0,y0),由得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,得①当MF⊥x轴时,x0=1,此时k=±.所以M,N(2,±2),E(2,±1).此时,点E在∠MFB的角平分线所在的直线y=x-1或y=-x+1,即EF平分∠MFB.②当k≠±时,直线MF的斜率为kMF=,所以直线MF的方程为4kx+(4k2-1)y-4k=0.所以点E到直线MF的距离d====|2k|=|BE|,即点B关于直线EF的对称点在直线MF上.。

【高中教育】高考数学一轮复习课时规范练48椭圆理新人教B版

——教学资料参考参考范本——【高中教育】高考数学一轮复习课时规范练48椭圆理新人教B版______年______月______日____________________部门基础巩固组1.已知椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为( )A.=1B.=1C.=1D.=12.(20xx河南洛阳三模,理2)已知集合M=,N=,M∩N=()A.⌀B.{(3,0),(0,2)}C.[-2,2]D.[-3,3]3.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为( )A.=1B.+y2=1C.=1D.=14.(20xx安徽黄山二模,理4)在△ABC中,B(-2,0),C(2,0),A(x,y),给出△ABC满足条件,就能得到动点A的轨迹方程.下表给出了一些条件及方程:条件方程①△ABC周长为10 C:y2=251②△ABC面积为10 C:x2+y2=4(y≠0)2③△ABC中,∠A=90°C:=1(y≠0)3则满足条件①,②,③的轨迹方程依次为( )A.C3,C1,C2B.C1,C2,C3C.C3,C2,C1D.C1,C3,C2 〚导学号21500759〛5.(20xx广东、江西、福建十校联考)已知F1,F2是椭圆=1(a>b>0)的左右两个焦点,若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2,则该椭圆的离心率的取值范围是( )A. B.C. D.6.与圆C1:(x+3)2+y2=1外切,且与圆C2:(x-3)2+y2=81内切的动圆圆心P的轨迹方程为.7.(20xx湖北八校联考)设F1,F2为椭圆=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则的值为.8.(20xx河北衡水中学三调,理20)如图,椭圆E:=1(a>b>0)左、右顶点为A,B,左、右焦点为F1,F2,|AB|=4,|F1F2|=2.直线y=kx+m(k>0)交椭圆E 于C,D两点,与线段F1F2、椭圆短轴分别交于M,N两点(M,N不重合),且|CM|=|DN|.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线AD,BC的斜率分别为k1,k2,求的取值范围.〚导学号21500760〛综合提升组9.已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=( )A.3B.6C.9D.1210.(20xx河南郑州三模,理10)椭圆=1的左焦点为F,直线x=a与椭圆相交于点M,N,当△FMN的周长最大时,△FMN的面积是( )A. B. C. D.11.(20xx安徽安庆二模,理15)已知椭圆=1(a>b>0)短轴的端点P(0,b),Q(0,-b),长轴的一个端点为M,AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦,若PA,PB的斜率之积等于-,则点P到直线QM的距离为. 〚导学号21500761〛12.(20xx湖南邵阳一模,理20)如图所示,已知椭圆C:=1(a>b>0),F1,F2分别为其左,右焦点,点P是椭圆C上一点,PO⊥F2M,且=λ.(1)当a=2,b=2,且PF2⊥F1F2时,求λ的值;(2)若λ=2,试求椭圆C离心率e的范围.创新应用组13.(20xx河南南阳、信阳等六市一模,理16)椭圆C:=1的上、下顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[-2,-1],则直线PA1斜率的取值范围是.14.(20xx北京东城二模,理19)已知椭圆C:=1(a>b>0)的短轴长为2,右焦点为F(1,0),点M是椭圆C上异于左、右顶点A,B的一点.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线AM与直线x=2交于点N,线段BN的中点为E,证明:点B关于直线EF的对称点在直线MF上.〚导学号21500762〛参考答案课时规范练48 椭圆1.A 由题意知a=13,c=5,则b2=a2-c2=144.又椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆方程为=1.2.D 集合M==[-3,3],N==R,则M∩N=[-3,3],故选D.3.A 由椭圆的定义可知△AF1B的周长为4a,所以4a=4,即a=,又由e=,得c=1,所以b2=a2-c2=2,则C的方程为=1,故选A.4.A ①△ABC的周长为10,即AB+AC+BC=10.∵BC=4,∴AB+AC=6>BC,故动点A的轨迹为椭圆,与C3对应;②△ABC的面积为10,∴BC·|y|=10,即|y|=5,与C1对应;③∵∠A=90°,∴=(-2-x,-y)(2-x,-y)=x2+y2-4=0,与C2对应.故选A.5.B ∵F1,F2是椭圆=1(a>b>0)的左右两个焦点,∴离心率0<e<1,F1(-c,0),F2(c,0),c2=a2-b2.设点P(x,y),由PF1⊥PF2,得(x-c,y)·(x+c,y)=0,化简得x2+y2=c2,联立方程组整理,得x2=(2c2-a2)·≥0,解得e≥,又0<e<1,∴≤e<1.故选B.6.=1 设动圆的半径为r,圆心为P(x,y),则有|PC1|=r+1,|PC2|=9-r.所以|PC1|+|PC2|=10>|C1C2|,即P在以C1(-3,0),C2(3,0)为焦点,长轴长为10的椭圆上,得点P的轨迹方程为=1.7. 由题意知a=3,b=.由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6.在△PF1F2中,因为PF1的中点在y轴上,O为F1F2的中点,由三角形中位线性质可推得PF2⊥x轴,所以|PF2|=,所以|PF1|=6-|PF2|=,所以.8.解 (1)因为2a=4,2c=2,所以a=2,c=,所以b=1.所以椭圆E的方程为+y2=1.(2)直线y=kx+m(k>0)与椭圆联立,可得(4k2+1)x2+8mkx+4m2-4=0.设D(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,又M,N(0,m),由|CM|=|DN|得x1+x2=xM+xN,所以-=-,所以k=(k>0).所以x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2.所以-≤-2m≤且m≠0,所以====,所以=-1-.又因为=-1-上单调递增,所以7-4=7+4,且≠1,即7-4≤7+4,且≠1,所以∈[7-4,1)∪(1,7+4].9.B ∵抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),∴E的右焦点的坐标为(2,0).设椭圆E的方程为=1(a>b>0),则c=2.∵,∴a=4.∴b2=a2-c2=12.于是椭圆方程为=1.∵抛物线的准线方程为x=-2,将其代入椭圆方程可得A(-2,3),B(-2,-3),∴|AB|=6.10.C 设右焦点为F',连接MF',NF',△FMN的周长=|FM|+|FN|+|MN|≤|FM|+|FN|+|MF'|+|NF'|=4a=4.∵|MF'|+|NF'|≥|MN|,∴当直线x=a过右焦点时,△FMN的周长最大.把c=1代入椭圆标准方程可得=1,解得y=±.∴此时△FMN的面积S=×2×2×.故选C.11. 根据题意可得P(0,b),Q(0,-b),设A(x,y),B(-x,-y),由直线PA,PB的斜率之积为-,则kPA·kPB==-,由点A在椭圆上可得=1,则=-,∴,即a=2b.△PMQ的面积S=·|PQ|·|OM|=×2b·a=2b2,设点P到直线MQ的距离为d,则S=·|MQ|·d=·d=b·d=2b2,解得d=b,∴点P到直线QM的距离为.12.解 (1)当a=2,b=2时,椭圆C为=1,F1(-2,0),F2(2,0),∵PF2⊥F1F2,∴P(2,)或P(2,-),当P(2,)时,kOP==-,直线F2M:y=-(x-2), ①直线F1M:y=(x+2), ②联立①②解得xM=,∴λ==4.同理可得当P(2,-)时,λ=4.综上所述,λ=4.(2)设P(x0,y0),M(xM,yM).∵=2,∴(x0+c,y0)=(xM+c,yM),∴M.∵=(x0,y0),∴x0+=0,即=2cx0. ③又=1, ④联立③④解得x0=(舍去)或x0=(∵x0∈(-a,a)),∴x0=∈(0,a),即0<a2-ac<ac.∴e>.又0<e<1,∴e∈.13. 由椭圆的标准方程可知,上、下顶点分别为A1(0,),A2(0,-),设点P(a,b)(a≠±2),则=1,即=-.直线PA2斜率k2=,直线PA1斜率k1=.∵k1k2==-,∴k1=-.∵直线PA2斜率的取值范围是[-2,-1],即-2≤k2≤-1,∴直线PA1斜率的取值范围是.14.(1)解由题意得b=,c=1,解得a=2.所以椭圆C的方程为=1.(2)证明“点B关于直线EF的对称点在直线MF上”等价于“EF平分∠MFB”.设直线AM的方程为y=k(x+2)(k≠0),则N(2,4k),E(2,2k).设点M(x0,y0),由得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,得①当MF⊥x轴时,x0=1,此时k=±.所以M,N(2,±2),E(2,±1).此时,点E在∠MFB的角平分线所在的直线y=x-1或y=-x+1,即EF 平分∠MFB.②当k≠±时,直线MF的斜率为kMF=,所以直线MF的方程为4kx+(4k2-1)y-4k=0.所以点E到直线MF的距离d====|2k|=|BE|,即点B关于直线EF的对称点在直线MF上.。

【规范】高考数学总复习第九章解析几何课时规范练48椭圆理新人教A版

【关键字】规范课时规范练48 椭圆一、基础巩固组1.已知椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=12.(2017河南洛阳三模,理2)已知集合M=,N=,M∩N=()A.⌀B.{(3,0),(0,2)}C.[-2,2]D.[-3,3]3.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为()A.=1B.+y2=1C.=1D.=14.(2017安徽黄山二模,理4)在△ABC中,B(-2,0),C(2,0),A(x,y),给出△ABC满足条件,就能得到动点A的轨迹方程.下表给出了一些条件及方程:条件方程①△ABC周长为10 C1:y2=25②△ABC面积为10 C2:x2+y2=4(y≠0)③△ABC中,∠A=90°C3:=1(y≠0)则满足条件①,②,③的轨迹方程依次为()A.C3,C1,C2B.C1,C2,C3C.C3,C2,C1D.C1,C3,C2 〚导学号〛5.(2017广东、江西、福建十校联考)已知F1,F2是椭圆=1(a>b>0)的左右两个焦点,若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2,则该椭圆的离心率的取值范围是()A. B.C. D.6.与圆C1:(x+3)2+y2=1外切,且与圆C2:(x-3)2+y2=81内切的动圆圆心P的轨迹方程为.7.(2017湖北八校联考)设F1,F2为椭圆=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则的值为.8.(2017河北衡水中学三调,理20)如图,椭圆E:=1(a>b>0)左、右顶点为A,B,左、右焦点为F1,F2,|AB|=4,|F2|=2.直线y=kx+m(k>0)交椭圆E于C,D两点,与线段F2、椭圆短轴分别交于M,N 两点(M,N不重合),且|CM|=|DN|.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线AD,BC的斜率分别为k1,k2,求的取值范围.二、综合提升组9.已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=()A.3 BC.9 D.1210.(2017河南郑州三模,理10)椭圆=1的左焦点为F,直线x=a与椭圆相交于点M,N,当△FMN的周长最大时,△FMN的面积是()A. B. C. D.11.(2017安徽安庆二模,理15)已知椭圆=1(a>b>0)短轴的端点P(0,b),Q(0,-b),长轴的一个端点为M,AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦,若PA,PB的斜率之积等于-,则点P到直线QM的距离为. 〚导学号〛12.(2017湖南邵阳一模,理20)如图所示,已知椭圆C:=1(a>b>0),F1,F2分别为其左,右焦点,点P是椭圆C上一点,PO⊥F,且=λ.(1)当a=2,b=2,且PF2⊥F2时,求λ的值;(2)若λ=2,试求椭圆C离心率e的范围.三、创新应用组13.(2017河南南阳、信阳等六市一模,理16)椭圆C:=1的上、下顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[-2,-1],则直线PA1斜率的取值范围是.14.(2017北京东城区二模,理19)已知椭圆C:=1(a>b>0)的短轴长为2,右焦点为F(1,0),点M是椭圆C上异于左、右顶点A,B的一点.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线AM与直线x=2交于点N,线段BN的中点为E,证明:点B关于直线EF的对称点在直线MF 上.〚导学号〛课时规范练48椭圆1.A由题意知a=13,c=5,则b2=a2-c2=144.又椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆方程为=1.2.D集合M==[-3,3],N==R,则M∩N=[-3,3],故选D.3.A由椭圆的定义可知△AF1B的周长为,所以=4,即a=,又由e=,得c=1,所以b2=a2-c2=2,则C的方程为=1,故选A.4.A①△ABC的周长为10,即AB+AC+BC=10.∵BC=4,∴AB+AC=6>BC,故动点A的轨迹为椭圆,与C3对应;②△ABC的面积为10,BC·|y|=10,即|y|=5,与C1对应;③∵∠A=90°,=(-2-x,-y)(2-x,-y)=x2+y2-4=0,与C2对应.故选A.5.B∵F1,F2是椭圆=1(a>b>0)的左右两个焦点,∴离心率0<e<1,F1(-c,0),F2(c,0),c2=a2-b2.设点P(x,y),由PF1⊥PF2,得(x-c,y)·(x+c,y)=0,化简得x2+y2=c2,联立方程组整理,得x2=(2c2-a2)0,解得e,又0<e<1,e<1.故选B.6=1设动圆的半径为r,圆心为P(x,y),则有|PC1|=r+1,|PC2|=9-r.所以|PC1|+|PC2|=10>|C1C2|,即P在以C1(-3,0),C2(3,0)为焦点,长轴长为10的椭圆上,得点P的轨迹方程为=1.7由题意知a=3,b=由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6.在△PF1F2中,因为PF1的中点在y轴上,O为F1F2的中点,由三角形中位线性质可推得PF2⊥x轴,所以|PF2|=,所以|PF1|=6-|PF2|=,所以8.解 (1)因为2a=4,2c=2,所以a=2,c=,所以b=1.所以椭圆E的方程为+y2=1.(2)直线y=kx+m(k>0)与椭圆联立,可得(4k2+1)x2+8mkx+4m2-4=0.设D(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,又M,N(0,m),由|CM|=|DN|得x1+x2=x M+x N,所以-=-,所以k=(k>0).所以x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2.所以--2m且m≠0,所以====,所以=-1-又因为=-1-上单调递增,所以7-4=7+4,且1,即7-47+4,且1,所以[7-4,1)∪(1,7+4].9.B∵抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),∴E的右焦点的坐标为(2,0).设椭圆E的方程为=1(a>b>0),则c=2.,∴a=4.∴b2=a2-c2=12.于是椭圆方程为=1.∵抛物线的准线方程为x=-2,将其代入椭圆方程可得A(-2,3),B(-2,-3),∴|AB|=6.10.C设右焦点为F',连接MF',NF',△FMN的周长=|FM|+|FN|+|MN|≤|FM|+|FN|+|MF'|+|NF'|=4a=4∵|MF'|+|NF'|≥|MN|,∴当直线x=a过右焦点时,△FMN的周长最大.把c=1代入椭圆标准方程可得=1,解得y=±∴此时△FMN的面积S=2×2故选C.11根据题意可得P(0,b),Q(0,-b),设A(x,y),B(-x,-y),由直线PA,PB的斜率之积为-, 则k PA·k PB==-,由点A在椭圆上可得=1,则=-,,即a=2b.△PMQ的面积S=|PQ|·|OM|=2b·a=2b2,设点P到直线MQ的距离为d,则S=|MQ|·d=d=b·d=2b2,解得d=b,∴点P到直线QM的距离为12.解 (1)当a=2,b=2时,椭圆C为=1,F1(-2,0),F2(2,0),∵PF2⊥F1F2,∴P(2,)或P(2,-),当P(2,)时,k OP==-,直线F2M:y=-(x-2), ①直线F1M:y=(x+2), ②联立①②解得x M=,∴λ==4.同理可得当P(2,-)时,λ=4.综上所述,λ=4.(2)设P(x0,y0),M(x M,y M).=2,(x0+c,y0)=(x M+c,y M),∴M=(x0,y0),x0+=0,即=2cx0.③又=1, ④联立③④解得x0=(舍去)或x0=(∵x0∈(-a,a)),∴x0=(0,a),即0<a2-ac<ac.∴e>又0<e<1,∴e13由椭圆的标准方程可知,上、下顶点分别为A1(0,),A2(0,-), 设点P(a,b)(a≠±2),则=1,即=-直线PA2斜率k2=,直线PA1斜率k1=∵k1k2==-,∴k1=-∵直线PA2斜率的取值范围是[-2,-1],即-2≤k2≤-1,∴直线PA1斜率的取值范围是14.(1)解由题意得b=,c=1,解得a=2.所以椭圆C的方程为=1.(2)证明“点B关于直线EF的对称点在直线MF上”等价于“EF平分∠MFB”.设直线AM的方程为y=k(x+2)(k≠0),则N(2,4k),E(2,2k).设点M(x0,y0),由得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,得①当MF⊥x轴时,x0=1,此时k=±所以M,N(2,±2),E(2,±1).此时,点E在∠MFB的角平分线所在的直线y=x-1或y=-x+1,即EF平分∠MFB.②当k≠±时,直线MF的斜率为k MF=,所以直线MF的方程为4kx+(4k2-1)y-4k=0.所以点E到直线MF的距离d====|2k|=|BE|,即点B关于直线EF的对称点在直线MF上.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。