第八章特殊化方法.
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有个初步了解。我们考察了这个特殊情况后，可 以弄清蕴含于其中的一些概念和关系，并且熟悉 我们面对的问题类型，这对我们进一步解决问题 肯定有帮助。 例2：用数学归纳法解题
特殊化的作用还在于，事物的共性存在于个 性之中。对个别特殊情况的讨论，常常可以突出 问题的关键，有助于揭示出问题的本质。 例3：两人用同样大小的硬币，轮流放置于 一个长方形台面上，不允许互相重叠，谁放最
2.利用特殊化探究问题结论
例6：正三角形内任意一点与三边距离之和为定值。 A F P B D H C E 设想点P无限接近于A，则PE， PF将无限接近于零，PD就无限接
近于BC边上的高AH。因此
PD+PE+PF就无限接近于AH，由 此可知该定理所指的定值就是正 三角形的高AH。
例6：正三角形内任意一点与三边距离之和为定值。
第八章 特殊化方法
一、特殊化方法的含义
二、特殊化方法的应用
三、特殊化与一般化的辩证关系
1、特殊化方法的含义
所谓特殊化是指在研究问题时，从对象的一 个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的
较小集合的思想方法。 多边形 例1：
正n边形 等边三角形
特殊化的作用在于，当研究对象比较复杂时，
通过研究对象的特殊情况，能使我们对研究对象
后一枚谁就获胜。是先放的人获胜还是后放的
人能赢？
2.用特殊化解决问题的过程 应用特殊化思想方法解决问题时应注意两点： 一是特殊情况的选择具有代表性
（台面很小）
二是特殊化得到的结论应可推广 （台面是中心对称图形）
用特殊化解题的一般过程： 对象A
特殊化
对象A’（
结论B’
A）
A+B ’ 若信息不够则重复进行
A
G F I P E J K
过P点作直线平行BC，分
别交AB，AH，AC于I ， J ， K，然后过K作KG AB，则有： PD=JH ， KG=AJ
B
D H
C
且PE+PF=KG
于是有 PD+PE+PF=JH+KG=JH+AJ=AH（定值）
3.利用例检验一般结果
3 cos 3 4 cos 3cos 例7：
结论B
二、特殊化方法的应用
1.利用特殊值（图形）解选择题
2 n1 例4：若A为B= ( 3) (n N ) 的小数部分，则AB的值等于（
）
（A）1
32 n1 （B）
（C） 22 n 1
( 3 1)2n1 （D）
例5：设一个三角形的周长、外接圆半径长、内
切圆半径分别为l，R，r（这里R为定值），则下面结 论正确的是（ （A）l>R+r （C）2< R+r百度文库6l ） （B） l<R+r （D）以上关系都不成立
O
所以P在一个以O为圆心，直径是L的圆内。 因为P是该曲线上任意一点，所以该封闭曲线一 定可以被一个直径为L的圆盖住。
ai 0(i 1, 2,
n)
a1 a2 n
an
n a1a2
an
ai 0(i 1, 2, a1 a2
n) an n
两个问题？
问题1：有没有可能命题2推导出命题1呢？ 考察n个正数：
O
C
这封闭曲线平分为长L的两段，
O是线段AC的中点，Ｐ是该线上 任意一点，连接PO，PA，PC， 则有：
例8：试证明一个周长为2L的封闭曲线一定可以
被一个直径为L的圆盖住。
P A
1 1 PO ( AC CP ) (曲线AP的长+曲线CP的长) 2 2 1 = 曲线AC 的长 C 2 1 = L 2
A O
B
D C
分析周长为2L的平行四边形：
1 1 L BD ( BC CD ) 2 2 2 L OC 同理 2 OD
所以平行四边形ABCD可以被一个直径为L的圆盖住。
例8：试证明一个周长为2L的封闭曲线一定可以
被一个直径为L的圆盖住。
P A
对于周长2L的任意形状的 封闭曲线：设A，C两点恰好把
证明命题1来的容易。
命题2可以用数学归纳法证明。
三、特殊化与一般化的辩证关系 1.有时特殊情况与一般情况等价 2. 特殊化与一般化协同运作
n
a1 a2 , , n a1a2 an a1a2 an
,
an
n
a1a2
an
它们的乘积为1，故
n
a1 a2 n a1a2 an a1a2 an
an
n
a1a2
an
n
即
a1 a2 n
an
n a1a2
an
问题2：问题1有什么价值？
命题2是命题1的特殊情况，但问题1告诉我们 “有时特殊情况与一般情况等价”，于是要证明命 题1只需要证明命题2就可以了。显然，证明命题2比
取 0
，左边 cos 3 1
，
3 2 取 ，左边 cos 4 4 2
3
右边 4 cos3 3cos 4 3 1 ，
2 3cos 右边 4 cos 4 4 2
4.利用特殊化探索解题思路
例8：试证明一个周长为2L的封闭曲线一定可以 被一个直径为L的圆盖住。
特殊化的作用还在于，事物的共性存在于个 性之中。对个别特殊情况的讨论，常常可以突出 问题的关键，有助于揭示出问题的本质。 例3：两人用同样大小的硬币，轮流放置于 一个长方形台面上，不允许互相重叠，谁放最
2.利用特殊化探究问题结论
例6：正三角形内任意一点与三边距离之和为定值。 A F P B D H C E 设想点P无限接近于A，则PE， PF将无限接近于零，PD就无限接
近于BC边上的高AH。因此
PD+PE+PF就无限接近于AH，由 此可知该定理所指的定值就是正 三角形的高AH。
例6：正三角形内任意一点与三边距离之和为定值。
第八章 特殊化方法
一、特殊化方法的含义
二、特殊化方法的应用
三、特殊化与一般化的辩证关系
1、特殊化方法的含义
所谓特殊化是指在研究问题时，从对象的一 个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的
较小集合的思想方法。 多边形 例1：
正n边形 等边三角形
特殊化的作用在于，当研究对象比较复杂时，
通过研究对象的特殊情况，能使我们对研究对象
后一枚谁就获胜。是先放的人获胜还是后放的
人能赢？
2.用特殊化解决问题的过程 应用特殊化思想方法解决问题时应注意两点： 一是特殊情况的选择具有代表性
（台面很小）
二是特殊化得到的结论应可推广 （台面是中心对称图形）
用特殊化解题的一般过程： 对象A
特殊化
对象A’（
结论B’
A）
A+B ’ 若信息不够则重复进行
A
G F I P E J K
过P点作直线平行BC，分
别交AB，AH，AC于I ， J ， K，然后过K作KG AB，则有： PD=JH ， KG=AJ
B
D H
C
且PE+PF=KG
于是有 PD+PE+PF=JH+KG=JH+AJ=AH（定值）
3.利用例检验一般结果
3 cos 3 4 cos 3cos 例7：
结论B
二、特殊化方法的应用
1.利用特殊值（图形）解选择题
2 n1 例4：若A为B= ( 3) (n N ) 的小数部分，则AB的值等于（
）
（A）1
32 n1 （B）
（C） 22 n 1
( 3 1)2n1 （D）
例5：设一个三角形的周长、外接圆半径长、内
切圆半径分别为l，R，r（这里R为定值），则下面结 论正确的是（ （A）l>R+r （C）2< R+r百度文库6l ） （B） l<R+r （D）以上关系都不成立
O
所以P在一个以O为圆心，直径是L的圆内。 因为P是该曲线上任意一点，所以该封闭曲线一 定可以被一个直径为L的圆盖住。
ai 0(i 1, 2,
n)
a1 a2 n
an
n a1a2
an
ai 0(i 1, 2, a1 a2
n) an n
两个问题？
问题1：有没有可能命题2推导出命题1呢？ 考察n个正数：
O
C
这封闭曲线平分为长L的两段，
O是线段AC的中点，Ｐ是该线上 任意一点，连接PO，PA，PC， 则有：
例8：试证明一个周长为2L的封闭曲线一定可以
被一个直径为L的圆盖住。
P A
1 1 PO ( AC CP ) (曲线AP的长+曲线CP的长) 2 2 1 = 曲线AC 的长 C 2 1 = L 2
A O
B
D C
分析周长为2L的平行四边形：
1 1 L BD ( BC CD ) 2 2 2 L OC 同理 2 OD
所以平行四边形ABCD可以被一个直径为L的圆盖住。
例8：试证明一个周长为2L的封闭曲线一定可以
被一个直径为L的圆盖住。
P A
对于周长2L的任意形状的 封闭曲线：设A，C两点恰好把
证明命题1来的容易。
命题2可以用数学归纳法证明。
三、特殊化与一般化的辩证关系 1.有时特殊情况与一般情况等价 2. 特殊化与一般化协同运作
n
a1 a2 , , n a1a2 an a1a2 an
,
an
n
a1a2
an
它们的乘积为1，故
n
a1 a2 n a1a2 an a1a2 an
an
n
a1a2
an
n
即
a1 a2 n
an
n a1a2
an
问题2：问题1有什么价值？
命题2是命题1的特殊情况，但问题1告诉我们 “有时特殊情况与一般情况等价”，于是要证明命 题1只需要证明命题2就可以了。显然，证明命题2比
取 0
，左边 cos 3 1
，
3 2 取 ，左边 cos 4 4 2
3
右边 4 cos3 3cos 4 3 1 ，
2 3cos 右边 4 cos 4 4 2
4.利用特殊化探索解题思路
例8：试证明一个周长为2L的封闭曲线一定可以 被一个直径为L的圆盖住。