2017-2018学年上海市延安中学高三上学期12月月考数学试卷
2017-2018学年上海市延安中学高三上学期12月月考数学试卷
2016-2017学年上海市长宁区延安中学高三(上)12月月考数学试卷一.填空题1.已知集合U={x|1<x<5,x∈N*},集合A={2,3},则∁U A=.2.已知,则cos(π﹣α)=.3.直线l1:2x﹣y+1=0与直线l2:x﹣y﹣2=0的夹角大小为.4.不等式>|x|的解集为.5.函数f(x)=log2(1+x)(x>0)的反函数f﹣1(x)=.6.设直线ax﹣y+3=0与圆(x﹣1)2+(y﹣2)2=4相交于A、B两点,且弦AB的长为2,则a=.7.已知双曲线C经过点C(1,1),它的一条渐近线方程为.则双曲线C的标准方程是.8.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,D在斜边BC上,且CD=3DB,则=.9.若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线的焦距为.10.等比数列{a n}的前n项和为S n,若对于任意的正整数k,均有a k=(S n﹣S k)成立,则公比q=.11.下列有关平面向量分解定理的四个命题中,所有正确命题的序号是.(填写命题所对应的序号即可)①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基;②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基;③平面向量的基向量可能互相垂直;④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合.12.设点M(m,0)在椭圆的长轴上,点P是椭圆上任意一点,当|MP|最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,则实数m的取值范围是.13.函数f(x)的定义域为实数集R,f(x)=对于任意的x∈R都有f (x+1)=f(x﹣1).若在区间[﹣1,3]上函数g(x)=f(x)﹣mx﹣m恰有四个不同的零点,则实数m的取值范围是.14.已知{a n}是等差数列,记b n=a n a n+1a n+2(n为正整数),设S n为{b n}的前n项和,且3a5=8a12>0,则当S n取最大值时,n=.二.选择题15.已知条件p:log2(x﹣1)<1的解,q:x2﹣2x﹣3<0的解,则p是q的()条件.A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要16.若方程x2cosα﹣y2sinα+2=0所表示的曲线为双曲线,则圆x2+y2+2xcosα﹣2ysinα=0的圆心在()A.第一或第三象限 B.第二或第四象限C.第一或第二象限 D.第三或第四象限17.现有某种细胞100个,其中有约占总数的细胞每小时分裂一次,即由1个细胞分裂成2个细胞,按这种规律发展下去,要使细胞总数超过1010个,需至少经过()A.42小时B.46小时C.50小时D.52小时18.已知f(x)是定义在R上的增函数,函数y=f(x﹣1)的图象关于点(1,0)对称,若实数m,n满足等式,则的取值范围是()A.B.C.D.[1,3]三.解答题19.如图,在xoy平面上,点A(1,0),点B在单位圆上,∠AOB=θ(0<θ<π)(1)若点B(﹣,),求tan(+)的值;(2)若+=,四边形OACB的面积用Sθ表示,求Sθ+•的取值范围.20.已知椭圆(a>b>0),右焦点,点在椭圆上;(1)求椭圆C的标准方程;(2)是否存在过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点,且∠AFB=90°?若存在,请求出所有符合要求的直线;若不存在,请说明理由.21.某厂预计从2016年初开始的前x个月内,市场对某种产品的需求总量f(x)(单位:台)与月份x的近似关系为:f(x)=x(x+1)(35﹣2x),x∈N*且x≤12;(1)写出2016年第x个月的需求量g(x)与月份x的关系式;(2)如果该厂此种产品每月生产a台,为保证每月满足市场需求,则a至少为多少?22.设f(x)是定义在[a,b]上的函数,若存在,使得f(x)在上单调递增,在上单调递减,则称f(x)为[a,b]上的单峰函数,称为峰点,包含峰点的区间称为含峰区间;(1)判断下列函数:①f1(x)=x﹣2x2,②f2(x)=|log2(x+0.5)|,哪些是“[0,1]上的单峰函数”?若是,指出峰点,若不是,说明理由;(2)若函数f(x)=ax3+x(a<0)是[1,2]上的单峰函数,求实数a的取值范围;(3)设f(x)是[a,b]上的单峰函数,若m,n∈(a,b),m<n,且f(m)≥f(n),求证:(a,n)为f(x)的含峰区间.23.设数列{a n},对任意n∈N*都有(kn+b)(a1+a n)+p=2(a1+a2…+a n),(其中k、b、p是常数).(1)当k=0,b=3,p=﹣4时,求a1+a2+a3+…+a n;(2)当k=1,b=0,p=0时,若a3=3,a9=15,求数列{a n}的通项公式;(3)若数列{a n}中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”.当k=1,b=0,p=0时,设S n是数列{a n}的前n项和,a2﹣a1=2,试问:是否存在这样的“封闭数列”{a n},使得对任意n∈N*,都有S n≠0,且.若存在,求数列{a n}的首项a1的所有取值;若不存在,说明理由.2016-2017学年上海市长宁区延安中学高三(上)12月月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1.已知集合U={x|1<x<5,x∈N*},集合A={2,3},则∁U A={4} .【考点】补集及其运算.【分析】由题意全集U={2,3,4},集合A={2,3},然后根据交集的定义和运算法则进行计算.【解答】解:∵全集U={2,3,4},集合A={2,3},∴集合∁U A={4},故答案为:{4}2.已知,则cos(π﹣α)=﹣.【考点】运用诱导公式化简求值.【分析】由条件利用诱导公式求得cosα的值,可得要求式子的值.【解答】解:∵已知=cosα,则cos(π﹣α)=﹣cosα=﹣,故答案为:.3.直线l1:2x﹣y+1=0与直线l2:x﹣y﹣2=0的夹角大小为arctan.【考点】两直线的夹角与到角问题.【分析】利用两条直线的夹角公式求得直线l1:2x﹣y+1=0与直线l2:x﹣y﹣2=0的夹角的值.【解答】解:直线l1:2x﹣y+1=0的斜率为k1=2,直线l2:x﹣y﹣2=0的斜率为k2=1,设直线l1:2x﹣y+1=0与直线l2:x﹣y﹣2=0的夹角为θ,则tanθ=||=,∴直线l1:2x﹣y+1=0与直线l2:x﹣y﹣2=0的夹角为θ=arctan,故答案为:.4.不等式>|x|的解集为(0,2).【考点】其他不等式的解法.【分析】不等式即>0,显然x<0时不成立.当x>0时,根据<0,求得不等式的解集.【解答】解:当x<0时,>﹣x,即>0,显然x<0时不成立.当x>0时,<0,解得0<x<2,所以不等式的解集为(0,2),故答案为:(0,2).5.函数f(x)=log2(1+x)(x>0)的反函数f﹣1(x)=y=2x﹣1(x>0).【考点】反函数.【分析】根据f(x)=y=log2(1+x)(x>0),求出值域f(x)>0.用x把y表示出来,把x 与y互换即可得出.【解答】解:f(x)=y=log2(1+x)∵x>0,∴y>0,由y=log2(1+x),可得:x=2y﹣1∴y=2x﹣1(x>0)故答案为:y=2x﹣1(x>0)6.设直线ax﹣y+3=0与圆(x﹣1)2+(y﹣2)2=4相交于A、B两点,且弦AB的长为2,则a=0.【考点】直线与圆的位置关系.【分析】由弦长公式可得圆心到直线的距离为=1,再由点到直线的距离公式可得=1,由此求得a的值.【解答】解:由于圆(x﹣1)2+(y﹣2)2=4的圆心C(1,2),半径等于2,且圆截直线所得的弦AB的长为2,故圆心到直线ax﹣y+3=0的距离为=1,即=1,解得a=0,故答案为0.7.已知双曲线C经过点C(1,1),它的一条渐近线方程为.则双曲线C的标准方程是.【考点】双曲线的标准方程.【分析】根据题意,双曲线C的一条渐近线方程为,则可将双曲线的方程设为y2﹣3x2=λ(λ≠0),将点C坐标代入可得λ的值,进而可得答案.【解答】解:根据题意,双曲线C的一条渐近线方程为,则可设双曲线的方程为y2﹣3x2=λ(λ≠0),将点C(1,1)代入可得λ=﹣2,.故答案为:.8.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,D在斜边BC上,且CD=3DB,则=27.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】根据平面向量的线性表示与数量积运算,即可求出对应的结果.【解答】解:△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,CD=3DB,∴==(﹣),∴=•(﹣)=﹣•=×62﹣×0=27.故答案为:27.9.若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线的焦距为或.【考点】椭圆的简单性质.【分析】求出等比中项,然后求解焦距即可.【解答】解:m是2和8的等比中项,可得m=±4,当m=4时,曲线是椭圆,可得a=2,c=,则2c=2.当m=﹣4时,曲线是双曲线,此时,a=1,b=2,c=,2c=2.故答案为:或.10.等比数列{a n}的前n项和为S n,若对于任意的正整数k,均有a k=(S n﹣S k)成立,则公比q=.【考点】等差数列的前n项和.【分析】由已知条件推导出a2=a1,从而得到q﹣q2=q2,由此能求出公比q=.【解答】解:等比数列{a n}的前n项和为S n,对于任意的正整数k,均有a k=(S n﹣S k)成立,∴a n=a1q n﹣1,S n=,a k=(S n﹣S k)=,当k=2时,a2==a1,∴,∴,∴q﹣q2=q2,q(2q﹣1)=0解得q=,或q=0(舍).∴公比q=.故答案为:.11.下列有关平面向量分解定理的四个命题中,所有正确命题的序号是②、③.(填写命题所对应的序号即可)①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基;②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基;③平面向量的基向量可能互相垂直;④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合.【考点】平面向量的基本定理及其意义.【分析】本题考查平面向量基本定理,由定理知可作为平面内所有向量的一组基底的两个向量必是不共线的,由此关系对四个选项作出判断,得出正确选项.【解答】解:根据平面向量基本定理知:①一个平面内任何一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基;故错;②一个平面内有无数多对不平行向量都可作为表示该平面内所有向量的基;故正确;③平面向量的基向量只要不共线,也可能互相垂直;故对;④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个互不平行向量的线性组合.如果是三个不共线的向量,表示法不惟一,故错.故答案为:②、③.12.设点M(m,0)在椭圆的长轴上,点P是椭圆上任意一点,当|MP|最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,则实数m的取值范围是[1,4] .【考点】椭圆的简单性质.【分析】设P(x,y)为椭圆上的动点,由于椭圆方程可得﹣4≤x≤4.由|MP2=(x﹣m)2+y2=(x﹣m)2+12(1﹣)=(x﹣4m)2+12﹣3m2,结合二次函数的性质及椭圆的性质可知,取得最小值4m≥4,结合点M在椭圆的长轴上,可求m得范围【解答】解:设P(x,y)为椭圆上的动点,由于椭圆方程为,故﹣4≤x≤4.|MP2=(x﹣m)2+y2=(x﹣m)2+12(1﹣)=(x﹣4m)2+12﹣3m2∵当|MP|最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,即当x=4时,|MP|2取得最小值,而x∈[﹣4,4],故有4m≥4,解得m≥1.又点M在椭圆的长轴上,所以﹣4≤m≤4.故实数m的取值范围是[1,4].故答案为:1≤m≤4.13.函数f(x)的定义域为实数集R,f(x)=对于任意的x∈R都有f (x+1)=f(x﹣1).若在区间[﹣1,3]上函数g(x)=f(x)﹣mx﹣m恰有四个不同的零点,则实数m的取值范围是(0,] .【考点】函数零点的判定定理.【分析】先确定2是f(x)的周期,作出函数的图象,利用在区间[﹣1,3]上函数g(x)=f (x)﹣mx﹣m恰有四个不同零点,即可求实数m的取值范围.【解答】解:由题意,f(x+2)=f[(1+x)+1]=f[(1+x)﹣1]=f(x),所以2是f(x)的周期令h(x)=mx+m,则函数h(x)恒过点(﹣1,0),函数f(x)=在区间[﹣1,3]上的图象如图所示:由x=3时,f(3)=1,可得1=3m+m,则m=∴在区间[﹣1,3]上函数g(x)=f(x)﹣mx﹣m恰有四个不同零点时,实数m的取值范围是(0,]故答案为:(0,].14.已知{a n}是等差数列,记b n=a n a n+1a n+2(n为正整数),设S n为{b n}的前n项和,且3a5=8a12>0,则当S n取最大值时,n=16.【考点】数列的函数特性.【分析】由3a5=8a12>0,知3a5=8(a5+7d),a5=﹣56d5>0,所以d<0.由a16=a5+11d=﹣d5>0,a17=a5+12d=4d5<0,知a1>a2>a3>…>a16>0>a17>a18,b1>b2>b3>…>b14>0>b17>b18,由此能够推导出Sn中S16最大.【解答】解:由b n=a n a n+1a n+2且3a5=8a12>0,所以,3a5=8(a5+7d)所以,>0,即d<0因为a16=a5+11d=,所以,a1>a2>…>a16>0>a17所以,b1>b2>…>b14>0>b17>b18因为,b15=a15a16a17<0,b16=a16a17a18>0a15<﹣a18所以,b15>﹣b16即b15+b16>0所以,S16>S14所以S16最大.故答案为:16二.选择题15.已知条件p:log2(x﹣1)<1的解,q:x2﹣2x﹣3<0的解,则p是q的()条件.A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】求出p,q的等价条件,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【解答】解:由log2(x﹣1)<1,得:0<x﹣1<2,即1<x<3,即p:1<x<3,由x2﹣2x﹣3<0得﹣1<x<3,即q:﹣1<x<3,∴p是q的充分不必要条件,故选:A.16.若方程x2cosα﹣y2sinα+2=0所表示的曲线为双曲线,则圆x2+y2+2xcosα﹣2ysinα=0的圆心在()A.第一或第三象限 B.第二或第四象限C.第一或第二象限 D.第三或第四象限【考点】双曲线的简单性质.【分析】由于方程x2cosα﹣y2sinα+2=0所表示的曲线为双曲线,结合三角函数的符号可得,cosα•sinα>0,而圆x2+y2+2xcosα﹣2ysinα=0的圆心坐标为(﹣cosα,sinα)根据其坐标的特点即可得出结论.【解答】解:由于方程x2cosα﹣y2sinα+2=0所表示的曲线为双曲线,∴cosα•sinα>0,而圆x2+y2+2xcosα﹣2ysinα=0的圆心坐标为(﹣cosα,sinα)结合三角函数的符号可得,圆心的横坐标与纵坐标符号相反,故其位置在第二或第四象限.故选B.17.现有某种细胞100个,其中有约占总数的细胞每小时分裂一次,即由1个细胞分裂成2个细胞,按这种规律发展下去,要使细胞总数超过1010个,需至少经过()A.42小时B.46小时C.50小时D.52小时【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域.【分析】根据分裂的规律得到细胞总数y与时间x(小时)之间的函数关系为:y=100×x∈N*,再建立不等式求解.【解答】解:根据分裂的规律得到细胞总数y与时间x(小时)之间的函数关系为:y=100×x∈N*,由y=100×>1010,解得>108,即xlg>8,即x>≈45.45.∴x>45.45,故经过46小时,细胞总数超过1010个.18.已知f(x)是定义在R上的增函数,函数y=f(x﹣1)的图象关于点(1,0)对称,若实数m,n满足等式,则的取值范围是()A.B.C.D.[1,3]【考点】函数与方程的综合运用.【分析】由函数f(x)是递增函数,且y=f(x﹣1)的图象关于点(1,0)对称,可得函数f (x)是奇函数,再结合f(n﹣3)+f()=0可得(n﹣3)+=0,进而利用数形结合求出结果.【解答】解:f(x)是定义在R上的增函数,且函数y=f(x﹣1)的图象关于点(1,0)对称,所以函数f(x)是奇函数;又f(n﹣3)+f()=0,所以(n﹣3)+=0,且4m﹣m2﹣3≥0;即,画出不等式组表示的图形,如图所示;则实数m,n表示一段圆弧,所以表示圆弧上的点(m,n)与点(0,0)连线的斜率,所以结合图象可得:的最大值是直线OA的斜率,为=3,最小值是直线OB的斜率,不妨设为k,则,消去n,得(m﹣2)2+(km﹣3)2=1,整理得(k2+1)m2﹣(6k+4)m+12=0,令△=(6k+4)2﹣4×12×(k2+1)=0,化简得3k2﹣12k+8=0,解得k=2±,应取k=2﹣为最小值;所以的取值范围是:[2﹣,3].故选:C.三.解答题19.如图,在xoy平面上,点A(1,0),点B在单位圆上,∠AOB=θ(0<θ<π)(1)若点B(﹣,),求tan(+)的值;(2)若+=,四边形OACB的面积用Sθ表示,求Sθ+•的取值范围.【考点】平面向量数量积的运算;三角函数线.【分析】(1)利用任意角的三角函数定义可得sinθ,cosθ,再利用半角公式和两角和差的正切公式=即可得出;(2)利用向量的数量积运算法则、平行四边形的面积计算公式可得=sinθ+cosθ+1,再利用两角和的正弦公式即可得出.【解答】解:(1)∵B,∠AOB=θ,∴cosθ=﹣,.∴==2.∴===﹣3.(2)Sθ=|OA||OB|sinθ=sinθ,∵=(1,0),=(cosθ,sinθ),∴=+=(1+cosθ,sinθ),∴=1+cosθ,∴=sinθ+cosθ+1=+1(0<θ<π),∵,∴≤1,∴.20.已知椭圆(a>b>0),右焦点,点在椭圆上;(1)求椭圆C的标准方程;(2)是否存在过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点,且∠AFB=90°?若存在,请求出所有符合要求的直线;若不存在,请说明理由.【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.【分析】(1)根据焦点坐标和D点坐标列方程组求出a2,b2即可;(2)对直线l的斜率进行讨论,使用根与系数的关系计算,根据计算结果是否为0得出结论.【解答】解:(1)由题意可知,解得a2=4,b2=2,∴椭圆C的标准方程为:.(2)若直线l无斜率,则直线l的方程为x=0,∴A(0,),B(0,﹣),又F(,0),∴∠AFB=∠AFO+∠BFO=90°,符合题意;若直线l有斜率,设直线l的方程为y=kx,联立方程组,消元得(1+2k2)x2=4,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=0,x1•x2=﹣,y1y2=﹣.∴=(x1﹣,y1),=(x2﹣,y2),∴=(x1﹣)(x2﹣)+y1y2=x1x2﹣(x1+x2)+2+y1y2=﹣+2﹣=﹣≠0,∴与不垂直,即∠AFB≠90°.综上,存在过原点的直线l使得∠AFB=90°,直线l的方程为x=0.21.某厂预计从2016年初开始的前x个月内,市场对某种产品的需求总量f(x)(单位:台)与月份x的近似关系为:f(x)=x(x+1)(35﹣2x),x∈N*且x≤12;(1)写出2016年第x个月的需求量g(x)与月份x的关系式;(2)如果该厂此种产品每月生产a台,为保证每月满足市场需求,则a至少为多少?【考点】函数模型的选择与应用.【分析】(1)把x=1代入到f(x)得到f(1)即为g(1),当x≥2时,g(x)=f(x)﹣f(x ﹣1)化简得出解析式;(2)对一切x∈{1,2,12}有ax≥f(x)列出不等式得到a≥一个函数,求出函数的最大值得到a的取值范围.【解答】解:(1)g(1)=f(1)=1×2×33=66,g(x)=f(x)﹣f(x﹣1)=x(x+1)(35﹣2x)﹣[(x﹣1)x(35﹣2(x﹣1)],=﹣6x2+72x.当x=1时,g(x)=﹣6x2+72x=66=g(1).∴g(x)=﹣6x2+72x;(2)依题意,对一切x∈{1,2,…,12}有ax≥f(x).∴a≥(x+1)(35﹣2x),x∈{1,2,…,12}.设h(x)=﹣2(x﹣)2+35+,∴h(x)max=h(8)=171.故a≥171.故保证每月满足市场需求,则a至少应为171台.22.设f(x)是定义在[a,b]上的函数,若存在,使得f(x)在上单调递增,在上单调递减,则称f(x)为[a,b]上的单峰函数,称为峰点,包含峰点的区间称为含峰区间;(1)判断下列函数:①f1(x)=x﹣2x2,②f2(x)=|log2(x+0.5)|,哪些是“[0,1]上的单峰函数”?若是,指出峰点,若不是,说明理由;(2)若函数f(x)=ax3+x(a<0)是[1,2]上的单峰函数,求实数a的取值范围;(3)设f(x)是[a,b]上的单峰函数,若m,n∈(a,b),m<n,且f(m)≥f(n),求证:(a,n)为f(x)的含峰区间.【考点】函数与方程的综合运用.【分析】(1)依次判断各函数在(0,1)上是否存在极大值点即可得出结论;(2)求出f(x)的极大值点,令极大值点在区间(1,2)上即可;(3)利用f(x)的单调性得出f(x)的峰点在区间(a,n)上即可.【解答】解:(1)①f1′(x)=1﹣4x,令f1′(x)=0得x=,当0时,f1′(x)>0,当时,f1′(x)<0,∴f1(x)在[0,]上单调递增,在[,1]上单调递减,∴f1(x)是[0,1]上的单峰函数,峰点为;②当x∈[0,1]时,f2(x)=|log2(x+0.5)|=.∴f2(x)在[0,0.5]上单调递减,在[0.5,1]上单调递增,∴f2(x)不是[0,1]上的单峰函数;(2)f′(x)=3ax2+1,令f′(x)=0得x=±,当x<﹣时,f′(x)<0,当﹣<x<时,f′(x)>0,当x>时,f′(x)<0,∴x=是f(x)的极大值点,∵函数f(x)是[1,2]上的单峰函数,∴1<<2,解得:.(3)证明:∵f(x)是[a,b]上的单峰函数,∴存在x0∈(a,b),使得f(x)在(a,x0)上单调递增,在(x0,b)上单调递减,假设n ≤x0,则f(x)在(m,n)上是增函数,∴f(m)<f(n),与f(m)≥f(n)矛盾;∴假设错误,故n>x0,∴f(x)在(a,x0)上单调递增,在(x0,n)上单调递减,∴(a,n)为f(x)的含峰区间.23.设数列{a n},对任意n∈N*都有(kn+b)(a1+a n)+p=2(a1+a2…+a n),(其中k、b、p是常数).(1)当k=0,b=3,p=﹣4时,求a1+a2+a3+…+a n;(2)当k=1,b=0,p=0时,若a3=3,a9=15,求数列{a n}的通项公式;(3)若数列{a n}中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”.当k=1,b=0,p=0时,设S n是数列{a n}的前n项和,a2﹣a1=2,试问:是否存在这样的“封闭数列”{a n},使得对任意n∈N*,都有S n≠0,且.若存在,求数列{a n}的首项a1的所有取值;若不存在,说明理由.【考点】数列与不等式的综合;数列递推式.【分析】(1)当k=0,b=3,p=﹣4时,3(a1+a n)﹣4=2(a1+a2…+a n),再写一式,两式相减,可得数列{a n}是以首项为1,公比为3的等比数列,从而可求a1+a2+a3+…+a n;(2)当k=1,b=0,p=0时,n(a1+a n)=2(a1+a2…+a n),再写一式,两式相减,可得数列{a n}是等差数列,从而可求数列{a n}的通项公式;(3)确定数列{a n }的通项,利用{a n }是“封闭数列”,得a 1是偶数,从而可得,再利用,验证,可求数列{a n }的首项a 1的所有取值. 【解答】解:(1)当k=0,b=3,p=﹣4时,3(a 1+a n )﹣4=2(a 1+a 2…+a n ),① 用n +1去代n 得,3(a 1+a n +1)﹣4=2(a 1+a 2…+a n +a n +1),②②﹣①得,3(a n +1﹣a n )=2a n +1,a n +1=3a n ,在①中令n=1得,a 1=1,则a n ≠0,∴,∴数列{a n }是以首项为1,公比为3的等比数列,∴a 1+a 2+a 3+…+a n =.(2)当k=1,b=0,p=0时,n (a 1+a n )=2(a 1+a 2…+a n ),③用n +1去代n 得,(n +1)(a 1+a n +1)=2(a 1+a 2…+a n +a n +1),④④﹣③得,(n ﹣1)a n +1﹣na n +a 1=0,⑤用n +1去代n 得,na n +2﹣(n +1)a n +1+a 1=0,⑥⑥﹣⑤得,na n +2﹣2na n +1+na n =0,即a n +2﹣a n +1=a n +1﹣a n ,∴数列{a n }是等差数列.∵a 3=3,a 9=15,∴公差,∴a n =2n ﹣3.(3)由(2)知数列{a n }是等差数列,∵a 2﹣a 1=2,∴a n =a 1+2(n ﹣1). 又{a n }是“封闭数列”,得:对任意m ,n ∈N *,必存在p ∈N *使a 1+2(n ﹣1)+a 1+2(m ﹣1)=a 1+2(p ﹣1),得a 1=2(p ﹣m ﹣n +1),故a 1是偶数,又由已知,,故.一方面,当时,S n =n (n +a 1﹣1)>0,对任意n ∈N *,都有.另一方面,当a 1=2时,S n =n (n +1),,则, 取n=2,则,不合题意.当a 1=4时,S n =n (n +3),,则,当a1≥6时,S n=n(n+a1﹣1)>n(n+3),,,又,∴a1=4或a1=6或a1=8或a1=10.。
上海市延安中学2017-2018学年高三数学三模试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年上海市延安中学高考数学三模试卷(理科)一、填空题:本题满分56分,每小题4分1.(x+1)5的展开式中x2项的系数为.2.已知集合A={x|x2﹣3x<0,x∈N*},则用列举法表示集合A=.3.若=0,则x=.4.函数f(x)=x2,(x<﹣2)的反函数是.5.在极坐标系中,已知点P(1,)和Q(2,),则|PQ|=.6.已知双曲线﹣=1的一条渐近线过点(4,3),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=20x的准线上,则双曲线的方程为.7.在复平面上,已知复数z1与z2的对应点关于直线y=x对称,且满足z1z2=9i,则|z1|=.8.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2,若它们的侧面积相等,且=,则的值是.9.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是.10.随机变量ξ的取值为0,1,2,若P(ξ=0)=,E(ξ)=1,则D(ξ)=.11.已知函数f(x)=3sinx+4cosx,若对任意x∈R均有f(x)≥f(α),则tanα的值等于.12.如图所示,求一个棱长为的正四面体的体积,可以看成一个棱长为1的正方体切去四个角后得到,类比这种分法,一个相对棱长都相等的四面体A﹣BCD,其三组棱长分别为AB=CD=,AD=BC=,AC=BD=,则此四面体的体积为.13.已知等差数列{a n}的公差d∈(0,1),且=﹣1,若a1∈(﹣,﹣)时,则数列{a n}的前n项和为S n取得最小值时n的值为.14.已知AB为单位圆上的弦,P为单位圆上的点,若f(λ)=|﹣λ|的最小值为m(其中λ∈R),P在单位圆上运动时,m的最大值为,则||的值为.二、选择题(本题满分20分,每小题5分.)15.已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列正确的是()A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面16.已知定义在R上的函数f(x)=2|x﹣m|﹣1(m为实数)为偶函数,记a=f(log0.53),b=f (log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a17.“a≤0”是“函数f(x)=|(ax﹣1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件18.已知数列{a n}满足,首项a1=a,若数列{a n}是递增数列,则实数a 的取值范围是()A.B.(0,1)∪(2,+∞)C.(0,1)D.(2,+∞)三、解答题(本题满分74分)19.如图所示,长方体ABCD﹣EFGH,底面是边长为2的正方形,DH=2,P为AH中点.(1)求四棱锥F﹣ABCD的体积;(2)若点M在正方形ABCD内(包括边界),且三棱锥P﹣AMB体积是四棱锥F﹣ABCD体积的,请指出满足要求的点M的轨迹,并在图中画出轨迹图形.20.已知函数f(x)=2sin(+)sin(﹣)﹣sin(π+x),若函数g(x)的图象与函数f(x)的图象关于y轴对称;(1)求函数g(x)的解析式;(2)若存在x∈[0,],使等式[g(x)]2﹣g(x)+m=0成立,求实数m的取值范围.21.某地拟建造一座体育馆,其设计方案侧面的外轮廓线如图所示:曲线AB是以点E的圆心的圆的一部分,其中E(0,t)(0<t≤25),GF是圆的切线,且GF⊥AD,曲线BC是抛物线y=﹣ax2+50(a>0)的一部分,CD⊥AD,且CD恰好等于圆E的半径.(1)若CD=30米,AD=24米,求t与a的值;(2)若体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米,求a的取值范围.22.定义:圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆的距离比λ;(1)设圆C0:x2+y2=1,求过P(2,0)的直线关于圆C0的距离比λ=的直线方程;(2)若圆C与y轴相切于点A(0,3),且直线y=x关于圆C的距离比λ=,求此圆C 的方程;(3)是否存在点P,使过P的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆C1:(x+1)2+y2=1与C2:(x﹣3)2+(y﹣3)2=4的距离比始终相等?若存在,求出相应的P点坐标;若不存在,请说明理由.23.设满足以下两个条件的有穷数列a1,a2,a3,…,a n为n阶“期待数列”:①a1+a2+a3+…+a n=0;②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=1.(1)若等比数列{a n}为2k阶“期待数列”(k∈N*),求公比q;(2)若一个等差数列{a n}既是2k阶“期待数列”又是递增数列(k∈N*),求该数列的通项公式;(3)记n阶“期待数列”{a i}的前k项和为S k(k=1,2,3,…,n).①求证:|S k|≤;②若存在m∈{1,2,3,…,n}使S m=,试问数列{S i}能否为n阶“期待数列”?若能,求出所有这样的数列;若不能,请说明理由.2016年上海市延安中学高考数学三模试卷(理科)参考答案与试题解析一、填空题:本题满分56分,每小题4分1.(x+1)5的展开式中x2项的系数为10.【考点】二项式系数的性质.【分析】先求出二项式展开式的通项公式,再令x的幂指数等于2,求得r的值,即可求得展开式中的x2项的系数.【解答】解:(x+1)5的展开式的通项公式为T r+1=•x5﹣r,令5﹣r=2,求得r=3,可得展开式中x2项的系数为=10,故答案为:10.2.已知集合A={x|x2﹣3x<0,x∈N*},则用列举法表示集合A={1,2} .【考点】集合的表示法.【分析】通过列举法表示即可.【解答】解:由集合A={x|x2﹣3x<0,x∈N*}可得,条件等价于集合A={x|0<x<3,x∈N*}={1,2}.故填:{1,2}.3.若=0,则x=4.【考点】对数的运算性质.【分析】由二阶行列式展开式性质得2log2x﹣4=0,由此利用对数运算法则和性质能求出x.【解答】解:∵=0,∴2log2x﹣4=0,∴log2x=2,解得x=4.故答案为:4.4.函数f(x)=x2,(x<﹣2)的反函数是.【考点】反函数.【分析】直接利用反函数的定义求解即可.【解答】解:函数f(x)=x2,(x<﹣2),则y>4.可得x=,所以函数的反函数为:.故答案为:.5.在极坐标系中,已知点P(1,)和Q(2,),则|PQ|=.【考点】简单曲线的极坐标方程.【分析】求出P,Q的直角坐标,利用两点的距离公式求|PQ|.【解答】解:∵点P(1,)和Q(2,),∴点P(,)和Q(0,2),∴|PQ|==.故答案为:.6.已知双曲线﹣=1的一条渐近线过点(4,3),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=20x的准线上,则双曲线的方程为.【考点】双曲线的简单性质.【分析】求出抛物线的准线方程求出c,然后根据双曲线的渐近线和点的关系,求出a,b 即可得到结论.【解答】解:抛物线y2=20x的准线方程为x=﹣5,∵双曲线的一个焦点在抛物线y2=20x的准线,∴c=5,双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x,∵双曲线﹣=1的一条渐近线过点(4,3),∴(4,3)在直线y=x上,即4•=3,即4b=3a,b=a,平方得b2=a2=c2﹣a2=25﹣a2,则a2=25,则a2=16,b2=25﹣16=9,即双曲线的方程为,故答案为:.7.在复平面上,已知复数z1与z2的对应点关于直线y=x对称,且满足z1z2=9i,则|z1|=3.【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】设z1=x+yi(x,y∈R),由已知条件可得z2=y+xi,利用复数的乘法运算求解即可得答案.【解答】解:设z1=x+yi(x,y∈R),又复数z1与z2的对应点关于直线y=x对称,则z2=y+xi.∴z1z2=(x+yi)(y+xi)=xy+x2i+y2i+xyi2=(x2+y2)i=9i.∴x2+y2=9.则|z1|=.故答案为:3.8.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2,若它们的侧面积相等,且=,则的值是.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;旋转体(圆柱、圆锥、圆台).【分析】设出两个圆柱的底面半径与高,通过侧面积相等,推出高的比,然后求解体积的比.【解答】解:设两个圆柱的底面半径分别为R,r;高分别为H,h;∵=,∴,它们的侧面积相等,∴,∴===.故答案为:.9.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是96.【考点】排列、组合及简单计数问题.【分析】求出5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号的组数,然后分给4人排列即可.【解答】解:5张参观券全部分给4人,分给同一人的2张参观券连号,方法数为:1和2,2和3,3和4,4和5,四种连号,其它号码各为一组,分给4人,共有4×=96种.故答案为:96.10.随机变量ξ的取值为0,1,2,若P(ξ=0)=,E(ξ)=1,则D(ξ)=.【考点】离散型随机变量的期望与方差.【分析】结合方差的计算公式可知,应先求出P(ξ=1),P(ξ=2),根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公式不难求得.【解答】解析:设P(ξ=1)=p,P(ξ=2)=q,则由已知得p+q=,,解得,,所以.故答案为:11.已知函数f(x)=3sinx+4cosx,若对任意x∈R均有f(x)≥f(α),则tanα的值等于.【考点】三角函数的最值;同角三角函数基本关系的运用.【分析】利用辅助角公式求得函数f(x)=5sin(x+θ),其中,cosθ=,sinθ=,由题意可得f(α)=﹣5,此时,sinα=﹣,cosα=﹣,由此求得tanα的值.【解答】解:函数f(x)=3sinx+4cosx=5sin(x+θ),其中,cosθ=,sinθ=,对任意x∈R均有f(x)≥f(α),则f(α)=﹣5,此时,sinα=﹣,cosα=﹣,则tanα==,故答案为:.12.如图所示,求一个棱长为的正四面体的体积,可以看成一个棱长为1的正方体切去四个角后得到,类比这种分法,一个相对棱长都相等的四面体A﹣BCD,其三组棱长分别为AB=CD=,AD=BC=,AC=BD=,则此四面体的体积为2.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】设四面体所在长方体棱长分别为a,b,c,则长方体的对角线长为,,,利用勾股定理列方程求出a,b,c,使用做差法求出四面体体积.【解答】解:设四面体ABCD所在长方体的棱长分别为a,b,c,则,解得.∴∴四面体的体积V=abc﹣××4=abc==2.故答案为:2.13.已知等差数列{a n}的公差d∈(0,1),且=﹣1,若a1∈(﹣,﹣)时,则数列{a n}的前n项和为S n取得最小值时n的值为10.【考点】等差数列的前n项和.【分析】利用三角函数的降幂公式化简=﹣1,得出=﹣sin(a3+a7),再利用和差化积公式得出sin(a7﹣a3)=1,求出公差d的值,写出通项公式a n,令a n≤0,即可求得n的值.【解答】解:∵{a n}为等差数列,且=﹣1,∴=﹣1,∴=﹣sin(a3+a7),由和差化积公式得:×(﹣2)sin(a7+a3)•sin(a7﹣a3)=﹣sin(a3+a7),又sin(a3+a7)≠0,∴sin(a7﹣a3)=1,∴4d=2kπ+∈(0,4);取k=0,得4d=,解得d=;又∵a1∈(﹣,﹣),∴a n=a1+(n﹣1),∴a n∈(﹣+,﹣+);令a n≤0,得﹣+≤0,解得n≤10;∴n=10时,数列{a n}的前n项和S n取得最小值.故答案为:10.14.已知AB为单位圆上的弦,P为单位圆上的点,若f(λ)=|﹣λ|的最小值为m(其中λ∈R),P在单位圆上运动时,m的最大值为,则||的值为.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】设λ=,则﹣λ=﹣=,而点C在直线AB上,则问题即是求动点P到直线AB上的点C距离的最值问题,则CP⊥AB时,距离最小,由CP过圆心O时,取得最大值,再由垂径定理和勾股定理,即可得到AB的长.【解答】解:设λ=,则﹣λ=﹣=,又C点在直线AB上,要求f(λ)=|﹣λ|的最小值,即求||的最小值,显然当CP⊥AB时,CP最小,可得f(λ)的最小值m为点P到AB的距离又m的最大值为,可得CP过圆心O时m取得最大值,即有||=2=.故答案为:.二、选择题(本题满分20分,每小题5分.)15.已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列正确的是()A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面【考点】空间中直线与平面之间的位置关系;空间中直线与直线之间的位置关系;平面与平面之间的位置关系.【分析】利用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答.【解答】解:对于A,若α,β垂直于同一平面,则α与β不一定平行,例如墙角的三个平面;故A错误;对于B,若m,n平行于同一平面,则m与n平行.相交或者异面;故B错误;对于C,若α,β不平行,则在α内存在无数条与β平行的直线;故C错误;对于D,若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面;假设两条直线同时垂直同一个平面,则这两条在平行;故D正确;故选D.16.已知定义在R上的函数f(x)=2|x﹣m|﹣1(m为实数)为偶函数,记a=f(log0.53),b=f (log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a【考点】函数单调性的性质.【分析】根据f(x)为偶函数便可求出m=0,从而f(x)=2|x|﹣1,这样便知道f(x)在[0,+∞)上单调递增,根据f(x)为偶函数,便可将自变量的值变到区间[0,+∞)上:a=f(|log0.53|),b=f(log25),c=f(0),然后再比较自变量的值,根据f(x)在[0,+∞)上的单调性即可比较出a,b,c的大小.【解答】解:∵f(x)为偶函数;∴f(﹣x)=f(x);∴2|﹣x﹣m|﹣1=2|x﹣m|﹣1;∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|;(﹣x﹣m)2=(x﹣m)2;∴mx=0;∴m=0;∴f(x)=2|x|﹣1;∴f(x)在[0,+∞)上单调递增,并且a=f(|log0.53|)=f(log23),b=f(log25),c=f(0);∵0<log23<log25;∴c<a<b.故选:C.17.“a≤0”是“函数f(x)=|(ax﹣1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】对a分类讨论,利用二次函数的图象与单调性、充要条件即可判断出.【解答】解:当a=0时,f(x)=|x|,在区间(0,+∞)内单调递增.当a<0时,,结合二次函数图象可知函数f(x)=|(ax﹣1)x|在区间(0,+∞)内单调递增.若a>0,则函数f(x)=|(ax﹣1)x|,其图象如图它在区间(0,+∞)内有增有减,从而若函数f(x)=|(ax﹣1)x|在区间(0,+∞)内单调递增则a≤0.∴a≤0是”函数f(x)=|(ax﹣1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的充要条件.故选:C.18.已知数列{a n}满足,首项a1=a,若数列{a n}是递增数列,则实数a 的取值范围是()A.B.(0,1)∪(2,+∞)C.(0,1)D.(2,+∞)【考点】数列递推式.【分析】利用数列{a n}是递增数列,对a讨论,通过第二项大于第一项,求出a的范围即可.【解答】解:数列{a n}满足,首项a1=a,若数列{a n}是递增数列,所以,则,即,当a>0时,解得a∈(0,1)∪(2,+∞).当a<0时,不等式无解.故选B.三、解答题(本题满分74分)19.如图所示,长方体ABCD﹣EFGH,底面是边长为2的正方形,DH=2,P为AH中点.(1)求四棱锥F﹣ABCD的体积;(2)若点M在正方形ABCD内(包括边界),且三棱锥P﹣AMB体积是四棱锥F﹣ABCD体积的,请指出满足要求的点M的轨迹,并在图中画出轨迹图形.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;棱柱的结构特征.=;【分析】(1)V F﹣ABCD=S△AMB•1=1,解出h即可得出M的轨迹.(2)设点M到AB的距离为h,则V P﹣AMB===8.【解答】解:(1)V F﹣ABCD(2)设点M到AB的距离为h,则S△AMB==.∵P为AH的中点,∴点P到平面AMB的距离为1,====1,∴V P﹣AMB∴,∴点M的轨迹是连接AD中点和BC中点的线段.20.已知函数f(x)=2sin(+)sin(﹣)﹣sin(π+x),若函数g(x)的图象与函数f(x)的图象关于y轴对称;(1)求函数g(x)的解析式;(2)若存在x∈[0,],使等式[g(x)]2﹣g(x)+m=0成立,求实数m的取值范围.【考点】三角函数中的恒等变换应用.【分析】(1)三角函数中两角互余的诱导公式及函数对称问题,通过g(x)上的点对称点在f(x)上,求出g(x)的解析式.(2)根据存在x∈[0,],使等式[g(x)]2﹣g(x)+m=0成立,换元转化为二次函数求值,从而求实数m的取值范围.【解答】解:(1)由题意得f(x)====2因为g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称,设g(x)上任意一点P(x,y)关于y轴对称的点P′(﹣x,y)在y=f(x)的图象上.即g(x)=2sin(﹣x+),故g(x)=﹣2sin(x﹣).(2)∵,∴由(1)得g(x)令t=g(x),t则等式[g(x)]2﹣g(x)+m=0成立等价为m=﹣t2+t在t上成立.m=﹣t2+t=﹣(t﹣)2+,当t=﹣1时m最小值为﹣2,当t=时m的最大值为.在故m的取值范围为.21.某地拟建造一座体育馆,其设计方案侧面的外轮廓线如图所示:曲线AB是以点E的圆心的圆的一部分,其中E(0,t)(0<t≤25),GF是圆的切线,且GF⊥AD,曲线BC是抛物线y=﹣ax2+50(a>0)的一部分,CD⊥AD,且CD恰好等于圆E的半径.(1)若CD=30米,AD=24米,求t与a的值;(2)若体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米,求a的取值范围.【考点】直线和圆的方程的应用.【分析】(1)由CD=30米,AD=24米,代入抛物线的方程,结合圆的方程,即可解得答案;(2)问题转化为≤+恒成立,根据基本不等式的性质解出即可.【解答】解:(1)因为圆E的半径为OB﹣OE=50﹣t,所以CD=50﹣t=30,t=20,令y=﹣ax2+50=50﹣t,得圆E:x2+(y﹣20)2=302,令y=0,得,所以,即,又t=20,得.(2)由题意得:对t∈(0,25]恒成立,所以恒成立,当,即t=25时,,所以,解得,故a的取值范围为[)22.定义:圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆的距离比λ;(1)设圆C0:x2+y2=1,求过P(2,0)的直线关于圆C0的距离比λ=的直线方程;(2)若圆C与y轴相切于点A(0,3),且直线y=x关于圆C的距离比λ=,求此圆C 的方程;(3)是否存在点P,使过P的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆C1:(x+1)2+y2=1与C2:(x﹣3)2+(y﹣3)2=4的距离比始终相等?若存在,求出相应的P点坐标;若不存在,请说明理由.【考点】圆方程的综合应用.【分析】(1)设过P(2,0)的直线方程为y=k(x﹣2),求得已知圆的圆心和半径,由新定义,可得方程,求得k,即可得到所求直线方程;(2)设圆C的方程为(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2,由题意可得a2+(3﹣b)2=r2,①|a|=r②,=r③,解方程可得a,b,r,进而得到所求圆的方程;(3)假设存在点P(m,n),设过P的两直线为y﹣n=k(x﹣m)和y﹣n=﹣(x﹣m),求得两圆的圆心和半径,由新定义可得方程,化简整理可得k(2m+n﹣1)+(m﹣2n﹣3)=0,或k(2m﹣n+5)+(3﹣m﹣2n)=0,再由恒成立思想可得m,n的方程,解方程可得P 的坐标.【解答】解:(1)设过P(2,0)的直线方程为y=k(x﹣2),圆C0:x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为1,由题意可得=,解得k=±,即有所求直线为y=±(x﹣2);(2)设圆C的方程为(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2,由题意可得a2+(3﹣b)2=r2,①|a|=r②,=r③解方程可得a=﹣3,b=3,r=3,或a=1,b=3,r=1.则有圆C的方程为(x+3)2+(y﹣3)2=9或(x﹣1)2+(y﹣3)2=1;(3)假设存在点P(m,n),设过P的两直线为y﹣n=k(x﹣m)和y﹣n=﹣(x﹣m),又C1:(x+1)2+y2=1的圆心为(﹣1,0),半径为1,C2:(x﹣3)2+(y﹣3)2=4的圆心为(3,3),半径为2,由题意可得=,化简可得k(2m+n﹣1)+(m﹣2n﹣3)=0,或k(2m﹣n+5)+(3﹣m﹣2n)=0,即有或,解得或.则存在这样的点P(1,﹣1)和(﹣,),使得使过P的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆的距离比始终相等.23.设满足以下两个条件的有穷数列a1,a2,a3,…,a n为n阶“期待数列”:①a1+a2+a3+…+a n=0;②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=1.(1)若等比数列{a n}为2k阶“期待数列”(k∈N*),求公比q;(2)若一个等差数列{a n}既是2k阶“期待数列”又是递增数列(k∈N*),求该数列的通项公式;(3)记n阶“期待数列”{a i}的前k项和为S k(k=1,2,3,…,n).①求证:|S k|≤;②若存在m∈{1,2,3,…,n}使S m=,试问数列{S i}能否为n阶“期待数列”?若能,求出所有这样的数列;若不能,请说明理由.【考点】数列的求和;等比数列的通项公式.【分析】(1)对q是否等于1进行讨论,令S2k=0解出q;(2)由S2k=0得出下标和为2k+1的两项和为0,根据数列的单调性得出前k项和为﹣,后k项和为,根据等差数列的性质将后k项和减去前k项和即可得出公差d与k的关系,再利用求和公式得出首项a1;(3)①根据条件①②即可得出数列的所有正项和为,所有负项和为﹣,故而﹣≤S k;②由①可知{a i}的前m项全为非负数,后面的项全是负数,于是{S i}的前m项和为,故而得出a m=,于是得出|S1|+|S2|+…+|S n|=S1+S2+…+S n.【解答】解:(1)若q=1,由①得:a1•2k=0,得a1=0,不合题意,舍去;若q≠1,由①得:,解得q=﹣1.(2)设等差数列的公差是d(d>0),因为,∴a1+a2k=a k+a k+1=0,∵d >0,∴a k <0,a k+1>0,则,.两式相减得:k 2d=1,∴,又a 1+a 2+a 3+…+a k =,解得,∴.(3)①记a 1,a 2,a 3,…,a n 中非负项和为A ,负项和为B , 则A +B=0,A ﹣B=1,∴,∴﹣≤S k ≤,∴.②若存在m ∈{1,2,3,…,n },使, 则a 1≥0,a 2≥0,…,a m ≥0,a m+1≤0,a m+2≤0,…,a n ≤0,且,若数列{S i }(i=1,2,3,…,n )是n 阶“期待数列”,记{S i }(i=1,2,3,…,n )的前k 项和为T k ,由①得,∴,∵,∴S 1+S 2+…+S m ﹣1=0,∵a 1≥0,a 2≥0,…,a m ≥0,∴S 1=S 2=…=S m ﹣1=0,∴a 1=a 2=…=a m ﹣1=0,,又a m+1≤0,a m+2≤0,…,a n ≤0,,∴S m+1≥0,S m+2≥0,…,S n ≥0, ∴|S 1|+|S 2|+…+|S n |=S 1+S 2+…+S n .∴S 1+S 2+…+S n =0与|S 1|+|S 2|+…+|S n |=1不能同时成立, 即数列{S i }(i=1,2,3,…,n )不能为n 阶“期待数列”.2016年8月1日。
上海市延安中学2017-2018学年高三开学考试数学试题 Word版含答案
延安中学2017-2018学年高三开学考数学试卷一. 填空题1. 两数2和3的几何平均数是2. 已知矩阵1211A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,51B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,x X y ⎛⎫= ⎪⎝⎭,若AX B =,则y = 3. 若112aii+-(i 是虚数单位)是纯虚数,则实数a = 4. 若函数()3sin(2)f x x ϕ=+,(0,)ϕπ∈为偶函数,则ϕ= 5. 已知集合{||1|3}A x x =-<,3{|1}2B x x=>+,则U A C B =6. 已知幂函数()f x 过点,则()f x 的反函数为1()f x -=7. 已知圆锥的侧面展开图是半径为4,圆心角为2π的扇形,则这个圆锥的高为 8. 若二项式2()nx x-展开式中第四项与第八项的二项式系数相等,则其常数项为9. 在暑假期间,甲外出旅游的概率是0.2,乙外出 旅游的概率是0.25,假定甲乙两人的行动相互之间 没有影响,则暑假期间两人中至少有一人外出旅游 的概率是10. 已知一个四棱锥底面是平行四边形,该四棱锥 三视图如图所示,则该四棱锥的体积为11. 某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料,生产一件产品A 需要甲 材料1.5kg ,乙材料1kg ,用5个工时;生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ,乙材料0.3kg , 用3个工时;生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元,该企业 现有甲材料150kg ,乙材料90kg ,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元12. 已知1F 、2F 是双曲线2222:1x y C a b -=的左、右焦点,点M 在双曲线C 上,1MF 与x 轴 垂直,212sin 3MF F ∠=,则双曲线C 两条渐近线夹角的正切值为13. 若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立,则a 的取值范围是14. 在直角坐标系中,当(,)P x y 不是原点时,定义P 的“伴随点”为2222(,)y xP x y x y -'++;当P 是原点时,定义P 的“伴随点”为它自身,平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成 的曲线C '定义为曲线C 的“伴随曲线”,现有下列命题: ① 若点A 的“伴随点”是点A ',则点A '的“伴随点”是点A ; ② 单位圆的“伴随曲线”是它自身;③ 若曲线C 关于x 轴对称,则其“伴随曲线”C '关于y 轴对称; ④ 一条直线的“伴随曲线”是一条直线;其中的真命题是 (写出所有真命题的序号)二. 选择题15. 我国古代数学名著《数学九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534 石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约( ) A. 134石 B. 169石 C. 338石 D. 1365石 16. 已知程序框图如图所示,*n N ∈,则该程序框图的功能是( )A. 求数列1{}n 的前10项和 B. 求数列1{}n 的前11项和C. 求数列1{}2n 的前10项和D. 求数列1{}2n的前11项和17. 已知数列{}n a ,对于任意的正整数n ,20171,1201712(),20183n n n a n -≤≤⎧⎪=⎨-⋅≥⎪⎩,设n S 表 示数列{}n a 的前n 项和,下列关于n S 极限的结论,正确的是( ) A. lim 1n n S →∞=- B. lim 2016n n S →∞=C. 2017,12017lim 1,2018n n n S n →∞≤≤⎧=⎨-≥⎩ D. n S 不收敛18. 在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点A 、B 满足||||2OA OB OA OB ==⋅=,则点集{|,||||1,,}P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是( )A.B.C.D.三. 解答题19. 已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C的对边,sin cos c C c A =-; (1)求A ;(2)若2a =,△ABCb 、c ;20. 如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,11AA B B 是边长为4的正方形,3AC =,5BC =; (1)求直线11B C 与平面11A B C 所成的角的大小;(2)证明:在线段1BC 上存在点D ,使得1AD AC ⊥,并求11B DB C的值;21. 已知0a >且1a ≠,()log (1)a f x x =+,1()log 1a g x x=-,()2()()F x f x g x =+; (1)求函数()F x 的定义域D 及其零点;(2)若关于x 的方程()0F x m -=在区间[0,1)内仅有一解,求实数m 的取值范围;22. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且424S S =,221n n a a =+; (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设数列{}n b 满足1212112n n n b b b a a a ++⋅⋅⋅+=-(*n N ∈),求{}n b 的通项公式; (3)求第(2)小题中数列{}n b 的前n 项和n T ;23.(1)设椭圆22122:1x y C a b+=与双曲线2229:918y C x -=有相同的焦点1F 、2F ,M 是 椭圆1C 与双曲线2C 的公共点,且△12MF F 的周长为6,求椭圆1C 的方程;我们把具有公共 焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”; (2)如图,已知“盾圆D ”的方程为24(03)12(4)(34)x x y x x ≤≤⎧=⎨--<≤⎩,设“盾圆D ”上的任意一点M 到(1,0)F 的距离为1d ,M 到直线:3l x =的距离为2d ,求证:12d d +为定值;(3)由抛物线21:4E y x =(203x ≤≤)与第(1)题椭圆圆弧22222:1x y E a b +=(23x a ≤≤)所合成的封闭曲线为“盾圆E ”,设过点(1,0)F 的直线与“盾圆E ”交于A 、B 两点, 1||FA r =,2||FB r =且AFx α∠=(0απ≤≤),试用cos α表示1r ,并求12r r 的取值范围;参考答案一. 填空题1.2. 23.12 4. 2π5. [1,4)6. 2y x =(0)x ≥7. 8. 8064- 9. 25 10. 2 11. 216000 12. 4313. 3[2,)2- 14. ②③二. 选择题15. B 16. C 17. B 18. D三. 解答题 19.(1)3A π=;(2)2b c ==;20.(1)12arcsin25;(2)证明略,111625B D BC =; 21.(1)定义域(1,1)-,零点为0x =;(2)若1a >,则0m ≥;若01a <<,则0m ≤; 22.(1)21n a n =-;(2)212n n n b -=;(3)2332nnn T +=-; 23.(1)22143x y +=;(2)124d d +=;(3)当11cos 5α-≤≤-,121cos r α=-; 当1cos 15α-≤≤,132cos r α=+;12911[,]119r r ∈;。
2016-2017学年上海市延安中学高三(上)开学数学试卷(解析版)
2016-2017学年上海市延安中学高三(上)开学数学试卷一.填空题1.(5分)两数2和3的几何平均数是.2.(5分)已知矩阵,,,若AX=B,则y=.3.(5分)若是纯虚数,则实数a=.4.(5分)若函数f(x)=3sin(2x+φ),φ∈(0,π)为偶函数,则φ=.5.(5分)已知集合A={x||x﹣1|<3},,则A∩∁U B=.6.(5分)已知幂函数f(x)过点,则f(x)的反函数为f﹣1(x)=.7.(5分)已知圆锥的侧面展开图是半径为4,圆心角为的扇形,则这个圆锥的高为.8.(5分)若二项式展开式中第四项与第八项的二项式系数相等,则其常数项为.9.(5分)在暑假期间,甲外出旅游的概率是0.2,乙外出旅游的概率是0.25,假定甲乙两人的行动相互之间没有影响,则暑假期间两人中至少有一人外出旅游的概率是.10.(5分)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为m311.(5分)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.12.(5分)已知F1、F2是双曲线C:=1的左、右焦点,点M在双曲线C上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=,则双曲线C两条渐近线夹角的正切值为.13.(5分)若不等式对于任意正整数n恒成立,则实数a的取值范围为.14.(5分)在平面直角坐标系中,当P(x,y)不是原点时,定义P的“伴随点”为P′(,);当P是原点时,定义P的“伴随点“为它自身,平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”.现有下列命题:①若点A的“伴随点”是点A′,则点A′的“伴随点”是点A;②单位圆的“伴随曲线”是它自身;③若曲线C关于x轴对称,则其“伴随曲线”C′关于y轴对称;④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是(写出所有真命题的序列).二.选择题15.(5分)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为()A.134石B.169石C.338石D.1365石16.(5分)已知程序框图如图所示,n∈N*,则该程序框图的功能是()A.求数列的前10项和B.求数列的前11项和C.求数列的前10项和D.求数列的前11项和17.(5分)已知数列{a n},对于任意的正整数n,,设S n表示数列{a n}的前n项和,下列关于S n极限的结论,正确的是()A.B.C.D.S n不收敛18.(5分)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足||=||=•=2,则点集{P|=λ+μ,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是()A.B.C.D.三.解答题19.(12分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c=a sin C﹣c cos A.(1)求A;(2)若a=2,△ABC的面积为,求b,c.20.(12分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1B1B是边长为4的正方形,AC=3,BC=5;(1)求直线B1C1与平面A1B1C所成的角的大小;(2)证明:在线段B1C上存在点D,使得AD⊥A1C,并求的值.21.(12分)已知a>0且a≠1,函数f(x)=log a(x+1),g(x)=log a,记F(x)=2f(x)+g(x).(1)求函数F(x)的定义域D及其零点;(2)若关于x的方程F(x)﹣m=0在区间[0,1)内仅有一解,求实数m的取值范围.22.(12分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,且S4=4S2,a2n=2a n+1;(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设数列{b n}满足(n∈N*),求{b n}的通项公式;(3)求第(2)小题中数列{b n}的前n项和T n.23.(12分)(1)设椭圆C1:与双曲线C2:有相同的焦点F1、F2,M是椭圆C1与双曲线C2的公共点,且△MF1F2的周长为6,求椭圆C1的方程;我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”.(2)如图,已知“盾圆D”的方程为.设“盾圆D”上的任意一点M到F(1,0)的距离为d1,M到直线l:x=3的距离为d2,求证:d1+d2为定值;(3)由抛物线弧E1:y2=4x(0)与第(1)小题椭圆弧E2:()所合成的封闭曲线为“盾圆E”.设过点F(1,0)的直线与“盾圆E”交于A、B两点,|F A|=r1,|FB|=r2且∠AFx=α(0≤α≤π),试用cosα表示r1;并求的取值范围.2016-2017学年上海市延安中学高三(上)开学数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1.【解答】解:两数2和3的几何平均数==.故答案为:.2.【解答】解:由矩阵的运算法则有:,据此可得:,解得:x=1,y=2.故答案为:2.3.【解答】解:∵复数=,∵复数是一个纯虚数,∴,∴,故答案为:4.【解答】解:当φ=,f(x)=3sin(2x+)=3cos2x,此时函数f(x)=3sin(2x+φ),是偶函数,故答案为:.5.【解答】解:由题意可得:A={x||x﹣1|<3}=(﹣2,4),,则A∩∁U B=[1,4).故答案为:[1,4).6.【解答】解:设幂函数f(x)=xα,(α为常数).∵幂函数f(x)过点,∴,解得.∴f(x)=,由y=解得x=y2,把x与y互换可得y=x2.∴f(x)的反函数为f﹣1(x)=x2(x≥0).故答案为:x2(x≥0).7.【解答】解:如图,点D为圆锥底面圆的圆心,∵扇形OAB的圆心角为90°,半径为4厘米,∴弧AB=,∴2π•DC=2π,∴DC=1,在Rt△SDC中,SC=4,SD==,∴用这个扇形卷成的圆锥的高为.故答案为:.8.【解答】解:由二项式展开式中第四项与第八项的二项式系数相等,可得=,∴n=10,故该二项式的通项公式为T r+1=•(﹣2)r•x10﹣2r,令10﹣2r=0,求得r=5,可得常数项为•(﹣2)5=﹣8064,故答案为:﹣8064.9.【解答】解:甲外出旅游的概率是0.2,乙外出旅游的概率是0.25,假定甲乙两人的行动相互之间没有影响,暑假期间两人中至少有一人外出旅游的对立事件是甲、乙二人都没有外出旅游,∴暑假期间两人中至少有一人外出旅游的概率:p=1﹣(1﹣0.2)(1﹣0.25)=0.4.故答案为:0.4.10.【解答】解:由已知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥,棱锥的底面是底为2,高为1的平行四边形,故底面面积S=2×1=2m2,棱锥的高h=3m,故体积V==2m3,故答案为:211.【解答】解:(1)设A、B两种产品分别是x件和y件,获利为z元.由题意,得,z=2100x+900y.不等式组表示的可行域如图:由题意可得,解得:,A(60,100),目标函数z=2100x+900y.经过A时,直线的截距最大,目标函数取得最大值:2100×60+900×100=216000元.故答案为:216000.12.【解答】解:由题意,M为双曲线左支上的点,则丨MF1丨=,丨MF2丨=,∴sin∠MF2F1=,∴=,可得:5b4=16a2c2,又c2=a2+b2,即有5b4=16a2(a2+b2),即为16a4+16a2b2﹣5b4=0,即为(4a2+5b2)(4a2﹣b2)=0,解得2a=b,则双曲线的渐近线方程为y=±2x,由夹角公式可得渐近线夹角的正切值为||=.故答案为:.13.【解答】解:由得:<2,而f(n)=,当n取奇数时,f(n)=﹣a﹣;当n取偶数时,f(n)=a+.所以f(n)只有两个值,当﹣a﹣<a+时,f(n)max=a+,即a+<2,得到a<;当﹣a﹣≥a+时,即﹣a﹣≤2,得a≥﹣2,所以a的取值范围为﹣2≤a<.故答案为:﹣2≤a<14.【解答】解:①若点A(x,y)的“伴随点”是点A′(,),则点A′(,)的“伴随点”是点(﹣x,﹣y),故不正确;②由①可知,单位圆的“伴随曲线”是它自身,故正确;③若曲线C关于x轴对称,点A(x,y)关于x轴的对称点为(x,﹣y),“伴随点”是点A′(﹣,),则其“伴随曲线”C′关于y轴对称,故正确;④设直线方程为y=kx+b(b≠0),点A(x,y)的“伴随点”是点A′(m,n),则∵点A(x,y)的“伴随点”是点A′(,),∴,∴x=﹣,y=∵m=,∴代入整理可得n﹣1=0表示圆,故不正确.故答案为:②③.二.选择题15.【解答】解:由题意,这批米内夹谷约为1534×≈169石,故选:B.16.【解答】解:模拟执行程序框图,可得S=0,n=2,k=1满足条件k≤10,S=,n=4,k=2满足条件k≤10,S=+,n=6,k=3满足条件k≤10,S=++,n=8,k=4…满足条件k≤10,S=++…+,n=26,k=11不满足条件k≤10,退出循环,输出S=++…+=+++…+.故选:C.17.【解答】解:∵数列{a n},对于任意的正整数n,,∴a1=a2=a3=…=a2017=1,a2018=﹣,a2019=﹣,a2020=﹣,…,n≥2018∴Sn=1×2017+=2016+()n﹣2017,∴==2016.故选:B.18.【解答】解:由两定点A,B满足==2,=﹣,则||2=(﹣)2=﹣2•+=4,则||=2,说明O,A,B三点构成边长为2的等边三角形.不妨设A(),B().再设P(x,y).由,得:.所以,解得①.由|λ|+|μ|≤1.所以①等价于或或或.可行域如图中矩形ABCD及其内部区域,则区域面积为.故选:D.三.解答题19.【解答】解:(1)c=a sin C﹣c cos A,由正弦定理有:sin A sin C﹣sin C cos A﹣sin C=0,即sin C•(sin A﹣cos A﹣1)=0,又,sin C≠0,所以sin A﹣cos A﹣1=0,即2sin(A﹣)=1,所以A=;(2)S△ABC=bc sin A=,所以bc=4,a=2,由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bc cos A,即4=b2+c2﹣bc,即有,解得b=c=2.20.【解答】(1)解:∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1B1B是边长为4的正方形,AC=3,BC=5,∴AB2+AC2=BC2,∴AB⊥AC,以A为原点,AB为x轴,AC为y轴,AA1为z轴,建立空间直角坐标系,则B1(4,0,4),C1(0,3,4),A1(0,0,4),C(0,3,0),=(﹣4,3,0),=(4,0,0),=(0,3,﹣4),设平面A1B1C的法向量=(x,y,z),则,取y=4,得=(0,4,3),设直线B1C1与平面A1B1C所成的角为θ,则sinθ===,∴.∴直线B1C1与平面A1B1C所成的角为.(2)证明:=(0,﹣3,4),假设在线段B1C上存在点D,使得AD⊥A1C,设,则=+=(0,3﹣3λ,4λ),∵AD⊥A1C,∴=0﹣3(3﹣3λ)+16λ=0,解得λ=.∴D.∴.21.【解答】解:(1)F(x)=2f(x)+g(x)=(a>0且a≠1)由,可解得﹣1<x<1,所以函数F(x)的定义域为(﹣1,1)令F(x)=0,则…(*)方程变为,即(x+1)2=1﹣x,即x2+3x=0解得x1=0,x2=﹣3,经检验x=﹣3是(*)的增根,所以方程(*)的解为x=0即函数F(x)的零点为0.(2)方程可化为=,故,设1﹣x=t∈(0,1]函数在区间(0,1]上是减函数当t=1时,此时x=0,y min=5,所以a m≥1①若a>1,由a m≥1可解得m≥0,②若0<a<1,由a m≥1可解得m≤0,故当a>1时,实数m的取值范围为:m≥0,当0<a<1时,实数m的取值范围为:m≤022.【解答】解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,∵S4=4S2,a2n=2a n+1;∴d=4(2a1+d),a2=2a1+1即a1+d=2a1+1,联立解得a1=1,d=2.∴a n=2n﹣1.(2)数列{b n}满足(n∈N*),∴n≥2时,+…+=1﹣,可得:=,∴.(3)T n=+…+,=+…++,相减可得:=+…+﹣=2×﹣﹣,∴.23.【解答】(1)解:由△MF1F2的周长为6得2(a+c)=6,即a+c=3,椭圆C1与双曲线C2:有相同的焦点,所以c=1,所以a=2,b2=a2﹣c2=3,椭圆C1的方程为;(2)证明:设“盾圆D”上的任意一点M的坐标为(x,y),d2=|x﹣3|.当M∈C1时,y2=4x(0≤x≤3),=|x+1|,则d1+d2=|x+1|+|x﹣3|=(x+1)+(3﹣x)=4;当M∈C2时,y2=﹣12(x﹣4)(3<x≤4),=|7﹣x|,则d1+d2=|7﹣x|+|x﹣3|=(7﹣x)+(x﹣3)=4;所以d1+d2=4为定值;(3)显然“盾圆E”由两部分合成,所以按A在抛物线弧E1或椭圆弧E2上加以分类,由“盾圆E”的对称性,不妨设A在x轴上方(或x轴上):当时,,此时r=,cosα=﹣;当﹣≤cosα≤1时,A在椭圆弧E2上,由题设知A(1+r1cosα,r1sinα)代入得,3(1+r1cosα)2+4﹣12=0,整理得(4﹣cos2α)+6r1cosα﹣9=0,解得或(舍去).当﹣1≤cosα≤﹣时A在抛物线弧E1上,由方程或定义均可得到r1=2+r1cosα,于是,综上,(﹣1)或(﹣≤cosα≤1);相应地,B(1﹣r2cosα,﹣r2sinα),当﹣1时A在抛物线弧E1上,B在椭圆弧E2上,==∈[1,];当1时A在椭圆弧E2上,B在抛物线弧E1上,•=∈[,1];当﹣时A、B在椭圆弧E2上,=∈(,);综上的取值范围是[,].。
上海市上海中学2017-2018学年高三10月月考数学试题 Word版含答案
2017-2018学年第一学期高三数学第一次测验试卷高三年级数学试卷(共4页)一.填空题1、已知全集U=R,集合P=x|x-2{³1},则C U P=2、设复数z1=1+i,z2=-2+xi(xÎR),若z1·z2ÎR,则x的值等于3、已知圆C: x2+y2=r2与直线3x-4y+10=0相切,则圆C的半径r=4、如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD的边长为3,BD1与底面所成的角的大小为arctan 23,则该正四棱柱的高等于5、已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点与双曲线: x27-y22=1的右焦点重合,则抛物线C的方程是6、在二项式(x2-2x)5的展开式中,x的一次项系数为。
(用数字作答)7、已知角a的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,角a的终边与圆心在原点的单位圆(半径为1的圆)交于第三象限内的点A(xA ,-45),则sin2a=。
(用数值表示)8、设无穷等比数列{a n}(nÎN*)的公比q=-13,a1=1,则n®¥lim(a2+a4+a6+···+a2n)=9、某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是cm310、在D ABC中,已知且D ABC的面积S=1,则的值为11、现有10个数,它们能构成一个以1为首项,-2为公比的等不数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是12、设f(x)是定义域在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上, f(x)=ax+1,-1£x£0 bx+2x+1,0£x£1ìíïîï其中a,bÎR,若f(12)=f(32),则ba3的值为13、定义:曲线C上的点到直线L的距离的最小值称为曲线C到直线L的距离。
陕西省延安中学2017-2018学年高三上学期第五次月考数学试卷(理科) Word版含解析
陕西省延安中学2017-2018学年高三上学期第五次月考数学试卷(理科)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的(每小题5分,共60分)1.已知集合A={0,1},B={﹣1,0,a+2},若A⊆B,则a的值为( )A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1考点:集合的包含关系判断及应用.专题:集合.分析:本题的关键是集合A={0,1},B={﹣1,0,a+2},若A⊆B,根据集合元素的互异性与唯一性,求出a的值解答:解:∵A={0,1},B={﹣1,0,a+2},且A⊆B∴a+2=1∴a=﹣1故选:B点评:题主要考查集合的相等等基本运算,属于基础题.要正确判断两个集合的关系,必须对集合的相关概念有深刻的理解,善于抓住代表元素,认清集合的特征.2.“若x>﹣3,则x>﹣6”以及它的逆、否、逆否中,真有( )A.1个B.2个C.3个D.4个考点:四种间的逆否关系;的真假判断与应用.专题:规律型.分析:根据四种的关系以及互为逆否的等价性进行判断即可.解答:解:根据互为逆否的等价性只需判断原和逆的真假性即可.原:若x>﹣3,x>﹣6成立,∴原正确,逆否也正确.逆:若x>﹣6,则x>﹣3,不成立,∴逆错误,否也错误.故四个中,真的个数为2.故选:B.点评:本题主要考查四种之间的关系以及真假的判断,利用互为逆否的等价性是解决本题的捷径.3.已知等差数列{a n}中,a5+a9﹣a7=10,记S n=a1+a2+…+a n,则S13的值为( ) A.260 B.168 C.156 D.130考点:等差数列的前n项和.专题:计算题.分析:利用a5+a9﹣a7=10求出a7的值,把S13的13项中项数相加为14的项结合在一起,根据等差数列的性质化简后,将a7的值代入即可求出值.解答:解:根据等差数列的性质可知a5+a9=2a7,根据a5+a9﹣a7=10,得到a7=10,而S13=a1+a2+…+a13=(a1+a13)+(a2+a12)+(a3+a11)+(a4+a10)+(a5+a9)+(a6+a8)+a7=13a7=130 故选D点评:考查学生灵活运用等差数列性质的能力.本题的突破点是项数相加为14的结合在一起.4.由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形面积为( )A.B.C.D.考点:定积分在求面积中的应用.专题:函数的性质及应用.分析:要求曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形面积,根据定积分的几何意义,只要求∫01(x2﹣x3)dx即可.解答:解:由题意得,两曲线的交点坐标是(1,1),(0,0)故积分区间是[0,1]所求封闭图形的面积为∫01(x2﹣x3)dx═,故选A.点评:本题考查定积分的基础知识,由定积分求曲线围成封闭图形的面积.5.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则( )A.ω=1,φ=B.ω=1,φ=﹣C.ω=2,φ=D.ω=2,φ=﹣考点:y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义;由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.专题:计算题;综合题.分析:通过图象求出函数的周期,再求出ω,由(,1)确定φ,推出选项.解答:解:由图象可知:T==π,∴ω=2;(,1)在图象上,所以2×+φ=,φ=﹣.故选D.点评:本题考查y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义,由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,考查视图能力,逻辑推理能力.6.若函数f(x)=x3﹣bx,(b∈R)在区间(1,2)上有零点,则b的取值范围是( ) A.(4,+∞)B.(1,4)C.(﹣4,﹣1)D.(﹣∞,1)考点:函数零点的判定定理.专题:函数的性质及应用.分析:由根的存在性定理,令f(1)•f(2)<0,解不等式,求出b的取值范围.解答:解:∵函数f(x)=x3﹣bx在区间(1,2)上有零点,∴f(1)•f(2)<0,即(1﹣b)(8﹣2b)<0;∴(b﹣1)(b﹣4)<0,解得1<b<4,∴b的取值范围是(1,4).故选:B.点评:本题考查了函数零点的应用问题,解题的关键是由根的存在性定理列出不等式,是基础题目.7.设O为坐标原点,点M的坐标为(1,1),若点N(x,y)的坐标满足,则的最大值为( )A.B.2 C.3 D.2考点:简单线性规划.专题:不等式的解法及应用.分析:根据向量的数量积关系结合线性规划的内容进行求解即可.解答:解:∵M的坐标为(1,1),∴•=x+y,设z=x+y,则y=﹣x+z,平移直线y=﹣x+z,由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A(3,0)或B时,直线y=﹣x+z的截距最大,此时z最大.代入目标函数z=x+y得z=3+0=3.即的最大值为3.故选:C点评:本题主要考查线性规划的应用,利用平面向量的数量积结合数形结合是解决本题的关键.综合性较强.8.若f(x)为奇函数且在(0,+∞)上递增,又f(2)=0,则的解集是( )A.(﹣2,0)∪(0,2)B.(﹣∞,2)∪(0,2)C.(﹣2,0)∪(2,+∞) D.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)考点:奇偶性与单调性的综合;抽象函数及其应用.专题:计算题;函数的性质及应用.分析:根据f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数,且f(2)=0,得到当0<x<2时,f(x)<0;当x≥2时,f(x)≥0.再结合函数为奇函数证出:当x≤﹣2时,f(x)≤0且﹣2<x<0时,f(x)>0,最后利用这个结论,将原不等式变形,讨论可得所求解集.解答:解:∵f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数,且f(2)=0,∴当0<x<2时,f(x)<0;当x≥2时,f(x)≥0又∵f(x)是奇函数∴当x≤﹣2时,﹣x≥2,可得f(﹣x)≥0,从而f(x)=﹣f(﹣x)<0.即x≤﹣2时f(x)≤0;同理,可得当﹣2<x<0时,f(x)>0.不等式可化为:,即∴或,解之可得x>2或x<﹣2所以不等式的解集为:(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞).故选:D.点评:本题以抽象函数为例,在已知f(x)的单调性和奇偶性的基础之上求解关于x的不等式,着重考查了函数的单调性与奇偶性的知识点,属于中档题.9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A.B.C.D.考点:由三视图求面积、体积.专题:空间位置关系与距离.分析:由已知的三视图可得:该几何体是一个以主视图为底面的四棱锥,分别求出棱锥的底面面积和高,代入棱锥体积公式,可得答案.解答:解:由已知的三视图可得:该几何体是一个以主视图为底面的四棱锥,其底面面积S=2×2=4,高h=2×=,故该几何体的体积V=Sh=×4×=,故选:D点评:根据三视图判断空间几何体的形状,进而求几何的表(侧/底)面积或体积,是2015届高考必考内容,处理的关键是准确判断空间几何体的形状,一般规律是这样的:如果三视图均为三角形,则该几何体必为三棱锥;如果三视图中有两个三角形和一个多边形,则该几何体为N棱锥(N值由另外一个视图的边数确定);如果三视图中有两个为矩形和一个多边形,则该几何体为N棱柱(N值由另外一个视图的边数确定);如果三视图中有两个为梯形和一个多边形,则该几何体为N棱柱(N值由另外一个视图的边数确定);如果三视图中有两个三角形和一个圆,则几何体为圆锥.如果三视图中有两个矩形和一个圆,则几何体为圆柱.如果三视图中有两个梯形和一个圆,则几何体为圆台.10.已知双曲线和椭圆的离心率之积大于1,那么以a,b,m为边的三角形是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形考点:圆锥曲线的共同特征;三角形的形状判断.专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:利用双曲线、椭圆的离心率之积大于1,建立不等式,结合余弦定理,即可求得结论.解答:解:由题意,∴﹣a2b2+b2m2﹣b4>0∴a2+b2﹣m2<0∴∴m所对的角为钝角∴以a,b,m为边的三角形是钝角三角形故选B.点评:本题考查双曲线、椭圆的离心率,考查余弦定理的运用,考查学生的计算能力,属于基础题.11.△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC,则sinB+sinC的最大值为( )A.0 B.1 C.D.考点:正弦定理.专题:解三角形.分析:已知等式利用正弦定理化简,整理得到关系式,利用余弦定理表示出cosA,把得出关系式代入求出cosA的值,进而确定出A的度数,得到B+C的度数,用C表示出B,代入原式中利用两角和与差的正弦函数公式整理为一个角的正弦函数,由正弦函数的值域确定出sinB+sinC的最大值即可.解答:解:把2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC,利用正弦定理化简得:2a2=b(2b+c)+c(2c+b),整理得:b2+c2﹣a2=﹣bc,∴cosA==﹣,∴A=120°,即B+C=60°,∴C=60°﹣B,∴sinB+sinC=sinB+sin(60°﹣B)=sinB+cosB﹣sinB=sinB+cosB=sin(B+60°),∵0<B<60°,∴60°<B+60°<120°,∴<sin(B+60°)≤1,即<sinB+sinC≤1,则sinB+sinC的最大值为1,故选:B.点评:此题考查了正弦定理,余弦定理,两角和与差的正弦函数公式,以及正弦函数的定义域与值域,熟练掌握定理是解本题的关键.12.若函数f(x)=﹣e ax(a>0,b>0)的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切,则a+b的最大值是( )A.4 B.2C.2 D.考点:利用导数研究曲线上某点切线方程.专题:导数的综合应用.分析:求函数的导数,求出切线方程根据直线和圆相切得到a,b的关系式,利用换元法即可得到结论.解答:解:函数的f(x)的导数f′(x)=,在x=0处的切线斜率k=f′(0)=,∵f(0)=﹣,∴切点坐标为(0,﹣),则在x=0处的切线方程为y+=x,即切线方程为ax+by+1=0,∵切线与圆x2+y2=1相切,∴圆心到切线的距离d=,即a2+b2=1,∵a>0,b>0,∴设a=sinx,则b=cosx,0<x<,则a+b=sinx+cosx=sin(x),∵0<x<,∴<x<,即当x=时,a+b取得最大值为,故选:D点评:本题主要考查导数的几何意义,以及直线和圆的位置关系,综合考查了换元法的应用,综合性较强.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点,|AF|=2,则|BF|=2.考点:抛物线的简单性质.专题:计算题.分析:抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的.已知|AF|=2,则到准线的距离也为2,根据图形AFKA1是正方形.则易得AB⊥x轴,即可得答案.解答:解:由抛物线的定义.抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的.已知|AF|=2,则到准线的距离也为2.根据图形AFKA1,是正方形.可知|AF|=|AA1|=|KF|=2∴AB⊥x轴故|AF|=|BF|=2.故填|BF|=2.点评:活用圆锥曲线的定义是解决圆锥曲线最基本的方法.到焦点的距离,叫焦半径.到焦点的距离常转化到准线的距离求解.14.已知点A(a,1)和曲线C:x2+y2﹣x﹣y=0,若过点A的任意直线都与曲线C至少有一个交点,则实数a的取值范围是[0,1].考点:圆的一般方程.专题:直线与圆.分析:求出圆的圆心,利用直线和圆的位置关系进行判断.解答:解:∵圆的标准方程为(x﹣)2+(y﹣)2=,∴圆心坐标为(,),半径r=.当y=1时,方程x2+y2﹣x﹣y=0为x2+1﹣x﹣1=0,即x2﹣x=0,解得:x=0或x=1,要使过点A的任意直线都与曲线C至少有一个交点,则点A应该在圆上或者在圆内,则a满足0≤a≤1,故答案为:[0,1].点评:本题主要考查直线和圆位置关系的判断,根据条件判断出点A在圆上或者在圆内是解决本题的关键.15.设二次函数f(x)=ax2﹣4x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),则的最小值为3.考点:基本不等式;二次函数的性质.专题:不等式的解法及应用.分析:先判断a、c是正数,且ac=4,把所求的式子变形使用基本不等式求最小值.解答:解:∵二次函数f(x)=ax2﹣4x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),∴a>0,△=16﹣4ac=0,∴ac=4,则c>0,∴≥2=2=3,当且仅当,=时取到等号,∴的最小值为3.故答案为:3.点评:本题考查函数的值域及基本不等式的应用,求解的关键就是求出a与c的关系,属于基础题.16.将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中,每个班级至少安排1名学生,其中甲同学不能分配到A班,那么不同的分配方案有24种.考点:排列、组合及简单计数问题.专题:计算题.分析:根据题意,首先分析甲,易得甲可以放在B、C班,有2种情况,再分两种情况讨论其他三名同学,即①A、B、C每班一人,②、B、C中一个班1人,另一个班2人,分别求出其情况数目,由加法原理可得其他三人的情况数目,由分类计数原理计算可得答案.解答:解:甲同学不能分配到A班,则甲可以放在B、C班,有A21种方法,另外三个同学有2种情况,①、三人中,有1个人与A共同分配一个班,即A、B、C每班一人,即在三个班级全排列A33,②三人中,没有人与甲共同参加一个班,这三人都被分配到甲没有分配的2个班,则这三中一个班1人,另一个班2人,可以从3人中选2个为一组,与另一人对应2个班,进行全排列,有C32A22种情况,另外三个同学有A33+C32A22种安排方法,∴不同的分配方案有A21(A33+C32A22)=24,故答案为24.点评:本题考查计数原理的应用,解题注意优先分析排约束条件多的元素,即先分析甲,再分析其他三人.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本答题共5小题,共70分)17.已知函数f(x)=2sin(x﹣),x∈R(Ⅰ)求函数f(x)的值域;(Ⅱ)若cosθ=,θ∈(0,),求f(2θ﹣).考点:正弦函数的图象;两角和与差的余弦函数.专题:三角函数的求值;三角函数的图像与性质.分析:(Ⅰ)由已知及正弦函数的图象和性质即可求得函数f(x)的值域.(Ⅱ)由已知即可求得sinθ,sin2θ,cos2θ的值,代入=即可得解.解答:解:(Ⅰ)因为所以函数f(x)的值域为[﹣2,2](Ⅱ)因为所以,所以,所以=====点评:本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式的应用,正弦函数的图象和性质,属于基本知识的考查.18.设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2,a3=a2+4.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)设{b n}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{a n+b n}的前n项和S n.考点:等比数列的通项公式;数列的求和.专题:计算题.分析:(Ⅰ)由{a n}是公比为正数的等比数列,设其公比,然后利用a1=2,a3=a2+4可求得q,即可求得{a n}的通项公式(Ⅱ)由{b n}是首项为1,公差为2的等差数列可求得b n=1+(n﹣1)×2=2n﹣1,然后利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可求得数列{a n+b n}的前n项和S n.解答:解:(Ⅰ)∵设{a n}是公比为正数的等比数列∴设其公比为q,q>0∵a3=a2+4,a1=2∴2×q2=2×q+4 解得q=2或q=﹣1∵q>0∴q=2∴{a n}的通项公式为a n=2×2n﹣1=2n(Ⅱ)∵{b n}是首项为1,公差为2的等差数列∴b n=1+(n﹣1)×2=2n﹣1∴数列{a n+b n}的前n项和S n=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2点评:本题考查了等比数列的通项公式及数列的求和,注意题目条件的应用.在用等比数列的前n项和公式时注意辨析q是否为1,只要简单数字运算时不出错,问题可解,是个基础题.19.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,四边形ACFE为矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,CF=1.(Ⅰ)求证:BC⊥平面ACFE;(Ⅱ)点M在线段EF上运动,设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ(θ≤90°),试求cosθ的取值范围.考点:用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定;二面角的平面角及求法.专题:计算题;证明题.分析:(1)证明线面垂直可以利用面面垂直进行证明,即若两个平面垂直并且其中一个平面内的一条直线a与两个平面的交线操作时则直线a与另一个平面垂直,即可证明线面垂直.(2)建立空间坐标系,根据坐标表示出两个平面的法向量,结合向量的有关运算求出二面角的余弦的表达式,再利用函数的有关知识求出余弦的范围.解答:解:(I)证明:在梯形ABCD中,∵AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,∴AB=2∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°=3∴AB2=AC2+BC2∴BC⊥AC∵平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE∩平面ABCD=AC,BC⊂平面ABCD∴BC⊥平面ACFE(II)由(I)可建立分别以直线CA,CB,CF为x轴,y轴,z轴的如图所示空间直角坐标系,令,则,B(0,1,0),M(λ,0,1)∴设为平面MAB的一个法向量,由得取x=1,则,∵是平面FCB的一个法向量∴∵∴当λ=0时,cosθ有最小值,当时,cosθ有最大值.∴.点评:解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征,以便于找到线面之间的平行、垂直关系,并且对建立坐标系也有一定的帮助,利用向量法解决空间角空间距离是最好的方法.20.已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,离心率为,右焦点到到右顶点的距离为1.(1)求椭圆C的标准方程;(2)是否存在与椭圆C交于A,B两点的直线l:y=kx+m(k∈R),使得|+2|=|﹣2|成立?若存在,求出实数m的取值范围,若不存在,请说明理由.考点:直线与圆锥曲线的综合问题.专题:圆锥曲线中的最值与范围问题.分析:(1)由已知条件推导出e=,a﹣c=1.由此能求出椭圆C的标准方程.(2)存在直线l,使得||=||成立.设直线l的方程为y=kx+m,由得(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0.由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出实数m的取值范围.解答:解:(1)设椭圆C的方程为(a>b>0),半焦距为c.依题意e=,由右焦点到右顶点的距离为1,得a﹣c=1.解得c=1,a=2.所以=4﹣1=3.所以椭圆C的标准方程是.(2)解:存在直线l,使得||=||成立.理由如下:设直线l的方程为y=kx+m,由得(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0.△=(8km)2﹣4(3+4k2)(4m2﹣12)>0,化简得3+4k2>m2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则,.若||=||成立,即||2=||2,等价于.所以x1x2+y1y2=0.x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0,(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,(1+k2)•,化简得7m2=12+12k2.将代入3+4k2>m2中,3+4()>m2,解得.又由7m2=12+12k2≥12,得,从而,解得或.所以实数m的取值范围是.点评:本题考查椭圆的标准方程的求法,考查满足条件的直线方程是否存在的判断,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地加以运用.21.已知向量=(lnx,1﹣alnx),=(x,f(x)),∥,f′(x)为函数f(x)的导函数(Ⅰ)若函数f(x)在(1,+∞)上单调递减,求实数a的最小值;(Ⅱ)若存在x1,x2∈[e,e2],使得f(x1)≤f′(x2)+a,求实数a的取值范围.考点:导数在最大值、最小值问题中的应用;导数的运算;平行向量与共线向量.专题:导数的综合应用;空间向量及应用.分析:(Ⅰ)由∥得f(x)=﹣ax,然后求导数,再由函数f(x)在(1,+∞)上单调递减,可得f′(x)=≤0对x>1恒成立,转化为求最值,(Ⅱ)“若存在x1,x2∈[e,e2],使f(x1)≤f′(x2)﹣a成立”,等价于“当x∈[e,e2]时,有f(x)min≤f′(x)max ﹣a”,由此利用导数性质结合分类讨论思想能求出实数a的取值范围.解答:解:(Ⅰ)∵向量=(lnx,1﹣alnx),=(x,f(x)),∥,∴lnx•f(x)=x(1﹣alnx)(x>0),∴f(x)==﹣ax,∴f′(x)=,∵函数f(x)在(1,+∞)上单调递减,∴f′(x)=≤0对x>1恒成立,即a≥对x>1恒成立,令g(x)==﹣,令=t,x>1,lnx>0,t∈(0,+∞),g(t)=﹣t2+t,为二次函数,图象开口向下,对称轴为t=,则t=时,g(t)取得最大值,所以a≥,∴实数a的最小值为,(Ⅱ)“若存在x1,x2∈[e,e2],使f(x1)≤f′(x2)+a成立”等价于“当x∈[e,e2]时,有f(x)min≤f′(x)max+a”,由(Ⅰ)知,当x∈[e,e2]时,lnx∈[1,2],∈[,1],f′(x)═﹣﹣a=﹣(﹣)2+﹣a≤﹣a,f′(x)max+a=,则问题等价于:“当x∈[e,e2]时,有f(x)min≤”,①当a≤﹣时,由(Ⅰ),f(x)在[e,e2]上为减函数,则f(x)min=f(e2)=﹣ae2≤,∴a≥﹣,与a≤﹣矛盾,②a>﹣时,∵x∈[e,e2],∴lnx∈[1,2],∵f′(x)=,由复合函数的单调性知f′(x)在[e,e2]上为增函数,∴存在唯一x0∈(e,e2),使f′(x0)=0且满足:f(x)min=f(x0)=﹣ax0,要使f(x)min≤,∴a≥﹣<﹣=,∴此时a≥,综上,实数a的取值范围为[,+∞).点评:本题主要考查函数、导数等基本知识.考查运算求解能力及化归思想、函数方程思想、分类讨论思想的合理运用,注意导数性质的合理运用.请考生从第22、23、24题中任选一题作答,则按所做的第一题计分.选修1-4:几何证明选讲22.已知:如图,在Rt△ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O交AC于点D,过点D作DE⊥BC,垂足为E,连接EA交⊙O于点F.求证:(Ⅰ)DE是⊙O的切线;(Ⅱ)BE•CE=EF•EA.考点:与圆有关的比例线段;圆的切线的判定定理的证明.专题:推理和证明.分析:(Ⅰ)连结OD,由已知得∠ODA=∠OAD,∠OAD=∠C,从而∠ODA=∠C,进而DO∥BC,由此能证明DE是⊙O的切线.(Ⅱ)连接BD,由已知得∠BDA=90°,∠BDC=90°,DE2=BE•CE,由此利用切割线定理能证明BE•CE=EF•BA.解答:证明:(Ⅰ)连接OD,∵OD=OA,∴∠ODA=∠OAD,又∵AB=BC,∴∠OAD=∠C,∴∠ODA=∠C,∴DO∥BC,又∵DE⊥BC,∴DO⊥DE,∴DE是⊙O的切线.(Ⅱ)连接BD,∵AB是⊙O的直径,∴∠BDA=90°,∴∠BDC=90°,∵DE⊥BC,∴DE2=BE•CE,又∵DE切⊙O于点D,EFA是⊙O的割线.∴DE2=EF•BA,∴BE•CE=EF•BA.点评:本小题主要考查与圆有关的比例线段、三角形相似、弦切角定理、切割线定理等基础知识,考查运算求解能力、化归与转化思想.属于中档题.选修4-4:坐标系与参数方程23.将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(Ⅰ)写出C的参数方程;(Ⅱ)设直线l:2x+y﹣2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.考点:参数方程化成普通方程;点的极坐标和直角坐标的互化.专题:直线与圆;坐标系和参数方程.分析:(Ⅰ)在曲线C上任意取一点(x,y),再根据点(x,)在圆x2+y2=1上,求出C的方程,化为参数方程.(Ⅱ)解方程组求得P1、P2的坐标,可得线段P1P2的中点坐标.再根据与l垂直的直线的斜率为,用点斜式求得所求的直线的方程,再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程.解答:解:(Ⅰ)在曲线C上任意取一点(x,y),由题意可得点(x,)在圆x2+y2=1上,∴x2+=1,即曲线C的方程为x2+=1,化为参数方程为(0≤θ<2π,θ为参数).(Ⅱ)由,可得,,不妨设P1(1,0)、P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为(,1),再根据与l垂直的直线的斜率为,故所求的直线的方程为y﹣1=(x﹣),即x﹣2y+=0.再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0,即ρ=.点评:本题主要考查求点的轨迹方程的方法,极坐标和直角坐标的互化,用点斜式求直线的方程,属于中档题.选修4-5:不等式选讲24.已知定义在R上的函数f(x)=|x+1|+|x﹣2|的最小值为m.(Ⅰ)求m的值;(Ⅱ)若a,b,c是正实数,且满足a+b+c=m,求证:a2+b2+c2≥3.考点:不等式的证明;绝对值不等式的解法.专题:证明题;不等式的解法及应用.分析:(Ⅰ)|x+1|+|x﹣2|≥(x+1)(x﹣2)=3,即可求m的值;(Ⅱ)由(Ⅰ)知a+b+c=3,再由三元柯西不等式即可得证.解答:(Ⅰ)解:因为|x+1|+|x﹣2|≥(x+1)(x﹣2)=3当且仅当﹣1≤x≤2时,等号成立,所以f(x)的最小值等于3,即m=3(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知a+b+c=3,又a,b,c是正实数,所以(a2+b2+c2)(12+12+12)≥(a+b+c)2=9,所以a2+b2+c2≥3点评:本题考查绝对值不等式的解法,考查函数的最值的求法,考查柯西不等式的运用:证明不等式,属于中档题.。
上海市延安中学2018-2019学年高三上学期9月月考数学试题
上海市延安中学2018-2019学年高三上学期9月月考数学试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、填空题1. 已知全集,,则集合____________2. 若,则_________.3. 1、1、3、3、5这五个数的中位数是____________4. 若函数的反函数为,且,则的值为________5. 若数列的前n项和,则通项______6. 三阶行列式中,元素的代数余子式的值为____________7. 过定点,且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为__________8. 若无穷等比数列的各项和为2,则首项的取值范围为______.9. 已知关于的方程的两根为、,满足,则实数的值为____________10. 已知O是坐标原点,点A(﹣1,1),若点M(x,y)为平面区域上的一个动点,则的最大值是_____.11. 设集合,则集合中满足条件“”的元素个数为_____.12. 设,函数,,若函数与的图像有且仅有两个不同的公共点,则的取值范围是________二、单选题13. “”是“”成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14. 若两个球的体积之比为,则它们的表面积之比为()A.B.C.D.15. 设单位向量和既不平行也不垂直,对非零向量,,有结论:① 若,则;② 若,则;关于以上两个结论,正确的判断是()A.①成立,②成立B.①不成立,②不成立C.①成立,②不成立D.①不成立,②成立16. 由9个正数组成的矩阵中,每行中三个数成等差数列,且、、成等比数列,给出下列判断:① 第2列中,、、必成等比数列;② 第1列中的、、不一定成等比数列;③ ;④ 若9个数之和等于9,则;其中正确的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4三、解答题17. 如图,在长方体中,.(1)求四棱锥的体积;(2)求异面直线与所成角的大小.18. 在中,内角所对的边长分别是.(1)若,且的面积,求的值;(2)若,试判断的形状.19. 已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元,每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完,每万部的销售收入为R(x)万美元,且,(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式;(2)当年产量为多少万部时,公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.20. 双曲线经过点,两条渐近线的夹角为,直线交双曲线于、.(1)求双曲线的方程;(2)若过原点,为双曲线上异于、的一点,且直线、的斜率为、,证明:为定值;(3)若过双曲线的右焦点,是否存在轴上的点,使得直线绕点无论怎样转动,都有成立?若存在,求出的坐标,若不存在,请说明理由.21. 已知是公差为的等差数列,是公比为的等比数列.(1)若,是否存在,有?请说明理由;(2)若(、为常数,且)对任意,有,试求出、满足的充要条件;(3)若,,试确定所有,使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项,请证明.。
上海市延安中学2018届高三上学期数学周测试题
2018届延安中学高三年级周测一、填空题(1-6题每题4分,7-12题每题5分)1. 若集合{1,3,4},{2,4}A B ==,则A B =____________.2. 不等式1||0x -<的解集是____________.3.若Z i =(i 为虚数单位),则2Z 的共轭复数是____________. 4. 若角α的终边经过点(3,4)P -,则cos tan αα+=____________. 5. 已知关于,x y 的方程组421mx y x y +=⎧⎨+=⎩无解,则m =____________.6. 在等比数列{}n a 中,若35727a a a =,则5a =____________.7. 已知,A B 为曲线222210x y x y +--+=上的动点,则||AB 的最大值是____________.8.在等差数列{}n a 中,若13a =,公差0d ≠,则1321242limn n n a a a a a a -→∞+++=+++____________.9. 若9a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中3x 的系数是-84,则a =____________.10. 过点(1,3)-且与双曲线224xy -=有且只有一个公共点的直线有____________条11. 设函数sin sin cos ()cos sin cos x x xf x x x x ≥⎧=⎨<⎩,则函数的最小值是____________.12. 若关于x 的方程1936(5)0xx k k k +⋅-⋅+-=在[0,2]x ∈内总有两个不同的实数解,那么k 的取值范围是____________.二、选择题(每题5分)13. “4x =”是“3x ≥”成立的( ) A. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14. 若甲、乙两人从4门中各选修2门,则甲、乙所选课程中恰有一门相同的选法有( ) A. 6种 B. 12种 C. 24种 D. 30种 15. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,线段11B D 上有两个动点E 、F,若2EF =,则下列结论中错误的是( )A. AC BE ⊥B. EF //平面ABCDC. 三棱锥A BEF -的体积为定值D. 异面直线AE 、BF 所成的角为定值16. 我们知道,互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系。
上海市延安中学2018届高三上学期数学周测试题-精选教育文档
2019届延安中学高三年级周测一、填空题(1-6题每题4分,7-12题每题5分)1. 若集合{1,3,4},{2,4}A B ==,则A B =____________.2. 不等式1||0x -<的解集是____________.3.若Z i =(i 为虚数单位),则2Z 的共轭复数是____________.4. 若角α的终边经过点(3,4)P -,则cos tan αα+=____________.5. 已知关于,x y 的方程组421mx y x y +=⎧⎨+=⎩无解,则m =____________. 6. 在等比数列{}n a 中,若35727a a a =,则5a =____________. 7. 已知,A B 为曲线222210x y x y +--+=上的动点,则||AB 的最大值是____________.8. 在等差数列{}n a 中,若13a =,公差0d ≠,则1321242lim n n n a a a a a a -→∞+++=+++____________. 9. 若9a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中3x 的系数是-84,则a =____________. 10. 过点(1,3)-且与双曲线224xy -=有且只有一个公共点的直线有____________条 11. 设函数sin sin cos ()cos sin cos x x x f x x x x ≥⎧=⎨<⎩,则函数的最小值是____________. 12. 若关于x 的方程1936(5)0x x k k k +⋅-⋅+-=在[0,2]x ∈内总有两个不同的实数解,那么k 的取值范围是____________.二、选择题(每题5分)13. “4x =”是“3x ≥”成立的( )A. 必要非充分条件B. 充分非必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14. 若甲、乙两人从4门中各选修2门,则甲、乙所选课程中恰有一门相同的选法有( )A. 6种B. 12种C. 24种D. 30种15. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,线段11B D 上有两个动点E 、F,若2EF =,则下列结论中错误的是( )A. AC BE ⊥B. EF //平面ABCDC. 三棱锥A BEF -的体积为定值D. 异面直线AE 、BF 所成的角为定值16. 我们知道,互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系。
上海市2018-2019学年高三上学期12月仿真数学试题(教师版)
等差数列的公差为
.
故选 C.
2. 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C : y2 2 px( p 0) 的焦点为 F , M 是抛物线 C 上的点, 若 OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切,且该圆面积 9 ,则 p ( )
A. 2
B. 4
C. 3
D. 3
【答案】 B 【解析】 【分析】
4
由点到直线的距离公式,可得
2 21 2
2. 2
点睛:本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化,以及点到直线的距离公式的应用,着重考查了推理与运
算能力,属于基础题.
14. 已知数列 { an} 中, an 4 n 5 ,等比数列 { bn} 的公比 q满足 q an an 1(n 2) ,且 b1 a2 ,则
【答案】 2
【解析】
易得乙较为稳定,乙的平均值为:
x = 89+90+91+88+92 = 90. 方差为: S2 =[(89 - 90) 2+ (90 - 90) 2+ 5
(91 - 90) 2+ (88 - 90) 2+ (92 - 90) 2]/5 = 2.
【此处有视频,请去附件查看】
12. 已知函数 f ( x)
即函数 f (x) 在 R 上是减函数; 则由 f a 2 f a 0 得 f a 2
f a f a ,则 a 2 a ,即 a 1 ,
即实数 a 取值范围是 a 1 .
故答案为: a 1
点睛】本题主要考查由函数单调性解不等式,熟记函数单调性与奇偶性即可,属于常考题型
.
13. 在极坐标系中,直线 l 的方程为 sin
模,熟记复数的乘法运算法则,共轭复数的概念,以及复数模的计算公式
即可,属于基础题型 .
上海市延安中学2017届高三下学期第三次模拟数学试题
上海市延安中学2016学年第二学期适应性考试高三年级 数学试卷(考试时间:120分钟 满分150分)一、填空题(本题满分54分,第1题到第6题,每小题4分;第7题到第12题,每小题5分)1. 若复数()()1a i i ++在复平面上所对应的点在实轴上,则实数a =____________2. 设集合()(){}|230A x x x =--≥,集合{}|0B x x =>,则A B ⋂=____________3. 821x x ⎛⎫-⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为____________ 4. 若一个球的体积是36π,则它的表面积是____________5. 若等差数列{}n a 前9项的和为27,且108a =,则d =____________6. 函数()cos f x x x =+的单调递增区间为____________7. 如图,在矩形ABCD 中,12AB =,5BC =,以A 、B 为焦点的双曲线2222:1x y M a b-=恰好过C 、D 两点,则双曲线M 的标准方程为____________8. 已知等比数列{}n a 满足1310a a +=,245a a +=,则{}n a 的前n 项积123n a a a a 的最大值为____________ 9. 若命题 “对任意,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,tan x m <恒成立”是假命题,则实数m 的取值范围是____________10. 把一颗骰子掷两次,第一次出现的点数记为a ,第二次出现的点数记为b ,则方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩只有一组解的概率是____________ 11. 已知点()3,1A ,5,23B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,且平行四边形ABCD 的四个顶点都在函数()21log 1x f x x +=-的图像上,则四边形ABCD 的面积为____________ 12. 已知O 为△ABC 的外心,且1cos 3A =,若AO AB AC αβ=+,则αβ+的最大值为____________二、选择题(本题满分20分,每小题5分)13. 已知a 、b 是非零向量,则“a b a b ⋅=”是“a //b ”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件14. 已知0x y >>,则( )A. 110x y ->B. sin siny 0x ->C. 11022x y⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ln ln 0x y +>15. 已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(A 、ω、ϕ均为正的常数)的最小正周期为π,当23x π=时,函数()f x 取得最小值,则下列结论正确的是( )A. ()()()220f f f -<<B. ()()()022f f f <-<C. ()()()202f f f -<<D. ()()()220f f f <-<16. 已知,R xy ∈,且满足00y y y +≤-≥≥⎪⎩,若存在R θ∈,使得cos sin 10x y θθ++=成立,则点(),P x y 构成的区域面积为( )A. 2π6π+C. 3πD. 6π三、解答题(本题满分76分)17.(本题满分14分)已知图一是四面体ABCD 的三视图,E 是AB 的中点,F 是CD 的中点.(1)求四面体ABCD 的体积; (2)求EF 与平面ABC 所成的角.18.(本题满分14分)已知函数()243f x x x a =-++.(1)若函数()y f x =在[]1,1-上存在零点,求实数a 的取值范围;(2)设函数()g x x b =+,当3a =时,若对任意的[]11,4x ∈,总存在[]25,8x ∈,使得()()12g x f x =,求实数b 的取值范围.19.(本题满分14分)如图,△ABC 为一个等腰三角形的空地,腰CA 的长为3(百米),底AB 的长为4(百米),现决定在空地内筑一条笔直的小路EF (宽度不计),将该空地分成一个四边形和一个三角形,设分成的四边形和三角形的周长相等,面积分别为1S 和2S . (1)若小路一端E 为AC 的中点,求此时小路的长度; (2)求12S S 的最小值.20.(本题满分16分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的焦点和上顶点分别为1F 、2F 、B ,定义:△12F BF 为椭圆C 的“特征三角形”,如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形,那么称这两个椭圆为“相似椭圆”,且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比,已知点)F是椭圆22122:1x y C a b+=的一个焦点,且1C 上任意一点到它的两焦点的距离之和为4.(1)若椭圆2C 与椭圆1C 相似,且2C 与1C 的相似比为2:1,求椭圆2C 的方程;(2)已知点()(),0P m n mn ≠是椭圆1C 上的任意一点,若点Q 是直线y nx =与抛物线21x y mn=异于原点的交点,证明:点Q 一定在双曲线22441x y -=上; (3)已知直线:1l y x =+,与椭圆1C 相似且短半轴长为b 的椭圆为b C ,是否存在正方形ABCD ,(设其面积为S ),使得A 、C 在直线l 上,B 、D 在曲线b C 上?若存在,求出函数()S f b =的解析式及定义域;若不存在,请说明理由.21.(本题分18分)如果存在常数a ,使得数列{}n a 满足:若x 是数列{}n a 中的一项,则a x -也是数列{}n a 中的一项,称数列{}n a 为“兑换数列”,常数a 是它的“兑换系数”.(1)若数列:2,3,6,()6m m >是“兑换系数”为a 的“兑换数列”,求m 和a 的值; (2)已知有穷等差数列{}n b 的项数是()003n n ≥,所有项之和是B ,求证:数列{}n b 是“兑换数列”,并用0n 和B 表示它的“兑换系数”;(3)对于一个不少于3项,且各项皆为正整数的递增数列{}n c ,是否有可能它既是等比数列,又是“兑换数列”?给出你的结论,并说明理由.参考答案一、填空题1. 1-2. [)3,+∞3. 56-4. 36π5. 16.()22,233x k k k Z πππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦7.2211620x y -= 8. 64 9. 1m ≤ 10. 1112 11. 103 12. 34 二、选择题13. A 14. C 15. A 16. D三、解答题17.(1)四面体ABCD 的体积为23(2)EF 与平面ABC所成的角为arcsin 18.(1)实数a 的取值范围为80a -≤≤ (2)实数b 的取值范围为1034b ≤≤ 19.(1)小路的长度是2百米 (2)12S S 的最小值为112520.(1)椭圆2C 的方程为221164x y += (2)证明略 (3)存在,()2161659f b b =-,定义域为b >21.(1)5,6m a ==(2)证明略(3)不可能,理由略。
陕西省延安市数学高三上学期理数12月月考试卷
陕西省延安市数学高三上学期理数12月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题;共24分)1. (2分)(2019·新宁模拟) 已知集合A={1,2},B={2,7),则AUB=()A . {1,2}B . {2,7}C . {1,7}D . {1,2,7}2. (2分)下列命题中是假命题的是()A .B . ,C .D . ,3. (2分) (2017高一上·安庆期末) 已知锐角α终边上一点A的坐标为(2sin3,﹣2cos3),则角α的弧度数为()A . 3B . π﹣3C . 3﹣D . ﹣34. (2分)已知{an}为等差数列,若a1+a5+a9=,则cos(a2+a8)的值为()A .B .C .D .5. (2分)圆与直线没有公共点的充分不必要条件是()A .B .C .D .6. (2分)(2020·随县模拟) 函数的部分图象大致为()A .B .C .D .7. (2分) (2018高二上·南宁月考) 已知椭圆C:,的上、下顶点分别为,且以线段为直径的圆与直线相切,则C的离心率为()A .B .C .D .8. (2分) (2019高三上·瓦房店月考) 一个圆锥的母线长为,圆锥的母线与底面的夹角为,则圆锥的内切球的表面积为()A .B .C .D .9. (2分)对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下:若两直线中至少有一条与圆相切,则称该位置关系为“平行相切”;若两直线都与圆相离,则称该位置关系为“平行相离”;否则称为“平行相交”.已知直线l1:ax+3y+6=0,l2:2x+(a+1)y+6=0与圆C:x2+y2+2x=b2-1(b>0)的位置关系是“平行相交”,则实数b 的取值范围为()A . ( ,)B . (0, )C . (0, )D . ( ,)∪( ,+∞)10. (2分)正方体的外接球与内切球的球面面积分别为S1和S2则()A . S1=2S2B . S1=3S2C . S1=4S2D . S1=2S211. (2分)已知点在椭圆上,则的最大值为()A . -2B . -1C . 2D . 712. (2分)(2016·新课标Ⅰ卷文) 函数f(x)=cos2x+6cos(﹣x)的最大值为()A . 4B . 5C . 6D . 7二、填空题 (共4题;共4分)13. (1分) (2019高二上·慈溪期中) 在平面直角坐标系xOy中,直线l:mx-y-2m-1=0(m∈R)过定点________,以点(1,0)为圆心且与l相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为________.14. (1分)已知点P(a,b)与点Q(1,0)在直线2x﹣3y+1=0的两侧,则下列说法正确的序号是________①2a﹣3b+1>0②a≠0时,有最小值,无最大值③且a≠1,,的取值范围为(﹣∞,﹣)∪()④存在正实数M,使恒成立.15. (1分)(2017·金山模拟) 方程x2+y2﹣4tx﹣2ty+3t2﹣4=0(t为参数)所表示的圆的圆心轨迹方程是________(结果化为普通方程)16. (1分) (2019高三上·牡丹江月考) 如图正方体的棱长为,、、,分别为、、的中点.则下列命题:①直线与平面平行;②直线与直线垂直;③平面截正方体所得的截面面积为;④点与点到平面的距离相等;⑤平面截正方体所得两个几何体的体积比为 .其中正确命题的序号为________.三、解答题 (共7题;共65分)17. (5分)(2020·汨罗模拟) 已知等差数列的前n项和为,公差d为整数,,且,,成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)设数列满足,求数列的前n项和 .18. (5分) (2016高一下·湖北期中) △ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,1+ = .(1)求A的大小;(2)若△ABC为锐角三角形,求函数y=2sin2B﹣2cosBcosC的取值范围;(3)现在给出下列三个条件:①a=1;②2c﹣( +1)b=0;③B=45°,试从中再选择两个条件,以确定△ABC,求出所确定的△ABC的面积.19. (10分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,O为AC与BD 的交点,E为PB上任意一点.(I)证明:平面EAC⊥平面PBD;(II)若PD∥平面EAC,并且二面角B﹣AE﹣C的大小为45°,求PD:AD的值.20. (15分) (2019高一下·嘉定月考) 已知都是锐角,且当取得最大值时,求的值.21. (10分)(2020·秦淮模拟) 已知函数g(x)=ex﹣ax2﹣ax,h(x)=ex﹣2x﹣lnx.其中e为自然对数的底数.(1)若f(x)=h(x)﹣g(x).①讨论f(x)的单调性;②若函数f(x)有两个不同的零点,求实数a的取值范围.(2)已知a>0,函数g(x)恰有两个不同的极值点x1,x2,证明:.22. (10分)在直角坐标系xOy中,直线C的参数方程为为参数),曲线P在以该直角坐标系的原点O的为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0.(1)求直线C的普通方程和曲线P的直角坐标方程;(2)设直线C和曲线P的交点为A、B,求|AB|.23. (10分)(2017·绵阳模拟) 已知函数f(x)=|3x﹣a|+|3x﹣6|,g(x)=|x﹣2|+1.(Ⅰ)a=1时,解不等式f(x)≥8;(Ⅱ)若对任意x1∈R都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题;共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题;共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题;共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、23-1、。
上海市延安中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷
上海市延安中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷一、填空题1.若集合{}{}1,3,4,2,4A B ==,则A B =U . 2.不等式10x -<的解集为.3.若i z (i 为虚数单位),则2z 的共轭复数为. 4.若角α的终边经过点(3,4)P -,则cos tan αα+=.5.某校高一(1)班有学生40人,其中共青团员15人,全班分成4个小组,第一组有学生10人,共青团员4人,从该班任选一个作学生代表.已知选到的是共青团员,求他是第一组学生的概率.6.若9()ax x-的展开式中3x 的系数是84-,则a =.7.已知圆221)24):((C x y ++-=,则圆心C 到直线:30l kx y k +-+=的最大距离为.8.设当x θ=时,函数()sin f x x x =取得最大值,则cos θ=.9.已知(),M x y 为函数()()cos 02πf x x x =≤≤图象上的任意一点,则2x y +的最大值为. 10.已知两个非零向量,a b rr 满足2a b a b +=-r r r r ,则向量a r 在向量b r 方向上的投影向量为.11.定义11222n n n a a a H n -+++=L 为数列{}n a 的“均值”,已知数列{}n b 的“均值”12n n H +=,记数列{}n b kn -的前n 项和为n S ,若6n S S ≤对任意正整数n 恒成立,则实数k 的范围为. 12.若关于x 的方程22ln 3(4)0tx t x t -+-=在区间(0,e)内有两个不同的实数解,那么实数t 的取值范围是.二、单选题13.“4x =”是“3x ≥”成立的( )条件.A .充分非必要B .必要非充分C .充分必要D .既非充分又非必要14.甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有A .6种B .12种C .24种D .30种15.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱线长为1,线段11B D 上有两个动点E ,F ,且EF =则下列结论中错误的是( )A .AC BE ⊥B .//EF 平面ABCDC .三棱锥A BEF -的体积为定值D .异面直线AE ,BF 所成的角为定值16.我们知道,互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系.如果坐标系中两条坐标轴的原点重合且不互相垂直,那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.在斜坐标系中,两条坐标轴的公共原点称为斜坐标系的原点,其坐标记为()0,0.在x 轴(y 轴)上的点的纵坐标(横坐标)为0,如图,在斜坐标系中,如果x 轴与y 轴相交所成的角为θ,过平面任意一点P ,分别作坐标轴的平行线,交x 轴于点M ,交y 轴于点N ,将点M 在x 轴上的坐标a ,点N 在y 轴上的坐标b 称为点P 在该坐标系中的坐标,记为(),P a b .若A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 是该坐标系中的任意两点,则点,A B 之间的距离 AB 为( )ABCD三、解答题17.如图,已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a .(1)求直线1AC 和平面ABCD 所成角的大小; (2)求二面角1C AB C --的大小.18.已知()sin f x x a x =+,曲线()y f x =在点()π,πP 处的切线斜率为2. (1)求a 的值;(2)求不等式()()1320f x f x ++->的解集.19.2021年8月,义务交于阶段“双减”政策出台,某初中在课后延时服务开设奥数、科技、体育等特色课程,为了进一步了解学生选课的情况,随机选取了400人进行调查问卷,整理后获得如下统计表:(1)若从样本内喜欢奥数的240人中用分层抽样方法随机抽取32人,则应在A 组、B 组各抽取多少人?(2)能否有99.5%的把握认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关? 附:参考公式:()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++,其中n a b c d =+++.20.在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线221:21C x y -=.(1)过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积;(2)设斜率为1的直线l 交1C 于P ,Q 两点,若l 与圆221x y +=相切,求证:OP OQ ⊥; (3)设椭圆222:41C x y +=,若M ,N 分别是1C ,2C 上的动点,且OM ON ⊥,求证:O 到直线MN 的距离是定值.21.已知数列{}n a 中的相邻两项212,k k a a -是关于x 的方程2(32)320k k x k x k -++⋅=的两个根,且212(1,2,3,)k k a a k -≤=L . (1)求1a ,3a ,5a ,7a ; (2)求数列{}n a 的前2n 项和2n S ;(3)记sin 1()32sin n f n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,(2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=++++…,求证:15(N )624n T n ≤≤∈*.。
延安中学高三开学考(2017.02)
延安中学高三开学考数学试卷2017.02一. 填空题1. 已知集合2{|0}5x A x x -=<+,2{|230,}B x x x x R =--≥∈,则A B =I 2. 已知函数()arcsin(21)f x x =+,则1()6f π-= 3. 已知圆锥的母线长为5,侧面积为15π,则此圆锥的体积为 (结果保留π)4. 已知无穷等比数列{}n a 中,132a =,23112a a =-,则12lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=5. 复数z 满足11z ii i =+,则复数z 的模等于6. 在10(tan cot )x x +的二项展开式中,2tan x 的系数为 (用数值作答) 7. 设1F 、2F 是双曲线2244x y -=的两个焦点,P 在双曲线上,且120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ,则12||||PF PF ⋅=u u u r u u u u r8. 已知(1,1)OA =u u u r ,(1,2)OB =-u u u r ,以OA u u u r 、OB uuu r 为边作平行四边形OACB ,则OC u u u r 与AB u u u r 的夹角为9. 从集合{1,2,3,,10}⋅⋅⋅中选出4个数组成的子集,使得这4个数中的任何两个数的和不等 于11,则这样的子集个数是10. 定义在R 上的奇函数()y f x =的图像关于直线1x =对称,且当01x <≤时,3()log f x x =,则方程1()(0)3f x f =-在区间(0,10)内所有的实根之和为 11. 直线1y kx =+与圆2240x y kx my +++-=相交于P 、Q 两点,且P 、Q 两点关于 直线0x y +=对称,则关于x 、y 不等式组1000kx y kx my y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩所表示平面区域的面积是12. 定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+,且(1)2f =,则下面四个式子: ①(1)2(1)(1)f f nf ++⋅⋅⋅+;②(1)[]2n n f +;③(1)n n +;④(1)(1)n n f +;与(1)(2)f f + ()f n +⋅⋅⋅+相等的式子的序号为 (写出所有满足条件的式子的序号)二. 选择题13.“()3f x ≥”是“()f x 的最小值为3”的( )条件A. 充分非必要B. 必要非充要C. 充要D. 既非充分也非必要14. 设m 、n 是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,给出下列四个命题: ① 若m α⊥,n ∥α,则m n ⊥; ② 若α∥β,β∥γ,m α⊥,则m γ⊥; ③ 若m ∥α,n ∥α,则m ∥n ; ④ 若αγ⊥,βγ⊥,则α∥β;其中正确命题的序号是( )A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④15. P 是△ABC 内一点,满足2340PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r ,则::PBC PCA PAB S S S ∆∆∆=( )A. 4:3:2B. 2:3:4C.111::432 D. 111::23416. 设{}n a 是公比为q 的等比数列,首项1164a =,对于*n N ∈,12log n nb a =,当且仅当4n =时,数列{}n b 的前n 项和取得最大值,则q 的取值范围为( )A. (3,B. (3,4)C. 4)D.三. 解答题17. 已知1sin()sin()446ππαα+-=,(,)2παπ∈,求sin 4α的值;18. 如图,设长方体1111ABCD A B C D -中,1AB BC ==,12AA =,Q 是1AA 的中点, 点P 在线段11B D 上;(1)试在线段11B D 上确定点P 的位置,使得异面直线QB 与DP 所成角为60︒,并请说明 你的理由;(2)在满足(1)的条件下,求四棱锥1Q DBB P -的体积;19. 已知函数2()21g x ax ax b =-++(0,1)a b ≠<,在区间[2,3]上有最大值4,最小值1, 设函数()()g x f x x=; (1)求a 、b 的值及函数()f x 的解析式; (2)若不等式(2)20x x f k -⋅≥在[1,1]x ∈-时恒成立,求实数k 的取值范围;20. 已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>长轴长为短轴长的两倍,连结椭圆的四个顶点得到的 菱形的面积为4,直线l 过点(,0)A a -,且与椭圆相交于另一点B ;(1)求椭圆的方程;(2)若线段AB 长为5,求直线l 的倾斜角; (3)点0(0,)Q y 在线段AB 的垂直平分线上,且4QA QB ⋅=u u u r u u u r ,求0y 的值;21. 从数列{}n a 中取出部分项,并将它们按原来的顺序组成一个数列,称之为数列{}n a 的 一个子数列,设数列{}n a 是一个首项为1a ,公差为d (0)d ≠的无穷等差数列;(1)若1a 、2a 、5a 成等比数列,求其公比q ;(2)若17a d =,从数列{}n a 中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项, 试问该数列是否为{}n a 的无穷等比子数列,请说明理由;(3)若11a =,从数列{}n a 中取出第1项、第m (2)m ≥项(设m a t =)作为一个等比数 列的第1项、第2项,试问当且仅当t 为何值时,该数列为{}n a 的无穷等比子数列,并请 说明理由;参考答案一. 填空题1. (5,1]--2. 14-3. 12π4. 985. 6. 2107. 2 8. arccos5 9. 80 10. 30 11. 1412. ①②③二. 选择题 13. B 14. A 15. B 16. C三. 解答题17. 9- 18.(1)线段11B D 中点;(2)12; 19.(1)1a =,0b =,1()2f x x x =+-;(2)0k ≤;20.(1)2214x y +=;(2)4π或34π;(3)0y =±或05y =±; 21.(1)3;(2)不是;(3)大于1的正整数;。
上海市延安中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
上海市延安中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1. 设函数()log |1|a f x x =-在(,1)-∞上单调递增,则(2)f a +与(3)f 的大小关系是( ) A .(2)(3)f a f +> B .(2)(3)f a f +< C. (2)(3)f a f += D .不能确定 2. 已知在平面直角坐标系xOy 中,点),0(n A -,),0(n B (0>n ).命题p :若存在点P 在圆1)1()3(22=-++y x 上,使得2π=∠APB ,则31≤≤n ;命题:函数x xx f 3log 4)(-=在区间 )4,3(内没有零点.下列命题为真命题的是( )A .)(q p ⌝∧B .q p ∧C .q p ∧⌝)(D .q p ∨⌝)( 3.sin 15°sin 5°-2sin 80°的值为( ) A .1 B .-1 C .2D .-24. ABC ∆中,“A B >”是“cos 2cos 2B A >”的( ) A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识,意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 5. 设等比数列{}n a 的前项和为n S ,若633S S =,则96SS =( ) A .2 B .73 C.83D .3 6. 四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形,PA ⊥底面ABCD ,2AB =,若该四棱锥的所有顶点都在体积为24316π同一球面上,则PA =( )A .3B .72 C. D .92【命题意图】本题考查空间直线与平面间的垂直和平行关系、球的体积,意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力.7. 设f (x )=(e -x -e x )(12x +1-12),则不等式f (x )<f (1+x )的解集为( )A .(0,+∞)B .(-∞,-12)C .(-12,+∞)D .(-12,0)8. 下列给出的几个关系中:①{}{},a b ∅⊆;②(){}{},,a b a b =;③{}{},,a b b a ⊆;④{}0∅⊆,正确的有( )个A.个B.个C.个D.个9. 已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-5342y x y x x y ,若目标函数mx y z -=取得最大值时有唯一的最优解)3,1(,则实数m 的取值范围是( )A .1-<mB .10<<mC .1>mD .1≥m【命题意图】本题考查了线性规划知识,突出了对线性目标函数在给定可行域上最值的探讨,该题属于逆向问题,重点把握好作图的准确性及几何意义的转化,难度中等. 10.在ABC ∆中,b =3c =,30B =,则等于( )AB. CD .2 11.已知抛物线C :24y x =的焦点为F ,定点(0,2)A ,若射线FA 与抛物线C 交于点M ,与抛 物线C 的准线交于点N ,则||:||MN FN 的值是( )A. B. C.1: D(1 12.下列函数中,定义域是R 且为增函数的是( )A.xy e -= B.3y x = C.ln y x = D.y x =二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在横线上)13.设函数,若用表示不超过实数m的最大整数,则函数的值域为 .14.若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称,且12i z =-,则复数1212||z z z +在复平面内对应的点在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限【命题意图】本题考查复数的几何意义、模与代数运算等基础知识,意在考查转化思想与计算能力. 15.已知a 、b 、c 分别是ABC ∆三内角A B C 、、的对应的三边,若C a A c cos sin -=,则3s i n c o s ()4A B π-+的取值范围是___________. 【命题意图】本题考查正弦定理、三角函数的性质,意在考查三角变换能力、逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想.16.如图所示,圆C 中,弦AB 的长度为4,则AB AC ×的值为_______.【命题意图】本题考查平面向量数量积、垂径定理等基础知识,意在考查对概念理解和转化化归的数学思想.三、解答题(本大共6小题,共70分。
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2016-2017学年上海市长宁区延安中学高三(上)12月月考数学试卷一.填空题1.已知集合U={x|1<x<5,x∈N*},集合A={2,3},则∁U A=.2.已知,则cos(π﹣α)=.3.直线l1:2x﹣y+1=0与直线l2:x﹣y﹣2=0的夹角大小为.4.不等式>|x|的解集为.5.函数f(x)=log2(1+x)(x>0)的反函数f﹣1(x)=.6.设直线ax﹣y+3=0与圆(x﹣1)2+(y﹣2)2=4相交于A、B两点,且弦AB的长为2,则a=.7.已知双曲线C经过点C(1,1),它的一条渐近线方程为.则双曲线C 的标准方程是.8.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,D在斜边BC上,且CD=3DB,则=.9.若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线的焦距为.10.等比数列{a n}的前n项和为S n,若对于任意的正整数k,均有a k=(S n ﹣S k)成立,则公比q=.11.下列有关平面向量分解定理的四个命题中,所有正确命题的序号是.(填写命题所对应的序号即可)①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基;②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基;③平面向量的基向量可能互相垂直;④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线12.设点M(m,0)在椭圆的长轴上,点P是椭圆上任意一点,当|MP|最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,则实数m的取值范围是.13.函数f(x)的定义域为实数集R,f(x)=对于任意的x∈R都有f(x+1)=f(x﹣1).若在区间[﹣1,3]上函数g(x)=f(x)﹣mx﹣m 恰有四个不同的零点,则实数m的取值范围是.14.已知{a n}是等差数列,记b n=a n a n+1a n+2(n为正整数),设S n为{b n}的前n项和,且3a5=8a12>0,则当S n取最大值时,n=.二.选择题15.已知条件p:log2(x﹣1)<1的解,q:x2﹣2x﹣3<0的解,则p是q的()条件.A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要16.若方程x2cosα﹣y2sinα+2=0所表示的曲线为双曲线,则圆x2+y2+2xcosα﹣2ysinα=0的圆心在()A.第一或第三象限 B.第二或第四象限C.第一或第二象限 D.第三或第四象限17.现有某种细胞100个,其中有约占总数的细胞每小时分裂一次,即由1个细胞分裂成2个细胞,按这种规律发展下去,要使细胞总数超过1010个,需至少经过()A.42小时B.46小时C.50小时D.52小时18.已知f(x)是定义在R上的增函数,函数y=f(x﹣1)的图象关于点(1,0)对称,若实数m,n满足等式,则的取值范围是()A.B.C.D.[1,3]19.如图,在xoy平面上,点A(1,0),点B在单位圆上,∠AOB=θ(0<θ<π)(1)若点B(﹣,),求tan(+)的值;(2)若+=,四边形OACB的面积用Sθ表示,求Sθ+•的取值范围.20.已知椭圆(a>b>0),右焦点,点在椭圆上;(1)求椭圆C的标准方程;(2)是否存在过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点,且∠AFB=90°?若存在,请求出所有符合要求的直线;若不存在,请说明理由.21.某厂预计从2016年初开始的前x个月内,市场对某种产品的需求总量f(x)(单位:台)与月份x的近似关系为:f(x)=x(x+1)(35﹣2x),x∈N*且x≤12;(1)写出2016年第x个月的需求量g(x)与月份x的关系式;(2)如果该厂此种产品每月生产a台,为保证每月满足市场需求,则a至少为多少?22.设f(x)是定义在[a,b]上的函数,若存在,使得f(x)在上单调递增,在上单调递减,则称f(x)为[a,b]上的单峰函数,称为峰点,包含峰点的区间称为含峰区间;(1)判断下列函数:①f1(x)=x﹣2x2,②f2(x)=|log2(x+0.5)|,哪些是“[0,1]上的单峰函数”?若是,指出峰点,若不是,说明理由;(2)若函数f(x)=ax3+x(a<0)是[1,2]上的单峰函数,求实数a的取值范围;(3)设f(x)是[a,b]上的单峰函数,若m,n∈(a,b),m<n,且f(m)≥f(n),求证:(a,n)为f(x)的含峰区间.23.设数列{a n},对任意n∈N*都有(kn+b)(a1+a n)+p=2(a1+a2…+a n),(其中k、b、p是常数).(1)当k=0,b=3,p=﹣4时,求a1+a2+a3+…+a n;(2)当k=1,b=0,p=0时,若a3=3,a9=15,求数列{a n}的通项公式;(3)若数列{a n}中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”.当k=1,b=0,p=0时,设S n是数列{a n}的前n项和,a2﹣a1=2,试问:是否存在这样的“封闭数列”{a n},使得对任意n∈N*,都有S n≠0,且.若存在,求数列{a n}的首项a1的所有取值;若不存在,说明理由.2016-2017学年上海市长宁区延安中学高三(上)12月月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1.已知集合U={x|1<x<5,x∈N*},集合A={2,3},则∁U A={4} .【考点】补集及其运算.【分析】由题意全集U={2,3,4},集合A={2,3},然后根据交集的定义和运算法则进行计算.【解答】解:∵全集U={2,3,4},集合A={2,3},∴集合∁U A={4},故答案为:{4}2.已知,则cos(π﹣α)=﹣.【考点】运用诱导公式化简求值.【分析】由条件利用诱导公式求得cosα的值,可得要求式子的值.【解答】解:∵已知=cosα,则cos(π﹣α)=﹣cosα=﹣,故答案为:.3.直线l1:2x﹣y+1=0与直线l2:x﹣y﹣2=0的夹角大小为arctan.【考点】两直线的夹角与到角问题.【分析】利用两条直线的夹角公式求得直线l1:2x﹣y+1=0与直线l2:x﹣y﹣2=0的夹角的值.【解答】解:直线l1:2x﹣y+1=0的斜率为k1=2,直线l2:x﹣y﹣2=0的斜率为k2=1,设直线l1:2x﹣y+1=0与直线l2:x﹣y﹣2=0的夹角为θ,则tanθ=||=,∴直线l1:2x﹣y+1=0与直线l2:x﹣y﹣2=0的夹角为θ=arctan,故答案为:.4.不等式>|x|的解集为(0,2).【考点】其他不等式的解法.【分析】不等式即>0,显然x<0时不成立.当x>0时,根据<0,求得不等式的解集.【解答】解:当x<0时,>﹣x,即>0,显然x<0时不成立.当x>0时,<0,解得0<x<2,所以不等式的解集为(0,2),故答案为:(0,2).5.函数f(x)=log2(1+x)(x>0)的反函数f﹣1(x)=y=2x﹣1(x>0).【考点】反函数.【分析】根据f(x)=y=log2(1+x)(x>0),求出值域f(x)>0.用x把y表示出来,把x与y互换即可得出.【解答】解:f(x)=y=log2(1+x)∵x>0,∴y>0,由y=log2(1+x),可得:x=2y﹣1∴y=2x﹣1(x>0)故答案为:y=2x﹣1(x>0)6.设直线ax﹣y+3=0与圆(x﹣1)2+(y﹣2)2=4相交于A、B两点,且弦AB的长为2,则a=0.【考点】直线与圆的位置关系.【分析】由弦长公式可得圆心到直线的距离为=1,再由点到直线的距离公式可得=1,由此求得a的值.【解答】解:由于圆(x﹣1)2+(y﹣2)2=4的圆心C(1,2),半径等于2,且圆截直线所得的弦AB的长为2,故圆心到直线ax﹣y+3=0的距离为=1,即=1,解得a=0,故答案为0.7.已知双曲线C经过点C(1,1),它的一条渐近线方程为.则双曲线C的标准方程是.【考点】双曲线的标准方程.【分析】根据题意,双曲线C的一条渐近线方程为,则可将双曲线的方程设为y2﹣3x2=λ(λ≠0),将点C坐标代入可得λ的值,进而可得答案.【解答】解:根据题意,双曲线C的一条渐近线方程为,则可设双曲线的方程为y2﹣3x2=λ(λ≠0),将点C(1,1)代入可得λ=﹣2,.故答案为:.8.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,D在斜边BC上,且CD=3DB,则=27.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】根据平面向量的线性表示与数量积运算,即可求出对应的结果.【解答】解:△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,CD=3DB,∴==(﹣),∴=•(﹣)=﹣•=×62﹣×0=27.故答案为:27.9.若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线的焦距为或.【考点】椭圆的简单性质.【分析】求出等比中项,然后求解焦距即可.【解答】解:m是2和8的等比中项,可得m=±4,当m=4时,曲线是椭圆,可得a=2,c=,则2c=2.当m=﹣4时,曲线是双曲线,此时,a=1,b=2,c=,2c=2.故答案为:或.10.等比数列{a n}的前n项和为S n,若对于任意的正整数k,均有a k=(S n﹣S k)成立,则公比q=.【考点】等差数列的前n项和.【分析】由已知条件推导出a2=a1,从而得到q﹣q2=q2,由此能求出公比q=.【解答】解:等比数列{a n}的前n项和为S n,对于任意的正整数k,均有a k=(S n﹣S k)成立,∴a n=a1q n﹣1,S n=,a k=(S n﹣S k)=,当k=2时,a2==a1,∴,∴,∴q﹣q2=q2,q(2q﹣1)=0解得q=,或q=0(舍).∴公比q=.故答案为:.11.下列有关平面向量分解定理的四个命题中,所有正确命题的序号是②、③.(填写命题所对应的序号即可)①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基;②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基;③平面向量的基向量可能互相垂直;④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合.【考点】平面向量的基本定理及其意义.【分析】本题考查平面向量基本定理,由定理知可作为平面内所有向量的一组基底的两个向量必是不共线的,由此关系对四个选项作出判断,得出正确选项.【解答】解:根据平面向量基本定理知:①一个平面内任何一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基;故错;②一个平面内有无数多对不平行向量都可作为表示该平面内所有向量的基;故正确;③平面向量的基向量只要不共线,也可能互相垂直;故对;④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个互不平行向量的线性组合.如果是三个不共线的向量,表示法不惟一,故错.故答案为:②、③.12.设点M(m,0)在椭圆的长轴上,点P是椭圆上任意一点,当|MP|最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,则实数m的取值范围是[1,4] .【考点】椭圆的简单性质.【分析】设P(x,y)为椭圆上的动点,由于椭圆方程可得﹣4≤x≤4.由|MP2=(x﹣m)2+y2=(x﹣m)2+12(1﹣)=(x﹣4m)2+12﹣3m2,结合二次函数的性质及椭圆的性质可知,取得最小值4m≥4,结合点M在椭圆的长轴上,可求m得范围【解答】解:设P(x,y)为椭圆上的动点,由于椭圆方程为,故﹣4≤x≤4.|MP2=(x﹣m)2+y2=(x﹣m)2+12(1﹣)=(x﹣4m)2+12﹣3m2∵当|MP|最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,即当x=4时,|MP|2取得最小值,而x∈[﹣4,4],故有4m≥4,解得m≥1.又点M在椭圆的长轴上,所以﹣4≤m≤4.故实数m的取值范围是[1,4].故答案为:1≤m≤4.13.函数f(x)的定义域为实数集R,f(x)=对于任意的x∈R都有f(x+1)=f(x﹣1).若在区间[﹣1,3]上函数g(x)=f(x)﹣mx﹣m恰有四个不同的零点,则实数m的取值范围是(0,] .【考点】函数零点的判定定理.【分析】先确定2是f(x)的周期,作出函数的图象,利用在区间[﹣1,3]上函数g(x)=f(x)﹣mx﹣m恰有四个不同零点,即可求实数m的取值范围.【解答】解:由题意,f(x+2)=f[(1+x)+1]=f[(1+x)﹣1]=f(x),所以2是f(x)的周期令h(x)=mx+m,则函数h(x)恒过点(﹣1,0),函数f(x)=在区间[﹣1,3]上的图象如图所示:由x=3时,f(3)=1,可得1=3m+m,则m=∴在区间[﹣1,3]上函数g(x)=f(x)﹣mx﹣m恰有四个不同零点时,实数m的取值范围是(0,]故答案为:(0,].14.已知{a n}是等差数列,记b n=a n a n+1a n+2(n为正整数),设S n为{b n}的前n项和,且3a5=8a12>0,则当S n取最大值时,n=16.【考点】数列的函数特性.【分析】由3a5=8a12>0,知3a5=8(a5+7d ),a5=﹣56d5>0,所以d <0.由a16=a5+11d=﹣d5>0,a17=a5+12d=4d5<0,知a1>a2>a3>…>a16>0>a17>a18,b1>b2>b3>…>b14>0>b17>b18,由此能够推导出Sn 中S16最大.【解答】解:由b n =a n a n +1a n +2且3a 5=8a 12>0, 所以,3a 5=8(a 5+7d ) 所以,>0,即d <0因为a 16=a 5+11d=,所以,a 1>a 2>…>a 16>0>a 17 所以,b 1>b 2>…>b 14>0>b 17>b 18 因为,b 15=a 15a 16a 17<0,b 16=a 16a 17a 18>0a 15<﹣a 18所以,b 15>﹣b 16即b 15+b 16>0 所以,S 16>S 14 所以S 16最大. 故答案为:16 二.选择题15.已知条件p :log 2(x ﹣1)<1的解,q :x 2﹣2x ﹣3<0的解,则p 是q 的( )条件.A .充分非必要B .必要非充分C .充分必要D .既非充分又非必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】求出p ,q 的等价条件,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【解答】解:由log 2(x ﹣1)<1, 得:0<x ﹣1<2,即1<x <3, 即p :1<x <3,由x 2﹣2x ﹣3<0得﹣1<x <3, 即q :﹣1<x <3,∴p是q的充分不必要条件,故选:A.16.若方程x2cosα﹣y2sinα+2=0所表示的曲线为双曲线,则圆x2+y2+2xcosα﹣2ysinα=0的圆心在()A.第一或第三象限 B.第二或第四象限C.第一或第二象限 D.第三或第四象限【考点】双曲线的简单性质.【分析】由于方程x2cosα﹣y2sinα+2=0所表示的曲线为双曲线,结合三角函数的符号可得,cosα•sinα>0,而圆x2+y2+2xcosα﹣2ysinα=0的圆心坐标为(﹣cosα,sinα)根据其坐标的特点即可得出结论.【解答】解:由于方程x2cosα﹣y2sinα+2=0所表示的曲线为双曲线,∴cosα•sinα>0,而圆x2+y2+2xcosα﹣2ysinα=0的圆心坐标为(﹣cosα,sinα)结合三角函数的符号可得,圆心的横坐标与纵坐标符号相反,故其位置在第二或第四象限.故选B.17.现有某种细胞100个,其中有约占总数的细胞每小时分裂一次,即由1个细胞分裂成2个细胞,按这种规律发展下去,要使细胞总数超过1010个,需至少经过()A.42小时B.46小时C.50小时D.52小时【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域.【分析】根据分裂的规律得到细胞总数y与时间x(小时)之间的函数关系为:y=100×x∈N*,再建立不等式求解.【解答】解:根据分裂的规律得到细胞总数y与时间x(小时)之间的函数关系为:y=100×x∈N*,由y=100×>1010,解得>108,即xlg>8,即x>≈45.45.∴x>45.45,故经过46小时,细胞总数超过1010个.18.已知f(x)是定义在R上的增函数,函数y=f(x﹣1)的图象关于点(1,0)对称,若实数m,n满足等式,则的取值范围是()A.B.C.D.[1,3]【考点】函数与方程的综合运用.【分析】由函数f(x)是递增函数,且y=f(x﹣1)的图象关于点(1,0)对称,可得函数f(x)是奇函数,再结合f(n﹣3)+f()=0可得(n﹣3)+=0,进而利用数形结合求出结果.【解答】解:f(x)是定义在R上的增函数,且函数y=f(x﹣1)的图象关于点(1,0)对称,所以函数f(x)是奇函数;又f(n﹣3)+f()=0,所以(n﹣3)+=0,且4m﹣m2﹣3≥0;即,画出不等式组表示的图形,如图所示;则实数m,n表示一段圆弧,所以表示圆弧上的点(m,n)与点(0,0)连线的斜率,所以结合图象可得:的最大值是直线OA的斜率,为=3,最小值是直线OB的斜率,不妨设为k,则,消去n,得(m﹣2)2+(km﹣3)2=1,整理得(k2+1)m2﹣(6k+4)m+12=0,令△=(6k+4)2﹣4×12×(k2+1)=0,化简得3k2﹣12k+8=0,解得k=2±,应取k=2﹣为最小值;所以的取值范围是:[2﹣,3].故选:C.三.解答题19.如图,在xoy平面上,点A(1,0),点B在单位圆上,∠AOB=θ(0<θ<π)(1)若点B(﹣,),求tan(+)的值;(2)若+=,四边形OACB的面积用Sθ表示,求Sθ+•的取值范围.【考点】平面向量数量积的运算;三角函数线.【分析】(1)利用任意角的三角函数定义可得sinθ,cosθ,再利用半角公式和两角和差的正切公式=即可得出;(2)利用向量的数量积运算法则、平行四边形的面积计算公式可得=sinθ+cosθ+1,再利用两角和的正弦公式即可得出.【解答】解:(1)∵B,∠AOB=θ,∴cosθ=﹣,.∴==2.∴===﹣3.(2)Sθ=|OA||OB|sinθ=sinθ,∵=(1,0),=(cosθ,sinθ),∴=+=(1+cosθ,sinθ),∴=1+cosθ,∴=sinθ+cosθ+1=+1(0<θ<π),∵,∴≤1,∴.20.已知椭圆(a>b>0),右焦点,点在椭圆上;(1)求椭圆C的标准方程;(2)是否存在过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点,且∠AFB=90°?若存在,请求出所有符合要求的直线;若不存在,请说明理由.【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.【分析】(1)根据焦点坐标和D点坐标列方程组求出a2,b2即可;(2)对直线l的斜率进行讨论,使用根与系数的关系计算,根据计算结果是否为0得出结论.【解答】解:(1)由题意可知,解得a2=4,b2=2,∴椭圆C的标准方程为:.(2)若直线l无斜率,则直线l的方程为x=0,∴A(0,),B(0,﹣),又F(,0),∴∠AFB=∠AFO+∠BFO=90°,符合题意;若直线l有斜率,设直线l的方程为y=kx,联立方程组,消元得(1+2k2)x2=4,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=0,x1•x2=﹣,y1y2=﹣.∴=(x1﹣,y1),=(x2﹣,y2),∴=(x1﹣)(x2﹣)+y1y2=x1x2﹣(x1+x2)+2+y1y2=﹣+2﹣=﹣≠0,∴与不垂直,即∠AFB≠90°.综上,存在过原点的直线l使得∠AFB=90°,直线l的方程为x=0.21.某厂预计从2016年初开始的前x个月内,市场对某种产品的需求总量f(x)(单位:台)与月份x的近似关系为:f(x)=x(x+1)(35﹣2x),x∈N*且x≤12;(1)写出2016年第x个月的需求量g(x)与月份x的关系式;(2)如果该厂此种产品每月生产a台,为保证每月满足市场需求,则a至少为多少?【考点】函数模型的选择与应用.【分析】(1)把x=1代入到f(x)得到f(1)即为g(1),当x≥2时,g(x)=f (x)﹣f(x﹣1)化简得出解析式;(2)对一切x∈{1,2,12}有ax≥f(x)列出不等式得到a≥一个函数,求出函数的最大值得到a的取值范围.【解答】解:(1)g(1)=f(1)=1×2×33=66,g(x)=f(x)﹣f(x﹣1)=x(x+1)(35﹣2x)﹣[(x﹣1)x(35﹣2(x﹣1)],=﹣6x2+72x.当x=1时,g(x)=﹣6x2+72x=66=g(1).∴g(x)=﹣6x2+72x;(2)依题意,对一切x∈{1,2,…,12}有ax≥f(x).∴a≥(x+1)(35﹣2x),x∈{1,2,…,12}.设h(x)=﹣2(x﹣)2+35+,∴h(x)max=h(8)=171.故a≥171.故保证每月满足市场需求,则a至少应为171台.22.设f(x)是定义在[a,b]上的函数,若存在,使得f(x)在上单调递增,在上单调递减,则称f(x)为[a,b]上的单峰函数,称为峰点,包含峰点的区间称为含峰区间;(1)判断下列函数:①f1(x)=x﹣2x2,②f2(x)=|log2(x+0.5)|,哪些是“[0,1]上的单峰函数”?若是,指出峰点,若不是,说明理由;(2)若函数f(x)=ax3+x(a<0)是[1,2]上的单峰函数,求实数a的取值范围;(3)设f(x)是[a,b]上的单峰函数,若m,n∈(a,b),m<n,且f(m)≥f(n),求证:(a,n)为f(x)的含峰区间.【考点】函数与方程的综合运用.【分析】(1)依次判断各函数在(0,1)上是否存在极大值点即可得出结论;(2)求出f(x)的极大值点,令极大值点在区间(1,2)上即可;(3)利用f(x)的单调性得出f(x)的峰点在区间(a,n)上即可.【解答】解:(1)①f1′(x)=1﹣4x,令f1′(x)=0得x=,当0时,f1′(x)>0,当时,f1′(x)<0,∴f1(x)在[0,]上单调递增,在[,1]上单调递减,∴f1(x)是[0,1]上的单峰函数,峰点为;②当x∈[0,1]时,f2(x)=|log2(x+0.5)|=.∴f2(x)在[0,0.5]上单调递减,在[0.5,1]上单调递增,∴f2(x)不是[0,1]上的单峰函数;(2)f′(x)=3ax2+1,令f′(x)=0得x=±,当x<﹣时,f′(x)<0,当﹣<x<时,f′(x)>0,当x>时,f′(x)<0,∴x=是f(x)的极大值点,∵函数f(x)是[1,2]上的单峰函数,∴1<<2,解得:.(3)证明:∵f(x)是[a,b]上的单峰函数,∴存在x0∈(a,b),使得f(x)在(a,x0)上单调递增,在(x0,b)上单调递减,假设n≤x0,则f(x)在(m,n)上是增函数,∴f(m)<f(n),与f(m)≥f(n)矛盾;∴假设错误,故n>x0,∴f(x)在(a,x0)上单调递增,在(x0,n)上单调递减,∴(a,n)为f(x)的含峰区间.23.设数列{a n},对任意n∈N*都有(kn+b)(a1+a n)+p=2(a1+a2…+a n),(其中k、b、p是常数).(1)当k=0,b=3,p=﹣4时,求a1+a2+a3+…+a n;(2)当k=1,b=0,p=0时,若a3=3,a9=15,求数列{a n}的通项公式;(3)若数列{a n}中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”.当k=1,b=0,p=0时,设S n是数列{a n}的前n项和,a2﹣a1=2,试问:是否存在这样的“封闭数列”{a n},使得对任意n∈N*,都有S n≠0,且.若存在,求数列{a n}的首项a1的所有取值;若不存在,说明理由.【考点】数列与不等式的综合;数列递推式.【分析】(1)当k=0,b=3,p=﹣4时,3(a1+a n)﹣4=2(a1+a2…+a n),再写一式,两式相减,可得数列{a n}是以首项为1,公比为3的等比数列,从而可求a1+a2+a3+…+a n;(2)当k=1,b=0,p=0时,n(a1+a n)=2(a1+a2…+a n),再写一式,两式相减,可得数列{a n}是等差数列,从而可求数列{a n}的通项公式;(3)确定数列{a n}的通项,利用{a n}是“封闭数列”,得a1是偶数,从而可得,再利用,验证,可求数列{a n}的首项a1的所有取值.【解答】解:(1)当k=0,b=3,p=﹣4时,3(a1+a n)﹣4=2(a1+a2…+a n),①用n+1去代n得,3(a1+a n+1)﹣4=2(a1+a2…+a n+a n+1),②②﹣①得,3(a n+1﹣a n)=2a n+1,a n+1=3a n,在①中令n=1得,a1=1,则a n≠0,∴,∴数列{a n }是以首项为1,公比为3的等比数列,∴a 1+a 2+a 3+…+a n =.(2)当k=1,b=0,p=0时,n (a 1+a n )=2(a 1+a 2…+a n ),③用n +1去代n 得,(n +1)(a 1+a n +1)=2(a 1+a 2…+a n +a n +1),④④﹣③得,(n ﹣1)a n +1﹣na n +a 1=0,⑤用n +1去代n 得,na n +2﹣(n +1)a n +1+a 1=0,⑥⑥﹣⑤得,na n +2﹣2na n +1+na n =0,即a n +2﹣a n +1=a n +1﹣a n ,∴数列{a n }是等差数列.∵a 3=3,a 9=15,∴公差,∴a n =2n ﹣3.(3)由(2)知数列{a n }是等差数列,∵a 2﹣a 1=2,∴a n =a 1+2(n ﹣1). 又{a n }是“封闭数列”,得:对任意m ,n ∈N *,必存在p ∈N *使a 1+2(n ﹣1)+a 1+2(m ﹣1)=a 1+2(p ﹣1),得a 1=2(p ﹣m ﹣n +1),故a 1是偶数,又由已知,,故.一方面,当时,S n =n (n +a 1﹣1)>0,对任意n ∈N *,都有.另一方面,当a 1=2时,S n =n (n +1),,则,取n=2,则,不合题意.当a 1=4时,S n =n (n +3),,则,当a 1≥6时,S n =n (n +a 1﹣1)>n (n +3),,,又, ∴a 1=4或a 1=6或a 1=8或a 1=10.。