勾股定理培优含答案

5

20 15 10

C

A

B

J

I

H

G

F E

D C B

A 勾股定理培优

1．如图，P 是正△ABC 内一点，且PA ＝6，PB ＝8，PC ＝10，若将△PAC 绕点A 逆时针旋转后，得到△P'AB ，则点P 与P'之间的距离为PP'＝_______，∠APB ＝_______度．

6 150 2．（2009恩施市）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（ ） A ．521 B ．25 C ．1055+ D ．35 【答案】B

3、设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以第二个正方形的对角线AF 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去……

（1）记正方形ABCD 的边长11a =，依上述方法所作的正方形的边长依次为234,,...n a a a a 求出

234,,a a a 的值。（2）根据上述规律写出第n 个正方形的边长n a 的表达式

4. （2011山西，18，3分）如图，已知AB =12，AB ⊥BC 于B ，AB ⊥AD 于A ，AD =5，BC =10，点E 是CD 的中点，则AE 的长是_______.

【答案】

13

2

提示：延长AE 交BC 于F.证BC=CF=5.； 5（2009年·綦江中考）如图，点A 的坐标是(2,2)，若点P 在x 轴上，且△APO 是等腰三角形，则点P 的坐标不可能是（ ） A ．（4，0） B ．（1，0） C ．

(220)-， D ．

（2，0）

【解析】B 本题需要分情况讨论，当AO 是腰，A 是顶点时，点P 的坐标为（4，0） ；当AO 是腰，O 是顶点时，点P 的坐标为(220)， 或(220)-，；当点P

为顶点时，点P 的坐标为（2，0）.

（第3题）

A

B

C

D F G

H

E

6、四边形ABCD 中∠DAB ＝60 ，∠B ＝∠D ＝90°，BC ＝1，CD ＝2 求对角线AC 的长

6、解：延长BC 和AD 相交于E ，则∠E ＝30

∴CE ＝2CD ＝4， 在Rt △ABE 中 设AB 为x,则AE ＝2x 根据勾股定理x 2

+52

=(2x)2

, x 2

=

325,在Rt △ABC 中，AC ＝221+x ＝1325+＝213

2 7、已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝2∠A

求证：AB 2－BC 2

＝AB ×BC

7、证明：作∠B 的平分线交AC 于D ，

则∠A ＝∠ABD ， ∠BDC ＝2∠A ＝∠C ∴AD ＝BD ＝BC 作BM ⊥AC 于M ，则CM ＝DM AB 2－BC 2＝（BM 2＋AM 2）－（BM 2＋CM 2） ＝AM 2－CM 2

＝（AM ＋CM ）（AM －CM ）

＝AC ×AD ＝AB ×BC

8. 如图，已知O 是矩形ABCD 内一点，且OA=1，OB=3，OC=4，那么OD 的长为（ ） A.2; B.22; C.23; D.3

8．B 如图，过O 作EF ⊥AD 于E ，交BC 于F ；过O 作GH ⊥DC 于G ，交AB 于H

设CF=x ，FB = y, AH = s, HB = t, 所以OG=x, DG = s

所以OF 2

=OB 2

- BF 2

=OC 2

-CF 2

即42

- x 2

= 32

- y 2

所以x 2

- y 2= 16 – 9 =7 （1）

同理有OH 2

=12

- s 2

= 32

- t 2

,所以t 2

- s 2

= 32

- 12

= 8 （2） 又因为OH 2

+HB 2

=OB 2

即y 2

+ t 2

= 9 （1）-（2）得(x 2

+s 2

) – (y 2

+ t 2

) = – 1

所以OD 2=x 2+ s 2= (y 2+ t 2

) – 1 = 9 – 1 = 8所以OD=22

9、已知：正方形ABCD 的边长为1，正方形EFGH 内接于ABCD ，AE ＝a ，AF ＝b,且S EFGH

＝3

2 求：a b -的值

9、解：根据勾股定理

a 2

+b 2

=EF 2

＝S EFGH ＝32

;① ∵4S △AEF ＝S ABCD －S EFGH ∴ 2ab=3

1 ② ① －②得 （a-b ）2

=31 ∴a b -＝

3

3 2

1

D

A

B

C E

B

C

A

D M