从一道中考题谈几何教学中的基本图形.

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中考数学复习：专题9-8 中考数学基本几何模型探究

中考数学基本几何模型探究【专题综述】许多中考试题都是以教材的例题、习题为背景，经过命题专家巧妙构思编拟而成.中考试题的权威性和导向性是由命题专家独具匠心精心打造的，其思路和方法常具有类比迁移和拓广探索性.因此，教师在教学中若能引导学生提炼出基本几何模型，用基本几何模型解决问题，则能提高学习效率，提升创新创造能力.【方法解读】一、中考试题呈现和探源题目如图1，正方形ABCD 的边长为3cm, ,P Q 分别从,B A 出发沿,BC AD 方向运动，P 点的运动速度是1cm/秒，Q 点的运动速度是2 cm/秒.连结AP 并过点Q 作QE AP ⊥，垂足为E . (1)求证:ABP QEA ;(2)当运动时间t 为何值时，ABP QEA ≅?(3)设QEA 的面积为y ，用运动时间t 表示QEA 的面积y .(不要求考虑t 的取值范围) (提示:解答(2)(3)时可不分先后)此题动静分明，梯度清晰，较好考察了学生全等、相似、函数的有关知识.仔细观察，不难看出此题由课本题变化而来.课本原题为:如图2，四边形ABCD 是正方形，点G 是边BC 的中点，,//DE AG BF DE ⊥交AG 于点F ，求证: AF BF EF -=.(人教版义务教育教科书八年级数学2013年10月第一版P62页第15题) 将此题的条件“//BF DE 交AG 于点F ”去掉，即可变为上述中考题. 二、探寻基本图形和基本模型由课本习题和中考题不难找出它们蕴含的基本图形和几何模型:如图3，在正方形ABCD 中，点,E F 分别在边,BC CD 上，,AE BF 交于点O .性质1 若AE BF ⊥，则AE BF = (或BE CF =). 性质2 若AE BF = (或BE CF =)，则AE BF ⊥.性质3 若点O 是中心对称图形的对称中心，且AE BF ⊥，则,AE BF 把该图形的面积四等分. 若将线段,AE BF 分别平移到,GH EF 处(如图4)，结论EF GH =仍成立.由于以上主要利用直角和互余的性质，不难猜想到若由正方形变为矩形，会有三角形相似和对应线段成比例.如图5，在矩形ABCD 中，点,E F 分别在,AB AD 上，且DE CF ⊥，则DE ADCF CD=. 若将线段,DE CF 分别平移到,NM HQ 处(如图6)，结论MN ADQH CD=仍成立.由以上图形可提炼出如下模型:模型1 正方形+线段垂直(或线段相等)=线段相等(或线段垂直)模型2 中心对称图形+线段垂直(或面积四等分)=面积四等分(或线段垂直) 模型3 矩形+线段垂直(或线段成比例)=线段成比例(或线段垂直) 三、模型解题提升能力 1、用模型1解决问题例1 已知:如图7，在正方形ABCD 中，点E 在边CD 上，AQ BE ⊥于点,Q DP AQ ⊥于点P . (1)求证: AP BQ =;(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ 的长.分析由模型1易得AQ DP =，得本题证明思路是证全等形，进而得AP BQ =，由全等形可得AQ BQ PQ -=或PD AP PQ -=.例2 如图8，正方形ABCD 的面积为3cm 2, E 为BC 边上一点，30BAE ∠=︒,F 为AE 的中点，过点F 作直线分别与,AB DC 相交于点,M N ，若MN AE =，则AM 的长等于 cm.分析由模型2可得MN AE ⊥，用勾股定理和30BAE ∠=︒，求得AE =2，则AF =1，所以3AM =2、用模型2解决问题例3 问题探究(在图9中作出两条直线，使它们将圆的面积四等分.(2)如图10, M 是正方形ABCD 内一定点，在图9中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M )，使正方形ABCD 的面积四等分，并说明理由.问题解决(3)如图11，在四边形ABCD 中，//,AB CD AB CD BC +=，点P 是AD 的中点.如果,AB a CD b ==，且b a >，那么在边BC 上是否存在一点Q ，使PQ 所在的直线将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分?若存在，求出PQ 的长;若不存在，说明理由.分析 (1)据模型2，只要作两条过圆心且互相垂直的直线即可，如图9所示.(2)据模型2，过点M 和正方形ABCD 对角线的交点O 作直线OM ，分别交,AD BC 于,P Q 两点，再过点O 作OM 的垂线，交,AB CD 于,E F 两点，则直线,OM EF 将正方形ABCD 的面积四等分，如图10所示.(3)如图11，延长BA 至点E ，使AE b =,延长CD 至F 点，使DF a =，连结EF .由//,BC CF BC BE CF a b ===+，易证四边形BCEF 是菱形，连结BF 交AD 于点M ，则MAB MDF ≅，得AM DM =，所以点M 与P 重合，点P 是菱形对角线的交点.在BC 上截取BQ CD b ==，则CQ AB a ==.设点P 到菱形一边的距离为d ，则1()2ABP QBP S S AB BQ ∆∆+=+1()2CQ CD d =+ CPQ CPD S S ∆∆=+.所以，当BQ b =时，直线PQ 将四边形ABCD 分成面积相等的两部分. 3、用模型3解题例3 探究证明(1)某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明.如图12，矩形ABCD 中，,EF GH EF ⊥分别交,AB CD 于点,,E F GH 分别交,AD BC 于点,G H .求证:EF ADGH AB=.结论应用(2)如图13，在满足(1)的条件下，又AM BN ⊥，点,M N 分别在边,BC CD 上，若1115EF GH =,则BNAM的值为 . 联系拓展(3)如图14，四边形ABCD 中，90,10,5,ABC AB AD BC CD AM DN ∠=︒====⊥,点,M N 分别在边,BC AB 上，求DNAM的值.分析 (1)由模型3，过点A 作//AP EF ,交CD 于P ，过点B 作//BQ GH ，交AD 于Q ，如图15，易证,,AP EF GH BQ PDA QAB ==∆∆，然后运用相似三角形的性质就可解决问题.(2)只需运用(1)中的结论,可得到EF AD BNGH AB AM==，就可解决问题.(3)过点D 作平行于AB 的直线，交过点A 平行于BC 的直线于点R ，交BC 的延长线于点S ，如图16，易证四边形ABSR 是矩形，由模型3可得DN ARAM AB=. 设,SC x DS y ==，则5,10AR BS x RD y ==+=-，在Rt CSD 中，根据勾股定理，可得2225x y+=. ①在Rt ARD中，根据勾股定理，可得22(5)(10)100x y++-=.②解①②就可求出x，即可得到AR，问题得以解决.【强化训练】1. （2017四川省广元市）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连结DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②tan∠CAD=2；③DF=DC；④CF=2AF，正确的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④2．（2017四川省泸州市）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE 的值是（）A．24B．14C．13D．233. （2017湖北省十堰市）如图，正方形ABCD中，BE=EF=FC，CG=2GD，BG分别交AE，AF于M，N．下列结论：①AF⊥BG；②BN=43NF；③38BMMG=；④12CGNF ANGDS S=．其中正确的结论的序号是．4. （2017四川省广安市）如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是了AB、AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G，求证：A F=BE．5. （2017浙江省宁波市）如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE=4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于G，F两点．若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为（）A．3B．23C．13D．46. （2017丽水）如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连接BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连接AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设ADn AE．（1）求证：A E=GE；（2）当点F落在AC上时，用含n的代数式表示ADAB的值；（3）若AD=4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值．7. （2017江苏省南通市）如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．（1）求证：四边形BPEQ是菱形；（2）若AB=6，F为AB的中点，OF+OB=9，求PQ的长．8. （2016内蒙古赤峰市）如图，正方形ABCD的面积为3cm2，E为BC边上一点，∠BAE=30°，F为AE 的中点，过点F作直线分别与AB，DC相交于点M，N．若MN=AE，则AM的长等于cm．9. （2016内蒙古包头市）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=度．10. （2016广西贺州市）如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB=3，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）。

几何解题研究的方法与思考——以一道中考试题为例

几何解题研究的方法与思考——以一道中考试题为例胡坚波收稿日期：2020-09-23作者简介：胡坚波（1981—），男，中学一级教师，主要从事初中数学课堂教学研究.摘要：解题教学是必不可少的一种课堂教学形式，教师解题研究的能力直接影响到学生对问题理解的深度.教师只有掌握了解题研究的一般方法，才能在课堂中引导学生抓住问题的本质，从而优化解法，并进一步带领学生发现问题、提出问题、解决问题，进而得到一般性的结论，最终提高学生的解题能力、培养学生的数学学科核心素养.文章以2020年中考浙江杭州卷第14题的研究为例，谈谈几何解题研究的一般方法．关键词：中考试题；解题研究；一般方法中考试题的命制往往有其意义，一道看似不起眼的试题，其中很可能蕴含着丰富的内容.如果继续探究下去，或许就能发现试题背后隐藏的深意，从而体现解题的育人价值.本文以2020年中考浙江杭州卷第14题为例，谈谈应该怎样进行几何解题的研究.题目（2020年浙江·杭州卷）如图1，已知AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点B ，连接AC ，OC.若sin ∠BAC =13，则tan ∠BOC 的值为.COAB图1作为填空题的第4道题，试题本身不难，主要考查了三角函数的相关知识.不妨设BC =1，则AC =3.解得AB =22，OB =2.则tan ∠BOC作为填空题，此题的求解到这里就结束了，但是作为解题研究，现在才刚刚开始.一、获得研究对象研究图形要抓住图形的本质，为了更容易抓住本质，几何研究要做减法，即去掉非关键因素.此题中，可以隐去圆，那么题目条件等价于“如图2，∠ABM =90°，点C 在射线BM 上，O 是AB 的中点”.观察图形的结构，不难发现，若点C 的位置确定了，则整个图形的形状就随之确定，即∠BOC ，∠BAC ，∠ACO ，∠BCO 的度数也随之确定.原试题就是在确定的条件下进行的定量研究，而研究图形变化过程中的规律性也是几何研究的常见问题.在图2中，当点C 的位置变化时，∠BOC ，∠BAC ，∠ACO ，∠BCO 的大小也随之改变.当点C 从点B 向射线BM 的方向移动时，容易发现∠BOC 和∠BAC 的度数变大，∠OCB 的度数变小，但无法很快确定∠ACO 的变化情况.接下来，我们进一步探究∠ACO 的变化情况.CO ABM 图2··56二、借助技术获得初步猜想几何问题的研究一般要经历画图、测量、计算、猜想、证明的过程.几何画板软件为我们画图、测量、计算提供了很好的辅助.利用几何画板软件对复杂的问题进行初步研究、获得猜想，是常见的研究起点.利用几何画板软件，发现当点C 从点B 向射线BM 的方向移动时，∠ACO 的度数先变大后变小，且∠ACO 取到的最大值约为19.47°（如图3）.进一步计算，发现此时sin ∠ACO ≈0.33.∠OCA =19.47°∠CAO =35.58°sin∠OCA =0.33M ABCO图3猜想：如图3，当∠ABM =90°，点O 是AB 的中点时，射线BM 上存在点C ，使得∠ACO 取到最大值，此时sin ∠ACO ＝13.三、从“数”的角度验证猜想通过利用几何画板软件进行探究，发现点C 的位置决定了∠ACO 的大小，而点C 的位置可以用BC 的长度来刻画，所以继续探究的思路是用BC 的长度表示sin ∠ACO.为了研究方便，不妨设AB =2，BC =x ，根据勾股定理，得OC 2=1+x 2，AC 2=4+x 2.因为S △ACO =12AC ·OC ·sin ∠ACO =12AO ·BC ，所以sin ∠ACO =x x 4+5x 2+4=14因为x 2＋4x 2≥4，所以当x 2=4x 2，即x =2时，x 2＋4x 2的最小值为4.所以得到sin ∠ACO ≤13，即当BC =2时，sin ∠ACO 取最大值13，猜想得证.四、从“形”的角度验证猜想前面我们从“数”的角度验证了猜想，接下来我们从“形”的角度来思考.抓住变化过程中不变的关系是研究几何问题的常用方法.进一步观察图形，我们发现当点C 的位置发生改变时，∠ACO 所对的边AO 的长度始终没有发生变化.即角度在变，角度所对的边不变.这让我们联想到了圆中同弦所对的角.构造过A ，C ，O 三点的⊙D.如图4，若⊙D 与射线BM 相交，设另一个交点为点E.在线段CE 上任意取一点F （除点C ，E 外），连接AF ，OF ，根据圆内角大于同弧所对的圆周角，可得∠AFO ＞∠ACO.故可知此时∠ACO 的度数并没有取得最大值.图4图5如图5，若⊙D 与射线BM 相切于点C ，在射线BM 上任意取一点G （除点C 外），连接AG ，OG ，根据圆外角小于同弧所对的圆周角，可得∠AGO ＜∠ACO.故此时∠ACO 取到最大值，于是得到第一个有价值的结论.结论1：∠ACO 取到最大值的充要条件是过A ，C ，O 三点的⊙D 与射线BM 相切.接下来，求此时∠ACO 的正弦值及BC 的长.可以沿用前面的解题思路，分别求出线段AO ，OC ，AC ，BC 的长度，再利用△ACO 的面积求解.解法1：如图6，连接DC ，AD ，作DH ⊥AO.H O ABCDM图6不妨设AO =BO =1，则AH =OH =12，BH =32.因为⊙D 与射线BM 相切于点C ，所以DC ⊥BC.因为∠B =90°.··57所以四边形BCDH为矩形.所以AD=DC=BH=32.在Rt△ADH中，由勾股定理，得DH=2.所以BC=DH=2.由勾股定理，得OC=3，AC=6.由S△ACO=12AC·OC·sin∠ACO=12AO·BC，代入解得sin∠ACO=13.显然，求解过程还是有些复杂，不妨进一步思考，此图形还有什么特殊性可以应用？从圆的视角看，⊙D与射线BM相切，∠ACO为圆周角，解法豁然开朗.解法2：利用圆周角定理，可以转化到圆心角进行求解，可得∠ADH=∠ACO.所以sin∠ACO=sin∠ADH=AHAD=13.利用圆幂定理，可得BC2=BO·BA.解得BC=2.解法2抓住了问题的本质，解法也更优化、更简洁.“数”和“形”两种思考方法都能验证猜想，可见这也是我们解决几何问题的一般思路.对比两种思路，从“数”的角度思考，往往需要设未知变量，再利用勾股定理、相似、面积关系、三角函数等，列出未知变量与所求量之间的关系，然后用代数的方法求解；从“形”的角度思考，往往需要根据图形的结构，抓住图形中不变的关系，构建出几何模型，再根据图形性质求解.用“数”的方法容易想到，但计算较复杂；用“形”的方法比较直观，计算也相对简单，但是要弄清楚几何模型结构有一定的难度，需要的知识综合度高，也需要一定的逻辑推理.数形结合的思想方法在教学中有其育人价值，在解题教学中我们应让学生经历基本的活动经验，这样才能培养学生必需的基本数学思想.五、追本溯源其实，本问题在数学史中已经存在，称为“米勒问题”.德国数学家米勒于1471年提出“塑像问题”：有一个高a米的塑像立在一个高b米的底座上，一个人朝它走去（人的高度忽略不计），问此人应站在离塑像底座多远的地方，才能使塑像看上去最大（即视角最大）？根据题意画出图形，如图7，AO为雕像，BO为底座，点C表示人，求∠ACO最大时，BC的长.ABO图7这与我们研究的问题非常相似，只是点O的位置不再是中点，这为我们进一步研究问题提供了思路，即可以改变图形的条件，使之更具一般性，进而获得一般性的结论，这是我们进一步研究几何问题的方向.六、改变条件进一步探究1.改变点O的位置受“米勒问题”的启发，我们可以改变点O的位置，使之一般化，为了研究的连贯性，不妨设AB=2，AO=n（0＜n＜2），这样点O在线段AB上就具有一般性了，本质上与“米勒问题”是等价的.因为结论1与点O在线段AB上的位置无关，所以结论1仍成立.如图8，当⊙D与射线BM相切于点C时，∠ACO取得最大值.此时，易得AH=n2，DC=BH=2－n2.所以AD=DC= 2－n2，sin∠ACO=sin∠ADH=AH AD=n4-n.根据圆幂定理，得BC=BO·BA=4-2n.显然当n=1，即点O是AB的中点时，sin∠ACO的最大值为13，此时BC=2.但是这只是其中的一种特殊情况，于是得到第二个有价值的结论.HOA BCDM图8··58结论2：如图8，设∠ABM =90°，AB =2，点O 是线段AB 上一点，AO =n （0＜n ＜2），则在射线BM 上存在点C ，使得∠ACO 取到最大值，且此时sin∠ACO =n 4-n，BC =4-2n.2.改变∠ABM 的大小此题条件里动点C 所在的射线BM 与AB 垂直，显然条件中的位置比较特殊.若从这个角度改变条件，当射线BM 与AB 不垂直，即∠ABM ≠90°时，相当于“米勒问题”中的雕像及底座与地面不垂直时，那么结论2是否仍成立？因为∠ABM ≠90°，所以四边形DCBH 不再是矩形，即DC ≠BH.求半径的解法相应会有所改变，猜想sin ∠ACO 的值与∠ABM 的度数有关.因为结论1与∠ABM 的大小无关，所以结论1仍然成立.∠ACO 取到最大值时，过A ，C ，O 三点的⊙D 与射线BM 相切，故圆幂定理仍然适用，所以BC =BO ·BA =4-2n.所以可得第三个有意义的结论.结论3：设∠ABM =α（0°＜α＜180°），AB =2，点O 是线段AB 上一点，AO =n （0＜n ＜2），则射线BM 上存在点C ，使得∠ACO 取到最大值，且此时BC =4-2n ，sin ∠ACO 的值与∠ABM 的度数无关.接下来，求sin ∠ACO.因为∠ABM 有锐角和钝角两种情况，所以要分两种情形分类进行研究.情形1：如图9，当0°＜α＜90°时，⊙D 与射线BM相切于点C.根据前面的猜想sin ∠ACO 会与α有关，为了将α用上，所以考虑作垂线构造直角三角形.作DH ⊥AO 于点H ，BE ⊥AB 交DC 的延长线于点E ，作DF ⊥BE 于点F.M O AB CD EF GH图9易证∠CBE =∠EDF =90°-α，DF =BH =2-n 2.所以DE =DF cos ()90°－α=4-n 2sin α，CE =BC ·tan ()90°－α=4-2n ·tan ()90°－α，AD =DC =DE -CE =4-n 2sin α-4-2n ·tan ()90°－αsin∠ACO =sin∠ADH =AH AD =n sin α4-n -24-2n cos α.情形2：如图10，当90°＜α＜180°时，⊙D 与射线BM 相切于点C.同样作DH ⊥AO 于点H ，作BE ⊥AB 交DC 于点E ，作DF ⊥BE 交BE 的延长线于点F.H A B CDOEF M图10易证∠CBE =∠EDF =α-90°，DF =BH =2-n 2.所以DE =DF cos ()α－90°=4-n 2sin α，CE =BC ·tan ()α-90°=4-2n ·tan ()α-90°，AD =DC =DE +CE =4-n 2sin α＋4-2n ·tan()α-90°sin∠ACO =sin∠ADH =AH AD 发现两种情形最后结果的表达式是一致的，而把α=90°代入，得sin∠ACO =n 4-n.与之前的计算结果一致，可见角度在变，结果的表达式不变，得到了变化过程中不变关系的本质，于是得到了问题的一般性结论.结论4：设∠ABM =α（0°<α<180°），AB =2，点O 是线段AB 上一点，AO =n （0＜n ＜2），则射线BM 上存在点C ，使得∠ACO 取到最大值，且此时BC =4-2n ，sin∠ACO =3.当射线BM 改为直线BM 时，相当于“米勒问题”中人可以站到雕像的背面进行观察.如图11，当点C 在直线BM 上移动时，由前面的研究可知，当点C 在射线BM 1和BM 2上时，分别有一个点C 1和点C 2，使得∠AC 1O 和∠AC 2O 在各自的射线上取到最大值，那么∠AC 1O 和∠AC 2O 哪个更大一些呢？显然，当BM ⊥AB 时，BC 1=··59BC 2，由对称性可知∠AC 1O =∠AC 2O.当BM 与AB 不垂直时，不妨设∠ABC 1=α（0°<α<90°），则∠ABC 2=180°-α.根据结论4，可以得到sin ∠AC 1O =sin ∠AC 2O =因为0<cos α<1，所以sin ∠AC 1O ＞sin ∠AC 2O.所以∠AC 1O ＞∠AC 2O.得到结论5.M 2OAB MC 1C 2M 1图11结论5：如图11，当点C 在直线BM 上时，设AB =2，点O 是线段AB 上一点，AO =n （0＜n ＜2），如果直线BM 与线段AB 所成的较小的夹角为∠ABM 1（0°＜∠ABM 1≤90°），则点C 一定在射线BM 1上，使得∠ACO 取到最大值，且此时BC =4-2n ，sin∠ACO =七、解后思考回顾整个研究过程，通过图形的变化将一个确定的图形变为不确定的图形，从而获得研究对象.而对于变化中规律的研究，入手比较难，这时信息技术为化解难点提供了帮助.借助几何画板软件，不仅能方便地展示图形变化的过程，而且可以通过教师有意识地控制帮助学生观察影响变化的要素及其关系，从而获得初步的猜想.接着，从“数”和“形”两个角度验证了该猜想，进一步体会到几何问题在“数”和“形”上的统一，体会到数形结合思想在解题中的重要作用.在引出“米勒问题”后，通过进一步改变条件——点的位置变化、角度的大小变化、射线变为直线等，发现了在条件变化过程中不变的结论.通过这样的解题教学研究可以让学生进一步体会到研究几何问题的一般方法——从简单到复杂，从特殊到一般.整个研究过程，具备学习素材的真实性，问题的开放性，学习过程的探索性，学习手段的操作性，探索过程的动态化、可视化，学习体验的形象化、可表达，学习结果的创造性.这些都有利于在今后的学习中，提高学生发现问题和解决问题的能力，进而实现几何解题教学的育人价值.参考文献：［1］王红权.“高考真题分析”习题课的教学实践与思考［J ］.中小学数学（高中版），2015（4）：20-23.［2］章建跃.研究三角形的数学思维方式［J ］.数学通报，2019，58（4）：1-10.··60。

“基本图形”的分解、构造、变换在中考题中的应用

“ 本图形 ’ 分解、造、换在中考题中的应用基 ’ 的构变
孔小红 Байду номын сангаас
（淳县桠溪中学，苏高淳高江
摘要：文主要通过对近年来几道典型的中考题的详本
２１０）１３４
从数学方法考虑，括为分解、造、换三个方面，逐一概构变现加以介绍。分解有时一个平面几何图形，的线条纵横交错，部图形重它局叠遮盖，本图形如草里藏珠，人视而不见，路阻塞。这基令思时，根据解题的需要，复杂的图形进行剖析，分解出有应将并
例如下面是关于梯形的两个基本图形：
同时，计基本图形的构造，时还需配合使用联想、换、设有代转化等数学思想方法。例：２０宿迁市中考题）图，ＥＡＣ中，Ｅ、Ｆ别（０６如在ＪＢＤＡＢ分平分／ＤＢ￣ＡＣ，Ｃ于点Ｅ、，Ｅ、Ｆ交于点Ｍ．Ａ和Ｂ交ＤＦＡＢ相（）说明：ＥＦ；１试Ａ上Ｂ（）断线段Ｄ与Ｃ的大小关系，予以说明．２判ＦＥ并
高逻辑推理能力。特别是近几年来，中考几何题突出考查基本图形和基本元素问的相互关系，考查学生对图形的分解、
组合、形的能力，要学生观察，析题意，新构造组合变需分重熟悉的基本图形进行计算和推理等。因此教师在平时的教学中应该让学生熟练地掌握一些基本图形及其应用的方法。从一般的经验来看．一些重要的例题、题中常见的图有习形．它们虽不是课本中定义、理、理的图形，是由基本图公定而形变形得到的，由于它们在解题中用得较多．是研究比较但亦复杂几何问题的基础。这些图形也被当做基本图形而应用。

中考数学图形知识点总结

中考数学图形知识点总结一、几何图形的基本概念1.点线面点是几何图形的最基本元素，点不占据空间、没有长宽高和大小，用大写字母标记。

线是由无数点构成的，线不占据空间、有方向、长度、没有宽度，用小写字母表示、或两点之间的线段表示。

面是由无数条线构成的，面占据空间、有形状、大小，用大写字母标记。

2.图形的分类图形主要可以分为几何图形和非几何图形两大类。

几何图形主要包括点、线、面三个基本要素构成的几何图形、立体几何图形、曲线等。

非几何图形主要包括文字图形、符号图形等。

3.图形的名称直线、射线、线段、角、平行线、垂直线、等腰三角形、等边三角形、直角三角形、以及梯形、长方形、正方形、等等。

二、平面图形的性质1.平行线及其性质平行线是在同一个平面上，且永不相交的两条直线。

平行线的性质包括平行线的定义、平行线的判定、平行线的性质等。

2.相交线及其性质相交线是在同一个平面上，并在某一点相交的两条直线。

相交线的性质包括相交线的性质、相邻角、对顶角、同位角、内角与外角等。

3.多边形及其性质多边形是由至少三条直线段构成的封闭图形。

多边形的性质包括多边形的定义、多边形的边和角、正多边形的边和角、多边形内角和外角的关系等。

4.相似图形相似图形是指在平面上的两个图形，其形状相同但大小不同。

相似图形的性质包括相似图形的判定、相似三角形的性质等。

全等图形是指在平面上的两个图形，其形状和大小完全相同。

全等图形的性质包括全等图形的判定、全等三角形的性质、全等四边形的性质等。

6.圆及其性质圆是平面上距离同一点距离相等的所有点的集合。

圆的性质包括圆的性质、圆的切线、圆的切线与切点等。

7.正多边形及其性质正多边形是指边相等、角相等的多边形。

正多边形的性质包括正多边形的定义、正多边形的性质、正多边形的内角和外角等。

8.曲线曲线是指中间的非直线部分，端点是曲线的两端。

曲线的性质包括曲线的定义、曲线的简单性质、曲线的切线等。

三、空间图形的性质1.立体图形及其性质立体图形是平面外的几何图形。

中考数学：基本图形在中考几何中的应用

基本图形在中考几何中的应用我们知道，教材中所选的题目和图形都是经过专家深思熟虑、精心筛选的，不少图形具有典型性和代表性，其性质的应用具有一般性，我们常把这些图形称为基本图形.如果我们在解题中能联想到这些基本图形及其性质，就能开启我们的解题思路，使问题得到快速、正确的解答.下面以中考真题为例说明.例1如图1,AC 是ABD ∆的高，15,30,45BC BAC DAC =∠=︒∠=︒，求AD .解AC 是ABC ∆的高,90ACB ACD ∴∠=∠=︒在Rt ABC ∆中，15,30,BC BAC =∠=︒ AC ∴==在Rt ACD ∆中,45DAC ∠=︒ ，AD ∴==例2如图2，在ABC ∆中，8,45,30AC B A =∠=︒∠=︒，求AB .解过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ,则90ADC BDC ∠=∠=︒.在Rt ADC ∆中，30,8A AC ∠=︒= ,134,22CD AC AD AC ∴====在Rt BCD ∆中，45,4B BD CD ∠=︒∴== ,4AB AD BD ∴=+=.例3如图3，平地上一幢建筑物AB 与铁塔CD 相距60m ，在建筑物的顶部测得铁塔底部的俯角为30︒,测得铁塔顶部的仰角为45︒,求铁塔的高度(精确到lm).解过A 点作AE CD ⊥于E 点，如图3,则四边形ABDE 为矩形，60AE BD ∴==.在Rt ADE ∆中，tan 3060DE AE =⋅︒=⨯=3.在Rt ACE ∆中，45CAE ∠=︒ ,60AE EC ∴==,6060201.73295CD CE ED ∴=+=++⨯≈.答:铁塔的高度约为95米.上述图1中的ABD ∆、图2中的ABC ∆、图3中的ACD ∆都是非直角三角形，但在解题中可通过添加辅助线(作高)，将其转化为直角三角形求解.教材在这一章编排时出现了3次类似的图形和问题，从易到难、逐步加深，目的就是说明这个图形的重要性，我们要深刻掌握其中“化斜为直”的解题方法.下面请看近几年各地中考题中利用基本图形解决问题的例子.题1如图4，港口A 在观测站O 的正东方向，4OA km =，某船从港口A 出发，沿北偏东15︒方向航行一段距离后到达B 处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60︒的方向，则该船航行的距离(即AB 的长)为()(A)4km (B)(C)km (D)1)+km 解过点A 作AD OB ⊥于点D ，如图7.在Rt AOD ∆中，30,4AOD OA ∠=︒= ,122AD OA ∴==.在Rt ABD ∆中，753045B CAB AOB ∠=∠-∠=︒-︒=︒ ,2BD AD ∴==,AB ∴==,即该船航行的距离(即AB 的长)为，故选C.题2如图5，已知ABC ∆ABC ∆∽,ADE ∆2,45,AB AD BAD AC =∠=︒与DE 相交于点F ,则AEF ∆的面积等于(结果保留根号).解ABC ∆ 是面积为的等边三角形，作CM AB ⊥交AB 于点M (如图5)，则30BCM ∠=︒.设2,,AB k BM k CM ===,由12AB C ⨯⨯M =，解得1,2k AB =∴=.12,12AB AD AD AB =∴== .过点F 作FH AE ⊥交AE 于点H ，如图5.ABC ∆ ∽ADE ∆,45,60,1EAF BAD AEF AE AD ∴∠=∠=︒∠=︒==,45,30,AFH EFH ∴∠=︒∠=︒AH HF ∴=.设AH HF x ==，则tan 303EH x x =︒=.13x x ∴+=，解得32x ==.133331224AEF S ∆-∴=⨯⨯=.题3如图6，在一笔直的海岸线l 上有AB 两个观测站，A 在B 的正东方向，2AB =(单位:km).有一艘小船在点P处，从A 测得小船在北偏西60︒的方向，从B 测得小船在北偏东45︒的方向.(1)求点P 到海岸线l 的距离;(2)小船从点P 处沿射线AP 的方向航行一段时间后，到点C 处，此时，从B 测得小船在北偏西15︒的方向，求点C 与点B 之间的距离.(上述两小题的结果都保留根号)解(1)过点P 作PD AB ⊥于点D ，如图6.设PD x =km ，由题意，可知45,30PBD PAD ∠=︒∠=︒，∴在Rt PBD ∆中，BD PD x ==.在Rt PAD ∆中，33AD PD x ==.2,32,31AB x x x =∴+=∴=- .答:点P 到海岸线l 的距离为(31-)km.(2)如图6，过点B 作BF AC ⊥于点F .在Rt ABF ∆中，112BF AB ==.在ABC ∆中，18045C BAC ABC ∠=︒-∠-∠=︒.在Rt BCF ∆中，22BC BF ==.答:点C 与点B 之间的距离为2km.题4如图7，已知ABC ∆.按如下步骤作图:①以A 为圆心，AB 长为半径画弧;②以C 为圆心，CB 长为半径画弧，两弧相交于点D ;③连结BD ，与AC 交于点E ，连结,AD CD .若30,45,4BAC BCA AC ∠=︒∠=︒=，求BE 的长.解,,,AB AD BC CD AC AC === ABC ∴∆≌,ADC BAC DAC ∆∴∠=∠.AB AD = ,AE BD ∴⊥，即AC BD ⊥.在Rt ABE ∆中，30,3BAC AE BE ∠=︒∴= .在Rt BEC ∆中，45,BCE EC BE ∠=︒∴= .4AE EC AC +== ,34BE BE ∴+=,解得232BE =-.题5如图8，四边形ABCD 与四边形AEFG 都是菱形，其中点C 在AF 上，点,E G 分别在,BC CD 上，若135,75BAD EAG ∠=︒∠=︒，则AB AE =.解135,75BAD EAG ∠=︒∠=︒ ，四边形ABCD 与四边形AEFG 都是菱形，18045B BAD ∴∠=︒-∠=︒,30BAE BAC EAC ∠=∠-∠=︒.过点E 作EM AB ⊥于点M ，如图8，设EM x =，在Rt AEM ∆中，30MAE ∠=︒ ,22,AE EM x AM ∴===.在Rt BEM ∆中，45,B BM EM x ∠=︒∴== .则33122AB x AE x +==.题6已知:如图9，在ABC ∆中，D 是AB 边上一点，圆O 过,,D B C 三点，290DOC ACD ∠=∠=︒.(1)求证:直线AC 是圆O 的切线;(2)如果75ACB ∠=︒，圆O 的半径为2，求BD 的长.解(1),90OD OC DOC =∠=︒ ,45ODC OCD ∴∠=∠=︒.290DOC ACD ∠=∠=︒ ,45ACD ∴∠=︒,90ACD OCD OCA ∴∠+∠=∠=︒,∴直线AC 是圆O 的切线.(2)2,90OD OC DOC ==∠=︒ ,CD ∴=75,45ACB ACD ∠=︒∠=︒ ,30BCD ∴∠=︒.作DE BC ⊥于点E ，如图9,则90DEB DEC ∠=∠=︒,12DE DC ∴==.45,2B DB ∠=︒∴== .。

中考复习几何图形初步基础知识详解+基本典型例题解析(全)

几何图形初步目录一、几何图形二、直线、射线、线段三、角四、《几何图形初步》全章复习与巩固一、几何图形基础知识讲解【学习目标】1．理解几何图形的概念，并能对具体图形进行识别或判断；2. 掌握立体图形从不同方向看得到的平面图形及立体图形的平面展开图，在平面图形和立体图形相互转换的过程中，初步培养空间想象能力；3. 理解点线面体之间的关系，掌握怎样由平面图形旋转得到几何体，能够借助平面图形剖析常见几何体的形成过程.【要点梳理】要点一、几何图形1．定义：把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形．要点诠释：几何图形是从实物中抽象得到的，只注重物体的形状、大小、位置，而不注重它的其它属性，如重量，颜色等.2．分类：几何图形包括立体图形和平面图形(1)立体图形：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体，圆柱，圆锥，球等.(2)平面图形：有些几何图形(如线段、角、三角形、圆等)的各部分都在同一平面内，它们是平面图形．要点诠释：(1)常见的立体图形有两种分类方法：(2) 常见的平面图形有圆和多边形，其中多边形是由线段所围成的封闭图形，生活中常见的多边形有三角形、四边形、五边形、六边形等．（3）立体图形和平面图形是两类不同的几何图形，它们既有区别又有联系．要点二、从不同方向看从不同的方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形．一般是从以下三个方向：(1)从正面看；(2)从左面看；(3)从上面看．从这三个方向看到的图形分别称为正视图(也称主视图)、左视图、俯视图．要点三、简单立体图形的展开图有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．要点诠释：(1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形．例如，球便不能展成平面图形．(2)不同的立体图形可展成不同的平面图形；同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图．要点四、点、线、面、体长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点.从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系. 此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体.【典型例题1】类型一、几何图形1．如图所示，请写出下列立体图形的名称．【思路点拨】可以联系生活中常见的图形及基本空间想象能力，描述各种几何体的名称．【答案与解析】解：(1)五棱柱；(2)圆锥；(3)四棱柱或长方体；(4)圆柱；(5)四棱锥．【总结升华】先根据立体图形的底面的个数，确定它是柱体、锥体还是球体，再根据其侧面是否为多边形来判断它是圆柱(锥)还是棱柱(锥)．举一反三：【变式】如图所示，下列各标志图形主要由哪些简单的几何图形组成?【答案】(1)由圆组成；(2)长方形和正方形；(3)菱形(或四边形)；(4)由圆和圆弧组成（或由一个圆和两个小半圆组成）．类型二、从不同方向看2．如图所示的是一个三棱柱，试着把从正面、左面、上面观察所得到的图形画出来．【思路点拨】注意观察的角度和方向.【答案与解析】解：从正面观察这个三棱柱，看到的图形是长方形；从左面观察它，看到的图形是长方形；从上面观察，看到的图形是三角形．因此，从三个方向看，得到的图形如图所示．【总结升华】若要画出从不同方向观察物体所得的图形，方向、角度一定要选准．因为从不同方向观察得到的图形往往不同．举一反三：【变式1】画出下列几何体的主视图、左视图与俯视图.【答案】主视图左视图俯视图【变式2】如图所示的工件的主视图是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】从物体正面看，看到的是一个横放的矩形，且一条斜线将其分成一个直角梯形和一个直角三角形．3.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是( )A．棱柱 B．圆柱 C．圆锥 D．球【答案】B【解析】此题可采用排除法．棱柱的三视图中不存在圆，故A不对；圆锥的主视图、左视图是三角形，故C不对；球的三视图都是圆，故D不对，因此应选B．【总结升华】平面展开图中，含有三角形，一般考虑棱锥或棱柱；如果只有两个三角形，必是三棱柱；如果含长方形，一般考虑棱柱；如果含有圆和长方形，一般考虑圆柱；如果含有扇形和圆，一般考虑圆锥．举一反三：【变式】右图是某个几何体的三视图，该几何体是（）A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．三棱柱【答案】D类型三、展开图4．（2016•徐州）下列图形中，不可以作为一个正方体的展开图的是（）A．B． C．D．【思路点拨】利用不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况进行判断也可．【答案】C【解析】正方体沿着不同棱展开，把各种展开图分类，可以总结为如下11种情况：故选：C．【总结升华】本题考查了正方体的展开图，熟记展开图的11种形式是解题的关键，利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”（即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况）判断也可．举一反三：【变式】（2015•宜昌）下列图形中可以作为一个三棱柱的展开图的是（）A．B．C．D．【答案】 A ．类型四、点、线、面、体5．分别指出下列几何体各有多少个面?面与面相交形成的线各有多少条?线与线相交形成的点各有多少个? 如图所示．【答案与解析】解：（1）4个面，6条线，4个顶点；（2）6个面，12条线，8个顶点；（3） 9个面，16条线，9个顶点．【总结升华】(1)数几何体中的点、线、面数时，要按一定顺序数，做到不重不漏．(2)一般地，n棱柱有(n+2)个面(其中2为两个底面)，n棱锥有(n+1)个面(其中1为一个底面)．6．如图，上面的平面图形绕轴旋转一周，可以得出下面的立方图形，请你把有对应关系的平面图形与立体图形连接起来．【答案与解析】连线如下：【总结升华】“面动成体”，要充分发挥空间想象能力判断立体图形的形状．举一反三：【变式】将如图所示的Rt△ABC绕直角边AC旋转一周，所得几何体从正面看到的图形是( )．【答案】A【典型例题2】类型一、几何图形1．将图中的几何体进行分类，并说明理由．【思路点拨】首先要确定分类标准，可以按组成几何体的面是平面或曲面来划分，也可以按柱、锥、球来划分.【答案与解析】解：若按形状划分：(1)(2)(6)(7)是一类，组成它的各面全是平面；(3)(4)(5)是一类，组成它的面至少有一个是曲面．若按构成划分：(1)(2)(4)(7)是一类，是柱体；(5)(6)是一类，即锥体；(3)是球体．【总结升华】先根据立体图形的底面的个数，确定它是柱体、锥体还是球体，再根据其侧面是否为多边形来判断它是圆柱(锥)还是棱柱(锥)．类型二、从不同方向看2．（2016春•潮南区月考）如图所示的是某个几何体的三视图．（1）说出这个立体图形的名称；（2）根据图中的有关数据，求这个几何体的表面积．【思路点拨】（1）从三视图的主视图看这是一个矩形，而左视图是一个扁平的矩形，俯视图为一个三角形，故可知道这是一个直三棱柱；（2）根据直三棱柱的表面积公式计算即可．【答案与解析】解：（1）这个立体图形是直三棱柱；（2）表面积为：×3×4×2+15×3+15×4+15×5=192．【总结升华】本题主要考查由三视图确定几何体和求几何体的表面积等相关知识，考查学生的空间想象能力．举一反三：【变式】如图所示的几何体中，主视图与左视图不相同的几何体是( )．【答案】D提示：圆锥的主视图与左视图为相同的三角形；圆柱的主视图与左视图为相同的矩形；球的主视图与左视图为相同的圆，正三棱柱的主视图和左视图为不相同的两个矩形，故选D．3.由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如右图所示，其正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，那么该几何体的主视图是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数，分析其中的数字，得主视图有3列，从左到右分别是1，2，3个正方形．【总结升华】本题考查了对几何体三种视图的空间想象能力,注意找到该几何体的主视图中每列小正方体最多的个数．举一反三：【变式1】用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体只有一种吗？它最少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？【答案】几何体的形状不唯一，最少需要小方块的个数：3222110++++=，最多需要小方块的个数：3323116⨯+⨯+=．【变式2】下图是从正面、左面、上面看由若干个小积木搭成的几何体得到的图，那么这个几何体中小积木共有多少个?【答案】这个几何体中小积木共有6个．类型三、展开图4．右下图是一个正方体的表面展开图，则这个正方体是( )【答案】D【解析】最直接的方法是做一个如图所示的正方体的表面展开图，然后再折叠后进行对照即可．也可用排除法，观察正方体的表面展开图，可发现分成4块的面中的4个小正方形中有3块的颜色是阴影，这就可排除A，再想象折叠的图形，可知正方体被分成4块的面的对面应是阴影，这就可排除B 、C，所以选D．【总结升华】培养空间想想能力的方法有两种，一是通过动手操作来解决；二是通过想象进行确定．正方体沿着棱展开，把各种展开图分类，可以总结为如下11种情况．主视图俯视图举一反三：【变式】宜黄素有“华南虎之乡”的美誉．将“华南虎之乡美”六个字填写在一个正方体的六个面上，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中，和“虎”相对的字是________．【答案】“美”．类型四、点、线、面、体5．如图，一个正五棱柱的底面边长为2cm，高为4cm．（1）这个棱柱共有多少个面？计算它的侧面积；（2）这个棱柱共有多少个顶点？有多少条棱？（3）试用含有n的代数式表示n棱柱的顶点数、面数与棱的条数．【思路点拨】（1）根据图形可得侧面的个数，再加上上下底面即可；（2）顶点共有10个，棱有5×3条；（3）根据五棱柱顶点数、面数与棱的条数进行总结即可．【答案与解析】解：（1）侧面有5个，底面有2个，共有5+2=7个面；侧面积：2×5×4=40（cm2）．（2）顶点共10个，棱共有15条；（3）n棱柱的顶点数2n；面数n+2；棱的条数3n．【总结升华】此题主要考查了认识立体图形，关键是掌握常见的立体图形的形状．6.将如右图所示的两个平面图形绕轴旋转一周，对其所得的立体图形，下列说法正确的是（）A．主视图相同 B．左视图相同 C．俯视图相同 D．三种视图都不相同【答案】D【解析】首先考虑三角形和长方形旋转后所得几何体的形状，然后再根据两种几何体的三视图做出判断．【总结升华】“面动成体”，要充分发挥空间想象能力判断立体图形的形状．举一反三：【变式】（2015春•海安县校级期中）将如图所示放置的一个直角三角形ABC，（∠C=90°），绕斜边AB旋转一周，所得到的几何体的正视图是下面四个图中的（）A．B．C．D．【答案】C二、直线、射线、线段基础知识讲解【学习目标】1．理解直线、射线、线段的概念，掌握它们的区别和联系；2. 利用直线、线段的性质解决相关实际问题；3．利用线段的和差倍分解决相关计算问题．【要点梳理】要点一、直线1．概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述．2. 表示方法：（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)．（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线l．3.基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线．要点诠释：直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸．（2）直线没有粗细．（3）两点确定一条直线．（4）两条直线相交有唯一一个交点．4.点与直线的位置关系：（1）点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A．（2）点在直线外，如图4，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B．要点二、线段1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段．2.表示方法：（1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA．（2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a．3. “作一条线段等于已知线段”的两种方法：法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a．法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段．4.基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短．如图6所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的．要点诠释：（1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短．（2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．（3）线段的比较：①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短．②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．5.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图7所示，点C是线段AB的中点，则12AC CB AB==，或AB＝2AC＝2BC．图6要点诠释：若点C 是线段AB 的中点，则点C 一定在线段AB 上．要点三、射线1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点．如图8所示，直线l 上点O 和它一旁的部分是一条射线，点O 是端点．l2.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长．3.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线OA ．（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图8所示，射线OA 可记为射线l ．要点诠释：(1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图9中射线OA ，射线OB 是不同的射线．(2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图10中射线OA 、射线OB 、射线OC 都表示同一条射线．要点四、直线、射线、线段的区别与联系1.直线、射线、线段之间的联系（1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线．（2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线．2．三者的区别如下表图7 图8 图9 图10要点诠释：（1）联系与区别可表示如下：（2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样．【典型例题】类型一、相关概念1.下列说法中，正确的是( )A．射线OA与射线AO是同一条射线B．线段AB与线段BA是同一条线段C．过一点只能画一条直线D．三条直线两两相交，必有三个交点【答案】B【解析】射线OA的端点是O，射线AO的端点是A，所以射线OA与射线AO不是同一条射线，故A错误；过一点能画无数条直线，所以C错误；三条直线两两相交，有三个交点或一个交点(三条直线相交于一点时)，所以D错误；线段AB与线段BA是同一条线段，所以B正确．【总结升华】直线和线段用两个大写字母表示时，与字母的前后顺序无关，但射线必须是表示端点的字母写在前面，不能互换．举一反三：【变式1】以下说法中正确的是（）A．延长线段AB到C B．延长射线ABC．直线AB的端点之一是A D．延长射线OA到C【答案】A【变式2】如图所示，请分别指出图中的线段、射线和直线的条数，并把它们分别表示出来.【答案】解：如下图所示，在直线上点A左侧和点C右侧分别任取点X和Y.图中有6条射线：射线AX、射线AY、射线BX、射线BY、射线CX、射线CY.有3条线段：线段AB(或BA)、线段BC(或CB)、线段AC(或CA)有1条直线：直线AC(或AB，BC).类型二、有关作图2．如图所示，线段a，b，且a＞b．用圆规和直尺画线段：(1)a+b；(2)a-b．【答案与解析】解：(1) 画法如图(1)，画直线AF，在直线AF上画线段AB＝a，再在AB的延长线上画线段BC＝b，线段AC就是a与b的和，记作AC＝a+b．(2) 画法如图(2)，画直线AF，在直线AF上画线段AB＝a，再在线段AB上画线段BD＝b，线段AD就是a与b的差，记作AD＝a-b．【总结升华】在画线段时，为使结果更准确，一般用直尺画直线，用圆规量取线段的长度．举一反三：【变式1】如图，C是线段AB外一点，按要求画图：（1）画射线CB；（2）反向延长线段AB；（3）连接AC，并延长AC至点D，使CD=AC．【答案】解：【变式2】用直尺作图：P 是直线a 外一点，过点P 有一条线段b 与直线a 不相交. 【答案】解：类型三、有关条数及长度的计算3.如图，A 、B 、C 、D 为平面内任意三点都不在同一条直线上的四点，那么过其中两点，可画出条直线.【思路点拨】根据两点确定一条直线即可计算出直线的条数．【答案】6条直线【解析】由两点确定一条直线知，点A 与B,C,D 三点各确定一条直线，同理点B 与C 、D 各确定一条直线，C 与D 确定一条直线，综上：共有直线：3+2+1=6（条）.【总结升华】平面上有n 个点，其中任意三点不在一条直线上，则最多确定的直线条数为：(1)123...(1)2n n n -++++-=．举一反三：【变式1】如图所示，已知线段AB 上有三个定点C 、D 、E ． (1)图中共有几条线段？(2)如果在线段CD 上增加一点，则增加了几条线段？你能从中发现什么规律吗？【答案】解：(1)线段的条数：4＋3＋2＋1＝10(条)；(2)如果在线段CD 上增加一点P ，则P 与其它五个点各组成一条线段，因此，增加了5条线段.（注解：若在线段AB 上增加一点，则增加2条线段，此时线段总条数为1＋2；若再增加一点，则又增加了3条线段，此时线段总条数为1＋2＋3；…；当线段AB 上增加到n 个点(即增加n －2个点)时，线段的总条数为1＋2＋……＋(n －1)＝21n(n －1) .）【变式2】)如图直线m 上有4个点A 、B 、C 、D ，则图中共有________条射线．【答案】84.（2016春•启东市月考）已知点C 在线段AB 上，线段AC=7cm ，BC=5cm ，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，求MN 的长度．【思路点拨】根据M 、N 分别为AC 、BC 的中点，根据AC 、BC 的长求出MC 与CN 的长，由MC+CN 求出MN 的长即可．【答案与解析】解：∵AC=7cm ，BC=5cm ，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点， ∴MC=AC=3.5cm ，CN=BC=2.5cm ，则MN=MC+CN=3.5+2.5=6（cm ）．【总结升华】此题考查了线段的和差，熟练掌握线段中点定义是解本题的关键．举一反三：【变式】在直线l 上按指定方向依次取点A 、B 、C 、D ，且使AB ：BC ：CD=2：3：4，如图所示，若AB 的中点M 与CD 的中点N 的距离是15cm ，求AB 的长.【答案】解：依题意，设AB ＝2x cm ，那么BC ＝3x cm ，CD ＝4x cm ．则有： MN=BM+BC+CN= x+3x+2x=15 解得：52x =所以AB=2x =5252⨯=cm. 类型四、最短问题5.（2015•新疆）如图所示，某同学的家在A 处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线（）A．A→C→D→B B．A→C→F→B C．A→C→E→F→B D．A→C→M→B【答案】B．【解析】根据两点之间的线段最短，可得C、B两点之间的最短距离是线段CB的长度，所以想尽快赶到书店，一条最近的路线是：A→C→F→B．【总结升华】“两点之间线段最短”在实际生活中有广泛的应用，此类问题要与线段的性质联系起来，这里线段最短是指线段的长度最短，连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，线段是图形，线段长度是数值．举一反三：【变式】 (1)如图1所示，把原来弯曲的河道改直，A、B两地间的河道长度有什么变化?(2)如图2，公园里设计了曲折迂回的桥，这样做对游人观赏湖面风光有什么影响?与修一座直的桥相比，这样做是否增加了游人在桥上行走的路程?说出上述问题中的道理．【答案】解：(1)河道的长度变小了．(2)由于“两点之间，线段最短”，这样做增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏湖面风光，起到“休闲”的作用．【典型例题】类型一、有关概念1.如图所示，指出图中的直线、射线和线段．【思路点拨】从图上看，A、D、F分别是线段CB、BC、BE的延长线上的点，也就是说，A、D、F三点的位置并不是完全确定的．此时，我们也就能分清楚图中的直线、射线和线段了．【答案与解析】解：直线有一条：直线AD；射线有六条：射线BA、射线BD、射线CA、射线CD、射线BF、射线EF；线段有三条：线段BC、线段BE、线段CE．【总结升华】在表示线段和直线时，两个大写字母的顺序可以颠倒．然而，在叙述线段的延长线的时候，表示线段的两个大写字母的顺序就不能颠倒了，因为线段向一方延伸后就形成了射线(延长部分已不再是线段本身了)，而表示射线的两个大写字母的顺序是不能颠倒的，只能用第一个字母表示射线的端点，第二个字母表示射线方向上的任一点．举一反三：【变式】两条不同的直线，要么有一个公共点，要么没有公共点，不能有两个公共点. 这是为什么?画图说明.【答案】解：∵过两点有且只有一条直线.（或两点确定一条直线.）∴两条不同的直线，要么有一个公共点，如图（1）；要么没有公共点，如图（2）；不能有两个公共点.类型二、有关作图2．（2016春•高青县期中）已知平面上四点A、B、C、D，如图：（1）画直线AD；（2）画射线BC，与AD相交于O；（3）连结AC、BD相交于点F．【思路点拨】（1）画直线AD，连接AD并向两方无限延长；（2）画射线BC，以B为端点向BC方向延长交AD于点O；（3）连接各点，其交点即为点F．【答案与解析】解：如图所示：【总结升华】本题主要考查直线、射线、线段的认识，掌握直线、射线、线段的特点是解题的关键．举一反三：【变式1】下列说法正确的有 ( )①射线与其反向延长线成一条直线； ②直线a 、b 相交于点m ； ③两直线相交于两个交点； ④直线A 与直线B 相交于点MA ．3个B ．2个C ．1个D ．4个【答案】 C【变式2】下列说法中，正确的个数有( )①已知线段a ，b 且a-b ＝c ，则c 的值不是正的就是负的； ②已知平面内的任意三点A ，B ，C 则AB+BC ≥AC ； ③延长AB 到C ，使BC ＝AB ，则AC ＝2AB ；④直线上的顺次三点D 、E 、F ，则DE+EF ＝DF ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C类型三、个（条）数或长度的计算3. 根据题意，完成下列填空．如图所示，1l 与2l 是同一平面内的两条相交直线，它们有1个交点，如果在这个平面内，再画第3条直线3l ，那么这3条直线最多有________个交点；如果在这个平面内再画第4条直线4l ，那么这4条直线最多可有________个交点．由此我们可以猜想：在同一平面内，6条直线最多可有________个交点，n(n 为大于1的整数)条直线最多可有________个交点(用含有n 的代数式表示)．【答案】3， 6， 15，(1)2n n -. 【解析】本题探索过程要分两步：首先要填好3条直线最多可有2+1＝3个交点，再类推4条直线，5条直线，6条直线的情形所得到的和式，其次再研究这些和式的规律，得出一般性的结论．【总结升华】n(n 为大于1的整数)条直线的交点最多可有：(1)123...(1)2n n n -++++-=个举一反三：【变式1】平面上有n 个点，最多可以确定条直线【答案】(1)2n n -【变式2】一条直线有n个点，最多可以确定条线段，条射线【答案】(1)2n n-，2n【变式3】一个平面内有三条直线，会出现几个交点?【答案】0个，1个，2个，或3个.4.已知线段AB＝14cm，在直线AB上有一点C，且BC＝4cm，M是线段AC的中点，求线段AM的长．【思路点拨】题目中只说明了A、B、C三点在同一直线上，无法判定点C在线段AB上，还是在线段AB外(也就是在线段AB的延长线上)．所以要分两种情况求线段AM的长．【答案与解析】解：①当点C在线段AB上时，如图所示．因为M是线段AC的中点，所以12AM AC=．又因为AC＝AB-BC，AB＝14cm，BC＝4cm，所以1()2AM AB BC=-1(144)5(cm)2=-=．②当点C在线段AB的延长线上时，如图所示．因为M是线段AC的中点，所以12AM AC=．又因为AC＝AB+BC，AB＝14cm，BC＝4cm，所以1()2AM AB BC=+=9(cm)．所以线段AM的长为5cm或9cm．【总结升华】在解答没有给出图形的问题时，一定要审题，要全面考虑所有可能的情况，即当我们面临的教学问题无法确定是哪种情形时，就要分类讨论．举一反三：【变式】（2015秋•泰安校级月考）已知A，B，C为直线l上的三点，线段AB=9cm，BC=1cm，那么A，C两点间的距离是．【答案】8cm或10cm．解：分两种情况：①如图1，点C在线段AB上，则AC=AB﹣BC=9﹣1=8（cm）；②如图2，点C在线段AB的延长线上，AC=AB+BC=9+1=10（ cm）．故答案为：8cm或10cm．。

中考数学-几何图形初步(解析版)

1.分类讨论思想。在过平面上若干个点画直线时，应注意对这些点分情况讨论；在画图形时，应注意图形的各种可能性。
2.方程思想。在处理有关角的大小，线段大小的计算时，常需要通过列方程来解决。 3.图形变换思想。在研究角的概念时，要充分体会对射线旋转的认识。在处理图形时应注意转化思想的应用，如立体图形与平面图形的互相转化。
∵射线 EB 平分∠CEF，
∴∠ ct
ch
t，
∴∠GEB＝∠CEB﹣∠CEG＝70°﹣50°＝20° 【例题 4】（2020•达州）如图，点 O 在∠ABC 的边 BC 上，以 OB 为半径作⊙O，∠ABC 的平分线 BM 交 ⊙O 于点 D，过点 D 作 DE⊥BA 于点 E．（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；（2）判断⊙O 与 DE 交点的个数，并说明理由．
根据几何体的展开图先判断出实心圆点与空心圆点的关系，进而可得出结论．
∵由图可知，实心圆点与空心圆点一定在紧相邻的三个侧面上，
∴C 符合题意．
【例题 2】（2020•武威）若α＝70°，则α的补角的度数是（）
A．130°
B．110°
C．30°
D．20°
【答案】B
【分析】根据补角的定义，两个角的和是 180°即可求解．
【答案】见解析。【分析】（1）根据要求，利用尺规作出图形即可．（2）证明直线 AE 是⊙O 的切线即可解决问题．
【解析】（1）如图，⊙O，射线 BM，直线 DE 即为所求．
（2）直线 DE 与⊙O 相切，交点只有一个．理由：∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠OBD， ∵BD 平分∠ABC， ∴∠ABM＝∠CBM， ∴∠ODB＝∠ABD， ∴OD∥AB， ∵DE⊥AB， ∴AE⊥OD， ∴直线 AE 是⊙O 的切线， ∴⊙O 与直线 AE 只有一个交点．

中考数学题中的几何模型

有关“中考数学题”中的几何模型
有关“中考数学题”中的几何模型如下：
1.直角三角形模型：直角三角形是初中数学中常见的几何模型之一，它涉及到勾股定
理、直角三角形的性质等知识点。

在中考数学题中，直角三角形模型通常会出现在与三角形、四边形、圆等相关的题目中。

2.相似三角形模型：相似三角形是初中数学中另一个重要的几何模型，它涉及到相似三
角形的性质、相似三角形的判定条件等知识点。

在中考数学题中，相似三角形模型通常会出现在与三角形、四边形、圆等相关的题目中。

3.梯形模型：梯形是初中数学中常见的几何图形之一，它涉及到梯形的性质、梯形的面
积计算等知识点。

在中考数学题中，梯形模型通常会出现在与四边形、圆等相关的题目中。

4.圆与扇形模型：圆与扇形是初中数学中常见的几何图形之一，它涉及到圆的性质、扇
形的面积计算等知识点。

在中考数学题中，圆与扇形模型通常会出现在与圆、扇形、三角形等相关的题目中。

“一题多解”在几何学习中的体现浅谈

“一题多解”在几何学习中的体现浅谈作者：熊考庆来源：《读写算》2019年第28期摘要中考复习期间，我们在梳理《圆》这一章的作业题时，发现了许多题型都有一些共同之处——以三角形作为基本图形载体进行题型的变化。

就此，我准备了一次教学展示课，课题是《圆背景下求线段的长度》。

关键词一题多解;几何学习;体现;反思中图分类号：G632;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; 文献标识码：A;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; 文章编号：1002-7661（2019）28-0181-01课前，我设置了一道前测题，设计与课堂内容相关的、可以为教学目标作铺垫的测试题目，目的是为了让学生熟练和归纳一些使得教学目标达成所需要的数学思想及方法，更有效地帮助学生在课堂上达成本节课的学习目标。

并且，在设计前测时，需要注意题目要有可选择性、符合课堂需要、难易程度适中、学生可操作性等要点。

一、“一题多解”几何图形的规律和解题方法的多样性在进行几何教学时，要突出“一题多解”对学生思维的碰撞，让学生进一步体会几何图形的规律性和解题方法的多样性。

本节课在实现“一题多解”过程中，以三角形作为基本图形载体，在三角形的基础上进行拓展和变化。

并要让学生确信，不管题型如何改变、几何图形如何变化，都应该抓住三角形这一基本图形载体，理解等腰三角形的对称性，最终问题都可以逐一解决。

课堂前测：已知如图1，在△ABC中，AB=AC。

以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、点E，连接EB交OD于点F.（1）求证：OD⊥BE;（2）若AB=5，，求AE的长。

合作学习：已知如图2，AB是半圆O的直径，点C是弧BD的中点，且AB=5，若AD=3，试求线段AC的长。

（你还有其它方法来求解吗？）反思一：几何学习中的“一题多解”，源于以不同的视角看问题。

人教版九年级数学中考总复习《基本几何图形的认识》(共34张PPT)

考点3 平行线的判定
考点精讲【例3】（2014汕尾）如图1-4-1-11，能判定EB∥AC的条件是
（）
A. ∠C=∠ABE B. ∠A=∠EBD C. ∠C=∠ABC D. ∠A=∠ABE
思路点拨：在复杂的图形中具有相等关系的两角，首先要判断它们是否是同位角或内错角，根据平行线的判定定理找同位角或内错角相等即可. 答案：D
考题再现
1. （2016长沙）下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（ B ）
2. （2014佛山）若一个60°的角绕顶点旋转15°，则重叠部
分的角的大小是 A. 15° B. 30°
C. 45°
（C） D. 75°
3. （2015济南）如图1-4-1-1，OA⊥OB，∠1=35°，则∠2的
度数是
（ C）
B. ∠AOC=∠AOD-∠COD
C. ∠AOC=∠AOB+∠BOD-∠BOC D. ∠AOC=∠AOD-∠BOD+∠BOC
4. 如图1-4-1-20，一个含有30°角的直角三角板的两个顶点
放在一个矩形的对边上，如果∠1=25°，那么∠2的度数是
A. 100°
B. 105°
（ C） C. 115° D. 120°
55°，则∠1等于
A. 55°
B. 45°
C. 35°
（ C） D. 25°
4. （2015广州）如图1-4-1-7，AB∥CD，直线l分别与AB，CD
相交，若∠1=50°，则∠2的度数为___5_0_°___.
考点演练
5. 如图1-4-1-8，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4∥l1，若
∠1=124°，∠2=88°，则∠3的度数为
直线a平行直线b，可记作a∥b.

从一道中考题谈一个基本图形

１
因为ＬＡＥＣ＝９０。，ＢＦＣ＝９０。，所以ＥＭ＝
１１
Ｆ＝ＡＧ＝＋ａｓ； ② ＝ＭＥ； ③整个图形是
‘
ｃ，刚＝ ÷ ｃ．因为Ｄ为Ａ中点，所以ＤＮ＝
’
轴对称图形； ④ ＬＤＡＢ＝ＬＤＭＢ．
给予证明．
Ｂ
ＬＢＭＨ＋ＦＭＤ＝ＬＢＭＨ＋ＧＢＭ＝ＬＦＨＢ＝９０。．
Ｄ
Ｃ
图５、
－：图６ｌ
Ｄ分别以ＡＣＡ
．．．
耷ＡＡＣＤ外作声角三角形ＡＢＣ ’
Ｊ
分析（１）ｒ观察．图形可知，ＢＭ，ＤＭ分别是ＲｔＡＣＤＥ和ＲｔＡＣＢＥ的中线所ｔ以；．ＢＭ＝ＤＭ＃
具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程； ●类比探究：在任意ＡＡＢＣ中，分别以ＡＢ和ＡＣ为斜边，向ＡＡＢＣ的内侧作等腰直角三角形，如图３
所示，是ＢＣ的中点，连接ＭＤ和ＭＥ，试判断
ＡＭＥＤ的形状．
所以ＤＥ＝ＤＦ，ＭＥＤ＝ＮＤＦ．所以ＧＤ日＝
，
‘
ＤＮ，刚＝ＭＤ，四边形ＭＤＮＣ为平行四边形．所以厶ＣＭＤ＝ＬＣＮＤ．厶ＭＧＤ＝ＧＤＮ．为ＬＥＭＣ＝
厶ＦＮＣ＝９０ｏ．跃＼ＬＥＭＣ＋厶ＣＭＤ＝厶ＦＮＣ＋ＣＮＤ，即Ｅ＝ＶＤ，所以ＡＥＭＤＡＤ Ⅳ

浅谈在几何教学中“基本图形”的作用

1浅谈在几何教学中“基本图形”的作用学生在做几何题时，看到题目首先想到的是这个题目有没有做过，而不是想如何根据已有的知识方法去分析它。

做几何题最关键的是根据已知条件，联系到所学过的知识定理，经过推理论证，最后解决问题。

但有些知识定理学生不一定就能很好的理解，这时就可引导学生看到题目中的条件就想到相应的基本图形。

利用这种方法分析问题时，学生可以把抽象的问题形象化，在解决问题时可以起到事半功倍的效果。

下面就谈谈在几何教学中如何发挥“基本图形”的作用。

1．建立基本图形与几何知识的双向联系在教学过程中把基本的定义定理以基本图形的形式反映出来，建立最基本的基本图形库，引导学生用几何语言表述相关的定义定理。

想到几何知识就联想到与之相关的几何图形，看到几何图形就想到相应的几何知识。

改变那种把性质定理的文字表述与图形割裂开的学习方法。

建立基本图形与几何知识的双向联系，是分析解决问题的先决条件，没有这种基本的关联，训练思维能力就缺少了必要的载体。

教师在平时的课堂教学中，就渗透这种理解、记忆几何知识的方法。

如三角形外角基本图（图1），学习三角形的一个外角等于和他不相邻的两个内角和的时候，想到三角形的外交相关的性质，就想到图1，看到图1的形状就想到∠1=∠A+∠B ，再如三线八角基本图（图2），同位角基本图（图3），内错角基本图（图4）等，看到这种图形就能以这些图形为索引，联想到相关联的知识。

2．把经常在习题中出现的基本形态作为基本图形。

尽管数学练习千变万化，但是绝大多数题目都能从中提炼出一些基本元素，在教学中帮助学生梳理、提炼这些基本图形，遇到问题时分离这些基本图形，基本图形残缺时，构造基本图形，这样可以以这些基本图形为载体，培养学生的空间想象能力，分析推理能力。

_ 图1 _1图2_2_1图3_2_1图4AB2一种是简单的基本图形。

例如，三角形全等的基本图形（如图5）；直角三角形斜边上中线等于斜边的一半的基本图形；三角形相似的基本图形，（如图5、6、7），还有弦切角定理、切线长定理基本图形等，这些都是比较简单的常见的全等、相似的基本形状，易于掌握和应用。

九年级几何图形知识点梳理

九年级几何图形知识点梳理在九年级的数学学习中，几何图形是一个非常重要的内容，掌握几何图形的性质和相关知识点对于解决几何问题以及提升数学能力都具有重要意义。

下面将对九年级几何图形的知识点进行梳理和总结。

一、平面图形1. 三角形三角形是最基础的平面图形，根据边长和角度的不同，可以分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形、锐角三角形和钝角三角形等。

2. 四边形四边形是具有四条边的平面图形，根据对边的平行关系和各角的大小，可以分为平行四边形、矩形、正方形、菱形、梯形和平行四边形等。

3. 多边形多边形是指具有多条边的封闭图形，根据边的数量不同，可以分为三角形、四边形、五边形、六边形等。

4. 圆圆是一个特殊的平面图形，它的每一个点到圆心的距离都相等。

二、立体图形1. 三棱柱和四棱柱三棱柱和四棱柱是具有底面为三角形和四边形的立体图形，可以通过计算底面积和高来求解体积和表面积。

2. 正方体正方体是具有六个相等的正方形面的立体图形，可以通过计算边长来求解体积和表面积。

3. 圆锥和圆柱圆锥和圆柱是具有底面为圆形的立体图形，可以通过计算底面积和高来求解体积和表面积。

4. 球体球体是一个特殊的立体图形，可以通过计算半径来求解表面积和体积。

三、几何图形的性质和定理1. 三角形的性质和定理包括三角形内角和为180度、三角形的外角和为360度、三角形中的角平分线相交于内心等。

2. 四边形的性质和定理包括平行四边形的性质、矩形、正方形和菱形的性质，以及梯形的性质等。

3. 圆的性质和定理包括圆的圆心角、弧度、弦和切线的性质等。

4. 立体图形的性质和定理包括柱体、锥体和球体的性质，以及相交立体图形的性质等。

四、几何图形的计算1. 长度计算计算平面图形中线段的长度，例如计算三角形边长、矩形和正方形的周长等。

2. 面积计算计算平面图形的面积，例如计算三角形和四边形的面积，圆的面积等。

3. 体积计算计算立体图形的体积，例如计算三棱柱和四棱柱的体积，圆锥和圆柱的体积等。

一个基本图形在中考试题中的应用

180教育管理与艺术 2014年第2期课案赏析中考中有许多试题是根据基本图形来巧妙设置的，这样既考查学生观察图形、提炼图形和运用图形的能力，同时又开拓了学生的思维空间。

因此，教学中教师应重视基本图形的挖掘、探究，并引导学生深入剖析基本图形，抓住问题本质，以提高学生分析问题、解决问题的能力，现就人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》“三角形全等的条件”课内练习中的一个基本图形，谈谈该基本图形及其变式在考题中的应用。

一、基本图形已知：如右图，AB⊥BD于点B ，E D ⊥B D 于点D ，A C ⊥E C 于点C，点C在线段BD上，且AC=CE。

求证：BD=AB+DE。

分析：根据条件“∠B = ∠ACE=∠D=90”可证“∠1=∠2或∠3=∠4，”又“AC=CE”可证△ABC≌△CDE，得到AB=CD，BC=DE，所以BD=BC+CD=AB+DE现将满足“∠B=∠ACE=∠D=90，A C =C E ”这一条件的两个全等三角形，即“△ABC≌△CDE”称之为基本图形，查阅近几年的中考试卷，发现命题者运用基本图形及其变式图形，编制出一批构思巧妙、立意新颖的好题。

二、直接应用例1（2010年辽宁）如图，已知在矩形ABCD 中，E 是A D 上的一点，F是AB上的一点，EF⊥FC，且EF=FC,DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长。

分析：该题将两个全等三角形的基本图形置于矩形背景中，既使学生感到熟悉，又灵活地考查了学生运用基本图形的能力，题中的两个三角形△EAF、△CDE，它们满足条件“∠A=∠CEF=∠D=90o ，EF=EC”，可以直接应用基本图形，得到△EAF≌△CDE，再根据全等三角形对应边相等的性质，问题即可解决。

三、构造应用有些中考题，表面上不能直接找到两个三角形全等的基本图形，但我们可以根据图形特征，添加适当的辅助线，构造出基本图形，达到应用基本图形解决问题的目的。

中考数学几何题型解析与解题方法

中考数学几何题型解析与解题方法数学几何是中考数学中的重要部分，对学生的空间想象力、逻辑推理能力以及解决几何问题的能力都有一定要求。

在中考数学几何题中，常见的题型有相似三角形、等腰三角形、正方形和矩形等。

本文将对这些常见的几何题型进行解析，并介绍相应的解题方法，帮助同学们更好地应对中考数学几何题。

一、相似三角形相似三角形是中考几何题中常见且重要的题型。

在相似三角形中，各对应角度相等，而各对应边的比例相等。

解此类题时，可以运用相似三角形的性质，如比较边长比例、运用比例关系等。

例如，在已知∠A=∠D的情况下，可以得出AB/DE=AC/DF的结论，从而解出相应的未知边长。

二、等腰三角形等腰三角形是指具有两个边相等的三角形。

在中考数学中，常见的等腰三角形题型有求等腰三角形的边长、顶角等。

对于求等腰三角形边长的题目，可以通过等腰三角形边长的对应关系进行解答。

例如，若已知等腰三角形的底边和高，可以利用勾股定理求出斜边的长度。

对于求等腰三角形顶角的题目，可以利用等角和等腰三角形底边的性质，通过计算或使用三角函数求解。

三、正方形和矩形正方形和矩形是中考几何题中的基本题型，常涉及到正方形和矩形的周长、面积、对角线等。

解此类题目时，可以根据正方形和矩形的性质进行推导和计算。

例如，正方形的周长等于4倍边长，面积等于边长的平方；矩形的周长等于两个相邻边之和的两倍，面积等于长乘以宽。

四、其他题型除了相似三角形、等腰三角形、正方形和矩形以外，中考几何题中还可能出现其他类型的题目，如平行四边形、梯形等。

对于这些题型，同样可以根据其性质进行解答。

例如，在平行四边形中，对角线互相平分，相邻内角互补等。

在梯形中，底角互补，非平行边的中点连线平行等。

综上所述，中考数学几何题需要同学们熟练掌握几何图形的性质，并能够正确应用几何知识解决问题。

通过理解并掌握相似三角形、等腰三角形、正方形和矩形等常见几何题型的解法，同学们可以提高解题效率，提升解决几何问题的能力。

初中几何基本图形的解题思路和相关结论全都整理

初中几何基本图形的解题思路和相关结论全都整理
初中几何图形是算比较难的一个知识模块了，很多同学在这一方面都搞不懂，弄不明白怎么去求证解答的，导致考试总是做不出来。

今天，给大家带来一份超全的初中几何基本图形的解题思路和相关结论，每一种题型都详细地列举出来了，很方便孩子们学习。

因此，这份好资料，建议家长们最好打印出来，让孩子利用这个假期好好补习一下，把这一块的弱点弥补回来，考试拿高分不再愁了。

初三数学几何图形特性分析

初三数学几何图形特性分析一、几何图形的定义及基本概念1.几何图形的定义：几何图形是由点、线、面组成的基本图形，它们之间存在着各种关系和性质。

2.基本概念：点、线、面、角、三角形、四边形、五边形、六边形等。

二、图形的性质与判定1.线段的性质：线段有长度，两点之间线段最短。

2.直线的性质：直线无端点，无限延伸。

3.角的性质：角是由两条射线的公共端点所形成的图形，有大小之分。

4.三角形的性质：三角形有三条边、三个角，两边之和大于第三边。

5.四边形的性质：四边形有四条边、四个角，对角线互相平分。

6.五边形、六边形等多边形的性质：边数分别为五、六的多边形，依次类推。

三、图形的变换1.平移：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，称为平移。

2.旋转：在平面内，将一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换，称为旋转。

3.轴对称：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。

四、图形的证明1.证明方法：综合法、分析法、反证法、归纳法等。

2.证明步骤：明确题意、画图示意、选择证明方法、逐步推理、得出结论。

五、特殊图形的性质1.等边三角形的性质：三边相等，三个角相等，具有高度对称性。

2.等腰三角形的性质：两边相等，两个角相等，底角相等。

3.正方形的性质：四边相等，四个角相等，对角线互相垂直且平分。

4.圆的性质：圆上所有点到圆心的距离相等，直径所对的圆周角为直角。

六、图形的应用1.几何图形的计算：面积、周长、体积等。

2.几何图形的实际应用：建筑设计、工程测量、日常生活等领域。

七、学习建议1.熟练掌握基本概念和性质，理解图形的变换和证明方法。

2.多做练习题，提高解题能力和思维灵活性。

3.注重理论联系实际，学会将几何知识应用于解决实际问题。

习题及方法：1.习题：判断下列各题，哪些是正确的？a)任意三角形的内角和等于180度。

b)等腰三角形的底角相等。

c)四边形的对角线互相平分。

初三数学几何作图技巧分析详解

初三数学几何作图技巧分析详解几何作图是初中数学中的重要内容之一，它不仅有助于学生对几何图形的认识和理解，还培养了学生的观察力和逻辑思维能力。

在初三阶段，学生需要掌握一些基本的几何作图技巧，以便能够解决更加复杂的几何问题。

本文将分析并详细解释一些初三数学几何作图的技巧。

一、画三角形三角形是几何学中常见的图形，学生需要学会根据给定条件画出与之相应的三角形。

首先，当我们知道一个三角形的边长时，只需在纸上用直尺依次连接这些点即可画出这个三角形。

其次，如果我们知道一个三角形的底边和底边两边的夹角，可以先画出底边，然后以底边为边用量角器测出夹角，再连接其他两个顶点。

最后，如果我们知道一个三角形的底边和两个底边的对角线，可以先画出底边，然后作出两个对角线，最后连接顶点即可。

二、画正方形和长方形正方形和长方形是几何中的特殊四边形，它们有各自的画法。

首先，当我们知道一个正方形的边长时，只需在纸上用直尺画出四条边相等的线段，然后连接这些线段的端点即可。

其次，如果我们只知道正方形的对角线长度，可以先画出对角线，然后找到对角线中点，以此为圆心作出一个半径为对角线一半长度的圆，最后连接圆上的两个点和对角线的两个端点即可。

对于长方形的画法类似，只需注意各边长度即可。

三、画圆画圆是初三数学中的一个重要环节，同时也是一个相对较难的部分。

学生需要学会根据给定条件画出与之相应的圆。

首先，如果我们知道一个圆的半径或直径，可以以这个半径或直径为边用圆规或者直尺和量角器画出。

其次，如果我们知道一个圆的弦长和弦对应的圆心角，可以先画出弦，然后根据圆心角的大小找到该角平分线，用这条平分线和弦的中点来画出圆。

最后，如果我们知道一个圆的切线和切点，可以先画出切线，然后以切点为圆心，切线长度为半径画出圆。

通过对初三数学几何作图的技巧分析可以发现，几何作图并不是一项难以掌握的技能。

只要我们掌握了画三角形、正方形、长方形和圆的基本画法，再加上一些基本的测量和度量工具，就可以轻松应对各类几何问题。

一道中考题引出的一个基本图形问题

一道中考题引出的一个基本图形问题
徐健旭
【期刊名称】《数学教学》
【年(卷),期】2014(000)001
【摘要】1．题目描述（2011年盐城市中考试题）如图1，等腰直角△ABC和 O
如图放置，已知AB=BC=1，么ABC=90°， O的半径为1，圆心（二）与直线
AB的距离为5．现△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，同时△ABC的边长4B、BC又以每秒0．5个单位沿BA、BC方向增大．
【总页数】4页(P15-18)
【作者】徐健旭
【作者单位】浙江省湖州市第八中学 313000
【正文语种】中文
【中图分类】O123.1
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