高考浙江卷自选模块(数学)试题及答案
2021年高考真题-数学(浙江卷)【含答案及解析】
2021年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试(浙江卷)(数学)
参考公式：
如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率
()C (1)(0,1,2,,)
k k
n k n n P k p p k n -=-=L
台体的体积公式
121
()3V S S h
=其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高
柱体的体积公式V Sh
=其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式
1
3V Sh
=其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式2
4S R =p 球的体积公式
3
43
V R =
p 其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）
一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合{}
1A x x =³，{}
12B x x =-<<，则A B =I （）
A.
{}
1x x >- B.
{}
1x x ³ C.
{}
11x x -<< D.
{}
12x x £<2. 已知a R Î，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则a =（）
A.1
- B.1
C.3
- D.3
3. 已知非零向量,,a b c r r r ，则“a c b c ×=×r r r r ”是“a b =r r
”的（
）
A.充分不必要条件
高考浙江卷自选模块(数学)试题及答案
2009年普通高等学校招生全国统一考试
自选模块测试（浙江卷）
数学
题号：03
“数学史与不等式选讲”模块（10分）
已知正数x ，y 、z 满足x +y +z =1.
(1) 求证：222
222x y z y z z x x y +++++≥13
(2) 求4x +4y +2
4x 的最小值. （1） 证明：因为0,0,0x y z >>>，所以由柯西不等式得
()()()()2222222222x y z y z z x x y x y z y x z x x y ⎡⎤+++++++≥++⎡⎤⎢⎥⎣⎦+++⎣⎦
又因为1x y z ++=，所以
()()()2222()12222223
x y z x y z y x z x x y y x z x x y ++++≥=++++++ （2） 解：由均值不等式得 22
344434x y x x y x ++++≥因为1x y z ++=，所以 2221331244x y z z z z ⎛⎫++=-+=-+≥ ⎪⎝
⎭ 故23344443432x y x ++≥当且仅当11,42
x y z ===时等号成立，所以2444x y x ++的最小值为32题号：04
“矩陈与变换和坐标系与参数方程”模块（10分）
在极坐标系中，极点为O.已知一条封闭的曲线C 由三
段圆弧组成: ρ=2cos θ(0≤θ<4
π),
ρ=2sin θ(4π≤θ<2π),ρ=2(2
π≤θ<2π). (1) 求曲线C 围成的区域的面积； (2) 若直线l: ρsin(θ+
2020年浙江省高考数学试卷 试题+答案详解
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，
联立直线方程组 ，可得点 ，
据此可知目标函数的最小值为 ，且目标函数没有最大值.
故目标函数的取值范围是 .故选B
4.【答案】A
【解析】∵ ，则 ，
即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD错误；
下列命题正确的是（）
A.若S有4个元素，则S∪T有7个元素B.若S有4个元素，则S∪T有6个元素
C.若S有3个元素，则S∪T有4个元素D.若S有3个元素，则S∪T有5个元素
非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，共36分.多空题每小题6分，单空题每小题4分.
11.已知数列 满足 ，则 ________．
2020年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学
本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页.满分150分.考试用时120分钟.
考生注意：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.
19.如图，三棱台DEF—ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC．
2023年浙江省高考数学真题及参考答案
2023年浙江省高考数学真题及参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}21012，，，，--=M ，{}
062
>--=x x x N ，则M ∩=N （
）
A .{}1012，，，
--B .{}
2,1,0C .{}2-D .{}
22.已知i
i
z 221+-=
，则=-z z （）
A .i -
B .i
C .0
D .1
3.已知向量()1,1=a
，()1,1-=b .若()()
b a b a μλ+⊥+，则（
）
A .1
=+μλB .1-=+μλC .1=λμD .1
-=λμ4.设函数()()
a x x x f -=2
在区间()1,0单调递减，则a 的取值范围是（
）
A .(]2-∞-，
B .[)0,2-
C .(]2,0
D .[)∞+，
25.设椭圆12221=+y a x C ：()1>a ，142
22=+y x C ：的离心率分别21,e e .若123e e =，则
=a （）
A .3
3
2B .2
C .3
D .6
6.过点()20-，与圆0142
2
=--+x y x 相切的两条直线的夹角为α，则=αsin （
）
A .1
B .
4
15
C .
4
10D .
4
67.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：⎭
⎫
⎩⎨
⎧n S n 为等差数列，则（）
A .甲是乙的充分条件但不是必要条件
B .甲是乙的必要条件但不是充分条件
C .甲是乙的充要条件
D .甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2022年浙江省新高考数学试题及参考答案
2022年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页，选择题部分1至3页；非选择题部分3至4页．满分150分，考试时间120分钟。 考生注意：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式：
如果事件A ，B 互斥，则 柱体的体积公式
()()()P A B P A P B +=+ V Sh =
如果事件A ，B 相互独立，则 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高
()()()P AB P A P B =⋅ 锥体的体积公式
若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次 13
V Sh =
独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高
()C (1)
(0,1,2,,)k k n k n n P k p p k n -=-= 球的表面积公式
台体的体积公式 2
4S R =π
()
11221
3
V S S S S h =
球的体积公式 其中12,S S 表示台体的上、下底面积， 343
V R =
π h 表示台体的高 其中R 表示球的半径
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合{1,2},{2,4,6}A B ==，则A B =（ ）
A ．{2}
B ．{1,2}
浙江省数学自选模块
题号：03 科目：数学
“复数、二项式、排列组合、概率”模块（每题5分，共10分）
（1）、已知n x x ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+52311展开式中所有奇数项的系数之和为1024，求它的中间项______ 4462-x 与1561
462-x
（2）、若甲、乙两同学从四门选修课中各选两门，则甲、乙两同学所选的课程中至少有1门相同的选法有____30______(用数字作答)
题号：04 科目：数学
“函数与导数”模块（每题5分，共计10分）
已知函数()ln ln(2),0f x x x ax a =+-+>．
⑴当1a =时，求函数()f x 的单调区间；
⑵若函数()f x 在(0,1]上有最大值12
，求a 的值． （1） 单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成。
当a=1时，令2112()0+1=0022x f x x x x x -+'=-
⇒=--得（）
当()
0,x f x '∈>为增区间；当()0,x f x '∈
（2） 区间(]01，上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确
定
待定量a 的值。
当(]01x ∈，有最大值，则必不为减函数，且11()2f x a x x '=
-+->0，为单调递增区间。 最大值在右端点取到。max 1(1)2f f a ===
。
2022年新高考浙江数学高考真题文档版(含答案)
2022年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学
姓名________ 准考证号_________________
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页，选择题部分1至3页；非选择题部分3至4页．满分150分，考试时间120分钟。 考生注意：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式：
如果事件A ，B 互斥，则 柱体的体积公式
()()()P A B P A P B +=+ V Sh =
如果事件A ，B 相互独立，则 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高
()()()P AB P A P B =⋅ 锥体的体积公式
若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次 13
V Sh =
独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高
()C (1)
(0,1,2,,)k k n k n n P k p p k n -=-= 球的表面积公式
台体的体积公式 2
4S R =π
()
11221
3
V S S S S h =
球的体积公式 其中12,S S 表示台体的上、下底面积， 343
V R =
π h 表示台体的高 其中R 表示球的半径
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合{1,2},{2,4,6}A B ==，则A B =（ ）
高中数学：浙江省自选模块课件之一
练习 2. 已知 a,b,c R ，且 a b c 1，
求证： a b c 3 1bc 1ca 1ab 5
练习 3.（1）用 max a,b表示 a, b 两个数中的较大值。
设 f (x) max x 1 , x 2 (x R) ，求 f (x) 的最小值；
3 a2 (1 b) 3 a a (1 b) a a (1 b) 3
（这样可以吗？为什么？）
配系数！
3 a2(1b) 3 2a2a(1b) 1 34
1 2a2a(1b) 1 5ac
34
3
34 3
练习 1. 已知 a,b, c R ，且 abc 1，
求证： (2 a)(2 b)(2 c) 27 .
练习 2. 已知 a, b, c R ，且 a b c 1。
求证： abc 1 . bc ca ab 9
柯西不等式
• 不等式结构：
( a 1 2 a 2 2 a 3 2 )b 1 2 ( b 2 2 b 3 2 ) ( a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 ) 2
（2）用 max a,b,c表示 a,b, c 三个数中的最大值．
设
f (x, y)
max
xy x 2y 3
,
x2 x 2y 3
,
2020年高考数学浙江卷(附答案与解析)
数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页）
绝密★启用前
2020年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数 学
分别表示台体的上、下底面积，h 选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{|14}x P x =＜＜，{}23Q x =＜＜，则P Q （ ）
A .{|12}x x ＜≤
B .{|23}x x ＜＜
C .{|34}x x ≤＜
D .{|14}x x ＜＜ 2.已知a ∈R ，若()–12i a a +-(i 为虚数单位)是实数，则a =
（ ）
A .1
B .–1
C .2
D .–2
3.若实数x ，y 满足约束条件310
30x y x y -+⎧⎨+-⎩
≤≥，则2z x y =+的取值范围是
（ ）
A .(,4]-∞
B .[4,)+∞
C .[5,)+∞
D .(,)-∞+∞
4.函数cos sin y x x x =+(,)-∞+∞区间[–π,]π+的图象大致为
（ ）
A
B
C
D
5.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）
A .73
B
.
143
C .3
D .6
6.已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，
n ，l 两两相交”的 （ ）
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
7.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，公差0d ≠，
1
1a d
≤．记12b S =，1222–n n n S S ++=，n *∈N ，下列等式不可能成立的是
2020年高考浙江高考数学试题及答案(精校版)
2020年浙江省高考数学试卷
一、选择题（共10小题）.
1．已知集合P＝{x|1＜x＜4}，Q＝{x|2＜x＜3}，则P∩Q＝（）
A．{x|1＜x≤2} B．{x|2＜x＜3} C．{x|3≤x＜4} D．{x|1＜x＜4} 2．已知a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是实数，则a＝（）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
3．若实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的取值范围是（）A．（﹣∞，4] B．[4，+∞）C．[5，+∞）D．（﹣∞，+∞）4．函数y＝x cos x+sin x在区间[﹣π，+π]的图象大致为（）
A．B．
C．D．
5．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是（）
A．B．C．3 D．6
6．已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l 两两相交”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知等差数列{a n}的前n项和S n，公差d≠0，≤1．记b1＝S2，b n+1＝S n+2﹣S2n，n ∈N*，下列等式不可能成立的是（）
A．2a4＝a2+a6B．2b4＝b2+b6C．a42＝a2a8D．b42＝b2b8 8．已知点O（0，0），A（﹣2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|﹣|PB|＝2，且P为函数y＝3图象上的点，则|OP|＝（）
A．B．C．D．
9．已知a，b∈R且ab≠0，若（x﹣a）（x﹣b）（x﹣2a﹣b）≥0在x≥0上恒成立，则（）
2022版高考数学二轮专题突破(浙江专用理科)文档：专题六 自选模块 第1讲 Word版含答案
第1讲 导数及其应用
1．(2021·浙江)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象
如图所示，则该函数的图象是( )
2．(2022·陕西)如图，修建一条大路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )
A ．y
＝12x 3－1
2x 2－x
B ．y ＝12x 3＋1
2x 2－3x
C ．y ＝1
4
x 3－x
D ．y ＝14x 3＋1
2
x 2－2x
3．(2022·辽宁)当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5，－3] B ．[－6，－9
8]
C ．[－6，－2]
D ．[－4，－3]
4．(2021·课标全国Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝
______________.
1.导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点.
2.利用导数解决函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型.
热点一 导数的几何意义
1．函数f (x )在x 0处的导数是曲线f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，曲线f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(x 0)，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．
2．求曲线的切线要留意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的不同．
例1 (1)(2021·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝____________.
2022年浙江省高考数学真题试卷(后附答案解析)
2022年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学
姓名________
准考证号_________________
本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至3页；非选择题部分3至
4页．满分150分，考试时间120分钟.
参考公式：
如果事件A ，B 互斥，则
柱体的体积公式
()()()
P A B P A P B +=+V Sh
=如果事件A ，B 相互独立，则
其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高()()()
P AB P A P B =⋅锥体的体积公式
若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次1
3
V Sh
=独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率
其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()(1)(0,1,2,,)
k k
n k n n P k C p p k n -=-= 球的表面积公式
台体的体积公式
2
4S R π
=()
121
3
V S S h =
+球的体积公式
其中12,S S 表示台体的上、下底面积，3
43
V R π=h 表示台体的高
其中R 表示球的半径
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合{1,2},{2,4,6}A B ==，则A B ⋃=（）A.{2}
B.{1,2}
C.{2,4,6}
D.{1,2,4,6}
2.已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（）
A.1,3
a b ==- B.1,3
a b =-= C.1,3
a b =-=- D.1,3a b ==3.若实数x ，y 满足约束条件20,
2024年浙江省高考数学真题及参考答案
2024年浙江省高考数学真题及参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知集合{}
553
<<-=x x A ，{}3,2,0,13--=，B ，则=B A （
）
A.{}0,1-
B.{}
32， C.{}0,13--， D.{}
2,0,1-2.若
i z z
+=-11
，则=z （）
A.i --1
B.i +-1
C.i -1
D.i +13.已知向量()1,0=a
，()x b ,2= ，若()
a b b 4-⊥，则=x （
）A.2- B.1- C.1
D.24.已知()m =+βαcos ，2tan tan =βα，则()=-βαcos （）A.m
3- B.3
m -
C.
3
m D.m
35.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为（）
A.π
32 B.π
33 C.π
36 D.π
396.已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧≥++<---=0
,1ln 0
,22
x x e x a ax x x f x 在R 上单调递增，则a 的取值范围是（
）
A.(]0，∞-
B.[]0,1-
C.[]1,1-
D.[)
∞+，07.当[]π2,0∈x 时，曲线x y sin =与⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-=63sin 2πx y 的交点个数为（）
A.3
B.4
C.6
D.8
8.已知函数()x f 定义域为R ，()()()21-+->x f x f x f ，且当3<x 时，()x x f =，则下列结论中一定正确的是（）
A.()10010>f
2024年浙江高考数学真题(含答案) (2)
2024年浙江高考数学真题及答案
本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知集合{}355,{3,1,0,2,3}
A x x
B =-<<=--∣，则A B = （ ）
A. {1,0}
- B. {2,3}
C. {3,1,0}
-- D.
{1,0,2}
-2. 若
1i 1
z
z =+-，则z =（ ）A. 1i
-- B. 1i
-+ C. 1i
- D. 1i
+3. 已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-
，则x =（ ）
A. 2
- B. 1
- C. 1
D. 2
4. 已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（ ）A. 3m
- B. 3
m -
C.
3
m D. 3m
5.
（ ）
A.
B.
C.
D. 6. 已知函数为22,0
()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩
2103年浙江省高考自选模块数学部分
2013年浙江省高考自选模块测试试题
数学部分
题号：03 科目：数学
“数学史与不等式选将”模块（10分） （1） 解不等式丨x-1丨+丨x-4丨≥5
（2） 求函数y=丨x-1丨+丨x-4丨+2
x -4x 的最小值 题号：04 科目：数学
“矩阵与变换和坐标系与参数方程“模块（10分）
（1）以极坐标Ox 为x 轴建立平面直角坐标系xOy ，并在两种坐标系中取相同的长度单位，把极坐标方程 2cos sin 1p θθ+=化成直角坐标方程
x θ=
(2)在直角坐标系xOy 中，曲线C: （θ为参数），过点P （2，1）的 sin y θ=
直线与曲线交与A,B 两点，若丨PA 丨·丨PB 丨=8
3
，求丨AB 丨的值
答案
题号：03 科目：数学
“数学史与不等式选讲”模块（10分） （1）
(2)因为
题号：04 科目：数学
“矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块（10分）
（1）极坐标方程两边同乘以ρ得
又在直角坐标系下，
故化成直角坐标方程
又（0，0）满足原极坐标方程 故所求的直角坐标方程为
由题意，曲线C 的直角坐标方程为
1.-4|4-||1|.
2.1434|4-||1|2x ,44)2(441,3|4-1(||4||1|2222的最小值为所以时取等号当故
时取等号；当且仅当时取等号；当且仅当）（）x x x x y x x x x x x x x x x x x x -++-==-=-≥-++-=-≥--=-≤≤=--≥-+-ρθρθρ=+sin co 3
s .
,sin ,cos 22y x y x +===ρθρθρ.
2022年高考真题—数学(浙江卷)【含答案及解析】
年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试（浙江卷）
数学参考公式：
如果事件A ，B 互斥，则
柱体的体积公式
()()()
P A B P A P B +=+V Sh
=如果事件A ，B 相互独立，则
其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高()()()
P AB P A P B =×锥体的体积公式
若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次1
3
V Sh
=独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率
其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()(1)(0,1,2,,)
k k n k n n P k C p p k n -=-=L 球的表面积公式
台体的体积公式
2
4S R p
=()
121
3
V S S h =
++球的体积公式
其中12,S S 表示台体的上、下底面积，3
43
V R p =h 表示台体的高
其中R 表示球的半径
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合{1,2},{2,4,6}A B ==，则A B È=（
）
A.{2}
B.{1,2}
C.{2,4,6}
D.{1,2,4,6}
2.已知,,3i (i)i a b a b Î+=+R （i 为虚数单位），则（）
A.1,3
a b ==- B.1,3
a b =-= C.1,3
a b =-=- D.1,3a b ==3.若实数x ，y 满足约束条件20,
270,20,
x x y x y -³ìï
+-£íï
--£î则34z x y =+的最大值是（
）
A 20
B. 18
C. 13
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2009年普通高等学校招生全国统一考试
自选模块测试（浙江卷）
数学
题号：03
“数学史与不等式选讲”模块（10分）
已知正数x ，y 、z 满足x +y +z =1.
(1) 求证：222222x y z y z z x x y +++++≥13
(2) 求4x +4y +2
4x 的最小值. （1） 证明：因为0,0,0x y z >>>，所以由柯西不等式得
()()()()2222222222x y z y z z x x y x y z y x z x x y ⎡⎤+++++++≥++⎡⎤⎢⎥⎣⎦+++⎣⎦
又因为1x y z ++=，所以
()()()2222()12222223
x y z x y z y x z x x y y x z x x y ++++≥=++++++ （2） 解：由均值不等式得 22
344434x y x x y x ++++≥因为1x y z ++=，所以 2221331244x y z z z z ⎛⎫++=-+=-+≥ ⎪⎝
⎭ 故23344443432x y x ++≥=当且仅当11,42
x y z ===时等号成立，所以2444x y x ++的最小值为32题号：04
“矩陈与变换和坐标系与参数方程”模块（10分）
在极坐标系中，极点为O.已知一条封闭的曲线C 由三
段圆弧组成: ρ=2cos θ(0≤θ<4
π),
ρ=2sin θ(4π≤θ<2π),ρ=2(2
π≤θ<2π). (1) 求曲线C 围成的区域的面积； (2) 若直线l: ρsin(θ+
4π)=k(k ∈R )与曲线C 恰有两个公共点，求实数k 的取值范围.
（1） 解：如图，设两段小圆弧所在圆的圆心分别为A,C 它们的衔接点为B ,则四边形
OABC 是边长为1的正方形，曲线C 围成的区域面积
2231721111422
S πππ=⋅+⋅+⋅⋅=+ （2） 解：如图，以极点为原点，以极轴x 为轴正半轴建立直角坐标系，其中点M 为圆A
与x 轴正半轴的交点，点N 为圆C 与y 轴正半轴的交点，则
小圆弧¼»,BM
BN 所在的圆方程分别为 ()()222211,11x y x y -+=+-=
大圆弧¼NPM
所在的圆方程为224x y += 直线:sin 4l k πρθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
在直角坐标系下的方程为2x y k += 当l 与圆弧¼NPM
相切时，l 的方程为2y x =--当l 过,,M B N 三点时，l 的方程为2y x =-+
当l 与圆弧¼»,BM
BN 都相切时，记l 与曲线C 的切点分别为,E F ,且与x 轴的交点为D .在等腰直角三角形AED 中1,2AE AD ==12OD =+此时l 的方程为12y x =-+因此，要使l 与曲线C 恰有两个公共点，必须2222212k k -<
<=或 即222k -<<或