高一数学平面及基本性质课件

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平面课件-2021-2022学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

练习
－－－－－－－－－－教材128页
2. 下列命题正确的是( D ).
(A) 三点确定一个平面．
(B) 一条直线和一个点确定一个平面．
(C) 圆心和圆上两点可确定一个平面．
(D) 梯形可确定一个平面．
3. 不共面的四点可以确定经过平面．
P
4个
C A
B
练习
－－－－－－－－－－教材128页
下面三个推论：推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
A a α
b αa P
b a α
练习
－－－－－－－－－－教材128页
1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
平面: 几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸,平面是向四周无限延展的.所以平面无厚薄，大小之分.
2. 平面的画法及表示问题2 类比点和直线，我们如何画平面和表示平面呢？
（1）画平面：如图示，与画出直线的一部分表示直线
D
一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面. 通常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面. 当平面水平 α 放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖 A 直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向.
P ,且P l,且P l
如无特殊说明，本章中的两个平面均指两个不重合的平面.
我们在画两个平面相交时，如果其中一个平面被另一个平面遮挡，通常把被遮挡的部分化成虚线或不画，以此增强图形的立体感.
4. 平面的基本性质的推论利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到

高一数学平面与平面平行的判定和性质

一、两个平面的位置关系
（4）两个平面平行的画法画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行，如图 1 ，而不应画成图2那样．
图1
图2
二、两个平面平行的判定
问题1：从两平面平行的定义出发来探究两平面平行的条件（转化为线面平行问题）问题2：一个平面内至少有几条直线和另一个平面平行可以确保两个平面平行（不相交）
性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
// 即： a a // b b
例4如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的相对侧面分别平行，过它的一个顶点A的一个平面截它的四个侧面得四边形AMFN. 证明：四边形AMFN是平行四边形.
课堂练习1：课本63页练习1~3
三、两个平面平行的性质
（1）一个结论根据两个平面平行及直线和平面平行的定义，容易得出下面的结论：
// , a a //
即：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．
三、两个平面平行的性质
（2）两个平面平行的性质定理
D1 A1 B1 C1
N D
A
M
F
C B
例题分析
例题3：求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等。

A
B

D
C
课堂练习2：课本67页练习
点击图片可以演示动画
作业 : 今天学习的内容有：
1. 空间两平面的位置关系有几种？ P68 A组 6,8 2. 面面平行的判定定理需要什么条件？ 3. 面面平行有什么结论
二、两个平面平行的判定
判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都

高一必修一数学课件PPT

03
角度与弧度的互化
掌握角度与弧度之间的转换方法，进行实例计算。
三角函数定义及性质
三角函数定义
学习正弦、余弦、正切等三角函数的定义，掌握各象限内三角函数的取值。
单位圆与三角函数线
三角函数的性质
探讨三角函数的奇偶性、周期性等基本性质，进行应用分析。
利用单位圆理解三角函数的几何意义，绘制三角函数线。
高一必修一数学课件
目录
• 函数与导数 • 三角函数与解三角形 • 数列与数学归纳法 • 平面向量与空间向量初步认识 • 立体几何初步认识 • 不等式与线性规划问题求解策略
01 函数与导数
函数概念及性质
函数定义
明确函数的概念，理解函数的三要素，掌握函数的表示方法。
函数的性质
理解函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质，并能进行简单应用。
展示线性规划问题的求解过程和应用价值。
1.谢谢聆听
两角和与差公式
01
02
03
两角和公式
学习正弦、余弦、正切的两角和公式，理解公式的推导过程。
两角差公式
掌握正弦、余弦、正切的两角差公式，进行实例计算。
二倍角公式
推导正弦、余弦、正切的二倍角公式，解决相关问题。
解直角三角形和应用举例
解直角三角形
运用三角函数知识解决直角三角形中的边长和角度问题。
等差数列通项公式
an=a1+(n-1)d，其中d为公差。
等差数列前n项和公式
Sn=n/2(2a1+(n-1)d)。
等比数列及其前n项和公式推导
等比数列定义
01
从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的一种

高一数学必修2 平面的基本性质-苏教版 ppt

公理3 经过不在同一条直线上的三点，
有且只有一个平面.
B
C A α
B C
A α
推论2 经过两条相交直线 ,有且只有
一个平面.
B C
A α
公理3 经过不在同一条直线上的三点，
有且只有一个平面.
B
C A α
B C
αA
推论3 经过两条平行直线,有且只有一
个平面.
B C
αA
知识运用:
例1:已知: A l, B l,C l, D l (见下图)
P
公理3 经过不在同一条直线上的三点，
有且只有一个平面.
B
C A α
B C
αA
推论1 经过一条直线和这条直线外的
一点,有且只有一个平面.
B C
αA
已知：直线 l，点B l
求证：过直线 l 和点B有且只有一个平面.
分析：先在直线 l上任
取两点A,Ｃ，由公理3
B
可知不共线的Ａ,Ｂ,Ｃ
C
三点就能惟一确定一个 α A
求证: 直线 AD, BD,CD 共面.
D
A
BC

l
知识运用:
例2:如图,在长方体 ABCD A1B1C1D1
中, P为棱 BB1 的中点,画出由 A1 ,C1 , P 三点
所确定的平面与长方体表面的交线.
D1 A1
D A
C1 B1 P
C B
课堂小结:
公理
Al B
A AB
平面的基本性质
平面的基本性质:
公理1 如果一条直线上的两点在一个平
面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
B α

汉中市高一数学《直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线》课件

所以B∈平面ASC，与三棱锥S-ABC矛盾，故EF与AS异面.
(2)如图,取AC的中点K,连接EK. 因为E是SC的中点,故EK∥SA, 所以∠KEF(或其补角) 是异面直线EF与SA所成的角. 连接KF,也有KF∥BC. 在△EKF中, EK=KF=1.
又因为SF=CF EF⊥SC,
所以EF2=SF2-SE2=3-1 =1 1 , 44
2
典例精讲
题型一空间两直线的位置关系
例1 下列命题中:
①若直线a与b没有公共点，则a∥b;
②若直线b∥平面α,直线a α,则b∥a; ③若平面α∥β,b β，a α，则b∥a;④若直
线a不在平面α内，则a∥α;
⑤长方体ABCD-A1B1C1D1中,
平面
ABCD与平面A1BC1只有一个公共点B;
③一定存在平面α同时和异面直线a、b都平行.
其中正确的命题为 ( C )
A.① B.② C.③ D.①③
①错, c至多可与a、b中的两条相交; ②错, 因为a、c可能相交也可能平行； ③对, 例如过异面直线a、b的公垂线段的中点
且与公垂线垂直的平面即可满足条件. 故选C.
5.如图, 正方体ABCD-A1B1C1D1中.
则EF= 1 1 ,
2
11
所以cos∠KEF= EK2 EF2 KF2 = 4 = 1 1 ,
所以异面直线EF与2SAE所K成EF角的余弦1 1 值为4 1 1 .
4
点评 (1)判定或证明两条直线为异面直线,
常用反证法.(2)求异面直线所成的角, 一般先通过平移作出相关角（如与中点有关, 大多可通过作中位线平移）, 再放入三角形中, 运用解三角形的相关知识求解.
2.证明若干个点共线的重要方法之一是证明这些点分别是两个平面的公共点, 再由公理３可知它们共线.

高一数学平面与平面垂直的性质1

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[单选]在催化重整汽油馏分中，其（）远比直馏汽油馏分的高。A、芳烃B、异构烷烃C、正构烷烃D、不饱和烃 [单选]8岁男性，左眼突，运动障碍2个月。CT示视神经呈梭形增粗，视交叉增粗，中度、均匀强化。最可能的诊断是()A．视网膜母细胞瘤B．视神经脑膜瘤C．视神经胶质瘤D．海绵状血管瘤E．黑色素瘤 [单选]IBC规则适用于（）建造的船舶。A.1984年9月1日及以后B.1987年4月6日及以后C.1986年7月1日及以后D.1980年5月25日及以后 [填空题]高层建筑结构通常要考虑（）、（）、（）、（）等方面的验算。 [单选]投标文件的参考格式最主要的是()。A.投标书B.邀请书C.招标书D.工程量清单 [单选]除哪一项外都是拉马克关于生物进化的观点（）A．现在地球上的所有生物都是由神创造出来的B．生物是由古老生物由低等到高等逐渐进化的C．生物的适应性是用进废退和获得性遗传的结果D．用进废退而获得性状是生物进化的主要原因 [问答题,简答题]什么叫镧系收缩？其特点和结果如何？ [单选,A1型题]休克的病理特点是（）。A.有效循环血量代偿性增加B.组织器官有效灌流量锐减与有效循环血量不足C.有效循环血量不足D.组织器官灌流量减少E.组织器官有效灌流量增加 [单选]作为荧光标记物的荧光素必须具备的条件是（）A.须具有化学的活性基团，能与蛋白质稳定结合B.荧光素标记后改变抗体的活性C.荧光与背景组织色泽相同D.易淬灭E.有较宽的激发光谱 [单选,A1型题]情感对于情绪来说具有的特点是（）。A.强烈而冲动B.伴有明显的行为变化C.伴有明显的生理变化D.稳定而深刻E.带有明显的情境性 [单选]（）ups中，无论市电是否正常，都由逆变器供电，所以市电故障瞬间，ups的输出不会间断。A.在线式B.后备式C.三端式D.一般式 [问答题]-15℃等于多少开尔文？293.15K等于多少摄氏度？ [单选,A1型题]下列哪项不是臀位剖宫产的指征（）A.骨盆入口轻度狭窄B.巨大儿C.软产道异常D.高龄初产妇E.第二产程、脐带脱垂、胎儿存活 [单选]客运专线预制梁混凝土灌筑时，模板温度宜在（）A、3～40B、5～35C、6～45 [单选]龟鳖目鳖科中体型最大的、属于国家一级保护的动物是（）。A.中华鳖B.山瑞C.马来鳖D.鼋 [单选]何谓中药的四气()A．是指中药的四种特殊气味B．寒凉药具有散寒、助阳的作用C．是指中药的寒、热、温、凉四种药性D．是指中药的辛、成、甘、苦四种味道E．温热药具有清热、解毒的作用 [单选]环境卫生学的基本理论是()A.机体与环境在物质上的统一性B.环境因素对机体影响的作用机制C.机体对环境的适应能力D.环境因素对健康影响的复杂性E.环境中有益因素和有害因素对机体的综合作用 [单选]关于组织细胞增生性疾病，以下描述错误的是（）A.临床症状、病变范围差异大，好发于儿童B.X线上可表现为网状结节，主要侵犯中上肺野C.可合并支气管扩张，肺大疱，自发性气胸等D.晚期不会出现蜂窝肺改变E.结节性病变可以和纤维化病变共存 [单选,A2型题,A1/A2型题]性成熟期一般自18岁左右开始，历时（）A.10年B.20年C.30年D.40年E.25年 [名词解释]灰浆池 [单选,A1型题]上消化道出血的主要临床表现为（）A.中下腹疼痛B.右下腹腹块C.鲜血便或略红色血便D.呕血呈咖啡色，大便呈柏油样E.恶心、呕吐胃内容物 [单选]以下跳汰机是按入选煤的粒度加以区分的（）。A、块煤跳汰机B、单段跳汰机C、主选跳汰机D、单槽跳汰机 [单选]保险凭证是简化了的保险单，保险凭证的效力与保险单相比()。A.前者大于后者B.前者小于后者C.相等D.视具体情况而定 [单选]旅客列车发生（）人以上食物中毒时，列车长应及时通知前方停车站和所在站的卫生防疫部门。A、4B、3C、1D、6 [单选]在我国，两个以上的人同日就同样的商标申请商标权的，商标权应授予（）的人。A.最先使用B.最先设计C.最先申请D.最先申请和使用 [填空题]色漆的遮盖力常用遮盖1m2面积所需用的（）来表示。 [单选]化脓性脑膜炎与病毒性脑膜炎在脑脊液检查中有根本性区别的项目是（）A．脑脊液透明度B．脑脊液压力C．脑脊液细胞总数D．蛋白增高程度E．糖和氯化物定量 [单选,B1型题]呕吐物多且有粪臭味的是（）A.幽门梗阻B.十二指肠淤积症C.小肠梗阻D.胃潴留E.胃癌 [单选,A2型题,A1/A2型题]治疗鼻出血的最佳方法是（）。A.全身应用止血药物B.局部用肾上腺素棉片填塞C.用油纱行前鼻孔填塞D.在鼻内镜下寻找出血部位行电凝、微波、激光止血术E.结扎血管 [单选]关于生物电的叙述中，哪一项是错误的A．感受器电位和突触后电位的幅度可随刺激强度的增加而增大B．感受器电位和突触后电位的幅度在产生部位较其周围大C．感受器电位和突触后电位均可以总和D．感受器电位和突触后电位的幅度比动作电位大E．感受器电位和突触后电位都是局部电 [问答题,简答题]偶氮二异丁腈泄漏如何处理？ [单选]下列关于商业信用，表述不正确的是（）。A.商业信用是指企业之间相互提供的、与商品交易直接联系的信用形式B.企业间商品赊销属于商业信用C.预付货款不属于商业信用D.在发生商业信用过程中，一般要"立字为据"作为债权债务关系的证明 [单选]患者男性，65岁，3周前因脑血管意外导致左侧肢体瘫痪。患者神志清楚，说话口齿不清，大小便失禁。护士协助患者更换卧位后，在身体空隙处垫软枕的作用是A.促进局部血液循环B.减少皮肤受摩擦刺激C.降低空隙处所受压强D.降低局部组织所承受的压力E.防止排泄物对局部的直接刺激 [名词解释]免疫自稳(immunologichomeostasis) [单选]下列关于川乌、草乌在痹证治疗中的用法哪项不正确（）A.两药皆为祛风除湿，温经止痛之品B.应用时，应从小剂量开始服用，逐渐增加C.适用于风寒湿痹的疼痛剧烈者D.久煎或与甘草同煎可以缓和毒性E.服药后患者若出现唇舌麻木或手足麻木、恶心、心悸等症状时，可不减量继续服用 [单选]下列哪项不属于CT扫描成像基本步骤()A．产生X线B．采集数据C．重建图像D．显示图像E．图像后处理 [单选,A1型题]体外冲击波碎石的禁忌证应除外（）A.妊娠B.过于肥胖，影响聚焦C.严重尿路感染D.结石以下有梗阻E.鹿角形结石 [单选]临床拟诊为肝管结石，下列哪种成像技术为首选()A．CTB．MRIC．CTAD．DSAE．0.MRA [单选]某企业2008年度发生以下业务：以银行存款购买将于2个月后到期的国债500万元，偿还应付账款200万元，支付生产人员工资150万元，购买固定资产300万元。假定不考虑其他因素，该企业2008年度现金流量表中“购买商品、接受劳务支付的现金”项目的金额为()万元。A.200B.350C.650D [判断题]在倾斜井巷中使用的钢丝绳，其插接长度不得小于钢丝绳直径的1000倍。A.正确B.错误

高一数学平面与平面垂直的性质1

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[单选]下列哪一项检查是盆腔检查中最重要、最常用的方法（）A.三合诊B.直肠-腹部诊C.双合诊D.腹部B超E.腹透 [填空题]利用二极管的（）特性可构成整流电路。 [单选]公孙穴位于（）。A.第1跖骨小头后缘，赤白肉际处B.第1跖骨小头前缘，赤白肉际处C.第1跖骨趾关节部，赤白肉际处D.第1跖骨基底部前下缘，赤白肉际处E.第1跖骨基底部后下缘，赤白肉际处 [单选]电动液压舵机的舵性具有()的特点。A.来得慢，回得快B.来得快，回得慢C.来得慢，回得也慢D.来得快，回得也快 [问答题,简答题]营销信息系统内抄表段管理包括哪些功能？ [单选]什么运动可以使人产生安宁感并减轻应激反应？（）A、有氧运动B、剧烈运动C、散步D、瑜伽 [单选]甲厂自1995年起在其生产的炊具上使用“红灯笼”商标，并于1997年8月向商标局提出该商标的注册申请。乙厂早在1997年6月商标局申请为其炊具产品注册“红灯笼”商标。该“红灯笼”商标专用权就应归属于（）。A.甲B.乙C.甲和乙D.甲乙协商确定的一方 [单选,A2型题,A1/A2型题]营养性缺铁性贫血患儿应用铁剂治疗后，护理人员为观察疗效，最早观察的指标是（）A.红细胞B.血红蛋白C.网织红细胞D.血清铁浓度E.血清铁蛋白 [单选,A2型题,A1/A2型题]关于血红蛋白生理变化的描述，下列错误的是（）A.新生儿Hb浓度明显增高，2周后逐渐转为正常B.正常男性儿童6～7岁及女性21～35岁时Hb浓度最低C.6个月至2岁婴幼儿Hb浓度最高D.高山地区居民和登山运动员因缺氧刺激使Hb高于正常E.妊娠期相对减少 [单选]无线列调系统中，通道自动切换功能在（）设备A.调度所B.沿线地面C.传输 [单选]保证合同的签订人为（）。A．债权人与债务人B．债权人与保证人C．债务人与保证人D．保证人与被保证人 [单选]个人注册客户使用网上银行可以激活哪种贷记卡（）？A、本人新申请的贷记卡B、他人新申请的贷记卡C、本人到期换卡后的新卡D、他人到期换卡后的新卡 [单选,A2型题,A1/A2型题]致溶血现象的抗血细胞抗体检测主要用于何种类型超敏反应的检测（）。A.Ⅰ型B.Ⅱ型C.Ⅲ型D.Ⅳ型E.Ⅴ型 [填空题]干气密封系统中，前置密封气介质是（），使防止机体内介质污染（）。 [单选]以下不是黄瘤病临床类型的是()A．结节性黄瘤B．扁平黄瘤C．发疹性黄瘤D．重症黄瘤 [问答题,案例分析题]项目计算期10年，其中建设期2年。项目第3年投产，第5年开始达到100%设计生产能力。项目建设投资8000万元（不含建设期贷款利息和固定资产投资方向调节税），预计7500万元形成固定资产，500万元形成无形资产。固定资产年折旧费为673万元，固定资产余值在项目运营 [单选]关节镜检查手术常见的并发症有（）。A.伤口疼痛，关节积血、积液B.关节感染C.关节内韧带、软骨、半月板损伤D.深静脉血栓形成E.腓总神经损伤 [单选,A1型题]二尖瓣狭窄患者咳粉红色泡沫样浆液痰，两肺底有湿啰音，说明病情已处于（）A.肺动脉高压期B.右心功能不全期C.左房衰竭期D.疾病终未阶段E.左心衰竭期 [单选]城乡规划卫生的目的是（）。A.预防疾病B.增进人民身心健康C.延长寿命D.提高生活质量E.以上都是 [问答题,简答题]戊二醛 [单选,A1型题]对下肢静脉曲张并发溃疡的治疗，不恰当的是（）A.溃疡愈合后做大隐静脉结扎及剥脱术B.3％硼酸溶液湿敷C.抬高患肢D.溃疡不愈合者也可考虑手术E.大隐静脉结扎及剥脱术，溃疡切除并植皮 [多选]对于生殖器－直肠－肛门综合征的正确描述的是()A．为性病性淋巴肉芽肿的第三期临床表现B．多见于女性C．性病性淋巴肉芽肿的二期病变未能识别或未予治疗导致D．表现为髂及肛门直肠周围淋巴结炎和直肠结肠炎 [单选]以下哪项不属于项目管理的内容？（）A．人力资源管理B．成本管理C．采购管理D．销售管理 [单选]（）是招标采购合同规划的根本目的。A.合理确定最小工作单元B.合理确定最小合同单元C.合理确定招标合同单元D.合理确定最小分解单元 [单选]不属于空间结构的是（）。A.蛋白质一级结构B.蛋白质二级结构C.蛋白质三级结构D.蛋白质四级结构E.单个亚基结构 [问答题,简答题]新户分配抄表段的原则是什么？ [单选,A1型题]全身性水肿不见于下列哪项疾病（）A.丝虫病B.心功能不全C.肝硬化D.急性肾小球肾炎E.营养不良 [单选]修船质量的好坏，关系着船舶的使用寿命和经济性，因此，必须抓好修理前的()、修理时的监修和修理后的验收三个主要工作环节，以确保短修期、低修费、高质量的船舶修理。A.安排B.人员分工C.计划D.准备 [单选,A1型题]水解后主要产生没食子酸和葡萄糖（或多元酚）的鞣质是（）A.没食子鞣质B.逆没食子鞣质C.咖啡鞣质D.缩合鞣质E.含有没食子酰基的缩合鞣质 [单选]在ECAM显示的失效中，名称被方框框住的是，系统前带有※号的是：（）A、主要失效、次要失效B、主要失效、独立失效C、次要失效、独立失效 [名词解释]修改配置的灵活性 [单选]下列选项中属于收费制方式的是（）。A.人工收费B.半自动收费C.封闭式收费D.全自动收费 [单选]冰区航行，遇到冰山时应及早在（）保持适当距离避离，如在大风浪天气发现有碎冰集结时，应在（）航行。A．上风；上风B．下风；下风C．上风；下风D．下风；上风 [单选]《灵枢.百病始生》认为邪中人出现“洒淅喜惊”，为邪传舍于（）。A.经脉B.络脉C.冲脉D.皮肤E.腧穴 [问答题,简答题]霍乱如何经食物传播？ [单选]IEC61131_3组态语言中FBD意思为（）A、功能方块图B、梯形图C、顺序功能图D、指令表 [判断题]变频调速一般采用交—直—交或者交—交变频电源。（）A.正确B.错误 [单选]0.2550m的有效数字是（）位。A.3B.4C.5D.6 [填空题]涂料是有机高分子材料的混合物，通常由（）、油料、（）、（）及助剂等组成。 [单选]客运专线预制梁混凝土拌和物入模前含气量应控制在（）A、3.0～5.0％B、2.0～4.0％C、4.0～6.0％

高一数学讲义第八章空间直线与平面

高一数学讲义第八章空间直线与平面8．1平面及其基本性质几何里的平面与直线一样，是无限延伸的，我们不能把一个无限延伸的平面在纸上表现出来，通常用平面的一部分表示平面．例如，我们常用平行四边形表示平面（图8-1）．但我们要把它想象成无限延展的．通常我们用一个希腊字母如：αβγ、、…来表示平面，也可以用表示平面的平行四边形的对角顶点的字母来表示，如平面AC ．DCBAβα图81平面的基本性质公理l 如果一条直线上有两个点在同一个平面上，那么这条直线上所有的点都在这个平面上（即直线在平面上）．公理2 如果两个平面存在一个公共点，那么它们所有公共点的集合是一条直线．公理3 不在同一直线上的三点确定一个平面（即经过不在同一直线上三点有且仅有一个平面）．在上述公理的基础上，可以得到以下三个推论：推论1 一条直线和直线外一点确定一个平面．证明：如图8-2，在直线l 上任取两个点A B 、，则A B C 、、是不在同一直线上的三点，由公理3可知，经过此三点的平面有且仅有1个，设为平面α，则A B ∈、平面α，又A B 、在直线l 上，由公理1可知直线l 在平面α上．即经过直线l 和直线外一点的平面有且仅有一个．图82推论2 两条相交直线确定一个平面．推论3 两条平行直线确定一个平面．例1．如图8-3，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E F 、分别是棱1AA 、1CC 的中点．试画出过点1D E F 、、三点的截面．B 1C 1D 1A 1EHF GDCB A 图83解：连1D F 并延长1D F 与DC 的延长线交于点H ，联结1D E 并延长与DA 的延长线交于点G ，联结GH 与AB BC 、两条棱交于点B ，联结BE BF 、，则1BED F 就是过点1D E F 、、三点的截面．例2．如图8-4，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F 、分别为1CC 和1AA 上的中点，画出平面1BED F 与平面ABCD 的交线．PF C E A DB A 1B 1D 1C 1图84解：在平面11AA D D 内，延长1D F ，1D F 与DA 不平行，因此1D F 与DA 必相交于一点，设为P ，则1P FD P DA ∈∈，．又1FD ⊂平面1BED F ，AD ⊂平面ABCD 内，P ∴∈平面1BED F P ∈，平面ABCD ．又B 为平面ABCD 与平面1BED F 的公共点，∴联结PB PB ，即为平面1BFD F 与平面ABCD 的交线．例3．已知E F G H 、、、分别是空间四边形ABCD （四条线段首尾相接，且联结点不在同一平面内，所组成的空间图形叫空间四边形）．各边AB AD CB CD 、、、上的点，且直线EF 和HG 交于点P ，如图8-5，求证：点B D P 、、在同一条直线上．G DPF ECBA图85证明：如图直线EF 直线HG P =．P ∴∈直线EF ．而EF ⊂平面ABD ， P ∴∈平面ABD ．同理，P ∈平面CBD ，即点P 是平面ABD 和平面CBD 的公共点．显然，点B D 、也是平面ABD 和平面CBD 的公共点，由公理2知，点B D P 、、都在平面ABD 和平面CBD 的交线上，即点B D P 、、在同一条直线上．基础练习1．用符号语言表示下列语句（1）点A 在平面α内，但在平面β外；（2）直线a 经过平面α外一点M ；（3）直线a 在平面α内，又在平面β内，即平面α和β相交于直线a ． 2．已知a b c 、、空间三条直线，且a b ∥与a b 、都相交，求证直线a b c 、、在同一个平面上． 3．怎样用两根细绳检查一张桌子的四条腿的下端是否在一个平面内?4．如图8-6所示，ABC △与111A B C △不在同一个平面内，如果三直线1AA 、1BB 、1CC 两两相交，证明：三直线111AA BB CC 、、交于一点．PC 1B 1A 1C BA图865．已知ABC △在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P Q R ，，三点，证明P Q R ，，三点在同一条直线上．6．画水平放置的正五边形的直观图． 8．2空间直线与直线之间的位置关系公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（即平行线的传递性）．例1．如图8-7所示，设E F G H ，，，分别是空间四边形ABCD 的边AB BC CD DA ，，，上的点，且AE AH CF CGAB AD CB CDλμ====，，求证：F GH EDCBA图87（1）当λμ=时，四边形EFGH 是平行四边形；（2）当λμ≠时，四边形EFGH 是梯形．证明：联结BD ，在ABD △中，AE AHAB ADλ==，EH BD ∴，∥且EH BD λ=．在CBD △中，CF CGCB CDμ==，FG BD ∴，∥且FG BD μ=． EH FG ∴∥，∴顶点E F G H ，，，在由EH 和FG 确定的平面内．（1）当λμ=时，EH FG =，故四边形EFGH 为平行四边形；（2）当λμ≠时，EH FG ≠，故四边形EFGH 是梯形．等角定理如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组相交直线所成的锐角（或直角）相等．证明：当两组平行直线在同一平面内，即为初中几何中的等角定理．当它们不在同一平面时，如图8-8所示．a 1O 1B 1A 1BA Oba 图88设直线a b 、相交于点O ，直线11a b 、相交于点1O ，且11a a b b ，∥∥，在直线a b 、上分别任取点A B 、（异于点O ），在直线11a b 、上分别任取点11A B 、（异于点1O ），使得11OA O A =，11OB O B =，111AOB AO B ∠∠，分别是a b 、，与11a b 、所成的角． 1111OA O A OA O A =，∥ ∴四边形11OO A A 为平行四边形． 1111OO AA OO AA ∴=，∥．同理1111OO BB OO BB =，∥．1111BB AA BB AA ∴=，∥．四边形11BB A A 为平行四边形． 11AB A B ∴=，因此111AOB AO B △△≌． 111AOB AO B ∴∠=∠．在平面中两条直线的位置关系可以根据交点个数来判断：当两条直线仅有1个交点时．它们是相交的；当没有交点时它们是平行的．但在空间中两条直线没有交点却未必是平行的，如图8-9直线a 在平面α上，直线b 与平面α交于点P ，且P 不在直线b 上，那么直线a 与直线b 即不平行也不相交．此时直线a 与直线b 不能在同一平面内，我们称直线a 、b 是异面直线．baP图89在空间任取一点Q 过Q 分别作a b 、的平行线11a b 、，我们把11a b 、所成的锐角或直角称为异面直线a b 、所成的角．当所成的角为90︒时称异面直线a b 、相互垂直．此外，我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段长度，叫做两条异面直线的距离．例2．如图8-10，在正方体1111ABCD A B C D -中，判断下列直线之间的位置父系，并求出它们所成角的大小．A 2D 2B 2C 2D 1C 1B 1A 1D CBA图810（1）AC 与1BC ；（2）1B D 与1BC ．解：（1）AC 与1BC 是异面直线． 11AA CC ∥且11AA CC =，∴四边形11AA C C 为平行四边形，即11AC AC ∥．11AC B ∴∠为所求AC 与1BC 所成的角．易知11A C B △为等边三角形，即11π3AC B ∠=（2）1B C 与1BC 是异面直线如图8-10：在原正方体下方补一个相同大小的正方体11112222A B C D A B C D -中121B C BC ∥，12DB C ∴∠为所求1B D 与1BC 所成的角．设正方体的棱长为a ，在12DB C △中，112212π2DB B C DC DB C ==∴∠=，，，．例3．空间四边形ABCD中，2AB BD AD BC CD =====，32AC =，延长BC 到E ，使BC CE =，取BD 中点F ，求异面直线AF 与DE 的距离和他们所成的角．F ED BA图811解：（1）2AB AD BD === ∴三角形ABD 为等边三角形 F 为BD 中点，AF BD ∴⊥，即AF FD ⊥90BC CD CE BDE DF DE ===∴∠=︒∴⊥， DF 长即为异面直线AF DE ，的距离，又112DF BD ==，AF ∴与DE 的距离为1．（2）联结CF F C ，，分别是BD ，BF 的中点， FC ∴平行且等于12DE ，AFC ∴∠即为异面直线AF 与DE 所成的角．在等边三角形ABD中，AF == 在直角三角形BDE中，12CF DE ==．三角形AFC 中，由余弦定理得2221cos 22AF FC AC AFC AF FC +-∠==⨯⨯．60AFC ∴∠=︒，即异面直线AF 与DF 成60︒角．基础练习 1．从止方体的12条棱和12条面对角线中选出n 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则n 的最大值为__________．2．如图8-12，已知三棱锥S ABC -中，90ABC ∠=︒，侧棱SA ⊥底面ABC ，点A 在棱SB 和SC 上的射影分别是点E F 、，求证：EF SC ⊥．SGF E CBA 图8123．已知a b 、是两条异面直线，直线a 上的两点A B 、的距离为6．直线b 上的两点C D 、的距离为8，AC BD 、的中点分别为M N 、且5MN =，见图8-13．求异面直线a b 、所成的角．图813bMNO aDCBA4．已知四面体S ABC -的所有棱长均为a ．求：（1）异面直线SC 、AB 的公垂线段EF 及EF 的长；（2）异面直线EF 和SA 所成的角．5．如图8-14，等腰直角三角形ABC中，90A BC DA AC DA AB ∠=︒=⊥⊥，，，若1DA =，且E 为DA 的中点．求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值．图814FE D CBA6．如图8-15，在正三角形ABC 中，D E F ，，分别为各边的中点，G H I J ，，，分别为AF AD BE DE ，，，的中点．将ABC △沿DE EF DF ，，折成三棱锥以后，求GH 与IJ 所成角的度数．I JH GFEDCB A 图8157．长方体1111ABCD A B C D -中，143AB AA AD ===，，则异面直线1A D 与11B D 间的距离为__________．8．空间两条异面直线a b 、所成角α，过空间一定点O 与a b ，所成角都是θ的直线l 有多少条？ 8．3空间直线与平面空间中直线l 与平面α的位置关系，按照它们交点的个数分成以下三种情况：若直线l 与平面α没有公共点，那么称直线l 与平面α平行，记作l α∥；若直线l 与平面α仅有一个公共点，那么直线l 与平面α是相交的；若直线l 与平面α有1个以上的公共点，由公理1可知直线l 在平面α上．我们将直线与平面平行和相交统称为直线在平面外．直线和平面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．直线和平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．例1．已知：ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上任取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ．求征：AP GH ∥．证明：如图8-16．联结AC 交BD 于O ，联结MO ，G HPOMD CBA图816ABCD 是平行四边形O ∴是AC 中点，又M 是PC 中点， AP OM ∴∥，又OM ⊂面BM DPA ∴∥平面BM D （线面平行判定定理）又PA ⊂平面PAHG ，且面PAHG 平面BMD GH =， PA GH ∴∥（线面平行的性质定理）例2．正方体1111ABCD A B C D -中，E G 、分别是BC 、11C D 的中点如图8-17．求证：EG ∥平面11BB D D ．D C 1A 1C图817证明：取BD 的中点F ，联结FF 、1D F ．E 为BC 的中点，EF ∴为BCD △的中位线，则EF DC ∥，且12EF CD =．G 为11C D 的中点，1D G CD ∴∥且112D G CD =，1EF D G ∴∥且1EF D G =， ∴四边形1EFD G 为平行四边形，∴1D F EG ∥，而1D F ⊂平面11BDD B ，EG ⊄平面11BDD B ， ∴EG ∥平面11BDD B ．直线l 与平面α相交，且与平面内所有直线都垂直，称直线l 垂直于平面α，记作l α⊥．直线l 称为平面α的垂线，l 与平向α的交点称为垂足．直线和平面垂直判定定理如果直线l 与平面α内两条相交直线a b 、都垂直，那么直线与平面垂直．证明：设直线a b O =，直线c 为平面α上任意一条直线（1）当直线l 与直线c 都经过点O 时在直线l 上点O 的两侧分别取点P Q 、使得OP OQ =，在平面α上作一条直线，使它与a b c 、、分别交于点A B C 、、联结PA PB PC QA QB QC 、、、、、（见图8-18）． acb αO QB A P图818OA 垂直平分PQ ，PQ QA ∴=．同理PB QB =． PA QA PB QB AB AB ===，，， PAB QAB PC QC ∴∴=，△△≌．PQ c ∴⊥，即l c ⊥．（2）若直线l 与直线c 不都经过点O ，则过O 引l 与直线c 的平行线1l 与直线1c ，由（1）可知11l c ⊥．由等角定理可知l c ⊥．综上所述，l α⊥．直线和平面垂直性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．过空间一点P 有且仅有一条直线l 和一个平面α垂直，反之过一点P 有且仅有一个平面α与直线l 垂直，垂足Q 称为点P 在平面α上的射影，线段PQ 的大小称为点P 到平面α的距离．若一条直线与一个平面平行，则这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线到平面的距离．若一条直线与一个平面α相交且不垂直，称直线l 与平面α斜交，直线l 为平面α的斜线，交点称为斜足．平面的斜线与其在平面上的射影所成的角称为直线与平面所成的角．最小角定理斜线和平面所成的角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角．例3．已知：一条直线l 和一个平面α平行．求证：直线l 上各点到平面α的距离相等．证明：过直线l 上任意两点A B ，分别引平面α的垂线AA ，′BB ′，垂足分别为A B ，′′（见图8-19）．βαB'A'B A图819AA BB αα⊥⊥，′′ AA BB ∴∥′′设经过直线AA ′和BB ′的平面为A B ββα=，′′l l A B α∴∴，∥∥′′AA BB ∴′′是平行四边形 AA BB ∴=′′即直线l 上各点到平面的距离相等例4．如图8-20，已知正方形ABCD 的边长为4，E F ，分别是边AB AD ，的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且2GC =，求点B 到平面EFG 的距离．OSGH F E DCBA图820证明：联结DB AC ，，设DB AC O = E F ，分别为AB AD ，中点DB EF ∴∥；又DB ⊄平面EFG ， BD ∴∥平面EFG ．∴点B 到平面EFG 的距离就是DB 到平面EFG 的距离． ∴即点O 到平面X O 的距离．设EF AC H =，在平面CHG 中，作OS GH ⊥ DB AC ⊥，又EF BD ∥ EF AC ∴⊥又GC ⊥面ABCD ，GC EF ∴⊥ EF ∴⊥面CHG EF OS ∴⊥，又OS GH ⊥ OS ∴⊥面EFG ∴OS 即为O 点到平面EFG 的距离，即为所求直角三角形HSO 与直角三角形HGC 相似 SO HOGC GH∴=，又124GC HO AC GH =====，2SO ∴= ∴B 到平面EFG的距离为11．例5．相交成60︒的两条直线AB AC ，和平面α所成的角分别为30︒和45︒，求这两条斜线在平面α内的射影所成的角．解：如图8-21，作平面AO ⊥平面A ，垂足为O ，O CBA图821则30ABO ∠=︒，45ACO ∠=︒，设AO h =，则2AB h =，AC =，BO =，CO h =，在三角形ABC 中，根据余弦定理有22222(2))cos606BC h h h =+-⨯⨯︒=-．同理，在三角形BOC 中，令BOC θ∠=，则有22222)cos 4cos BC h h h θθ=+-⨯⨯=-．222264cos h h θ∴-=-．cos θ∴=，θ∴=．三垂线定理在平面内的一条直线，如果和平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．如图8-22，直线PM 为平面α的斜线，M 为斜足，Q 为P 在平面α内的射影，a 为平面α内一条直线，且a MQ ⊥．求证：a PM ⊥．图822ab a PQM证明：过点M 作的a 平行线b ，则b MQ b PQ ⊥⊥，即b ⊥平面PMQ ，MQ ⊆平面PMQ 所以b PM a b ⊥，∥，即a PM ⊥．类似地，我们也可以证明：三垂线的逆定理在平面内的一条直线，如果和平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．基础练习1.如果三个平面αβγ、、两两相交于三条交线a b c 、、，讨论三条交线的位置关系，并证明你的结论． 2．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱AB 上一点，过点P 在空间作直线l ，使l 与平面ABCD 和平面11ABC D 均成30︒角，求这样的直线条数3．已知空间四边形ABCD P Q ，、分别是ABC △和BCD △的重心，求证：PQ ∥平面ACD ．4．在棱长为a 正方体1111ABCD A B C D -中，（1）求证：11B D CD ⊥；（2）求证：1B D ⊥平面1ACD ；（3）求点D 到平面1ACD 的距离．5．正方体1111ABCD A B C D -中，求1B D 与平面11ABC D 所成角的大小．6．正方体ABCD A B C D -′′′′的棱长为a ，则异面直线CD ′与BD 间的距离等于__________． 7．正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE BD 、上各取一点P Q 、．且AP DQ =．求证：PQ ∥面BCE ．8．如图8-23，已知AOB ∠在平面M 上，P 为平面外一点，满足POA ∠POB =∠θ=（θ为锐角），点P 在平面上的射影为Q ．P OQFE AM 图823（1）求证点Q 在AOB ∠的平分线OT 上；（2）讨论POA ∠、POQ ∠、QOA ∠之间的关系．9．若直线l 与平面α成角π3，直线a 在平面α内，且和直线l 异面，则l 与a 所成角的取值范围是多少? 10．如图8-24，AB 为平面α的斜线，B 为斜足，AH 垂直平面α于H 点，BC 为平面α内的直线，,,ABH HBC ABC θαβ∠=∠=∠=，求证：cos cos cos βαθ=⋅． αθβH D CB Aα图82411．如图8-25，平面α内有一半圆，直径AB ，过A 作SA ⊥平面α，在半圆上任取一点M ．连SM 、SB ，且N 、H 分别是A 在SM 、SB 上的射影．N MBA HSα图825（1）求证：NH SB ⊥；（2）这个图形中有多少个线面垂直关系? （3）这个图形中有多少个直角三角形? （4）这个图形中有多少对相互垂直的直线?12．如图8-26，在正方体1111ABCD A B C D -中，EF 为异面直线1A D 与AC 的公垂线，求证：1EF BD ∥．FE D CBAD 1C 1B 1A 1图82613．如图8-27所示，90BAC ∠=︒．在平面α内，PA 是α的斜线，60PAB PAC ∠=∠=︒．求PA 与平面α所成的角．B αA CMO NP图8278．4空间平面与平面的位置关系空间两个平面根据交点的个数可以分为：若两个平面没有交点则称两个平面互相平行；若两个平面有交点则称两个平面是相交的．平行于同一平面的两个平面互相平行，分别在两个平行平面上的直线是异面或平行的．两个平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．推论如果一个平面内的两条相交直线，分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行．两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．例1．平行四边形ABCD 和平行四边形ABEF 不在同一平面内，M ，N 分别为对角线AC ，BF 上的点，且AM ACFN FB=．求证：MN ∥平面BEC ．证明：如图8-28，在平行四边形ABCD 中，过M 作MP BC ∥交BC 于P ，联结PN ．FP MNEDCBA图828AM AP AC AB =，又AM AC FN BF =，即AM FNAC BF=． ,AP FN PN AF BE AB BF∴=∴∥∥．又MP BC ∥，∴平面MPN ∥平面CBE ．又MN ⊂平面MPN ， MN ∴∥平面BEC ．例2．如图8-29所示，平面α平面β，点A C α∈、，点B D β∈、，AB a =是α、β的公垂线，CD 是斜线．若AC BD b ==，CD c =，M 、N 分别是AB 和CD 的中点．图829（1）求证：MN β∥；（2）求MN 的长．证明：（1）联结AD ，设P 是AD的中点，分别联结PM 、PN ． M 是AB 的中点，PM BD ∴∥．又,PM ββ⊂∴∥．同理N 是CD 的中点，PN AC ∴∥． AC α⊂，PN α∴∥．,,PN PM P αβ=∥PMN β∴∥． MN ⊂平面PMN ，MN β∴∥．（2）分别联结MC MD 、．1,,2AC BD b AM BM a ====又AB 是αβ、的公垂线，90CAM DBM ∴∠=∠=︒，Rt Rt ACM BDM ∴≌△△，CM DM ∴=，DMC ∴△是等腰三角形．又N 是CD 的中点，MN CD ∴⊥．在Rt CMN △中，MN =一般地，当两个平面相交时，它们的交线l 将各平面分割为两个半平面，由两个半平面αβ、及其交线l 组成的空间图形叫做二面角（dihedral angle ），记作l αβ--．交线l 称之为二面角的棱，两个半平面αβ、叫做二面角的面．如果αβ、上分别有点P Q 、，那么二面角l αβ--也可以记作P l Q --．为了刻画二面角的大小，我们在棱l 上任取一点O ，在面αβ、上分别作棱l 的垂线OM 、ON ，则[](0,π)MON θ∠=∈称为二面角l αβ--的平面角．若π2α=，则称平面αβ⊥．两个平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．两个平面垂直的性质定理如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．例3．如图8-30，在空间四边形SABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，DE 在平面SAC 内，DE 垂直平分SC ，且分别交AC ，SC 于D ，E ，又SA AB =，SB BC =，求以BD 为棱，以BDE 和BDC 为面的二面角的大小．E DCBAS图830解：SB SC =，且E 为SC 的中点，BE SC ∴⊥．又DE 垂直平分SC ，SC ∴⊥面,BDE SC BD ∴⊥．又BD ⊥平面SAC ，,,BD DE BD DC ∴⊥⊥EDC ∴∠即为E BD C --的平面角．设SA a =，则,,AB a SB ==SA ⊥面ABC ，BC AB ⊥．,SB BC SC ∴⊥∴为等腰直角三角形SBC的斜边，又BC =，2,,cos ,30SC a AC SCA SCA ∴==∠=∴∠=︒． DE SC ⊥，∴在直角三角形EDC 中，60EDC ∠=︒，即为所求．例4．已知：如图8-31所示，平行四边形ABCD中，AB =AD BD ==，沿BD 将其折成一个二面角A BD C --，若折后AB CD ⊥．63223DCBA图831（1）求二面角A BD C --的大小；（2）求折后点C C 到平面ABD 的距离．解：（1）在平行四边形ABCD中AB =AD BD ==．222AB AD BD ∴=+ ,AD BD BC BD ∴⊥⊥．作AH ⊥平面BDC ，联结DH （见图8-32）．HEDCB A图832AD BD ⊥，由三垂线定理逆定理得DH BD ⊥， ∴ADH ∠是二面角A BD C --的平面角．联结BH，AB DC ⊥，由三垂线定理逆定理，得BH DC ⊥，设垂足为E ，在直角三角形ABC中，2BD BC BE DC ⋅===，DE ∴ 三角形DHB 与三角形DBE 相似，DH DEDB BE∴=，即DE BD DH BE ⋅=在直角三角形ADH中，1cos 2DH ADH AD ∠===，π3ADH ∴∠=．即二面角--A BD C 的大小为π3．（2）由对称性，C 到平面ABD 的距离等于A 到平面ABD 的距离． AH ⊥平面BCD ，∴点A 到平面BCD 的距离即是线段AH 的长，直角三角形ADH中，sin 3AH AD ADH =⋅∠==， ∴点C 到平面ABD 的距离为3．例5．如图8-33，已知A B 、在平面α上，点C 是平面外一点，且在平面α上的射影为D ，且A B D、、三点不共线，二面角C AB D --的大小为θ，求证：cos DABCABS S θ=．αM DCBA图833证明：过点D 作DM 垂直AB ，垂足为M ，联结CM ．因为,CD AB αα⊥⊆，所以CD AB ⊥，又AB DM ⊥，因此AB ⊥平面CDM ，即AB CM ⊥．所以CMD ∠为二面角--C AB D 的平面角．在直角三角形CDM △中有cos cos ABDCBDS DM CMD CM S θ=∠==．例6．如图8-34，已知两异面直线,a b 所成的角为θ，它们的公垂线段AA ′的长度为d ．在直线,a b 上分别取点,E F ，设,A E m AF n ==′，求EF ．A'βnb a m F G A图834解：设经过b 且与AA ′垂直的平面为α，经过a 和AA ′的平面为β，c αβ=；则c a ∥，因而b ，c 所成角为θ，且AA c ⊥′；又,AA b AA a ⊥∴⊥′′，根据两个平面垂直的判定定理，βα⊥．在平面β内作EG c ⊥，则EG AA =′．并且根据两个平面垂直的性质定理，EG α⊥ 联结FG ，则EG FG ⊥．在直角三角形EFG 中，222EF EG FG =+AG m =，三角形AFG 中，2222cos FG m n mn θ=+-；又22ED d =，22222cos EF d m n mn θ∴=++-，因此EF =1．已知平面αβ∥，AB ，CD 为夹在,αβ间的异面线段，E 、F 分别为AB CD 、的中点．求证：,EF EF αβ∥∥．2．如果αβ∥，AB 和AC 是夹在平面α与β之间的两条线段，AB AC ⊥，且2AB =，直线AB 与平面α所成的角为30︒，求线段AC 长的取值范围．3．如图8-35，已知正方体1111ABCD A B C D -中，E F 、分别为1AB AA 、的中点．求平面1CEB 与平面11D FB 所成二面角的平面角的正弦值．CB E AF D 1C 1B 1A 1图8354．如图8-36，点A 在锐二面角MN αβ--的棱MN 上，在面α内引射线AP ，使AP 与MN 所成的角PAM ∠为45︒，与面β所成的角大小为30︒，求二面角MN αβ--的大小．NM APβα图8365．正方形ABCD 边长为4，点E 是边CD 上的一点，将AED △沿AE 折起到1AED 的位置时，有平面1ACD ⊥平面ABCE ，并且11BD CD ⊥．（1）判断并证明E 点的具体位置；（2）求点D ′到平面ABCE 的距离．6．在正三角形ABC 中，E F P 、、分别是AB AC BC 、、边上的点，满足12AE EB CF FA CP PB ===∶∶∶∶，如图8-37．将AEF △沿EF 折起到1A EF △的位置，使二面角1A EF B --成直二面角，联结1A B 、1A P ，如图8-38．A BP FEC图837CEF P BA 图838（1）求证：1A E ⊥平面BEP ；（2）求直线1A E 与平面1A BP 所成角的大小；（3）求二面角1B A P F --的大小（用反三角函数表示）．7．如图8-39，将边长为a 的正三角形ABC 以它的高AD 为折痕折成一个二面角C AD C --′．C'DCB A图839（1）指出这个二面角的面、棱、平面角；（2）若二面角C AD C --′是直二面角，求C C ′的长；（3）求AC ′与平面C CD ′所成的角；（4）若二面角C AD C --′的平面角为120︒，求二面角A C C D --′的平面角的正切值． 8．在棱长为a 的正方体中．求异面直线BD 和1B C 之间的距离．9．设由一点S 发出三条射线,,,,SA SB SC ASB BSC ASC αβθαβθ∠=∠=∠=、、、、均为锐角，且cos cos cos θβθ⋅=．求证：平面ASB ⊥平面BSC ．10．如图8-40，矩形ABCD ，PD ⊥平面ABCD ，若2PB =，PB 与平面PCD 所成的角为45︒，PB 与平面ABD 成30︒角，求：PF EDCBA图840（1）CD 的长；（2）求PB 与CD 所在的角；（3）求二面角C PB D --的余弦值． 11．如图8-41，线段PQ 分别交两个平行平面αβ、于A B 、两点，线段PD 分别交αβ、于C D 、两点，线段QF 分别交αβ、于F E 、两点，若9PA =，12AB =，12BQ =，ACF △的面积为72．求BDE △的面积．βαAB Q ED CPF图84112．如图8-42，已知正方形ABCD ．E F 、分别是AB CD 、的中点．将ADE △沿DE 折起，如图8-43所示，记二面角A DE C --的大小为θ（0πθ<<）．FEDCBA图842F EDCBA 图843（1）证明BF ∥平面ADE ；（2）若ACD △为正三角形，试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上，证明你的结论，并求角θ的余弦值．13．在矩形ABCD 中，已知1,AB BC a ==，PA ⊥平面ABCD ，且1PA =．（1）在BC 边上是否存在点Q ，使得PQ QD ⊥，说明理由；（2）若BC 边上有且仅有一个点Q ，使PQ QD ⊥，求AD 与平面PDQ 所成角的弦值；（3）在（2）的条件下，求出平面PQD 与平面PAB 所成角的大小．14．两个平行平面α和β将四面体ABCD 截成三部分．已知中间一部分的体积小于两端中任一部分的体积，点A 和B 到平面α的距离分别为30和20．而点A 和C 到平面β的距离分别为20和16，两个截面中有一个是梯形，点D 到平面α的距离小于24．求平面α和β截四面体所得的截面面积之比． 8．5空间向量及其坐标表示我们把具有大小和方向的量叫做向量．同向且大小相等的两个向量是同一个向量或相等的向量，大小相等方向相反的两个向量是互为负向量，大小为0的向量称为零向量．对空间任意两个向量a b 、．作OA a OC AB b ===，，则O A B 、、三点共面，见图8-44．因此，空间任意两个向量都可以用在同一平面内的两条有向线段表示．与平面向量运算一样，我们可以定义空间向量的加法、减法与数乘运算如下：a图844OB OA AB a b =+=+； CA OA OC a b =-=-；0000a a a λλλλλλ⎧>⎪⎪>⎨⎪<⎪⎩方向相同，大小，，方向相同，大小，为为- 与平面向量类似，在空间两个向量的方向相同或相反，则称他们为共线向量或平行向量，共线向量所在直线平行或重合．类似我们可以验证空间向量的加法与数乘运算满足如下规律：（1）加法交换律：a b b a +=+（2）加法结合律：()()a b c a b c ++=++ （3）数乘分配律：()a b a b λλλ+=+类似地，可以定义两个向量的夹角和向量的数量积：cos a b a b θ⋅=，其中θ为两个向量的夹角，[]0πa b θ∈，，、表示向量a b 、的大小当π2θ=时称两个向量垂直记作a b ⊥．与平向向量类似有下列性质成立：（1）0a b a b ⊥⇔⋅=．（2）2a a a =⋅．（3）()()ab a b λλ⋅=⋅．（4）a b b a ⋅=⋅．（5）()()()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅．例1．A B C D 、、、为空间不共面的四点，以A B C D 、、、四点为顶点的线段围成一个空间四面体，若AC BD BC BD ==，，求证AB CD ⊥．图845DBA解：BC AC AB BD AD AB =-=-，， BC BD =， 22BC BD ∴=．2()()BC BC BC AC AB AC AB =⋅=-⋅- 222AC AC AB AB =-⋅+．同理2222BD AD AD AB AB AD AC =-⋅+=，， AD AB AC AB ∴⋅=⋅即()AD AC AB -⋅=0．即CD AB ⋅=0，AB CD ∴⊥．通常我们将可以平移到同一个平面的向量，叫做共面向量．对空间任意两个向量，它们总是共面的，但空间任意三个向量就不一定是共面向量．如上例中a b c 、、中任意两个共面，但a b c 、、却不共面．下面讨论三个向量共面的条件．已知a b 、为不共线的向量，而a b c 、、三个向量共面，则表示可以将它们平移到同一个平面上．由平面向量唯一分解定理．存在实数()λμ，满足c a b λμ=+．反之，若存在实数对()λμ，满足c a b λμ=+，对空间任意一点O 作111OA a OB b OA a A B b λμ====，，，，则1111OB OA A B a b c λμ=+=+=即c 可以平移到O A B 、、三点所在平面上，因此a b c 、、共面．由此可得a b c 、、共面的充要条件是：存在实数对()λμ，满足c a b λμ=+．例2．求证：任意三点不共线的四点A B C D 、、、共面的充要条件是：对空间任意点O 有：OD xOA yOB zOC =++（其中1x y z ++=）．证明：A B C D 、、、共面的充要条件是存在实数对()λμ，满足AD AB AC λμ=+（见图8-46）．图846()()OD OA AD OB OA OC OA μμ∴-==-+-， (1)OD OA OB OC λμλμ∴=--++．令1x λμ=--，y z λμ==，，则OD xOA yOB zOC =++（其中1x y z ++=）．定理如果三个向量a b c 、、不共面，那么对于空间任意向量P ，存在唯一的实数对()x y z ，，满足：P xa yb zc =++证明：如图8-47，过空间任意点O 作OA a OB b OC c OP P ====，，，，图847P过点P 作1PP OC ，∥交平面OAB 于点1P ；则11P OP OP PP ==+． 11PP OC PP zc z ∴=∈R ，，∥．在平面AOB 中存在z ，y ∈R ，满足1OP xOA yOB =+，因此有11P OP OP PP xOA yOB zOC ==+=++．若存在111()()x y z x y z ≠，，，，也满足：111P x a y b z c =++，则有111P xa yb zc x a y b z c =++=++． 111()()x y z x y z ≠，，，，，不妨设1x x ≠，1111y y z za b c x x x x --∴=+--．a b c ∴、、共面，矛盾．由此定理可知，如果三个向量a b c 、、，那么所有空间向量均可以由a b c 、、唯一表示，此时我们称（a b c 、、）为空间向量的一个基底，a b c 、、都叫做基本向量．如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且大小为1，则称这个基底为单位正交基底，常用（i j k 、、）表示．在空间选定一点O 和一个单位正交基底（i j k 、、），以O 点为坐标原点，分别以i j k 、、的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴．这时我们就建立了一个空间直角坐标系O xyz -，那么对于任意向量P ，存在唯一的实数对（x y z ，，）满足：P OP xi y j zk ==++，简记为()P x y z =，，，此时称点P 的坐标为()x y z ，，，见图8-48．图848若111()OA a x y z ==，，，222()OB b x y z ==，，，则 121212()a b x x y y z z +=+++，，，121212()BA OA OB a b x x y y z z =-=-=---，，，111()a x y z λλλλ=，，．例3．在直三棱柱111A B C ABC -中，π2BAC ∠=，11AB AC AA ===．已知G 与E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）．若GD EF ⊥，求线段DF 的长度的取值范围解：建立直角坐标系，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，则112211(00)(01)0101(00)(01)22F t t E G D t t ⎛⎫⎛⎫<<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，．所以12111122EF t GD t ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，．因为GD EF ⊥，所以1221t t +=，由此推出2102t <<．又12(0)DF t t =-，，，21DF t =1DF <．例4．已知四边形ABCD 和ABEF 是两个正方形，它们所在的平面互相垂直，M AC ∈，N BF ∈，且AM FN =，见图8-49．求证：不论M 在AC 上何处，直线MN 不可能同时垂直AC 和BF ．MNFEDCBA图849证明：设BA a BE b BC c BN t BF ====⋅，，，，则()(1)()BN t a b AM t c a =⋅+=--，于是()(1)()(1)MN BN BM t a b t c a a tb t c ⎡⎤⎡⎤=-=+---+=--⎣⎦⎣⎦，假设MN 同时垂直AC 和BF ，则00.MN AC MN BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，由题设，知00a b b c ⋅=⋅=，，由2(1)()(1)MN AC tb t c c a t c ⎡⎤⋅=--⋅-=-⋅⎣⎦，得10t -=即1t =．由2(1)()0MN BF tb t c a b t b ⎡⎤⋅=--⋅+=⋅=⎣⎦得0t =，矛盾！所以，MN 不可能同时垂直AC 和BF ．基础练习1．如图8-50，OA a OB b OC c ===，，，M N P 、、分别为AB 、BC 、CA 的中点，试用a b c 、、表示下列向量：OM MN AN ，，．图8502．已知空间三点(202)A -，，，(212)B -，，，(303)C -，，．设a AB b AC ==，，是否存在实数k ，使向量ka b +与2ka b -互相垂直，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．。

高一数学平面与平面平行的判定和性质

一、两个平面的位置关系
（4）两个平面平行的画法画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行，如图1，而不应画成图2那样．
图1
图2
二、两个平面平行的判定
问题1：从两平面平行的定义出发来探究两平面平行的条件（转化为线面平行问题）
问题2：一个平面内至少有几条直线和另一个平面平行可以确保两个平面平行（不相交）
求证：平面AB`D`//C`BDBiblioteka D`A`DA
C` B`
C B
例3
空间四边形ABCD中，M、E、F 分别为
BAC、 ACD、 ABD 的重心.
(1) 求证: 面MEF // 平面BCD;
(2) 求 S MEF 与 SBCD 面积的比
值.
A
F
M
E
D
B
P
H
G C
判断下列命题是否正确，并说明理由．
二、两个平面平行的判定
判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都
平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
例题分析
例题1: 如图，A，B，C为不在同一直线上的三点，AA`//BB`
//CC`，且AA`=BB`=CC`，求证平面ABC//平面A`B`C`
点击图片可以演示动画
例题分析
例题2: 已知正方体ABCD-A`B`C`D`，
平面与平面平行的判定和性质
一、两个平面的位置关系
（1）两个平面平行如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面
互相平行．（2）两个平面相交
如果两个平面有公共点，它们就相交于一条过该公共点的直线，就称这两个平面相交．
（3）两个平面的位置关系只有两种
①两个平面平行——没有公共点

人教版高一下数学《平面的基本事实与推论》课件

法三因为A∉直线BC, 所以过点A和直线BC确定平面α(推论1). 因为A∈α,B∈α. 故AB⊂α, 同理AC⊂α, 所以AB,AC,BC共面.
变式：
三条直线两两相交,可确定
个平面.
解析:当三条直线共点时可确定三个或一个,当三条直线不共点时可确定一个平面. 答案:一或三
方法技巧：
解决共面问题的基本方法是: (1)由条件确定一个平面,然后再由公理1证明其余的线也在该平面内; (2)由一部分线确定一个平面,由另一部分线确定另一个平面,然后证明两个平面重合.
练习：
1.下面是一些命题的叙述语(A,B表示点,a表示直线,α,β表示平面):
①∵A∈α,B∈α,∴AB∈α; ②∵A∈α,A∈β,∴α∩β=A; ③∵A∉α,a⊂α,∴A∉a; ④∵A∈a,a⊄α,∴A∉α.
其中命题和叙述方法都正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:③正确.①错,其中的AB∈α应为AB⊂α.②错,其中α,β应该交于一条过A点的直线.④错,因为点A可能是直线a与平面α的交点. 答案:B
2.平面基本事实的推论
文字语言
图形语言
推论
经过一条直线与直线外一点, 有且只有一个
1 平面
推经过两条相交
论直线,有且只有 2 一个平面
推经过两条平行论直线,有且只有 3 一个平面
符号语言
点 A∉直线 BC⇒存在唯一的平面 α,使 A∈α,直线 BC⊂α
直线 AB∩直线 AC=A⇒存在唯一的平面 α,使直线 AB⊂α,且直线 AC⊂α
第十一章立体几何初步
11.2 平面的基本事实与推论
（一）
学习目标 1. 掌握平面的画法及表示方

高一数学平面的基本性质及推论

A
α
B
C
共面
证明：证明： ∵ A、B、C三点不在一条直线上、、三点不在一条直线上公理3) 公理 ∴过A、B、C三点可以确定平面 α (公理、、三点可以确定平面公理1) 公理 ∈ ∵ A∈α , B∈α ∴AB ⊂ α (公理 ∈ 同理 BC ⊂ α , AC ⊂ α ∴AB、AC、BC共面、、共面
如果两个平面有一条公共直线，如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平交线。面相交，这条公共直线叫做这两个平面的交线面相交，这条公共直线叫做这两个平面的交线。
公理2的作用有二：
判定两个平面相交，一是判定两个平面相交，即如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面相交；公共点，那么这两个平面相交；判定点在直线上，二是判定点在直线上，即点若是某两个平面的公共点，那么这点就在这两个平面的交线上. 共点，那么这点就在这两个平面的交线上. 三.两平面两个公共点的连线就是它们的交线两平面两个公共点的连线就是它们的交线
四.用数学符号来表示点、线、面之间的用数学符号来表示点、位置关系：位置关系：
(1)点与直线的位置关系： (1)点与直线的位置关系：点与直线的位置关系记为：点A在直线a上：记为：A∈a 在直线a 记为：点B不在直线a上：记为：B∈a 不在直线a (2)点与平面的位置关系： (2)点与平面的位置关系：点与平面的位置关系记为：点A在平面α内：记为：A∈α 在平面α 记为点B不在平面α上记为：B∈ α 不在平面α 记为：：
β
A
直线a // b ⇒ 有且只有一个平面β，使得a ⊂ β，b ⊂ β .
思考1：不共面的四点可以确定多少个平面？思考2：四条相交于同一点的直线a,b,c,d并且任意三条都不在同一平面内，有它们中的两条来确定平面，可以确定多少个平面?

【高中数学】平面课件 2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

四、平面的基本性质
思考：两点可以确定一条直线，那么几个点可以确定一个平面呢?
自行车着地 “站稳”,三脚架
支撑照相机…….由这些事实和
类似经验说明什么？
平面的基本事实1
文字语言：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面
也可以简单说成:“不共线的三点确定一个平面”.
图形语言：
C
α A
B
符号语言： A,B,C不共线=>存在唯一的平

α
M ,M a
β
题型三：确定平面个数问题
1.【见课本第132页，第7题】
三条直线两两平行且不共面，每两条直线确定一个一个平面，
一共可以确定几个平面？如果三条直线相较于一点，它们最
多可以确定几个平面？
3
A
3
2.不共面的四点可以确定几个平面?
4
D
B
3.空间有5个点，其中有四个点在同一平面内，
但没有任何的三点共线.这样的5个点确定平面
的个数最多可以确定几个平面？
7
C
题型四：点共线、线共点、点共面、线共面问题
1.【见课本第132页，第6题】
如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共面吗？
题型四：点共线、线共点、点共面、线共面问题
例1.如右图在空间四边形ABCD中，
A
若直线EH和FG相交于K，则K点在
BD上吗，为什么？
E·
H
·
B
F·
D
·
G
C
K
推论1
基本事实1给出了确定一个平面的一种方法，
利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点
确定一条直线”，你还能得到一些确定一个

高一数学平面解析几何的基本概念与性质

高一数学平面解析几何的基本概念与性质平面解析几何是数学中的一个重要分支，通过使用坐标系，研究平面上点、线、圆等几何图形的性质与关系。

本文将介绍平面解析几何的基本概念与性质，以帮助高一学生更好地理解和应用这一知识点。

一、直角坐标系平面解析几何的基础是直角坐标系。

直角坐标系由横轴和纵轴组成，横轴又称为x轴，纵轴又称为y轴。

通过给出一个点在横轴和纵轴上的坐标，就可以确定平面上的一个点。

横轴和纵轴的交点被称为坐标原点O，它的坐标为(0, 0)。

在直角坐标系中，我们可以描绘出点、直线、曲线等几何图形。

二、平面上的点与坐标在平面解析几何中，点是最基本的概念之一。

平面上的点可以用有序数对的形式表示，称为坐标。

坐标的形式是(x, y)，其中x为横坐标，y为纵坐标。

例如，A点的坐标为(2, 3)，表示A点在横轴上的坐标为2，在纵轴上的坐标为3。

三、直线的表示与方程直线是平面解析几何中的一个重要概念。

在直角坐标系中，我们可以通过直线上的两个点来表示一条直线。

设直线上两点分别为A(x_1,y_1)和B(x_2, y_2)，则直线的方程可以表示为：(y - y_1)/(x - x_1) = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)该方程被称为点斜式方程，它可以用来表示平面上的一条直线。

四、平面上的距离与中点公式在平面解析几何中，我们常常需要计算两点之间的距离。

设平面上两点P(x_1, y_1)和Q(x_2, y_2)，则点P和点Q之间的距离为：d = sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)其中sqrt表示开方运算。

利用这个公式，我们可以方便地计算平面上任意两点之间的距离。

另外，我们还可以利用坐标的加法与除2运算得出两点连线上的中点的坐标。

设两点的坐标分别为(x_1, y_1)和(x_2, y_2)，则中点的坐标为：(x_1 + x_2)/2, (y_1 + y_2)/2利用中点公式，我们可以快速找到两点连线上的中点。

高一数学平面与平面平行的判定和性质

平面与平面平行的判定和性质
一、两个平面的位置关系
（1）两个平面平行如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面
互相平行．（2）两个平面相交
如果两个平面有公共点，它们就相交于一条过该公共点的直线，就称这两个平面相交．
（3）两个平面的位置关系只有两种
①两个平面平行——没有公共点
②两个平面相交——有一条公共直线．
与平行； ×
（2）若平面内有无数条直线分别与平面平行，则
与平行；× （3）平行于同一直线的两个平面平行； ×
（4）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平
行； ×
（5）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平
行的平面．×
课堂练习1：课本63页练习1~3
三、两个平面平行的性质
（1）一个结论
根据两个平面平行及直线和平面平行的定义，容易得出下面的结论：
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；
被人为的光明撕裂得丢了魂魄。其实黑暗是洁净的，那灯红酒绿、夜夜笙歌的繁华，亵渎了圣洁的黑暗。上帝给了我们黑暗，不就是送给了我们梦想的温床吗？如果我们放弃梦想，不断地制造糜烂的光明来驱赶黑暗，纵情声色，那么我们面对的，很可能就是单色调的世界了。 ? ⑩我感激这只勇敢的蜜蜂，它用一场壮烈的牺牲，唤起了我的疼痛感，唤起了我对黑暗从未有过的柔情。 ? ⑾只有这干干净净的黑暗，才会迎来清清爽爽的黎明啊。 ? （选自《散文海外版》2008年第2期） ? 1.文章开头为何要从故乡的秋景写起？ ? 答： ? 2.文章中间④―⑦节花了不少笔墨描写被蜜蜂蜇了的情节，主要运用了什么描写手法？这样写有哪些作用？ ? 答： ? 3.作者自己被蜜蜂蜇后非但不记恨，反而对蜜蜂产生感激之情，这是为什么？ ? 答： ? 4.一般来说，黑暗是人们贬斥的对象，而作者却

平面与平面平行的性质定理高一数学人教必修二

M
N
E
又ME∩NE=E， ∴平面MEN∥平面α， ∵ MN平面MEN，
D B
∴MN∥α.
第16页/共35页
反思~领悟：
面面平行判定定理
:
线面平行面面平行
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内
的两条直线，那么这两个平面平行
a b
第4页/共35页
例1 如果已知平面，，，满足 // , a， b，求证：a // b
证明: a
γ
b
a b
/ /
a, b没有公共点 a, b都在平面内
a / /b
第5页/共3பைடு நூலகம்页
第6页/共35页
例1 求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.
讨论:解决这个问题的基本步骤是什么?
复习1：平面和平面的位置关系
1、平面和平面有哪几种位置关系？
1）两平面平行
没有公共点
2）两平面相交
有一条公共直线
l
//
l
第1页/共35页
复习2：面面平行的判定定理
面面平行的判定定线面平行
理
a,b , a b a //,b //
p
//
1〉两两条件要点： β内有2〉相交
3〉分别和α平行
第26页/共35页
两个平面平行具有如下的结论
（1）如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.
（2）如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行.
（3）夹在两个平行平面间的所有平行线段相等.
第30页/共35页

4.4.1平面与平面平行的性质定理 (教学课件)-高一下学期数学湘教版(2019)必修第二册

l
求证：α∥β
n
m
A

n

g
A

m
探究新知
两个平面平行的两个重要结论
(1)如果一条直线垂直于两个平行平面中一个平面，那
么它也垂直于另一个平面。
数学符号语言：
// ，l l
(2)垂直于同一条直线的两个平面平行。
数学符号语言：
l ，l //
应用新知
a
图形语言

简记：面面平行 → 线面平行
探究新知
问题2：若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平
面内的直线是否平行？它们有什么位置关系？
分别在两个平行平面内的直线必定没有公共点，
它们不一定平行，可能是平行或异面。
a

a
平行

b

异面
b
探究新知
面面平行的性质定理
两个平面平行，如果一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平
行．
符号语言
∥ ， ∩ ＝， ∩ ＝，则 ∥ .
简记：面面平行 → 线线平行
图形语言
应用新知
例1、证明：如果一条直线垂直于两个平行平面中一个平面，
那么它也垂直于另一个平面。
l
已知：α∥β，l⊥α
b
求证：l⊥β

gA
a
应用新知
证明：垂直于同一条直线的两个平面平行。
已知：l⊥α ，l⊥β
是18，求△EFG的周长.
2.如图，已知平面α∥平面β，点P是平面α，β外一点，且直线PB，PD分别与α，
β相交于点A，B和点C，D.如果PA=4 cm，AB=5 cm，PC=3 cm，求PD的长．

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