2019-2020学年湖南省益阳市资阳区第六中学高二上学期期中考试数学试题
2019-2020学年湖南省益阳市高二上学期期末数学试题及答案解析版
2019-2020学年湖南省益阳市高二上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题 1．sin 20cos10cos 20sin10+=（） A ．12- B ．12C ．3-D ．32【答案】B【解析】利用正弦的和角公式求解即可. 【详解】()1sin 20cos10cos 20sin10sin 2010sin 302+=+==. 故选：B 【点睛】本题主要考查了正弦的和角公式运用,属于基础题型. 2．某校数学兴趣小组对高二年级学生的期中考试数学成绩（满分100分）进行数据分析，将全部的分数按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.若成绩在80分及以上的学生人数为360，估计该校高二年级学生人数约为（ ）A ．1200B ．1440C ．7200D ．12000【答案】A【解析】根据频率分布直方图求出成绩在80分及以上的学生人数占比再求总数即可.【详解】由题, 成绩在80分及以上的学生人数占比为()1100.010.020.040.3-⨯++=.故该校高二年级学生人数约为36012000.3=.故选：A【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的理解运用,属于基础题型.3．已知等比数列{}n a中，544a a=，则128a a a⋅⋅⋅=（）A．128-B．128 C．256-D．256【答案】D【解析】根据等比数列的等积性求解即可.【详解】因为{}n a为等比数列,故()128445256aa a aa⋅⋅⋅==.故选：D【点睛】本题主要考查了等比数列的等积性,属于基础题型.4．某教育局公开招聘了4名数学老师，其中2名是刚毕业的“新教师”，另2名是有了一段教学时间的“老教师”，现随机分配到A、B两个学校任教，每个学校2名，其中分配给学校A恰有1名“新教师”和1名“老教师”的概率是（）A．14B．13C．12D．23【答案】D【解析】求出分配给学校A两个“新教师”与两个“老教师”的概率之和,再用1去减即可.【详解】分配给学校A两个“新教师”与两个“老教师”的概率之和为24213C=.故分配给学校A恰有1名“新教师”和1名“老教师”的概率是12133-=.故选：D【点睛】本题主要考查了根据对立事件的概率求原事件的概率的问题,需要利用组合方法求解对应的概率,属于基础题型.5．函数()()sinf x A x=+ωϕ（0A>，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，则()f x的解析式为（）A．()2sin3f x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭B．()2sin6f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】先求出振幅与周期,再代入对高点求解即可. 【详解】易得2A =,又周期T 满足2362T T ππππ⎛⎫=--=⇒= ⎪⎝⎭.故22ππωω=⇒=.故()()2sin 2f x x ϕ=+,代入最高点23π⎛⎫ ⎪⎝⎭，有2sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,因为2πϕ<,故6πϕ=-.故()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 故选：C 【点睛】本题主要考查了根据三角函数图像求解三角函数解析式的问题,属于基础题型.6．在边长为1的正方形ABCD 内任取一点P ，使APB ∠是钝角的概率等于（ ） A ．42π- B ．18π- C ．8πD ．2π【答案】C【解析】先求出使APB ∠是直角的情况再分析即可. 【详解】由题,当APB ∠为直角时,P 的轨迹是以AB 为直径的半圆,故当P 在半圆内时满足APB ∠是钝角,故APB ∠是钝角的概率等于211221π⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭8π=故选：C【点睛】本题主要考查了几何概型的方法,需要先分析临界条件再根据几何概型的方法求解即可.属于基础题型.7．ABC∆中，M是AC边上的点，2AM MC=，N是边的中点，设1AB e=，2AC e=，则MN可以用1e，2e表示为（）A．121126e e-B．121126e e-+C．121126e e+D．121726e e+【答案】A【解析】利用向量的线性运算求解即可.【详解】由题, ()12111111322626 MN MC CN AC AB AC AB AC e e=+=+-=-=-.故选：A【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算,属于基础题型. 8．“[)1,3x ∀∈，20x a -≤”成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．0a ≥ B ．1a > C ．9a ≥ D ．9a >【答案】D【解析】先求出“[)1,3x ∀∈，20x a -≤”成立的充要条件再判定即可. 【详解】若 “[)1,3x ∀∈，20x a -≤” 则()2max x a ≤,故9a ≥.“[)1,3x ∀∈，20x a -≤”成立的一个充分不必要条件是9a >. 故选：D 【点睛】本题主要考查了恒成立的问题以及充分不必要条件的理解,属于基础题型.9．某企业通过前期考察与论证可知，投资每个A 项目第一年需资金20万元，从中可获利5万元；投资每个B 项目第一年需资金30万元，从中可获利6万元.现公司拟投资两个项目共不多于8个且投入资金不超过200万元，需合理安排这两个项目的个数使第一年获利最多，则获利最多可达到（ ） A ．40万元 B ．44万元 C ．48万元 D ．50万元【答案】B【解析】设投资x 个A 项目,y 个B 项目,再列出,x y 满足的不等式,根据线性规划的方法求解即可.【详解】设投资x 个A 项目,y 个B 项目,则{}20302008,0,1,2...,7,8x y x y x y ⎧+≤⎪+≤⎨⎪∈⎩,再求56z x y =+的最大值.则投资的项目组合(),x y 为上不等式组的可行域中的整数点.易得56z x y =+在2030200484x y x x y y +==⎧⎧⇒≥⎨⎨+==⎩⎩即()4,4处取得最大值. 最大值为546444z =⨯+⨯=万元故选：B 【点睛】本题主要考查了线性规划的应用题,需要注意满足条件的(),x y 为可行域中的整数点.属于基础题型.10．已知离心率为2的双曲线C ：22221x y a b-=（0a b >>）的左右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，直线)3y x c =+与双曲线C在第一象限的交点为P ，12PF F ∠的角平分线与2PF 交于点Q ，若2PF PQ λ=，则λ的值是（ ） A ．4343- B ．4313- C ．233D ．3233+【答案】B【解析】利用角平分线的性质,计算112,PF F F 的比值关系再分析即可. 【详解】先推导角平分线的性质,如图,设ABC 中AD 为BAC ∠的角平分线,则根据正弦定理sin sin AB BDBDA BAD =∠∠①. sin sin AC CDCDA CAD=∠∠② 又BDA CDA π∠+∠=,故sin sin BDA CDA ∠=∠,又sin sin BAD CAD ∠=∠, 故①÷②可得AB BDAC CD=.故由题, 2PF PQ λ=,22212111PF PQ QF QF F FPQ PQ PQ PF λ+===+=+.再计算1PF 即可.因为2c a =,故2c a =,直线)3y x c =+,倾斜角为6π且过左焦点. 设2112,2,2PF x PF x a x c F F c ==+=+=,由余弦定理有()()()()222222cos6x c x c c x c π=++-⋅⋅+⋅.化简得233314232x c ==-.12124313311111F F c PF x c λ-=+=+=+=+-+.故选：B 【点睛】本题主要考查了双曲线中根据定义以及余弦定理求解边角关系的方法,同时也考查了角平分线定理的应用,属于难题.二、多选题11．若命题p ：x R ∀∈，10x +>.命题q ：对每一个无理数x ，2x 也是无理数.则下列命题是真命题的是（）A ．p q ⌝∨B ．p q ∧C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝ 【答案】AD【解析】分别判断,p q 的真假,再分析即可. 【详解】命题p 中,当1x =-时10x +>不成立.故命题p 为假命题. 命题q 中,当无理数3x =, 23x =不是无理数,故命题q 为假命题.故选：AD 【点睛】本题主要考查了命题真假的判断以及或且非命题的运用等.属于基础题型.12．如图，在平面四边形ABCD 中，等边ABC 的边长为2，30ADC ∠=，AC CD ⊥，点M 为边上一动点，记DM CM λ=⋅，则λ的取值可以是（ ）A ．4-B ．154C ．5D ．10【答案】CD【解析】建立平面直角坐标系将向量用坐标表示求解即可. 【详解】以A 为坐标原点建立如图平面直角坐标系,设[]0,2AM t =∈.则(()13,3,4,02M t C D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 故1313322DM CM t t λ⎛⎫⎛=⋅=⋅ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝-----2221533444242t t t t t t =+++-=++在[]0,2t ∈上为增函数, 故[]244,10tt λ=++∈.故选：CD 【点睛】本题主要考查了建立平面直角坐标系解决向量的问题,需要找到合适的坐标原点建系,利用平面向量的坐标表达求数量积再分析范围,属于中等题型.三、填空题13．若1sin 3α=，则cos2=α__________． 【答案】79 【解析】【详解】2217cos 212sin 12().39αα=-=-⨯=14．若0x >，则92y x x =++的最小值等于______.【答案】4【解析】配凑出基本不等式的结构求解即可. 【详解】()999222224222y x x x x x x ⎛⎫=+=++-≥+⋅=⎪+++⎝⎭. 当且仅当23,1x x +==时取等号.故答案为：4 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用,属于基础题型. 15．直线l 过抛物线214y x =的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，若=16AB ，则AB 的中点D 到x 轴的距离为______. 【答案】7【解析】根据抛物线的焦点弦长公式求解即可. 【详解】 抛物线214y x =的焦点为()0,1F ,设()()1122,,,A x y B x y ,则12216AB y y =++=.即1214y y +=.所以AB的中点1212,22x x y y D ++⎛⎫ ⎪⎝⎭到x 轴的距离1272y y +=. 故答案为：7 【点睛】本题主要考查了抛物线的焦点弦长公式的运用,属于基础题型.16．已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，nT ，且223n S n n =+，233n n T b =-，若两个数列的公共项按原顺序构成数列{}n c ，若2020n c ≤，则n 的最大值为______. 【答案】3【解析】先求得数列{}n a ,{}n b 的通项公式,再分析公共项的满足的条件即可. 【详解】由题,223n S n n =+.当1n =时, 15a =,当2n ≥时, ()()()()221232131412n n n a S S n n n n n n -⎡⎤=+--+-=+⎣⎦-≥=. 当1n =时也满足41n a n =+.故41n a n =+ 又233n n T b =-,当1n =时1112333b b b =-⇒=.当2n ≥时, 11112332333233n n n n n n n n n T b b b b b b T b ----=-⎧⇒=-⇒=⎨=-⎩.故{}n b 是以13b =为首项,3为公比的等比数列.故3n n b =. 故数列{}n c 为41n a n =+与3n n b =的公共项. 又12234203,9421,27,814201b b a b b a ===⨯+====⨯+=,561827243,72941821,21872020b b a b ===⨯+==>.故12349,81,729,2020c c c c ===>,且{}n c 为单调增数列. 故满足2020n c ≤,n 的最大值为3. 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了根据数列的前n 项和求解通项的方法以及等差等比数列的综合运用,属于中等题型.四、解答题17．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()2cos cos 0a b C c A ++=. （1）求C ； （2）若4a =，c =ABC ∆的面积.【答案】（1）23π；（2）【解析】(1)利用正弦定理边化角以及和差角公式进行求解即可.(2)利用余弦定理求解得6b =,再用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）∵()2cos cos 0a b C c A ++=， 由正弦定理得：∵()sin 2sin cos sin cos 0A B C C A ++= ∴()sin cos sin cos 2sin cos 0A C C A B C ++=∴()sin 2sin cos 0A C B C ++=，即sin 2sin cos 0B B C +=， ∵()0,B π∈，∴sin 0B ≠，∴1cos 2C =-， 又∵()0,C π∈，∴23C π=.（2）由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-，即217616242b b ⎛⎫=+-⨯-⎪⎝⎭， ∴6b =，∴11sin 4622ABC S ab C ∆==⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了解三角形中的正余弦定理以及面积公式的运用,属于中等题型.18．某消费品企业销售部对去年各销售地的居民年收入（即此地所有居民在一年内的收入的总和）及其产品销售额进行抽样分析，收集数据整理如下：年收入x （亿元） 15 20 35 50 销售额y （万元） 16204048（1）在图a 中作出这些数据的散点图，并指出y 与x 成正相关还是负相关？（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程？（3）若B 地今年的居民年收入将增长20%，预测B 地今年的销售额将达到多少万元？回归方程系数公式：1221ˆni ii nii x y nxybxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-. 参考数据：15162020354050484440⨯+⨯+⨯+⨯=，2222152035504350+++=.【答案】（1）散点图见解析，y 与x 成正相关；（2）ˆ0.96 2.2y x =+；（3）23.04万元.【解析】(1)根据表中给的数据描点再判断即可. (2)代入参考数据与公式计算出方程即可.(3)根据(2)中的回归方程,代入20120%24x =⨯=求解即可.【详解】（1）如图，y 与x 成正相关.（2）30x =，31y =，414440i i i x y ==∑，4214350i i x ==∑，41422214444043031ˆ0.9643504304i ii ii x y xybxx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ310.9630 2.2ay bx =-=-⨯=， 故所求线性回归方程为ˆ0.96 2.2yx =+. （3）当20120%24x =⨯=时，ˆ0.9624 2.223.04y=⨯+=， 预测B 地今年的销售额将达到23.04万元. 【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求解及其实际意义的理解,属于基础题型.19．已知向量13sin ,42x a ⎛⎫= ⎪⎭，cos ,cos 42x x b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，记()f x a b =⋅. （1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间； （2）当[],x ππ∈-，求函数()f x 的取值范围.【答案】（1）4π，424,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）；（2）3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】(1)代入()f x a b =⋅,根据降幂公式与辅助角公式化简再求最小正周期和单调递增区间即可. (2)由(1)有()sin 26x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,根据[],x ππ∈-可求得2,2633x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦,再根据正弦函数在区间内的单调性与最值求解函数()f x 的取值范围即可. 【详解】 （1）()11cos cos cos sin 4422222226x x x f x x x x π⎛⎫=⋅=+=+=+ ⎪⎝⎭a b ，所以()f x 的最小正周期2412T ππ==.令222262x k k πππππ-≤+≤+（k Z ∈）， 解得424433k x k ππππ-≤≤+（k Z ∈），所以()f x 的单调递增区间为424,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）. （2）当[],x ππ∈-时，2,2633xπππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦所以当x π=-时，sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭取到最小值， 当23x π=时，sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭取到最大值1，因此()f x的值域为2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了向量与三角函数恒等变换的运用以及根据三角形函数解析式求解在区间内的取值范围等问题.属于中等题型.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，O ，E 分别为AD ，PB 的中点，平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA PD ==，24AB AD ==.（1）求证：//OE 平面PCD ； （2）求证：AP ⊥平面PCD ； （3）求二面角A PD B --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）13.【解析】(1) 取PC 的中点G ，连接EG ，DG .再证明//OE DG 即可.(2)分别证明CD AP ⊥与AP PD ⊥即可.(3)以O 为原点,建立空间直角坐标系,利用二面角的向量方法求解即可. 【详解】（1）证明：取PC 的中点G ，连接EG ，DG . ∵E ，G 分别为PB ，PC 的中点，∴1//2EG BC =，∵四边形ABCD 为矩形，且O 为AD 的中点，∴1//2OD BC =， ∴//OD EG =，∴四边形ODGE 为平行四边形， ∴//OE DG .又因为OE ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ， ∴//OE 平面PCD ，.（2）∵底面ABCD 为矩形， ∴CD AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ， ∴CD ⊥平面P AD ，∴CD AP ⊥， ∵PA PD ==2AD =，∴222AP PD AD +=， ∴AP PD ⊥，又CD PD D =∴AP ⊥平面PCD .（3）解：取BC 的中点F ，连接OF ，OP ，则OP AD ⊥，OF AD ⊥，OF OP ⊥.以O 为原点，OA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， 则()0,0,1P ，()1,0,0D -，()1,4,0B ，平面P AD 的一个法向量()0,1,0n =，()1,4,1PB =-，()1,0,1PD =--， 设平面PBD 的法向量(),,m x y z =，则00m PB m PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以400x y z x z +-=⎧⎨--=⎩，可取()2,1,2m =-，所以1cos ,341n m m n n m ⋅===⋅+， 结合图形可知二面角A PD B --的余弦值为13.【点睛】本题主要考查了线面平行,线面垂直的证明以及空间向量求解二面角的问题,属于中等题型.21．已知公差不为0等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10751S S -=，且2a ，5a ，14a 成等比数列.数列{}n b 的各项均为正数，前n 项和为nT ，且13b =，()21111223n n n n n n b T b b T b ----+=+（2n ≥）. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和. 【答案】（1）21n a n =-，3n n b =；（2）()1133n n +-⨯+.【解析】(1)利用基本量法求解数列{}n a 的通项公式,再根据递推公式证明数列{}n b 是等比数列,进而求得通项公式即可.(2)根据错位相减的方法求解即可. 【详解】（1）因为10789109351S S a a a a -=++==，所以，917a =， ∴1817a d +=①又2a ，5a ，14a 成等比数列，所以22145a a a =， 即()()()2111134a d a d a d ++=+②联立①②解得11a =，2d =，所以21n a n =-. 因为()21111223n n n n n n b T b b T b ----+=+，所以，()22111230n n n n n b b T T b ------=所以，2211230n n n n b b b b ----=， 解得：13n n b b -=或1n n b b -=-（舍），所以，数列{}n b 是3为首项，3为公比的等比数列，所以，3n n b =.（2）数列{}n c 的前n 项和()()1211333233213n n n C n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯∴()()23131333233213n n n C n n +=⨯+⨯++-⨯+-⨯ ∴()()231232333213n n n C n +-=++++--⨯ ()()119313221331n n n -+-=+⨯--⨯-()12236n n +=--⨯-∴()1133n n C n +=-⨯+【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解方法以及根据递推公式证明等比数列以及错位相减求和的方法,属于中等题型.22．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率3e =，左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点2F 任作一条不垂直于坐标轴的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，1F AB ∆的周长为（1）求椭圆C 的方程；（2）记点B 关于x 轴的对称点为B '点，直线AB '交x 轴于点D .求ABD ∆的面积的取值范围.【答案】（1）22132x y +=；（2）⎛ ⎝⎭. 【解析】(1)根据椭圆的定义以及基本量的关系求解方程即可.(2)联立直线与椭圆的方程求解关于A ，B 两点的韦达定理,再根据题意表达出ABD ∆的面积,代入韦达定理表示再根据二次不等式的方法求解范围即可.【详解】（1）根据椭圆的定义可知1F AB ∆的周长等于4a ，所以4a =a =又离心率3e =，所以1c =，22b =， 所以椭圆C 的方程为22132x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,B x y '-设直线AB 的方程为：1x my =+（0m ≠），由221236x my x y =+⎧⎨+=⎩，得()2223440m y my ++-=， 所以122423m y y m +=-+，122423y y m =-+， 直线AB '的方程为()121112y y y y x x x x +-=--， 令0y =得()121112D y x x x x y y -=++， 又因为111x my =+，221x my =+，所以()1211211212211D y my my my y x my y y y y -=++=+++， ∴1213D x m m =⋅+=，所以D 点的坐标为()3,0，221212122ABD AF D BF D S S S y y y y ∆∆∆=+=⨯⨯-=-====∵0m ≠， ∴2110,233m ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭∴ABD S ∆⎛∈ ⎝⎭即ABD △面积的取值范围为⎛ ⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义与基本量的求解以及直线与椭圆的位置关系求解椭圆中的面积问题.需要联立直线与椭圆得出韦达定理代入运算,最后根据不等式的方法求解.属于难题.。
湖南省益阳市资阳区第六中学2019_2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)
湖南省益阳市资阳区第六中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）第I 卷（选择题)一、单选题（每小题5分，共60分）1.若命题p ：x R ∀∈，2210x ->，则该命题的否定是（ ）A. 0x R ∃∈，20210x -< B. x R ∀∈，2210x -≥ C. 0x R ∃∈，20210x -≤D. x R ∀∈，2210x -<【答案】C 【解析】 【分析】根据全称与存在性命题互为否定的关系，准确改写，即可求解.【详解】由题意，根据全称与存在性命题的关系，可得命题p ：x R ∀∈，2210x ->，则该命题的否定是“0x R ∃∈，20210x -≤”.故选C.【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题和存在性命题的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.2.如图所示茎叶图记录了甲乙两组各5名同学的数学成绩甲组成绩中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示若两个小组的平均成绩相同，则下列结论正确的是（ ）A. 2X =，22S S <甲乙 B. 2X =，22S S >甲乙 C. 6X =，22S S <甲乙D. 6X =，2，22S S >甲乙【答案】A 【解析】 【分析】根据两个小组的平均成绩相同，得到甲乙两组的总和相同，建立方程即可解得X 的值，利用数据集中的程度，可以判断两组的方差的大小． 【详解】∵两个小组的平均成绩相同，∴8072747463X +++++8183706566=++++， 解得：2X =，由茎叶图中的数据可知，甲组的数据都集中在72附近，而乙组的成绩比较分散，∴根据数据分布集中程度与方差之间的关系可得22S S <甲乙，故选A ．【点睛】本题主要考查茎叶图的应用，要求熟练掌握平均数和方差的定义和判断方法，比较基础．3.在△ABC 中，若ab<cosC ，则△ABC 为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理化简已知不等式，求得cos 0B <，由此判断出三角形的形状.【详解】依题意cos a C b <，由余弦定理得2222a a b c b ab+-<，化简得2220a c b +-<，所以222cos 02a c b B ac+-=<，故B 为钝角，所以三角形为钝角三角形.【点睛】本小题主要考查利用余弦定理判断三角形的形状，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.4.在一个不透明的箱子中装有4件同型号的产品，其中合格品3件、不合格品1件，现在从这4件产品中随机抽取2件检测，则抽到的都是合格品的概率是（ ） A.14B.13C.12D.34【答案】C 【解析】列举出这4件产品中随机抽取2件的基本事件和抽到的都是合格品的基本事件，根据古典概型的概率公式即可求解.【详解】记合格品为,,a b c 不合格为d这4件产品中随机抽取2件的基本事件为：()()()()()(),,,,,,,,,,,a b a c a d b c b d c d 抽到的都是合格品的基本事件为()()(),,,,,a b a c b c 即抽到的都是合格品的概率3162P == 故答案选C【点睛】本题主要考查了古典概型求概率问题，属于基础题.5.已知椭圆C ：22213x y a +=的一个焦点为()1,0，则C 的离心率为（ ）A.13B.12C.2D.3【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的简单性质，利用椭圆的焦点坐标得到c 的值，再根据222a b c =+求得a ，最后代入离心率公式．【详解】椭圆222:13x y C a +=的一个焦点为(1,0)，可得231a -=，解得2a =，所以椭圆的离心率为：12c e a ==． 故选B.【点睛】本题考查利用,a c 的值求解椭圆的离心率，考查简单的运算求解能力．6.已知平面α，β和直线1l ，2l ，且2αβl =I ，则“12l l P ”是“1l αP 且1l β∥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【分析】将“12l l P ”与“1l αP 且1l β∥”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件. 【详解】当“12l l P ”时，1l 可能在α或β内，不能推出“1l αP 且1l β∥”.当“1l αP 且1l β∥”时，由于2αβl =I ，故“12l l P ”.所以“12l l P ”是“1l αP 且1l β∥”的必要不充分条件. 故选B.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查空间直线、平面的位置关系，属于基础题.7.某调研机构随机调查了2019年某地区n 名业主物业费的缴费情况，发现缴费金额（单位：万元）都在区间[]0.5,1.1内，其频率分布直方图如图所示，若第五组的频数为32，则样本容量n =（）A. 200B. 400C. 800D. 1600【答案】B 【解析】 【分析】先计算出第5组的频率，利用频数除以频率求得样本容量.【详解】根据频率分布直方图，第五组的频率为0.80.10.08⨯=，又第五组的频数为32，所以样本容量为324000.08n ==. 故选B.【点睛】本小题主要考查利用频率分布直方图计算样本容量，考查图表分析能力，属于基础题.8.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且2a =，b =30B =o ，则cos A =( )A. C. ±D.12【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理得：2sin A =，解得sin A =cos A .【详解】由正弦定理得：2sin A =，解得sin 2A =，故45A ︒=或135︒，当45A ︒=时，cos A =当135A ︒=时，cos A =. 故选C.【点睛】本题考查了利用正弦定理解三角形，考查了计算能力，属于基础题.9.O 为坐标原点，F 为抛物线2:4C y x =的焦点，P 为C 上一点，若4PF =，则POF V 的面积为C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的标准方程24y x =可得抛物线的焦点坐标和准线方程,设出(,)P x y ,由PF =4以及抛物线的定义列式可得(1)4x --=,即3x =,再代入抛物线方程可得点P 的纵坐标,再由三角形的面积公式1||2S y OF =可得. 【详解】由24y x =可得抛物线的焦点F (1,0),准线方程为1x =-,如图:过点P 作准线1x =- 的垂线,垂足为M ,根据抛物线的定义可知PM =PF =4,设(,)P x y ,则(1)4x --=,解得3x =,将3x = 代入24y x =可得23y =±, 所以△POF 的面积为1||2y OF ⋅=123132⨯⨯=. 故选B .【点睛】本题考查了抛物线的几何性质,定义以及三角形的面积公式,关键是①利用抛物线的定义求P 点的坐标;②利用OF 为三角形的底,点P 的纵坐标的绝对值为高计算三角形的面积.属中档题.10.已知矩形ABCD 中，4,3AB AD ==.如果向该矩形内随机投一点P ，那么使得ABP ∆与ADP ∆的面积都不小于2的概率为（ ）A.14B.13C.47D.49【答案】D 【解析】，由题意知本题是一个几何概型的概率，以AB 为底边，要使面积不小于2， 由于122ABP S AB h h V =⨯=， 则三角形的高要h ⩾1,同样,P 点到AD 的距离要不小于43，满足条件的P 的区域如图， 其表示的区域为图中阴影部分,它的面积是()41643133⎛⎫--= ⎪⎝⎭， ∴使得△ABP 与△ADP 的面积都不小于2的概率为：1643439=⨯. 故选D.11.在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，且a =b =cos 4B =，则c =( )B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合余弦定理2222cos2a c b B ac +-===，可求出答案.【详解】由余弦定理可得：2222cos2a c b B ac +-===，解得c =c =，因为0c >，所以c = B.【点睛】本题考查了余弦定理的运用，考查了学生的计算能力，属于基础题. 12.已知0a b >>，椭圆1C 方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C2C 的渐近线方程为 ）A. 0x ±= 0y ±= C. 20x y ±= D. 20x y ±=【答案】A【解析】 【分析】利用离心率乘积为2，利用,a b 将离心率表示出来，构造一个关于,a b 的方程，然后解出b a的值，从而得到双曲线渐近线方程． 【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为12,c c ，则1212c c e e a a ⋅=⋅===所以2b a =，所以双曲线2C 的渐近线方程为：2b y x x a =±=±，即x o ±=，故选A. 【点睛】本题考查椭圆与双曲线的离心率即双曲线的渐近线方程求离心率直接构造出关于,a c 的方程从而求出e ，求双曲线渐近线方程则只需构造,a b 的方程，从而解出ba，便可得到渐近线方程．第II 卷（非选择题)二、填空题（每小题5分，共20分） 13.在ABC ∆中，1a =，60b B ==o ，则A =___________．【答案】6π【解析】 【分析】由正弦定理即可求出sin A ，结合三角形大边对大角的性质即可求出答案.【详解】由正弦定理，sin sin a b A B=，则sin 1sin 2a B A b ==，(0,)A π∈，且a b <，即A B <，故6A π=.所以本题答案为6π. 【点睛】本题考查正弦定理的应用和三角形大边对大角的性质，注意仔细审题，认真计算，属基础题.14.若x ，y 满足约束条件10050y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+-⎩……„，则3z x y =+的最大值为_________.【答案】10 【解析】 【分析】根据线性规划限定条件画出可行域，再通过30x y +=平移找出最值即可【详解】画出可行域知，当:30l x y +=平移到过点55,22⎛⎫⎪⎝⎭时，max 10z =.则3z x y =+的最大值为10【点睛】本题主要考察了根据线性规划求目标函数的最值问题，相对简单，解题方法一般为先画出可行域，再将目标函数转化为斜截式，通过判断目标函数值与截距的关系，找出目标点，求出最值即可15.某校有高一学生n 名，其中男生数与女生数之比为6:5，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为10n的样本，若样本中男生比女生多12人，则n =_______．【答案】1320 【解析】 【分析】依题意可得6512111110n⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭，解之即得解.【详解】依题意可得6512111110n⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭，解得1320n =. 故答案为1320【点睛】本题主要考查分层抽样，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 16.以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A B 、为两个定点，K 为非零常数，若PA PB K -=,则动点P 的轨迹是双曲线； ②方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点；④已知抛物线22y px =，以过焦点的一条弦AB 为直径作圆，则此圆与准线相切，其中真命题为__________．（写出所有真命题的序号） 【答案】②③④ 【解析】A 、B 为两个定点，K 为非零常数，若|PA|﹣|PB|=K ，当K=|AB|时，动点P 的轨迹是两条射线，故①错误；方程2x 2﹣5x+2=0的两根为12和2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故②正确； 双曲线225x ﹣29y =1的焦点坐标为0），椭圆235x ﹣y 2=1的焦点坐标为0），故③正确；设AB 为过抛物线焦点F 的弦，P 为AB 中点，A 、B 、P 在准线l 上射影分别为M 、N 、Q ， ∵AP+BP=AM+BN ∴PQ=12AB ， ∴以AB 为直径作圆则此圆与准线l 相切，故④正确 故正确的命题有：②③④ 故答案为②③④三、解答题（本大题共7小题，共70分）17.已知命题2:60p k k --≤，命题q ：方程2241yx k k+=--表示焦点在x 轴上的双曲线.（1）命题q 为真命题，求实数k 的取值范围；（2）若命题“p q ∨”为真，命题“p q ∧”为假，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）()1,4k ∈（2）[]()2,13,4k ∈-U 【解析】 【分析】（1）由题意得到()()40410k k k ->⎧⎨--<⎩，求解，即可得出结果；（2）先由题意，得到,p q 一真一假，分别讨论p 真q 假，p 假q 真，两种情况，即可求出结果.【详解】解：（1）若q 为真命题，则方程()()221441x y k k k +=---中， ()()40410k k k ->⎧⎨--<⎩，解得()1,4k ∈； （2）若命题“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，则,p q 一真一假， 1）若p 真q 假，则231,4k k k -≤≤⎧⎨≤≥⎩或，[]2,1k ∴∈-2）若p 假q 真，则2,314k k k ⎧-⎨<<⎩或，()3,4k ∴∈综上，[]()2,13,4k ∈-U【点睛】本题主要考查由命题真假求参数的问题，会根据或且非的真假判断原命题真假即可，属于常考题型.18.某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表（1）画出散点图．观察散点图，说明两个变量有怎样的相关性.(2)用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程．(3)当销售额为4(千万元)时，估计利润额的大小.其中()() ()1111222ˆˆˆi ii i i in ni ii in nx x y y x y nxybx x x nxa y bx====⎧∑--∑-⎪==⎪⎨∑-∑-⎪⎪=-⎩【答案】（1）见解析（2）ˆ0.50.4y x=+（3）2.4(百万元)【解析】【分析】（1）根据所给的这一组数据，得到5个点的坐标，把这几个点的坐标在直角坐标系中描出对于的点，即可得到散点图，可判断为正相关；（2）根据这组数据，利用最小二乘法求得ˆˆ,a b的值，即可求解回归直线的方程；（3）利用作出的回归直线方程，把4x=的值代入方程，估计出对应的y的值.【详解】（1）根据所给的这一组数据，得到5个点的坐标：(3,2),(5,3),(6.3),(7,4),(9,5)，把这几个点的坐标在直角坐标系中描出对应的点，得到如下的散点图：（2）设回归直线的方程是：ˆˆˆybx a =+， 由表格中的数据，可得6, 3.4x y ==，又由121()()3( 1.4)(1)(0.4)10.63 1.6ˆ9119()niii ni i x x y y bx x ==---⨯-+-⨯-+⨯+⨯==+++-∑∑101202==11ˆ 3.220.446ay x =--⨯==，即ˆ0.50.4y x =+ ∴y 对销售额x 的回归直线方程为ˆ0.50.4yx =+ （3）当销售额为4(千万元)时，利润额为：0.50.4ˆ4y=⨯+＝2.4(百万元). 【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及其应用，其中解答中正确求得线性回归直线的方程的系数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.19.某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出频率分布直方图，已知得分在[)50,60，[]90,100的频数分别为8，2．（1）求样本容量n 和频率分布直方图中的,x y 的值； （2）估计本次竞赛学生成绩的中位数；（3）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[]90,100内的概率． 【答案】(1)；(2)；(3).【解析】【详解】试题分析：(1)借助题设条件运用频率分布直方图求解；(2)借助题设条件运用频率分布直方图中提供的数据信息求解；(3)运用列举法和古典概型计算公式求解.试题解析：（1）由题意可知，样本容量n=80.01610⨯=50，，x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030；（2）设本次竞赛学生成绩的中位数为m，平均分为x，则[0.016+0.03]×10+（m﹣70）×0.040 =0.5，解得71m=，x=（55×0.016+65×0.030+75×0.040+85×0.010+95×0.004]×10=70.6，（3）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2．抽取的2名学生的所有情况有21种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1），（a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）．其中2名同学的分数都不在[90，100]内的情况有10种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a3，a4），（a3，a5），（a4，a5）．∴所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率101112121p=-=.考点：频率分布直方图、频率与频数的关系及古典概型的计算公式等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题以学校中的数学竞赛的数学成绩的抽样统计的频率分布直方图为背景,设置了三个较为平常的数学问题.解答时一定要充分利用题设中提供的频率分布直方图所提供的数据信息,结合题设条件进行求解.第一问中求的是频率分布直方图中的未知数的值,运用该频率分布直方图时一定要注意该图的纵坐标是频率与组距的比值,这一点解题很容易被忽视.第二问中求的是中位数和平均数,求解时先依据中位数这个概念建立了方程求解,再运用平均数公式进行求解；第三问是运用简单枚举法一一列举出基本事件的所有可能和符合条件的事件的可能,最后运用古典概型的计算公式求出其概率的值.这是一道非常平常的考查基础知识和基本方法的基础题.20.设椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点为()2,0F -，且椭圆经过点2,5⎛- ⎝⎭. （1）求椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB （B 为椭圆上顶点）与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上.若ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率.【答案】(1) 2215x y +=；(2) 5±. 【解析】 【分析】（1）由椭圆的焦点得2c =，再把点2,⎛ ⎝⎭代入椭圆方程求得a ，进而得到椭圆的方程； （2）设00(,)P x y ，先求出直线PB 的方程，得到点M 的坐标，再由OP MN ⊥，得到斜率相乘为1-，结合点P 在椭圆上，求得点P 的坐标，再代入斜率公式，即可得到答案.【详解】（1）由已知得2c =，所以椭圆的方程为222214x y a a +=-，因为点2,5⎛- ⎝⎭在椭圆上，所以224115(4)a a +=-，解得25a =， 因为222541b a c =-=-=，所以椭圆的方程为2215x y +=.（2）设00(,)P x y ，由（1）知(0,1)B ，因为ON OF =，所以(0,2)N -，所以PB 的方程为0011y y x x -=+， 当0y =时，001x x y =-，所以00(,0)1x M y -， 因为OP MN ⊥，所以20000002172501OP MN y k k y y x x y ⋅=⋅=-⇔--=-，解得：057y =-，因为00(,)P x y在椭圆上，所以0x =所以5()77P ±-，所以515PB k --==±.【点睛】本题考查待定系数法求椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系求与直线的斜率，考查简单的几何关系坐标化求解的思想.21.在锐角△ABC 中，a b c 、、分别为A 、B 、C2sin c A = （1）确定角C 的大小；（2）若c，求△ABC 周长的取值范围． 【答案】（1）C =60°；（2），]． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得sin C 的值，根据三角形是锐角三角形求得C 的大小.（2）利用正弦定理将,a b 转化为角度来表示，求得三角形ABC 周长的表达式，利用三角函数求取值范围的方法，求得三角形ABC 周长的取值范围. 【详解】解:（1）已知a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，＝2csinA ，＝2sinCsinA ，又sinA ≠0，则∴C=60°或C =120°,∵△ABC 为锐角三角形，∴C =120°舍去．∴C =60° （2）∵c，sinC=2∴由正弦定理得：sin sinB sinCa b cA ====,即sinA ，sinB ，又A+B=π-C =23π， 即B=23π-A∴（sinA+sinB ） [sinA+sin （23π-A ）（sinA+sin23πcosA-cos 23πsinA ）（sinAcos 6π+cosAsin 6π）sin （A +6π），∵△ABC 是锐角三角形， ∴6π＜A ＜2π，sin （A+6π）≤1，则△ABC ，]．【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查利用正弦定理进行边角互化，考查三角恒等变换，考查三角函数取值范围的求法，属于中档题.22.已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，若点P 在C 上，点E 在l 上，且PEF ∆是边长为8的正三角形． （1）求C 的方程；（2）过点()1,0的直线n 与C 交于,A B 两点，若23FA FB ⋅=-u u u r u u u r，求FAB ∆的面积．【答案】（1）2y 8x =；（2）． 【解析】 【分析】()1根据等边三角形的性质，即可求出p 的值，则抛物线方程可求；()2设过点()1,0的直线n 的方程为x ty 1=+，联立直线方程与抛物线方程，得2y 8ty 80.--=利用根与系数的关系结合FA FB 23⋅=-u u u r u u u r求得t ，进一步求出AB 与F 到直线的距离，代入三角形面积公式求解．【详解】() 1由题知，PF PE =，则PE ⊥l ． 设准线l 与x 轴交于点D ，则PE //DF ．又PEF V 是边长为8的等边三角形，PEF 60∠=o ，EFD 60∠∴=o ，1DF EF cos EFD 842∠=⋅=⨯=，即p 4=． ∴抛物线C 的方程为2y 8x =；()2设过点()1,0的直线n 的方程为x ty 1=+，联立2y 8xx ty 1=⎧=+⎨⎩，得2y 8ty 80--=．设()11A x ,y ，()22B x ,y ，则12y y 8t +=，12y y 8=-．()()()212121212x x ty 1ty 1t y y t y y 11=++=+++=． ()21212x x t y y 28t 2+=++=+．由FA FB 23⋅=-u u u r u u u r，得()()()()11221212x 2,y x 2,y x 2x 2y y -⋅-=--+()()2121212x x 2x x 4y y 128t 24823=-+++=-++-=-，解得t 1=±．不妨取t 1=，则直线方程为x y 10--=．2221212AB 1t (y y )4y y 283283=+⋅+-=⋅+=．而F 到直线x y 10--=的距离1212d 22⨯-==． FAB ∴V 的面积为12832622⨯⨯=．【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．。
2019-2020学年湖南省益阳市第六中学高二上学期期中考试数学试题
2019-2020学年湖南省益阳市第六中学高二上学期期中考试数学试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷（选择题)一、单选题（每小题5分，共60分）1．若命题p ：x R ∀∈，2210x ->，则该命题的否定是（ ）A.0x R ∃∈，20210x -< B.x R ∀∈，2210x -≥ C.0x R ∃∈，20210x -≤D.x R ∀∈，2210x -<2．如图所示茎叶图记录了甲乙两组各5名同学的数学成绩甲组成绩中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X 表示若两个小组的平均成绩相同,则下列结论正确的是（ ）A.2X =，22S S <甲乙 B.2X =，22S S >甲乙 C.6X =，22S S <甲乙 D.6X =，2，22S S >甲乙3．在△ABC 中，若ab<cosC ，则△ABC 为（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形 4．在一个不透明的箱子中装有4件同型号的产品，其中合格品3件、不合格品1件，现在从这4件产品中随机抽取2件检测，则抽到的都是合格品的概率是（ ）A.14B.13C.12D.345．已知椭圆C ：22213x y a +=的一个焦点为()1,0，则C 的离心率为（ ）A.13 B.12C.22D.2236．已知平面α,β和直线1l ,2l ,且2αβl =I ，则“1l ∥2l ”是“1l α∥且1l β∥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7．某调研机构随机调查了2019年某地区n 名业主物业费的缴费情况,发现缴费金额(单位:万元）都在区间[0.5, 1.1]内,其频率分布直方图如图所示,若第五组的频数为32,则样本容量n =（ ）A.200B.400C.800D.16008．在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为,,a b c ，且2a =，2b =30B =o ，则cos A =( ) A.22 C.2±D.129.已知O 为坐标原点，F 为抛物线2:4C y x =的焦点，P 为C 上一点，若4PF =，则的面积为( )C.2D.310．已知矩形ABCD 中，4,3AB AD ==.如果向该矩形内随机投一点P ，那么使得ABP ∆与ADP ∆的面积都不小于2的概率为（ ）A ．14B ．13C ．47D ．4911.ABC △中,角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ,且a =b =cos 4B =,则c =( )B.C.D.12.已知0a b >>，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C2C 的渐近线方程为( ） A．0x ±= B0y ±= C ．20x y ±= D ．20x y ±=第II 卷（非选择题)二、填空题（每小题5分，共20分）13．在ABC ∆中，1a =，60b B ==o ，则A =___________．14．若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-≥+05001y x y x y ，则3z x y =+的最大值为_________.15．某校有高一学生n 名，其中男生数与女生数之比为6:5，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为10n的样本，若样本中男生比女生多12人，则n =_______．16．下面三个关于圆锥曲线的命题中：① 设A 、B 为两个定点， K 为非零常数，若PA PB K -=，则动点P 的轨迹是双曲线；② 方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ③ 双曲线与椭圆有相同的焦点；④ 已知抛物线22y px =，以过焦点的一条弦AB 为直径作圆，则此圆与准线相切。
湖南省益阳市2019-2020年度高二上学期期中数学试卷D卷
湖南省益阳市2019-2020年度高二上学期期中数学试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分） (2018高三上·安徽月考) 命题“ ”的否定是________．2. （1分）(2020·贵州模拟) 如图所示的茎叶图记录了甲乙两位射箭运动员的5次比赛成绩（单位：环），若两位运动员平均成绩相同，则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为________．3. （1分）(2018·衡水模拟) 我市某小学三年级有甲、乙两个班，其中甲班有男生30人，女生20人，乙班有男生25人，女生25人，现在需要各班按男、女生分层抽取的学生进行某项调查，则两个班共抽取男生人数是________．4. （1分）(2017·虹口模拟) 若双曲线x2﹣ =1的一个焦点到其渐近线的距离为2 ，则该双曲线的焦距等于________．5. （1分）函数f（x）= 的定义域为________6. （1分） (2016高三上·湖州期末) 设△ABC的重心为G，且|GB|+|GC|=4，若|BC|=2，则|GA|的取值范围是________7. （1分）(2017·扬州模拟) 100张卡片上分别写有1，2，3，…，100，从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是________．8. （1分） (2019高一下·梧州期末) 下边程序执行后输出的结果是________．9. （1分）已知圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的标准方程是________．10. （1分）下列结论中：①若（x，y）在映射f的作用下的象是（x+2y，2x﹣y），则在映射f下，（3，1）的原象为（1，1）；②若函数f（x）满足f（x﹣1）=f（x+1），则f（x）的图象关于直线x=1对称；③函数y=|3﹣x2|﹣a（a∈R）的零点个数为m，则m的值不可能为1；④函数f（x）=log2（3x2﹣ax+5）在（﹣1，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是[﹣8，﹣6]．其中正确结论的序号是________ （请将所有正确结论的序号都填上）11. （1分） (2017高一上·沛县月考) 若集合中只有一个元素，则实数k的值为________。
湖南省益阳市高二上学期期中数学试卷
湖南省益阳市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）直线绕原点按顺时针方向旋转所得直线与圆的位置关系是（）.A . 直线与圆相切B . 直线与圆相交但不过圆心C . 直线与圆相离D . 直线过圆心2. （2分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列四个命题正确的是（）A . 若m、n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βB . 若m⊂α，α∥β，则m∥βC . 若m⊥α，α⊥β，n∥β，则m⊥nD . 若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β3. （2分）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则这双曲线的离心率为（）A .B .C .D .4. （2分）已知直线a在平面α外，则（）A . a∥αB . 直线a与平面α至少有一个公共点C . a∩α=AD . 直线a与平面α至多有一个公共点5. （2分）正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是（）A .B . A1C⊥平面AEFC . 三棱锥A-BEF的体积为定值D . 异面直线所成角为定值6. （2分） (2019高三上·牡丹江月考) 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.已知在鳖臑中平面，，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为（）A .B .C .D .7. （2分） (2020高一下·大庆期末) 在四面体中，已知棱的长为，其余各棱长都为1，则二面角的平面角的余弦值为（）A .B .C .D .8. （2分）(2020·洛阳模拟) 正方体的棱长为，点为棱的中点.下列结论:①线段上存在点，使得平面；②线段上存在点，使得平面；③平面把正方体分成两部分，较小部分的体积为，其中所有正确的序号是（）A . ①B . ③C . ①③D . ①②③二、填空题 (共7题；共7分)9. （1分）(2017·南京模拟) 在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x﹣y﹣4=0的距离的最大值为________．10. （1分） (2019高三上·佛山月考) 如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC中，AB= ，∠ACB=60°，∠BCD=90°，AB⊥CD，CD= ，则该球的体积为________．11. （1分） (2017高一下·东丰期末) 已知四棱锥的三视图如图所示，正视图是斜边长为4的等腰直角三角形，侧视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则四棱锥四个侧面中，面积最大的值是________12. （1分）用一个平行于圆锥底面的平面去截这个圆锥，截得的圆台的上、下底面的半径之比是1：4，圆台的母线长10cm．求此圆锥的母线长________．13. （1分） (2016高二上·青浦期中) 直线的倾斜角α∈[ ， ]，则其斜率的取值范围是________．14. （1分） (2020高二上·鹤岗月考) 如图，在正方体中，O为底面ABCD的中心，E为的中点，则异面直线与EO所成角的余弦值为________.15. （1分） (2016高一下·南京期末) 在平面直角坐标系xOy中，若直线l：y﹣1=k（x﹣）不经过第四象限，则实数k的取值范围是________．三、解答题 (共5题；共45分)16. （10分） (2016高二上·黑龙江期中) 过点M（1，2）的直线l交x轴，y轴于P，Q两点．（1）若点M是P，Q两点的中点，求直线l的方程；（2）若原点到直线l的距离为d，求距离d最大时的直线l的方程．17. （15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD的中点．（1）证明：PB∥平面ACM；（2）证明：AD⊥平面PAC；（3）求四面体PACM的体积．18. （5分） (2017高二下·仙桃期末) 如图，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD=∠CDA=90°，AB=AD=DE= CD=2，M是线段AE上的动点．（Ⅰ）试确定点M的位置，使AC∥平面MDF，并说明理由；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求平面MDF将几何体ADE﹣BCF分成的两部分的体积之比．19. （5分） (2016高二上·中江期中) 如图为一组合几何体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD 且PD=AD=2EC=2．（I）求证：AC⊥平面PDB；（II）求四棱锥B﹣CEPD的体积；（III）求该组合体的表面积．20. （10分）(2019·景德镇模拟) 如图，在四棱锥中，，，，平面平面， .（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值，参考答案一、选择题 (共8题；共16分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：二、填空题 (共7题；共7分)答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共45分)答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、答案：17-3、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、。
湖南省益阳市2020年高二上学期期中数学试卷(I)卷
湖南省益阳市 2020 年高二上学期期中数学试卷（I）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2020 高一下·天津期末) 已知的三个内角，，若，则（）的对边分别为.向量A. B. C.D.2. （2 分） (2019 高一下·江东月考) 在中，角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c，若角 A，B，C依次成等差数列，且，=（ ）A.B.C. D.23. （2 分） 已知等比数列{an}中，若 a4=10，a8= ， 那么 a6=（ ） A . -5 B.5 C . ±5 D . 25第1页共9页4. （2 分） 已知 为等差数列 的前 项和，若 A.，则 =（ ）B.C.D. 5. （2 分） (2018 高一下·六安期末) 若关于 的不等式 值范围是（ ） A. B. C.在区间上有解，则 的取D.6. （2 分） 已知数列中， （）A.B.， 等比数列 的公比 q 满足且，则C.D.7. （2 分） (2018·孝义模拟) 在四面体中，第2页共9页，，底面，的面积是 ，若该四面体的顶点均在球 的表面上，则球 的表面积是（ ） A. B. C. D. 8. （2 分） (2016 高二上·开鲁期中) 数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2+n，那么它的通项公式是（ ） A . an=2n﹣1 B . an=2n+1 C . an=4n﹣1 D . an=4n+19. （2 分） 设 a=sin13°+cos 13°，b=2 A . b＜c＜acos214°﹣，c=B . a＜c＜bC . c＜a＜bD . c＜b＜a，则 a，b，c 的大小关系为（ ）10. （2 分） (2017·成都模拟) 若实数 x，y 满足约束条件 A . ﹣1，则 z=2x﹣y 的最大值为（ ）B.1C.2D.311. （2 分） (2017·海淀模拟) 已知{an}为无穷等比数列，且公比 q＞1，记 Sn 为{an}的前 n 项和，则下面第3页共9页结论正确的是（ ） A . a3＞a2 B . a1+a2＞0C.是递增数列D . Sn 存在最小值12. （2 分） (2016 高一下·衡水期末) 数列{an}满足： a 的范围是（ ）A.B. C . （1，3） D . （2，3）二、 填空题 (共 4 题；共 5 分)13. （1 分） (2019 高二下·上海期末) 如图，在正方体 角大小为________且{an}是递增数列，则实数中，直线与所成14. （2 分） 在等比数列 中，若，，则（1） 公比 q=________；（2） |a1|+|a2|++|an|=________．第4页共9页15. （1 分） (2019 高二下·宝山期末) 已知数列{2n－1·an}的前 n 项和 Sn＝9－6n，则数列{an}的通项公式 是________．16. （1 分） (2020 高一下·上海期末) 若不等式 值范围是________．对于任意都成立，则实数 a 的取三、 计算题 (共 6 题；共 45 分)17. （5 分） 比较大小：．18. （10 分） (2016 高二上·银川期中) 设数列{an}的前 n 项为 Sn ， 点（n， ﹣2 的图象上．），（n∈N*）均在函数 y=3x（1） 求数列{an}的通项公式．（2） 设 bn=，Tn 为数列{bn}的前 n 项和，求使得 Tn＜ 对所有 n∈N*都成立的最小正整数 m．19. （5 分） (2017 高一下·张家口期末) 已知 a∈R，解关于 x 的不等式（a﹣1）x2+（2a+3）x+a+2＜0．20. （10 分） 在△ABC 中，AC=6，cosB= ，C= ． （1） 求 AB 的长；（2） 求 cos（A﹣ ）的值．21. （10 分） 设等差数列 的公差为 d，前 n 项和为 ， 等比数列 的公比为 q．已知，，，．（1） 求数列，的通项公式；（2） 当 时，记， 求数列 的前 项和 ．22. （5 分） (2017·石家庄模拟) 已知等差数列{an}中，2a2+a3+a5=20，且前 10 项和 S10=100．（I）求数列{an}的通项公式；（II）求数列的前 n 项和．第5页共9页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 5 分)13-1、 14-1、 14-2、参考答案第6页共9页15-1、 16-1、三、 计算题 (共 6 题；共 45 分)17-1、 18-1、 18-2、第7页共9页19-1、 20-1、 20-2、第8页共9页21-1、21-2、22-1、第9页共9页。
湖南省益阳市2020版高二上学期数学期中考试试卷D卷
湖南省益阳市2020版高二上学期数学期中考试试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一下·延边月考) 现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是（）A . ①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B . ①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C . ①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D . ①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样2. （2分）椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，短轴长为２，则椭圆方程是（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高二下·富阳月考) 已知等差数列满足，，则下列结论正确的是（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高二上·三明月考) 已知函数，则“ ”是“ 在上单调递增”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）在直线y=2x+1上有一点p，过点p且垂直于直线4x+3y-3=0的直线与圆x2+y2-2x=0有公共点，则点p的横坐标取值范围是（）A .B . (-1,1)C .D .6. （2分）“”是“方程表示圆”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分） (2019高三上·梅州月考) 如图，线段MN是半径为2的圆O的一条弦，且MN的长为2.在圆O内，将线段MN绕N点按逆时针方向转动，使点M移动到圆O上的新位置，继续将线段绕点按逆时针方向转动，使点N移动到圆O上的新位置，依此继续转动……点M的轨迹所围成的区域是图中阴影部分.若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分内的概率为（）．A .B .C .D .8. （2分）一个盒子中装有4张卡片，上面分别写着如下四个定义域为R的函数：，现从盒子中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得函数为奇函数的概率是（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高二下·黄陵开学考) “a=b”是“直线y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分又不必要条件10. （2分） (2018高三上·凌源期末) 在中，角的对边分别为，且的面积，且，则（）A .B .C .D .11. （2分） (2020高二上·丽水月考) 已知圆的圆心到直线的距离为，则圆与圆的位置关系是（）A . 相交B . 内切C . 外切D . 相离12. （2分） (2018高二下·丽水期末) 设，分别为椭圆的右焦点和上顶点，为坐标原点，是直线与椭圆在第一象限内的交点，若，则椭圆的离心率是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·上高月考) 给下列三个结论：①命题“ ”的否定是“ ”；②若，则的逆命题为真；③命题“若，则”的否命题为：“若，则”；其中正确的结论序号是________（填上所有正确结论的序号）．14. （1分） (2018高一下·北京期中) 下列四个命题：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；②基本事件空间是Ω＝{1，2，3，4，5，6}，若事件A＝{1，3}，B＝{3，5，6}，A，B为互斥事件，但不是对立事件；③某校高三（1）班和高三（2）班的人数分别是m，n，若一模考试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学平均分为；④如果平面外的一条直线上有两个点到这个平面的距离相等，那么这条直线与这个平面的位置关系为平行或相交。
湖南省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷(六)
湖南省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷（六）（文科）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．在复平面内，复数（1﹣2i）2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．下列是全称命题且是真命题的是（）A．∀x∈R，x2＞0 B．∀x∈Q，x2∈QC．∃x0∈Z，x02＞1 D．∀x，y∈R，x2+y2＞03．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4 C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.44．用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a+b=1，c+d=1，且ac+bd＞1，则a，b，c，d 中至少有一个负数”时的假设为（）A．a，b，c，d中至少有一个正数B．a，b，c，d全为正数C．a，b，c，d全都大于等于0 D．a，b，c，d中至多有一个负数5．已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．B．6 C． D．126．k＞5是方程=1的曲线为椭圆时的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．非充分非必要条件7．已知双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为、，则双曲线方程为（）A．B．C．D．8．过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于（）A．2 B．4 C．6 D．89．已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b切于点（1，3），则b的值为（）A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣510．若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．11．函数的最大值为（）A．e﹣1B．e C．e2D．12．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C．（0，] D．（0，]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．双曲线的实轴长等于．14．设i是虚数单位，复数z=，则|z|=．15．已知a为实数，f（x）=x2（x﹣a），且f′（﹣1）=0，则a=．16．已知命题p：方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：（k﹣1）x2+（k﹣3）y2=1表示双曲线．若p∨q为真命题，则实数k的取值范围是．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程．18．为考察某种药物预防禽流感的效果，进行动物家禽试验，调查了100个样本，统计结果为：服用药的共有60个样本，服用药但患病的仍有20个样本，没有服用药且未患20（2）请问能有多大把握认为药物有效？参考公式：K2=，n=a+b+c+d19．已知函数f（x）=x2+xlnx（1）求这个函数的导数f′（x）；（2）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．20．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．21．若函数f（x）=ax3﹣bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值为，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）=k有3个解，求实数k的取值范围．22．已知平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求的最小值．参考答案一、单项选择题1．C．2．B 3．A．4．C．5．C 6．B．7．D．8．D．9．A 10．D．11．A．12．B．二、填空题13．解：双曲线的a=，可得实轴长为2a=2，故答案为：2．14．解：复数z====1+i，则|z|=．故答案为：．15．解：∵f（x）=x2（x﹣a）=x3﹣ax2，∴f′（x）=3x2﹣2ax，∵f′（﹣1）=0，∴3+2a=0，∴a=﹣，故答案为：﹣．16．解：命题p：方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则k＞4﹣k＞0，解得2＜k＜4．命题q：（k﹣1）x2+（k﹣3）y2=1表示双曲线，则（k﹣1）（k﹣3）＜0，解得1＜k＜3．∵p∨q为真命题，∴实数k的取值范围是（2，4）∪（1，3）=（1，4）．故答案为：（1，4）．三、解答题17．解：椭圆的焦点为（±5，0），设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），可得c=5，即a2+b2=25，又e==，解得a=3，b=4，即有双曲线的方程为﹣=1．18．解：（1）根据服用药的共有60个样本，服用药但患病的仍有20个样本，没有服用药且未患病的有20个样本，没有服药且没有患病的有20个，（2）假设检验问题H0：服药与家禽得禽流感没有关系，K2=≈2.778，由P（K2≥2.706）=0.10∴大概有90%的把握认为药物有效．19．解：（1）函数f（x）=x2+xlnx的导数为f′（x）=2x+lnx+x•=2x+lnx+1；（2）由题意可知切点的横坐标为1，所以切线的斜率是k=f'（1）=2×1+ln1+1=3，切点纵坐标为f（1）=1+1×ln1=1，故切点的坐标是（1，1），所以切线方程为y﹣1=3（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0．20．解：（1）将点（0，4）代入椭圆C的方程得=1，∴b=4，…由e==，得1﹣=，∴a=5，…∴椭圆C的方程为+=1．…（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），…设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程y=（x﹣3）代入椭圆C方程，整理得x2﹣3x﹣8=0，…由韦达定理得x1+x2=3，y1+y2=（x1﹣3）+（x2﹣3）=（x1+x2）﹣=﹣．…由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为﹣，∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．…21．解：（Ⅰ）f′（x）=3ax2﹣b由题意；，解得，∴所求的解析式为（Ⅱ）由（1）可得f′（x）=x2﹣4=（x﹣2）（x+2）令f′（x）=0，得x=2或x=﹣2，∴当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0 因此，当x=﹣2时，f（x）有极大值，当x=2时，f（x）有极小值，∴函数的图象大致如图．由图可知：．22．解：（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），由题意得，化简得y2=2x+2|x|．当x≥0时，y2=4x；当x＜0时，y=0，所以动点P的轨迹C的方程为y2=4x（x≥0）和y=0（x＜0）．（Ⅱ）由题意知，直线l1的斜率存在且不为零，设为k，则l1的方程为y=k（x﹣1）．由，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=2+，x1x2=1．∵l1⊥l2，∴直线l2的斜率为﹣．设D（x3，y3），E（x4，y4），则同理可得x3+x4=2+4k2，x3x4=1．故====（x1+1）（x2+1）+（x3+1）（x4+1）=x1x2+（x1+x2）+1+x3x4+x3+x4+11+2++1+1+2+4k2+1=8+4（k2+）≥8+4×2=16，当且仅当k2=，即k=±1时，的最小值为16．。
湖南省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷(二)
湖南省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷（二）（理科）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合M={0，1，3}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}2．命题∀m∈[0，1]，则的否定形式是（）A．∀m∈[0，1]，则B．∃m∈[0，1]，则C．∃m∈（﹣∞，0）∪（1，+∞），则D．∃m∈[0，1]，则3．已知函数f（x）=﹣log3x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1）B．（3，9）C．（1，3）D．（9，+∞）4．△ABC的面积是，∠B是钝角，AB=1，BC=，则AC=（）A．5 B．2 C．D．15．已知向量，，其中|=，||=2，且（﹣）⊥，则向量与的夹角是（）A． B． C． D．6．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．24 B．16+C．40 D．308．双曲线﹣=1的渐近线方程与圆相切，则此双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若m＞1，且a m﹣1+a m+1﹣a m2=0，S2m﹣1=38则m等于（）A．38 B．20 C．10 D．910．已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A．5 B．4 C．D．211．已知椭圆： +=1（0＜b＜2），左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若||+||的最大值为5，则b 的值是（）A．1 B．C．D．12．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为（）A．0 B．C．2 D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在数列{a n}中，a n﹣1=2a n，若a5=4，则a4a5a6=．14．已知直线x﹣y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0相交于A、B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为．15．如图程序运行后，输出的值为．16．抛物线y2=8x的准线与x轴相交于点P，过点P作斜率为k（k＞0）的直线交抛物线于A、B两点，F为抛物线的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或求解演算步骤）17．已知两个命题p：∀x∈R，sinx+cosx＞m恒成立，q：∀x∈R，y=（2m2﹣m）x为增函数．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）设PD=AD=1，求直线PC与平面ABCD所成角的正切值．19．在△ABC中，设．（Ⅰ）求B 的值（Ⅱ）求的值．20．设等差数列{a n}的前项和为S n，且a2=2，S5=15，数列{b n}的前项和为T n，且b1=，2nb n+1=（n+1）b n（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}通项公式a n及前项和S n；（Ⅱ）求数列{b n}通项公式b n及前项和T n．21．某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．（Ⅰ）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收人不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（Ⅱ）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入（x2﹣600）万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．22．如图，椭圆C1：和圆C2：x2+y2=b2，已知圆C2将椭圆C1的长轴三等分，且圆C2的面积为π．椭圆C1的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A，B，直线EA，EB与椭圆C1的另一个交点分别是点P，M．（I）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）求△EPM面积最大时直线l的方程．参考答案一、单项选择题1．A．2．D．3．B．4．C．5．A．6．A．7．D8．B．9．C．10．B．11．D．12．C．二、填空题13．解：由a n﹣1=2a n，a5=4知，数列{a n}是等比数列，故a4a5a6=a53=64．故答案为：64．14．解：圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=9，圆心C（﹣1，2），半径r=3，∵AC⊥BC，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d==，即|a﹣3|=3，解得a=0或a=6，故答案为：0或6．15．解：由题意，如图，此循环程序S=1；i=2S=1×2=2；i=3S=2×3=6；i=4S=6×4=24；i=5S=24×5=120；i=6＞5结束．故输出的值为：120．故答案为：120．16．解：设A（x1，y1），B（x2，y2）由已知|FA|=2|FB|，得：x1+2=2（x2+2），即x1=2x2+2，①∵P（﹣2，0），则AB的方程：y=kx+2k，与y2=8x联立，得：k2x2+（4k2﹣8）x+4k2=0，则x1x2 =4，②由①②得x 2=1，则A（1，），∴k==．故答案为：．三、解答题17．解：由题意若p∨q为真命题，p∧q为假命题，可得，命题p和命题q一个为真命题，另一个为假命题．若p是真命题，：∀x∈R，sinx+cosx＞m恒成立，可得＞m恒成立，即m＜﹣，故实数m的取值范围为（﹣∞，﹣）．若命题q是真命题，∀x∈R，y=（2m2﹣m）x为增函数，则有2m2﹣m＞1，解得m＞1，或m＜．当p真q假时，实数m的取值范围为：∅；当p假q真时，实数m的取值范围为：[﹣，﹣）∪（1，+∞），综上，所求的实数m的取值范围为：[﹣，﹣）∪（1，+∞），18．（Ⅰ）证明：在△ABD中，∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理可得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠DAB，∴BD2=5AD2﹣2AD2=3AD2，则AB2=AD2+BD2，即BD⊥AD．又PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BD．∵PD∩AD=D，∴BD⊥平面PAD，则PA⊥BD；（Ⅱ）解：∵PD⊥平面ABCD，∴∠PCD为PC与平面ABCD所称的角．在Rt△BAD中，AD=1，∠DAB=60°，∴AB=2，则DC=2，∴tan∠PCD=．19．解：（Ⅰ）∵，∴，，，又sin（A+B）=sinC≠0，∴cosB=，∵0＜B＜π，∴B=；（Ⅱ）∵，∴由正弦定理得，，则，即a2+c2=2ac，化简得，a=c，由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB=2a2﹣a2=（2﹣）a2，∴==2．20．解：（Ⅰ）由等差数列{a n}的公差为d，由等差数列的性质可知：S5=5a3=15，则a3=3，d=a3﹣a2=1，首项a1=1，∴数列{a n}通项公式a n=1+（n﹣1）=n，前n项和S n==；（Ⅱ）2nb n+1=（n+1）b n（n∈N*），则=•，∴=•，=•，=×，…=•，∴当n≥2时，=（）n﹣1，即b n=，当n=1时，b1=，符合上式，∴数列{b n}通项公式b n=，∴T n=+++…+，T n=+++…++，两式相减得：T n=+++…+﹣，=﹣，=1﹣﹣，=1﹣，T n=2﹣，数列{b n}前项和T n=2﹣．21．解：（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收人不低于原收入，有，整理得x2﹣65x+1000≤0，解得25≤x≤40．∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．（Ⅱ）依题意，x＞25时，不等式有解，等价于x＞25时，有解，∵（当且仅当x=30时，等号成立），∴a≥10.2．此时该商品的每件定价为30元∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．22．解：（Ⅰ）由圆C2的面积为π，得：b=1，圆C2将椭圆C1的长轴三等分，可得a=3b=3，所以椭圆方程为： +y2=1；（Ⅱ）由题意得：直线PE，ME的斜率存在且不为0，PE⊥EM，不妨设直线PE的斜率为k（k＞0），则PE：y=kx﹣1，由，得：或，所以P（，），同理得M（，），k PM=，由，得A（，），所以：k AB=，所以，设，则，当且仅当时取等号，所以k﹣=±，则直线AB：y=x=（k﹣）x，所以所求直线l方程为：．。
2020年湖南省益阳六中高二上学期期中数学试卷和解析(理科)
2018学年湖南省益阳六中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}，则（）A．A∩B={x|x＜}B．A∩B=∅C．A∪B={x|x＜}D．A∪B=R2．（5分）“x2＞16”是“x＞4”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）如表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量y 与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是，则a等于（）A．11.5 B．6.15 C．6.2 D．6.254．（5分）若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率是，则m等于（）A．B．C．D．5．（5分）2014年3月，为了调查教师对第十二届全国人民代表大会二次会议的了解程度，安庆市拟采用分层抽样的方法从A，B，C三所不同的中学抽取60名教师进行调查．已知A，B，C学校中分别有180，270，90名教师，则从C学校中应抽取的人数为（）A．10 B．12 C．18 D．246．（5分）10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a7．（5分）下列各组数中最小的数是（）A．1111（2） B．210（6）C．1000（4）D．101（8）8．（5分）如图是挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．84，4.84 B．84，1.6 C．85，1.6 D．85，49．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）A．[﹣6，﹣2]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣3，6]10．（5分）从数字1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）下列判断错误的是（）A．命题“若q则p”与命题“若p则q”互为逆命题B．”am2＜bm2”是”a＜b”的充要条件C．“矩形的两条对角线相等”的否定为假D．命题：”∅⊆{1，2}或4∉{1，2}为真”（其中∅为空集）12．（5分）为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为（）A．64 B．54 C．48 D．27二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知命题p：∃x∈R，e x＜0，则¬p是．14．（5分）从2男3女共5名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等），这2名都是男生或都是女生的概率等于．15．（5分）已知a、b是两个命题，如果a是b的充分条件，那么¬a是¬b的条件．（填“充分条件”、或“必要条件”、或“充要条件”）16．（5分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为求（1）双曲线C的方程；（2）写出双曲线的离心率、实轴长、虚轴长、渐近线方程．18．（12分）抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2+y2=9相交，公共弦MN的长为2，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．19．（12分）设命题p：函数的定义域为R；命题q：不等式3x﹣9x＜a对一切x∈R均成立．（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；（2）如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．20．（12分）北京市为了缓解交通压力，计划在某路段实施“交通限行”，为调查公众对该路段“交通限行”的态度，某机构从经过该路段的人员中随机抽查了80人进行调查，将调查情况进行整理，制成表：（1）若经过该路段的人员对“交通限行”的赞成率为0.40，求x的值；（2）在（1）的条件下，若从年龄在[45，60），[60，75）内的两组赞成“交通限行”的人中在随机选取2人进行进一步的采访，求选中的2人中至少有1人来自[60，75）内的概率．21．（12分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据．（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据第2题求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）22．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，直线l：y=x+2与原点为圆心，以椭圆C的短轴长为直径的圆相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M（0，2）的直线l1与椭圆C交于G，H两点．设直线l1的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得△PGH是以GH为底边的等腰三角形．如果存在，求出实数m的取值范围，如果不存在，请说明理由．2018学年湖南省益阳六中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}，则（）A．A∩B={x|x＜}B．A∩B=∅C．A∪B={x|x＜}D．A∪B=R【解答】解：∵集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}={x|x＜}，∴A∩B={x|x＜}，故A正确，B错误；A∪B={x||x＜2}，故C，D错误；故选：A．2．（5分）“x2＞16”是“x＞4”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由x2＞16，解得：x＞4或x＜﹣4，故x2＞16是x＞4的必要不充分条件，故选：B．3．（5分）如表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量y 与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是，则a等于（）A．11.5 B．6.15 C．6.2 D．6.25【解答】解：∵==2.5，==4.5线性回归方程是=﹣0.7x+a，∴a=+0.7 =4.5+0.7×2.5=4.5+1.75=6.25故选：D．4．（5分）若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率是，则m等于（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，则，化简后得m=1.5，故选：B．5．（5分）2014年3月，为了调查教师对第十二届全国人民代表大会二次会议的了解程度，安庆市拟采用分层抽样的方法从A，B，C三所不同的中学抽取60名教师进行调查．已知A，B，C学校中分别有180，270，90名教师，则从C学校中应抽取的人数为（）A．10 B．12 C．18 D．24【解答】解：根据分层抽样的特征，从C学校中应抽取的人数为；故选：A．6．（5分）10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：由已知得：a=（15+17+14+10+15+17+17+16+14+12）=14.7；b==15；c=17，∴c＞b＞a．故选：D．7．（5分）下列各组数中最小的数是（）A．1111（2） B．210（6）C．1000（4）D．101（8）【解答】解：1111=23+22+21+20=15．（2）210（6）=2×62+1×6=78；1000（4）=1×43=64；101（8）=82+80=65；故1111最小，（2）故选：A．8．（5分）如图是挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．84，4.84 B．84，1.6 C．85，1.6 D．85，4【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；去掉一个最高分93和一个最低分79后，所剩数据的平均数是=×（84+84+86+84+87）=85方差是s2=×[（﹣1）2+（﹣1）2+12+（﹣1）2+22]=1.6．故选：C．9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）A．[﹣6，﹣2]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣3，6]【解答】解：若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t﹣3∈[﹣3，﹣1]，若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t=2t2+1∈（1，9]，此时不满足条件，输出S=t﹣3∈（﹣2，6]，综上：S=t﹣3∈[﹣3，6]，故选：D．10．（5分）从数字1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵从五个数中随机抽取2个不同的数有C52种不同的结果，而这2个数的和为偶数包括2、4，1、3，1、5，3、5，四种取法，由古典概型公式得到P===，故选：B．11．（5分）下列判断错误的是（）A．命题“若q则p”与命题“若p则q”互为逆命题B．”am2＜bm2”是”a＜b”的充要条件C．“矩形的两条对角线相等”的否定为假D．命题：”∅⊆{1，2}或4∉{1，2}为真”（其中∅为空集）【解答】解：根据互为逆命题的题设和结论要互换位置，得到A答案正确；根据当m=0时，不等式不成立，得到B不正确；矩形的两条对角线相等的逆命题是对角线相等的四边形是矩形，这是一个假命题，得到原命题的否命题是假命题，得到C正确；根据或命题的真假判断，看出组成或命题的两个命题都是真命题，得到或命题是真命题，D正确，综上可知假命题是B．12．（5分）为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为（）A．64 B．54 C．48 D．27【解答】解：前两组中的频数为100×（0.05+0.11）=16．∵后五组频数和为62，∴前三组频数和为38．∴第三组频数为22．又最大频率为0.32，故频数为0.32×100=32，∴a=22+32=54，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知命题p：∃x∈R，e x＜0，则¬p是∀x∈R，e x≥0．【解答】解：∵命题p：∃x∈R，e x＜0是特称命题，∴￢p：∀x∈R，e x≥0，故答案为：∀x∈R，e x≥014．（5分）从2男3女共5名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等），这2名都是男生或都是女生的概率等于．【解答】解：从2男3女5名学生中任选2名学生有=10种选法；其中选出的2名都是女同学的有=3种选法，其中选出的2名都是男同学的有=1种选法，∴这2名都是男生或都是女生的概率是=，故答案为：．15．（5分）已知a、b是两个命题，如果a是b的充分条件，那么¬a是¬b的必要条件．（填“充分条件”、或“必要条件”、或“充要条件”）【解答】解：若a是b的充分条件，则a⇒b为真命题，根据互为逆否命题的真假性相同可得¬b⇒¬a为真命题，即¬a是¬b的必要条件故答案为：必要16．（5分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于．【解答】解：连接AF1，∵OD∥AB，O为F1F2的中点，∴D为BF1的中点，又AD⊥BF1，∴|AF1|=|AB|．∴|AF1|=2|AF2|．设|AF2|=n，则|AF1|=2n，|F1F2|=n，∴e=====．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为求（1）双曲线C的方程；（2）写出双曲线的离心率、实轴长、虚轴长、渐近线方程．【解答】（1）解：设双曲线方程为（a＞0，b＞0）．由已知得．故双曲线C的方程为．（2）解：双曲线C的方程为．a=，b=1；离心率；实轴长；虚轴长2b=2；渐近线方程．18．（12分）抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2+y2=9相交，公共弦MN的长为2，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．【解答】解：由题意，设抛物线方程为x2=2ay （a≠0）．设公共弦MN交y轴于A，N在y轴右侧，则|MA|=|AN|，而|AN|=．∵|ON|=3，∴|OA|==2，∴N（，±2）．∵N点在抛物线上，∴5=2a•（±2），即2a=±，故抛物线的方程为x2=y或x2=﹣y．抛物线x2=y的焦点坐标为（0，），准线方程为y=﹣．抛物线x2=﹣y的焦点坐标为（0，），准线方程为y=．19．（12分）设命题p：函数的定义域为R；命题q：不等式3x﹣9x＜a对一切x∈R均成立．（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；（2）如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）若p为真，即恒成立，则，有∴a＞2（2）令，由x∈R得3x＞0，∴y=3x﹣9x的值域是．若q为真，则．由命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，知p，q，一真一假．当p真q假时，a不存在：当p假q真时，．20．（12分）北京市为了缓解交通压力，计划在某路段实施“交通限行”，为调查公众对该路段“交通限行”的态度，某机构从经过该路段的人员中随机抽查了80人进行调查，将调查情况进行整理，制成表：（1）若经过该路段的人员对“交通限行”的赞成率为0.40，求x的值；（2）在（1）的条件下，若从年龄在[45，60），[60，75）内的两组赞成“交通限行”的人中在随机选取2人进行进一步的采访，求选中的2人中至少有1人来自[60，75）内的概率．【解答】解：（1）经过该路段的人员中对“交通限行”赞成的人数为12+14+x+3，因为样本中的赞成率为0.40，所以=0.40，解得x=3．（2）记“选中的2人中至少有1人来自[60，75）内”为事件M．设年龄在[45，60）内的3为调查者分别为A，B，C，年龄在[60，75）内的3为调查者分别为a，b，c，则从这6位被调查者中抽出2人的情况有：{a，b}，{a，c}，{a，A}，{a，B}，{a，C}，{b，c}，{b，A}，{b，B}，{b，C}，{c，A}，{c，B}，{c，C}，{A，B}，{A，C}，{B，C}，共15个基本事件，且每个基本事件等可能发生．其中事件M包括{a，b}，{a，c}，{a，A}，{a，B}，{a，C}，{b，c}，{b，A}，{b，B}，{b，C}，{c，A}，{c，B}，{c，C}，共12个基本事件．所以选中的2人中至少有1人来自[60，75）内的概率P（M）=．21．（12分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据．（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据第2题求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）【解答】解：（1）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图如下；（2）由对照数据，计算得=×（3+4+5+6）=4.5，=×（2.5+3+4+4.5）=3.5，=32+42+52+62=86，x i y i=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5，∴回归方程的系数为==0.7，=3.5﹣0.7×4.5=0.35，∴所求线性回归方程为=0.7x+0.35；（3）由（2）的线性回归方程，估计生产100吨甲产品的生产能耗为0.7×100+0.35=70.35（吨），∴90﹣70.35=19.65吨，预测比技改前降低了19.65吨标准煤．22．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，直线l：y=x+2与原点为圆心，以椭圆C的短轴长为直径的圆相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M（0，2）的直线l1与椭圆C交于G，H两点．设直线l1的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得△PGH是以GH为底边的等腰三角形．如果存在，求出实数m的取值范围，如果不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ），…（3分）∵直线y=x+2与圆x2+y2=b2相切，∴，解得b=，则a2=4．（5分）故所求椭圆C的方程为．（6分）（Ⅱ）在x轴上存在点P（m，0），使得△PGH是以GH为底边的等腰三角形．…（7分）理由如下：设l1的方程为y=kx+2（k＞0），由∵直线l1与椭圆C有两个交点，∴△=64k2﹣16（1+2k2）=16（2k2﹣1）＞0∴，又∵k＞0，∴．设G（x1，y1），H（x2，y2），则．（9分）∴=（x1+x2﹣2m，y1+y2）=（x1+x2﹣2m，k（x1+x2）+4），．由于等腰三角形中线与底边互相垂直，则．（10分）∴（x2﹣x1）[（x1+x2）﹣2m]+k（x2﹣x1）[k（x1+x2）+4]=0．故．即∵k＞0，∴x2﹣x1≠0，∴（1+k2）（x1+x2）+4k﹣2m=0，∴m=设y=，当时，，∴函数在上单调递增，∴，（12分）∴（13分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
湖南省益阳市第六中学2020学年高二数学上学期期中试题 理(无答案)(1)
益阳市六中2020年下学期高二理科数学期中考试试卷考试时间：120分钟 分值：150分一、 选择题：（每小题５分，共６０分）１、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，22=a ，124=S ,则=3a （ ）Ａ、２ Ｂ、３ Ｃ、４ Ｄ、５２、若等比数列{}n a 的前n 项和为a S nn +=3，则=a （ ）Ａ、３ Ｂ、１ Ｃ、０ Ｄ、－１ ３、下列命题是真命题的为（ ）Ａ、若,11yx =则y x = Ｂ、若12=x ，则1=x Ｂ、若y x =，则y x =Ｄ、若y x <，则22y x <４、"cos sin "αα=是"02cos "=α的（ ）Ａ、充分不必要条件 Ｂ、必要不充分条件 Ｃ、充分必要条件 Ｄ、既不充分也不必要条件 ５、已知0<<b a ，0<<d c 那么下列不等式成立的是（ ）Ａ、ba 11< Ｂ、d b c a ->- Ｃ、bd ac > Ｄ、cb d a < ６、设集合{}02>-=x x M ，{}0342<+-=x x x N ，则=N M I ( )Ａ、)2,(-∞ Ｂ、)3,1( Ｃ、)2,1( Ｄ、)3,2(７、已知实数４，m ，９成等比数列，则椭圆122=+y mx 的离心率为（ ） Ａ、21 Ｂ、630 Ｃ、31Ｄ、7８、已知点)1,3(和点)6,4(-在直线023=+-m y x 的两侧，则m 的取值范围是（ ）Ａ、)24,7(- Ｂ、),24()7,(+∞--∞YＣ、7-=m 或24=m Ｄ、]24,7[-９、等比数列{}n a 满足31=a ，21531=++a a a ，则=++753a a a （ ）Ａ、21 B 、42 Ｃ、 63 Ｄ8410、“53<<-m ”是“方程13522=++-m y m x 表示椭圆”的（ ） Ａ、充分不必要条件 Ｂ、必要不充分条件 Ｃ、充分必要条件 Ｄ、既不充分也不必要条件 11、下列命题中，假命题是（ ） Ａ、25sin ,=∈∃x R x Ｂ、1log ,2=∈∃x R x Ｃ、0)21(,>∈∀xR x Ｄ、0,2≥∈∀x R x12、若正数y x ,满足xy y x 53=+，则y x 43+的最小值是（ ）Ａ、524 Ｂ、528 Ｃ、５ Ｄ、16 二、填空题（每小题５分，共20分） 13、已知数列{}n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列{}n a 的前９项的和等于_______________14、如果实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-010111y x y y x ，那么y x -2的最大值为_____________15、已知y x ,满足1422=+y x ，则y x +的最大值为_____________ 16、已知命题p:0,2≥-∈∀a x R x ，命题q:022,0200=-++∈∃a ax x R x ，若“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为_____________三、解答题17、（10分）已知关于x 的不等式0)1(2<++-a x a x ，（１）当a=2时，求不等式的解集； （２）当1≠a 时，求不等式的解集。
湖南省益阳市第六中学2019-2020学年高二数学文联考试卷含解析
湖南省益阳市第六中学2019-2020学年高二数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知是定义在R上的奇函数，且，对于函数，给出以下几个结论：①是周期函数；②是图象的一条对称轴；③是图象的一个对称中心；④当时，一定取得最大值．其中正确结论的序号是（A）①③（B）①④（C）①③④（D）②④参考答案：【知识点】奇函数，函数的周期性，函数图象的对称性【答案解析】A解析：解：当f（x）=－sinx时，显然满足是定义在R上的奇函数，且，但当时，取得最小值，所以④错排除B、C、D，则选A.【思路点拨】在选择题中，恰当的利用特例法进行排除判断，可达到快速解题的目的. 2. 把十进制数15化为二进制数为（ C ）A． 1011 B．1001 (2） C． 1111D．1111（2）参考答案：C3. 将函数y=sinx图象上所有的点向左平移个单位长度，再将图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式为A． B．C． D．参考答案：A略4. 已知函数y=的图象如图所示（其中f′（x）是定义域为R函数f （x）的导函数），则以下说法错误的是（）A．f′（1）=f′（﹣1）=0B．当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值C．方程xf′（x）=0与f（x）=0均有三个实数根D．当x=1时，函数f（x）取得极小值参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象；导数的运算．【专题】导数的综合应用．【分析】根据函数单调性和导数之间的关系，分别进行判断即可．【解答】解：A．由图象可知x=1或﹣1时，f′（1）=f′（﹣1）=0成立．B．当x＜﹣1时，＜0，此时f′（x）＞0，当﹣1＜x＜0时，＞0，此时f′（x）＜0，故当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值，成立．C．方程xf′（x）=0等价为，故xf′（x）=0有两个，故C错误．D．当0＜x＜1时，＜0，此时f′（x）＜0，当x＞1时，＞0，此时f′（x）＞0，故当x=1时，函数f（x）取得极小值，成立．故选：C【点评】本题主要考查导数的应用，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．5. 已知数列{a n}前n项的和S n=an2+bn(a≠0)是数列{a n}成等差数列的（）A，充分非必要条件， B必要非充分条件C，充要条件 D，既非充分又非必要条件参考答案：A略6. 过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦，是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率等于（）A． B． C．D．参考答案：C略7. 已知，，满足，且的最大值是最小值的倍，则的值是A、B、C、D、（）参考答案：A略8. 已知条件p：|x﹣1|＜2，条件q：x2﹣5x﹣6＜0，则p是q的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件参考答案：B【考点】29：充要条件．【分析】通过解不等式，先化简条件p，q，再判断出条件p，q中的数构成的集合间的关系，判断出p是q的什么条件．【解答】解：条件p：|x﹣1|＜2即﹣1＜x＜3，条件q：x2﹣5x﹣6＜0即﹣1＜x＜6，∵{x|﹣1＜x＜6}?{x|﹣1＜x＜3}，∴p是q的充分不必要条件．故选B9. 已知数列中，，则数列的前100项和为（）A． B． C． D．参考答案：C10. 命题甲：双曲线C的渐近线方程是：y=±；命题乙：双曲线C的方程是：，那么甲是乙的（）A．分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据双曲线C的方程是：，渐近线方程是：y=±，双曲线C的方程是：=﹣1，渐近线方程是：y=±，根据充分必要条件的定义可判断．【解答】解：∵双曲线C的方程是：，∴渐近线方程是：y=±，∵双曲线C的方程是：=﹣1，∴渐近线方程是：y=±，∴根据充分必要条件的定义可判断：甲是乙的必要，不充分条件，故选：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量与共线且方向相同，则t=_____.参考答案：3【分析】先根据向量平行，得到，计算出t的值，再检验方向是否相同。
湖南省益阳市第六中学高二上学期期中考试数学(理)试题
一、 选择题：本大题共10小题；第每小题5分，共50分。
在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设{}{}==+==-=B A x x x B x x x A 则,0|,0|22 （ ）（A ）0 （B ）{0} （C ） （D ）{－1，0，1} 2.已知命题tan 1p x R x ∃∈=：，使其中正确的是 （ ）(A) tan 1p x R x ⌝∃∈≠：，使 (B) tan 1p x R x ⌝∃∉≠：，使 (C) tan 1p x R x ⌝∀∈≠：，使 (D) tan 1p x R x ⌝∀∉≠：，使 3.“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要4.函数的定义域是 （ ）A ．B ．C ．D ．5．若实数a 、b 满足a+b=2，则3a +3b 的最小值是 （ ）A 、18B 、6C 、2D 、26 已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是( )．A ．B ．1C ．2D ． 7．函数在区间上的最大值是 （ ）A ．B ．C ．D ．8.设，则下列不等式正确的是…………………………………（ ）A ．B ．C ．D ．9. 函数的零点所在的大致区间是A ．（1，2）B ．（2，3）C ．和（3，4）D ．10 同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中任意抽取一张，则四人所抽取的都不是自己所写的贺卡的概率是（A ） （B ） （C ） （D ）二. 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数⎩⎨⎧≥<--=-)2(2)2(32)(x x x x f x ，则的值为 ． 12.函数2(01)xy a a a =+>≠且图象一定过点 ___________ 。
13. 如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是___________。
湖南省益阳市第六中学高二上学期期中考试数学(理)试题
益阳市六中2017年下学期高二期中考试试卷数 学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}2A x x =<，{}320B x x =->，则（ ）A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=⋂23x x B A B ．φ=⋂B A C ．3=2A B x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭D ．=A B R 2．“216x >”是“4x >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：方程是a x yˆ7.0ˆ+-=，则a ˆ等于( ) A. 5.10 B. 15.5 C ．2.5 D ．25.54．若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则=m （ ） A. 3 B.23 C ．38 D ．32 5．为了调查教师对第十九大了解程度，益阳市拟采用分层抽样的方法从C B A .,三所不同的中学抽取60名教师进行调查.已知C B A .,学校中分别有180,270,90名教师，则从C 学校中抽取的人数为（ ）A. 10B. 12 C ．18 D ．246．10名工人某天生产同一种零件，生产的件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( )A. c b a >>B. a c b >> C ．b a c >> D ．a b c >> 7．下列各组数中最小的数是（ ）A. )2(1111B. )6(210 C ．)4(1000 D ．)8(101 8．右图是某学校举行的运动会上，七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A. 84.4;84B. 6.1;84 C ．6.1;85 D ．4;859．执行如图所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于（ ）A.[6,2]--B.[5,1]--C.[4,5]-D.[3,6]- 10．从数字1, 2, 3, 4, 5这五个数中, 随机抽取2个不同的数, 则这2个数的和为偶数的概率是(A.51 B. 52 C ．53 D ．5411．下列判断错误的是( )A.命题“若q 则p ”与命题“若q p ⌝⌝则”互为逆否命题B. “22bm am <”是“b a <”的充要条件 C ．“矩形的两条对角线相等”的否命题为假D ．命题“{}2,1⊆φ或{}2,14∉”为真（其中φ为空集） 12. 为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后五组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a ，最大频率为0.32，则a 的值为( )A. 64B. 54 C ．48 D ．27 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省益阳市第六中学2020学年高二数学上学期期中试卷 文(无答案)
湖南省益阳市第六中学2020学年高二上学期期中考试数学（文）试卷（无答案）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U=｛1，2，3，4，5｝，集合A=｛1，2｝，B=｛2，3｝，则A ∩CUB （ ）A ．{}45，B ．{}23，C ．{}1D ．{}2 2 已知某厂的产品合格率为%90，现抽出10件产品检查，则下列说法正确的是（A ）合格产品少于9件 （B ）合格产品多于9件（C ）合格产品正好是9件 （D ）合格产品可能是9件3、一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（ ）A 、 真命题与假命题的个数相同B 真命题的个数一定是奇数C 真命题的个数一定是偶数D 真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数4. 一个容量为100的样本分成若干组，已知某组的频率为0.3，则该组的频数是 （ ）A. 3B. 30C. 10D. 3005. 若S n 是数列{a n }的前n 项和，且{}n n a n S 则,2=是 （ ）（A ）等比数列，但不是等差数列 （B ）等差数列，但不是等比数列（C ）等差数列，而且也是等比数列 （D ）既非等比数列又非等差数列6.函数()()0,1x f x a a a =>≠满足(2)81f =，则1()2f 的值为……（ ） A ．13± B ．3± C ．13D ．3 7若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是（ ）A. 2B. 3C. 6D. 98．如右图，在正方形内有一扇形（见阴影部分），扇形对应的圆心是正方形的一顶点，半径为正方形的边长。
在这个图形上随机撒一粒黄豆，它落在扇形外正方形内的概率为 。
（用分数表示）A.44π-B. 4π C. 21π- D. 21 9.从装有2个红球和2个白球的红袋内任取两个球,那么下列事件中,对立事件是( )A.至少有一个白球;都是白球B.至少有一个白球;至少有一个红球C.恰好有一个白球;恰好有2个白球D.至少有1个白球;都是红球10.10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15， 17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a,中位数为b,众数为c ，则有 ( )A ．a>b>cB ．b>c>aC ．c>a>bD ．c>b>a）第二部分 非选择题 (共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.sin390°= ；12.命题“若a ，b 都是偶数，则a+b 是偶数”的否命题是____________；13、函数()210,1x y aa a -=+>≠的图像必经过点______14 函数y =的定义域是15.①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②在ABC ∆中，“︒=∠60B ”是“C B A ∠∠∠,,三个角成等差数列”的充要条件. ③12x y >⎧⎨>⎩是32x y xy +>⎧⎨>⎩的充要条件；④“am 2<bm 2 ”是“a <b ”的充分必要条件.以上说法中，判断错误的有___________.三、解答题：本大题共6小题，共 75 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分） 已知集合{}2210,A x ax x x R =++=∈，a 为实数（1）若A 是空集，求a 的取值范围（2）若A 是单元素集，求a 的值（3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围17（本小题满分12分）已知函数()2sin(2)4f x x π=-（1） 求函数的值域；（2） 求函数的周期；18．（本小题满分12分）已知点()()4,2,6,4-B A ，求：（1） 直线A B 的方程；（2） 以线段AB 为直径的圆的方程.20.（本小题满分13分）某校有学生会干部7名，其中男干部有1A ，A 2，A 3，A 4共4人；女干部有B 1，B 2，B 3共3人．从中选出男、女干部各1名，组成一个小组参加某项活动．（1）求A 1被选中的概率；（2）求A 2，B 2 不全被选中的概率．.21.（本小题满分14分）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元。
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2019-2020学年湖南省益阳市资阳区第六中学高二上学期期中考试数学试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷（选择题)一、单选题（每小题5分，共60分）1.若命题p ：x R ∀∈，2210x ->，则该命题的否定是（ ）A. 0x R ∃∈，20210x -< B. x R ∀∈，2210x -≥ C. 0x R ∃∈，20210x -≤D. x R ∀∈，2210x -<【答案】C 【解析】 【分析】根据全称与存在性命题互为否定的关系，准确改写，即可求解.【详解】由题意，根据全称与存在性命题的关系，可得命题p ：x R ∀∈，2210x ->，则该命题的否定是“0x R ∃∈，20210x -≤”.故选C.【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题和存在性命题的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.2.如图所示茎叶图记录了甲乙两组各5名同学的数学成绩甲组成绩中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示若两个小组的平均成绩相同，则下列结论正确的是（ ）A. 2X =，22S S <甲乙 B. 2X =，22S S >甲乙 C. 6X =，22S S <甲乙D. 6X =，2，22S S >甲乙【答案】A 【解析】 【分析】根据两个小组的平均成绩相同，得到甲乙两组的总和相同，建立方程即可解得X 的值，利用数据集中的程度，可以判断两组的方差的大小． 【详解】∵两个小组的平均成绩相同，∴8072747463X +++++8183706566=++++， 解得：2X =，由茎叶图中的数据可知，甲组的数据都集中在72附近，而乙组的成绩比较分散，∴根据数据分布集中程度与方差之间的关系可得22S S <甲乙，故选A ．【点睛】本题主要考查茎叶图的应用，要求熟练掌握平均数和方差的定义和判断方法，比较基础．3.在△ABC 中，若ab<cosC ，则△ABC 为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理化简已知不等式，求得cos 0B <，由此判断出三角形的形状.【详解】依题意cos a C b <，由余弦定理得2222a a b c b ab+-<，化简得2220a c b +-<，所以222cos 02a c b B ac+-=<，故B 为钝角，所以三角形为钝角三角形.【点睛】本小题主要考查利用余弦定理判断三角形的形状，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.4.在一个不透明的箱子中装有4件同型号的产品，其中合格品3件、不合格品1件，现在从这4件产品中随机抽取2件检测，则抽到的都是合格品的概率是（ ） A.14B.13C.12D.34【答案】C 【解析】 【分析】列举出这4件产品中随机抽取2件的基本事件和抽到的都是合格品的基本事件，根据古典概型的概率公式即可求解.【详解】记合格品为,,a b c 不合格为d这4件产品中随机抽取2件的基本事件为：()()()()()(),,,,,,,,,,,a b a c a d b c b d c d 抽到的都是合格品的基本事件为()()(),,,,,a b a c b c 即抽到的都是合格品的概率3162P == 故答案选C【点睛】本题主要考查了古典概型求概率问题，属于基础题.5.已知椭圆C ：22213x y a +=的一个焦点为()1,0，则C 的离心率为（ ）A.13B.12C.2D.3【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的简单性质，利用椭圆的焦点坐标得到c 的值，再根据222a b c =+求得a ，最后代入离心率公式．【详解】椭圆222:13x y C a +=的一个焦点为(1,0)，可得231a -=，解得2a =，所以椭圆的离心率为：12c e a ==． 故选B.【点睛】本题考查利用,a c 的值求解椭圆的离心率，考查简单的运算求解能力．6.已知平面α，β和直线1l ，2l ，且2αβl =I ，则“12l l P ”是“1l αP 且1l β∥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】将“12l l P ”与“1l αP 且1l β∥”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件. 【详解】当“12l l P ”时，1l 可能在α或β内，不能推出“1l αP 且1l β∥”.当“1l αP 且1l β∥”时，由于2αβl =I ，故“12l l P ”.所以“12l l P ”是“1l αP 且1l β∥”的必要不充分条件. 故选B.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查空间直线、平面的位置关系，属于基础题.7.某调研机构随机调查了2019年某地区n 名业主物业费的缴费情况，发现缴费金额（单位：万元）都在区间[]0.5,1.1内，其频率分布直方图如图所示，若第五组的频数为32，则样本容量n =（）A. 200B. 400C. 800D. 1600【答案】B 【解析】 【分析】先计算出第5组的频率，利用频数除以频率求得样本容量.【详解】根据频率分布直方图，第五组的频率为0.80.10.08⨯=，又第五组的频数为32，所以样本容量为324000.08n ==. 故选B.【点睛】本小题主要考查利用频率分布直方图计算样本容量，考查图表分析能力，属于基础题.8.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且2a =，2b =30B =o ，则cos A =( )A. 22-B.22C. 22±D.12【答案】C 【解析】 【分析】 由正弦定理得：22sin A =，解得2sin 2A =，即可求出cos A . 【详解】由正弦定理得：22sin A =，解得2sin A =45A ︒=或135︒， 当45A ︒=时，2cos A =当135A ︒=时，cos A =. 故选C.【点睛】本题考查了利用正弦定理解三角形，考查了计算能力，属于基础题.9.O 为坐标原点，F 为抛物线2:4C y x =的焦点，P 为C 上一点，若4PF =，则POF V 的面积为C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的标准方程24y x =可得抛物线的焦点坐标和准线方程,设出(,)P x y ,由PF =4以及抛物线的定义列式可得(1)4x --=,即3x =,再代入抛物线方程可得点P 的纵坐标,再由三角形的面积公式1||2S y OF =可得. 【详解】由24y x =可得抛物线的焦点F (1,0),准线方程为1x =-,如图:过点P 作准线1x =- 的垂线,垂足为M ,根据抛物线的定义可知PM =PF =4,设(,)P x y ,则(1)4x --=,解得3x =,将3x = 代入24y x =可得y =±,所以△POF 的面积为1||2y OF ⋅=112⨯=故选B .【点睛】本题考查了抛物线的几何性质,定义以及三角形的面积公式,关键是①利用抛物线的定义求P 点的坐标;②利用OF 为三角形的底,点P 的纵坐标的绝对值为高计算三角形的面积.属中档题.10.已知矩形ABCD 中，4,3AB AD ==.如果向该矩形内随机投一点P ，那么使得ABP ∆与ADP ∆的面积都不小于2的概率为（ ）A.14B.13C.47D.49【答案】D 【解析】，由题意知本题是一个几何概型的概率， 以AB 为底边，要使面积不小于2， 由于122ABP S AB h h V =⨯=，则三角形的高要h ⩾1,同样,P 点到AD 的距离要不小于43，满足条件的P 的区域如图， 其表示的区域为图中阴影部分,它的面积是()41643133⎛⎫--= ⎪⎝⎭， ∴使得△ABP 与△ADP 的面积都不小于2的概率为：1643439=⨯. 故选D.11.在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，且a =b =cos 4B =，则c =( )B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合余弦定理2222cos2a c b B ac +-===，可求出答案.【详解】由余弦定理可得：2222cos2a c b B ac +-===，解得c =c =，因为0c >，所以c = B.【点睛】本题考查了余弦定理的运用，考查了学生的计算能力，属于基础题. 12.已知0a b >>，椭圆1C 方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C的离心率之积为2，则2C 的渐近线方程为 ）A. 0x ±= 0y ±= C. 20x y ±= D. 20x y ±=【答案】A 【解析】 【分析】,a b 将离心率表示出来，构造一个关于,a b 的方程，然后解出b a的值，从而得到双曲线渐近线方程． 【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为12,c c ，则1212c c e e a a ⋅=⋅===所以2b a =，所以双曲线2C 的渐近线方程为：2b y x x a =±=±，即x o ±=，故选A. 【点睛】本题考查椭圆与双曲线的离心率即双曲线的渐近线方程求离心率直接构造出关于,a c 的方程从而求出e ，求双曲线渐近线方程则只需构造,a b 的方程，从而解出ba，便可得到渐近线方程．第II 卷（非选择题)二、填空题（每小题5分，共20分） 13.在ABC ∆中，1a =，60b B ==o ，则A =___________．【答案】6π【解析】 【分析】由正弦定理即可求出sin A ，结合三角形大边对大角的性质即可求出答案. 【详解】由正弦定理，sin sin a b A B=，则sin 1sin 2a B A b ==，(0,)A π∈，且a b <，即A B <，故6A π=.所以本题答案为6π. 【点睛】本题考查正弦定理的应用和三角形大边对大角的性质，注意仔细审题，认真计算，属基础题.14.若x ，y 满足约束条件10050y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+-⎩……„，则3z x y =+的最大值为_________.【答案】10 【解析】 【分析】根据线性规划限定条件画出可行域，再通过30x y +=平移找出最值即可【详解】画出可行域知，当:30l x y +=平移到过点55,22⎛⎫⎪⎝⎭时，max 10z =.则3z x y =+的最大值为10【点睛】本题主要考察了根据线性规划求目标函数的最值问题，相对简单，解题方法一般为先画出可行域，再将目标函数转化为斜截式，通过判断目标函数值与截距的关系，找出目标点，求出最值即可15.某校有高一学生n 名，其中男生数与女生数之比为6:5，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为10n的样本，若样本中男生比女生多12人，则n =_______．【答案】1320 【解析】 【分析】 依题意可得6512111110n⎛⎫-⨯=⎪⎝⎭，解之即得解.【详解】依题意可得6512111110n⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭，解得1320n =. 故答案为1320【点睛】本题主要考查分层抽样，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 16.以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A B 、为两个定点，K 为非零常数，若PA PB K -=,则动点P 的轨迹是双曲线； ②方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点；④已知抛物线22y px =，以过焦点的一条弦AB 为直径作圆，则此圆与准线相切，其中真命题为__________．（写出所有真命题的序号） 【答案】②③④ 【解析】A 、B 为两个定点，K 为非零常数，若|PA|﹣|PB|=K ，当K=|AB|时，动点P 的轨迹是两条射线，故①错误；方程2x 2﹣5x+2=0的两根为12和2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故②正确； 双曲线225x ﹣29y =1的焦点坐标为0），椭圆235x ﹣y 2=1的焦点坐标为0），故③正确；设AB 为过抛物线焦点F 的弦，P 为AB 中点，A 、B 、P 在准线l 上射影分别为M 、N 、Q ， ∵AP+BP=AM+BN ∴PQ=12AB ， ∴以AB 为直径作圆则此圆与准线l 相切，故④正确 故正确的命题有：②③④ 故答案为②③④三、解答题（本大题共7小题，共70分）17.已知命题2:60p k k --≤，命题q ：方程2241yx k k+=--表示焦点在x 轴上的双曲线.（1）命题q 为真命题，求实数k 的取值范围；（2）若命题“p q ∨”为真，命题“p q ∧”为假，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）()1,4k ∈（2）[]()2,13,4k ∈-U 【解析】 【分析】（1）由题意得到()()40410k k k ->⎧⎨--<⎩，求解，即可得出结果；（2）先由题意，得到,p q 一真一假，分别讨论p 真q 假，p 假q 真，两种情况，即可求出结果.【详解】解：（1）若q 为真命题，则方程()()221441x y k k k +=---中， ()()40410k k k ->⎧⎨--<⎩，解得()1,4k ∈； （2）若命题“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，则,p q 一真一假， 1）若p 真q 假，则231,4k k k -≤≤⎧⎨≤≥⎩或，[]2,1k ∴∈-2）若p 假q 真，则2,314k k k ⎧-⎨<<⎩或，()3,4k ∴∈综上，[]()2,13,4k ∈-U【点睛】本题主要考查由命题真假求参数的问题，会根据或且非的真假判断原命题真假即可，属于常考题型.18.某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表（1）画出散点图．观察散点图，说明两个变量有怎样的相关性.(2)用最小二乘法计算利润额y 对销售额x 的回归直线方程． (3)当销售额为4(千万元)时，估计利润额的大小.其中()()()1111222ˆˆˆi i i i i i n ni i i i n n x x y y x y nxy b x x x nx a y bx====⎧∑--∑-⎪==⎪⎨∑-∑-⎪⎪=-⎩【答案】（1）见解析（2）ˆ0.50.4yx =+（3）2.4(百万元) 【解析】 【分析】（1）根据所给的这一组数据，得到5个点的坐标，把这几个点的坐标在直角坐标系中描出对于的点，即可得到散点图，可判断为正相关；（2）根据这组数据，利用最小二乘法求得ˆˆ,ab 的值，即可求解回归直线的方程； （3）利用作出的回归直线方程，把4x =的值代入方程，估计出对应的y 的值.【详解】（1）根据所给的这一组数据，得到5个点的坐标：(3,2),(5,3),(6.3),(7,4),(9,5)，把这几个点的坐标在直角坐标系中描出对应的点，得到如下的散点图：（2）设回归直线的方程是：ˆˆˆybx a =+， 由表格中的数据，可得6, 3.4x y ==，又由121()()3( 1.4)(1)(0.4)10.63 1.6ˆ9119()niii ni i x x y y bx x ==---⨯-+-⨯-+⨯+⨯==+++-∑∑101202==11ˆ 3.220.446ay x =--⨯==，即ˆ0.50.4y x =+ ∴y 对销售额x 的回归直线方程为ˆ0.50.4yx =+ （3）当销售额为4(千万元)时，利润额为：0.50.4ˆ4y=⨯+＝2.4(百万元). 【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及其应用，其中解答中正确求得线性回归直线的方程的系数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.19.某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出频率分布直方图，已知得分在[)50,60，[]90,100的频数分别为8，2．（1）求样本容量n 和频率分布直方图中的,x y 的值； （2）估计本次竞赛学生成绩的中位数；（3）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[]90,100内的概率． 【答案】(1)；(2)；(3).【解析】【详解】试题分析：(1)借助题设条件运用频率分布直方图求解；(2)借助题设条件运用频率分布直方图中提供的数据信息求解；(3)运用列举法和古典概型计算公式求解.试题解析：（1）由题意可知，样本容量n=80.01610⨯=50，，x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030；（2）设本次竞赛学生成绩的中位数为m，平均分为x，则[0.016+0.03]×10+（m﹣70）×0.040 =0.5，解得71m=，x=（55×0.016+65×0.030+75×0.040+85×0.010+95×0.004]×10=70.6，（3）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2．抽取的2名学生的所有情况有21种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1），（a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）．其中2名同学的分数都不在[90，100]内的情况有10种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a3，a4），（a3，a5），（a4，a5）．∴所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率101112121p=-=.考点：频率分布直方图、频率与频数的关系及古典概型的计算公式等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题以学校中的数学竞赛的数学成绩的抽样统计的频率分布直方图为背景,设置了三个较为平常的数学问题.解答时一定要充分利用题设中提供的频率分布直方图所提供的数据信息,结合题设条件进行求解.第一问中求的是频率分布直方图中的未知数的值,运用该频率分布直方图时一定要注意该图的纵坐标是频率与组距的比值,这一点解题很容易被忽视.第二问中求的是中位数和平均数,求解时先依据中位数这个概念建立了方程求解,再运用平均数公式进行求解；第三问是运用简单枚举法一一列举出基本事件的所有可能和符合条件的事件的可能,最后运用古典概型的计算公式求出其概率的值.这是一道非常平常的考查基础知识和基本方法的基础题.20.设椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点为()2,0F -，且椭圆经过点2,5⎛- ⎝⎭. （1）求椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB （B 为椭圆上顶点）与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上.若ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率.【答案】(1) 2215x y +=；(2) 5±. 【解析】 【分析】（1）由椭圆的焦点得2c =，再把点2,⎛ ⎝⎭代入椭圆方程求得a ，进而得到椭圆的方程； （2）设00(,)P x y ，先求出直线PB 的方程，得到点M 的坐标，再由OP MN ⊥，得到斜率相乘为1-，结合点P 在椭圆上，求得点P 的坐标，再代入斜率公式，即可得到答案.【详解】（1）由已知得2c =，所以椭圆的方程为222214x y a a +=-，因为点2,5⎛- ⎝⎭在椭圆上，所以224115(4)a a +=-，解得25a =， 因为222541b a c =-=-=，所以椭圆的方程为2215x y +=.（2）设00(,)P x y ，由（1）知(0,1)B ，因为ON OF =，所以(0,2)N -，所以PB 的方程为0011y y x x -=+， 当0y =时，001x x y =-，所以00(,0)1x M y -， 因为OP MN ⊥，所以20000002172501OP MN y k k y y x x y ⋅=⋅=-⇔--=-，解得：057y =-，因为00(,)P x y在椭圆上，所以0x =所以5()77P ±-，所以515PB k --==±.【点睛】本题考查待定系数法求椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系求与直线的斜率，考查简单的几何关系坐标化求解的思想.21.在锐角△ABC 中，a b c 、、分别为A 、B 、C2sin c A = （1）确定角C 的大小；（2）若c，求△ABC 周长的取值范围． 【答案】（1）C =60°；（2），． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得sin C 的值，根据三角形是锐角三角形求得C 的大小.（2）利用正弦定理将,a b 转化为角度来表示，求得三角形ABC 周长的表达式，利用三角函数求取值范围的方法，求得三角形ABC 周长的取值范围. 【详解】解:（1）已知a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，＝2csinA ，＝2sinCsinA ，又sinA ≠0，则∴C=60°或C =120°,∵△ABC 为锐角三角形，∴C =120°舍去．∴C =60° （2）∵c，sinC=2∴由正弦定理得：sin sinB sinCa b cA ====,即sinA ，sinB ，又A+B=π-C =23π， 即B=23π-A∴（sinA+sinB ） [sinA+sin （23π-A ）（sinA+sin23πcosA-cos 23πsinA ）（sinAcos 6π+cosAsin 6π）sin （A +6π），∵△ABC 是锐角三角形， ∴6π＜A ＜2π，sin （A+6π）≤1，则△ABC ，．【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查利用正弦定理进行边角互化，考查三角恒等变换，考查三角函数取值范围的求法，属于中档题.22.已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，若点P 在C 上，点E 在l 上，且PEF ∆是边长为8的正三角形． （1）求C 的方程；（2）过点()1,0的直线n 与C 交于,A B 两点，若23FA FB ⋅=-u u u r u u u r，求FAB ∆的面积．【答案】（1）2y 8x =；（2）． 【解析】 【分析】()1根据等边三角形的性质，即可求出p 的值，则抛物线方程可求；()2设过点()1,0的直线n 的方程为x ty 1=+，联立直线方程与抛物线方程，得2y 8ty 80.--=利用根与系数的关系结合FA FB 23⋅=-u u u r u u u r求得t ，进一步求出AB 与F 到直线的距离，代入三角形面积公式求解．【详解】() 1由题知，PF PE =，则PE ⊥l ． 设准线l 与x 轴交于点D ，则PE //DF ．又PEF V 是边长为8的等边三角形，PEF 60∠=o ，EFD 60∠∴=o ，1DF EF cos EFD 842∠=⋅=⨯=，即p 4=． ∴抛物线C 的方程为2y 8x =；()2设过点()1,0的直线n 的方程为x ty 1=+，联立2y 8xx ty 1=⎧=+⎨⎩，得2y 8ty 80--=．设()11A x ,y ，()22B x ,y ，则12y y 8t +=，12y y 8=-．()()()212121212x x ty 1ty 1t y y t y y 11=++=+++=． ()21212x x t y y 28t 2+=++=+．由FA FB 23⋅=-u u u r u u u r，得()()()()11221212x 2,y x 2,y x 2x 2y y -⋅-=--+()()2121212x x 2x x 4y y 128t 24823=-+++=-++-=-，解得t 1=±．不妨取t 1=，则直线方程为x y 10--=．2221212AB 1t (y y )4y y 283283=+⋅+-=⋅+=．而F 到直线x y 10--=的距离1212d 22⨯-==． FAB ∴V 的面积为12832622⨯⨯=．【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．- 21 -。