2013白蒲中学高一数学教案：平面向量：16(苏教版)
江苏省白蒲中学高一数学 平面向量教案20 苏教版
教材：解斜三角形的应用目的：要求学生利用数学建模思想，结合正弦定理、余弦定理和解任意三角形的知识解决实践中的有关问题。
过程：一、提出课题：解斜三角形的应用二、例一 (课本P132 例一) 略例二[变题] 假定自动卸货汽车装有一车货物，货物与车箱的底部的滑动摩擦系数为0.3，油泵顶点B 与车箱支点A 之间的距离为1.95米，AB 与水平线之间的夹角为6︒20’，AC 长为1.40米，求货物开始下滑时AC 的长。
解： 设车箱倾斜角为θ，货物重量为mg θμμcos mg N f ==当θθμsin cosmg mg ≤即θμtan ≤时货物下滑 θμtan = θtan 3.0= '42163.0arctan ==θ '0223'206'4216 =+在△ABC 中: BAC AC AB AC AB BC ∠⋅-+=cos 2222787.10'0223cos 40.195.1240.195.122=⨯⨯⨯-+=28.3=BC例三 (课本P133 例二) 略例四 我舰在敌岛A 南50︒西相距12 nmile 的B 处，发现敌舰正由岛沿北10︒西的方向以10nmile/h 的速度航行，问：我舰需要以多大速度，沿什么方向航行才能用功小时追上敌舰？解：在△ABC 中：AB=12 AC=10×2=20 ∠BAC=40︒+80︒=120︒ BAC AC AB AC AB BC ∠⋅-+=cos 2222784)21(20122201222=-⨯⨯⨯-+= BC=28 即追击速度为14mile/h又：∵△ABC 中，由正弦定理：ABC B AC sin sin = ∴1435sin sin ==BC A AC B ∴1435arcsin =B ∴我舰航行方向为北)1435arcsin 50(- 东 ACθ θ三、作业：P134 练习 1、2 习题5.10 1—4。
苏教版平面向量基本定理教案
苏教版平面向量基本定理教案教案标题：苏教版平面向量基本定理教案教案目标：1. 理解平面向量的概念和基本性质。
2. 掌握平面向量的加法、减法和数量乘法运算法则。
3. 理解平面向量的基本定理及其应用。
教学重点：1. 平面向量的概念和基本性质。
2. 平面向量的加法、减法和数量乘法运算法则。
3. 平面向量的基本定理及其应用。
教学难点：1. 平面向量的基本定理的理解和应用。
2. 解决与平面向量相关的实际问题。
教学准备：1. 教材：苏教版高中数学教材。
2. 教具：黑板、白板、彩色粉笔、投影仪、计算器。
教学过程：Step 1: 引入1. 利用投影仪或黑板上展示平面向量的定义和基本性质，引起学生对平面向量的兴趣。
2. 通过举例说明平面向量的实际应用，如力的合成、位移等。
Step 2: 知识讲解1. 讲解平面向量的加法、减法和数量乘法运算法则，并通过示例进行演示和解释。
2. 介绍平面向量的基本定理，即平面向量的模长和方向可以唯一确定一个向量。
Step 3: 理解与应用1. 引导学生理解平面向量的基本定理，并通过实例演示如何利用基本定理解决与平面向量相关的问题。
2. 给学生提供一些练习题，让他们运用基本定理解决问题，并进行讲解和梳理。
Step 4: 拓展与巩固1. 提供一些拓展的问题，让学生运用平面向量的基本定理解决复杂的实际问题。
2. 给学生布置一些作业，巩固所学知识。
Step 5: 总结与评价1. 对本节课的内容进行总结，并强调平面向量的基本定理的重要性和应用价值。
2. 鼓励学生积极思考和提问，对所学内容进行评价和反馈。
教学延伸：1. 鼓励学生自主学习平面向量的其他性质和定理，并进行拓展应用。
2. 提供更多的实际问题，让学生锻炼解决问题的能力。
教学评估：1. 课堂练习：通过课堂练习检查学生对平面向量基本定理的理解和应用能力。
2. 作业评价：对学生完成的作业进行批改和评价，发现问题并及时纠正。
教学反思：本节课采用了引入、知识讲解、理解与应用、拓展与巩固、总结与评价等教学步骤，使学生在实际操作中逐步理解和掌握平面向量的基本定理。
江苏省白蒲中学高一数学 平面向量教案05 苏教版
江苏省白蒲中学2013高一数学 平面向量教案05 苏教版教材：实数与向量的积目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件。
过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。
二、1．引入新课：已知非零向量a 作出a +a +a 和( a )+( a )+( a)= =a +a +a =3a=MN QM PQ =( a )+( a )+( a )= 3a讨论：1 3a 与a 方向相同且|3a |=3|a|2 3a 与a 方向相反且| 3a |=3|a|2．从而提出课题：实数与向量的积 实数λ与向量a 的积，记作：λa定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa1 |λa |=|λ||a|2 λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa= 3．运算定律：结合律：λ(μa )=(λμ)a①第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa②第二分配律：λ(a +b )=λa+λb ③结合律证明：如果λ=0，μ=0，a=至少有一个成立，则①式成立如果λ 0，μ 0，a 0有：|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a||(λμ)a |=|λμ|| a |=|λ||μ||a|∴|λ(μa )|=|(λμ)a|如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a 同向； 如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a反向。
从而λ(μa )=(λμ)a第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，a=0至少有一个成立，则②式显然成立a aaaO A B C aa a aNMQP如果λ 0，μ 0，a当λ、μ同号时，则λa 和μa同向，∴|(λ+μ)a |=|λ+μ||a |=(|λ|+|μ|)|a||λa +μa |=|λa |+|μa |=|λ||a |+|μ||a |=(|λ|+|μ|)|a| ∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a同向 即：|(λ+μ)a |=|λa +μa|当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa同向 当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μa同向还可证：|(λ+μ)a |=|λa +μa| ∴②式成立 第二分配律证明：如果a=0，b =0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立 当a0，b 0且λ 0，λ 1时1 当λ>0且λ 1时在平面内任取一点O ，作 a b 1λa11B A λb则 a +b 1OB λa+λb由作法知：AB ∥11B A 有 OAB= OA 1B 1 |AB |=λ|11B A |||||111AB OA λ ∴△OAB ∽△OA 1B 1||1OB λ AOB= A 1OB 1因此，O ，B ，B 1在同一直线上，|1OB |=|λ| 1OB 与λ方向也相同λ(a +b )=λa+λb当λ<0时 可类似证明：λ(a +b )=λa+λb∴ ③式成立4．例一 （见P104）略三、向量共线的充要条件（向量共线定理）1． 若有向量a (a 0)、b ，实数λ，使b =λa 则由实数与向量积的定义知：a 与b为共线向量OAB B 1A 11若a 与b 共线(a 0)且|b |：|a |=μ，则当a 与b 同向时b =μa当a 与b反向时b = μa从而得：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ 使b =λa2．例二（P104-105 略） 三、小结：四、作业： 课本 P105 练习 P107-108 习题5.3 1、2。
2013白蒲中学高一数学教案：直线、平面、简单几何体：17(苏教版)
直线和平面复习（一）教学目标1．配合系统复习，进一步培养空间想象力；2．借助平面几何中，三角形的重心、垂心、内心、外心等知识，解决立体几何问题．教学重点和难点1．空间想象力的培养；2．分析问题能力与综合运用知识能力的培养．教学设计过程师：同学们已经很好地完成了知识总结的作业，有些同学还将知识的内在联系用图表展示出来．也有的同学将各种位置关系用图形语言和符号语言进行归纳和整理．在此一并提出表扬．我们将把这些总结用展板展示，请同学们互相学习．师：本节课我们将通过一组问题来进行复习．复习的目的之一是进一步培养同学们的空间想象力．关于空间想象力的问题，在高一年级刚开始时，单纯的想象占主导地位，随着一个学期的学习，关于线面的各种位置关系及性质研究的深入，单纯的想象力就转化为：在线面各种位置关系的定义、性质定理指导下的想象．请先看下面一组题目：填空题：1．空间三个平面可能将空间分成______部分．2．正方体各个面所在的平面将空间分成______部分．3．与空间四个点距离相等的平面有______个．*4．A，B，C，D是空间不共面的四点．它们到平面α的距离比（依次）为：2∶1∶1∶1，满足条件的平面α有＿＿个．生：第1题空间三个平面可能将空间分成4或6或7或8部分．师：请你画图说明你的观点．生：（作图）师：很好，图1、图2、图3、图4依次表示三个平面将空间分成4，6，7，8部分．生：第2题答案是27．师：你给同学们解释一下，答案为什么是27．生：（手拿一个粉笔盒）这个粉笔盒近似看成一个正方体，它的上底面与下底之间被分成9部分．同样，上底面上边与下底面下面也各被分成9部分．总计正方体各个面所在的平面将空间分成27部分．师：对于第3小题，需要先证明下面的命题：线段AB与平面α相交，若AB 中点C在平面α上，则点A、点B到平面α的距离相等．生A：本题的答案为4，因为经过有公共顶点的三条棱的中点作截面，根据老师刚介绍的引理，可以证明这样的截面符合条件．（如图5）生B：还有一种情况．刚才生A所作平面使已知四个点中有三个在平面的同一侧，另外一个点在另一侧．我想所作平面两侧各有2个点．如图6．这类平面共有3个，即V，A两点在平面同侧；V，B两点在平面同侧；V，C两点在平面同侧．师：刚才两名同学讲的都很好，相互补充，符合条件的平面共有7个．同学们有不同意见吗？……师：刚才两名同学都认为已知四个点不共面，事实上，当这四个点共面时，符合题目要求的平面有无数个．只要与四点所在平面平行的平面都符合要求．生：老师，如果这四个点共线呢？师：当四个点共线时，只要与这条直线平行的平面均符合条件，这个题目的正确答案应该是7个或无数个．分类讨论的方法不仅在代数课上使用，几何学中也经常使用，此题就是按照图形的不同位置关系进行分类讨论．我们继续讨论第4题．生：我认为仿照第3小题的解答，可提出下面引理：若点A、点B师：他的猜测是正确的．这个命题的正确性请同学们课下论证．下面我们讨论第4小题的解法．生A：分别延长AB，AC，AD至B1，C1，D1，使BB1=AB，CC1=AC，DD1=AD，如图7，则平面α就是平面B1C1D1．生B：分别在AB，AC，AD上取点B′，C′，D′，使得：师：分别取BC，CD，DA的中点E，F，G．那么经过EG的任何一个平面都满足：它与B，C，D三点的距离相等，在这些平面中，经过点B′或经过C′D′（因为C′D′∥CD∥GE）的平面符合题目要求．（图8）经过EG有两个平面符合题意．同样，经过EF，FG各有两个平面符合题意，综合以上分析共有8个平面符合题目要求．师：问题5．是否存在一个四面体，它的每个面都是直角三角形？请同学们思考．……生A：我找到一个几何体，它的三个面都是直角三角形．如图 9．∠AVB=∠BVC=∠CVA=90°．生B：我曾经证过生A所给的图中，△ABC是锐角三角形．师：根据两名同学的发言，给我们以下启示：三个面是直角三角形的几个体已经找到；三个直角顶点不能是同一个点！构造∠VAB=∠VAC=90°，且∠BAC≠90°．再构造∠ACB=90°，同学们不难证明∠VCB=90°．生：是根据三垂线定理．师：空间想象力在不同时期有不同要求．上面这个问题如果是高一第一学期开始让同学们作，那就只有想象或动手制做模型．现在解决它，可以借助我们所学的线面位置关系去寻找解决问题的方法，并且在想象结束时，论证想象的合理性．师；如图11，正方体ABCD-A1B1C1D1，P，Q，R分别在C1D1，CC1，AB上．画出截面PQR与正方体各面的交线．由公理知：PQ 面DC1．因为面AB1∥面DC1，截面与它们相交，交线必平行（根据面面平行的性质定理）．过点R在面AB1中作PQ平行线交AA1于S．PQ交DC于T，TR交BC于E，连结EQ，过S作SF∥EQ交A1D1于F，连FP，则多边形PQERSF的边就是截面PQR与正方体各面的交线．师：同学们请看下面一组题：6．从平面外一点向平面引垂线和斜线，若斜线与平面所成的角都相等，垂足是斜足多边形的______心．7．直角三角形ABC中，∠C是直角，AC=6，BC=8，△ABC所在平面外一点P，PA=PB=PC=13，点P到△ABC所在平面的距离为______．生：垂足是斜足多边形的外心，因为从平面外一点向平面引斜线．它们与平面所成角相等，可以得到它们的长相等，它们在平面内的射影长也相等．师：同学们还可以进一步思考，满足什么条件时，垂足是斜足多边形的内心？垂足有没有可能成为斜足多边形的重心？垂心？做完一道题目之后，不要满足于题目的本身，能够将条件、结论变换后的有关命题进行研究，可达到事半功倍，提高能力的效果．师：根据已知条件，第7小题中，点P在△ABC所在平面上的射影恰为△ABC 的外心．由于△ABC是直角三角形，所以由点P引平面ABC的垂线，垂足恰为△ABC斜边AB的中点，你们知道了解题思路吗？生：作PD⊥面ABC于D，由PA=PB=PC，得DA=DB=DC，D是△ABC外心．又因为∠ACB=90°，由平面几何知识，得出D为AB的中点．PA=13，AD=5，PD=12．即点P到平面ABC的距离为12．师：三角形的垂心、内心、外心、重心的知识在立体几何中经常使用．有一些题目本身没有明确给出，如第7小题，恰到好处地运用四心有关的知识，可简化解题过程．下面一道题目也是与三角形的“心”有关的问题．8．如图13，正△ABC边长为a，O为外心，PO⊥面ABC，PA=PB=PC=b，D，E 分别为AC，AB的中点，且PA∥面DEFG．求：四边形DEFG的面积．由题设我们能得到哪些有用的结论？生A：因为PA∥面EFGD，由线面平行的性质可得：EF∥PA，GD∥PA，所以EF∥DG．由D，E分别是AB，AC的中点，DE∥BC，所以BC∥面DEFG．进一步得出BC ∥FG．综上DEFG是平行四边形．能求出平行四边形DEFG的面积．师：到目前为止，已知条件中还有两条没有发挥作用．①等边△ABC；②O为△ABC的外心，生C：当O为等边三角形外心时，它也是等边△ABC的垂心．即BC⊥AO，又PO⊥面ABC，由三垂线定理知：BC⊥PA．已经证明了EF∥PA，BC∥DE，得出EF ⊥DE，EFGD为一矩形，它的面积师：有效地利用“心”的有关概念，较好地解决一些立体几何问题．本节课重点讨论了两个方面的问题；1．关于空间想象力的进一步培养问题．不是空象，要注意有意识地利用各种线面位置关系．2．通过问题，适当复习了平面几何中的“四心”问题，进一步掌握利用“四心”的知识解决的方法．下面布置作业：（略）。
高中数学平面向量教案(精选6篇)
高中数学平面向量教案（精选6篇）为大家收集的高中数学平面向量教案，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。
高中数学平面向量教案精选篇1教学目标1、了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理。
会用基底表示平面内任一向量。
2、掌握向量夹角的定义以及两向量垂直的定义。
学情分析前几节课已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的了解。
如：力的合成与分解、位移、速度的合成与分解等，都为学习这节课作了充分准备重点难点重点：对平面向量基本定理的探究难点：对平面向量基本定理的理解及其应用教学过程4.1第一学时教学活动活动1【导入】情景设置火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度v＝vx＋vy＝6i＋4j。
活动2【活动】探究已知平面中两个不共线向量e1，e2，c是平面内任意向量，求向量c＝___e1＋___e2（课堂上准备好几张带格子的纸张，上面有三个向量，e1，e2，c）做法：作OA＝e1，OB＝e2，OC＝c，过点C作平行于OB的直线，交直线OA于M；过点C作平行于OA的直线，交OB于N，则有且只有一对实数l1，l2，使得OM＝l1e1，ON＝l2e2。
因为OC＝OM＋ON，所以c＝6 e1＋6e2。
向量c＝__6__e1＋___6__e2活动3【练习】动手做一做请同学们自己作出一向量a，并把向量a表示成：a＝31;31;31;31;____e1＋_____（做完后，思考一下，这样的一组实数是否是唯一的呢？）（是唯一的）由刚才的几个实例，可以得出结论：如果给定向量e1，e2，平面内的任一向量a，都可以表示成a＝入1e1＋入2e2。
活动4【活动】思考问题2：如果e1，e2是平面内任意两向量，那么平面内的任一向量a还可以表示成a＝入1e1＋入2e2的形式吗?生：不行，e1，e2必须是平面内两不共线向量活动5【讲授】平面向量基本定理平面向量基本定理：如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数l1，l2，使a＝l1e1＋l2e2。
苏教版高中数学向量教案
苏教版高中数学向量教案年级：高中教学目标：1. 了解向量的基本概念和性质；2. 掌握向量的加法、减法及数量乘法规则；3. 能够解决与向量相关的实际问题；4. 发展学生的逻辑思维和解决问题的能力。
教学内容：1. 向量的定义和表示；2. 向量的加法、减法和数量乘法；3. 向量的线性运算；4. 向量的模长和方向角；5. 向量的数量积和夹角余弦公式；6. 向量的应用：平面向量的坐标、空间直角坐标系中的向量等。
教学重点：1. 向量的基本概念和性质；2. 向量的加法、减法及数量乘法规则；3. 向量的数量积和夹角余弦公式。
教学难点：1. 向量的线性运算；2. 向量的应用：平面向量的坐标、空间直角坐标系中的向量。
教学准备：1. 电子白板、投影仪等教学设备；2. 教学PPT或教学板书；3. 相关教学资源和练习题；4. 实例题目和解析。
教学过程：第一步：导入新知识（5分钟）教师向学生介绍向量的概念，并通过实际例子引导学生了解向量的表示和性质。
第二步：向量的基本运算（15分钟）1. 向量的加法和减法规则；2. 向量的数量乘法规则；3. 向量的线性运算。
第三步：向量的模长和方向角（10分钟）学生学习如何计算向量的模长和方向角，并通过实例进行练习。
第四步：向量的数量积和夹角余弦公式（15分钟）1. 向量的数量积定义和性质；2. 向量的夹角余弦公式；3. 实例演练。
第五步：向量的应用（15分钟）1. 平面向量的坐标表示；2. 空间直角坐标系中的向量表示；3. 实际问题解析。
第六步：课堂练习和反馈（10分钟）教师出示相关练习题，学生进行课堂练习，并及时进行讲解和答疑。
第七步：总结复习（5分钟）教师对今天学习的内容进行总结，并强调重点和难点，为下节课的学习做好铺垫。
教学反思：通过本节课的教学，学生对向量的基本概念和运算规则有了更深入的了解，能够应用到实际问题中解决。
同时，课堂练习和实例演练有助于巩固学生的学习成果，培养其解决问题的能力。
2013白蒲中学高一数学教案：平面向量：16(苏教版)
第十六教时教材：续第十五教时 《教学与测试》第74、75课 目的：同第十五教时过程:一、处理《教学与测试》第74、75课 （略） 二、 补充例题（视教学情况选用）：1． a 、b 为非零向量，当a + t b （t R )的模取最小值时， 1求t 的值 2求证：b 与a + t b 垂直 解:1 ｜a + t b ｜2 = ｜a ｜2 + t 2|b |2 + 2t |a |｜b ｜ ∴当t =||||222b b a b b a ⋅-=⋅-时, ｜a + t b |最小2 ∵b •（a + t b ) = a •b ||||2b b a b ⋅= 0 ∴b 与a + t b 垂直2． 如图,AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高， 求证:AD 、BE 、CF 相交于一点。
证:设BE 、CF 交于一点H ,AB = a , AC = b , AH = h ， 则BH = h a ，CH = h b , BC = b a ∵BH AC , CH AB∴0)()()(0)(0)(=-⋅⇒⋅-=⋅-⇒⎭⎬⎫=⋅-=⋅-a b h a b h b a h a a h b a h ∴AHBC 又∵点D 在AH 的延长线上,∴AD 、BE 、CF 相交于一点 ACE F H3． 已知O 为△ABC 所在平面内一点，且满足 |OA |2 + |BC ｜2 = |OB |2 + ｜CA |2 = |OC ｜2 + |AB |2， 求证：AB OC 证：设OA = a ， OB = b ， OC = c ,则BC = c b ， CA = a c , AB = b a由题设：OA 2 +BC 2 =OB 2 +CA 2 =OC 2 +AB 2，化简：a 2 + （c b )2 = b 2 + (a c )2 = c 2 + (b a )2 得： c •b = a •c = b •a从而AB •OC = （b a )•c = b •c a •c = 0∴AB OC 同理：BC OA , CA OB三、作业： 《教学与测试》P156 4—9P158 4—7 w 。
江苏省白蒲中学高一数学 平面向量教案02 苏教版
- 1 -江苏省白蒲中学2013高一数学 平面向量教案02 苏教版教材：向量的加法目的：要求学生掌握向量加法的意义，并能运用三角形法则和平行四边形法则作几个向量的和向量。
能表述向量加法的交换律和结合律，并运用它进行向量计算。
过程： 一、 复习：向量的定义以及有关概念强调：1︒向量是既有大小又有方向的量。
长度相等、方向相同的向量相等。
2︒正因为如此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置。
二、 提出课题：向量是否能进行运算？1． 某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：AC BC AB =+2． 若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：=+ 3． 某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：=+ 4． 船速为，水速为， 则两速度和：AC BC AB =+提出课题：向量的加法三、1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。
注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 2．三角形法则：强调： 1︒“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点2︒可以推广到n 个向量连加 3︒a a a =+=+004︒不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则 3．例一、已知向量、，求作向量+ 作法：在平面内取一点，A B CA BCA BCAA AB B BC C OAaaabb ba +b a +b aa b b b a a- 2 -作= = 则+=4．加法的交换律和平行四边形法则上题中+的结果与+是否相同 验证结果相同 从而得到：1︒向量加法的平行四边形法则 2︒向量加法的交换律：a +b =b +a 5． 向量加法的结合律：(+) +=+ (+)证：如图：使=, =, =则(+) +==+ a + (b +c ) ==+ ∴(a +b ) +c =a + (b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。
江苏省白蒲中学高一数学 平面向量教案16 苏教版
江苏省白蒲中学2013高一数学 平面向量教案16 苏教版教材：续第十五教时 《教学与测试》第74、75课 目的：同第十五教时过程： 一、 处理《教学与测试》第74、75课 （略） 二、 补充例题（视教学情况选用）：1． a 、b 为非零向量，当a + t b (t ∈R )的模取最小值时， 1︒求t 的值 2︒求证：b 与a + t b 垂直解：1︒ |a + t b |2 = |a |2 + t 2|b |2+ 2t |a ||b |∴当t =||||222b ba b b a ⋅-=⋅-时, |a + t b |最小 2︒ ∵b •(a + t b ) = a •b - ||||2b ba b ⋅= 0 ∴b 与a + t b 垂直 2． 如图，AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高，求证：AD 、BE 、CF 相交于一点。
证：设BE 、CF 交于一点H ，= a , = b , = h ,则BH = h - a , CH = h - b , BC = b - a∵⊥AC , CH ⊥∴0)()()(0)(0)(=-⋅⇒⋅-=⋅-⇒⎭⎬⎫=⋅-=⋅-a b h a b h b a h a a h b a h ∴⊥BC又∵点D 在AH 的延长线上，∴AD 、BE 、CF 相交于一点 3． 已知O 为△ABC 所在平面内一点，且满足||2+ ||2= ||2+ ||2= ||求证：⊥证：设OA = a , OB = b , OC = c ,则BC = c - b , CA = a - c , = b - a 由题设：2+2=2+2=2+2，化简：a 2 + (c - b )2 = b 2 + (a - c )2 = c 2 + (b - a )2得： c •b = a •c = b •aCBC从而AB•OC= (b-a)•c = b•c-a•c = 0∴⊥同理：⊥, ⊥三、作业：《教学与测试》P156 4—9P158 4—7。
江苏省白蒲中学高一数学 平面向量教案23 苏教版
江苏省白蒲中学2013高一数学 平面向量教案23 苏教版 教材：复习二——实数与向量的数量积（续）目的：继续复习有关知识，提高学生数形结合、解决实际问题的能力。
过程：一、 继续复习实数与向量的积、向量共线的充要条件、平面向量的基本定理——平几问题1． 如图：已知MN 是△ABC 的中位线，求证：MN =21BC , 且MN ∥BC 证：∵MN 是△ABC 的中位线， ∴AM 21=, 21= ∴AM 21)(212121=-=-=-= ∴MN =21BC , 且MN ∥BC 2． 证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。
证：设= b ，= a ，则=+= b +21a , +== ∵A , G , D 共线，B , G , E 共线∴可设=λ，= μ,则=λ=λ(b +21a )=λb +21λa , = μ= μ(21b +a )=21μb +μa , ∵=+ 即：21b + (21μb +μa ) =λb +21λa ∴(μ-21λ)a + (21μ-λ+21)b = 0 ∵a , b 不平行， ∴32313202121021=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-μλλμλμ 即：AG = 2GD 同理可化：AG = 2GD , CG = 2GF3． 设=22(a +5b )，=-2a + 8b ，=3(a -b )，求证：A ,B ,D 三点共线。
证：AD =AB +BC +CD =22(a +5b ) + ( -2a + 8b ) + 3(a -b ) = (1+22)a + (5 + 522)b = (1+22)(a + 5b ) A B CN C而AB =22(a +5b ) ∴AD = (2+ 1)AB 又∵AD , AB 有公共点 ∴A ,B ,D 三点共线4． 求证：起点相同的三个非零向量a 、b 、3a -2b 的终点在同一直线上。
证：依题意，可设= a , = b , = 3a -2b AB =OB -OA = b - a , AC =OC -OB = 3a -2b - a = 2(a - b ) ∴AC = -2AB 由于AC ,AB 起点均为A ，∴三点A ,B ,C 共线，即起点相同的三个非零向量a 、b 、3a -2b 的终点在同一直线上5． 已知：平面上三点O 、A 、B 不共线，求证：平面上任一点C 与A 、B 共线的充要条件是存在实数λ和μ，使=λ+ μ，且λ+ μ = 1。
2013年江苏省白蒲中学2013高一数学(苏教版)教案19
江苏省白蒲中学2013高一数学 平面向量教案19 苏教版教材：正弦定理和余弦定理的复习《教学与测试》76、77课目的：通过复习、小结要求学生对两个定理的掌握更加牢固，应用更自如。
过程：一、复习正弦定理、余弦定理及解斜三角形二、例一 证明在△ABC 中A a sin =B b sin =Cc sin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径 证略 见P159注意：1．这是正弦定理的又一种证法(现在共用三种方法证明)2.正弦定理的三种表示方法(P159)例二 在任一△ABC 中求证：0)sin (sin )sin (sin )sin (sin =-+-+-B A c A C b C B a 证：左边=)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2B A C R A C B R C B A R -+-+-=]sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin [sin 2B C A C A B C B C A B A R -+-+-=0=右边例三 在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45︒ 求A 、C 及c 解一：由正弦定理得：23245sin 3sin sin === b B a A ∵B=45︒<90︒ 即b <a ∴A=60︒或120︒当A=60︒时C=75︒ 22645sin 75sin 2sin sin +=== B C b c 当A=120︒时C=15︒ 22645sin 15sin 2sin sin -=== B C b c 解二：设c =x 由余弦定理 B ac c a b cos 2222-+= 将已知条件代入，整理：0162=+-x x 解之：226±=x 当226+=c 时2)13(231226223)226(22cos 22221=++=+⋅⋅-++=-+=bc a c b A从而A=60︒ C=75︒ 当226-=c 时同理可求得：A=120︒ C=15︒ 例四 试用坐标法证明余弦定理证略见P161例五 在△ABC 中，BC=a , AC=b , a, b 是方程02322=+-x x 的两个根，且2cos(A+B)=1 求 1︒角C 的度数 2︒AB 的长度 3︒△ABC 的面积解：1︒cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-21 ∴C=120︒ 2︒由题设：⎩⎨⎧=-=+232b a b a ∴AB 2=AC 2+BC 2-2AC •BC •osC 120cos 222ab b a -+= ab b a ++=22102)32()(22=-=-+=ab b a 即AB=103︒S △ABC =2323221120sin 21sin 21=⋅⋅== ab C ab 例六 如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD, AD=10, AB=14, ∠BDA=60︒, ∠BCD=135︒ 求BC的长 解：在△ABD 中，设BD=x则BDA AD BD AD BD BA ∠⋅⋅-+=cos 2222即 60cos 1021014222⋅⋅-+=x x整理得：096102=--x x解之：161=x 62-=x （舍去）由余弦定理：BCD BD CDB BC ∠=∠sin sin ∴2830sin 135sin 16=⋅= BC 例七 （备用）△ABC 中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1︒求最大角 2︒求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积。
江苏省白蒲中学高一数学 直线、平面、简单几何体教案13 苏教版
一、素质教育目标（一）知识教学点1．三垂线定理及其逆定理的形成和论证．2．三垂线定理及其逆定理的简单应用．（二）能力训练点1．猜想和论证能力的训练．2．由线面垂直证明线线垂直的方法（线面垂直法）；3．训练学生分清三垂线定理及其逆定理中各条直线之间的关系；4．善于在复杂图形中分离出适用的直线用于解题．（三）德育渗透点通过定理的论证和练习的训练渗透化繁为简的思想和转化的思想．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点（1）掌握三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．（2）掌握三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．2．教学难点：两个定理的证明及应用．3．教学疑点及解决方法（1）三垂线定理及其逆定理，揭示了平面内的直线与平面的垂线、斜线及斜线在平面内的射影这三条直线的垂直关系，其实质是平面内的一条直线与平面的一条斜线（或斜线在平面内的射影）垂直的判定定理．（2）本节课的两个定理，涉及的直线较多，学生在认识和理解上都会存在困难，为了加深印象并说明复杂的直线位置关系，可以采用一些教具，或者让学生准备三根竹签，按照教师的要求摆放．在学生感性认识的基础上，进行理性的证明和记忆，有助于定理的掌握．（3）三垂线定理是先有直线a垂直于射影AO的条件，然后得到a垂直于斜线PO的结论；而其逆定理则是已知直线a垂直于斜线PO，再推出a垂直于射影AO．在引用时容易引起混淆，解决的办法是，构造一个同时使用这两个定理的问题，引导学生分清．（4）教学核心是定理的形成教学，教学的指导思想是：遵循由具体探究抽象、由简单到复杂的认识规律，启发学生反复思考，不断内化成为自己的认知结构．三、课时安排本课题共安排2课时，本节课为第一课时．四、学生活动设计三垂线定理及其逆定理的条件和结论都比较简单，但应用却很广泛，为了培养学生的能力，应让学生探索定理的命题形式，充分利用好手中的三根竹签．设计学生活动符合建构主义的教学思想，也符合教师为主导、学生为主体的教学思想；教师根据教学要求，提出问题，创设情景，引导学生观察、猜想，主动发现，主动发展，从而调动了学生学习的积极性．五、教学步骤（一）温故知新，引入课题师：我们已经学习了直线和平面的垂直关系，学新课之前，让我们作个简单的回顾：1．直线和平面垂直的定义？2．直线和平面垂直的判定定理．3．什么叫做平面的斜线、斜线在平面上的射影？4．已知平面α和斜线l，如何作出l在平面α上的射影？（板书）l∩α＝A，作出l在平面α上的射影（二）猜想推测，激发兴趣师：根据直线与平面垂直的定义我们知道，平面内的任意一条直线都和平面的垂线垂直，那么，平面内的任意一条直线是否也都和平面的一条斜线垂直呢？（教师演示教具，用一个三角板的一条直角边当平面的斜线，一根包有色纸的竹竿摆放在桌面的不同位置当作平面内的不同直线，学生容易看出它们不一定互相垂直．）师：是否平面内的任意一条直线都不和这条平面的斜线垂直呢？（教师将三角板的另一条直角边平放在桌面上，并提示学生注意这条直角边与平面的关系——在平面上，与斜线的关系——垂直．）师：在平面上有几条直线和这条斜线垂直？（学生可能会回答一条，也可能回答无数条，教师应调整桌面上的竹竿位置，使其平行于三角板的直角边，然后平行移动，并向学生说明，这些直线都与斜线垂直．）师：平面内一条直线具备什么条件，才能和平面的一条斜线垂直？（学生的直觉判断是要与那条和桌面接触的直角边平行，这是正确的，但无多大用途；这时教师提醒学生注意斜线在平面内的射影，并调整教具，将三角板的斜边当作平面的斜线，构成垂线、斜线和射影的立体模型；要求学生与同桌配合，摆放课前准备的竹签成教师示范的模型；然后在教师的引导之下观察、猜想，与同桌的探讨中发现了只要与斜线的射影垂直就和斜线垂直．）（三）层层推进，证明定理师：猜测和实验的结论不一定正确，那么你想怎样证明这个猜想呢？（若用幻灯或投影仪，可以节省板书时间．）已知：PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α求证：a⊥PO．师：这是证明两条直线互相垂直的问题，你准备怎么证明？分析：从直线和平面垂直的定义可知，要证两条直线互相垂直，只要证明其中一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可．师：这个平面你找到了吗？生：是平面PAO．师：怎样证明a⊥平面PAO呢？生：只要证明a垂直于平面PAO内的两条相交直线．证明：说明：1．定理的证明，体现了“由线面垂直证明线线垂直”的方法；2．上述命题反映了平面内的直线、平面的斜线和斜线在平面内的射影这三条直线之间的垂直关系，这就是著名的三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．3．改变定理的题设和结论，得到逆命题：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．可以用同样的方法证明，这就是三垂线定理的逆定理（请学生简要说明其证明方法和步骤）．4．定理中包含了三个垂直关系：PA⊥α，AO⊥a，PO⊥a，看出三垂线定理名称的来由．5．从定理的条件看，关键的是直线和平面的相对位置关系，而与平面本身是否水平放置无关；在平面内的直线a与斜线或斜线的射影的位置关系关键在于垂直；这样直线a的如下四种位置关系，都是三垂线定理及其逆定理常见的情形．6．从定理的结论看，三垂线定理及其逆定理是判断直线垂直的重要命题．（四）初步运用，提高能力1．（见课后练习题1．）已知：点O是△ABC的垂心，OP⊥平面ABC．求证：PA⊥BC．（学生先思考，教师作如下点拨）（1）什么叫做三角形垂心？（2）点O是△ABC的垂心可以得到什么结论？（3）可以考虑使用三垂线定理证明：你能找出本题中，应用三垂线定理必须涉及到的几个重要元素？生：首先先确定一个平面——平面ABC，斜线是PA，PA在平面ABC上的射影是AD，∵AD 垂直于BC，∴PA⊥BC．师：他的回答是否有缺漏？生：应该交代BC是平面ABC上的一条直线．师：对，这个交代是必需的！（视学生程度作适当补充，用教具演示，还可以举反例说明．）证明：连接AO并延长交BC与D．师：三垂线定理是证明空间两条直线互相垂直的重要方法，上面的示例反映了应用三垂线定理解题的一般步骤，即确定一个平面、平面的垂线、斜线和斜线在平面上的射影．同时要注意的是平面内的一条直线和射影垂直，有这条直线和斜线垂直（定理）；平面内的一条直线和斜线垂直，有这条直线和射影垂直（逆定理），同学们必须理解掌握．2．（见课本例1）如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上．⊥AC，PO⊥α，垂足分别是E、F、O，PE＝PF．求证：∠BAO＝∠CAO．（学生思考，教师作适当的点拨．）（1）在平面几何中，证明点在角的平分线上的常规方法是什么？（2）PE＝PF给我们提供了什么结论？（3）所缺的垂直关系可以用三垂线定理或逆定理证明，你能列出证明所需的条件吗？证明：3．（课堂练习，师生共同完成．）如图1-91，点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：PB⊥AC．分析：证明直线与直线垂直的问题，可以考虑三垂线定理及其逆定理，图形中缺少的平面的垂线需要添加上去．证明：过P作平面ABC的垂线，垂足为O，连结AO、BO、CO．∵ PA⊥BC，∴AO⊥BC（三垂线逆定理）．同理可证 CO⊥AB，∴O是△ABC的垂心．∵OB⊥AC，∴PB⊥AC（三垂线定理）．（五）归纳小结，强化思想师：这节课，我们学习了三垂线定理及其逆定理，定理的证明方法是证明空间两条直线互相垂直的基本方法，我们称之为线面垂直法；还通过三个练习的训练加深了定理的理解，同时得到立体几何问题解决的一般思路．六、布置作业作为一般要求，完成习题四11、12、13．提高要求，完成以下两个补充练习：1．如图1-92，PA⊥△ABC所在平面，AB＝AC＝13，BC＝10，PA＝5，求点P到直线BC的距离．参考答案：设BC的中点为D，连结PD．∵AB＝AC＝13，BC＝10，∴AD⊥BC．且AD＝12．又∵PA⊥平面ABC，∴PD⊥BC．即 PD的长度就是P到直线BC的距离．而 PD＝13．2．（课后练习题2略作改变）如图1-93，l是平面α的斜线，斜足是O，A是l上任意一点，AB是平面α的垂线，B是垂足，设OD是平面α内与OB不同的一条直线，AC垂直于OD于C，若直线l与平面α所成的角θ＝45°，∠BOC＝45°，求∠AOC的大小．参考答案：连结BC．中，有∠AOC＝60°．讲评作业时说明：求角大小的问题，往往先确定（或构造）一个包含这个角的三角形，然后解三角形．由此，我们还验证了∠AOC＞θ．。
苏教版数学高一苏教版必修4教学设计 平面向量基本定理
教学设计2．3.1平面向量基本定理作者：杨周萍，江苏省羊尖高级中学教师．整体设计教学目标知识目标(1)了解平面向量基本定理．(2)掌握平面内任何一个向量都可以用不共线的两个向量表示，能够在具体问题中选取合适的基底，使其他向量都能用这组基底来表示．能力目标(1)培养学生用向量解决实际问题的能力．(2)培养学生观察、抽象概括、合作交流的能力．情感目标(1)增强学生的数学应用意识．(2)激发学生学习数学的兴趣．重点难点教学重点：平面向量基本定理．教学难点：对平面向量基本定理的理解及应用．教学过程(1)复习回顾师：如果向量a与非零向量b共线，那么a与b满足怎样的关系？生：a＝λb.师：当a，b确定时，λ的值有几个？结论：如果向量a与非零向量b共线，那么有且只有一个实数λ，使a＝λb.(2)引导探究师：如果a与b不共线，则上述结论还成立吗？(学生讨论)结论：不成立．师：你能否添加恰当的条件使得能够表示？学生回答．师：设e 1、e 2是同一平面内的两个不共线的向量，a 是这一平面内的任一向量，怎样用e 1、e 2表示a?图1 图2(学生活动)根据前面所学的向量平行四边形法则，两向量共线定理得：方法：平移(已知向量、未知向量)——构造((共起点)平行四边形)OC →＝OM →＋ON →＝λ1OA →＋λ2OB →，即OC →＝λ1e 1＋λ2e 2.其中实数λ1，λ2都是惟一存在的．设计意图：重在探究定理得出的三点，一是为何要用两个不共线的向量e 1，e 2来表示，二是怎样表示，三是表示的惟一性．(3)意义建构平面向量基本定理：(学生描述)如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a 有且只有一对实数λ1，λ2，使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2.师：定理中应关注哪些关键词？这些关键词如何理解？生：不共线、有且只有．师：我们把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．基底是否惟一？图3OC →＝ON →＋OM →＝OE →＋OF →.结论：对于同一向量，可以找到无数组基底来表示．在处理问题时经常选取最合适的一组基底．基底不惟一，关键是要不共线．(4)定理再认识①若a ＝0，则有且只有：λ1＝λ2＝0使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2.②若a 与e 1(或e 2)共线，则有λ2＝0(或λ1＝0)，使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2.③一个平面向量用一组基底e 1，e 2表示成a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式，称它为向量a 的分解．特别地，当e 1，e 2互相垂直时，这种分解也称为向量a 的正交分解．事实上，物理中速度、力的分解就是向量分解的物理原型．在接下来的向量运算中，将要用到向量a 的正交分解．图4例1如图5，D 是△ABC 中BC 边的中点，AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示(1)DC →，(2)AD →.解：(1)DC →＝12(b －a )． (2)AD →＝12AE →＝12(AB →＋AC →)＝12(a ＋b )．图5设计意图：通过构造平行四边形或三角形，利用平行四边形法则和三角形法则，把所求的量转化到已知量上，从而达到解题的目的．例2设e 1，e 2是平面内的一组基底，OA →＝e 1＋e 2，OB →＝3e 1－e 2，OC →＝m e 1－5e 2且A 、B 、C 三点共线，(1)求实数m 的值；(2)试用向量OA →，OB →来表示OC →.解：(1)∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →＝λBC →.又AB →＝OB →－OA →＝(3e 1－e 2)－(e 1＋e 2)＝2e 1－2e 2，BC →＝OC →－OB →＝(m e 1－5e 2)－(3e 1－e 2)＝(m －3)e 1－4e 2，∴2e 1－2e 2＝λ[(m －3)e 1－4e 2]，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝λ(m －3)－2＝－4λ ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝7，λ＝12.(2)由上知，OC →＝7e 1－5e 2 ，根据平面向量基本定理，存在惟一的实数s ，t ，使得OC →＝sOA →＋tOB →.∴7e 1－5e 2＝s(e 1＋e 2)＋t(3e 1－e 2)．⎩⎪⎨⎪⎧ 7＝s ＋3t －5＝s －t ⇒⎩⎪⎨⎪⎧s ＝－2，t ＝3. ∴OC →＝－2OA →＋3OB →.解题反思：①三点共线的等价条件是什么？②向量相等，对应向量的系数相等．设计意图：体现解方程组、待定系数法的数学思想，对前面所学知识(任意共线三点A ，B ，C ，满足OC →＝sOA →＋tOB →，则s ＋t ＝1)的进一步理解．(5)小结：a ．平面向量基本定理的内容．b．对基本定理的理解：实数对λ1，λ2的存在性和惟一性，基底的不惟一性．c．基本定理的作用是什么？d．定理中蕴涵着哪些数学思想？。
江苏省白蒲中学2012-21013学年高一数学教案《直线、平面、简单几何体》03(苏教版)
平面的基本性质（一）平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础，也是以后演绎推理的逻辑依据．平面的基本性质是通过三条公理及其重要推论来刻划的，通过这些内容的教学，使学生初步了解从具体的直观形象到严格的数学表述的方法，使学生的思维从直觉思维上升至分析思维，使学生的观念逐步从平面转向空间．一、素质教育目标（一）知识教学点平面的基本性质是通过三个与平面的特征有关的公理来规定的．1．公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．2．公理2揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法．3．公理3及其三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法．4．“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．5．公理3的三个推论是以公理3为主要的推理论证的依据，是命题间逻辑关系的体现，为使命题的叙述和论证简明、准确，应将其证明过程用数学的符号语言表述．（二）能力训练点1．通过由模型示范到三条公理的文字叙述培养观察能力与空间想象能力．2．通过由公理3导出其三个推论的思考与论证培养逻辑推理能力．3．将三条定理及三个推论用符号语言表述，提高几何语言水平．（三）德育渗透点借助模型和实物来说明三个公理，进行“数学来源于实践”的唯物主义观念的教育，通过三条公理及公理3的三个推论的学习，逐步渗透事物间既有联系又有区别的观点，更由于对三个推论的证明培养言必有据，一丝不苟的学习品质和公理法思想．二、教学重点、难点、疑点及解决办法1．教学重点（1）体现平面基本性质的三条公理及其作用．（3）两条公理及公理3的三个推论中的“有且只有一个”的含义．（3）用图形语言和符号语言表述三条公理及公理3的三个推论．（4）理解用反证法和同一法证明命题的思路，并会证一些简单问题．2．教学难点（1）对“有且只有一个”语句的理解．（2）对公理3的三个推论的存在性与唯一性的证明及书写格式．（3）确定两相交平面的交线．3．解决办法（1）从实物演示中引导学生观察和实验，阐明公理的条件和结论间的直观形象，加深对“有且只有一个”语句的理解．（2）通过系列设问，帮助学生渐次展开思维和想象，理解公理的实质和作用．三、课时安排2课时．四、学生活动设计准备好两块纸板，一块薄平的泡沫板，四根长15cm左右的小竹针，其中三根一样长，一根稍短．针对三条公理设计不同的活动，对公理1，可作如下示范：把直尺的两端紧按在玻璃黑板上，完全密接；对公理2，可用两块硬纸板进行演示（如图1－9）；对公理3，使用图1－10所示的模型进行演示．五、教学步骤（一）明确目标（1）理解井熟记平面基本性质的三条公理及公理3的三个推论．（2）掌握这三个公理和三个推论的文字语言、图形语言、符号语言间的互译．（3）理解“有且只有一个”的含义，在此基础上，以公理3为主要依据，推证其三个推论．（4）能够用模型来说明有关平面划分空间的问题．（5）理解并掌握证明命题的常用方法——反证法和同一法．（二）整体感知本课以平面基本性质的三条公理及公理3的三个推论为主要内容，既有学生熟悉的事实，又有学生初次接触的证明，因此以“设问——实验——归纳”法和讲解法相结合的方式进行教学．首先，对于平面基本性质的三条公理，因为是“公理”，无需证明，教学中以系列设问结合模型示范引导学生共同思考、观察和实验，从而归纳出三条公理并加以验证．其中公理1应以直线的“直”和“无限延伸”来刻划平面的“平”和“无限延展”；公理2要抓住平面在空间的无限延展特征来讲；公理3应突出已知点的个数和位置，强调“三个点”且“不在同一直线上”．通过三条公理的教学培养学生的观察能力和空间观念，加深对“有且只有一个”语句的理解．对于公理3的三个推论的证明，学生是初次接触“存在性”和“唯一性”的证明，应引导学生以公理3为主要的推理依据进行分析，逐渐摆脱对实物模型的依赖，培养推理论证能力，证明过程不仅要进行口头表述，而且教师应进行板书，使学生熟悉证明的书写格式和符号．最后，无论定理还是推论，都要将文字语言转化为图形语言和符号语言，并且做到既不遗漏又不重复且忠于原意．三、教学重点、难点的学习与完成过程A．公理师：立体几何中有一些公理，构成一个公理体系．人们经过长期的观察和实践，把平面的三条基本性质归纳成三条公理．请同学们思考下列问题（用幻灯显示）．问题1：直线l上有一个点P在平面α内，直线l是否全部落在平面α内？问题2：直线l上有两个点P、Q在平面α内，直线l是否全部落在平面α内？（用竹针穿过纸板演示问题1，用直尺紧贴着玻璃黑板演示问题2，学生思考回答后教师归纳．）这就是公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．这里的条件是什么？结论是什么？生：条件是直线（a）上有两点（A、B）在平面（α）内，结论是：直线（a）在平面（α）内．师：把条件表示为A∈a，B∈b且A∈α，B∈α，把结论表示11）．这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆．在这里，我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？生：不是，因为平面是无限延展的．师：对，根据公理1，直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征．现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（演示图1－9－（1）给学生看）．问：两个平面会不会只有一个公共点？生甲：只有一个公共点．生乙：因为平面是无限延展的，应当有很多公共点．师：生乙答得对，正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点．那么这无数个公共点在什么位置呢？（教师随手一压，一块纸板随即插入另一块纸板上事先做好的缝隙里）．可见，这无数个公共点在一条直线上．这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理2，其条件和结论分别是什么？生：条件是两平面（α、β）有一公共点（A），结论是：它们有且只有一条过这个点的直线．师：条件表示为A∈α，A∈β，结论表示为：α∩β＝a，A∈a，图形表示为图1－9－（2）或图1－12．公理2是判定两平面相交的依据，提供了确定相交平面的交线的方法．下面请同学们思考下列问题（用幻灯显示）：问题1：经过空间一个已知点A可能有几个平面？问题2：经过空间两个已知点A、B可能有几个平面？问题3：经过空间三个已知点A、B、C可能有几个平面？（教师演示图1－10给学生看，学生思考后回答，教师归纳）．这说明，经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面，即公理3，其条件、结论分别是什么？生：条件是：不在同一直线上的三点（A、B、C），结论是：过这三点（A、B、C）有且只有一个平面（α）．A∈α，B∈α，C∈α，图形表示为图1－13，公理3是确定平面位置的依据之一．以上三个公理是平面的基本性质．其中公理2和公理3中的“有且只有一个”有两层含义，在数学中，“有一个”是说明“存在”、但不唯一；“只有一个”是说明“唯一”，但不保证图形存在．也就是说，如果有顶多只有一个．因此，在证明有关“有且只有一个”语句的命题时，要证明两个方面——存在性和唯一性．B．推论师：确定一个平面的依据，除公理3外，还有它的三个推论．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．说出推论1的条件和结论．生：条件是：一条直线和直线外一点，结论是：经过这条直线和这一点有且只有一个平面．求证：经过a和A有且只有一个平面．证明：“存在性”即存在过A、a的平面，在直线a上任取两点B、C．∴A、B、C三点不在同一直线上．∴过A、B、C三点有且只有一个平面α（公理3）．∴B∈α，C∈α．即过直线a和点A有一个平面α．“唯一性”，假设过直线a和点A还有一个平面β．∴B∈β，C∈β．∴过不共线三点A、B、C有两个平面α、β，这与公理3矛盾．∴假设不成立，即过直线a和点A不可能还有另一个平面β，而只能有一个平面α．这里证明“唯一性”时用了反证法．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．其条件、结论分别是什么？生：条件是：两条直线相交，结论是：经过这两条直线有且只有一个平面．师（板书）：已知：直线a∩直线b＝A．求证：经过a、b有且只有一个平面．证明：“存在性”．在a、b上分别取不同于点A的点B、C，得不在同一直线上的三点A、B、C，则过A、B、C三点有且只有一个平面α（公理3）．∵A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，∴平面α是经过相交直线a、b的一个平面．“唯一性”．设过直线a和b还有另一个平面β，则A、B、C三点也一定都在平面β内．∴过不共线三点A、B、C就有两个平面α和β．∴平面α与平面β重合．∴过直线a、b的平面只有一个．这里证明唯一性时，用的是“同一法”．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．（证明作为思考题）C．练习1．下面是一些命题的叙述语（A、B表示点，a表示直线，α、β表示平面）A．∵A∈α，B∈α，∴AB∈α．B．∵a∈α，a∈β，∴α∩β=a．其中命题和叙述方法都正确的是． [ ] 2．下列推断中，错误的是[ ]D．A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C不共3．一个平面把空间分成____部分，两个平面把空间最多分成____部分，三个平面把空间最多分成____部分．4．确定经过A、B、C三点的平面与已知平面α、β的交线．（图1－16）四、总结、扩展本课主要的学习内容是平面的基本性质，有三条公理及公理3的三推论．其中公理1用于判定直线是否在平面内，公理2用于判定两平面相交，公理3及三个推论是确定平面的依据．“确定一个平面”与“有且只有一个平面”是同义词．“有”即“存在”，“只有一个”即“唯一”．所以证明有关“有且只有一个”语句的命题时，要证两方面——存在性和唯一性．证明的方法是反证法和同一法．五、布置作业1．复习课本有关内容并预习课本例题．2．课本习题（略）．3．确定经过A、B、C三点的平面与已知平面α、β、γ的交线．4．思考题：（1）三个平面把空间可能分成几部分？（2）如何证明推论3？六、答案练习：1．D，2．C，3．图1－18．作业：3．图1－19．七、板书设计。
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第十六教时
教材：续第十五教时 《教学与测试》第74、75课 目的：同第十五教时
过程：
一、处理《教学与测试》第74、75课 （略）
二、 补充例题（视教学情况选用）：
1． a 、b 为非零向量，当a + t b (t ∈R )的模取最小值时， 1︒求t 的值 2︒求证：b 与a + t b 垂直
解：1︒ |a + t b |2 = |a |2 + t 2|b |2 + 2t |a ||b |
∴当t =||||222b b a b b
a ⋅-=⋅-时, |a + t
b |最小
2︒ ∵b •(a + t b ) = a •b - ||||2b b
a b ⋅= 0 ∴b 与a + t b 垂直
2． 如图，AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高， 求证：AD 、BE 、CF 相交于一点。
证：设BE 、CF 交于一点H ， AB = a , AC = b , AH = h , 则BH = h - a , CH = h - b , BC = b - a ∵BH ⊥AC , CH ⊥AB
∴0)()()(0)(0)(=-⋅⇒⋅-=⋅-⇒⎭
⎬⎫=⋅-=⋅-a b h a b h b a h a a h b a h ∴AH ⊥BC
又∵点D 在AH 的延长线上，∴AD 、BE 、CF 相交于一点
3． 已知O 为△ABC 所在平面内一点，且满足 |OA |2 + |BC |2 = |OB |2 + |CA |2 = |OC |2 + |AB |2，
求证：AB ⊥OC
证：设OA = a , OB = b , OC = c ,
则BC = c - b , CA = a - c , AB = b - a
由题设：OA 2 +BC 2 =OB 2 +CA 2 =OC 2 +AB 2，
化简：a 2 + (c - b )2 = b 2 + (a - c )2 = c 2 + (b - a )2
得： c •b = a •c = b •a
A
B C D
E
F H
A B C
O
从而AB•OC= (b-a)•c = b•c-a•c = 0
∴AB⊥OC同理：BC⊥OA, CA⊥OB 三、作业：《教学与测试》P156 4—9
P158 4—7。