四川省成都市五校2015-2016学年高二数学下学期期中联考试题理

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2015-2016年四川省成都市五校联考高一(下)期中数学试卷(理科)和答案

4．（5 分）三角形的一边长为 13，这条边所对应的角为 60°，另外两边之比为 4： 3，则这个三角形的面积为（ A．39 5．（5 分）已知 = （﹣ A．﹣3 6．（5 分）化简： A．1 B． B．78 ， B．3 ﹣ ），= （） C．39 D．78 ）
，），则在方向上的投影是（ C．﹣ 的结果是（ C．2 ） D．4 D．
2015-2016 学年四川省成都市五校联考高一（下）期中数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项） 1．（5 分）sin15°cos15°=（ A． B．） C． D．），﹣
2．（5 分）已知向量| |=5， =（2，1）且 =λ （λ＞0），则的坐标是（ A．（） 3．（5 分）在等差数列{an}中，若 a2+a8=10，则 a1+a3+a5+a7+a9 的值是（ A．10 B．15 C．20 D．25 ），2 ） B．（2 ，） C．（﹣ ，﹣2 ） D．（﹣2
【解答】解：sin15°cos15°= sin30°= 故选：C．
2．（5 分）已知向量| |=5， =（2，1）且 =λ （λ＞0），则的坐标是（ A．（）【解答】解：向量| |=5， =（2，1）且 =λ （λ＞0），可得 =（2λ，λ），则的坐标是：（2 故选：B． 3．（5 分）在等差数列{an}中，若 a2+a8=10，则 a1+a3+a5+a7+a9 的值是（ A．10 B．15 C．20 D．25 ），）． =5，解得 λ= ．，2 ） B．（2 ，） C．（﹣ ，﹣2 ） D．（﹣2

四川省成都市五校高二数学(文)下册第二学期期中联考试题及答案【精校】.doc

成都市五校联考高2014级第四学期期中试题数学（文科）(全卷满分:150分完成时间:120分钟)注意事项:选择题答案用铅笔涂写在机读卡上,每小题选出答案后,用铅笔把对应题目的答案标号涂黑.其它题答在答题卷上.第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共有12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的．) .1命题“1sin ,≤∈∀x R x ”的否定是 ( ▲ )1sin ,.00≤∈∃x R x A 1sin ,.00>∈∃x R x B 1sin ,.>∈∀x R x C 1sin ,.00≥∈∃x R x D.2抛物线24x y =的准线方程是1.=x A 1.-=x B .C 161=y .D 161-=y .3在同一坐标系中，将曲线x y 2sin 3=变为曲线''sin x y =的伸缩变换是 ( ▲ )⎪⎩⎪⎨⎧==''312,y y x x A ⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x B 312,'' ⎪⎩⎪⎨⎧==''32,y y x x C ⎪⎩⎪⎨⎧==yy xx D 32,''.4 已知直线b a 、是平面α内的两条直线，l 是空间中一条直线. 则“b l a l ⊥⊥,”是 “α⊥l ”的 ( ▲ ).A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件.5 在极坐标系中，点)4,2(π到直线23)3sin(-=-πθρ的距离是 ( ▲ )1.A 21.B 31.C 41.D.6 已知命题:p 命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”的否命题是真命题；命题:q ”“95<<k 是方程15922=-+-k y k x 表示椭圆的充要条件。

则下列命题为真命题的是 ( ▲ )q p A ∨⌝. q p B ⌝∧⌝. q p C ⌝∧. q p D ∧..7 已知21F F 、是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，P 是椭圆上一点，且6F PF ,21212π=∠⊥F F PF 。

2015-2016年四川省成都市五校联考高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2015-2016学年四川省成都市五校联考高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共有12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知命题p：∀x∈R，sin x≤1．则￢p是（）A．∃x∈R，sin x≥1B．∃x∈R，sin x＞1C．∀x∈R，sin x≥1D．∀x∈R，sin x＞12．（5分）双曲线9y2﹣16x2＝144的渐近线方程为（）A．B．C．D．3．（5分）在同一坐标系中，将曲线y＝3sin2x变为曲线y′＝sin x′的伸缩变换是（）A．B．C．D．4．（5分）已知命题p：命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”的否命题是真命题；命题q：“5＜k＜9”是方程+＝1表示椭圆的充要条件．则下列命题为真命题的是（）A．￢p∨q B．￢p∧￢q C．p∧￢q D．p∧q5．（5分）在极坐标系中，圆心为（2，），半径为1的圆的极坐标方程是（）A．ρ＝8sin（θ﹣）B．ρ＝8cos（θ﹣）C．ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+3＝0D．ρ2﹣4ρsin（θ﹣）+3＝06．（5分）已知F1、F2是椭圆+＝1（a＞b＞0）的左右焦点，P是椭圆上一点，且PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝．则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．7．（5分）与⊙C1：x2+（y+2）2＝25内切且与⊙C2：x2+（y﹣2）2＝1外切的动圆圆心M的轨迹方程是（）A．+＝1（y≠0）B．+＝1（x≠0）C．+＝1（x≠3）D．+＝1（y≠3）8．（5分）设函数f（x）＝，已知曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y﹣3＝0平行，则a的值为（）A．﹣1或B．C．D．1或9．（5分）已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合．曲线C的参数方程为（φ为参数），直线l的极坐标方程是ρ（cosθ+2sinθ）＝15．若点P、Q分别是曲线C和直线l上的动点，则P、Q 两点之间距离的最小值是（）A．B．2C．2D．10．（5分）甲乙两位同学同住一小区，甲乙俩同学都在7：00～7：20经过小区门口．由于天气下雨，他们希望在小区门口碰面结伴去学校，并且前一天约定先到者必须等候另一人5分钟，过时即可离开．则他俩在小区门口碰面结伴去学校的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）已知命题p：函数f（x）＝|4x﹣a|﹣ax（a＞0）存在最小值；命题q：关于x的方程2x2﹣（2a﹣2）x+3a﹣7＝0有实数根．则使“命题p∨¬q为真，p∧¬q为假”的一个必要不充分的条件是（）A．3≤a＜5B．0＜a＜4C．4＜a＜5或0≤a≤3D．3＜a＜5或0≤a＜312．（5分）已知，焦点在x轴上的椭圆的上下顶点分别为B2、B1，经过点B2的直线l与以椭圆的中心为顶点、以B2为焦点的抛物线交于A、B两点，直线l 与椭圆交于B2、C两点，且||＝2||．直线l1过点B1且垂直于y轴，线段AB的中点M到直线l1的距离为．设＝λ，则实数λ的取值范围是（）A．（0，3）B．（﹣，2）C．（﹣，4）D．（﹣，3）二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分．把答案直接填在答题卷指定的横线上．）13．（5分）现有3本不同的语文书，1本数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好是一本语文书和一本数学书的概率是．14．（5分）已知函数f（x）＝e x sin（2x+1），则f′（﹣）＝．15．（5分）已知函数f（x）＝（）x2+4x+3，g（x）＝x++t，若∀x1∈R，∃x2∈[1，3]，使得f（x1）≤g（x2），则实数t的取值范围是．16．（5分）已知直线l交抛物线y2＝﹣3x于A、B两点，且•＝4（O是坐标原点），设l与x轴的非正半轴交于点F，F、F′分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点．若在双曲线的右支上存在一点P，使得2||＝3||，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知命题p：实数x满足|2x﹣m|≥1；命题q：实数x满足＞0．（Ⅰ）若m＝1时，p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若¬p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝，g（x）＝ax+1．（e是自然对数的底数）．（Ⅰ）当x∈（1，e2]时，求函数f（x）图象上点M处切线斜率的最大值；（Ⅱ）若h（x）＝f（x）+g（x）在点（e，h（e））处的切线l与直线x﹣y﹣2＝0垂直，求切线l方程．19．（12分）已知袋子中装有红色球1个，黄色球1个，黑色球n个（小球大小形状相同），从中随机抽取1个小球，取到黑色小球的概率是．（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）若红色球标号为0，黄色球标号为1，黑色球标号为2，现从袋子中有放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．（ⅰ）记“a+b＝2”为事件A，求事件A的概率；（ⅱ）在区间[0，2]内任取2个实数x，y，求事件“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”的概率．20．（12分）已知动圆过定点F（0，1），且与定直线y＝﹣1相切．（Ⅰ）求动圆圆心M所在曲线C的方程；（Ⅱ）直线l经过曲线C上的点P（x0，y0），且与曲线C在点P的切线垂直，l 与曲线C的另一个交点为Q．①当x 0＝时，求△OPQ的面积；②当点P在曲线C上移动时，求线段PQ中点N的轨迹方程以及点N到x轴的最短距离．21．（12分）椭圆C；+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，坐标系原点O到直线AB的距离为，椭圆的离心率是．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若经过点N（0，t）的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，且＝3，求△AON（点o为坐标系原点）周长的取值范围．22．（10分）在直角坐标系xoy中，直线l的方程为x﹣y+4＝0．以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcos （θ﹣）+6＝0．（1）求直线l的极坐标方程，曲线C的直角坐标方程；（2）若点P曲线C上任意一点，P点的直角坐标为（x，y），求x+2y的最大值和最小值．2015-2016学年四川省成都市五校联考高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知命题p：∀x∈R，sin x≤1．则￢p是（）A．∃x∈R，sin x≥1B．∃x∈R，sin x＞1C．∀x∈R，sin x≥1D．∀x∈R，sin x＞1【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题可得，命题p：∀x∈R，sin x≤1的否定是∃x∈R，使得sin x＞1故选：B．2．（5分）双曲线9y2﹣16x2＝144的渐近线方程为（）A．B．C．D．【解答】解：把双曲线9y2﹣16x2＝144化成标准方程为，∴a＝4且b＝3，∴双曲线的渐近线方程为y＝±，即y＝±x．故选：B．3．（5分）在同一坐标系中，将曲线y＝3sin2x变为曲线y′＝sin x′的伸缩变换是（）A．B．C．D．【解答】解：将曲线y＝3sin2x变为曲线y′＝sin x′，横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍，将曲线y＝3sin2x变为曲线y′＝sin x′的伸缩变换是：，故选：B．4．（5分）已知命题p：命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”的否命题是真命题；命题q：“5＜k＜9”是方程+＝1表示椭圆的充要条件．则下列命题为真命题的是（）A．￢p∨q B．￢p∧￢q C．p∧￢q D．p∧q【解答】解：命题p：命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”的否命题是“对角线不互相垂直的四边形不是菱形”是真命题，正确；命题q：+＝1表示椭圆的充要条件是，解得5＜k＜9，且k≠7．∴“5＜k＜9”是方程+＝1表示椭圆的既不充分也不必要条件，因此是假命题．则下列命题为真命题的是p∧￢q．故选：C．5．（5分）在极坐标系中，圆心为（2，），半径为1的圆的极坐标方程是（）A．ρ＝8sin（θ﹣）B．ρ＝8cos（θ﹣）C．ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+3＝0D．ρ2﹣4ρsin（θ﹣）+3＝0【解答】解：由题意可知，圆心（2，）的直角坐标为（，），半径为1．得其直角坐标方程为（x﹣）2+（y﹣）2＝1，即x2+y2﹣2x﹣2y+3＝0，所以所求圆的极坐标方程是：ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+3＝0．故选：C．6．（5分）已知F1、F2是椭圆+＝1（a＞b＞0）的左右焦点，P是椭圆上一点，且PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝．则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知：椭圆+＝1（a＞b＞0）焦点在x轴上，|PF2|＝x，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝，∴|PF1|＝2x，|F1F2|＝x，又|PF1|+|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，∴2a＝3x，2c＝x，∴C的离心率为：e＝＝．故选：B．7．（5分）与⊙C1：x2+（y+2）2＝25内切且与⊙C2：x2+（y﹣2）2＝1外切的动圆圆心M的轨迹方程是（）A．+＝1（y≠0）B．+＝1（x≠0）C．+＝1（x≠3）D．+＝1（y≠3）【解答】解：由题意，C1（0，﹣2），C2（0，2），设动圆圆心M的坐标为（x，y），半径为r，则|MC2|＝r+1，|MC1|＝5﹣r，∴|MC1|+|MC2|＝6＞|C1C2|＝4，由椭圆的定义知，点M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且2a＝6，c＝2，∴a ＝3，∴b＝∴椭圆方程为：+＝1（y≠3）．故选：D．8．（5分）设函数f（x）＝，已知曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y﹣3＝0平行，则a的值为（）A．﹣1或B．C．D．1或【解答】解：函数f（x）＝的导数为f′（x）＝，可得在点（1，f（1））处的切线斜率为，由切线与直线2x+y﹣3＝0平行，可得＝﹣2，解得a＝﹣．故选：B．9．（5分）已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合．曲线C的参数方程为（φ为参数），直线l的极坐标方程是ρ（cosθ+2sinθ）＝15．若点P、Q分别是曲线C和直线l上的动点，则P、Q 两点之间距离的最小值是（）A．B．2C．2D．【解答】解：设P（3cosφ，2sinφ）（φ为参数），直线l的极坐标方程是ρ（cosθ+2sinθ）＝15化为普通方程：x+2y﹣15＝0．则点P到直线l的距离d＝＝≥＝2，当且仅当sin（φ+θ）＝1时取等号，arctanθ＝．故选：C．10．（5分）甲乙两位同学同住一小区，甲乙俩同学都在7：00～7：20经过小区门口．由于天气下雨，他们希望在小区门口碰面结伴去学校，并且前一天约定先到者必须等候另一人5分钟，过时即可离开．则他俩在小区门口碰面结伴去学校的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，∵试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω＝{（x，y）|0≤x≤20，0≤y≤20}集合对应的面积是边长为20的正方形的面积S＝20×20＝400，而满足条件的事件对应的集合是A═{（x，y）|}，作出可行域，得：两人能够会面的概率是p＝＝故选：D．11．（5分）已知命题p：函数f（x）＝|4x﹣a|﹣ax（a＞0）存在最小值；命题q：关于x的方程2x2﹣（2a﹣2）x+3a﹣7＝0有实数根．则使“命题p∨¬q为真，p∧¬q为假”的一个必要不充分的条件是（）A．3≤a＜5B．0＜a＜4C．4＜a＜5或0≤a≤3D．3＜a＜5或0≤a＜3【解答】解：由条件得：f（x）＝，∵a＞0，∴﹣（4+a）＜0，f（x）在（﹣∞，）上是减函数．如果函数f（x）存在最小值，则f（x）在[a，+∞）上是增函数或常数．∴4﹣a≥0，得a≤4，又a＞0，∴0＜a≤4，故p为真时：0＜a≤4；命题q：关于x的方程2x2﹣（2a﹣2）x+3a﹣7＝0有实数根，∴△＝（2a﹣2）2﹣8（3a﹣7）≥0，化为：a2﹣8a+15≥0，解得a≤3或a≥5；命题p∨¬q为真，p∧¬q为假，则p假q真，故，解得：4＜a＜5；故4＜a＜5的一个必要不充分的条件是4＜a＜5或0≤a≤3，故选：C．12．（5分）已知，焦点在x轴上的椭圆的上下顶点分别为B2、B1，经过点B2的直线l与以椭圆的中心为顶点、以B2为焦点的抛物线交于A、B两点，直线l 与椭圆交于B2、C两点，且||＝2||．直线l1过点B1且垂直于y轴，线段AB的中点M到直线l1的距离为．设＝λ，则实数λ的取值范围是（）A．（0，3）B．（﹣，2）C．（﹣，4）D．（﹣，3）【解答】解：如图，由题意可知：设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0），线段AB的中点M到直线l1的距离为，∴由抛物线的定义可知：|AB|＝2×＝，由||＝2||，∴|BB2|＝|AB|＝，|AB2|＝|AB|＝3，由三角形的相似关系求得|BB2|＝2，∴2b＝2，b＝1，．抛物线方程为x2＝4y，设直线AB的方程为：x＝m（y﹣1），由，代入整理得：m2y2﹣2（m2+2）y+m2＝0，由韦达定理可知：y A+y B＝，由抛物线的焦点弦公式可知：|AB|＝y A+y B+p＝+2＝，解得：m＝±2，∴直线AB的方程为：x＝±2（y﹣1），∴，整理得：（8+a2）y2﹣16y+8﹣a2＝0，由韦达定理可知：y C+＝，∴y C＝﹣1＝，＝λ，y B﹣y C＝λ（﹣y B），＝|BB2|﹣b，＝b，由抛物线的性质可知：y∴﹣y C＝λ，整理得：λ＝＝3﹣，由a2＞b2＝1，∴﹣＜λ＜3，∴实数λ的取值范围（﹣，3），故选：D．二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分．把答案直接填在答题卷指定的横线上．）13．（5分）现有3本不同的语文书，1本数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好是一本语文书和一本数学书的概率是．【解答】解：方法一：从3本不同的语文书，1本数学书，从中任意取出2本有C42＝6种不同的抽取方法，而取出的书恰好是一本语文书和一本数学书，共有C31×C11＝3种不同的抽取方法，∴取出的书恰好是一本语文书和一本数学书的概率是P＝＝，方法二（列举法），3本不同的语文书即为a，b，c，数学书记为s，随机取出两个，共有ab，ac，as，bc，bs，cs共6种，其中恰好是一本语文书和一本数学书为as，bs，cs共3种，∴取出的书恰好是一本语文书和一本数学书的概率是P＝＝，故答案为：．14．（5分）已知函数f（x）＝e x sin（2x+1），则f′（﹣）＝2．【解答】解：∵f（x）＝e x sin（2x+1），∴f′（x）＝e x sin（2x+1）+2e x cos（2x+1），∴f′（﹣）＝sin0+2cos0＝2，故答案为：2．15．（5分）已知函数f（x）＝（）x2+4x+3，g（x）＝x++t，若∀x1∈R，∃x2∈[1，3]，使得f（x1）≤g（x2），则实数t的取值范围是．【解答】解：函数f（x）＝（）x2+4x+3＝，∵x∈R，∴u（x）＝（x+2）2﹣1≥﹣1，∴f（x）∈（0，2]．∵g（x）＝x++t，g′（x）＝1﹣＝，∴当x∈[1，3]时，g′（x）≥0，∴函数g（x）在x∈[1，3]时的单调递增，∴g（x）max＝g（3）＝+t．∀x1∈R，∃x2∈[1，3]，使得f（x1）≤g（x2），∴g（x）max≥f（x）max，∴+t≥2，解得．则实数t的取值范围是．故答案为：．16．（5分）已知直线l交抛物线y2＝﹣3x于A、B两点，且•＝4（O是坐标原点），设l与x轴的非正半轴交于点F，F、F′分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点．若在双曲线的右支上存在一点P，使得2||＝3||，则a的取值范围是[，4）．【解答】解：设点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），设直线方程为x＝my+n，联立方程，消去x得y2+3my+3n＝0，则y1y2＝3n，x1x2＝n2，又•＝4，则x1x2+y1y2＝4，即3n+n2＝4，解得n＝1（舍去）或n＝﹣4，∴F（﹣4，0），∵2||＝3||，∴由双曲线的定义可得||﹣||＝||＝2a，∴||＝4a，∵点P在双曲线的右支上，∴|PF′|≥c﹣a，∴4a≥c﹣a，∴a≥，∵＞1，∴a＜4，∴a的取值范围是[，4），故答案为[，4）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知命题p：实数x满足|2x﹣m|≥1；命题q：实数x满足＞0．（Ⅰ）若m＝1时，p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若¬p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵p∧q为真，∴p，q都为真…（1分）又m＝1，∴p真；|2x﹣1|≥1，即x≤0或x≥1…（2分），∴（1﹣3x）（x+2）＞0，即…（4分）由，∴实数x的取值范围为（﹣2，0]…（6分）（Ⅱ）∵p：实数x满足|2x﹣m|≥1，∴¬p；|2x﹣m|＜1，即令…（7分），令…（8分）∵¬P是q的充分非必要条件，A是B的真子集…（9分）∴，得∴实数m的取值范围是…（12分）18．（12分）已知函数f（x）＝，g（x）＝ax+1．（e是自然对数的底数）．（Ⅰ）当x∈（1，e2]时，求函数f（x）图象上点M处切线斜率的最大值；（Ⅱ）若h（x）＝f（x）+g（x）在点（e，h（e））处的切线l与直线x﹣y﹣2＝0垂直，求切线l方程．【解答】解：（Ⅰ）设切点M（x，f（x）），则x∈（1，e2]．函数f（x）图象上点M处切线斜率为f'（x）＝…（2分）∵x∈（1，e2]，，…（4分）∴，∴当时，即x＝e2，f'（x）max＝…（6分）（Ⅱ）∵h（x）＝+ax+1，h，（x）＝+a，…（8分）又h（x）在点（e，h（e））处的切线l与直线x﹣y﹣2＝0垂直．∴h′（e）＝a＝﹣1，h（e）＝1，…（10分）切线l的方程为x+y﹣1﹣e＝0…（12分）19．（12分）已知袋子中装有红色球1个，黄色球1个，黑色球n个（小球大小形状相同），从中随机抽取1个小球，取到黑色小球的概率是．（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）若红色球标号为0，黄色球标号为1，黑色球标号为2，现从袋子中有放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．（ⅰ）记“a+b＝2”为事件A，求事件A的概率；（ⅱ）在区间[0，2]内任取2个实数x，y，求事件“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”的概率．【解答】解：（Ⅰ）依题意，得n＝1（Ⅱ）（ⅰ）记标号为0的小球为s，标号为1的小球为t，标号为2的小球为k，则取出2个小球的可能情况有：（s，t），（s，k），（t，s），（t，k），（k，s），（k，t），（s，s），（t，t），（k，k），共9种，其中满足“a+b＝2”的有3种：（s，k），（k，s）（t，t）．所以所求概率为（ⅱ）记“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”为事件B．则事件B等价于“x2+y2＞4恒成立”，（x，y）可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R}，而事件B构成的区域为B＝{（x，y）|x2+y2＞4，（x，y）∈Ω}．所以所求的概率为P（B）＝＝1﹣．20．（12分）已知动圆过定点F（0，1），且与定直线y＝﹣1相切．（Ⅰ）求动圆圆心M所在曲线C的方程；（Ⅱ）直线l经过曲线C上的点P（x0，y0），且与曲线C在点P的切线垂直，l 与曲线C的另一个交点为Q．①当x 0＝时，求△OPQ的面积；②当点P在曲线C上移动时，求线段PQ中点N的轨迹方程以及点N到x轴的最短距离．【解答】解：（Ⅰ）由题知，点M（x，y）到定点F（0，1）的距离等于它到定直线y＝﹣1的距离，所以点M所在的曲线C是以F（0，1）为焦点，以y＝﹣1为准线的抛物线…（2分）∴曲线C的方程是：x2＝4y…（3分）（Ⅱ）由（1）有曲线C：，∴…（4分）①当时，，曲线C在点P的切线的斜率是，所以直线l的斜率∴…（5分）设Q（x1，y1）联立得方程…（6分）∴，又点O到直线l的距离从而可得…（7分）②由题有曲线C在点P的切线的斜率是，当x0＝0时不符合题意，∴x0≠0，所以直线l的斜率，点，∴＝1（8分）设点Q（x1，y1），点N（x，y），有从而可得，∴∴，②将②代入①消x0得：，∴N（x，y）的轨迹方程为…（10分）∵点N（x，y）到x轴的距离为|y|，由轨迹方程知，当且仅当x4＝8时取等号∴点N到x轴的最短距离为…（12分）21．（12分）椭圆C；+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，坐标系原点O到直线AB的距离为，椭圆的离心率是．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若经过点N（0，t）的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，且＝3，求△AON（点o为坐标系原点）周长的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆C；+＝1（a＞b＞0）焦点在x轴上，∵椭圆的离心率e＝＝＝，整理得：3a2＝4b2，…（1分）又∵坐标系原点O到直线AB的距离为．由三角形OAB的面积公式可知：，…（2分）∴，a＝2，，椭圆C的方程为：；…（4分）（Ⅱ）当直线l斜率不存在时，∵经过点N（0，t）的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，且，．∴，…（5分）当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+t，又设直线l与椭圆C的交点P（x1，y1），Q（x2，y2）．∴，∴△＞0，即4k2﹣t2+3＞0，（*），…（7分）又∵，∴x1＝﹣3x2，代入上式可得，，化简得：16k2t2+3t2﹣12k2﹣9＝0，∴带入（*）得，即又t≠0，∴（3﹣t2）（4t2﹣3）＞0解得；，…（9分）综上所述实数t的取值范围为：，…（10分）又△AON的周长，是偶函数．∴当时，在上单调递增，∴，∴△AON周长的取值范围为[2++，2++）．…（12分）22．（10分）在直角坐标系xoy中，直线l的方程为x﹣y+4＝0．以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcos （θ﹣）+6＝0．（1）求直线l的极坐标方程，曲线C的直角坐标方程；（2）若点P曲线C上任意一点，P点的直角坐标为（x，y），求x+2y的最大值和最小值．【解答】解：（1）直线l的方程为x﹣y+4＝0．把代入可得直线l的极坐标方程：ρcosθ﹣ρsinθ+4＝0．曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6＝0，展开可得：ρ2﹣4ρ（cosθ+sinθ）+6＝0，把及其ρ2＝x2+y2代入可得：x2+y2﹣4x﹣4y+6＝0．（2）x2+y2﹣4x﹣4y+6＝0，配方化为：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝2，圆心C（2，2），半径r＝．设x+2y＝t，则圆心C到直线的距离d ＝≤，解得≤t≤10+．∴x+2y 的最小值和最大值分别为：；10+．第21页（共21页）。

2015-2016学年四川省成都七中高二(下)期中考试数学(理)试题(解析版)

2015-2016学年四川省成都七中高二下期中考试数学（理）试题一、选择题1．椭圆22125x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，则点P 到另一个焦点2F 的距离为（）A ．10B ．8C ．4D ．3 【答案】C【解析】试题分析：10221==+a PF PF ，所以42=PF ,故选C. 【考点】椭圆的定义2．以下各点，在曲线2210x xy y -++=上的点为（） A ．(2,3)- B ．(3,10) C ．(1,0) D ．(2,2) 【答案】B【解析】试题分析：将各点代入只有01102103-32=+⨯+⨯，故选B. 【考点】曲线与方程3．双曲线222x y -=-的离心率为（）A ．2 D ．【答案】A【解析】试题分析：化简为双曲线的标准方程是12222=-x y ，为等轴双曲线，所以离心率2==ace ，故选A. 【考点】双曲线的性质4．焦点为(2,0)的抛物线的标准方程为（）A ．216y x = B ．28y x = C ．24y x = D ．22y x = 【答案】B【解析】试题分析：2=p ，并且焦点在x 轴，所以抛物线的标准方程是x y 82=，故选B.【考点】抛物线方程5．方程22121x y m m +=++表示双曲线，则m 的取值范围是（） A ．(,2)(1,)-∞--+∞B ．(2,)-+∞C ．(,1)-∞-D ．(2,1)-- 【答案】D【解析】试题分析：方程若表示双曲线，则()()012<++m m ，解得12-<<-m ，故选D.【考点】双曲线方程6．抛物线212y x =上与焦点的距离等于9的点的坐标是（）A ．或(6,-B ．或(4,-C ．(3,6)或(3,6)-D ．或(9,- 【答案】A【解析】试题分析：设点的横坐标为0x ，那么93200=+=+x px ，解得60=x ，代入抛物线方程得到726122=⨯=y ，解得26±=y ，故选A. 【考点】抛物线的几何性质 7．短轴长等于8，离心率等于35的椭圆的标准方程为（） A ．22110064x y += B ．22110064x y +=或22164100x y += C ．2212516x y += D ．2212516x y +=或2211625x y += 【答案】D【解析】试题分析：82=b ，4=b ，53=a c ，解得162=b ，252=a ，若焦点在x 轴，那么方程是1162522=+y x ，若焦点在y 轴，那么方程是1251622=+y x ，故选D. 【考点】椭圆的标准方程8．若(2,2)C --，0CA CB ⋅=，且直线CA 交x 轴于A ，直线CB 交y 轴于B ，则线段AB 中点M 的轨迹方程是（）A ．20x y ++=B ．20x y -+=C ．20x y +-=D ．20x y --= 【答案】A【解析】试题分析：设()y x M ,，那么()0,2x A ，()y B 20，，()2,22+=x ，()222+=y ，，而根据条件可得()()0222222=+++y x ，化简为：02=++y x ，故选A.【考点】1.轨迹法；2.向量数量积.9．已知集合{(,)|(,)0}C x y f x y ==，若对于任意11(,)x y C ∈，存在22(,)x y C ∈，使12120x x y y +=成立，则称集合C 是“好集合”. 给出下列4个集合：221{(,)|9}C x y x y =+=，222{(,)|9}C x y x y =-=，223{(,)|29}C x y x y =+=，24{(,)|9}C x y x y =+=，其中为“好集合”的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】试题分析：将问题转化为设()11,y x A ，()22,y x B ，满足条件02121=+y y x x ，即转化为对曲线C 上的任一点A,存在点B,满足OB OA ⊥,则称集合C 是“好集合”，1C 表示圆，满足条件，2C 表示等轴双曲线，渐近线互相垂直，那么对于曲线上的任一点A,都不会存在点B,满足OB OA ⊥，3C 是椭圆，对于椭圆上的任一点A,总存在点B,满足OB OA ⊥，4C 是开口向下的抛物线，同样满足条件，故满足条件的有431,,C C C ,故选C.【考点】1.曲线与方程；2.新定义.【思路点睛】主要考察了曲线与方程，属于基础题型，这类新定义问题，是我们一部分学生的难点，满足条件02121=+y y x x ，即转化为对曲线C 上的任一点A,存在点B,满足OB OA ⊥,则称集合C 是“好集合”，明白题意后，我们只需画出方程的曲线，直接判定即可,所以对于新定义的问题，认真审题是关键.10．若直线10x y +-=与抛物线22y x =交于,A B 两点，则点(1,0)M 到,A B 两点的距离之积为（）A ．．．4 D ．2 【答案】D【解析】试题分析：⎩⎨⎧==-+2201x y y x 联立方程得到：0122=-+x x ，解得11-=x 或212=x ，那么设()21，-A ,⎪⎭⎫⎝⎛21,21B ,根据两点间距离()()()22201122=-+--=MA ,2221021122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=MB ,那么2=MB MA ,故选D.【考点】直线与抛物线相交的基本问题11．经过双曲线221916x y -=右焦点F 的直线l 交双曲线于,A B 两点，点M 是直线95x =上任意一点，直线,,MA MF MB 的斜率分别为123,,k k k ，则（） A ．132k k k += B ．1322k k k += C ．132k k k = D ．2132k k k =【答案】B【解析】试题分析：()05，F ，设直线l 的方程为5+=my x ，代入双曲线方程14491622=-y x ，可得()025*********=++-my y m ，设()11,y x A ，()22,y x B ，则916160221--=+m m y y ，916256221-=m y y ，设⎪⎭⎫ ⎝⎛t M ,59，可得1655592t t k -=-=，()()25256516532516251651659592121221212211221131+++-+⎪⎭⎫⎝⎛-+=+-++-=--+--=+y y m y y m ty y m t y m y m y t y m y t y x t y x t y k k ，代入韦达定理，可得()()()859162525625622569165321605162562222231t m m m m t m m t m k k -=-⨯+⨯--⨯--⨯⎪⎭⎫⎝⎛-+⨯=+，所以2312k k k =+，故选B.【考点】1.直线与双曲线的位置关系；2.韦达定理.【一题多解】本题主要考察了直线与双曲线的位置关系，属于中档题型，当以选择题的形式考察圆锥曲线时，有些侧重性质的考察，计算量会少点，而本题，主要考察了直线与双曲线联立，韦达定理，以及代数式的化简能力，计算量比较大，比如本题的方法，或是选择特殊直线和特殊点，比如，直线选择5=x 或是0=y 与双曲线相交于两点，点M 可以是⎪⎭⎫⎝⎛059，或⎪⎭⎫ ⎝⎛159，，代入可得斜率，即可得到选项，这样在考试时避免了大量的计算，快速选出选项.12．已知椭圆2212x y +=，过右焦点F 作一条与x 轴不垂直的直线交椭圆于,A B 两点，线段AB 的中垂线分别交直线2x =-和AB 于,P C ，则||||PC AB 的取值范围是（）A ．[2,)+∞B ．[1,)+∞C ．1[,5)2 D ．3[,)2+∞ 【答案】A【解析】试题分析：有直线AB 与x 轴不垂直，设直线方程为：()1-=x k y ，()11,y x A ，()22,y x B ，将直线方程代入椭圆方程可得，()()0124212222=-+-+k x k x k ，则2221214k k x x +=+，()22212112k k x x +-=，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+22221,212k k k k C ，()()222122122112241kk x x x x k AB ++=-+⋅+=，若0=k ，则AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意，若0≠k ，那么直线⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--=++222212121k k x k k k y ，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-222152,2k k k P ，()()222221113211k k k k x x k PC P C +++=-⋅+=，42442422231622*********k k k k k k k kk k ABPC +++=+++=++=，由()42431kk k k f ++=，令2k t =， ()()03122>++=t t t t t g ，()()()()22231t t t t t g ++-='，令()0='t g ，可得1=t ，当1>t 时，()0>'t g ，()t g 单调递增，当10<<t 时，()0<'t g ，()t g 单调递减，当1=t 即1±=k 时，()t g 取得极小值，也为最小值2，()2≥k f ，所以22622=+≥ABPC ,故选A.【考点】1.直线与椭圆的位置关系；2.导数与最值.【方法点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系以及利用导数求函数的最值，换元等综合问题的考察，属于压轴题，当以选择题的形式考察圆锥曲线时，有些侧重性质的考察，计算量会少点，而本题计算量则比较大，本题入手同样是设直线，得到弦长公式，以及韦达定理，同时根据交点得到两点间的距离，将ABPC 表示为k 的函数，再通过换元化简，根据导数求函数的最值.二、填空题13．点M 的极坐标5(4,)6π化成直角坐标的结果是 .【答案】(-【解析】试题分析：2365cos 4cos -=⨯==πθρx ，265sin 4sin =⨯==πθρy ，故填：(-.【考点】极坐标与直角坐标的互化14．方程sin cos 1sin 2x y θθθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）所表示曲线的准线方程是 .【答案】14y =-【解析】试题分析：()y x =+=+=θθθ2sin 1cos sin 22，所以曲线方程是y x =2，[]2,2-∈x ，那么准线方程是41-=y .【考点】参数方程与普通方程的互化15．已知圆锥曲线221x ay +=的一个焦点坐标为F ，则该圆锥曲线的离心率为 .【答案】3或5【解析】试题分析：当0>a 且1≠a 时，曲线为椭圆，并且焦点在x 轴，标准方程为：1122=+ay x ，那么aa 41-1=，解得5=a ，那么离心率552=e ，当0<a 时，曲线为焦点在y 轴的双曲线，表示方程为：11--22=ay x ，那么a a 41-1-=，解得3-=a ，那么离心率332=e ，故填：552=e 或332=e . 【考点】1.圆锥曲线方程；2.圆锥曲线的性质.【易错点睛】考察了圆锥曲线的性质，属于基础题型，当出现曲线方程时，会误认为其是椭圆方程，这样就会出现丢解的情况，条件出现焦点坐标F ，表示焦点落在x 轴，方程里的a 可以表示正数，也可以表示负数，引导着我们对a 进行分情况讨论，得到结果.16．已知椭圆22:14x C y +=，过点(0,4)D 的直线l 与椭圆C 交于不同两点,M N （M 在,D N 之间），有以下四个结论：①若DN DM λ= ，则λ的取值范围是513λ<≤；②若A 是椭圆C 的右顶点，且MAN ∠的角平分线是x 轴，则直线l 的斜率为2-；③若以MN 为直径的圆过原点O ，则直线l的斜率为±；④若''2x x y y⎧=⎨=⎩，椭圆C 变成曲线E ，点,M N 变成'',M N ，曲线E 与y 轴交于点,P Q ，则直线'PN 与'QM 的交点必在一条定直线上.其中正确的序号是 . 【答案】①④【解析】试题分析：①根据③0>∆得到4152>k ，又根据条件可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=+=+-=+14160413212221221λλx x k x x k k x x ，代入整理为()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+4115256411525612222k k k λλ，整理为()1564142<+<λλ，解得3553<<λ，又1>λ，所以351<<λ，当斜率不存在时，此时35=λ，故351≤<λ;②根据椭圆关于x 轴对称，若角平分线是x 轴，那么N M ,关于x 轴对称，直线斜率不存在，显然错误；③设直线方程4+=kx y ，与椭圆方程联立，得到()()06032414442222=+++⇔=++kx x k kx x ，2214132k kx x +-=+①，2214160kx x +=②，()()()16444212122121+++=++=x x k x x k kx kx y y ，根据条件，当过原点时，满足02121=+y y x x ，代入根与系数的关系，得到19±=k ，故不正确；④根据点的坐标变换，代入椭圆方程12422=⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'y x ，得到422='+'y x ，设()()2211,,,y x N y x M ，()112,y x M '，()222,y x N '，()2,0P ,()20-，Q ,得到直线22222+-='x x y y l N P ：，222:11-+='x x y y l M Q ，两式变形得到11221122+⨯-=+-y x x y y y ()()122211212112535353x k x k x x kx x x kx x kx x kx ++=++=++=③，由以上根与系数的关系①/②得到k x x 1581121-=+代入③得到5322-=+-y y ，解得21=y ，故交点在一条直线21=y 上，正确.故填：①④. 【考点】1.命题；2.圆锥曲线的综合问题.【易错点睛】主要考察了圆锥曲线的命题问题，属于高档题型，比较好判断中间两个命题，而对于第一个命题考察了直线与圆锥曲线的位置关系问题，设直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理，消参后得到关于λ的不等式，计算量比较大，容易出错在忘了当斜率不存在时的情况，导致错误，所以在有限的时间判断此题时也可考虑两个临界情况，一是相切时，1=λ，因为有两个交点，所以1>λ，二是斜率不存在时，此时35=λ，能取到，这样就比较好选择此问.三、解答题17．甲、乙两人各掷一枚骰子，试解答下列各问：（1）列举所有不同的基本事件；（2）求事件“向上的点数之差为3”的概率；（3）求事件“向上的点数之积为6”的概率. 【答案】(1)详见解析；（2）61；（3）91. 【解析】试题分析：(1)每掷一个骰子有6种不同的数字，两个骰子就有3666=⨯种不同的情况组合，以()y x ,的形式列举所有的情况；（2）求3=-y x 所包含的基本事件的个数，并求其概率；（3）求6=xy 所包含的基本事件的个数，并求其概率. 试题解析：（1）共有36个不同的基本事件，列举如下：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)， (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)， (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)， (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)， (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)，(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).（2）组成事件“向上的点数之差为3”的基本事件有(1,4),(2,5),(3,6). (6,3),(5,2),(4,1)共6种.∴向上的点数之差为3的概率为61 366=.（3）组成事件“向上的点数之积为6”的基本事件有(2,3),(3,2),(1,6),(6,1)共4种.∴向上的点数之积为6的概率为41 369=.【考点】1.列举法求基本事件；2.古典概型.18．已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的实轴长为，一个焦点的坐标为(.（1）求双曲线的方程；（2）若斜率为2的直线l交双曲线C交于,A B两点，且||4AB=，求直线l的方程.【答案】（1）12322=-yx；（2）23y x=+或23y x=-.【解析】试题分析：（1）根据待定系数法求双曲线方程，知道322=a，5=c；（2）设直线方程mxy+=2，与双曲线方程联立，得到韦达定理，根据弦长公式2121xxkAB-+=，求出直线方程.试题解析：（1）由2a=a=c=∴2222b c a=-=，∴双曲线C的方程为22132x y-=.（2）设直线l的方程为2y x m=+，1122(,),(,)A x yB x y，由222132y x mx y=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得2210123(2)0x mx m+++=，∴224(10)0m∆=->，得||m∴弦长||4AB==，解得m=∴直线l的方程为2y x =+或2y x = 【考点】1.双曲线的定义；2.弦长公式.【方法点睛】主要考察了双曲线的基本问题，属于基础题型，尤其对于第二问，根据弦长公式求直线方程时，设直线方程，根据弦长公式2121x x k AB -+=()21221241x x x x k -++=，或是21211y y k AB -+=，这样根据直线方程与圆锥曲线方程联立，可以求参数. 19．已知P 为抛物线26y x =上一点，点P 到直线:34260l x y -+=的距离为1d . （1）求1d 的最小值，并求此时点P 的坐标；（2）若点P 到抛物线的准线的距离为2d ，求12d d +的最小值. 【答案】（1）当8(,4)3P 时，1min () 3.6d =；（2）12min () 6.1d d +=.【解析】试题分析：(1)表示点P 到直线l 的距离，表示为坐标的函数，求函数的最小值，以及点P 的坐标，（2）将点P 到焦点的距离转化为点P 到准线的距离，根据图像分析，21d d +的最小值就是点F 到直线的距离.试题解析：（1）设20(,)6y P y ，则2002101|426|12|(4)36|510y y d y -+==-+，当04y =时，1min() 3.6d =，此时200863y x ==， ∴当8(,4)3P 时，1min () 3.6d =.（2）设抛物线的焦点为F ，则3(,0)2F ，且2||d PF =， ∴121||d d d PF +=+，它的最小值为点F 到直线l 的距离9|26|2 6.15+=.∴12min () 6.1d d +=.【考点】抛物线的几何性质【方法点睛】主要考察了抛物线内的距离的最值，属于基础题型，当涉及直线上的点到抛物线px y 22=距离的最小值问题，法一，设点的坐标，代入点到直线的距离，转化为关于坐标的函数，根据函数特点求最值，法二，设与已知直线平行的直线，当直线与抛物线相切时，这时切点到直线的距离最小，所以可以令直线方程与抛物线方程联立，令0=∆，求出参数，即切线方程，再求切点；若是到py x 22=的距离的最小值，可以写成221x py =，设切点坐标，利用切点处的导数就是在这点处的切线的斜率，求切点坐标，对于第二问的最值问题，可以根据抛物线的几何意义转化，将到抛物线准线的距离转化为到焦点的距离.20．在一个盒子中装有6枚圆珠笔，其中4枚一等品，2枚二等品，从中依次抽取2枚，求下列事件的概率. （1）恰有一枚一等品；（2）有二等品. 【答案】(1)158;(2)53. 【解析】试题分析：法一：先将圆珠笔编号，抽取两枚，用()y x ,表示抽取的编号，（1）恰有一枚一等品，表示一枚一等品，一枚二等品，通过列举法求其基本事件的个数，最后除以总的基本事件的个数，（2）有二等品，表示有一个二等品或有两个二等品，也同样列举事件所表示的基本事件的个数，法二：也可用组合数表示以上事件包含的基本事件的个数.试题解析：解法一：把每枚圆珠笔上号码，一等品分别记作,,,A B C D ，二等品分别记作,E F .依次不放回从盒子中取出2枚圆珠笔，得到的两个标记分别为x 和y ，则(,)x y 表示一次抽取的结果，即基本事件. 由于是随机抽取，所以抽取到任何事件的概率相等. 用M 表示“抽到的2枚圆珠笔中有二等品”， 1M 表示“仅第一次抽取的是二等品”， 2M 表示“仅第二次抽取的是二等品”， 3M 表示“两次抽取的都是二等品”. 1M 和2M 中的基本事件个数都为8，3M 中的基本事件为2，全部基本事件的总数为30. （1）由于1M 和2M 是互斥事件，记12N M M = ， ∴恰有一枚一等品的概率12888()()()303015P N P A P A =+=+=. （2）由于1M ，2M 和3M 是互斥事件，且123M M M M = ， ∴1238823()()()()3030305P M P M P M P M =++=++=. 解法二：（1）恰有一枚一等品的概率1142126815C C P C ==. （2）有二等品的概率11242222635C C C P C +==，或24226231155C P C =-=-=. 【考点】古典概型21．已知抛物线C 的顶点在坐标原点O ，其图像关于y 轴对称且经过点(2,1)M . （1）求抛物线C 的方程；（2）若一个等边三角形的一个顶点位于坐标原点，另两个顶点在抛物线上，求该等边三角形的面积；（3）过点M 作抛物线C 的两条弦,MA MB ，设,M AM B所在直线的斜率分别为12,k k ，当122k k =-时，试证明直线AB 恒过定点，并求出该定点坐标.【答案】(1)y x 42=；（2）348=S ；（2）定点()9,2-，证明详见解析.【解析】试题分析：(1)根据对称轴和点的位置，设抛物线方程为)0(22>=p py x ，代入点M 的坐标，得到抛物线方程；（2）设(,),(,)p p Q Q P x y Q x y ，根据OQ OP =,可得到P 与Q 关于x 轴对称，这样得到点的横坐标和纵坐标的关系，代入抛物线方程后，得到点的坐标，并计算面积；（3）设1122(,),(,)A x y B x y ，用坐标表示221-=k k ，并得到12122()36x x x x =-+-和AB k ,根据以上两点，化简直线AB 方程，得到定点坐标.试题解析：（1）设抛物线C 的方程为22(0)x py p =>，由点(2,1)M 在抛物线C 上，得42p =，则2p =. ∴抛物线C 的方程为24x y =.（2）设该等边三角形OPQ 的顶点,P Q 在抛物线上，且(,),(,)p p Q Q P x y Q x y ，则24p p x y =，24Q Q x y =，由||||OP OQ =，得2222p p Q Q x y x y +=+，即()(4)0p Q p Q y y y y -++=. 又0,0p Q y y >>，则p Q y y =，||||p Q x x =，即线段PQ 关于y 轴对称. ∴030poy ∠=，p p y =，代入24p p x y =，得p x =∴该等边三角形边长为POQ S ∆=（3）设1122(,),(,)A x y B x y ，则2114x y =，2224x y =，∴22121212121212111111144(2)(2)2222216x x y y k k x x x x x x ----=⋅=⋅=++=-----. ∴12122()36x x x x =-+-①又22212112212111144()4ABx xy y k x x x x x x --===+--， ∴直线AB 方程为：1211()4x x y y x x +-=-，代入①，化简得：129(2)4x x y x +-=+，所以直线AB 恒过定点(2,9)-.【考点】1.抛物线方程；2.直线与抛物线的位置关系. 22．已知椭圆C的一个焦点为，且经过点1(2P . （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知(1,0)A ，直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，且AM AN ⊥；（ⅰ）若||||AM AN =，求直线l 的方程；（ⅱ）求MAN ∆面积的最大值.【答案】（1）1422=+x y ；（2）0y +=0y -=，或35x =-.；（ⅱ）2564.【解析】试题分析：（1）根据焦点的位置设出椭圆方程，并且222c b a +=，然后代入点的坐标，解出2a 和2b ；（2）（ⅰ）当直线l 垂直于x 轴时，与椭圆交于两点N M ,；根据等腰直角三角形的斜边的中线是斜边的一半，得到直线方程，当直线l 不垂直于x 轴时，再就是设直线与椭圆方程联立，得到韦达定理，根据⊥,0=⋅,和斜率的中线于斜边垂直，解得直线方程；（ⅱ）由上一问可得直线是过定点⎪⎭⎫⎝⎛053-，的直线，所以设直线方程53-=my x ，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，将面积表示为215821y y S -⨯⨯=，代入韦达定理，可得关于m 的函数，通过换元，令41412≥+=m t ，化简函数后求函数的最大值.试题解析：（1）设椭圆C 为：22221(0)y x a b a b+=>>，∵椭圆C过点1(2P，且一个焦点为，∴222233114a b a b ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩. ∴椭圆C 的标准方程为2214y x +=. （2）（Ⅰ）当l x ⊥轴时，设:l x m =，代入椭圆得y =±，∵||2(1)MN m ==-，解得1m =（舍去）或35m =-， ∴直线l 方程为35x =-.当l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y kx m =+.由2214y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(4)240k x kmx m +++-=.222244(4)(4)0k m k m ∆=-+->，得224k m +>.设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 的中点为00(,)Q x y .则12224km x x k +=-+，212244m x x k-=+，所以024km x k =-+，00244my kx m k =+=+，由||||AM AN =，得AQ MN ⊥，则1AQ k k ⋅=-，化简得234km k =+（）.由AM AN ⊥，得1212(1)(1)0AM AN x x y y ⋅=--+=，∴1212(1)(1)()()0x x kx m kx m --+++=，化简得221212(1)(1)()10k x x km x x m ++-+++=.∴22222(1)(4)2(1)1044k m km km m k k+---++=++，化简得225230m km k +-=，解得m k =-或35m k =. 当m k =-时，（）式不成立. 当35m k =时，代入（）式，得25k =，k =∴直线l的方程为y =+或y =- 综上所述，直线l0y +=0y -=，或35x =-. （Ⅱ）当直线l 与x 轴不垂直时，由（Ⅰ）知，AM AN ⊥时，m k =-或35m k =.当m k =-时，直线l 为(1)y k x =-过点(1,0)A ，矛盾，故舍去.当35m k =时，直线l 为3()5y k x =+，当l x ⊥轴时，直线l 的方程为35x =-，∴直线l 过定点3(,0)5Q -.设直线l 方程为35x my =-，代入椭圆22:14y C x +=，化简得：221616()04525m y my +--=，则1226514my y m +=+，122162514y y m =+，∴1218||25MANS y y ∆=⨯⨯-=令214t m =+，则14t ≥，且214m t =-，∴1)4MAN S t ∆==≥，∴当14t =，即0m =，直线l 的方程为35x =-时，max 64()25MAN S ∆=. 所以MAN S ∆的最大值为6425.【考点】1.椭圆方程；2.直线与椭圆的位置关系.。

四川省成都市2015-2016学年高一“五校”联考数学(理)试题

成都市五校联考高2015级第二学期期中试题理科数学一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项）1.sin15cos15的值是（）A ．12 B ．2 C ．14D ．42.已知向量||5,(2,1)a b ==且(0)a b λλ=>，则a 的坐标是（）A ．B ．C ． (- D.(- 3.在等差数列{}n a 中，若2810a a +=，则13579a a a a a ++++的值是（） A. 10 B.15 C.20 D.254.三角形的一边长为13，这条边所对应的角为60，另外两边之比为4:3，则这个三角形的面积为（）A ．B ．C ．39D ．78 5.已知722(,),(2,2)22a b =-=则a 在b 方向上的投影是（） A ．3- B ．3 C ．65- D ．656．化简：13sin10cos10-的结果是（）A ．1BC ．2D ．47．在ABC ∆中，角A ，B ，C 对应的边分别为,,a b c ，若cos cos b a B a C c -=-，则ABC ∆的形状是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形8．在等比数列{}n a 中，31815243a a a =，则3911a a 等于（）A ．3B ．9C ．27D ．819.在平行四边形ABCD 中，AP BD ⊥于P ，3AP =，则AP AC 的值为（） A ．3 B ．6 C ．9 D ．18 10．下列给出了四个结论，其中正确结论的个数是（）①常数数列一定是等比数列；②在ABC ∆中，若0AB BC >，则ABC ∆是锐角三角形； ③若向量,a b 满足||||a b a b +=-，则a b ⊥；④若2()sin sin cos f x x x x =+，则函数()f x 的图像关于直线8x π=-对称．A ．1B ．2C ．3D ．4 11．已知向量33(cos,sin ),(cos ,sin )2222x x x x a b ==-，且[,]64x ππ∈-，记3()||2f x a b a b =+-，则()f x 的最小值为（） A ． 2 B ．178C331- D12．如右所示的正数数阵中，第一横行是公差为d 的等差数列，奇数列均是公比为1q 等比数列，偶数列均是公比为2q 等比数列，已知1,11a =，1,47a =，4,118a =，2,41,12,22()a a a =+则下列结论中不正确的是（）A ．122,5d q q a ++=B ．2,12,32,52,214412a a a a ++++=C ．111,23,25,221,241a a a a ++++=-1,11,21,31,2,12,22,32,3,13,23,33,,1,2,3,n n n nn n nna a a a a a a a a a a a a a a aD ．1,1(21)2,(21)2ii j i j j a j --⎧-⎪=⎨-⎪⎩为正奇数，j 为正偶数二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共20分）13．已知向量a =（3，4），b =（9，12），c =（4，﹣3），若向量2,m a b n a c =-=+，则向量m 与n 的夹角为．14．数列{}n a 的通项公式为(1)(32),*nn a n n N =--∈，n S 是数列{}n a 的前n 项和，那么，2035S S +的值是． 15．已知(,0),(,)42ππαβπ∈-∈，45cos(),cos()5413παββ+=--=，则5cos()4πα+=． 16．已知ABC ∆1，1sin 6ABC S C ∆=，且sin sin A B C +=，则角C 等于．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17（本题满分10分）已知向量(2,1),(3,2),(3,4)a b c =-=-=（1）求()a b c +；（2）若()//a b c λ+，求实数λ的值．18（本题满分12分）已知等差数列{a n }的前三项为a －1,4,2a ，记前n 项和为S n . (1)若S k ＝30，求a 和k 的值；(2)设b n ＝Snn ，求b 3＋b 7＋b 11＋…＋b 4n －1的值.19（本题满分12分）已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期和最小值； (2)已知63(),054f παα=<<，求(2)f α的值． 20（本题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 满足1122n n S a =-. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设3()log f x x =，()n n n b a f a =，求{}n b 的前n 项和n S .21（本题满分12分）已知向量2(3sin,1),(cos ,cos )444x x xm n ==，若()f x m n = (1)求()f x 递增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数()f A 的取值范围．22（本题满分12分）已知数列{},{}n n a b 满足：11,(1)(1)nn n n n n b a b b a a ++==-+，且11,a b 是函数2()16163f x x x =-+的零点11()a b <．（1）求112,,a b b ；（2）设11n n c b =-，求证：数列{}n c 是等差数列，并求n b 的通项公式；（3）设1223341n n n S a a a a a a a a +=++++，不等式4n n aS b <恒成立时，求实数a 的取值范围．成都市五校联考高2015级第二学期期中试题理科数学(参考答案)一、选择题1．C ；2．B ；3．D ；4．A ；5．A ；6．D ；7．C ；8．B ；9．D ；10．A ；11．C ；12．B ．二、填空题13． 135°； 14．1665-； 15．-22； 16．60．三、解答题17解：（1）(3,2)(3,4)(6,2)b c +=-+=…………………………………2分()(2,1)(6,2)261210a b c ∴+=-=⨯-⨯=．…………………………5分（2）()(23,12)a b λλλ+=+--，………………………………………7分 ∵()//a b c λ+，∴4（2+3λ）﹣3（﹣1﹣2λ）=0，解得1118λ=-．…………………………10分 18解 (1)由已知得a 1＝a －1，a 2＝4，a 3＝2a ，又a 1＋a 3＝2a 2，∴(a －1)＋2a ＝8，即a ＝3.……………………………………2分 ∴a 1＝2，公差d ＝a 2－a 1＝2. …………………………………………………3分由S k ＝ka 1＋kk －12d ，得2k ＋kk －12×2＝30，即k 2＋k －30＝0，解得k ＝5或k ＝－6(舍去). …………………………5分 ∴a ＝3，k ＝5. ………………………………………………………………6分(2)由S n ＝na 1＋nn －12d ，得S n ＝2n ＋n n －12×2＝n 2＋n . ……………………8分∴b n ＝Snn＝n ＋1. ∴{b n }是等差数列.………………………………………………9分41(41)14n b n n -∴=-+=……………………………………………………10分则b 3＋b 7＋b 11＋…＋b 4n －1＝4+8+12+…+4n ＝4＋4n n2. ………………………11分 ∴237114122n b b b b n n =++++=+………………………………………………12分19解 (1) ∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4－2π＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－π2…………………2分＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，………………………………4分∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.…………………………………………6分（2）由及（1）知3sin()45πα-=…………………………7分由304πα<<，知442πππα-<-<，3cos()45πα∴-=…………8分(2)2sin(2)2sin[2()]444f πππααα∴=-=-+……………………9分2[sin 2()cos 2()]44ππαα=-+-………………………………10分 22[2sin()cos()2cos ()1]444πππααα=--+-- 34163122(221)552525=⨯⨯+⨯-=………………………………12分20解 (1)当n ＝1时，a 1＝13，…………………………………………………………1分当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，又S n ＝12－12a n ，从而有11111()()2222n n n a a a -=---即：113n an a -=．……………………………………………………………………3分所以数列{a n }是首项为13，公比为13的等比数列，……………………………………4分故13n na =. …………………………………………………………………………6分 (2)由题意得1()3nbn n =-，…………………………………………………………7分故12n n S b b b =+++＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，则13S n ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋…＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1，……………………………………9分两式相减可得23S n ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1…………10分＝－12＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1，…………………………………………………………11分则133131()()44323n n n S n +=-++·……………………………………12分 21．解 (1)m n ＝3sin x 4·cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x2＋1＋cosx22＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋π6＋12，1()sin 262x f x π⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭……………………………………3分由222262x k k πππππ-≤+≤+k Z ∈得： 4244,33k x k k Z ππππ-≤≤+∈…………………………5分 ∴()f x 的递增区间是42[4,4]()33k k k Z ππππ-+∈．……6分 (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，………………7分 ∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C .∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )． ……………………………………8分 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ≠0. ∴cos B ＝12，……9分∵0＜B ＜π，∴B ＝π3，∴0＜A ＜2π3.∴π6＜A 2＋π6＜π2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A 2＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1. …………………………10分又∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋π6＋12，∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A 2＋π6＋12.故函数()f A 的取值范围是31,2⎛⎫⎪⎝⎭. ………………………………12分 22解：由2161630x x -+=解得：1213,44x x ==1113,44a b ∴==…………………………………………………………1分由11,(1)(1)n n n n n n b a b b a a ++==-+得11(2)2n n n n n b b b b b +==--…………2分将134b =代入得245b =……………………………………………………3分(2)因为11112n n b b +-=--，所以12111111n n n n b b b b +-==----………………4分即11n n c c +=- 又111143114c b ===--- 故：数列{}n c 是以-4为首项，-1为公差的等差数列． ………………5分于是4(1)(1)3n c n n =-+-⨯-=--……………………………………6分由11n n c b =-得1121133n n n b c n n +=+=-=++……………………………7分（3）由题意及（2）知：113n n a b n =-=+……………………………………8分 12233411114556(3)(4)11111111()()()()4556673411444(4)n n n S a a a a a a a a n n n n n n n +∴=++++=+++⨯⨯++=-+-+-++-++=-=++………………………9分由22(1)(36)84043(3)(4)n n an n a n a n aS b n n n n +-+---=-=<++++恒成立即2(1)(36)80a n a n -+--<恒成立即可，…………………………………10分设2()(1)(36)8f n a n a n =-+-- ①当1a =时，()380f n n =--<恒成立②当1a >时，由二次函数的性质2()(1)(36)80f n a n a n =-+--<不可能恒成立 ③当1a <时，由于3631(1)02(1)21a a a --=--<--所以2()(1)(36)8f n a n a n =-+--在[)1,+∞上单调递减由2(1)(1)(36)84150f a n a n a =-+--=-<得154a <1a ∴<，4n n aS b <恒成立综上所述：所求a 的取值范围是(,1]-∞．……………………………………12分。

四川省成都名校2015-2016学年高2017届(高二)下期期中考试理科数学试题(含答案)

2015--2016年学年度高二下期期中考试数学试题（理科）时间：120分钟满分：150分1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。

）1．命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是（） A ．若12≥x ，则1≥x 或1-≤x B ．若11<<-x ，则12<x C ．若1>x 或1-<x ，则12>x D ．若1≥x 或1-≤x ，则12≥x2. 在△ABC 中，已知a ＝32，b ＝2，△ABC 的面积S ＝3，则c 等于( ) A ． 2 B ． 72 C ． 2或72 D ． 2或73. 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |为( )A ．11B ．12C ．13D ．144．已知向量(1,2)a =- ，(2,3)b =，m a b λ=+ ，n a b =- ，若与n 垂直，则实数λ的值是( )A ．6B ．7C ．8D ．95．m ⋅n>0 ，是方程 221x y m n +=表示椭圆的（）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 6.设函数f (x )可导，则()()xf x f X ∆-∆+→∆311lim等于( )．A ． f ′(1)B ． 3f ′(1)C ．31f ′(1) D ． f ′(3) 7. 曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（）A. (1,0)B. (2,8)C. (1,0)和(1,4)--D. (2,8)和(1,4)--8.若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝x 2＋3x ＋1，则f (x )等于( )A ． x 2B ． 2x 2C ． 2x 2＋2D ． x 2＋19. 要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm ，要使体积最大，则其高应为( )A ．cm B ．cm C ． 5cm D ．cm：的右焦点为，若＝3，则11．如右图是函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象，则2212x x +等于（）A ．23B ．43C ．83D ．123 12．已知点P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 右支上一点，21,F F 分别为双曲线的左右焦点，且a b F F 221||=，I 为三角形21F PF 的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ∆∆∆=+成立，则λ的值为（）A ．2221+B ．132-C ．12-D ．12+第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4个小题,每小题4分,共16分） 13．已知命题p :函数)32ln()(2++-=x x x f 的定义域为)3,1(-;命题：q 函数)32ln()(2++-=x x x f 的单调递减区间为),1[+∞.那么命题p 的真假为_______，q p ∧的真假为________(填“真”或“假”)． 14．利用计算机产生0～2之间的均匀随机数x ，则事件“3x ﹣2≥0”发生的概率为．15．已知双曲线的右焦点为F ，双曲线C 与过原点的直线相交于A 、B 两点，连接AF ，BF ．若||6AF =，||8BF =，．16.已知函数x xe x f =)(，记)()(0x f x f '=，10()()f x f x '=，…，)()(1x f x f n n -'=，n N∈且210x x >>，对于下列命题：①函数()n f x 存在平行于x 轴的切线；②1212()()0n n f x f x x x ->-； ③2015()2017x x f x xe e '=+； ④1221()()f x x f x x +>+．其中正确的命题序号是____________(写出所有满足题目条件的序号）.三、解答题(本大题共6个小题,其中17、18、19、20、21题每题12分，22题14分，共74分。

2015-2016年四川省成都市彭州市五校联考高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2015-2016学年四川省成都市彭州市五校联考高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣3x＜0}，B＝{x||x|＜2}，则A∩B＝（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|﹣2＜x＜0}C．{x|0＜x＜2}D．{x|﹣2＜x＜3} 2．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝log2x，则f （﹣2）的值等于（）A．1B．﹣1C．2D．﹣23．（5分）要得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，应该把函数y＝sin2x的图象（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移4．（5分）已知向量，若．则＝（）A．B．C．2D．45．（5分）设a＝0.5，b＝0.9，c＝log50.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞a＞c 6．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a5a6＝9，则log3a1+log3a2+…+log3a10＝（）A．12B．2+log35C．8D．107．（5分）三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB 的长为（）A．2B．4C．D．168．（5分）如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（）A．i≤2014？B．i≤2016？C．i≤2018？D．i≤2020？9．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+c2﹣bc，bc＝4，则△ABC的面积为（）A．B．1C．D．210．（5分）若函数f（x）＝ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）＝log a（x+k）的图象是（）A．B．C．D．11．（5分）已知l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l∥α，m∥α，则l∥m B．若l⊥m，m∥α，则l⊥αC．若l⊥α，m⊥α，则l∥m D．若l⊥m，l⊥α，则m∥α12．（5分）已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x+2）＝2f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）＝﹣|x|+1，则当x∈[﹣10，10]时，y＝f（x）与g（x）＝log4|x|的图象的交点个数为（）A．13B．12C．11D．10二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）某大学中文系共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的学生比为5：4：3：1，要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，则应抽二年级的学生．14．（5分）已知正数x、y，满足+＝1，则x+2y的最小值．15．（5分）若x，y满足约束条件，则的最大值为．16．（5分）已知函数，，给出下列结论：①函数f（x）的值域为；②函数g（x）在[0，1]上是增函数；③对任意a＞0，方程f（x）＝g（x）在[0，1]内恒有解；④若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）＝g（x2）成立，则实数a的取值范围是．其中所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（10分）已知向量．令f（x）＝，（1）求f（x）的最小正周期；（2）当时，求f（x）的最小值以及取得最小值时x的值．18．（12分）等差数列{a n}中，a1＝﹣1，公差d≠0且a2，a3，a6成等比数列，前n项的和为S n．（1）求a n及S n；（2）设b n＝，T n＝b1+b2+…+b n，求T n．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明P A∥平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C﹣PB﹣D的大小．20．（12分）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[70，80）的概率．21．（12分）某产品生产厂家生产一种产品，每生产这种产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为42万元，且每生产1百台的生产成本为15万元（总成本＝固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述规律，完成下列问题：（1）写出利润函数y＝f（x）的解析式（利润＝销售收入﹣总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x的范围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最大？22．（12分）已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心C在直线y＝x上，又直线l：y＝kx+1与圆C相交于P、Q两点．（1）求圆C的方程；（2）若•＝﹣2，求实数k的值；（3）过点（0，4）作动直线m交圆C于E，F两点．试问：在以EF为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P，使得圆P经过点M（2，0）？若存在，求出圆P的方程；若不存在，请说明理由．2015-2016学年四川省成都市彭州市五校联考高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣3x＜0}，B＝{x||x|＜2}，则A∩B＝（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|﹣2＜x＜0}C．{x|0＜x＜2}D．{x|﹣2＜x＜3}【解答】解：由题意可知A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|﹣2＜x＜2}，∴A∩B＝{x|0＜x＜2}．故选：C．2．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝log2x，则f （﹣2）的值等于（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣2）＝﹣f（2），又∵当x＞0时，f（x）＝log2x，∴f（2）＝log22＝1，∴f（﹣2）＝﹣1．故选：B．3．（5分）要得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，应该把函数y＝sin2x的图象（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移【解答】解：要得到函数y＝sin（2x﹣）＝sin[2（x﹣）]的图象，需要将函数y＝sin2x的图象，向右平移单位即可．故选：D．4．（5分）已知向量，若．则＝（）A．B．C．2D．4【解答】解：∵向量，若，∴（2﹣）•＝2﹣＝2（﹣1+x2）﹣（1+x2）＝﹣3+x2＝0，∴x＝±，则＝＝2，故选：C．5．（5分）设a＝0.5，b＝0.9，c＝log50.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞a＞c【解答】解：∵0＜＜0.50＝1，c＝log50.3＜log51＝0，而由幂函数y＝可知，∴b＞a＞c．故选：D．6．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a5a6＝9，则log3a1+log3a2+…+log3a10＝（）A．12B．2+log35C．8D．10【解答】解：根据等比数列的性质：a1a10＝a2a9＝…＝a5a6＝9，∴log3a1+log3a2+…+log3a10＝log3（a1a2•…•a10）＝＝＝10，故选：D．7．（5分）三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB 的长为（）A．2B．4C．D．16【解答】解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△ABC中AC＝4，AC边上的高为2，在Rt△SBC中，由SC＝4，可得SB＝4，故选：B．8．（5分）如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（）A．i≤2014？B．i≤2016？C．i≤2018？D．i≤2020？【解答】解：根据流程图，可知第1次循环：i＝2，S＝；第2次循环：i＝4，S＝；…第1008次循环：i＝2016，S＝；此时，设置条件退出循环，输出S的值．故判断框内可填入i≤2016．故选：B．9．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+c2﹣bc，bc＝4，则△ABC的面积为（）A．B．1C．D．2【解答】解：∵a2＝b2+c2﹣bc，∴由余弦定理可得：cos A＝＝＝，又0＜A＜π，∴可得A＝60°，sin A＝，∴S＝bc sin A＝＝．△ABC故选：C．10．（5分）若函数f（x）＝ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）＝log a（x+k）的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）＝ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数则f（﹣x）+f（x）＝0即（k﹣1）（a x﹣a﹣x）＝0则k＝1又∵函数f（x）＝ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函数则a＞1则g（x）＝log a（x+k）＝log a（x+1）函数图象必过原点，且为增函数故选：C．11．（5分）已知l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l∥α，m∥α，则l∥m B．若l⊥m，m∥α，则l⊥αC．若l⊥α，m⊥α，则l∥m D．若l⊥m，l⊥α，则m∥α【解答】解：对于A，若l∥α，m∥α，则l与m的位置关系可能为平行、相交或者异面；故A错误；对于B，若l⊥m，m∥α，则l与α平行或者相交；故B错误；对于C，若l⊥α，m⊥α，利用线面创造的性质可得l∥m；故C正确；对于D，若l⊥m，l⊥α，则m∥α或者m⊂α；故D错误；故选：C．12．（5分）已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x+2）＝2f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）＝﹣|x|+1，则当x∈[﹣10，10]时，y＝f（x）与g（x）＝log4|x|的图象的交点个数为（）A．13B．12C．11D．10【解答】解：由题意，函数f（x）满足：定义域为R，且f（x+2）＝2f（x），当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝﹣|x|+1；在同一坐标系中画出满足条件的函数f（x）与函数y＝log4|x|的图象，如图：由图象知，两个函数的图象在区间[﹣10，10]内共有11个交点；故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）某大学中文系共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的学生比为5：4：3：1，要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，则应抽二年级的学生80．【解答】解：由题意知，要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，则应抽二年级的学生人数为：＝80（人）．故答案为：80．14．（5分）已知正数x、y，满足+＝1，则x+2y的最小值18．【解答】解：∵正数x、y，满足+＝1，∴x+2y＝＝10+＝18．当且仅当x＞0，y ＞0，，，解得x＝12，y＝3．∴x+2y的最小值是18．故答案为18．15．（5分）若x，y满足约束条件，则的最大值为．【解答】解：画出可行域，目标函数表示可行域内的点（x，y）与点D（﹣2，0）连线的斜率，当其经过点A（1，2）时，取到最大值为．故答案为：．16．（5分）已知函数，，给出下列结论：①函数f（x）的值域为；②函数g（x）在[0，1]上是增函数；③对任意a＞0，方程f（x）＝g（x）在[0，1]内恒有解；④若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）＝g（x2）成立，则实数a的取值范围是．其中所有正确结论的序号是①②④．【解答】解：①当时，f（x）＝单调递增，∴，即．当x∈时，由函数f（x）＝单调递减，∴，即．∴函数f（x）的值域为．因此①正确．②g（x）＝﹣a﹣2a+2，∵x∈[0，1]，∴，因此在[0，1]上单调递减，又a＞0，∴g（x）在[0，1]上单调递增，因此正确．③由②可知：g（0）≤g（x）≤g（1），∴．若任意a＞0，方程f（x）＝g（x）在[0，1]内恒有解，则必须满足f（x）的值域⊆{g（x）|x∈[0，1]}．∴﹣3a+2≤0，，解得，因此③不正确；④存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）＝g（x2）成立，则由③可知：，g（x）min＝g（0）＝﹣3a+2，∴﹣3a+2≤，，解得，∴实数a的取值范围是．正确．综上可知：只有①②④正确．故答案为：①②④．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（10分）已知向量．令f（x）＝，（1）求f（x）的最小正周期；（2）当时，求f（x）的最小值以及取得最小值时x的值．【解答】解：（1）f（x）＝＝（cos x+sin x）（cos x﹣sin x）+2sin x•cos x＝cos2x﹣sin2x+2sin x cos x＝cos2x+sin2x＝，由最小正周期公式得：．（2），则，令，则，从而f（x）在单调递减，在单调递增．即当时，函数f（x）取得最小值．18．（12分）等差数列{a n}中，a1＝﹣1，公差d≠0且a2，a3，a6成等比数列，前n项的和为S n．（1）求a n及S n；（2）设b n＝，T n＝b1+b2+…+b n，求T n．【解答】解：（1）由题意可得，又∵a1＝﹣1，∴（﹣1+d）•（﹣1+5d）＝（﹣1+2d）2，解得：d＝2．∴a n＝﹣1+2（n﹣1）＝2n﹣3．；（2），∴＝．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明P A∥平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C﹣PB﹣D的大小．【解答】解：方法一：（1）证明：连接AC，AC交BD于O，连接EO．∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点在△P AC中，EO是中位线，∴P A∥EO而EO⊂平面EDB且P A⊄平面EDB，所以，P A∥平面EDB（2）证明：∵PD⊥底面ABCD且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥DC∵PD＝DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC．①同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE．②由①和②推得DE⊥平面PBC．而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB又EF⊥PB且DE∩EF＝E，所以PB⊥平面EFD．（3）解：由（2）知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角．由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB．设正方形ABCD的边长为a，则，．在Rt△PDB中，．在Rt△EFD中，，∴．所以，二面角C﹣PB﹣D的大小为．方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC＝a．（1）证明：连接AC，AC交BD于G，连接EG．依题意得．∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为且．∴，这表明P A∥EG．而EG⊂平面EDB且P A⊄平面EDB，∴P A∥平面EDB．（2）证明；依题意得B（a，a，0），．又，故．∴PB⊥DE．由已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，所以PB⊥平面EFD．（3）解：设点F的坐标为（x0，y0，z0），，则（x0，y0，z0﹣a）＝λ（a，a，﹣a）．从而x0＝λa，y0＝λa，z0＝（1﹣λ）a．所以．由条件EF⊥PB知，，即，解得∴点F的坐标为，且，∴即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角．∵，且，，∴．∴．所以，二面角C﹣PB﹣D的大小为．20．（12分）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[70，80）的概率．【解答】解：（Ⅰ）分数在[70，80）内的频率1﹣（0.005+0.01+0.015+0.015+0.025+0.005）×10＝0.3，故成绩落在[70，80）上的频率是0.3，频率分布直方图如下图．（Ⅱ）由题意，[60，70）分数段的人数为0.15×60＝9人，[70，80）分数段的人数为0.3×60＝18人；∵分层抽样在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为6的样本，∴[60，70）分数段抽取2人，分别记为m，n；，[70，80）分数段抽取4人，分别记为a，b，c，d；设从中任取2人，求至多有1人在分数段[70，80）为事件A，则基本事件空间包含的基本事件有：（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），…（c，d）共15种，则基本事件A包含的基本事件有：（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d0共9种，∴P（A）＝21．（12分）某产品生产厂家生产一种产品，每生产这种产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为42万元，且每生产1百台的生产成本为15万元（总成本＝固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述规律，完成下列问题：（1）写出利润函数y＝f（x）的解析式（利润＝销售收入﹣总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x的范围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最大？【解答】解：（1）由题意得G（x）＝42+15x．∴f（x）＝R（x）﹣G（x）＝．（2）①当0≤x≤5时，由﹣6x2+48x﹣42＞0得：x2﹣8x+7＜0，解得1＜x＜7．所以：1＜x≤5．②当x＞5时，由123﹣15x＞0解得x＜8.2．所以：5＜x＜8.2．综上得当1＜x＜8.2时有y＞0．所以当产量大于100台，小于820台时，能使工厂有盈利．（3）当x＞5时，∵函数f（x）递减，∴f（x）＜f（5）＝48（万元）．当0≤x≤5时，函数f（x）＝﹣6（x﹣4）2+54，当x＝4时，f（x）有最大值为54（万元）．所以，当工厂生产400台时，可使赢利最大为54万元．22．（12分）已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心C在直线y＝x上，又直线l：y＝kx+1与圆C相交于P、Q两点．（1）求圆C的方程；（2）若•＝﹣2，求实数k的值；（3）过点（0，4）作动直线m交圆C于E，F两点．试问：在以EF为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P，使得圆P经过点M（2，0）？若存在，求出圆P的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设圆心C（a，a），半径为r．因为圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），所以|AC|＝|BC|＝r，即，解得a＝0，r＝2，所以圆C的方程是x2+y2＝4．…（3分）（2）因为•＝2×2×cos＜，＞＝﹣2，且与的夹角为∠POQ，所以cos∠POQ＝﹣，∠POQ＝120°，所以圆心C到直线l：kx﹣y+1＝0的距离d＝1，又d＝，所以k＝0．…（7分）（3）（ⅰ）当直线m的斜率不存在时，直线m经过圆C的圆心C，此时直线m与圆C的交点为E（0，2），F（0，﹣2），EF即为圆C的直径，而点M（2，0）在圆C上，即圆C也是满足题意的圆．…（8分）（ⅱ）当直线m的斜率存在时，设直线m：y＝kx+4，由，消去y整理，得（1+k2）x2+8kx+12＝0，由△＝64k2﹣48（1+k2）＞0，得或．设E（x1，y1），F（x2，y2），则有①…（9分）由①得，②，③若存在以EF为直径的圆P经过点M（2，0），则ME⊥MF，所以，因此（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2＝0，即x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2＝0，…（10分）则，所以16k+32＝0，k＝﹣2，满足题意．…（12分）此时以EF为直径的圆的方程为x2+y2﹣（x1+x2）x﹣（y1+y2）y+x1x2+y1y2＝0，即，亦即5x2+5y2﹣16x﹣8y+12＝0．…（13分）综上，在以EF为直径的所有圆中，存在圆P：5x2+5y2﹣16x﹣8y+12＝0或x2+y2＝4，使得圆P经过点M（2，0）．…（14分）。

四川成都市数学高二下期中(答案解析)

一、选择题1．(0分)[ID ：13574]如图，在ΔABC 中，AN ⃑⃑⃑⃑⃑ =12AC ⃑⃑⃑⃑ ，P 是BN 的中点，若AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AC⃑⃑⃑⃑ ，则实数m 的值是（）A ．14B ．1C ．12D ．322．(0分)[ID ：13558]已知tan 3α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()sin2cos απα+-的值为( )A ．61010- B ．61010+ C ．51010- D ．51010+ 3．(0分)[ID ：13556]已知2sin()34πα+=，则sin 2α=（）A ．12B ．32C ．12-D ．32-4．(0分)[ID ：13621]已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（）． A ．79-B ．29-C ．29D ．795．(0分)[ID ：13620]已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB 在CD 方向上的投影为（） A ．322B ．3152C ．322-D ．3152-6．(0分)[ID ：13612]函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（）A ．B ．C ．D ．7．(0分)[ID ：13610]设ω>0,函数y=sin(ωx+3π)+2的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是A ．23B ．43C ．32D ．38．(0分)[ID ：13572]将函数()()sin 222f x x ππθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象向右平移()1ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()(),f x g x 的图象都经过点0P ⎛ ⎝⎭，则ϕ的值可以是（） A ．53πB ．56π C ．2π D ．6π 9．(0分)[ID ：13565]已知函数()()sin 0,0,f A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x .若4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）AB ．C ．-2D ．210．(0分)[ID ：13562]函数()()2sin 3f x x ϕ=+的图象向右平移动12π个单位，得到的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为（） A ．12πB ．4π C ．3π D ．512π 11．(0分)[ID ：13543]已知tan 2α=，则sin 3cos 2sin cos αααα-=+（）A ．54B ．15 C ．54-D ．15-12．(0分)[ID ：13539]设,a b 是两个非零向量，则下列命题为真命题的是 A ．若a b a b a b +=-⊥，则 B ．若,a b a b a b ⊥+=-则C ．若a b a b +=-，则存在实数λ，使得a b λ=D ．若存在实数λ，使得a b λ=，则a b a b +=-13．(0分)[ID ：13537]已知()3,4a =，()2,1b =-且()()a xb a b +⊥-，则x 等于（） A ．23B ．232C ．233D ．23414．(0分)[ID ：13531]ABC 中，点D 在AB 上，CD 平分ACB ∠．若CB a =，CA b =，1a =，2b =，则CD =A ．1233a b +B ．2133a b + C ．3455a b + D ．4355a b + 15．(0分)[ID ：13530]从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数m,从集合{1,3,5}中随机抽取一个数n,则向量a =(m,n)与向量b =(1,-1)垂直的概率为( ) A ．16B ．13C ．14D ．12二、填空题16．(0分)[ID ：13728]已知向量(1,)a k =，(9,6)b k =-，若//a b ，则k =_________． 17．(0分)[ID ：13714]已知||2,||3a b ==，且a 与b 的夹角是60︒，则|32|a b -=______18．(0分)[ID ：13710]已知在ABC ∆所在的平面内有一点P ，满足PA PB PC AB ++=，则PBC ∆与ABC ∆的面积之比是_____．19．(0分)[ID ：13697]在ABC ∆中，、、A B C 所对边分别为a b c 、、，若tan 210tan A cB b++=，则A =____________. 20．(0分)[ID ：13687]已知,a b 是两个非零向量，且||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角大小为_________21．(0分)[ID ：13675]如图，在ABC 中，AB AC ⊥，且1AB AC ==，D 是线段BC 上一点，过C 点作直线AD 的垂线，交线段AD 的延长线于点E ，则AD DE ⋅的最大值为______．22．(0分)[ID ：13672]已知1,2a b ==，且()+a a b ⊥，则向量a 与向量b 的夹角为_________23．(0分)[ID ：13669]已知(3,1)OA =-,(0,5)OB =，且//,AC OB BC AB ⊥，则点C 的坐标为_________．24．(0分)[ID ：13666]设a b ，为单位向量，若向量c 满足()c a b a b -+=-，则c 的最大值是____________．25．(0分)[ID ：13631]若cos 2cos()3ααπ=+，则tan()6πα+=______________．三、解答题26．(0分)[ID ：13773]已知函数2()3sin sin cos f x x x x =+．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间; （2）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的值域．27．(0分)[ID ：13758]已知函数()2cos (3sin cos )f x x x x =+．（I ）求函数()f x 的最小正周期和对称中心坐标；（II ）讨论()f x 在区间[0,]2π上的单调性．28．(0分)[ID ：13742]已知直线l 上两个点()()0330A C ，、，，其中O 为坐标原点．（1）若1433OD OA OC =+，求点D 的坐标，并确定点D 与直线l 的位置关系；（2）已知点B 是直线l 上的一点，求证：若存在实数m 、n ，使向量OB mOA nOC =+，则1m n +=29．(0分)[ID ：13737]已知4a =，8,b a =与b 的夹角是120．（1）计算：a b +；（2）当k 为何值时，()()2a b ka b +⊥-．30．(0分)[ID ：13809]已知函数()Asin()f x x ωϕ=+（A ＞0，ω＞0，ϕ＜π）的一段图象如图所示．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）若3[8x π∈-，]4π，求函数()f x 的值域．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．A3．A4．A5．A6．C7．C8．B9．A10．B11．D12．C13．C14．B15．A二、填空题16．【解析】试题分析：由于所以解得考点：向量共线坐标表示的应用17．6【解析】【分析】由计算【详解】∴＝6故答案为：6【点睛】本题考查向量的模的运算解题时求向量的模一般都是转化为向量的数量积即由转化18．【解析】【分析】根据向量条件确定点是边上的三等分点从而可求与的面积之比【详解】因为所以所以点在边上且是靠近点一侧的三等分点所以和的面积之比为故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量在几何中的应用熟练应19．【解析】【分析】利用正弦定理把边角混合关系化成关于角的三角函数的关系式再把正切化成弦整理后可得解出即可【详解】由正弦定理可得故通分得到因为所以故即因为故填【点睛】在解三角形中如果题设条件是边角的混合20．【解析】【分析】根据向量加法减法的几何意义模的几何意义判断出的位置关系由此求得与的夹角大小【详解】由于根据向量模和减法的几何意义可知以为邻边的平行四边形为菱形如图所示且为等边三角形故根据加法的平行四21．【解析】【分析】设用以及题目中特殊向量来表示再求最值【详解】又过点C作直线AD的垂线交线段AD的延长线于点E不妨设则又当时故答案为:【点睛】本题主要考查向量在几何图形中的应用应用向量的线性运算22．【解析】【分析】由可求出再根据向量夹角公式即可求出向量与向量的夹角【详解】由得即解得设向量与向量的夹角为所以即故答案为：【点睛】本题主要考查利用向量的数量积求向量夹角23．【解析】【分析】设则由利用向量共线定理向量垂直与数量积的关系即可得出【详解】解：设则解得则点的坐标：故答案为：【点睛】本题考查了向量共线定理向量垂直与数量积的关系考查了推理能力与计算能力属于中档题24．【解析】试题分析：因为向量满足所以当所以＋≤＝当且仅当＝即时等号成立所以的最大值考点：1平面向量模的运算性质；2平面向量的运算25．【解析】【分析】由化为再利用两角和与差的余弦公式再同时除以即可【详解】因为所以所以故答案为【点睛】本题考查三角函数的条件求值主要题型有：条件直接代入所求式；所求式适当变形以利代入；由条件变形得到所求三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】【分析】以AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AC ⃑⃑⃑⃑ 作为基底表示出AP⃑⃑⃑⃑⃑ ，利用平面向量基本定理，即可求出．【详解】∵P ，N 分别是BN ，AC 的中点，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BN ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12(AN ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AN ⃑⃑⃑⃑⃑ =12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AC ⃑⃑⃑⃑ .又AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AC ⃑⃑⃑⃑ ，∴m =12.故选C.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及向量的线性运算，意在考查学生的逻辑推理能力．2．A解析：A 【解析】【分析】先利用正切值求得余弦值，再利用诱导公式、二倍角公式以及弦切互化公式求得表达式的值. 【详解】tan 3α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得cos αα==，而()sin2cos 2sin cos cos 2απαααα+-=-==. 故选A. 【点睛】本小题主要考查已知正切值求两弦值的方法，考查三角函数诱导公式、二倍角公式，属于基础题.3．A解析：A 【解析】【分析】将问题中的角2α看作未知角，条件中的角4απ+看作已知角，由未知角与已知角的关系2()242ππαα+-=，可以用已知角表示未知角，然后通过利用诱导公式以及二倍角公式即可求解未知角的正弦值. 【详解】因为sin 42πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，又因为2()242ππαα+-=，所以22()42ππαα=+-，则有2sin 2sin 2()42 sin 2()24 cos 2()412sin ()412ππααππαπαπα⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=-+⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=故选A. 【点睛】本题考查了三角函数值的求解问题，属于给值求值类型，常常利用角的关系对问题进行等价转化，再运用相关的诱导公式、两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行求解，属于基础题.4．A解析：A 【解析】【详解】()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα--===--.所以选A. 【点睛】本题考查了二倍角及同角正余弦的差与积的关系，属于基础题.5．A解析：A 【解析】【分析】【详解】(2,1)AB =，(5,5)CD =，向量AB 在CD 方向上的投影为251532252AB CD CD⋅⨯+⨯==，故选A ． 6．C解析：C 【解析】【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论．【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ．故选C ．【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．7．C解析：C 【解析】函数sin 23y x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象向右平移43π个单位后44sin 2sin 23333w y w x wx ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 所以有43332013222w kk k w w k w ππ=∴=>∴≥∴=≥ 故选C8．B解析：B 【解析】试题分析：依题意，因为()f x 、()g x 的图象都经过点30,2P ⎛ ⎝⎭，所以()3sin 2{3sin 2θθϕ=-=22ππθ-<<，所以3πθ=，223k πθϕπ-=+或()2223k k Z πθϕπ-=+∈，即k ϕπ=-或()6k k Z πϕπ=--∈．在()6k k Z πϕπ=--∈中取1k =-，即得56πϕ=，选B ．考点：1.图象的平移；2.由三角函数值求角．【方法点晴】本题主要考查的是三角函数图象的变换，属于中档题题，本题首先根据平移变换得到()()sin 22g x x θϕ=+-，再由函数均经过P ⎛ ⎝⎭，将0x =代入两个函数可得()sin {sin 22θθϕ=-=，由22ππθ-<<，得3πθ=和223k πθϕπ-=+或()2223k k Z πθϕπ-=+∈，解出k ϕπ=-或()6k k Z πϕπ=--∈，再取k 值即可．本题一定注意角的范围，否则容易出错．9．A解析：A 【解析】【分析】根据所给的条件求出参数,,A ωϕ 的值，然后令3,8x π=代入到()f x 即可．【详解】由()f x 为奇函数，可知(0)sin 0,f A ϕ== 由ϕπ< 可得0.ϕ= 由()f x 的最小正周期为π可得2,T ππω== 所以 2.ω= 则()sin 2.f x A x =将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得()sin .g x A x =的图象，结合已知条件可得sin 44g A ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭可得A=2,则()2sin 2.f x x =所以332sin 84f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质以及图象的变换．10．B解析：B 【解析】函数()()2sin 3f x x ϕ=+的图象向右平移动12π个单位得到：()2sin(3)4f x x πϕ=+-图象关于y 轴对称，即函数为偶函数，故424k k πππϕπϕπ-=-⇒=-，所以ϕ的最小值为4π 11．D 解析：D【解析】【分析】分子分母同除以cos α，可化为关于tan α的式子，代入tan 2α=即可求解. 【详解】sin 3cos tan 32sin cos 2tan 1αααααα--=++, ∴sin 3cos 2312sin cos 2215αααα--==-+⨯+, 故选：D 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，属于容易题.12．C解析：C 【解析】试题分析：对于A 若a b a b +=-，则2222a b ab a b a b ++=+-，得0ab a b =-≠，则a b ⊥不成立，所以A 不正确．对于B ，由A 解析可知，0ab a b =-≠，所以B 不正确．对于C a b a b +=-，则2222a b ab a b a b ++=+-，得0ab a b =-≠，则cos 1θ=-，则a 与b 反向，因此存在实数λ，使得a b λ=，所以C 正确．对于D ，若存在实数λ,使得a b λ=，则22,a b a a b a λλ⋅=-⋅=-，由于λ不能等于0，因此ab a b ≠-，则a b a b +≠-，所以D 不正确．故选C ．考点：平面向量的综合题13．C解析：C 【解析】()()()()3,4,2,1,32,4,1,5a b a xb x x a b ==-∴+=+--=，又()()()(),0a xb a b a xb a b +⊥-∴+⋅-=，即322050x x ++-=，解得233x =，故选C.14．B解析：B 【解析】【分析】【详解】如图所示，由题设条件知∠1＝∠2，∴BD DA＝CB CA＝12， ∴BD ＝13BA＝13(CA －CB )＝13b －13a ， ∴CD ＝CB ＋BD ＝a ＋13b －13a ＝23a ＋13b .15．A解析：A 【解析】【分析】根据分步计数乘法原理求得所有的(),m n )共有12个，满足两个向量垂直的(),m n 共有2个，利用古典概型公式可得结果. 【详解】集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数m ,有4种方法；从集合{1,3,5}中随机抽取一个数n ，有3种方法，所以，所有的(),m n 共有4312⨯=个，由向量(),a m n =与向量()11b =-,垂直,可得0a b n m ⋅=-=，即m n =, 故满足向量(),a m n =与向量()11b =-,垂直的(),m n 共有2个：()()3,3,5,5，所以向量(),a m n =与向量()11b =-,垂直的概率为21126=，故选A. 【点睛】本题主要考查分步计数乘法原理的应用、向量垂直的性质以及古典概型概率公式的应用，属于中档题. 在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数n ，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m ，然后根据公式mP n=求得概率.二、填空题16．【解析】试题分析：由于所以解得考点：向量共线坐标表示的应用解析：【解析】试题分析：由于//a b ，所以()122169860x y x y k k k -=--=--=，解得34k =-．考点：向量共线坐标表示的应用．17．6【解析】【分析】由计算【详解】∴＝6故答案为：6【点睛】本题考查向量的模的运算解题时求向量的模一般都是转化为向量的数量积即由转化解析：6 【解析】【分析】由2232(32)a b a b -=-计算。

2015-2016年四川省成都市金堂中学高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2015-2016学年四川省成都市金堂中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：（共12个小题，每小题5分，每道题只有一个选项是正确的，请将正确选项填涂到机读卡相应的地方）1．（5分）双曲线﹣＝1的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y＝0B．2x±y＝0C．x±y＝0D．x±y＝0 2．（5分）设公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4＝2（a2+a3），则＝（）A．B．C．7D．143．（5分）已知命题p：∃x∈（0，+∞），x＝sin x，命题q：∀x∈R，e x＞1，则以下为真命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．p∧（￢q）D．（￢p）∨q 4．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数．当x≥0时，f（x）＝2x+t （t为常数）．则f（m）＜3成立的一个充分不必要条件是（）A．m＜3B．m＜2C．﹣2＜m＜2D．m＞25．（5分）已知平面向量，的夹角为，且|＝2，，则|＝（）A．B．1C．D．6．（5分）函数f（x）＝lg是区间（﹣b，b）上的奇函数（a，b∈R且a≠﹣2），则a b的取值范围是（）A．B．C．D．7．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．8．（5分）设实数x，y满足约束条件，已知z＝2x+y的最大值是7，最小值是﹣26，则实数a的值为（）A．6B．﹣6C．﹣1D．19．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α10．（5分）直线l：y＝kx+1与抛物线y2＝4x恰有一个公共点，则实数k的值为（）A．0B．1C．﹣1或0D．0或1 11．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝（）A．5B．6C．7D．812．（5分）设二次函数f（x）＝ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），+的最大值是（）A．B．2C．D．1二、填空题：（共4个题，每小题4分，每道题的答案请填写到答题卷相应的地方）13．（4分）某单位有职工200人，其年龄分布如下表：为了解该单位职工的身体健康状况，用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本进行调查，则年龄在[30，40]内的职工应抽取的人数为．14．（4分）P点在曲线上，点Q在曲线θ＝（ρ∈R）上，则|PQ|的最小值为．15．（4分）若对任意x∈R，sin2x+2k cos x﹣2k﹣2＜0恒成立，则实数k的取值范围．16．（4分）给出下列四个命题：①若直线l过抛物线y＝2x2的焦点，且与这条抛物线交于A、B两点，则|AB|的最小值为2；②双曲线的离心率为；③若⊙C1：x2+y2+2x＝0⊙C2：x2+y2+2y﹣1＝0，则这两圆恰有2条公切线；④若直线l1：a2x﹣y+6＝0与直线l2：4x﹣（a﹣3）y+9＝9互相垂直，则a＝﹣1．其中正确命题的序号是．（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题：（共6个小题，共74分，解答题须写出必要的过程，各小题的解答过程写在答题卷相应的地方）17．（12分）已知数列{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣6x+8＝0的根．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n+2n}的前n项和S n．18．（12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X（单位：t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（Ⅰ）将T表示为X的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan（+A）＝2．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若B＝，a＝3，求△ABC的面积．20．（12分）如图（1），在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB和CD 的中点，且AB＝EF＝2，CD＝6，M为BC中点，现将梯形BEFC沿EF所在直线折起，使平面EFCB⊥平面EFDA，如图（2）所示，N是线段CD上一动点，且CN＝λND．（Ⅰ）当时，求证：MN∥平面ADFE；（Ⅱ）当λ＝1时，求二面角M﹣NA﹣F的余弦值．21．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）；以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin（θ+），直线l与曲线C的交于A，B两点．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求|AB|的值．22．（14分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点，过点P（2，1）的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存直线l，满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．2015-2016学年四川省成都市金堂中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（共12个小题，每小题5分，每道题只有一个选项是正确的，请将正确选项填涂到机读卡相应的地方）1．（5分）双曲线﹣＝1的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y＝0B．2x±y＝0C．x±y＝0D．x±y＝0【解答】解：由已知，双曲线﹣＝1的离心率为2，∴，∴．该双曲线的渐近线方程为：y＝，即：x±y＝0．故选：C．2．（5分）设公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4＝2（a2+a3），则＝（）A．B．C．7D．14【解答】解：∵a4＝2（a2+a3），∴a4＝2（a1+a4），则＝＝＝7．故选：C．3．（5分）已知命题p：∃x∈（0，+∞），x＝sin x，命题q：∀x∈R，e x＞1，则以下为真命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．p∧（￢q）D．（￢p）∨q 【解答】解：令f（x）＝x﹣sin x，x＞0，则f′（x）＝1﹣cos x＞0，∴f（x）在（0，+∞）递增，∴f（x）＞f（0）＝0，即x＞sin x在（0，+∞）恒成立，故命题p是假命题；x＜0时，e x＜1，故命题q是假命题，故p∨q是假命题，p∧q是假命题，p∧（￢q）是假命题，（￢p）∨q是真命题，故选：D．4．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数．当x≥0时，f（x）＝2x+t （t为常数）．则f（m）＜3成立的一个充分不必要条件是（）A．m＜3B．m＜2C．﹣2＜m＜2D．m＞2【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数．∴f（0）＝20+t＝1+t＝0，解得：t＝﹣1，∴当x≥0时，f（x）＝2x﹣1，为增函数，∴函数f（x）是定义在R上的增函数，令f（m）＝3，则m＝2，∴解f（m）＜3得：m＜2，故四个答案中﹣2＜m＜2是f（m）＜3成立的一个充分不必要条件，故选：C．5．（5分）已知平面向量，的夹角为，且|＝2，，则|＝（）A．B．1C．D．【解答】解：∵平面向量，的夹角为，且|＝2，，∴＝|||cos＝﹣||＝﹣||则||＝16．（5分）函数f（x）＝lg是区间（﹣b，b）上的奇函数（a，b∈R且a≠﹣2），则a b的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵定义在区间（﹣b，b）内的函数f（x）＝lg是奇函数，x∈（﹣b，b），∴f（﹣x）＝﹣f（x），即lg＝，＝，∴1﹣a2x2＝1﹣4x2，解得a＝±2，又∵a≠﹣2，∴a＝2；则函数f（x）＝，要使函数有意义，则＞0，即（1+2x）（1﹣2x）＞0解得：﹣＜x＜，即函数f（x）的定义域为：（﹣，），∴（﹣b，b）⊆（﹣，），∴0＜b≤，∵y＝2x是增函数，∴a b的取值范围是（1，]．故选：A．7．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1＝，∴剩余部分体积为1﹣＝，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．8．（5分）设实数x，y满足约束条件，已知z＝2x+y的最大值是7，最小值是﹣26，则实数a的值为（）A．6B．﹣6C．﹣1D．1【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），联立，解得B（），化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z分别经过A，B时，直线y＝﹣2x+z在y轴上的截距有最小值和最大值，z有最小值和最大值，则，解得a＝1．故选：D．9．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选：B．10．（5分）直线l：y＝kx+1与抛物线y2＝4x恰有一个公共点，则实数k的值为（）A．0B．1C．﹣1或0D．0或1【解答】解：直线l：y＝kx+1与抛物线y2＝4x消去y可得，k2x2+（2k﹣4）x+1＝0，当k＝0时，交点为（，1），满足题意；当k≠0时，由△＝0得k＝1，综上，k＝0或1．故选：D．11．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：第一次执行循环体后，S＝，m＝，n＝1，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S＝，m＝，n＝2，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S＝，m＝，n＝3，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S＝，m＝，n＝4，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S＝，m＝，n＝5，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S＝，m＝，n＝6，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S＝，m＝，n＝7，满足退出循环的条件；故输出的n值为7，故选：C．12．（5分）设二次函数f（x）＝ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），+的最大值是（）A．B．2C．D．1【解答】解：由二次函数f（x）＝ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），得，∴ac＝4，a＞0，c＞0，+＝＝＝1+＝1+＝，当且仅当a＝9c时取等号，由解得c＝，a＝6，∴+则的最大值是，故选：C．二、填空题：（共4个题，每小题4分，每道题的答案请填写到答题卷相应的地方）13．（4分）某单位有职工200人，其年龄分布如下表：为了解该单位职工的身体健康状况，用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本进行调查，则年龄在[30，40]内的职工应抽取的人数为18．【解答】解：由已知得，用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本进行调查，年龄在[30，40]内的职工应抽取的人数为：＝18．故答案为：18．14．（4分）P点在曲线上，点Q在曲线θ＝（ρ∈R）上，则|PQ|的最小值为2﹣2．【解答】解：P点在曲线上，化为：（x﹣4）2+y2＝4．点Q在曲线θ＝（ρ∈R）上，可得直线：y＝x．则圆心（4，0）到直线的距离d＝＝2．则|PQ|的最小值＝2﹣2．故答案为：2﹣2．15．（4分）若对任意x∈R，sin2x+2k cos x﹣2k﹣2＜0恒成立，则实数k的取值范围（1﹣，+∞）．【解答】解：不等式sin2x+2k cos x﹣2k﹣2＜0可化为cos2x﹣2k cos x+2k+1＞0；设cos x＝t，则t∈[﹣1，1]，∴原不等式化为t2﹣2kt+2k+1＞0在[﹣1，1]上恒成立，∴①或②或③；解①得1﹣＜k≤1，解②得是空集∅，解③得k＞1；∴实数k的取值范围是（1﹣，+∞）．故答案为：（1﹣，+∞）．16．（4分）给出下列四个命题：①若直线l过抛物线y＝2x2的焦点，且与这条抛物线交于A、B两点，则|AB|的最小值为2；②双曲线的离心率为；③若⊙C1：x2+y2+2x＝0⊙C2：x2+y2+2y﹣1＝0，则这两圆恰有2条公切线；④若直线l1：a2x﹣y+6＝0与直线l2：4x﹣（a﹣3）y+9＝9互相垂直，则a＝﹣1．其中正确命题的序号是②③．（把你认为正确命题的序号都填上）【解答】解：①由y＝2x2得，∴2p＝，∴过抛物线焦点的直线，且与这条抛物线交于A、B两点，则|AB|的最小值为，∴①错误．②由得双曲线的标准方程为：，即a＝3，b＝4，c＝5，∴离心率为，∴②错误．③∵⊙C1：x2+y2+2x＝0，即（x+1）2+y2＝1，表示圆心为（﹣1，0），半径等于1的圆．⊙C2：x2+y2+2y﹣1＝0 即，x2+（y+1）2＝2，表示圆心为（0，﹣1），半径等于的圆．两圆的圆心距等于，大于两圆的半径之差，小于两圆的半径之和，故两圆相交，故两圆的公切线由2条，∴③正确．④当直线a2x﹣y+6＝0与4x﹣（a﹣3）y+9＝0互相垂直时，则有4a2+（a﹣3）＝0，解得a＝﹣1或，∴④错误．故答案为：③．三、解答题：（共6个小题，共74分，解答题须写出必要的过程，各小题的解答过程写在答题卷相应的地方）17．（12分）已知数列{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣6x+8＝0的根．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n+2n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）∵a2，a4是方程x2﹣6x+8＝0的根，∴a2＝2、a4＝4或a2＝4、a4＝2（舍），∴公差d＝＝1，∴a n＝a2+（n﹣2）d＝n；（Ⅱ）由（I）可知a n+2n＝n+2n，∴S n＝（1+2+…+n）+（21+22+…+2n）＝+＝2n+1﹣2+．18．（12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X（单位：t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（Ⅰ）将T表示为X的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率．【解答】解：（I）由题意得，当X∈[100，130）时，T＝500X﹣300（130﹣X）＝800X﹣39000，当X∈[130，150]时，T＝500×130＝65000，∴T＝．（II）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150．由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan（+A）＝2．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若B＝，a＝3，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由tan（+A）＝2．可得tan A＝，所以＝＝．（Ⅱ）由tan A＝，A∈（0，π），可得sin A＝，cos A＝．又由a＝3，B＝及正弦定理，可得b＝3，由sin C＝sin（A+B）＝sin（A+），可得sin C＝．设△ABC的面积为S，则S＝ab sin C＝9．20．（12分）如图（1），在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB和CD 的中点，且AB＝EF＝2，CD＝6，M为BC中点，现将梯形BEFC沿EF所在直线折起，使平面EFCB⊥平面EFDA，如图（2）所示，N是线段CD上一动点，且CN＝λND．（Ⅰ）当时，求证：MN∥平面ADFE；（Ⅱ）当λ＝1时，求二面角M﹣NA﹣F的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）过点M作MP⊥EF于点P，过点N作NQ⊥FD于点Q，连接PQ．由题意，平面EFCB⊥平面EFDA，MP⊥EF，∴MP⊥平面EFDA，（2分）且MP＝＝2，∵EF⊥CF，EF⊥DF，CF∩DF＝F，∴EF⊥平面CFD，又NQ⊂平面CFD，∴NQ⊥EF，又NQ⊥FD，∴NQ⊥平面EFDA，（4分）又CN＝，则NQ＝，即MP NQ，∴MN∥PQ且PQ⊂平面ADFE，∴MN∥平面ADFE．（6分）解：（Ⅱ）以F为坐标原点，FE为x轴，FD为y轴，FC为z轴，建立如图所示坐标系．由题意，M（1，0，2），A（2，1，0），F（0，0，0），C（0，0，3），D（0，3，0），，设平面AMN的法向量为＝（a，b，c），＝（﹣1，﹣1，2），＝（﹣2，），则，取a＝1，得，…（8分）在平面F AN中，＝（2，1，0），，设平面F AN的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得，（10分）则，又由图可知二面角M﹣NA﹣F的平面角是锐角，所以二面角M﹣NA﹣F的大小的余弦值为．（12分）21．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）；以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin（θ+），直线l与曲线C的交于A，B两点．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求|AB|的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin（θ+）＝4（sinθ+cosθ），两边同乘以ρ，得x2+y2＝4y+4x，∴它的直角坐标方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝8；（Ⅱ）直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为x+y﹣2＝0，圆心到直线的距离d＝＝，∴|AB|＝2＝2．22．（14分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点，过点P（2，1）的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存直线l，满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为，由题意得解得a2＝4，b2＝3，故椭圆C的方程为．（Ⅱ）若存在直线l满足条件，由题意可设直线l的方程为y＝k（x﹣2）+1，由得（3+4k2）x2﹣8k（2k﹣1）x+16k2﹣16k﹣8＝0．因为直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），所以△＝[﹣8k（2k﹣1）]2﹣4•（3+4k2）•（16k2﹣16k﹣8）＞0．整理得32（6k+3）＞0．解得．又，，且，即，所以．即．所以，解得．所以．于是存在直线l满足条件，其的方程为．。

成都列五中学数学高二下期中阶段测试(提高培优)

一、选择题1．(0分)[ID ：13608]已知台风中心位于城市A 北偏东α︒的150千米处，以v 千米/时沿正西方向快速移动，2小时后到达距城市A 北偏西β︒的200千米处.若3sin sin 4αβ=，则v =（）A ．60B ．80C ．100D ．1252．(0分)[ID ：13604]将函数y =2sin(2x +π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（）A ．y =2sin(2x +π4) B ．y =2sin(2x +π3) C ．y =2sin(2x −π4) D ．y =2sin(2x −π3)3．(0分)[ID ：13577]设命题:p 函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题:q 函数cos y x=的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是（） A ．p 为真B ．q ⌝为假C ．p q ∧为假D ．p q ∨为真4．(0分)[ID ：13574]如图，在ΔABC 中，AN ⃑⃑⃑⃑⃑ =12AC ⃑⃑⃑⃑ ，P 是BN 的中点，若AP⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AC ⃑⃑⃑⃑ ，则实数m 的值是（）A ．14B ．1C ．12D ．325．(0分)[ID ：13550]函数()()sin f x A x ωϕ=+，（其中0A >， 0>ω， 2πϕ<）的一部分图象如图所示，将函数上的每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象表示的函数可以为（）A ．()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()sin 43f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭6．(0分)[ID ：13623]已知函数sin cos 66y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则其最小正周期和图象的一条对称轴方程分别为( ) A ．2π，6x π=B ．2π，12x π=C ．π，6x π=D ．π，12x π=7．(0分)[ID ：13614]已知函数()()2cos 042x f x x πωωω⎛⎫=-->⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值为（）. A ．1B ．65C ．43D ．328．(0分)[ID ：13611]若1sin 24α=，42ππα<<，则cos sin αα-的值是（）A B ． C ．34D ．34-9．(0分)[ID ：13596]已知函数()sin()3f x x π=-，要得到()cos g x x =的图象，只需将函数()y f x =的图象（） A ．向左平移56π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移56π个单位 10．(0分)[ID ：13594]已知向量()()2,1,,2a b x ==-，若//a b ，则a b +=（） A ．()2,1--B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-11．(0分)[ID ：13592]已知向量a,b 满足a 1=，a b 1⋅=-，则a (2a b)⋅-= A ．4B ．3C ．2D ．012．(0分)[ID ：13573]已知1sin cos 2αα-=，且()0,απ∈，则sin cos αα+=（）A ．2B ．2-C ．2±D ．12±13．(0分)[ID ：13567]把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为( ) A ．x ＝－π2 B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π414．(0分)[ID ：13542]以下命题①||||a b -||a b =+是,a b 共线的充要条件；②若{,,}a b c 是空间的一组基底，则{,,}a b b c c a +++是空间的另一组基底； ③|()|||||||a b c a b c ⋅=⋅⋅．其中正确的命题有（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个15．(0分)[ID ：13536]将函数()2sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位，得到函数()g x 的图象，则2g π⎛⎫⎪⎝⎭（） A ．2B ．2C ．2-D ．0二、填空题16．(0分)[ID ：13728]已知向量(1,)a k =，(9,6)b k =-，若//a b ，则k =_________． 17．(0分)[ID ：13725]如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ=______________．18．(0分)[ID ：13724]若函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω的值为_______________．19．(0分)[ID ：13705]在各棱长都等于1的正四面体O ABC -中，若点P 满足1)(OP xOA yOB zOC x y z =++++=,则OP 的最小值为_____________.20．(0分)[ID ：13704]设等边三角形ABC 的边长为6，若3BC BE =，AD DC =，则BD AE ⋅=______.21．(0分)[ID ：13699]向量||8a =，b 12=，则b a +的最大值和最小值的和是________.22．(0分)[ID ：13690]已知A 、B 、C 为直线l 上不同的三点，点O 在直线l 外，若实数220x OA xOB OC -+=，则x =_____.23．(0分)[ID ：13652]在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，AD AB ⊥，2AD DC ==，3AB =，点M 是线段CB 上（包括边界）的一个动点，则AD AM ⋅的取值范围是______.24．(0分)[ID ：13650]在△ABC 中，3AB =，2AC =，60A =︒，AG mAB AC =+，则AG 的最小值为________25．(0分)[ID ：13644]若(1,1),(2,1)a b =-=-，则⋅=a b ______．三、解答题26．(0分)[ID ：13814]已知02ω<<，函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期；（2）若()f x 在[],t t -上单调递增，求t 的最大值. 27．(0分)[ID ：13736]设函数21()sin 2cos ()24f x x x π=-+．（I ）若x ∈R ，求()f x 的单调递增区间；（II ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()02Bf =，B 为锐角，1b =，2c =，求ABC ∆的面积．28．(0分)[ID ：13783]已知向量()13m =，，向量n 是与向量m 夹角为6π的单位向量．（1）求向量n ；（2）若向量n 与向量()31q =，共线，且n 与443x p x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，的夹角为钝角，求实数x 的取值范围．29．(0分)[ID ：13778]已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a c cosB bcosC -=（）．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2b =，求ABC ∆周长的最大值．30．(0分)[ID ：13777]已知向量23a i j =-，23b i j =+，其中i ，j 是互相垂直的单位向量．（1）求以a ，b 为一组邻边的平行四边形的面积；（2）设向量3m a b =-，n a b λ=+，其中λ为实数，若m 与n 夹角为钝角，求λ的取值范围．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．D 2．D 3．C 4．C 5．A 6．D 7．C 8．B 9．A 10．A 11．B 12．A 13．A 14．B 15．A二、填空题16．【解析】试题分析：由于所以解得考点：向量共线坐标表示的应用17．【解析】【分析】在中由余弦定理求得再由正弦定理求得最后利用两角和的余弦公式即可求解的值【详解】在中海里海里由余弦定理可得所以海里由正弦定理可得因为可知为锐角所以所以【点睛】本题主要考查了解三角形实际18．【解析】【分析】由所给函数图像过点列式利用诱导公式可得【详解】由函数图像过点得所以又两点在同一周期所以故答案为4【点睛】本题考查三角函数的图像与性质考查简单三角方程的解考查图形识别与运算求解能力属于19．【解析】根据题意可得∵点P满足可得∴点P是平面ABC内的一点又∵正四面体O﹣ABC是各棱长都等于1∴当点P与O在ABC上的射影重合时等于正四面体的高此时=且达到最小值故答案为20．-18【解析】【分析】由已知得由此根据数量积定义求出的值【详解】∵等边三角形的边长为6∴为中点∴∵∴∴故答案为：-18【点睛】本题考查向量数量积的求法是中档题解题时要认真审题注意平面向量加法法和向量21．24【解析】【分析】计算得到取得到最大最小值得到答案【详解】当时有最大值为；当时有最大值为；故答案为：【点睛】本题考查了向量模的最值计算是解题的关键22．【解析】【分析】变换得到根据三点共线得到计算得到答案【详解】为直线上不同的三点则故答案为：【点睛】本题考查了向量三点共线问题意在考查学生的计算能力23．【解析】【分析】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角坐标系得出的方程为可设点的坐标为然后利用坐标计算出关于实数的表达式然后结合的取值范围得出的取值范围【详解】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角24．【解析】【分析】先计算得到根据二次函数得到最小值【详解】则当时有最小值即的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了向量模的计算意在考查学生的计算能力25．3【解析】【分析】直接利用向量的数量积的运算公式即可求解得到答案【详解】由题意向量根据向量的数量积的运算公式可得则故答案为3【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算其中解答中熟记向量的数量积的运算公三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．D 解析：D 【解析】【分析】如图所示，分别在Rt ADB ，Rt ADC ，求出AD ，建立,αβ关系，结合已知，求出sin α，sin β，进而得出,BD CD ，即可求解.【详解】如图所示，150AB =，200AC =，BAD ∠=α，CAD β∠=. 在Rt ADB 中，cos 150cos AD AB αα==，sin 150sin BD AB αα==.在Rt ADC 中，cos 200cos AD AC ββ==，sin 200sin CD AC ββ==，所以150cos 200cos αβ=，即3cos 4cos αβ=①，又3sin sin 4αβ=②，由①②解得4sin 5β=，3cos 5β=，3sin 5α=，4cos 5α=. 所以3sin 150905BD AB α==⨯=， 4sin 2001605CD AC β==⨯=，所以90160250BC BD CD =+=+=，所以2501252v ==.【点睛】本题考查解直角三角形、同角间的三角函数关系、三角方程的求解，考查计算能力，属于中档题.2．D解析：D 【解析】【分析】【详解】函数y =2sin(2x +π6)的周期为π，将函数y =2sin(2x +π6)的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得图象对应的函数为y =2sin[2(x −π4)+π6)]=2sin(2x −π3)，故选D.3．C解析：C 【解析】试题分析：函数sin 2y x =的最小正周期为π,所以命题p 为假命题，由余弦函数的性质可知命题q 为假命题，所以p q ∧为假命题，故选C. 考点：1.三角函数的图象与性质；2.逻辑联结词与命题.4．C解析：C 【解析】【分析】以AB⃑⃑⃑⃑⃑ ,AC ⃑⃑⃑⃑ 作为基底表示出AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，利用平面向量基本定理，即可求出．【详解】∵P ，N 分别是BN ，AC 的中点，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BN ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12(AN ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AN ⃑⃑⃑⃑⃑ =12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AC ⃑⃑⃑⃑ .又AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AC ⃑⃑⃑⃑ ，∴m =12.故选C.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及向量的线性运算，意在考查学生的逻辑推理能力．5．A【解析】由图象可知A=1，周期T π=，所以2ω=，又过点(,0)6π-，所以3πϕ=，即()sin(2)3f x x π=+，每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到()sin()3f x x π=+，故选A.6．D解析：D 【解析】【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式，利用周期公式，正弦函数的对称轴，即可得出答案. 【详解】1sin cos 62x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，1cos sin 62x x x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭11cos cos sin 2222y x x x x ⎛⎫⎛⎫∴=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()221sin cos cos sin 24x x x x =⋅+-1sin 224x x =+ 1sin 223x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 22T ππ∴== 由2,32πππ+=+∈x k k Z ，得,122k x k Z ππ=+∈ 当0k =时，12x π=，即该函数图象的一条对称轴方程为12x π=故选：D 【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的周期以及对称轴，涉及了三角恒等变换，属于中档题.7．C解析：C 【解析】【分析】首先化简函数()2cos 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，需满足22T π≥，根据函数在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，所以求3x πω+的范围，且是[]0,π的子集，最后求ω的范围.【详解】()cos 1cos 2f x x x πωω⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎭cos x x ωω=2cos 3x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，22T π∴≥ ,即2ππω≥ 02ω∴<≤ ，当[0,]2x π∈时，[,]3323x ππωπωπ+∈+， ∴ [,][0,]323πωπππ+⊆ ∴23ωπππ+≤，403ω∴<≤，综上可知403ω<≤. 故选C 【点睛】本题考查三角函数的恒等变形，以及根据区间的单调性求参数的取值范围，属于中档题型，利用三角函数的奇偶性，周期性，对称性求解参数的值或范围是一个重点题型，首先将三角函数写成形如()sin y A x b ωϕ=++，或()cos y A x b ωϕ=++，()tan y A x b ωϕ=++的形式，然后利用三角函数的性质，借助公式，区间范围关系等将参数表示出来，得到函数参数的等式或不等式，求解.8．B解析：B 【解析】22122cos ,sin cos 14sin sin ααααα==+=，()213cos 144sin αα∴-=-=，,cos sin 422ππααα<<∴-=-，故选B. 9．A解析：A 【解析】函数5()cos sin()sin ()236g x x x x πππ⎡⎤==+=-+⎢⎥⎣⎦，所以将函数()f x 的图象向左平移56π个单位时，可得到()cos g x x =的图象，选A. 10．A解析：A 【解析】【分析】先根据向量的平行求出x 的值，再根据向量的加法运算求出答案．【详解】向量()()2,1,,2a b x ==-， //a b ， 22x ∴⨯-=（），解得4x =-， ∴214221a b +=+--=--（，）（，）（，），故选A ．【点睛】本题考查了向量的平行和向量的坐标运算，属于基础题．11．B解析：B 【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为22(2)22||(1)213,a a b a a b a ⋅-=-⋅=--=+= 所以选B.点睛：向量加减乘： 221212(,),||,cos ,a b x x y y a a a b a b a b ±=±±=⋅=⋅12．A解析：A 【解析】【分析】根据sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-间的关系求解可得答案．【详解】∵12sin cos αα-=， ∴21(sin cos )12sin cos 4αααα-=-=, ∴3sin cos 08αα=>， ∴02πα<<， ∴sin 0,cos 0αα>>， ∴sin cos 0αα+>，∴sin cos 2αα+====故选A ．【点睛】解答本题时注意灵活运用sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-间的关系，即知道其中的一个可求另外的两个，解题中容易出现的错误是忽视所求值的符号．13．A解析：A 【解析】把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得πsin(2)6y x =+ ，再将图象向右平移π3个单位长度得πππsin(2())sin(2)cos 2362y x x x =-+=-=-，一条对称轴方程为x ＝－π2，选A.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.14．B解析：B 【解析】【分析】①||||||a b a b -=+共线，反之不成立，即可判断出结论； ②利用基底的定义即可判断出真假；③|()||||||||cos ,|a b c a b c a b =<>，即可判断出真假．【详解】①||||||a b a b a -=+⇒，b 共线，反之不成立，||||||a b a b -=+是a ，b 共线的充分不必要条件，因此不正确；②若{a ，b ，}c 是空间的一组基底，假设,,a b b c c a +++共面，则存在唯一一组实数,x y ，使=()()a b x b c y c a ++++成立，即()a b xb x y c ya +=+++，所以1,1,0x y x y ==+=，显然无解，假设不成立，即,,a b b c c a +++不共面，则{a b +，b c +，}c a +是空间的另一组基底，正确； ③|()|||||||cos ,a b c a b c a b =<>，而cos ,a b <>不一定等于1，因此不正确．其中正确的命题有一个．故选：B ．【点睛】本题考查了向量共线、共面定理、数量积运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．A解析：A 【解析】【分析】根据平移关系求出()g x 32sin 22sin 2444x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，代入即可求解. 【详解】由题函数()2sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位，得到函数()g x 的图象，所以()g x 32sin 22sin 2444x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以2g π⎛⎫⎪⎝⎭32sin 2sin 44πππ⎛⎫=-==⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】此题考查根据函数的平移求函数解析式，并根据函数解析式求函数值，需要熟练掌握函数的平移变换.二、填空题16．【解析】试题分析：由于所以解得考点：向量共线坐标表示的应用解析：【解析】试题分析：由于//a b ，所以()122169860x y x y k k k -=--=--=，解得34k =-．考点：向量共线坐标表示的应用．17．【解析】【分析】在中由余弦定理求得再由正弦定理求得最后利用两角和的余弦公式即可求解的值【详解】在中海里海里由余弦定理可得所以海里由正弦定理可得因为可知为锐角所以所以【点睛】本题主要考查了解三角形实际解析：2114【解析】【分析】在ABC ∆中，由余弦定理，求得BC ，再由正弦定理，求得sin ,sin ACB BAC ∠∠，最后利用两角和的余弦公式，即可求解cos θ的值．【详解】在ABC ∆中，40AB =海里，20AC =海里，120BAC ∠=，由余弦定理可得2222cos1202800BC AB AC AB AC =+-⋅=，所以207BC =, 由正弦定理可得21sin sin 7AB ACB BAC BC ∠=⋅∠=，因为120BAC ∠=，可知ACB ∠为锐角，所以7cos 7ACB ∠=所以21cos cos(30)cos cos30sin sin 3014ACB ACB ACB θ=∠+=∠-∠=．【点睛】本题主要考查了解三角形实际问题，解答中需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，合理使用正、余弦定理是解答的关键，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：列方程，求结果．18．【解析】【分析】由所给函数图像过点列式利用诱导公式可得【详解】由函数图像过点得所以又两点在同一周期所以故答案为4【点睛】本题考查三角函数的图像与性质考查简单三角方程的解考查图形识别与运算求解能力属于解析：=4ω. 【解析】由所给函数图像过点05(,)24y π,011(,)24y π-，列式115sin()sin()2424ππωϕωϕ+=-+，利用诱导公式可得.【详解】由函数图像过点05(,)24y π,011(,)24y π-,得05sin()24y πωϕ=+，011sin()24y πωϕ-=+，所以115sin()sin()2424ππωϕωϕ+=-+，又两点在同一周期，所以115()2424ππωϕπωϕ+=++，4ω=.故答案为4. 【点睛】本题考查三角函数的图像与性质，考查简单三角方程的解，考查图形识别与运算求解能力，属于基础题.19．【解析】根据题意可得∵点P 满足可得∴点P 是平面ABC 内的一点又∵正四面体O ﹣ABC 是各棱长都等于1∴当点P 与O 在ABC 上的射影重合时等于正四面体的高此时=且达到最小值故答案为【解析】根据题意，可得∵点P 满足()1OP xOA yOB zOC x y z =++++=，()()AP OP OA y OA OB z OA OC =-=----可得AP yBA zCA =-- ∴点P 是平面ABC 内的一点．又∵正四面体O ﹣ABC 是各棱长都等于1，∴当点P 与O 在ABC 上的射影重合时，OP 等于正四面体的高，此时OP =且OP 达到最小值．. 20．-18【解析】【分析】由已知得由此根据数量积定义求出的值【详解】∵等边三角形的边长为6∴为中点∴∵∴∴故答案为：-18【点睛】本题考查向量数量积的求法是中档题解题时要认真审题注意平面向量加法法和向量【解析】【分析】由已知得12BD BA AC =+，13AE AB BC =+，由此根据数量积定义求出BD AE ⋅的值. 【详解】∵等边三角形ABC 的边长为6，AD DC =， ∴D 为AC 中点，∴12BD BA AC =+， ∵3BC BE =，∴13AE AB BC =+， ∴1123BD AE BA AC AB BC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111326BA AB BA BC AC AB AC BC ⋅+⋅+⋅+⋅1113636cos6066cos6066cos60326=-+⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒36693=-+++18=-.故答案为：-18. 【点睛】本题考查向量数量积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法和向量数量积公式的合理运用.21．24【解析】【分析】计算得到取得到最大最小值得到答案【详解】当时有最大值为；当时有最大值为；故答案为：【点睛】本题考查了向量模的最值计算是解题的关键解析：24 【解析】【分析】计算得到2||208192cos a b θ+=+，取cos 1θ=，cos 1θ=-得到最大最小值得到答案. 【详解】222||2208192cos a b a b a b θ+=++⋅=+当cos 1θ=时，||a b +有最大值为20；当cos 1θ=-时，||a b +有最大值为4；故答案为：24 【点睛】本题考查了向量模的最值，计算2||208192cos a b θ+=+是解题的关键.22．【解析】【分析】变换得到根据三点共线得到计算得到答案【详解】为直线上不同的三点则故答案为：【点睛】本题考查了向量三点共线问题意在考查学生的计算能力解析：1【解析】【分析】变换得到22OC xOB x OA =-，根据三点共线得到221x x -=，计算得到答案. 【详解】22202x xOB OC OC xOB OA OA x -+=∴=-，A 、B 、C 为直线l 上不同的三点则2211x x x -=∴= 故答案为：1 【点睛】本题考查了向量三点共线问题，意在考查学生的计算能力.23．【解析】【分析】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角坐标系得出的方程为可设点的坐标为然后利用坐标计算出关于实数的表达式然后结合的取值范围得出的取值范围【详解】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角解析：[]0,4【解析】【分析】以点B 为坐标原点，AB 为x 轴的正方向建立平面直角坐标系xBy ，得出BC 的方程为2y x =-，可设点M 的坐标为()(),210a a a --≤≤，然后利用坐标计算出AD AM ⋅关于实数a 的表达式，然后结合a 的取值范围得出AD AM ⋅的取值范围. 【详解】以点B 为坐标原点，AB 为x 轴的正方向建立平面直角坐标系xBy ，则点()30A -,、()0,0B 、()1,2C -、()3,2D -，BC 边所在直线的方程为2y x =-，设点(),2M a a -.()0,2AD =，()3,2AM a a =+-，4AD AM a ∴⋅=-，10a -≤≤，则044a ≤-≤，因此，AD AM ⋅的取值范围是[]0,4.故答案为：[]0,4. 【点睛】本题考查平面向量数量积的取值范围问题，可以引入参数来表示平面向量的数量积，也可以建立坐标系，将平面向量的数量积的取值范围转化为函数的值域来求解，考查运算求解能力，属于中等题.24．【解析】【分析】先计算得到根据二次函数得到最小值【详解】则当时有最小值即的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了向量模的计算意在考查学生的计算能力 3【解析】【分析】先计算得到2219()33AG m +=+，根据二次函数得到最小值. 【详解】AG mAB AC =+则222222219649()33AG m AB AC mAB A m m C m ⋅=++=++=++ 当13m =-时，2AG 有最小值3，即||AG 33【点睛】本题考查了向量模的计算，意在考查学生的计算能力.25．3【解析】【分析】直接利用向量的数量积的运算公式即可求解得到答案【详解】由题意向量根据向量的数量积的运算公式可得则故答案为3【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算其中解答中熟记向量的数量积的运算公解析：3 【解析】【分析】直接利用向量的数量积的运算公式，即可求解，得到答案．【详解】由题意，向量(1,1),(2,1)a b =-=-，根据向量的数量积的运算公式，可得则213a b ⋅=+=．故答案为3．【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题．三、解答题 26．（1）2π；（2）4π. 【解析】【分析】（1）由题意可得()f x 的图象关于直线4x π=对称，由此求得ω的值，可得它的最小正周期．（2）根据()f x 在[-t ，t ]上单调递增，可得42t ππ-+≥-，且42t ππ+≤，由此解得t的最大值．【详解】（1）因为()2f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线4x π=对称，所以()442k k Z πππωπ⨯+=+∈，解得()14k k Z ω=+∈，又因为02ω<<，所以1ω=，则()f x 的最小正周期22T ππω==.（2）因为()sin 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以()f x 的单调递增区间为()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.因为()f x 在[],t t -上单调递增，所以434t t t t ππ⎧⎪⎪⎪--⎨⎪>-⎪⎪⎩，解得04t π<≤.故t 的最大值为4π. 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的单调性和周期性，属于中档题．27．(1)[,]()44k k k Z ππππ-+∈;(2). 【解析】试题分析:(1)由二倍角公式和诱导公式化简函数()f x ,根据正弦函数的单调递增区间列出不等式,即可求出()f x 的单调递增区间;(2)由02B f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可求出角B ,再由余弦定理求出边a ,利用三角形的面积公式求出结果. 试题解析: （I ）由题意知，()21cos 21112sin2cos sin2sin224222x f x x x x x ππ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭=-+=-=- ⎪⎝⎭；因为222,22k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以,44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()f x 的单调递增区间为(),44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（II ）因为1sin 022B f B ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以1sin 2B =，又B 为锐角，所以,cos 62B B π==. 1b =，2c =，22221cos 22a B a+-==⨯⨯a = 因此111sin 2222ABC S ac B ∆==⨯=，所以ABC ∆ 28．(1) n =（0，1）或12⎫⎪⎪⎝⎭，；(2) （﹣∞，﹣2）∪（﹣2，23-）∪（0，2）．【解析】【分析】（1）设向量(),n x y =，由题意可得12cos 6y π=+=，解方程组即可。