数形结合_思想在中学数学教学中的应用
专题七 “数形结合”在初中数学中的运用
专题七“数形结合”在初中数学中的运用一、以数助形“数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的．体现在数学解题中，包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数”与“形”好比数学的“左右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充．“数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非．”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要，“数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位．要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等．例1．已知平面直角坐标系中任意两点11()A x y ，和22()B x y ，之间的距离可以用公式AB =210y x =+的距离．解：设( 210)P x x +，是直线210y x =+上的任意一点，它到原点的距离是当4x =-时，OP =最小所以原点到直线210y x =+的距离为【说明】建立坐标系，利用坐标及相关公式处理一些几何问题，有时可以避免添加辅助线（这是平面几何的一大难点）．在高中“解析几何”里，我们将专门学习利用坐标将几何问题代数化．例2．已知ABC ∆的三边长分别为22m n -、2mn 和22m n +（m 、n 为正整数，且m n >）．求ABC ∆的面积（用含m 、n 的代数式表示）．【分析】已知三角形三边求面积一般称为“三斜求积”问题，可用“海伦公式”计算，但运用“海伦公式”一般计算比较繁，能避免最好不用．本题能不能避免用“海伦公式”，这要看所给的三角形有没有特殊之处．代数运算比较过硬的人可能利用平方差公式就可以心算出来：222222222()()(2)(2)(2)m n m n m n mn +--==，也就是说，ABC ∆的三边满足勾股定理，即ABC∆是一个直角三角形．“海伦公式”：三角形三边长为a 、b 、c ，p 为周长的一半，则三角形的面积S 为：S =．解：由三边的关系：2222222()(2)()m n mn m n -+=+． 所以ABC ∆是直角三角形． 所以ABC ∆的面积22221()(2)()2m n mn mn m n =⋅-=-． 【说明】利用勾股定理证明垂直关系是比较常用的“以数助形”的手法．另外，熟练的代数运算在这道题中起到了比较重要的作用．代数运算是学好数学的一个基本功，就像武侠小说中所说的“内功”，没有一定的内功，单单依靠所谓的“武林秘笈”是起不了多少作用的．例3．直线y bx c =+与抛物线2y ax =相交，两交点的横坐标分别为1x 、2x ，直线y bx c =+与x 轴的交点的横坐标为3x ．求证：312111x x x =+． 【分析】本题是研究抛物线和直线相交的相关问题，只是由于a 、b 、c 的符号不确定，导致抛物线和直线在坐标系中位置不确定，考虑问题需要进行分类讨论，比较麻烦．如果将问题代数化，看成有关方程的问题，进行相关的计算，就省去了分类的麻烦．解：∵直线y bx c =+与x 轴的交点的横坐标为3x ，∴30bx c +=． ∴3c x b=-．31b x c=-． ∵直线y bx c =+与抛物线2y ax =两交点的横坐标分别为1x 、2x ， ∴1x 、2x 为关于x 的一元二次方程20ax bx c --=的两个不等实根．∴12b x x a +=，12cx x a=-． ∴12121211bx x b a c x x x x c a++===--．∴312111x x x =+． 例4．将如图的五个边长为1的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形． 【分析】这是一类很常见的问题．如果单单从“形”的角度来思考，恐怕除了试验，没有其它更好的办法了．但是如果我们先不忙考虑怎样剪裁，而是先从“数”的角度来算一下，我们不难利用面积算出剪拼出来的正方形边长应该是线段，以此为一边作一个正方形（如图），我们就不难设计出各种剪裁方法了．【说明】有人把这种方法叫做“面积法”，其实“面积法”这个名字并没有揭示这类方法的所有本质．“面积”是剪拼问题中的一个“不变量”，几乎所有的剪拼问题，都可以先抓住“面积”这个不变量来进行“数”的计算．另一方面，“面积”本身就是从“数”的角度来刻画“图形”的大小特征的一个概念．因此，所谓“面积法”，实际上就是“数形结合”这种数学思想的一种具体体现．二、以形助数几何图形具有直观易懂的特点，所以在谈到“数形结合”时，更多的老师和学生更偏好于“以形助数”，利用几何图形解决代数问题，常常会产生“出奇制胜”的效果，使人愉悦．几何直观运用于代数主要有以下几个方面：（1）利用几何图形帮助记忆代数公式，例如： 正方形的分割图可以用来记忆完全平方公式；将两个全等的梯形拼成一个平行四边形可以用来记忆梯形面积公式；等等．（2）利用数轴或坐标系将一些代数表达式赋予几何意义，通过构造几何图形，依靠直观帮助解决代数问题，或者简化代数运算．比如：绝对值的几何意义就是数轴上两点之间的距离；数的大小关系就是数轴上点的左右关系，可以用数轴上的线段表示实数的取值范围； 互为相反数在数轴上关于原点对称（更一般地：实数a 与b 在数轴上关于2a b+对称，换句话说，数轴上实数a 关于b 的对称点为2b a -）；利用函数图像的特点把握函数的性质：一次函数的斜率（倾斜程度）、截距，二次函数的对称轴、开口、判别式、两根之间的距离，等等；一元二次方程的根的几何意义是二次函数图像与x 轴的交点； 函数解析式中常数项的几何意义是函数图像与y 轴的交点（函数在0x =时有意义）；锐角三角函数的意义就是直角三角形中的线段比例．例5．已知正实数x，求y =分析整理为即看作是坐标系中一动点( 0)x ，到两点（0，2）和（2，1）的距离之和，于是本问题转化为求最短距离问题．解：y =令( 0)P x ，、A （0，2）和B （2，1），则y PA PB =+． 作B 点关于x 轴的对称点'(21)B -，，则y 的最小值为'AB例6．已知1tan 2α=，1tan 3β=，求证：45αβ+=︒． 【分析】根据正切函数的意义不难构造出满足条件的角α、β（如图），怎样构造这两个角的和是解决这个问题的关键．将图（1）中下面的图翻转到上图的下面，就形成了如图（2）的图形，角αβ+也就构成了．证明：如图（2），连接BC ，易证：ABD ∆≌CBE ∆，从而ABC ∆是等腰直角三角形，于是：45αβ+=︒．图（1）图（2）例7．求函数123y x x x =++-+-的最小值．【分析】如图，设数轴上表示数－1、2、3、x 的点分别为A 、B 、C 、P （P 为动点），则表示P 到A 、B 、C 三点之间的距离之和，即y PA PB PC =++．容易看出：当且仅当点P 和点B 重合时，PA PB PC ++最小，所以4y AB BC =+=最小．例8．若关于x 的方程2230x kx k ++=的两根都在－1和3之间，求k 的取值范围．【分析】令2()23f x x kx k =++，其图象与x 轴的横坐标就是方程()0f x =的解．由()y f x =的图象可知，要使两根都在－1和3之间，只须：(1)0f ->，(3)0f >，()()02bf f k a-=-≤同时成立，由此即可解得10k-<≤或3k ≥．其中，(1)f -表示1x =-时的函数值．解：令2()23f x x kx k =++，由题意及二次函数的图象可知：(1)0(3)0()0f f f k ->⎧⎪>⎨⎪-≤⎩即222(1)2(1)3032330()2()30k k k k k k k k ⎧-+-+>⎪+⋅+>⎨⎪-+-+≤⎩ 解得：10k -<≤或3k ≥．【说明】一元二次方程，一元二次不等式均与二次函数有密切的关系，有关二次方程、二次不等式中较繁难的问题运用二次函数的图象来解决常常会起到意想不到的效果．例9．若0a >，且b a c >+，求证：方程20ax bx c ++=有两个相异实数根．【分析】首先可以想到的思路当然是证明240b ac ∆=->，但这并不容易．注意到二次方程与二次函数的关系，把“二次方程有两个相异的实根”这个代数命题“翻译”成几何命题就是“二次函数的图象与x 轴有两个交点”．考虑到此时0a >，抛物线开口向上，这个几何命题可以进一步等价转化成“二次函数的图象有一部分位于x 轴的下方，再把它翻译成代数命题就是“二次函数至少在某一点上的函数值小于0”．证明：考查函数2y ax bx c =++， ∵0a >，∴此抛物线开口向上．又∵b a c >+，即0a b c -+<，x∴当1x =-时，二次函数的值(1)0f -<．故抛物线与x 轴有两个交点，从而方程有两个不等实根．例10．已知：对于满足04p ≤≤的所有实数p ，不等式243x px x p +>+-恒成立，求x 的取值范围．【分析】不等式243x px x p +>+-可以变形为243(1)x x p x -+>--． 考查二次函数22143(2)1y x x x =-+=--和一次函数2(1)y p x =--．原不等式的几何意义是“二次函数1y 的图象在一次函数2y 的图象的上方”．原题条件的几何意义是“无论实数p 取04p ≤≤之内的什么实数，二次函数1y 的图象总是在一次函数2y 的图象的上方”．把原题所求的问题重新表述一下，就是：当x 取那些实数时，可以保证“无论实数p 取04p ≤≤之内的什么实数，二次函数1y 的图象总是在一次函数2y 的图象的上方”这个命题正确．现在我们研究这两个函数的图象（如图）：二次函数1y 的图象是一条固定不变的抛物线．但是一次函数2y 的图象随之p 的变化绕（1，0）旋转，当0p =，20y =时，是与x 轴重合的一条直线；当4p =，244y x =-+是一条截距为4的直线，它与抛物线1y 的交点坐标为（－1，8）．当实数q 取遍04p ≤≤之内的所有实数时，直线2y 所过了图中的阴影区域．结合图形，我们再一次把原问题重新表述一下：当x 取哪些实数时，可以保证“二次函数1y 的图象总是在图中的阴影区域的上方”．观察图象，我们不难得到1x <-或3x >，所以原问题的结论就是：x 的取值范围是1x <-或3x >．【说明】本题一开始为什么要对不等式作这样的变形？希望大家在完全理解这道题的解题思路后认真思考一下这个问题，习惯对这类问题的反思在高中数学学习中非常重要．利用函数图象解决不等式问题是一种比较常见的数形结合的方法，这种方法的要点是把不等式变形成两个可以画出图象的函数（值）比较．初三数学“数形结合”习题（1）1．已知平面直角坐标系中任意两点11()A x y ，和22()B x y ，之间的距离可以用公式AB =210y x =+的距离．2．已知ABC ∆的三边长分别为22m n -、2mn 和22m n +（m 、n 为正整数，且m n >）．求ABC ∆的x面积（用含m 、n 的代数式表示）．3．直线y bx c =+与抛物线2y ax =相交，两交点的横坐标分别为1x 、2x ，直线y bx c =+与x 轴的交点的横坐标为3x ．求证：312111x x x =+． 4．将如图的五个边长为1的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形． 5．已知正实数x，求y =6．已知1tan 2α=，1tan 3β=，求证：45αβ+=︒． 7．求函数123y x x x =++-+-的最小值．8．若关于x 的方程2230x kx k ++=的两根都在－1和3之间，求k 的取值范围． 9．若0a >，且b a c >+，求证：方程20ax bx c ++=有两个相异实数根．初三数学“数形结合”习题（2）1．设0k b +=，则直线y kx b =+与抛物线2y kx bx =+的位置关系是（）．A ．有两个不重合的交点B ．有且只有一个公共点C ．没有公共点D ．无法确定2．在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（）．A ．3、3、11、C ．8、15、17D ．3.5、4.5、5.53．文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20米处，玩具店位于书店东边100米处，小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了－60米，此时小明的位置在（）．A ．玩具店B ．文具店C ．文具店西边40米D ．玩具店东边－60米4．已知实数a 、b 在数轴上的对应点依次在原点的右边和左边，那么（）．A ．ab b <B ．ab b >C ．0a b +>D ．0a b -> 5．函数35y x x =-++的最小值为（）．A ．8B ．5C ．3D ．2 6．已知函数y x =和y =x >的解集为（）．A ．22x -≤<B ．22x -≤≤C ．2x <D ．2x >6题图7题图7．如图所示，在ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 在BC 上，4BD =，AD BC =，3cos 5ADC ∠=，则DC =，sin B =．8．在数轴上数a 和3的对应点分别为点A 和点B ，点A 到原点的距离为1.5，则点A 关于点B 的对称点所对应的数是．9．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面4米，桥下的水深为2米．为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米．问水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？10．如图，已知ABC ∆内接于圆O ，AD 是圆O 直径交BC 于E ．求证：tan tan AEB CDE⋅=． 11．如图所示，已知矩形AOBC 中，以O 为坐标原点，OB 、OA 分别在x 轴、y 轴上，A （0，4），60OAB ∠=︒，以AB 为轴对称后，使C 点落在D 点处，求D 点坐标．12．已知两点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），线段AB 中点坐标可用公式（122x x +，122y y +）计算．现已知M （－1，2），N （5，14）．（1）计算MN 中点的坐标；（2）试研究：怎样不画图计算出线段MN 的两个三等分点的坐标？初三数学“数形结合”习题（2）【参考答案】1．B2．D3．B4．D5．A6．A7．6，418．4.5或7.59．2.76米 10．提示：可以作AG BC ⊥于F ，交圆O 于G ，利用正切函数定义及相似三角形比例线段代换可得．（或连结BD 、CD ，利用正切函数定义及相似三角形比例线段代换可证得）11．（2）12．（1）（2，8）；（2）（1，6）和（3，10）. 提示:可推得两个三等分点的坐标公式（1223x x +，1223y y +）、（1223x x +，1223y y +）。
数形结合思想在中学数学中的解题应用
数形结合思想在中学数学中的解题应用数与形是数学的两大支柱，它们是对立的，也是统一的。
数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观。
教师要尽量发掘数与形的本质联系，促使学生善于运用数形结合的思想方法去分析问题、解决问题，从而提高学生的数学能力。
下面结合具体实例谈谈数形结合思想在解题中的应用：1.函数中的数形结合思想例1：已知：点（-1，y1）（-3，y2）（2，y3）在y=3x2+6x+2的图象上，则： y1、y2、y3 的大小关系为（）a.y1>y2>y3b.y2>y1>y3c.y2> >y1d.y3>y2>y1分析：由y=3x2+6x+2=3（x+1）2-1画出图象1，由图象可以看出：抛物线的对称轴为直线x=-1即：x=-1时，y有最小值，故排除a、b，由图象可以看出：x=2时y3的值，比x=-3时y2的值大，故选c.例2：二次函数 y=ax2+bx+c的图象的顶点在第三象限，且不经过第四象限，则此抛物线开口向，c的取值范围，b的取值范围，b2-4ac的取值范围。
解：由题意画出图象，如图：从而判断：a>0，c≥0∴对称轴：x=- 0图象与x轴有两个交点：∴△>0即b2-4ac>0例3：如图3，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点c （0，），与x轴交于两点a（x1，0）、b（x2，0）（x2>x1），且x1+x2=4，x1x2=-5.求（1）a、b两点的坐标；（2）求二次函数的解析式和顶点p的坐标；（3）若一次函数y=kx+m的图象的顶点p，把△pab分成两个部分，其中一部分的面积不大于△pab面积的，求m的取值范围。
解：（1）∵x1+x2=4x1·x2=-5且x1<x2∴x1=5，x2=-1.∴a、b两点的坐标是a（5，0），b（-1，0）（2）由a（5，0），b（-1，0），c（0，），求得y=- （x-2）2+3.∴顶点p的坐标为（2，3）；（3）由图象可知，当直线过点p（2，3）且过点m（1，0）或n （3，0）时，就把△pab分成两部分，其中一个三角形的面积是△pab的面积的 .①过n（3，0），p（2，3）的一次函数解析式为y=-3x+9；过点a（5，0），p（2，3）的一次函数解析式为y=-x+5.又一次函数y=kx+m，当x=0时，y=m，此一次函数图象与y轴的交点的纵坐标为m，观察图形变化，可得m的取值范围是5<m≤9.②过b（-1，0），p（2，3）的一次函数解析式为y=x+1；过点m （1，0），p（2，3）一次函数解析式为y=3x-3，观察图形变化，得m的取值范围是-3≤m<1.∴m的取值范围是-3≤m<1或5<m≤9.2.求最值问题：例.已知正实数x，求y= + 的最小值.分析：可以把 + 整理为 + ，即看作是坐标系中一动点（x，0）到两点（0，2）和（2，1）的距离之和，于是本问题转化为求最短距离问题.解：y= + ，令p=（x，0）、a（0，2）和b（2，1），则y=pa+pb.作b点关于x轴的对称点b’（2，-1），则y的最小值为ab’= = .3.利用方程解决几何问题例：本市新建的滴水湖是圆形人工湖.为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取a、b、c三根木柱，使得a、b之间的距离与a、c之间的距离相等，并测得bc长为240米，a到bc的距离为5米，如图1所示.请你帮他们求出滴水湖的半径.[解析]如图2，设圆心为点o，连结ob、oa，oa交线段bc于点d.因为ab=ac，所以ab= bc，∴oa⊥bc，且bd=dc= bc=120.由题意，知da=5.设ob=x米.在rt△bdo中，因为ob2=od2+bd2，所以x2=（x-5）2+120.得x=1442.5 .所以，滴水湖的半径为1442.5米.数形结合思想在对于培养和发展学生的空间观念和数感方面有很大的启发作用，利用数形结合思想进行解题可以使的有些复杂问题简单化，抽象问题具体化。
中学数学中的数形结合思想的应用
中学数学中的数形结合思想的应用摘要：我将从以下几个典型例题来探讨数形结合思想在中学数学中的应用(函数思想)从而在实际教学中要将数形结合思想融汇到课堂中，培养学生加强数形结合思想的意识。
关键词：中学数学；数形结合；应用；思想方法1 数形结合思想在中学数学中的应用1.1 数形结合思想在集合中的应用1.1.1 利用韦恩图法解决集合之间的关系问题一般情况我们用圆来表示集合，两个圆相交则表示两个集合有公共的元素，两个圆相离就表示两个集合没有公共的元素。
利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题。
例1．某校先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学807人，物理739人，化学437人；至少参加两科的：数理593人，数化371人，理化267人；三科都参加的213人，试计算参加竞赛总人数。
（选自《王后雄高考标准诠释》）解：我们用圆A、B、C分别表示参加数理化竞赛的人数，那么三个圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数。
用表示集合的元素，则有：即：参加竞赛总人数为人。
1.1.2 利用数轴解决集合的有关运算例2．已知集合，⑴若，求的范围。
⑵若，求的范围。
分析：先在数轴上表示出集合A的范围，要使，由包含于的关系可知集合B应该覆盖集合A，从而有：，这时的值不可能存在．要使，当时集合A应该覆盖集合B，应有成立，即。
当时，，显然成立．故时的取值范围为：在集合问题中，有一些常用的方法如韦恩图法，数轴法取交并集，在例题一中通过画韦恩图表示出各集合，可以直观形象的表现出各部分数量间的关系，本题主要强化学生数形结合能力，解此类题目的技巧与方法是画出图形，形象的表示出各数量关系间的联系，从而求解。
在解例题二这一类题目时要先化简集合，确定各集合之间的包含关系，进一步在数轴上表示出来，通过数轴简便求解。
1.2 数形结合思想在解方程中的应用在很多情况下我们对于一些比较复杂的方程不能使用常规的方法去解，也不能使用求根公式，以至于无法求解，那么我们采用数形结合思想，将方程的跟转化为求函数的交点，通过作图可以很好的解答出来。
“数形结合”在初中数学教学中的应用
河的右侧有 Ａ、 Ｂ两个村子 ， 试在河 的左
。
地解一元二次方程和简单 的高次不等式 等． 【 ｌ 试通 过二次 函数 ． 例 】 ） ， 一 的 图象特 点来
比较 下 列 各 数 的 大 小 ： ． １， 一 ２ ） ， ．９， １ ０ （ ．１ ４
（一 １ ０９） ．０ ．
侧建一个商店 ｃ 使 Ａ ＋Ｂ， ｃ ｃ最少？
ｌｌ ：
分 析 ： 图 １从 图形 上 易 发 现 这 样 规 律 ： 给 两 如 ， 任 个 自变量 ｎ 、 ． 果它 与 原 点 的距 离 越 长 ， ｎ 如 则它 对 应 的 函 数值 越 大 ． 对 给定 的数 有 Ｉ １０ ９ｌ Ｉ． １ ＜ Ｉ ． 一 ． ０ 】 Ｏ ＜ ｌ 一２ １ ＜ ｌ
９Ｉ Ｉ． ． ４
＞Ｂ， Ａ．
．Ｃ 为 所 求 的 点， 此 时 － ． 且
Ｂ
ＡＣ Ｂ 的最 少 距 离 为 Ｂ， ＋ Ｃ Ａ． 例 ２ 例 ３若仅 关注代 数方 、
图 ３２ －
因 而 易得 （ １０ ９ １０ （ ２ １ ４ ９． 一 ．０ ）＜ ． １＜ 一 ． ）＜ ．
／ ｌ：
． ．
用代数对 图形性质进行更为丰富 、 精确 、 深刻地探讨 ，
． ． 、
－ ．
４ ３ — ｎ ｌ ０ Ｉ ２ ２ ４ ２ Ｌ Ⅱ ３
对 提 高学 生 发 现 问 题 、 析 问 题 、 决 问 题 的 能 力 大 分 解
有好 处 ．
图 １
把代数式的精确刻 画与几何图形 的直观描述结 合起 来， 从而使几何问题代数化 ， 代数问题几何化 ， 并进而 使抽象思维 和形象思维结 合起来 ， 能够使很多复杂 问
数形结合思想在初中数学教学中的作用
李金 芳１ 马 维政２
（ 会 宁 县 中川 中学 ；会 宁县 丁 沟 乡 荔峡 中学 ， 肃 会 宁 １ ２ 甘
摘 要 ： 形 结 合 思 想 是 解 决 数 学 问题 的 一 种 重 要 思 想 数 方 法 。 数 形 结合 ” 想 就是 使 抽 象思 维 和 形 象 思 维 相 互作 用 ． “ 思 实现 数 量 关 系与 图形 性 质 的 相 互 转 化 ．将 抽 象的 数 学 关 系和 直观 的 图形 结合 起 来 解 决数 学 问题 为提 高 学 生的 数 学 知识 ． 真正 实现 素质 教 育 ， 数 学教 学 中作 者 注 重 “ 形 结 合 ” 想 在 数 思 的渗 透 。 学生 的数 学 能力 得 到很 大 的提 升 。 面 直 角 坐标 系 使 平 是 数 形 结 合 的桥 梁 ， 了 它 ， 方 面 ， 够 借 助 于 图形 可 以 将 有 一 能 许 多抽 象 的数 学概 念 和 数 量 关 系形 象化 、 单化 、 观 化 另 简 直 方 面． 能将 图形 问题 转 化 为 代数 问题 ， 以获 得 精 确 的结 论 。 关 键词 ： 形 结合 初 中数 学教 学 作 用 数
速 、 效 地解 决 问 题 奠 定 良好 的基 础 。 有 在 推 行 素 质 教育 的今 天 ， 发 学生 的创 新 思 维 ， 学 生 在 开 让 创 造 中学 会 学 习 ， 挥 学 生 的 主观 能动 性 成 为 重 中之 重 ． 以 发 所
过 学 习 数 学 知识 、 能 和方 法 ， 渐 形成 自己 的数 学 思 想 和 方 技 逐 法 ， 学 生 学 会用 数学 的 眼光 看 待 生 活 中 的 人 和 事物 ， 让 会用 数 学 的 知 识解 决 生 活 中 的实 际问 题 。 么 ， 为 最基 本 的 数学 思 那 作 想 之 一 的数 形 结 合 思 想在 新 课 程 中 又是 怎 样 体 现 的 呢？ 下 面我 们 结 合 中学 数 学 教学 的现 状 ．从 数 形 结合 思想 的 重 要 性 、 形 结合 相关 知识 点 的 体 现 、 何 实 现 数 形 结 合 三 方 数 如 面 阐 述 数形 结 合 思想 在初 中数 学教 学 中 的应 用 。 数 形 结合 思 想 的 重 要性 几何 本 身 缺 乏严 密性 ， 而代 数 本 身 却又 缺 乏 直 观性 。 只有 将 二 者有 机 地 结 合 起 来 ，互 相 取 长 补 短 ，才 能 突 破思 维 的 限 制 ． 快 数 学 的发 展 。 加 数 与形 是 数 学研 究 的 两大 基 本 对 象 。“ ”是 指 数 与 式 ， 数 “ ” 指 图形 与 图像 。数 形 结 合 的思 想 可 以 变抽 象思 维 为 形 形 是 象 思 维 ， 示数 学 本 质 的 东西 。 揭 直 角坐 标 系 的 建 立 可 以将 代 数 和 几 何 问 题 紧 密地 联 系 起 来 ． 许 多 实 际 问 题 的解 决 提 供 新 的 思 路 和 策 略 ． 问 题 的 为 对 解 决 产 生 事 半 功 倍 的 效 果 。 因而 数形 结 合 的 重 点 是 研 究 “ 以 形 助 数 ” 。 １ 形 结 合 思 想在 有 理 数 中 的应 用 ． 数 从 数 形 结 合 的 角 度 出发 。借 助 数 轴 处 理 好相 反数 和绝 对 值 的 意 义 ， 理 数 大小 的 比 较 ， 理 数 的分 类 ， 理 数 的 加 法 有 有 有 运 算 ， 等式 的解 集 在数 轴 上 的表 示 ， 等 。 实数 轴 上 ， 反 不 等 在 相 数 就 是 在 原 点 两 旁 到 原 点 距 离 相 等 的 两个 点 所 表 示 的数 ， 而
数形结合思想在中学数学中的运用
ＡＡＢＣ的内角 Ａ满足 ｃｏｓＡ）＜０，则 Ａ的取值范 围
是
．
—
—
解 ：由于函数 厂（ ）是一个抽象 函数 ，因此可根
据 函数 有关性 质 ，由题 意构 造 出符合 条 件 的一个 特
殊 函数 图象 ，如右 图所示 ，由图象及 三角形 内角 范 围
· ５２ ．
《数学之友》
２０１３年第 ２０期
可知：０＜ｃ。 ＜丢或一１＜ Ｊ ，，
例４若不等式 ＞ ＋吾的解集是（４，６），求
｝ ／ 一ห้องสมุดไป่ตู้ ｃ。
１
＜ 一 ， 故 答 案 为 ： ／／ １ ｏ
一
口，ｂ的值． 解 ：本 题 中含 有 参 数 口，
（｝詈）ｕ（ ， ）．
例 ２ 函数 ）＝Ｍｓｉｎ（雠 ＋ ）（ ＞０）在 区 间 ［口，ｂ］上是增函数 ，且 口）＝一Ｍ＇，（ｂ）＝Ｍ，则函数
③ 构造 ，比如构 造 几何 图形 ，构 造 函数 ，构 造 图 表等． ２．２ 运 用数 形 结合 思 想 解题 的 三 种 类 型及 思 维
方 法
① “由形 化数 ”：借 助所 给 的 图形 ，仔 细 观 察 研 究 ，揭示 图形 中蕴含 的数量关 系 ，反 映几何 图形 内在 的属性．
ｂ，为避免繁杂 的讨论 ，可借 助 函数 图 象 ，因 此 需 构 造 已 知 函数．设 Ｙ。＝４７，它的图象
ｇ（ｘ）＝Ｍｃｏｓ（ ＋ ）在 区 间 ［口，ｂ］上 的最 值 为 是经过原点的函数 Ｙ＝ Ｔ的图象，设 Ｙ２＝似 ＋÷（
解 ：利用 特殊 值 法 ，构 造 一 个特殊 函数，并 通过 画 出图 象 进行观察．取 Ｍ ＝１， ＝１， ＝ ０，￣ｌｆ（ ）＝ｓｉｎｘ，ｇ（ｘ）＝ｃ０舛，在
数形结合,并蒂花开——数形结合思想在初中数学几何教学中的运用
教法研究数形结合，并蒂花开——数形结合思想在初中数学几何教学中的运用刘亚会摘要：数学作为一门集抽象、复杂的特点于一体的学科，对学生思维方式的要求非常高。
但是小学教育对学生的抽象思维培养并不严格，造成学生进入初中学习几何问题是有一定的困难。
初中教师应该对学生进行正确引导，对学生的抽象思维进行培养，利用树形思维融入日常学习。
本文将数形结合思想渗透入初中教学中，让学生对几何图形有更深入的了解和认识。
关键词：思想；几何；数形结合数学几何的教学一直是初中教学的重难点，因为小学知识体系对抽象思维能力的培养并未重视，所以学生在初中的几何学习并不是很应用自如。
初中教师应该有意将数形结合的思想融入到日常学习中，运用正确的方法，用图形结合习题，帮助学生理解，并培养其抽象思维能力。
以下的一些解题方法可供老师在日常教学中加以运用。
一、“树形结合”在三角函数的应用作为初中知识的重难点之一，三角函数的相关知识点对于初中学生来说无疑是陌生而又有难度的。
理解三角函数的定义，厘清变量之间的关系对于接触函数时间不长的初中生来说是很有难度的。
教师应转变教学方法，以学生不抵触较为有难度的知识点为目标，尽量通过简单的、容易理解的方式为学生讲解。
“数形结合”是有利的方法之一。
例如：只有通过“数形结合”的思想，才能将三角函数问题形象化，体现在图中有助于学生定量分析，将抽象化为具象。
三角函数利用数形结合的思想的难点在于，正确引导学生分析各个变量，以及三角函数在三角形中表达的含义。
学生再解决三角函数相关问题时能够养成画出相应三角形解决问题的习惯，例如在刚开始接触三角函数概念时，需要记忆余切,正切等相关概念，利用三角形辅助，帮助学生理清概念，记忆深刻。
图形的介入会使抽象的函数问题较为具体地呈现出来，例如通过求反比例函数中图形的面积问题，教师可以引导学生从较为简单和方便的方式辅助学生，并且发现反比例函数的性质和变量之间的关系。
二、利用“数形结合”解决几何问题对于初中学生来说，强调抽象思维的几何知识一直是学习中的重难点，要求学生有能力完成“数”与“形”的相互转换。
数形结合思想在初中数学解题中的应用
22教育版内容摘要：本文介绍了初中数学解题中的一种重要的思想方法——数形结合. 数形结合思想主要是利用了数的结构特征，绘制出同其相对应的数学图形，同时通过对图形特点及规律的运用，使数学问题得到解决，或是将图形转化为代数，无需进行推理，便将要解答的问题转变为数量关系.在数学教学中合理结合数形结合思想能够有效调动学生的积极性，让学生通过直观的视觉观察来理解数学的概念和知识，为学生解题提供一定的帮助.关键词：数形结合 初中数学 应用一、数形结合的本质和内涵：数形结合思想就是通过对数与形间关系的运用，对数学习题中的知识点及问题进行研究，从而使问题得到解决的一种方法.分析及研究数与形间的关系，学生会清晰地看到数与形之间在一定的状况之下是能实现转换的.它们之间具有一定的等量关联，能让学生更加深入地对知识进行理解，并解决相关问题.在初中数学中，数指的是方程、函数、指数等，形指的是函数图形与几何图形.学生若能把它们结合起来运用，就能使问题的解答更加容易，从而提升学生解题的能力。
二、数与形之间的转化：中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合.作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”.“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。
三、数形结合思想在初中数学解题中的应用：（一）数形结合思想在数与式问题中的应用。
数形结合的教学思想可以把有理数和数轴紧密联系起来.所有的有理数都可以在数轴.上找到相对应的唯一的点，如果想要对比两个有理数的大小，就可以通过比较分析在数轴上两个有理数的位置关系来得出结果.同时，依据数轴上原点与点的位a 、b ．（图略）【分析】 由上a ，b 的位置可以得到a <b．∴a =−，ab b a −=−【解】 ()a b a +−除此以外，数形结合思想还运用于一些图形类的规律题中，比如下面这个题目.【例2】 如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n 条“金鱼”需要火柴______根。
数形结合思想在中学数学的应用
作Ｂ 点关 于 的对称 点曰 （ ， １ ，则ｌ 轴 ２ 一 ） ｙ 的最小 值 为Ａ Ｂ＝ 、 ＝／ ． 、 例２ 已知０ ６ ｍ ，， 为正实数 ， 且有ｎ ６ 求证 ： ＜， ＞
Ｄ
（） ３ 利用函数图像 的特点把握 函数的性质 ： 一次函数 的斜率 （ 倾斜程度 ）截距 ， 、 二次 函数 的对称轴 、 口、 开 判别式 、 两根之 间
证明 ： 图３ 作边 长为 １ 如 ， 的正
方 形Ａ Ｃ 在Ａ 上 取 点 Ｅ 使４ ＝ Ｂ Ｄ， 曰 ， Ｅ
Ｇ １ｂ Ｄ －
的距 离 等．
Ｄ十 ， ｎ
（） ４ 一元二次方程 的根的几何意义是二次 函数图像与礴由 的
交点．
分析 ： 本例证法虽 有很多 ， 但
若 用几 何图形面积去证 ，则更能 看清 问题的实质． 证 明： 利用ｎｂ ｍ构造矩形 （ ，， 如图２ ）
Ｓ＝ ，３ｍ ， 为 ａ ｂ 所 以Ｓ＜ ３ Ｉ Ｓ＝ ｂ 因 ， ＜， ｌ５， 斤 ＩＳ＜ ３５． ｜＋ ４ａ ｂ ｍ）Ｓ＋ ６ ａ ｍ）所 以 ｎ６ ） 以Ｓ＋ ４５＋ ４ ｓ Ｓ＝ （ ＋ ，３Ｓ＝ （＋ ， 而 １ （ ＋ １＜
二、 以形 助 数
⑩湖北省武 汉市 旭光学校
张东 林
几何图形具有直观易懂的特点 ， 所以在谈到 “ 数形结合 ” ， 时
更 多的老师和学生更偏好于 “ 以形 助 数 ”利 用 几何 图 形 解 决 代 ，
数 问题 ， 常常会产生 “ 出奇制胜 ” 的效果 ， 使人愉 悦． 直观运 几何 用 于代数主要有 以下几个方面 ： （） １ 利用 几何 图形帮助记忆代数公式 ， 例如 ： ａ 正方形 的分割 图可 以用来记忆完全平方公式 ； ） ｂ 将两个全等的梯形 拼成一个平行 四边形可 以用来记忆梯 ） 形 面积公式等． （） ２ 利用数轴或坐标系将一些代数表达式赋予几何 意义 ， 通 过构造几何图形 ， 依靠直观帮助解决代数 问题 ， 或者简化代数运
数形结合思想在初中数学教学中的运用研究
数形结合思想在初中数学教学中的运用研究一、数形结合思想是数学中一个重要的思维方式和方法论，在初中数学教学中，将这一思想运用到教学实践中，可以促进学生对数学知识的理解和掌握，提高数学思维能力和解决问题的能力。
本文将结合实例，论述数形结合思想在初中数学教学中的运用。
二、数形结合思想概述数形结合思想是指在解决数学问题时，将数学知识和几何图形结合起来，通过图形的特征和性质对问题进行分析和解答的思维方式。
数形结合思想可以帮助学生更直观地理解抽象的数学概念和定理，增强数学思维的感性认识和几何直觉。
三、数形结合思想在初中数学教学中的运用（一）代数和几何的结合初中数学中许多知识点都是代数和几何相互联系的，如平面图形的性质与面积公式的推导、速度、时间、距离等量的换算等。
这时，我们可以采用数形结合的方法，通过几何图形的形式引入代数式，让抽象的代数符号通过图形形象化。
例如，面积公式的推导就是典型的数形结合思想的应用，通过画出一个高为h、底为b的梯形，再将它划分成小矩形，用已经知道的面积公式求得所有小矩形的面积，然后将这些小矩形面积加起来，就得到了梯形的面积公式S=(a+b)h/2。
（二）解决几何问题初中数学中，学生需要掌握许多的几何定理，例如，勾股定理、相似的判定法等几何问题。
这些几何定理和知识对于学生来说可能会感到较抽象，难以理解。
但在实际操作时，我们可以通过数形结合思想的方式，将几何图形与代数运算结合起来，用更加直观的方式解决问题。
例如，在教学勾股定理时，可以将其对应于一个单位圆内一条斜率为k的直线与与x轴垂直的直线所围成的三角形，更加具体地理解未知边长所代表的具体数值，帮助学生直接用数值求解勾股数。
（三）提高解题能力通过数形结合思想，可以更加直观地帮助学生理解和掌握数学知识和技能，从而有助于提高学生解决数学问题的能力。
例如，在解决数列求和问题中，可以引入图形表示数列中每个数的大小和位置，从而帮助学生理解数列求和的规律和方法；在解决方程组问题中，也可以通过图形来表示方程组的解，从而帮助学生直观地理解方程组的解法。
数形结合在中学数学中的应用
数形结合是指在数学学习中，将数学概念与图形相结合，使学生能够用图像理解数学概念。
在中学数学中，数形结合可以应用在以下几个方面：
1、图形描述数学概念：在数学学习过程中，可以使用图形来帮助学生理解数学概念，如使用图像来表示函数的变化规律。
2、图形描述数学问题：在解决数学问题时，可以使用图形来表示问题的实际意义，如用图像来描述圆的面积和周长。
3、图形描述数学结论：在得出数学结论时，可以使用图形来帮助学生理解结论的意义，如用图像来说明勾股定理的正确性。
4、图形描述数学方法：在数学方法中使用图形：在使用数学方法解决问题时，
可以使用图形来帮助学生理解方法的步骤和过程，如使用图像来说明分数的加减法规则。
通过数形结合的应用，可以使学生在学习数学时更加直观地理解数学概念和方法，提高学习效率。
中学数学教学中“数形结合”思想的运用
解函 ） 』ｉ＇ ｏ ， 图 可 ：数厂 一 。ｉ ｚ［７ 图 象 数， ｉ眦， （ ｃ 由 象 可 （ ｚ ， ］由 眦 ∈， ］
一
中， 巧妙运用 “ 数形结合 ” 思想解题 ， 可以化抽 象 为具
体， 效果 事半 功 倍 ．
二 、 题 分 析 例
知 ： ＜五 ３ １ ＜ ．
一
分析 ： 本题根据 函数解析式 ， 画出图象 ， 可以直观 而简 明地得 出答案 ， 在有 时间限制 的高考 中就能 大大
地 节 约 时 间 ， 高考 试 的效 率 ． 提
样， “ ” 有 数 必有 “ ” 有 “ ” 有 “ ”华 罗 庚 先 生 形 ， 形 必 数 ．
曾说 过 ：数 与 形 本 是 相 倚 依 ， 能 分 作 两 边 飞 ， 缺 “ 怎 数 形 时少 直 觉 ， 少 数 时难 入 微 ， 形 结 合 百 般 好 ， 离 形 数 隔
分析 ： 由于 Ｉ一２ ｉ— ｌ一 （ ＋ ２） ， 明显 的 —２ ｊ ２ ｉ Ｉ有
￣ ２ 一 （３ １ ／ √ ）
几何意义 ， 它表示复数 对应的点 到复数 ２ ＋２ 对应 的点之间的距离 ， 因此满足 Ｉ 一２ 一√ —２ ｌ ２的复数 对应的点 ｚ， 以（ ， ） 圆心 ， 在 ２２ 为 半径 为√ 的圆上 （ ２ 图
例 ２ 函数 ｆ ｘ 一ｓ Ｌ－２ ｉ ＿∈Ｅ ，Ⅱ 的 图 ｉ ） ｉｚｌ ｓ ｘ， ｒ－－ ｎ １ ｏ ２ ］ ，
象 与 直 线 一是有 且 仅 有 ２ 不 同 的 交 点 ， ｋ的 取 个 则
１。 为很 然 与 的 程 系 来而 恰 一化 ，自 地 圆 方 联 起 ，考 为
．． Ｉ． Ｉ ●
点（ ） ， 与原点连线 的斜 率 ， 这便 把问题与 “ 结合 形”
数形结合并蒂花开——数形结合思想在初中数学教学中的运用
数形结合?并蒂花开 ——数形结合思想在初中数学教学中的运用发布时间：2021-08-02T15:11:48.103Z 来源：《中小学教育》2021年3月9期（下）作者：李永贞[导读] 初中数学是提升学生思维能力、理解能力、认知能力的重要载体，更是塑造学生核心素养、促进学生全面发展的基本途径。
李永贞吴忠市第四中学宁夏吴忠 751100摘要：初中数学是提升学生思维能力、理解能力、认知能力的重要载体，更是塑造学生核心素养、促进学生全面发展的基本途径。
同时，随着新课标的颁布、新课程的实施，初中数学的难度、要求、标准也有了显著提升。
这使得积极探寻有助于初中数学教学效能提升的全新手段与科学措施显得尤为重要。
而数形结合思想的有效应用，则为初中数学教学方法创新与手段优化铺设了广阔路径。
而且，面对诸多辅助性图形、图例、图式的驱使，数学教学的直观性、形象性、延展性也会得到切实增强，学生学习数学的兴趣与热情也会得到充分调动。
另外，数形结合思想更是减低课堂教学难度、促进学生认发展的重要途径。
因此，教师在落实初中数学教学实践时，应加强对数形结合的渗透与应用，让学生的“形”的辅助下理解“数”的特点，在“数”的作用下感知“形”的内涵，以达到提升数学教学效率，促进学生全面发展的目的。
并借助数形结合思想作用的发挥，来拓宽初中数学教学路径，优化课堂教学模式，让初中数学教学的开展更好服务于学生身心全面发展。
关键词：数形结合思想；初中数学；数学教学；运用数形结合思想是数学教学领域应用教广泛、效果更显著的有效思想方法之一。
其旨在通过数字与图形的切换，用更为直观的“形”来展示较为抽象的“数”，通过“数”与“形”之间的过渡、迁移，来促进学生认知发展。
更为重要的是，在数形结合思想的引领下，很多比较复杂、抽象、疑难的文字信息、数学公式、数学符号、运算规则等都可以得到更为直观具体的呈现，更利于学生数学学习积极性的调动。
因此，结合初中数学教学特性与育人目标，教师可以通过对数形结合思想的充分运用，帮助学生利用数轴、函数图像、几何图形等来解读代数关系，使比较抽象的数字符号和代数模型更具形象化。
数形结合思想在中学数学中的应用
数形结合思想在中学数学中的应用学院名称：数学计算机科学学院专业名称： 10数学与应用数学专业姓名：吴晨晨同组人员：王帅帅指导教师：戴普庆数形结合思想在中学数学中的应用摘要数与形是数学中两个最主要最基本的研究对象，数与形是紧密相连的，在一些特定的条件下，数与形是可以相互转化的，这就是“数形结合”。
数形结合作为数学学习的一个重要思想，在数学学科中占有重要的地位。
本文中主要介绍了数形结合研究背景及意义；在中学教学中的地位；应用数形结合的原则和途径以及数形结合思想在中学解题中的应用等问题。
通过分析、比较和归纳充分展现数形结合思想在解题中的特点和优越性，从而在实际教学中要将数形结合思想融汇到课堂中，培养学生加强数形结合思想的意识。
关键词数与形；数形结合；中学数学The combination of shapes and number in the middle school Abstract The number and shape are the two most major and basic research objects in mathematics, and they have close relationship. In some specific conditions, they are interchangeable,which is named the combination of shapes and number.The combination of shapes and number is an important thought in mathematics studying,while it occupies an important position in mathematics, too. This article mainly introduces：the research background and significance of the combination of shapes and number,it's position in the middle school teaching ,the principles and ways of it's application ,and the application of the combination of shapes and number thought in the middle school problem solving and so on. Through the analysis, comparison and induction,it shows the combination of shapes and number thought's characteristic and advantages in the problem solving, which in actual teaching ,we should form together with this thought to the classroom, training students to strengthen the consciousness of the combination of shapes and number thought.Keywords Number and shape The combination of number and shapes The mathematics of the middle school目录摘要 (1)Abstract (2)前言 (4)1 数形结合思想方法概述 (4)1.1 数形结合思想的研究背景 (4)1.2数形结合思想的研究意义及作用 (5)2 数形结合思想方法在中学数学教学中的地位 (5)2.1从新课程标准对思维能力的要求看数形结合 (5)2.2从新课程教学内容的特点来看数形结合 (5)2.3从高考题设计背景来看数形结合 (6)3 数形结合思想应用的途径和原则 (6)3.1．数形结合的途径 (6)3.2．数形结合的原则 (7)4 数形结合思想方法在中学解题中的应用 (7)4.1“数”中思“形” (7)4.1.1利用韦恩图法解决集合之间的关系问题 (7)4.1.2 利用数轴解决集合的有关运算 (8)4.1.3 数形结合思想在解决对称问题中的应用 (8)4.1.4 利用函数图像比较函数值的大小 (9)4.1.5 数形结合思想在解方程问题中的应用 (9)4.1.6数形结合解决最值问题 (10)4.2“形”中觅“数” (10)5 结束语 (11)参考文献 (11)致谢 (12)“数形结合”一词正式出现在华罗庚先生于1964年1月撰写的《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》的科普小册子中。
数形结合思想在初中数学教学活动中的应用
２ ０ １ ３Biblioteka 第 ７ 期 （ 总 第 ７ ９ 期 ）
数形结合思想在初中数学教学活动中的应用
口 项 义 兰
“ 数” 和“ 形” 是数学研 究的两大 对象 ， 数形 （ ３ ） ２ ０ １ ２ 有７ 个 小题 （ 第４ 、 ６ 、 ７ 、 １ ０ 、 １ ２ 、 １ ４ 、 结合简言之就是数 和形 两方面的转化 ，即 以数 １ ６ ） ， 有５ 大 题（ 第 １ ８ 、 １ ９ 、 ２ １ 、 ２ ２ 、 ２ ４ ） ， 共 ８ Ｏ 分， 解形和以形助数。在新课程标 准实施 的背景下 ， 占卷 面总分 的百分 比为 ５ ３ 、 ９ ％。 运 用数 形结合思想解题 的题型在近几年 的 本文从 以下三个方 面展 开 ：数形结合在初 中数 学 的意义 ， 中考 中应 用数形结合思想解题现状 ， 中考 中所 占的 比例 比较稳定 ，处在非常重要 的 位置， 但学生在应用数形结合解题对 于文字 、 符 数形结合在初 中数学解题 中的应用 。 在初中数学教学活 动中的意 义 号、 图形语 言的互译还不够熟练 ， 而且普遍感 到 新的一轮数学课程改革在许 多方面都发生 数形结合解决 问题 的难度较大。 三、 数形结合在初中数学解题 中的应用举例 了 比较大 的变化 。《 标 准》 在理念上有很大 的变 化， 这些变化 主要 表现在以下几个方面 ： 不仅强 数 形结 合的思想 ，其实质是将抽象 的数学 调数 学的基础 知识 、 技能、 技巧， 同时也 强调数 语言与直观的 图象结合起来 ，关键是代数 与图 学思 考 、 问题 解决 、 情 感态度 目标 ； 不仅 强调数 形之间的相互转化 ， 它可 以使代数 问题 几何 化 ， 在运用数形结合思想分析和解 学 的基础知识 ， 同时强调数学的应用 ， 要求用 大 几何 问题代数化． 量 的实例来 引入和说明抽象的数学知识 ；在思 决问题时 ，要彻底 明白一些概念 和运算 的几何 维 和能力 的培养方面提高了要求 ；不仅强调数 意义 以及 图形 的代数特征 ，对数学题 目中的条 学学 习的结果 ， 同时也强调数学学 习的过 程等 ， 件 和结论 既分 析其 几何 意义 又分 析其 代数 意 恰 当建立关 系， 由数思形 ， 以形助数 ， 做好数 有利 于促进学生对数学知识的理解。长期以来 ， 义； 学 生 解 了 大 量 的 题 目 ，但 不 少 人 的 解 题 能 力 未 形 转 化 。 １ ． 数 形 结 合 思 想 与 不等 式 问题 见提高 。具 体的情况是 ， “ 许多 同学懂 了课本 内 容却不会解 题 ，还有的解了许多题却说不清 思 数轴 的 引入是 有 理数 内容 体 现数 形结 合 路” ，其原 因是 ： “ 数 学解题 的规律被 简单化 为 思想 的完美结合 。 由于对 每一个有 理数， 数轴 ‘ 对题型 ， 套解法 ’ ， 由此产 生了盲 目的 ‘ 题海 战 上都 有唯 一确定 的点 与 它对应 ， 因此， 两个 有 是通 过这两个 有理数在 数轴 术’ 、 ‘ 习题效应 ’ 和解题教学新八股 ” ， 按这样 的 理数 大小的 比较 ， 趋 势发展下去 ，越来越多的学生 只是 简单 地模 上对 应点 的位置关 系进行 的（ 实数 的大小 比较 仿解题 的套路 ，而不去重视对知识本身的理解， 也是 如此） ， 相 反数 、 绝对值 概念 则是通 过相应 无 法提高解决问题的能力 ，更谈不上创新 能力 的数 轴上 的点 与原点 的位置关 系来 刻划 的。 尽 的培养。 管我 们学 习的是有理数 ， 但要 时刻牢记 它的形 学生 在解 题过 程 中往 往会 出现 数 与形 分 （ 数 轴 上 的点 ） ， 通 过渗 透 数形 结 合 的 思 想方 离 的情况 ， 只注重 用形或 只注重用数 解题 的片 法， 帮助初 一学生正 确理解有理 数 的性质 及其 面做法 ， 导 致解 题思路 清 晰 ， 但 解题 过 程繁 琐 运 算 法 则 。 的现象 。 例１ ． 实数 ａ 、 ｂ在数轴上的对应点如 图 １ 所 比较 ａ ， ｂ ， 一 ａ ， 一 ｂ的大 小 。 数形结 合是一种重要的数学思想 ， 是 数学 示 ， 解题 中～种重要 的方法， 利用数形结合解题可以 解此题可直接 赋予 ａ 、 ｂ特殊 值 ，使 问题简 从形 到数 转化 ） 。也可以利用相反数在数 充 分发挥数与形的优势 ，对题 目 既有进行 几何 单化 （ ａ ｘ － ｂ对 应 的位 直 观的刻画又进行代数 的量化分析 ，从不 同的 轴 上 的位置 关 系在 图 中找到 一 两个 角度对题 目 进行把握， 有利于提高学生的解 置 。利用数轴 上点的位置与大小关系 比较而得 题 能力 ， 找出代数 问题 的几何背景 ， 追本溯源 ， （ 从数到形转化 ） 。 体会 蕴含在其 中的思想方法 ； 将抽 象问题 具体 化， 促 进形象思 维和抽象思维 的共 同发展 。 二、中考中应用数形结合思想解题现 状 从温 州市近三年数学考试卷来看 ， 整 体稳 定， 难度值控制在 ０ ． ７ ５左右 ， 呈现稳定 、 平实 、 创 ２ ． 数 形 结 合 思 想 与 函数 问题 新 的特点 ： 结构 、 题型相对 稳定 ， 从 知识点分 布 数轴 的建立使人们对 数与形的统一有 了跳 看， 试 卷覆盖面很大 ， 在新课标 所要 求各知识点 跃式 的认识 ，把实数集与数轴上的点集一一对 系列 中基 本上都有 实体 ， 考查 的知识 、 技能 、 方 应起 来 ， 数 可以视为 点 ， 点也 可 以视为 数 ， 点在 法 不偏不怪 ， 一些试题 明显取 自于教材 ， 对 中学 直线 上的位 置可以数量化 ， 而数 的运算 ， 也可 以 数 学的教与学具有很好 的导 向作用 ； 淡化技巧 ， 几何化 ； 在此基础上 ， 笛卡尔又把数轴拓展到 了 注重通性 通法。核心是考查思维 能力， 重要 的数 直角 坐标系。在中学数学 中几乎所有 图形都 是 学思想方 法重点考查 ；注重数学本质 的理解， 试 建立 在直角坐标系 中，奠基人笛卡儿 的主要 数 学成 果都集中在他 的“ 几何学 ” 中。当时的代 数 题 淡中见隽 ， 突出数学 是思维 的学科 的特点 。 而数形结合是 中学数学 中最重要 、最基本 学 ， 他觉得它完全从属于法则 和公式 ， 不 能成 为 的数学思想方法之一 ，看一 下近三 年来温州市 门改进智 力的科学。因此他提 出必须把几 何 中考试卷 中对数形结合思想考察 比例情况 ： 与代数 的优 点结合起来 ，建立一种 “ 真正 的数 （ １ ） ２ ０ １ ０年 有 ９个 小题 （ 第 ２ 、 ３ 、 ５ 、 ９ 、 １ ０ 、 学” 。其 核心内容是 ： 把几何学 的问题归结成代 １ ２ 、 １ ３ 、 １ ４、 １ ６ ） ， 有 ４个大 题 （ 第 １ ９ 、 ２ １ 、 ２ ２ 、 ２ ４ ） ， 数 形式 的问题 ，用代数 学的方 法进行计 算 、 证 共８ １ 分， 占卷 面总分 的百分 比为 ５ ４ ％。 明， 从而达 到最终解决几何问题的 目的。依照这 （ ２ ） ２ ０ １ １年 有 ８个 小题 （ 第 ４ 、 ５ 、 ８ 、 ９ 、 １ ０ 、 种数学 思想 他创 立 了我们 现 在 的 “ 解 析几何 １ ２ 、 １ ５ 、 １ ６ ） ， 有 ５大 题 （ 第 １ ９ 、 ２ ０ 、 ２ １ 、 ２ ３ 、 ２ ４ ） ， 共 学” 。把 相互对立着的“ 数” 与“ 形” 统 一起来 ， 使 几何 曲线 与代数方程相结合 。 ８ ７ 分， 占卷面总分 的百分 比为 ５ ８ ％ 。
小议数形结合思想在中学数学中的应用
小议数形结合思想在中学数学中的应用摘要：数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
“数形结合”是数学思想中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。
新数学教材的内容充分体现了这种思想。
关键词：数形结合；数轴；函数；方程随着教育改革的不断深入，越来越多的教育工作者、特别是一线的教师们充分认识到：数形结合思想在数学研究和数学应用中的重要性。
数形结合思想是指将数(量)与(图)形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。
著名数学家华罗庚先生说：“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难人微，数形结合百般好，隔离分家万事休。
”这充分说明了数形结合思想在数学研究和数学应用中的重要性。
以下内容充分体现了这一思想。
1、数形结合思想在数轴上的应用数轴上的点与实数的一一对应的关系。
在苏教版七年级数学教材中第二章中，借助数轴了解相反数的概念，知道互为相反数的一对数在数轴上位置关系，能利用数轴比较有理数的大小。
让学生经历从实际中抽出数学模型，感受数形结合思想在数学学习中的作用。
例如在下面这个数轴上：(1)由点读数练习，指出数轴上a、b、c、d各点分别表示什么数。
(2)由数找点练习，在所给数轴上画出表示下列各数的点＋4、-1.5、-4、2、0、1.5、-3在数轴上我们可以很清楚的看到数轴上的点与实数的一一对应的关系，d点与b点表示的数互为相反数，它们到原点的距离相等。
数形结合思想能更好的体现相反数的特点，让学生更容易理解。
2、数形结合思想在角度上的应用例如直线ab、cd相交于点o，且∠aod＋∠boc＝220°，则∠aoc 为多少度?为什么?这一题如果不通过图形来说明，学生很难理解。
通过数形结合思想可以很形象的表示角度之间的数量关系，如两条直线相交会产生对顶角。
∠aod与∠boc是一对相等的对顶角，和等于220°很容易求出∠aod的度数，而∠aod与∠aoc互补，从而很快求出∠aoc 的度数。
数形结合思想在数学教学中的应用
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文章编 号 ： ６ ３ ９ ９ （ ０ ０ （） ０ １ － １ １ ７ — ７ ５ Ｚ １ ） ２ ｂ一 Ｉ ０ ２ ０
度 走 向 完善 。 因此 数 形 结 合 是 一 种 重 要 的 ” 思 想 ， 是 一 种 方 法 。 面 通 过 几 个 例题 阐 更 下 述 数 形 结 合 思 想 在 中 学 数 学 教 学 中 的 具 体 应用 。 例 ｉ 已知 五是 方 程 Ｘ ｏ ， ：２的解 ， ： ＋ｉｇ Ｘ 是 方 程 Ｘ ＝２的解 ， ＋２ 求 ＋Ｘ 的 值 。 ２ 【 析】 解 表面 看 ， 本题 似 乎 与 函数 的 图象 和 数 形 结 合 方 法 毫 无 关 系 ， 细 分 析 ， 能 仔 却 发 现 两 个 方 程 的 联 系 在 于 函数 Ｙ＝Ｉ ｇ ｏ， 与 函数 Ｙ＝２ 互 为 反 函数 ， Ｘ ， ２ 别 是 且 ｌ Ｘ分 它 们 与 直 线 Ｙ＝２ Ｘ的 交 点 横 坐 标 ， 是 一 于 考 虑 利 用 互 为 反 函数 的 两 个 函数 的 对 称 性 求解 。 在 同 一 坐 标 系 中 做 出 以 上 三 个 函数 的 图象 。 如图１ 所示 。 设 直 线 ＝２一 与 ． ｙ＝２ 、 ＝ｌｇ２ Ｙ ｏ Ｘ 的 交 点 分 别 为 Ａ、 则 Ａ、 Ｂ， Ｂ两 点关 于 直 线 Ｙ＝Ｘ对 称 ， 它 们 的 中 点在 直 线 Ｙ＝ 上 ， 且 即 Ｙ＝Ｘ与 Ｙ＝２一Ｘ的 交 点 ， 以 所
化 难 为 易 的 目的 。
关键 词 ： 学思想 数形结合思想 数 与形 数 中图分 类号 ： １ Ｇ ７ ２ 文献 标识 码 ： Ａ 数 学 思 想 是 人 类 对 数 学 知 识 以 及 数 学 方 法 的 本 质 认 识 。 学 知 识 和 方 法 是 形 成 数 数 学 思 想 的 基 础 ， 数 学 思 想 是 对 数 学 知 而 识融会 贯通的 理解和 升华 ， 只有 掌 握 了深 层 次 的 数 学 思 想 ， 算 掌 握 了数 学 知 识 的 才 核 心 ， 此 通 过 在 教 学 中 对 学 生 数 学 思 想 因 的 培 养 ， 使 学 生 的 数 学 的 能 力 有 一 个 大 能 幅 度 的 提 高 。 学 数 学 主 要 的 数 学 思 想 有 中 函 数 方 程 思 想 、 形 结 合 思 想 、 类 讨 论 思 数 分 想 和 化 归 与 转 化 思 想 ， 数 形 结 合 思 想 是 而 高 中数 学 教 学 中 所 渗 透 的 最 重 要 、 用 最 应 广泛 的思想方法 。 数 学 是 研 究 现 实 世 界 空 间 形 式 和 数 量 关 系 的 科 学 ， 数 与 形 是 数 学 研 究 对 象 的 而 两 个 侧 面 ， 数 量 关 系 和 空 间形 式 结 合 起 把 来 去 分 析 问 题 、 决 问 题 ， 是 数形 结 合 思 解 就 想 。 体来说 ， 量关系获得 几何解释 ， 具 数 可 以 使 问 题 变 得 直 观 形 象 ， 人 易 于 洞 察 问 使 题 的 本 质 ， 何 问题 得 到 代 数 表 示 ， 以 实 几 可 现 化 难 为 易 的 目的 ， 数 给 人 以 精 确 ， 代 几何 给 人 以 直 观 ， 当 这 两 门 科 学 结 合 成 伴 侣 “ 时 ， 们 就 相 互 吸 取 新 鲜 活 力 ， 最 快 的 速 它 以
中学数学教学中“数形结合”思想的运用及实施
中学 数 学 教 学 中 “ 形 结 合 ＂ 想 的运 用 及 实 施 数 思
谈 家国
（ 都 市 丁沟 中学 ， 苏 江 都 江 江
数 形 结 合 是 根 据 数 量 与 图 形 之 问 的 对 应 关 系 ， 过 数 与 通 形 的 相互 转 化 来解 决 数 学 问题 的一 种 重 要 思 想 方 法 。数 形 结 合思 想 ， 通过 “ 以形 助 数 ， 数 解 形 ” 使 复杂 问题 简 单 化 ， 象 以 ， 抽 问题 具 体 化 ． 从 形 的 直 观 和数 的严 谨 两 方 面思 考 问题 ． 宽 它 拓 了解 题 思 路 ． 数 学规 律 性 与 灵 活性 的有 机 结合 。 面我 从 几 是 下 个 方 面谈 一下 “ 形辅 数 ” 以 在解 题 中的 应用 。 方 程 、 等 式 问题 不 构建 函数 模 型 并 结 合 图像 ， 究 方 程 根 的 范 围 、 等式 的 研 不 解集 、 数范围。 参
一
解 ． 实数 Ｉ的取 值 取 范 围 ． 求 Ｔ Ｉ
ｃ
ｂ
、 ａ
‘
解 ： 方 程 即 为 ｛－＞０ 原 ３ ｆ ｘ
ｚ
误点警示： 抓住 所 比较 式 子 的 几 何 意义 ． 充分 利 用 图 像直
即
观性 。
【 Ｘ＋ ｘ ｍ＝ 一 一 ３— ３ ｘ
一 ｑ — ｙｌ — 童一 Ｉ一 ＝
，
ａ
ｂ
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上 的 点 （ ，（ ） （ ，（ ） （ ，（ ） 与 原 点 连 线 的 斜 率 ， 知 ａ ｆ ａ ） ｂ ｆｂ ） ｃ ｆｃ ） 易
ｆｃ ｆｂ） （ （ ） （ ，ｆａ）
、
【 例 １ 若方 程 ｌ（ ｘ ３ — ＝ｇ ３ ｘ 在 ｘ ０ ３ 内有 唯 典 】 ｇ 一 一 ｘ ｍ）ｌ（一 ） ∈（ ，） ＋
数形结合思想在初中数学教学中的应用
数形结合思想在初中数学教学中的应用摘要：作为数学核心文解力的重要部分，直观的想象力的培养成为中学数学的主要教育目标。
直观的想象力是以思维能力为核心的思考问题的一种形态，在实际教学过程中结合数字和形状的思考可以用在建立数量关系、加深学生的理解、提高解决问题的效率性上。
将教学实习与学生生活联系起来，将技能内容整合起来，从洞悉解决问题的想法的角度出发，详细说明培养学生直观的想象力的战略。
关键词：数形结合；初中数学；教学方法探究数形结合是目前数学教育最有效的方法之一。
初中学生是在发展学习能力的时期，老师应该有意识地培养学生的学习能力，并为课堂教学采用数字和形状相结合的方法。
在数学教育中运用数字和形状的组合，可以使对数学概念的理解变得简单化，可以在学生面前提出数学公式的本质，使学生更容易理解和背诵，减轻学生的学习负担。
数学学习的困难。
在这一点上，教师主要在中学数学教育中运用数字和形状的组合进行分析。
本文针对如何在初中数学教学中运用数形结合思想，提出以下几个观点：一、以学生为中心，提高学生学习主动性在学生的课堂听课过程中，我们教师一定要以学生为中心设计课堂，要让学生在课堂的学习生活中感受到自己收到了关注，让学生在课堂上充分的感受到自己是课堂学习的主体，从而激发学生的学习兴趣，使学生在课堂上能够充分的发挥自己的学习积极性和学习主动性。
数形结合方式的教学在以学生为教学主体的课堂上能够更容易的开展，把学生当作课堂教学的主体能够很好地使学生在课堂上完成学习任务。
此教学方式能够很好地帮助学生解决问题，从而减少自己做题时对教师的依赖。
例如，在带领学生学习《圆的认识》这一章节的内容时，第一次授课所取得的效果并不是特别的明显，于是在课后我对自己的授课方式和课堂讲课内容进行了思考，在思考过后，我意识到，我不能够站在自己的角度去认为自己的讲课非常好，要站在学生的角度去看待问题，只有课堂能让学生满意，这才是最有效最高效的课堂。
针对这一观点，我对课堂的授课进行了改变，采取画图教学来给学生讲解圆的面积、周长，公式的死记硬背不能够使学生理解，而画图能够很好地帮助学生理解面积公式。
“数形结合”思想在中学数学教学中的应用
“数形结合”思想在中学数学教学中的应用作者：黄迪来源：《中外企业家·下半月》 2015年第1期黄迪（沈阳师范大学数学与系统科学学院，辽宁沈阳 110034）摘要：数形结合思想现在越来越被广泛应用到很多领域与学科的学习，数形结合思想是数学学科的理解重点也是最主要用到的一个知识点。
数形结合的思想也是对学习数学整个学科的知识的掌握有着直接影响的思想内容，对高效率的提高数学学习有着积极的影响。
其中,数形结合思想其系统性以及直观形象的性质使之对于解决很多问题都有帮助，另外，数形结合思想对培养人们的分析、逻辑以及思维能力都有着非常明显的作用。
关键词：数形结合；中学教学；教学应用中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1000-8772-（2015）03-0159-01收稿日期：2014-12-17作者简介：黄迪（1994-），女，辽宁朝阳人，沈阳师范大学，数学与系统科学学院，本科在读。
研究方向：数学。
一、数学中数形结合思想的内涵数形结合思想也就是指一种思维，是指人们在利用数形结合的思想这样的思维应用到各个学科的总称。
其实按照内在联系的不同可以有很多数学思想，如化归思想、“分类讨论”思想，以及“由数到形” “由数想形”的思想，“数”与“形”的统一思想。
这些思想不仅被应用到中学数学以及高中整个数学学科教学当中，也被商场企业运用到了企业利润实际问题当中。
二、“数形结合思想”在中学数学中的重要性《新课标》指出：“应该使学生能够用所学的知识解决实际的问题的能力的提升，将理论与实践完好的结合的过程的实现”。
数学中的数形结合思想以及分析、逻辑、归纳等思想对于数学思维的能力的提高都是具有很大的帮助作用。
现在的高考对学生能力的考察不再是简单、无序的知识的考察，更加侧重对反向思维以及推理的考察。
三、数形结合思想在中学数学中的应用数形结合的思想，是充分利用其直观性，激发兴趣，寻找简洁巧妙的解题方法。
掌握数形结合的思想，将理论与实践完美结合会有更大的实际价值。