线段和差最值问题-经典模型(新)
初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)
初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分
析(最全)
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
初中几何中线段和（差）的最值问题
一、两条线段和的最小值。 基本图形解析：（
对称轴为：动点所在的直线上）
一）、已知两个定点：
1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：
（2）点A 、B 在直线同侧：
A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。 （1）两个点都在直线外侧：
（2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两
个点都在内侧：
m
m A B
m B m
A B
m
n
m
n
n
m
n
（4）、台球两次碰壁模型
变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，
在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边
形ADEB 周长最短.
填空：最短周长=________________
变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在
直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.
二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：
n
点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：
2、两点在直线同侧：
（二）动点在圆上运动
点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）
1、点与圆在直线两侧：
2、点与圆在直线同侧：
m n
m
n
m
n
m
m
m
三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。(原理用平移知识解)
线段和差最值问题-经典模型
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线段和（差）的最值问题
此类问题特点：1.两个定点，一个定点；2. 线段和最小值，线段差最大值
一、线段和最小值问题
若在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）两侧/异侧型：定点A、B在直线m（动点P所在直线）两侧：直接连接A、B两点交直线m于一点P，该点P即为所求点。（PA+PB=AB）
（2）同侧型：定点A、B在动点P所在直线m同侧：（方法：一找二作三连）：
一找：找定点A、B，动点P及动点所在的直线m；二作：任选一个定点做对称；三连：连接对称点与另一个定点，其连线交动点所在直线于一点P，该点P即为所求。（PA+PB=PA’+PB=A’B）
二、线段差最大值问题
若在一条直线m上，求一点P，使得最大
（1）同侧型：定点A、B在直线m（动点P所在直线）两侧：直接连接A、B两点交直线m于一点P，该点P即为所求点。()
（2）两侧/异侧型：定点A、B在直线m（动点P所在直线）两侧：任选一个定点做对称；三连：连接对称点与另一个定点，其连线交动点所在直线m于一点P，该点P即为所求点。()
线段和最小值练习题
1．如图1，在锐角三角形ABC中，AB=,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为?????????????．
2. 如图2所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为?????????.
经典几何中线段和差最值(含答案)
几何中线段和，差最值问题
一、解决几何最值问题的通常思路
①两点之间线段最短；
②直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；
③三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）
是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．几何最值问题中的基本模型举例
一般处理方法：
常用定理：
两点之间，线段最短（已知两个定点时） 垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）
三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定时）
二、典型题型
1．如图：点P 是∠AOB 内一定点，点M 、N 分别在边OA 、OB 上运动，若∠AOB =45°，
OP =PMN 的周长的最小值为 6 ．
P
A +P
B 最小， 需转化， 使点在线异侧
B
l
2．如图，当四边形PABN 的周长最小时，a =
4
7
．
3．如图，A 、B 两点在直线的两侧，点A 到直线的距离AM =4，点B 到直线的距离BN =1，且MN =4，P 为直线上的动点，|PA ﹣PB |的最大值为 5 ．
D P
B′N B
M
A
4．动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3，AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在
BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为 2 ．
5．如图，直角梯形纸片ABCD ，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E 、F 分别在线段AB 、
2023年线段之差最值问题(含答案含解析)中考数学压轴满分突破之二次函数篇
中考数学压轴题--二次函数
第7节线段之差最值问题内容导航
方法点拨
(1)在直线l同侧有两点A、B，在直线L上找一点P，使|PA﹣PB|最大；
(2)在直线l两侧有两点A、B，在直线l上找一点P，使|PA﹣PB|最大；
(3)在直线l两侧有两点A、B，在直线l上找一点P，使|PA﹣PB|最小．(1)如下图：
(2)如下图：
(3)如下图：
例题演练
1．如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+2的顶点为A，与y轴交于点B．
(1)求点A、点B的坐标；
(2)假设点P是x轴上任意一点，求证：|PA﹣PB|≤|AB|；
(3)当|PA﹣PB|最大时，求点P的坐标．
（解答）(1)解：抛物线y＝﹣x2﹣x+2与y轴的交于点B，令x＝0得y＝2．
∴B(0，2)
∵y＝﹣x2﹣x+2＝﹣(x+2)2+3
∴A(﹣2，3)
(2)证明：当点P是AB的延长线与x轴交点时，
|PA﹣PB|＝|AB|．
当点P在x轴上又异于AB的延长线与x轴的交点时，
在点P、A、B构成的三角形中，|PA﹣PB|＜|AB|．
综合上述：|PA﹣PB|≤|AB|
(3)解：作直线AB交x轴于点P，由(2)可知：当|PA﹣PB|最大时，点P是所求的点
作AH⊥OP于H．
∵BO⊥OP，
∴△BOP∽△AHP
∴
由(1)可知：AH＝3、OH＝2、OB＝2，
∴OP＝4，
故P(4，0)．
注：求出AB所在直线解析式后再求其与x轴交点P(4，0)等各种方法只要正确也相应给分．
2．如下图，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为点A(﹣2，3)，且抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点B(0，2)．
初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)
初中几何中线段和（差）的最值问题
一、两条线段和的最小值。 基本图形解析：（
对称轴为：动点所在的直线上）
一）、已知两个定点：
1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：
（2）点A 、B 在直线同侧：
A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。 （1）两个点都在直线外侧：
（2）一个点在内侧，一个点在外侧：
m m m
m
A
B
m
n m n
n
m
n
（3）两个点都在内侧：
（4）、台球两次碰壁模型
变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.
填空：最短周长=________________
变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.
二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：
点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：
n
n
m B
n
n
2、两点在直线同侧：
（二）动点在圆上运动
点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：
2、点与圆在直线同侧：
三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：
抛物线与线段和差最值问题(含答案)
线段和差最值问题
一、如图，抛物线2-2
12bx x y +=与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且A （-1，0）. （1）求抛物线的解析式以及顶点D 的坐标；
（2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；
（3）点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC +MD 的值
最小时，求m 的值。
二、如图，在平面直角坐标系中，抛物线c bx ax y ++=2经过A （-2，-4）、B （2,0）、O （0,0）三点。
（1）求抛物线c bx ax y ++=2的解析式；
（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM +OM 的最小值。
三、如图，已知直线y ＝21x ＋1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线y ＝21x 2＋bx ＋c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为(1，0)．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM －MC |的值最大，求出点M 的坐标．
x
C B A
D O
E y
四、已知抛物线bx x y +=22
1经过点A (4，0），设点C （1，-3），请在抛物线的对称轴上确定一点D ，使得CD AD -的值最大，则D 点的坐标为 。
方法总结：
1、（A 、B 两点在直线同侧）线段和最小问题：利用轴对称转化为“两点之间、线段最短”，再利用勾股定理求之；
2、线段差最大问题 分两类（1）A 、B 两点在直线同侧，直接利用“三角形三边关系之任意两边之差小于第三边求解”；（2）A 、B 两点在直线异侧，先利用轴对称转化为同侧，然后再按照（1）方法求解即可，计算过程中需要用到“相似三角形”或“解析式法”求最值或点的坐标.
（完整版）初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析（最全）
（完整版）初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析
（最全）
初中几何中线段和（差）的最值问题
一、两条线段和的最小值。基本图形解析：（
对称轴为：动点所在的直线上）
一）、已知两个定点：
1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小；（1）点A 、
B 在直线m 两侧：
（2）点A 、B 在直线同侧：
A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。（1）两个点都在直线外侧：
（2）一个点在内侧，一个点在外侧：
（3）两个点都在内侧：
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m A
B
m B m
A B
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n m n
n m n
n
n
m B
（4）、台球两次碰壁模型
变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.
填空：最短周长=________________
变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.
二）、一个动点，一个定点：（一）动点在直线上运动：
点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）
1、两点在直线两侧：
2、两点在直线同侧：
m n
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（二）动点在圆上运动
点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：
2、点与圆在直线同侧：
三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：
最新初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)
初中几何中线段和（差）的最值问题
一、两条线段和的最小值。 基本图形解析：（
对称轴为：动点所在的直线上）
一）、已知两个定点：
1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：
（2）点A 、B 在直线同侧：
A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。 （1）两个点都在直线外侧：
（2）一个点在内侧，一个点在外侧：
（3）两个点都在内侧：
m
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A B
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n m n
n m n
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（4）、台球两次碰壁模型
变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.
填空：最短周长=________________
变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.
二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：
点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）
1、两点在直线两侧：
2、两点在直线同侧：
m n
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（二）动点在圆上运动
点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：
2、点与圆在直线同侧：
三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：
线段和差的最值问题
（1）求点D的坐标；
当P运动到E时，PA＋PB最小
当Q运动到F时，QD－QC最大
第一步，寻找、构造几何模型 第二步，计算
如图，点A为⊙O外一点,点B在圆上当点B位于何处AB可以取最大值或最小值？
考题模型
点到圆上一点距离的最大/小值问题
当O，B，A三点共线，且点B位于OA之间时，AB最小；
中考专题复习
——求线段和差的最值
2.几何最值问题的基本原理。 ①两点之间线段最短 ②垂线段最短 ③三角形两边之差小于第三边 ④利用函数关系求最值
1.常见的几何最值问题有：线段最值问 题，线段和差最值问题，周长最值问题、 面积最值问题等；
一、两条线段和的最小值
已知：直线m外两点A,B，在直线m上求一点P，使PA+PB最小；
A
D
C
B
2、如图所示，直线
与x轴交于点C，
与y轴交于点B，
点A为 y 轴正半轴上的一点，⊙A经过点B和点O,直线BC交⊙A与点D。
（2）过O，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P,
使线段PO与PD之差最大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标。若不存在，请说明理由。
最大
典型例题
1.（2016•安徽）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）
中考数学之_线段和(差)的最值问题
求线段和（差）的最值问题
【知识依据】：1．线段公理——两点之间，线段最短；2．对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等；②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；3．三角形两边之和大于第三边；4．三角形两边之差小于第三边。5、垂直线段最短 一、已知两个定点：
1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：
（2）点A 、B 在直线同侧：
A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。 （1）两个点都在直线外侧：
m
m A
B
m A
B
m n m
n
（2）一个点在内侧，一个点在外侧：
（3）两个点都在内侧：
（4）、台球两次碰壁模型
变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.
变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.
n
m A
n
n
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二、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：
点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：
2、两点在直线同侧：
（二）动点在圆上运动
点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：
2、点与圆在直线同侧：
m n
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三、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：
初中几何中线段和差的最大值与最小值模型解析
- 1 -
初中几何中线段和（差）的最值问题
一、两条线段和的最小值。 基本图形解析：
一）已知两个定点：
1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：
（2）点A 、B 在直线同侧：
A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。 （1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧： （4）台球两次碰壁模型
变式一：已知点A 、B 位于直线
的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.
填空：最短周长=________________
变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线
m 、n 分别上求点P 、Q 点
PA+PQ+QA 周长最短.
二）一个动点，一个定点：
（一）动点在直线上运动：
点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：
2、两点在直线同侧：
（二）动点在圆上运动
点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧： 2、点与圆在直线同侧：
（三）已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移
知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：
过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。 （2）点A 、B 在直线m 同侧： 二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形
(完整版)初中几何中线段和与差最值问题
6、如图6，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为．
点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）
1、两点在直线两侧：
2、两点在直线同侧：
（二）动点在圆上运动
点B在⊙O上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）
1、点与圆在直线两侧：
2、点与圆在直线同侧：
三）、已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)
（1）求此二次函数的解析式；
（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；
（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．
3、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1， ） ，△AOB的面积是 .
（1）求点B的坐标；
（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；
初中几何中线段和（差）的最值问题
数学线段和(差)的最值问题
最值问题
总体理论依据：
1．线段公理——两点之间，线段最短。
2．对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等。②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线3．三角形两边之和大于第三边。
4．三角形两边之差小于第三边。
5、垂直线段最短
类型一、已知两个定点：
1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：
2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：
（3）两个点都在内侧：
（4
）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线
n、m分别上求点D、E
点，使得围成的四边形ADEB周长最短.
变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧,
n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.
m
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O x
y
B D
A C P 例题1、一次函数y kx b =+的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），
B （0，4）．
（1）求该函数的解析式；
（2）O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点， 求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标．
例2、如图,矩形OABC 顶点O 位于原点,OA,OC 分别在x 轴、y 轴上.B 点坐标为(3,2),E 为AB 中点,F 为BC 边的三等分点.在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ,使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在,求出周长的最小值;如果不存在,请说明理由.
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初中几何中线段和（差）的最值问题
一、两条线段和的最小值。 基本图形解析：
一）已知两个定点：
1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：
（2）点A 、B 在直线同侧：
A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。 （1）两个点都在直线外侧：
（2）一个点在内侧，一个点在外侧：
（3）两个点都在内侧：
m
m
B m
A B
m
n m
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n
m
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（
4）台球两次碰壁模型
变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.
填空：最短周长=________________
变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA
周长最短.
二）一个动点，一个定点：
（一）动点在直线上运动：
点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）
1、两点在直线两侧：
2、两点在直线同侧：
（二）动点在圆上运动
点B在⊙O上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）
1、点与圆在直线两侧：
m
n
m
n
m
n
m
m m
精品文档
2、点与圆在直线同侧：
（三）已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：
过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
2020详解初中几何线段和（差）的最值问题
2020详解初中几何线段和（差）的最值问题2020详解初中几何线段和（差）的最值问题：
一、两条线段和的最小值问题
基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）
一）、已知两个定点：
二）、一个动点，一个定点：
三）、已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P
在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)
一、在三角形背景下探求线段和的最小值
1.1 在锐角三角形中探求线段和的最小值
1.2在等边三角形中探求线段和的最小值
二、在四边形背景下探求线段和的最小值
2.1在直角梯形中探求线段和的最小值
2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值
2.3在菱形中探求线段和的最小值
2.4在正方形中探求线段和的最小值
三、在圆背景下探求线段和的最小值
四、在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值
五、在二次函数背景下探求线段和的最小值
六、在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值
二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边)
三、其它非基本图形类线段和差最值问题
初中几何中线段和差的最大值与最小值练习题(最全)
初中几何中线段的最值问题
一、两条线段和的最小值。 一）、已知两个定点：
1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； 基本图形解析： （1）点A 、B 在直线m 两侧：
（2）点A 、B 在直线同侧：
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。 （1）两个点都在直线外侧：
（2）一个点在内侧，一个点在外侧：
（3）两个点都在内侧：
m
m
B m
A
B
m
n m
n n
m n
n n
m
（4）、台球两次碰壁模型
变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.
填空：最短周长=________________
变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.
二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：
点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）
1、两点在直线两侧：
2、两点在直线同侧：
m
n
m n
m n
m
（二）动点在圆上运动
点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：
2、点与圆在直线同侧：
三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：
过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。 （2）点A 、B 在直线m 同侧：
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线段和（差）的最值问题
此类问题特点：1.两个定点，一个定点；2. 线段和最小值，线段差最大值
一、线段和最小值问题
若在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）两侧/异侧型：定点A、
B在直线m（动点P所在直线）两侧：直接连接A、B两点交直线m于一点P，该点P即为所求点。（PA+PB=AB）
（2）同侧型：定点A、B在动点P所在直线m同侧：（方法：一找二作三连）：
一找：找定点A、B，动点P及动点所在的直线m；二作：任选一个定点做对称；三连：连接对称点与另一个定点，其连线交动点所在直线于一点P，该点P即为所求。（PA+PB=PA’+PB=A’B）
m
A
B
P
m
A
B
二、线段差最大值问题
若在一条直线m上，求一点P，使得最大
（1）同侧型：定点A、B在直线m（动点P所在直线）两侧：直接连接A、B两点交直线m于一点P，该点P即为所求点。()
（2）两侧/异侧型：定点A、B在直线m（动点P所在直线）两侧：任选一个定点做对称；三连：连接对称点与另一个定点，其连线交动点所在直线m于一点P，该点P即为所求点。()
线段和最小值练习题
1．如图1，在锐角三角形ABC中，AB=,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为．
2. 如图2所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.
3.如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．
图1 图2 图3 图4
4. 如图4，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．
5. 如图5，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．
6.已知正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB +PE的最小值是
7. 如图6，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．
8.如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ 周长的最小值为cm．（结果不取近似值）
图5 图6 图7
9. 如图8，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是．
10. 如图9，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为______.
如图8 如图9
解答题
1.如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点B，C 的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；
（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．
2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.
（1）求点B的坐标；
（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
3. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.
（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；
（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.
4. 如图，已知直线y＝x＋1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y＝x2＋bx＋c与直线交于A、E两点，与x
轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM－MC|的值最大，求出点M的坐标．
5.抛物线的解析式为，交x轴与A与B,交y轴于C。
⑴在其对称轴上是否存在一点P，使⊿APC周长最小，若存在，求其坐标。
⑵在其对称轴上是否存在一点Q，使∣QB—QC∣的值最大，若存在求其坐标。