2013版高考数学专题辅导与训练配套课件：4.2数列的通项与求和(湖北专供-数学文)

„
an-an-1=2(n-1).
将以上n-1个式子累加得
a n a1 (n 1) 2(n 1) 2 2 n 2 n.
又∵a1=36,∴an=n2-n+36,
a n n 2 n 36 36 ∴ n 1, n n n a 当n=6时， n 有最小值11. n
2n-1 (5)数列1,2,4,8,„的通项公式是an=____. n2 (6)数列1,4,9,16,„的通项公式是an=__. (7)数列1,3,6,10,„的通项公式是an=________. 2
1 1 1 1 1 (8)数列 , , , ， „的通项公式是an=___. n 1 2 3 4
n n 1
c (其中a,b1,b2,c为常数)用 an b1 (an b2 )
(4)通项公式形如an=(-1)n·n或an=a·(-1)n(其中a为常数， n∈N*)等正负交叉项的求和一般用并项法.并项时应注意分n为
奇数、偶数两种情况讨论.
(5)若数列的通项公式为以上四种中的某几个构成的，则可用分
q p 1
q q p(a n )(p 1) p 1 p 1 }是以p为公比的等比数列求解；
②递推关系形如 a n 1
1 a n 1 1 1 的形式. an p
pa n (p为非零常数) 可化为 an p
提醒：注意对n分类讨论.
热点考向 二
数列求和
【典例】(12分)(2012·惠州模拟)已知数列{an}满足：
【规范解答】(1)经计算a3=3,a4= 1 ,a5=5,a6= 1 .
4 8
当n为奇数时，an+2=an+2，即数列{an}的奇数项成等差数列， ∴a2n-1=a1+(n-1)·2=2n-1；„„„„„„„„„„„„„2分
当n为偶数，an+2= 1 an,即数列{an}的偶数项成等比数列，
1 n 1 1 n a 2n a 2（ ） （ ）. n 2 2 因此，数列{an}的通项公式为 a n 1
答案：11
2.∵ a n
2na n 1 , a n 1 2n 2
a 2 n 1 ∴ 1 n 1 , an 2na n 1
∴ n a n 1 2(n 1) 1 n 1 ,
an 2a n 1 2 a n 1 即 n n 1 1 n 2 , a n a n 1 2 n 1 1 1 ∴数列{ }构成以 为首项， 为公差的等差数列， 2 an a1 2
2
n为奇数
n 2
( ) 2
n为偶数
. „„„4分
(2)∵ bn a 2n 1 a 2n 1 lna 2n
n
1 n 1 n n 2n 1 （ 1 ln（ ） ） 2 2 1 n n „„„„„„„„„„6分 2n 1 （ ） 1 nln2. 2 1 n n 令c n 2n 1 （ ,d n 1 nln2, ） 2
并设数列{cn},{dn}的前n项和分别为Tn,Tn′.
则Tn 1
1 1 2 1 3 1 n 1 1 n 3 （ ） 5 （ ） 2n 3 （ ） 2n 1 （ ） ① 2 2 2 2 2 ②
1 1 2 1 3 1 4 1 n 1 n 1 Tn 1 （ ） 3 （ ） 5 （ ） 2n 3 （ ） (2n 1) （ ） 2 2 2 2 2 2
∴ n 1 n 1 1 n , ∴an=2.
an 2 2 2
答案：2
3.(1)由 Sn n 2 , 知Sn=n2an, an Sn-1=(n-1)2an-1(n≥2), 两式相减得an=n2an-(n-1)2an-1, 即(n2-1)an=(n-1)2an-1,
an n 1 n 2 , a n 1 n 1 a 2 a3 an 1 2 3 n 3 n 2 n 1 a a 1 ∴ n 1 a1 a 2 a n 1 3 4 5 n 1 n n 1
1.(角度新)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3=5,S15=225，
(1)求数列{an}的通项an；
(2)设 bn 2a 1n a n， 求数列{bn}的前n项和Tn.
n
【解析】(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由题意，
a1 2d 5, a1 1, 得 解得 15 14 d 2, 15a1 d 225, 2
前n项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法(叠 加法).
(4)累乘法：数列递推关系如an+1=g(n)an，其中数列{g(n)}前n
项可求积，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法).
(5)构造法：递推关系形如： ①an+1=pan+q(p,q为常数),可化为 a n 1 的形式，利用{ a n
1 n n 1 1 n 1 n；
1 ( n k n )； n nk k
提醒：实际应用中，注意验证所拆项是否正确 .
热点考向 一
求数列的通项公式
【典例】1.(2012·长春模拟)已知数列{an}满足a1=36,an+1an=2n,则
an 的最小值为____________. n
【拓展提升】 求数列通项公式的常见类型及方法 (1)归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采
用归纳猜想法.
S1 (n 1), (2)已知Sn与an的关系，利用 a n 求a n. Sn Sn 1 (n 2), (3)累加法：数列递推关系形如an+1=an+f(n)，其中数列{f(n)}
(4) 若等差数列{an}的公差为d,则
1 1 1 1 ( )； a n a n 2 2d a n a n 2
1 1 1 1 ( )； a n a n 1 d a n a n 1
(5)
(6) (7)
1 1 1 1 [ ]； n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)
a1=1,a2= 1 ,且 [3+(-1)n ]an+2-2an+2[(-1)n-1]=0,n∈N*. 2 (1)求a3,a4,a5,a6的值及数列{an}的通项公式； (2)设bn=a2n-1·a2n-(-1)nlna2n，求S2n.
【解题指导】(1)令n=1,2,3,4代入递推关系式求得a3,a4,a5,a6 的值，并据此分n为奇数、偶数探究数列{an}的递推关系，从 而求得an. (2)在(1)的基础上求得bn的通项公式，根据其结构特征选择求 和方法求和.
第二讲
数列的通项与求和
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【考情快报】 高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题： (1)以递推公式或图、表形式给出条件，求通项公式，考 查学生用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力，属
中档题.
(2)通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和
问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，
n 1 4 4 当n为偶数时，Tn n； 6
当n为奇数时，T 4 n
①，②两式相减，得
1 1 1 2 1 3 1 n 1 n 1 Tn 1 2[ （ ）（ ） （ ） ] 2n 1 （ ） 2 2 2 2 2 2 1 1 n 1 [1 （ ） ] 1 2 1 n 1 2 2n 1 （ ） 1 2 2 1 2
2.常用的拆项公式
1 n(n 1) 1 (2) n(n k)
(1)
1 1 ； ____________ n n 1
1 1 1 ( ) ； k n nk 1 1 1 1 ( ) ________________ (3) 2 2n 1 2n 1 ； (2n 1)(2n 1)
∴an=2 a n
n
1 n n 4 1 2n 1 , 2 1 n 2 n 4 4 4 1 3 5 7 1 2n 1 . 2
Tn b1 b 2 b n
∴
2 n 2 , n n 1
又a1=1也适合上式，因此 a n
2 . n n 1
(2)由Tn=2bn-2,∴Tn-1=2bn-1-2(n≥2), 两式相减得bn=2bn-2bn-1,即bn=2bn-1, ∴数列{bn}构成以b1=2为首项，2为公比的等比数列，∴bn=2n.
属中档题.
【核心自查】
一、主干构建
二、重要公式
1.“基本数列”的通项公式
n (1)数列-1,1,-1,1，„的通项公式是an= (-1) _____.
n (2)数列1,2,3,4,„的通项公式是an=__.
2n+1 (3)数列3,5,7,9,„的通项公式是an=_____. 2n (4)数列2,4,6,8,„的通项公式是an=___.
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分
【拓展提升】数列求和的常见类型及方法
(1)通项公式形如an=kn+b或an=p·qkn+b(其中k,b,p，q为常
数)，用公式法求和.
(2)通项公式形如 a n (k1n b1 )qk nb (其中k1,b1,k2,b2,q为常
2 2
数)，用错位相减法. (3)通项公式形如 a n 裂项相消法.
3 1 n 1 1 n 2n 3 （ ） . Tn 3 (2n 3) （ ） .……………………9分 2 2 2
T2n′=[-1+2-3+4-„+2n]ln2=nln2，
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„11分