2013版高考数学专题辅导与训练配套课件:4.2数列的通项与求和(湖北专供-数学文)

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高考数学(理)名师指导精讲课件:3-2 数列的通项与求和

高考数学(理)名师指导精讲课件:3-2 数列的通项与求和

在①中,令n=1,得b1=-12b1+1, ∴ b1=23, ∴ {bn}是以23为首项,13为公比的等比数列.
(3)裂项相消法:
把数列的各项分别裂开后,前后抵消从而计算和的方法,
适用于求通项为
1 anan+1
的数列的前n项和,其中{an}为等差数
列,则ana1n+1=1da1n-an1+1.
(4)分组求和法: 一个数列如果既不是等差数列又不是等比数列,但它可以 拆成两个数列,而这两个数列是等差或等比数列,那么就可分 组求和,这种方法叫分组求和法.
(2)由题意,知Tn=λ-2nn-1,
所以n≥2时,bn=Tn-Tn-1=-2nn-1+n2-n-12 =n2-n-21 .
故cn=b2n=22n2-n-12=(n-1)14n-1,n∈N*,
所以Rn=0×
1 4
0+1×
1 4
1+2×
1 4
2+3×
1 4Βιβλιοθήκη 3+…+(n-1)×14n-1,

1 4
Rn=0×
1.(2013·江西高考)等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四
项等于( )
A.-24
B.0
C.12
D.24
2.(2013·全国新课标Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn. 已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为________.
3.(2013·山东高考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4= 4S2,a2n=2an+1.
(1)数列的通项公式及递推公式的应用也是命题的热 点,根据an与Sn的关系求通项公式以及利用构造或转化的方 法求通项公式也是常考的热点.
(2)数列的求和问题,多以考查等差、等比数列的前n项 和公式、错位相减法和裂项相消法为主,且考查频率较 高,是高考命题的热点.

2013届高三数学一轮复习课件数列的概念

2013届高三数学一轮复习课件数列的概念
2 3
5
3
2 3
2
5
数列,周期为3,于是a2011=a670×3+1=a1= .
3 5
(2)由题意可知an+1+an-1=an,an+an+2=an+1,两式相加即可得到an+2=-an-1.
∴an+3=-an可得到an+6=an;即是以6为周期的数列,且a1+a2+a3+a4+a5+a6=0,
(2)已知数列{an}的通项公式为an= ,则{an}为 (
n! 10
n
)
(A)递增数列.
(B)递减数列.
(D)从某项后为递增数列.
n
2
(C)从某项后为递减数列.
【解析】(1)由已知得,an= 或13时an最大.
n 156
= 1 5 6 ;由函数的知识即可知n=12
1 n n
(2)an+1=an× ,从第11项开始递增.
【解析】(1)an=1+ + +…+ n.由此a1=1,a2= 2,a3= 3. -ln -ln -ln
1
1
1
3 2
11 6
2
3
n
又an+1-an=ln n-ln(n+1)+
=ln(1- n )+ 1 1 . 1 n 1 n
1
1
构造函数h(x)=ln(1-x)+x,x∈(0,1).
数列; 4.数列的通项an与前n项和Sn之间的关系: 数列{an}中,Sn=a1+a2+a3+…+an;
S 1 ( n 1), an= S S ( n 2 ). n 1 n

【高中数学课件】数列求和及通项的求法ppt课件共25页文档

【高中数学课件】数列求和及通项的求法ppt课件共25页文档

an1
ana1qn1.
若数列{
a
n
an
}满足an1
f
(n)
,其中数列{
f
(n)}前n项
积可求,则通项 a n 可用逐项作商后求积得到。
思 1. 求数列 1 , 4 , 7 , 1 , 0 , ( 1 ) n ( 3 n 2 ) ,
考 前n项和 题
2. 求数列 {2n 3} 2n3
3. 求和:
求通项公式 a n
1:a 1,求满足以下a条件的
1
n
2
(1)a a
n n n1
n
2
a n1 (2) n1
an n
2 : a 1, 求满足以下条件的 a
1
n
(1) a 3 a 2
n 1
n
(2)a 3a 2n 1
n 1
n
(3)a 3a 2 n
n 1
n
(4)a
a n
n1 a 3
n
若数列an 满足 a n a n 1 fn ( n N ),其中an
是可求和数列,那么可用逐差后累加的方法求 f n
逐商求积法
若数列 a 1 ,a 2,a 3, ,a n, 是等比数,公比为q,
则 a2 q,a3 q,a4 q,, an q,
a1 a2 a3
an1
an
n 1个 q.q.q.q
a a 2 a 3Leabharlann a n 1的前n项和。
裂项法:
1.求数列
6, 6, 6, , 6 , 1 22 33 4 n (n 1 )
前n项和
2.求数列 1 1 2 ,1 2 1 3 , ,1 2 1 ( n 1 ),

高考数学二轮复习 专题辅导与训练 4.2 数列的通项与求和教学课件

高考数学二轮复习 专题辅导与训练 4.2 数列的通项与求和教学课件

且a1+9a6=0,则Sn取最大值时n为 ( )
A.11
B.10
C.6
D.5
【解析】选D.因为a1>0, a1+9a6=a1+a6+8a6
=a2+a5+8a6 =a2+a6+a5+7a6 =2a4+a5+7a6 =2(a4+a6)+a5+5a6 =5(a5+a6)=0, 所以a5>0,a6<0, 即前5项和最大.
d≠0,a1,a2,a5成等比数列,则a2014的值为 ( )
A.4023
B.4025
C.4027
D.4029
【解析】选C. =a1·a5⇒(1+d)2=1·(1+4d),得d=2,
所以a2014=1+20a122 3×2=4027,故选C.
4.(2014·湖州模拟)已知等差数列{an}的前n项和是Sn,若a1>0,
⑤数列1,2,4,8,…的通项公式是an=__2_n-_1(n∈N*).
⑥数列1,4,9,16,…的通项公式是an=_nn_2(nn∈1N*).
⑦数列1,3,6,10,…的通项公式是an=____2__(n∈N*). 1
⑧数列
,…的通项公式是an=__n_(n∈N*).
1, 1 , 1 , 1 1234
a3+a8=13,S7=35,则a7= ( )
A.8
B.9
C.10
D.11
【解析】选A.由已知条件可得,2a1 9d 13,
所以a7=a1+6d=2+6×1=8.
7(2a1 2
6d)

高考数学微专题3 数列的通项课件(共41张PPT)

高考数学微专题3 数列的通项课件(共41张PPT)
内容索引
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目标1 根据规律找通项公式
1 (2023吉林三模)大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大
衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,
数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总
和,是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项
依 次 是 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50 , 则 此 数 列 的 第 25 项 与 第 24 项 的 差 为
高考命题方向: 1. 根据前几项来寻找序号 n 与项之间的关系. 2. 根据前几项所呈现的周期性规律,猜想通项. 3. 抓住相邻项的关系转化为熟悉问题.
内容索引
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说明: 1. 解决方案及流程 (1) 归纳猜想法: ①确定数列的前几项; ②分析序号 n 与项有何关系,初步确定分类标准; ③研究数列整体或部分规律; ④归纳数列的项用序号 n 表示的规律; ⑤证明归纳的正确性.
内容索引
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1. (2022泰安三模)已知数列{an}满足:对任意的m,n∈N*,都有aman
=am+n,且a2=3,则a20的值为( )
A. 320
B. 315
C. 310
D. 35
【解析】 因为对任意的 m,n∈N*,都有 aman=am+n,所以 a1a1=a2, a1an=a1+n.又 a2=3,所以 a1=± 3,所以aan+n 1=a1,所以数列{an}是首项 为 a1,公比为 a1 的等比数列,所以 an=a1·an1-1=an1,所以 a20=a210=310.
重复循环,2 022=674×3,恰好能被3整除,且a3为偶数,所以a2 022也 为偶数,故B错误;对于C,若C正确,又a2 022=a2 021+a2 020,则a2 021= a1+a2+…+a2 019,同理a2 020=a1+a2+…+a2 018,a2 019=a1+a2+…+ a2 017,依次类推,可得a4=a1+a2,显然错误,故C错误;对于D,因为 a2 024=a2 023+a2 022=2a2 022+a2 021,所以a2 020+a2 024=a2 020+2a2 022+a2 021=2a2 022+(a2 020+a2 021)=3a2 022,故D正确.故选AD.

【高中数学课件】数列求和及通项的求法ppt课件共24页文档

【高中数学课件】数列求和及通项的求法ppt课件共24页文档
数列求和的常用方法: 公式法、倒序相加法、 错位相减法、裂项相消法。 尤其是要求掌握用拆项法、裂项 法和错位法求一些特殊的数列的 前n项和。
熟记公式常用数列的前n项和:
123nn(n1) 2
1 3 5 (2 n 1 ) n 2
1 2 2 2 3 2 n 2 n (n 1 )2 ( n 1 ) 1 32 3 3 3 n 3 [n (n 1 )]2 6
2
(1)等差数列求和公式
Snn(a12 an)na1n(n 2 1 )d
(2)等比数列求和公式
S na 1 ( 1 1 q q n)a 1 1 a q n q(q 1 ),S n n1a (q 1 )
例题讲解
拆项法:
例一、求数列
1 1 ,1 4 ,1 7 ,1 1, 0 ,1 ( 3 n 2 ),
an n2 n 1
注意:最后一个式子出现 a n 1 ,必 须验证n 1。此时 a1 1,适合上式, 故 an n2n1
例2 求数列 1,2,8,64 ,102 , 4 的通项公式 a n
利用 S n 与a n 的关系
利用 an SS1naS1n(n1(n1)2,)可解决许多
已知a n 与 S n a 的关系题目中的 n
a a 2 a 3
a n 1
的前n项和。
裂项法:
1.求数列
6, 6, 6,, 6 , 122334 n(n1)
前n项和
2.求数列
1, 1 , ,
1
,
12123 12 (n 1 )
前n项和
3.求数列
{n
1 }
2n
前n项和
5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且
Sn
(an1)2(nN*) 2

高考数学二轮复习专题四数列2数列的通项与求和课件理

高考数学二轮复习专题四数列2数列的通项与求和课件理

2021/12/8
第三十八页,共五十三页。
[解] (1)因为 d,S9 为函数 f(x)=(x-2)(x-99)的两个零点且 d<S9,
所以 d=2,S9=99, 又因为 Sn=na1+nn2-1d, 所以 9a1+9×2 8×2=99,解得 a1=3, 所以{an}是首项为 3,公差为 2 的等差数列, 所以 an=a1+(n-1)d=2n+1.
2021/12/8
第二十八页,共五十三页。
(3)错位相减法:形如{an·bn}(其中{an}为等差数列,{bn}为等 比数列)的数列求和,一般分三步:①巧拆分;②构差式;③求和.
(4)倒序相加法:将一个数列倒过来排序,它与原数列相加时, 若有公因式可提,并且剩余的项的和易于求得,则这样的数列可 用倒序相加法求和.
又因为 a1=2,所以 an=n2-1+a1=n2+1(n≥2). 当 n=1 时,a1=2 适合上式. 故 an=n2+1(n∈N*).
[答案] an=n2+1
2021/12/8
第十三页,共五十三页。
角度 3:构造法求数列通项
2021/12/8
第十四页,共五十三页。
[解析] 在递推公式 an+1=2an+3×2n 的两边同时除以 2n+1, 得a2nn++11=a2nn+32,所以数列a2nn是等差数列,其首项为a21=1,公差 为32,所以a2nn=1+(n-1)×32=32n-12,所以 an=(3n-1)·2n-1.
2021/12/8
第三十七页,共五十三页。
[对点训练]
1.[角度 1](2018·济南模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,公差为 d,若 d,S9 为函数 f(x)=(x-2)(x-99)的两个零点且

2013年数学高考总复习重点精品课件:《1-3-2数列的综合应用》课件

2013年数学高考总复习重点精品课件:《1-3-2数列的综合应用》课件
相加法求和. (4)裂项相消法 利用通项变形,将通项分裂成两项或n项的差,通过相加 过程中的相互抵消,最后只剩下有限项的和.
工具
二轮新课标文科数学 第一部分 专题三
栏目导引
2.数列的应用题 (1)应用问题一般文字叙述较长,反映的事物背景陌生,
知识涉及面广,因此要解好应用题,首先应当提高阅读理解
能力,将普通语言转化为数学语言或数学符号,实际问题转 化为数学问题,然后再用数学运算、数学推理予以解决. (2)数列应用题一般是等比、等差数列问题,其中,等比 数列涉及的范围比较广,如经济上涉及利润、成本、效益的
的变化而变化时,应考虑an与an+1的递推关系,或考虑前n项
和Sn与Sn+1的递推关系.
工具
二轮新课标文科数学 第一部分 专题三
栏目导引
3.某市投资甲、乙两个工厂,2011年两工厂的年产量均
为100万吨,在今后的若干年内,甲工厂的年产量每年比上一
年增加10万吨,乙工厂第n年比上一年增加2n-1万吨.记2011 年为第一年,甲、乙两工厂第n年的年产量分别记为an,bn. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)若某工厂年产量超过另一工厂年产量的2倍,则将另一 工厂兼并,问到哪一年底其中一个工厂将被另一工厂兼并.
工具
二轮新课标文科数学 第一部分 专题三
栏目导引
解析:
(1)因为{an}是等差数列,a1 =100,d=10,所
以an=10n+90. 因为bn -bn-1 =2n-1 ,bn-1 -bn-2 =2n-2 ,„,b2 -b1 =
2,
所以bn=100+2+22+„+2n-1=2n+98. (2)当n≤5时,an≥bn且an<2bn. 当n≥6时,an≤bn,所以甲工厂有可能被乙工厂兼并. 2an<bn即2(10n+90)<2n+98,

高考数学二轮复习专题四数列4.2数列的通项与求和课件理

高考数学二轮复习专题四数列4.2数列的通项与求和课件理

Tn=b1+b2+…+bn=12
1 3
例1根据下列条件,确定数列{an}的通项公式:
(1)a1=2,������������ +1=an+ln
1+
1 ������
;
(2)a1=12 , ������������ +1
=
������+������ 2an+
1-
������ ������+2
;
(3)a1=1,������������ +1=3an+2.
决问题的能力.
复习策略
抓住考查的主 要题目类型进 行训练,重点 是:常见求数 列通项的方 法;非等差数 列、非等比数 列的求和问题 中的倒序相加 法、通项化归 法、错位相减 法、裂项相消 法、分组求和 法等.
命题热点一 命题热点二 命题热点三
由数列的递推关系求通项
【思考】 由递推关系求数列的通项的常用的方法有哪些?
由①-②,得 an=23an-23an-1,即���������������������-���1=-2.
∵a1=S1=23a1+13,∴a1=1.
∴{an}是以
1
为首项,-2
为公比的等比数列,an=(-2)������
1 -
.
关闭
答案
命题热点一 命题热点二 命题热点三
裂项相消法求和
【思考】 在裂项相消法中,裂项的基本思想是什么?
(4)an+1=
������������������ ������ + ������������������
(an≠0,p,q为非零常数)型,可用倒数法转化为等

【备战2013】(新课标 通用版)高考数学 专题辅导与训练 4.2《数列的通项与求和》课件 文

【备战2013】(新课标 通用版)高考数学 专题辅导与训练 4.2《数列的通项与求和》课件 文

=(n-1)(n+3)+3=n(n+2),
∴bn=n2+2n(n≥2,n∈N*)对n=1也适合,

1 bn
1
nn 2
1(1 2n
1 ), n2
Tn
1 [(1 2
1) 3
(1 2
1) 4
Hale Waihona Puke (1 nn1
)] 2
1 2
(
3 2
n
1
1
n
1
2
)
4
3n2
n 1
5n n
2

Tn
3n2 5n
4n 1n
a2n a1
【解题指导】解答本题(1)关键是利用数列{an}的通项公式及
已知条件建立关于首项a1,公差d的关系求解;解答(2)关键是
表示出 a2n 2以n a此,来求和,进而比较大小.
【规范解答】(1)设等差数列{an}的公差为d,由
( 1 )2 1
a2
a1
1, a4
得(a1+d)2=a1(a1+3d),从而
热点考向1 等差与等比数列的综合问题
【例1】(14分)(2011· 浙江高考) 已知公差不为0的等差数
列{an}的首项a1为a(a∈R)且
1,1,1 a1 a2 a4
成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)对n∈N*,试比较 1 1 1 1 与 1 的大小.
a 2 a 22 a 23
bn
【解题指导】解答本题(1)利用两个已知条件直接求公比及首
项a1,确定通项公式.对于(2),首先利用对数运算性质求出bn, 进而得 1 再,利用裂项相消求和法求解.

2013年高三数学(理科)二轮复习教案专题四第二讲数列的通项公式与数列求和

2013年高三数学(理科)二轮复习教案专题四第二讲数列的通项公式与数列求和

第二讲数列的通项公式与数列求和研热点(聚焦突破)类型一数列的通项问题1.累加法求通项:形如a n+1-a n=f(n).2.累乘法求通项:形如错误!=f(n).3.构造法:形如:a n+1=pa n+q。

4.已知S n求a n,即a n=错误![例1](2012年高考广东卷)设数列{a n}的前n项和为S n,数列{S n}的前n项和为T n,满足T n=2S n-n2,n∈N*。

(1)求a1的值;(2)求数列{a n}的通项公式.[解析](1)当n=1时,T1=2S1-12。

因为T1=S1=a1,所以a1=2a1-1,解得a1=1。

(2)当n≥2时,S n=T n-T n-1=2S n-n2-[2S n-1-(n-1)2]=2S n -2S n-1-2n+1,所以S n=2S n-1+2n-1,①所以S n+1=2S n+2n+1,②②-①得a n+1=2a n+2。

所以a n+1+2=2(a n+2),即错误!=2(n≥2).当n=1时,a1+2=3,a2+2=6,则错误!=2,所以当n=1时也满足上式.所以{a n+2}是以3为首项,2为公比的等比数列,所以a n+2=3·2n-1,所以a n=3·2n-1-2。

跟踪训练数列{a n}中,a1=1,对所有的n≥2,都有a1·a2·a3·…·a n=n2,数列{a n}的通项公式为________.解析:由题意,当n≥2时,a1·a2·a3·…·a n=n2,①故当n=2时,有a1·a2=22=4,又因为a1=1,所以a2=4.故当n≥3时,有a1·a2·a3·…·a n-1=(n-1)2,②由错误!,得a n=错误!。

而当n=1时,a1=1,不满足上式,n=2时,满足上式.所以数列{a n}的通项公式为a n=错误!答案:错误!类型二数列求和数列求和的方法技巧(1)转化法有些数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将数列通项拆开或变形,可转化为几个等差、等比数列或常见的数列,即先分别求和,然后再合并;(2)错位相减法这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{a n·b n}的前n项和,其中{a n},{b n}分别是等差数列和等比数列;(3)裂项相消法利用通项变形,将通项分裂成两项的差,通过相加过程中的相互抵消,最后只剩下有限项的和.[例2](2012年高考浙江卷)已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2n2+n,n∈N*,数列{b n}满足a n=4log2b n+3,n∈N*。

2013年高考数学复习-数列--第4讲-数列求和教案-理-新人教版

2013年高考数学复习-数列--第4讲-数列求和教案-理-新人教版

2013年高考数学复习-数列--第4讲-数列求和教案-理-新人教版第4讲数列求和【2013年高考会这样考】1.考查非等差、等比数列求和的几种常见方法.2.通过数列求和考查学生的观察能力、分析问题与解决问题的能力以及计算能力.【复习指南】1.熟练掌握和应用等差、等比数列的前n项和公式.2.熟练掌握常考的错位相减法,裂项相消以及分组求和这些基本方法,注意计算的准确性和方法选择的灵活性.基础梳理数列求和的常用方法1.公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和(1)等差数列的前n项和公式:S n =n a 1+a n2=na 1+n n -12d ;(2)等比数列的前n 项和公式:S n =⎩⎪⎨⎪⎧na 1,q =1,a 1-a n q 1-q=a 11-qn1-q ,q ≠1.2.倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的. 3.错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n 项和即可用此法来求,如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的. 4.裂项相消法把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一在利用裂项相消法求和时应注意:(1)在把通项裂开后,是否恰好等于相应的两项之差;(2)在正负项抵消后,是否只剩下了第一项和最后一项,或有时前面剩下两项,后面也剩下两项.三个公式(1)1n n+1=1n-1n+1;(2)12n-12n+1=12⎝⎛⎭⎪⎫12n-1-12n+1;(3)1n+n+1=n+1-n.双基自测1.(人教A版教材习题改编)等比数列{a n}的公比q=12,a8=1,则S8=( ).A.254 B.255 C.256 D.257解析由a8=1,q =12得a1=27,∴S8=a11-q81-q=27⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝⎛⎭⎪⎫1281-12=28-1=255.答案 B2.(2011·潍坊模拟)设{a n}是公差不为0的等差数列,a1=2且a1,a3,a6成等比数列,则{a n}的前n项和S n=( ).A.n24+7n4B.n23+5n3C.n22+3n4D.n2+n解析由题意设等差数列公差为d,则a1=2,a3=2+2d,a6=2+5d.又∵a1,a3,a6成等比数列,∴a23=a1a6,即(2+2d)2=2(2+5d),整理得2d2-d=0.∵d≠0,∴d=12,∴S n=na1+n n-12d=n24+74n.答案 A3.(2011·北京海淀模拟)等差数列{a n }的通项公式为a n =2n +1,其前n 项的和为S n ,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项的和为( ). A .120 B .70 C .75 D .100 解析 ∵S n =n 3+2n +12=n (n +2),∴S nn=n+2.∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 前10项的和为:(1+2+…+10)+20=75. 答案 C4.(2011·沈阳六校模考)设数列{(-1)n }的前n 项和为S n ,则对任意正整数n ,S n =( ). A.n [-1n-1]2B.-1n -1+12C.-1n +12 D.-1n -12解析因为数列{(-1)n}是首项与公比均为-1的等比数列,所以S n=-1--1n×-11--1=-1n-12.答案 D5.若S n=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,S50=________.解析S50=1-2+3-4+…+49-50=(-1)×25=-25.答案-25考向一公式法求和【例1】►已知数列{a n}是首项a1=4,公比q≠1的等比数列,S n是其前n项和,且4a1,a5,-2a3成等差数列.(1)求公比q的值;(2)求T n=a2+a4+a6+…+a2n的值.[审题视点] 求出公比,用等比数列求和公式直接求解.解(1)由题意得2a5=4a1-2a3.∵{a n}是等比数列且a1=4,公比q≠1,∴2a1q4=4a1-2a1q2,∴q4+q2-2=0,解得q2=-2(舍去)或q2=1,∴q=-1.(2)∵a2,a4,a6,…,a2n是首项为a2=4×(-1)=-4,公比为q2=1的等比数列,∴T n=na2=-4n .应用公式法求和时,要保证公式使用的正确性,尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式.【训练1】在等比数列{a n}中,a3=9,a6=243,求数列{a n}的通项公式a n及前n项和公式S n,并求a9和S8的值.解在等比数列{a n}中,设首项为a1,公比为q,由a3=9,a6=243,得q3=a6a3=2439=27,∴q=3.由a1q2=a3,得9a1=9,∴a1=1.于是,数列{a n}的通项公式为a n=1×3n-1=3n-1,前n项和公式为S n=1×1-3n1-3=3n-12.由此得a9=39-1=6 561,S8=38-12=3 280.考向二分组转化求和【例2】►(2012·包头模拟)已知数列{x n}的首项x1=3,通项xn=2n p+nq(n∈N*,p,q为常数),且x1,x4,x5成等差数列.求:(1)p,q的值;(2)数列{x n}前n项和S n的公式.[审题视点] 第(1)问由已知条件列出关于p、q 的方程组求解;第(2)问分组后用等差、等比数列的求和公式求解.解(1)由x1=3,得2p+q=3,又因为x4=24p +4q,x5=25p+5q,且x1+x5=2x4,得3+25p +5q=25p+8q,解得p=1,q=1.(2)由(1),知x n =2n +n ,所以S n =(2+22+ (2))+(1+2+…+n )=2n +1-2+n n +12.对于不能由等差数列、等比数列的前n 项和公式直接求和的问题,一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分,转化成若干个等差数列、等比数列的求和.【训练2】 求和S n =1+⎝ ⎛⎭⎪⎫1+12+⎝ ⎛⎭⎪⎫1+12+14+…+⎝⎛⎭⎪⎫1+12+14+…+12n -1.解 和式中第k 项为 a k =1+12+14+…+12k -1=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12k1-12=2⎝⎛⎭⎪⎫1-12k .∴S n =2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12+⎝ ⎛⎭⎪⎫1-122+…+⎝⎛⎭⎪⎫1-12n=2错误!=2⎣⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎤n -12⎝⎛⎭⎪⎫1-12n 1-12=12n -1+2n -2.考向三 裂项相消法求和【例3】►在数列{a n }中,a 1=1,当n ≥2时,其前n 项和S n 满足S 2n =a n ⎝⎛⎭⎪⎫S n -12.(1)求S n 的表达式;(2)设b n =S n2n +1,求{b n }的前n 项和T n .[审题视点] 第(1)问利用a n =S n -S n -1(n ≥2)后,再同除S n -1·S n 转化为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的等差数列即可求S n .第(2)问求出{b n }的通项公式,用裂项相消求和.解 (1)∵S 2n =a n ⎝⎛⎭⎪⎫S n -12,a n =S n -S n -1(n ≥2),∴S 2n =(S n -S n -1)⎝⎛⎭⎪⎫S n -12,即2S n -1S n =S n -1-S n ,① 由题意S n -1·S n ≠0,①式两边同除以S n -1·S n ,得1S n -1S n -1=2,∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1=1a 1=1,公差为2的等差数列.∴1S n =1+2(n -1)=2n -1,∴S n =12n -1. (2)又b n =S n 2n +1=12n -12n +1=12⎝⎛⎭⎪⎫12n -1-12n +1, ∴T n =b 1+b 2+…+b n=12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13+⎝ ⎛⎭⎪⎫13-15+…+⎝⎛⎭⎪⎫12n -1-12n +1 =12⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12n +1=n2n +1.使用裂项法求和时,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源与目的. 【训练3】 在数列{a n }中,a n =1n +1+2n +1+…+nn +1,又b n =2a n ·a n +1,求数列{b n }的前n 项和S n .解 a n =1n +1+2n +1+…+n n +1=1+2+…+n n +1=nn +12n +1=n2.∴b n =2a n ·a n +1=2n 2·n +12=8nn +1=8⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1. ∴S n =8⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12+⎝ ⎛⎭⎪⎫12-13+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1=8⎝⎛⎭⎪⎫1-1n +1=8nn +1. 考向四 错位相减法求和【例4】►(2011·辽宁)已知等差数列{a n }满足a 2=0,a 6+a 8=-10.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n -1的前n 项和.[审题视点] 第(1)问列出关于首项a 1与公差d的方程组可求解;第(2)问观察数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n -1的通项采用错位相减法.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ,由已知条件可得⎩⎨⎧a 1+d =0,2a 1+12d =-10,解得⎩⎨⎧a 1=1,d =-1.故数列{a n }的通项公式为a n =2-n .(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n -1的前n 项和为S n ,∵a n2n -1=2-n 2n -1=12n -2-n2n -1, ∴S n =⎝⎛⎭⎪⎫2+1+12+122+…+12n -2-⎝⎛⎭⎪⎫1+22+322+…+n 2n -1.记T n =1+22+322+…+n 2n -1, ①则12T n =12+222+323+…+n2n , ② ①-②得:12T n =1+12+122+…+12n -1-n 2n ,∴12T n =1-12n1-12-n 2n . 即T n =4⎝⎛⎭⎪⎫1-12n -n2n -1.∴S n =2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1-12-4⎝⎛⎭⎪⎫1-12n +n2n -1=4⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12n -4⎝⎛⎭⎪⎫1-12n +n 2n -1=n2n -1. 用错位相减法求和时,应注意(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n -qS n ”的表达式.【训练4】 设数列{a n }满足a 1+3a 2+32a 3+…+3n -1a n =n3,n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =na n,求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)a 1+3a 2+32a 3+…+3n -1a n =n3, ①∴当n ≥2时,a 1+3a 2+32a 3+…+3n -2a n -1=n -13, ②①-②得:3n -1a n =n 3-n -13=13,∴a n =13n .当n =1时,a 1=13也适合上式,∴a n =13n .(2)b n =na n=n ·3n ,∴S n =1×3+2×32+3×33+…+n ·3n, ③ 则3S n =32+2×33+3×34+…+n ·3n +1, ④∴③-④得:-2S n =3+32+33+…+3n -n ·3n +1 =31-3n1-3-n ·3n +1=-32(1-3n )-n ·3n +1.∴S n =34(1-3n)+n ·3n +12=34+2n -1·3n +14.阅卷报告7——未对q =1或q ≠1讨论出错【问题诊断】 错位相减法适合于一个由等差数列{a n }及一个等比数列{b n }对应项之积组成的数列.考生在解决这类问题时,都知道利用错位相减法求解,也都能写出此题的解题过程,但由于步骤繁琐、计算量大导致了漏项或添项以及符号出错等.【防范措施】 两边乘公比后,对应项的幂指数会发生变化,应将相同幂指数的项对齐,这样有一个式子前面空出一项,另外一个式子后面就会多了一项,两项相减,除第一项和最后一项外,剩下的n -1项是一个等比数列.【示例】►(2010·四川)已知等差数列{a n }的前3项和为6,前8项和为-4.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =(4-a n )q n -1(q ≠0,n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和S n .错因 未对q =1或q ≠1分别讨论,相减后项数、符号均出现了错误. 实录 (1)由已知得⎩⎨⎧a 1+a 2+a 3=6,a 1+a 2+…+a 8=-4,即⎩⎨⎧3a 1+3d =6,8a 1+28d =-4,解得a 1=3,d =-1,∴a n =4-n . (2)由(1)知b n =n ·qn -1,∴S n =1+2·q 1+3·q 2+…+n ·q n -1,qS n =1·q +2·q 2+3·q 3+…+n ·q n ,两式相减得:(1-q )S n =1+q +q 2+…+qn -1+n ·q n=1-q n1-q+n ·q n.∴S n =1-q n1-q2+n ·qn1-q.正解 (1)设{a n }的公差为d ,则由已知得⎩⎨⎧a 1+a 2+a 3=6,a 1+a 2+…+a 8=-4,即⎩⎨⎧3a 1+3d =6,8a 1+28d =-4,解得a 1=3,d =-1,故a n =3-(n -1)=4-n . (2)由(1)知,b n =n ·qn -1,于是S n =1·q 0+2·q 1+3·q 2+…+n ·q n -1,若q ≠1,上式两边同乘以q .qS n =1·q 1+2·q 2+…+(n -1)·q n -1+n ·q n,两式相减得:(1-q )S n =1+q 1+q 2+…+qn -1-n ·q n=1-q n1-q -n ·q n . ∴S n=1-q n 1-q2-n ·q n 1-q=n ·q n +1-n +1q n+11-q2.若q =1,则S n =1+2+3+…+n =n n +12, ∴S n=⎩⎪⎨⎪⎧n n +12 q =1,nq n +1-n +1q n+11-q 2q ≠1.【试一试】 (2011·齐齐哈尔模拟)已知数列{a n }是首项为a 1=14,公比q =14的等比数列,设b n +2=3log 14a n (n ∈N *),数列{c n }满足c n =a n ·b n .(1)求数列{b n }的通项公式; (2)求数列{c n }的前n 项和S n .[尝试解答] (1)由题意,知a n =⎝ ⎛⎭⎪⎫14n(n ∈N *),又b n =3log 14a n -2,故b n =3n -2(n ∈N *).(2)由(1),知a n =⎝ ⎛⎭⎪⎫14n,b n =3n -2(n ∈N *),∴c n =(3n -2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n(n ∈N *). ∴S n =1×14+4×⎝ ⎛⎭⎪⎫142+7×⎝ ⎛⎭⎪⎫143+…+(3n -5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n -1+(3n -2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n,于是14S n =1×⎝ ⎛⎭⎪⎫142+4×⎝ ⎛⎭⎪⎫143+7×⎝ ⎛⎭⎪⎫144+…+(3n -5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n +(3n -2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n +1,两式相减,得34S n =14+3⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫142+⎝ ⎛⎭⎪⎫143+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫14n -(3n -2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n +1=12-(3n +2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n +1, ∴S n =23-3n +23×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n (n ∈N *).。

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an-an-1=2(n-1).
将以上n-1个式子累加得
a n a1 (n 1) 2(n 1) 2 2 n 2 n.
又∵a1=36,∴an=n2-n+36,
a n n 2 n 36 36 ∴ n 1, n n n a 当n=6时, n 有最小值11. n
2n-1 (5)数列1,2,4,8,„的通项公式是an=____. n2 (6)数列1,4,9,16,„的通项公式是an=__. (7)数列1,3,6,10,„的通项公式是an=________. 2
1 1 1 1 1 (8)数列 , , , , „的通项公式是an=___. n 1 2 3 4
n n 1
c (其中a,b1,b2,c为常数)用 an b1 (an b2 )
(4)通项公式形如an=(-1)n·n或an=a·(-1)n(其中a为常数, n∈N*)等正负交叉项的求和一般用并项法.并项时应注意分n为
奇数、偶数两种情况讨论.
(5)若数列的通项公式为以上四种中的某几个构成的,则可用分
q p 1
q q p(a n )(p 1) p 1 p 1 }是以p为公比的等比数列求解;
②递推关系形如 a n 1
1 a n 1 1 1 的形式. an p
pa n (p为非零常数) 可化为 an p
提醒:注意对n分类讨论.
热点考向 二
数列求和
【典例】(12分)(2012·惠州模拟)已知数列{an}满足:
【规范解答】(1)经计算a3=3,a4= 1 ,a5=5,a6= 1 .
4 8
当n为奇数时,an+2=an+2,即数列{an}的奇数项成等差数列, ∴a2n-1=a1+(n-1)·2=2n-1;„„„„„„„„„„„„„2分
当n为偶数,an+2= 1 an,即数列{an}的偶数项成等比数列,
1 n 1 1 n a 2n a 2( ) ( ). n 2 2 因此,数列{an}的通项公式为 a n 1
答案:11
2.∵ a n
2na n 1 , a n 1 2n 2
a 2 n 1 ∴ 1 n 1 , an 2na n 1
∴ n a n 1 2(n 1) 1 n 1 ,
an 2a n 1 2 a n 1 即 n n 1 1 n 2 , a n a n 1 2 n 1 1 1 ∴数列{ }构成以 为首项, 为公差的等差数列, 2 an a1 2
2
n为奇数
n 2
( ) 2
n为偶数
. „„„4分
(2)∵ bn a 2n 1 a 2n 1 lna 2n
n
1 n 1 n n 2n 1 ( 1 ln( ) ) 2 2 1 n n „„„„„„„„„„6分 2n 1 ( ) 1 nln2. 2 1 n n 令c n 2n 1 ( ,d n 1 nln2, ) 2
并设数列{cn},{dn}的前n项和分别为Tn,Tn′.
则Tn 1
1 1 2 1 3 1 n 1 1 n 3 ( ) 5 ( ) 2n 3 ( ) 2n 1 ( ) ① 2 2 2 2 2 ②
1 1 2 1 3 1 4 1 n 1 n 1 Tn 1 ( ) 3 ( ) 5 ( ) 2n 3 ( ) (2n 1) ( ) 2 2 2 2 2 2
∴ n 1 n 1 1 n , ∴an=2.
an 2 2 2
答案:2
3.(1)由 Sn n 2 , 知Sn=n2an, an Sn-1=(n-1)2an-1(n≥2), 两式相减得an=n2an-(n-1)2an-1, 即(n2-1)an=(n-1)2an-1,
an n 1 n 2 , a n 1 n 1 a 2 a3 an 1 2 3 n 3 n 2 n 1 a a 1 ∴ n 1 a1 a 2 a n 1 3 4 5 n 1 n n 1
1.(角度新)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3=5,S15=225,
(1)求数列{an}的通项an;
(2)设 bn 2a 1n a n, 求数列{bn}的前n项和Tn.
n
【解析】(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由题意,
a1 2d 5, a1 1, 得 解得 15 14 d 2, 15a1 d 225, 2
前n项和可求,这种类型的数列求通项公式时,常用累加法(叠 加法).
(4)累乘法:数列递推关系如an+1=g(n)an,其中数列{g(n)}前n
项可求积,此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法).
(5)构造法:递推关系形如: ①an+1=pan+q(p,q为常数),可化为 a n 1 的形式,利用{ a n
1 n n 1 1 n 1 n;
1 ( n k n ); n nk k
提醒:实际应用中,注意验证所拆项是否正确 .
热点考向 一
求数列的通项公式
【典例】1.(2012·长春模拟)已知数列{an}满足a1=36,an+1an=2n,则
an 的最小值为____________. n
【拓展提升】 求数列通项公式的常见类型及方法 (1)归纳猜想法:已知数列的前几项,求数列的通项公式,可采
用归纳猜想法.
S1 (n 1), (2)已知Sn与an的关系,利用 a n 求a n. Sn Sn 1 (n 2), (3)累加法:数列递推关系形如an+1=an+f(n),其中数列{f(n)}
(4) 若等差数列{an}的公差为d,则
1 1 1 1 ( ); a n a n 2 2d a n a n 2
1 1 1 1 ( ); a n a n 1 d a n a n 1
(5)
(6) (7)
1 1 1 1 [ ]; n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)
a1=1,a2= 1 ,且 [3+(-1)n ]an+2-2an+2[(-1)n-1]=0,n∈N*. 2 (1)求a3,a4,a5,a6的值及数列{an}的通项公式; (2)设bn=a2n-1·a2n-(-1)nlna2n,求S2n.
【解题指导】(1)令n=1,2,3,4代入递推关系式求得a3,a4,a5,a6 的值,并据此分n为奇数、偶数探究数列{an}的递推关系,从 而求得an. (2)在(1)的基础上求得bn的通项公式,根据其结构特征选择求 和方法求和.
第二讲
数列的通项与求和
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【考情快报】 高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题: (1)以递推公式或图、表形式给出条件,求通项公式,考 查学生用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力,属
中档题.
(2)通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和
问题,考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用,
n 1 4 4 当n为偶数时,Tn n; 6
当n为奇数时,T 4 n
①,②两式相减,得
1 1 1 2 1 3 1 n 1 n 1 Tn 1 2[ ( )( ) ( ) ] 2n 1 ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 n 1 [1 ( ) ] 1 2 1 n 1 2 2n 1 ( ) 1 2 2 1 2
2.常用的拆项公式
1 n(n 1) 1 (2) n(n k)
(1)
1 1 ; ____________ n n 1
1 1 1 ( ) ; k n nk 1 1 1 1 ( ) ________________ (3) 2 2n 1 2n 1 ; (2n 1)(2n 1)
∴an=2 a n
n
1 n n 4 1 2n 1 , 2 1 n 2 n 4 4 4 1 3 5 7 1 2n 1 . 2
Tn b1 b 2 b n

2 n 2 , n n 1
又a1=1也适合上式,因此 a n
2 . n n 1
(2)由Tn=2bn-2,∴Tn-1=2bn-1-2(n≥2), 两式相减得bn=2bn-2bn-1,即bn=2bn-1, ∴数列{bn}构成以b1=2为首项,2为公比的等比数列,∴bn=2n.
属中档题.
【核心自查】
一、主干构建
二、重要公式
1.“基本数列”的通项公式
n (1)数列-1,1,-1,1,„的通项公式是an= (-1) _____.
n (2)数列1,2,3,4,„的通项公式是an=__.
2n+1 (3)数列3,5,7,9,„的通项公式是an=_____. 2n (4)数列2,4,6,8,„的通项公式是an=___.
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分
【拓展提升】数列求和的常见类型及方法
(1)通项公式形如an=kn+b或an=p·qkn+b(其中k,b,p,q为常
数),用公式法求和.
(2)通项公式形如 a n (k1n b1 )qk nb (其中k1,b1,k2,b2,q为常
2 2
数),用错位相减法. (3)通项公式形如 a n 裂项相消法.
3 1 n 1 1 n 2n 3 ( ) . Tn 3 (2n 3) ( ) .……………………9分 2 2 2
T2n′=[-1+2-3+4-„+2n]ln2=nln2,
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„11分
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