河北省地区中考数学总复习第4讲分式及其运算考点跟踪突破

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2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式(含解析)

2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式（含解析）1.了解分式、分式方程的概念，进一步发展符号感；2．熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力；3．能解决一些与分式有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识；4．通过学习能获得学习代数知识的常用方法，能感受学习代数的价值。

考点1：分式的概念1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式；3.分式有意义的条件：B≠0；4.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0考点2：分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M是不等于零的整式）.考点3：分式的运算考点4：分式化简求值（1）有括号时先算括号内的；（2）分子/分母能因式分解的先进行因式分解；（3）进行乘除法运算（4）约分；（5）进行加减运算，如果是异分母分式，需线通分，变为同分母分式后，分母不变，分子合并同类项，最终化为最简分式；（6）带入相应的数或式子求代数式的值【题型1：分式的相关概念】【典例1】（2022•怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解答】解：分式有：，，，整式有：x，，x2﹣，分式有3个，故选：B．【典例2】（2023•广西）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣1B．x≠0C．x≠1D．x≠2【答案】A【解答】解：∵分式有意义，∴x+1≠0，解得x≠﹣1．故选：A．1．（2022•凉山州）分式有意义的条件是（）A．x＝﹣3B．x≠﹣3C．x≠3D．x≠0【答案】B【解答】解：由题意得：3+x≠0，∴x≠﹣3，故选：B．2．（2023•凉山州）分式的值为0，则x的值是（）A．0B．﹣1C．1D．0或1【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x2﹣x＝0且x﹣1≠0，解得：x＝0，故选：A．【题型2：分式的性质】【典例3】（2023•兰州）计算：＝（）A．a﹣5B．a+5C．5D．a 【答案】D【解答】解：＝＝a，故选：D．1．（2020•河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】D【解答】解：∵a≠b，∴，故选项A错误；，故选项B错误；，故选项C错误；，故选项D正确；故选：D．2．（2023•自贡）化简：＝x﹣1．【答案】x﹣1．【解答】解：原式＝＝x﹣1．故答案为：x﹣1．【题型3：分式化简】【典例4】（2023•广东）计算的结果为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝＝．故本题选：C．1．（2023•河南）化简的结果是（）A．0B．1C．a D．a﹣2【答案】B【解答】解：原式＝＝1．故选：B．2．（2023•赤峰）化简+x﹣2的结果是（）A．1B．C．D．【答案】D【解答】解：原式＝+＝＝，故选：D．【题型4：分式的化简在求值】【典例5】（2023•深圳）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3．【答案】，．【解答】解：原式＝•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝．1．（2023•辽宁）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝3．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝x+2，当x＝3时，原式＝3+2＝5．2．（2023•大庆）先化简，再求值：，其中x＝1．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝﹣+＝＝＝＝，当x＝1时，原式＝＝．3．（2023•西宁）先化简，再求值：，其中a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根．【答案】，6．【解答】解：原式＝[﹣]×a（a﹣b）＝×a（a﹣b）﹣＝﹣＝；∵a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根，∴a+b＝﹣1ab＝﹣6，∴原式＝．1．（2023春•汝州市期末）下列分式中，是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、＝，不是最简分式，不符合题意；B、＝＝，不是最简分式，不符合题意；C、是最简分式，符合题意；D、＝＝﹣1，不是最简分式，不符合题意；故选：C．2．（2023秋•岳阳楼区校级期中）如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（）A．不变B．扩大2倍C．扩大4倍D．缩小2倍【答案】B【解答】解：∵＝＝×2，∴如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值扩大2倍，故选：B．3．（2023•河北）化简的结果是（）A．xy6B．xy5C．x2y5D．x2y6【答案】A【解答】解：x3（）2＝x3•＝xy6，故选：A．4．（2023秋•来宾期中）若分式的值为0，则x的值是（）A．﹣2B．0C．2D．【答案】C【解答】解：由题意得：x﹣2＝0且3x﹣1≠0，解得：x＝2，故选：C．5．（2023秋•青龙县期中）分式的最简公分母是（）A．3xy B．6x3y2C．6x6y6D．x3y3【答案】B【解答】解：分母分别是x2y、2x3、3xy2，故最简公分母是6x3y2；故选：B．6．（2023春•沙坪坝区期中）下列分式中是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解；A、是最简二次根式，符合题意；B、＝，不是最简二次根式，不符合题意；C、＝＝，不是最简二次根式，不符合题意；D、＝﹣1，不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．7．（2023春•原阳县期中）化简（1+）÷的结果为（）A．1+x B．C．D．1﹣x【答案】A【解答】解：原式＝×＝×＝1+x．故选：A．8．（2023•门头沟区二模）如果代数式有意义，那么实数x的取值范围是（）A．x≠2B．x＞2C．x≥2D．x≤2【答案】A【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故选：A．9．（2023春•武清区校级期末）计算﹣的结果是（）A．B．C．x﹣y D．1【答案】B【解答】解：﹣＝＝．故答案为：B．10．（2023春•东海县期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝﹣，故选：C．11．（2023秋•莱州市期中）计算的结果是﹣x．【答案】﹣x．【解答】解：÷＝•（﹣）＝﹣x，故答案为：﹣x．12．（2023秋•汉寿县期中）学校倡导全校师生开展“语文阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读的页数为（用含a、b、m的最简分式表示）．【答案】．【解答】解：由题意得：平均每天比原计划要多读的页数为：﹣＝﹣＝，故答案为：．13．（2023春•宿豫区期中）计算＝1．【答案】1．【解答】解：＝＝＝1，故答案为：1．14．（2023•广州）已知a＞3，代数式：A＝2a2﹣8，B＝3a2+6a，C＝a3﹣4a2+4a．（1）因式分解A；（2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．【答案】（1）2a2﹣8＝2（a+2）（a﹣2）；（2）..【解答】解：（1）2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）；（2）选A，B两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式（答案不唯一），＝＝．15．（2023秋•思明区校级期中）先化简，再求值：（），其中．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（﹣）＝÷＝•＝，当x＝﹣1时，原式＝＝．16．（2023秋•长沙期中）先化简，再求值：，其中x＝5．【答案】，．【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝，当x＝5时，原式＝＝．17．（2023•盐城一模）先化简，再求值：，其中x＝4．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（+）•＝•＝•＝x﹣1，当x＝4时，原式＝4﹣1＝3．18．（2022秋•廉江市期末）先化简（﹣x）÷，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．【答案】﹣，0．【解答】解：原式＝（﹣）•＝﹣•＝﹣，∵（x+1）（x﹣1）≠0，∴x≠±1，当x＝0时，原式＝﹣＝0．1．（2023秋•西城区校级期中）假设每个人做某项工作的工作效率相同，m个人共同做该项工作，d天可以完成若增加r个人，则完成该项工作需要（）天．A．d+y B．d﹣r C．D．【答案】C【解答】解：工作总量＝md，增加r个人后完成该项工作需要的天数＝，故选：C．2．（2023秋•长安区期中）若a＝2b，在如图的数轴上标注了四段，则表示的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④【答案】C【解答】解：∵a＝2b，∴＝＝＝＝＝，∴表示的点落在段③，故选：C．3．（2023秋•东城区校级期中）若x2﹣x﹣1＝0，则的值是（）A．3B．2C．1D．4【答案】A【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2﹣1＝x，∴x﹣＝1，∴（x﹣）2＝1，∴x2﹣2+＝1，∴x2+＝3，故选：A．4．（2023秋•鼓楼区校级期中）对于正数x，规定，例如，，则＝（）A．198B．199C．200D．【答案】B【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（1）+f（1）＝2，f（2）＝＝，f（）＝＝，f（2）+f（）＝2，f（3）＝＝，f（）＝＝，f（3）+f（）＝2，…f（100）＝＝，f（）＝＝，f（100）+f（）＝2，∴＝2×100﹣1＝199．故选：B．5．（2023秋•延庆区期中）当x分别取﹣2023，﹣2022，﹣2021，…，﹣2，﹣1，0，1，，，…，，，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（）A．﹣1B．1C．0D．2023【答案】A【解答】解：当x＝﹣a和时，＝＝0，当x＝0时，，则所求的和为0+0+0+⋯+0+（﹣1）＝﹣1，故选：A．6．（2022秋•永川区期末）若分式，则分式的值等于（）A．﹣B．C．﹣D．【答案】B【解答】解：整理已知条件得y﹣x＝2xy；∴x﹣y＝﹣2xy将x﹣y＝﹣2xy整体代入分式得＝＝＝＝．故选：B．7．（2023春•铁西区月考）某块稻田a公顷，甲收割完这块稻田需b小时，乙比甲多用0.3小时就能收割完这块稻田，两人一起收割完这块稻田需要的时间是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：乙收割完这块麦田需要的时间是（b+0.3）小时，甲的工作效率是公顷/时，乙的工作效率是公顷/时．故两人一起收割完这块麦田需要的工作时间为＝（小时）．故选：B．8．（2023春•临汾月考）相机成像的原理公式为，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．下列用f，u表示v正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵，去分母得：uv＝fv+fu，∴uv﹣fv＝fu，∴（u﹣f）v＝fu，∵u≠f，∴u﹣f≠0，∴．故选：D．9．（2023•内江）对于正数x，规定，例如：f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，计算：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝（）A．199B．200C．201D．202【答案】C【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，f（4）＝＝，f（）＝＝，…，f（101）＝＝，f（）＝＝，∴f（2）+f（）＝+＝2，f（3）+f（）＝+＝2，f（4）+f（）＝+＝2，…，f（101）+f（）＝+＝2，f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝2×100+1＝201．故选：C．10．（2023春•灵丘县期中）观察下列等式：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，…＝﹣将以上等式相加得到+++…+＝1﹣．用上述方法计算：+++…+其结果为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由上式可知+++…+＝（1﹣）＝．故选A．11．（2023秋•顺德区校级月考）先阅读并填空，再解答问题．我们知道，（1）仿写：＝，＝，＝．（2）直接写出结果：＝．利用上述式子中的规律计算：（3）；（4）．【答案】（1），；；（2）；（3）；（4）．【解答】解：（1），＝；＝，故答案为：，；；（2）原式＝1﹣+++...++＝1﹣＝；故答案为：；（3）＝＝1﹣+﹣+﹣+⋯⋯+＝1﹣＝；（2）原式＝×（）+×（）+×（）+...+×（）＝（）＝＝．12．（2023秋•株洲期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：，；解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真”或“假”）；（2）将假分式化为带分式；（3）如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．【答案】（1）真；（2）x﹣2+；（3）﹣1或﹣3或11或﹣15．【解答】解：（1）分式是真分式；故答案为：真；（2）；（3）原式＝，∵分式的值为整数，∴x+2＝±1或±13，∴x＝﹣1或﹣3或11或﹣15．13．（2023秋•涟源市月考）已知，求的值．解：由已知可得x≠0，则，即x+．∵＝（x+）2﹣2＝32﹣2＝7，∴．上面材料中的解法叫做“倒数法”．请你利用“倒数法”解下面的题目：（1）求，求的值；（2）已知，求的值；（3）已知，，，求的值．【答案】（1）；（2）24；（3）．【解答】解：（1）由，知x≠0，∴．∴，x•＝1．∵＝x2+＝（x﹣）2+2＝42+2＝18．∴＝．（2）由＝，知x≠0，则＝2．∴x﹣3+＝2．∴x+＝5，x•＝1．∵＝x2+1+＝（x+）2﹣2+1＝52﹣1＝24．∴＝．（3）由，，，知x≠0，y≠0，z≠0．则＝，＝，y+zyz＝1，∴+＝，+＝，+＝1．∴2（++）＝++1＝．∴++＝．∵＝++＝，∴＝．14．（2022秋•兴隆县期末）设．（1）化简M；（2）当a＝3时，记M的值为f（3），当a＝4时，记M的值为f（4）．①求证：；②利用①的结论，求f（3）+f（4）+…+f（11）的值；③解分式方程．【答案】（1）；（2）①见解析，②，③x＝15．【解答】解：（1）＝＝＝＝＝；（2）①证明：；②f（3）+f（4）+⋅⋅⋅+f（11）＝＝＝＝；③由②可知该方程为，方程两边同时乘（x+1）（x﹣1），得：，整理，得：，解得：x＝15，经检验x＝15是原方程的解，∴原分式方程的解为x＝15．15．（2023春•蜀山区校级月考）【阅读理解】对一个较为复杂的分式，若分子次数比分母大，则该分式可以拆分成整式与分式和的形式，例如将拆分成整式与分式：方法一：原式＝＝＝x+1+2﹣＝x+3﹣；方法二：设x+1＝t，则x＝t﹣1，则原式＝＝．根据上述方法，解决下列问题：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式和的形式，得＝；（2）任选上述一种方法，将拆分成整式与分式和的形式；（3）已知分式与x的值都是整数，求x的值．【答案】（1）；（2）；（3）﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5．【解答】解：（1）由题知，，故答案为：．（2）选择方法一：原式＝＝．选择方法二：设x﹣1＝t，则x＝t+1，则原式＝＝＝＝＝．（3）由题知，原式＝＝＝＝．又此分式与x的值都是整数，即x﹣4是39的因数，当x﹣4＝±1，即x＝3或5时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±3，即x＝1或7时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±13，即x＝﹣9或17时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±39，即x＝﹣35或43时，原分式的值为整数；综上所述：x的值为：﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5时，原分式的值为整数．16．（2023春•兰州期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：．解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真分式”或“假分式”）；（2）将假分式化为整式与真分式的和的形式：＝2+．若假分式的值为正整数，则整数a的值为1，0，2，﹣1；（3）将假分式化为带分式（写出完整过程）．【答案】（1）真分式；（2）2+；1，2，﹣1；（3）x﹣1﹣．【解答】解：（1）由题意得：分式是真分式，故答案为：真分式；（2）＝＝2+，当2+的值为正整数时，2a﹣1＝1或±3，∴a＝1，2，﹣1；故答案为：2+；1，2，﹣1；（3）原式＝＝＝x﹣1﹣．1．（2023•湖州）若分式的值为0，则x的值是（）A．1B．0C．﹣1D．﹣3【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x﹣1＝0，且3x+1≠0，解得：x＝1，故选：A．2．（2023•天津）计算的结果等于（）A．﹣1B．x﹣1C．D．【答案】C【解答】解：＝＝＝＝，故选：C．3．（2023•镇江）使分式有意义的x的取值范围是x≠5．【答案】x≠5．【解答】解：当x﹣5≠0时，分式有意义，解得x≠5，故答案为：x≠5．4．（2023•上海）化简：﹣的结果为2．【答案】2．【解答】解：原式＝＝＝2，故答案为：2．5．（2023•安徽）先化简，再求值：，其中x＝．【答案】x+1，．【解答】解：原式＝＝x+1，当x＝﹣1时，原式＝﹣1+1＝．6．（2023•广安）先化简（﹣a+1）÷，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．【答案】；﹣1．【解答】解：（﹣a+1）÷＝•＝．∵﹣2＜a＜3且a≠±1，∴a＝0符合题意．当a＝0时，原式＝＝﹣1．7．（2023•淮安）先化简，再求值：÷（1+），其中a＝+1．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（+）＝÷＝•＝，当a＝+1时，原式＝＝．8．（2023•朝阳）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝3．【答案】，1．【解答】解：原式＝[+]•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝1．。

(河北)中考数学总复习：1.4《分式》ppt课件

解：化简得原式＝－
1 ， a 取除 0，－2，－1，1 以外的数， a＋1 1 6
如取 a＝5，原式＝－
依分式的特点，能先化简的，应先化简，再依分式混合运算的顺序进行运算，注意方法的灵活性．对于分式值的计算，所取字母的值必须使原分式有意义．
Hale Waihona Puke 分式通分要注意符号的改变，分式代值运算必须使原分式有意义．
2 1 2．(2012· 河北)化简 2 ÷ 的结果是( C ) x －1 x－1 2 2 2 A. B. 2 C. D．2(x＋1) x－1 x －1 x＋1 1 3．(2014· 石家庄 42 中模拟)若分式有意义，则实数 x 的 x－5 取值范围是__x≠5__.
m＋1 m 4．(2014· 张家口模拟)计算：＋＝__1__. 2m＋1 2m＋1 5．计算： 2 a －9 2 (1)(2014· 承德模拟)(a ＋3a)÷ ； a－3 解：a 1 1 (2)(2014· 保定模拟)(a＋ )÷ (1＋ )． a－2 a－2 解：a－1 a－b a2－b2 6．(2014· 石家庄模拟)先化简，再求值： ÷ － a＋2b a2＋4ab＋4b2 1，其中 a＝2sin60°－tan45° ，b＝1. b 3 解：原式＝，当 a＝ 3－1，b＝1 时，原式＝ a＋b 3
分式有无意义，主要看分母；若分式值为0，则分子为0且分母不为0.
分式的运算
x2－2x＋ 1 【例 2】(1)(2014· 黄冈)当 x＝ 2－1 时，代数式 x＋ 1 x－ 1 3－2 2 ÷2 ＋x＝______________ ； x ＋x a－ 1 a2－ 1 (2)(2012· 扬州 ) 先化简： 1－ ÷ ，再选取一个合适的 a a a2＋ 2a 值代入计算．

2014届中考数学复习课件(河北专版)：第4课时分式

第4课时┃ 冀考探究
1 1 1 [解析] ∵当 x＝1 时，f(1)＝；当 x＝2 时，f(2)＝；当 x＝ 2 3 2 1 2 1 3 1 1 时，f2＝；当 x＝3 时，f(3)＝；当 x＝时，f3＝，„ 4 3 3 4 1 1 ∴f(2)＋f2＝1，f(3)＋f3＝1，„ 1 1 ∴f(n)＋„＋f(1)＋f2＋„＋fn＝f(1)＋(n－1)， 1 1 ∴f(2012)＋f(2011)＋„＋f(2)＋f(1)＋f2＋„＋f2012＝f(1) 1 ＋(2012－1)＝＋2011＝2011.5. 2
第4课时┃分式
第4课时┃ 冀考解读
冀考解读
考点梳理分式的有关概念通分、约分分式的化简与求值考纲要求了解掌握应用常考题型选择填空选择填空解答题 2013热度预测 ☆☆☆ ☆☆☆☆ ☆☆☆☆☆
第4课时┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 分式的概念
A 形如________( A、B是整式，且B中含 B 有字母，且B≠0)的式子叫做分式
例3
a2－2a＋1 3 先化简代数式1－a＋2÷ 2 ，再从－2，1，2， a －4
0 四个数中选一个恰当的数作为 a 的值代入求值．
第4课时┃ 冀考探究
a－1 （a＋2）（a－2） a－2 解：原式＝ × ＝， a＋2 （a－1）2 a－1 a－2 －2 当a＝0时，原式＝＝＝2. a－1 －1 (提醒：此题原式中的分母为a＋2，a2－4，当a＝± 2时，原 a2－2a＋1 分式无意义，所以a不能取± 2.同时为除式要求a2－2a 2 a －4 ＋1≠0，所以a不能取1)
第4课时┃ Байду номын сангаас考探究

2024年中考数学一轮复习提高讲义：分式及其运算

分式及其运算知识梳理1.分式的概念表示两个整式相除，且除式中含有字母，像这样的代数式就是分式.注意：分式中字母的取值不能使分母为零.当分母的值为零时，分式没有意义.2.分式的基本性质和变号法则(1)分式的基本性质：AB =A×MB×M=A÷MB÷M(2)分式的变号法则：−a−b =−−a+b=−a−b=ab3.分式的运算(1)分式的乘除:①分式的乘法：ab ⋅cd=acbd②分式的除法：ab ÷cd=ab⋅dc=adbc当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分.(2)分式的加减①同分母分式相加减：ac ±bc=a±bc②异分母分式相加减：ba ±dc=bcac±adac=bc±adac(3)分式的乘方：应把分子分母各自乘方，即(ab )′′=a nb n(n为正整数).4.分式求值(1)先化简,再求值.(2)由化简后的形式直接代入所求分式的值.(3)式中字母表示的数隐含在方程等题设条件中.典型例题例 1分式x2−4x+2的值为0,则( ).A. x=-2B. x=±2C. x=2D. x=0分析分式的值为0的条件：分子等于0，且分母不等于0. 解由题意，得x²−4=0,且x+2≠0,解得x=2.故选 C.例 2若ab+a-b-1=0,试判断1a−1,1b+1是否有意义.分析要判断1a−1,1b+1是否有意义，须看其分母是否为零，由条件中等式左边因式分解，即可判断a-1,b+1与零的关系.解因为ab+a-b-1=0,所以a(b+1)-(b+1)=0,即(b+1)(a-1)=0,所以b+1=0或a-1=0,所以1a−1,1b+1中至少有一个无意义.例3计算：1+n−mm−2n ÷m2−n2m2−4mn+4n2.分析分式运算时，若分子或分母是多项式，应先因式分解.解原式=1−m−nm−2n ⋅(m−2n)2 (m+n)(m−n)=1−m−2nm+n =m+n−m+2nm+n=3nm+n例 4已知 abc=1,求 a ab+a+1+b bc+b+1+cac+c+1的值.分析若先通分，计算就复杂了，我们可以用abc 替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了. 解原式 =a ab+a+1+ab abc+ab+a +abca 2bc+abc+ab =a ab+a+1+ab 1+ab+a +abca+1+ab =a+ab+1ab+a+1 =1 双基训练1.下列代数式中： x π,12x −√a−b √a+b x 2−y 2x+y ,1x+y x−y,是分式的有 . 2.下列式子中是分式的是( ).A. x/2B. 2x C.x π D.x+y 23.下列分式中，最简分式有( ).a 33x 2,x−yx 2+y 2,m 2+n 2m 2−n 2,m+1m 2−1,a 2−2ab+b 2a 2−2ab−b 2A. 2个B. 3 个C. 4 个D. 5 个 4.下列变形不正确的是( ). A.2−a −a−2=a−2a+2B.1x+1=x−1x 2−1(x ≠1) C.x+1x 2+2x+1=12 D.6x+33y−6=2x+1y−25.若2x+y=0,则x 2+xy+y 22xy−x 2的值为( ).A.−15B.−35C. 1D.无法确定 6.若把分式 x+yxy 中的x 和y 都扩大2倍，那么分式的值( ). C.缩小为原来的 12 D.缩小为原来的 14A.扩大 2倍 B. 不变7.若x+y=1,且x≠0,则(x+2xy+y2x )÷x+yx的值为 .8.已知分式2x+1x−2,当x= 时，分式没有意义；当. x=时，分式的值为0；当x=-2时,分式的值为 .9. 分式1x−1,1x,2x2−2x+1的最简公分母是 .10.某校组织学生春游，有m 名师生租用n座的大客车若干辆，共有3个空座位，那么租用大客车的辆数是 (用m，n 的代数式表示).11. 化简.(1)a2−4a2+2a−8÷(a2−4)⋅a2−4a+4a−2;(2)x2−1x2−4x+4÷(x+1)⋅x2−3x+2x−1.12. 当x 取何值时,式|x|−2x2+3x+2有意义?当x取什么数时，该式的值为零?13. 先化简(1x−1−1x+1)÷x2x2−2,再求当x=2时的分式值.14.有一道题：“先化简，再求值：(x−2x+2+4xx2−4)÷1x2−4其中，x=-3”.小玲做题时把“x=−3”错抄成了x=3”,但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事?15. 已知3x²+xy−2y²=0(x≠0,y≠0),求xy −yx−x2+y2xy的值.16.已知实数 m,n 满足关系1m+n +1m−n=nm2−n2,求2mn+n2m2的值.17.课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当x=3,5−2√2,7+√3时，求代数式x2−2x+1x2−1÷2x−2x+1的值.小明一看，说：“太复杂了，怎么算呢?”你能帮小明解决这个问题吗?请你写出具体的解题过程.18.先化简: (3x+1−x+1)÷x2−4x+4x+1,然后从-1≤x≤2中选一个合适的整数作为x的值代入求值.19.已知:非零实数a,b,c 满足1a −1b=1b−1c,求证:ab+bc=2ac.20.已知分式: A=2x2−1,B=1x+1+11−x.(x≠±1).有下面三个结论：①A，B 相等；②A，B 互为相反数；③A，B 互为倒数.上述结论中哪个正确?为什么?能力提升21.已知Mx2−y2=2xy−y2x2−y2+x−yx+y,则M=.22.已知分式x−5x2−4x+a,当x=55时，分式的值为零，求a 的取值范围；当x 取任何值时，这个分式一定有意义，求a 的取值范围 .23.如果记 y =x 21+x2=f (x ),并且f(1) 表示当x=1时y 的值,即 f (1)=121+12=12; f (12)表示当 x =12时y 的值，即f (12)=(12)21+(12)2=15; 那么f (1)+f (2)+f (12)+f (3)+f (13)+⋯+f (n )+f (1n)=¯(结果用含n 的代数式表示).24. 若 a²+b²=3ab,则 (1+2b 3a 3−b 3)÷(1+2ba−b )的值等于( ). A. 12B.0C. 1D.2325.若 P =12012−12013,Q =20112012−20102011,R =20122013−20112012,那么 P,Q,R 的大小关系为( ).A. P>Q>RB. P<Q<RC. P=R>QD. P=R<Q 26.已知:方程 a x−3=1x 的解为x=-3,求 a a−1−1a 2−a 的值.27.已知:a+b+c=0, abc=8,求证: 1a +1b +1c <0.28.已知 a²−6a +9与|b-1|互为相反数，求代数式 (4a 2−b2+a+bab 2−a 2b)÷a 2+ab−2b 2a 2b+2ab 2+ba的值.29.若 A =99991111+199992222+1,B =99992222+199993333+1,试比较A 与B 的大小.30.设a,b,c,d 都不等于 0,并且 ab =cd ≠1,按照下面的步骤探究 a+ba−b 和 c+dc−d 之间的关系.(1) 请你任意取3组a,b,c,d 的值,通过计算猜想a+ba−b 和c+dc−d之间的关系.(2)证明你的猜想. 拓展资源31.已知a,b,c 为实数,且aba+b =13,bcb+c=14,cac+a=15,那么abcab+bc+ca的值是多少?32.当x 的值变化时，求分式8−2(x+1)2+1的最小值.33.已知4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0,xyz≠0,求x+y−zx−y+2z的值.34.(1) 已知恒等式x³−x²−x+1=(x−1)(x²+kx−1),求 k 的值.(2)若x 是整数,求证x3−x2−x+1x2−2x+1是整数.35.解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它称为原问题的一个“逆向”问题.例如，原问题是“若矩形的两边长分别为3和4，求矩形的周长”，求出周长等于14后，它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14，且一边长为3，求另一边的长”；也可以是“若矩形的周长为14，求矩形面积的最大值”，等等.(1) 设A=3xx−2−xx+2,B=x2−44,求 A 与 B 的积.(2)提出(1)的一个“逆向”问题，并解答这个问题.第二十二讲1.x2−y2x+y ,1x+yx−y2. B3. C4. C5. B6. C7.18.2,- 12, 349. x(x-1)²10.m+3n11.(1) 原式=a2−4(a−2)(a+4)⋅1a2−4⋅(a−2)2a−2=1a+4.(2) 原式=(x+1)(x−1)(x−2)2⋅1x+1⋅(x−1)(x−2)x−1=x−1x−2,12. 由x²+3x+2=(x+1)(x+2)=0,得x=-1或-2所以,当x≠-1和x≠-2时,原分式有意义.由分子|x|-2=0得x=±2,当x=2时,分母x²+3x+2≠0;当x=-2时,分母x²+3x+2=0,原分式无意义. 所以当x=2时, |x|−2x2+3x+2的值为零.13. 原式=x+1−x+1(x+1)(x−1)÷x2(x+1)(x−1)=x+1−x+1(x+1)(x−1)⋅2(x+1)(x−1)x=4x,当x=2时,原式=2.14.原式计算的结果等于x²+4,所以不论x 的值是+3还是-3结果都为13.15.先化简，得原式=−2yx,又因3x²+xy−2y²=0,所以(3x-2y)(x+y)=0,所以x=23y或x=-y,当x=23y时,原式=-3;当x=-y时,原式=2.16. 由1m+n +1m−n=nm2−n2可得:n=2m;则2mn+n2m2=2nm+n2m2=4+4=8.17. 原式=(x−1)2(x+1)(x−1)⋅x+12(x−1)=12.由于化简后的代数中不含字母x，故不论x取任何值，所求的代数式的值始终不变.所以当x=3,5−2√2,7+√3时，代数式的值都是12.18.化简得原式=x+22−x,当x=1时,原式=3.19. 因为1a −1b=1b−1c,所以b−aab=c−bbc,所以c(b-a)=a(c-b),所以bc-ac=ac-ab,所以ab+bc=2ac.20.②的结论正确.理由如下：因为B=1x+1+11−x=x−1(x+1)(x−1)−x+1(x+1)(x−1)=(x−1)−(x+1)(x+1)(x−1)=−2x2−1=−A所以 A，B互为相反数.21. x² 22. a≠-5,a>4 23.n−1224. A 2 5. D26. 因为方程ax−3=1x的解为.x=-3.所以a−3−3=−13,解得a=2,所以aa−1−1a2−a=a2a(a−1)−1a(a−1)=(a+1)(a−1)a(a−1)=a+1a;当a=2时,原式=2+12=32.27.证明:因为a+b+c=0,)所以( (a+b+c)²=0,即a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=0,所以ab+bc+ac=−12(a2+b2+c2),又因为1a +1b+1c=bc+ac+ababc=−116(a2+b2+c2),且已知abc=8,所以a,b,c均不为零, 所以a²+b²+c²>0,所以1a +1c+1c<0.28. 由已知得a--3=0,b-1=0,解得a=3,b=1.原式 =[4(a+b )(a−b )+a+b ab (b−a )]÷a 2+ab−2b 2ab (a+2b )+ba=[−(a−b )2ab (a−b )(a+b )]÷a 2−b 2+ab−b 2ab (a+2b )+ba=−(a−b )2ab (a−b )(a+b )⋅ab (a+2b )(a−b )(a+2b )+ba=−1a+b +ab把a=3,b=1代入得:原式 =114.29. 设a=9999¹¹¹¹,则 A =a+1a 2+1,B =a 2+1a 3+1 所以 A −B =a+1a 2+1−a 2+1a 3+1=a 4+a 3+a+1−a 4−2a 2−1(a 2+1)(a 3+1)=a (a−1)2(a 2+1)(a 3+1)>0所以 A>B.30.(1) 可取a=1,b=2,c=2,d=4;a=1,b=2,c=3,d=6;a=2,b=3,c=6,d=9,再分别代入 a+b a−b和c+d c−d中进行计算，由计算结果可得到 a+b a−b 利 c+dc−d 的关系是相等.(2) 证明:因为a,b,c,d 都不等于0,并且 a b =cd ≠1, 所以 a =cd ⋅b,所以 a+ba−b =cd ⋅b+b cd⋅b−b =c d +1c d−1=c+dc−d .31.由已知条件得： 1a +1b =3,1b +1c =4,1c +1a =5.所以 2(1a +1b +1c )=12即 1a +1b +1c =6,又因为ab+bc+caabc=1c+1b +1a =6,所以 abc ab+bc+ca =16. 32. 因为( (x +1)²≥0,所以( (x +1)²+1的最小值为1，所以 2(x+1)2+1的最大值为2，所以 8−2(x+1)2+1的最小值为6.33. 因为4x-3y-6z=0①,x+2y-7z=0②由①,②解得 {x =3z y =2z,所以 x+y−z x−y+2z =3z+2z−z 3z−2z+2z =43.34.(1) 由题设知, (x −1)(x²+kx −1)=x³+(k −1)x²−(k +1)x +1,所以 x³−x²−x +1=x³+(k −1)x²−(k +1)x +1,从而有k-1=-1,-k-1=-1,解得k=0. (2) 由(1)知k=0,则 x³−x²−x +1=(x −1)(x²−1)=(x −1)²(x +1), 所以 x 3−x 2−x+1x 2−2x+1=(x−1)2(x+1)(x−1)2=x +1.又因为x 是整数，所以x+1是整数.所以x 3−x 2−x+1x 2−2x+1是整数.35.(1)A ⋅B =(3x x−2−xx+2)⋅x 2−4x=2x (x+4)(x−2)(x+2)⋅x 2−4x=2x +8;(2)“逆向问题”:已知 A ⋅B =2x +8,B =x 2−44,求 A. 解答： A =(A ⋅B )÷B =2x +8xx 2−4=2x 2+8x x 2−4.。

河北省中考数学总复习第一编知识梳理篇第1章数与式第4节因式分解与分式(精讲)试题(2021学年)

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第四节因式分解与分式年份题号考查点考查内容分值总分２０１７年未考查20１64分式的计算考查两个分式的运算3３20151８分式化简求值考查分式化简求值３３２0147分式化简含两项,考查同分母分式的减法运算，含有一个字母3３20134因式分解给出四个选项,判断变形属于因式分解的是哪一项2１8分式化简求值含三项，涉及分式的加法、除法运算,含有两个字母,利用整体代入思想求值35命题规律纵观河北近五年中考，因式分解及分式每年都有所涉及，特别是分式的化简求值,只有201７年未考，都属基础题，３~５分不等，填空、选择、解答三种题型都有,其中因式分解考查了1次,分式化简求值考查了4次.河北五年中考真题及模拟)因式分解１.（2013河北中考）下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是（Ｄ）A．a(ｘ－y）＝ax-ａyB.x2+2ｘ＋1＝ｘ(x+２）+1C.(x＋1）(x+3）＝x２+4x＋3Ｄ．x3－ｘ＝ｘ（x+1）（x-1)２.(２015唐山路北二模)下列各因式分解正确的是( D )A．x２+2x－１＝（x－１)2B．-ｘ2+(－２）2=(x-２）(x＋2)C．（x+1)2＝ｘ2＋2x+1D．x3－4ｘ=x（x＋2)(ｘ-２）3．（２017邢台中考）分解因式:ｘ3-４x＝_＿x(x-2)(x＋2）__．4．(201６邯郸十一中模拟)分解因式：ab4-4ab3+４ａb2=＿_ab2（ｂ-2)２__.分式化简求值５．(2０1６河北中考)下列运算结果为ｘ－1的是( B )Ａ．1－错误!B．错误!·错误!Ｃ。

河北省中考数学总复习第一单元数与式第04课时分式课件

[答案] D [解析] 乙在化简过程中将 1-x 写成了 x-1 后没有补上负号,所以错误.丁约分后的分母应该是 x 而不是 2,错误. 故选 D.
C.乙和丙
图4-1
高频考向探究
拓考向
5.[2018· 沧州一模] 数学课上,老师讲解了分式的除法.放学后,嘉嘉回到家中拿出课堂笔记,认真地复习课堂笔记“化简:
�� 2 +4�� +4�� 2 �� +2�� 2 -��
÷
�� -��
,其中 a,b 满足
解:1=1 -
�� 2 +4�� +4�� 2 �� +2�� 2 -��
C.x
2.[2016· 河北 4 题] 下列运算结果为 x-1 的是 ( B ) A.1C.
�� 1 �� +1
B. ÷
1 �� -1
�� 2 -1
D.
3-2 �� -1
�� +1 �� 2 +2�� +1 �� +1 1
A C
A C
��· ��
��
·
=
��· �� · ��
课前双基巩固
分式的乘方分式的混合运算分式化简求值
A n B
=

河北省地区中考数学总复习第4讲分式及其运算课件

－3
分式的性质
【例 2】 (1)(2014·贺州)先化简，再求值：(a2b＋ab)÷a2＋a＋2a1＋1，其中 a＝ 3＋1，b＝ 3－1. 解：原式＝ab(a＋1)·（aa＋＋11）2＝ab，当 a＝ 3＋1，b＝ 3－1 时，原式＝3－1＝2 (2)(2014·济宁)已知 x＋y＝xy，求代数式1x＋1y－(1－x)(1－y)的值．
解：∵x＋y＝xy，∴1x＋1y－(1－x)(1－y)＝y＋xyx－(1－x－y＋xy)＝x＋xyy －1＋x＋y－xy＝1－1＋0＝0
• 【点评】 (1)分式的基本性质是分式变形的理论依据，所有分式变形都不得与此相违背，否则分式的值改变；(2)将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多项式，要先将它们分别分解因式，然后再约分，约分应彻底；(3)巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应用逆向思维，把要求的算式和已知条件由两头向中间凑的方式来求代数式的值．
2
8．(2007·河北)已知 a＝3，b＝－2，求(1a＋1b)·a2＋2aabb＋b2的值．
1
分式的概念，求字母的取值范围
【例 1】 (1)(2014·贺州)分式x－2 1有意义，则 x 的取值范围是
(A)
A．x≠1
B．x＝1
C．x≠－1
D．x＝－1
(2)(2014·毕节)若分式xx2－－11的值为零，则 x 的值为( C )
第四讲分式及其运算
1．分式的基Βιβλιοθήκη 概念(1)形如__AB(A，B 是整式，且 B 中含有字母，B≠0)__的式子叫分式；
(2)当__B≠0__时，分式AB有意义；当__B＝0__时，分式AB无意义；
当__A＝0 且 B≠0__时，分式AB的值为零． 2．分式的基本性质

河北省2020届中考数学大一轮新突破教师课件：第四节分式

ab ab
A. a2－b2
B. a＋b
C. a－b
D. 1
)中的数是( B )
2
1
3. (2012河北10题3分)化简 x2 1 x 1 的结果是( C )
2 A. x 1
2 B. x2 1
2 C.
x1
D. 2(x＋1)
4. (2016河北4题3分)下列运算结果为x－1的是( B )
1
.
W
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考点梳理
概
分式：形如
A B
(B

0)
的代数式，其中
A、B都是整式，且
B中含有字母
念最简分式：_分__子__与__分__母__没__有__公__因__式__（约分可将分式化为最简分式）
有
关分式 A 有意义的条件是__B_≠_0__
概
B
念及
A
分式 B 的值为零的条件是__A_＝__0_且__B__≠_0_
m m

1 1

4m m2
1
的过程，共五步．
其中错误的一步是( D ) A. 第二步 C. 第四步
B. 第三步 D. 第五步
例2
(2018秦皇岛一模)已知：1 1 2，则代数式
xy
2x 14xy 2 y x 2xy y
9
的值为____2____．
练习 1 A. 1
(2018邯郸二模)化简 (a b)2 (a b)2 的结果是( A )
第5题图
接力中，自己负责的一步出现错误的是( D )
A. 只有乙
B. 甲和丁
C. 乙和丙
D. 乙和丁
命题点 2 分式化简求值（10年3考）

2024年中考数学一轮复习考点精讲及专题精练—分式

2024年中考数学一轮复习考点精讲及专题精练—分式→➊考点精析←一、分式1．分式的定义（1）一般地，整式A 除以整式B，可以表示成AB的形式，如果除式B 中含有字母，那么称AB为分式．（2）分式AB中，A 叫做分子，B 叫做分母．【注意】①若B≠0，则AB有意义；②若B=0，则AB无意义；③若A=0且B≠0，则AB=0．2．分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示为(0)A A C C B B C ⋅=≠⋅或(0)A A C C B B C÷=≠÷，其中A，B，C 均为整式．3．约分及约分法则（1）约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．（2）约分法则把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分．【注意】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式．4．最简分式分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．【注意】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．5．通分及通分法则（1）通分根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分．（2）通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．【注意】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．6．最简公分母几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．7．分式的运算（1）分式的加减①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：a c a cb b b±±=．②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示为：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=．（2）分式的乘法乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：a c a cb d b d⋅⋅=⋅．（3）分式的除法除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．用式子表示为：a c a d a db d bc b c⋅÷=⋅=⋅．（4）分式的乘方乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：((nn n a a n b b=为正整数，0)b ≠．（5）分式的混合运算含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．→➋真题精讲←考向一分式的有关概念1．分式的三要素：（1）形如AB的式子；（2）,A B 均为整式；（3）分母B 中含有字母．2．分式的意义：（1）有意义的条件是分式中的字母取值不能使分母等于零，即0B ≠．（2）无意义的条件是分母为0．（3）分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．1．（2020·湖南衡阳·中考真题）要使分式11x -有意义，则x 的取值范围是（）A ．1x >B ．1x ≠C ．1x =D ．0x ≠【答案】B【分析】根据分式有意义的条件即可解答．【解析】根据题意可知，10x -≠，即1x ≠．故选：B ．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为0是解决问题的关键．2．（2020·浙江金华·中考真题）分式52x x +-的值是零，则x 的值为（）A ．5B ．2C ．－2D ．－5【答案】D【分析】分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零．【解析】解：依题意，得x+5=0，且x-2≠0，解得，x=-5,且x≠2,即答案为x=-5．故选：D ．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．3．（2020·湖南郴州·中考真题）若分式11x +的值不存在，则x =__________．【答案】-1【分析】根据分式无意义的条件列出关于x 的方程，求出x 的值即可．【解析】∵分式11x +的值不存在，∴x+1=0，解得：x=-1，故答案为：-1．【点睛】本题考查的是分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解答此题的关键．4．（2020·湖北黄石·中考真题）函数13y x =+-的自变量x 的取值范围是（）A ．2x ≥，且3x ≠B ．2x ≥C ．3x ≠D ．2x >，且3x ≠【答案】A【分析】根据分式与二次根式的性质即可求解．【解析】依题意可得x-3≠0，x-2≥0解得2x ≥，且3x ≠故选A ．【点睛】此题主要考查函数的自变量取值，解题的关键是熟知分式与二次根式的性质．考向二分式的基本性质分式基本性质的应用主要反映在以下两个方面：（1）不改变分式的值，把分式的分子、分母中各项的系数化为整数；（2）分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．5.分式233x yxy+中的x 、y 的值都扩大到原来的2倍，则分式的值为A ．扩大为原来2倍B ．缩小为原来的12倍C ．不变D ．缩小为原来的14倍【答案】B【解析】∵若x 、y 的值都扩大到原来的2倍，则为()()()223462312312432323x y x y x y x yxy xy xy xy++++===⋅∴把分式233x y xy +中的x 、y 的值都扩大到原来的2倍，则分式的值为原来的12，故选B ．【点睛】本题考查了分式的基本概念和性质的相关知识．这类题目的一个易错点是：在没有充分理解题意的情况下简单地通过分式的基本性质得出分式值不变的结论．对照分式的基本性质和本题的条件不难发现，本题不符合分式基本性质所描述的情况，不能直接利用其结论．因此，在解决这类问题时，要注意认真理解题意．6．（2019·江苏扬州·中考真题）分式13-x 可变形为()A ．13x+B ．-13x+C ．31-x D ．1-3x -【答案】D【分析】根据分式的基本性质逐项进行判断即可.【解析】A.13x +≠13-x ，故A 选项错误；B.-13x +=13-x -≠13-x，故B 选项错误；C.65x ==-13-x ，故C 选项错误；D.1-3x -=1x-3)-（=13-x，故D 选项正确，故选D.【点睛】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．考向三分式的约分与通分约分与通分的区别与联系：1．约分与通分都是根据分式的基本性质，对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值；2．约分是针对一个分式而言，约分可使分式变得简单；3．通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式．7.关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确A ．211x x +-约分的结果是1x B ．分式211x -与11x -的最简公分母是x-1C ．22xx 约分的结果是1D ．化简221x x --211x -的结果是1【答案】D 【解析】A 、211x x +-=11x -，故本选项错误；B 、分式211x -与11x -的最简公分母是x2-1，故本选项错误；C 、22x x =2x ，故本选项错误；D 、221x x --211x -=1，故本选项正确，故选D ．【点睛】本题主要考查分式的通分和约分，这是分式的重要知识点，应当熟练掌握．8．（2023·湖南·统考中考真题）已知5x =，则代数式2324416x x ---的值为________．【答案】13【分析】先通分，再根据同分母分式的减法运算法则计算，然后代入数值即可．【详解】解：原式=()()()()()34244444x x x x x +--+-+()()31244x x x -=-+34x =+ 5x =333145493∴===++x 故答案为：13.【点睛】本题主要考查了分式通分计算的能力，解决本题的关键突破口是通分整理．9．（2023·四川遂宁·统考中考真题）先化简，再求值：2221111x x x x -+⎛⎫⋅+ ⎪-⎝⎭，其中112x -⎛⎫= ⎪⎝⎭．【答案】1x x-，12【分析】先根据平方差公式，完全平方公式和分式的运算法则对原式进行化简，然后将1122x -⎛⎫== ⎪⎝⎭代入化简结果求解即可．【详解】解：2221111x x x x -+⎛⎫⋅+ ⎪-⎝⎭()()()21111x x x x x-+=⋅+-1x x-=，当1122x -⎛⎫== ⎪⎝⎭时，原式21122-==．【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握平方差公式，完全平方公式和分式的运算法则是解题关键．10.（2020.成都市中考模拟）关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确A ．211x x +-约分的结果是1xB ．分式211x -与11x -的最简公分母是x-1C ．22xx约分的结果是1D ．化简221x x --211x -的结果是1【答案】D 【解析】A 、211x x +-=11x -，故本选项错误；B 、分式211x -与11x -的最简公分母是x2-1，故本选项错误；C 、22x x =2x ，故本选项错误；D 、221x x --211x -=1，故本选项正确，故选D ．【点睛】本题主要考查分式的通分和约分，这是分式的重要知识点，应当熟练掌握．11．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）分式22x x -与282x x-的最简公分母是_______，方程228122-=--x x x x的解是____________．【答案】()2x x -x=-4【分析】根据最简公分母的定义得出结果，再解分式方程，检验，得解．【解析】解：∵()222x x x x -=-，∴分式22x x -与282x x-的最简公分母是()2x x -，方程228122-=--x x x x，去分母得：()2282x x x -=-，去括号得：22282x x x -=-，移项合并得：2280x x +-=，变形得：()()240x x -+=，解得：x=2或-4，∵当x=2时，()2x x -=0，当x=-4时，()2x x -≠0，∴x=2是增根，∴方程的解为：x=-4．【点睛】本题考查了最简公分母和解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法．考向四分式的运算（1）分式的加减运算：异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母．（2）分式的乘除运算：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去．（3）分式的乘方运算，先确定幂的符号，遵守“正数的任何次幂都是正数，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数”的原则．（4）分式的混合运算有乘方，先算乘方，再算乘除，有时灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．注意运算顺序，计算准确．12．（2023·广东·统考中考真题）计算32a a+的结果为（）A ．1aB ．26a C ．5aD ．6a【答案】C【分析】根据分式的加法运算可进行求解．【详解】解：原式5a=；故选：C ．【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键．13．（2023·天津·统考中考真题）计算21211x x ---的结果等于（）A ．1-B ．1x -C ．11x +D ．211x -【答案】C【分析】根据异分母分式加减法法则进行计算即可．【详解】解：()()()()21212111111x x x x x x x +-=----+-+()()1211x x x +-=-+()()111x x x -=-+11x =+；故选：C ．【点睛】本题考查了异分母分式加减法法则，解答关键是按照相关法则进行计算．14．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）化简422x x +-+的结果是（）A ．1B ．224x x -C ．2x x +D ．22x x +【答案】D【分析】根据分式的加减混合运算法则即可求出答案.【详解】解：422x x +-+()()4222x x x ++-=+22x x =+.故选：D.【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键在于熟练掌握分式加减混合运算法则.15．（2023·湖北武汉·统考中考真题）已知210x x --=，计算2221121-⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭x x x x x x 的值是（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】A【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后把21x x =+代入原式即可求出答案．【详解】解：2221121-⎛⎫-÷⎪+++⎝⎭x x x x x x =()()()()2121111x x x x x x x x x ⎡⎤-+-÷⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦=()()()21111x x x x x x +-⋅+-=21x x +，∵210x x --=，∴21x x =+，∴原式=21x x +=1，故选：A.【点睛】本题考查分式的混合运算及求值．解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则．16．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）化简：2222142442x x x x x x x x x+--⎛⎫-÷= ⎪--+-⎝⎭_______．【答案】12x -【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解．【详解】解：2222142442x x x x x x x x x+--⎛⎫-÷ ⎪--+-⎝⎭()()()()()2221242x x x x x x x x x +----=⨯--()()2222442x x x x xx x x ---+=⨯--12x =-；故答案为：12x -．【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．17．（2020·山西中考真题）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．229216926x x x x x -+-+++2(3)(3)21(3)2(3)x x x x x +-+=-++第一步32132(3)x x x x -+=-++第二步2(3)212(3)2(3)x x x x -+=-++第三步26(21)2(3)x x x --+=+第四步26212(3)x x x --+=+第五步526x =-+第六步任务一：填空：①以上化简步骤中，第_____步是进行分式的通分，通分的依据是____________________或填为_____________________________；②第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________________________；任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．【答案】任务一：①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；②五；括号前是“-”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；任务二：726x -+；任务三：最后结果应化为最简分式或整式，答案不唯一，详见解析．【分析】先把能够分解因式的分子或分母分解因式，化简第一个分式，再通分化为同分母分式，按照同分母分式的加减法进行运算，注意最后的结果必为最简分式或整式．【解析】任务一：①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；故答案为：三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；②五；括号前是“-”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；故答案为：五；括号前是“-”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；任务二：解；229216926x x x x x -+-+++2(3)(3)21(3)2(3)x x x x x +-+=-++32132(3)x x x x -+=-++2(3)212(3)2(3)x x x x -+=-++26(21)2(3)x x x --+=+26212(3)x x x ---=+726x =-+．任务三：解：答案不唯一，如：最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方程混淆，等．【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，分式的化简，掌握以上两种以上是解题的关键．考向五分式化简求值18．（2023·广东深圳·统考中考真题）先化简，再求值：22111121x x x x -⎛⎫+÷ ⎪--+⎝⎭，其中3x =．【答案】1x x +，34【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x 的值代入进行计算即可．【详解】22111121x x x x -⎛⎫+÷ ⎪--+⎝⎭()()()21111x x x x x +-=÷--111x x x x -=⨯-+1xx =+∵3x =∴原式33314==+．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．19．（2023·四川眉山·统考中考真题）先化简：214111x x x -⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，再从2,1,1,2--选择中一个合适的数作为x 的值代入求值．【答案】12x +；1【分析】先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可．【详解】解：214111x x x -⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭()()2211111x x x x x x +--⎛⎫-÷ ⎪---⎝⎭=()()()12122x x x x x =--⋅-+-12x =+，∵1x ≠，2±，∴把=1x -代入得：原式1112==-+．【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．20．（2023·山东烟台·统考中考真题）先化简，再求值：2695222a a a a a -+⎛⎫÷++ ⎪--⎝⎭，其中a 是使不等式112a -≤成立的正整数．【答案】33a a -+；12-【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数a 的值，再代入数据计算即可．【详解】解：2695222a a a a a -+⎛⎫÷++ ⎪--⎝⎭()()()23225222a a a a a a -+-⎡⎤=÷+⎢⎥---⎣⎦()2234522a a a a --+=÷--()()()232233a a a a a --=⋅-+-33a a -=+，解不等式112a -≤得：3a ≤，∵a 为正整数，∴1a =，2，3，∵要使分式有意义20a -≠，∴2a ≠，∵当3a =时，552320223a a ++=++=--，∴3a ≠，∴把1a =代入得：原式131132-==-+．【点睛】本题主要考查了分式化简求作，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．21．（2023·江西·统考中考真题）化简2111x x x x x x-⎛⎫+⋅ ⎪+-⎝⎭．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：解：原式()()()()()()21111111x x x x x x x x x x⎡⎤-+-=+⋅⎢⎥+-+-⎣⎦……解：原式221111x x x x x x x x--=⋅+⋅+-……(1)甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号）①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程．【答案】(1)②，③；(2)见解析【分析】（1）根据所给的解题过程即可得到答案；（2）甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则求解，最后根据分式的乘法计算法则求解即可；乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可．【详解】（1）解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，故答案为：②，③；（2）解：甲同学的解法：原式()()()()()()21111111x x x x x x x x x x⎡⎤-+-=+⋅⎢⎥+-+-⎣⎦()()()()221111x x x x x x x x x =⋅+++---+()()()()211112x x x x x x =⋅+-+-2x =；乙同学的解法：原式221111x x x x x x x x--=⋅+⋅+-()()()()111111x x x x x x x x x x=⋅+⋅+-+--+11x x =-++2x =．【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．22．（2023·山东枣庄·统考中考真题）先化简，再求值：222211a a a a a ⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，其中a 的值从不等式组1a -<<的解集中选取一个合适的整数．【答案】21a a a --，12【分析】先根据分式的混合运算法则，进行化简，再选择一个合适的整数，代入求值即可．【详解】解：原式222223111a a a a a a a ⎛⎫=-÷ ⎪-⎝⎭---()2222111a a aa a a =⋅----21a aa =--；∵220,10a a ≠-≠，∴0,1a a ≠≠±，23=<=，∴1a -<<0,1,2，∵0,1a a ≠≠±，∴2a =，原式2122221--==．【点睛】本题考查分式的化简求值，求不等式组的整数解．熟练掌握相关运算法则，正确的进行计算，是解题的关键．23．（2023·山东滨州·统考中考真题）先化简，再求值：22421244a a a a a a a a -+-⎛⎫÷- ⎪--+⎝⎭，其中a 满足1216cos6004a a -⎛⎫-⋅+ ⎪⎭︒=⎝．【答案】244a a -+；1【分析】先根据分式的加减计算括号内的，然后将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，求得2430a a -+=的值，最后将2430a a -+=代入化简结果即可求解．【详解】解：22421244a a a a a a a a -+-⎛⎫÷- ⎪--+⎝⎭()()()()()22221422a a a a a a a a a a ⎡⎤+---=÷⎢⎥--⎢⎥⎣⎦()()()()222142a a a a a a a a +----=÷-()222244a a a a a a a--=⨯--+()22a =-244a a =-+；∵1216cos6004a a -⎛⎫-⋅+ ⎪⎭︒=⎝，即2430a a -+=，∴原式2=431011a a -++=+=．【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则以及负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行求解．24．（2023·湖北荆州·统考中考真题）先化简，再求值：222222x y x xy y x y x y x y x y ⎛⎫--+--÷ ⎪+-+⎝⎭，其中112x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0(2023)y =-．【答案】-x x y，2【分析】根据分式的运算法则，先将分式进行化简，再将x 和y 的值代入即可求出答案．【详解】解：222222x y x xy y x y x y x y x y⎛⎫--+--÷ ⎪+-+⎝⎭()()()22x y x y x y x y x y x y x y⎡⎤--+=-⋅⎢⎥++--⎢⎥⎣⎦2x y x y x y x y x y x y⎛⎫--+=-⋅ ⎪++-⎝⎭x x y x y x y+=⋅+-xx y=-1122x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，0(2023)1y =-=∴原式2221x x y ===--．故答案为：-x x y ，2．【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，解题的关键在于熟练掌握分式的运算法则、零次幂、负整数次幂．。

中考数学第一轮复习总结讲义4分式

第四讲：分式姓名:1. 假设使分式古意义，那么X 的取值范围是（2. 假设分式的值为0,那么（X — 1+冷，其中x=2.先化简再求值：:［广；+朋二;+ ］，其中寸力一2+36。

2+屏一12沥=0.日期:C. x>D. x<23. 4.5- A. x=±3B. x=3C. x~3D. X 取任意值以下等式从左到右的变形正确的选项是Ab Z? +1「 b bmA. — = ------ B-—=——a a+\a amb ab C ・-aD.b 3 a a 1使代数式必j 有意义的%的取值范围是先化简，再求值.cr 。

+1 a 2-1①盘一十尚，其中〃或26. 当工=, 2x —3时，分式 %—3 的值为零.7- 化简：土状一2好1 (2m mx+1 • x 2-%m"?2 —4一、分式的概念假设A, B表示两个整式，且B中含有_______ 那么式子_____ 就叫做分式①假设那么分式4无意义。

B②假设分式—=0,那么应且。

B二、分式的根本性质1、_________________________________________ 分式的分子分母都乘以(或除以)同一个___________________________________ 的整式，分式的值不变。

a.m a-^m/ ,八、---- = ______ , ------- = ______ (m^O)a.m b-i-m分式的变号法那么—^= -=______________ O2、_____________________ 约分：根据______________________ 把一个分式分子和分母的_____________ 约去叫做分式的约分。

约分的关键是确定分式的分子和分母中的___________________ ，约分的结果必须是_________ 分式或整式。

3、__________________ 通分：根据___________________ 把几个异分母的分式化为_________________ 分母分式的过程叫做分式的通分，通分的关键是确定各分母的________ o4、考前须知：①最简分式是指____________ ;②约分时确定公因式的方法：当分子、分母是单项式时，公因式应取系数的_______ ,相同字母的_______ ,当分母、分母是多项式时应先 ___________ 再进行约分；③通分时确定最简公分母的方法，取各分母系数的_______________ 相同字母________ ,分母中有多项式时仍然要先__________ ，通分中有整式的应将整式看成是分母为_______ 的式子；④约分通分时一定注意“都”和“同时”防止漏乘和漏除项三、分式的运算1、分式的乘除①分式的乘法：_____________ ；②分式的除法：-^-= _________ 。

河北省中考数学复习课件：第1章第4讲分式

类型3 求分式的值【例3】[2016·巴中中考]先化简：
，然后再
从－2＜x≤2的范围内选取一个合适的x的整数值代入求值．
【思路分析】先化简，再根据分式有意义的条件和所给的范围，把符合要求的x的值代入即可．
自主解答：
Hale Waihona Puke 解得x≠－1,0,1.又∵－2<x≤2且x为整数，∴x＝2. 将x＝2代入，得原式＝＝4.
思路分析：根据多项式乘以多项式法则计算得出新的乘法公式；再利用乘法公式将原式分子、分母因式分解，再约分即可得．自主解答：(1)原式＝a3＋a2b＋ab2－a2b－ab2－b3＝a3－b3. (2)原式＝
＝(m－n)· ＝m＋n. 技法点拨►(1)分式计算或化简的顺序与整式运算相同，也可以借助运算律来简化运算；(2)对于说理性问题，一般先进行分式化简，再根据结果进行推理．
B．－2 D．任意实数
2．[2016·河北，4,3分]下列运算结果为x－1的是( )
3．[2014·河北，7,3分]化简： A．0 B．1 C．x D.
C 原式＝
＝x.
4．[2012·河北，10,3分]化简
＝( ) 的结果是( )
C 原式＝
5．[2015·河北，18,3分]若a＝2b≠0，则
的值为 .
第一章数与式第4讲分式
考点梳理过关考点1 分式的概念
考点2 分式的基本性质
归纳►通分的关键是确定最简公分母．求最简公分母的方法是： (1)将各分母分解因式；(2)找各分母系数的最小公倍数；(3)找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的．满足(2)(3) 的因式之积即为各分式的最简公分母．
6．[2013·河北，18,3分]若x＋y＝1，且x≠0，则

2019年河北省中考数学总复习(课件+练习)第04课时分式

3.[2018·金华]
若分式 ��-3 的值为
�� +3
0,则
x
的值是
A.3
B.-3
C.3 或-3 D.0
(A )
6
课前双基巩固
4.[2018·淄博] 化简 ��2 -1-2��的结果为
��-1 1-��
A.�� +1
��-1
B.a-1

要把分式的化简与解分式方程的变形相混淆,而随意将分母
去掉;(2)对于分式化简求值题中所给值是开放性或多值时,注
意选值时应该使原分式与化简过程中的分式都有意义,即保
证分母不为0.
解:原式= ��(��+��-22)-(��--21)2 ·��-��4=
[解析] (1)要使代数式有意义,则
�� ≥ 0, ��-2 ≠ 0, 解得 x≥0 且 x≠2.故选 D. �� + 1 ≠ 0,
(2)若分式��2-9的值为 0,则 ��2-9 = 0,解得
��-3
��-3 ≠ 0,
x=-3.
10
高频考向探究
B.�� 2 -1·��
�� +1
D.�� 2+2��+1
�� +1
3.[2017·河北 13 题] 若3-2��=(
��-1
)+ 1 ,则(
��-1
)中的数是
A.-1

2021年春人教版河北省数学九年级中考《分式方程及应用》专题复习

分式方程及应用1.在求3x的倒数的值时，嘉淇同学误将3x看成了8x，她求得的值比正确答案小5.依上述情形，所列关系式成立的是()A．13x＝18x－5 B．13x＝18x＋5C．13x＝8x－5 D．13x＝8x＋52.(2020·河北中考样题)方程7x＋2＝5x的解是．3.(2020·唐山路北区二模)解分式方程2xx－2＝1－12－x，去分母后得到的方程正确的是()A．－2x＝1－(2－x) B．－2x＝(2－x)＋1 C．2x＝(x－2)－1 D．2x＝(x－2)＋14.(2020·邯郸丛台区二模)若关于x的分式方程m＋1x－1＝x1－x有增根，则m的值是()A．m＝－1 B．m＝1 C．m＝－2 D．m＝25.(2020·遵化市一模)A，B两地相距180 km，新修的高速公路开通后，在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1 h．若设原来的平均车速为x km/h，则根据题意可列方程为()A．180x－180（1＋50%）x＝1 B．180（1＋50%）x－180x＝1C．180x－180（1－50%）x＝1 D．180（1－50%）x－180x＝16.小明解方程1x －x －2x ＝1的过程如图所示．请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．7．(2020·唐山路北区一模)解分式方程2x ＋1 ＋3x －1 ＝6x 2－1，分以下四步，其中错误的一步是( )A ．方程两边分式的最简公分母是(x －1)(x ＋1)B ．方程两边都乘(x －1)(x ＋1)，得整式方程2(x －1)＋3(x ＋1)＝6C ．解这个整式方程，得x ＝1D ．原方程的解为x ＝18．(2020·唐山市一模)使分式x x －3 和分式x ＋1x －1相等的x 值是( ) A ．－5 B ．－4 C ．－3 D ．－19．解方程：x x －5 －x －12x －10＝2.10若分式方程xx－1－m1－x＝2有增根，则这个增根是．11．(2020·龙东中考)已知关于x的分式方程xx－3－4＝k3－x的解为非正数，则k的取值范围是() A．k≤－12 B．k≥－12C．k＞－12 D．k＜－1212.．如果关于x的方程m3－x －1－xx－3＝0无解，则m的值是()A．2 B．0 C．1 D．－213.为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，若两车合作，各运12趟才能完成，需支付运费共4 800元．若甲、乙两车单独运完此堆垃圾，则乙车所运趟数是甲车的2倍，已知乙车每趟运费比甲车少200元．(1)分别求出甲、乙两车每趟的运费；(2)若单独租用甲车运完此堆垃圾，需运多少趟？(3)若同时租用甲、乙两车，则甲车运x趟，乙车运y趟，才能运完此堆垃圾，其中x，y均为正整数．当x＝10时，y＝________；当y＝10时，x＝________．14．(2020·石家庄新华区二模)两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工3个月，这时增加了乙队，两队又共同工作了2个月，总工程全部完成，已知甲队单独完成全部工程比乙队单独完成全部工程多用2个月，设甲队单独完成全部工程需x个月，则根据题意可列方程中错误的是()A．3x＋2x－2＝1 B．3x＋2x＋2x－2＝1C．3＋2x＋2x－2＝1 D．3x＋2⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1x－2＝115．(2020·邯郸永年区一模)为了疫情防控需要，某防护用品厂计划生产150 000个口罩，但是在实际生产时，……，求实际每天生产口罩的个数．在这个题目中，若设实际每天生产口罩x个，可得方程150 000x－500－150 000x＝10，则题目中用“……”表示的条件应是()A．每天比原计划多生产500个，结果延期10天完成B．每天比原计划少生产500个，结果提前10天完成C．每天比原计划少生产500个，结果延期10天完成D．每天比原计划多生产500个，结果提前10天完成15．(2020·河北模拟)某学校食堂需采购部分餐桌，现有A，B两个商家，A 商家每张餐桌的售价比B商家的优惠20元．若该校花费4 400元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费4 000元采购款在A商家购买餐桌的张数，则A商家每张餐桌的售价为()A．197元B．198元C．199元D．200元分式方程及应用1. (2016·河北中考)在求3x的倒数的值时，嘉淇同学误将3x看成了8x，她求得的值比正确答案小5.依上述情形，所列关系式成立的是(B)A．13x＝18x－5 B．13x＝18x＋5C．13x＝8x－5 D．13x＝8x＋52.(2020·河北中考样题)方程7x＋2＝5x的解是x＝5．3.(2020·唐山路北区二模)解分式方程2xx－2＝1－12－x，去分母后得到的方程正确的是(D)A．－2x＝1－(2－x) B．－2x＝(2－x)＋1 C．2x＝(x－2)－1 D．2x＝(x－2)＋14.(2020·邯郸丛台区二模)若关于x的分式方程m＋1x－1＝x1－x有增根，则m的值是(C)A．m＝－1 B．m＝1 C．m＝－2 D．m＝25.(2020·遵化市一模)A，B两地相距180 km，新修的高速公路开通后，在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1 h．若设原来的平均车速为x km/h，则根据题意可列方程为(A)A ．180x －180（1＋50%）x ＝1B ．180（1＋50%）x－180x ＝1 C ．180x －180（1－50%）x ＝1 D ．180（1－50%）x－180x ＝1 6.小明解方程1x －x －2x ＝1的过程如图所示．请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．解：小明的解法有三处错误．步骤①去分母有误；步骤②去括号有误；步骤⑥缺少检验．正确解法如下：方程两边同乘x ，得1－(x －2)＝x .去括号，得1－x ＋2＝x .移项，得－x －x ＝－1－2.合并同类项，得－2x ＝－3.系数化为1，得x ＝32 .经检验，x ＝32 是原分式方程的解．∴x＝32是原分式方程的解．,7．(2020·唐山路北区一模)解分式方程2x＋1＋3x－1＝6x2－1，分以下四步，其中错误的一步是(D)A．方程两边分式的最简公分母是(x－1)(x＋1)B．方程两边都乘(x－1)(x＋1)，得整式方程2(x－1)＋3(x＋1)＝6 C．解这个整式方程，得x＝1D．原方程的解为x＝18．(2020·唐山市一模)使分式xx－3和分式x＋1x－1相等的x值是(C)A．－5 B．－4 C．－3 D．－19．解方程：xx－5－x－12x－10＝2.解：方程两边同乘2(x－5)，得2x－(x－1)＝4(x－5).解得x＝7.检验：当x＝7时，2(x－5)≠0.∴x＝7是原分式方程的解．10若分式方程xx－1－m1－x＝2有增根，则这个增根是x＝1．11．(2020·龙东中考)已知关于x的分式方程xx－3－4＝k3－x的解为非正数，则k的取值范围是(A)A．k≤－12 B．k≥－12C．k＞－12 D．k＜－125．如果关于x 的方程m 3－x －1－x x －3＝0无解，则m 的值是 (A ) A ．2 B ．0 C ．1 D ．－212.为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，若两车合作，各运12趟才能完成，需支付运费共4 800元．若甲、乙两车单独运完此堆垃圾，则乙车所运趟数是甲车的2倍，已知乙车每趟运费比甲车少200元．(1)分别求出甲、乙两车每趟的运费；(2)若单独租用甲车运完此堆垃圾，需运多少趟？(3)若同时租用甲、乙两车，则甲车运x 趟，乙车运y 趟，才能运完此堆垃圾，其中x ，y 均为正整数．当x ＝10时，y ＝________；当y ＝10时，x ＝________．解：(1)设甲、乙两车每趟的运费分别为m 元、n 元．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝200，12（m ＋n ）＝4 800. 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝300，n ＝100.答：甲、乙两车每趟的运费分别为300元、100元；(2)解：设单独租用甲车运完此堆垃圾，需运a 趟．由题意，得12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12a ＝1.解得a ＝18.经检验，a ＝18是原方程的解．答：单独租用甲车运完此堆垃圾，需运18趟；(3)16；13,13．(2020·石家庄新华区二模)两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工3个月，这时增加了乙队，两队又共同工作了2个月，总工程全部完成，已知甲队单独完成全部工程比乙队单独完成全部工程多用2个月，设甲队单独完成全部工程需x个月，则根据题意可列方程中错误的是(A)A．3x＋2x－2＝1 B．3x＋2x＋2x－2＝1C．3＋2x＋2x－2＝1 D．3x＋2⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1x－2＝114．(2020·邯郸永年区一模)为了疫情防控需要，某防护用品厂计划生产150 000个口罩，但是在实际生产时，……，求实际每天生产口罩的个数．在这个题目中，若设实际每天生产口罩x个，可得方程150 000x－500－150 000x＝10，则题目中用“……”表示的条件应是(D)A．每天比原计划多生产500个，结果延期10天完成B．每天比原计划少生产500个，结果提前10天完成C．每天比原计划少生产500个，结果延期10天完成D．每天比原计划多生产500个，结果提前10天完成15．(2020·河北模拟)某学校食堂需采购部分餐桌，现有A，B两个商家，A 商家每张餐桌的售价比B商家的优惠20元．若该校花费4 400元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费4 000元采购款在A商家购买餐桌的张数，则A商家每张餐桌的售价为(D)A．197元B．198元C．199元D．200元。

【中考复习方案】(河北专版)中考数学复习权威课件(冀考解读+考点聚焦+冀考探究)：第4课时分式

x2－x＋4x8＋4－2－1 x÷xx2－＋23x，其中 x2－4＝0.
冀考解读
考点聚焦
冀考探究
第4课时┃分式
解
原
式
＝
（xx－＋28）2＋x－1 2
·
x（x－2） x＋3
＝
2（（xx－＋23））2 ·x（xx＋－32）＝x2－x2.
∵x2－4＝0，∴x＝±2，但 x－2≠0，故 x＝－2.
∴原式＝2×－（2－－22）＝1.
分
定义
形如____AB____(A，B 是整式，且 B 中含有字母，B≠0)的式子叫做分式
有意义的
式
条件
分母不为 0
值为 0 的条件
分子为 0，但分母不为 0
冀考解读
考点聚焦
冀考探究
第4课时┃分式
考点2 分式的基本性质
分式的基本性质
适用范围
AB＝AB××MM， BA＝AB÷÷MM (M 是不为 0
冀考解读
考点聚焦
冀考探究
第4课时┃分式
(1)在应用分式的基本性质进行变形时，要注意“都”“同一个”“不等于 0”这些字眼的意义，否则容易出现错误．(2)在进行通分和约分时，如果分式的分子或分母是多项式，则先要将这些多项式进行因式分解．
冀考解读
考点聚焦
冀考探究
第4课时┃分式
探究三分式的化简与求值命题角度： 1. 分式的加、减、乘、除、乘方运算法则； 2. 分式的混合运算及化简求值． [2013·六盘水 ] 先化简，再求值：
D. aa－＋bb＝bb－＋aa
冀考解读
考点聚焦
冀考探究
第4课时┃分式
解析（（ab－－ba））22＝（（aa－－bb））22＝1，故 A 正确；－aa＋－bb＝－（a＋a＋bb）＝－1，故 B 正确； 0.02.a5－a＋0.b3b＝101（0（0.02.a5－a＋0.b3）b）＝52aa＋－130bb，故 C 正确； aa－＋bb＝－（b＋b－aa）＝－bb－＋aa，故 D 错误．因此，选 D.

2019中考初中数学一轮复习专题导引40讲-04分式及其运算

2019年中考初中数学一轮复习专题导引40讲第04讲分式及其运算☞考点解读：考点1：分式的有关概念基础知识归纳：分式有意义的条件是分母不为零；分式无意义的条件是分母等于零；分式值为零的条件是分子为零且分母不为零．注意问题归纳：1.分式有意义的条件是分母不为0，无意义的条件是分母为0．2.分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．【例1】（武汉）若分式在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（）A ．x ＞﹣2B ．x ＜﹣2C ．x=﹣2D ．x ≠﹣2【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．解：∵代数式在实数范围内有意义，∴x+2≠0，解得：x ≠﹣2．故选：D ．【变式1】（湘西州）要使分式有意义，则x 的取值范围为 x ≠﹣2 ．【分析】根据根式有意义的条件即可求出答案．解：由题意可知：x+2≠0， ∴x ≠﹣2 故x ≠﹣2【变式2】（滨州）若分式的值为0，则x 的值为 ﹣3 ．【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子=0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．解：因为分式的值为0，所以=0，化简得x 2﹣9=0，即x 2=9．解得x=±3因为x ﹣3≠0，即x ≠3 所以x=﹣3．故答案为﹣3．考点2：分式的性质基础知识归纳：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示为)0()0(≠÷÷=≠⋅⋅=C C B C A B A C CB C A B A注意问题归纳：1.分式的基本性质是分式变形的理论依据，所有分式变形都不得与此相违背，否则分式的值改变；2.将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多项式，要先将它们分别分解因式，然后再约分，约分应彻底；3.巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应用逆向思维，把要求的算式和已知条件由两头向中间凑的方式来求代数式的值．【例2】如果分式.中的x 、y 都扩大为原来的2倍，那么分式的值（）A. 扩大为原来的2倍B. 缩小为原来的2倍C. 扩大为原来的3倍D. 不变分别用2x 和2y 去代换原分式中的x 和y 得，所以，分式的值不变．故选D ．【变式3】分式xyx ＋y中的x ，y 的值都扩大到原来的2倍，则分式的值( ) A ．扩大到原来的2倍 B ．不变 C ．缩小到原来的12 D ．缩小到原来的14分式xyx ＋y 中的x 与y 都扩大2倍，则所得分式的值扩大为原来的2倍，故选：B ．考点3：分式的加减运算基础知识归纳：加减法法则：① 同分母的分式相加减：分母不变,分子相加减 ② 异分母的分式相加减：先通分,变为同分母的分式,然后再加减．注意问题归纳：1.分式加减运算的运算法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．1.异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母.求最简公分母的方法是：①将各个分母分解因式；②找各分母系数的最小公倍数；③找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的，满足②③的因式之积即为各分式的最简公分母．【例3】（襄阳）计算﹣的结果是．【分析】根据同分母分式加减运算法则计算即可，最后要注意将结果化为最简分式．解：原式===，故．【变式3】（衡阳）计算：= ．【分析】根据同分母分式的加减，分母不变，只把分子相加减，计算求解即可．解：==x﹣1．故x﹣1．考点4：分式的乘除运算基础知识归纳:1.乘法法则：分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母.乘方法则：分式的乘方,把分子、分母分别乘方．2.除法法则：分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．注意问题归纳：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去．【例4】（天门）化简：•．【分析】先将分子、分母因式分解，再约分即可得．解：原式=•=．【变式4】（孝感）已知x+y=4，x﹣y=，则式子（x﹣y+）（x+y﹣）的值是（）A．48 B．12 C．16 D．12【分析】先通分算加法，再算乘法，最后代入求出即可．解：（x﹣y+）（x+y﹣）=•=•=（x+y）（x﹣y），当x+y=4，x﹣y=时，原式=4=12，故选：D．考点5：分式的混合运算基础知识归纳：在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算．若有括号，先算括号里面的．灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．注意问题归纳：注意运算顺序，计算准确．【例5】（永州）化简：（1+）÷= ．【分析】根据分式的加法和除法可以解答本题．解：（1+）÷===，故．【变式5】（北京）如果a﹣b=2，那么代数式（﹣b）•的值为（）A． B．2 C．3 D．4【分析】先将括号内通分，再计算括号内的减法、同时将分子因式分解，最后计算乘法，继而代入计算可得．解：原式=（﹣）•=•=，当a﹣b=2时，原式==，故选：A．☞真题试卷连接：一、选择题：1. （金华）若分式的值为0，则x的值为（）A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．02. （江西）计算（﹣a）2•的结果为（）A．b B．﹣b C．ab D．3. （台州）计算，结果正确的是（）A ．1B ．xC ．D ．4. （苏州）计算（1+）÷的结果是（）A ．x+1B ．C ．D ．5. (河北2分)老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是(D) A ．只有乙B ．甲和丁C ．乙和丙D ．乙和丁6. (石家庄二模)如图为小明和小红两人的解题过程．下列叙述正确的是( ) 计算：3x －1＋x －31－x 2.小明的解法：原式＝3（x ＋1）（x ＋1）（x －1）－x －3（x ＋1）（x －1）…①＝3x ＋3－x －3（x ＋1）（x －1）…②＝2x（x ＋1）（x －1）…③小红的解法：原式＝－3（x ＋1）（x ＋1）（1－x ）＋x －3（1＋x ）（1－x ）…①＝－3(x ＋1)＋x －3…② ＝－3x －3＋x －3…③ ＝－2x －6…④ A ．只有小明的正确 B ．只有小红的正确 C ．小明、小红都正确 D ．小明、小红都不正确二、填空题： 7. （宁波）要使分式有意义，x 的取值应满足． 8. （自贡）化简+结果是． 9. 化简：（1﹣）÷= . 10. （大庆）已知=+，则实数A= ．三、计算与解答： 11. 化简：（2﹣）÷．12. ．（玉林）先化简再求值：（a ﹣）÷，其中a=1+，b=1﹣．13. （深圳）先化简，再求值：，其中x=2．14. (遵义)化简分式(a 2－3a a 2－6a ＋9＋23－a )÷a －2a 2－9，并在2，3，4，5这四个数中取一个合适的数作为a的值代入求值． ☞答案：一、选择题： 1. （金华）若分式的值为0，则x 的值为（）A ．3B ．﹣3C ．3或﹣3D ．0【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x 的值．解：由分式的值为零的条件得x﹣3=0，且x+3≠0，解得x=3．故选：A．2. （江西）计算（﹣a）2•的结果为（）A．b B．﹣b C．ab D．【分析】先计算乘方，再计算乘法即可得．解；原式=a2•=b，故选：A．3. （台州）计算，结果正确的是（）A．1 B．x C． D．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．解：原式==1故选：A．4. （苏州）计算（1+）÷的结果是（）A．x+1 B． C． D．【分析】先计算括号内分式的加法、将除式分子因式分解，再将除法转化为乘法，约分即可得．解：原式=（+）÷=•=，故选：B．5. (河北2分)老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是(D)A．只有乙B．甲和丁C．乙和丙 D．乙和丁【分析】根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断．解：∵÷=•=• =•==， ∴出现错误是在乙和丁，故选：D ．6. (石家庄二模)如图为小明和小红两人的解题过程．下列叙述正确的是(D) 计算：3x －1＋x －31－x 2.小明的解法：原式＝3（x ＋1）（x ＋1）（x －1）－x －3（x ＋1）（x －1）…①＝3x ＋3－x －3（x ＋1）（x －1）…②＝2x（x ＋1）（x －1）…③小红的解法：原式＝－3（x ＋1）（x ＋1）（1－x ）＋x －3（1＋x ）（1－x ）…①＝－3(x ＋1)＋x －3…② ＝－3x －3＋x －3…③ ＝－2x －6…④ A ．只有小明的正确 B ．只有小红的正确 C ．小明、小红都正确 D ．小明、小红都不正确二、填空题： 7. （宁波）要使分式有意义，x 的取值应满足 x ≠1 ．【分析】直接利用分式有意义则分母不能为零，进而得出答案．解：要使分式有意义，则：x ﹣1≠0．解得：x ≠1，故x 的取值应满足：x ≠1．故x ≠1． 8. （自贡）化简+结果是．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．解：原式=+=故9. 化简：（1﹣）÷= .【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．解：原式=×=×=x﹣110. （大庆）已知=+，则实数A= 1 ．【分析】先计算出+=，再根据已知等式得出A、B的方程组，解之可得．解： +=+=，∵=+，∴，解得：，故1．三、计算与解答：11. 化简：（2﹣）÷．【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．解：原式=（﹣）÷=•=．12. ．（玉林）先化简再求值：（a ﹣）÷，其中a=1+，b=1﹣．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案，解：当a=1+，b=1﹣时，原式=• =• === 13. （深圳）先化简，再求值：，其中x=2．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案，解：原式=把x=2代入得：原式= 14. (遵义)化简分式(a 2－3a a 2－6a ＋9＋23－a )÷a －2a 2－9，并在2，3，4，5这四个数中取一个合适的数作为a 的值代入求值．解：原式＝[a （a －3）（a －3）2－2a －3]÷a －2（a ＋3）（a －3）＝(a a －3－2a －3)·（a ＋3）（a －3）a －2＝a －2a －3·（a ＋3）（a －3）a －2＝a ＋3.∵a ≠－3，2，3，∴a ＝4或a ＝5.∴当a ＝4时，原式＝7.(或当a ＝5时，原式＝8.)。

河北省地区中考数学总复习 第4讲 分式及其运算考点跟踪突破

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