直线与双曲线地相交弦问题

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直线与双曲线的相交弦问题

v1.0 可编辑可修改直线与双曲线的相交弦问题直线与双曲线相交的弦长公式 ①221212()()AB x x y y =-+-②]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+= ③221121222111(1)[()4]AB y y y y y y kk=+-=+⋅+-一、已知双曲线方程和直线方程求弦长例1、过双曲线1322=-y x 的左焦点1F ，作倾斜角为6π的弦AB ，求AB ；⑵AB F 2∆的面积（2F 为双曲线的右焦点）。

1、求直线1y x =+被双曲线2214y x -=截得的弦长；2、过双曲线14491622=-y x 的右焦点作倾斜角为3π的弦AB ，求弦长AB ；3、已知斜率为2的直线L 被双曲线22154x y -=截得的弦长为52，求直线L 的方程；4、过双曲线122=-y x 的左焦点2F ，作倾斜角为3π的直线与双曲线相交于B A ,两点，求：（1）弦长AB（2）△AB F 1∆的周长（2F 为双曲线的右焦点）二、已知弦长求双曲线方程5、已知焦点在x 轴上的双曲线上一点P ，到双曲线两个焦点的距离分别为4和8，直线2-=x y 被双曲线截得的弦长为220，求此双曲线的标准方程．6、已知倾斜角为4π的直线l 被双曲线60422=-y x 截得的弦长28=AB ，求直线l 的方程．例2、已知双曲线方程为3322=-y x ，求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程．解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的关系或“平方差法”求解．此时，若已知点在双曲线的内部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求直线必须进行检验，以免增解，若用待定系数法时，只需求出k 值对判别式△>0进行验证即可．例3、双曲线方程为3322=-y x .问：以定点B(1,1)为中点的弦存在吗若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由．7、已知中心在原点，顶点12,A A 在x 轴上，离心率为213的双曲线经过点(6,6)P （Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）动直线l 经过12A PA ∆的重心G ，与双曲线交于不同的两点,M N ，问是否存在直线l 使G 平分线段MN 。

2.2.2(二)双曲线的简单几何性质(二)

2.2.2(二)
跟踪训练 3 设 A、B 分别是双曲线xa22－yb22＝1(a，b>0)的左、
右顶点，双曲线的实轴长为 4 3，焦点到渐近线的距离为 3.
(1)求此双曲线的方程；
(2)已知直线 y＝ 33x－2 与双曲线的右支交于 D、E 两点，
本讲栏
且在双曲线的右支上存在点 C，使得O→D＋O→E＝mO→C，求
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.2.2(二)
2.已知双曲线xa22－by22＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1、
F2，过 F2 的直线交双曲线右支于 A，B 两点.若△ABF1
是以 B 为顶点的等腰三角形，且△AF1F2，△BF1F2 的面
本讲
积之比 S△AF1F2∶S△BF1F2＝2∶1，则双曲线的离心率
本
讲
A.(x－5)2＋y2＝36
B.(x＋5)2＋y2＝36
栏目
C.(x－5)2＋y2＝9
D.(x＋5)2＋y2＝9
开关
解析由双曲线ax22－y92＝1(a>0)得渐近线方程为 y＝±3ax，即
3x±ay＝0，∴a＝4，
∴c2＝a2＋9＝25，∴右焦点为(5,0). 又∵b2＝9，∴虚轴长 2b＝6. ∴所求圆的方程为(x－5)2＋y2＝36.
2.2.2(二)
题型一直线与双曲线的位置关系
例 1 已知直线 y＝kx－1 与双曲线 x2－y2＝1 有且仅有一个
公共点，k 为何值？
本讲栏
解由yx＝2－kyx2－＝11， ⇒(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
目开
当 1－k2≠0 时，即 k≠±1 时，
关 ∵直线和双曲线只有一个交点，

专题07 双曲线的焦点弦、中点弦、弦长问题-2022年高考数学圆锥曲线重难点专题突破(解析版)

专题07 双曲线的焦点弦、中点弦、弦长问题一、单选题1．设1F ，2F 为双曲线2214y x -=的两个焦点，点P 在双曲线上且满足1290F PF ∠=︒，则12F PF △的面积为（） A ．2 BC ．4 D．【解析】由题意，双曲线2214y x -=，可得1,2a b ==，则c =因为点P 在双曲线上，不妨设点P 在第一象限，由双曲线的定义可得122PF PF -=，又因为1290F PF ∠=︒，可得2221212PF PF F F +=，即2221220PF PF +==，又由222121212()2PF PF PF PF PF PF +=-+，可得2122220PF PF +=，解得128PF PF =，所以12F PF △的面积为12142S PF PF ==.故选：C. 2．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，与直线20x y +=交于A ，B两点，若AB =双曲线的方程为（） A ．2225y x -=B ．2216y x -=C ．229y x -=D ．226y x -=【解析】由题意可设双曲线方程为22y x m -=，0m >，由2220y x m x y ⎧-=⎨+=⎩得23x m =，则x =，0m >，不妨假设A x =A y =-由图象的对称性可知，AB =OA9m =，故双曲线方程为：229y x -=，故选：C3．过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：22x －y 2＝1相交于A ，B 两点，若P 为线段AB 的中点，则|AB |＝（） A ．B ．C ．D ．【解析】解法一：由题意可知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x－4)＋2.由22(4)2,12y k x x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理，得(1－2k 2)x 2＋8k (2k －1)x －32k 2＋32k －10＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为P (4，2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝－28(21)12k k k --＝8，解得k ＝1.所以x 1x 2＝2232321012k k k-+--＝10.所以|AB |＝故选:D. 解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221112x y -= ， ①，222212x y -=. ②①－②得12(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.因为P (4，2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4.所以4(x 1－x 2)－4(y 1－y 2)＝0，即x 1－x 2＝y 1－y 2，所以直线AB 的斜率k ＝1212y y x x --＝1. 则直线AB 的方程为y ＝x －2.由222,12y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理，得x 2－8x ＋10＝0，所以x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10.所以|AB |故选：D4．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，过其左焦点()F 作斜率为2的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，则截得的弦长AB =（） A．B．C ．10D．【解析】∵双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，∴ba=b，∵左焦点()F，∴c =222233=+==c a b a ，∴21a =，22b =， ∴双曲线方程为2212y x -=，直线l的方程为(2=y x ，设()11,A x y ，()22,B x y由(22212y x y x ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，消y可得270++=x，∴12+=-x x 127=x x ，∴10====AB ．故选:C5．已知双曲线C : 22221x y a b -= (a >0，b >0)，过点P (3，6) 的直线l 与C 相交于A ， B 两点，且AB 的中点为N (12，15)，则双曲线C 的离心率为（） A ．2B ．3C ．32D【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由已知可得2211221x y a b-=，2222221x y a b -=，相减化简可得2121221212=0y y y y b a x x x x -+-⋅-+，又AB 的中点N (12,15)，直线AB 过点P (3,6)， ∴ 1224x x +=，1230y y +=，12121y y x x -=-，∴ 2254b a =，∴ 2222914c b a a =+=，∴ 离心率32c e a ==，故选：C.6．已知双曲线C ：2214y x -=，经过点M (2，1)的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，则直线l 的方程为（） A ．8x －y －15＝0 B ．8x ＋y －17＝0 C ．4x ＋y －9＝0D ．4x －y －7＝0【解析】设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则2211222244,44,x y x y ⎧-=⎨-=⎩ 两式相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.因为M (2，1)是线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 所以16(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0，所以k AB ＝1212y y x x --＝162＝8，故直线l 的方程为y －1＝8(x －2)，即8x －y －15＝0.故选：A ．7．已知双曲线222:1(3)9-=>x y C a a 左､右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作x 轴的垂线l 交双曲线C 的于A ，B 两点，若2ABF 的周长为25，则双曲线C 的渐近线方程为（）． A ．340±=x yB ．430x y ±=C ．380x y ±=D ．830x y ±=【解析】设1(,0)F c -，12(,),(,)A c y B c y --，因为l 垂直x 轴，所以12y y =-，又A 、B 在双曲线C 上，所以221219y c a -=，又22229c a b a =+=+，所以219b y a a==，所以2218b AB a a==，所以2ABF 的周长为221122AF BF AB a AF a BF AB ++=++++ =18424225a AB a a +=+⨯=，所以4a =或94a =（舍）所以双曲线C 的渐近线方程为34yx ，即340±=x y .故选：A8．设双曲线2222:1(>>0)x y C a b a b-=的右焦点为F,点P 在C的一条渐近线0x =上,O 为坐标原点,若OF PF =且∆POF的面积为则C 的方程为A ．2212x y -=B ．22142x y -=C ．22163x y -=D ．22184x y -=【解析】20x y +=为双曲线2222:1(>>0)x y C a b a b-=的一条渐近线，故设双曲线方程为22:1(>0)2x y C λλλ-=，则右焦点F 的坐标为)F，20x y +=，因为P 在0x +=上，且OF PF =，则右焦点F 的坐标为)F到直线0x +=的距离d ==OP ∴==1122POF S OP d ∆∴==⨯= 2λ∴=，故22:142x y C -=，故选：B二、多选题9．双曲线E 的方程为2213x y -=，12F F 、分别为左右焦点，P 为双曲线上一点，且172PF =，直线l ：()2y k x =-与E 交于A ，B 两点，则（）A ．272PF =+27=2PF -B ．EC ．E 的渐近线与圆2221x y 相切D ．满足AB =l 有3条【解析】由双曲线E 的方程为2213x y -=，则在双曲线E 中1,2a b c ===选项A ，当点P 在右支上时，12PF c a ≥+=722<P 在左支上，则21722PF PF a =+=+A 不正确.选项B.双曲线E 的离心率为c e a ===B 不正确.选项C.双曲线E 的渐近线方程为0x =圆2221x y 的半径为1，圆心为()2,0到渐近线0x =的距离为1d ==所以E 的渐近线与圆2221x y 相切，故选项C 正确.选项D. 由直线l ：()2y k x =-恒过点()2,0，即直线l ：()2y k x =-过双曲线的右焦点.若直线l 与双曲线E 的右支相交于A ，B 两点，当l x ⊥轴时，223b AB a ==由AB =2条.若直线l 与双曲线E 的左、右支各有一个交点，此时2AB a = 则满足条件的直线即为0y =，故此时只有一条直线满足条件. 综上所述：满足条件的直线有3条，故选项D 正确故选：CD10．已知双曲线22:14x E y -=的右焦点为F ，过F 的动直线l 与E 相交于A ，B 两点，则（）A ．曲线E 与椭圆2216y x +=有公共焦点B ．曲线E ，渐近线方程为20x y ±=．C ．AB 的最小值为1D ．满足AB 4=的直线l 有且仅有4条【解析】对于A ：由2214x y -=知双曲线的焦点在x 轴上，由2216y x +=知椭圆的焦点在y 轴上，所以焦点不相同，故选项A 不正确；对于B ：由双曲线22:14x E y -=可得24a =，21b =，所以222415c a b =+=+=，所以双曲线的离心率为c e a ==，渐进线方程为12b y x x a =±=±，即20x y ±=，故选项B 正确；对于C ：当A ，B 两点位于双曲线的异支时，直线AB 的斜率为0时AB 最小，此时A ，B 两点分别为双曲线的左右顶点，此时24AB a ==，当A ，B 两点位于双曲线的同支时，直线AB 的斜率不存在时AB 最小，直线AB 的方程为x =2214x y -=可得12y =±，所以1212AB =⨯=，所以AB 的最小值为1，故选项C 正确；对于D ：由选项C 知，当A ，B 两点位于双曲线的异支时，min 4AB =，此时只有一条，当A ，B 两点位于双曲线的同支时，min 1AB =，根据对称性可知，此时存在两条直线使得AB 4=，所以满足AB 4=的直线l 有且仅有3条.故选项D 不正确；故选：BC.11．已知双曲线()2222:100x y C a b a b-=>>，的左､右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与双曲线交于A ，B 两点，A 在第一象限，若△1ABF 为等边三角形，则下列结论一定正确的是（） A ．双曲线CB ．12AF F △的面积为2 C ．12BF F △的内心在直线x a =±上D ．12AF F △内切圆半径为)1a【解析】对于C ，设12BF F △的内心为I ，作过I 作1212,,BF BF F F 的垂线，垂足分别为,,H G P ，如图，则12122F P F P F B F B a -=-=，所以OP a =，所以12BF F △的内心在直线x a =±上，故C 正确；△1ABF 为等边三角形,若,A B 在同一支，由对称性知AB x ⊥轴，2(,)b A c a ，2tan 302b a c∴=，2b =.2221b e a ∴=+=,e =12222221232AF Fb bc S c a a a =⨯⨯==△, 设12AF F △的内切圆半径为r，则()2162r a+=，解得)1r a =；若,A B 分别在左右两支，则2112,4F A a F A F B AB a ====，则2221241641cos 2242a a c F AF a a +-==-⨯⨯，解得c=，离心率e 122124sin120232AF F S a a =⨯⨯=△，设12AF F △的内切圆半径为r ，则()2162r a +=，解得r =；所以结论一定正确的是BC.故选：BC. 12．已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为30的直线分别交y 轴与双曲线右支于点,M P，1PM MF =，下列判断正确的是（）A ．21π3PF F B ．2112MF PF =C ．ED ．E的渐近线方程为y =【解析】1PM MF =，即M 为1PF 中点，O 为12F F 中点，2//OM PF ∴， 12OM F F ⊥，212PF F F ∴⊥，212PF F π∴∠=，2112MF PF =，A 错误，B 正确；由212PF F F ⊥知：22bPF a=，又122F F c =，1230PF F ∠=，2c =)222c a ac -=，220e -=，解得：e =C 正确；c e a ==223c a ∴=，22222b c a a ∴=-=，ba∴ E∴的渐近线方程为y =，D 正确.故选：BCD. 三、填空题13．过点()1,1P 的直线l 与双曲线2212y x -=交于,M N 两点，且点P 恰好是线段MN 的中点，则直线l 的方程为___________.【解析】过点(1,1)P 的直线l 与该双曲线交于M ，N 两点，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，∴221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减可得：121212121()()()()2x x x x y y y y -+=+-，因为P 为MN 的中点，122x x ∴+=，122y y +=，12122()x x y y ∴-=-，则12122MNy y x x -==-，所以直线l 的方程为12(1)y x -=-，即为210x y --=．故答案为：210x y --=．14．已知双曲线22143x y -=的左､右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线上一点，且12PF F S=12FPF ∠=___________.【解析】依题意2,a b c ===12,PF mPF n ==，不妨设m n >，122F F c ==，设()120,F PF θπ=∈∠，根据双曲线的定义、余弦定理、三角形的面积公式得(22242cos 1sin 2m n m n mn mn θθ⎧-=⎪⎪⎪=+-⎨⎪⎪=⎪⎩，()22216282cos sin m n m n mn mn θθ⎧-=⎪=+-⎨⎪=⎩，2222216282cos sin m n mn m n mn mn θθ⎧+-=⎪=+-⎨⎪=⎩，282162cos mn mn mn θ=+-⎧⎪⎨=⎪⎩，()1221cos mn mn θ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，()1221cos θ=-cos 1θθ+=， 12sin 1,sin 662ππθθ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于70,666πππθπθ<<<+<，所以52,663πππθθ+==，所以1223F PF π∠=.故答案为：23π15．已知1F ，2F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，以1F ，2F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为M ，1210F F =，122MF MF =，则双曲线的标准方程为______．【解析】由双曲线定义得122MF MF a -= 又122MF MF =，解得：22MF a =，14MF a =，∵M 为以1F ，2F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点，∴12MF MF ⊥ ∴()()2222410a a +=，解得：25a =，∴22525520b c =-=-=，故双曲线标准方程为：221520x y -=．16．已知双曲线C ：22145x y -=的左､右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于P ，Q 两点，当PQ 最小时，四边形12F PF Q 的面积为___________.【解析】设()()1122,,,P x y Q x y ，由22145y x m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得2284200x mx m ---=，由韦达定理得212128,420x x m x x m +=⋅=--，所以PQ ===当0m =时，PQ 有最小值()()12,,,0330F F -到直线y x =的距离分别为12,d d ，12d d ==所以四边形12F PF Q 的面积为()12121122F PQF PQS S SPQ d d =+=⋅+=⨯=⎝⎭四、解答题17．已知点()4,0M -，()4,0N ，动点P 满足条件PM PN -=P 的轨迹为C ．（1）求C 的方程；（2）过曲线C 的一个焦点作倾斜角为45°的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB ．【解析】（1）因为8PM PN MN -==，所以点P 的轨迹是以,M N 为焦点，实轴长为所以24a c ==，所以222212,16124a b c a ==-=-=，所以C 的方程为：221124x y -=；（2）不妨设焦点()4,0F ，则直线l ：4y x =-由2241124y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 得：212300x x -+=．设()11,A x y ，()22,Bx y ，则1212x x +=，1230x x =，所以AB==18．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>. （1）求双曲线的标准方程；（2）直线l ：3y x m =+与双曲线交于A ，B两点，若AB =，求m 的值. 【解析】（1）由题得顶点(),0a 到渐近线b y x a =，即0bx ay -=c e a ==222+=a b c ，则可解得2,a b ==，故双曲线方程为22143x y -=；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，联立221433x y y x m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩可得2233244120x mx m +++=，则()()22244334120m m ∆=-⨯⨯+>，解得233m >2121224412,3333m m x x x x ++=-=，则AB ==，解得6m =±.19．已知双曲线22:145x y C 的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点（点P 在x 轴上方）．（1）若3PF FQ =，求直线l 的方程；（2）设直线,AP BQ 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值．【解析】（1）设直线PQ 方程为3x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y222235(3)4205420x my my y x y =+⎧⇒+-=⎨-=⎩，()225430250m y my ⇒-++= 由过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，则()()22222540300542505*********m m m m m m ⎧-≠⎪-⎪>⎪-⎪⎨⎪<-⎪⎪∆=-⨯⨯->⎪⎩，0m ⇒<<，由点P 在x 轴上方，则12y y ==33PF m FQ ==-⇒=⇒=∴直线l方程为30x y y =+⇒--=（2）由方程可得()()2,0,2,0A B -，设()11,P x y ，()22,Q x y则()221111221111545422444PA PBx y y y k kx x x x -⋅=⨯===+---，所以154AP PBk k k == ,所以1225544PB PB PQ k k k k k k =⋅⋅= 要证12k k 为定值，只需证54PB BQ k k ⋅为定值，由（1）可知1223054m y y m -+-=，1222554y ym =-()()121212122211BP BQy y y y k k x x my my ⋅=⋅=--++()2222121222252554542530115454m m mm y y m y y m m m m --==-+++⋅+⋅+--22225252530544m m m ==--+-，∴125414255k k ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭为定值． 20．已知过点()的双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是0x y +=. （1）求双曲线C 的方程；（2）若O 是坐标原点，直线l ：1y kx =-与双曲线C 的两支各有一个交点，且交点分别是A ，B ，AOB 的k 的值.【解析】（1）因为双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是0x y +=，所以可设双曲线C 的方程是()220x y λλ-=≠，则(21λ-=，解得1λ=.所以双曲线C 的方程是221x y -=.（2）由221,1,x y y kx ⎧-=⎨=-⎩消去y 整理，得()221220k x kx -+-=.由题意知()22210,4810,k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+->⎪⎩解得k <1k ≠±. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则12221k x x k -+=-，12221x x k =--. 因为l 与双曲线的交点分别在左､右两支上，所以120x x ⋅<，所以210k ->，所以11k -<<，则()1212OAB S x x =-=△ 所以()()(2221212124x x x x x x -=+-=，即2228811k k k⎛⎫-+= ⎪--⎝⎭，解得0k =或k =()1,1-/，所以0k =. 21．直线(,)y kx m k m =+∈R 与双曲线2213y x -=相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥．（1）求k 与m 满足的关系；（2）求证：点O 到直线AB 的距离是定值，并求AB 的最小值．【解析】（1）设点A ()11,x y ,B ()22,x y ,联立2213y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消y 得()2223230k x kmx m ----=,∴21222122302333kkmx xkmx xk⎧⎪-≠⎪⎪+=⎨-⎪⎪--=⎪-⎩,由OA OB⊥得()()2212121212·10OAOB x x y y k x x km x x m=+=++++=代入化简可得k和m满足的关系为:22233(m k k-=≠;（2）由点到直线的距离公式可得:d,由(1)得22233mk-=代入可解得d=;由直线与双曲线交点弦弦长公式可得:AB==令23k t-=(t≤3)化简可得AB==由t≤3可得当113t=,t=3时minAB.22．已知圆锥曲线E的两个焦点坐标是12(F F，且离心率为e=（1）求曲线E的方程；（2）设曲线E'表示曲线E的y轴左边部分，若直线1y kx=-与曲线E'相交于,A B两点，求k的取值范围；（3）在条件（2）下，如果63AB=E'上存在点C，使OA OB mOC+=，求m的值．【解析】（1）由知，曲线E是以F10），F2，0）为焦点的双曲线，且ca=1a=，∴b2=2﹣1=1，故双曲线E的方程是x2﹣y2=1．（2）由22110y kxx y x=-⎧⎨-=⎩，＜消去y整理得()21x2220,0k kx x+=﹣﹣＜，设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可得方程有两个负数根，∴()22212212210(2)8102121kk kkx xkx xk⎧-≠⎪=+-⎪⎪-⎨+=⎪-⎪-⎪=-⎩＞＜＞，解得1k<-，∴实数k的取值范围是()1-．（3）由题意及（2）得AB 1﹣x 2整理得28k 4﹣55k 2+25=0，解得257k =或254k =1k -＜，∴k=故直线AB 10y ++=．设C （x 0，y 0），由OA OB +=m OC ，得（x 1，y 1）+（x 2，y 2）=（mx 0，my 0），又12221kx x k -+=-=﹣y 1+y 2=k （x 1+x 2）﹣2=8，∴8C m ⎫⎪⎪⎝⎭． ∵点C 在曲线E 上，∴2280641m m -=，解得m=±4，当m=﹣4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意， ∴m=4为所求．。

双曲线的简单几何性质(直线与双曲线的位置关系)

例2. 直线 y=kx+1与双曲线3x2- y2 =1相交于A、B两点．且以AB为直径的圆经过坐标原点，求该圆的面积. 解： y kx 1
2 2 3 k x 2kx 2 0 2 2 3 x y 1
设 A( x1 ， y1 ) ， B( x2 ， y2 ) ，则由以AB为直径的圆经过坐标原点，
2
x1 x2
2
4 x1 x2
2 2 1 k 2 k
2 2k 1 k 2 4 2 2 1 k 1 k
2
1 k
2 2
依题意得 2
4
2 2 1 k 2 k
1 k
2 2
6 3
2 1 － 3 k ≠0， Δ＝361－k2>0，
6 2k 3 xA＋xB＝1－3k2<0，解得 3 <k<1. xAxB＝－9 2>0， 1－3k
3 ∴当 3 <k<1 时，l 与双曲线左支有两个交点．
(3)由(2)得：xA＋xB＝
6 2k ， 1－3k2
∴yA＋yB＝(kxA＋ 2)＋(kxB＋ 2) ＝k(xA＋xB)＋2 2＝ 2 2 . 1－3k2
x2 y2 解析：(1)设双曲线 C 的方程为a2－b2＝1(a>0，b>0)．由已知得：a＝ 3，c＝2，再由 a2＋b2＝c2， x2 2 得 b ＝1，∴双曲线 C 的方程为 3 －y ＝1.
2
(2)设 A(xA，yA)、B(xB，yB)， x2 2 将 y＝kx＋ 2代入 3 －y ＝1，得，(1－3k2)x2－6 2kx－9＝0. 由题意知
a＝2， c 2 解析： (1)由题意得＝， a 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c ，解得 b＝ 2. x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 4 ＋ 2 ＝1. y＝kx－1， 2 2 (2)由x y ＋ 2 ＝1 4 得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.

专题以双曲线为情境的中点弦问题(解析版)高考数学专题复习

05 以双曲线为情境的中点弦问题典例分析一、求中点弦所在直线的方程1．已知双曲线222:1(0)y C x b b-=>的离心率为2，过点(3,3)P 的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，且点P 恰好是弦AB 的中点，则直线AB 的方程为（）A ．230x y --=B ．290x y +-=C ．360x y --=D ．60x y +-=【答案】C 【解析】【分析】运用点差法即可求解【详解】由已知得21a =，又2c e a ==，222c a b =+，可得23b =.则双曲线C 的方程为2213y x -=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则221122221,31,3y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩两式相减得()2222121203y y x x ---=，即()()()()1212121203y y y y x x x x +-+--=. 又因为点P 恰好是弦AB 的中点，所以126x x +=，126y y +=，所以直线AB 的斜率为()1212121233x x y y x x y y +-==-+，所以直线AB 的方程为33(3)y x -=-，即360x y --=.经检验满足题意2．已知直线:0l x y m -+=与双曲线2212y x -=交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点在圆225x y +=上，则m 的值是________. 【答案】±1【分析】将直线方程代入双曲线方程，利用韦达定理及中点坐标公式求得AB 中点M 点坐标，代入圆的方程，即可求得m 的值．【详解】设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，线段AB 的中点0(M x ，0)y ，由22012x y m y x -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，得22220x mx m ---=（判别式△0)>，122x x m +=，1202x x x m +∴==，002y x m m =+=，点0(M x ，0)y 在圆225x y +=上，则22(2)5m m +=，故1m =±.3．过点()1,1P 的直线l 与双曲线2212y x -=交于,M N 两点，且点P 恰好是线段MN 的中点，则直线l 的方程为___________.【答案】210x y --=【分析】设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，分别代入双曲线方程，两式相减，化简可得：()()()()1212121212x x x x y y y y -+=+-，结合中点坐标公式求得直线MN 的斜率，再利用点斜式即可求直线方程．【详解】过点(1,1)P 的直线l 与该双曲线交于M ，N 两点，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，∴221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减可得：121212121()()()()2x x x x y y y y -+=+-，因为P 为MN 的中点，122x x ∴+=，122y y +=，12122()x x y y ∴-=-，则12122MNy y x x -==-，所以直线l 的方程为12(1)y x -=-，即为210x y --=．4．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2，经过C 的焦点垂直于x 轴的直线被C 所截得的弦长为12.(1)求C 的方程；(2)设A ，B 是C 上两点，线段AB 的中点为()5,3M ，求直线AB 的方程. 【答案】(1)221412x y -=；(2)522y x =-【分析】（1）根据已知条件求得,a b ，由此求得C 的方程.（2）结合点差法求得直线AB 的斜率，从而求得直线AB 的方程.【解析】(1)因为C 的离心率为2，所以2212b a+=，可得223b a =.将22x a b =+22221x y a b -=可得2b y a =±，由题设26b a =.解得2a =，212b =，23b =C 的方程为221412x y -=. (2)设()11,A x y ，()22,B x y ，则22111412x y -=，22221412x y -=.因此222212120412x x y y ---=，即()()()()121212120412x x x x y y y y +-+--=.因为线段AB 的中点为()5,3M ，所以1210xx +=，126y y +=，从而12125y y x x -=-，于是直线AB 的方程是522y x =-. 二、求中点弦所在直线的斜率1．直线l 交双曲线 2214x y -=于A 、B 两点，且(4,1)P 为AB 的中点，则l 的斜率为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D 【解析】【分析】设出点A ，B 的坐标，利用“点差法”求出直线l 的斜率，再验证作答.【详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，因点A ，B 在双曲线 2214x y -=上，则221114x y -=，222214x y -=，两式相减得：121212121()(0)()()4x x x x y y y y +--+-=，因P 为AB 中点，则128x x +=，122y y +=，于是得2121y y x x --＝1，即直线l 的斜率为1，此时，直线l 的方程为：3y x =-，由22344y x x y =-⎧⎨-=⎩消去y 并整理得：2324400x x -+=，2244340960∆=-⨯⨯=>，即直线l 与双曲线 2214x y -=交于两点，所以直线l 的斜率为1. 2．直线l 与双曲线2212x y -=的同一支相交于,A B 两点，线段AB 的中点在直线2y x =上，则直线AB 的斜率为（）A ．4B ．2C ．12D ．14【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件，设出,A B 两点坐标，使用点差法，带入双曲线方程作差，化简即可完成求解. 【详解】设11(,)A x y 、22(,)B x y ，线段AB 的中点00(,)M x y ，由已知，,A B 两点在双曲线上，所以{x 122−y 12=1x222−y 22=1，两式做差可得01212121201··2AB y y y y y k x x x x x -+==-+，点00(,)M x y 在直线2y x =上，所以002y x =，代入上式可得14AB k =，故直线AB 的斜率为14. 3．已知双曲线2213y x -=，过点()2,1P 作一直线交双曲线于A 、B 两点，并使P 为AB 的中点，则直线AB 的斜率为________．【答案】6【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，利用点差法可求得直线AB 的斜率.【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，则12122212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即121242x x y y +=⎧⎨+=⎩，由已知条件可得221122221313y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两个等式作差得()2222121203y y x x ---=，即()()()()121212123y y y y x x x x +-+-=，即()()1212243y y x x --=，所以，直线AB 的斜率为12126AB y y k x x -==-. 4．已知双曲线M 与椭圆22:15x N y +=有相同的焦点，且M 与圆22:1C x y +=相切．(1)求M 的虚轴长．(2)是否存在直线l ，使得l 与M 交于A ，B 两点，且弦AB 的中点为()4,6P ？若存在，求l 的斜率；若不存在，请说明理由.【答案】(1)3(2)存在，2 【分析】（1）根据题意得出双曲线方程后求解；（2）中点弦问题，可用点差法，化简后得到斜率，然后代回检验.【解析】(1)因为椭圆22:15x N y +=的焦点坐标为()2,0±，所以可设M 的方程为()2222104x y a a a -=>-．因为M 与圆22:1C x y +=相切，所以1a =，则2243b a =-=，故M 的虚轴长223b =(2)由（1）知，M 的方程为2213yx -=．设A ，B 两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则221122221,31,3y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减得()()()()1212121203y y y y x x x x -+-+-=，假设存在直线l 满足题意．则12128,12,x x y y +=⎧⎨+=⎩所以12122AB y y k x x -==-，因此l 的方程为220x y --=，代入M 的方程，整理得2870x x -+=，0∆>，l 与M 相交，故存在直线l 满足题意，且l 的斜率为2．三、求中点弦的弦长1．已知点A ，B 在双曲线223x y -=上，线段AB 的中点为()1,2M ，则AB =（）A ．25B ．45C ．10D ．10【答案】C 【解析】【分析】首先结合已知条件，利用点差法求出直线AB 的斜率，进而得到直线AB 的方程，然后联立双曲线方程，结合韦达定理和弦长公式求解即可.【详解】不妨设11(,)A x y ，22(,)B x y ，从而22113x y -=，22223x y -=，由两式相减可得，12121212()()(()0)x x x x y y y y -+--+=，又因为线段AB 的中点为()1,2M ，从而122x x +=，124y y +=，故121212y y x x -=-，即直线AB 的斜率为12，直线AB 的方程为：12(1)2y x -=-，即1322y x =+，将1322y x =+代入223x y -=可得，2270x x --=，从而122x x +=，127x x =-，故22121212151()|()41022AB x x x x x x =+-=+-= 2．已知双曲线22:22C x y -=，过点(1,2)P 的直线l 与双曲线C 交于M ､N 两点，若P 为线段MN 的中点，则弦长|MN |等于（）A 42B 33C ．3D ．2【答案】D【分析】设直线MN 为2(1)y k x -=-，联立双曲线方程，应用韦达定理及中点坐标公式求k 值，利用弦长公式求解即可.【详解】由题设，直线l 的斜率必存在，设过(1,2)P 的直线MN 为2(1)y k x -=-，联立双曲线：224(2)2(2)(46)0k x k k x k k -+---+=设1122(,),(,)M x y N x y ，则1222(2)22P k k x x x k -+=-=-，所以22(2)22k k k--=-，，则122x x +=，123x x =-.弦长|MN |2212121()4241242k x x x x =++-=+= 3．已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率6e =，且双曲线C 过点()2,1P ． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线:1l y kx =-与双曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为2-，求线段AB 的长．【答案】(1)2212x y -=；(2)15【分析】（1）设双曲线C ：()222210,0x y a b a b=>>，根据题意可得62cea、222c a b =+、2222211a b -=，解方程组求得,a b 的值即可得双曲线C 的方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与双曲线方程，可求出124x x +=-，再由2120Δ0k ⎧-≠⎨>⎩可得k 的值，由弦长公式即可得线段AB 的长.【解析】(1)设双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>，由题意可得：22222226211c e a c a b a b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得：222,1a b ==，所以双曲线C 的方程为2212x y -=.(2)设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程22121x y y kx ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 得：()2212440k x kx -+-=，因为l 与C 有两个交点，所以2120-≠k 且()22216161216160k k k ∆=+-=->，解得：21k <且212k ≠，所以11k -<<且2≠k ①，由根与系数的关系可得：122412k x x k +=--，122412x x k -=- 又因为AB 中点的横坐标为2-，所以24412kk -=--，即2210k k +-=，解得：1k =-或12k =②，结合①②可知12k =，此时1:12l y x =-，1224412k x x k +=-=--，1224812x x k =-=--，所以()22221212121511()44322152AB k x x x x x ⎛⎫=+-++--+ ⎪⎝⎭AB 的长为15四、求双曲线的方程1．已知双曲线E 的中心为原点，()3,0F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为()4,7N --，则E 的方程为（）A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22111113663x y -=D ．22111116336x y -=【答案】C 【解析】【分析】求出直线l 的方程，并设出双曲线E 的方程，再联立并借助中点坐标即可计算作答. 【详解】直线l 的方程为：0(7)(3)3(4)y x --=⋅---，即3y x =-，设双曲线E 的方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，由222231y x x y a b =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理得：222222()6(9)0b a x a x a b -+-+=， ()()()422222222Δ3649490a a a bb a b ba=--+=+->，因弦AB 的中点为()4,7N --，于是得22234a b a-=--，即2247a b =，而229a b +=，解得223663,1111a b ==，满足0∆>，所以双曲线E 的方程为22136631111x y -=，即22111113663x y -=. 2．若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 为C 的左支上任意一点，直线l 是双曲线的一条渐近线，PQ l ⊥，垂足为Q ．当2PF PQ +的最小值为6时，1F Q 的中点在双曲线C 上，则C 的方程为（）A ．222x y -= B ．224x y -=C ．22116y x -=D ．22124x y -=【答案】B 【解析】【分析】由双曲线定义21||||2PF PF a -=得到21122PF PQ PF PQ a FQ a +=++≥+，再利用焦点到渐近线的距离为b 求得26b a +=，设出渐近线方程求得1F Q 的中点坐标代入双曲线方程联解求得a b 、的解.【详解】212PF PF a -=，211||||22PF PQ PF PQ a FQ a ∴+=++≥+，又()1,0F c =-，2,0F c ，双曲线的渐近线方程为：by x a =±，即0bx ay ±=，∴22bc bc b c a b±==+，即1FQ 的最小值为b ，即26b a +=，不妨设直线OQ 为：b y x a =，1F Q OQ ⊥，∴点()1,0F c -，2(,)a ab Q c c--，1F Q 的中点为22(,)22a c ab c c +--，将其代入双曲线C 的方程，得：2222222()144a c a a c c +-=，即22222221144a c a a cc ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-=，解得：2c a ，又26b a +=，222+=a b c ，2a b ∴==，故双曲线C 的方程为224x y -=．3．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点(3,0)F -的直线与双曲线交,M N 两点，且线段MN 的中点坐标为(3,6)，则双曲线方程是_______________. 【答案】22136x y -= 【分析】设()11,M x y ，()22,N x y ，可得126x x +=，1212y y +=，将,M N 两点坐标代入双曲线方程，两式相减整理可得2121212122MNy y x b k x y x x y a-+-+==⨯，利用已知点的坐标求出直线MN 的斜率，即可得2a 与2b 的关系，结合2229c a b =+=即可得2a 、2b 的值，进而可得双曲线方程.【详解】设()11,M x y ，()22,N x y ，则2211221x y a b -=，2222221x y a b-=，两式相减可得：2222121222x x y a b y =--，所以()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=，因为点(3,6)是线段MN 的中点，所以126xx +=，1212y y +=，所以222212122221126122MNy y x b b b k x y y a x x a a -+-+==⨯=⨯=，因为()60133MN k -==--，所以2212b a =，即222b a =，因为222239c a b a =+==，所以23a =，26b =，所以双曲线方程是22136x y -=，五、中点弦与双曲线的离心率交汇12的直线与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，AB 的中点为P ，若直线OP 的斜率为2C 的离心率为（）A 3B ．2C 5D ．3【答案】C【分析】利用点差法，结合直线斜率公式、中点坐标公式、双曲线离心率公式进行求解即可.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得2222121222x x y y a b --=，所以2121221212y y x x b x x a y y -+=⋅-+.因为1202x x x +=，1202y y y +=，所以21202120-=⋅-y y b x x x a y .因为12122AB y y k x x -==-0022OPy k x ==22222a ，224b a=，故2215b e a =+ 2．过点(1,1)M 作斜率为12的直线与双曲线2222Γ:1-=x y a b 相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则双曲线Γ的离心率为___________. 6【分析】利用点差法，结合M 是线段AB 的中点，斜率为12，即可求出双曲线Γ的离心率．【详解】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2211221x y a b -=①，2222221x y a b-=②，M 是线段AB 的中点，∴1212x x +=，1212y y +=，直线AB 的方程是1(1)12y x =-+，12121()2y y x x ∴-=-，过点(1,1)M 作斜率为12的直线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>相交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，∴①②两式相减可得22221212220x x y y a b ---=，即()()()()22212121222212121212y y y y y y b a x x x x x x -+-===--+，2216c b e a a ∴==+ 3．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，虚轴的上端点为B ，点P ，Q 为C 上两点，点()2,1M -为弦PQ 的中点，且//PQ BF ，记双曲线的离心率为e ，则2e =______． 21+【分析】解法一，利用点差法，结合1212y y bx x c-=--，以及12124,2x x y y +=-+=，变形得到22a bc =，再转化为关于,a c 的齐次方程，求解2e ；解法二，设直线()12y k x -=+，bk c=-，与双曲线方程联立，利用根与系数的关系表示中点坐标，再转化为关于,a c 的齐次方程，求解2e . 【详解】解法一：由题意知(),0F c ，()0,B b ，则PQBF bk k c==-．设()11,P x y ，()22,Q x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，，两式相减，得()()2121221212b x x y y x x a y y +-=-+．因为PQ 的中点为()2,1M -，所以124x x +=-，122y y +=，又1212PQ y y bk x x c -==--，所以2242b b c a --=，整理得22a bc =，所以()42222244a b c c c a ==-，得424410e e --=，得221e +=解法二：由题意知(),0F c ，()0,B b ，则BF bk c=-．设直线PQ 的方程为()12y k x -=+，即21y kx k =++，代入双曲线方程，得()()()222222222221210b a k x a k k x a k a b --+-+-=．设()11,P x y ，()22,Q x y ，结合()2,1M -为PQ 的中点，得()2122222214a k k x xb a k ++==--．又BF bk k c ==-，所以222222144b b b a b a c c c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-⋅-+=-+⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，整理得22a bc =，所以()42222244a b c c c a ==-，得424410e e --=，得221e +．方法点拨1：对于有关弦中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.2：对于中点弦问题可采用点差法求出直线的斜率，设()11,A x y ，()22,B x y 为弦端点坐标，()00,P x y 为AB 的中点，直线AB 的斜率为k ，若椭圆方程为22221x y a b+=()0a b >>，则2020b x k a y =-，若椭圆方程为22221y x a b+=()0a b >>，则2020a x k b y =-，若双曲线方程为22221x y a b-=()0a b >>，则2020b x k a y =，若双曲线方程为22221y x a b-=()0a b >>，则2020a x k b y =. 巩固练习1．已知点A ，B 是双曲线22:123x y C -=上的两点，线段AB 的中点是()3,2M ，则直线AB 的斜率为（）A ．23B ．32C ．49D ．94【答案】D 【解析】【分析】利用点差法和两点坐标求直线斜率公式化简计算即可.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，则22112222123123x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得()()()()1212121223x x x x y y y y +-+-=，即()()12126423x x y y --=，∴121294AB y y k x x -==-. 2．已知双曲线221164x y -=，以点()5,1P -为中点的弦所在的直线方程为（）A ．45210x y +-=B ．54210x y +-=C ．240x y --=D ．240x y +-=【答案】B 【分析】利用点差法可求得弦所在直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】设弦的两个端点坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，则1212102x x y y +=⎧⎨+=-⎩，则2211222211641164x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式作差得()()()()12121212416y y y y x x x x -+-+=，所以，弦所在直线的斜率()()1212121245164x x y y k x x y y +-===--+，故所求直线方程为()5514y x =---，即54210x y +-=. 3．已知倾斜角为π4的直线与双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b -=>>，相交于A ，B 两点，(1,3)M 是弦AB 的中点，则双曲线的渐近线的斜率是（）A ．3B ．3C ．2D ．2【答案】A 【解析】【分析】依据点差法即可求得a b 、的关系，进而即可得到双曲线的渐近线的斜率.【详解】设1122(,)(,)A x y A x y 、，则12121212++y y =1=3,122x x y y x x -=-，，由22112222222211y x a b y x a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，可得()()()()12121212220y y y y x x x x a b -+-+-=，则22620a b-=，即22=3a b ，则3a b则双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的渐近线的斜率为3a b ±=4．已知双曲线2212y x -=，过点()1,1P 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，则能使点P 为线段AB 中点的直线l 的条数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A 【解析】【分析】先假设存在这样的直线l ，分斜率存在和斜率不存在设出直线l 的方程，当斜率k 存在时，与双曲线方程联立，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，直线与双曲线相交于两个不同点，则0∆>，32k <，又根据M 是线段AB 的中点，则21A B x x +=，由此求出2k =与32k <矛盾，故不存在这样的直线满足题意；当斜率不存在时，过点M 的直线不满足条件，故符合条件的直线l 不存在. 【详解】设过点(1,1)M 的直线方程为(1)1y k x =-+或1x =，①当斜率存在时有22(1)112y k x y x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得2222(2)(22)230k x k k x k k -+--+-=(*)．当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有：2222(22)4(2)(23)0k k k k k ∆=----+->，即32k <又方程(*)的两个不同的根是两交点A 、B 的横坐标，21222()2k k x x k -∴+=--又(1,1)M 为线段AB 的中点，∴1212x x +=，即222()22k k k --=-，2k ∴=，使22k -≠0但使∆<0，因此当2k =时，方程①无实数解．故过点(1,1)m 与双曲线交于两点A 、B 且M 为线段AB 中点的直线不存在． ②当1x =时，经过点M 的直线不满足条件. 综上，符合条件的直线l 不存在．5．已知点A ，B 在双曲线224x y -=上，线段AB 的中点()3,1M ，则AB =（）A 2B ．2C 5D ．5【答案】D 【解析】【分析】先根据中点弦定理求出直线AB 的斜率，然后求出直线AB 的方程，联立后利用弦长公式求解AB 的长.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，则可得方程组：2211222244x y x y ⎧-=⎨-=⎩，两式相减得：()()()()12121212x x x x y y y y +-=+-，即121212121y y y y x x x x +-⋅=+-，其中因为AB 的中点为()3,1M ，故121213y y x x +=+，故12123y y x x -=-，即直线AB 的斜率为3，故直线AB 的方程为：()133y x -=-，联立()221334y x x y ⎧-=-⎨-=⎩，解得：2212170x x -+=，由韦达定理得：126x x +=，12172x x =，则()221212145AB k x x x x =++-=6．过点(1,1)A 作直线l 与双曲线2212y x -=交于P ，Q 两点，且使得A 是PQ 的中点，直线l 方程为（） A ．210x y --= B ．2x +y -3=0 C ．x =1 D ．不存在【答案】D 【解析】【分析】设出点P ，Q 的坐标，利用“点差法”求出直线l 的斜率并求出其方程，再将直线l 与双曲线方程联立验证即可得解.【详解】设点1122(,),(,)P x y Q x y ，因点(1,1)A 是PQ 的中点，则121222x x y y +=⎧⎨+=⎩，从而有221122222222x y x y ⎧-=⎨-=⎩，两式相减得：121212122()()()()0x x x x y y y y +--+-=，即12122()()0x x y y ---=，于是得直线l 的斜率为12122y y x x --=，直线l 的方程为：12(1)y x -=-，即21y x =-，由222122y x x y =-⎧⎨-=⎩消去y 并整理得：22430x x -+=，此时2(4)42380∆=--⨯⨯=-<，即方程组222122y x x y =-⎧⎨-=⎩无解，所以直线l 不存在. 7．（多选题）过M （1，1）作斜率为2的直线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>相交于A 、B 两点，若M 是AB的中点，则下列表述正确的是（）A ．b <aB ．渐近线方程为y =±2xC ．离心率3eD ．b >a【答案】CD【分析】根据M （1，1）是AB 的中点，且斜率为2，利用点差法求解.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得22221212220x x y y a b ---=，化简得2121221212y y x x b x x a y y -+=⋅-+，因为M （1，1）是AB 的中点，所以222b a=，即2b a =所以b a >，渐近线方程为2y x =，离心率为2213c b e a a=+=8．（多选题）已知双曲线C ：()22210y x a a-=>，其上、下焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点．过双曲线上一点()00,M x y 作直线l ，分别与双曲线的渐近线交于P ，Q 两点，且点M 为PQ 中点，则下列说法正确的是（）A ．若l y ⊥轴，则2PQ =．B ．若点M 的坐标为()1,2，则直线l 的斜率为14C ．直线PQ 的方程为0021y yx x a-=． D 5，则三角形OPQ 的面积为2．【答案】ACD【分析】利用双曲线基本性质，点差法及三角形面积的表示，即可得到结果.【详解】若l y ⊥轴，则直线l 过双曲线的顶点，()0,M a ±，双曲线的渐近线方程为y ax =±，易得P ，Q 两点的横坐标为±1 ，∴2PQ =，即A 正确；若点M 的坐标为()1,2，则2a =2220-=y x ，设()()1122,,,P x y Q x y ，利用点差法：2222112220,20y x y x -=-=，两式作差可得，2222121222y y x x -=-，即222212121212121222,2y y x xy y x x x x y y -+-=-=-+∴1212l k =⨯=，即B 错误；若()00,M x y ，利用点差法同样可得220121212120l a x y y x x k a x x y y y -+===-+，∴直线PQ 的方程为()20000a x y y x x y -=- ，即00222200y y y a x x a x -=-，002222200y y a x x y a x a -=-=，∴0021y y x x a -=，故C 正确；5，则双曲线方程为2214y x -=，∴渐近线方程为2y x =±，设()()1122,2,,2P x x Q x x -，∴122112122OPQS x y x y x x =-= ，联立方程00142y yx x y x⎧-=⎪⎨⎪=⎩ 可得10022x y x =- ，同理可得20022x y x -=+，∴12220000022882222244OPQSx x y x y x y x -==⋅===-+-， 9．（多选题）曲线C ：221ax by +=（0ab ≠）与直线1y x =-交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为k ，以下结论正确的是（） A ．若3k =3a b = B ．若3k =3a b =-3C ．若0k >，则C 为椭圆D ．若C 为双曲线，则0k < 【答案】AD【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法可得ak b=，再依次判断每个选项即可. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则12121y y x x -=--，线段AB 的中点为1212,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，又2211222211ax by ax by ⎧+=⎨+=⎩，两式相减得()()()()121212120a x x x x b y y y y +-++-=，则12121212y y x xa x xb y y -+=-⋅-+，由题意可知121222y y k x x +=+，即1212y y k x x +=+，则有11a b k -=-⋅，即a k b=，对A ，若3k =则3a b =故A 正确；对B ，若3k =则3a b =-故B 错误；对C ，若0k >，则0ak b=>，当1k ≠时，且0,0a b >>时，曲线是椭圆，否则曲线是圆或不存在，故C 错误；对D ，若C 为双曲线，则0ab <，此时0ak b=<，故D 正确. 10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，且C 的焦点到渐近线的距离为1，直线1y k x m =+与C 交于P ，Q 两点，M 为弦PQ 的中点，若(OM O 为坐标原点）的斜率为2k ，1214k k =，则下列结论正确的是____________①4a =； ②C 5； ③若12PF PF ⊥，则12PF F △的面积为2；④若12PF F △的面积为2512PF F △为钝角三角形【答案】②④ 【解析】【分析】由已知可得2214b a =，可求a ，e ，从而判断①②，求出∴12PF F 的面积可判断③，设0(P x ，0)y ，利用面积求出点P 的坐标，再求边长，求出21cos PF F ∠可判断④．【详解】设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，可得2211221x y a b -=，2222221x y a b-=，两式相减可得1212121222()()()()x x x x y y y y a b -+-+=，由题意可得12112y y k x x -=-，且1212(,)22x x y y M ++，12212y y k x x +=+，2122b k k a∴=，1214k k =，∴2214b a =，2251b e a ∴=+②正确；C 的焦点到渐近线的距离为1，设()2,0F c 到渐近线0bx ay -=的距离为d ，则221d b a b===+，即1b =，2a ∴=，故①错误，145c ∴+若12PF PF ⊥，不妨设P 在右支上，2212||||20PF PF +=，又12||||4PF PF -=，12||||2PF PF ∴⋅=，则12PF F △的面积为12121||||12PF F SPF PF =⋅=，故③不正确；设0(P x ，0)y ，12012||252PF F S c y =⨯⨯=0||2y ∴=，将0||2y =代入双曲线2214x y -=，得2020x =，0||5x =，根据双曲线的对称性，不妨取点P 的坐标为5，2)，221||(255)27PF ∴++，222||(255)23PF =-+，21cos 02325PF F ∠<⨯⨯，21PF F ∴∠为钝角，∴12PF F △为钝角三角形．故④正确．11．已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>相交于B ，D 两点，且BD 的中点为()1,3M ，则C 的离心率是______．【答案】2 【解析】【分析】设1122(,),(,)B x y D x y ，代入双曲线方程，利用点差法，可求得223b a=，代入离心率公式，即可得答案.【详解】设1122(,),(,)B x y D x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式作差可得：2222121222x x y a b y =--，即1212121222()()()()x x x x y y y y a b -+-+=，因为()1,3M 为BD 中点，所以12122,6x x y y +=+=，又直线BD 斜率为1所以12121y y x x -=-，代入可得，223b a =，所以C 的离心率2212be a+.12．已知双曲线2212y x -=上存在两点,M N 关于直线y x b =-+对称，且MN 的中点在抛物线23y x =上，则实数b 的值为________．【答案】0或94【解析】【分析】设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，MN 的中点为0(E x ，0)y ，由点差法可得0MN y k x ；通过,M N 两点关于直线y x b =-+对称，可得1MN k =，求出E 的坐标，代入抛物线方程求解即可．【详解】设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，MN 的中点为0(E x ，0)y ，则221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，由点差法可得212121211()()()()2x x x x y y y y -+=-+，即212121212y y y y x x x x -+⋅=-+①，显然12x x ≠，又因为12012022x x x y y y +=⎧⎨+=⎩②，代②入①可得02MN y k x ⋅=；由,M N 两点关于直线y x b =-+对称，可得1MN k =，所以002y x =，又因为00y x b =-+，所以2(,)33b b E ，代入抛物线方程得24393b b=⨯，解得0b =或94b =．13．已知P ，Q 为曲线22:14x C y -=上的两点，线段PQ 的中点为()3,1M ，则直线PQ 的斜率为（）A ．–3B ．34-C ．34D ．3【答案】C 【解析】【分析】设1122(,),(,)P x y Q x y ，代入双曲线方程相减可得直线斜率．【详解】设1122(,),(,)P x y Q x y ，则221122221414x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得12121212()()()()04x x x x y y y y -+--+=，所以121212122334()4214PQ y y x x k x x y y -+⨯====-+⨯⨯．此时直线方程为31(3)4y x -=-，3544y x =-，代入双曲线方程有：2235()1444x x --=，整理得241605x x -+=，4116364055∆=-⨯=>，直线与双曲线相交于两点，又12623x x +==⨯，M 是PQ 中点，满足题意．14．已知斜率为1的直线与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，AB 的中点为P ，若直线OP 的斜率为2，则双曲线C 的离心率为（）A 3B ．2C 5D ．3【答案】A 【解析】【分析】利用点差法可求得22b a 的值，结合221b e a=+C 的离心率的值.【详解】设()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得2222121222x x y y a b --=，所以2121221212y y x x b x x a y y -+=⋅-+．因为1202x x x +=，1202y y y +=，所以21202120-=⋅-y y b x x x a y ．因为12121AB y y k x x -==-，002==OP yk x ，所以2212b a =，故222b a =，故222222213c c a b b e a a a a +===+． 15．已知点()13,0F ，)23,0F ，动点M 满足122MF MF -=.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)直线l 与点M 的轨迹交于A ，B 两点，若弦AB 的中点坐标为()2,1，求直线l 的方程. 【答案】(1)2212y x -=；(2)470x y --=【分析】（1）根据双曲线的定义求解即可；（2）根据点差法求解并检验即可得答案. 【解析】(1)根据双曲线的定义得动点M 的轨迹是以()13,0F -，()23,0F 为焦点，实轴长为2的双曲线，22,3a c ==2221,2a b c a ==-=，所以动点M 的轨迹方程2212y x -=(2) 设()()1122,,,A x y B x y ，则221112-=y x ，222212-=y x ，所以2222121222y y x x -=-，即()()()()121212122y y y y x x x x +-+-=，所以()121212122AB x x y y k x x y y +-==-+，因为弦AB 的中点坐标为()2,1，所以12124,2x x y y +=+=，所以()1212121224AB x x y y k x x y y +-===-+所以直线l 的方程为()142y x -=-，即470x y --=. 联立方程2212470y x x y ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩得21456510x x -+=，此时256414515630∆=-⨯⨯=⨯>，124x x +=，满足题意.所以直线l 的方程为470x y --=16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，离心率3e =22(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过点()1,1P 能否作直线l ，使直线l 与双曲线C 交于,A B 两点，且点P 为弦AB 的中点?若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2212y x -=；(2)不存在，理由见解析【分析】（1）根据离心率及虚轴长即可求解；（2）运用点差法求解，但是要注意检验. 【解析】(1)3ce a==222b =3c a ∴=，2b =222c a b =+，2232a a ∴=+．21a ∴=． ∴双曲线C 的标准方程为2212y x -=．(2)假设以定点(11)P ，为中点的弦存在，设以定点(11)P ，为中点的弦的端点坐标为11(,)A x y ，2212(),()B x y x x ≠，可得122x x +=，122y y +=．由A ，B 在双曲线上，可得：221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减可得以定点(11)P ，为中点的弦所在的直线斜率为：211221122()2y y x x k x x y y -+===-+，则以定点(11)P ，为中点的弦所在的直线方程为12(1)y x -=-．即为21y x =-，代入双曲线的方程可得22430x x -+=，由2(4)42380<∆=--⨯⨯=-，所以不存在这样的直线l ． 17．已知抛物线C ：22x py =（0p >）的焦点为F ，P 为C 上的动点，Q 为P 在动直线y t =（0t <）上的投影.当PQF △为等边三角形时，其面积为43 (1)求C 的方程；(2)设O 为原点，过点P 的直线l 与C 相切，且与椭圆22142x y +=交于A ，B 两点，直线OQ 与AB 交于点M .试问：是否存在t ，使得M 为AB 的中点？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)24x y =；(2)存在，1-，理由见解析. 【分析】（1）根据PQF △的面积可求出等边三角形的边长为4，再由60OFQ PQF ∠=∠=，cos60p OF PQ ==⋅求出p 的值即可得C 的方程；（2）设200,4x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()0,Q x t ，可得0OQ t k x =，由导数的几何意义可得012l k x =，设()11,A x y ，()22,B x y ，中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，由点差法可得12l OMk k ⋅=-，01OM k x =-，因此可求出1t =-即可. 【解析】(1)设()00,P x y ，0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，因为PQF △为等边三角形时，其面积为43所以21si πn 4323PQ ⨯=4PQ =，即4PQ PF FQ ===，由抛物线定义可知，y=t 为抛物线的准线，由题意可知60OFQ PQF ∠=∠=，所以12cos60422p OF FQ ==⋅=⨯=，所以C 的方程24x y =； (2)设200,4x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则P 在动直线y t =上的投影()0,Q x t ，当00x ≠时，0OQ t k x =，由214y x =可得12y x '=，所以切线l 的斜率为012l k x =，设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，由22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得22221212042x x y y --+=，所以()()()()12121212042x x x x y y y y +-+-+=，整理可得：1212121212y y y y x x x x -+⋅=--+，即12l OM k k ⋅=-，所以01122OM x k ⋅=-，可得01OM k x =-，又因为0OQ OM t k k x ==，所以当1t =-时，01OQ OM k k x ==-，此时,,O M Q 三点共线，满足M 为AB 的中点，综上，存在t ，使得点M 为AB 的中点恒成立，1t =-.18．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>经过点(2,3)，一条渐近线的倾斜角为60︒.(1)求双曲线的标准方程；(2)若斜率为(0)k k ≠的直线l 与双曲线E 交于两个不同的点M ，N ，线段MN 的中垂线与y 轴交于点(0,4)，求实数k 的取值范围.【答案】(1)2213y x -=；(2)(,2)(3,0)3)(2,)-∞-⋃⋃⋃+∞. 【分析】(1)根据给定条件列出关于a ，b 的方程求解即可作答.(2)设出直线l 的方程，联立直线l 与双曲线E 的方程消去y ，借助韦达定理及判别式列式计算作答. 【解析】(1)依题意，双曲线E 的渐近线方程为by x a =±，因一条渐近线的倾斜角为60︒，即3b a= 由双曲线E 经过点(2,3)，得22231a b -=，解得1a =，3b =E 的方程为2213y x -=. (2)设直线l 的方程为y kx m =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，由2233y kx mx y =+⎧⎨-=⎩消去y 并整理得222(3)230k x kmx m ----=，230k -≠， 22222(2)4(3)(3)12(3)0km k m m k ∆=+-+=+->，即223m k >-，则12223km x x k +=-，212233m x x k +=-，12122226()2233km my y k x x m k m k k +=++=⋅+=--，于是得线段MN 中点为2(3km k -，23)3m k -，因此，线段MN 的垂直平分线的方程为2231()33m kmy x k k k -=----，而线段MN 的垂直平分线过点(0,4)，从而有22314()33m km k k k-=----，化简得23m k =-，代入223m k >-得：242963k k k -+>-，解得2k >或2k <-，或33k <<0k ≠，所以k 的取值范围为(,2)(3,0)3)(2,)-∞-⋃-⋃⋃+∞. 19．中心在原点的双曲线E 焦点在x 轴上且焦距为4，请从下面3个条件中选择1个补全条件，并完成后面问题：①该曲线经过点()2,3A ；②该曲线的渐近线与圆22840x x y -++=相切；③点P 在该双曲线上，1F 、2F 为该双曲线的焦点，当点P 的纵坐标为32时，恰好12PF PF ⊥.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)过定点()1,1Q 能否作直线l ，使l 与此双曲线相交于1Q 、2Q 两点，且Q 是弦12Q Q 的中点？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.【答案】(1)条件选择见解析，双曲线E 的标准方程为2213y x -=；(2)不存在，理由见解析【分析】（1）选①：利用双曲线的定义求出2a 的值，结合c 的值可求得b 的值，由此可得出双曲线E 的标准方程；选②：求出3ba=2c a =，结合已知条件可得出a 、b 的值，由此可得出双曲线E 的标准方程；选③：利用双曲线的定义和勾股定理可得出2122PF PF b ⋅=，然后利用三角形的面积公式可求得2b 的值，结合c 的值可求得a 的值，由此可得出双曲线E 的标准方程.（2）假设满足条件的直线l 存在，设点()111,Q x y 、()222,Q x y ，利用点差法可求得直线l 的斜率，可得出直线l 的方程，再将直线l 与双曲线E 的方程联立，计算∆，即可得出结论. 【解析】(1)设双曲线E 的标准方程为()222210x y a b a b-=>>.选①：由题意可知，双曲线E 的两个焦点分别为()12,0F -、()22,0F ，由双曲线的定义可得221224332a AF AF =-+=，则1a =，故223b c a -所以，双曲线E 的标准方程为2213y x -=. 选②：圆22840x x y -++=的标准方程为()22412x y -+=，圆心为()4,0，半径为23双曲线E 的渐近线方程为by x a=±24231b ab a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭3b a =即3b a =，因为2222c a b a +=，则1a =，3b = 因此，双曲线E 的标准方程为2213y x -=.选③：由勾股定理可得2222212121212416242PF PF c PF PF PF PF a PF PF +===-+⋅=+⋅，所以，()2221222PF PF c a b ⋅=-=，则122121134222F PF S PF PF b =⋅==⨯⨯△，则3b =故221a c b =-=，所以，双曲线E 的标准方程为2213y x -=.(2)假设满足条件的直线l 存在，设点()111,Q x y 、()222,Q x y ，则121222x x y y +=⎧⎨+=⎩，由题意可得221122221313y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式作差得()()()()121212123y y y y x x x x -+-+=，所以，直线l 的斜率为12123y y k x x -==-，所以，直线l 的方程为()131y x -=-，即32y x =-. 联立223213y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理可得261270x x -+=，2124670∆=-⨯⨯<，因此，直线l 不存在.20．已知0a b >>，如图，曲线Γ由曲线22122:1(0)x y C y a b +=≤和曲线22222:1(0)x y C y a b -=>组成，其中点F 1，F 2为曲线C 1所在圆锥曲线的焦点，点F 3，F 4为曲线C 2所在圆锥曲线的焦点，F 2（2，0），F 4（6，0）.(1)求曲线Γ的方程；(2)如图，作直线l 平行于曲线C 2的渐近线，交曲线C 1于点A ，B ，求证：弦AB 的中点M 必在曲线C 2的另一条渐近线上.【答案】(1)221(0)2016x y y +=≤和221(0)2016x y y -=>；(2)证明见解析【分析】（1）根据题意得到2222364a b a b ⎧+=⎨-=⎩，再解方程组即可.（2）不妨令直线l 平行于渐近线25y =，设25:)l y x m =-，(25)m ≥，联立2225)1,2016y x m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得到2222200x mx m -+-=，设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，得到02m x =，05y =，0025y x =，即可证明中点M 在另一条渐近线25y =上. 【解析】(1)2(2,0)F ，4(6,0)F ，2222364a b a b ⎧+=∴⎨-=⎩，解得222016a b ⎧=⎨=⎩，则曲线Γ的方程为：221(0)2016x y y +=≤和221(0)2016x y y -=>. (2) 由题意曲线C 2的渐近线为：25y =，不妨令直线l 平行于渐近线25y x =，设25:)l y x m =-，(5)m ≥，由2225)1,2016y x m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2222200x mx m -+-=， ()2248200m m ∴∆=-->，解得：210210m -<<所以有25210m <设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，则12x x m +=，212202m x x -=，02mx ∴=，05y =，0025y ∴=，即中点M 在另一条渐近线25y =上.。

直线与双曲线

一点: 二次项系数=0 （直线与渐进线平行） ②相切一点:
③相离:
△=0
△＜0
特别注意直线与双曲线的位置关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支
练一练
1.过点P(1,1)与双曲线 4 交点的直线共有_______ 条. 变题:将点P(1,1)改为
x y 1 只有一个 9 16 Y
点差法
( x1 x2 )( x1 x2 ) ( y1 y 2 )( y1 y 2 ) 4
显然，x1 x2 0, y1 y2 0
A
0
P
B
y1 y2 x1 x2 4 所以有 x1 x2 y1 y2
得k=０所以,得直线L:y=2 经检验:此直线与双曲线相交,符合题意.
3 法二:设直线AB的方程为 y ( x 3) 3
y
与双曲线方程联立消y得5x2+6x-27=0 设A、B的坐标为(x1,y1) 、(x2,y2),则
6 27 x1 x2 , x1 x2 5 5 由两点间的距离公式得
| AB | 2 3 3 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ( x1 x2 )2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 16 3 5 1 ( x1 x2 ) 2 3
F1
O
A
B
F2 x
2 | AF2 | 8 3
练习:
x2 y2 （1 ）过双曲线 1 的左焦点 F1 作倾角为的直线与双曲 9 16 4 192
线交于 A、B 两点，则|AB|=

. 7
（ 2 ）双曲线的两条渐进线方程为 x 2y 0 ，且截直线

直线和双曲线关系直线与双曲线位置关系及交点个数

直线与双曲线位置关系及交点个数
Y
相交:两个交点
O X
相切:一个交点相离: 0个交点
Y
相交:一个交点
O
X
例1:如果直线y=kx－1与双曲线x2-y2=4仅有一个公共点, 求k的取值范围.
分析:只有一个公共点,即方程组仅有一组实数解.
变式:
⑴ 如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有两个公共点,求k的取值范围.
练习:求下列直线与双曲线的交点坐标．
x2 y2 14 2 (1)2x-y-10 0, 1 (6,2),( , ) 20 5 3 3 x2 y2 25 (2)4x-3y-16 0, 1 ( , 3) 25 16 4 (3)x-y 1 0, x 2 y 2 3 (2, 1)
⑵ 如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点, 求k的取值范围.
归纳直线与双曲线位置关系:
有两个公共点△>0
相交直线与双曲线有一个公共点,
直线与渐近线平行
相切有一个公共点,△=0 相离
⑶如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的右支有两个公共点,求k的取值范围. ⑷如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的右支只有
一个公共点,求k的取值范围.
随堂练习
x y 过点 0,3的直线与双曲线 1 4 3 只有一个公共点，求直线L的方程.
2
2
试讨论过定点且与双曲线只有一个交点的直线的条数问题?
例2.已知双曲线方程为
3x y 3,
2 2
(1)求以定点(2,1)为中点的弦所在的直线方程及弦长; (2)是否存在直线l，使Ｎ（１，1 )为l 被双曲线所截弦的中点，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由. 不存在

双曲线的几何性质及应用

第2课时双曲线的几何性质及应用学习目标 1.理解直线与双曲线的位置关系.2.会求解弦长问题．知识点一直线与双曲线的位置关系思考直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点，则直线与圆(椭圆)相切，那么，直线与双曲线相切，能用这个方法判断吗？答案不能．梳理设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，①双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，② 把①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx －a 2m 2－a 2b 2＝0.(1)当b 2－a 2k 2＝0，即k ＝±b a时，直线l 与双曲线C 的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点． (2)当b 2－a 2k 2≠0，即k ≠±b a时，Δ＝(－2a 2mk )2－4(b 2－a 2k 2)(－a 2m 2－a 2b 2)． Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离．知识点二弦长公式若斜率为k (k ≠0)的直线与双曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2].(1)若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切．(×)(2)过点A (1,0)作直线l 与双曲线x 2－y 2＝1只有一个公共点，这样的直线可作2条．(×)(3)直线l ：y ＝x 与双曲线C ：2x 2－y 2＝2有两个公共点．(√)类型一直线与双曲线位置关系例1 已知双曲线x 2－y 2＝4，直线l ：y ＝k (x －1)，试确定满足下列条件的实数k 的取值范围．(1)直线l 与双曲线有两个不同的公共点；(2)直线l 与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l 与双曲线没有公共点．考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线的位置关系解联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝4，y ＝k (x －1)，消去y ，得(1－k 2)x 2＋2k 2x －k 2－4＝0.(*)当1－k 2≠0，即k ≠±1时，Δ＝(2k 2)2－4(1－k 2)(－k 2－4)＝4×(4－3k 2)．(1)由⎩⎪⎨⎪⎧4－3k 2＞0，1－k 2≠0，得－233＜k ＜233且k ≠±1，此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个不同的公共点．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 4－3k 2＝0，1－k 2≠0，得k ＝±233，此时方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且只有一个公共点，当1－k 2＝0，即k ＝±1时，直线l 与双曲线的渐近线平行，方程(*)化为2x ＝5，故方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点．故当k ＝±233或±1时，直线与双曲线有且只有一个公共点．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧4－3k 2＜0，1－k 2≠0，得k ＜－233或k ＞233，此时方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点．反思与感悟 (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况．(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：双曲线与直线相切或直线与双曲线的渐近线平行．(3)注意对直线l 的斜率是否存在进行讨论．跟踪训练1 已知双曲线x 2－y 24＝1，过点P (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，求直线l 的斜率k .考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线的位置关系解当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝1与双曲线相切，符合题意．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝k (x －1)＋1，代入双曲线方程，得(4－k 2)x 2－(2k －2k 2)x －k 2＋2k －5＝0.当4－k 2＝0时，k ＝±2，l 与双曲线的渐近线平行，l 与双曲线只有一个公共点；当4－k 2≠0时，令Δ＝0，得k ＝52. 综上，k ＝52或k ＝±2或k 不存在．类型二弦长公式及中点弦问题例2 过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1作倾斜角为π6的弦AB ，求|AB |的长．考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线相交弦长与三角形面积解易得双曲线的左焦点F 1(－2,0)，∴直线AB 的方程为y ＝33(x ＋2)，与双曲线方程联立，得8x 2－4x －13＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138， ∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋13×⎝⎛⎭⎫122－4×⎝⎛⎭⎫－138＝3. 反思与感悟解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围问题．跟踪训练2 设A ，B 为双曲线x 2－y 22＝1上的两点，线段AB 的中点为M (1,2)．求： (1)直线AB 的方程；(2)△OAB 的面积(O 为坐标原点)．考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线相交弦长与三角形面积解 (1)显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y －2＝k (x －1)，即y ＝kx ＋2－k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，x 2－y 22＝1，消去y ，整理得(2－k 2)x 2－2k (2－k )x －k 2＋4k －6＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则1＝x 1＋x 22＝k (2－k )2－k 2，解得k ＝1.当k ＝1时，满足Δ＞0，∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1.(2)由(1)得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－3，∴|AB |＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2×4＋12＝4 2.又O 到直线AB 的距离d ＝12＝22， ∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×42×22＝2. 类型三直线与双曲线位置关系的综合问题例3 直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A ，B .(1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线的其他问题解 (1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线C 的方程2x 2－y 2＝1，整理得(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0，①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同的两点，故⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－2≠0，Δ＝(2k )2－8(k 2－2)＞0，－2k k 2－2＞0，2k 2－2＞0，解得k 的取值范围为－2＜k ＜－ 2.(2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则由①式，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝2k 2－k 2，x 1x 2＝2k 2－2.假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ⎝⎛⎭⎫62，0，则F A ⊥FB ， ∴⎝⎛⎭⎫x 1－62⎝⎛⎭⎫x 2－62＋y 1y 2＝0，即⎝⎛⎭⎫x 1－62⎝⎛⎭⎫x 2－62＋(kx 1＋1)·(kx 2＋1)＝0， (1＋k 2)x 1x 2＋⎝⎛⎭⎫k －62(x 1＋x 2)＋52＝0， ∴(1＋k 2)·2k 2－2＋⎝⎛⎭⎫k －62·2k 2－k 2＋52＝0，化简得5k 2＋26k －6＝0，解得k ＝－6＋65或k ＝6－65(舍去)，可知k ＝－6＋65使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点．反思与感悟解决综合问题时，可以仿照椭圆的处理思路，借助于方程思想，将问题进行化归，然后利用直线与双曲线位置关系进行求解．跟踪训练3 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的方程为y ＝3x ，右焦点F 到直线x ＝a 2c 的距离为32. (1)求双曲线C 的方程；(2)斜率为1且在y 轴上的截距大于0的直线l 与双曲线C 相交于B ，D 两点，已知A (1,0)，若DF →·BF →＝1，证明：过A ，B ，D 三点的圆与x 轴相切．考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线的其他问题 (1)解依题意有b a ＝3，c －a 2c ＝32， ∵a 2＋b 2＝c 2，∴c ＝2a ，∴a ＝1，c ＝2，∴b 2＝3，∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)证明设直线l 的方程为y ＝x ＋m (m ＞0)，B (x 1，x 1＋m )，D (x 2，x 2＋m )，BD 的中点为M ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1，得2x 2－2mx －m 2－3＝0， ∴x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－m 2＋32，又∵DF →·BF →＝1，即(2－x 1)(2－x 2)＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝1，∴m ＝0(舍)或m ＝2，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－72， M 点的横坐标为x 1＋x 22＝1， ∵DA →·BA →＝(1－x 1)(1－x 2)＋(x 1＋2)(x 2＋2)＝5＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＝5－7＋2＝0，∴AD ⊥AB ，∴过A ，B ，D 三点的圆以点M 为圆心，BD 为直径，∵点M 的横坐标为1，∴MA ⊥x 轴，∴过A ，B ，D 三点的圆与x 轴相切.1．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( ) A ．2 3 B ．2 C. 3 D ．1考点双曲线的几何性质题点求双曲线的渐近线方程答案 A解析 ∵双曲线x 24－y 212＝1的一个焦点为F (4,0)，其中一条渐近线方程为y ＝3x ，∴点F 到3x －y ＝0的距离为432＝2 3. 2．“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线的位置关系答案 B3．直线y ＝x －1被双曲线2x 2－y 2＝3所截得的弦的中点坐标是( )A ．(1,2)B ．(－2，－1)C ．(－1，－2)D ．(2,1)考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线的位置关系答案 C解析将y ＝x －1代入2x 2－y 2＝3，得x 2＋2x －4＝0，由此可得弦的中点的横坐标为x 1＋x 22＝－22＝－1，故选C. 4．过点A (3，－1)且被A 点平分的双曲线x 24－y 2＝1的弦所在的直线方程是________．考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线的其他问题答案 3x ＋4y －5＝0解析易知所求直线的斜率存在，设为k ，设该直线的方程为y ＋1＝k (x －3)，代入x 24－y 2＝1，消去y 得关于x 的一元二次方程(1－4k 2)x 2＋(24k 2＋8k )x －36k 2－24k －8＝0，∴－24k 2＋8k 1－4k 2＝6，∴k ＝－34， ∴所求直线方程为3x ＋4y －5＝0.5．过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则满足条件的直线l 有________条．考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线相交弦长与三角形面积答案 3解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝3，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x 2－y 22＝1，得y ＝±2， ∴|AB |＝|y 1－y 2|＝4，满足题意．当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －3)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －3)，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2＋23k 2x －3k 2－2＝0.当2－k 2≠0时，x 1＋x 2＝23k 2k 2－2，x 1x 2＝3k 2＋2k 2－2， |AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23k 2k 2－22－12k 2＋8k 2－2 ＝1＋k 2 16(k 2＋1)(k 2－2)2＝4(1＋k 2)|k 2－2|＝4，解得k ＝±22.故满足条件的直线l 有3条．双曲线的综合问题常涉及其离心率、渐近线、范围等，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立关系求解．(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关关系求解.一、选择题1．双曲线C 与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦距，一条渐近线的方程为x －2y ＝0，则双曲线C 的标准方程为( )A ．x 24－y 2＝1 B ．x 24－y 2＝1或y 2－x 24＝1 C ．x 2－y 24＝1或y 2－x 24＝1 D ．y 2－x 24＝1 考点由双曲线的简单几何性质求方程题点渐近线为条件求双曲线的方程答案 B2．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1(a >0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于( ) A.3414 B.324 C.32 D.43考点双曲线的简单几何性质题点求双曲线的离心率答案 C解析由题意知a 2＋5＝9, 解得a ＝2，e ＝c a ＝32. 3．过双曲线x 2―y 2＝4的右焦点且平行于虚轴的弦长是( )A ．1B ．2C ．3D ．4考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线相交弦长与三角形面积答案 D解析设弦与双曲线交点为A ，B (A 点在B 点上方)，由AB ⊥x 轴且过右焦点，可得A ，B 两点横坐标为22，代入双曲线方程得A (22，2)，B (22，－2)，故|AB |＝4. 4．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线x ＝a 2c交于点M ，设其右焦点为F ，且点F 到渐近线的距离为d ，则( )A ．|MF |＞dB ．|MF |＜dC ．|MF |＝dD ．与a ，b 的值有关考点双曲线的简单几何性质题点由双曲线方程研究其它性质答案 C 5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B.x 2－y 24＝1 C.3x 220－3y 25＝1 D.3x 25－3y 220＝1 考点双曲线的几何性质题点求双曲线的标准方程答案 A解析由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1. 6．斜率为2的直线l 过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，且与双曲线的左、右两支都相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(1，3)C ．(1，5)D ．(5，＋∞) 考点双曲线的离心率与渐近线题点双曲线离心率的取值范围答案 D7．设P 为双曲线C ：x 2－y 2＝1上一点，F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，若cos ∠F 1PF 2＝13，则△PF 1F 2的外接圆半径为( ) A.94 B ．9 C.32D ．3 考点双曲线的简单几何性质题点由双曲线方程研究其他问题答案 C解析由题意知双曲线中a ＝1，b ＝1，c ＝2，所以|F 1F 2|＝2 2.因为cos ∠F 1PF 2＝13，所以sin ∠F 1PF 2＝223. 在△PF 1F 2中，|F 1F 2|sin ∠F 1PF 2＝2R (R 为△PF 1F 2的外接圆半径)，即22223＝2R ，解得R ＝32，即△PF 1F 2的外接圆半径为32，故选C.二、填空题8．两个正数a ，b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a ＞b ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝________.考点双曲线的简单几何性质题点求双曲线的离心率答案 133解析由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝5，ab ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2.又a ＞b ，∴a ＝3，b ＝2，∴c ＝13，∴e ＝c a ＝133. 9．已知双曲线C ：x 24－y 2m＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m 的取值范围是________．考点双曲线性质的应用题点以离心率或渐近线为条件的简单问题答案 (4，＋∞)解析 ∵等轴双曲线的离心率为2，且双曲线C 的开口比等轴双曲线更开阔，∴双曲线C ：x 24－y 2m ＝1的离心率e ＞2，即4＋m 4＞2，∴m ＞4. 10．已知双曲线C 的离心率为3，焦点为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若|F 1A |＝3|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝________.考点双曲线的简单几何性质题点由双曲线方程研究其他问题答案 33 解析设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．设A 为右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，且|F 2A |＝m ，由题意可得|F 1A |＝3m ，由双曲线的定义可得|F 1A |－|F 2A |＝2a ，解得m ＝a ，又e ＝c a ＝3，可得c ＝3a .在△AF 1F 2中，|F 1A |＝3a ，|F 2A |＝a ，|F 1F 2|＝23a ，可得cos ∠AF 2F 1＝a 2＋12a 2－9a 22×a ×23a＝33. 11．已知直线l 与双曲线C ：x 2－y 24＝1交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M (2,1)，则直线l 的方程是_________________．考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线的其他问题答案 8x －y －15＝0解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，可得x 21－y 214＝1，x 22－y 224＝1，两式相减可得，(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)4＝0，由M (2,1)为AB 的中点，得x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，可得直线AB 的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4(x 1＋x 2)y 1＋y 2＝4×42＝8，即直线AB 的方程为y －1＝8(x －2)，即8x －y －15＝0.将y ＝8x －15代入双曲线的方程x 2－y 24＝1，可得60x 2－240x ＋229＝0，即有Δ＝2402－4×60×229＝240×11＞0，故直线l 的方程为8x －y －15＝0.三、解答题12．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，且过点(－3，42)．(1)求双曲线的方程；(2)若直线4x －y －6＝0与双曲线相交于A ，B 两点，求|AB |的值．考点由双曲线的几何性质求方程题点渐近线为条件求双曲线方程解 (1)设所求双曲线的方程为x 2－y 24＝λ(λ≠0)，把(－3,42)代入方程，得9－324＝λ，所以λ＝1，所以所求双曲线的方程为x 2－y 24＝1. (2)直线方程4x －y －6＝0可变形为y ＝4x －6，把y ＝4x －6代入x 2－y 24＝1，得3x 2－12x ＋10＝0，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝103，所以|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝ (1＋16)×⎝⎛⎭⎫42－4×103＝21023. 13．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．考点由双曲线的简单几何性质求方程题点已知双曲线的焦距、实虚轴求方程解 (1)由题意，知a ＝23，所以一条渐近线为y ＝b 23x ，即bx －23y ＝0，所以|bc |b 2＋12＝3，所以b 2＝3，所以双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程代入双曲线方程，消去y 得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12，所以⎩⎨⎧ x0y 0＝433，x 2012－y 203＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝43，y 0＝3. 由OM →＋ON →＝tOD →，得(163，12)＝(43t,3t )，所以t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．四、探究与拓展14．已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)与双曲线C 2：x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2＞0，b 2＞0)有相同的焦点F 1，F 2，点P 是两曲线的一个公共点，e 1，e 2又分别是两曲线的离心率，若PF 1⊥PF 2，则4e 21＋e 22的最小值为( )A.52 B ．4 C.92D ．9 考点双曲线的简单几何性质题点由双曲线方程研究其他问题答案 C解析由题意设焦距为2c ，令P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，①由椭圆定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，②又∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，③①2＋②2，得|PF 1|2＋|PF 2|2＝2a 21＋2a 22，④将④代入③，得a 21＋a 22＝2c 2，∴4e 21＋e 22＝4c 2a 21＋c 2a 22＝4(a 21＋a 22)2a 21＋a 21＋a 222a 22＝52＋2a 22a 21＋a 212a 22≥52＋22a 22a 21·a 212a 22＝92，当且仅当2a 22a 21＝a 212a 22，即a 21＝2a 22时，取等号，故选C. 15．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点为F (－2,0)．(1)求双曲线的方程；(2)设Q 是双曲线上一点，且过点F ，Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若|MQ →|＝2|QF →|，求直线l的方程．考点由双曲线的简单几何性质求方程题点已知双曲线的焦距、实虚轴求方程解 (1)由题意可设所求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则有e ＝c a＝2，c ＝2，所以a ＝1，b ＝3，所以所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)因为直线l 与y 轴相交于点M 且过焦点F (－2,0)，所以l 的斜率一定存在，设为k ，则l ：y ＝k (x ＋2)，令x ＝0，得M (0,2k )．因为|MQ →|＝2|QF →|且M ，Q ，F 共线于l ，所以MQ →＝2QF →或MQ →＝－2QF →.当MQ →＝2QF →时，x Q ＝－43，y Q ＝23k ，所以Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫－43，23k ，又因为点Q 在双曲线x 2－y 23＝1上，所以169－4k 227＝1，所以k ＝±212，所以直线l 的方程为y ＝±212(x ＋2)．当MQ →＝－2QF →时，同理求得Q (－4，－2k )，代入双曲线方程，得16－4k 23＝1，所以k ＝±352，所以直线l 的方程为y ＝±352(x ＋2)．综上，直线l 的方程为y ＝±212(x ＋2)或y ＝±352(x ＋2)．。

双曲线知识点总结及练习题

一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））。

这两个定点叫双曲线的焦点。

要注意两点：（1）距离之差的绝对值。

（2）2a ＜|F 1F 2|。

当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单或两边之差小于第三边当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。

2、第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l （准线2ca ）的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线。

这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线。

二、双曲线的标准方程（222a c b -=，其中|1F 2F |=2c ）焦点在x 轴上：12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）焦点在y 轴上：12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）（1）如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上。

a 不一定大于b 。

判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上（2）与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x （3）双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 三、双曲线的性质四、双曲线的参数方程：sec tan x a y b θθ=⋅⎛=⋅⎝ 椭圆为cos sin x a y b θθ=⋅⎛ =⋅⎝五、弦长公式2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A 、B 两点，则弦长ab AB 22||=。

直线与双曲线地相交弦问题

实用标准直线与双曲线的相交弦问题直线与双曲线相交的弦长公式①221212()()AB x x y y =-+-（两点之间的距离） ②]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+= ③221121222111(1)[()4]AB y y y y y y kk=+-=+⋅+-一、已知双曲线方程和直线方程求弦长例1、过双曲线1322=-y x 的左焦点1F ，作倾斜角为6π的弦AB ，求AB ；⑵AB F 2∆的面积（2F 为双曲线的右焦点）。

1、求直线1y x =+被双曲线2214y x -=截得的弦长；2、过双曲线14491622=-y x 的右焦点作倾斜角为3π的弦AB ，求弦长AB ；3、已知斜率为2的直线L 被双曲线22154x y -=截得的弦长为52，求直线L 的方程；4、过双曲线122=-y x 的左焦点2F ，作倾斜角为3π的直线与双曲线相交于B A ,两点，求：（1）弦长AB（2）△AB F 1∆的周长（2F 为双曲线的右焦点）二、已知弦长求双曲线方程5、已知焦点在x 轴上的双曲线上一点P ，到双曲线两个焦点的距离分别为4和8，直线2-=x y 被双曲线截得的弦长为220，求此双曲线的标准方程．6、已知倾斜角为4π的直线l 被双曲线60422=-y x 截得的弦长28=AB ，求直线l 的方程．例2、已知双曲线方程为3322=-y x ，求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程．解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的关系或“平方差法”求解．此时，若已知点在双曲线的部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求直线必须进行检验，以免增解，若用待定系数法时，只需求出k 值对判别式△>0进行验证即可．例3、双曲线方程为3322=-y x .问：以定点B(1,1)为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由．7、已知中心在原点，顶点12,A A 在x 轴上，离心率为21的双曲线经过点(6,6)P （Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）动直线l 经过12A PA ∆的重心G ，与双曲线交于不同的两点,M N ，问是否存在直线l 使G 平分线段MN 。

高中数学直线与双曲线位置关系

1
一.点与双曲线的位置关系
点P(
x0
,
y0
)与
双
曲
线
x a
2 2
y2 b2
1(a
0, b
0)的位置关系
点P( x0, y0 )在双曲线上
x0 2 a2
y02 b2
1；
点P( x0, y0 )在双曲线内
x0 2 a2
y02 b2
1；(含焦点)
y
点P( x0 ,
y0 )在双曲线外
在原点
直线三两条数条条
四条
不
两条存
在
26
探究2:已知双曲线
x2 a2
by过22 点1P(m,n)能否
存在直线L,使L与此双曲线交于A、B两点，且点
P
是线段AB的中点？
是否
点的位置
区
区
区
原双曲渐近
存在方程
域域域
线上
Ⅰ Ⅱ Ⅲ 点线上 (除原点)
x2 a2
y2 b2
1
不存在
My
曲线C:y x2 1有一个交点
求实数k的取值范围
o
x
29
ex3.当k取不同实数时，讨论方程 kx2 y 2 4所表示的曲线类型．
k 0,直线y 2 k 0时，x2 y 2 1．
44 k k 1,表示圆 k 0且k 1表示椭圆 k 0表示双曲线
30
12
课堂练习
例过双曲线
x2 y2 1 的右焦点 36
F2倾, 斜角为 30的o
直线交双曲线于A，B两点，求|AB|。
分析:求弦长问题有两种方法: 法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公式代入求弦长; 法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达定理来处理.

【高二】【数学】【人教B版选修2-1】2.3.2双曲线的几何性质

【感悟情境】
两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并且获得了大量的成果．古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线．用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把在双曲线标准方程x a 2－y b
2＝)
－y 3
＝利用双曲线的标准方程a 2－b
2＝都适合不等式a
2≥得x ≥a 或x ≤－a .因此，双曲线位于两直线x ＝a 和x ＝－a 所夹平面区域的外侧，
如图所示：类似于对椭圆对称性的讨论，可知双曲线是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形；也是以原点为对称中心的中心对称图形，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．可知双曲线与x 轴有两个交点，，这个方程没有实数根，说明双曲线与B 2(0，b )画在y 轴上，如图．
x ≤－a 或x ≥a
y ≤－a 或y ≥a
关于x 轴、轴及原点都对称
y 2a 2－x 2
b 2＝1(a >0，b >0)。

直线与曲线的交点

直线与曲线的交点直线与曲线的交点是数学中一个基础而又重要的概念。

直线和曲线分别代表了数学中的线性和非线性关系，它们的交点不仅有几何意义，也有很多实际应用。

本文将对直线与曲线的交点进行讨论，并探索相关概念、性质以及解决问题的方法。

一、直线与曲线的基本概念在数学中，直线是由一对点确定的最短路径。

直线的方程可以用一元一次方程表示，形式为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。

直线的斜率决定了其在坐标平面上的倾斜程度，而截距则表示了直线在y轴上的截距位置。

曲线是指在平面上非线性的轨迹或路径。

曲线可以用多种方式表示，例如根据不同程度的多项式和三角函数确定的方程形式。

曲线的形状可以因方程中的系数和指数而变化。

当直线和曲线交于一点时，称这个点为直线与曲线的交点。

交点的坐标可以通过联立直线和曲线的方程，并求解方程组得到。

二、直线与曲线的交点性质1. 交点的个数直线与曲线的交点的个数可以是0、1或多个。

例如，直线和曲线平行时，它们没有交点；当直线与曲线相切时，有且仅有一个交点；而当直线与曲线相交两次或多次时，有多个交点。

2. 交点的坐标交点的坐标表示了直线和曲线在该点相交的位置。

交点的坐标可以通过求解方程组得到，但在实际问题中，往往需要利用数值计算方法进行求解。

3. 交点的几何意义直线与曲线的交点在几何上有重要的意义。

它们可以表示两个不同数学对象的交集，例如直线和圆的交点可以表示圆上离直线最近的两个点；交点还可以表示两个曲线之间的交叉点，例如两条函数图像的交点可以表示函数的相等解。

三、求解直线与曲线交点的方法1. 代入法求解直线与曲线交点的一种常用方法是代入法。

通过将直线的方程中的x或y代入曲线方程中，得到一个关于未知数的方程，然后求解该方程可以得到交点的坐标。

2. 图形法图形法是通过绘制直线和曲线的图形，并观察它们的交点来求解。

通过适当选择直线和曲线的方程，可以将其转化为简单的直线与直线或曲线与曲线的交点问题。

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