高考数学一轮复习 7课时函数的定义域

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2021-2022年高考数学一轮复习专题一函数的定义域与解析式

2021年高考数学一轮复习专题一函数的定义域与解析式【典型例题】例1.求下列函数的定义域：（1）y ＝（2）（3）（4）x x x f 212log )13(log )(+-=变式训练:求下列函数的定义域：（1）（2）（3）（4）)52(log )1(log )(212-+-=x x x f例2. 已知函数的定义域为（1，3），求函数)2()1()(x f x f x F -++=的定义域.变式训练：求下列函数的定义域：（1）已知函数的定义域为(1,3),求函数的定义域.（2）已知函数的定义域为(3,4),则函数的定义域.（3）若函数y ＝f (x )的定义域是[－2, 4], 求函数g (x )＝f (x )＋f (1－x )的定义域.例3．求下列函数的解析式：(1) 设f (x ) 是二次函数且162)1()(2-+=++x x x f x f ，求 f (x )的解析式.(2)已知，求f (x )的解析式.变式训练：求下列函数的解析式：(1) 已知, 且f (x ) 是一次式, 求f (x ).(2)已知求f(x).例4．设f(x)=2x 3 g(x)=x2+2 则称f[g(x)]（或g[f(x)]）为复合函数.求函数g[f(x)] 及f[g(x)]的解析式.变式训练：求下列函数的解析式：已知： f(x)=x2x+3 求：f() 及f(x+1) 的解析式.能力提升：(1)设函数f(x)满足，求函数f(x)的解析式.(2)设f(x)是定义在R上的函数，且满足，并且对任意的实数、，都有xyx-yfxyf成立，求函数f(x)的解析式.))2()1((+--=。

高三数学第一轮复习：函数的定义域值域.ppt

函数的定义域、值域（最大、最小值）
例 1 已知函数 f ?x?定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：
(1) f (x2 ) ? 23 ;
(2) y ?
f (x2 ) ? 1
log 1 (2 ? x)
2
分析：x 的函数 f(x 2 )是由 u=x 2 与 f(u)这两个函数复合而成的复合函数，其中 x 是自变量，u 是中间变量由于 f(x)，f(u)是同一个函数，故(1) 为已知 0＜u＜2，即 0＜x 2 ＜2 求 x 的取值范围
又∵ ? ? ? x2 ? 6x ? 5 ? ? ( x ? 3)2 ? 4 ? 4 ，
∴ 0 ? ? ? 4 ，故 ? ? [0,2] ，
∴ y ? ? x2 ? 6x ? 5 的值域为 [0,2]
（3）（法一）反函数法：
y ? 3x ? 1 的反函数为 y ? 2x ? 1 ，其定义域为{x ? R | x ? 3}，
x? 2
x? 3
∴原函数 y ? 3x ? 1 的值域为{y? R | y ? 3} x? 2
（法二）分离变量法： y ? 3x ? 1 ? 3(x ? 2) ? 7 ? 3 ? 7 ，
x? 2
x? 2
x? 2
∵ 7 ? 0 ，∴ 3 ? 7 ? 3 ，
x? 2
x? 2
∴函数 y ? 3x ? 1 的值域为{y? R | y ? 3} x? 2
1? sin x 2 ? cos x
解：（1）（配方法）Q y ? 3x2 ? x ? 2 ? 3(x ? 1 )2 ? 23 ? 23 ， 6 12 12
∴ y ? 3x2 ? x ? 2 的值域为 [ 23 , ?? ) 12
改题：求函数 y ? 3x2 ? x ? 2 ， x? [1,3]的值域

2021届高三数学一轮复习——函数的定义域与值域

2021届高三数学一轮复习——函数的定义域与值域函数的定义域求下列函数的定义域：(1)y ＝12－|x |＋x 2－1； (2)y ＝25－x 2＋lg cos x ；(3)y ＝x －12x－log 2(4－x 2)； (4)y ＝1log 0.5(x －2)＋(2x －5)0. 解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 2－|x |≠0，x 2－1≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠±2，x ≤－1或x ≥1.所以函数的定义域为{x |x ≤－1或x ≥1且x ≠±2}． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 25－x 2≥0，cos x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧－5≤x ≤5，2k π－π2<x <2k π＋π2(k ∈Z ). 所以函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－5，－32π∪⎝⎛⎭⎫－π2，π2∪⎝⎛⎦⎤3π2，5. (3)要使函数有意义，必须⎩⎨⎧x －12x ≥0，x ≠0，4－x 2>0，解得－2<x <0或1≤x <2，∴函数的定义域为(－2,0)∪[1,2)．(4)由⎩⎪⎨⎪⎧ log 0.5(x －2)>0，2x －5≠0得⎩⎪⎨⎪⎧2<x <3，x ≠52， ∴函数的定义域为⎝⎛⎭⎫2，52∪⎝⎛⎭⎫52，3. 思维升华 (1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是使解析式有意义，如分式的分母不等于零，偶次根式的被开方数为非负数，零指数幂的底数不为零，对数的真数大于零且底数为不等于1的正数以及三角函数的定义域等．(2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题．在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值或边界值．函数的值域例1 (2019·长沙月考)求下列函数的值域：(1)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)；(2)y ＝2x ＋1x －3； (3)y ＝2x －x －1；(4)y ＝x ＋1＋x －1.解 (1)(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2,6)．(2)(分离常数法)y ＝2x ＋1x －3＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3，显然7x －3≠0，∴y ≠2. 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．(3)(换元法)设t ＝x －1，则x ＝t 2＋1，且t ≥0，∴y ＝2(t 2＋1)－t ＝2⎝⎛⎭⎫t －142＋158，由t ≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为⎣⎡⎭⎫158，＋∞.(4)函数的定义域为[1，＋∞)，∵y ＝x ＋1与y ＝x －1在[1，＋∞)上均为增函数， ∴y ＝x ＋1＋x －1在[1，＋∞)上为单调递增函数，∴当x ＝1时，y min ＝2，即函数的值域为[2，＋∞)．结合本例(4)求函数y ＝x ＋1－x －1的值域．解函数的定义域为[1，＋∞)，y ＝x ＋1－x －1＝2x ＋1＋x －1，由本例(4)知函数y ＝x ＋1＋x －1的值域为[2，＋∞)， ∴0<1x ＋1＋x －1≤22， ∴0<2x ＋1＋x －1≤2，∴函数的值域为(0，2]．思维升华求函数值域的一般方法(1)分离常数法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)单调性法；(6)换元法；(7)数形结合法；(8)导数法．跟踪训练1 求下列函数的值域：(1)y ＝1－x 21＋x 2； (2)y ＝x ＋41－x ；(3)y ＝2x 2－x ＋12x －1⎝⎛⎭⎫x >12.。

2023届高考数学一轮复习讲义：第7讲函数的单调性与最值

第7讲函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有，那么就称函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有，那么就称函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是或，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件 (1)∀x ∈I ，都有； (2)∃x 0∈I ，使得(1)∀x ∈I ，都有； (2)∃x 0∈I ，使得结论M 为最大值M 为最小值➢考点1 函数的单调性[名师点睛]确定函数单调性的四种方法 (1)定义法：利用定义判断．(2)导数法：适用于初等函数可以求导的函数．(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． (4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性． 1．（2022·全国·高三专题练习）函数2()23f x x x -- ） A ．(,1]-∞B ．[3,)+∞C ．(,1]-∞-D ．[1,)+∞2．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数()1axf x x =-（0a ≠）在(11)-，上的单调性.[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）函数222x x y -++=的单调递增区间是（）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,1]-∞-C ．112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．[]12-， 2．（2022·全国·高三专题练习）函数()213log 412y x x =-++单调递减区间是（）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．()2,2-D ．()2,6-3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2f x x x x =-+，则下列结论正确的是（） A ．递增区间是(0,)+∞ B ．递减区间是(,1)-∞- C ．递增区间是(,1)-∞-D ．递增区间是(1,1)-4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()()12log g x f x =的单调递增区间为（）A ．(],3-∞-，[]0,3B ．[]3,0-，[)3,+∞C ．(),5-∞-，[)0,1D ．(]1,0-，()5,+∞5．（2022·广西柳州·三模）下列函数在(),0∞-上是单调递增函数的是（） A ．tan y x =B ．()ln y x =-C ．12xy =D ．1y x=-6．（2022·全国·高三专题练习）函数y =|-x 2+2x +1|的单调递增区间是_________ ；单调递减区间是_________．7．（2022·全国·高三专题练习）函数216y x x =-+_____． 8．（2022·福建·三模）写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =________. ①定义域为R ；②值域为(,1)-∞；③对任意12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，均有()()12120f x f x x x ->-.9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）1x=+lg 4xx -．判断并证明函数f （x ）的单调性；10．（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为实数集R 的函数()11222xx f x +-=+．判断函数f （x ）在R 上的单调性，并用定义证明．➢考点2 函数单调性的应用1．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数()()e e 2x xx f x --=，则21log3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，342b f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，432c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的大小关系为（）A ．b ac << B ．a b c << C ．c a b << D ．a c b <<2．（2022·广东深圳·高三期末）已知函数()1e ,111,1x x f x x x x-⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，则()f x 的最大值为______．3．（2022·河北唐山·二模）已知函数()f x ()()21f x f x >-，则x 的取值范围是（） A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数1()ax f x x a-=-在(2,)+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是（） A ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞ B ．(1,1)-C ．(-∞，1)(1-⋃，2]D ．(-∞，1)(1-⋃，2)[举一反三]1．（2022·辽宁朝阳·高三开学考试）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x ->-，记(2)(3)(1),,23f f a f b c -===，则（）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b c a <<2．（2022·重庆·模拟预测）设函数()()()32200x xx f x x x -⎧-+>⎪=⎨-≤⎪⎩，若ln 2a =，0.23b =，0.3log 2c =，则（）A ．()()()f a f b f c >>B ．()()()f b f a f c >>C ．()()()f a f c f b >>D ．()()()f c f a f b >>3．（2022·全国·高三专题练习）函数()41f x x x =++在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为（） A ．153,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]3,4C ．153,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．154,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．（2022·重庆八中模拟预测）已知函数()1y f x =-是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(),1-∞-单调递减，()00f =，则()()210f x f x +<的解集为（）A ．()(),20,-∞-⋃+∞B ．()2,0-C ．312,,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭5．（2022·河北·模拟预测）设函数()()212,1,2,1,x x f x x x ⎧++<⎪=⎨-≥⎪⎩则不等式()()340f f x +->的解集为（） A ．()1,1- B ．()(),11,-∞-⋃+∞ C ．()7,7-D ．()(),77,-∞-⋃+∞6．（2022·全国·高三专题练习）若函数21,1()2,,1ax x f x x ax x -<⎧=⎨-≥⎩是R 上的单调函数，则a 的取值范围（） A ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,1D ．()0,17．（2022·全国·高三专题练习）函数2()2(1)3f x x m x =-+-+在区间(],4-∞上单调递增，则m 的取值范围是（）A ．[)3,-+∞B ．[)3,+∞C ．(],5-∞D ．(],3-∞-8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()2313,11,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（） A ．11,63⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．11,,63⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭9．（多选）（2022·全国·高三专题练习）函数()21x af x x -=+在区间()b +∞，上单调递增，则下列说法正确的是（） A ．2a >-B ．1b >-C ．1b ≥-D ．2a <-10．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数()53x f x x a +=-+在()1,+∞上是减函数，则实数a 的范围是_______.11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f (x )m ≠1)在区间(0，1]上是减函数，则实数m 的取值范围是________．12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 满足：①(0)0f =；②在[13]，上是减函数；③(1)(1)f x f x +=-.请写出一个满足以上条件的()f x =___________.13．（2022·全国·高三专题练习）已知y =f (x )是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f (m -1)>f (1-2m )，则m 的取值范围是_______.14．（2022·全国·高三专题练习）若函数2()4f x x ax =-+在[]1.3内不单调，则实数a 的取值范围是__________．15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =是定义在R 的递减函数，若对于任意(0x ∈，1]不等式2(31)(1)(2)f mx f mx x f m ->+->+恒成立，求实数m 的取值范围.16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x x .（1）若1a ，求函数的定义域；（2）是否存在实数a，使得函数()f x在定义域内具有单调性？若存在，求出a的取值范围第7讲函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件 (1)∀x ∈I ，都有f (x )≤M ； (2)∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(1)∀x ∈I ，都有f (x )≥M ； (2)∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值M 为最小值➢考点1 函数的单调性[名师点睛]确定函数单调性的四种方法 (1)定义法：利用定义判断．(2)导数法：适用于初等函数可以求导的函数．(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． (4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性． 1．（2022·全国·高三专题练习）函数2()23f x x x -- ） A ．(,1]-∞ B ．[3,)+∞ C ．(,1]-∞-D ．[1,)+∞【答案】B 【解析】由题意，可得2230x x --≥，解得1x ≤-或3x ≥，所以函数2()23f x x x =--(][),13,-∞-⋃+∞，二次函数223y x x =--的对称轴为1x =，且在(][),13,-∞-⋃+∞上的单调递增区间为[3,)+∞，根据复合函数的单调性，可知函数2()23f x x x =--[3,)+∞.故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数()1axf x x =-（0a ≠）在(11)-，上的单调性. 【解】任取1x 、2(11)x ∈-，，且12x x <，(11)1()(1)11a x f x a x x -+==+--，则：21121212()11()()(1)(1)11(1)(1)a x x f x f x a a x x x x --=+-+=----，当0a >时，12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >，函数()f x 在(11)-，上单调递减；当0a <时，12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，函数()f x 在(11)-，上单调递增. [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）函数y = ）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,1]-∞-C ．112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．[]12-，【答案】C 【解析】令220x x -++≥，解得12x -≤≤，令22t x x =-++，则y =∵函数22t x x =-++在区间112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，y =内递增，∴根据复合函数的单调性可知，函数y =112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．故选：C2．（2022·全国·高三专题练习）函数()213log 412y x x =-++单调递减区间是（） A ．(),2-∞ B ．()2,+∞ C ．()2,2- D ．()2,6-【答案】C 【解析】令13log y u=，2412u x x =-++．由24120u x x =-++>，得26x -<<．因为函数13log y u=是关于u 的递减函数，且()2,2x ∈-时，2412u x x =-++为增函数，所以()213log 412y x x =-++为减函数，所以函数()213log 412y x x =-++的单调减区间是()2,2-．故选：C.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2f x x x x =-+，则下列结论正确的是（） A ．递增区间是(0,)+∞ B ．递减区间是(,1)-∞- C ．递增区间是(,1)-∞- D ．递增区间是(1,1)-【答案】D 【解析】因为函数222,0()22,0x x x f x x x x x x x ⎧-+≥=-+=⎨+<⎩，作出函数()f x 的图象，如图所示：由图可知，递增区间是(1,1)-，递减区间是(,1)-∞-和()1,+∞．故选：D ．4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()()12log g x f x =的单调递增区间为（）A ．(],3-∞-，[]0,3B ．[]3,0-，[)3,+∞C ．(),5-∞-，[)0,1D ．(]1,0-，()5,+∞【答案】C 【解析】因为12log y x=在()0,∞+上为减函数，所以只要求()y f x =的单调递减区间，且()0f x >.由图可知，使得函数()y f x =单调递减且满足()0f x >的x 的取值范围是()[),50,1-∞-.因此，函数()()12log g x f x =的单调递增区间为(),5-∞-、[)0,1.故选：C.5．（2022·广西柳州·三模）下列函数在(),0∞-上是单调递增函数的是（） A ．tan y x = B ．()ln y x =-C ．12xy =D ．1y x=-【答案】D 【解析】选项A. 函数tan y x =在(),0∞-上只有单调增区间，但不是一直单调递增，故不满足；选项B. 由复合函数的单调性可知函数()ln y x =-在(),0∞-上单调递减，故不满足；选项C. 函数1122xx y ⎛⎫== ⎪⎝⎭在(),0∞-上单调递减，故不满足；选项D. 函数1y x=-在(),0∞-上单调递增，故满足，故选：D6．（2022·全国·高三专题练习）函数y =|-x 2+2x +1|的单调递增区间是_________ ；单调递减区间是_________．【答案】 (12,1)-，(12,)++∞ (,12)-∞-，(1,12)【解析】作出函数y =|-x 2+2x +1|的图像，如图所示，观察图像得，函数y =|-x 2+2x +1|在(12,1)-和(12,)++∞上单调递增，在(,12)-∞和(1,12)上单调递减，所以原函数的单调增区间是(1，(1)+∞，单调递减区间是(,1-∞，(1,12).故答案为：(1-，(1)++∞；(,1-∞，(1,12)7．（2022·全国·高三专题练习）函数1y =_____．【答案】[3,6] 【解析】226060x x x x -+≥⇒-≤，解得06x ≤≤，令()()22639x x x x μ=-+=--+，对称轴为3x =，所以函数()x μ在(),3-∞为单调递增；在[)3,+∞上单调递减.所以函数1y =[3,6]. 故答案为：[3,6]8．（2022·福建·三模）写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =________. ①定义域为R ；②值域为(,1)-∞；③对任意12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，均有()()12120f x f x x x ->-.【答案】1()12xf x =-（答案不唯一）【解析】 1()12x f x =-，定义域为R ；102x>，1()112x f x =-<，值域为(,1)-∞；是增函数，满足对任意12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，均有()()12120f x f x x x ->-.故答案为：1()12xf x =-（答案不唯一）. 9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）1x=+lg 4xx -．判断并证明函数f （x ）的单调性；【解】由题意，040x x x ≠⎧⎪-⎨>⎪⎩，解得04x <<故f （x ）的定义域为（0，4）令441x u x x -==-，lg y u =，由于41u x=-在（0，4）单调递减，lg y u =在(0,)+∞单调递增，因此4lgxy x-=在（0，4）单调递减，又1y x =在（0，4）单调递减，故f （x ）1x =+4lgx x -在（0，4）上单调递减，证明如下：设0＜x 1＜x 2＜4，则： ()()()()121221121122122144411lg lg lg 4x x x x x x f x f x x x x x x x x x -----=+--=+-， ∵0＜x 1＜x 2＜4，∴x 2﹣x 1＞0，x 1x 2＞0，4﹣x 1＞4﹣x 2＞0，12214114x xx x --＞，＞， ∴()()()()1212211221214401lg 044x x x x x x x x x x x x -----＞，＞，＞， ∴f （x 1）＞f （x 2），∴f （x ）在（0，4）上单调递减11．（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为实数集R 的函数()11222xx f x +-=+．判断函数f （x ）在R 上的单调性，并用定义证明．【解】由题意11211()22212x x x f x +-==-+++，令1112,2xu y u =+=-+，由于12x u =+在R 上单调递增，112y u=-+在(0,)+∞单调递减，由复合函数单调性可知f （x ）在R 上为减函数. 证明：设∀x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，所以f （x 1）﹣f （x 2）()()211212112212121212x x x x x x -=-=++++，由于x 1＜x 2，y ＝2x 在R 上单增所以21220x x -＞，且2x ＞0 所以f （x 1）＞f （x 2），所以f （x ）在R 上单调递减．➢考点2 函数单调性的应用1．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数()()e e 2x xx f x --=，则21log3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，342b f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，432c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．a c b <<【答案】A【解析】()f x 的定义域为R ，因为()()()e e ee ()22x xxx x x f x f x ------===，所以()f x 为偶函数，所以()()2221log log 3log 33a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，443322c f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0x >时，()()()ee e e 2xx x xx f x ---++'=，因为0x >，所以e1,0e 1xx -><<，所以e e 0x x -->，(e e )0x x x -+>，所以()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，因为2x y =在R 上单调递增，且340143-<<<，所以43013402222-<<<<，即433402122-<<<<，因为2log y x =在(0,)+∞上为增函数，且234<<，所以222log 2log 3log 4<<，即21log 32<<，所以4334202log 32-<<<，所以()433422log 32f f f -⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即b a c <<，故选：A2．（2022·广东深圳·高三期末）已知函数()1e ,111,1x x f x x x x-⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，则()f x 的最大值为______．【答案】1 【解析】解：(],1x ∈-∞时，()1x f x e -=单调递增，()()1111f x f e -==≤；()1,x ∈+∞时，()1+1f x x x=-单调递减，()11+111f x <-=.所以()f x 的最大值为1．故答案为：1．3．（2022·河北唐山·二模）已知函数()f x ()()21f x f x >-，则x 的取值范围是（） A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】解：()f x 定义域为R ，又()()-=-f x f x ，所以()f x 是奇函数，当0x =时，()00f =，当0x >时，()=f x ()f x 在()0,∞+上递增，所以()f x 在定义域R 上递增，又()()21f x f x >-，所以21x x >-，解得13x >，故选：C4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数1()ax f x x a-=-在(2,)+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是（） A ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞ B ．(1,1)-C ．(-∞，1)(1-⋃，2]D ．(-∞，1)(1-⋃，2)【答案】C 【解析】解：根据题意，函数221()11()ax a x a a a f x a x a x a x a--+--===+---，若()f x 在区间(2,)+∞上单调递减，必有2102a a ⎧->⎨⎩，解可得：1a <-或12a <，即a 的取值范围为(-∞，1)(1-⋃，2]，故选：C ． [举一反三]1．（2022·辽宁朝阳·高三开学考试）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x ->-，记(2)(3)(1),,23f f a f b c -===，则（）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】B 【解析】依题意，12,(0,)x x ∀∈+∞，12x x ≠，122112121212()()()()00f x f x x f x x f x x x x x x x -->⇔>--，于是得函数()f x x 在(0,)+∞上单调递增，而函数()f x 是R 上的偶函数，即(2)(2)22f f b -==，显然有(1)(2)(3)123f f f <<，因此得：a b c <<，所以a b c <<. 故选：B2．（2022·重庆·模拟预测）设函数()()()32200x xx f x x x -⎧-+>⎪=⎨-≤⎪⎩，若ln 2a =，0.23b =，0.3log 2c =，则（）A ．()()()f a f b f c >>B ．()()()f b f a f c >>C ．()()()f a f c f b >>D ．()()()f c f a f b >>【答案】D 【解析】解：因为()()()32200x x x f x x x -⎧-+>⎪=⎨-≤⎪⎩，又2x y =在()0,∞+上单调递增，2x y -=在()0,∞+上单调递减，则()22xx g x -=-+在()0,∞+上单调递减且()002002g -+==，又()3h x x =-在(),0∞-上单调递减且()3000h =-=，所以()f x 在R 上单调递减，又因为0.20331>=，即1b >，0ln1ln 2lne 1=<<=，即01a <<，0.30.3log 2log 10<=，即0c <，所以b a c >>，所以()()()f b f a f c <<；故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）函数()41f x x x =++在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为（） A ．153,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]3,4C ．153,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．154,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】设1x t ，1x t =-，1,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()41g t t t =+-，根据双勾函数性质：函数在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]2,3上单调递增，()()max 1151015max ,3max ,2232g t g g ⎧⎫⎛⎫⎧⎫===⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭，()()min 23g t g ==，故函数值域为153,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：C.4．（2022·重庆八中模拟预测）已知函数()1y f x =-是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(),1-∞-单调递减，()00f =，则()()210f x f x +<的解集为（）A ．()(),20,-∞-⋃+∞B ．()2,0-C ．312,,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】因为函数()1y f x =-是定义在R 上的偶函数，所以()y f x =的图象关于直线1x =-对称.因为()f x 在(),1-∞-上单调递减，所以在()1,-+∞上单调递增. 因为()00f =，所以()()200f f -==.所以当()(),20,x ∈-∞-⋃+∞时，()0f x >；当()2,0x ∈-时，()0f x <．由()()210f x f x +<，得20,2210.x x x ⎧-⎨-<+<⎩或或20,212210.x x x -<<⎧⎨+-+⎩或解得312,,022x ⎛⎫⎛⎫∈--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：C5．（2022·河北·模拟预测）设函数()()212,1,2,1,x x f x x x ⎧++<⎪=⎨-≥⎪⎩则不等式()()340f f x +->的解集为（） A ．()1,1- B ．()(),11,-∞-⋃+∞ C ．()7,7- D ．()(),77,-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】解：因为()()212,12,1x x f x x x ⎧++<⎪=⎨-≥⎪⎩，所以()36f =-，()()233126f -=-++=，则()()340f f x +->，即()()()4363f x f f ->-==-，()f x 的函数图象如下所示：由函数图象可知当3x >-时()6f x <且()f x 在(),3∞--上单调递减，所以()()43f x f ->-等价于43x -<-，即1x <，解得11x -<<，即()1,1x ∈-；故选：A6．（2022·全国·高三专题练习）若函数21,1()2,,1ax x f x x ax x -<⎧=⎨-≥⎩是R 上的单调函数，则a 的取值范围（） A ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,1D ．()0,1【答案】B 【解析】因为分段函数()f x 在R 上的单调函数，由于22y x ax =-开口向上，故在1≥x 上单调递增，故分段函数()f x 在在R 上的单调递增，所以要满足：0212112a aa a>⎧⎪-⎪-≤⎨⎪-≤-⎪⎩，解得：203a <≤ 故选：B7．（2022·全国·高三专题练习）函数2()2(1)3f x x m x =-+-+在区间(],4-∞上单调递增，则m 的取值范围是（）A ．[)3,-+∞B ．[)3,+∞C ．(],5-∞D ．(],3-∞-【答案】D 【解析】解：函数2()2(1)3f x x m x =-+-+的图像的对称轴为2(1)12m x m -=-=--，因为函数2()2(1)3f x x m x =-+-+在区间(],4-∞上单调递增，所以14m -≥，解得3m ≤-，所以m 的取值范围为(],3-∞-，故选：D8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()2313,11,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（） A ．11,63⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．11,,63⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭【答案】B 【解析】由题意可知，()313y a x a =-+在(),1-∞上为减函数，则310a -<，函数21y x =-+在[)1,+∞上为减函数，且有()3130a a -+≥，所以，310610a a -<⎧⎨-≥⎩，解得1163a ≤<.综上所述，实数a 的取值范围是11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：B.9．（多选）（2022·全国·高三专题练习）函数()21x af x x -=+在区间()b +∞，上单调递增，则下列说法正确的是（） A ．2a >- B ．1b >- C ．1b ≥- D ．2a <-【答案】AC 【解析】 ()22211x a a f x x x -+==-++， ()f x 在区间()b +∞，上单调递增，20a ∴+>，2a >-∴，由()f x 在区间()1+∞-，上单调递增， 1b.故选：AC10．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数()53x f x x a +=-+在()1,+∞上是减函数，则实数a 的范围是_______. 【答案】(2,4]- 【解析】函数5()3x f x x a +=-+，定义域为(,3)(3,)x a a ∈-∞-⋃-+∞，又322()133x a a a f x x a x a -++++==+-+-+，因为函数5()3x f x x a +=-+在(1,)+∞上是减函数，所以只需23a y x a +=-+在(1,)+∞上是减函数，因此2031a a +>⎧⎨-≤⎩，解得24a -<≤.故答案为：24a -<≤11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f (x )m ≠1)在区间(0，1]上是减函数，则实数m 的取值范围是________．【答案】(－∞，0)∪(1，4] 【解析】由题意可得4－mx ≥0，x ∈(0，1]恒成立，所以m ≤4()xmin ＝4．当0<m ≤4时，4－mx 单调递减，所以m －1>0，解得1<m ≤4；当m <0时，4－mx 单调递增，所以m －1<0，解得m <1，所以m <0．故实数m 的取值范围是(－∞，0)∪(1，4]．故答案为： (－∞，0)∪(1，4].12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 满足：①(0)0f =；②在[13]，上是减函数；③(1)(1)f x f x +=-.请写出一个满足以上条件的()f x =___________. 【答案】22x x -+ 【解析】由(1)(1)f x f x +=-可得()f x 关于1x =对称，所以开口向下，对称轴为1x =，且过原点的二次函数满足题目中的三个条件，故答案为：22x x -+13．（2022·全国·高三专题练习）已知y =f (x )是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f (m -1)>f (1-2m )，则m 的取值范围是_______.【答案】1223⎛⎫- ⎪⎝⎭，【解析】由题意得：-2-12-21-22-11-2m m m m <<⎧⎪<<⎨⎪<⎩，，，解得12-<m <23.故答案为：1223⎛⎫- ⎪⎝⎭，14．（2022·全国·高三专题练习）若函数2()4f x x ax =-+在[]1.3内不单调，则实数a 的取值范围是__________．【答案】13(,)22【解析】解：由题意得2()4f x x ax =-+的对称轴为2x a =，因为函数()f x 在[]1.3内不单调，所以123a <<，得1322a <<．故答案为：13(,)22．15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =是定义在R 的递减函数，若对于任意(0x ∈，1]不等式2(31)(1)(2)f mx f mx x f m ->+->+恒成立，求实数m 的取值范围.【解】因为函数()y f x =是定义在R 的递减函数，所以2(31)(1)(2)f mx f mx x f m ->+->+对(0x ∈，1]恒成立2231112mx mx x mx x m ⎧-<+-⇔⎨+-<+⎩在(0x ∈，1]恒成立.整理，当(0x ∈，1]时，2222(1)1mx x m x x ⎧<-⎨-<+⎩恒成立，（1）当1x =，2102m <⎧⎨<⎩，所以12m <；（2）当(0,1)x ∈时，222211x m xx m x ⎧-<⎪⎪⎨+⎪>⎪-⎩恒成立，1,2xy y x ==-都在(0,1)x ∈上为减函数22122x x y x x -∴==-在(0,1)x ∈上为减函数， ∴22122x x ->，222x m x-∴<恒成立⇔12m ≤. 结合当1x =时，12m <①又2222212(1)(1)21,01(1)(1)x x x x x x y y x x x +--+--'===<-++，当(0,1)x ∈ 故211x y x +=-在(0,1)x ∈上是减函数，∴2111x x +<--.211x m x +∴>-恒成立1m ⇔≥-② ∴①、②两式求交集1[1,)2m ∈-由（1）（2）可知当[1m ∈-，1)2时，对任意(0x ∈，1]时，2(31)(1)(2)f mx f mx x f m ->+->+恒成立.16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x x . （1）若1a =，求函数的定义域；（2）是否存在实数a ，使得函数()f x 在定义域内具有单调性？若存在，求出a 的取值范围. 【解】（1）()f x x ，∴|1|10x +-≥，解得(,2][0,)x ∈-∞-+∞；所以函数的定义域为(,2][0,)x ∈-∞-+∞.（2）当x a ≥-，211()24f x x x ⎫===-+⎪⎭，在1[,)4+∞递减，此时需满足14a -≥，即14a -≤时，函数()f x 在[,)a -+∞上递减；当x a <-，()f x x x ，在(,2]a -∞-上递减， ∵104a ≤-<，∴20a a ->->，即当14a -≤时，函数()f x 在(,)a -∞-上递减；综上，当14a -≤时，函数()f x 在定义域R 上连续，且单调递减.所以a 的取值范围是1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦。

高考数学(一轮复习)最基础考点系列：考点1 函数的定义域含解析

专题1 函数的定义域函数的定义域★★★○○○○常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}．(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R.(6)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．(7)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z .对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域．(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．已知函数定义域求参数的思想方法已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法．转化与化归的思想方法是通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．[例1] y ＝ x －12x －log 2(4－x 2)的定义域是( )A ．(－2,0)∪(1,2)B ．(－2,0]∪(1,2)C ．(－2,0)∪[1,2)D ．[－2,0]∪[1,2]1．函数f (x )＝10＋9x －x2x －的定义域为( )A ．[1,10]B ．[1,2)∪(2,10]C ．(1,10]D ．(1,2)∪(2,10]解析：选D 要使函数f (x )有意义，则x 须满足⎩⎪⎨⎪⎧ 10＋9x －x 2≥0，x －1>0，x －，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x －，x >1，x ≠2，解得1<x ≤10，且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,10]．2.若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f xx －1的定义域为________．[解析] 由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≠0，0≤2x ≤2，解得0≤x ＜1，即g (x )的定义域是[0,1)．3. (2017·杭州模拟)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是( )A ．[0,4)B ．(0,4)C ．[4，＋∞)D ．[0,4]1．函数y ＝x ln(2－x )的定义域为( )A ．(0,2)B ．[0,2)C ．(0,1]D ．[0,2]解析：选B 由题意知，x ≥0且2－x >0，解得0≤x ＜2，故其定义域是[0,2)．2．(2017·青岛模拟)函数y ＝1－x 22x 2－3x －2的定义域为( ) A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．[1,2)∪(2，＋∞)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 解析：选D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－12，即－1≤x ≤1且x ≠－12，所以函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1.故选D. 3．函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a >0且a ≠1)的定义域为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－|x －1|≥0，a x －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤2，x ≠0，即0<x ≤2，故所求函数的定义域为(0,2]．4．已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－3， 3 ]，则函数y＝f(x)的定义域为________．解析：∵y＝f(x2－1)的定义域为[－3， 3 ]，∴x∈[－3， 3 ]，x2－1∈[－1,2]，∴y＝f(x)的定义域为[－1,2]．答案：[－1,2]5．若函数f(x)＝ax2＋abx＋b的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________。

函数的定义域、值域高三数学一轮复习备考

函数的定义域、值域1．设函数f (x )＝lg(1－x )，那么函数f [f (x )]的定义域为( ) A ．(－9，＋∞) B ．(－9,1) C ．[－9，＋∞)D ．[－9,1)2．以下四个函数：①y ＝3－x ；①y ＝2x －1(x >0)；①y ＝x 2＋2x －10；①y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≤0)，1x (x >0).其中定义域与值域相同的函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( ) A ．[0，2)B ．(2，＋∞)C ．[0，2)①(2，＋∞)D ．(－∞，2)①(2，＋∞)4．以下函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x C ．y ＝13x －1D ．y ＝x ＋1x －15．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x ＞2，x 2＋2，x ≤2，那么f (f (1))＝( )A ．－12B ．2C ．4D ．116．(多项选择题)以下函数中，与函数y ＝13x定义域不同的函数为( ) A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln xxC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx7．(多项选择题)以下函数中，定义域与值域不相同的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x C ．y ＝13x －1D ．y ＝x ＋1x －18．(多项选择题)假设函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，那么实数m 的取值可以是( ) A ．0 B ．4 C ．5D ．69．(多项选择题)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值可能是( )A ．－1B ．0 C.12D ．110．f (x )＝x 2＋x ＋1在[－1,1]上的值域为( ) A ．[1,3] B ．[34，1]C ．[34，3]D ．[34，＋∞)11．函数y ＝2x 2－2x ＋3x 2－x ＋1的值域为 .12．(2021·浙江台州模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≤0，x －1，x >0，g (x )＝2x －1，那么f (g (2))＝__ __，f (g (x ))的值域为__ .13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ≥1，1－x ，x <1，那么f (f (0))＝________，假设f (m )>1，那么实数m 的取值范围是________．14．函数f (x )的定义域是[0,2]，那么函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －12)的定义域是 .15．函数y ＝10x ＋10－x10x －10－x的值域为__ _.16．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ＋b ，x >1，e x －2，x ≤1，假设f (e)＝－3f (0)，那么函数f (x )的值域为__ __.17．函数y ＝16－4x 的定义域为_ __；值域为_ __.答案与解析1．设函数f (x )＝lg(1－x )，那么函数f [f (x )]的定义域为( ) A ．(－9，＋∞) B ．(－9,1) C ．[－9，＋∞)D ．[－9,1)解析：f [f (x )]＝f [lg(1－x )]＝lg[1－lg(1－x )]，那么⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1－lg (1－x )>0①－9<x <1.应选B.2．以下四个函数：①y ＝3－x ；①y ＝2x －1(x >0)；①y ＝x 2＋2x －10；①y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≤0)，1x (x >0).其中定义域与值域相同的函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①y ＝3－x 的定义域和值域均为R ，①y ＝2x －1(x >0)的定义域为(0，＋∞)，值域为(12，＋∞)，①y＝x 2＋2x －10的定义域为R ，值域为[－11，＋∞)，①y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≤0)，1x (x >0)，的定义域和值域均为R.所以定义域与值域相同的函数是①①，共有2个，应选B.3．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( ) A ．[0，2)B ．(2，＋∞)C ．[0，2)①(2，＋∞)D ．(－∞，2)①(2，＋∞)解析：选C.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0，且x ≠2.4．以下函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x C ．y ＝13x －1D ．y ＝x ＋1x －1解析：选D.对于A ，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B ，定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足题意；对于C ，定义域为(－∞，0)①(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)①(0，＋∞)，不满足题意；对于D ，y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，定义域为(－∞，1)①(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)①(1，＋∞)．5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x ＞2，x 2＋2，x ≤2，那么f (f (1))＝( )A ．－12B ．2C ．4D ．11解析：选C.因为f (1)＝12＋2＝3，所以f (f (1))＝f (3)＝3＋13－2＝4.应选C. 6．(多项选择题)以下函数中，与函数y ＝13x定义域不同的函数为( ) A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln xxC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx解析：因为y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，而y ＝1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ①Z}，y ＝ln xx的定义域为{x |x >0}，y ＝x e x 的定义域为R ，y ＝sin xx的定义域为{x |x ≠0}，应选A 、B 、C.7．(多项选择题)以下函数中，定义域与值域不相同的是( ) A ．y ＝x －1B ．y ＝ln xC ．y ＝13x －1D ．y ＝x ＋1x －1解析：①y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1≠1，x ≠1.①函数y ＝x ＋1x －1的定义域与值域相同．应选A 、B 、C.8．(多项选择题)假设函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，那么实数m 的取值可以是( ) A ．0 B ．4 C ．5D ．6[解析] 由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立．当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，那么⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上可得，0≤m ≤4.应选A 、B.9．(多项选择题)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值可能是( )A ．－1B ．0 C.12D ．1解析：要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a .解得⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1，①－1≤a <12，即a 的取值范围是[－1，12)．应选A 、B.10．f (x )＝x 2＋x ＋1在[－1,1]上的值域为( ) A ．[1,3] B ．[34，1]C ．[34，3]D ．[34，＋∞)解析：∵f (x )＝x 2＋x ＋1的对称轴为x ＝－12，∴f (x )min ＝f (－12)＝34，又f (－1)＝1，f (1)＝3，∴f (x )∈[34，3]．11．函数y ＝2x 2－2x ＋3x 2－x ＋1的值域为 .解析：y ＝2x 2－2x ＋3x 2－x ＋1＝2(x 2－x ＋1)＋1x 2－x ＋1＝2＋1x 2－x ＋1＝2＋1(x －12)2＋34.①(x －12)2＋34≥34，①2<2＋1(x －12)2＋34≤2＋43＝103.故所求函数的值域为(2，103]． 12．(2021·浙江台州模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≤0，x －1，x >0，g (x )＝2x －1，那么f (g (2))＝__ __，f (g (x ))的值域为__ .解析：g (2)＝22－1＝3，①f (g (2))＝f (3)＝2.易得g (x )的值域为(－1，＋∞)，①假设－1<g (x )≤0，f (g (x ))＝[g (x )]2－1①[－1,0)；假设g (x )>0，f (g (x ))＝g (x )－1①(－1，＋∞)，①f (g (x ))的值域是[－1，＋∞)．13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ≥1，1－x ，x <1，那么f (f (0))＝________，假设f (m )>1，那么实数m 的取值范围是________．解析：f (f (0))＝f (1)＝ln 1＝0；如下图，可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ≥1，1－x ，x <1的图象与直线y ＝1的交点分别为(0，1)，(e ，1)．假设f (m )>1，那么实数m 的取值范围是(－∞，0)①(e ，＋∞)．答案：0 (－∞，0)①(e ，＋∞)14．函数f (x )的定义域是[0,2]，那么函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －12)的定义域是 .解析：因为函数f (x )的定义域是[0,2]，所以函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －12)中的自变量x 需要满足⎩⎨⎧0≤x ＋12≤2，0≤x －12≤2，解得12≤x ≤32，所以函数g (x )的定义域是[12，32]．15．函数y ＝10x ＋10－x10x －10－x 的值域为__ _.解析：y ＝10x ＋10－x 10x －10－x ＝102x ＋1102x －1＝1＋2102x －1， ①102x >0，①102x －1>－1且102x －1≠0， ①2102x －1①(－∞，－2)①(0，＋∞)， ①y ①(－∞，－1)①(1，＋∞)．16．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ＋b ，x >1，e x －2，x ≤1，假设f (e)＝－3f (0)，那么函数f (x )的值域为__ __.解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ＋b ，x >1，e x －2，x ≤1，f (e)＝－3f (0)，所以1＋b ＝－3×(－1)，所以b ＝2，即函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ＋2，x >1，e x －2，x ≤1.当x >1时，y ＝ln x ＋2>2；当x ≤1时，y ＝e x －2①(－2，e －2]．故函数f (x )的值域为(－2，e －2]①(2，＋∞)．17．函数y ＝16－4x 的定义域为_ __；值域为_ __. 解析：16－4x ≥0,4x ≤16，①x ≤2定义域是(－∞，2]．①0≤16－4x<16，①0≤16－4x<4.。

高三数学一轮复习知识点专题2-7函数的图象及其应用

高三数学一轮复习知识点专题专题专题2-7函数的图象及其应用【核心素养分析】1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.3.培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。

【重点知识梳理】知识点一利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.知识点二利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换(2)对称变换y ＝f (x )的图象――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象； y ＝f (x )的图象――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象； y ＝f (x )的图象――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象――——————————→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象. (3)伸缩变换y ＝f (x )―——————————————————―→纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a（a >0）倍y ＝f (ax ).y ＝f (x )―——————————————————―→横坐标不变各点纵坐标变为原来的A (A >0)倍y ＝Af (x ).(4)翻折变换y ＝f (x )的图象―————————————————―→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象；y ＝f (x )的图象―————————————————―→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象.【特别提醒】记住几个重要结论(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称. (2)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )中心对称.(3)若函数y ＝f (x )对定义域内任意自变量x 满足：f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.【典型题分析】高频考点一由函数式判断图像例1．【2020·天津卷】函数241xy x =+的图象大致为（）A BC D 【答案】A【解析】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误，故选A 。

第07讲函数的定义域与值域(解析版)-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第7讲：函数的定义域与值域一、课程标准1、会求一些简单函数的定义域2、会求一些简单函数的值域.二、基础知识回顾 1、常见函数的定义域： (1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R .(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R . (5)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z . (6)函数f (x )＝x α的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}.2、求值域常用的方法：图像法；配方法；换元法；分离变量法；反解法；单调性法；基本不等式法，求导；三、自主热身、归纳总结1、函数f(x)＝ln （2x －x 2）x －1的定义域为( ) A . (0，1) B . (1，2)C . (0，1)∪(1，2)D . (－2，0)∪(1，2) 【答案】C .【解析】为使函数有意义，必须且只须22010.x x x ⎧-⎨-⎩＞，≠解得0<x<1或1<x<2，故所求函数的定义域为(0，1)∪(1，2)．故选C .2、函数的y ＝－x 2－6x －5值域为( ) A . [0，＋∞) B . [0，2] C . [2，＋∞) D . (2，＋∞) 【答案】B【解析】设μ＝－x 2－6x －5()μ≥0，则原函数可化为：y ＝μ. 又∵μ＝－x 2－6x －5＝－()x ＋32＋4≤4，∴0≤μ≤4，故μ∈[]0，2， ∴函数y ＝－x 2－6x －5的值域为[]0，2.故选B .3、函数y ＝f (x )的图象是如图所示的折线段OAB ，其中A (1，2)，B (3，0)，函数g (x )＝x ·f (x )，那么函数g (x )的值域为( )A ．[0，2]B.⎣⎡⎦⎤0，94C.⎣⎡⎦⎤0，32D ．[0，4]【答案】B【解析】由题图可知，直线OA 的方程是y ＝2x ；因为k AB ＝0－23－1＝－1，所以直线AB 的方程为y ＝－(x －3)＝－x ＋3.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，－x ＋3，1<x ≤3，所以g (x )＝x ·f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2，0≤x ≤1，－x 2＋3x ，1<x ≤3.当0≤x ≤1时，g (x )＝2x 2，此时函数g (x )的值域为[0，2]；当1<x ≤3时，g (x )＝－x 2＋3x ＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94，显然，当x ＝32时，函数g (x )取得最大值94；当x ＝3时，函数g (x )取得最小值0.此时函数g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤0，94. 综上可知，函数g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤0，94.故选B.4、下列函数中定义域是R 的有( )A ．2x y =B ．y lgx =C ．3y x =D ．tan y x =【答案】AC【解析】对于A ，函数2x y =，定义域为R ，满足题意；对于B ，函数y lgx =，定义域为(0,)+∞，不满足题意；对于C ，函数3y x =，定义域为R ，满足题意；对于D ，函数tan y x =，定义域为(2k ππ-+，)2k ππ+，k Z ∈，不满足题意．故选：AC ．5、(2019泰州期末）函数y ＝1－x 2的定义域是________．【答案】. [－1，1]【解析】要使函数式有意义，则有1－x 2≥0，即x 2－1≤0，解得－1≤x≤1，所以函数的定义域为[－1，1]． 6、(2019苏州三市、苏北四市二调）（D28,6. 函数y ＝4x －16的定义域为________．【答案】 [2，＋∞)【解析】由4x －16≥0，得4x ≥16＝42，解得x≥2，所以函数的定义域为[2，＋∞)． 7．【2020江苏扬州中学月考】函数y =_______．【答案】(,2]-∞【解析】由二次根式有意义，得：420x -≥，即2242x ≤=，因为2x y =在R 上是增函数，所以，x≤2，即定义域为：(,2]-∞．8．【2020江苏南京学期初联考】函数y =______．【答案】1[,)2+∞【解析】由201log 0x x >⎧⎨+≥⎩，得12x ≥，∴函数y =的定义域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故答案为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．四、例题选讲考点一、求函数的定义域例1、1．【2020江苏“丹靖沭”10月联考】函数2()log (31)f x x =-的定义域为____．【答案】()13+∞，【解析】由310x ->，解得13x >，所以定义域为1(,)3+∞．变式1、【2020江苏镇江上学期期中考试】函数()lg(3)f x x =-______________．【答案】[)2,3-【解析】由题意得3020x x ->⎧⎨+≥⎩解得：23x -≤<，故答案为：[)2,3-．变式2、【2020江苏高邮开学考试】函数()f x =的定义域为______ 【答案】(1，3]【解析】要使函数()f x =()41log 10210x x ⎧--≥⎪⎨⎪->⎩，解得13x <≤，即函数()f x =的定义域为(]1,3，故答案为(]1,3．变式3、．【2020江苏常州高三上学期期中考试】已知()f x 的定义域为[]1,1-，则()2log f x 的定义域为________________．【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为函数()f x 的定义域为[]1,1-，所以-1≤log 2x≤1，所以122x ≤≤．故f(log 2x)的定义域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．变式4、已知函数f (x )的定义域为(－1，1)，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 2＋f (x －1)的定义域为( )A ．(－2，0)B ．(－2，2)C ．(0，2) D.⎝⎛⎭⎫－12，0【答案】C【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1<x 2<1，－1<x －1<1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <2，0<x <2，∴0<x <2，∴函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 2＋f (x －1)的定义域为(0，2)．求函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.(3)若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域可由a ≤g (x )≤b 求出；若已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域. 考点二、函数定义域中的参数问题例2、若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，34B.⎝⎛⎭⎫0，34C.⎣⎡⎦⎤0，34D.⎣⎡⎭⎫0，34【答案】 D【解析】∵函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ， ∴mx 2＋4mx ＋3≠0，∴m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝16m 2－12m <0，即m ＝0或0<m <34，∴实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，34.变式1、函数的定义域为R ，则实数k 的取值范围是．【解析】函数的定义域为R ，∴关于x 的不等式2kx 2﹣kx0恒成立，k ＝0时，不等式为0恒成立；k≠0时，应满足△＝k2﹣4×2k0，解得0＜k＜3，综上，实数k的取值范围是[0，3）．故答案为：[0，3）．变式2、设函数f（x）．（1）当a＝5时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．【解析】（1）当a＝5时，f（x），由|x﹣1|+|x﹣2|﹣5≥0，得或或，解得：x≥4或x≤﹣1，即函数f（x）的定义域为{x|x≤﹣1或x≥4}．（2）由题可知|x﹣1|+|x﹣2|﹣a≥0恒成立，即a≤|x﹣1|+|x﹣2|恒成立，而|x﹣1|+|x﹣2|≥|（x﹣1）+（2﹣x）|＝1，所以a≤1，即a的取值范围为（﹣∞，1]．方法总结：已知函数定义域反求参数范围的问题，是关于函数定义域的逆向问题，求解的基本思路是：逆向问题正向解，即仍然从求函数的定义域入手思考，先将问题转化成含参数的不等式，然后通过对这个含参数的不等式的研究得出参数的取值范围．考点三、求函数的值域例3求下列函数的值域．(1)y＝2x－1x＋1，x∈[3，5]；(2)y＝x2－4x＋5x－1(x>1)．【解析】(1)(方法1)(单调性法)由y＝2x－1x＋1＝2－3x＋1，结合函数的图像可知，函数在[3，5]上是单调递增函数，∴y max＝32，y min＝54，故所求函数的值域是⎣⎡⎦⎤54，32.(方法2)(反表示法)由y＝2x－1x＋1，得x＝1＋y2－y.∵x∈[3，5]，∴3≤1＋y2－y≤5，解得54≤y≤32，即所求函数的值域是⎣⎡⎦⎤54，32.(2)(基本不等式法)令t ＝x －1，则x ＝t ＋1(t>0)，∴y ＝（t ＋1）2－4（t ＋1）＋5t ＝t 2－2t ＋2t ＝t ＋2t －2(t>0)．∵t ＋2t ≥2t·2t ＝22，当且仅当t ＝2，即x ＝2＋1时，等号成立，故所求函数的值域为[22－2，＋∞)．变式1、(2019·深圳调研)函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．(2)若函数f (x )＝－a x ＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________，b ＝________． (3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．【答案】(1)[3，＋∞) (2)1 52 (3)2 【解析】 (1)图象法函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，2x －1，x ≥2. 作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)． (2)单调性法∵f (x )＝－a x ＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数，∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (x )max ＝f (2)＝2.即⎩⎨⎧－2a ＋b ＝12，－a2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52. (3)当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.变式2、函数f (x )＝x 2＋4x 的值域为________________．【答案】(－∞，－4]∪[4，＋∞) 【解析】当x >0时，f (x )＝x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝2时取等号；当x <0时，－x ＋⎝⎛⎭⎫－4x ≥4，即f (x )＝x ＋4x ≤－4，当且仅当x ＝－2取等号，所以函数f (x )的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．变式3、 (1)函数f (x )＝x ＋21－x 的最大值为________； (2)函数y ＝x －4－x 2的值域为________．【答案】(1)2 (2)[－22，2]【解析】 (1)设1－x ＝t (t ≥0)，所以x ＝1－t 2.所以y ＝f (x )＝x ＋21－x ＝1－t 2＋2t ＝－t 2＋2t ＋1＝－(t －1)2＋2.所以当t ＝1即x ＝0时，y max ＝f (x )max ＝2. (2)由4－x 2≥0，得－2≤x ≤2，所以设x ＝2cos θ(θ∈[0，π])，则y ＝2cos θ－4－4cos 2θ＝2cos θ－2sin θ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，因为θ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4，所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－1，22，所以y ∈[－22，2]．变式4、(2018无锡期末）已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x 2＋2x －1x 2，x≤－12，log 12⎝⎛⎭⎫1＋x 2，x>－12，g(x)＝－x 2－2x －2.若存在a ∈R ，使得f (a )＋g (b )＝0，则实数b 的取值范围是________．【答案】 (－2，0)【解析】思路分析根据条件可以将问题等价转化为关于函数y ＝f(a)的值域问题，然后利用分段函数的值域求法和一元二次不等式的解法处理即可．由题意，存在a ∈R ，使得f (a )＝－g (b )，令h (b )＝－g (b )＝b 2＋2b ＋2.当a ≤－12时，f (a )＝a 2＋2a －1a 2＝－1a 2＋2a ＋1＝－⎝⎛⎭⎫1a －12＋2，因为a ≤－12，所以－2≤1a <0，从而－7≤f (a )<1；当a >－12时，f (a )＝log 12⎝⎛⎭⎫1＋a 2，因为a >－12，所以1＋a 2>14，从而f (a )<2. 综上，函数f (a )的值域是(－∞，2)．令h (b )<2，即b 2＋2b ＋2<2，解得－2<b <0.方法总结： 1. 求函数的值域方法比较灵活，常用方法有： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求值域；(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，得到值域；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值，得出值域；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，再用相应的方法求值域； (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求五、优化提升与真题演练1、已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3，则函数f (3x －2)的定义域为( )A.⎣⎡⎦⎤13，53B.⎣⎡⎦⎤－1，53C ．[－3，1] D.⎣⎡⎦⎤13，1【答案】A【解析】由－x 2＋2x ＋3≥0，解得－1≤x ≤3，即f (x )的定义域为[－1，3]．由－1≤3x －2≤3，解得13≤x ≤53，则函数f (3x －2)的定义域为⎣⎡⎦⎤13，53，故选A.2、(2017南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）函数f (x )＝lg (5－x 2)的定义域是________．【答案】 [－2,2]【解析】思路分析被开方数lg(5－x 2)非负．由lg(5－x 2)≥0，得5－x 2≥1，即x 2－4≤0，解得－2≤x ≤2.3、(2017常州期末）函数y ＝1－x ＋lg(x ＋2)的定义域为________．【答案】. (－2,1]【解析】由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋2＞0，解得－2＜x ≤1，故所求函数的定义域为(－2,1]．4、(2018苏北四市期末）函数y ＝log 12x 的定义域为________．【答案】(0，1]【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x>0，log 12x≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x>0，x≤1，所以0<x≤1，即该函数的定义域为(0，1]． 5、(2018南京、盐城一模）设函数y ＝e x＋1e x －a 的值域为A ，若A ⊆[0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (－∞，2]【解析】因为e x>0 ，所以y ＝e x＋1e x －a≥2e x·1e x －a ＝2－a ，当且仅当e x＝1，即x ＝0时取等号．故所求函数的值域A ＝[2－a ，＋∞)．又A ⊆[0，＋∞)，所以2－a≥0，即a≤2.6、（2016苏州期末）函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≤0，－x 2＋1， x >0的值域为________．【答案】 (－∞，1]【解析】思路分析先画出图像看看．分段画出f (x )的图像即可看出函数的值域为(－∞，1]．7、[2018·江苏高考]函数f (x )＝log 2x －1的定义域为．【答案】[2，＋∞)【解析】 (1)为使函数有意义，必须且只须自变量x 满足log 2x －1≥0，解得x ≥2.故原函数的定义域为[2，＋∞)．8、已知函数y ＝f(x ＋2)的定义域为[1，2]，求函数y ＝f(2x ＋1)的定义域．【答案】⎣⎡⎦⎤1，32.【解析】∵函数y ＝f(x ＋2)的定义域为[1，2]，∴1≤x≤2，得3≤x ＋2≤4，即函数y ＝f(x)的定义域为[3，4]．为使函数y ＝f(2x ＋2)有意义，必须且只须自变量x 满足3≤2x ＋1≤4，解得1≤x≤32.∴函数y ＝f(2x ＋1)的定义域为⎣⎡⎦⎤1，32.9．已知函数f(x)＝2-1(12)3,121a x a x x -+⎧⎨⎩＜，，≥的值域为R ，则实数a 的取值范围是【答案】0≤a <12.【解析】当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝2-1(12)3,121a x a x x -+⎧⎨⎩＜，，≥的值域为R ， ∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则120-a 1a -⎧⎨⎩＞，12a+3≥解得0≤a <12. 10、(一题两空)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |<1的图象过点(1，1)，则f (x )的值域为________；若函数g (x )是二次函数，且函数f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则函数g (x )的值域是________．【答案】(－1，＋∞) [0，＋∞)【解析】因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |<1的图象过点(1，1)，所以m ＋1＝1，解得m ＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |<1.画出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，观察图象可知，当纵坐标在[0，＋∞)上时，横坐标在(－∞，－1]∪[0，＋∞)上变化．而f (x )的值域为(－1，＋∞)，f (g (x ))的值域为[0，＋∞)，因为g (x )是二次函数，所以g (x )的值域是[0，＋∞)．11、求函数y ＝x ＋2x ＋1的值域．【解析】 (方法1)令2x ＋1＝t ，则t ≥0，且x ＝t 2－12.∴y ＝t 2－12＋t ＝12(t 2＋2t －1)＝12(t ＋1)2－1，t ∈[0，＋∞)，由二次函数的图像知，当t ∈[0，＋∞)时，y ＝12(t ＋1)2－1是单调递增函数，故当t ＝0时，y min ＝－12.∴函数y ＝x ＋2x ＋1的值域为1,2⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭∞ (方法2)由2x ＋1≥0得x ≥－12，即函数y ＝x ＋2x ＋1的定义域为1,2⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭∞ 易得函数y ＝x ＋2x ＋1在1,2⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭∞上单调递增， ∴y min ＝y |x ＝－12＝－12，不存在最大值．∴函数y ＝x ＋2x ＋1的值域为1,2⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭∞.12、已知函数f(x)＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1)若f(x)的值域是[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数f(x)≥0恒成立，求g(a)＝2－a|a －1|的值域．【解析】(1)∵f(x)的值域是[0，＋∞)，即f min (x)＝0， ∴4（2a ＋6）－（4a ）24＝0，∴a ＝－1或32. (2)若函数f(x)≥0恒成立，则Δ＝(4a)2－4(2a ＋6)≤0，即2a 2－a －3≤0，∴－1≤a≤32， ∴g(a)＝2－a|a －1|＝222,1 1.32,1.2a a a a a a ⎧-+-⎪⎨-++⎪⎩≤≤＜≤当－1≤a≤1，g(a)＝a 2－a ＋2＝⎝⎛⎭⎫a －122＋74， ∴g(a)∈⎣⎡⎦⎤74，4；当1<a≤32，g(a)＝－a 2＋a ＋2＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋94，∴g(a)∈⎣⎡⎭⎫54，2.∴函数g(a)＝2－a|a －1|的值域是⎣⎡⎦⎤54，4.。

高考数学一轮复习讲义第7课时函数的定义域理

课题：函数的定义域考纲要求：了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域教材复习1.函数定义域是指若函数是由一些函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是各函数定义域的；3.实际问题中的函数的定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑基本知识方法1.函数定义域的求法：①自然型；②限制型；③实际型2.求函数定义域一般有三类问题：()1给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；()2实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；()3已知()f x 的定义域求[()]f g x 的定义域或已知[()]f g x 的定义域求()f x 的定义域： ①若已知()f x 的定义域[],a b ，其复合函数[]()f g x 的定义域应由()a g x b ≤≤解出； ②若复合函数[]()f g x 的定义域为[],a b ，则()f x 的定义域为()x g 在[]b a ,上的值域．典例分析：求具体函数的定义域问题1．()1（06广东）函数)13lg(13)(2++-=x x xx f 的定义域是.A ),31(+∞- .B )1,31(- .C )31,31(- .D )31,(--∞()2已知函数1()1xf x x +=-的定义域为A ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为B ，则 .A A B B = .B A B Ü .C A B = .D A B B =涉及含参数的定义域问题2．函数()f x =()1若()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；()2若()f x 的定义域为[]2,1-，求实数a 的取值范围抽象函数的定义域问题3．()1若函数)23(x f -的定义域为[]1,2-，则函数)(x f 的定义域是.A ]1,25[-- .B []1,2- .C []1,5- .D ]2,21[()2已知函数(21)f x +的定义域为()0,1，则函数()f x 的定义域是()3已知函数(1)f x +的定义域为[]2,3-，则()21f x -的定义域是.A 50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ .B []1,4- .C []5,5- .D []3,7-巩固练习：1.（2013全国大纲）已知函数()f x 的定义域为()1,0-，则()21f x +的定义域是.A ()1,1- .B 11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ .C ()1,0- .D 1,12⎛⎫⎪⎝⎭2.已知2()f x 的定义域为[1,1]-，则(2)x f 的定义域为3.函数1sin 21sin 2xy x+=-的定义域为4.求定义域： ①()1()x f x x x +=-②()lgcos f x x =③2(0)()2(01)(14)x x f x x x x ⎧-<⎪=≤<⎨⎪-≤≤⎩ ④ 1122---=x x y5.已知f 的定义域为[]2,3，求(5)f x +的定义域6.已知函数()fx =的定义域为R ，求实数k 的范围7.周长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部分为半圆形的框架，，若矩形底边长为2x ，求此框架围成面积y 与x 的函数关系式，并求定义域8.函数32()f x ax bx cx d =+++的部分数值如下表：则函数lg ()y f x =的定义域为走向高考：1. （07陕西文）函数()f x =.A []0,1.B ()1,1- .C []1,1- .D ()(),11,-∞-+∞2.（06湖北文）设2()lg 2x f x x +=-，则)2()2(xf x f +的定义域为 .A ()()4,00,4- .B ()()4,11,4-- .C ()()2,11,2-- .D ()()4,22,4--3. （07江西文）函数1()lg 4xf x x -=-的定义域为.A (14)， .B [14)， .C (1)(4)-∞+∞，， .D (1](4)-∞+∞，，4. （05江西）函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为.A ()()1,22,3 .B (,1)(3,)-∞+∞ .C ()1,3 .D []1,35.(2012山东文)函数()()1ln 1f x x =++.A [)(]2,00,2- .B ()(]1,00,2- .C []2,2- .D (]1,2-6.（07上海）函数()lg 43x y x -=-的定义域为7. (07重庆)若函数()1222-=--a ax x x f 的定义域为R ，则实数a 的范围8.（05湖北）函数x x x x f -+--=4lg 32)(的定义域是9.（07陕西理）设函数2()xe f x x ax a =++，其中a 为实数．（Ⅰ）若()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围；（Ⅱ）当()f x 的定义域为R 时，求()f x 的单调减区间．。

高考数学大一轮复习第二章函数与基本初等函数Ⅰ第7课函数的奇偶性文

第7课函数的奇偶性(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修1P43练习6改编)函数f (x )=42-1(-1)x x x 是函数.(填“奇”、“偶”或“非奇非偶”) 【答案】奇【解析】由题知定义域{x|x ∈R ，且x ≠0，x ≠±1}关于原点对称，且f (-x )=-f (x )，所以f (x )为奇函数.2.(必修1P94习题28改编)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x>0时，f (x )=2x-3，则f (-2)= . 【答案】-1【解析】f (-2)=-f (2)=-1.3.(必修1P55习题8改编)若函数f (x )=(x+a )(x-4)为偶函数，则实数a= . 【答案】4【解析】因为函数f (x )=(x+a )(x-4)为偶函数，所以f (-x )=f (x )，由f (x )=(x+a )(x-4)=x 2+(a-4)x-4a ，得x 2-(a-4)x-4a=x 2+(a-4)x-4a ，即a-4=0，a=4.4.(必修1P43习题4改编)已知函数f (x )=4x 2+bx+3a+b 是偶函数，其定义域为[a-6，2a ]，则点(a ，b )的坐标为 . 【答案】(2，0)【解析】因为f (x )为偶函数且定义域为[a-6，2a ]，所以0-(-6)2b a a =⎧⎨=⎩，，即02b a =⎧⎨=⎩，，故点(a ，b )的坐标为(2，0).5.(必修1P111复习题17改编)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞)上是增函数，f(1)=2，则不等式f(lg x)>2的解集为.【答案】110⎛⎫⎪⎝⎭，∪(10，+∞)【解析】因为f(x)为偶函数，所以由f(lg x)>2⇔f(|lg x|)>2=f(1)，又因为f(x)在[0，+∞)上是增函数，所以|lg x|>1，所以0<x<110或x>10，故不等式f(lg x)>2的解集为110⎛⎫⎪⎝⎭，∪(10，+∞).1.奇、偶函数的定义对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)+f(x)=0)，则称f(x)为奇函数；对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)(或f(-x)-f(x)=0)，则称f(x)为偶函数.2.奇、偶函数的性质(1)具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称).(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.(3)若奇函数的定义域包含0，则f(0)=0.(4)定义在(-∞，+∞)上的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和. 【要点导学】要点导学各个击破函数奇偶性的判定例1 判断下列各函数的奇偶性.(1)f (x )=32--1x x x ；(2)f (x )(3)f (x )=|x+2|-|x-2|；(4)f (x )=220-0.x x x x x x ⎧+<⎨>⎩，，，【思维引导】先求定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域下，解析式带绝对值符号的，要利用绝对值的意义判断f (-x )与f (x )的关系，分段函数应分情况判断.【解答】(1)定义域是{x|x ≠1}，不关于原点对称，所以f (x )是非奇非偶函数. (2)定义域是{-1，1}，f (x )=0，所以f (x )既是奇函数又是偶函数.(3)定义域是R ，f (-x )=|-x+2|-|-x-2|=-(|x+2|-|x-2|)=-f (x )，所以f (x )是奇函数. (4)当x<0时，-x>0，则f (-x )=(-x )2-(-x )=x 2+x=f (x )；当x>0时，-x<0，则f (-x )=(-x )2+(-x )=x 2-x=f (x ).综上所述，对任意的x ∈(-∞，0)∪(0，+∞)，都有f (-x )=f (x )，所以f (x )为偶函数. 【精要点评】利用定义判断函数奇偶性的步骤： (1)首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称. (2)确定f (-x )与f (x )的关系.(3)作出相应结论：若f (-x )=f (x )或f (-x )-f (x )=0，则f (x )是偶函数；若f (-x )=-f (x )或f (-x )+f (x )=0，则f (x )是奇函数.变式求证：函数f(x)=x112-12x⎛⎫+⎪⎝⎭+a(其中a为常数)为偶函数.【解答】易知此函数的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称.因为f(-x)=-x-112-12x⎛⎫+⎪⎝⎭+a=x212-12xx⎛⎫-⎪⎝⎭+a=x2-111-2-12xx⎛⎫+⎪⎝⎭+a=x112-12x⎛⎫+⎪⎝⎭+a=f(x)，所以f(x)=x112-12x⎛⎫+⎪⎝⎭+a为偶函数.【精要点评】函数奇偶性的证明与函数奇偶性的判断的区别在于我们已经知道函数具有奇偶性，从而有了解决问题的方向，只是在对式子的变形上可能要下一定的功夫，特别是对于抽象函数我们还是要牢牢抓住奇偶性的定义找到解决问题的突破口.函数奇偶性的应用例2(1)已知函数f(x)是定义在(-∞，+∞)上的偶函数.当x∈(-∞，0)时，f(x)=x-x4，则当x∈(0，+∞)时，f(x)= .(2)(2014·湖南卷改编)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=x3+x2+1，则f(1)= ，g(1)= .【思维引导】(1)要求f(x)在(0，+∞)上的表达式，由于已知f(x)在(-∞，0)上的表达式，因此解答本题可先设x∈(0，+∞)，然后将它转化到已知解析式的区间(-∞，0)上，最后利用函数的奇偶性定义即可得出结论.(2)先利用函数的奇偶性，确定f(x)和g(x)的解析式，然后代值计算.【答案】 (1)-x-x4(2)2-1【解析】(1)当x∈(0，+∞)时，有-x∈(-∞，0)，注意到函数f(x)是定义在(-∞，+∞)上的偶函数，于是有f(x)=f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4.(2)由题意得f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1，因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(x)+g(x)=-x3+x2+1，联结f(x)-g(x)=x3+x2+1，解得f(x)=x2+1，g(x)=-x3，所以f(1)=2，g(1)=-1.【精要点评】(1)解决本题第(1)问的关键是利用偶函数的关系式f(-x)=f(x)成立，但要注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量x，然后把x转化为-x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当的推导，求出所求区间上的解析式.(2)本题第(2)问也可以直接用赋值法解决，即赋值x=±1，然后利用奇偶性化归为关于f(1)和g(1)的方程组，进行求解.变式(1)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+2x+b(b为常数)，则f(-1)= .(2)已知f(x)=223pxx q++是奇函数，且f(2)=53，那么p= ，q= .【答案】 (1)-3(2)20【解析】(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=20+2×0+b=0，解得b=-1，故当x≥0时，f(x)=2x+2x-1，所以f(-1)=-f(1)=-(2+2×1-1)=-3.(2)因为f(x)是奇函数，所以f(-x)+f(x)=0，即22-3pxx q+++223pxx q++=0，得q=0.又由f(2)=53，得426p+=53，解得p=2.函数奇偶性与单调性的综合应用微课2● 问题提出奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.抽象函数中的不等式问题，核心是去掉抽象函数中的符号“f”，除了画出草图利用数形结合思想求解外，本质是利用奇偶性和单调性.那么，求解此类问题的解题模板是怎样的?● 典型示例例3 已知函数f (x )是定义在R 上的单调函数，且对任意的实数a ∈R ，f (-a )+f (a )=0恒成立，若f (-3)=2.(1)试判断函数f (x )在R 上的单调性，并说明理由；(2)解关于x 的不等式：f-m x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+f (m )<0，其中m ∈R 且m>0. 【思维导图】【规范解答】(1)函数f (x )为R 上的减函数.理由如下：由题知f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)=0，又因为f (x )是R 上的单调函数，由f (-3)=2，f (0)<f (-3)，知f (x )为R 上的减函数.(2)由f -m x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+f (m )<0，得f-m x x ⎛⎫⎪⎝⎭<-f (m )=f (-m )，结合(1)得-m x x >-m ，整理得(1-)-m x mx <0. 当m>1时，不等式的解集为|01-m x x x m ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或；当m=1时，不等式的解集为{x|x>0}；当0<m<1时，不等式的解集为|01-m x x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 【精要点评】利用函数的单调性解函数不等式要特别注意必须考虑函数的定义域，进而结合函数单调性去求不等式的解集.● 总结归纳奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在对称区间上具有相反的单调性，因此，若函数具有奇偶性，研究单调性、最值或作图象等问题时，只需在非负值范围内研究即可，在负值范围内由对称性可得.● 题组强化1.(2014·江苏压题卷)若奇函数f (x )在(0，+∞)上单调递减，且f (2)=0，则不等式3(-)-2()5f x f x x ≤0的解集为.(第1题)【答案】[-2，0)∪(0，2]【解析】根据已知条件可画出f (x )的草图如图所示.不等式3(-)-2()5f x f x x ≤0⇔()f x x ≥0，即0()0x f x >⎧⎨≥⎩，或0()0.x f x <⎧⎨≤⎩，由图可知不等式的解集为[-2，0)∪(0，2].2.(2015·全国卷)设函数f (x )=ln(1+|x|)-211x +，则使得f (x )>f (2x-1)成立的x 的取值范围是 .【答案】113⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】由f (x )=ln(1+|x|)-211x +可知f (x )是偶函数，且在[0，+∞)是增函数，所以f (x )>f (2x-1)⇔f (|x|)>f (|2x-1|)⇔|x|>|2x-1|⇔13<x<1.3.已知偶函数f (x )在[0，+∞)上是增函数，如果f (ax+1)≤f (x-2)在x ∈112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数a 的取值范围.【解答】由于f (x )为偶函数，且在[0，+∞)上为增函数，则在(-∞，0]上为减函数. 由f (ax+1)≤f (x-2)，知|ax+1|≤|x-2|.又x ∈112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，故|x-2|=2-x ，即x-2≤ax+1≤2-x. 故x-3≤ax ≤1-x ，1-3x ≤a ≤1x -1在112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恒成立.由于min 1-1x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=0，max 31-x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-2，故-2≤a ≤0，即实数a 的取值范围为[-2，0].4.已知奇函数f (x )是定义在(-3，3)上的减函数，且满足不等式f (x-3)+f (x 2-3)<0，求x 的取值范围.【解答】由题知2-3-33-3-33x x <<⎧⎨<<⎩，，解得0600x x x <<⎧⎪⎨<<<⎪⎩，或故0<x<因为f (x )是奇函数，所以f (x-3)<-f (x 2-3)=f (3-x 2)，又f (x )在(-3，3)上是减函数，所以x-3>3-x 2，即x 2+x-6>0，解得x>2或x<-3. 综上，2x 的取值范围是{x|2.1.(2015·北京卷改编)已知下列函数：①y=x 2sin x ；②y=x 2cos x ；③y=|ln x|；④y=2-x.其中为偶函数的是 .(填序号) 【答案】②【解析】根据奇偶性的定义知①为奇函数，②为偶函数，③的定义域为(0，+∞)，故③不具有奇偶性，④既不是奇函数，也不是偶函数.2.(2015·南通模拟)已知函数f(x)=·2-221xxa a++(x∈R)是奇函数，那么实数a= .【答案】1【解析】因为f(x)=·2-221xxa a++(x∈R)是奇函数，因此f(0)=0，解得a=1.3.(2016·苏州期中)已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)=2x-x2，则f(-1)+f(0)+f(3)= .【答案】-2【解析】由题意知，f(0)=0，f(-1)=-f(1)，又因为当x>0时，f(x)=2x-x2，所以f(-1)+f(0)+f(3)=-f(1)+0+f(3)=-21+12+23-32=-2.4.(2015·天津卷)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1 (m为实数)为偶函数，记a=f(log0.53)，b=f(log25)，c=f(2m)，则a，b，c的大小关系为.【答案】c<a<b【解析】因为函数f(x)=2|x-m|-1为偶函数，所以m=0，即f(x)=2|x|-1，所以a=f(log0.53)=f21log3⎛⎫⎪⎝⎭=21log32-1=2log32-1=3-1=2，b=f(log25)=2log52-1=4，c=f(2m)=f(0)=20-1=0.所以c<a<b.5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞)上为增函数，若f(1-a)+f(-2a)<0，求实数a的取值范围.【解答】因为f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞)上为增函数，所以f(x)在R上为增函数. 又f(1-a)+f(-2a)<0，所以f(1-a)<-f(-2a)=f(2a).所以1-a<2a，即a>1 3.所以实数a的取值范围为13∞⎛⎫+⎪⎝⎭，.【融会贯通】融会贯通能力提升已知函数f(x)的定义域D={x|x≠0}，且满足对于任意的x1，x2∈D，有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性，并给出证明；(3)如果f(4)=1，f(3x+1)+f(2x-6)≤3，且f(x)在(0，+∞)上是增函数，求x的取值范围.【思维引导】【规范解答】(1)令x1=x2=1，得f(1×1)=f(1)+f(1)，解得f(1)=0.……………………………………………………………2分(2)f(x)为偶函数.证明如下：…………………………………………………………………4分令x1=x2=-1，得f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1)，解得f(-1)=0.令x1=-1，x2=x，有f(-x)=f(-1)+f(x)，所以f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数.…………………………7分(3)f(4×4)=f(4)+f(4)=2，f (16×4)=f (16)+f (4)=3.…………………………………………………………………………9分将f (3x+1)+f (2x-6)≤3，变形为f [(3x+1)(2x-6)]≤f (64).(*) 因为f (x )为偶函数，所以f (-x )=f (x )=f (|x|). 所以不等式(*)等价于f [|(3x+1)(2x-6)|]≤f (64).………………11分又因为f (x )在(0，+∞)上是增函数，所以|(3x+1)(2x-6)|≤64，且(3x+1)(2x-6)≠0，解得-73≤x<-13或-13<x<3或3<x ≤5.所以x 的取值范围是711---335333x x x x ⎧⎫≤<<<<≤⎨⎬⎩⎭或或.………………………………14分【精要点评】抽象函数的奇偶性就是要判断-x 对应的函数值与x 对应的函数值之间的关系，从而得到函数图象关于原点或y 轴对称.在利用单调性解决抽象不等式时，不仅要注意单调性的应用，还要注意定义域的限制，以保证转化的等价性.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第13~14页.【检测与评估】第7课函数的奇偶性一、填空题1.(2015·湖南卷改编)设函数f (x )=ln(1+x )-ln(1-x )，则f (x )的奇偶性是 .2.(2015·全国卷)若函数f(x)=x ln(x为偶函数，则实数a= .3.(2015·淮安中学)已知函数f(x)=a+x)+bx3+x2，其中a，b为常数，f(1)=3，则f(-1)= .4.已知a为常数，函数f(x)=x2-4x+3.若f(x+a)为偶函数，则a= .5.(2014·福建三明)设f(x)是定义在R上以3为周期的奇函数，且f(1)>1，f(2 015)=2-31aa+，则实数a的取值范围是.6.已知g(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，g(x)=-ln(1-x)，函数f(x)=30()0. x xg x x⎧≤⎨>⎩，，，若f(2-x2)>f(x)，则实数x的取值范围是.7.(2015·启东联考)若函数f(x)同时满足：(1)对于定义域上的任意x，恒有f(x)+f(-x)=0；(2)对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有1212()-()-f x f xx x<0，则称函数f(x)为“理想函数”.给出下列四个函数中：①f(x)=1x；②f(x)=x2；③f(x)=2-121xx+；④f(x)=22-0x xx x⎧≥⎨<⎩，，，，能被称为“理想函数”的有.(填序号)8.(2014·南京、盐城一模)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增.如果实数t满足f(ln t)+f1lnt⎛⎫⎪⎝⎭≤2f(1)，那么t的取值范围是.二、解答题9.已知函数f (x )=x 2+a x (x ≠0，常数a ∈R ).(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在[2，+∞)上为增函数，求实数a 的取值范围.10.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(-∞，0)时，f (x )=-x lg(2-x )，求函数f (x )的解析式.11.设函数f (x )的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意的x ∈M(M ⊆D)，有x +l ∈D ，且f (x +l )≥f (x )，则称f (x )为M 上的l 高调函数.(1)如果定义域为[-1，+∞)的函数f (x )=x 2为[-1，+∞)上的m 高调函数，求实数m 的取值范围； (2)如果定义域为R 的函数f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )=|x -a 2|-a 2，且f (x )为R 上的4高调函数，求实数a 的取值范围.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.已知定义域为R 的函数f (x )=1-222x x b +++是奇函数.(1)求实数b 的值；(2)判断函数f (x )的单调性；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2-2t )+f (2t 2-k )<0恒成立，求实数k 的取值范围.【检测与评估答案】第7课函数的奇偶性1.奇函数【解析】显然，f (x )的定义域为(-1，1)，关于原点对称.又因为f (-x )=ln(1-x )-ln(1+x )=-f (x )，所以f (x )为奇函数.2.1 【解析】由题知y=ln(是奇函数，所以ln(+ln(-=ln(a+x 2-x 2)=ln a=0，解得a=1.3.-1 【解析】已知函数f (x )=a+x )+bx 3+x 2，所以f (x )+f (-x )=2x 2，由f (1)=3，得f (-1)=-1.4. 2 【解析】f (x+a )=(x+a )2-4(x+a )+3=x 2+(2a-4)x+a 2-4a+3.因为f (x+a )为偶函数，所以a=2.5.2-13⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】因为f (2 015)=f (2)=f (-1)=-f (1)<-1，所以2-31a a +<-1，解得-1<a<23.6. (-2，1) 【解析】设x>0，则-x<0.因为当x<0时，g (x )=-ln(1-x )，所以g (-x )=-ln(1+x ).又因为g (x )是奇函数，所以g (x )=ln(1+x )(x>0)，所以f (x )=30ln(1)0x x x x ⎧≤⎨+>⎩，，，，其图象如图所示.由图象知，函数f (x )在R 上是增函数.因为f (2-x 2)>f (x )，所以2-x 2>x ，即-2<x<1.(第6题)7.④ 【解析】依题意，性质(1)反映函数f (x )在定义域上为奇函数，性质(2)反映函数f (x )在定义域上为单调减函数.①f (x )=1x 为定义域上的奇函数，但不是定义域上的单调减函数，其单调减区间为(-∞，0)，(0，+∞)，故排除①；②f (x )=x 2为定义域上的偶函数，排除②；③f (x )=2-121x x +，定义域为R ，由于y=2x+1在R 上为增函数，故函数f (x )为R 上的增函数，排除③；④根据f (x )=22-00x x x x ⎧≥⎨<⎩，，，的图象，显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，故④为理想函数.8.1ee⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】f(ln t)+f1lnt⎛⎫⎪⎝⎭=f(ln t)+f(-ln t)=2f(ln t)，于是f(lnt)+f1lnt⎛⎫⎪⎝⎭≤2f(1)⇔f(ln t)≤f(1)⇔|ln t|≤1⇔-1≤ln t≤1⇔1e≤t≤e.9.(1) 当a=0时，f(x)=x2，对任意x∈(-∞，0)∪(0，+∞)，有f(-x)=(-x)2=x2=f(x)，所以f(x)为偶函数.当a≠0时，f(x)=x2+ax(x≠0，常数a∈R)，若x=±1，则f(-1)+f(1)=2≠0，所以f(-1)≠-f(1)，f(-1)≠f(1).所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 综上所述，当a=0时，f(x)为偶函数；当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数.(2) 设2≤x1<x2，f(x1)-f(x2)=21x+1ax-22x-2ax=1212-x xx x[x1x2(x1+x2)-a]，要使函数f(x)在x∈[2，+∞)上为增函数，必须f(x1)-f(x2)<0恒成立.因为x1-x2<0，x1x2>4，即a<x1x2(x1+x2)恒成立.又因为x1+x2>4，所以x1x2(x1+x2)>16，所以实数a的取值范围是(-∞，16].10.因为f(x)是R上的奇函数，可得f(0)=-f(0)，所以f(0)=0.当x>0时，-x<0，由已知得f(-x)=x lg(2+x)，所以-f(x)=x lg(2+x)，即f(x)=-x lg(2+x)(x>0).所以f(x)=-lg(2-)0 -lg(2)0. x x xx x x<⎧⎨+≥⎩，，，即f(x)=-x lg(2+|x|)(x∈R).11. (1) f(x)=x2(x≥-1)的图象如图(1)所示，图(1)图(2) (第11题)要使f (-1+m )≥f (-1)，只要m ≥2，此时恒有f (x+m )≥f (x )，所以实数m 的取值范围为[2，+∞).(2) 由f (x )为奇函数及x ≥0时的解析式知f (x )的图象如图(2)所示. 因为f (3a 2)=a 2=f (-a 2)，由f (-a 2+4)≥f (-a 2)=a 2=f (3a 2)，得-a 2+4≥3a 2，从而a 2≤1. 又当a 2≤1时，恒有f (x+4)≥f (x ). 所以实数a 的取值范围为[-1，1].12.(1) 因为f (x )是奇函数，所以f (0)=0，即-122b +=0，解得b=1.(2) 由(1)知f (x )=11-222x x ++=-12+121x+，设x 1<x 2，则f (x 1)-f (x 2)=1121x +-2121x +=21122-2(21)(21)x x x x++.因为函数y=2x在R 上是增函数，且x 1<x 2，所以22x -12x >0，又(12x +1)(22x +1)>0，所以f (x 1)-f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2). 所以f (x )在定义域R 上为减函数.(3) 因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2-2t )+f (2t 2-k )<0等价于f (t 2-2t )<-f (2t 2-k )=f (k-2t 2).由(2)知f (x )为减函数，所以t 2-2t>k-2t 2，即对一切t ∈R 有3t 2-2t-k>0，从而判别式Δ=4+12k<0，解得k<-13，所以实数k 的取值范围是1-.-3∞⎛⎫ ⎪⎝⎭.。

2021版新高考数学一轮复习讲义：第二章第二讲函数的定义域、值域 (含解析)

第二讲函数的定义域、值域ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理·双基自测知识梳理知识点一函数的定义域函数y ＝f (x )的定义域1．求定义域的步骤：(1)写出使函数式有意义的不等式(组)； (2)解不等式(组)；(3)写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出) 2．求函数定义域的主要依据 (1)整式函数的定义域为R . (2)分式函数中分母不等于0.(3)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (4)一次函数、二次函数的定义域均为R . (5)函数f (x )＝x 0的定义域为{x |x ≠0}. (6)指数函数的定义域为R . (7)对数函数的定义域为(0，＋∞). 知识点二函数的值域基本初等函数的值域： 1．y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R . 2．y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为{y |y ≥4ac －b 24a}；当a <0时，值域为{y |y ≤4ac －b 24a}.3．y ＝kx(k ≠0)的值域是{y |y ≠0}.4．y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是(0，＋∞).5．y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R .重要结论1．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集. 3．函数f (x )与f (x ＋a )(a 为常数a ≠0)的值域相同．双基自测题组一走出误区1．(多选题)下列结论正确的是( CD )A ．若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等B ．函数y ＝xx －1定义域为x >1 C ．函数y ＝f (x )定义域为[－1,2]，则y ＝f (x )＋f (－x )定义域为[－1,1] D ．函数y ＝log 2(x 2＋x ＋a )的值域为R ，则a 的取值范围为(－∞，14]题组二走进教材2．(必修1P 17例1改编)函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( C ) A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)[解析] 使函数有意义满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0x －2≠0，解得x ≥0且x ≠2，故选C ．3．(必修1P 32T5改编)函数f (x )的图象如图，则其最大值、最小值分别为( B )A ．f (32)，f (－32)B ．f (0)，f (32)C ．f (－32)，f (0)D ．f (0)，f (3)4．(必修1P 39BT1改编)已知函数f (x )＝x ＋9x ，x ∈[2,4]的值域为[6，132].[解析] 当x ＝3时取得最小值6，当x ＝2取得最大值132，值域为[6，132]．题组三考题再现5．(2018·江苏，5分)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为[2，＋∞).[解析] 要使函数f (x )有意义，则log 2x －1≥0，即x ≥2.则函数f (x )的定义域是[2，＋∞)． 6．(2016·北京，5分)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为2. [解析] 解法一：(分离常数法)f (x )＝x x －1＝x －1＋1x －1＝1＋1x －1，∴x ≥2，∴x －1≥1,0<1x －1≤1，∴1＋1x －1∈(1,2]，故当x ＝2时，函数f (x )＝xx －1取得最大值2.解法二：(反解法)令y ＝x x －1，∴xy －y ＝x ，∴x ＝y y －1.∵x ≥2，∴y y －1≥2，∴y y －1－2＝2－y y －1≥0，解得1<y ≤2，故函数f (x )的最大值为2.解法三：(导数法)∵f (x )＝xx －1，∴f ′(x )＝x －1－x (x －1)2＝－1(x －1)2<0，∴函数f (x )在[2，＋∞)上单调递减，故当x ＝2时，函数f (x )＝xx －1取得最大值2.KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点突破·互动探究考点一求函数的定义域——多维探究角度1 求具体函数的定义域例1 (1)(2015·湖北，5分)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( C )A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6](2)(2020·衡中调研卷)函数y ＝1log 0.5(x －2)＋(2x －5)0的定义域为(2，52)∪(52，3).[解析] (1)依题意知，⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4，x >2且x ≠3.即函数的定义域为(2,3)∪(3,4]． (2)使函数有意义满足⎩⎪⎨⎪⎧log 0.5(x －2)>02x －5≠0，解得2<x <3且x ≠52，定义域为(2，52)∪(52，3)．角度2 求抽象函数的定义域例2 已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( B ) A ．(－1,1) B ．(－1，－12)C ．(－1,0)D ．(12，1)[分析] 求抽象函数定义域的关键，f 后面括号内部分取值范围相同．[解析] 由函数f (x )的定义域为(－1,0)，则使函数f (2x ＋1)有意义，需满足－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12，即所求函数的定义域为(－1，－12)．[引申1]若将本例中f (x )与f (2x ＋1)互换，结果如何？[解析] f (2x ＋1)的定义域为(－1,0)，即－1<x <0，∴－1<2x ＋1<1，∴f (x )的定义域为(－1,1)． [引申2]若将本例中f (x )改为f (2x －1)定义域改为[0,1]，求y ＝f (2x ＋1)的定义域，又该怎么办？[解析] ∵y ＝f (2x －1)定义域为[0,1]．∴－1≤2x －1≤1，要使y ＝f (2x ＋1)有意义应满足－1≤2x ＋1≤1，解得－1≤x ≤0，因此y ＝f (2x ＋1)定义域为[－1,0]．名师点拨 ☞函数定义域的求解策略(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．〔变式训练1〕(1)(角度1)(2020·安徽宣城八校联考)函数y ＝－x 2＋2x ＋3lg (x ＋1)的定义域为( B )A ．(－1,3]B ．(－1,0)∪(0,3]C ．[－1,3]D ．[－1,0)∪(0,3](2)(角度1)(2020·安徽芜湖检测)如果函数f (x )＝ln(－2x ＋a )的定义域为(－∞，1)，那么实数a 的值为( D )A ．－2B ．－1C ．1D ．2(3)(角度2)(2020·广东华南师大附中月考)已知函数f (x )的定义域是[－1,1]，则函数g (x )＝f (2x －1)ln (1－x )的定义域是( B )A ．[0,1]B ．(0,1)C ．[0,1)D ．(0,1][解析] (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得x ∈(－1,0)∪(0,3]．故选B ．(2)因为－2x ＋a >0，所以x <a 2，所以a2＝1，得a ＝2.故选D ．(3)由题意，函数f (x )的定义域为[－1,1]，即－1≤x ≤1，令－1≤2x －1≤1，解得0≤x ≤1.又g (x )满足1－x >0且1－x ≠1，解得x <1且x ≠0，所以函数g (x )的定义域为(0,1)，故选B ．考点二求函数的值域——师生共研例3 求下列函数的值域． (1)y ＝1－|x |1＋|x |；(2)y ＝－2x 2＋x ＋3； (3)y ＝x 2＋x ＋1x ；(4)y ＝x －1－2x ； (5)y ＝x ＋1－x 2；。

2023年高考数学一轮复习课件——函数的概念及其表示

令t＝1－sin x， ∴t∈[0,2]，sin x＝1－t， ∴f(t)＝1－sin2x＝1－(1－t)2＝－t2＋2t，t∈[0,2]， ∴f(x)＝－x2＋2x，x∈[0,2].
(2)(2022·黄冈质检)已知 f x2＋x12＝x4＋x14，则 f(x)＝__x_2－__2_，__x_∈__[_2_，__＋__∞__)__.
4.设函数 f 11＋－xx＝x，则 f(x)的表达式为
A.11＋－xx(x≠－1)
A.[－2,0)∪(0,2] C.[－2,2]
√B.(－1,0)∪(0,2]
D.(－1,2]
x＋1>0，
要使函数有意义，则需x＋1≠1， 4－x2≥0，
解得－1<x≤2且x≠0，所以x∈(－1,0)∪(0,2].
所以函数的定义域为(－1,0)∪(0,2].
(2)若函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(x－1)的定义域为___[1_,_3_]__.
∵f(x)的定义域为[0,2]， ∴0≤x－1≤2，即1≤x≤3， ∴函数f(x－1)的定义域为[1,3].
延伸探究将本例(2)改成“若函数f(x＋1)的定义域为[0,2]”，则函数 f(x－1)的定义域为__[_2_,_4_] __.
∵f(x＋1)的定义域为[0,2]， ∴0≤x≤2， ∴1≤x＋1≤3， ∴1≤x－1≤3， ∴2≤x≤4， ∴f(x－1)的定义域为[2,4].
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数.
(×) (2)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线.( × ) (3)y＝x0与y＝1是同一个函数.( × ) (4)函数f(x)＝xx－ 2，1x，＜x0≥0，的定义域为R.( √ )

高三一轮复习函数专题1---函数的基本性质

函数专题1、函数的根本性质复习提问：1、如何判断两个函数是否属于同一个函数。

2、如何求一个函数的定义域〔特别是抽象函数的定义域问题〕3、如何求一个函数的解析式。

〔常见方法有哪些〕4、如何求函数的值域。

〔常见题型对应的常见方法〕5、函数单调性的判断，证明和应用〔单调性的应用中参数问题〕6、函数的对称性〔包括奇偶性〕、周期性的应用7、利用函数的图像求函数中参数的范围等其他关于图像问题知识分类一、函数的概念：函数的定义含有三个要素，即定义域A 、值域C 和对应法那么f .当函数的定义域及从定义域到值域的对应法那么确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法那么为函数的两个根本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法那么都分别相同时，这两个函数才是同一个函数. 1、试判断以下各组函数是否表示同一函数？〔1〕f 〔x 〕=2x ，g 〔x 〕=33x ；〔2〕f 〔x 〕=x x ||，g 〔x 〕=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x〔3〕f 〔x 〕=1212++n n x ，g 〔x 〕=〔12-n x 〕2n －1〔n ∈N *〕；〔4〕f 〔x 〕=x1+x ，g 〔x 〕=x x +2；〔5〕f 〔x 〕=x 2－2x －1，g 〔t 〕=t 2－2t －1.二、函数的定义域〔请牢记：但凡说定义域范围是多少，都是指等式中变量x 的范围〕 1、求以下函数的定义域：(1)ｙ＝－221x ＋１(2)ｙ＝422--x x (3)x x y +=1 (4)ｙ＝241+-+-x x(5)ｙ＝3142-+-x x (8)ｙ＝3-ax 〔ａ为常数〕2、〔1〕f (x )的定义域为 [ 1，2 ] ，求f (2x -1)的定义域；〔2〕f (2x -1)的定义域为 [ 1，2 ]，求f (x )的定义域；3、假设函数)(x f y =的定义域为[ 1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域 5、函数682-+-=k x kx y 的定义域为R ，求实数k 的取值范围。

高考数学一轮复习必考知识点：函数的定义域

17年高考数学一轮复习必考知识点：函数的定义域定义域是函数三要素(定义域、值域、对应法则)之一，以下是函数的定义域知识点，请考生及时学习。

定义域(高中函数定义)设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。

其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域;值域名称定义函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域，在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合常用的求值域的方法(1)化归法;(2)图象法(数形结合)，(3)函数单调性法，(4)配方法，(5)换元法，(6)反函数法(逆求法)，(7)判别式法，(8)复合函数法，(9)三角代换法，(10)基本不等式法等关于函数值域误区定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。

平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。

然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化)。

如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。

才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。

“范围”与“值域”相同吗？“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。

“值域”是所有函数值的集合(即集合中每一个元素都是这个函数的取值)，而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都满足这个条件)。

高考数学一轮复习 7课时 函数的定义域

2021-2022年高考数学一轮复习 专题一 函数的定义域与解析式