高考数学二轮复习专题1_3 三角函数与平面向量(测)文

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高考数学二轮复习专题2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲三角函数的图象与性质理-

专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲三角函数的图象与性质1．角的概念．(1)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同(填“一定”或“不一定”)． (2)确定角α所在的象限，只要把角α表示为α＝2k π＋α0[k ∈Z，α0∈[0，2π)]，判断出α0所在的象限，即为α所在象限．2．诱导公式．诱导公式是求三角函数值、化简三角函数的重要依据，其记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．1．三角函数的定义：设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.2．同角三角函数的基本关系． (1)sin 2α＋cos 2α＝1. (2)tan α＝sin αcos α．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)角α终边上点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.(×)(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(×) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等．(√)(4)常函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．(√) (5)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数．(×) (6)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．(×)1．(2015·某某卷)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于(D )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512解析：解法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－（－513）2＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512. 解法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.故选D.2．已知α的终边经过点A (5a ，－12a )，其中a ＜0，则sin α的值为(B ) A ．－1213 B.1213 C.513 D ．－5133．(2014·新课标Ⅰ卷)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为(A ) A ．①②③ B ．①③④C ．②④D ．①③解析：①中函数是一个偶函数，其周期与y ＝cos 2x 相同，T ＝2π2＝π；②中函数y ＝|cos x |的周期是函数y ＝cos x 周期的一半，即T ＝π；③T ＝2π2＝π；④T ＝π2.故选A.4．(2015·某某卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin(π6x ＋φ)＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(C )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.一、选择题1．若sin(α－π)＝35，α为第四象限角，则tan α＝(A )A ．－34B ．－43C.34D.43 解析：∵sin(α－π)＝35，∴－sin α＝35，sin α＝－35.又∵α为第四象限角， ∴cos α＝ 1－sin 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， tan α＝sin αcos α＝－3545＝－34.2. 定义在R 上的周期函数f (x )，周期T ＝2，直线x ＝2是它的图象的一条对称轴，且f (x )在[－3，－2]上是减函数，如果A ，B 是锐角三角形的两个内角，则(A )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (cos B )>f (sin A )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos B )>f (cos A )解析：由题意知：周期函数f (x )在[－1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数．又因为A ，B 是锐角三角形的两个内角，A ＋B >π2，得：sin A >cos B ，故f (sin A )>f (cos B )．综上知选A.3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为(A )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：用五点作图法画出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的图象，注意0≤x ≤9知，函数的最大值为2，最小值为－ 3.故选A.4. 把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是(A )解析：y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的解析式为y ＝cos (x ＋1)．故选A.5．(2015·新课标Ⅰ卷)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为(D )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，得2k －14＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.故选D.6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象(部分)如图所示，则f (x )的解析式是(A )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(x ∈R)B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π6(x ∈R)C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3(x ∈R)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3(x ∈R) 解析：由图象可知其周期为：4⎝ ⎛⎭⎪⎫56－13＝2，∵2πω＝2，得ω＝π，故只可能在A ，C 中选一个，又因为x ＝13时达到最大值，用待定系数法知φ＝π6.二、填空题7．若sin θ＝－45，tan θ＞0，则cos θ＝－35．8．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝－45．解析：由题意可知x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.三、解答题9. (2014·某某卷)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．分析：思路一直接将5π4代入函数式，应用三角函数诱导公式计算．(2)应用和差倍半的三角函数公式，将函数化简2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 得到T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.思路二先应用和差倍半的三角函数公式化简函数f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)将5π4代入函数式计算；(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.解析：解法一 (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.解法二因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.10．函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为3, 其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；word(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值．解析：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期为 T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝12， ∵0＜α＜π2，∴－π6＜α－π6＜π3. ∴α－π6＝π6，故α＝π3. 11．(2015·卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解析：(1)由题意得f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.。

2024届高三数学二轮复习专题集训专题3三角函数与平面向量31

2024届高三数学二轮复习专题集训专题3三角函数与平面向量312024届高三数学二轮复习专题集训专题3三角函数与平面向量31三角函数与平面向量是高中数学中的重要内容，也是数学二轮复习中的重点。

学好这一部分知识点，对于提高数学成绩至关重要。

本文将重点介绍2024届高三数学(理)二轮复习专题集训中的专题3三角函数与平面向量的内容，包括三角函数的基本概念、性质和一些重要公式，以及平面向量的基本概念、运算法则和应用等内容。

首先，我们来介绍三角函数的基本概念和性质。

三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们代表了角度和直角三角形边之间的关系。

正弦函数表示的是一个角的对边与斜边的比值，余弦函数表示的是一个角的邻边与斜边的比值，正切函数表示的是一个角的对边与邻边的比值。

三角函数的周期都是360度或2π弧度，可以通过函数图像的变化规律和一些基本特点进行分析和运用。

在学习三角函数的过程中，我们要掌握一些基本的三角函数公式，例如，和差化积公式、倍角公式、半角公式等。

这些公式可以帮助我们简化复杂的三角函数表达式，转化为更简单的形式，从而更好地解决问题。

接下来，我们介绍平面向量的基本概念和运算法则。

平面向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示。

平面向量有加法和乘法（数量乘法和点乘）两种运算法则。

向量加法满足交换律、结合律和有零向量的存在性质，可以通过平行四边形法则和三角法则进行计算。

向量乘法有数量乘法和点乘法。

数量乘法是将向量与一个实数相乘，使向量的长度发生变化，方向与原来一致（或相反）。

点乘法是将两个向量的对应分量相乘再相加，得到的是一个实数，表示了两个向量之间的夹角关系。

最后，我们要了解平面向量的应用。

平面向量在几何、力学等领域中有着广泛的应用。

例如，可以使用向量来表示平面上的几何图形，计算它们的面积、周长等属性。

还可以使用向量进行力的合成、分解和计算，探究力的平衡、作用和应用等。

此外，还可以利用向量的性质解决一些几何问题，例如直线的垂直、平行关系，点和直线的位置关系等。

高考二轮数学复习：三角函数与平面向量-word

2019年高考二轮数学复习：三角函数与平面向
量
2019年高考二轮数学考点突破复习：三角函数与平面向量
1.三角函数作为一种重要的基本初等函数，是中学数学的重要内容，也是高考命题的热点之一.近几年对三角函数的要求基本未作调整，主要考查三角函数的定义、图象与性质以及同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角与倍角公式等.高考对三角函数与三角恒等变换内容的考查，一是设置一道或两道客观题，考查三角函数求值、三角函数图象与性质或三角恒等变换等内容;二是设置一道解答题，考查三角函数的性质、三角函数的恒等变换或三角函数的实际应用，一般出现在前两个解答题的位置.无论是客观题还是解答题，从难度来说均属于中低档题目，所占分值在20分左右，约占总分值的13.3%.
2.平面向量是连接代数与几何的桥梁，是高考的重要内容之
一.高考常设置1个客观题或1个解答题，对平面向量知识进行全面的考查，其分值约为10分，约占总分的7%.近年高考中平面向量与解三角形的试题是难易适中的基础题或中
档题，一是直接考查向量的概念、性质及其几何意义;二是考查向量、正弦定理与余弦定理在代数、三角函数、几何等问题中的应用.
1.2019年高考试题预测
(1)分析近几年高考对三角函数与三角恒等变换部分的命题特点及发展趋势，以下仍是今后高考的主要内容：
①三角函数的图象与性质是高考考查的中心内容，通过图象求解析式、通过解析式研究函数性质是常见题型.
②解三角函数题目的过程一般是通过三角恒等变换化简三角函数式，再研究其图象与性质，所以熟练掌握三角恒等变换的方法和技巧尤为重要，比如升幂(降幂)公式、asin
x+bcos x的常考内容.
③通过实际背景考查同学们的数学建模能力和数学应用意识.。

2023届二轮专练_专题一三角函数和平面向量_第1讲三角函数的化简与求值(含答案)

2023届二轮专练_专题一三角函数和平面向量_第1讲三角函数的化简与求值一、填空题（共10小题）1. 已知 cosθ=−513，θ 为第二象限角，则 tanθ= ．2. 若 tanα=2，则 sinα+cosαsinα−cosα+cos 2α= ．3. 求值：(tan3∘+1)(tan42∘+1)= ．4. 计算：cos 2π8−sin 2π8= ．5. 函数 f (x )=2cos 2x +sin2x 的最小值是．6. 已知 sin (x +π6)=14，则 sin (5π6−x)+sin 2(π3−x)= ．7. 若 tanα=34，则 cos 2α+2sin2α= ．8. 方程 3sinx =1+cos2x 在区间 [0,2π] 上的解为．9. 若将函数 y =√3cosx +sinx (x ∈R ) 的图象向左平移 m (m >0) 个单位长度后，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是．10. 若 tanα=12，tan (α−β)=−13，则 tan (β−2α)= ．二、解答题（共6小题）11. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A (x 1,y 1) 在单位圆 O 上，∠xOA =α，且 α∈(π6,π2)．（1）若 cos (α+π3)=−1113，求 x 1 的值；（2）若 B (x 2,y 2) 也是单位圆 O 上的点，且 ∠AOB =π3，过点 A ，B 分别作 x 轴的垂线，垂足为 C ，D ，记 △AOC 的面积为 S 1，△BOD 的面积为 S 2．设 f (α)=S 1+S 2，求函数 f (α) 的最大值．12. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，设锐角 α 的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点 P (x 1,y 1)，将射线 OP 绕坐标原点 O 按逆时针方向旋转 π2 后与单位圆交于点 Q (x 2,y 2)，记 f (α)=y 1+y 2．（1）求函数f(α)的值域；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(C)=√2，且a=√2，c=1，求b的值．13. 已知α为锐角，cos(α+π4)=√55.（1）求tan(α+π4)的值；（2）求sin(2α+π3)的值14. 已知函数f(x)=Asin(x+φ)(A>0,0<φ<π)的最小值是−2，其图象经过点M(π3,1)．（1）求f(x)的解析式；（2）已知α,β∈(0,π2)，且f(α)=85，f(β)=2413，求f(α−β)的值．15. 已知函数f(x)=sin(2x+π3)−√3sin(2x−π6)．（1）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；（2）当x∈[−π6,π3]时，试求f(x)的最值，并写出取得最值时自变量x的值．16. 已知函数f(x)=12sin2x−√3cos2x．（1）求函数f(x)的最小正周期和最小值；（2）将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，当x∈[π2,π]时，求g(x)的值域．答案1. −1252. 1653. 24. √225. 1−√2【解析】函数 f (x )=2cos 2x +sin2x 可整理为： f (x )=√2sin(2x +π4)+1 ． 6. 916【解析】sin (5π6−x)+sin 2(π3−x)=sin [π−(x +π6)]+sin [π2−(x +π6)]=sin (x +π6)+cos 2(x +π6)=1916.7. 6425【解析】cos 2α+2sin2α=cos 2α+4sinαcosαcos 2α+sin 2α=1+4tanα1+tan 2α=6425. 8. x =π6,5π6【解析】3sinx =2−2sin 2x ，即 2sin 2x +3sinx −2=0．所以 (2sinx −1)(sinx +2)=0，所以 sinx =12，所以 x =π6,5π6．9. π6 【解析】方法一：函数 y =√3cosx +sinx =2sin (x +π3) 的图象向左平移 m (m >0) 个单位长度后所得图象的函数解析式为 y =2sin (x +m +π3)．因为函数 y =2sinx 的图象至少向左平移 π2 个单位长度后可得到关于 y 轴对称的图象，所以 m +π3 的最小值是 π2，故 m 的最小值是 π6．方法二：函数 y =√3cosx +sinx =2sin (x +π3) 的图象向左平移 m (m >0) 个单位长度后所得图象的函数解析式为 y =2sin (x +m +π3)．令 x +m +π3=π2+kπ(k ∈Z )，得函数图象的对称轴方程为 x =−m +π6+kπ(k ∈Z )．因为图象关于 y 轴对称，所以令 x =−m +π6+kπ=0，得 m =π6+kπ(k ∈Z )．又因为 m >0，所以 m 的最小值是 π6．10. −17【解析】由题意知tan(β−2α)=tan[(β−α)−α]=tan(β−α)−tanα1+tan(β−α)⋅tanα=13−12 1+13×12=−17.11. （1）126．（2）√34．12. （1）(1,√2]（2）113. （1）因为α∈(0,π2)，所以α+π4∈(π4,3π4)，所以sin(α+π4)=√1−cos2(α+π4)=2√55，所以tan(α+π4)=sin(α+π4)cos(α+π4)=2．（2）因为sin(2α+π2)=sin[2(α+π4)]=2sin(α+π4)cos(α+π4)=2×2√55×√55=45,cos(2α+π2)=cos[2(α+π4)]=2cos2(α+π4)−1=−35,所以sin(2α+π3)=sin[(2α+π2)−π6]=sin(2α+π2)cosπ6−cos(2α+π2)sinπ6 =45×√32−(−35)×12=4√3+310.14. （1）f(x)=2cosx．（2）12665．15. （1）由题意知，f(x)=sin(2x+π3)+√3cos(2x+π3)=2sin(2x+2π3)，所以f(x)的最小正周期T=2π2=π．当−π2+2kπ≤2x+2π3≤π2+2kπ,k∈Z时，f(x)单调递增，解得x∈[−7π12+kπ,−π12+kπ],k∈Z，所以f(x)的单调增区间为[−7π12+kπ,−π12+kπ],k∈Z．（2）因为x∈[−π6,π3 ]，所以π3≤2x+2π3≤4π3．当2x+2π3=π2，即x=−π12时，f(x)取得最大值2；当2x+2π3=4π3，即x=π3时，f(x)取得最小值−√3．16. （1）最小正周期为π，最小值为−2+√32．（2）[1−√32,2−√32]．。

高考数学(理)二轮复习：三角函数与平面向量(含答案)

高考数学（理）二轮复习：三角函数与平面向量（含答案）4 三角函数与平面向量1．准确记忆六组诱导公式对于“k π2±α，k ∈Z ”的三角函数值与α角的三角函数值的关系口诀：奇变偶不变，符号看象限．2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等． (2)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (3)弦、切互化：一般是切化弦．(4)灵活运用辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a . 3．三种三角函数的性质函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象单调性在⎣⎢⎡－π2＋2k π，⎦⎥⎤π2＋2k π(k ∈Z ) 上单调递增；在⎣⎢⎡π2＋2k π，⎦⎥⎤3π2＋2k π(k ∈Z ) 上单调递减在[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上单调递增；在[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上单调递减在⎝⎛－π2＋k π，⎭⎪⎫π2＋k π(k ∈Z )上单调递增对称性对称中心：(k π，0)(k ∈Z )；对称轴：x ＝π2＋对称中心：⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋k π，0(k ∈对称中心：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )4.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，A ＞0)的图象 (1)“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出相应的x 的值与y 的值，描点、连线可得．(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口． (3)图象变换y ＝sin x ――――――――――→向左(φ＞0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ) ―――――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω＞0)倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)―――――――――――→纵坐标变为原来的A (A ＞0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． 5．正弦定理及其变形a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .6．余弦定理及其推论、变形a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .7．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .8．平面向量的数量积(1)若a ，b 为非零向量，夹角为θ，则a·b ＝|a||b |cos θ. (2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 9．两个非零向量平行、垂直的充要条件若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 10．利用数量积求长度(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 11．利用数量积求夹角若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 12．三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a2sin A. (2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →. (4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0.1．利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号． 2．在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x 的取值范围．3．求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意A 与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解．4．三角函数图象变换中，注意由y ＝sin ωx 的图象变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)时，平移量为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω，而不是φ.5．在已知两边和其中一边的对角时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解． 6．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行．7．a·b ＞0是〈a ，b 〉为锐角的必要不充分条件；a·b <0是〈a ，b 〉为钝角的必要不充分条件．1．若sin θ·cos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．2C ．±2 D.12答案 B解析 tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2.2．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x答案 A解析化简函数的解析式，A 中，y ＝cos 2x 是最小正周期为π的偶函数． 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝2，c ＝2，cos A ＝－24.则b 的值为( ) A ．1 B. 2 C.32D.62答案 A解析根据余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，则22＝b 2＋(2)2－2b ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，所以b 2＋b －2＝0，解得b ＝1，故选A.4．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度答案 B解析因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，所以将函数y ＝sin 4x 向右平移π12个单位长度就得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3.故选B. 5．若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)(0<θ<π)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π2，0对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值是( )A ．－1B ．－ 3C ．－12D ．－32答案 B解析 f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π6，则由题意知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋θ＋π6＝0，又因为0<θ<π，所以7π6<π＋θ＋π6<13π6，所以π＋θ＋π6＝2π，所以θ＝5π6，所以f (x )＝－2sin 2x .又因为函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上是减函数，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－2sin π3＝－3，故选B. 6．(2016·全国Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A 等于( )A.31010B.1010C ．－1010D ．－31010答案 C解析设BC 边上的高AD 交BC 于点D ，由题意B ＝π4，AD ＝BD ＝13BC ，DC ＝23BC ，tan ∠BAD＝1，tan ∠CAD ＝2，tan A ＝1＋21－1×2＝－3，所以cos A ＝－1010，故选C.7．若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A.7π4 B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4 答案 A解析 ∵sin 2α＝55，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，即α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，cos 2α＝－255，又sin(β－α)＝1010，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，∴β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4，cos(β－α)＝－31010，∴sin(α＋β)＝sin [(β－α)＋2α] ＝sin(β－α)cos 2α＋cos( β－α)sin 2α ＝1010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×55 ＝－22， cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255－1010×55 ＝22，又α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π4，故选A.8．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.23B.13 C ．－13 D ．－23答案 A 解析如图， CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23.故选A.9．函数y ＝sin(2x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移π8个单位长度后关于y 轴对称，则满足此条件的φ的值为( ) A.π4B.3π8C.3π4D.5π8 答案 C解析平移后有f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π4，f (x )关于y 轴对称，则φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，φ＝k π＋3π4，k ∈Z ，由于0＜φ＜π，所以φ＝3π4.10．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)－1⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π8，其图象与直线y ＝1相邻两个交点的距离为4π3，若f (x )＞0对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，π4恒成立，则φ的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－π8，－π24C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π12，π8D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12答案 B解析由已知得函数f (x )的最小正周期为4π3，则ω＝32，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，π4时，32x ＋φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π16＋φ，3π8＋φ，因为f (x )＞0，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋φ＞12，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3π16＋φ≥－π3＋2k π，3π8＋φ≤π3＋2k π(k ∈Z )，解得－7π48＋2k π≤φ≤－π24＋2k π(k ∈Z )，又|φ|＜π8，所以－π8＜φ≤－π24，故选B.11．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值为________．答案 1解析根据图象可知，A ＝2，3T 4＝11π12－π6，所以周期T ＝π，由ω＝2πT ＝2.又函数过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，又0＜φ＜π，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝1.12．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3解析由两个三角函数图象的对称中心完全相同可知，两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，那么当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，角B 为锐角，且sin 2B ＝8sin A ·sinC ，则ba ＋c的取值范围为____________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫63，255解析因为sin 2B ＝8sin A ·sinC ，由正弦定理可知，b 2＝8ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝(a ＋c )2－2ac －b22ac ＝(a ＋c )2－54b 214b 2＝4(a ＋c )2b2－5∈(0,1)，令t ＝ba ＋c，t >0，则0＜4t2－5＜1，解得23＜t 2＜45，即t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫63，255.14．已知O 是锐角△ABC 外接圆的圆心，∠A ＝60°，cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC →＝2mAO →，则m 的值为______．答案32解析如图所示，取AB 的中点D ，则OA →＝OD →＋DA →，OD ⊥AB ，所以OD →·AB →＝0，设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由cos B sin C ·AB→＋cos C sin B ·AC →＝2mAO →，得cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC →＝－2m (OD →＋DA →)，两边同乘以AB →，得cos B sin C ·AB →2＋cos C sin B ·AC →·AB →＝－2m (OD →＋DA →)·AB →，即cos B sin C ·c 2＋cos C sin B ·bc ·cos A ＝m ·c 2，所以cos B sin C ·c ＋cos C sin B ·b ·cos A ＝m ·c ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，所以b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入上式整理，得cos B ＋cos C cos A ＝m ·sin C ，所以m ＝cos B ＋cos C cos Asin C＝－cos (A ＋C )＋cos C cos A sin C＝sin A ，又∠A ＝60°，所以m ＝sin 60°＝32. 15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＝2，b ＝7，求△ABC 的面积．解 (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0，即sin A sin B －3sin A cos B ＝0, 因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0，又cos B ≠0，所以tan B ＝3，又0＜B ＜π，所以B ＝π3. (2)因为sin B ＝32，cos B ＝12，所以a sin A ＝b sin B ＝732＝2213，又a ＝2，所以sin A ＝321＝217，因为a ＜b ，所以cos A ＝277. 所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32114，所以S ＝12ab sin C ＝332. 16．已知函数f (x )＝3sin x cos x ＋sin 2x ＋12(x ∈R )． (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12时，求函数f (x )的最小值和最大值； (2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝2，若向量m ＝(1，a )与向量n ＝(2，b )共线，求a ，b 的值．解 (1)∵函数f (x )＝3sin x cos x ＋sin 2x ＋12(x ∈R )， ∴f (x )＝32sin 2x ＋1－cos 2x 2＋12＝32sin 2x －12cos 2x ＋1 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. ∵－π12≤x ≤5π12，∴－π3≤2x －π6≤2π3， ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1， ∴1－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1≤2， ∴f (x )的最小值是1－32，最大值是2. (2)∵f (C )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C －π6＋1＝2， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1， ∵0＜C ＜π，∴－π6＜2C －π6＜11π6， ∴2C －π6＝π2，解得C ＝π3. ∵向量m ＝(1，a )与向量n ＝(2，b )共线，∴b －2a ＝0，即b ＝2a .①由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即a 2＋b 2－ab ＝3.②由①②得a ＝1，b ＝2. 亲爱的读者：春去燕归来，新桃换旧符。

高考数学二轮复习专题1_3三角函数与平面向量讲文

专题1.3 三角函数与平面向量【高考改编☆回顾基础】1．【同角三角函数、二倍角公式】【2017课标3改编】已知4sin cos3αα-=，则sin2α= . A． B．29-C．29D．79【答案】7 9 -【解析】()2sin cos17 sin22sin cos19ααααα--===--.2. 【三角函数的定义、诱导公式】【2017北京，文9】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sinα=13，则sinβ=_________．【答案】1 3【解析】3. 【三角函数的同角公式、两角和差的三角函数】【2017课标1，文15】已知π(0)2a∈，，tan α=2，则πcos()4α-=__________．310【解析】【命题预测☆看准方向】三角部分主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换及解三角形等基本知识.三角函数与解三角形相结合或三角函数与平面向量相结合是考向的主要趋势,试题难度为中低档.三角恒等变换是高考的热点内容,主要考查利用各种三角函数进行求值与化简,其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点,切化弦、角的变换是常考的三角变换思想.学网（1）预计2018年高考仍将在角的变换、角的范围方面对三角恒等变形进行考查，对两角和与差、二倍角公式将重点考查；（2）对三角恒等变换的考查力度可能会加大，对角的变换的考查，使问题更具有综合性，复习时需加强这方面的训练；（3）通过三角恒等变换，化简三角函数式，进一步研究函数的性质、解三角形等是常考题型.【典例分析☆提升能力】【例1】【2018河南省名校联盟第一次段考】已知圆：，点，，记射线与轴正半轴所夹的锐角为，将点绕圆心逆时针旋转角度得到点，则点的坐标为__________．【答案】【解析】设射线OB与轴正半轴的夹角为，有已知有，所以，且，C 点坐标为 .【趁热打铁】已知角α的张终边经过点(),22P m ， 22sin 3α=且α为第二象限．（1）求m 的值；（2）若tan 2β=，求()()sin cos 3sin sin 2cos cos 3sin sin παβαβπαβαβ⎛⎫++ ⎪⎝⎭+--的值．【答案】（1）1m =-；（2）211【例2】【2018江西省赣州厚德外国语学校上学期第一次测试】002cos10sin20sin70-的值是（）A.12B. 32C. 2D. 3【答案】D 【解析】故选D.【趁热打铁】【2018届江西省六校第五次联考】已知2παπ<<， 7sin22cos αα=，则11πsin 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.【答案】437-【方法总结☆全面提升】(1)巧记六组诱导公式对于“απ±2k ，Z k ∈的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限．(2)几个常见的变形切入点： ①ααcos sin 可凑倍角公式； ②αcos 1±可用升次公式；③αsin 1±可化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-±απ2cos 1，再用升次公式；或21sin sin cos 22ααα⎛⎫±=± ⎪⎝⎭④()ϕααα++=+sin cos sin 22b a b a （其中 ab=ϕtan ）这一公式应用广泛，熟练掌握. ⑤当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；⑥当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．⑦常见的配角技巧：22αα=⋅；()ααββ=+-；()αββα=--；1[()()]2ααβαβ=++-；1[()()]2βαβαβ=+--；()424πππαα+=--；()44ππαα=--.【规范示例☆避免陷阱】【典例】若函数1cos2()sin cos()22 4sin()2x x x f x axππ+=--+的最大值为2，试确定常数a的值．【规范解答】∵222cos111()sin cos cos sin sin()4cos222244x x x af x a x a x xxϕ=+=+=++，1tanaϕ=，由已知得214154aa+=⇒=±.【反思提高】善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，完成统一角和角与角转换的目的是三角函数式的求值的常用方法. 三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．【误区警示】已知表达式中要根据诱导公式以及二倍角公式的降幂变形，最后利用辅助角公式将函数转化为关于x的三角函数的表达式，用错公式是本题易于出错的原因.考向二三角函数的图象和性质【高考改编☆回顾基础】1．【三角函数的解析式】【2017天津改编】设函数()2sin()f x xωϕ=+，x∈R，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28fπ=，()08f11π=，且()f x的最小正周期大于2π，则ω=，ϕ= .【答案】23ω=，12ϕπ=2. 【辅助角公式、三角函数的周期】【2017山东改编】函数32cos2y x x=+最小正周期为 . 【答案】π【解析】试题分析：因为π3sin 2cos 22sin 23y x x x ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭,所以其周期2ππ2T ==, 3 . 【三角函数图象的变换】【2017课标1，理9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D 【解析】4. 【两角和差的三角函数、三角函数的最值】【2017课标3改编】函数1ππ()sin()cos()536f x x x =++-的最大值为 . 【答案】65【解析】由诱导公式可得：cos cos sin 6233x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则：()16sin sin sin 53353f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,函数的最大值为65. 5. 【和差倍半的三角函数、三角函数周期及单调性】【2017浙江改编】已知函数f （x ）=sin 2x –cos 2x –23 sinx cos x （x ∈R ）．求)(x f 的最小正周期及单调递增区间．【答案】最小正周期为π，单调递增区间为Z k k k ∈++]32,6[ππππ．【解析】【命题预测☆看准方向】三角函数的图象与性质是高考考查的重点及热点内容.三角函数的图象,主要涉及图象变换问题以及由图象确定函数解析式问题,常以选择题、填空题的形式考查,目前浙江高考也以解答题形式考查.试题难度为中低档. 三角函数的性质,通常是给出函数解析式,先进行三角变换,将其转化为y=Asin(ωx+φ)的形式再研究其性质,或知道某三角函数的图象或性质求其解析式,再研究其他性质,既有直接考查的客观题,也有综合考查的主观题. 预测:三角函数的图象与性质考查方式较灵活,主要考查方式以综合三角恒等变换求性质为主, 通过三角恒等变换，化简三角函数式，进一步研究函数的性质，考试题型选择题、填空题和解答题都可能出现.【典例分析☆提升能力】【例1】已知函数()()sin ,f x x ωϕ=+其中0ω>， π2ϕ<, （1）若π3πcoscos sin sin 0,44ϕϕ-=求ϕ的值；（2）在（1）的条件下，若函数()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数()f x 的解析式；并求最小正实数m ，使得函数()f x 的图象向左平移m 个单位所对应的函数是偶函数. 【答案】（1）4πϕ=；（2）12m π=.函数()f x 的图象向左平移m 个单位后所对应的函数为()()sin 34g x x m π⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦， ()g x 是偶函数当且仅当()342m k k Z πππ+=+∈即()312k m k Z ππ=+∈ 从而，最小正实数12m π=.【趁热打铁】为了得到函数πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos2y x =的图象 A. 向右平移π6个单位长度 B. 向右平移π3个单位长度 C. 向左平移π6个单位长度 D. 向左平移π3个单位长度【答案】B【解析】因为ππ2ππsin 2=cos 2cos 2cos262633y x x x x π⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以可以将函数cos2y x =的图象向右平移π3个单位长度. 【例2】【2017浙江，18】已知函数f （x ）=sin 2x –cos 2x –23x cos x （x ∈R ）．（Ⅰ）求)32(πf 的值．（Ⅱ）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为π，单调递增区间为Z k k k ∈++]32,6[ππππ．【解析】（Ⅱ）由x x x 22sin cos 2cos -=与x x x cos sin 22sin =得)62sin(22sin 32cos )(π+-=--=x x x x f所以)(x f 的最小正周期是π由正弦函数的性质得Z k k x k ∈+≤+≤+,2236222πππππ解得Z k k x k ∈+≤≤+,326ππππ所以)(x f 的单调递增区间是Z k k k ∈++]32,6[ππππ．【趁热打铁】已知函数()2211sin 3sin cos cos 22f x x x x x =+-．（1）求函数()y f x =在[]0,π上的单调递增区间．（2）若π7π,312α⎛⎫∈⎪⎝⎭且()35f α=，求π12f α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭和5π,π6⎛⎫⎪⎝⎭；（2）33410-【例3】【2018广东广州海珠区综合测试（一）】设函数()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（） A. ()f x 的一个周期为π- B. ()y f x =的图像关于直线23x π=对称 C. 2f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的一个零点为3x π=-D. ()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】D【解析】()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的周期为T=k π,所以A 对；当23x π=时， 2?,3x cos πππ-= =-1,所以B 对；3x π=-时， 2?cos 21033x x πππ⎛⎫-=--=-≠ ⎪⎝⎭，，所以C 错； ,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， 22333x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，y=cosx 在233ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上递减，所以D 对；故选C.【趁热打铁】已知函数的部分图象如图所示，下面结论正确的个数是( )①函数的最小正周期是；②函数在区间上是增函数；③函数的图象关于直线对称；④函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到A. 3B. 2C. 1D. 0 【答案】C【方法总结☆全面提升】1.利用待定系数法求解析式.若设所求解析式为y=Asin(ωx+φ),可按以下规律来确定A,ω,φ：（1）一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|,或代入点的坐标解关于A的方程.(2)因为T=,所以往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线与x轴的交点确定周期T,或者利用结论“相邻的两个最高点与最低点之间的距离为;相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T等”来确定T.(3)代入点的坐标,通过先解三角方程,再结合图象确定φ.特别提醒:求y=Asin(ωx+φ)的解析式,最难的是求φ,第一零点常常用来求φ,只要找准第一零点的横坐标,列方程就能求出φ.若对A,ω的符号或对φ的范围有要求,可用诱导公式变换,使其符合要求.2.图象变换理论:(1)平移变换①沿x轴平移,按“左加右减”法则;②沿y轴平移,按“上加下减”法则.(2)伸缩变换①沿x轴伸缩时,横坐标x伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的 (纵坐标y不变);②沿y轴伸缩时,纵坐标y伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原来的A倍(横坐标x不变).特别提醒:对于图象的平移和伸缩变换都要注意对应解析式是在x或在y的基础上改变了多少,尤其当x与y前的系数不为1时一定要先将系数提出来再判断.3.三角函数的综合性问题,常将三角函数与三角形及向量结合在一起,需要综合运用三角函数的性质,运用各种三角函数公式、三角恒等变换以及三角形的有关知识等方法求解.【规范示例☆避免陷阱】【典例】已知函数f(x)=cos-2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x∈时,f(x)≥-.【反思提升】解答题解题过程要求“解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤”,因此,在解答题答题过程中应该有规范的书写步骤,分步得分.【误区警示】解答本题易出错之处有，一是不能正确的进行三角恒等变换；二是利用x 的范围进一步确定23x π+的范围，并根据三角函数图象，正确对待三角函数的范围.考向三解三角形【高考改编☆回顾基础】1．【余弦定理的应用】【2017·山东卷改编】在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝3, A ＝3π4，S △ABC ＝3，则a ＝________．【答案】29【解析】因为A ＝3π4，b ＝3，S △ABC ＝12bcsin A ＝3，所以c ＝22，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ，得a 2＝9＋8－2×3×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝29，所以a ＝29. 2.【正弦、余弦定理定理的应用】【2017·天津卷改编】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知asin A ＝4bsin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2)，则cos A 的值为________．【答案】－553.【三角恒等变换、正弦定理】【2016·四川卷改编】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos Aa ＋cos B b ＝sin Cc，则sin Asin B 与sin C 的大小关系是________．【答案】sin Asin B ＝sin C 【解析】根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C＝k(k>0)，则a ＝ksin A ，b ＝ksin B ，c ＝ksin C ，代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有cos A ksin A ＋cos B ksin B ＝sin C ksin C，变形可得 sin Asin B ＝sin Acos B ＋cos Asin B ＝sin(A ＋B)．在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B)＝sin(π－C)＝sin C ，所以sin Asin B ＝sin C.4.【正弦定理、三角形面积】【2015·浙江卷改编】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知tan A ＝13，B ＝π4，a ＝3，则△ABC 的面积为________．【答案】9【命题预测☆看准方向】三角部分主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换及解三角形等基本知识.三角函数与解三角形相结合或三角函数与平面向量相结合是考向的主要趋势,试题难度为中低档.正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容,主要考查:①边和角的计算;②三角形形状的判断;③面积的计算;④有关的范围问题.（1）预计2018年高考将以正弦、余弦定理的直接应用为主要考查目标，以解答题形式出现的可能性较大，难度以中档题为主；（2）结合向量或几何知识构建综合性题目是可能的发展方向，复习时需加以关注.【典例分析☆提升能力】【例1】【2018届浙江省部分市学校高三上9+1联考】设函数()22sin 2sin cos 6f x x x x π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）若角A 满足()1f A =， 3a =ABC ∆3，求b c +的值. 【答案】(1) ,63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦， k Z ∈；(2) 3b c +=.【趁热打铁】【2018届广西陆川县中学高三12月月考】已知函数()()()21cos 3sin cos 2f x x x x ππ=+-+-. （Ⅰ）求函数()f x 在[]0,π的单调递减区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，内角A ， B ， C ，的对边分别为a ， b ， c ，已知()1f A =-， 2a =， sin sin b C a A =，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）3. 【解析】试题分析：（Ⅰ）结合诱导公式及二倍角公式化简函数得()sin 26f x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，求减区间，只需222262kx x kx πππ-≤-≤+即可，结合[]0,π求交集即可；（Ⅱ）由()sin 216f A A π⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，结合锐角ABC ∆， 02A π<<，可得3A π=，由正弦定理将sin sin b C a A =转化为24bc a ==，进而可求面积.试题解析：【例2】【2017课标1，理17】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 【解析】【趁热打铁】如图，在中，，点在边上，为垂足，（1）若的面积为，求的长；（2）若，求角的大小.【答案】（I）；（II）.（Ⅱ）方法1：因为．由正弦定理知：，且，得，解得，．所以角的大小为．方法2：由正弦定理得，得．又，则，得，．所以角的大小为．【方法总结☆全面提升】利用正弦定理与余弦定理解题,经常需要转化思想,一种是边转化为角,另一种是角转化为边.具体情况应根据题目给定的表达式进行确定,不管哪个途径,最终转化为角的统一或边的统一,在解题过程中常用到以下规律: (1)分析已知等式中的边角关系,若要把“边”化为“角”,常利用“2,2,2a RsinA b RsinB c RsinC ===”,若要把“角”化为“边”,常利用sin A=,sin B=,sin C=,cos C=等.(2)如果已知等式两边有齐次的边的形式或齐次的角的正弦的形式,可以利用正弦定理进行边角互换.如果已知中含有形如222(b c a bc λλ+-=为常数)的代数式,一般向余弦定理靠拢. (3)余弦定理与完全平方式相联系可有:()()2222221a b c bccosA b c bc cosA =+-=+-+.可联系已知条件,利用方程思想进行求解三角形的边;与重要不等式相联系,由222b c bc +≥,得()22222221a b c bccosA bc bccosA bc cosA =+-≥-=-,可探求边或角的范围问题.【规范示例☆避免陷阱】【典例】已知△ABC 三内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且acos C+csin A-b-c=0,(1)求角A 的值;(2)求函数f(x)=cos 2x+4sin Asin x 在区间的值域.【规范解答】(1)因为acos C +csin A-b-c=0,由正弦定理得sin Acos C+sin Csin A-sin B-sin C=0,即sin Csin A-cos Asin C-sin C=0;——3分因为sin C≠0,得sin A-cos A=1,所以sin .所以A-或A-(舍去),解得A=.————6分(2)由(1)得sin A=,所以f(x)=cos 2x+4sin Asin x=1-2sin 2x+2sin x=-2.————9分因为x ∈,所以sin x ∈.故函数f(x)的值域为.————12分【反思提升】解答题解题过程要求“解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤”,因此,在解答题答题过程中应该有规范的书写步骤,分步得分.【误区警示】特别提醒：在画图和识图过程中要准确理解题目中所涉及的几种角,如仰角、俯角、方位角,以防出错.有些时候也必须注意到三角形的特殊性,如直角三角形、等腰三角形、锐角三角形等.考向四平面向量的数量积及其应用【高考改编☆回顾基础】1．【平面向量基本定理、平面向量的坐标运算】【2017课标3改编】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=λAB+μAD，则λ+μ的最大值为 . 【答案】3【解析】如图所示，建立平面直角坐标系故填3.2. 【平面向量的数量积、夹角】【2017山东，理12】已知12,e e 是互相垂直的单位向量，若123-e e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是 . 【答案】33【解析】()()2212121121223333e e e e e e e e e e λλλλ-⋅+=+⋅-⋅-=-，()22212121122333232e e e e e e e e -=-=-⋅+=，()222221212112221e e e e e e e e λλλλλ+=+=+⋅+=+，∴22321cos601λλλ-=⨯+⨯=+，解得：33λ=． 3. 【平面向量的线性运算、平面向量的数量积】【2017天津，文理】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =，()AE AC AB λλ∈=-R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________. 【答案】3114. 【平面向量的坐标运算】【2017课标3，文13】已知向量(2,3),(3,)a b m =-=，且a b ⊥，则m = . 【答案】2【解析】由题意可得：2330,2m m -⨯+=∴=.【命题预测☆看准方向】本部分内容在高考题中主要以选择题和填空题的形式出现,有时也以向量为工具在解答题中研究三角函数或圆锥曲线的性质,从近几年的高考试题来看,向量的线性运算、共线问题和平面向量的数量积、几何意义、模与夹角、垂直等问题是考查的重点,紧扣定义,理解其运算和性质的几何背景,学会应用是复习的重点.【典例分析☆提升能力】【例1】【2018届高三期末复习备考之精准复习模拟题】已知向量()()()3,1,0,1,,3a b c k ==-=，若（2a b -）与c 平行，则k 的值为（） A. 1 B. 1- C. 3 D. 3- 【答案】A【趁热打铁】已知向量()1,1m λ=+， ()2,2n λ=+，若()()m n m n +⊥-，则λ=（） A. 4- B. 3- C. 2- D. 1- 【答案】B 【解析】()()m n m n +⊥-， ()()2222==+1+1-+2-4=0m n m n m n λλ∴+⋅--（）（），解得=-3.λ【例2】【2017天津，理13】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =，()AE AC AB λλ∈=-R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________.【答案】311【趁热打铁】【2018届浙江省台州中学高三上第三次统练】如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33B C 上有10个不同的点1210,,P P P ，记()2•1,2,,10i i m AB AP i ==，则1210m m m +++的值为（）A. 153B. 45C. 603D. 180 【答案】D【解析】因为2AB 与33B C 垂直,设垂足为C ，所以i AP 在2AB 投影为AC ，22·233318i i m AB AP AB AC ==⨯=⨯= ，从而1210m m m +++的值为1810180.⨯= 选D.【例3】【2017江苏，16】已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,π].x x x ==-∈a b （1）若a ∥b ,求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值. 【答案】（1）5π6x =（2）0x =时，取得最大值，为3； 5π6x =时，取得最小值，为23-.【趁热打铁】【2018届山东省枣庄市第三中学高三一调】已知向量()()()sin ,cos ,2cos ,2cos a x x b x x π=-=，函数()1f x a b =⋅+. （1）求()f x 的对称中心；（2）求函数()f x 在区间⎡上的最大值和最小值，并求出x 相应的值.【答案】（1（2，最小值为1-.【解析】试题分析：（112sin a b ⋅+=（2,44⎥⎦，进而根据正弦函数的图象即可得最值. 试题解析：（1）因为()()212sin cos cos 2cos 2sin cos 2cos 1f x a b x x x x x x x π=⋅+=+-⋅=-+【方法总结☆全面提升】1.对于平面向量的线性运算问题,要注意其与数的运算法则的联系与区别,两者不能混淆.要灵活运用向量的几何表示,在图形中发现向量关系.同时要注意两个定理的运用:(1)平面向量基本定理:设a,b是两个不共线向量,c是平面上任意一个向量,则存在一组实数x,y,使得c=x a+y b,当c≠0时,这样的x,y是唯一的;(2)向量共线定理:设=x+y,则A,B,C三点共线,当且仅当x+y=1.解决向量问题的常用方法有:一是基于“形”,通过作出向量,结合几何图形分析;二是基于“数”,借助向量的坐标形式,转化为解析几何问题.2.数量积的计算通常有三种方法:数量积的定义,坐标运算,数量积的几何意义(投影).3.可以利用数量积求向量的模和夹角,向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算.4.在数量积的运算中,以下恒等式是常用的:[()2-()2]=,其中C是AB中点.此恒等式也称之为极化恒等式.5. 在平面向量与三角函数、平面几何相结合的综合问题中,一方面用平面向量的语言表述三角函数和几何图形中的问题,如利用向量平行、垂直的条件表述几何图形条件,利用向量的模表述三角函数之间的关系等;另一方面可以利用三角函数和平面几何的知识解决平面向量问题,在解决此类问题的过程中,要根据题目的具体要求,在向量和三角函数、几何图形之间建立起联系,就可以解决问题.【规范示例☆避免陷阱】【典例】已知向量(1,2),(,1)a b x →→==，且向量a 与b 夹角为锐角，求x 的范围. 【规范解答】因为向量a 与b 夹角为锐角，所以a b •=x +2＞0，解得x ＞-2. 当x =12时，a 与b 同向，故x 的范围为11(2,)(,)22-⋃+∞. 【反思提升】(1)向量的模的求法一是根据向量的定义，二是将向量的模转化为三角形的某个边求其长． (2)求非零向量a ，b 的夹角一般利用公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |先求出夹角的余弦值，然后求夹角．也可以构造三角形，将所求夹角转化为三角形的内角求解，更为直观形象．(3)当向量以几何图形的形式(有向线段)出现时，其数量积的计算可利用定义法；当向量以坐标形式出现时，其数量积的计算用坐标法；如果建立坐标系，表示向量的有向线段可用坐标表示，计算向量简单．【误区警示】从0a b →→⋅>出发解出x 的值，忽视剔除,a b →→同向的情况．。

高三数学二轮复习重点

高三数学二轮复习重点高三数学第二轮重点复习内容专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。

这些性质通常会综合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。

一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向，与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。

不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。

当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。

专题二：数列。

以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。

专题三：三角函数，平面向量，解三角形。

三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。

向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。

专题四：立体几何。

立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。

大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。

另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应该掌握三棱柱，长方体。

空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察的方法为间接证明。

专题五：解析几何。

高考数学二轮复习专题1.3三角函数与平面向量(练)文

专题1.3 三角函数与平面向量1.练高考1. 【2017课标1，文11】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c =2，则C =A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【答案】B 【解析】2.【2017课标II ，文4】设非零向量a ，b 满足+=-b b a a 则 A.a ⊥b B. =b a C. a ∥b D. >b a 【答案】A【解析】由||||a b a b +=-平方得2222()2()()2()a ab b a ab b ++=-+，即0ab =，则a b ⊥，故选A. 3.【2017课标3，文6】函数1ππ()sin()cos()536f x x x =++-的最大值为（） A ．65B ．1C ．35D ．15【答案】A【解析】由诱导公式可得：cos cos sin 6233x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，则：()16sin sin sin 53353f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ , 函数的最大值为65. 所以选A.4. 【2017课标1，理13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= . 【答案】23 【解析】5. 【2017天津，文15】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，2225()ac a b c =--.（I ）求cos A 的值；（II ）求sin(2)B A -的值.【答案】(Ⅰ)55- ；(Ⅱ)255- .【解析】4532525sin(2)sin 2cos cos 2sin ()55555B A B A B A -=-=⨯--⨯=-.6. 【2017山东，理16】设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<.已知()06f π=.（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值.【答案】（Ⅰ）2ω=.（Ⅱ）得最小值32-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到()y f x =3(sin )3x πω=-由题设知()06f π=及03ω<<可得.（Ⅱ）由（Ⅰ）得()3sin(2)3f x x π=-从而()3sin()3sin()4312g x x x πππ=+-=-.根据3[,]44x ππ∈-得到2[,]1233x πππ-∈-，进一步求最小值.试题解析：（Ⅰ）因为()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，所以31()sin cos cos 22f x x x x ωωω=--33sin cos 22x x ωω=- 133(sin cos )22x x ωω=-3(sin )3x πω=-由题设知()06f π=，所以63k ωπππ-=，k Z ∈.故62k ω=+，k Z ∈，又03ω<<，所以2ω=.2.练模拟1.【2018届江西省南昌市高三第一轮】已知向量a ， b 满足()a b a 2⋅+=，且()a 1,2=，则向量 b 在a 方向上的投影为( ) 55 C. 255355【答案】D【解析】由a =（1，2），可得|a 5 a •（b +a ）=2，可得a •b +2a =2，∴·a b =﹣3，∴向量b 在a 方向上的投影为·355a b a =-。

高考数学(文)二轮复习专题一三角函数和平面向量第2讲平面向量、解三角形 Word版含答案

第2讲平面向量、解三角形【课前热身】第2讲平面向量、解三角形(本讲对应学生用书第4~6页)1.(必修4 P76习题7改编)在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC u u u r =e 1，DC u u u r =e 2，则OC u u u r= .【答案】12(e 1+e 2)【解析】因为O 是矩形ABCD 对角线的交点，BCu u u r =e 1，DCu u u r =e 2，所以OCu u u r =12(BC u u u r +DC u u u r)=12(e 1+e 2).2.(必修4 P90习题19改编)已知向量a =(6，-3)，b =(2，x+1)，若a ⊥b ，则实数x= . 【答案】3【解析】因为a ⊥b ，所以a ·b =0，所以12-3x-3=0，解得x=3.3.(必修5 P10练习2改编)在锐角三角形ABC 中，设角A ，B 所对的边分别为a ，b.若2a sin B=3b ，则角A= .【答案】π3【解析】在△ABC 中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B=3sin B ，因为B 为△ABC的内角，所以sin B ≠0，所以sinA=32.又因为△ABC 为锐角三角形，所以A ∈π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以A=π3.4.(必修4 P80例5改编)已知向量a =(1，0)，b =(2，1)，则当k= 时，向量k a -b 与a +3b 平行.【答案】-13【解析】由题设知向量a 与b 不平行，因为向量k a -b 与a +3b 平行，所以1k =-13，即k=-13.5.(必修5 P16习题1(3)改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=7，b=43，c=13，则△ABC 最小的内角为 .【答案】π6【解析】因为13<43<7，所以C<B<A ，又因为cosC=222-2a b c ab +=2743⨯⨯=32，所以C=π6.【课堂导学】平面向量与三角函数综合例1 (2016·淮安5月信息卷)已知向量m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，α∈(0，π).(1)若m ⊥n ，求角α的大小； (2)求|m +n |的最小值.【解答】(1)因为m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，且m ⊥n ，所以3cos α-sin α=0，即tan α=3.又因为α∈(0，π)，所以α=π3.(2)因为m +n =(cos α+3，sin α-1)，所以|m +n |=22(cos 3)(sin -1)αα++=523cos -2sin αα+=π54cos 6α⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 因为α∈(0，π)，所以α+ππ7π666⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故当α+π6=π，即α=5π6时，|m +n |取得最小值1.正弦定理、余弦定理的应用例2 (2016·苏州暑假测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin2-2A B+sin A sin B=22+.(1)求角C 的大小；(2)若b=4，△ABC 的面积为6，求c 的值.【解答】(1)sin2-2A B+sin A sin B=1-cos(-)2A B+2sin sin2A B=1-cos cos-sin sin2A B A B+2sin sin2A B=1-cos cos sin sin2A B A B+=1-(cos cos-sin sin)2A B A B=1-cos()2A B+=1-cos(π-)2C=1cos2C+=22+，所以cos C=22.又0<C<π，所以C=π4.(2)因为S=12ab sin C=12a×4×sinπ4=2a=6，所以a=32.因为c2=a2+b2-2ab cos C=(32)2+42-2×32×4×22=10，所以c=10.变式1(2016·南通一调)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a+b-c)(a+b+c)=ab.(1)求角C的大小；(2)若c=2a cos B，b=2，求△ABC的面积.【解答】(1)在△ABC中，由(a+b-c)(a+b+c)=ab，得222-2a b cab+=-12，即cosC=-12.因为0<C<π，所以C=2π3.(2)方法一：因为c=2a cos B，由正弦定理，得sin C=2sin A cos B.因为A+B+C=π，所以sin C=sin(A+B )，所以sin(A+B )=2sin A cos B ，即sin A cos B-cos A sin B=0，所以sin(A-B )=0.又-π3<A-B<π3，所以A-B=0，即A=B ，所以a=b=2. 所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.方法二：由c=2a cos B 及余弦定理，得c=2a×222-2a c b ac +，化简得a=b ，所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.变式2 (2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在斜三角形ABC 中，tan A+tan B+tan A tan B=1.(1)求角C 的大小； (2)若A=15°，2，求△ABC 的周长.【解答】(1)因为tan A+tan B+tan A tan B=1，即tan A+tan B=1-tan A tan B.因为在斜三角形ABC 中，1-tan A tan B ≠0，所以tan(A+B )=tan tan 1-tan tan A BA B +=1，即tan(180°-C )=1，tan C=-1. 因为0°<C<180°，所以C=135°.(2)在△ABC 中，A=15°，C=135°，则B=180°-A-C=30°.由正弦定理sin BC A =sin CAB =sin ABC ，得sin15BC o =°sin30CA=2=2，故BC=2sin 15°=2sin(45°-30°)=2(sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°)=6-2 2，CA=2sin 30°=1.所以△ABC的周长为AB+BC+CA=2+1+6-22=2622++.平面向量与解三角形综合例3(2016·无锡期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量a=(sin B-sin C，sin C-sin A)，b=(sin B+sin C，sin A)，且a⊥b.(1)求角B的大小；(2)若b=c·cos A，△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积.【解答】(1)因为a⊥b，所以a·b=0，即sin2B-sin2C+sin A(sin C-sin A)=0，即sin A sin C=sin2A+sin2C-sin2B，由正弦定理得ac=a2+c2-b2，所以cos B=222-2a c bac+=12.因为B∈(0，π)，所以B=π3.(2)因为c·cos A=b，所以bc=222-2b c abc+，即b2=c2-a2，又ac=a2+c2-b2，b=2R sin3，解得a=1，c=2.所以S△ABC =12ac sin B=3.变式(2016·苏锡常镇二调)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量m=(cos B，cos C)，n=(4a-b，c)，且m∥n.(1)求cos C的值；(2)若c=3，△ABC的面积S=15，求a，b的值.【解答】(1)因为m∥n，所以c cos B=(4a-b)cos C，由正弦定理，得sin C cos B=(4sin A-sin B)cos C，化简得sin(B+C)=4sin A cos C.因为A+B+C=π，所以sin(B+C)=sin A.又因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos C=14.(2)因为C∈(0，π)，cos C=14，所以sin C=21-cos C=11-16=15.因为S=12ab sin C=15，所以ab=2.①因为c=3，由余弦定理得3=a2+b2-12ab，所以a2+b2=4，②由①②，得a4-4a2+4=0，从而a2=2，a=2(a=-2舍去)，所以a=b=2.【课堂评价】1.(2016·镇江期末)已知向量a=(-2，1)，b=(1，0)，则|2a+b|=. 【答案】13【解析】因为2a+b=(-3，2)，所以|2a+b|=22(-3)2+=13.2.(2016·南京学情调研)已知向量a=(1，2)，b=(m，4)，且a∥(2a+b)，则实数m=.【答案】2【解析】方法一：由题意得a=(1，2)，2a+b=(2+m，8)，因为a∥(2a+b)，所以1×8-(2+m)×2=0，故m=2.方法二：因为a∥(2a+b)，所以存在实数λ，使得λa=2a+b，即(λ-2)a=b，所以(λ-2，2λ-4)=(m，4)，所以λ-2=m且2λ-4=4，解得λ=4，m=2.3.(2016·南京、盐城一模)在△ABC中，设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a=5，A=π4，cos B=35，则c=.【答案】7【解析】因为cos B=35，所以B∈π2⎛⎫⎪⎝⎭，，从而sin B=45，所以sin C=sin(A+B)=sinA cos B+cos A sin B=2×35+2×45=72，又由正弦定理得sinaA=sincC，即52 =72c，解得c=7.4.(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则cos A=.(第4题)【答案】-10【解析】如图，作AD ⊥BC交BC 于点D ，设BC=3，则AD=BD=1，AB=2，AC=5.由余弦定理得32=(2)2+(5)2-2×2×5×cos A ，解得cos A=-10.5.(2016·南通一调)已知在边长为6的正三角形ABC 中，BD u u u r =12BC u u u r ，AE u u u r=13AC u u u r ，AD 与BE 交于点P ，则PB u u u r ·PD u u ur 的值为 .(第5题)【答案】274【解析】如图，以BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系，不妨设B (-3，0)，C (3，0)，则D (0，0)，A (0，33)，E (1，23)，P 330⎛ ⎝⎭，，所以PB u u u r ·PD u u ur =|PD u u u r |2=233⎝⎭=274.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第3～4页.【检测与评估】第2讲平面向量、解三角形一、填空题1.(2016·苏州暑假测试)设x ，y ∈R ，向量a =(x ，1)，b =(2，y )，且a +2b =(5，-3)，则x+y= .2.(2016·盐城三模)已知向量a ，b 满足a =(4，-3)，|b |=1，|a -b |=21，则向量a ，b 的夹角为 .3.(2016·全国卷Ⅱ)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b= .4.(2016·天津卷)在△ABC 中，若AB=13，BC=3，∠C=120°，则AC= .5.(2016·南京三模)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=4，AD=3，CD=2，AM u u u u r =2MD u u u u r .若AC u u u r ·BM u u u u r =-3，则AB u u u r ·AD u u u r = .(第5题)6.(2016·无锡期末)已知平面向量α，β满足|β|=1，且α与β-α的夹角为120°，则α的模的取值范围为 .7.在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若b a +ab =6cos C ，则tan tan C A +tan tan CB = .8.(2016·苏北四市摸底)在△ABC 中，AB=2，AC=3，角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO u u u r =x AB u u u r+y AC u u u r (x ，y ∈R )，则x+y 的值为 .二、解答题9.(2016·苏北四市期末)已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin A=35，tan(A-B )=-12.(1)求tan B 的值； (2)若b=5，求c 的值.10.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AD=1，BD=210，∠CAD=π4，tan ∠ADC=-2.(1)求CD 的长； (2)求△BCD 的面积.(第10题)11.(2016·南京三模)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边.若向量m =(a ，cos A )，向量n =(cos C ，c )，且m ·n =3b cos B.(1)求cos B 的值；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求1tan A +1tan C 的值.【检测与评估答案】第2讲平面向量、解三角形一、填空题1. -1 【解析】由题意得a +2b =(x+4，1+2y )=(5，-3)，所以4512-3x y +=⎧⎨+=⎩，，解得1-2x y =⎧⎨=⎩，，所以x+y=-1.2. π3【解析】设向量a ，b 的夹角为θ，由|a -b|=，得21=(a -b )2=a 2+b 2-2a ·b =25+1-2·5·cos θ，即cos θ=12，所以向量a ，b 的夹角为π3.3. 2113 【解析】因为cos A=45，cos C=513，且A ，C 为三角形的内角，所以sin A=35，sin C=1213，所以sin B=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C=6365.由正弦定理得sin b B =sin aA ，解得b=2113.4. 1【解析】设AC=x，由余弦定理得cos 120°=29-13 23xx+⋅⋅=-12，即x2+3x-4=0，解得x=1或x=-4(舍去)，所以AC=1.5.32【解析】方法一：设ABu u u r=4a，ADu u u r=3b，其中|a|=|b|=1，则DCu u u r=2a，AMu u u u r=2b.由ACu u u r·BMu u u u r=(ADu u u r+DCu u u r)·(BAu u u r+AMu u u u r)=-3，得(3b+2a)·(2b-4a)=-3，化简得a·b=18，所以ABu u u r·ADu u u r=12a·b=32.方法二：建立平面直角坐标系，使得A(0，0)，B(4，0)，设D(3cos α，3sin α)，则C(3cos α+2，3sin α)，M(2cos α，2sin α).由ACu u u r·BMu u u u r=-3，得(3cos α+2，3sin α)·(2cos α-4，2sin α)=-3，化简得cos α=18，所以ABu u u r·ADu u u r=12cos α=32.6.23⎛⎤⎥⎝⎦，【解析】如图，设α=ABu u u r，β=ACu u u r，则β-α=BCu u u r，∠ABC=60°，设α与β的夹角为θ，则0°<θ<120°，由正弦定理可得°||sin(120-)θα=°||sin60β，所以|α|=233sin(120°-θ).因为0°<θ<120°，所以0°<120°-θ<120°，所以0<sin(120°-θ)≤1，所以0<|α|≤23.(第6题)7. 4 【解析】b a +ab =6cos C ⇒6ab cos C=a 2+b 2⇒3(a 2+b 2-c 2)=a 2+b 2⇒a 2+b 2=232c ，所以tan tan C A +tan tan CB =sin cosC C ·cos sin sin cos sin sin B A B A A B +=sin cos C C ·sin()sin sin A B A B +=1cos C ·2sin sin sin C A B =2222-aba b c +·2c ab =22223-2c c c=2222c c =4.8. 58 【解析】如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，CE 为AB 边上的中线，且AD ∩CE=O.在△AEO 中，由正弦定理得sin AE AOE ∠=sin EOEAO ∠.在△ACO 中，由正弦定理得sin AC AOC ∠=sin COCAO ∠，两式相除得AE AC =EO OC .因为AE=12AB=1，AC=3，所以EO OC =13，所以CO u u u r =3OE u u u r ，即AO u u u r -AC u u u r =3(AE u u u r -AO u u ur )，即4AO u u u r =3AE u u u r+AC u u u r ，所以4AO u u u r =32AB u u ur +AC u u u r ，从而AO u u u r =38AB u u u r +14AC u u u r .因为AO u u u r =x AB u u u r+y ACu u u r ，所以x=38，y=14，所以x+y=58.(第8题)二、解答题9. (1) 方法一：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos A=21-sin A =45，所以tan A=sin cos A A =34.由tan(A-B )=tan -tan 1tan ?tan A B A B +=-12，得tan B=2.方法二：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos A=21-sin A =45，所以tanA=sin cos A A =34.又因为tan(A-B )=-12，所以tan B=tan[A-(A-B )]=tan -tan(-)1tan tan(-)A A B A A B +=31--42311-42⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭=2. (2) 由(1)知tan B=2，得sin B=255，cos B=55，所以sin C=sin(A+B )=sin A cos B+cos A sin B=11525，由正弦定理sin bB =sin cC ，得c=sin sin b C B =112.10. (1) 因为tan ∠ADC=-2，且∠ADC ∈(0，π)，所以sin ∠ADC=255，cos ∠ADC=-55. 所以sin ∠ACD=sinππ--4ADC ∠⎛⎫ ⎪⎝⎭ =sin ∠ADC+π4=sin ∠ADC ·cos π4+cos ∠ADC ·sin π4=，在△ADC 中，由正弦定理得CD=·sin sin AD DACACD ∠∠=.(2) 因为AD ∥BC ，所以cos ∠BCD=-cos ∠ADC=，sin ∠BCD=sin ∠ADC=.在△BDC 中，由余弦定理得BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD ·cos ∠BCD ，即BC 2-2BC-35=0，解得BC=7，所以S △BCD =12BC ·CD ·sin ∠BCD=12×7=7.11. (1) 因为m ·n =3b cos B ，所以a cos C+c cos A=3b cos B. 由正弦定理得sin A cos C+sin C cos A=3sin B cos B ，所以sin(A+C )=3sin B cos B ，所以sin B=3sin B cos B.因为B 是△ABC 的内角，所以sin B ≠0，所以cos B=13.(2) 因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2=ac. 由正弦定理得sin 2B=sin A ·sin C.因为cos B=13，B 是△ABC 的内角，所以sinB=，又1tan A +1tan C =cos sin A A +cos sin C C =cos ?sin sin ?cos sin sin A C A CA C +⋅ =sin()sin sin A C A C +⋅=sin sin sin B A C=2sin sin B B =1sin B=.。

高考数学二轮复习题：三角函数和平面向量

高考数学二轮复习题：三角函数和平面向量为了帮助大家复习三角函数和平面向量知识点，查词典数学网高考频道小编带来了高考数学二轮复习题：三角函数和平面向量，供练习!1.三角函数的性质、图像及其变换，主假如的性质、图像及变换 .考察三角函数的观点、奇偶性、周期性、单一性、有界性、图像的平移和对称等.以选择题或填空题或解答题形式出现，属中低档题，这些试题对三角函数单一的性质考察较少，一道题所波及的三角函数性质在两个或两个以上，考察的知识点根源于教材.2.三角变换 .主要考察公式的灵巧运用、变换能力，一般要运用和角、差角与二倍角公式，特别是对公式的应用与三角函数性质的综合考察.以选择题或填空题或解答题形式出现，属中档题 .3.三角函数的应用.以平面向量、分析几何等为载体，或许用解三角形来考察学生对三角恒等变形及三角函数性质的应用的综合能力 .特别要注意三角函数在实质问题中的应用和跨知识点的应用，注意三角函数在解答相关函数、向量、平面几何、立体几何、分析几何等问题时的工具性作用.这种题一般以解答题的形式出现，属中档题.要练说，先练胆。

说话胆寒是少儿语言发展的阻碍。

许多幼儿当众说话时显得胆寒：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。

总之，说话时外面表现不自然。

我抓住练胆这个重点，面向全体，倾向差生。

一是和少儿成立和睦的语言沟通关系。

每当和少儿发言时，我老是笑容相迎，声音和蔼，动作亲昵，除去少儿恐惧心理，让他能主动的、自由自在地和我谈话。

二是着重培育少儿敢于当众说话的习惯。

或在讲堂教课中，改变过去老师讲学生听的传统的教课模式，撤消了先举手后发言的拘束，多采纳自由谈论和发言的形式，给每个少儿许多的当众说话的时机，培育少儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有困难的少儿，我老是仔细地耐心地听，热忱地帮助和鼓舞他把话说完、说好，加强其说话的勇气和把话说好的信心。

三是要提明确的说话要求，在说话训练中不停提升，我要求每个少儿在说话时要仪态大方，口齿清楚，声音响亮，学会用眼神。

高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量第3讲平面向量课件理

第3讲平面向量
高考定位平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为 B级，只有平面向量的应用为A级要求，平面向量的数量积为C级要求.主要考查：(1)平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，填空题难度中档； (2)平面向量的数量积，以填空题为主，难度低；(3)向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.
2.平面向量的两个充要条件若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
3.平面向量的三个性质 (1)若 a＝(x，y)，则|a|＝ a·a＝ x2＋y2. (2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
＝－356(a2＋b2)＋2366a·b＝－356×229＋2366×4＝78.
答案
7 8
4.(2017·江苏卷)已知向量 a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－ 3)， x∈[0，π ]. (1)若 a∥b，求 x 的值； (2)记 f (x)＝a·b，求 f (x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值.
真题感悟
1.(2015·江苏卷)已知向量 a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若 ma＋ nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则 m－n 的值为________. 解析 ∵a＝(2，1)，b＝(1，－2)，∴ma＋nb＝(2m＋n， m－2n)＝(9，－8)，即2mm－＋2nn＝＝9－，8，解得mn＝＝52，，故 m －n＝2－5＝－3.
解 (1)∵a∥b，∴3sin x＝－ 3cos x， ∴3sin x＋ 3cos x＝0，即 sinx＋π6 ＝0. ∵0≤x≤π ，∴π6 ≤x＋π6 ≤76π ，∴x＋π6 ＝π ，∴x＝5π6 .

高考数学二轮复习专题1.3三角函数与平面向量(测)文

专题1.3 三角函数与平面向量总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______一、选择题（12*5=60分）1．【2018届陕西省宝鸡市金台区高三上期中】已知()()1,1,,3AB BC x ==-，若AC AB ⊥，则x = ( ) A. 3 B. 1 C. 3-或2 D. 4-或1 【答案】B【解析】AC = ()()()1,1,31,2x x +-=+-，由AC AB ⊥得120,1x x +-== ，选B. 2．已知3sin 5α=，且α为第二象限角，则tan 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝（）A. 195-B. 519-C. 3117-D. 1731- 【答案】D3．在ABC ∆中， ()223b c a bc -=-，则角A 等于（） A.56π B. 23π C. 3π D. 6π 【答案】B【解析】()223b c a bc -=-即22223b bc c a bc -+=- 所以()22212cos 0,23b c a bc A A A ππ+-=-∴=-∈∴=故选B.4．【2018 届四川省凉山州高三毕业班第一次诊断】已知锐角α满足cos cos24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin cos αα等于（） A.14 B. 14- C. 24 D. 24-【答案】A5．cos 26x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ ()x ππ-≤≤的值域为( ) A. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. [－1,1]C. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】由－π≤x ≤π，可知－2π≤2x ≤2π，－ 23π≤2x －6π≤3π，函数y ＝cosx 在区间2[3π-,0]内单调递增，在区间[0, ]3π内单调递减，且cos 23π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－12，cos 3π＝12，cos 0＝1，因此所求值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选C.6．函数()sin y A x ωϕ=+ (0,)2πωϕ>≤的部分图象如图所示，则函数的一个表达式为A. 4sin 84y x ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭ B. 4sin 84y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. 4sin 84y x ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ D. 4sin 84y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】A点睛：本题主要考查利用()sin y A x ωφ=+的图象特征，由函数()sin y A x ωφ=+的部分图象求解析式，理解解析式中,,A ωφ的意义是正确解题的关键，属于中档题． A 为振幅，有其控制最大、最小值， ω控制周期，即2T πω=，通常通过图象我们可得2T 和4T， φ称为初象，通常解出A ， ω之后，通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点.7．【2018届江西省新余四中高三上学期第一次段考】为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像，可以将函数sin2y x =的图像（）A. 向右平移6π个单位长度B. 向左平移12π个单位长度 C. 向左平移6π个单位长度 D. 向右平移12π个单位长度【答案】D【解析】因为把2y sin x =的图象向右平移12π个单位长度可得到函数22126y sin x sin x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，所以，为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin2y x =的图象，向右平移12π个单位长度故选D. 8．在ABC ∆中，若5,15,30a b A ===︒，则边c 的长度等于( ) A. 25 B. 5 C. 25或5 D. 以上都不对【答案】C9．【2018届广西玉林市陆川中学高三上期中】已知向量()11a =-，， ()12b =-，，则()2a b a +⋅＝（） A. 1- B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C【解析】()()()21,01,11a b a +⋅=-=, 故选：C.10．设函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（） A. ()f x 的一个周期为2π B. ()f x 的图形关于直线8x π=对称 C. ()f x 的一个零点为8x π=-D. ()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【答案】D11．若2,4a b ==，且()a b a +⊥，则a 与b 的夹角为（） A.23π B. 3π C. 43π D. 23π- 【答案】A【解析】()a b a +⊥ ()204a b a a a b a b ⇒+⋅=+⋅=⇒⋅=-，412cos ,,,2423a b a b a b a bπ⋅-===-∴=⨯, 故选：A ．12．如图，在直角坐标系xoy 中，其中A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1),图中圆弧所在圆的圆心为点C ，半径为12，且点P 在图中阴影部分（包括边界）运动.若AP λAB μBC =+，其中λ,μR ∈，则4λμ- 的取值范围是（）A. [2,3+324] B. [2,3+52] C. [3-24, 3+52] D. [3-172, 3+172] 【答案】B【解析】则12{32ff⎛⎫≤⎪⎝⎭⎛⎫≤⎪⎝⎭，解得2≤t≤3+52，∴4x﹣y的取值范围是[2，3+52]．故选：B．二、填空题（4*5=20分）13.【2018届山东省济宁市高三上学期期末】已知32cos45πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin2α=________.【答案】1125-【解析】cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=()2326cos sin cos sin 255αααα-=∴-= 平方得36111sin2sin22525αα-=∴=- 故答案为1125-14．已知向量()()1,2,2,a b m ==-， a b +与a b -垂直，则m =__________．【答案】1±15．【2018届四省名校（南宁二中等）高三上第一次大联考】已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3cos c B b C =， 45A =︒，则B =__________.【答案】75°【解析】由题意结合正弦定理有： sin sin 3sin cos C B B C =，sin 0,tan 3,60B C C ≠∴==，三角形内角和为180，则180456075B =--=. 16．如图所示， 23BAC π∠=，圆M 与,AB AC 分别相切于点,D E ， 1AD =，点P 是圆M 及其内部任意一点，且(),AP xAD yAE x y R =+∈，则x y +的取值范围是__________．【答案】423,423⎡⎤-+⎣⎦【解析】三、解答题（共6道小题，共70分）17. 在△ABC 中，内角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c ，且bsin A asin 2B =. (1)求角B 的大小；(2)若b=7，求△ABC 的面积的最大值.【答案】(1) πB 3=;（2）734【解析】试题分析：(1)利用正弦定理边化角结合三角函数的性质可得1cos B 2=，则πB 3= . (2)利用(1)的结论和余弦定理、均值不等式可得ac 7≤ ，结合面积公式可知ABC S 的最大值为734. 试题解析：(1)∵bsin A asin 2B =,18．【2018届江西省新余四中高三上学期第一次段考】已知函数f （x ）=sin 2x –cos 2x –23 sin x cos x （x ∈R ）.（1）求f （2π3）的值. （2）求f （x ）的最小正周期及单调递减区间.【答案】（Ⅰ）2;（Ⅱ）π, ,,36k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ .【解析】试题分析：（1）直接利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式及辅助角公式，把函数的关系式变形为-2sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭,进一步求出函数的值；（2）利用（1）的结论，直接根据周期公式可得f （x ）的最19．【2018届西藏拉萨市高三第一次模拟】已知a ， b ， c 分别为ABC ∆的三个内角A ， B ， C 的对边，且3sin 2cos a C c c A =+．（1）求角A ；（2）若23a =， ABC ∆的面积为3，求b ， c ．【答案】(1) 23A π=;(2) 2b c ==. 【解析】试题分析：（1）利用正弦定理边转角，消去sin C 后，利用辅助角公式化为关于角A 的三角方程，根据角的范围求出角A ；（2）利用余弦定理得出关于b,c 关系式，再利用三角形面积公式得出b,c 关系，联立方程组解出b 和c.试题解析：（1）由3sin 2cos a C c c A =+及正弦定理，得3sin sin 2sin sin cos A C C C A =+，由于sin 0C ≠，所以3sin 2cos A A =+，即sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．又0A π<<，所以5666A πππ-<-<，所以62A ππ-=，故23A π=．（2）ABC ∆的面积1sin 32S bc A ==，故4bc =，① 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，故()22312120b c a bc -=-=-=，故b c =，②由①②解得2b c ==．20．【2018届江西省南昌市高三第一轮】已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，且cos 3sin 0a C a C b c +--=．（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若AD 为BC 边上的中线， 1cos 7B =， 1292AD =，求ABC ∆的面积．【答案】（Ⅰ）060A =（Ⅱ）103ABC S ∆=则()31143sin sin 72C A B =+=⨯+⨯ 5314=，由正弦定理得sin 7sin 5a A c C ==．设7,5a x c x ==，在ABD ∆中，由余弦定理得： 2222?cos AD AB BD AB BD B =+-，则2212911125492574427x x x x =+⨯-⨯⨯⨯⨯，解得1x =，即7,5a c ==，故1sin 1032ABC S ac B ∆==．点睛: 本题考查了正弦定理、余弦定理，三角形的面积公式，以及两角和差的正弦公式等，注意内角的范围，考查化简、变形、计算能力．注意当已知三角形的一个边和两个角时,用正弦定理.已知两角一对边时,用正弦定理,已知两边和对角时用正弦较多.21．【2018届山东省师大附中高三第三次模拟】已知()()33cos22sin πsin π2f x x x x ⎛⎫=++-⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 最小正周期及其图象的对称轴方程;(2)已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且()3,3f A a =-=,求ABC ∆周长的最大值．【答案】(1) π, 对称轴方程为()ππ212k x k =-∈Z (2) ΔABC 周长的最大值为9(2)由(1)由余弦定理可知2a =222cos b c bc A +-= 22b c bc +-=当且仅当b c =时等号成立.于是26b c a +≤=.故ΔABC 周长的最大值为9.22．已知向量()1,sin a x =，(cos ,b x = ⑴ 若a b ⊥，求tan2x 的值； ⑵ 令()f x a b =⋅，把函数()f x 的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），再把所得图象沿x 轴向左平移个单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的单调递增区间.【答案】()g x ∴的单调增区间是()5πππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.。