高中数学北师大版必修四学案：第一章 8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(二)

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高中数学第一章三角函数1.8函数y=Asin(ωxφ)的图象课堂导学案北师大版必修4

1.8 函数y=Asin （ωx+φ）的图象课堂导学三点剖析1.求y=Asin(ωx+φ)的振幅,周期,频率,相位及初相【例1】用五点法作出函数y=2sin(x-3π)+3的图象，并指出它的周期、频率、相位、初相、最值及单调区间.思路分析：本题考查y=Asin(ωx+φ)的基本概念,注意辨别初相与相位. 解：列表如下：x3π 65π 34π 611π37π x-3π 02π π 123π 2π y 3 5313描点作图，如下图：周期T=2π，频率f=T 1=π21，相位x-3π，初相-3π，最大值5，最小值1，单调减区间［2k π+65π,2k π+611π］(k∈Z ),单调增区间［2k π-6π,2k π+65π］(k∈Z ).友情提示y=Asin(ωx+φ)+k 沿y 轴方向平移，所以函数最值发生变化.（1）用五点法作函数y=Asin(ωx+φ)+k 的图象，五个点应是使函数取得最大值、最小值以及曲线与x 轴的交点.（2）用五点法作函数y=Asin(ωx+φ)+k 的图象的步骤是：第一步：列表x ωϕ-ωϕωπ-2 ωϕωπ- ωϕωπ-23 ωϕωπ-2 ωx+φ 0 2ππ 23π 2π ykA+kkk-Ak注意：由ωx+φ=0、2π、π、23π、2π先求出x ，再由ωx+φ的值求出y 的值.第二步：在同一坐标系中描出各点.第三步：用光滑的曲线连接这些点，而成图象.各个击破类题演练 1 已知函数y=3sin(2x+3π). (1)求出它的周期;(2)用“五点法”作出一个周期的简图；（3）指出函数的单调区间. 解析:(1)周期为:T=22π=π. (2)列表. 2x+3π 02π π23π 2πx6π-12π 3π 127π 65π y 0 3-3描点连线（如下图）（3）可见在一个周期内,函数在［12π,127π］上递减,又因函数的最小正周期为π,所以函数的递减区间为［k π+12π,k π+127π］(k∈Z ).同理,增区间为［k π-125π,k π+12π］(k∈Z ).变式提升 1如右图，已知y 1=Asin(ωx+φ)的一个周期的图象. （1）写出y 1的解析式；（2）若y 2与y 1的图象关于直线x=2对称，写出y 2的解析式；（3）指出y 2的周期、频率、振幅和初相. 解析:（1）由题图易知：A=2,T=7-(-1)=8,ω=82ππ=2T =4π. ∴y 1=2sin(4πx+φ)，将点（-1，0）代入得 2sin(-4π+φ)=0.∴φ=4π.∴y 1=2sin(4πx+4π).（2）作出与y 1的图象关于直线x=2对称的图象，可以看出y 2的图象相当于将y 1的图象向右平移2个单位得到的.∴y 2=2sin ［4π(x-2)+4π］=2sin(4πx-4π). （3）由（2）知，y 2的周期T=42ππ=8，频率f=811=T ，振幅A=2,初相φ=-4π.2.由y=sinx 到y=Asin(ωx+φ)以及由y=cosx 到y=Acos(ωx+φ)的图象变换【例2】要得到函数y=sin(2x-3π)的图象，只要将y=sin 21x 的图象（）A.先把每个x 的值扩大4倍，y 值不变，再向右平移3π个单位B.先把每个x 的值缩小4倍，y 值不变，再向左平移3π个单位C.先把每个x 的值扩大4倍，y 值不变，再向左平移6π个单位D.先把每个x 的值缩小4倍，y 值不变，再向右平移6π个单位解析:21x→2x，先缩小4倍，又∵-3π＜0，∴右移23π=6π.答案:D 友情提示 y=sin21x 变换成y=sin2x 是把每个x 值缩小4倍，有的同学错认为是扩大4倍，这样就错选A 或C ；再把y=sin2x 变换成y=sin(2x-3π)，即变为y=sin2(x-6π)，则应当向右平移6π，有的同学认为是平移3π，这样导致错选A 或B ；也有的同学左右平移方向搞错，导致出错. 类题演练 2 作出函数y=3cos(2x-4π)的图象,并说明这个图象可以由y=cosx 的图象经过怎样的变化得到?解析:①列出五个关键点如下: 2x-4π 02π π23π 2πx8π 83π 85π 87π 89π y 3 0-3②描点作图.③以π为周期把所得图象向左,右扩展,得 y=3cos(2x-4π)的图象. 这个图象可以由y=cosx 的图象先向右平移4π个单位,再将图象上每一点的横坐标压缩到原来的21,每一点的纵坐标伸长到原来的3倍而得到. 变式提升 2使函数y=f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标缩小到原来的21倍,然后再将其图象沿x 轴向左平移6π个单位得到的曲线与y=sin2x 的图象相同,则f(x)的表达式为（） A.y=sin(4x-3π) B.y=sin(x-6π)C.y=sin(4x+3π)D.y=sin(x-3π)解析:据题意,y=sin2x −−−−−→−个单位向右平移6πy=sin2(x-6π)=sin(2x-3π)y=sin(x-3π). 答案:D3.根据图象写出函数的解析式【例3】如下图所示,函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象上相邻的最高点与最低点的坐标分别为(125π,3)和(1211π,-3). 求该函数的解析式.思路分析：根据相邻的最高点与最低点确定2T从而确定ω;由点的坐标满足图象解析式,代入得出φ.解:依题意知A=3,设最小正周期为T,则12512112ππ-=T =2π,∴T=π,又T=ωπ2, ∴ω=2.∴函数解析式为y=3sin(2x+φ).∵点(125π,3)在图象上, ∴3=3sin(2×125π+φ)⇒sin(65π+φ)=1.⇒65π+φ=2k π+2π⇒φ=2k π-3π,k∈Z . ∴y=3sin(2x+2k π-3π).故y=3sin(2x-3π)为所求. 友情提示这类问题的求解难点是φ的确定,除以上方法外,常用移轴方法:做平移,使移轴公式为x=x′+6π,y=y′,则易知函数在新坐标系中的方程是y′=3sin2x′,而x′=x -6π. ∴所求函数y=3sin ［2(x-6π)］,而平移时,方向与符号易出错.类题演练 3如下图,某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足y=Asin(ωx+φ)+b ，(1)求这段时间的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式. 解析:(1)20°. (2)A=10,b=20. ∵2T=14-6=8, ∴T=16. ∴16=ωπ2, ∴ω=8π. ∴y=10sin(8πx+φ)+20. 由五点法知,10sin(8π×6+φ)+20=10.即8π×6+φ=23π,∴φ=43π.∴y=10sin(8πx+43π)+20,x∈［6,14］.变式提升 3如右图,它是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),|φ|<π的图象,根据图中数据,写出该函数解析式.解析:由图象知,A=5,T=3π,于是ω=32,所以y=5sin(32x+φ). 将最高点坐标(4π,5)代入y=5sin(32x+φ),得5sin(6π+φ)=5.∴6π+φ=2k π+2π,∴φ=2k π+3π,(k∈Z ),取φ=3π. ∴该函数的解析式为y=5sin(32x+3π).。

新版高中数学北师大版数学必修四教学案：第一章8第1课时函数y=Asin(ωx+φ)的图像的画法

新版高中数学北师大版数学必修四教学案：第一章8第1课时函数y ＝Asin （ωx＋φ）的图像的画法[核心必知]1．函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)中参数A 、φ、ω的作用参数作用A A 决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A 为振幅 φ φ决定了x ＝0时的函数值，通常称φ为初相，ωx ＋φ为相位 ωω决定了函数的周期T ＝2πω，通常称周期的倒数f ＝1T ＝ω2π为频率 (1)振幅变换要得到函数y ＝Asin x(A>0，A≠1)的图像，只要将函数y ＝sin x 的图像上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A 倍(横坐标不变)即可得到．(2)相位变换要得到函数y ＝sin(x ＋φ)的图像，只要将函数y ＝sin x 的图像上所有点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度即可得到．(3)周期变换要得到函数y ＝sin ωx(x∈R)(其中ω>0且ω≠1)的图像，可以把函数y ＝sin x 上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)即可得到．(4)平移变换对于函数y ＝sin x ＋b 的图像，可以看作是把y ＝sin x 的图像上所有点向上(当b>0时)或向下(当b<0时)平行移动|b|个单位长度得到的．[问题思考]1．由y ＝sin(x ＋)的图像如何得到y ＝sin x 的图像？提示：因为y ＝sin ＋]＝sin x ，故要得到y ＝sin x 的图像只需将y＝sin(x ＋)的图像向右平行移动个单位长度即可．2．由函数y ＝sin x 的图像到y ＝sin x 的图像怎样变换？提示：把y ＝sin x 的图像在纵坐标不变的情况下，横坐标变为原来的3倍，得到y ＝sin x 的图像．讲一讲1．已知函数y ＝3sin ，用五点法画出该函数在一个周期上的图像．[尝试解答] (1)列表：12π4－x 0 π2 π 3π2 2π x π23π25π2 7π29π2y0 3 0－3(2)3)，(，0)．(3)连线：将所得五点用光滑的曲线连接起来，得到所求函数的图像，如图所示．用五点法作函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图像的步骤是：第一步：列表x φω－π2ωφω－ πωφω－3π2ωφω－ 2πωφω－ωx ＋φ 0 π2π 3π22π yA 0－A。

北师大版数学高一(北师大)必修4学案 1.8函数y=Asin(ωxφ)的图象

第一章三角函数函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象一教学目标：知识与技能（1）熟练掌握五点作图法的实质；（2）理解表达式y＝Asin(ωx＋φ)，掌握A、φ、ωx ＋φ的含义；（3）理解振幅变换和周期变换的规律，会对函数y＝sinx进行振幅和周期的变换；（4）会利用平移、伸缩变换方法，作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像；（5）能利用相位变换画出函数的图像。

过程与方法通过学生自己动手画图像，使他们知道列表、描点、连线是作图的基本要求；通过在同一个坐标平面内对比相关的几个函数图像，发现规律，总结提练，加以应用；要求学生能利用五点作图法，正确作出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像；讲解例题，总结方法，巩固练习。

情感态度与价值观通过本节的学习，渗透数形结合的思想；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。

二、教学重、难点重点: 相位变换的有关概念，五点法作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像难点: 相位变换画函数图像，用图像变换的方法画y＝Asin(ωx＋φ)的图像三、学法与教学用具在前面，我们知道精确度要求不高时，可以用五点作图法，是哪五个关键点；首先请同学们回忆，然后通过物理学中的几个情境引入课题；主要让学生动手实践，两节课尽可能多地让他们画图，教师只是加以点拨；可以从几个具体的、简单的例子开始，在适当的时候加以推广；先分解各个小知识点，再综合在一起，上升更高一层。

教学用具:投影机、三角板自主讲练一、教学思路【创设情境，揭示课题】在物理和工程技术的许多问题中，经常会遇到形如y ＝Asin(ωx ＋φ)的函数，例如：在简谐振动中位移与时间表的函数关系就是形如y ＝Asin(ωx ＋φ)的函数。

正因为此，我们要研究它的图像与性质，今天先来学习它的图像。

【探究新知】例1．画出函数y=2sinx x ∈R ；y=21sinx x ∈R 的图象（简图）。

2018版高中数学北师大版必修四学案第一章 8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(一)

学习目标.理解＝(ω＋φ)中ω、φ、对图像的影响.掌握＝与＝(ω＋φ)图像间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．
知识点一φ(φ≠)对函数＝(＋φ)，∈的图像的影响
思考如何由＝()的图像变换得到＝(＋)的图像？
思考如何由＝的图像变换得到＝(＋)的图像？
梳理如图所示，对于函数＝(＋φ)(φ≠)的图像，可以看作是把＝的图像上所有的点向(当φ>时)或向(当φ<时)平行移动个单位长度而得到的．
知识点二ω(ω＞)对函数＝(ω＋φ)的图像的影响
思考函数＝，＝和＝的周期分别是什么？
思考当三个函数的函数值相同时，它们的取值有什么关系？
思考函数＝ω的图像是否可以通过＝的图像得到？
梳理如图所示，函数＝(ω＋φ)的图像，可以看作是把＝(＋φ)的图像上所有点的横坐标(当ω>时)或(当<ω<时)到原来的倍(纵坐标)而得到．
知识点三(＞)对＝(ω＋φ)的图像的影响
思考对于同一个，函数＝，＝和＝的函数值有何关系？
梳理如图所示，函数＝(ω＋φ)的图像，可以看作是把＝(ω＋φ)图像上所有点的纵坐标(当>时)或(当<<时)到原来的倍(横坐标不变)而得到．
知识点四函数＝的图像与＝(ω＋φ)(＞，ω＞)的图像关系
正弦曲线＝到函数＝(ω＋φ)的图像的变换过程：。

高中数学第1章 8函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质课件北师大版必修4

56π
43π
161π
73π
x－π3
0
π 2
π
3 2π
2π
y
35 3
1
3
(2)描点．
(3)作图如图所示．
周期 T＝2π，频率 f＝T1＝21π，相位 x－π3，初相－π3，最大值 5，最小值 1，函数的减区间为 2kπ＋56π，2kπ＋161π(k∈Z)，增区间为2kπ－π6，2kπ＋56π(k∈Z)．
A．y＝sin(x＋π6)
B．y＝sin(2x－π6)
C．y＝cos(4x－π3)
D．y＝cos(2x－π6)
[答案] D
[解析] “五点法”对应解方程．设 y＝Asin(ωx＋φ)，显然 A＝1，又图像过点(－π6，0)，(1π2，1)，
所以ωω××1π－2＋π6φ＋＝φπ2＝. 0，
解得 ω＝2，φ＝π3.所以函数解析
函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用
函数f(x)＝Asin(ωx－
π 6
)＋1(A>0，ω>0)的最大值
为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设α∈(0，π2)，f(α2)＝2，求α的值．
[思路分析] (1)根据最大值求A，根据对称轴的条件，得
函数周期，从而求ω；
点，在于确定初相φ，其基本方法是利用特殊点，通过待定系
数法、逐一定参法或图像变换法来求解．
函数 y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0≤φ<2π)的部分图像如图，
则( )
A．ω＝π2，φ＝π4
B．ω＝π3，φ＝π6
C．ω＝π4，φ＝π4 [答案] C
D．ω＝π4，φ＝54π

【北师大版】高中数学必修4第一章第八节：《函数y=Asin(ωx φ)的图象》教学设计

【北师大版】高中数学必修四函数sin()y A x ωϕ=+的图象教学设计一、教学内容分析本节课选自北师大版《数学》，必修4 第一章 §8函数sin()y A x ωϕ=+的图象。

它是在前面学习了正弦函数和余弦函数的图象和性质的基础上对正弦函数图象的深化和拓展，由此进一步理解sin()y A x ωϕ=+与sin y x =的图象间的变换关系，通过学习sin()y A x ωϕ=+的图象变换的学习有助于学生进一步理解正弦函数的图象和性质，加深学生对其他函数图象变换的理解和认识，加深数形结合在数学学习中的应用的认识。

本节知识是学习函数图象变换综合应用的基础，在教材地位上显得十分重要。

因此这节课的内容是本章的重点、难点之一。

二、教学重点和难点教学重点：考察参数,,A ωϕ对函数图象变化的影响，理解函数sin y x =图象到sin()y A x ωϕ=+的图象变化过程。

教学难点：ω对sin()y A x ωϕ=+的图象的影响规律的概括。

三、教学过程设计（一）创设情境，揭示课题在简谐振动中位移与时间的函数关系就是形如sin()y A x ωϕ=+的函数，用几何画板软件可以很直观的演示物理中的简谐振动，使学生通过几何画板能形象、直观的看到简谐振动，这样的设计能激发学生原有的知识和经验，为其运用作好准备；设置悬念，引出课题。

同时通过这样创设问题情景，使学生能够感受大众数学的意义，使学生明白数学其实就发生在我们的身边，使学生在学习过程中感受数学的和谐美，激发学生学习数学的兴趣，提高学生学习数学的积极性，更好地促进学生的发展，体现了新课标的要求。

（二）探究新知，突破难点在讲解新课前，先提出数学问题，以便让学生在用几何画板进行数学实验时能抓住本课要点,明确本节课的重要内容，带着问题集中注意力探索问题，激发学生的求知欲望。

设计如下数学问题： 1、如何由函数sin y x =的图象经过变换得到函数sin()y A x ωϕ=+的图象？ 2、函数sin()y A x ωϕ=+的图象与字母,,A ωϕ的关系是怎样的？ 3、如何由函数sin y x =的图象经过变换得到函数3sin(2)6y x =+π的图象？这样设计一系列问题，层层解剖，层层推进，引导学生研究问题要从具体的函数到抽象的一般函数的科学态度和方法。

北师版数学高一北师大版必修4学案 1.8 函数 y=Asin(ωxφ) 图像(二)

明目标、知重点 1.会用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像.2.能根据y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像，确定其解析式.3.了解y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相．1．简谐振动简谐振动y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)中，A 叫作振幅，周期T ＝2πω，频率f ＝ω2π，相位是ωx＋φ，初相是φ.2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质如下定义域 R 值域 [－A ，A ] 周期性T ＝2πω奇偶性φ＝k π (k ∈Z )时是奇函数；φ＝π2＋k π (k ∈Z )时是偶函数；当φ≠k π2(k ∈Z )时是非奇非偶函数．单调性单调增区间可由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2 (k ∈Z )得到，单调减区间可由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )得到.[情境导学] 做简谐运动的单摆对平衡位置的位移y 与时间x 的关系、交流电的电流y 与时间x 的关系等都是形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，这种函数我们称为正弦型函数，那么怎样作正弦型函数的图像呢？正弦型函数的性质又是怎样的呢？探究点一 “五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图像思考1 物理中，简谐运动的图像就是函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)的图像，其中A >0，ω>0.描述简谐运动的物理量有振幅、周期、频率、相位和初相等，你知道这些物理量分别是指哪些数据以及各自的含义吗？答 A 是振幅，它是指物体离开平衡位置的最大距离；T ＝2πω是周期，它是指物体往复运动一次所需要的时间；f ＝1T ＝ω2π是频率，它是指物体在单位时间内往复运动的次数；ωx ＋φ称为相位；φ称为初相，即x ＝0时的相位．思考2 利用“五点法”作出函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)在一个周期上的图像，要经过“取值、列表、描点、连线”这四个步骤．请完成下面的表格 ωx ＋φ 0 π2 π 32π 2π x －φω －φω＋π2ω－φω＋πω －φω＋3π2ω －φω＋2πωyA－A所以，描点时的五个关键点的坐标依次是⎝⎛⎭⎫－φω，0，⎝⎛⎭⎫－φω＋π2ω，A ，⎝⎛⎭⎫－φω＋πω，0，⎝⎛⎭⎫－φω＋3π2ω，－A ，⎝⎛⎭⎫－φω＋2πω，0.例1 画出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6的简图．解方法一先把正弦曲线上所有点向右平行移动π6个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图像；再把后者所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6的图像；再把所得图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6的图像，如图所示．方法二下面利用“五点法”画函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6在一个周期T ＝2π13＝6π内的图像．令X ＝13x －π6，则x ＝3⎝⎛⎭⎫X ＋π6.列表：X 0 π2 π 3π2 2π x π2 2π 7π2 5π 13π2 y2－2描点画图(如图所示)：反思与感悟 “五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx ＋φ分别为0、π2、π、3π2、2π，解出x ，从而确定这五点．跟踪训练1 如图是某简谐运动的图像，试根据图像回答下列问题：(1)这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？(2)从O 点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如从A 点算起呢？ (3)写出这个简谐运动的函数表达式．解 (1)从图像上可以看到，这个简谐运动的振幅为2 cm ；周期为0.8 s ；频率为54.(2)如果从O 点算起，到曲线上的D 点，表示完成了一次往复运动；如果从A 点算起，则到曲线上的E 点，表示完成了一次往复运动． (3)设这个简谐运动的函数表达式为y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈[0，＋∞)，那么，A ＝2；由2πω＝0.8，得ω＝5π2；由图像知初相φ＝0. 于是所求函数表达式是 y ＝2sin5π2x ，x ∈[0，＋∞)．探究点二由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像求三角函数的解析式例2 如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的一段，求其解析式．解由图像知A ＝3，以M ⎝⎛⎭⎫π3，0为第一个零点，P ⎝⎛⎭⎫5π6，0为第二个零点．列方程组⎩⎨⎧ω·π3＋φ＝0，ω·5π6＋φ＝π，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝－2π3.∴所求解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3. 反思与感悟 (1)在由图像求解析式时，“第一个零点”的确定是关键，一般地可将所给一段图像左、右扩展找离原点最近且穿过x 轴上升的即为“第一零点”(x 1,0)．从左到右依次为第二、三、四、五点，分别有ωx 2＋φ＝π2，ωx 3＋φ＝π，ωx 4＋φ＝32π，ωx 5＋φ＝2π.(2)由图像确定系数ω，φ通常采用两种方法：①如果图像明确指出了周期的大小和初始值x 1(第一个零点的横坐标)或第二，第三(或第四，第五)点横坐标，可以直接解出ω和φ，或由方程(组)求出．②代入点的坐标，通过解最简单的三角函数方程，再结合图像确定ω和φ. (3)A 的求法一般由图像观察法或代入点的坐标通过解A 的方程求出．跟踪训练2 如图，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的图像，根据图中条件，写出该函数的解析式．解由图像知A ＝5. 由T 2＝5π2－π＝3π2，得T ＝3π，∴ω＝2πT ＝23.∴y ＝5sin(23x ＋φ)．下面用两种方法求φ：方法一 (单调性法)∵点(π，0)在递减的那段曲线上， ∴2π3＋φ∈[π2＋2k π，32π＋2k π](k ∈Z )．由sin(2π3＋φ)＝0，得2π3＋φ＝2k π＋π(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z )．∵|φ|<π，∴φ＝π3.方法二 (最值点法)将最高点坐标(π4，5)代入y ＝5sin(23x ＋φ)，得5sin(π6＋φ)＝5，∴π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )， ∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z )．∵|φ|<π，∴φ＝π3.∴该函数解析式为y ＝5sin(23x ＋π3)．探究点三函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性思考1 探求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性．答 ①函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)是奇函数⇔f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像关于原点对称⇔f (0)＝0⇔φ＝k π(k ∈Z )．②函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)是偶函数⇔f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像关于y 轴对称⇔f (0)＝A 或f (0)＝－A ⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )．思考2 探求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图像的对称性．答 ①函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像关于点(x 0,0)中心对称当且仅当f (x 0)＝0.②函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像关于直线x ＝x 0轴对称当且仅当f (x 0)＝A 或f (x 0)＝－A . ③对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图像，相邻的两个对称中心或两条对称轴相距半个周期；相邻的一个对称中心和一条对称轴相距周期的四分之一．一般地，函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π－φω，0，k ∈Z ，对称轴方程是x ＝k π＋π2－φω，k ∈Z . 例3 已知函数f (x )＝a 2sin 2x ＋(a －2)cos 2x 的图像关于点⎝⎛⎭⎫π2，0中心对称，求a 的值．解 ∵函数f (x )＝a 2sin 2x ＋(a －2)cos 2x 的图像关于⎝⎛⎭⎫π2，0中心对称，∴f ⎝⎛⎭⎫π2＝2－a ＝0，∴a ＝2.反思与感悟对于函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)而言，函数图像与x 轴的交点就是图像的对称中心，注意以下充要条件的应用：函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)关于点(x 0,0)中心对称⇔f (x 0)＝0.跟踪训练3 已知函数f (x )＝a 2sin 2x ＋(a －2)cos 2x 的图像关于直线x ＝－π8对称，求a 的值．解根据函数图像关于直线x ＝－π8对称，∴f ⎝⎛⎭⎫－π8＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫－π8－x 对一切x ∈R 恒成立．取x ＝π8得f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫－π4. 代入得a －2＝－a 2，解得a ＝1或a ＝－2.1．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x 的图像，只需将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π6的图像( ) A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位答案 A解析提取x 的系数－12得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤－12⎝⎛⎭⎫x －π3，于是可得，向左平移π3个单位． 2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像( ) A ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称D ．关于直线x ＝π3对称答案 A3．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图像如图，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π4答案 C解析由所给图像可知，T4＝2，∴T ＝8.又∵T ＝2πω，∴ω＝π4.∵图像在x ＝1处取得最高点， ∴π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝2k π＋π4(k ∈Z )，∵0≤φ<2π，∴φ＝π4.4．作出y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4一个周期上的图像．解 (1)列表：x π2 32π 52π 72π 92π 12x －π4 0 π2 π 32π 2π 3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π43－3[呈重点、现规律]1．由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像确定解析式关键在于确定参数A ，ω，φ的值． (1)一般可由图像上的最大值、最小值来确定|A |.(2)因为T ＝2πω，所以往往通过求周期T 来确定ω，可通过已知曲线与x 轴的交点从而确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T .(3)从寻找“五点法”中的第一个零点⎝⎛⎭⎫－φω，0(也叫初始点)作为突破口．以y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．2．在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想．例如，它在ωx ＋φ＝π2＋2k π (k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝3π2＋2k π (k ∈Z )时取得最小值．一、基础过关1．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ(|φ|<π2)的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( ) A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3答案 A解析 T ＝2πω＝2ππ3＝6，代入(0,1)点得sin φ＝12.∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6.2．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图像不可能是( )答案 D解析当a ＝0时f (x )＝1，C 符合，当0<|a |<1时T >2π，且最小值为正数，A 符合，当|a |>1时T <2π，且最小值为负数，B 符合．D 项中，由振幅得a >1，所以T <2π，而由图像知T >2π，矛盾，故选D. 3.若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图像如图，则ω等于 ( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 答案 B解析根据图像确定函数的最小正周期，再利用T ＝2πω求ω. 设函数的最小正周期为T ，由函数图像可知T 2＝⎝⎛⎭⎫x 0＋π4－x 0＝π4，所以T ＝π2.又因为T ＝2πω，可解得ω＝4.4．下列函数中，图像的一部分如下图所示的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 答案 D解析由图知T ＝4×⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝π，∴ω＝2πT＝2.又x ＝π12时，y ＝1，经验证，可得D 项解析式符合题目要求．5．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是．答案 x ＝－π6解析令2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．由k ＝0，得x ＝π3；由k ＝－1，得x ＝－π6.6．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图像向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像重合，则φ＝ . 答案5π6解析函数y ＝cos(2x ＋φ)向右平移π2个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3向左平移π2个单位得到函数y ＝cos(2x ＋φ)，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3向左平移π2个单位，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π＋π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6，即φ＝5π6. 7．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎫π8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫38π，0，若φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图像．解 (1)由题意知A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎫38π－π8＝π， ω＝2πT＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)．又∵sin ⎝⎛⎭⎫π8×2＋φ＝1，∴π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，又∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴φ＝π4.∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.(2)列出x 、y 的对应值表：x －π8 π8 38π 58π 78π 2x ＋π40 π2 π 32π 2π y2－2描点、连线，如图所示：二、能力提升8.右图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )在区间[－π6，5π6]上的图像．为了得到这个函数的图像，只要将y ＝sin x (x ∈R )的图像上所有的点( ) A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变答案 A解析由图像可知A ＝1，T ＝5π6－(－π6)＝π，∴ω＝2πT ＝2.∵图像过点(π3，0)，∴sin(2π3＋φ)＝0，∴2π3＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝π3＋2k π，k ∈Z .∴y ＝sin(2x ＋π3＋2k π)＝sin(2x ＋π3)．故将函数y ＝sin x 先向左平移π3个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得原函数的图像．9．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3答案 A解析 34T ＝5π12－⎝⎛⎭⎫－π3，T ＝π，∴ω＝2， ∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π3，k ∈Z ，又φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝－π3，选A. 10．关于f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ③y ＝f (x )的图像关于⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )的图像关于x ＝－π6对称．其中正确命题的序号为．答案 ②③解析对于①，由f (x )＝0，可得2x ＋π3＝k π (k ∈Z )．∴x ＝k 2π－π6，∴x 1－x 2是π2的整数倍，∴①错；对于②，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3利用公式得：f (x )＝4cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6， ∴②对；对于③，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称中心满足2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，∴x ＝k 2π－π6，k ∈Z . ∴⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数y ＝f (x )的一个对称中心，∴③对；对于④，函数y ＝f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，∴x ＝π12＋k π2，k ∈Z .∴④错．11．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的最小值为－2，其图像相邻的最高点与最低点横坐标之差是3π，又图像过点(0,1)，求函数的解析式．解由于最小值为－2，所以A ＝2. 又相邻的最高点与最低点横坐标之差为3π. 故T ＝2×3π＝6π，从而ω＝2πT ＝2π6π＝13， y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋φ.又图像过点(0,1)，所以sin φ＝12.因为|φ|<π2，所以φ＝π6.故所求解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π6.12．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，(A >0，ω>0)的图像过点P (π12，0)，图像与P 点最近的一个最高点坐标为(π3，5)．(1)求函数解析式； (2)指出函数的增区间； (3)求使y ≤0的x 的取值范围．解 (1)∵图像最高点坐标为(π3，5)，∴A ＝5.∵T 4＝π3－π12＝π4，∴T ＝π. ∴ω＝2πT ＝2，∴y ＝5sin(2x ＋φ)．代入点(π3，5)，得sin(23π＋φ)＝1.∴23π＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z .令k ＝0，则φ＝－π6，∴y ＝5sin(2x －π6)．(2)∵函数的增区间满足2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，∴2k π－π3≤2x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )．∴k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．∴增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )．(3)∵5sin(2x －π6)≤0，∴2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z )，∴k π－512π≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )．∴x 的取值范围为{x |k π－512π≤x ≤k π＋π12}(k ∈Z )．三、探究与拓展13．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图像关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．解 ∵f (x )在R 上是偶函数，∴当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值．即sin φ＝±1，得φ＝k π＋π2，k ∈Z ，又0≤φ≤π，∴φ＝π2.由图像关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称可知， sin ⎝⎛⎭⎫3π4ω＋π2＝0，解得ω＝43k －23，k ∈Z . 又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数， ∴T ≥π，即2πω≥π，∴ω≤2，又ω>0，2 3；当k＝2时，ω＝2.∴当k＝1时，ω＝。

2018版高中数学北师大版必修四学案：第一章 8 函数y=Asinωxφ的图像与性质一精品

学习目标 1.理解y ＝A sin(ωx ＋φ)中ω、φ、A 对图像的影响.2.掌握y ＝sin x 与y ＝A sin(ωx ＋φ)图像间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．知识点一 φ(φ≠0)对函数y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图像的影响思考1 如何由y ＝f (x )的图像变换得到y ＝f (x ＋a )的图像？思考2 如何由y ＝sin x 的图像变换得到y ＝sin(x ＋π6)的图像？梳理如图所示，对于函数y ＝sin(x ＋φ)(φ≠0)的图像，可以看作是把y ＝sin x 的图像上所有的点向______(当φ>0时)或向____(当φ<0时)平行移动____个单位长度而得到的．知识点二 ω(ω＞0)对函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图像的影响思考1 函数y ＝sin x ，y ＝sin 2x 和y ＝sin 12x 的周期分别是什么？思考2 当三个函数的函数值相同时，它们x 的取值有什么关系？思考3 函数y ＝sin ωx 的图像是否可以通过y ＝sin x 的图像得到？梳理如图所示，函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图像，可以看作是把y ＝sin(x ＋φ)的图像上所有点的横坐标________(当ω>1时)或________(当0<ω<1时)到原来的________倍(纵坐标______)而得到．知识点三 A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的影响思考对于同一个x ，函数y ＝2sin x ，y ＝sin x 和y ＝12sin x 的函数值有何关系？梳理如图所示，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像，可以看作是把y ＝sin(ωx ＋φ)图像上所有点的纵坐标________(当A >1时)或________(当0<A <1时)到原来的____倍(横坐标不变)而得到．知识点四函数y ＝sin x 的图像与y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图像关系正弦曲线y ＝sin x 到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的变换过程： y ＝sin x 的图像―――――――――――――――→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ)的图像 ―――――――――――――――――――→所有点的横坐标变为原来的1ω倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)的图像―――――――――――――――――→所有点的纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像．类型一平移变换例1 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图像可以看作是由y ＝sin x 的图像经过怎样的变换而得到的？反思与感悟对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数．再观察x 前系数，当x 前系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx →ωx ＋φ的平移量为|φω|个单位．跟踪训练1 要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图像，只要将y ＝sin 2x 的图像( ) A ．向左平移π8个单位B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位类型二伸缩变换例2 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像上所有的点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)而得到的函数解析式为________________．反思与感悟横向伸缩变换，只变ω，φ不发生变化．跟踪训练2 把函数y ＝sin x (x ∈R )的图像上所有的点向左平移π3个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到的图像所表示的函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈R B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，x ∈R C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，x ∈R 类型三图像变换的综合应用例3 把函数y ＝f (x )的图像上的各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图像的解析式是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，求f (x )的解析式．反思与感悟 (1)已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图像的解析式，宜采用逆变换的方法．(2)已知函数f (x )图像的伸缩变换情况，求变换前后图像的解析式．要明确伸缩的方向及量，然后确定出A 或ω即可．跟踪训练3 将函数y ＝2sin(x ＋π3)的图像向左平移m (m >0)个单位长度后，所得图像对应的函数为偶函数，则m 的最小值为( ) A.π12 B.π6 C.π3 D.5π61．函数y ＝cos x 图像上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图像的解析式为y ＝cos ωx ，则ω的值为( ) A ．2 B.12 C ．4 D.142．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图像，只要将函数y ＝sin x2的图像( ) A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移2π3个单位D ．向右平移2π3个单位3．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( ) A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向上平行移动π3个单位长度D ．向下平行移动π3个单位长度4．将函数y ＝sin(－2x )的图像向左平移π4个单位长度，所得函数图像的解析式为__________________．5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π2的图像向右平移π4个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12，所得图像的函数解析式为____________________．1．由y ＝sin x 的图像，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图像，其变化途径有两条：(1)y ＝sin x ―――――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)―――――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)―――――――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)． (2)y ＝sin x ―――――――→周期变换y ＝sin ωx ―――――→相位变换y ＝sin[ω(x ＋φω)]＝sin(ωx ＋φ)―――――――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．2．类似地，y ＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图像也可由y ＝cos x 的图像变换得到．答案精析问题导学知识点一思考1 向左(a ＞0)或向右(a ＜0)平移|a |个单位．思考2 向左平移π6个单位．梳理左右 |φ| 知识点二思考1 2π，π，4π.思考2 当三个函数的函数值相同时，y ＝sin 2x 中x 的取值是y ＝sin x 中x 取值的12，y ＝sin12x 中x 的取值是y ＝sin x 中x 取值的2倍．思考3 可以，只要“伸”或“缩”y ＝sin x 的图像即可．梳理缩短伸长 1ω不变知识点三思考对于同一个x ，y ＝2sin x 的函数值是y ＝sin x 的函数值的2倍，而y ＝12sin x 的函数值是y ＝sin x 的函数值的12.梳理伸长缩短 A 题型探究例1 解函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图像，可以看作是把曲线y ＝sin x 上所有的点向右平移π6个单位长度而得到的．跟踪训练1 A 例2 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 跟踪训练2 C 例3 解y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3―――――――――――――→纵坐标伸长到原来的32倍 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3―――――――――――――→横坐标缩短到原来的12倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3―――――――――――――→向左平移π6个单位 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝3cos x . 所以f (x )＝3cos x . 跟踪训练3 B 当堂训练1．B 2.C 3.A 4.y ＝－cos 2x 5．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4。

高中数学第一章三角函数 1.8 函数y=Asin(ωx φ)的图像与性质(一)学案北师大版必修4

函数y=Asin （ωx+φ的图像与性质（一）班级姓名组号【学习目标】1、会用五点法作sin (0)y A x A =>、sin()y x ϕ=+一个周期上的图像；2、掌握由函数sin y x =的图像得到函数sin (0)y A x A =>、sin()y x ϕ=+图像的变换的方法与过程;【教学重点】振幅变换与相位变换的方法与过程【教学难点】振幅变换与相位变换的实质【学习过程】一、预习自学1、知识点一： sin y x =与sin (0)y A x A =>图像的变换关系----振幅变换阅读课本第43-45页内容，理解五点法做函数12sin sin 2y x y x ==、的图像过程，观察此过程发生了自变量或函数值的怎样替换？思考归纳出sin (0)y A x A =>与sin y x =图像间的变换关系：2、知识点二： sin y x =与sin()y x ϕ=+图像的变换关系----相位变换阅读课本第45-47页内容，理解用五点法做函数sin()4y x π=+、 sin()6y x π=-的图像过程. 观察此过程发生了自变量或函数值的怎样替换？思考归纳出sin()y x ϕ=+与sin y x =图像间的变换关系：二、课堂探究（巩固提升）问题1：五点法做函数下列函数的简图，并说明它与sin y x =的图像关系：（1）1sin 3y x =（2）4sin y x =问题2：五点法做函数下列函数的简图，并说明它与sin y x =的图像关系：（1）sin()6y x π=+（2） sin()4y x π=-问题3：（1）2sin(3)y x =+的图像可由函数sin y x =的图像怎样得到？（2）函数1cos(1)2y x =-的图像可由函数cos y x =的图像怎样得到？【达标检测】1、要得到函数sin y x =的图像，只需要把函数sin()3y x π=-的图像 . 2、要得到函数1cos 3y x =的图像，只需要把函数1cos 2y x =的图像 . 3、函数3sin()6y x π=-的图像如何由sin y x =的图像得到？【我的疑惑】。

2018版高中数学北师大版必修四学案：第一章8函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(二)

t三角函数函数v=Asin(wx+<p)的图像与性质(二)【学习目标】1•会用“五点法”画函数y= Asin(«x+册的图像2能根据y=Asin(«x+妨的部分图像，确定其解析式3了解y = Asin(”+⑥的图像的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相.IT问题导学--------------------------知识点一“五点法”作函数y= Asin(3x+©(A>0, 3>0)的图像思考1用“五点法”作y= sin x, x€ [0,2 n时，五个关键点的横坐标依次取哪几个值？思考2用“五点法”作y= Asin(»+妨时，五个关键的横坐标取哪几个值?梳理用“五点法”作y= Asin(»+妨的图像的步骤:第一步：列表：3X+ $0n2n3n22 nx CO2 O O 2 O O O Oy0A0-A0第二步：在同一坐标系中描出各点.第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图像.知识点二函数y= Asin(3x+妨，A>0, w>0的性质名称性质定义域值域周期性T =对称性对称中心0 (k€ Z)对称轴奇偶性当0= k n k€ Z)时是函数；当0= k n+ 2(k € Z)时是函数单调性通过整体代换可求出其单调区间知识点三函数y= Asin(3x+®, A>0, w> 0中参数的物理意义题型探究---------------------------类型一用“五点法”画y= Asin(«x+妨的图像1 n例1利用五点法作出函数y= 3si n(2x —3)在一个周期内的图像.2 3反思与感悟⑴用“五点法”作图时，五点的确定，应先令COX+ 0分别为0, 2，n, 3n，2n,解出x,从而确定这五点.⑵作给定区间上y= Asin( wx+ 0)的图像时，若x€ [m, n]，则应先求出wx+ 0的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x, y的值，描点、连线并作出函数的图像.跟踪训练1已知f(x) = 1 + 2sin(2x —才，画出f(x)在x€ [—才，扌上的图像.类型二由图像求函数y= Asi n@x+ 0)的解析式例 2 如图是函数y= As in (®x+ 0) A> 0, w> 0, n的图像，求A, 3, 0的值，并确定其函数解析式./V Sir-3反思与感悟若设所求解析式为y= Asin（3汁妨，则在观察函数图像的基础上，可按以下规律来确定A ,3,©（1）由函数图像上的最大值、最小值来确定|A|.2 n⑵由函数图像与x轴的交点确定T,由T=，确定3丨31⑶确定函数y= Asin（3x+ ©）的初相©的值的两种方法①代入法：把图像上的一个已知点代入（此时A, 3已知）或代入图像与x轴的交点求解.（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）②五点对应法：确定©值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点一3，0作为突破口. “五点”的3X+ ©的值具体如下："第一点”（即图像上升时与x轴的交点）为3X+ ©= 0；“第二点”（即图像的“峰点”）为3X+ ©= J"第三点”（即图像下降时与x轴的交点）为3x+ ©= n“第四点”（即图像的“谷点”）为3X+ ©=尹；“第五点”为3x+ ©= 2 n.跟踪训练2函数y= Asin（3x+©）的部分图像如图所示，则其解析式为（）A . y = 2sin 2x—6 B. y= 2sinC. y= 2sin$+ gjD. y= 2sin x+ 3类型三函数y= Asin@x+ 4)性质的应用例3 已知函数y = Asin(3x+©(A>0, 3>0，胡<才)的图像过点卩(洽，0)，图像上与P点最近的一个最高点的坐标为(扌，5).(1) 求函数解析式；(2) 指出函数的递增区间；(3) 求使y w 0的x的取值范围.反思与感悟有关函数y= Asin(3x+ 4)的性质的问题，要充分利用正弦曲线的性质，要特别注意整体代换思想.跟踪训练3 设函数f(x)= sin(2x+ 4)( —nV X 0)，函数y = f(x)的图像的一条对称轴是直线x _ n=8.(1)求4的值；⑵求函数y = f(x)的单调区间及最值.当堂训练函数y= Asin(3x+ 4)(A>0,0< 冗的图像的一段如图所示，它的解析式可以是()y=2si n( 2x+2 n y= 3Sin( 2x—3) D. y= |sin(2x+4)B. y= 3sin(2x+3)2 .由函数y = Asin （ sx+Q 的部分图像确定解析式关键在于确定参数A , co , Q 的值.n x 2 .函数y =— 2sin (4 — g)的周期、振幅、初相分别是( )(1)求f(x)的解析式; (2)写出f(x)的递增区间.厂"规律与方法■ ----------------------------------1.利用“五点”作图法作函数y = Asin(3汁妨的图像时，要先令 “3汁扩这一个整体依次取0 ,才，n 2n, 2 n 再求出x 的值，这样才能得到确定图像的五个关键点，而不是先确定xF 列表示函数n2，— 4n 1\ x2 6r4 .已知函数f(x)= sin &+扌《3>0)的最小正周期为 A .关于点n ，0对称 B •关于直线 C .关于点：0对称D •关于直线 n 则该函数的图像(x = 4"对称 x =^对称3D . 4 ny = sin 2x — 3在区间)5.已知函数的值，后求“ 3X+ 0”的值.⑴一般可由图像上的最大值、最小值来确定|A|.⑵因为T =今所以往往通过求得周期T来确定o,可通过已知曲线与x轴的交点从而确定oT,即相邻的最高点与最低点之间的距离为T；相邻的两个最高点（或最低点）之间的距离为T. ⑶从寻找“五点法”中的第一个零点（—0，0）（也叫初始点）作为突破口，以y = Asin（ox+ 妨（A>0, o>0）为例，位于递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个占八、、♦3 •在研究y= Asin（ox+妨（A>0, o>0）的性质时，注意采用整体代换的思想，如函数在wx+ Qn 3 n=2 + 2k n k€ Z）时取得最大值，在ox+片—+ 2k n K€ Z）时取得最小值.2 .由函数y = Asin （ sx+Q 的部分图像确定解析式关键在于确定参数 A , co , Q 的值.问题导学知识点一思考i 依次为o , n ， n 3n 2 n.思考2用“五点法”作函数 y = Asin(wx+ ©(x € R )的简图，先令t = wx+ ()),再由t 取0, n©丄2兀十—. 知识点二2 nn , k n — 6亠，叶,R [ — A , A]x =十（k € Z ）奇偶 3 2 3 3知识点三题型探究例i 解依次令x —n= o , n n 3n 2冗，列出下表:描点，连线,如图所示.O 2^ Sir fhr\LMr /I4TT -i■ I 匚育3 3 \ 3/ 3跟踪训练1解⑴•/x € [ — n n ,答案精析n, 3-5, 2 n 即可得到所取五个关键点的横坐标依次为-6十于, 3 2 32n332nx n2— 30 n 2x 2n 5 n 3 3 y3n3n 2 2n 8 n 11 n 14 n 3 33 0—3卫十乜3 33xn —23 —8nn—8n8 3 8nn2 n2x — _ 2x4 5 —4n —nn —20 n2 3 4 n f(x)21i -迈1i+V 22⑵描点，连线，如图所示.例2解方法一（逐一定参法）由图像知振幅A = 3, 5 n n 又 T =石-(-6)=n ，由点一6, 0 可知，一6 x 2 + 0=0, 得 0= 3，二 y = 3sin 2x + 3 . 方法二（待定系数法）3= 2, 解得 n,0= 3.••• y = 3sin 2x + 扌. 方法三（图像变换法）・c n 厂 --2x-----------€ 4[-5n4n列表如下:由图像知A = 3,又图像过点忖，0和啓，0」，根据五点作图法原理（以上两点可判为五点中的第三点和第五点）,由T =n 点J—6，0，A= 3 可知，n图像是由y= 3sin 2x向左平移6个单位长度而得到的,即y= 3sin 2x + 扌.跟踪训练2 A例3解（1）•••图像最高点的坐标为（n，5）,3二A= 5.3=2n= 2，••• y = 5sin(2x+ © .n 2 n代入点(n，5),得sin("3"+ ©= 1,•尹+ ©= 2k n+ n，k€ Z.n令k= 0,贝U ©=—；,6n• y = 5sin(2x—6).n n n ⑵•/函数的递增区间满足2k n—2三2x —2k n+ ^(k€ Z),2•2k n-扌< 2x< 2k n+ € Z),% %•k n—6 W x< k n+ 3(k € Z).•函数的递增区间为[k n—, k n+ §](k€ Z).n⑶•/ 5sin(2x —6)w 0,n•2k n— nW 2x —— W 2k n k€ Z),65 n n•-k n—12W x W k n+ 12(k€ Z).故所求x 的取值范围是[k n -荐k n + i |](k € Z ).跟踪训练3解⑴由2x +(j )= k n+ ^, k € Z ,k n,n© 人 k n,n$n n . _ 得 x = — + 4—2，令~2 + 4— 2=8，得 $= k n+ 4，k € 乙 — nv ©v 0,「• ©=— 3n4 ⑵由⑴知，f(x) = sin 2x — 3j 5., n 3 n n由 2k n — —W —x — — W 2k n+ —(k € Z )，n 5 n k n+ ?W x W k n+ —(k € Z )，故函数的递增区间是n 5 n~jk n+ 8，k n+ — (k€ Z).同理可得函数的递减区间是. 3 n n当2x—— = 2k n+ —(k € Z),5 n即x= k n+ —(k€ Z)时，函数取得最大值 1 ;当2x—3j5= 2k n—€ Z),n即x= k n+ 8(k€ Z)时，函数取得最小值一1.当堂训练1 . A 2.D 3.A 4.A5.解(1)易知A = 2, T = 4X [2 —( —2)] = 16, . 2n n… 3==T 8，••• f(x) = ,2si 门(衣+ ©),n将点(一2,0)代入得sin( — 4 + ©) = 0,n n令—4+ ©= °，二©= 4，• f(x) = ,2si n(n(+ n)., n n n n(2)由一2+ 2k nW 8x+ 4W 2 + 2k n，k€ Z，解得16k—6W x W 16k+ 2，k€ Z，• f(x)的递增区间为[16k—6,16k+ 2]，k€ Z.5 n 9 n~j k n+~8, k n+ —(k€ Z).。

高中数学第一章三角函数8函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(一)学案北师大版必修4(2021

2018-2019学年高中数学第一章三角函数8 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质(一)学案北师大版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第一章三角函数8 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质(一)学案北师大版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(一)学习目标 1.理解y＝A sin（ωx＋φ）中ω，φ，A对图像的影响。

2。

掌握y＝sin x与y＝A sin（ωx＋φ)图像间的变换关系,并能正确地指出其变换步骤。

知识点一φ（φ≠0)对函数y＝sin(x＋φ），x∈R的图像的影响思考1 如何由y＝f(x）的图像变换得到y＝f（x＋a）的图像?答案向左(a＞0）或向右(a＜0)平移｜a|个单位长度。

思考2 如何由y＝sin x的图像变换得到y＝sin错误!的图像?答案向左平移错误!个单位长度。

梳理如图所示，对于函数y＝sin(x＋φ）（φ≠0)的图像,可以看作是把y＝sin x的图像上所有的点向左(当φ〉0时）或向右(当φ〈0时)平行移动|φ|个单位长度而得到的。

知识点二ω(ω＞0）对函数y＝sin（ωx＋φ）的图像的影响思考1 函数y＝sin x，y＝sin 2x和y＝sin 错误!x的周期分别是什么？答案2π,π，4π.思考2 当三个函数的函数值相同时,它们x的取值有什么关系？答案当三个函数的函数值相同时，y＝sin 2x中x的取值是y＝sin x中x取值的错误!,y＝sin 错误!x中x的取值是y＝sin x中x取值的2倍。

北师大版高中数学必修4同步学案：第1章 8 第1课时函数y=asin(ωx+φ)的图像

§8 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像与性质第1课时函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图像学习目标核心素养1.了解振幅、初相、相位、频率等有关概念,会用“五点法”画出函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图像．2．理解并掌握函数y ＝Asin(ωx＋φ)图像的平移与伸缩变换．(重点)3．掌握A,ω,φ对图像形状的影响．(难点)1.通过用“五点法”画出函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图像,体会直观想象素养．2．通过学习函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图像的平移与伸缩变换,体会数学抽象素养.1．参数A,φ,ω,b 的作用(其中A>0,ω>0)参数作用A,b A 和b 决定了该函数的值域和振幅,通常称A 为振幅,值域为[－A ＋b,A ＋b] φ φ决定了x ＝0时的函数值,通常称φ为初相ωω决定了函数的周期,其计算方式为T ＝2πω,周期的倒数f ＝1T ＝ω2π为频率思考1：函数y ＝sin x,y ＝sin 2x 和y ＝sin 2x 的周期分别是什么？当三个函数的函数值相同时,它们x 的取值有什么关系？[提示] 2π,π,4π.当三个函数的函数值相同时,y ＝sin 2x 中x 的取值是y ＝sin x 中x 取值的12,y ＝sin 12x 中x 的取值是y ＝sin x 中x 取值的2倍．2．平移变换(1)左右平移(相位变换)：对于函数y ＝sin(x ＋φ)(φ≠0)的图像,可以看作是把y ＝sin x 的图像上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度得到的．(2)上下平移：对于函数y ＝sin x ＋b 的图像,可以看作是把y ＝sin x 的图像上所有点向上(当b ＞0时)或向下(当b ＜0时)平行移动|b|个单位长度得到的．思考2：如何由y ＝f(x)的图像变换得到y ＝f(x ＋a)的图像？ [提示] 向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位．3．伸缩变换(1)振幅变换：对于函数y ＝Asin x(A ＞0,A≠1)的图像可以看作是把y ＝sin x 的图像上所有点的纵坐标伸长(当A ＞1时)或缩短(当0＜A ＜1时)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到的．(2)周期变换：对于函数y ＝sin ωx(ω＞0,ω≠1)的图像,可以看作是把y ＝sin x 的图像上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)而得到的．思考3：对于同一个x,函数y ＝2sin x,y ＝sin x 和y ＝12sin x 的函数值有何关系？[提示] 对于同一个x,y ＝2sin x 的函数值是y ＝sin x 的函数值的2倍,而y ＝12sin x 的函数值是y＝sin x 的函数值的12.1．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π5的周期、振幅依次是( ) A ．4π,－2 B ．4π,2 C ．π,2 D ．π,－2[答案] B2．(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递增；③f(x)在[－π,π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③C [法一：f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x),∴f(x)为偶函数,故①正确；当π2＜x ＜π时,f(x)＝sin x ＋sin x ＝2sin x,∴f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减,故②不正确；f(x)在[－π,π]的图像如图所示,由图可知函数f(x)在[－π,π]只有3个零点,故③不正确；∵y ＝sin|x|与y ＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到,∴f(x)可以取到最大值2,故④正确．综上,正确结论的序号是①④.故选C.法二：∵f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x),∴f(x)为偶函数,故①正确,排除B ；当π2＜x ＜π时,f(x)＝sin x ＋sin x ＝2sin x,∴f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减,故②不正确,排除A ；∵y ＝sin |x|与y ＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到,∴f(x)的最大值为2,故④正确．故选C.]3．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像只需将y ＝sin x 的图像向________平移________个单位．[答案] 左π44．函数y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的最大值为________,最小值为________．[答案] 2 －2五点作图法【例1】用五点法作函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的简图,并指出这个函数的振幅、周期、频率和初相．[解] (1)列表：x π2 3π2 5π2 7π2 9π2 12x －π4 0 π2 π 3π2 2π y3－3(2)描点：在直角坐标系中描出点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0,⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3,⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2，0,⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2，－3,⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2，0.(3)连线：将所得五点用光滑的曲线连起来,如图所示．(4)这样就得到了函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4在一个周期内的图像,再将这部分图像向左、向右平移4kπ(k ∈Z)个单位长度,得函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图像．此函数振幅为3,周期为4π,频率为14π,初相为－π4.五点法作图关键是列表,一般有下面两种列表方法：(1)分别令ωx＋φ＝0,π2,π,3π2,2π,再求出对应的x,这体现了整体换元的思想.(2)取ωx 0＋φ＝0,得x 0＝－φω,再把x 0作为五点中第一个点的横坐标,依次递加一个周期的14,就可得到其余四个点的横坐标.1．用五点法作函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的简图,并指出这个函数的振幅、周期、频率和初相．[解] (1)列表：列表时2x ＋π3取值为0、π2、π、3π2、2π,再求出相应的x 值和y 值．x －π6π12 π3 7π12 5π6 2x ＋π30 π2 π 3π2 2π y2－2(2)描点．(3)用平滑的曲线顺次连接各点所得图像如图所示．利用这类函数的周期性,我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展,得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3,x ∈R 的简图(图略)．此函数的振幅为2,周期为π,频率为1π,初相为π3.三角函数图像的变换【例2】写出由y ＝sin x 的图像变化到y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －4的图像的不同方法步骤．[解] 法一：先平移再伸缩,过程如下：①把y ＝sin x 的图像上所有的点向右平移π4个单位长度,得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图像；②把y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y ＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图像； ③将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图像．法二：先伸缩再平移,过程如下：①把y ＝sin x 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y ＝sin 12x 的图像；②把y ＝sin 12x 的图像向右平移π2个单位长度,得到y ＝sin 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图像；③把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图像．由y ＝sin x 的图像,通过变换得到y ＝Asin (ωx＋φ)的图像时,可以先相位变换,后周期变换,也可以先周期变换,后相位变换.两种变换的顺序不同,变换的量也有所不同,前者平移|φ|个单位,而后者则平移|φ|ω个单位.不论哪一种变换,都是对字母x 而言的,即看“变量”变化多少,而不是“角”变化多少.2．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像是由y ＝sin x 的图像如何变换得到的？ [解] y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像可用下面的方法得到：求函数的解析式[探究问题] 1．如何求A,b?[提示] A ＝y max －y min 2,b ＝y max ＋y min2.2．如何求ω？[提示] 先求周期T,再求ω,其中ω＝2πT .3．如何求φ？[提示] 由图像上的点来求,通常选取波峰或波谷．【例3】如图所示的是函数y ＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图像,由图中条件,写出该函数的解析式．[思路探究] 由图像观察函数周期、振幅、由特殊点法确定初相φ.[解] 法一：(最值点法)由图像可得ω＝23,将最高点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，2代入y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ, 得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝2.所以π6＋φ＝2kπ＋π2.所以φ＝2kπ＋π3(k ∈Z)．又因为|φ|<π,所以φ＝π3,又因为A ＝2,所以此函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3.法二：(起始点法)由图像求得ω＝23,x 0＝－π2,φ＝－ωx 0＝－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π3.又因为A ＝2,所以此函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3.1．(变条件)将例3中的图像变为如图所示,试求函数的解析式．[解] 法一：根据题意,A ＝3,T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π,∴ω＝2πT ＝2,将点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3代入y ＝3sin(2x ＋φ)中, 3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ, ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1, ∴π6＋φ＝π2,即φ＝π3, 从而所求函数解析式为y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.法二：由图像知A ＝3,又图像过M ⎝⎛⎭⎪⎫π12，3,N ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－3,根据五点作图法的原理(M,N 可视为“五点法”中的第二点和第四点),有⎩⎪⎨⎪⎧π12ω＋φ＝π2，7π12ω＋φ＝32π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3，从而所求函数解析式是y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.2.(变条件,变结论)将例3的函数变为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫A>0，ω>0，|φ|<π2,图像变为如图所示,试求f(x)的解析式,并求S ＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 020)．[解] (1)由图像知A ＝32－122＝12,b ＝32＋122＝1,ω＝2πT ＝2π4＝π2.∴f(x)＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ＋1.又∵点(0,1)在函数图像上,∴f(0)＝1,即1＝12sin φ＋1,∴sin φ＝0.又|φ|<π2,故φ＝0,∴f(x)＝12sin π2x ＋1.(2)由(1)知函数f(x)＝12sin π2x ＋1,周期T ＝2ππ2＝4.∴S ＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020) ＝f(0)＋[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]×505. 又∵f(0)＝1,f(1)＝32,f(2)＝1,f(3)＝12,f(4)＝1,∴S ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋1＋12＋1×505＝2 021.由图像或部分图像确定解析式,在观察图像的基础上可按以下规律来确定A,ω,φ,b ： (1)A ：一般由图像上的最大值m 、最小值n 来确定A ＝m －n2.(2)ω：因为T ＝2πω,所以往往通过求周期T 来确定ω,可通过已知曲线与x 轴的交点确定T,也可由相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T 来确定.(3)φ：从寻找“五点法”中的第一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0(也叫初始点)作为突破口,要从图像的升降情况找准第一个点的位置.依据五点列表法原理,点的序号与式子关系如下： “第一点”(即图像上升时与x 轴的交点)为ωx＋φ＝0； “第二点”(即图像曲线的“峰点”)为ωx＋φ＝\f(π,2)； “第三点”(即图像下降时与x 轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图像曲线的“谷点”)为ωx＋φ＝\f(3π,2)；“第五点”(即图像第二次上升时与x 轴的交点)为ωx＋φ＝2π.在用以上方法确定φ的取值时,还要注意题目中给出的φ的限制条件.1．图像变换是三角函数的重点内容之一．函数的各种变换都是自变量x 或函数值y 进行的变换．图像变换与函数变换紧密相连,相位变换是用x ＋φ来代替y ＝f(x)中的x,周期变换是用ωx(ω>0)代替x,振幅变换是用yA来代替y(A>0)．2．图像变换中,还常用以下三种变换：(1)y ＝－sin x 的图像可由y ＝sin x 的图像沿x 轴翻折180°而得到．(2)y ＝|sin x|的图像可由y ＝sin x 的图像得到．其变化过程为在x 轴上方的部分不变,在x 轴下方的部分沿x 轴翻折180°而得到．(3)y ＝sin |x|的图像可通过让y ＝sin x 的图像在y 轴右边的部分不变,y 轴左边的图像由y 轴右侧的图像关于y 轴翻转180°而得到.1．判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)A 的大小决定了函数的振幅．( ) (2)ω的大小与函数的周期有关．( )(3)φ的大小决定了函数与y ＝sin x 的相对位置．( ) (4)b 的大小决定了函数图像偏离平衡位置的幅度．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√2．把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向________平移________个单位得到y ＝sin 2x 的图像．右π12 [y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12,所以将其向右移动π12个单位得到y ＝sin 2x 的图像．] 3．已知函数y ＝sin(ωx＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ≤π2,且此函数的图像如图所示,则点(ω,φ)的坐标是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4 [由T 2＝7π8－3π8＝π2,∴T ＝π, 由T ＝2πω(ω>0)得ω＝2.由2×3π8＋φ＝π得φ＝π4.∴点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4.]4．作出函数y ＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π3在长度为一个周期的闭区间上的图像．[解] 列表：x π 5π2 4π 11π2 7π 13x －π3 0 π2 π 3π2 2π y ＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π332－32描点画图(如图所示)：。

北师大版高中数学高一必修4学案第一章8第二课时函数y=Asin(ωxφ)

第二课时函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质预习课本P53～54，思考并完成以下问题1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期是T ＝2πω吗？2．φ为何值时y ＝A sin(ωx ＋φ)是偶函数？3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的对称轴与对称中心是什么？[新知初探]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质定义域 R 值域 [－A ，A ] 周期性T ＝2π|ω|奇偶性φ＝k π(k ∈Z)时是奇函数；φ＝π2＋k π(k ∈Z)时是偶函数；当φ≠k π2(k ∈Z)时是非奇非偶函数单调性单调递增区间可由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z)得到，单调递减区间可由2k π＋π2≤ωx＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z)得到对称性对称轴方程x ＝k πω＋π－2φ2ω(k ∈Z)对称中心⎝⎛⎭⎫k π－φω，0(k ∈Z)[点睛] (1)对于y ＝A sin(ωx ＋φ)其奇偶性可由φ决定，φ取不同值可得不同的奇偶性．(2)求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意ω的正负．(3)y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心实质上是其图像与x 轴的交点，对称轴即过最高点或最低点且与x 轴垂直的直线．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不存在φ使得y ＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数( ) (2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π4，0( ) (3)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4的一个递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4，0( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π2－1的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝π6B ．x ＝π2C ．x ＝2π3D ．x ＝5π6解析：选C 由3x －π2＝k π＋π2(k ∈Z)得x ＝k π3＋π3(k ∈Z)，当k ＝1时，x ＝2π3，故选C.3．如果函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T ，且当x ＝2时取得最大值，那么( )A ．T ＝2，θ＝π2B ．T ＝1，θ＝πC ．T ＝2，θ＝πD ．T ＝1，θ＝π2解析：选A T ＝2ππ＝2，又当x ＝2时，sin(π·2＋θ)＝sin(2π＋θ)＝sin θ，要使上式取得最大值，可取θ＝π2.4．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋1的最小值为________．解析：∵x ∈R ，∴y min ＝－2＋1＝－1.答案：－1函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的值域问题[典例] 求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域． [解] ∵0≤x ≤π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3.①当2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，π2时， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在⎣⎡⎦⎤0，π12上是增加的， ∴32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，∴3≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤2. ②当2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π2，4π3时， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在⎣⎡⎦⎤π12，π2上是减少的， ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1， ∴－3≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤2. 综上所述，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域为[－3，2]．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈[m ，n ]的值域的步骤 (1)换元，u ＝ωx ＋φ，并求u 的取值范围； (2)作出y ＝sin u (注意u 的取值范围)的图像； (3)结合图像求出值域． [活学活用]已知函数f (x )＝a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1(a >0)，当－7π12≤x ≤－π12时，f (x )的最大值为2，求a 的值．解：－7π12≤x ≤－π12⇒－7π6≤2x ≤－π6⇒－5π6≤2x ＋π3≤π6⇒－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤12⇒f (x )max ＝12a ＋1， ∴12a ＋1＝2，即a ＝2. 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质题点一：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间求法 1．求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4＋1的单调递减区间．解：因为函数y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z)，所以2k π＋π2≤3x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，解得23k π＋π12≤x ≤23k π＋5π12(k ∈Z)．故所求函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤23k π＋π12，23k π＋5π12 (k ∈Z)．题点二：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性问题2．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2 B.2π3 C.3π2D.5π3解析：选C 由y ＝sin x ＋φ3是偶函数知φ3＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝3π2＋3k π，k ∈Z ，又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝3π2.题点三：y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期性问题3．若f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6的最小正周期为π5，其中ω＞0，则ω＝( ) A ．1B ．5C ．10D ．20解析：选C 由T ＝π5＝2πω，得ω＝10.题点四：y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称性问题4．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－1最小正周期为2π3，则f (x )的图像的一条对称轴的方程是( ) A ．x ＝π9B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π2解析：选A 已知函数f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π3，∴ω＝3，则其对称轴方程为3x＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，即x ＝π9＋k π3，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π9，故选A.(1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)关于(x 0,0)中心对称⇔f (x 0)＝0⇔ωx 0＋φ＝k π(k ∈Z)； (2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)关于直线x ＝x 0轴对称⇔f (x 0)＝A 或f (x 0)＝－A ⇔ωx 0＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)； (3)求单调区间实际上是解不等式2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2或2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z)．y ＝A sin(ωx ＋φ)性质的综合应用[典例] 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图像关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值． [解] 由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )，即函数f (x )的图像关于y 轴对称， ∴f (x )在x ＝0时取得最值．即sin φ＝±1. 依题设0≤φ≤π， ∴解得φ＝π2.由f (x )的图像关于点M 对称，可知 sin ⎝⎛⎭⎫3π4ω＋π2＝0，解得ω＝4k 3－23，k ∈Z.又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，所以T ≥π，即2πω≥π，∴ω≤2.又ω>0， ∴当k ＝1时，ω＝23；当k ＝2时，ω＝2. ∴φ＝π2，ω＝2或ω＝23.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)综合应用的注意点(1)对于平移问题，应特别注意要提取x 的系数，即将ωx ＋φ变为ω⎝⎛⎭⎫x ＋φω后再观察x 的变化．(2)对于对称性、单调性问题应特别注意将ωx ＋φ看作整体，代入一般表达式解出x 的值．(3)对于值域问题同样是将ωx ＋φ看作整体，不同的是根据x 的范围求ωx ＋φ的范围，再依据图像求值域．(4)对于奇偶性问题，由φ来确定，φ＝k π(k ∈Z)时是奇函数，φ＝k π＋π2(k ∈Z)时是偶函数．[活学活用]关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R)，有下列命题：①y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ②y ＝f (x )是奇函数；③y ＝f (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )的图像关于直线x ＝－π6对称．其中正确命题的序号为________．解析：4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝4cos ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，所以①正确，②不正确；f ⎝⎛⎭⎫－π6＝0，故⎝⎛⎭⎫－π6，0是对称中心，即③正确，④错误．答案：①③层级一学业水平达标1．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．0解析：选B 由已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22. 2．在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A ．②④ B ．①③④ C ．①②③D ．①③解析：选C ①中，y ＝cos|2x |＝cos 2x ，周期T ＝π，①符合； ②中，画出y ＝|cos x |的图像知周期T ＝π，②符合； ③中，周期T ＝π，③符合； ④中，周期T ＝π2，④不符合．∴符合条件的函数为①②③.3．函数y ＝sin x 的图像向左平移π4个单位长度后，所得图像的一条对称轴是( )A ．x ＝－π4B ．x ＝π4C ．x ＝π2D ．x ＝3π4解析：选B 函数y ＝sin x 的图像向左平移π4个单位长度后，所得图像对应函数的解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，当x ＝π4时，y ＝1，所以x ＝π4是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图像的一条对称轴．故选B.4．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像( ) A ．关于原点对称 B ．关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称 C ．关于y 轴对称D ．关于直线x ＝π6对称解析：选B 因为正弦函数y ＝sin x 关于(k π，0)(k ∈Z)对称，由2x ＋π3＝k π，得x ＝k π2－π6，当k ＝0时，可知⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数的一个对称中心． 5．同时具有性质“周期为π，图像关于直线x ＝π3对称，在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上是增函数”的函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6解析：选A ∵周期为π，∴ω＝2，排除选项D. 图像关于x ＝π3对称，即函数在x ＝π3处取得最值，排除选项C.又x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，则函数y ＝ sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上为增函数．故选A.6．函数f (x )＝sin(－2x )的单调增区间是______________．解析：由f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ，2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z)．答案：⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z) 7．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图像的对称轴为________，对称中心为________________．解析：令12x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝2π3＋2k π，k ∈Z ；令12x ＋π6＝k π，k ∈Z ，得x ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，故原函数的图像的对称轴为x ＝2π3＋2k π，k ∈Z ；对称中心为⎝⎛⎭⎫－π3＋2k π，0，k ∈Z. 答案：x ＝2π3＋2k π，k ∈Z ⎝⎛⎭⎫－π3＋2k π，0，k ∈Z8．若f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________. 解析：由0≤x ≤π3，0＜ω＜1，得0≤ωx ≤ωπ3＜π3，因为函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π3上是增加的，且在这个区间上的最大值是2，所以2sin ωπ3＝2，又因为0≤ωπ3＜π3，所以ωπ3＝π4，解得ω＝34.答案：349．求函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫12x －π3－2的单调递增区间．解：由于函数y ＝cos x 的单调递增区间为[]2k π－π，2k π (k ∈Z)，所以2k π－π≤12x －π3≤2k π，解得4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3. 故所求函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤4k π－4π3，4k π＋2π3(k ∈Z)．10．已知函数f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4(ω＞0)的最小正周期是π. (1)求ω；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．解：(1)函数的最小正周期为T ＝2πω＝π，所以ω＝2. (2)令t ＝2x －π4，则y ＝22sin t .因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以t ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，因为y ＝22sin t 在⎣⎡⎦⎤－π4，π2上单调递增，在⎣⎡⎦⎤π2，3π4上单调递减，所以当t ＝π2时，y 取得最大值2 2.又当t ＝－π4时，y ＝－2；当t ＝3π4时，y ＝2.所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为22，最小值为－2.层级二应试能力达标1．函数y ＝sin(ωx －φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0且|φ|＜π2，在区间⎣⎡⎦⎤π6，2π3上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图像与y 轴交点的纵坐标为( ) A.12 B.22 C.32D.6＋24解析：选A 由题意知T 2＝2π3－π6＝π2，∴T ＝π＝2πω，∴ω＝2.将点⎝⎛⎭⎫π6，1代入y ＝sin(2x ＋φ)得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1，又|φ|＜π2，∴φ＝π6，故y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 令x ＝0，则y ＝12.2．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(ω＞0,0＜θ＜π)，其图像与直线y ＝2交点的横坐标为x 1，x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，则( )A ．ω＝2，θ＝π2B ．ω＝12，θ＝π2C ．ω＝12，θ＝π2D ．ω＝2，θ＝π4 解析：选A 依题意得T ＝2πω＝π，∴ω＝2，又函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数，∴θ＝k π＋π2(k ∈Z)，而0＜θ＜π，∴θ＝π2. 3．若函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)(ω＞0)在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－M ，f (b )＝M ，则函数g (x )＝M cos(ωx ＋φ)在[a ，b ]上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值－M解析：选C 法一：由已知，得M ＞0，当x ∈[a ，b ]时，－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z)，则g (x )在[a ，b ]上即不是增函数，也不是减函数，且当ωx ＋φ＝2k π时，g (x )可以取得最大值M .法二：由题意知[a ，b ]是f (x )的增区间，ω＞0，所以本题也可采用特殊值法．令ω＝1，φ＝0，则f (x )＝M sin x ．设区间[a ，b ]为⎣⎡⎦⎤－π2，π2.∵M ＞0，∴g (x )＝M cos x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上不具备单调性，但有最大值M .4．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2＜f (π)．则下列结论正确的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1112π＝－1B ．f ⎝⎛⎭⎫7π10＞f ⎝⎛⎭⎫π5 C ．f (x )是奇函数D ．f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z 解析：选D ∵f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立， ∴2×π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π＋π6，k ∈Z. ∵f ⎝⎛⎭⎫π2＜f (π)，即sin(π＋φ)＝－sin φ＜sin(2π＋φ)＝sin φ，∴sin φ＞0.∴φ＝2k π＋π6，k ∈Z. 不妨取φ＝π6，则f ⎝⎛⎭⎫11π12＝sin 2π＝0，∴A 错； ∵f ⎝⎛⎭⎫7π10＝sin ⎝⎛⎭⎫7π5＋π6＝sin 47π30＝－sin 17π30＜0， f ⎝⎛⎭⎫π5＝sin ⎝⎛⎭⎫2π5＋π6＝sin 17π30＞0，∴B 错；由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴D 对． 5．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π4(ω＞0)的最大值与最小正周期相同，则函数f (x )在[－1,1]上的单调增区间为________．解析：由题知2π2ω＝2，得ω＝12π， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx －π4，令－π2＋2k π≤πx －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－14＋2k ≤x ≤34＋2k ，k ∈Z ，又x ∈[－1,1]，所以－14≤x ≤34，所以函数f (x )在[－1,1]上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－14，34. 答案：⎣⎡⎦⎤－14，34 6．设函数y ＝1－3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3⎝⎛⎭⎫其中－π2≤x ≤0，当x ＝________时，函数的最大值为4. 解析：由－π2≤x ≤0知－2π3≤2x ＋π3≤π3，当2x ＋π3＝－π2，即x ＝－5π12时． y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3取最小值－1，故y ＝1－3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3取最大值4. 答案：－5π127．函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈(0,2π)，f ⎝⎛⎭⎫α2＝2，求α的值．解：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2. ∵函数图像相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2.∴函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1. (2)f ⎝⎛⎭⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＋1＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝12. ∵0＜α＜2π，∴－π6＜α－π6＜11π6， ∴α－π6＝π6或α－π6＝5π6，故α＝π3或α＝π.8．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图像如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)把f (x )的图像向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图像对应的函数为偶函数？解：(1)A ＝3，2πω＝43⎝⎛⎭⎫4π－π4＝5π，ω＝25. 由f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫25x ＋φ过⎝⎛⎭⎫π4，0，得sin ⎝⎛⎭⎫π10＋φ＝0，又|φ|<π2，故φ＝－π10，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫25x －π10. (2)由f (x ＋m )＝3sin ⎣⎡⎦⎤25(x ＋m )－π10＝ 3sin ⎝⎛⎭⎫25x ＋2m 5－π10为偶函数(m >0)，知2m 5－π10＝k π＋π2，即m ＝52k π＋3π2，k ∈Z. ∵m >0，∴m min ＝3π2. 故把f (x )的图像向左至少平移3π2个单位长度，才能使得到的图像对应的函数是偶函数．。