培优专题7_分式的运算(含问题详解)

合集下载

初中数学分式方程的应用培优训练(精选40道习题附答案详解)

（1）求第一批采购的书包的单价是多少元？
（2）若商店按售价为每个书包元，销售完这两批书包，总共获利多少元？
15．某服装加工厂计划加工4000套运动服，在加工完1600套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高，结果共用了18天完成全部任务．求原计划每天加工多少套运动服．
16．为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行了改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．
13．科幻小说《流浪地球》的销量急剧上升．为应对这种变化，某网店分别花20000元和30000元先后两次购进该小说，第二次的数量比第一次多500套，且两次进价相同．
（1）该科幻小说第一次购进多少套？每套进价多少元？
（2）根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250套；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10套．网店要求每套书的利润不低于10元且不高于18元．
11．小明家用元网购的型口罩与小磊家用元在药店购买的型口罩的数量相同，型与型口罩的单价之和为元，求两种口罩的单价各是多少元？
12．某市为治理污水，需要铺设一段全长为的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前天完成这一任务，实际每天铺设多长管道？
（1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？
（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？
6．甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做5个，甲做80个所用的时间与乙做60个所用的时间相等，问甲、乙两人每小时各做多少个零件？（用列方程的方法解答）
7．某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．那么第一批饮料进货单价多少元？

分式的运算知识点总结

分式的运算知识点总结一、分式的含义和性质1. 分式的定义分式是指两个整数的比例，通常用a/b表示，其中a称为分子，b称为分母，b不等于0。

分式通常表示成有理数的形式，例如1/2、3/4等。

2. 分式的性质分式有以下性质：（1）分式的分母不可以为0，因为0不能作为除数。

（2）分式可以化简，即约分，将分子与分母的公因数约掉。

（3）分式可以相互转换，即通过乘以相同的数或者分式和分数的换算，可以将分式相互转换。

二、分式的加减法1. 分式的相加分式的相加即将两个分式的分子相加，分母不变，然后化简得到最简分式。

例如：1/2 + 1/3 = (1*3+1*2)/(2*3) = 5/6。

2. 分式的相减分式的相减即将两个分式的分子相减，分母不变，然后化简得到最简分式。

例如：2/3 - 1/4 = (2*4-1*3)/(3*4) = 5/12。

三、分式的乘除法1. 分式的相乘分式的相乘即将两个分式的分子相乘作为新的分子，分母相乘作为新的分母，然后化简得到最简分式。

例如：1/2 * 2/3 = (1*2)/(2*3) = 2/6 = 1/3。

2. 分式的相除分式的相除即将两个分式的分子相除作为新的分子，分母相除作为新的分母，然后化简得到最简分式。

例如：3/4 ÷ 1/2 = (3*2)/(4*1) = 6/4 = 3/2。

四、分式的乘方和括号的运算1. 分式的乘方分式的乘方即将分式的分子和分母分别进行乘方运算，得到新的分子和分母，然后化简得到最简分式。

例如：(1/2)^2 = 1^2/2^2 = 1/4。

2. 分式的括号运算分式的括号运算即根据括号内的运算顺序进行计算，先乘除后加减，然后化简得到最简分式。

例如：(1/2 + 1/4) ÷ (1/2 - 1/4) = (2/4 + 1/4) ÷ (2/4 - 1/4) = 3/4 ÷ 1/2 = 3/4 * 2/1 = 3/2。

分式的运算练习题及答案

分式的运算练习题及答案分式的运算是数学中的基本内容之一，掌握好分式的运算方法对于提高数学水平具有重要的作用。

本文将为您提供一些分式的运算练习题及答案，帮助您巩固分式运算的知识。

一、基础练习题1. 计算：$\frac{1}{2} + \frac{3}{4}$答案：$\frac{5}{4}$2. 计算：$\frac{2}{3} \times \frac{3}{5}$答案：$\frac{2}{5}$3. 计算：$\frac{5}{6} \div \frac{1}{2}$答案：$\frac{5}{3}$4. 计算：$\frac{3}{4} + \frac{2}{9} - \frac{1}{3}$答案：$\frac{1}{36}$5. 计算：$(\frac{2}{3} + \frac{1}{4}) \times \frac{3}{5}$答案：$\frac{13}{30}$二、复杂练习题1. 计算：$\frac{3}{4} \div \frac{2}{5} \times \frac{1}{3}$答案：$\frac{15}{8}$2. 计算：$(\frac{7}{8} - \frac{3}{4}) \div (\frac{2}{3} \times\frac{5}{6})$答案：$\frac{7}{20}$3. 计算：$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \times \frac{1}{5}$答案：$\frac{2}{15}$4. 计算：$\frac{2}{3} \div \frac{3}{4} + \frac{4}{5} - \frac{5}{6}$答案：$\frac{7}{6}$5. 计算：$(\frac{3}{4} + \frac{1}{5}) \div \frac{2}{3} - \frac{5}{6}$答案：$-\frac{17}{36}$三、应用题1. 甲、乙两人一起做数学题，甲做的时间是乙的$\frac{2}{3}$，若乙做完题所需时间为1小时，问甲需要多长时间做完这些题？答案：$\frac{4}{3}$小时解析：设甲需要x小时做完这些题，则根据题意可得$\frac{x}{1}=\frac{2}{3}$，解得x=$\frac{4}{3}$。

2022年人教版八年级下册数学培优训练——《分式》全章复习与巩固(基础)知识讲解

《分式》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．3．掌握分式的四则运算．4．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．【知识网络】【要点梳理】要点一、分式的有关概念及性质1．分式一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式AB才有意义.2.分式的基本性质（M为不等于0的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点二、分式的运算1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算 a b a b c c c ±±= ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算 a c ac b d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算 a c a d ad b d b c bc÷=⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.（4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方.4.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.要点三、分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.要点四、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.【典型例题】类型一、分式及其基本性质1、在ma y x xy x x x x 1,3,3,)1(,21,12+++π中，分式的个数是（） A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C ；【解析】()21131x x a x x x y m+++，，，是分式. 【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．2、当x 为何值时，分式293x x -+的值为0？【思路点拨】先求出使分子为0的字母的值，再检验这个值是否使分母的值等于0，当它使分母的值不等于0时，这个值就是要求的字母的值．【答案与解析】解：要使分式的值为0，必须满足分子等于0且分母不等于0．由题意，得290,30.x x ⎧-=⎨+≠⎩解得3x =． ∴ 当3x =时，分式293x x -+的值为0．【总结升华】分式的值为0的条件是：分子为0，且分母不为0，即只有在分式有意义的前提下，才能考虑分式值的情况. 举一反三：【变式】（1）若分式的值等于零，则x ＝_______；（2）当x ________时，分式没有意义．【答案】（1）由24x -＝0，得2x =±. 当x ＝2时x －2＝0，所以x ＝－2；（2）当10x -=，即x ＝1时，分式没有意义．类型二、分式运算3、计算：2222132(1)441x x x x x x x -++÷-⋅++-．【答案与解析】解：222222132(1)(1)1(2)(1)(1)441(2)(1)1x x x x x x x x x x x x x x -+++-++÷-⋅=⋅⋅++-+-- 22(1)(2)(1)x x x +=-+-．【总结升华】本题有两处易错：一是不按运算顺序运算，把2(1)x -和2321x x x ++-先约分；二是将(1)x -和(1)x -约分后的结果错认为是1．因此正确掌握运算顺序与符号法则是解题的关键．举一反三：【变式】（2020•滨州）化简：÷（﹣）【答案】解：原式=÷=• =﹣．类型三、分式方程的解法4、（2020•呼伦贝尔）解方程：．【思路点拨】观察可得最简公分母是（x ﹣1）（x +1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【答案与解析】解：方程的两边同乘（x ﹣1）（x +1），得3x +3﹣x ﹣3=0，解得x=0．检验：把x=0代入（x ﹣1）（x +1）=﹣1≠0．∴原方程的解为：x=0．【总结升华】本题考查了分式方程的解法，注：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．举一反三：【变式】()1231244x x x -=---，【答案】解：方程两边同乘以()24x -，得()()12422332x x x =---=-∴ 检验：当32x =-时，最简公分母()240x -≠， ∴32x =-是原方程的解．类型四、分式方程的应用5、（2020•东莞二模）某市为治理污水，需要铺设一条全长为600米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加20%，结果提前5天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？【思路点拨】先设原计划每天铺设x 米管道，则实际施工时，每天的铺设管道（1+20%）x 米，由题意可得等量关系：原计划的工作时间﹣实际的工作时间=5，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．【答案与解析】解：设原计划每天铺设x 米管道，由题意得： ﹣=5，解得：x=20，经检验：x=20是原方程的解．答：原计划每天铺设20米管道．【总结升华】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．举一反三：【变式】小明家、王老师家、学校在同一条路上，并且小明上学要路过王老师家，小明到王老师家的路程为3 km ，王老师家到学校的路程为0.5 km ，由于小明的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校、王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的速度是他步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20 min ，王老师步行的速度和骑自行车的速度各是多少?【答案】解：设王老师步行的速度为x km/h ，则他骑自行车的速度为3x km/h ．根据题意得：230.50.520360x x ⨯+=+．解得：5x =．经检验5x =是原方程的根且符合题意．当5x =时，315x =．答：王老师步行的速度为5km/h ，他骑自行车的速度为15km/h ．。

八年级分式解答题(培优篇)(Word版含解析)

【详解】
解：（1）设原来平均每公顷产量是x吨，则现在平均每公顷产量是（x+0.8）吨，
根据题意可得：
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，x（x+0.8）≠0，
∴原分式方程的解为x＝4，
∴现在平均每公顷产量是4.8吨，
答：原来和现在小麦的平均每公顷产量各是4吨，4.8吨．
（2）设原来小麦平均每公顷产量是y吨，则现在玉米平均每公顷产量是（y+a）吨，
故答案为：丙，乙；
（2）不合理，
理由：∵当x≠±2时， = =1，
∴乙同学的话不合理，
5．某商场在一楼与二楼之间装有一部自动扶梯,以均匀的速度向上行驶,一男孩与一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯本身也在行驶).如果二人都做匀速运动,且男孩每分钟走动的级数是女孩的两倍.又已知男孩走了27级到达顶部,女孩走了18级到达顶部(二人每步都只跨1级).
4．在计算的过程中，三位同学给出了不同的方法：
甲同学的解法：原式= ；
乙同学的解法：原式= =1；
丙同学的解法：原式=（x+3）（x﹣2）+2﹣x=x2+x﹣6+2﹣x=x2﹣4．
（1）请你判断一下，同学的解法从第一步开始就是错误的，同学的解法是完全正确的．
（2）乙同学说：“我发现无论x取何值，计算的结果都是1”．请你评价一下乙同学的话是否合理，并简要说明理由．
【答案】（1）原来和现在小麦的平均每公顷产量各是4吨，4.8吨；（2），；（3）两组一起收割完这块麦田需要小时．
【解析】
【分析】
（1）设原来小麦平均每公顷产量是x吨，根据题意列出分式方程求解并验根即可；（2）设原来小麦平均每公顷产量是y吨，根据题意列出分式方程求解并验根即可；（3）由题意得知，工作总量为m+20,甲的工作效率为：，乙的工作效率为：，再由工作总量除以甲乙的工作效率和即可得出工作时间.

分式专题(含答案)

.分式专题一、分式定义，注意：判别分式的依据是分母中还有字母，分母不等于零。

1、在式子y x y x x c ab y a 109,87,65,43,20,13+++π中，分式的个数是（）个2.下列式子:x y a y x ab x 73),(51,89,97222++-，yx 2915-中，是分式的有（）个二、分式基本性质1、填空：()yx xy ba -=---..............；2．在括号内填入适当的代数式，使下列等式成立：2xy =22()2ax y； 322()x xy x y --=()x x y -． 3、把分式xyyx -中的x 、y 的值都扩大2倍，则分式的值（）A 不变B 扩大2倍C 扩大4倍D 缩小一半4、已知31=b a ，分式ba ba 52-+的值为；5、若32,234a b c a b ca b c-+==++则=_______． 6、不改变分式52223x y x y -+的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（）三、分式无意义与有意义，1、当x 时，分式3213+-x x 无意义；2．在分式2242x x x ---中，当x ______时有意义．3．当x____时，分式||2x x -有意义．4.2(3)--x 的取值范围是_______．5. 当x_____________时，式子23+x x ÷322--x x 有意义四、分式值为零，1、当x 时，分式392--x x 的值为0；2．使分式234x ax +-的值等于零的条件是x____．3．在分式2242x x x ---中，当x ____时分式值为零．.__01||87.42=---x x x x ，则的值为若分式五、分式约分1．约分：34522748a bx a b x , 532164abc bc a - 22923a a a ---, xx x 52522--2．分式：①223a a ++，②22a b a b --，③412()a a b -，④12x -中，最简分式有（）个六、通分 1、分式222439xx x x --与的最简公分母是___ ___________. 2、分式yx 21，323x y，232xy x +的最简公分母是（） 3、把下列各组分式通分（1）243,2bac bd c （2）,412-a 21-a七、分式运算 1、化简xy x x 1⋅÷的结果是（） 2、22332p mn p n nm÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅； 3、aa a -+-21422； 4、112---x x x ； 5、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-x y xy x x y x 2222, 6．339322++--m m m m7 、先化简，再对a 取一个你喜欢的数，代入求值．221369324a a a a a a a +--+-÷-+-．8、先化简：⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-aa a aa 121 并任选一个你喜欢的数a 代入求值．9、先化简，再求值：1312-÷+x xx x ，其中31+=x ．10、已知220x -=，求代数式222(1)11x x x x -+-+的值．11、先化简，再求值： 3x ＋3 x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1 x －1 ＋ 1 x ＋1 ÷ 6x ，其中x ＝1．12、先化简，再求值：232224xx x x x x ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭，其中3x =．八、分式方程，易错点：分式方程检验 1、解方程：（1）256x x x x -=--．（2）21411x x x +---=1．（3）12212+=++-x xxx x ，（4）6122x x x +=-+．（5）14143=-+--x x x ，（6）22333x x x -+=--，2、已知23(1)(2)12x A Bx x x x -=+-+-+，求A ，B 的值．3、已知分式方程21x ax +-=1的解为非负数，求a 的范围．4、已知关于x 的方程12-=-+x ax 的根是正数，求a 的取值范围。

分式培优练习题(完整标准答案)

分式培优练习题(完整标准答案)分式（一）选择1.下列运算正确的是（）。

A。

-4=1 B。

(-3)-1=1 C。

(-2m-n)2=4m-n D。

(a+b)-1=a-1+b-12.分式 y-z/x+z+x-y 的最简公分母是（）。

A。

2 B。

C。

D。

23.用科学计数法表示的数-3.6×10-4写成小数是（）。

A。

0. B。

-0.0036 C。

-0. D。

-0.若分式 x-2/x-5x+6 的值为 k，则 x 的值为（）。

A。

2 B。

-2 C。

2或-2 D。

2或35.计算 |1+(1/x-1)/(x-1)| 的结果是（）。

A。

1 B。

x+1 C。

x+1/x-1 D。

x/(x-1)6.工地调来 72 人参加挖土和运土，已知 3 人挖出的土 1 人恰好能全部运走，怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走，解决此问题，可设派 x 人挖土，其它的人运土，列方程①72-x=3x+72④=3.上述所列方程，正确的有（）个。

A。

1 B。

2 C。

3 D。

47.在分式a/(x^2+2πx+y)+m/(x-2) 中，分式的个数是（）。

A。

2 B。

3 C。

4 D。

58.若分式方程 (1-a)/(x-2)+(a+x)/(x-1)=3 有增根，则 a 的值是（）。

A。

-1 B。

C。

1 D。

29.若 1/(11-ba)=1/(ab+ba)=-3，则 (a-b)/(a+b) 的值是（）。

A。

-2 B。

2 C。

3 D。

-310.已知 b0，且ab≠0，其中第 7 个式子是 1/(a+7b)，一组按规律排列的式子：-b^2/a，-b^5/a^2，-b^8/a^3，-b^11/a^4，……，其中第 n 个式子是 -b^(3n-2)/a^n。

若 7m=3，7n=5，则 72m-n=（）。

A。

-1 B。

1 C。

2 D。

311.化简 (a^2-ab+b^2)/(a-b)^2.2.若 0<x<1，且 x+1/x=6，求 x-1/x 的值。

八年级数学培优辅导讲义竞赛训练导学案分式的运算分式的化简与求值含答案解析

八年级数学培优辅导讲义竞赛训练导学案分式的化简与求值典例剖析【例l 】已知2310a a -+=，则代数式361a a +的值为．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：目前不能求出a 的值，但可以求出13a a+=，需要对所求代数式变形含“1a a +”．【例2】已知一列数1234567,,,,,,,a a a a a a a 且18a =，75832a =，356124234567a a a a a a a a a a a a =====，则5a 为（） A ．648 B ．832 C ．1168 D ．1944（五城市联赛试题）解题思路：引入参数k ，把17a a 用k 的代数式表示，这是解决等比问题的基本思路．【例3】 3(0)x y z a a ++=≠．求222()()()()()()()()()x a y a y a z a z a x a x a y a z a --+--+---+-+-．（宣州竞赛试题）解题思路：观察发现，所求代数式是关于x a y a z a ---、、的代数式，而条件可以拆成x a y a z a ---、、的等式，因此很自然的想到用换元法来简化解题过程．【例4】已知1,2,3,xy yz zxx y y z z x===+++求x 的值．（上海市竞赛试题）解题思路：注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元一次方程组，考虑取倒数，将方程组化为简单的形式．【例5】不等于0的三个正整数,,a b c 满足1111a b c a b c++=++，求证：,,a b c 中至少有两个互为相反数．解题思路：,,a b c 中至少有两个互为相反数，即要证明()()()0a b b c c a +++=．（北京市竞赛试题）【例6】已知,,a b c 为正整数，满足如下两个条件：①32;a b c ++=②14b c a c a b a b c bc ac ab +-+-+-++= 解题思路：本题熟记勾股定理的公式即可解答．（全国初中数学联赛试题）能力训练1．若a b c d b c d a ===，则a b c d a b c d-+-+-+的值是．（“希望杯”邀请赛试题）2．已知2131xx x =-+，则24291x x x =-+ ．（广东竞赛试题）3．若2221998,1999,2000a x b x c x +=+=++=且24abc =，则111c a b ab bc ac a b c++--- 的值为．（“缙云杯”竞赛试题）4．已知232325x xy y x xy y +-=--，则11x y -= ．5．如果111,1a b b c+=+=，那么1c a +=（）．A ．1B ．2C ．12D ．14（“新世纪杯”竞赛试题）6．设有理数,,a b c 都不为0，且0a b c ++=，则222222222111b c a c a b a b c+++-+-+-的值为（）．A ．正数B ．负数C ．零D ．不能确定7．已知4360,270(0)x y z x y z xyz --=+-=≠，则22222223657x y z x y z++++的值为（）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．不能确定8．已知211xx mx =-+，则36331x x m x -+的值为（） A ．1 B ．313m + C ．2132m - D ．2131m + 9．设0a b c ++=，求222222222a b c a bc b ac c ab+++++的值．10．已知111x y z y z x+=+=+其中,,x y z 互不相等，求证2221x y z =．（天津市竞赛试题）11．设,,a b c 满足1111a b c a b c++=++，求证2121212121211111n n n n n n a b c a b c ------++=++．（n 为自然数）（波兰竞赛试题）12．三角形三边长分别为,,a b c ．（1）若a a b cb c b c a ++=+-，求证：这个三角形是等腰三角形；（2）若1111a b c a b c-+=-+，判断这个三角形的形状并证明．13．已知1ax by cz ===，求444444111111111111a b c x y z+++++++++++的值．（“华杯赛”试题）14．解下列方程（组）：（1）18272938x x x x x x x x +++++=+++++；（江苏省竞赛试题）（2）596841922119968x x x x x x x x ----+=+----；（“五羊杯”竞赛试题）（3）111211131114x y z y z x z x y ⎧+=⎪+⎪⎪+=⎨+⎪⎪+=⎪+⎩．（北京市竞赛试题）B 级1．设,,a b c 满足0a b c ++=，0abc >，若a b c x a b c=++， 111111()()()y a b c b c c a a b=+++++，则23x y xy ++= ．2．若0abc ≠，且a b b c c a c a b+++==，则()()()a b b c c a abc +++= ． 3．设,,a b c 均为非零数，且2(),3(),4()ab a b bc b c ac a c =+=+=+，则a b c ++= ．4．已知,,x y z 满足1x y z y z x z y x ++=+++，则222x y z y z x z y x+++++的值为． 5．设,,a b c 是三个互不相同的正数，已知a c c bb a b a-==+，那么有（）． A ．32b c = B ．32a b = C ．2b c = D ．2a b =6．如果0a b c ++=，1114a b c ++=-，那么222111a b c++的值为（）．A ．3B ．8C ．16D ．207．已知2519910x x --=，则代数式42(2)(1)1(1)(2)x x x x -+----的值为（）．A ．1996B ．1997C ．1998D ．199998．若615325x y x y y x y x -==-，则222245623x xy y x xy y-+-+的值为（）． A ．92 B ．94C ．5D ．6 （全国初中数学联赛试题）9．已知非零实数,,a b c 满足0a b c ++=．（1）求证：3333a b c abc ++=；（2）求()()a b b c c a c a bc a b a b b c c a---++++---的值．（北京市竞赛试题）10．已知2410a a ++=，且42321322a ma a ma a++=++．求m 的值．（北京市竞赛试题）11．完成同一件工作，甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的p 倍，乙单独做所需时间为甲、（天津市竞赛试题）12．设222222222,,222b c a a c b b a c A B C bc ac ab+-+-+-===，当3A B C ++=-时，求证：2002200220023A B C ++=．（天津市竞赛试题）13．某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼（扶梯行驶，两人也走梯）．如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍．已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部．（1）扶梯露在外面的部分有多少级？（2）现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两人各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼（不考虑扶梯与楼梯间的距离）．求男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶？（江苏省竞赛试题）专题07 分式的化简求值例1 181提示：3363111aa a a +=+例2 A 提示：7665544332216a a a a a a a a a a a a k •••••==71a a =58328，得k=31±，又25443322151k a a a a a a a a a a =•••= 例3油x+y+z=3a ，得（x-a ）+（y-a ）+（z-a ）=0.设x-a=m ，y-a=n ，z-a=p ，则m+n+p=0，即p=-（m+n ）.原式=222p n m pm np mn ++++=()222p n m n m p mn ++++=()()2222n m n m n m mn ++++-=-21 例4 x=512 提示：由已知条件知xy ≠0，yz ≠0，取倒数，得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++,31,21,1zx x z zx z y xy y x 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+,3111,2111,111x z z y y x ①+②+③，得1211111=++z y x 例5 提示：由已知条件，得()()a bc acb abc bc ac b ab +++++++22=()()[]()c a b a c b a b ++++=()()()0=+++a c c b b a例6 由勾股定理，结论可表示为等式：a=b+c ，①或b=a+c ，②或c=b+a ，③，联立①③，只需证a=16或或b ＝16或c ＝16，即（a －16）（b －16）（c －16）＝0. ④ 展开只需证明0＝abc －16（ab ＋bc ＋ac ）＋162（a ＋b ＋c ）－163＝abc －16（ab ＋bc ＋ac ）＋163 ⑤ 将①平方、移项，有a 2＋b 2＋c 2＝322－2（ab ＋bc ＋ca ），⑥ 又将②移项、通分，有 0＝14－（++b c a bc ＋+c a b ac －＋a b c ab ++）①② ③＝14－（2+ab ac aabc-＋2+bc ab babc-＋2ac bc cabc+-）＝222 8()4()4abc ab bc ac a b cabc-+++++＝28()4[322()]4abc ab bc ac ab bc caabc-+++-++把⑥代入等式中，0＝3 16()164abc ab bc acabc-+++＝23 16()16()164abc ab bc ac a b cabc-+++++-＝(16)(16)(16)4a b cabc---当a－16＝0时，由①有a＝16＝b＋c为斜边的直角三角形.同理，当b＝16或c＝16时，分别有b＝a＋c或c＝b＋a 个直角三角形.A级1. 0或－22. 15∵231x xx-+＝1，∴x＋1x＝4.又∵42291x xx-+＝5，∴24291xx x-+＝153. 184.35. A6. C 提示：b 2＋c 2－a2＝－2bc7.B8. C 提示：取倒数，得x＋1x＝1＋m，原式的倒数＝x3＋31x－m39. 1 提示：2a2＋bc＝2a2＋b（－a－b）＝a2－ab＋a2－b2＝（a－b）（a＋a＋b）＝（a－b）（a－c）10. 提示：由x＋1y＝y＋1z，得x－y＝1z－1y，得zy＝y zx y--11. 提示：参见例5得（a＋b）（b＋c）（a＋c）＝012. （1）∵()a b cbc+＝()b cb c a++-，∴（b＋c）（ab＋ac－a2－bc）＝0.∴（b＋c）（a－b）（c－a）＝0.∵b＋c≠0，∴a＝b或c＝a.∴这个三角形为等腰三角形.（2）∵1a＋1c＝1+a b c-＋1b，∴a cac+＝()a ca b c b+-+∴（a－b＋c）＝ac，∴（a－b）（b－c）＝0, a＝b或b＝c，∴这个三角形为等腰三角形.13. 3 x＝1a，y＝1b，c＝1z，∴411a+＋411x+＝411a+＋4111a+＝1，∴原式＝3.14. （1）x＝－11 2（2）x＝123 14（3）（x，y，z）＝（2310，236，232）提示：原方程组各方程左端通分、方程两边同时取倒数.B级1. 22. －1或8 提示：设a bc+＝b ca+＝c ab+＝k，则k＝－1或2 3.1128354. 0 提示：由xy z+＝1－yz x+－zx y+，得：14＝x－xyz x+－xzx y+5. A6. C7. D 提示：原式＝4(2)(2)(1)(2)x x xx x-+---＝3(2)1x xx-+-＝3261281x x x xx-+-+-＝2(1)5(1)8(1)1x x x x xx---+--＝x2－5x＋88. A 提示：由已知条件得x＝3y9. （1）由a ＋b ＋c ＝0，得a ＋b ＝－c ∴a 3＋b 3＋c 3＝－3ab （a ＋b ）＝3abc（2）∵（a b c -＋b c a -＋c a b -）·ca b-＝1＋22c ab ， ∴同理：（a b c -＋b c a -＋c ab -）·a bc -＝1＋22a bc ，（a b c -＋b c a -＋c a b -）·bc a -＝1＋22b ac ，∴左边＝3＋22c ab ＋22a bc＋22c ab ＝3＋3332()a b c abc ++＝910. ∵a 2＋4a ＋1＝0，∴a 2＋1＝－4a ，①a ≠0. 4232122a ma a ma a++++＝2222(1)(2)2(1)a m a a a ma ++-++＝3.把①代入上式中，222216(2)8a m a a ma +--+＝3，消元得1692)8m m+--+＝3，解得m ＝19.11. 设甲、乙、丙三人单独完成此项工作分别用a 天、b 天、c 天，则,,bc a p b c ac b q a c ab c x a b ⎧=⋅⎪+⎪⎪=⋅⎨+⎪⎪=⋅⎪+⎩即111,111,111p a b c q b a c x c a b ⋅=+⋅=+⋅=+解得x ＝14. 12. 由A ＋B ＋C ＝－3得（2222b c a bc+-＋1）＋222222(1)(1)0.22c a b a b c ac ab +-+-+++=即222222()()()0222b c a c a b a b c bc ac ab+-+-+-++=分解因式，得(b ＋c －a )(a ＋b －c )(a －b ＋c )＝0b ＋c －a ， a ＋b －c ，a －b ＋c 中至少有一个为0，不妨设b ＋c －a ＝0，代入式中， A 2002＋B 2002＋C 2002＝(－1)2002＋12002＋12002＝3．13．（1）设女孩速度x 级/分，电梯速度y 级/分，男孩速度2x 级/分，楼梯S 级，则27271818.S x y S xy -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，得13.5271818S S -=-，327418S S -=-，∴S ＝54．（2）设男孩第一次追上女孩时走过扶梯m 编，走过楼梯n 编，则女孩走过扶梯(m －1)编，走过楼梯(n －1)编，男孩上扶梯4x 级/分，女孩上扶梯3x 级/分．545454(1)54(n 1)423m m m x x x x --+=+，即114231m n m n --+=+，得6n ＋m ＝16，m ，n 中必有一个是正整数，且0≤︱m －n ︱≤1．①16m n -=，m 分别取值，则有②m ＝16－6n ，分别取值，则有显然，只有m ＝3，n ＝126满足条件，故男孩所走的数＝3×27＋126×54＝198级． ∴男孩第一次追上女孩时走了198级台阶．。

专题07 分式的运算(考点清单+18种题型解读)(解析版)

专题07分式的运算（18种题型解读）【分式的相关概念】分式的概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A B叫做分式，A为分子，B为分母.对于分式A B来说：①当B≠0时，分式有意义；当B=0时，分式无意义.②当A=0且B≠0这两个条件同时满足时，分式值为0.③当A=B时，分式的值为1.当A+B=0时，分式的值为-1.④若A B>0，则A、B同号;若A B<0，则A、B异号.约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分.最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分.通分步骤：①定最简公分母；②化异分母为最简公分母.最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．确定最简公分母的方法：【考点题型一】分式的判断1．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）在代数式K，2，2r3，+中，属于分式的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）在代数式12、2+12、B、3K、+1中，分式的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？，，r，2，−1，3，K，K1，−5，2+．4．（23-24八年级下·山西大同·的取值范围是（）A．>0B．≠2C．>2D．≥2【答案】C【分析】本题考查二次根式及分式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．根据二次根式和分式有意义的条件即可求得答案．【详解】解：由题意可得−2>0，解得>2，故选：C．5．（23-24八年级下·全国·x的取值范围是（）A．>2且≠3B．≥2C．≠3D．≥2且≠3【答案】D【分析】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，根据分式分母不能为零，二次根式被开方数需大于等于零列出不等式，求解即可．【详解】解：由题意得−2≥0且−3≠0，解得：≥2且≠3，故选：D．6．（23-24八年级上·河北邯郸·期末）已知=2时，分式1□无意义，则□所表示的代数式是（）A．−2B．+2C．D．2【答案】A7．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）对于分式K r，当J−1时，其值为0，当=1时，此分式没有意义，那么s的值分别是（）A．−1,−1B．1，1C．1,−1D．−1,1【答案】A【分析】本题考查了分式没有意义的条件以及分式值为0的条件，解题的关键是由题意正确得到−1−=0，1+=0，求解即可。

分式知识点题型总结

分式知识点题型总结分式是数学中的一个重要概念，在代数运算和实际问题中都有广泛的应用。

下面我们来对分式的相关知识点和常见题型进行总结。

一、分式的定义形如\（＼dfrac{A}｛B}＼）（＼（A\）、＼（B\）是整式，且\（B\）中含有字母）的式子叫做分式。

其中\（A\）叫做分子，＼（B\）叫做分母。

需要注意的是：1、分式的分母不能为零，否则分式无意义。

2、分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零。

二、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。

即：＼（＼dfrac{A}｛B} ＝＼dfrac{A ＼times M}｛B ＼times M}＼），＼（＼dfrac{A}｛B} ＝＼dfrac{A ＼div M}｛B ＼div M}＼）（＼（M\）为不为零的整式）三、分式的约分与通分1、约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。

约分的关键是确定分子和分母的公因式。

2、通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

通分的关键是确定几个分式的最简公分母。

四、分式的运算1、分式的乘除乘法法则：＼（＼dfrac{a}｛b} ＼times ＼dfrac{c}｛d} ＝＼dfrac{ac}｛bd}＼）除法法则：＼（＼dfrac{a}｛b} ＼div ＼dfrac{c}｛d} ＝＼dfrac{a}｛b} ＼times ＼dfrac{d}｛c} ＝＼dfrac{ad}｛bc}＼）2、分式的加减同分母分式相加减：＼（＼dfrac{a}｛c} ±＼dfrac{b}｛c} ＝＼dfrac{a ± b}｛c}＼）异分母分式相加减：先通分，化为同分母分式，再按照同分母分式的加减法法则进行计算。

五、分式方程1、定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

2、解分式方程的步骤：去分母，将分式方程化为整式方程。

解整式方程。

验根，将求得的未知数的值代入原分式方程的分母，若分母不为零，则是原方程的解；若分母为零，则不是原方程的解，应舍去。

七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第四讲分式运算的方法和技巧(含答案)

第四讲分式运算的方法和技巧趣题引路】如何计算1111223(1)n n ++⋅⋅⋅+⨯⨯+？通分？行不通！注意1111111,,,12122323(1)n n =-=-⋅⋅⋅⨯⨯+11.1n n =-+这叫做裂项，因此原式111111(1)()()1223111nn n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++.从这里可以看出，分式的运算还有很多学问呢.本讲我们专门研究这一问题.知识拓展】分式的运算以分式的概念、分式的基本性质、运算法则为基础，其中分式的加减运算是难点，解决这一难点的关键是根据题目的特点恰当地通分，并以整式变形、因式分解为工具进行运算，通分一般有以下技巧： (1)等式中含有整式，其分母可看作1.(2)当分子的次数高于或等于分母次数时，可将其分离为整式与真分式之和. (3)先约分，后通分，可简化计算. (4)合理搭配，分组通分，化整为零 (5)拆项相消后通分. (6)分步通分，逐步计算 (7)换元通分法.一、分步通分法例1 计算4242111111x x x x++++++-解析如一次性通分，最简公分母为1－x 8，可以预见计算量将非常大，注意到后两个分母：(1＋x )(1－x )＝1－x 2，因此采取各个“击破”法，后两个先通分.解原式＝422422111x x x ++++-＝444411x x ++- ＝881x -点评:解题中既要看到局部特征，又要有全局考虑二、裂项通分法例2 (“五羊杯”竞赛题)计算：222222()()()x yz y zx z xyx y z x yz x z x y zx x x y z xy+-++++--+++---解析各分母相距甚远，似乎无从下手.考虑将每一分式拆成几个分式之和，化繁为简.解原式＝()()()()()()()()()()()()x x z z x y y y x x y z z z y y z x x y x z y z y x z x z y -+++-++--+++-++-+＝()()()0x z y x z y x y x z y z y x z x z y ++-+-=+-++-+点评: 裂项需要很强的变形技巧：因式分解的熟练，添项减项的意识.数学技巧需要积累！三、先约分再通分例3 (江西竞赛题)计算：33232322112(1).2212211x x x x x x x x x x -+++-+++-+--解析注意到第一个分母可以分解成(x 3＋x 2)＋(x 2＋2x ＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)，与分子有公因式，可以约分，这样就轻松了.原式＝222222(1)(1)(1)(1)2(1)112(1)0.(1)(1)(1)(1)(1)(1)11(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+++-++-+++-=+-=+++--++-+-+-四、换元通分法例4 化简222()()().()()()()()()y z z x x y x y x z y x y z z x z y ---++------ 解析三个分母有关联，均与x 、y 、z 的差有关，若设法将分母换成单项式，计算量就小多了，换元试一试.解设x －y ＝a ，y －z ＝b ，z －x ＝c ，则a ＋b ＋c ＝0.所以222()()().()()()()()()y z z x x y x y x z y x y z z x z y ---++------ ＝2223333333[()3()]33b c a a b c a b ab a b c c abc c ac ab bc abc abc abc +++-++-++++====-------点评: 根据分式的特点选取道当的方法，往往事半功倍.五、部分分式法例5 分式226121022x x x x ++++可取的最小值为( )A.4B.5C.6D.不存在解析当分式的分子为常数时，分母越大，分式值越小、将原式写成一个整式和另一个分式的和即可判断.原式＝2222(61212)222662222(1)1x x x x x x x ++-=-=-++++++ 因(x ＋1)2非负，所以当(x ＋1)2＝0时，22(1)1x ++有最大值，原式有最小值6－2＝4，选A.例6 如果211,31424643x A Bx x x x=++-+-，求A 、B 的值解析两分式相等，若分母相等，则分子相等. 解由条件得211(43)(6)31424(6)(43)x A x B x x x x x ⋅-+⋅+=+-+-即 11x ＝－(4A －3Ax ＋Bx ＋6B ) 化简得11x ＝(3A －B )x ＋(－4A －6B ). 从而3A －B ＝11，－4A －6B ＝0. 解得A ＝3，B ＝－2.好题妙解】佳题新题品味例1 (2003年山东菏泽中考题)已知a ＋1a＝5，则4221a a a ++＝ .解析采取部分分式法，原式＝a 2＋1＋21a ＝(a ＋1a)2－1＝52－1＝24.例2 (2003年江苏南通)先化简代数式：222222()()a b a b aba b a b a b a b ⎛⎫+--÷ ⎪-+-+⎝⎭，然后请你自取一组a 、b 的值代入求值(所取a 、b 的值要保证原代数式有意义哟).解析有两个途径：先算括号里的式，利用分配律计算.原式化简为a ＋b ，取a ＝1，b ＝2，原式＝3.例3 (江苏17届初二竞赛)已知111a b -=，则2a ab ba ab b+---的值等于 .解析容易看出ab ≠0，利用分式的基本性质，分子分母都除以ab ，将111a b-=整体代入. 解原式＝111110.11122b a b a+--+==----中考真题欣赏例1 (河南省中考题)已知x 、y 是方程组245x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解，求代数式332222122x x y x xy y x xy y y -⋅+--+++的值，[方法提示：x 3－y 3＝(x －y )(x 2＋xy ＋y 2)]解析解方程组，求出x 、y 的值，分式乘法中的分子分母都是多项式，要分解因式，约分化简后，再代入数值求解.解由方程245x y x y +=⎧⎨-=-⎩,解得23x y =-⎧⎨=⎩,()()()223322222221112222x y x xy y x x y x x x xy y x xy y y x xy y y x y y x y -++-⋅+-=⋅+-=+--+++++-- 当2x =-，3y =时原式21211130192223353151515-=+-=+-=-=---.例2 （大连市中考题）阅读下列材料. ∵11111323⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭，111135235⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭，111157257⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭，…，1111171921719⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭， ∴19171751531311⨯++⨯+⨯+⨯ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1911712171512151312131121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-+-=1911717151513131121 119121919⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 解答问题：在和式111133557+++⨯⨯⨯中，第5项为，第n 项为，上述求和的想法是：通过利用法则，将和式中的各分数转化为两个实数之差，使得除首末两项外的中间各项可以，从而达到求和的目的.解析本题是中考的新题型，旨在考查学生的探究能力和逆向思维能力，以及归纳推理能力.通过观察不难发现，每一项分式的分母都是两个奇数的乘积，而且每一个数都比前一项的数多2，因为第3项为157⨯，如此类推第5项应为1911⨯；再观察第一个数总比项数的2倍少1，即21n -（n 为项数），而第二个数总比项数的两倍多1，即21n +，故第n 项为()()12121n n -+；由分式的减法知()()1112221212121n n n n -=-+-+.故上述求和的想法是通过分式（数）的减法的运用，使得中间项两两消去，达到求和的目的. 答案1911⨯,()()12121n n -+,分式（数）的减法；两两相消.竞赛样题展示例1 （2003年“信利杯”竞赛题）已知1x =2111242x x x +-=+-- . 解析第一、三项先通分，原式234x -=-，代入1x =，可得其值为.例2 （天津市初二数学竞赛初赛试题）计算：2232233223222244113a b a b a a b ab b a a b ab b a b a b a b +++--+++-+--+-. 解析原式()()()()2224444222223a b b a b a b a b a b a b a b a b +=++---++-+ ()()()22224422a b a b a b a b a b a b ++=---++0=. 点评分组通分，降低难度.例3 （“五羊杯”初中数学竞赛试题）若正数a 、b 、c 都增至3倍，则()()333a b c a b c bc ca ab++++++的值增至多少倍？解析 a 、b 、c 增加至3倍：()()()()()()3333333333339333333a b c a b c a b c a b c b c c a a bbc ca ab⎡⎤++++++++⎣⎦=⋅⋅+⋅+⋅++，所以原式的值增至9倍.过关检测】A 级1．已知12x x +=，则331x x += . 2．分式2123x x x ---有意义，x 的取值范围是（）A ．3x ≠B ．1x ≠±C ．3x ≠或1x ≠-D ．3x ≠且1x ≠-3．已知226x y xy -=-，0x >，0y >，则分式3x yx y+-的值为（） A ．0 B ．1 C ．5- D ．54．（浙江省初二数学竞赛决赛）化简：212412221111n nS x x x x -=+++++++. B 级1．已知有理数a 、b 、c 满足0a b c ++=， 8abc =，那么111a b c++的值是（） A ．正数 B ．零 C ．负数 D ．不能确定2．已知a 、b 满足1ab =，记1111M a b =+++，11a bN a b=+++，则M 、N 的关系为（） A ．M N > B ．M N = C ．M N < D ．不确定3．若对于3x =±以外的一切数28339m n xx x x -=+--均成立，则mn 的值是（） A ．8 B ．8- C ．16 D ．16-4．比较两数56789012346789012345与56789012356789012347的大小．5．化简：222222113 111112123x xx xx xx x x x xx x x⎡⎤+--+⎢⎥-⎛⎫+-+-÷⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥--+--+⎣⎦．6．计算：()()()()()()()()()()()() 222222y x z x z y x y x z y zx z y x y z x y z y z x y z x x z y ------+++-+-+-+-+-+-．7．求最大的正整数n，使得3100n+能被10n+整除．。

分式的运算(有答案)

分式的运算一、分式的加减法1.同分母分式的加减法2.异分母分式的加减法二、分式的乘除法三、分式的混合运算一、分式的加减法1.同分母分式的加减法1. 【易】计算111x x x ---结果是（） A ．0 B ．1 C ．1- D ．x【答案】C2. 【易】化简：2111x xx x -+=++_____________．【答案】13. 【易】计算代数式ac bca b a b--- 【答案】C4. 【易】计算：211m mm m -=--_____________．【答案】m5. 【易】计算22a b a b a b-=--___________ 【答案】a b +6. 【易】化简代数式2111x x x+-- 【答案】1x +7. 【易】化简211x xx x+--的结果是（） A ．1x + B ．1x - C ．x -D ．x【答案】D 8. 【中】计算2222222x y x xy y x xy y --+-+ 【答案】解：原式()()2222x y x y x y =---()222x y x y -=-x yx y+=-9. 【中】计算222222222a ab b a b b a a b ++---【答案】10. 【中】计算251222x x xx x x-+----- 【答案】2x +11. 【中】计算2224332222x y x y x yxy y x xy +-+-- 【答案】1xy12. 【中】计算2222222233n m m n m n mm n m n m n m n -+-++----- 【答案】22nm n -13. 【中】计算：⑴2222135333x x x x x x x x +--+-++++；⑵22222621616x x x x x +-++-- 【答案】⑴2=；⑵24x =+．a ba b-=+2.异分母分式加减法14. 【易】计算11x x y --的结果是（） A ．()y x x y -- B ．2()x yx x y +- C ．()2x y x x y --D ．()yx x y -【答案】A15. 【易】2213a a a -- 【答案】263a a a -- 16. 【易】分式()1111a a a +++的计算结果是（） A ．11a + B ．1a a + C ．1aD ．1a a+ 【答案】C 17. 【易】化简代数式()()a bb a b a a b ---【答案】a bab+ 18. 【中】学完分式运算后，老师出了一道题“化简：23224x xx x +-++-” 小明的做法是：原式222222(3)(2)26284444x x x x x x x x x x x +--+----=-==----；小亮的做法是：原式()()()22322624x x x x x x x =+-+-=+-+-=-；小芳的做法是：原式32313112(2)(2)222x x x x x x x x x x +-++-=-=-==++-+++．其中正确的是（） A ．小明 B ．小亮 C ．小芳 D ．没有正确的【答案】C19. 【中】化简22124a a a -=--___________ 【答案】12a + 20. 【中】计算：218416x x ---．【答案】14x =+ 21. 【中】计算：22111x x x ---．【答案】11x =+ 22. 【中】化简：2212211x x x x -+=+++_____________．【答案】123. 【中】计算11aa a +--的结果是（）A ．11a -B ．11a --C ．211a a a ---D ．1a -【答案】C24. 【中】化简211a a a ---的结果是（）A ．B ．－C ．D ．【答案】A25. 【中】化简1a ba b b a++-- 【答案】原式=1a ba b b a ++-- =1a ba b -+- =11+ =226. 【中】()21126329xx xx +++-- 【答案】29218x =--27. 【中】（2009年大兴二模）化简：311(1)(2)x x x x ----+，并指出x 的取值范围．【答案】=12x +．x 的取值范围是2x ≠-且1x ≠的实数．28. 【中】化简：12212112a a a a +---+-+．【答案】原式421254a a =-+29. 【难】化简：2481124811111x x x x x -----++++．【答案】原式16161x =-30. 【难】计算：222111563243x x x x x x +-++++++．【答案】2143x x =++二、分式的乘除法31. 【易】计算：11m nn m +⋅=+_________．【答案】132. 【易】计算：mn m nm n m+⋅=+___________．【答案】n33. 【易】计算2324ab axcd cd-÷等于（）A ．223b x B ．232b xC ．223b x-D ．222238a b x c d-【答案】C34. 【易】计算：()()23221323m n m n ----⋅（最后结果写成正整数幂形式）=_________【答案】713427m n35. 【易】22()an m m n ⋅--的值为（） A ．2a m n + B ．a m n + C ．a m n -+D ．am n-- 【答案】C36. 【易】化简：2()n nm m m-÷-的结果是（）A ．1m --B ．1m -+C ．mn m -+D ．mn n --【答案】B37. 【易】化简：2211x x x x +-÷．【答案】1x x -38. 【中】化简：222448.244a ab abab a a -+++ 【答案】24a -39. 【中】计算下列各题①252128y xy x ⋅；②222242m n m mnm mn m n --÷-- ③22111.(1)11x x x x -÷--+；④22222(32)25549x a a b a b x a x +-⋅+- 【答案】①2154y x；②22m n m +；③1；④5(23)a b x a --．40. 【中】①389()22x y y x ⋅-=_______________；②22333x xy x y x x--+÷=_______________； ③1()a b a b ÷+=+_____________；④2222222ab b a b a ab b a ab+-⋅=++-____________．【答案】①218x -；②1-；③()21a b +；④ba．41. 【中】2221()111a a a a a a a -+÷⋅--- 【答案】11aa+-42. 【中】计算23243a a bb b a⎛⎫-÷⋅⎪⎝⎭ 【解析】原式=224233a b bb a a ⨯⨯89= 【答案】8943. 【中】计算：()234a a a b b b ⎛⎫⎛⎫-⋅-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】6ab44. 【中】2342()()()b a ba b a -⋅-÷-【答案】23423452642648()b a b b a a a a a a a b b b=⋅-÷=-⋅⋅=-45. 【中】2223()()()x y x x y xy x y -÷+⋅- 【答案】2()()x x y y x y +-46. 【中】计算：22266(3)443x x x x x x x -+-÷+⋅-+- 【答案】22(3)1(3)(2)2(2)3(3)2x x x x x x x -+-=⋅=--+---47. 【中】()23224422281xy xy x x x xy y x -+--+÷-⋅-- 【答案】解：()23224422281xy xy x x x xy y x -+--+÷-⋅-- ()()()()2221122221x y x x y y y x ---=⋅⋅+--- ()()1221x x xy -=⋅+3224x x y -=+48. 【难】化简：44xy xy x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫-+⋅+- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭【答案】原式()()2244x y xyx y xyx yx y-++-=⋅-+2342()()()b a b a b a -⋅-÷-22266(3)443x x x x x x x-+-÷+⋅-+-()()22x y x y x yx y+-=⋅-+22x y =-三、分式的混合运算49. 【易】计算的结果是（） A ． B ． C ．D ．【答案】B50. 【易】计算()a b a bb a a +-÷的结果为_________________．【答案】a bb-51. 【易】化简22(1)b a a b a b -÷+- 【答案】解：22(1)b a a b a b -÷+- ()()a b a b a b b a b a +-+-=⋅+ a b =-52. 【易】化简263393m m m m +÷+--的结果是_________________ 【答案】153. 【易】计算：22(1)b a a b a b +÷-- 【答案】a b +54. 【易】化简：231122x x x --÷++（）【答案】231122x x x --÷++（） 2322(1)(1)x x x x x +-+=⋅++-11x =+55. 【易】22()a b ab b a a b a a ⎛⎫--÷-≠ ⎪⎝⎭【答案】原式222a b a ab b a a ---=÷ =22222a b a b a ba b a b ab ⎛⎫+---⨯ ⎪-+⎝⎭1a b -1a b +a b -a b +1a b-56. 【易】化简：2224222a a a a a a ⎛⎫⋅- ⎪+--⎝⎭【答案】a57. 【易】计算：()241222a a a a -÷-⨯+- 【答案】()241222a a a a -÷-⨯+- ()()2211222a a a a a +-=⋅⨯+-- 12a =-58. 【易】计算或化简：()21111x x xx x +⎛⎫-÷ ⎪-⎝⎭- 【答案】解： 11x=-+59. 【易】计算221()a ba b a b b a-÷-+-【答案】解：原式=()()()a a b b aa b a b b ---⨯+- ()()b b aa b a b b -=⨯+- 1a b=-+60. 【中】化简：22221369x y x y x y x xy y +--÷=--+_______ 【解析】2yx y-61. 【中】计算：()222211121a a a a a a +-÷+---+．【答案】1-62. 【中】计算：2228224a a a a a a +-⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭ 【答案】原式63. 【中】化简：2211()1211a a a a a a ++÷--+-．【答案】11a -64. 【中】221121x x x x x x x+⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭【答案】()211x --65. 【中】化简：2222111x x x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭【答案】x66. 【中】化简：221211241x x x x x x --+÷++-- 【答案】167. 【中】化简：22222369x y x y yx y x xy y x y--÷-++++ 【答案】128(2)(2)(2)2a a a a a a a ⎡⎤+=-⨯⎢⎥-+--⎣⎦2(2)8(2)(2)2a a a a a a a +-=⨯+--2(2)(2)(2)2a a a a a a -=⨯+--12a =+68. 【中】化简22424422x x x x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭，其结果是（） A ．82x -- B ．82x - C ．82x -+ D ．82x + 【答案】D69. 【中】⑴222b a a b a b a b-⎛⎫++÷ ⎪-⎝⎭ ⑵222244224y x y x y x y y x +++-- 【答案】⑴a b ab+；⑵22x x y +70. 【中】化简：222211214421a a a a a a a +-⋅÷+=-+++-_________________ 【答案】11a -71. 【中】化简：2()b a b a b a b a+-+⋅+ 【答案】解：2()b a b a b a b a+-+⋅+ 222a b b a b a b a -++=⋅+ a =72. 【中】44()()ab ab a b a b a b a b-++--+ 【答案】22a b -73. 【中】化简：11n m n m m m n m m n ⎛⎫⎛⎫+-÷+- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭．【答案】原式()()()()()()22m m n n m n m m m n n m n m m m n m m n -+--+++-=÷-+ ()()222m m n n m m n mn n +-=⋅-+ 2222mn n m mn n --=--74. 【中】化简：111111a a a a ⎛⎫+÷+ ⎪+-+⎝⎭．【答案】解：原式=()()111111a a a a a a -+++⨯+-+ 2111a a a -=+-- 11a a +=-。

分式专题(含答案)

分式专题一、分式定义,注意:判别分式得依据就是分母中还有字母,分母不等于零。

1、在式子y x y x x c ab y a 109,87,65,43,20,13+++π中,分式得个数就是( )个2、下列式子:x y a y x ab x 73),(51,89,97222++-,yx 2915-中,就是分式得有( )个二、分式基本性质 1、填空:()yx xy ba -=---..............;2.在括号内填入适当得代数式,使下列等式成立:2xy =22()2ax y ; 322()x xy x y --=()x x y -.3、把分式xyyx -中得x 、y 得值都扩大2倍,则分式得值( ) A 不变 B 扩大2倍 C 扩大4倍 D 缩小一半 4、已知31=b a ,分式ba ba 52-+得值为 ; 5、若32,234a b c a b ca b c -+==++则=_______. 6、不改变分式52223x yx y -+得值,把分子、分母中各项系数化为整数,结果就是( ) 三、分式无意义与有意义, 1、当x 时,分式3213+-x x 无意义;2.在分式2242x x x ---中,当x ______时有意义.3.当x____时,分式||2x x -有意义.4、式子2(3)12x -+--中x 得取值范围就是_______.5、当x_____________时,式子23+x x ÷322--x x 有意义四、分式值为零,1、当x 时,分式392--x x 得值为0;2.使分式234x ax +-得值等于零得条件就是x____.3.在分式2242x x x ---中,当x ____时分式值为零..__01||87.42=---x x x x ，则的值为若分式五、分式约分1.约分:34522748a bx a b x , 532164abc bc a - 22923a a a ---,xx x 52522--2.分式:①223a a ++,②22a b a b --,③412()a a b -,④12x -中,最简分式有( )个六、通分 1、分式222439xx x x --与得最简公分母就是___ ___________、 2、分式y x 21,323x y ,232xy x+得最简公分母就是( )3、把下列各组分式通分 (1)243,2b acbd c (2) 七、分式运算 1、化简xy x x 1⋅÷得结果就是( ) 2、22332p mn p n nm ÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅; 3、aa a -+-21422; 4、112---x x x ; 5、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-x y xy x x y x 2222, 6.339322++--m m m m 7 、先化简,再对a 取一个您喜欢得数,代入求值.221369324a a a a a a a +--+-÷-+-. 8、先化简:⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-aa a aa 121 并任选一个您喜欢得数a 代入求值. 9、先化简,再求值:1312-÷+x x x x ,其中31+=x . ,412-a 21-a10、已知220x -=,求代数式222(1)11x x x x -+-+得值.11、先化简,再求值: 3x ＋3 x ·⎝⎛⎭⎫ 1 x －1 ＋ 1 x ＋1 ÷ 6x,其中x ＝1.12、先化简,再求值:232224xx x x x x ⎛⎫-÷⎪-+-⎝⎭，其中3x =．八、分式方程,易错点:分式方程检验 1、解方程: (1)256x x x x -=--. (2)21411x x x +---=1. (3)12212+=++-x xxx x , (4)6122x x x +=-+. (5)14143=-+--x x x ,(6)22333x x x -+=--, 2、已知23(1)(2)12x A Bx x x x -=+-+-+,求A,B 得值.3、已知分式方程21x ax +-=1得解为非负数,求a 得范围. 4、已知关于x 得方程12-=-+x ax 得根就是正数,求a 得取值范围。

专题7 分式的通分和约分（含答案）

专题7 分式的通分和约分知识解读一、约分1.约分步骤（1）分子、分母是单项式第1步：判断结果的符号，整个分式、分子和分母的负号个数之和，奇数个为负，偶数个为正；第2步：约去公因式，系数与系数约分，相同字母与相同字母分别约分。

（2）分子、分母是多项式第1步：分别将分子、分母因式分解；第2步：分子、分母约去公因式；注意：最高次项系数为负数的，可应用分式性质将最高次项系数化为正数后再因式分解。

2.寻找最大公因式的方法寻找分子、分母最大公因式的步骤：①系数，找最大公约数；②相同式子，找最低次幂。

如果分子或分母是多项式，要先进行分解因式，再找公因式.二、通分1.通分的步骤（1）确定几个分式的最简公分母；（2）将几个分式的分子、分母同时乘同一个整式，使得所有分式的分母都化成最简公分母.2.寻找最简公分母的方法（1）分母为单项式：①系数取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；②取单项式中每个字母出现的最高次幂作为最简公分母中该字母出现的次数.（2）分母为多项式：①将每个分母因式分解；②找出每个出现的因式的最高次幂，它们的积为最简公分母的因式；③若有系数，方法同上。

培优学案典例示范一、约分例1计算：1、（1）25328mnm n-；（2）4222244xy yx xy y+++；（3）2222444y xx xy y--+-.【提示】先将分子、分母化成乘积的形式，然后约分.【解答】【技巧点评】约分的前提条件是分子、分母有公因式，判断分子、分母是否有公因式，需要将分子、分母化成乘积的形式.跟踪训练11.约分：（1）2222812x yzx y z--；.（2）22416x xx--；（3）22369x xx x--+二、先化简，才能简化求值过程例2计算：（1）2251025x xx x--+，其中x=2.5：（2）22293a bab b-+，其中a=一4，b=2.【提示】直接代入显然很繁琐，可考虑先将分式约分，然后再代入求值。

分式方程及其应用培优学案,附练习题含参考答案

分式方程及其应用学案知识梳理1. 回忆并背诵应用题的处理思路，回答下列问题：（1）理解题意，梳理信息．梳理信息的主要手段有列表、画线段图或示意图．（2）建立数学模型．建立数学模型要结合不同特征判断对应模型，如： ①共需、同时、刚好、恰好、相同……，考虑列方程模型； ①不超过、不多于、少于、至少……，考虑不等式模型．（3）求解验证，回归实际．主要是看结果是否符合实际情况．2. 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程．3. 解分式方程：根据等式的基本性质，把分式方程转化为整式方程求解，结果必须检验，因为解方程的过程中有可能产生增根．增根产生的原因是方程两边同乘了一个使分母为零的整式．1. 列分式方程解应用题，也要进行检验．1. （1）列表，画线段图或示意图（2）①方程模型；①不等式模型（3）符合实际情况例1：解分式方程：11322xx x-=---．【过程书写】1(1)3(2)1136242x x x x x x =----=-+-+==解：检验：把x =2代入原方程，不成立 ①x =2是原分式方程的增根①原分式方程无解例2：八年级（1）班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校120km ．一部分学生乘慢车先行，出发0.5h 后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，求慢车的速度. 【思路分析】列表梳理信息：【过程书写】解：设慢车的速度为x km/h ，则快车的速度为1.2x km/h ，由题意得，1201200.51.2x x =-解得，x =40经检验：x =40是原方程的解，且符合题意答：慢车的速度是40km/h ．练习题1. 下列关于x 的方程是分式方程的有__________．（填写序号） ①315x -=；①x x π=π；①11123x y -=；①1152x x +=+；①11x a b =-． 2. 已知方程2512kx x +=+的解为1x =，则k =_________．3. 解分式方程：（1）2115225x x x ++=--；（2）100602020x x=+-；（3）3201(1)x x x x +-=--；（4）2216124x x x ++=---；（5）2236111x x x +=+--；（6）2221114268x x x x x +-=----+．4. 对于分式方程，下列说法一定正确的是（）A ．只要是分式方程，一定有增根B ．分式方程若有增根，把增根代入最简公分母，其值一定为0C ．使分式方程中分母为零的值，都是此方程的增根D．分式方程化成整式方程，整式方程的解都是原分式方程的解5.若分式方程1322m xx x-=---有增根，则m的值为（）A．2B．3C．1 D．1-6.若分式方程11222kxx x-+=--有增根，则k的值为（）A．2-B．1-C．1 D．27.若分式方程61(1)(1)1mx x x-=+--有增根，则它的增根是（）A．0B．1C．1-D．1和1-8.若分式方程342(2)ax x x x=+--有增根，则增根可能为（）A．0B．2C．0或2D．19.某校用420元钱到商店购买笔记本，经过还价，每本便宜0.5元，结果多买了20本，则原价每本多少元？设原价每本x元，则由题意列出的方程为（）A．420420200.5x x-=-B．420420200.5x x-=-C．4204200.520x x-=-D．4204200.520x x-=-10.已知A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时．若水流速度为4千米/时，设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则由题意列出的方程为（）A．4848944x x+=+-B．4848944x x+=+-C．4849x+=D．9696944x x+=+-11.为保证某高速公路在2016年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完成修建任务．已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用10天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用40天，如果甲、乙两队合作，可比规定时间提前14天完成任务．若设规定的时间为x天，则由题意列出的方程为（）A．111104014x x x+=--+B．111104014x x x+=++-C．111104014x x x-=++-D．111101440x x x+=-+-12. 某商店第一次用600元购进2B 铅笔若干支，第二次又用600元购进该铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的54倍，购进数量比第一次少了30支．（1）第一次每支铅笔的进价是多少元？（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，则每支售价至少是多少元？13. 公交快速通道开通后，小王上班由骑电动车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点9千米，他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他用骑电动车的方式平均每小时行驶的路程的1.5倍还多5千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是骑电动车方式所用时间的47．小王用骑电动车方式上班平均每小时行驶多少千米？14. 下列关于x 的方程，其中不属于分式方程的是（）A ．1a b a x a ++=B ．x a b x b a +=-11C ．b x a a x 1-=+D ．1=-+++-nx m x m x n x15. 解分式方程2236111x x x +=+--分以下四步，其中错误的一步是（） A ．方程两边分式的最简公分母是(1)(1)x x -+B ．方程两边都乘以(1)(1)x x -+，得整式方程2(1)3(1)6x x -++= C ．解这个整式方程，得1x =D ．原方程的解为1x =16. 张老师和李老师同时从学校出发，骑行15千米去县城购买书籍．已知张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，则两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x 千米，依题意可列方程为（）A ．1515112x x -=+ B ．1515112x x -=+ C ．1515112x x -=- D ．1515112x x -=- 17. 若方程61(1)(1)1mx x x -=+--有增根，则m =_________．18. 如果解关于x 的分式方程1134x m x x +-=-+出现了增根，那么增根是___________．19. 解分式方程：（1）43(1)1x x x x +=--；（2）22(1)23422x x x x +=+--+；（3）23112x x x x -=+--；（4）11222x x x-=---．20. 某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8 800件投入市场．已知该服装厂有A ，B两个制衣车间，A 车间每天加工的数量是B 车间的1.2倍．A ，B 两车间共同完成一半的生产任务后，A 车间因出现故障而停产，剩下的全部由B 车间单独完成，结果前后共用了20天完成全部生产任务．则A ，B 两车间每天分别能加工多少件该款夏装？【思路分析】列表梳理信息：21. 某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求．商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但是单价贵了4元．商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下150件按八折销售，很快售完．在这两笔生意中，商厦共盈利多少元？【思路分析】列表梳理信息：【参考答案】1. ①①2. -13. （1）（2）（3）无解（4）无解（5）无解（6）x =14. B5. C6. C7. B8. A9. B 10. A 11. B12.（1）第一次每支铅笔的进价是4元（2）每支售价至少是6元13. 小王用骑电动车方式上班平均每小时行驶20千米 14. C 15. D 16. B 17. 3 18.x =319. （1）x =2（2）（3）无解（4）无解 20. A 车间每天能加工384件该款夏装B 车间每天能加工320件该款夏装 21. 商厦共盈利90 260元43x =5x =43x =。

分式的运算及题型讲解

§17.2分式的运算一、分式的乘除法1、法则：〔1〕乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

〔意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘〕。

用式子表示：bd ac d c b a =•〔2〕除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘。

用式子表示： 2、应用法则时要注意：〔1〕分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数，奇负偶正”；〔2〕当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分；〔3〕分式乘除法的结果要化简到最简的形式。

二、分式的乘方1、法则：根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把将分子、分母分别乘方，然后再相除。

用式子表示：〔其中n 为正整数，a ≠0〕2、注意事项：〔1〕乘方时，一定要把分式加上括号；〔2〕在一个算式中同时含有乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有bcad c d b a d c b a =•=÷n n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛多项式时应先因式分解，再约分；〔3〕最后结果要化到最简。

三、分式的加减法〔一〕同分母分式的加减法1、法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

用式子表示：2、注意事项：〔1〕“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能省略；〔2〕分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。

〔二〕异分母分式的加减法1、法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，再加减。

用式子表示：bd bc ad bdbc bd ad d c b a ±=±=±。

2、注意事项：〔1〕在异分母分式加减法中，要先通分，这是关键，把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。

〔2〕若分式加减运算中含有整式，应视其分母为1，然后进行通分。

初中数学分式的概念、运算及分式方程培优(含解析)

初中数学分式的概念、运算及分式方程培优考试要求：例题精讲：模块一分式的概念【例1】x为何值时，分式29113xx-++有意义？【解析】根据题意可得：110330xx⎧+≠⎪+⎨⎪+≠⎩，解得3x≠-且4x≠-;如果问：x为何值时，分式29113xx-++值为零，答案为3x=.【答案】3x=【巩固】⑴若分式216(3)(4)xx x--+有意义，则x;⑵若分式216(3)(4)xx x--+无意义，则x;【解析】⑴若分式216(3)(4)xx x--+有意义，则3x≠且3x≠-且4x≠-;⑵若分式216(3)(4)xx x--+无意义，则3x=或3x=-或4x=-；【答案】⑴3x≠且3x≠-且4x≠-；⑵3x=或3x=-或4x=-【例2】解下列不等式：①53xx-<-；②523xx->-【解析】①由题意可知5030xx->⎧⎨-<⎩或者5030xx-<⎧⎨->⎩，解得3x<；5x>，所以原不等式的解集为3x<或5x>；②5203x x -->-，即11303xx ->-，由题意可知113030x x ->⎧⎨->⎩或者113030x x -<⎧⎨-<⎩，解得1133x <<；无解，所以原不等式的解集为1133x <<. 【答案】3x <或5x >；1133x <<．【巩固】⑴解不等式304x x +<- ；⑵解不等式334x x +>- .【解析】 ⑴由题意可知3040x x +>⎧⎨-<⎩或者3040x x +<⎧⎨->⎩,由得34x -<<；无解集，所以原不等式的解集为34x -<<；⑵由题意可知3304x x +->-，15204xx ->-，可得：152040x x ->⎧⎨->⎩或者152040x x -<⎧⎨-<⎩得1542x <<；无解集，所以原不等式的解集为1542x <<. 【答案】34x -<<；1542x <<．模块二分式的运算☞分式的化简求值裂项【例3】设为正整数，求证：. 【解析】，故【答案】【巩固】化简：. 【解析】【答案】2100100x x+n 1111...1335(21)(21)2n n +++<⋅⋅-+1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+111111111(1.....)(1)233521212212n n n -+-++-=-<-++1111...1335(21)(21)2n n +++<⋅⋅-+111.....(1)(1)(2)(99)(100)x x x x x x ++++++++111111111.........(1)(1)(2)(99)(100)11299100x x x x x x x x x x x x +++=-+-+-++++++++++211100100100x x x x =-=++【巩固】化简：【解析】原式【答案】255x x+【例4】化简：. 【解析】同理，，故.【答案】0【巩固】(第11届希望杯试题)已知，，为实数，且，，，求. 【解析】由已知可知，三式相加得，，故. 【答案】16【巩固】化简：. 【解析】同理，，故【答案】022222111113256712920x x x x x x x x x x +++++++++++++11111(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)x x x x x x x x x x =+++++++++++++211555x x x x =-=++222()()()()()()a bc b ac c aba b a c b c b a c a c b ---++++++++22()()()()a bc a ac ac bc a ca b a c a b a c a b a c-+--==-++++++2()()b ac b a b c b a b c b a -=-++++2()()c ab c bc a c b c a c b-=-++++2220()()()()()()a bcb ac c aba b a c b c b a c a c b ---++=++++++a b c 13ab a b =+14bc b c =+15ca c a =+abc ab bc ca++113114115a b b cc a ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩1116a b c ++=1111116abc ab bc ca ab bc ca abc a b c===++++++222222a b c b c a c a ba ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab ------++--+--+--+221111()()a b c a b a c a ab ac bc a b a c a b a c a b c a---+-==+=---+------2211b c a b ab bc ac b c a b --=---+--2211c a b c ac bc ab c a b c --=---+--2222220a b c b c a c a ba ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab ------++=--+--+--+☞分式的恒等变形部分分式【例5】下面的等式成立：22465()()x y x y x y A x y B -+--=--++，求A 、B . 【解析】2222465()()()()x y x y x y A x y B x y B A x A B y AB -+--=--++=-+--+-，故有4B A -=，6A B +=，所以1A =，5B =.【答案】1A =5B =【巩固】若代数式(1)(2)(3)x x x x p ++++恰好能分解为两个二次整式的乘积(其中二次项系数均为1，且一次项系数相同)，则p 的最大值是 . 【解析】设原式可分解为22()()x ax m x ax n ++++，展开可得：224322()()2()()x ax m x ax n x ax a m n x a m n x mn ++++=+++++++. 比较等号两边的系数可得：32a m n mn p =⎧⎪+=⎨⎪=⎩，，故22(2)21(1)1p m m m m m =-=-=--≤，最大值为1.【答案】1【例8】若213111a M Na a a -=+--+，求M 、N 的值. 【解析】 2213()()1111a M N M N a M N a a a a -++-=+=--+-，所以31M N M N +=-⎧⎨-=⎩，所以12M N =-⎧⎨=-⎩ 【答案】1,2M N =-=-【巩固】(06年宁波市重点中学提前考试招生试题)已知2a x +与2b x -的和等于244xx -，求a ，b .【解析】 22()2()42244a b a b x a b x x x x x +--+==+--- 所以40a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩【答案】2,2a b ==分式恒等证明【例9】求证：()()332222222222a a a ab b a ab b a ab b a ab b a b a b ⎛⎫⎛⎫++--+-=++-+ ⎪⎪-+⎝⎭⎝⎭【解析】左边()()333333333322a b a b a b a a b a a b a b a b a b a b a b -+--⎛⎫⎛⎫-+=--=⋅ ⎪⎪--++-+⎝⎭⎝⎭ ()()33332222a b a b a ab b a ab b a b a b -+=⋅=++-+=-+右边。

(完整版)分式专题讲解(知识点+例题+练习+中考经典题)

分式专题讲解知识点一、分式的概念: 一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且除式B 中含有字母，那么式子叫分式。

解读：(1)分母中含有字母是分式的一个重要标志，它是分式与分数、整式的根本区别；分式A/B 有意义，则B =0(2)分式的分母的值不能等于零．若分母的值为零，则分式无意义；反之，若分式A/B 无意义，则B =0(3)当分子等于零而分母不等于零时，分式的值才是零．反之，若分式A/B=0，则A =0，且B ≠0例题1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？a ab 2，x 1，3s ，b a a --，πy x +，)(21b a -，)(1z x y -，a-31练习：这些代数式中x -，π4，x a ，y x y x -+2，a 5-，71，2ba -，x -3中，是分式的有（）。

A.3个B.4个C.5个D.6个练习：已知的值。

，求x x x 011=--练习：的值是的值为零，则b 32122---b b b （） A.1 B.-1 C.1± D.2练习：写出一个含字母x 的分式，使得不论x 取何值，分式都有意义。

练习：若0y 3y 21,322是）为负数（）为正数；（）（为何值时，y x xx y -=探索题型：观察下列各等式：323112=+，434122=+，545132=+，656142=+，......，设n 为正整数，试用含n 的等式表示这个规律。

1、分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示是：MB MA MB M A B A ÷÷=⨯⨯=(其中M 是不等于0的整式)．特别提示：(1)在解题过程中，分母不为0是作为隐含条件给出的．若是分式，则说明分母中的字母一定能满足使分母不为0；(2)在运用分式的基本性质时，一定要重点强调分母不为0这个条件，没有给出的，要讨论是否等于0．例题1：下列运算中，错误的是( ).A.2b ab b a =B.b ab ab =2 C.b a b a b a b a 321053.02.05.0-+=-+ D .bc acb a =2、分式的约分根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式叫做分式的约分。

八年级数学分式培优专题

郴州菁华园第二课堂培优班资料专题一分式知识点一、分式的相关概念【小试牛刀】1．下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是( )A ．121x +B ．21x x +C ．231x x+ D ．2221x x + 2．当x _______时，分式2212x x x -+-的值为零． 3．分式24x x -，当x _______时，分式有意义；当x _______时，分式的值为零． 4．分式31x a x +-中，当x a =-时,下列结论正确的是( ） A ．分式的值为零; B ．分式无意义 C ．若13a -≠时，分式的值为零； D ．若13a ≠时，分式的值为零 5．下列各式中，可能取值为零的是（）A ．2211m m +-B ．211m m -+C ．211m m +- D ．211m m ++ 【挑战自我】1。

若ab a b +--=10，试判断1111a b -+，是否有意义。

知识点二、分式的化简，求分式的值【小试牛刀】1、（1）已知13x y 1-=，求5352x xy y x xy y +---的值．（2）若432z y x ==,求222z y x zx yz xy ++++的值。

2、化简下列各式（1）2481124811111x x x x x -----++++ (2）1111(1)(1)(2)(2)(3)(9)(10)x x x x x x x x +++++++++++【挑战自我】3、111,,,345ab bc ac abc a b b c c a ab bc ca===+++++已知a 、b 、c 为实数，且求的值。

知识点三、分式在实际问题中的应用【小试牛刀】1、商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的单价为a元/千克，B种糖的单价为b元/千克，则m千克A种糖和n千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为ma nbm n++元/千克（平均价)。

培优专题7_分式的运算(含问题详解)

初中数学分式方程的应用培优训练(精选40道习题 附答案详解)

分式的运算知识点总结

分式的运算练习题及答案

2022年人教版八年级下册数学培优训练——《分式》全章复习与巩固(基础)知识讲解

八年级分式解答题(培优篇)(Word版 含解析)

分式专题(含答案)

分式培优练习题(完整标准答案)

八年级数学培优辅导讲义竞赛训练导学案 分式的运算 分式的化简与求值 含答案解析

专题07 分式的运算(考点清单+18种题型解读)(解析版)

分式知识点题型总结

七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第四讲 分式运算的方法和技巧(含答案)

分式的运算(有答案)

分式专题(含答案)

专题7 分式的通分和约分（含答案）

分式方程及其应用培优学案,附练习题含参考答案

分式的运算及题型讲解

初中数学分式的概念、运算及分式方程培优(含解析)

(完整版)分式专题讲解(知识点+例题+练习+中考经典题)

八年级数学分式培优专题

初中数学分式方程的应用培优训练(精选40道习题附答案详解)

八年级分式解答题(培优篇)(Word版含解析)

八年级数学培优辅导讲义竞赛训练导学案分式的运算分式的化简与求值含答案解析

七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第四讲分式运算的方法和技巧(含答案)