2014年上海市杨浦区4月初三数学基础测试卷及答案(word版)

上海市杨浦区2014年4月初三数学基础测试卷
(完卷时间 100分钟 满分 150分) 2014.4
一、选择题（本大题每小题4分，满分24分）
1．下列数中属于无理数的是 （ ▲ ）
（A ）227
； （B ）1
416； （C ）0.1&； （D 2． 下列关于x 的方程一定是一元一次方程的是 （ ▲ ）
（A ）
1
1x x
-=； （B ）2(1)a x b +=； （C ）ax b =； （D 3=． 3．布袋中装有大小一样的3个白球、2个黑球，从布袋中任意摸出一个球，则下列事件中是必然事件的是 （ ▲ ） （A ）摸出的是白球或黑球；
（B ）摸出的是黑球；
（C ）摸出的是白球； （D ）摸出的是红球．
4．某外贸公司要出口一批食品罐头，标准质量为每听454克，现抽取10听样品进行检测，它们的质量与标准质量的差值（单位：克）如下：－10，＋5，0，＋5，0，0，－5，0，＋5，＋10。

则这10听罐头质量的平均数及众数为 （ ▲ ） （A ）454，454； （B ）455，454； （C ）454，459； （D ）455，0．
5．已知非零向量,,a b c r r r ，其中2c a b =+r r r 。

下列各向量中与c r
是平行向量的是 （ ▲ ） （A ）2m a b =-u r r r ； （B ）2n b a =-r r r
； （C ）42q a b =+r r r ； （D ）24g a b =+u r r r .
6． 下列每个图中都有一对全等三角形，其中的一个三角形只经过一次旋转运动即可和另一个三角形重合的是 （ ▲ ）
（A ） （B ）； （C ）； （D ）． 二、填空题（本大题每小题4分，满分48分） 7．当2x >时，化简：2x -= ▲ .
8．若关于x 的一元二次方程2
20x x m +-+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围
是 .
9．函数1
2
y x =-的定义域是 ▲ . 10．点A 11(,)x y 、B 22(,)x y 在一次函数2y x b =-+的图像上，若12x x <，则1y ▲ 2
y
（填“＜”或“＞”或“＝”）.
11．抛物线2242y x x =+-的顶点坐标是 ▲ . 12．某区在初一年级一次数学期末考试后，随机抽查了部分 同学的成绩，整理成频数分布直方图如右，则本次抽查的样 本的中位数所在的区间是 ▲ .
13．如果矩形的周长是20cm ，相邻两边长之比为2:3，那么对角线长为 ▲ cm. 14．内角为108°的正多边形是 ▲ 对称图形. 15．如图，△ABC 中∠ABC =70°，∠BAC 的外角平分线与∠ACB 的外角的平分线交于点O ，则∠ABO = ▲ 度.
16．如图，等腰△ABC 中，AB =AC ，BC =8。

已知重心G 到点A 的距离为6，则G 到点B 的距离是_ ▲ .
17．我们把四边形两条对角线中点的连线段称为“奇异中位线”。

现有两个全等三角形，边长分别为3cm 、4cm 、5cm 。

将这两个三角形相等的边重合拼成凸四边形，如果凸四边形的“奇异中位线”的长不为0，那么“奇异中位线”的长是 ▲ cm 。

18．如图，扇形OAB 的圆心角为2α，点P 为弧AB 上一点，将此扇形翻折，当点O 和点P 重合时折痕恰巧过点B ，且
6
5
AB
PB =，则α正切值为 ▲ .
三、解答题（第19~22题每题10分，第23~24题每题12分，第25题14分，满分78分）
19．(本题满分10分) 计算：1
01+3-⎛⎫
⎪⎝⎭
．
20．(本题满分10分) 解方程组：2222
320
5
x xy y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩
A
B O （第18题图） （第16题图） A
B C O (第15题图)
21. (本题满分10分) 如图，矩形ABCD 中，AB =3，AD =5，点E 在AD 上，且AE :ED =1:4，联结BE ，射线EF ⊥BE 交边DC 于点F 。

求CF 的长.
22．(本题满分10分) 某商店第一次用600元购进某种型号的铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价比第一次贵1元，所以购进数量比第一次少了30支． （1）求第一次每支铅笔的进价及购进的数量．
（2）若将这两次购进的铅笔按同一单价x （元／支）全部销售完毕，并要求获利不低于420元，求获利y （元）关于单价x
（元／支）的函数关系式及定义域，并在直角坐标系内画出它的大致图像。

23．(本题满分12分) 如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F 。

（1）求证：CD DF BC BE ⋅=⋅；
（2）若M 、N 分别是AB 、AD 中点，且∠B =60°，求证：EM //FN ．
24．(本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分，)
已知抛物线422
--=ax ax y 与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，△ABC 的面积为12.
（1）求抛物线的对称轴及表达式；
（2）若点P 在x 轴上方的抛物线上，且tan ∠PAB =
2
1
，求点P 的坐标； D F （第21题图）
A B C D E F （第23题图）
(第22题图)
（3）在（2）的条件下，过C 作射线交线段AP 于点E ，使得tan ∠BCE =
2
1
，联结BE ，试问BE 与BC 是否垂直？请通过计算说明。

25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题5分，第（3）小题5分） 已知AM 平分∠BAC ，AB =AC =10，cos ∠BAM =
4
5。

点O 为射线AM 上的动点，以O 为圆心，BO 为半径画圆交直线AB 于点E （不与点B 重合）。

（1）如图（1），当点O 为BC 与AM 的交点时，求BE 的长；
（2）以点A 为圆心，AO 为半径画圆，如果⊙A 与⊙O 相切，求AO 的长；
（3）试就点E 在直线AB 上相对于A 、B 两点的位置关系加以讨论，并指出相应的AO 的取值范围；
杨浦区初三数学基础测试卷答案及评分标准2014.4
一、 选择题
1、D ；
2、B ；
3、A ；
4、B ；
5、C ；
6、D 二、 填空题
7、x-2；8、9
4
m <
；9、3m ≤且2m ≠；10、>；11、（-1，-4）；12、80~90；13
、
x
（第24题图） A B C M O E 图（1）
备用图 A
B C M （第25题图）
14、轴；15、35；16.5；17. 710；18. 34
三、
解答题
19.解：原式
23----------------------------------8分
=3----------------------------------2分
20. 解：由方程1得：()(2)0x y x y --=，∴0x y -=或20x y -=-----------3分
∴原方程组转化为（Ⅰ）22205x y x y -=⎧⎨+=⎩或（Ⅱ）22
5
x y x y -=⎧⎨+=⎩，-----------2分 解（Ⅰ）得1212
22
,11x x y y ==-⎧⎧⎨⎨
==-⎩⎩，--------------------------------------2分
解（Ⅱ）得343
4x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨
⎪⎪==⎪⎪⎩⎩------------------------------2分 ∴原方程组的解为：121222,11x x y y ==-⎧⎧⎨⎨
==-⎩⎩
，3434,x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩---------1分 21. 解：∵AE:ED=1:4，AD=5, ∴AE=1，ED=4, -----------------2分
∵矩形ABCD ，∴∠A=∠D=90°，∴∠AEB+∠ABE=90° ∵EF ⊥BE ，∴∠AEB+∠DEF=90°, ∴∠ABE=∠DEF,
∴△ABE ∽△DEF ，-----------------------------------3分
∴
AB ED
AE DF =,-----------------------------------1分 ∴341DF =,∴43
DF =----------------------------2分 ∴45
333
CF =-=，-----------------------------2分
22. 解：（1）设第一次每支铅笔的进价为a 元／支， 则据题意得：
600600
301
a a -=+，--------------------------------（2分） ∴124,5a a ==-（舍）----------------------------------（2分）
600
1504
=------------------------------------------------（1分） 答：第一次每支铅笔的进价是4元，购进150支。

-------------------------------（1分） （2）由题意得：y ＝（x －4）150＋（x －5）120＝270x －1200 即获利y （元）关于单价x （元／支）的函数关系为：
y ＝270x －1200（6x ≥）----------------------------------------------（1分，1分）
x (元/支)
-------------------------(2分)
23. 证明：（1）∵平行四边形ABCD ，∴∠ABD=∠ADC ，-------1分
∵AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，∴∠AEB=∠AFD=90°，-------1分
∴△ABE ∽△ADF , ∴
AB BE
AD DF
=,---------------1分 ∵平行四边形ABCD ，∴AB=CD ，AD=BC ，---------2分 ∴
CD BE
BC DF
=,即CD DF BC BE ⋅=⋅----------1分 (2) 延长EM 交DA 的延长线于点Q ，
∵平行四边形ABCD ，∴DQ//BC ，∠Q=∠MEB,
∵AE ⊥BC 于E ，M 是AB 中点，∴ME=1
2
AB =MB
∴∠MEB=∠B, ∴∠Q=∠B,
∵∠B=60°，∴∠Q=60°,-----------------------------3分 ∵AF ⊥CD 于F ，N 是AD 中点，∴NF=
1
2
AD =ND ，∠GBE=∠D, ∵平行四边形ABCD ，∴∠D=∠B=60°，
∴∠GBE=∠D=60°, ∴∠DNF=60°, ---------------------------2分 ∴∠DNF=∠Q,∴EM//FN ．-------------------------------------1分 24. 解：(1)∵抛物线422
--=ax ax y ,∴与y 轴交点C （0，-4） ∴对称轴为直线212a
x a
=
=，---------------------------------1分 ∵抛物线与x 轴交于点A 、B ，且△ABC 的面积为12，∴AB=6 -----1分 ∴点A （-2,0），B （4,0）-----------------------------------1分 ∵抛物线过点A ，∴0444a a =+-，∴1
2
a =-----------------1分 ∴抛物线表达式为2
142
y x x =
-- （2）过P 作PH ⊥x 轴，∵tan ∠PAB=2
1
，∴设PH=k ，AH=2k,-------1分
∴P 点的坐标是（2k-2，k ）（k>0）--------------------------1分 ∵点P 在抛物线上，∴21(22)(22)42k k k =----，∴72
k =, ∴P(5，
7
2
)-----------------------------------------------2分 （3）是---------------------------------------------------1分 证明：设AE 交y 轴于点D ，
A
B C
D
E
F
M
N
∵A （-2,0），C （0，-4），∴tan ∠ACO=
21，∵tan ∠PAB=2
1
，∴∠PAB=∠ACO, ∵∠ACO+∠OAC=90︒,∴∠PAB+∠OAC=90︒,∴PA ⊥AC, -------------------------1分
∵tan ∠BCE=
2
1
，∴∠ACO=∠BCE ，∴∠ACE=∠OCB ∵B （4,0）, C （0，-4），∴∠OCB=45︒,∠ACE=45︒,
∵A （-2,0），C （0，-4），∴AO=2，OC=4，∴
AO=∴
CE=,-----------1分 ∵B （4,0）, C （0，-4）, ∴
BC=在△AOC 和△EBC
中，
AC OC ==
,CE CB ==
,∴AC OC =CE CB , 又∠ACO=∠BCE ，∴△AOC ∽△EBC ，
∴∠EBC=∠AOC=90︒,∴BE ⊥BC 。

25. 解（1）∵AM 平分∠BAC ，AB =BC ，
∴AM ⊥BC ，
∵cos ∠BAM =
4
5
，AB =10，∴cos ∠B =5分）
作OH ⊥AE ，∵O 为圆心，∴BH =EH ,----------------------------------------（1分） 在Rt △BOH 中，cos BH
B BO
=,∴318655BH =⨯=,
∴BE =2BH =
36
5
.--------------------------------------------------------（1分） (2) ∵⊙A 与⊙O 相切，AO 为⊙A 半径，
∴⊙A 与⊙O 只可能相内切，且⊙A 在⊙O 的内部，------------（1分） ∴OA=OB-OA ，∴OB=2OA ，-------------------------------（1分）
设OA=x ，则OB=2x ，
作 BP ⊥AM ，则AP=8，BP=6，OP=8-x ，
在Rt △BPO 中，2
2
2
OP BP OB +=,即222
(8)64x x -+=，-----------（1分）
∴2
3161000x x +-=，∴x =
，（负舍），∴OA =x =.-------（2分） （3）过AB 中点作AM 的垂线交AM 于点O 1，可得AO 1=
25
4
,-----------------(1分) x
A
B
C
O P
M
过B作AM的垂线交AM于点O2，可得AO2=25
2
,-----------------(1分)
当
25
4
AO
≤<时，点E在BA的延长线上；--------------------（1分）
当2525
42
AO
≤<时，点E在线段AB上；--------------------（1分）
当
25
2
AO>时，点E在AB的延长线上。

--------------------（1分）。