高中数学人教A版选修2-3教学案2.1.2 离散型随机变量的分布列 Word版含解析
人教新课标版数学高二人教A版选修2-3离散型随机变量的分布列 导学案
2．1．2离散型随机变量的分布列一、【学习目标】知识目标1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念。
2．掌握离散型随机变量的分布列的表示方法和基本性质。
能力目标1．在具体问题中能写出随机变量的取值，能列出概率分布列；2．培养学生独立思考问题的能力．情感、态度与价值观1加强师生情感交流，营造和谐课堂。
2在教学过程中让学生体会数学在生活的应用。
3充分发挥非智力因素在教学中的作用，增强学生对数学学习的兴趣二、【重点难点】重点：1.离散型随机变量概率分布列的概念。
2. 离散型随机变量分布列的表示方法和性质；难点：1.确定离散型随机变量的取值、随机变量所对应的概率2. 随机变量在某个范围内取值的概率的计算考点：1离散型随机变量及其分布列的概念2离散型随机变量的分布列的表示方法和基本性质3具体问题中能写出随机变量的取值，能列出概率分布列三、【知识链接】.1.随机变量的概念：如果____________________可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母__________________等表示2. 离散型随机变量的概念：对于随机变量可能取的值，可以按__________________，这样的随机变量叫做离散型随机变量3.对立事件定义.:其中必有一个发生的两个______叫做对立事件是,一种特殊的互斥事件4.互斥事件事件定义：A与事件B在任何一次试验中__________________四、【合作探究】引入对于一个随机试验，仅仅知道试验结果的取值是不够的，还要把握每一个结果发生概率的大小。
还要研究这些结果取值的平均数，这些结果取值的波动状态等等。
实例引入：在随机试验掷一枚骰子中，我们可以定义一个随机变量X , X 的值分别对应试验所得的点数.X能取那些值，X 取每个值的概率分别是多少？解：X的取值有1、2、3、4、5、6则列成表格形式X 1 2 3 4 5 6P归纳小结：该表不仅列出了随机变量X的所有取值．而且列出了X的每一个取值的概率．这样，我们就从概率的角度指出了随机变量在随机试验中取值的分布状况，为进一步研究随机现象奠定了基础，这就是今天我们要学习的内容——离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列定义：一般地，设离散型随机变量X可能取的不同值为：,X取每一个x（ｉ=1，2，……）的概率,P（X=xｉ）=Ｐｉ.，以表格的形式表示如下：X …………P P P……P……此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称X 的分布列也可用P(X=xｉ）=P i=1,2,3 …n表示X的分布列合作探究1分布列的构成:⑴列出随机变量ξ的所有取值;⑵给出ξ的每一个取值的概率注：在具体问题中关键是要搞清楚什么是随机变量，随机变量能取哪些值，随机变量取值的概率是什么2分布列的性质:（1）请同学们思考随机变量概率的取值有什么特点呢(2) 请同学们思考P1+P2+…+Pn=？为什么（3）随机变量在某个范围内取值的概率等于随机变量在这个范围内取各个值得概率的和。
人教版A版高中数学选修2-3：2.1.2离散型随机变量的分布列
n件，其中恰有X件次品数，则事件{X＝k}
发生的概率为P(X＝k)＝
，
k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n、M、N∈N*，称分布列
为超几何分布列.
如果随机变量X的分布列为超几何分布 列，则称随机变量X服从超几何分布
想一想？？
例4：在8个大小相同的球中，有2个黑球， 6个白球，现从中任取3个球，求取出的球 中白球个数X的分布列.
复习： 一、离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随
机变量，常用字母 X、Y、ξ、η
…
表示．
所有取值可以 一一列出 的随机变量
称为离散型随机变量．
复习：
2．离散型随机变量的分布列
一般地，若离散型随机变量X可能取的不 同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值 xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表
练习：从某医院的3名医生，2名护士中随机选 派2人参加抗洪抢险救灾，设其中医生的人数
为X，求随机变量X的分布列．
[解析] 依题意可知随机变量 X 服从超几何分布，所以
P(X＝k)＝C3kCC2522－k(k＝0,1,2)． P(X＝0)＝CC30C25 22＝110＝0.1， P(X＝1)＝CC31C25 21＝160＝0.6， P(X＝2)＝CC32C25 20＝130＝0.3(或 P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X
格的形式表示如下：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
那么上表称为离散型随机变量X的 概率分布，列简称
为 X的分布列
3.离散型随机变量分布列的三种表示方法：
① 表格法 ② 解析法 ③ 图象法 4.性质：离散型随机变量的分布列具有如下性质
2018-2019学年高中数学人教A版选修2-3教学案：2.1.2 离散型随机变量的分布列-含解析
2．1．2 离散型随机变量的分布列预习课本P46～48，思考并完成以下问题 1．离散型随机变量的分布列的定义是什么？2．离散型随机变量分布列的性质是什么？3．两点分布和超几何分布的定义是什么？[新知初探]1．离散型随机变量的分布列(1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n, X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表：为离散型随机变量X 的概率分布列， 简称为X 的分布列．用等式可表示为P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n, 也可以用图象来表示X 的分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0，i ＝1,2，…，n ； ② i ＝1np i ＝1．[点睛] 对离散型随机变量分布列的三点说明(1)离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值， 而且也能看出取每一个值的概率的大小， 从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况．(2)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和． (3)离散型随机变量可以用分布列、解析式、图象表示． 2．两个特殊分布(1)两点分布随机变量X 的分布列是：则称离散型随机变量X 服从两点分布，称p ＝P (X ＝1)为成功概率． (2)超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X＝k }发生的概率P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，称分布列X 服从超几何分布．[点睛] (1)超几何分布的模型是不放回抽样． (2)超几何分布中的参数是M ，N ，n ．(3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( ) (2)在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．( )(3)超几何分布的总体里只有两类物品．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√2．设离散型随机变量ξ的概率分布如下表：则p 的值为( ) A ．12B ．16C ．13D ．14答案：C3．若随机变量X 服从两点分布， 且P (X ＝0)＝0．8，P (X ＝1)＝0．2，令Y ＝3X －2，则P (Y ＝－2)＝________．答案：0．84．已知随机变量X 的分布列为：P (X ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2＜X ≤4)＝_______．答案：316求离散型随机变量的分布列[典例] 一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量ξ的分布列．[解] 随机变量ξ的可能取值为3,4,5．当ξ＝3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他两只球的编号只能是1,2，故有P (ξ＝3)＝C 22C 35＝110；当ξ＝4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他两只球只能在编号为1,2,3的3只球中取2只，故有P (ξ＝4)＝C 23C 35＝310；当ξ＝5时，即取出的三只球中最大号码为5，则其他两只球只能在编号为1,2,3,4的4只球中取2只，故有P (ξ＝5)＝C 24C 35＝610＝35．因此，ξ的分布列为ξ 3 4 5 P11031035求离散型随机变量分布列的步骤(1)首先确定随机变量X 的取值； (2)求出每个取值对应的概率；(3)列表对应，即为分布列． [活学活用]某班有学生45人，其中O 型血的有10人，A 型血的有12人，B 型血的有8人，AB 型血的有15人．现从中抽1人，其血型为随机变量X ，求X 的分布列．解：将O ，A ，B ，AB 四种血型分别编号为1,2,3,4，则X 的可能取值为1,2,3,4． P (X ＝1)＝C 110C 145＝29， P (X ＝2)＝C 112C 145＝415，P (X ＝3)＝C 18C 145＝845， P (X ＝4)＝C 115C 145＝13．故其分布列为X 1 2 3 4 P2941584513离散型随机变量分布列的性质[典例] 设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝a ⎝⎛⎭⎫13k．(k ＝1,2，…，n )，求实数a 的值． [解] 依题意，有P (ξ＝1)＝13a ，P (ξ＝2)＝⎝⎛⎭⎫132a ，…，P (ξ＝n )＝⎝⎛⎭⎫13n a ， 由P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋…＋P (ξ＝n )＝1， 知a ⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13n ＝1． 则a ·13⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13＝1．∴a ＝2×3n3n －1．离散型随机变量的分布列的性质的应用(1)通过性质建立关系，求得参数的取值或范围，进一步求出概率，得出分布列． (2)求对立事件的概率或判断某概率是否成立．[活学活用]1．设随机变量ξ只能取5,6,7，…，16这12个值，且取每一个值概率均相等，若P (ξ<x )＝112，则x 的取值范围是________． 解析：由条件知P (ξ＝k )＝112，k ＝5,6，…，16，P (ξ<x )＝112，故5<x ≤6．答案：(5,6]2．设随机变量X 的分布列P (X ＝i )＝k2i (i ＝1,2,3)，则P (X ≥2)＝________．解析：由已知得随机变量X 的分布列为X 1 2 3 Pk2k 4k 8∴k 2＋k 4＋k 8＝1，∴k ＝87． ∴P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝k 4＋k 8＝27＋17＝37．答案：37两点分布[典例] 袋中有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，两球全红，1，两球非全红，求随机变量X 的分布列．[解] 由题意知，X 服从两点分布，P (X ＝0)＝C 26C 211＝311，所以P (X ＝1)＝1－311＝811．所以随机变量X 的分布列为X 0 1 P311811两点分布的4个特点(1)两点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的； (2)两点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0；(3)由互斥事件的概率求法可知，已知P (X ＝0)(或P (X ＝1))，便可求出P (X ＝1)(或P (X ＝0))．(4)在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，就可以利用两点分布来研究它．[活学活用]已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X 表示抽取的2件产品中的次品数，求X 的分布列．解：由题意知，X 服从两点分布，P (X ＝0)＝C 2199C 2200＝99100，所以P (X ＝1)＝1－99100＝1100．所以随机变量X 的分布列为X 0 1 P991001100超几何分布[典例] 从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数ξ的分布列．[解] 设随机变量ξ表示取出次品的件数，则ξ服从超几何分布，其中N ＝15，M ＝2，n ＝3，ξ的可能的取值为0,1,2，它相应的概率依次为P (ξ＝0)＝C 02C 313C 315＝2235；P (ξ＝1)＝C 12C 213C 315＝1235；P (ξ＝2)＝C 22C 113C 315＝135．所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 P22351235135求解超几何分布问题的注意事项(1)在产品抽样检验中，如果采用的是不放回抽样，则抽到的次品数服从超几何分布．(2)在超几何分布公式中P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC nN，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }．这里N 是产品总数，M 是产品中次品数，n 是抽样的样品数．(3)如果随机变量X 服从超几何分布，只要代入公式即可求得相应概率，关键是明确随机变量X 的所有取值．(4)当超几何分布用表格表示较繁杂时，可用解析式法表示． [活学活用]袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得0分，从袋中任取4个球．(1)求得分X 的分布列． (2)求得分不小于6分的概率． 解：(1)从袋中随机摸4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红共四种情况，分别得分为2分，4分，6分，8分，故X 的可能取值为2,4,6,8．P (X ＝2)＝C 14C 33C 47＝435；P (X ＝4)＝C 24C 23C 47＝1835；P (X ＝6)＝C 34C 13C 47＝1235；P (X ＝8)＝C 44C 03C 47＝135．所以X 的分布列为X 2 4 6 8 P43518351235135(2)由(1)中分布列得P (X ≥6)＝P (X ＝6)＋P (X ＝8)＝1335．层级一 学业水平达标1．下列问题中的随机变量不服从两点分布的是( ) A ．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X B ．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量XC ．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 取出白球0 取出红球D ．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X解析：选A A 中随机变量X 的取值有6个，不服从两点分布，故选A ．2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P (ξ＝0)＝( )A ．0B ．12C ．13D ．23解析：选C 由题意，“ξ＝0”表示试验失败，“ξ＝1”表示试验成功，设失败率为p ，则成功率为2p ，则ξ的分布列为∵p ＋2p ＝1，∴p ＝13，即P (ξ＝0)＝13．3．某射手射击所得环数X 的分布列为A ．0．28B ．0．88C ．0．79D ．0．51解析：选C P (ξ>7)＝P (ξ＝8)＋P (ξ＝9)＋P (ξ＝10)＝0．28＋0．29＋0．22＝0．79． 4．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10． 现从中任取4个球，有如下几种变量：①X 表示取出的球的最大号码；②Y 表示取出的球的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，ξ表示取出的4个球的总得分；④η表示取出的黑球个数．这四种变量中服从超几何分布的是( ) A ．①② B ．③④ C ．①②④D ．①②③④解析：选B 依据超几何分布的数学模型及计算公式知③④属超几何分布．5．袋中有10个球，其中7个是红球，3个是白球，任意取出3个，这3个都是红球的概率是( )A ．1120B ．724C ．710D ．37解析：选B 取出的红球服从超几何分布，故P ＝C 37·C 03C 310＝724．6．随机变量η的分布列如下：则x ＝解析：由分布列的性质得0．2＋x ＋0．35＋0．1＋0．15＋0．2＝1，解得x ＝0．故P (η≤3)＝P (η＝1)＋P (η＝2)＋P (η＝3)＝0．2＋0．35＝0．55．答案：0 0．557．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布列为________．解析：P (ξ＝0)＝C 22C 25＝0．1，P (ξ＝1)＝C 13C 12C 25＝0．6，P (ξ＝2)＝C 23C 25＝0．3．答案：8．一批产品分为四级，三级产品是二级产品的一半，四级产品与三级产品相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量ξ，则P (ξ＞1)＝________．解析：依题意，P (ξ＝1)＝2P (ξ＝2)，P (ξ＝3)＝12P (ξ＝2)，P (ξ＝3)＝P (ξ＝4)，由分布列性质得P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＝1，则4P (ξ＝2)＝1，即P (ξ＝2)＝14，P (ξ＝3)＝P (ξ＝4)＝18．∴P (ξ＞1)＝P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＝12．答案：129．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．(1)求ξ的分布列；(2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率．解：由题意知，ξ服从超几何分布，则P (ξ＝k )＝C k 2·C 3－k 4C 36，k ＝0,1,2．(1)ξ可能取的值为0,1,2．所以ξ的分布列为(2)由(1)知，“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝45．10．为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下表：(1)从这18名队员中随机选出两名，求两人来自同一队的概率；(2)中国女排奋力拼搏，战胜了韩国队获得冠军，若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．解：(1)“从这18名队员中选出两名，两人来自于同一队”记作事件A ，则P (A )＝C 24＋C 26＋C 23＋C 25C 218＝29．(2)ξ的所有可能取值为0,1,2．∵P (ξ＝0)＝C 214C 218＝91153，P (ξ＝1)＝C 14C 114C 218＝56153，P (ξ＝2)＝C 24C 218＝6153，∴ξ的分布列为层级二 应试能力达标…，n ，如果P (ξ<4)＝0．3，那么( )A ．n ＝3B ．n ＝4C ．n ＝10D ．n ＝9解析：选C 由ξ<4知ξ＝1,2,3，所以P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝0．3＝3n ，解得n ＝10．2．随机变量ξ的分布列为其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|ξ|＝1)等于( ) A ．13 B ．14C ．12D ．23解析：选D ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ．又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13．∴P (|ξ|＝1)＝a ＋c ＝23．3．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为( )A ．C 480C 610C 10100B ．C 680C 410C 10100C ．C 480C 620C 10100D ．C 680C 420C 10100解析：选D 从袋中任取10个球，其中红球的个数X 服从参数为N ＝100，M ＝80，n＝10的超几何分布，故恰有6个红球的概率为P (X ＝6)＝C 680C 420C 10100．4．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P (ξ＝1)＝1645，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为( )A ．10%B ．20%C ．30%D ．40%解析：选B 设10件产品中有x 件次品，则P (ξ＝1)＝C 1x ·C 110－xC 210＝x (10－x )45＝1645，∴x ＝2或8．∵次品率不超过40%，∴x ＝2，∴次品率为210＝20%．5．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝ak (k ＝1,2，…，n )，则常数a ＝________． 解析：由分布列的性质可得，a (1＋2＋…＋n )＝1， 所以a ＝2n (n ＋1)．答案：2n (n ＋1)6．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为________．解析：由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220．答案：272207．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X (元)的概率分布列． 解：(1)P ＝1－C 26C 210＝1－1545＝23，即该顾客中奖的概率为23．(2)X 的所有可能值为：0,10,20,50,60．且P (X ＝0)＝C 26C 210＝13，P (X ＝10)＝C 13C 16C 210＝25，P (X ＝20)＝C 23C 210＝115，P (X ＝50)＝C 11C 16C 210＝215，P (X ＝60)＝C 11C 13C 210＝115．故X 的概率分布列为：8．为了掌握高二年级学生参加《普通高中信息技术学业水平测试》的备考情况，学校信息技术老师准备对报名参加考试的所有学生进行一次模拟测试，模拟测试时学生需要在10道备选试题中随机抽取5道试题作答，答对5道题时测试成绩为A 等(即优秀)，答对4道题时测试成绩为B 等(即良好)，答对3道题时测试成绩为C 等(即及格)，答对3道题以下(不包括答对3道题)时测试成绩为D 等(即不及格)，成绩为D 等的同学必须参加辅导并补考．如果考生张小明只会答这10道备选试题中的6道题，设张小明同学从10道备选试题中随机抽取5道作答时，不会答的题数为随机变量X ，求：(1)随机变量X 的分布列；(2)求张小明同学需要参加补考的概率．解：(1)在10道备选试题中随机抽取5道试题作答时，其中不会答的题数可能是0,1,2,3,4道，即随机变量X 的所有取值是0,1,2,3,4，其中N ＝10，M ＝4，n ＝5，根据超几何分布概率公式，得P (X ＝0)＝C 04C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 14C 46C 510＝521，P (X ＝2)＝C 24C 36C 510＝1021，P (X ＝3)＝C 34C 26C 510＝521，P (X ＝4)＝C 44C 16C 510＝142．∴随机变量X 的分布列为：(2)需要参加补考，说明张小明同学从10道备选试题中随机抽取5道试题作答时，有3道试题或者4道试题答不出来，所以张小明同学在这次测试中需要参加补考的概率是P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝521＋142＝1142．。
【优选整合】高中数学人教A版 选修2-3 2.1.2 离散型随机变量 教案
第二章随机变量及其分布列2.1.2离散型随机变量一、教学目标：知识与技能：理解离散型随机变量的分布列的概念；理解超几何分布的概率模型及其应用过程与方法：发展学生的抽象、概括能力，培养学生分析和运用数学知识解决实际问题的能力；情感、态度与价值：让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神.二、教学重点、难点重点：理解离散型随机变量的分布列的概念，掌握分布列的两个基本性质难点：确定离散型随机变量的确定及范围。
三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流．四、教学过程（一）温故知新（课前与学生一起制作投篮小视频，最后剪辑两位同学的投篮过程）问题1.假设投篮结果只分中与不中，有没有存在随机变量？是不是离散型随机变量？如果是，可以怎么表示？（1）随机变量：随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量，随机变量常用字母表示。
（2）离散型随机变量：对于所有取值可以一一列出的随机变量，叫做离散型随机变量。
设计意图：“有没有存在随机变量？”这一问可以复习随机变量；“是不是离散型随机变量？”这一问可以复习离散型随机变量；“可以怎么表示？”这一问复习如何用实数表示离散型随机变量。
这样设置使得复习旧知时，不再显得突兀，顺其自然地帮助学生复习旧知。
同时也培养学生动手能力，让学生懂得着挖掘自己身边的数学问题。
（二）探究新知1、设置数学实验，创设情境(师生互动探究)设计游戏规则：甲将两个红色球、一个蓝色球和一个绿色球放入袋子中，乙每次从中随意取出两个球，若两球颜色相同则甲付给乙两元钱，若两球颜色不同则乙付给甲一元钱。
高中数学人教A版选修2-3教案-2.1 离散型随机变量及其分布列_教学设计_教案
教学准备1. 教学目标l．了解随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义，并能说明随机变量取的值所表示的随机试验的结果。
2．通过本课的学习，能举出一些随机变量的例子，并能识别是离散型随机变量，还是连续型随机变量。
2. 教学重点/难点教学重点、难点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义。
3. 教学用具4. 标签教学过程教学过程：1．新课引入(1)展示教科书章头提出的两个实际问题(有条件的学校可用计算机制作好课件辅助教学)，激发学生的求知欲。
(2)指出本章是在初中“统计初步”和高中必修课“概率”的基础上，学习随机变量和统计的一些知识．学习这些知识后，我们将能解决类似引言中的一些实际问题。
2．提出教科书中两个随机试验的例子，让学生观察，概括出它们的共同特点某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环，…，命中10环等结果，即可能出现的结果可能由0，1，……10这11个数表示；某次产品检验，在可能含有次品的100件产品中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件，即可能出现的结果可以由0，1，2，3，4这5个数表示。
可问：在这些随机试验中，可能出现的结果都可以用一个数来表示．这个数在随机试验前是否是预先确定的?在不同的随机试验中，结果是否不变?3．提出随机变量的概念在观察、思考、概括上述两个随机试验的共同特点的基础上，提出随机变量这一概念：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量。
随机变量常用希腊字母ξ、η等表示。
让学生自己看教科书中两个例子的随机变量可能取的值及随机变量所取值表示的随机试验的结果。
4．讲解例1、例2例1 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果。
(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5。
现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η。
高中人教A数学选修2-3学案：2.1.2 离散型随机变量的分布列 含答案
(3)计算介于 20 分到 40 分之间的概率．
[思路分析] (1)借助古典概型的概率公式求解；(2)列出 X 的所有可能取值，并求出相应
的概率，列出分布列；(3)根据分布列转化为求概率之和．
[解析] (1)解法一：记“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件记为 A，则 P(A)
C35C12C12C21 2
晨鸟教育
2.1.2 离散型随机变量的分布列
情景引入
自主预习·探新知
投掷一颗骰子，所得点数记为 ξ ，则 ξ 可取哪些数字？ξ 取各个数字的概率分别是多少？ 可否用列表法表示 ξ 的取值与其概率的对应关系？投掷两颗骰子，将其点数之和记为 ξ ，则 ξ 可能的取值有哪些，你能列出表示 ξ 取各值的概率与 ξ 取值的对应关系吗？
10 10 『规律总结』
5
5
5 15 15 5 5
n
1.利用分布列的性质 Σ pi＝1，可以初步检验所求分布列是否正确，即若 i＝1
n
的Σ ．pi≠i＝11，则所求的分布列一定是错误
2．{X＝xi}所表示的事件是互斥的． 3．一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率
Earlybird
晨鸟教育
C2C12＋C12C2 1
P(X＝2)＝
＝；
C130 C24C12＋C14C P(X＝3)＝
C130
30 2 ＝；
15
2
C26C12＋C16C2
P(X＝4)＝
＝；
C130
10
3
C28C12＋C18C
P(X＝5)＝ C130
8
2
＝． 15
所以随机变量 X 的概率分布列为：
新人教A版选修(2-3)《离散型随机变量与分布列》word教案
课题：§ 2.1.1离散型随机变量导学案【三维目标】知识与技能：1.理解随机变量的意义；2.学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量的例子；3.理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量过程与方法：通过实例，理解随机变量与离散性随机变量的含义情感态度与价值观：通过学习，体会用数学工具研究随机现象的意义，体会数学的应用价值【学习重点】随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义【学习难点】对随机变量含义的理解.【学法指导】认真阅读本章的篇头语与本节课的教材，按要求完成导学案【知识链接】1、什么是随机事件？什么是基本事件？在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。
试验的每一个可能的结果称为基本事件。
2、什么是随机试验？凡是对现象或为此而进行的实验，都称之为试验。
如果试验具有下述特点：试验可以在相同条件下重复进行；每次试验的所有可能结果都是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果，它被称为一个随机试验，简称试验。
例如1、某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环，，，命中10环等结果，即可能出现的结果可以用数字__________________________________ 表示；2、某次产品检验，在含有5件次品的100件产品中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件，即可能出现的结果可以由数字表示在上面例子中，随机试验有下列特点：①试验的所有可能结果可以用一个数来表示；②每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.【学习过程】A问题1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字 1 , 2 , 3, 4, 5, 6来表示•那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？B问题2:试归纳随机变量的概念？随机变量常用什么表示?C问题3:随机变量和函数有类似的地方吗？随机变量的值域是什么?B问题4: 一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取个4球，其中所含红球的个数X是一个随机变量，写出随机变量的值域B 问题5:利用随机变量可以表达一些事件•例如{X=0 }表示“抽出0件次品”表示“抽出4件次品”等•你能说出{ X< 3 }在这里表示什么事件吗？ “抽出 品”又如何用 X 表示呢？B 问题6:试归纳离散型随机变量的概念?B 问题7:电灯的寿命 X 是离散型随机变量吗？为什么?C 问题8:在研究电灯泡的使用寿命是否超过1000小时时，定义如下的随机变量:Y= °，寿命<1000小时；随机变量Y 是一个离散型随机变量吗？为什么？ ]1,寿命丄1000小时.拓展：连续型随机变量：对于随机变量可能取的值， 可以取某一区间内的一切值， 这样的变量就叫做连续型随机变量，如某林场树木最高达 30米，则林场树木的高度 ■是一个随机变量，它可以取(0, 30]内的一切值.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列 出，而连续性随机变量的结果不可以 -------------------------------------- 列出一注意：(1)有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达 •如投掷一枚硬币，=0，表示正面向上，'=1，表示反面向上，(2)若•是随机变量，b,a,b 是常数，则也是随机变量一例1、写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果•(1) 一袋中装有 5只同样大小的白球，编号为 1 , 2, 3, 4, 5现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数E ;(2) 某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数n -C 例2、抛掷两枚骰子各一次， 记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为 试问：“三＞ 4 ”表示的试验结果是什么？,{X =4} 3件以上次B1、下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表示的随机试验的结果。
【优选整合】高中数学人教A版 选修2-3 2.1.1离散型随机变量 教案
第二章随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量一、教学目标：知识与技能：1.理解随机变量的意义；2.学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量的例子；3.理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.过程与方法：发展抽象、概括能力，提高实际解决问题的能力.情感、态度与价值：让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神.二、教学重点、难点重点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义难点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流．四、教学过程（一）温故知新展示教科书章头提出的两个实际问题(有条件的学校可用计算机制作好课件辅助教学)，激发学生的求知欲某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环，…，命中10环等结果，即可能出现的结果可能由0，1，……10这11个数表示；某次产品检验，在可能含有次品的100件产品中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件，即可能出现的结果可以由0，1，2，3，4这5个数表示在这些随机试验中，可能出现的结果都可以用一个数来表示．这个数在随机试验前是否是预先确定的?在不同的随机试验中，结果是否不变?观察，概括出它们的共同特点（二）新知探究思考1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1 , 2 ，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但我们可以用数1和0分别表示正面向上和反面向上（图2.1一1 ) .在掷骰子和掷硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．定义1：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量（random variable )．随机变量常用字母X , Y，ξ，η，… 表示．思考2：随机变量和函数有类似的地方吗？随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域．例如，在含有10件次品的100 件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X 将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量，其值域是｛0, 1, 2 , 3, 4 } .利用随机变量可以表达一些事件．例如{X=0｝表示“抽出0件次品” , {X =4｝表示“抽出4件次品”等．你能说出｛X< 3 ｝在这里表示什么事件吗？“抽出 3 件以上次品”又如何用X 表示呢？定义2：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量( discrete random variable ) .离散型随机变量的例子很多．例如某人射击一次可能命中的环数X 是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0，1，…，10；某网页在24小时内被浏览的次数Y也是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0, 1,2，….思考3：电灯的寿命X是离散型随机变量吗？电灯泡的寿命X 的可能取值是任何一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以X 不是离散型随机变量．在研究随机现象时，需要根据所关心的问题恰当地定义随机变量．例如，如果我们仅关心电灯泡的使用寿命是否超过1000 小时，那么就可以定义如下的随机变量：⎧⎨≥⎩0，寿命<1000小时；Y=1,寿命1000小时.与电灯泡的寿命 X 相比较，随机变量Y 的构造更简单，它只取两个不同的值0和1，是一个离散型随机变量，研究起来更加容易．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量如某林场树木最高达30米，则林场树木的高度ξ是一个随机变量，它可以取（0，30]内的一切值4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达如投掷一枚硬币，ξ=0，表示正面向上，ξ=1，表示反面向上（2）若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量（三）例题解析例1． 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η解：(1) ξ可取3，4，5ξ=3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；ξ=4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；ξ=5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3或3，4，5（2）η可取0，1，…,n ，…η=i ，表示被呼叫i 次，其中i=0,1,2,… 例2． 抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ> 4”表示的试验结果是什么？答：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得-5≤ξ≤5，也就是说“ξ>4”就是“ξ=5”所以，“ξ>4”表示第一枚为6点，第二枚为1点例3 某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km ，则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足1km 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；(Ⅱ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?解：(1)依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2(Ⅱ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15．所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟．（四）当堂检测：1.①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数ξ；②长江上某水文站观察到一天中的水位ξ；③某超市一天中的顾客量ξ 其中的ξ是连续型随机变量的是（ ）A ．①；B ．②；C ．③；D ．①②③２.随机变量ξ的所有等可能取值为1,2,,n …，若()40.3P ξ<=，则（ ）A ．3n =；B ．4n =；C ．10n =；D ．不能确定3.抛掷两次骰子，两个点的和不等于8的概率为（ ）A ．1112；B ．3136；C ．536； D ．112 4.如果ξ是一个离散型随机变量，则假命题是( )A. ξ取每一个可能值的概率都是非负数；B. ξ取所有可能值的概率之和为1；C. ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D. ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和答案：1.B 2.C 3.B 4.D五、小结随机变量离散型、随机变量连续型随机变量的概念随机变量ξ是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量ξ的线性组合η=aξ+b(其中a、b是常数)也是随机变量六、作业1.课堂检测七、教学反思：1、怎样防止所谓新课程理念流于形式,如何合理选择值得讨论的问题，实现学生实质意义的参与.2、防止过于追求教学的情境化倾向,怎样把握一个度.。
高中数学人教A版选修2-3教案-2.1 离散型随机变量及其分布列_教学设计_教案_1
教学准备
1. 教学目标
离散型随机变量的分布列
2. 教学重点/难点
离散型随机变量的分布列
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
一、基本知识概要：
1. 随机变量：随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量的随机变量，记作；
说明：若是随机变量，，其中是常数，则也是随机变量。
2. 离散型随机变量：随机变量可能取的值，可以按一定顺序一一列出
连续型随机变量：随机变量可以取某一区间内的一切值。
说明：①分类依据：按离散取值还是连续取值。
②离散型随机变量的研究内容：随机变量取什么值、取这些值的多与少、所取值的平均值、稳定性等。
说明：放回抽样时，抽到的次品数为独立重复试验事件，即。
例2：一袋中装有5只球，编号为1,2，3，4，5，在袋中同时取3只，以表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量的分布列。
剖析：因为在编号为1，2，3，4，5的球中，同时取3只，所以小号码可能是1或2或3，即可以取1，2，3。
三、课堂小结
1会根据实际问题用随机变量正确表示某些随机试验的结果与随机事件；2熟练应用分布列的两个基本性质；
3能熟练运用二项分布计算有关随机事件的概率。
四、作业布置：教材P193页闯关训练。
高中数学人教A版选修2-3课件2-1-2离散型随机变量的分布列
销一件该商品的利润,求η的分布列.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
解:由题易得,η的可能取值为200元,250元,300元,
则P(η=200)=P(ξ=1)=0.12,
P(η=250)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.24+0.18=0.42,
=1
【做一做1】 离散型随机变量X的分布列为
X
1
1
4
)
P
则m的值为(
A.
C.
1
2
1
4
B.
2
3
m
4
1
3
1
3
1
D.
6
1
1
1
1
4
3
6
4
解析:由概率分布列的性质知, +m+ + =1,得 m= .
答案:C
1
6
2.两点分布
随机变量X的分布列为
X
P
0
1-p
1
p
若随机变量X的分布列具有上表的形式,则称X服从两点分布,并
C 345
C 350
C 350
.
,
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
离散型随机变量的分布列
例1 从装有除颜色外完全相同的6个白球,4个黑球和2个黄球的箱
中随机地取出两个球,规定每取出1个黑球赢2元,而每取出1个白球
输1元,取出黄球无输赢.
(1)以X表示赢得的钱数,随机变量X可以取哪些值?求X的分布列;
【课堂设计】高二数学人教A版选修2-3课件2.1.2 离散型随机变量的分布列
… …
m
������ ������ -������ C������ C������-������ ������ C������
其中 m=min{M,n},且 n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.如果随机变量 X 的分布列具 有上表的形式,则称随机变量 X 服从超几何分布.
思考 3 设袋中有 80 个红球,20 个白球,若从袋中任取 10 个球,
������10 100
提示:由超几何分布概率公式为 :P(X=k)=
������-������ ������-������ ,k=0,1,2,…,m. ������ C������ 4 C6 80 C20
根据题意知 N=100,M=80,n=10,k=6,所以 P(X=6)=
C10 100
.
探究一
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
解:(1)从箱中取两个球的情形有以下 6 种 : {2 白球 },{1 白球 1 黄球 },{1 白球 1 黑球 },{2 黄球 },{1 黑球 1 黄球},{2 黑球}. 当取到 2 白球时,随机变量 X=-2; 当取到 1 白球 1 黄球时,随机变量 X=-1; 当取到 1 白球 1 黑球时,随机变量 X=1; 当取到 2 黄球时,随机变量 X=0; 当取到 1 黑球 1 黄球时,随机变量 X=2; 当取到 2 黑球时,随机变量 X=4. 所以随机变量 X 的可能取值为-2,-1,0,1,2,4.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
P(X=-2)=
C2 12
C2 6
=
1 5 C1 6 C2 ,P(X=-1)= 2 22 C12
=
2 C2 ,P(X=0)= 22 11 C12
人教版A版高中数学选修2-3：2.1.2 离散型随机变量的分布列(2)
4.
两点分布的例子：掷一枚质地均匀的硬币出现 正面的次数X服从两点分布；射击一次命中目标的 次数服从两点分布.
超几何分布的例子：假设某池塘中仅有鲤鱼和 鲑鱼两种鱼，其中鲤鱼200条，鲑鱼40条，从鱼池 中任意取出5条鱼，这5条鱼中包含鲑鱼的条数X服 从几何分布.
两点分布列的应用非常广泛.例如抽取的彩 票是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新 生婴儿的性别，投篮是否命中等，都可以用两 点分布列来研究.
例题2
在含有5件次品的100件产品中，任取3件，求： （1）取到的次品数X的分布列； （2）至少取到一件次品的概率.
解：（1）因为从100件产品中任取3件的结果数
=3)= C22 =1 ; C36 20
ξ=4,即取出的3个球中最大号码为4,其他2个球只能在号码为1,2,3的
3个球中取,所以,P(ξ=4)=
C32 C36
=
3;
20
ξ=5,即取出的3个球中最大号码为5,其他2个球可以在号码为1,2,3,4
的4个球中取,所以,P(ξ=5)=
ξ
0
1
2
p
0．9025
0．095
0．0025
（2）随机变量ξ的分布列为
ξ
-1
0
1
2
3
a
a
p 0.16 10 a2
5
0.3
解：由离散型随机变量的分布列的性质有
0.16 + a + a2 + a + 0.3 = 1
10
5
解得：a = - 9 （舍）或 a = 3
10
5
（3）设随机变量 的分布列为：P(ξ k) k ,k 1,2,3,4,5，
高中数学选修2-3精品学案：2.1.2 离散型随机变量的分布列(一)
2.1.2 离散型随机变量的分布列(一)学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.了解分布列对于刻画随机现象的重要性.3.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质．知识点离散型随机变量的分布列思考掷一枚骰子，所得点数为X，则X可取哪些数字？X取不同的值时，其概率分别是多少？你能用表格表示X与P的对应关系吗？梳理(1)离散型随机变量的分布列的概念一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i ＝1,2，…，n)的概率P(X＝x i)＝p i，以表格的形式表示如下：此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的________．(2)离散型随机变量的分布列的性质①p i____0，i＝1,2,3，…，n；②i＝1np i＝____.类型一利用分布列的性质求事件概率例1设随机变量X的分布列为P(X＝k5)＝ak(k＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a的值；(2)求P(X≥35)；(3)求P (110<X <710)．反思与感悟 利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题 (1)X 的各个取值表示的事件是互斥的．(2)不仅要注意 i ＝1np i ＝1，而且要注意p i ≥0，i ＝1,2，…，n .跟踪训练1 (1)下面是某同学求得的离散型随机变量X 的分布列．试说明该同学的计算结果是否正确． (2)设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为①求q 的值；②求P (ξ<0)，P (ξ≤0)．类型二 求离散型随机变量的分布列命题角度1 求离散型随机变量y ＝f (ξ)的分布列 例2 已知随机变量ξ的分布列为分别求出随机变量η1＝12ξ，η2＝ξ2的分布列．反思与感悟 (1)若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数，则η＝aξ＋b 也是一个随机变量，推广到一般情况有：若ξ是随机变量，f (x )是连续函数或单调函数，则η＝f (ξ)也是随机变量，也就是说，随机变量的某些函数值也是随机变量，并且若ξ为离散型随机变量，则η＝f (ξ)也为离散型随机变量．(2)已知离散型随机变量ξ的分布列，求离散型随机变量η＝f (ξ)的分布列的关键是弄清楚ξ取每一个值时对应的η的值，再把η取相同的值时所对应的事件的概率相加，列出概率分布列即可．跟踪训练2 已知随机变量ξ的分布列为分别求出随机变量η1＝－ξ＋12，η2＝ξ2－2ξ的分布列．命题角度2利用排列组合求分布列例3一袋中装有5个球，编号分别为1,2,3,4,5.在袋中同时取3个球，以X表示取出的3个球中的最小号码，写出随机变量X的分布列．引申探究若本例条件中5个球改为6个球，最小号码改为最大号码，其他条件不变，试写出随机变量X的分布列．反思与感悟求离散型随机变量的分布列的步骤(1)明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义．(2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值的概率．(3)按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证．跟踪训练3袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数X 的分布列．类型三 离散型随机变量的分布列的综合应用例4 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．(1)求袋中原有的白球的个数； (2)求随机变量ξ的分布列； (3)求甲取到白球的概率．反思与感悟 求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定ξ的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出ξ取各个值的概率，即必须解决好两个问题，一是求出ξ的所有取值，二是求出ξ取每一个值时的概率．跟踪训练4 北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：(1)求选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率；(2)若完整的选取奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设X 表示所得的分数，求X 的分布列．1．已知随机变量X 的分布列如下：则P (X ＝10)等于( ) A.239B.2310C.139D.1310 2．已知随机变量X 的分布列为如下表所示，其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)等于( )A.13B.14C.12D.233．已知随机变量X 的分布列如下表(其中a 为常数)：则下列计算结果错误的是( ) A ．a ＝0.1 B ．P (X ≥2)＝0.7 C ．P (X ≥3)＝0.4 D ．P (X ≤1)＝0.34．将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列．1．离散型随机变量的分布列，不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到取每一个值时的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况．2．一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．[答案]精析问题导学 知识点思考 (1)x ＝1,2,3,4,5,6，概率均为16.(2)X 与P 的对应关系为梳理 (1)分布列 (2)题型探究例1 解 (1)由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，得a ＝115.(2)∵P (X ＝k 5)＝115k (k ＝1,2,3,4,5)，∴P (X ≥35)＝P (X ＝35)＋P (X ＝45)＋P (X ＝1)＝315＋415＋515＝45.(3)当110<X <710时，只有X ＝15，25，35时满足，故P (110<X <710)＝P (X ＝15)＋P (X ＝25)＋P (X ＝35)＝115＋215＋315＝25. 跟踪训练1 解 (1)因为P (X ＝－1)＋P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝12＋14＋16＝1112，不满足概率之和为1的性质，因而该同学的计算结果不正确． (2)①由分布列的性质，得1－2q ≥0，q 2≥0， 12＋(1－2q )＋q 2＝1，所以q ＝1－22. ②P (ξ<0)＝P (ξ＝－1)＝12，P (ξ≤0)＝P (ξ＝－1)＋P (ξ＝0) ＝12＋1－2⎝⎛⎭⎫1－22＝2－12. 例2 解 由η1＝12ξ知，对于ξ取不同的值－2，－1,0,1,2,3时，η1的值分别为－1，－12，0，12，1，32， 所以η1的分布列为由η2＝ξ2知，对于2，即η2取4这个值的概率应是ξ取－2与2的概率112与16的和，η2取1这个值的概率应是ξ取－1与1的概率14与112的和， 所以η2的分布列为跟踪训练2 解 由η1＝－ξ＋12，对于ξ＝－2，－1,0,1,2,3，得η1＝52，32，12，－12，－32，－52，相应的概率值为112，14，13，112，16，112. 故η1的分布列为由η2＝ξ2－2ξ2所以P (η2＝8)＝112，P (η2＝3)＝14＋112＝13，P (η2＝0)＝13＋16＝12，P (η2＝－1)＝112.故η2的分布列为例3 解 随机变量X 当X ＝1时，即取出的3个球中最小号码为1，则其他2个球只能在编号为2,3,4,5的4个球中取，故有P (X ＝1)＝C 24C 35＝610＝35；当X ＝2时，即取出的3个球中最小号码为2，则其他2个球只能在编号为3,4,5的3个球中取，故有P (X ＝2)＝C 23C 35＝310；当X ＝3时，即取出的3个球中最小号码为3，则其他2个球只能是编号为4,5的2个球，故有P (X ＝3)＝C 22C 35＝110.因此，X 的分布列为引申探究解 随机变量X 的可能取值为3,4,5,6.从袋中随机地取出3个球，包含的基本事件总数为C 36，事件“X ＝3”包含的基本事件总数为C 11C 22，事件“X ＝4”包含的基本事件总数为C 11C 23，事件“X ＝5”包含的基本事件总数为C 11C 24，事件“X ＝6”包含的基本事件总数为C 11C 25， 从而有P (X ＝3)＝C 11C 22C 36＝120，P (X ＝4)＝C 11C 23C 36＝320，P (X ＝5)＝C 11C 24C 36＝310，P (X ＝6)＝C 11C 25C 36＝12.所以随机变量X 的分布列为跟踪训练3 解 X 则第1次取到白球的概率为P (X ＝1)＝15，第2次取到白球的概率为P (X ＝2)＝4×15×4＝15，第3次取到白球的概率为P (X ＝3)＝4×3×15×4×3＝15，第4次取到白球的概率为P (X ＝4)＝4×3×2×15×4×3×2＝15，第5次取到白球的概率为P (X ＝5)＝4×3×2×1×15×4×3×2×1＝15，所以X 的分布列为例4 解 (1)设袋中原有n 个白球，由题意知17＝C 2nC 27＝27×62＝n (n －1)7×6，可得n ＝3或n ＝－2(舍去)，即袋中原有3个白球． (2)由题意，ξ的可能取值为1,2,3,4,5. P (ξ＝1)＝37；P (ξ＝2)＝4×37×6＝27；P (ξ＝3)＝4×3×37×6×5＝635；P (ξ＝4)＝4×3×2×37×6×5×4＝335；P (ξ＝5)＝4×3×2×1×37×6×5×4×3＝135.所以ξ的分布列为(3)“甲取到白球”为事件A ，则P (A )＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝5)＝2235.跟踪训练4 解 (1)选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率P ＝C 12·C 13C 58＝656＝328. (2)X 的取值为100,80,60,40.P (X ＝100)＝C 12·C 13C 58＝328，P (X ＝80)＝C 23(C 22·C 13＋C 12·C 23)＋C 33(C 22＋C 23)C 58＝3156， P (X ＝60)＝C 13(C 22·C 23＋C 12·C 33)＋C 23·C 33C 58＝1856＝928，P (X ＝40)＝C 22·C 33C 58＝156. 所以X 的分布列为当堂训练 1．C 2.D 3.C4．解 由题意知ξ＝i (i ＝1,2,3,4,5,6)， 则P (ξ＝1)＝1C 16C 16＝136；P (ξ＝2)＝3C 16C 16＝336＝112；P (ξ＝3)＝5C 16C 16＝536；P (ξ＝4)＝7C 16C 16＝736；P (ξ＝5)＝9C 16C 16＝936＝14；P (ξ＝6)＝11C 16C 16＝1136.所以抛掷两次掷出的最大点数构成的分布列为。
人教A版选修2-3教案：2.1.2离散型随机变量的分布列(含反思)
§2．1．2离散型随机变量的分布列教学目标：知识与技能：会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。
过程与方法：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。
情感、态度与价值观：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。
教学重点：离散型随机变量的分布列的概念 教学难点：求简单的离散型随机变量的分布列 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教学过程：一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量并且不改变其属性（离散型、连续型） 请同学们阅读课本P 5-6的内容，说明什么是随机变量的分布列？二、讲解新课：1. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列2. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ3.两点分布列:例1、在掷一枚图钉的随机试验中，令⎧⎨⎩1，针尖向上；X=0,针尖向下.如果针尖向上的概率为p ，试写出随机变量 X 的分布列．解：根据分布列的性质，针尖向下的概率是（1p -) ．于是，随机变量 X 的分布列是像上面这样的分布列称为两点分布列．两点分布列的应用非常广泛．如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布列来研究．如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布 ( two 一point distribution)，而称p =P (X = 1）为成功概率．两点分布又称0一1分布．由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利（ Bernoulli ) 试验，所以还称这种分布为伯努利分布．()q P ==0ξ， ()p P ==1ξ，10<<p ，1=+q p ．4. 超几何分布列：例 2．在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，试求：(1)取到的次品数X 的分布列； （2）至少取到1件次品的概率．解： (1)由于从 100 件产品中任取3 件的结果数为310C ，从100 件产品中任取3件，其中恰有k 件次品的结果数为3595kkC C -，那么从 100 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件次品的概率为35953100(),0,1,2,3k kC C P X k k C -===。
XXXX最新高中数学人教A版选修2)3教学案：2.1.2离散型
XXXX最新高中数学人教A版选修2）3教学案：2.1.2离散型2.1.2离散随机变量分布列表预习教材P46 ~ 48，思考并完成以下问题1。
离散随机变量分布列表的定义是什么？2.离散随机变量分布列表的性质是什么？3.两点分布和超几何分布的定义是什么？[新知识初步研究]1.离散随机变量分布列表(1)通常，如果离散随机变量X可以取不同的值x1，x2？xi？，xn，X 取每个值xi (i = 1，2，？，n)概率p (x = xi) = pi，表示表:X P它是离散随机变量X的概率分布表，简称为X的分布表可以表示为p (x = Xi) = pi，I = 1，2？，n，X的分布列表也可以用图像来表示。
(2)离散随机变量分布表的性质①pi≥0，I = 1，2，？，n；②？pi=1。
i=1nx1 p1 x2 p2？？Xi·皮？？XNPN对离散随机变量分布表的三种解释(1)离散随机变量的分布列表不仅能清楚地反映它所取的所有可能值，而且能看到取每个值的概率，从而反映随机变量在随机实验中取值的分布。
(2)离散随机变量取一定范围内的值的概率等于取该范围内的值的概率之和。
(3)离散随机变量可以用分布列表、解析表达式和图像来表示。
(2)两种特殊分布(1)两点分布随机变量x的分布列表为:X P离散随机变量x被认为遵循两点分布，p = p (x = 1)被认为是成功的概率。
(2)超几何分布一般来说，在包含m个缺陷产品的n个产品中，取任意n个产品，其中正好有X个缺陷产品，那么事件{XnkCkMCN-M= k}出现概率p(x = k)= k = 0，1，2，？，M，其中m =最小{m，n}，n≤N，M≤N，CnN-0 1-p 1 p n，M，N∈N*，呼叫分配列表X P 0 n0C0MCN-M CnN-1 n1C1MCN-M CnN-？？mnmcmmcn-mncn-是超几何分布列表。
如果随机变量x的分布表是超几何分布表，那么离散随机变量x就服从超几何分布。
人教A版高中数学选修2-3配套课件：2.1.2 离散型随机变量的分布列
则 p 等于(
A.
1
10
答案:D
解析:由
X
1
P
1
10
2
3
4
②求出取每一个值的概率 P(ξ=xi)=pi;
③列出表格.
(2)求离散型随机变量分布列时应注意以下几点:
①确定离散型随机变量 ξ 的分布列的关键是要搞清 ξ 取每一个值
对应的随机事件,进一步利用排列、组合知识求出 ξ 取每一个值的概率.
对于随机变量 ξ 取值较多或无穷多时,应由简单情况先导出一般的通式,
离散型随机变量的分布列
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
从而得到 X 的分布列为
X
-2
-1
0
1
2
4
P
5
22
2
11
1
66
4
11
4
33
1
11
4
4
1
+ +
11 33 11
(2)P(X>0)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=4)=
=
2.1.2
问题导学
离散型随机变量的分布列
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解析:依题意可知,杯子中球的最多个数 X 的所有可能取值为 1,2,3.
当 X=1 时,对应于 4 个杯子中恰有三个杯子各放一球的情形;
当 X=2 时,对应于 4 个杯子中恰有一个杯子放两球的情形;
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．．离散型随机变量的分布列
预习课本～，思考并完成以下问题
．离散型随机变量的分布列的定义是什么？
．离散型随机变量分布列的性质是什么？
．两点分布和超几何分布的定义是什么？
．离散型随机变量的分布列
()一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，，…，，…，,
取每一个值(＝，…，)的概率(＝)＝，则称表：
概率分布列
为离散型随机变量的
，简称为的
分布列．
用等式可表示为(＝)＝，＝，…，, 也可以用图象来表示的分布列．
()离散型随机变量的分布列的性质
≥
①
；
，＝，
…
，
②＝．
[点睛]对离散型随机变量分布列的三点说明()离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且也能看出取每一个值的概率的大小，从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况．()离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和．
()离散型随机变量可以用分布列、解析式、图象表示．
．两个特殊分布
()两点分布
随机变量的分布列是：
则称离散型随机变量服从两点分布，称＝(＝)为成功概率．
()超几何分布
一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件{＝}发生的概
率(＝)＝，＝，…，，其中＝{，}，且≤，≤，，，∈*，
称分布列
超几何分布．
[点睛]()超几何分布的模型是不放回抽样．
()超几何分布中的参数是，，．
()超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成．
．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) ()在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( )
()在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的
概率之积．( )
()超几何分布的总体里只有两类物品．( )
答案：()×()×()√
．设离散型随机变量ξ的概率分布如下表：
则的值为( )
．．
．．
答案：．若随机变量服从两点分布，且(＝)＝．，(＝)＝．，令＝－，则(＝－)＝．
答案：．
．已知随机变量的分布列为：(＝)＝，＝，…，则(＜≤)＝．
答案：。