计算方法第七章

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计算方法与误差理论-7

参数解不止一组，而为一簇。
常微分方程—龙格-库塔方法

改进的欧拉公式: l=1, λ1=λ2=1/2 变形的欧拉公式: l=1/2, λ1=0, λ2=1 y i 1 y i hk2 k1 f ( x i , y i ) h k 2 f ( x i 1 , y i k1 ) 2 2

xi i xi 1
常微分方程——欧拉方法

梯形公式—数值积分用梯形公式计算
y ( xi 1 ) y ( xi ) yi 1

公式：
xi 1
xi
f ( x, y ( x))dx i 0,1,2,...,n 1
h yi [ f ( xi , yi ) f ( xi 1 , yi 1 )] 2
梯形公式的局部截断误差：
( 2) i 1
Ri 1 R
1 3 h y ' ' ' ( i ) O(h 3 ) 12
xi i xi 1
常微分方程——欧拉方法

改进欧拉公式

将欧拉公式与梯形公式联合使用
1.先用欧拉公式的y(xi+1)的一个粗糙的近似值 (预测值) 2.然后对预测值用梯形公式进行校正(校正值)

1 2 1 l 1 二阶龙格-库塔公式 2 2 单步显式公式 1 1 1 2l ,

常微分方程—龙格-库塔方法
2 1 2l
待定参数： λ1, λ2, l（3个）
要使公式具有2阶精度（局部截断误差(h0,
h1, h2的系数必须为零)和泰勒展开）得：
y0-0.2*0.1yp=0.9800

第七章锅炉本体的热力计算

1.炉膛容积Vl
炉子火床表面到炉膛出口烟窗之间的容积。底部是火床表面；四周以及顶部为水冷壁中心线表面（如水冷壁覆盖耐火材料，则为耐火材料向火表面）；没有布置水冷壁的部分为炉墙内表面；炉膛出口界面为出口烟窗第一排管子中心线界面。炉排上的燃料层厚度一般取为150毫米。如果装有老鹰铁，则炉排长度计算到两者的接触点的垂直平面，如没老鹰铁，则到炉排末端。
Vy—对应αl''的每kg燃料燃烧后的烟气容积，Nm3/kg cpj—烟气从0到ll温度范围内的平均容积比热，kJ/Nm3· ℃。
五、火焰平均温度及水冷壁管外积灰层表面温度
事实上，燃烧是一个动态过程，烟气温度的变化取决于燃烧放热与辐射换热之间的平衡。
Q f 0 al H f Th4 Tb4
（7-21）
或查图
h
Aar a fh 100G y
* * k kq k g kq rq kh h C
ah 1 e
kp
2. 燃用气体或液体燃料时
分发光部分和不发光部分的黑度合成.
四、炉膛有效放热量与理论燃烧温度
炉膛有效放热量,也称入炉热量，是相应于1kg真正参与燃烧的燃料所进入炉膛的热量，它计及了随它一起加进炉膛的其他热量，即
解决关键
K
1 1
1

1
K
1
2
h 1 1 h 2
1

1
h 1 1 1 h 2
工业试验解决缺Βιβλιοθήκη 灰污系数值另外方法:有效系数
燃用固体燃料的错列管束，在烟气横向冲刷时，其灰污系数与烟气的流速、管子的节距和直径以及烟气中灰粒的分散度等因素有关。

计算方法第七章

存在常数L，使得
|f(x,y1)f(x,y2)|L|y1y2| 对所有axb以及任何y1,y2都成立，则上述初值问题存在唯一的连续可微解y=y(x)。 1. 离散变量法
(1)离散化：y(x)在 [a,b]上一系列离散点xk处的近似值yk 。用yk为y(xk)的近似值
xk=a+kh
k=0, 1,,n
h=(ba)/n
第七章常微分方程的数值解法
7.1 引言 7.2 初值问题解法
7.2.1 单步法
7.2.1.1 欧拉法与改进的欧拉法 7.2.1.2 龙格-库塔法 7.2.1.3 单步法的相容性、收敛性与稳定性
7.2.2 线性多步法 7.2.3 微分方程组和高阶微分方程
7.3 边值问题解法
7.3.1 试射法 7.3.2 差分法
y(xk+1)yk+1=h1P+1yP+1(1)+O(h1P+1)
y(xk+1)yk+1*=h2P+1yP+1(2)+O(h2P+1)
设h2>h1，yP+1(1)yP+1(2)
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法》
1
7.1 引言
微分方程：表示未知函数y(x)与未知函数的导数以及自变量之间关系的方程。
方程的阶：在方程中出现的各阶导数的最高阶数n
微分方程
常微分方程
在微分方程中出现的未知函数只含一个自变量
n
i
i0
diy dxi
n1
0
变系数的线性常微分方程
线性常微分方程
y”=f(x,y,y’) axb
边值问题：在函数所定义区间的两端点上给定已知条件

第七章混凝土简支梁桥计算

（2）轮载分布：a b 0.2 0.6m 1 1
(a1 2h) (b1 2h) 0.36 0.76m
（3）板的有效工作宽度：
• （4）车轮荷载集度
P 140 2 2 2 qQ 2 1 1 64.86 KN ab 2.84 0.76
• 5、汽车及冲击力弯矩（偏于安全地取冲击系数 M 0 0 G1M G1 Q1M Q1 • 6、弯矩组合 • 7、Mc 、Ms
位移互等定理板条相同
横向分布系数
在横向分布影响线上加栽
列表计算、刚度参数计算
为计算方便，对于不同梁数、不同几何尺寸的铰接板桥的计算结果可以列为表格，供设计时查用
引入刚度参数
半波正弦荷载引起的变形计算
3.铰接梁法
假定各主梁除刚体位移外，还存在截面本身的变形,应计入悬臂端的弹性挠度
第二节主梁内力计算
荷载横向分布系数
主梁内力计算活载、恒载
荷载横向分布计算
一、荷载横向分布计算原理
x x
P
P
x
x
z
η 1（
y
z
在单梁上，截面内力等于荷载与相应位置影响线纵坐标的乘积。在梁式桥上，
s P ( x, y) P 1( x) 2 ( y)
二、荷载横向分布计算方法分类
• 适用范围： 1.利用企口缝连接的装配式板桥 2.无中间横隔梁仅在翼板间由焊接钢板或伸出的交叉钢筋连接的装配式梁桥 3.荷载布置在跨中
2.铰接板法
假定各主梁接缝间仅传递剪力g，求得传递剪力后，即可计算各板分配到的荷载
传递剪力根据板缝间的变形协调计算
变位系数计算
横向分布影响线

中级财务管理第七章公式第七章筹资方式

第七章筹资方式【主要计算公式】1．销售额比率法预测对外界资金需求量：外界资金需求量＝A/S 1×ΔS－B/S 1×ΔS－S 2×P×E＋Δ非变动资产 2.资金习性预测法资金总额（y ）＝不变资金（a ）＋变动资金（bx ）。

估计参数a 和b 的方法（1）高低点法根据两点可以确定一条直线原理，将高点和低点的数据代入直线方程y ＝a ＋bx 就可以求出a 和b 。

这里的高点数据是指产销量最大点及其对应的资金占用量，低点数据是指产销量最小点及其对应的资金占用量。

将高点和低点数据代入直线方程y ＝a ＋bx 得到：最高收入期资金占用量＝a ＋b×最高销售收入最低收入期资金占用量＝a ＋b×最低销售收入解方程得：最低销售收入最高销售收入最低收入期资金占用量最高收入期资金占用量--=ba ＝最高收入期资金占用量－b×最高销售收入或＝最低收入期资金占用量－b×最低销售收入（2）回归直线法用回归直线法估计a 和b ，可以解如下方程组得到：∑∑+=x b na y2∑∑∑+=xb x a xy也可以直接记忆a 和b 公式。

∑∑∑∑∑--=22)(x xn yx xy n b ()222x x n xy x y x a ∑-∑∑∑-∑∑=另外，求出b 后，a 还可以这样求解xb y nxbnya -=-=∑∑3．一办公式：筹资费用筹资金额每年的用资费用资本成本-=筹资费用率）（筹资金额每年用资费用或资本成本-⨯=14．普通股票的资金成本率的计算：股利折现法： (1)每年股利固定%100)1(⨯-⨯=普通股筹资费率普通股筹资金额每年固定股利普通股筹资成本(2) 每年股利增长率固定股利固定增长率普通股筹资费率普通股筹资金额第一年预期股利普通股筹资成本+⨯-⨯=%100)1(还有资本资产定价模型法和无风险利率加风险溢价法（公式略） 5.留存收益资金成本率（1）普通股股利固定%100⨯=普通股筹资金额每年固定股利留存收益筹资成本（2）普通股股利逐年固定增长股利年增长率普通股筹资金额第一年预期股利留存收益筹资成本+⨯=%1006．长期借款资金成本率%100)1()1(⨯-⨯-⨯=长期借款筹资费率长期借款筹资总额所得税税率年利息长期借款筹资成本忽略手续费用：长期借款的资金成本率=年利息率×（1－所得税率） 7．债券的资金成本率%100)1()1(⨯-⨯-⨯=债券筹资费率债券筹资金额所得税税率年利息债券筹资成本8．融资租赁的租金的计算方法（1）后付租金的计算。

水利工程效益计算方法

计算的多年平均效益大得多。
防洪效益现值计算
设折现率为 i，以正常运行期第 1 年为基准年，正常运行期 n 取 40 年，则在整个生产期内的防洪效益现值 B 为：（折算到年初）
b1 (1 j ) (1 j ) 2 (1 j ) n B bt (1 i ) b1 (1 j ) (1 i ) ...... 2 n ( 1 j ) ( 1 i ) ( 1 i ) ( 1 i ) t 1 t 1
特点：系列法以实际洪水资料为基础，是各种洪水在时间和空间上的实际可能组合，计算简单、直观、方便；缺点：若系列中大洪水年份（特别是特大洪水年）较多，则多年平均损失就可能偏大；反之，则可能偏小。
采用此法时必须使所用的系列具有较好的代表性。
2、频率法
原理：首先根据洪水统计资料拟定几种洪水频率，然后分别算出各种频
频率 P
1 无防洪工程频率差 P 洪灾损失S （Si+1+Si）/2 0 有防洪工程 PS 洪灾损失S (Si+1+Si)/2 PS
0.7
0.5 0.2 0.1 0.06 0.03 0.01 可能最大
15 000
30 000 60 000 100 000 200 000 300 000 400 000 500 000 0 15 000 30 000 60 000 100 000
通常以多年平均效益和特大洪水年效益表示。
一般对防洪工程只进行国民经济评价。
一、洪灾损失计算方法
洪灾损失在洪水淹没区内外没有与洪水直接接触，但受到洪水危害、同直接受灾的对象或其他方面联系的事物所受到的经济损失直接损失
由于洪水淹没造成的直接经济损失

第七章框架-剪力墙结构在水平荷载下的近似计算方法

第七章框架－剪力墙结构在水平荷载下的近似计算方法本章导学框架：剪力墙结构是由框架和剪力墙组成的一种复合结构体系，它兼具框架结构和剪力墙结构的优点，因而成为高层建筑的主要结构体系。

在水平荷载作用下，因为框架与剪力墙的变形性质不同，不能直接把总水平剪力按抗侧刚度的比例分配到每榀结构上，而是必须采用协同工作方法求得侧移和各自的水平层剪力及内力。

框架剪力墙结构计算的近似方法是将结构分解成平面结构单元，它适用于比较规则的结构，而且只能计算平移时的剪力分配，如果有扭转，要单独进行扭转计算，再将两部分内力叠加。

这种方法概念清楚，结果的规律性较好。

本章主要学习框架：剪力墙结构计算的近似方法，学习中要求同学们熟练掌握协同工作方法的两种计算简图，熟练掌握铰接体系和刚接体系的计算方法的区别与联系。

知识学习第一节概述一．基本假定框剪结构体系在水平荷载作用下的内力分析是一个三维空间超静定问题，通常把它简化为平面结构来计算，并在结构分析中作如下基本假定：①楼板在自身平面内刚度无限大。

这一假定保证楼板将整个计算区段内的框架和剪力墙连成一个整体，在水平荷载作用下，框架和剪力墙之间不产生相对位移。

②当结构体型规则、剪力墙布置比较对称均匀时，结构在水平荷载作用下不计扭转的影响；否则应考虑扭转的影响。

③不考虑剪力墙和框架柱的轴向变形及基础转动的影响。

④结构为线弹性结构。

二．计算简图用连续化解法求总剪力墙与总框架之间的相互作用力，都要解决如何合并总剪力墙、总框架，以及确定总剪力墙和总框架之间的连接和相互作用关系，以便于确定计算简图。

框剪结构用连续化方法求解时，根据连杆刚度情况可以确定两种计算简图：铰接体系和刚接体系。

1.铰接体系在基本假定的前提下，计算区段内结构在水平荷载作用下，处于同一楼面标高处各片剪力墙及框架的水平位移相同。

此时可把平行于水平荷载作用方向的所有剪力墙综合在一起成总剪力墙（一般简化为整体墙），把平行于水平荷载作用方向的所有框架综合在一起成总框架。

数值计算方法第07章数值微分与数值积分

h
2
f '( x) f ( x) f ( x h) f ''( x 2h) h O(h)
h
2
f '( x) f ( x h) f ( x h) 2h
f (3)( x 3h) f (3)( x 3h) h2 O(h2 )
12
心差商公式
sin x2 , cos x2 , sin x , 1 , 1 x3 , ex2 x ln x
17
2. 有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示,但表达式相当复杂,计算极不方便.
x x1 x0 x1
f
( x0 )
x x0 x1 x0
f
(
x1
)@
x
h
x1
f
( x0 )
x
x0 h
f ( x1 )
则
L1( x)
1 [ h
f
( x0 )
f
( x1 )]
(7.1)
L1( x0 )
1 [ h
f
( x0 )
f
( x1 )],
L1( x1 )
1 [ h
f
( x0 )
f
x0 )( x x2 ) x0 )( x1 x2 )
f
( x1)
(x (x2
x0 )( x x1 ) x0 )( x2 x1 )
f
(x2 )
(x
x1 )( x 2h2
x2 )
f
( x0 )
(x
x0 )( x h2
x2 )
f
(x ( x1 )
x0 )( x 2h2
x1 )
f (x2 )

(产品管理)产品成本计算方法

〔产品管理〕产品本钱计算方法第七章产品本钱计算方法【教学目的】通过本章的学习，学生要了解产品本钱计算品种法、分步法和分批法的特点和适用范围，掌握本钱计算的品种法、分批法和分步法本钱计算的步骤和程序，熟练掌握产品本钱计算品种法、分批法和分步法于会计工作中的具体运用。

【教学重点和难点】1、品种法、分步法和分批法的特点和适用范围，掌握本钱计算的品种法、分批法和分步法本钱计算的步骤和程序。

分批法的几种方法运用2、产品本钱计算品种法、分批法和分步法于会计工作中的具体运用。

【教学内容】第一节品种法第二节分批法第三节分步法【教学课时】理论课时 12 节实训课时6 节第壹节品种法壹、定义亦称简单法。

是以产品品种作为本钱计算对象，且按不同的产品品种开设本钱计算单，按产品品种分配和归集生产费用的壹种本钱计算方法。

二、适用大量大批单步骤生产及大量大批多步骤生产但管理上不需要按步骤计算产品本钱的生产。

三、品种法本钱计算程序2、根据费用分配表登记各种本钱费用明细帐3、根据辅助生产费用明细帐编制辅助生产费用分配表4、根据辅助生产费用分配表登记各种本钱费用明细帐5、根据制造费用明细帐记录编制制造费用分配表6、根据制造费用分配表登记产品本钱明细帐7、根据产品本钱明细帐记录编制产品本钱计算单8、根据完工产品本钱计算单编制完工产品本钱汇总表四、品种法举例85 页第二节分批法壹、定义分批法又叫定单法。

它是以产品批别〔或定单〕为本钱计算对象，归集生产费用，计算产品本钱的壹种方。

二、适用小批单件的多步骤货单步骤生产，如重型机械制造，船舶制造等。

三、主要特点：分批法的特点主要表当下以下三个方面：〔壹〕本钱计算对象：产品的批别或件别分批法的本钱计算对象是购置者的定单或内部定单或企业事先规定的产品批别，且按每壹张定单或每壹批产品开设产品本钱计算单。

对能按定单或批次划分的直接费用，可直接计入各该产品本钱计算单的有关本钱工程；对不能明确定单或批次的间接费用，先按发生地点归集，然后采用当月分配法或累计分配法，按壹定的标准于各受益对象之间进行分配。

计算方法第七章常微分方程数值解法

12
7.1.1 欧拉法及其截断误差
4、欧拉公式的截断误差是O(h2)，公式是1 阶的。
因为
yi+ 1 ? yi
1
h f ( x i , y i ) = y ( x i ) + h y ¢( x i )
1 2
1
2n ) ( n y ( x ) y (( x)i 1 ) ( y i()x i ) y y ( ) ( x h i ) ( )yh ( ( x x i ) xi y x ) ( xi ) x y y 2 n! 2
y0 y( x0 )
i1 i i i
(欧拉公式)
9
7.1.1 欧拉法及其截断误差
例取步长 h=0.1，用欧拉法求解初值问题
ì y ¢= x + y ï ï í ï y (0) = 1 ï î
y i 1 y i h f ( x i , y i ) , i 0 ,1 , 2 , y0 y( x0 )
y f ( x , y ), y( x0 ) y0
x [a , b ]
23
7.1 欧拉法和改进的欧拉法
欧拉公式
y i 1 y i h f ( x i , y i ) , i 0 ,1 , 2 , y0 y( x0 )
h y i 1 y i [ f ( x i , y i ) f ( x i 1 , y i 1 )] , i 0 ,1 , 2 , 2 y y( x ) 0 0
( p)
1.2 ? 1.24
1.528
y 2 = y 1 + 0 .1[( x1 + y 1 ) + ( x 2 + y 2 )] = 1 .2 4 + 0 .1(0 .2 + 1 .2 4 + 0 .4 + 1 .5 2 8) = 1 .5 7 6 8

计算方法引论-第七章

计算方法引论：数值代数⏹解线性方程组的直接法⏹解线性方程组最小二乘问题⏹解线性方程组的迭代法⏹矩阵特征值和特征向量的计算⏹非线性方程及非线性方程组解法第七章线性方程组最小二乘问题•线性最小二乘问题•满秩分解•广义逆矩阵•Gram-Schmidt方法•Householder变换•Givens变换•奇异值分解线性最小二乘问题•线性代数方程组Ax=b(1)–相容:有解, 可能有无穷多解(欠定).–不相容(矛盾,超定):无解.–广义解:最小二乘解.总存在,可能有无穷多.•最小二乘解–求剩余平方和║Ax -b ║2的最小值点–求正规方程(法方程)A T Ax =A T b (通常意义)的解–二者等价:象数据拟合法那样用微分法可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111满秩分解与广义逆矩阵•满秩矩阵:A,rank(A)=min{m,n}m×n–行满秩:A,rank(A)=mm×n–列满秩:A,rank(A)=nm×n•满秩分解A= B m×r A r×n,rank(A)=rm×n–(不惟一)可取A的线性无关列为B,它们表出A各列的系数对应为C•广义逆矩阵(惟一)–A+=C T(CC T)-1(B T B)-1B T•注:广义逆矩阵可多个方式定义并确认其惟一性.似乎用奇异值分解更简明实用A+计算•满秩矩阵–行满秩: A+=A T(AA T)-1–列满秩: A+=(A T A)-1A T •非零向量–行向量:x=(x1,x2 ,…,x n)x +=x T/(x12+…+x n2)–列向量x=(x1, x2,…,x n) Tx +=x T/ (x12+…+x n2) •例[][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=21211012151112111212211AA +计算又例•A 作满秩分解消元所有列都用1、3列表出131042611713013⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 0.0535710.0178570.0714290.160710.0535710.214290.369050.0119050.380950.422620.0297620.452380.208330.0416670.16667+-⎛⎫⎪- ⎪⎪=-- ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A 消元矩阵解释•求A +–·–·1–·1131040011100000⎛⎫⎪--⎪ ⎪⎝⎭131040011100111⎛⎫⎪-- ⎪⎪--⎝⎭ ③–②·1 ②–①·2 ③–①·1 1113013210011110⎛⎫⎛⎫⎪=⎪⎪-⎝⎭⎪⎝⎭A 100131042100011111100*********4210011111⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪⎝⎭AA+性质•X=A+满足Penrose方程–AXA=A(P1)–XAX=X(P2)–(AX)T=(AX)(P3)–(XA)T=(XA)(P4)•性质–A可逆A+=A-1–(A T)+= (A+)T–(A T A)+=A+(A T)+–(A+A)2=A+A,(AA+)2=AA+•注:不具有逆的某些性质[][]2222))(())((乃知)(1141))(()()()(故2/1)()(,1)(1121)()()(1)(,1121)(,01,11++++++++++++++≠=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=≠==⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡===⎥⎦⎤⎢⎣⎡=xyxyxyxyxyyxyxyxyxxyxyyxyx方程组(1)的解•方程组(1)有解iff AA+b=b–充分性:AA+b=b,则x=A+b满足(1)–必要性:有Ax=b即有AA+(Ax)=b, AA+b=b •(1)有解则其通解为(2)x=A+b+(I-A+A)z, z任意n维向量–(1)有解则A+b是解而A(I-A+A)=A-AA+A=O–设y是解.令z=y-A+b则Az=o.于是z=(I-A+A)z,从而y=A+b+z=A+b+(I-A+A)z.方程组(1)的解(续)•(1)有解时A+b为其通解(2)中惟一2-范数最小者.一般情况下(1)的最小二乘解通解亦(2), A+b仍为其通解中惟一2-范数最小者–(1)有解通解是(2).由于(A+)T(I-A+A)=(A+)T (A+A)T(I-A+A)=(A+)T (A+A-A+A)=O.得║x ║2 = ║A+b║2+║(I-A+A)z║2 +(A+b)T(I-A+A)z= ║A+b║2+║(I-A+A)z║2>0,当(I-A+A)z≠o–一般情况下.令b=c+d, c=AA+b,d=(I-AA+)b,则c T d=0,A T d=o,Ax=c有解y=A+c+(I-A+A)z=A+b+(I-A+A)z,且║b-Ax║2=║c+d-Ax║2 =║c-Ax║2 +║d║2 > ║d║2 ,当Ax≠c.乃证得(1)的最小二乘解通解亦(2).其中A+b为惟一2-范数最小者前己证得.Gram-Schmidt 正交化•G-S 方法可将线性无关的向量组正交化–β1=α1, r 11=║β1║,q 1=β1/r 11–β2=α2-r 12q 1, r 12=(α2, q 1), r 22=║β2║,q 2=β2/r 22–βk =αk -r 1k q 1 -r 2k q 2 -…-r k-1,,k q k , r ik =(αk , q i ), i =1,2, …,k -1, r kk =║βk ║, q k =βk /r kk , k =3, …,n•矩阵表示–A=QR–(α1α2 …αn )=(q 1q 2…q n )⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n r r r r r r22211111•G-S 方法•修改的G-S 方法–后一算法改变原算法:算出后立即修改使之皆与正交,以后对它们逐个作类似处理.–二算法主要运算量是乘法和加法运算各mn 2次1112/||||=βααfor j = 2:nT T T 112211j j j j j j j --=----βαβαββαββαβ 2/||||j j j =βββ endfor j = 1:n2/||||j j j =βαα for k = j +1:nT k k j k j =-ααβαβ endend1β211,,,n j j j =-：ααααβαβ211,,,2,3,,.n j j j j n =-=：ααααβαβT 211,,,2n j j j j =-=：ααααβαβ1β•A =QR•各列正交化过程5251103202230012---⎛⎫⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭A 0.980580.0377430.176600.0764720.196120.188710.883020.3823600.981310.176600.07647200.397360.91766-⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪⎪-⎝⎭Q 5.0990 1.9612 5.49130.588350 2.0381 1.5852 2.528800 2.5166 3.267200.76472---⎛⎫⎪- ⎪=⎪- ⎪⎝⎭R T T 22121(0.076923,0.38462,2,0)=-=-βαβαβ22|||| 2.0381=βT 2(0.037743,0.18871,0.98131,0)=-βT T13235.4913, 1.5852=-=βαβαT T T33131232(0.44444,2.2222,0.44444,1)=--=-βαβαββαβ32|||| 2.5166=βT3(0.17660,0.88302,0.17660,0.39736)=-β-3.2672T4(0.058480,0.29240,0.058480,0.70175)=---β42||||0.76472=βT4(0.076472,0.38236,0.076472,0.91766)=--β12|||| 5.0990=αT1(0.98058,0.19612,0,0)=βT 12 1.9612=-βαT T T 1424340.58835, 2.5288,0.32672=-=-=-βαβαβαHouseholder 变换•定义–H =I -2ww T , ║ w ║ =1•性质–H T =H–H T H =H 2=I–任一x ,║Hx ║=║x ║–任给x 及y ,║y ║=║x ║≠0,总有H 使Hx=y , 不难验证:取w =(x-y )/ ║x-y ║即可.–y 常取坐标轴方向,如y = -sign(x 1 )║x ║ e 1v =x +sign(x 1)║x ║ e 1(w =v / ║v ║)H =I -βvv T ,β=2/v T v用此变换可将矩阵化成上三角(消元)Household变换:算法•变换Hx= -αe1:计算v(存入x)及α=sign(x1)║x║,β–η=max{|xi|}计算v及β时引入的比例因子–xi=x i/η, 1≤i≤n–α= sign(x1)║x║–x1=x1+α, β =(αx1)-1, α= ηα•计算A=HA(H由β,v给出)–设A=(a1… aq)则HA=A-βvv T A=(…a j -βvv T a j…)–算法:对j=1,2,…,qσ=v T aja j =a j -σβv•由此不难导出化上三角的算法Household 正交化•Householder 变换可实现QR 分解–A =QR , Q m ×m 正交阵, R m ×n 上三角阵–实现:作Q p …Q 2Q 1A=R , Q k 是H-变换.p =min{m -1,n }, 即得A =QR , Q =Q 1Q 2…Q p -1•典型步(对照右边矩阵表示)–象消元法那样将右下角矩阵第一列对角元下全变成零(己是则免,H =I )–Ĥ=I -βvv T ,β=2/v T v同前,H =diag(I Ĥ)也是H-变换T⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡*=⎥⎦⎤⎢⎣⎡*⎥⎦⎤⎢⎣⎡v o v o I H A o r A H A O R H I β•Householder 正交化(QR 分解)算法1．输入m n ⨯∈A R ，置1,min(1,).k p m n ==- 2．max(||,,1,,).ik a i k k m η==+ 3．若0η=，则0,0k kk d r ==，否则221/,,,sign()(),1,,,,,,1,,ik ik kk kkmkkk kk k kk kk m j ik ij k i k ij ij j ik a a i k ma a a a a d a r a a d j k n a a a i k m j k n ηαααηαττ-====++=+==-⎛⎫==+ ⎪⎝⎭=-==+∑ 4．若k <p ，则k = k +1，转步骤2；否则，结束. 11213111(1)(2)2223222(1)(2)(3)333333(1)(2)(3)444,,r r r r r r βββ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭A r d v v v v v v v v v (1)11213(1)(2)2223(1)(2)(3)333(1)(2)(3)444,r r r ⎛⎫ ⎪⎛ ⎪==⎪⎪⎝ ⎪⎝⎭A r v v v v v v v v v 运算量:乘、加各次求Q=H 1…H P I 另需乘、加次数各存储方式: 2313mn n -22312()3m n mn n -+2.0198 1.9612 5.49130.588350.20.39223 1.9652 2.157302230012⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭•A =QR•正交化过程k = 1525110320223012---⎛⎫⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭A 5.0990 1.9612 5.49130.588350 2.0381 1.5852 2.528800 2.51663.2672000.76472-⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪-⎪-⎝⎭R 0.980580.0377430.176600.0764720.196120.188710.883020.3823600.981310.176600.076472000.397360.91766---⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪---⎪-⎝⎭Q a 1 = (5,1,0,0)T ,5η= 1.0198α=T11(2.0198,0.2,0,0)==a v 11110.48548, 5.0990d r β===-a 1 = (1,0.2,0,0)T ,a 11 =1+1.098= 2.019 8用以变换A 的后三列得到1Household 正交化算例(续)•正交化过程k = 2•正交化过程k = 3T2(0.39223,2,0),2η==a 220.19612 1.0190 1.2152a =+=T22(1.2152,1,0)==a v 22220.80755, 2.0381d r β===-2.0198 1.9612 5.49130.588350.2 1.2152 1.5852 2.528801 2.3094 2.6943012⎛⎫⎪- ⎪⎪- ⎪-⎝⎭用以变换A 的最后一列得到用以变换A 的后二列得到T3(2.3094,1), 2.3094η==a T3(1,0.43301)=a 1.0897α=T33(2.0897,0.43301)==a v 33330.43913, 2.5166d r β===-2.01981.9612 5.49130.588350.21.2152 1.58522.528801 2.08973.2672000.433010.76472⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎪-⎝⎭T2(0.19612,1,0), 1.0190α==a T 11T 22T330.48548,(2.0198,0.2,0,0)0.80755,(1.2152,1,0)0.43913,(2.0897,0.43301)βββ======v v v R 如前，Q 可由下面的信息生成Givens 变换•定义–G =G (i ,k ,θ)=I +s (e i e k T -e k e i T )+c (e i e i T +e k e k T )•性质–G T G =I–任给x 可使y =G x 的k 分量为零:r =(x i 2+x k 2)1/2 ≠0c =x i /r ,s =x k /r•可用以化上三角形一如消元过程⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=11),,(c s s c k i G θendend ,11, else ,11, if else 0,1 0 if 22cts tc x x t stc ts x x t x x s c x i k k i ik k =+===+==≥===Givens 正交化算例•算例•过程525110320223012---⎛⎫⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭A 0.980580.0377430.176600.0764720.196120.188710.883020.3823600.981310.176600.076472000.397360.91766--⎛⎫⎪- ⎪=⎪-⎪⎝⎭Q 5.09901.9612 5.49130.5883502.0381 1.5852 2.528800 2.51663.267200.76472---⎛⎫⎪- ⎪=⎪- ⎪-⎝⎭R (2,1)元变为零，t = 0.2, c = 0.980 58, s = 0.196 12.一行：5.099 0 –1.961 2 –5.491 3 –0.588 35二行：0 0.392 23 –1.961 2 2.157 3(3,2)元变零，t = 0.196 12, c = 0.192 45, s = 0.981 31.二行：0 2.038 1 1.585 2 –2.528 8三行：0 0 2.309 4 –2.694 3(4,3)元变零，t = 0.433 01, c = 0.917 66, s = 0.397 36.QR 分解定理•定理设A 是m ×n (m ≥ n ) 矩阵,则A 有QR 分解, 其中Q 是m ×n 的正交矩阵,R 是具有非负对角元的上三角矩阵;而且当m = n 且A 非奇异时R 的对角元皆正上述分解还是唯一的•证⎛⎫= ⎪⎝⎭R A Q O 于是，有T 12T11||||⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭Q A A v α 1 n –1对(1)(1)m n -⨯-矩阵A 1应用数学归纳法假定，得 212⎛⎫= ⎪⎝⎭R A Q O 其中，Q 2是(m –1)×(m –1)正交矩阵，R 2是具有非负对角元的(1)(1)n n -⨯-上三角矩阵. 这样，令T 121221||||,⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q Q R Q R αv 000 则Q 和R 满足定理的要求. 存在性得证.再证唯一性. 设m = n 且A 非奇异，易知R 对角元皆正，假定==A QR QR ，其中，Q , Q 是m m ⨯正交矩阵，R , R 是具有正对角元的上三角矩阵. A 非奇异蕴含着R , R 的对角元均为正数，因此，有 T 1-=Q Q RR 既是正交矩阵又是对角元均为正数的上三角矩阵，只能是单位矩阵. 从而，必有=Q Q ，=R R 即分解是唯一的先证存在性，用数学归纳法. 当n = 1时，定理显然成立. 现假定已经对所有p ×(n –1)矩阵成立，这里假设(1)p n ≥-，设m n ⨯矩阵A 的第一列为1α(可为零向量)，则由定理7.5知，存在m m ⨯正交矩阵Q 1，使得T 11121||||=Q e αα于是，有T 12T11||||⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭0Q A A v α 1 n –1 对(1)(1)m n -⨯-矩阵A 1应用数学归纳法假定，得212⎛⎫= ⎪⎝⎭R A Q O 1m –1最小二乘解:列满秩•列满秩时求(1)的最小二乘解–形成正规方程A T Ax=A T b(n阶)(乘法和加法各mn2/2次) 用平方根法(乘法和加法各n3/6次)用G-S作A=QR:R T Rx=R T Q T b,Rx=Q T b(各mn2次) –用Householder变换或Givens变换作QR分解║Ax-b║2 =║Q T Ax-Q T b║2==║Rx-c1║2+║c2║2,解x=R-1c1,最小值║c2║2注: 若记Qm×m =(Q1 Q2), Q1是m×n阵则有c1=Q1b,c2=Q2b⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡21ccxOR最小二乘解:列满秩算例•求最小二乘解•求最小二乘解L123525110320223012x x x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-⎝⎭⎝⎭12326102831081442814399x x x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭正规方程5.0190001.9912 2.038105.4913 1.58522.5166⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎝⎭T( 1.6023,0.23099, 1.2982)=---x 5.09901.9612 5.49130.5883502.0381 1.5852 2.528800 2.51663.26720000.76472-⎛⎫ ⎪-- ⎪=⎪- ⎪-⎝⎭R 5251103202230012---⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭A 方程H-正交化增广矩阵T ( 1.6023,0.23099, 1.2982)=---x 剩余是0.764 721.9612奇异值分解(SVD)•矩阵奇异值–A m ×n 的奇异值σ1≥σ2≥…≥σr >σr+1=…=σn =0是A T A 的特征值λ1, …,λn 的平方根•奇异值分解定理),,diag(正交阵,1Tr n n m m σσΣV U V O O O ΣU A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯⨯形式阵即得矩,,1,连同,得,,,1由),,,(阵正交增.则,,1,/令,,),,,(证.取TTT21T TT21分解補成r k u Av o Av o Av A v o Av A n r k u u u U u u r k Av u v Av A I V V v v v V k k k k k kk m kj j k k k k k k k n =====+========σδσλ奇异值分解(续)•推论(记号同前)–分解形式A=σ1u1v1T+σ2u2v2T+…+σr u r v r TA=ÛΣŴT, Û=(u1u2…u r),Ŵ =(v1v2…v r)–空间关系R(A)=Span{u1,u2,…,u r}N(A)=Span{v r+1,v r+2,…,v n}R(A T)=Span{v1,v2,…,v r}N(A T)=Span{u r+1,u r+2,…,u m}R(A)=N(A T)⊥, R(A T)=N(A)⊥SVD 与A+•X =A +满足Penrose 方程–AXA =A (P1)–XAX =X (P2)–(AX )T =(AX )(P3)–(XA )T =(XA )(P4)•由SVD 解出X =A +T T 111T111rr ru v u v UO O O ΣV A σσ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-+T 11T:乃得唯一解得(P4)代入得(P3)代入得(P2)代入得(P1)代入对应分块SVD 解.取U O OO ΣV X O L O K K L ΣM ΣS U M L K S V X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=====⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--图示A与A+•SVD绐出A与A+在标准正交基下向量对应关系V1= Span{v,v2,…,v r}, V2= Span{v r+1,v r+2,…,v n},1U1= Span{u,u2,…,u r}, U2=Span{u r+1,u r+2,…,u m}1最小二乘解•(1)的最小二乘解–推导:按前述标准正交基分解,再求║Ax-b║2最小x=c1v1+c2v2+…+c n v nA x=c1σ1u1+c2σ2u2+…+c rσr u rb=u1T b u1+u2T b u2+…+u m T bu m║Ax-b║2最小:c=u k T b/σk,k≤r,其余任意k–最小二乘解通解x=1/σ1u1T b v1+1/σ2u2T b v2+…+1/σr u r T b v r+ v r +…+c n v n, c r+1, …, c n任意c r+1–最小2-范数最小二乘解y=1/σ1u1T b v1+1/σ2u2T b v2+…+1/σr u r T b v rSVD与最小二乘解•上述结果亦可借助SVD得到–A, A+代入通解(2)x=A+b+(I-A+A)z(z任意n维向量)2-范数最小A+b=(1/σ1v1u1T+…+1/σr v r u r T)b(I-A+A)z=(I-(v1v1T+v2v2T+…+v r v r T) )z=(v r+1v r+1T+…+v n v n T)z =c r+1v r+…+c n v n –由SVD直接推出最小二乘解║Ax-b║2=║UΛV T x-b║2=║ΛV T x-U T b║2=║Λc-U T b║2 ,这里Λ=diag(ΣO),c=V T x的i,U T b的i分量u i T b.从而可得结果.分量ci代入正规方程A T Ax=A T b关于A +的定义•A +有多个等价定义–由满秩分解:C T (CC T )-1(B T B )-1B T–由Penrose 方程.–由SVD:–由最小二乘解:(1)中任一b 对应唯一最小2-范数最小二乘解x 所确定的矩阵.–由线性算子确定的矩阵.线性算子f :R m →R nf (y )=x ,当y ∈R (A ), Ax =y f (y )=o ,当y ⊥R (A )•注.一个或几个Penrose 方程可定义多种广义逆T1V O O O ΣU ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-。

微积分的数值计算方法数值微分

r=dx/dt/x =0.0283 0.0146 0.0152 0.0097 0.0093 0.0166 0.0154 0.0113 0.0100 0.0113
将节点处的增长率作三次样条插值
年份增长率 1900 0.0283 1901 0.0255 1902 0.0230 1935 0.0082 1936 0.0081 1937 0.0083 1953 0.0172 1954 0.0172 1979 0.0100 1980 0.0100 1981 0.0109 1989 0.0111 1990 0.0113
f ( x 0 ) 21h(3f04f1f2) f ( x n ) 21h(fn24fn13fn)
--------(11)
称(11)式为分段三点公式
实际中下面的公式很有用
f
(
xk
xk1 2
)
1( h
f k 1
fk
)
例: 回到实例(美国人口)
1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4
E 2(x0)f(3 3 )!()(x0x1)x (0x2)
ห้องสมุดไป่ตู้h2 3
f (3)( )
E 2(x1)f(3 3 )!()(x1x0)x (1x2)
h2 6
f (3)()
E 2(x2)f(3 3 )!()(x2x0)x (2x1)
h2 3
f (3)( )
f ( x0 )
21h(3f04f1f2)
1( h
f1
f0 )
h f (2)( )

计算方法与误差理论-7.

解: (1)写出递推公式:
(2)列表依次计算:
xi 0.0 0.1 yi 1.0000
(1-0.2*0)y0=y0=1.0000
xi
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
yi
(1-0.2*0.1)y1=0.98y1=0.9800 (1-0.2*0.2)y2=0.96y2=0.9408 (1-0.2*0.3)y3=0.94y3=0.8844 (1-0.2*0.4)y4=0.92y4=0.8136 (1-0.2*0.5)y5=0.9y5=0.7322 (1-0.2*0.6)y6=0.88y6=0.6444
局部截断误差： 1 3 ( 2) 3 Ri 1 h y ' ' ' ( i ) O(h ) 12
xi i xi 1
常微分方程——欧拉方法

单步隐式公式
用上一步结果yi，不能直接得出yi+1，而需要通过其他方法(迭代法)求解一般形式： yi 1 yi h ( xi , yi , yi 1 , h) i 0,1,, n 1 y0

xi 1
xi
y ' ( x)dx
xi 1
xi
f ( x, y ( x))dx
xi1 xi
( y ' ( x) f ( x, y ))
即：y ( xi 1 ) y ( xi ) yi 1 yi hf ( xi , yi )
f ( x, y ( x))dx
用左矩形公式计算积分 , 得：y ( xi 1 ) y ( xi ) hf ( xi , y ( xi )) i 0,1,2,...,n 1
梯形公式的局部截断误差：

第七章受扭构件承载力计算

第七章受扭构件承载力计算7.1 概述工程中的钢筋砼受扭构件有两类：● 一类是 —— 平衡扭矩：是静定结构由于荷载的直接作用所产生的扭矩，这种构件所承受的扭矩可由静力平衡条件求得，与构件的抗扭刚度无关。

如：教材图7·1a 、b 所示受檐口竖向荷载作用的挑檐梁，及受水平制动力作用的吊车梁以及平面曲梁、折线梁、螺旋楼梯等。

● 另一类是 —— 协调扭矩：是超静定结构中由于变形协调条件使截面产生的扭矩，构件所承受的扭矩与其抗扭刚度有关。

如：教材图7·2 所示现浇框架的边梁。

由于次梁在支座（边梁）处的转角产生的扭转，边梁开裂后其抗扭刚度降低，对次梁转角的约束作用减小，相应地边梁的扭矩也减小。

● 本章只讨论平衡扭转情况下的受扭构件承载力计算。

在工程结构中，直接承受扭矩、弯矩、剪力和轴向力复合作用的构件是常遇的。

但规范对弯扭、剪扭和弯剪扭构件的设计计算，是以抗弯、抗剪能力计算理论和纯扭构件的承载力计算理论为基础，采用分别计算和叠加配筋的方法进行的，故有必要先了解纯扭构件的受力性能和承载力的计算方法。

7.2 纯扭构件的受力性能7.2.1 素砼纯扭构件的受力性能素砼构件也能承受一定的扭矩。

素砼构件在扭矩T 的作用下，在构件截面中产生剪应力τ及相应的主拉应力tp σ 和主压应力cp σ（教材图7·3）。

根据微元体平衡条件可知：τστσ==cp tp ,由于砼的抗拉强度远低于它的抗压程度，因此当主拉应力达到砼的抗拉强度时，即t tp f ≥=τσ时，砼就会沿垂直于主拉应力方向裂开（教材图7·3）。

所以在纯扭矩作用下的砼构件的裂缝方向总是与构件轴线成45o的角度。

并且砼开裂时的扭矩T 也就是相当于t f =τ时的扭矩，即砼纯扭构件的受扭承载力co T 。

为了求得co T ，需要建立扭矩和剪应力之间的关系，然后根据强度条件，即砼纯扭构件的破坏条件求出受扭承载力co T 。

7.2.2 素砼纯扭构件的承载力计算(一) 、弹性分析法：用弹性分析方法计算砼纯扭构件承载力时，认为砼构件为单一匀质弹性材料。

短路电流的计算方法

第七章短路电流计算Short Circuit Current Calculation§7-1 概述General Description一、短路的原因、类型及后果The cause, type and sequence of short circuit1、短路：是指一切不正常的相与相之间或相与地（对于中性点接地的系统）发生通路的情况。

2、短路的原因：⑴元件损坏如绝缘材料的自然老化，设计、安装及维护不良等所造成的设备缺陷发展成短路.⑵气象条件恶化如雷击造成的闪络放电或避雷器动作；大风造成架空线断线或导线覆冰引起电杆倒塌等.⑶违规操作如运行人员带负荷拉刀闸；线路或设备检修后未拆除接地线就加电压.⑷其他原因如挖沟损伤电缆,鸟兽跨接在裸露的载流部分等.3、三相系统中短路的类型：⑴基本形式: )3(k—三相短路；)2(k—两相短路；)1(k—单相接地短路；)1,1(k—两相接地短路；⑵对称短路：短路后，各相电流、电压仍对称,如三相短路；不对称短路：短路后，各相电流、电压不对称;如两相短路、单相短路和两相接地短路.注:单相短路占绝大多数；三相短路的机会较少,但后果较严重。

4、短路的危害后果随着短路类型、发生地点和持续时间的不同，短路的后果可能只破坏局部地区的正常供电，也可能威胁整个系统的安全运行。

短路的危险后果一般有以下几个方面。

（1）电动力效应短路点附近支路中出现比正常值大许多倍的电流，在导体间产生很大的机械应力，可能使导体和它们的支架遭到破坏。

（2）发热短路电流使设备发热增加，短路持续时间较长时，设备可能过热以致损坏。

（3）故障点往往有电弧产生，可能烧坏故障元件，也可能殃及周围设备. （4）电压大幅下降，对用户影响很大. （5）如果短路发生地点离电源不远而又持续时间较长，则可能使并列运行的发电厂失去同步，破坏系统的稳定，造成大片停电。

这是短路故障的最严重后果。

（6）不对称短路会对附近的通讯系统产生影响。

第七章土压力计算

粘性土主动土压力强度包括两部分
1. 土的自重引起的土压力zKp
2. 粘聚力c引起的侧压力2c√Kp 说明：侧压力是一种正压力，在计算 Ep 中应考虑
土压力合力
E p(1/2)h2K p2chK p
1.粘性土被动土压力强度不存在负侧压力区 2.合力大小为分布图形的面积，即梯形分布图形面积 3.合力作用点在梯形形心
被动朗肯状态
处于被动朗肯状态，σ3方向竖直，剪切
破坏面与竖直面夹角为45o＋/2
二、主动土压力
挡土墙在土压力作用下，产生离开
土体的位移，竖向应力保持不变，
水平应力逐渐减小，位移增大到
h
z
z(σ1)
-△a，墙后土体处于朗肯主动状态
时，墙后土体出现一组滑裂面，剪
45o＋/2
pa(σ3) 切破坏面与大主应力作用面夹角
z
pp
主动极限水平方向均匀伸展土体处于水平方向均匀压缩被动极限
平衡状态
弹性平衡
平衡状态
状态
主动朗肯状态
处于主动朗肯状态，σ1方向竖直，剪切
破坏面与竖直面夹角为45o-/2
被动朗肯状态
处于被动朗肯状态，σ3方向竖直，剪切
破坏面与竖直面夹角为45o＋/2
成层填土情况（以无粘性土为例）
A pa A
ppzK p2c Kp
pp zKp
h
h/3
Ep (1/2)h2Kp
hKp 1.无粘性土被动土压力强度与z成正比，沿墙高呈三角形分布 2.合力大小为分布图形的面积，即三角形面积 3.合力作用点在三角形形心，即作用在离墙底h/3处
h
hp
当c＞0, 粘性土
2c√Kp
hKp ＋2c√Kp

地下结构的地层结构计算方法

开挖效应与释放荷载
模型建立要点
midas地层结构算例
第七章地层结构法的适用性
位移清零
模型建立要点
midas地层结构算例
初始地应力场
计算开挖边界等效结点力
删除开挖网格反向施加结点力
确定释放系数
第七章地层结构法的适用性
荷载分步释放与围岩特性
岩爆
模型建立要点
midas地层结构算例
高地应力
0.7m
E砼＝23Gpa A砼＝0.28m2 I砼＝0.00183m4
E钢＝210Gpa A钢＝39.578×10-4m2 I钢＝2500×10-8m4
E A ＝ E砼 A砼+ E钢A钢/S E I ＝ E砼 I砼+ E钢I钢/S
取E ＝ E砼
A ＝ A砼+ E钢A钢/(SE砼) =0.3316 I ＝ I砼+ E钢I钢/(SE砼) =0.002155
岩土材料
• 根据岩土性质和计算目的选择适合的本构模型。 • 定量分析时应注意材料参数的确定，必要时采用反分析。
结构材料
• 弹性或弹塑性 • 初期支护内的钢拱架与喷射砼一般视为整体计算
加固地层材料
• 直接模拟 • 不模拟，作为安全储备 • 提高地层材料参数
第七章地层结构法的适用性
边界条件
模型建立要点
576个四边形单元
35个梁单元
第七章地层结构法的适用性
模型建立要点
midas地层结构算例
地层与结构连接
公共节点，变形协调
. . . 1 node . A. B.
不同节点，相互独立
. . .. . 2 nodes . A. B.
摩擦接触，接触单元

计算方法 第七章

计算方法与误差理论-7

第七章锅炉本体的热力计算

计算方法第七章

第七章 混凝土简支梁桥计算

中级财务管理第七章公式 第七章筹资方式

水利工程效益计算方法

第七章框架-剪力墙结构在水平荷载下的近似计算方法

数值计算方法第07章数值微分与数值积分

(产品管理)产品成本计算方法

计算方法 第七章 常微分方程数值解法

计算方法引论-第七章

微积分的数值计算方法数值微分

计算方法与误差理论-7.

第七章受扭构件承载力计算

短路电流的计算方法

第七章土压力计算

地下结构的地层结构计算方法

计算方法第七章

第七章混凝土简支梁桥计算

中级财务管理第七章公式第七章筹资方式

计算方法第七章常微分方程数值解法