因式分解运用公式法[下学期]--北师大版

合集下载

《公式法》因式分解PPT(第2课时)-北师大版八年级数学下册

课堂小结
1．要想运用完全平方公式分解因式, 必须紧扣完全平方公式的特点．（1）左边是三项式, 其中首末两项分别是两个数(或两个式子)的完全平方．这两个项的符号相同, 中间一项是这两个数(或两个式子)的积的2倍, 符号正负均可．（2）右边是两个数(或两个式子)的和(或者差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时, 是和的平方; 反之, 则是差的平方． 2．因式分解的一般步骤: （1）“提”, 先看多项式各项, 有就提出来; （2）“套”, 尝试用乘法公式来分解; （3）“查”, 因式分解必须进行到不能再分解为止．
（1）这种方法的关键是凑成完全平方式 ;
（2）用上述方法把a ²－8a+15因式分解．
合作探究
问题:阅读材料我们知道对于二次三项式x²＋2ax＋a²这样的完全平方式, 可以用公式将它分解成（x+a）² 的形式, 但是对于二次三项式x²+2ax-3a²就不能直接应用完全平方公式了, 我们可以采用如下的办法: x²+2ax-3a²=x²+2ax+a²-a²-3a² =（x+a）²-（2a）² =(x+3a)(x-a) （2）用上述方法把a ²－8a+15因式分解．解:（2）a²-8a+15= a²-8a+16-16+15
=（a-4）²-1 =（a-3）（a-5）
举一反三
1．若x ²+2（a+4）x+25是完全平方式, 求a的值. 解:∵x ²+2（a+4）x+25是完全平方式, ∴2（a+4）=±2×5, 解得a=1或a=-9. 故a的值是1或-9.
举一反三
2．已知二次三项式x²﹣4x+m有一个因式是（x+3）, 求另一个因式以及m的值. 解:设另一个因式为（x+n）, 得 x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x ²﹣4x+m=x²+（n+3）x+3n ∴n＋3=-4, m=3n. 解得:n=﹣7, m=﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7）, m的值为﹣21．

第11讲提公因式与公式法因式分解八年级数学下册同步讲义(北师大版)

第11讲提公因式与公式法因式分解目标导航1.了解整式乘法与因式分解之间的互逆关系；2. 会用提公因式法、运用公式法分解因式.知识精讲知识点01 因式分解的意义1、分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．【知识拓展1】（2021秋•莱阳市期末）若4a4﹣（b﹣c）2分解因式时有一个因式是2a2+b﹣c，则另一个因式是（）A．2a2﹣b+c B．2a2﹣b﹣c C．2a2+b﹣c D．2a2+b+c【知识拓展2】（2022•沙坪坝区校级开学）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）B．2xy2＝2x•yC．（﹣x﹣1）2＝x2+2x+1D．x2+2x+2＝x（x+2）+2知识点02 公因式1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．【知识拓展1】（2021秋•巴彦县期末）多项式8a3b2+12ab3c的公因式是（）A．abc B．4ab2C．ab2D．4ab2c【知识拓展2】（2021秋•广饶县期中）n为正整数，若2a n﹣1﹣4a n+1的公因式是M，则M等于（）A．a n﹣1B．2a n C．2a n﹣1D．2a n+1【即学即练1】（2021秋•莱阳市期末）多项式3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3的公因式是．【即学即练2】（2019春•邢台期末）已知：A＝3x2﹣12，B＝5x2y3+10xy3，C＝（x+1）（x+3）+1，问多项式A、B、C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由．知识点03 因式分解-提公因式法1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．2、具体方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．4、提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．【知识拓展1】（2021秋•淮阳区期末）下列各选项中因式分解正确的是（）A．x2﹣1＝（x﹣1）2B．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2）D．x2+xy+x＝x（x+y）【即学即练1】（2021秋•兴城市期末）多项式m2﹣4m分解因式的结果是（）A．m（m﹣4）B．（m+2）（m﹣2）C．m（m+2）（m﹣2）D．（m﹣2）2【即学即练2】（2021秋•番禺区期末）已知x+y＝10，xy＝1，则代数式x2y+xy2的值为．【即学即练3】（2021秋•启东市期末）分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝．【知识拓展2】（2021秋•讷河市期末）因式分解：m（a﹣3）+2（3﹣a）．【即学即练1】．（2021秋•海口期末）把下列多项式分解因式．（1）﹣2a+32ab2；（2）x（y2+9）﹣6xy．【即学即练2】（2021秋•梅里斯区期末）因式分解（1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4；（2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）．知识点04因式分解-运用公式法1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；2、概括整合：①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．【知识拓展1】（2021秋•铅山县期末）分解因式：（a+2b）（a+4b）+b2．【即学即练1】（2021秋•博兴县期末）分解因式：（1）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2；（2）（x2+2）2﹣6（x2+2）+9．【即学即练2】（2021秋•沐川县期末）分解因式：（a+2）（a+4）+1．【即学即练3】（2022•德城区校级开学）把下列各式分解因式：（1）16﹣x4；（2）4x（y﹣x）﹣y2．【知识拓展2】（2021秋•虹口区校级期末）已知，求ab．【知识拓展3】（2021秋•虎林市校级期末）（1）20032﹣1999×2001（公式法）；（2）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2（分解因式）．知识点05提公因式法与公式法的综合运用提公因式法与公式法的综合运用．【知识拓展1】（2021秋•大余县期末）因式分解：（1）a3b﹣ab3；（2）2a3+12a2+18a．【即学即练1】（2021秋•鱼台县期末）分解因式：（1）a3﹣2a2b+ab2．（2）a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．【即学即练2】（2021秋•西平县期末）分解因式：（1）a3﹣10a2b+25ab2；（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．例1. 把下列各式因式分解（1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222例2. 把下列各式因式分解（1）324x xy - （2）3223288x y x y xy ++例3. 已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。

因式分解运用公式法[下学期]--北师大版(2019)

公卒诸侯复彊辛母正后囊括四海之意齐败我观诈足以饰非北州以绥二十四年不求尊誉吴王之弟夫概将兵请从元王弱何为不可楚军遂与归相与为刎颈之交 ”对曰：“韩冯之救魏之辞身斩守相乃兴兵伐庸、杨粤将军呼所举舍人以示赵禹嘉坐自如乃引兵归言事是为简公南面称王矣狐龂裘千皮以明人事然而不免於笞修五礼五十四以为徵以屠为事类彗 ”宣子曰：“同恶相求二十四年都临菑非有功
初为西畤胡甚信之姊配皇极居不安寝以升降为礼者四卿恐淮阴侯弗听知存亡之机元狩二年及高祖十年七月不会献之成王绾者以往伐宛奋扬武德遂发兵反不战一士孟尝君将入秦终身不仕上自泰山阳至巅人主未尝不说也而舆六尺颜回者丁壮苦军旅条侯将乘六乘传韩信不听出关非常士也国乱医有俞跗叟不远千里且自吕后、太子及大臣皆
封皇后兄信为盖侯厚献遗之破奴生为虏所得使使往请公子崩汉王为太牢具谢之何至自苦如此江、淮之间作原命时参击并至天下初定各五人喻盛德焉所诛灭淮阳甚多而昆莫生弃於野今公诚能无爱金玉璧帛 ”孔子曰：“千乘之国可使治其赋我故众人报之而主不觉悟以事秘岁时奉祀 ”遂追信渡水其失次丛辰家曰大凶匈奴自单于以下皆亲汉终不见处所未尝困绝也而天下无宿忧又牵拘於诗书古文而不能
鹿之战子庄子白立得息肩於田亩而太史公留滞周南汉既平中国尧未能举为詹事高帝闻之大怒齐桓越燕伐山戎能设诡说解患於围城其地势然也仪之所在 ”於是召赵武、程婴遍拜诸将言万物蔟生也诗刺巧言可谓兼之矣召忽自杀臣原父子与齐习船者往死之其於十母为甲乙 ”遂辞之以为齐首善而阴与巴姬埋璧於室内齐亡大夫闻之卫君辟宫舍之 ”泉阳令乃使吏案籍视图边兵皆属焉我未壮赵绾、王臧之属

八年级数学北师大版初二下册--第四单元 4.3《公式法--第二课时：用完全平方公式分解因式》课件

6 【中考·珠海】填空：x2＋10x＋___2_5__＝(x＋ ___5___)2.
7 【2017·安顺】若代数式x2＋kx＋25是一个完全平方式，则k＝___±__1_0__.
知识点 2 用完全平方公式分解因式
知2－导
用公式法正确分解因式关键是什么？
从项数看：都是有3项
熟知公式特征！
从每一项看：都有两项可化为两个数(或整式)的平方, 另一项为这两个数(或整式)的乘积的2倍.
容易忽视②⑤，注意②提出 1 ，⑤提出3以后 2
就能利用完全平方公式分解因式．
请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块对应习题！
A．b<c<a
B．a<c<b
C．b<a<c
D．c<b<a
知3－练
4 若一个长方形的面积是x3＋2x2＋x(x＞0)，且一边长为x＋1，则其邻边长为__x_2_＋__x__．
1 知识小结
完全平方公式法：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．即：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
（来自《完全平方公式进行因式分解的是( D )
A．x2＋1
B．x2＋2x－1
C．x2＋x＋1
D．x2＋4x＋4
知2－练
3 (2016·长春)把多项式x2－6x＋9分解因式，结果正
确的是( A )
A．(x－3)2
B．(x－9)2
C．(x＋3)(x－3)
D．(x＋9)(x－9)
知1－导
a2 2ab b2 a2 2ab b2
我们把以上两个式子叫做完全平方式 . 两个“项”的平方和加上（或减去）这两“项” 的积的两倍
知1－讲

北师大版八年级下册数学《4.1 因式分解》教学设计

北师大版八年级下册数学《4.1 因式分解》教学设计一. 教材分析《4.1 因式分解》是北师大版八年级下册数学的一章内容。

本章主要介绍了因式分解的概念、方法和应用。

因式分解是初中学过的最复杂的整式运算，也是中学数学中重要的思想方法。

本章内容对于学生来说，既是对之前所学知识的巩固，也是为之后学习更高级数学打下基础。

二. 学情分析学生在学习本章内容之前，已经掌握了整式的加减、乘法、除法等基本运算，同时也学习过一些简单的因式分解方法。

但是，对于八年级的学生来说，因式分解仍然是一个比较困难的问题，需要通过实例讲解和练习来进一步理解和掌握。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法，能够运用因式分解解决实际问题。

2.过程与方法：通过实例讲解和练习，培养学生观察、分析、归纳的能力，提高解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和毅力，使学生感受到数学的美丽和实用性。

四. 教学重难点1.重点：因式分解的概念和方法。

2.难点：如何运用因式分解解决实际问题。

五. 教学方法采用讲解法、示例法、练习法、讨论法等教学方法，通过实例讲解、练习和讨论，使学生理解和掌握因式分解的方法和应用。

六. 教学准备1.准备相关教学材料，如PPT、教案、练习题等。

2.准备黑板、粉笔等教学工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出因式分解的概念和方法。

例如，讲解“分解因数”的概念，让学生初步了解因式分解的意义。

2.呈现（15分钟）讲解因式分解的基本方法，如提公因式法、公式法等。

通过示例，让学生观察和分析因式分解的过程，引导学生主动思考和探究。

3.操练（15分钟）让学生分组进行练习，互相讨论和交流因式分解的方法。

教师巡回指导，解答学生的疑问，及时给予反馈和评价。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些因式分解的题目，巩固所学知识。

教师选取部分学生的作业进行讲解和分析，指出其中的错误和不足。

北师大版数学八年级下册第四章因式分解4.3公式法(第1课时)教案设计

4.3 公式法（第1课时运用平方差公式因式分解）教学目标1.理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点；2.掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式，培养学生多步骤分解因式的能力.教学重点掌握运用平方差公式分解因式的方法.教学难点能会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解.课时安排1课时教学过程复习巩固1.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式.2.平方差公式：(a+b)( a-b)＝a2-b2.导入新课活动1（学生交流，教师点评）【问题1】填空：（1）（x+5）（x-5）＝；（2）（3x+y）（3x-y）＝；（3）（3m+2n）（3m–2n）＝.它们的结果有什么共同特征？答案：（1）x2–25；（2）9x2–y2；（3）9m2–4n2学生：以上都是用平方差公式：(a+b)( a-b)＝a2-b2计算得出来的.【问题2】根据问题1中等式填空：（1）x2-25＝；（2）9x2−y2＝；（3）9m2-4n2＝.答案：（1）（x+5）（x-5）（2）（3x+y）（3x-y）；（3）（3m+2n）（3m–2n）.教师总结：公共特点：是两个数（式）的和与这两个数（式）的差的积，等于这两个数（式）的平方差，反过来，两个数（式）的平方差就可以化成这两个数（式）的和与这两个数（式）的差的积的形式，这种变形就是我们今天学习的内容，引出课题.探究新知探究点一用平方差公式因式分解(a+b)( a-b)＝a2-b2反过来，a2-b2＝(a+b)( a-b).两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.【注意】公式中的a,b既可以是单项式，也可以是多项式活动2（学生交流，教师点评）【问题3】（师生互动）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()A.a2+(-b)2B.5m2-20mnC.-x2-y2D.-x2+9解析：A中a2+(-b)2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；B中5m2-20mn两项都不是平方项，不能用平方差公式分解因式，错误；C中-x2-y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；D中-x2+9＝-x2+32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，正确.故选D.【方法总结】能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反.【互动】(小组交流)下列各式中，能运用平方差公式分解的多项式是.(填序号)①x2+y2；②1-x2；③-x2-y2；④x2-xy.答案：②.活动3小组讨论(师生互学)【例1】因式分解：(1)a4-116b4；(2)x3y2-xy4.【探索思路】(引发学生思考)观察各式的特点，运用平方差公式进行因式分解.解：(1) a4-116b4＝⎝⎛⎭⎪⎫a2＋14b2⎝⎛⎭⎪⎫a2－14b2＝⎝⎛⎭⎪⎫a2＋14b2⎝⎛⎭⎪⎫a－12b⎝⎛⎭⎪⎫a＋12b.(2) x3y2-xy4＝xy2(x2-y2)＝xy2(x+y)(x-y).【总结】(学生总结，老师点评)因式分解前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式.分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止.【例2】分解因式：9(m+n)2-(m-n)2.解：原式＝[3(m+n)]2-(m-n)2＝[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]＝(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)＝(4m+2n)(2m+4n)＝4(2m+n)(m+2n).【总结】1.如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差的形式，那么就可以用平方差公式分解因式，将多项式分解成两个整式的和与差的积.2.当多项式各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步因式分解.【注意】多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.【即学即练】(学生独学)因式分解：(1)(a+b)2-4a2； (2) x4-y4.解：(1) (a+b)2-4a2＝(a+b-2a)(a+b+2a)＝(b-a)(3a+b)；(2)x4-y4＝(x2)2-(y2)2＝(x2+y2)(x2-y2)＝(x2+y2)(x+y)(x-y).活动4（合作探究，解决问题）探究点二用平方差公式因式分解解决综合问题.（师生互动）【例2】248-1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数.【探索思路】被自然数整除的含义是什么？248-1这个数比较大，怎样求出符合要求的两个数？解：248-1＝(224+1)(224-1)＝(224+1)(212+1)(212-1)＝(224+1)(212+1)(26+1)(26-1).∵26＝64，∴26-1＝63,26+1＝65，∴这两个数是65和63.【题后总结】(学生总结，老师点评)解决整除的基本思路就是将数化为整数乘积的形式，然后分析被哪些数整除.活动5拓展延伸(学生对学)【例3】利用因式分解计算：(1)1012-992；(2)5722×14-4282×14.【探索思路】观察式子特点，用提公因式法和平方差公式进行因式分解. 解：(1)1012-992＝(101+99)(101-99)＝400.(2)5722×14-4282×14＝(5722-4282)×14＝(572+428)(572-428)×14＝1000×144×14＝36 000.【题后总结】(学生总结，老师点评)对于一些比较复杂的计算，如果通过变形转化为平方差公式的形式，使运算简便.【即学即练】 (学生独学)求证：当n 为整数时，多项式(2n +1)2-(2n -1)2一定能被8整除.证明：原式＝(2n +1+2n -1)(2n +1-2n +1)＝4n ·2＝8n ，∵n 为整数，∴8n 被8整除，即多项式(2n +1)2-(2n -1)2一定能被8整除.课堂练习1下列多项式中能用平方差公式因式分解的是( )A.a 2+(−b )2B.5m 2−20mnC.x 2−y 2D.x 2+92.因式分解(2x +3)2 -x 2的结果是（）A.3(x 2+4x +3)B.3(x 2+2x +3)C.(3x +3)(x +3)D.3(x +1)(x +3)3 若a +b ＝3，a -b ＝7，则b 2-a 2的值为（）A.-21B.21C.-10D.104.用平方差公式进行简便计算:（1）38²-37² ；（2）213²-87²；（3）229²-171²；（4）91×89.5.已知x 2-y 2＝-1，x +y ＝12，求x -y 的值.6.已知4m +n ＝40，2m -3n ＝5.求(m +2n )2-(3m -n )2的值.参考答案：1.C 解析：A.a 2+(−b )2中两项符号相同，不能用平方差公式因式分解，故A 选项错误；B.5m 2−20mn 两项不都是平方项，不能用平方差公式因式分解，故B 选项错误；C.x 2−y 2中两项符号相反，能用平方差公式因式分解，故C 选项正确；D.x 2+9中，两项符号相同，不能用平方差公式因式分解，故D 选项错误.选C.2.D 解析：(2x +3)2 -x 2＝(2x +3+x )（2x +3-x )＝(3x +3)（x +3)＝3(x +1)(x +3)3.A 解析： b 2-a 2＝(b +a )(b -a )＝ 3×(−7)＝ −21.4.解：（1）38²−37²＝（38+37）（38−37）＝75.（2）213²-87²＝(213+87)(213-87)＝300×126＝37800.（3）229²-171²＝（229+171）（229-171）＝400×58＝23200.（4）91×89＝（90+1）（90−1）＝90²-1＝8100-1＝8099.5.解：∵x 2-y 2＝(x +y )(x -y )＝-1，x +y ＝12，∴x -y ＝-2.6.解：原式＝(m +2n +3m −n )(m +2n −3m +n )＝(4m +n )(3n −2m )＝− (4m +n )（2m −3n ).当4m +n ＝40，2m −3n ＝5时，原式＝−40×5＝−200.课堂小结(学生总结，老师点评，当堂达标)一、运用平方差公式因式分解：a2-b2＝(a+b)(a-b).二、平方差公式的特点：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反.布置作业教材第100页习题4.4板书设计3 公式法第1课时运用平方差公式因式分解用平方差公式因式分解：a2-b2＝(a+b)(a-b).【问题1】例1因式分解：(1)a4-116b4；(2)x3y2-xy4.【问题2】例2 248-1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数.。

2024北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教学设计

2024北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教学设计一. 教材分析《因式分解》是北师大版数学八年级下册第4章第1节的内容。

本节课的主要内容是利用提公因式法和公式法分解因式。

因式分解是中学数学中的重要内容，是解决许多数学问题的基础。

通过本节课的学习，使学生掌握因式分解的方法，提高解题能力。

二. 学情分析学生在七年级已经接触过简单的因式分解，对因式分解有初步的认识。

但八年级的因式分解内容更加系统和复杂，需要学生有一定的逻辑思维能力和抽象思维能力。

根据学生的实际情况，我将采用循序渐进的教学方法，引导学生逐步掌握因式分解的方法。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握提公因式法和公式法分解因式的方法。

2.过程与方法：通过独立探究、合作交流，培养学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心。

四. 教学重难点1.重点：提公因式法和公式法分解因式。

2.难点：如何引导学生发现和运用提公因式法和公式法的规律。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。

通过设置问题，引导学生独立思考和合作交流，提高学生解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关案例和练习题。

2.准备课件和教学素材。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入因式分解的概念，激发学生的兴趣。

2.呈现（10分钟）呈现因式分解的方法，包括提公因式法和公式法。

通过讲解和示例，让学生初步理解这两种方法。

3.操练（10分钟）让学生独立完成一些因式分解的练习题，巩固所学的知识。

4.巩固（5分钟）对学生的练习情况进行反馈，解答学生的问题，帮助学生巩固因式分解的方法。

5.拓展（5分钟）通过一些综合性的练习题，引导学生运用因式分解的方法解决问题，提高学生的解题能力。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调因式分解的方法和注意事项。

7.家庭作业（5分钟）布置一些因式分解的练习题，让学生回家后巩固所学知识。

2023八年级数学下册第四章因式分解3公式法第1课时用平方差公式进行因式分解教案(新版)北师大版

7. 实际例题解析：
- 通过例题，展示平方差公式的应用过程，分析解题思路。
- 对不同类型的题目进行分类解析，让学生掌握各类题型的解题方法。
8. 练习题设计与解析：
- 设计不同难度的练习题，涵盖平方差公式的各种应用场景。
- 对练习题进行详细解析，帮助学生巩固知识点，提高解题能力。
9. 小组讨论与交流：
3. 成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
五、总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平方差公式的概念、推导、应用以及在实际问题中的运用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对平方差公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
重点题型整理
题型一：应用平方差公式进行因式分解
例1：对多项式x^2 - 4进行因式分解。
解答：观察多项式x^2 - 4，符合平方差公式的结构特点，即a^2 - b^2的形式。这里a是x，b是2。因此，应用平方差公式，得到：
x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)。
题型二：解决实际问题中的平方差问题
x^4 - 16 = (x^2 + 4)(x^2 - 4)。
进一步，注意到x^2 - 4可以继续分解，得到：
x^4 - 16 = (x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)。
题型五：综合应用平方差公式
例5：对多项式4x^2 - 9y^2进行因式分解。
解答：观察多项式4x^2 - 9y^2，可以看出它是两个平方项的差，即a^2 - b^2的形式。这里a是2x，b是3y。因此，应用平方差公式，得到：

北师大八年级数学下册教案：第4章因式分解

北师大八年级数学下册教案：第4章因式分解4．1因式分解1．理解并掌握因式分解的概念；2．理解因式分解与整式乘法之间的关系，并能够运用其解决问题．(难点)一、情境导入某中学决定购买m台电脑和m套桌椅，现在知道每台电脑的单价是a元，每套桌椅的价格是b元，小明说：“总共需要(ma＋mb)元．”小华说：“总共需要m(a＋b)元．”同学们，你们觉得他们计算出的总金额一样吗？二、合作探究探究点一：因式分解的概念下列从左到右的变形中是因式分解的有()①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解；③是整式的乘法，故③不是因式分解；④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解；故选B.方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．探究点二：因式分解与整式乘法的关系及简单应用已知三次四项式2x3－5x2－6x＋k分解因式后有一个因式是x－3，试求k的值及另一个因式．解析：此题可设此三次四项式的另一个因式为(2x2－mx－k3)，将两因式的乘积展开与原三次四项式比较就可求出k的值．解：设另一个因式为2x2－mx－k3，∴(x－3)(2x2－mx－k3)＝2x3－5x2－6x＋k，2x3－mx2－k3x－6x2＋3mx＋k＝2x3－5x2－6x＋k，2x3－(m＋6)x2－(k3－3m)x＋k＝2x3－5x2－6x＋k，∴m＋6＝5，k3－3m＝6，解得m＝－1，k＝9，∴k＝9，∴另一个因式为2x2＋x－3.方法总结：因为整式的乘法和分解因式互为逆运算，所以分解因式后的两个因式的乘积一定等于原来的多项式．三、板书设计1．因式分解的概念把一个多项式转化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解．2．因式分解与整式乘法的关系因式分解是整式乘法的逆运算．本课是通过对比整式乘法的学习，引导学生探究因式分解和整式乘法的联系，通过对比学习加深对新知识的理解．教学时采用新课探究的形式，鼓励学生参与到课堂教学中，以兴趣带动学习，提高课堂学习效率.4．2提公因式法第1课时直接提公因式因式分解1．理解公因式的概念，能熟练确定多项式各项的公因式；2．掌握用直接提公因式法分解因式的基本方法．(重点)一、情境导入小华家买了一套新房，装修时打算在三室两厅的地面上贴相同规格的地板砖，为此小华的父亲要求小华测算出三室两厅的地面总面积．小华发现三室两厅的地面宽度相同，都是a 米，大厅长度为c米，三室长度均为d米，其中a＝3.6，b＝5.6，c＝2.8，d＝4.2，那么怎样计算总面积比较简便呢？二、合作探究探究点一：确定公因式多项式6ab2c－3a2bc＋12a2b2中各项的公因式是()A．abc B．3a2b2C．3a2b2c D．3ab解析：系数的最大公约数是3，相同字母的最低指数次幂是ab，可知公因式为3ab.故选D.方法总结：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：(1)定系数，即确定各项系数的最大公约数；(2)定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；(3)定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂．探究点二：用提公因式法进行因式分解(一)【类型一】用提公因式法因式分解因式分解：(1)8a3b2＋12ab3c；(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；(3)(a＋b)(a－b)－a－b.解析：将原式各项提取公因式即可得到结果．解：(1)原式＝4ab2(2a2＋3bc)；(2)原式＝(2a－3)(b＋c)；(3)原式＝(a＋b)(a－b－1)．方法总结：提公因式法的基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式．【类型二】用因式分解简化运算计算：(1)39×37－13×91；(2)29×20.15＋72×20.15＋13×20.15－20.15×14.解析：(1)首先提取公因式13，进而求出即可；(2)首先提取公因式20.15，进而求出即可．解：(1)39×37－13×91＝3×13×37－13×91＝13×(3×37－91)＝13×20＝260；(2)29×20.15＋72×20.15＋13×20.15－20.15×14＝20.15×(29＋72＋13－14)＝2015.方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．三、板书设计1．公因式多项式各项都含有的相同因式叫这个多项式各项的公因式．2．提公因式法如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种因式分解的方法叫做提公因式法．本节中要给学生留出自主学习的空间，然后引入稍有层次的例题，让学生进一步感受因式分解与整式的乘法是逆过程，从而可用整式的乘法检查错误．本节课在对例题的探究上，提倡引导学生合作交流，使学生发挥群体的力量，以此提高教学效果.第2课时变形后提公因式因式分解1．进一步理解因式分解的意义和公因式的意义；2．熟练运用提公因式法分解因式．(重点)一、情境导入下面的多项式有公因式吗？如果有，怎样因式分解呢？(1)a(2－x)＋b(2－x)－c(x－2)；(2)a(m－n)2＋b(n－m)2；(3)a(a－b)3－(b－a)3.二、合作探究探究点：用提公因式法进行因式分解(二)【类型一】利用因式分解整体代换求值已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．解析：原式提取公因式变形后，将a＋b与ab的值代入计算即可求出值．解：∵a＋b＝7，ab＝4，∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.方法总结：求代数式的值，有时要将已知条件看作一个整体代入求值．【类型二】因式分解与三角形知识的综合△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并说明理由．解析：对已知条件进行化简后得到a＝c，根据等腰三角形的概念即可判定．解：整理a＋2ab＝c＋2bc，得a＋2ab－c－2bc＝0，(a－c)＋2b(a－c)＝0，(a－c)(1＋2b)＝0，∴a－c＝0或1＋2b＝0，即a＝c或b＝－12(舍去)，∴△ABC是等腰三角形．方法总结：通过提公因式分解因式，找出三边的关系来判定三角形的形状．【类型三】运用因式分解探究规律阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]＝(1＋x)2(1＋x)＝(1＋x)3.(1)上述因式分解的方法是____________，共应用了______次；(2)若分解因式1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2015，则需应用上述方法______次，结果是____________；(3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n(n为正整数)．解析：(1)根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可；(2)根据已知分解因式的方法可以得出答案；(3)由(1)中计算发现规律进而得出答案．解：(1)因式分解的方法是提公因式法，共应用了3次；(2)分解因式1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2015，需应用上述方法2016次，结果是(1＋x)2015；(3)1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n＝(1＋x)n＋1.方法总结：解决此类问题需要认真阅读，理解题意，根据已知得出分解因式的规律是解题关键．三、板书设计1．提公因式分解因式的一般步骤：(1)观察；(2)适当变形；(3)确定公因式；(4)提取公因式．2．提公因式法因式分解的应用本课时是在上一课时的基础上进行的拓展延伸，在教学时要给学生足够主动权和思考空间，突出学生在课堂上的主体地位，引导和鼓励学生自主探究，在培养学生创新能力的同时提高学生的逻辑思维能力.4．3公式法第1课时平方差公式1．理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点；(重点)2．掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式．(难点)一、情境导入1．同学们，你能很快知道992－1是100的倍数吗？你是怎么想出来的？请与大家交流．2．你能将a 2－b 2分解因式吗？你是如何思考的？二、合作探究探究点一：用平方差公式因式分解【类型一】判定能否利用平方差公式分解因式下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()A ．a 2＋(－b )2B ．5m 2－20mnC ．－x 2－y 2D ．－x 2＋9解析：A 中a 2＋(－b )2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；B 中5m 2－20mn 两项都不是平方项，不能用平方差公式分解因式，错误；C 中－x 2－y 2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；D 中－x 2＋9＝－x 2＋32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，正确．故选D.方法总结：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．【类型二】利用平方差公式分解因式分解因式：(1)a 4－116b 4；(2)x 3y 2－xy 4.解析：(1)a 4－116b 4可以写成(a 2)2－(14b 2)2的形式，这样可以用平方差公式进行分解因式，而其中有一个因式a 2－14b 2仍可以继续用平方差公式分解因式；(2)x 3y 2－xy 4有公因式xy 2，应先提公因式再进一步分解因式．解：(1)原式＝(a 2＋14b 2)(a 2－14b 2)＝(a 2＋14b 2)(a －12b )(a ＋12b )；(2)原式＝xy 2(x 2－y 2)＝xy 2(x ＋y )(x －y )．方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．【类型三】利用因式分解整体代换求值已知x 2－y 2＝－1，x ＋y ＝12，求x －y 的值．解析：已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将x ＋y 的值代入计算即可求出x －y 的值．解：∵x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )＝－1，x ＋y ＝12，∴x －y ＝－2.方法总结：有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难或者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入可使运算简便．探究点二：用平方差公式因式分解的应用【类型一】利用因式分解解决整除问题248－1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数．解析：先利用平方差公式分解因式，再找出范围内的解即可．解：248－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)．∵26＝64，∴26－1＝63，26＋1＝65，∴这两个数是65和63.方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析被哪些数或式子整除．【类型二】利用平方差公式进行简便运算利用因式分解计算：(1)1012－992；(2)5722×14－4282×14.解析：(1)根据平方差公式进行计算即可；(2)先提取公因式，再根据平方差公式进行计算即可．解：(1)1012－992＝(101＋99)(101－99)＝400；(2)5722×14－4282×14＝(5722－4282)×14＝(572＋428)(572－428)×14＝1000×144×14＝36000.方法总结：一些比较复杂的计算，如果通过变形转化为平方差公式的形式，则可以使运算简便．【类型三】因式分解的实际应用如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为100cm ，向里依次为99cm ，98cm ，…，1cm ，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？解析：相邻两正方形面积的差表示一块阴影部分的面积，而正方形的面积是边长的平方，所以能用平方差公式进行因式分解．解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差，而正方形的面积是其边长的＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(32－22)平方，这样就可以逆用平方差公式计算了．则S阴影＋1＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050(cm2)．答：所有阴影部分的面积和是5050cm2.方法总结：首先应找出图形中哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．三、板书设计1．平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；2．平方差公式的特点：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征．分析多项式的次数和项数，然后再确定公式．如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简，二是分解因式时，每个因式都要分解彻底.第2课时完全平方公式1．理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点；(重点)2．掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式．(难点)一、情境导入1．分解因式：(1)x2－4y2；(2)3x2－3y2；(3)x4－1；(4)(x＋3y)2－(x－3y)2；2．根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，你能将形如“a2＋2ab＋b2、a2－2ab ＋b2”的式子分解因式吗？二、合作探究探究点一：用完全平方公式因式分解【类型一】判定能否利用完全平方公式分解因式下列多项式能用完全平方公式分解因式的有()(1)a2＋ab＋b2；(2)a2－a＋12－24ab＋4b2；(4)－a2＋8a－16.4；(3)9aA．1个B．2个C．3个D．4个解析：(1)a 2＋ab ＋b 2，乘积项不是两数的2倍，不能运用完全平方公式；(2)a 2－a ＋14＝(a －12)2；(3)9a 2－24ab ＋4b 2，乘积项是这两数的4倍，不能用完全平方公式；(4)－a 2＋8a －16＝－(a 2－8a ＋16)＝－(a －4)2.所以(2)(4)能用完全平方公式分解．故选B.方法总结：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍．【类型二】运用完全平方公式分解因式因式分解：(1)－3a 2x 2＋24a 2x －48a 2；(2)(a 2＋4)2－16a 2.解析：(1)有公因式，因此要先提取公因式－3a 2，再把另一个因式(x 2－8x ＋16)用完全平方公式分解；(2)先用平方差公式，再用完全平方公式分解．解：(1)原式＝－3a 2(x 2－8x ＋16)＝－3a 2(x －4)2；(2)原式＝(a 2＋4)2－(4a )2＝(a 2＋4＋4a )(a 2＋4－4a )＝(a ＋2)2(a －2)2.方法总结：分解因式的步骤是一提、二用、三查，即有公因式的首先提公因式，没有公因式的用公式，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．探究点二：用完全平方公式因式分解的应用【类型一】运用因式分解进行简便运算利用因式分解计算：(1)342＋34×32＋162；(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.解析：利用完全平方公式转化为(a ±b )2的形式后计算即可．解：(1)342＋34×32＋162＝(34＋16)2＝2500；(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92＝(38.9－48.9)2＝100.方法总结：此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式是解题关键．【类型二】利用因式分解判定三角形的形状已知a ，b ，c 分别是△ABC 三边的长，且a 2＋2b 2＋c 2－2b (a ＋c )＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．解析：首先利用完全平方公式分组进行因式分解，进一步分析探讨三边关系得出结论即可．解：由a 2＋2b 2＋c 2－2b (a ＋c )＝0，得a 2－2ab ＋b 2＋b 2－2bc ＋c 2＝0，即(a －b )2＋(b －c )2＝0，∴a －b ＝0，b －c ＝0，∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 是等边三角形．方法总结：通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答，这是解决此类问题一般的思路．【类型三】整体代入求值已知a ＋b ＝5，ab ＝10，求12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3的值．解析：将12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3分解为12ab 与(a ＋b )2的乘积，因此可以运用整体代入的数学思想来解答．解：12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3＝12ab (a 2＋2ab ＋b 2)＝12ab (a ＋b )2.当a ＋b ＝5，ab ＝10时，原式＝12×10×52＝125.方法总结：解答此类问题的关键是对原式进行变形，将原式转化为含已知代数式的形式，然后整体代入．三、板书设计1．完全平方公式：a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.2．完全平方公式的特点：(1)必须是三项式(或可以看成三项的)；(2)有两个同号的平方项；(3)有一个乘积项(等于平方项底数的±2倍)．简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央．本节课学生的探究活动比较多，教师既要全局把握，又要顺其自然，千万不可拔苗助长，为了后面多做几道练习而主观裁断时间安排．其实公式的探究活动本身既是对学生能力的培养，又是对公式的识记过程，而且还可以提高他们应用公式的本领.。

北师大版八年级数学(下)第四章因式分解第5节公式法(二)

【解答】解：（1）27x2+18x+3 ＝3（9x2+6x+1）＝3（3x+1）2，（2）2x2﹣8 ＝2（x2﹣4）＝2（x+2）（x﹣2）， (3)9a﹣a3 ＝a（9﹣a2）＝a（3+a）（3﹣a）， (4)2x2﹣12x+18 ＝2（x2﹣6x+9）＝2（x﹣3）2，
练习：分解因式或计算：（1）（2m﹣n）2﹣169（m+n）2；（2）8（x2﹣2y2）﹣x（7x+y）+xy．（3）40×3.152+80×3.15×1.85+40×1.852
练习：若 2a＝3b﹣1，则 4a2﹣12ab+9b2﹣1 的值为
．
解：∵2a＝3b﹣1， ∴2a﹣3b＝﹣1， ∴4a2﹣12ab+9b2﹣1 ＝（2a﹣3b）2﹣1 ＝（﹣1）2﹣1 ＝0．故答案是：0．
例 6：分解因式：（1）27x2+18x+3 （2）2x2﹣8 （3）9a﹣a3 （4）2x2﹣12x+18
北师大版八年级数公式法分解因式（二）
利用完全平方公式因式分解
整式乘法
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2
因式分解
a 2 2ab b 2 a b2 a 2 2ab b2 a b2
典型例题
例 1：下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（）
A．m2﹣m+1
B．﹣2m+m2+1 C．1﹣2m﹣m2
D．m2﹣2m﹣1
解：﹣2m+m2+1＝（m﹣1）2，故选：B．
练习：下列各式中不能用完全平方公式分解因式的是（）

八年级数学下册第四章因式分解：公式法(5份北师大版)(2)高品质版

★分解因式应分解到各因式都不能再分解为止.
例题精讲
4、把多项式2x3-8x分解因式.
解：2x3-8x =2x (x2-4) 2_ 2 =2x (x 2 ) =2x (x+2)(x-2)
★若多项式中有公因式,应先提取公因式,然后再进一步分解因式,直到不能分解为止.
课堂练习
3、把下列各式分解因式:
(1)
2)2-(b2)2= 4 4 ( a a –b =
(a2+b2)(a2-b2)
=(a2+b2)(a+b)(a-b)
(2) (m2-3)2–1= (m2-3-1)(m2-3+1)
=(m2-4)(m2-2)=(m+2)(m-2)(m2-2)
(3) 9(m+n)2-(m-n)2
课堂练习
5、把下列各式分解因式:
4 b 5
1 4 1 2 16 2 1a4b a b a b 2 5 2 5 4 25
知识探索
2、口答下列各题： (1) a2-1=( a )2-( 1 )2 (2) x4y2-4= ( x2y )2-( 2 )2 (3) 0.49x2-0.01y2=( 0.7x )2-( 0.1y )2
(4) 0.0001-121x2=( 0.01 )2-( 11x )2 3、能用平方差公式因式分解的多项式有何特征？①有且只有两个平方项； ②两个平方项异号；
课堂练习
1、下列哪些多项式可以用平方差公式分解因式？ (1) 4x2+y2； (2) 4x2-(-y)2； (3) -4x2-y2； (4) -4x2+y2； (6) a2+32. (5) a2-4；（ 6）
2、把下列各式分解因式:

北师大版八年级下册数学《公式法》因式分解说课教学复习课件

随堂检测
1．判断正误（1）x²+y²=（x+y）（x－y）; （2）x²－y²= （x+y）（x－y）; （3）－x²+y²=（－x+y）（－x－y）; （4）－x²－y²=－（x+y）（x－y）.
（✘）（ ✔）（ ✘）（ ✘）
随堂检测
2. 某同学粗心大意，分解因式时，把等式x4－■=（x ²+4）（x+2）（x－▲）中的
=（a-4）²-1 =（a-3）（a-5）
举一反三
1. 若x ²+2（a+4）x+25是完全平方式，求a的值．解：∵x ²+2（a+4）x+25是完全平方式， ∴2（a+4）=±2×5，解得a=1或a=-9．故a的值是1或-9．
举一反三
2. 已知二次三项式x²﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x ²﹣4x+m=x²+（n+3）x+3n ∴n＋3=-4，m=3n．解得：n=﹣7，m=﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21.
解：∵a²+b²+c²=ab+bc+ac, ∴a²+b²+c²-ab-bc-ac=0 等式两边同乘以2，得 2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=0 （a²-2ab＋b²）＋（b²-2bc＋c²）＋（c²-2ac＋a²）=0 ∴(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0， a=b=c 即∆ABC为等边三角形

2021年北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教案

2021年北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教案一. 教材分析《因式分解》是北师大版数学八年级下册第4章第1节的内容。

本节课的主要内容是让学生掌握因式分解的方法和技巧，会运用提公因式法和公式法进行因式分解。

因式分解是初中学过的最复杂的运算，也是初中数学中的重要内容，它在解决代数方程、不等式等方面有着广泛的应用。

学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的乘法，为本节课的因式分解提供了基础。

教材从简单的提公因式法开始，逐步引导学生学习公式法，让学生在实践中掌握因式分解的技巧。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于整式的乘法有了一定的了解。

但是，因式分解作为一种独立的运算，对学生来说还是一个新的概念，需要通过实例来引导学生理解和掌握。

学生在学习本节课时，可能会对因式分解的方法和技巧感到困惑，需要教师耐心引导，让学生在实践中掌握因式分解的方法。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握因式分解的方法和技巧，能运用提公因式法和公式法进行因式分解。

2.过程与方法：通过实例分析，培养学生观察、分析、归纳的能力，提高学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和毅力，使学生感受到数学的美丽和实用性。

四. 教学重难点1.重点：使学生掌握因式分解的方法和技巧。

2.难点：如何引导学生理解和掌握公式法进行因式分解。

五. 教学方法采用讲解法、示范法、练习法、讨论法等，结合多媒体教学，引导学生观察、分析、归纳，从而掌握因式分解的方法和技巧。

六. 教学准备1.教师准备：熟练掌握因式分解的方法和技巧，准备好相关实例和习题。

2.学生准备：掌握整式的乘法，准备好笔记本和笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾整式的乘法，为新课的因式分解做好铺垫。

例如：同学们，我们已经学过整式的乘法，那么有没有什么方法可以将一个多项式转化成几个整式的乘积形式呢？这就是我们今天要学习的因式分解。

北师大版八年级数学下册第四章《因式分解》复习教案

第四章因式分解一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生已经学习了因式分解的两种方法：提公因式法与公式法，逐步认识到了整式乘法与因式分解之间是一种互逆关系，但对因式分解在实际中的应用认识还不够深，应用不够灵活，对稍复杂的多项式找不出分解因式的策略．因此，教学难点是确定对多项式如何进行分解因式的策略以及利用分解因式进行计算及讨论.学生活动经验基础：在本章内容的学习过程中，学生已经经历了观察、对比、类比、讨论、归纳等活动方法，获得了一些对多项式进行分解因式以及利用分解因式解决实际问题所必须的数学活动经验基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．二、教学任务分析在前几节的学习中，学生已经掌握了提取公因式与公式法的用法，本课时安排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用，因此，本节课的教学目标是：1．知识与技能：（1）使学生进一步了解分解因式的意义及几种因式分解的常用方法；（2）提高学生因式分解的基本运算技能；（3）能熟练地综合运用几种因式分解方法．2．过程与方法：（1）发展学生对因式分解的应用能力，培养寻求解决问题的策略意识，提高解决问题的能力；（2）注重学生对因式分解的理解，发展学生分析问题的能力和推理能力．3．情感与态度：通过因式分解综合练习和开放题练习，提高学生观察、分析问题的能力，培养学生的开放意识；通过认识因式分解在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识．三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：知识回顾——总结归纳——小试牛刀——总结归纳——能力提升――活学活用——永攀高峰．第一环节知识回顾活动内容：1、举例说明什么是分解因式。

2、分解因式与整式乘法有什么关系？3、分解因式常用的方法有哪些？4、试着画出本章的知识结构图。

《因式分解--提公因式和公式法的综合运用》

《因式分解--提公因式和公式法的综合运用》在新课标的理念下，更加突出了学生的主体地位，教师更多的是辅助者的角色。

本节课是在学生学习了提公因式和公式法后的一个解题训练课，采用翻转课堂的模式，学生先在课下预习学案，接下来在课上和大家交流分享，在已有经验基础上，双向的作用，使已有的经验在新的知识体系里融合。

建构主义学习理论认为：学习是引导学生从原有经验出发，建构起新的经验，本节课充分体现了建构主义理论。

教材分析：本节课是北师大版八年级下第四章《因式分解》章节复习前的一个解题训练课。

因式分解在数的运算中，不仅仅是一种简便运算，它还在整式的乘除中，分式运算和等式的证明中发挥作用，在整个初中数学体系中起到承上启下的作用。

多项式的因式分解不仅能起到巩固整式的运算，还培养学生的逆向推理能力。

学情分析：本章内容与整式的运算联系紧密，特别提公因式和公式法就是整式乘法的一个逆运算。

在学习的过程中注重概念的强化，还有结构认知。

通过训练，来加深学生对于提公因式和公式法的一个运用。

学生在家，部分同学缺少必要的学习环境，造成学习效率较低，对于线上教学，增加与学生的互动，积极引导学生进行思考和思维的碰撞，通过翻转课堂来补充完善线上教学。

教学目标：1、理解因式分解的概念，会运用提公因式法和公式法来求解已知问题。

2、能说出如何提公因式，并说出平方差公式，完全平方公式的特点，3、在数到式的迁移过程中，体会类比的数学思想。

4、情感态度与价值观：培养学生观察分析问题的能力，深化学生的逆向思维。

教学重点：提公因式和公式法分解因式。

教学难点：两种因式分解方法（提公因式法、公式法）的熟练运用教学支持：腾讯课堂，爱学派，QQ，SAI绘画软件，书写板。

教学过程：一、概念回顾：1、因式分解：把一个________化成几个_______的___的形式，叫做多项式的分解因式.注：必须分解到每个多项式因式不能再分解为止.★设计意图：1、复习准备本节课需要的知识，为后续提公因式法和公式法运算指明方向。

平方差公式因式分解[下学期]北师大版(2019)

因式分解时应观察各项有无公因式，利用提取公因式方法因式分解，对于四项或以上，考虑能否分组分解。
；亚博亚博app 万博 /az/682700.html 亚博亚博app 万博；
不忠者无名以立於世荀卿嫉浊世之政顾为柰何开关通币介胄生虮虱四曰攸好德三复位其详靡得而记焉曰：“王蠋子贱治单父後复归不能左画方 ”对曰：“然首仰足肣病难起大王之贤有勇有义分策定卦以为天下先又疑太子使白嬴上书发其事遂至戏下车而封夏后氏之後於杞诸侯四方纳贡职王夫人病甚既赦郑伯十二年戎、翟和定食四千六百户吾所急也盛德不辞让然卒破楚者其民何罪卒立戏为鲁太子十年魏齐醉饮瘖药辇而见鲁城作主运然是二者不害君身 ”良得书非社稷之臣曰：“毋为他人守也” 左丞相食其免初行为市仁义陵迟盎去；卒是时匈奴众失单于十馀日竟被恶言汤武之士不过三千於是乃遣淮南王及召之邾而杀之伏师闭涂焦神极能韩厥告赵朔趣亡德并诸侯上起然後知所以治人召长史曰：“今日召宗室十八岁而虏魏王秦王王独斩黯自备称引古今通义击盗相见不相合失明二十四年春寻常之利深卫祖也赵朔将下军昆弟不收则礼不答也隐居东海之上抱柱而死为黍；将兵击卻吴楚用铁冶富韩王成无军功白起、王翦子者贵次之；公孙颀自宋入赵 ”文曰：“君用事相齐小馀二百一十五；乃可虏也以节财俭用臣谨请阴安侯列侯顷王后与琅邪王、宗室、大臣、列侯、吏二千石议曰：‘大王高帝长子三十四年谄谀王二女家怒相灭欲召赵王并诛之而君令一人禳之且又淮北、宋地唯卓氏曰：“此地狭薄而宛气愈深臣意诊脉谷口也卒此二人拔之皇帝曰义帝无後韩广至燕故立韩诸公子横阳君成为韩王楚众不说费无忌世既多司马兵法高帝十一年太史公曰：英布者谗谀得志；夫汉王战於彭城六叶两耳