11-12学年高中数学 2.3 数学归纳法同步练习 新人教A版选修2-2.pptx

所以原不等式成立．
当 n＝2 时，左边＝22＋2＝6，
右边＝22＝4，所以左边>右边；
当 n＝3 时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，
学海无 涯
所以左边>右边．
(2)假设 n＝k 时(k≥3 且 k∈N*)时，不等式成立， 即 2k＋2>k2. 那 么 n＝k＋1 时 ， 2k＋1＋2＝ 2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2. 又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3 ＝(k－3)(k＋1)≥0， 即 2k2－2≥(k＋1)2，故 2k＋1＋2>(k＋1)2成立． 根据(1)和(2)，原不等式对于任何 n∈N*都成立．
n
n
n
1
234
n
2
A.(n＋1)2
2
B.n(n＋1)
2 C.2n－1
2
D.2n－1
[答案] B
[解析]
由
Sn＝n
a2 n
知
Sn＋1＝(n＋1)
a2 n＋1
∴Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n
a2 n
∴an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an
∴an＋1＝n＋n 2an (n≥2)．
当
n＝2
时，S
11
1
3．设 f(n)＝n＋1＋n＋2＋…＋2n(n∈N*)，那么 f(n＋1)－f(n)等于( )
A.2n1＋1B.
1
2n＋2
1
1
1
1
C.2n＋1＋2n＋2 D.2n＋1－2n＋2
[答案] D
[解析] f(n＋1)－f(n)
＝(n＋11)＋1＋(n＋11)＋2＋…＋21n＋2n＋1 1＋2(n＋1 1)
1n ＝1－n＋1＝n＋1.
13．对任意
n a ∈N 3 ＋ *, 4n＋2
2n＋1
都能被
14
整除，则最小的自然数
a＝
.
[答案] 5
[解析] 当 n＝1 时，36＋a3 能被 14 整除的数为 a＝3 或 5，当 a＝3 时且 n＝3 时，310＋35
不能被 14 整除，故 a＝5.
14．用数学归纳法证明命题：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2.
[答案] D
学海无涯
[解析] 假设 n＝k 时不等式成立，即 2k>k2－2， 当 n＝k＋1 时 2k＋1＝2·2k>2(k2－2) 由 2(k2－2)≥(k－1)2－4⇔k2－2k－3≥0 ⇔(k＋1)(k－3)≥0⇒k≥3，因此需要验证 n＝1,2,3 时命题成立．故应选 D. 8．已知 f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数 m，使得对任意 n∈N*，都能使 m 整除 f(n)， 则最大的 m 的值为( )
2＝4a2，又
S2＝a1＋a2，∴a2＝a31＝
1 3
a3＝24a2＝16，a4＝35a3＝110.
由
a1＝1，a2＝13
，a3＝16，a4＝
1 10
猜想 an＝n(n2＋1)，故选 B.
学海无涯
10．对于不等式 n2＋n≤n＋1(n∈N )，某学生的证明过程如下： ＋
(1)当 n＝1 时， 12＋1≤1＋1，不等式成立． (2)假设 n＝k(k∈N )时，不等式成立，即 k2＋k<k＋1，则 n＝k＋1 时， (k＋1)2＋(k＋1)
学海无 涯
17．在平面内有 n 条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同
一点．
求证：这
n
n2＋n＋2
条直线将它们所在的平面分成 2 个区域．
[证明] (1)n＝2 时，两条直线相交把平面分成 4 个区域，命题成立．
(2)假设当
n＝k(k≥2)时，k
条直线将平面分成
k2＋k＋2
2 块不同的区域，命题成立．
111
1
12．已知数列1×2，2×3，3×4，…，n(n＋1)，通过计算得
S1＝21，S2＝
23，S3＝
3 4，由此
可猜测 Sn＝
.
[答案]
n n ＋1
[解析] 解法 1：通过计算易得答案．
解法 2：Sn＝1×1 2＋2×1 3＋3×1 4＋…＋n(n1＋1)
＝1－21＋21－31＋13 －14＋…＋n1－n＋1 1
当
n＝k＋1
时，设其中的一条直线为
l，其余
k
条直线将平面分成
k2＋k＋2
2 块区域，直线
l 与其余 k 条直线相交，得到 k 个不同的交点，这 k 个点将 l 分成 k＋1 段，每段都将它所在
的区域分成两部分，故新增区域 k＋1 块．
从而 k＋1 条直线将平面分成k2＋2k＋2＋k＋1＝(k＋1)2＋2(k＋1)＋2块区域． 所以 n＝k＋1 时命题也成立．
(1)当 n0＝
时，左边＝
，右边＝
；当 n＝k
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时，等式左边共有
项，第(k－1)项是
(2) 假设 n＝k 时命题成立，即
(3) 当 n＝k＋1 时，命题的形式是
． 成立． ；此时，左
边增加的项为
．
[答案] (1)1；1×(3×1＋1)；1×(1＋1)2；k；
(k－1)[3(k－1)＋1] (2)1×4＋2×7＋3×10＋…
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选修 2-2 2. 3 数学归纳法
一、选择题
1．用数学归纳法证明
1＋
12＋
13＋…＋
2n
1 －1
<n(n∈N*，n>1)时，第一步应验证不等式(
)
A．1＋12<2
11 B．1＋2＋3＜2
C．1＋12＋13＜3
D．1＋12＋13＋14＜3
[答案] B
[解析] ∵n∈N*，n＞1，∴n 取第一个自然数为 2，左端分母最大的项为 1 ＝1，故选
A．30 B．26 C ．36 D ．6
[答案] C
[解析] 因为 f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，所以 f(1)，f(2)，
f(3)能被 36 整除，推测最大的 m 值为 36.
9．已知数列{a }的前 n 项和 S ＝n2a (n≥2)，而 a ＝1，通过计算 a 、a 、a ，猜想 a ＝( )
1 3＋…＋
1 2k－1
1
1
＋2k－1＋1＋…＋2k－1＋2k－1
k－2 1
1 k－2 1 1
1
> 2 ＋2k－1＋1＋…＋2k> 2 ＋2k
＝ 2 ＋ 2k ＝ 2 ，
∴当 n＝k＋1 时，不等式成立．
据①②可知，不等式对一切 n∈N*且 n≥2 时成立．
由(1)(2)可知，原命题成立．
18．(2010·衡水高二检测)试比较 2n＋2 与 n2 的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的
结论．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①此题选用特殊值来找到 2n＋2 与 n2 的大小关系；
②利用数学归纳法证明猜想的结论． 解答本题的关键是先利用特殊值猜想．
设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选 D.
二、填空题
11．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步的验证为
．
[答案] 当 n＝1 时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立
[解析] 当 n＝1 时，左≥右，不等式成立， ∵n∈N*，∴第一步的验证为 n＝1 的情形．
＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2
(3)1×4＋2×7＋…＋(k＋1)[3(k＋1)＋1] ＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2；(k＋1)[3(k＋1)＋1]
[解析] 由数学归纳法的法则易知．
三、解答题
15．求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)． [证明] ①n＝1 时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．
②假设 n＝k 时，等式成立，即 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)2. 当 n＝k＋1 时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1) ＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所 以 n＝k＋1 时，等式也成立．
22－1 3
B.
1－an＋2 2．用数学归纳法证明 1＋a＋a2＋…＋an＋1＝ 1－a (n∈N*，a≠1)，在验证 n＝1 时，左边
所得的项为( )
A．1 B．1＋a＋ a2 C．1＋a D． 1＋a＋a2＋a3 [答
案] B
[解析] 因为当 n＝1 时，an＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故应选 B.
答案] C
[解析] 原命题正确，则逆否命题正确．故应选 C.
5．用数学归纳法证明命题“当 n 是正奇数时，xn＋yn能被 x＋y 整除”，在第二步的证明
时，正确的证法是( )
A. 假设 n＝k(k∈N*)，证明 n＝k＋1 时命题也成立 B. 假设 n＝k(k 是正奇数)，证明 n＝k＋1 时命题也成立 C. 假设 n＝k(k 是正奇数)，证明 n＝k＋2 时命题也成立 D.假设 n＝2k＋1(k∈N)，证明 n＝k＋1 时命题也成立 [
由①②得，等式对任何 n∈N*都成立．
11 16．求证：2＋3＋
1 4＋…＋
1 2n－1>
n－2 2(n≥2)．
[证明]
①当 n＝2 时，左＝
1 >20＝右，
∴不等式成立．
②假设当 n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立．