2017-2018学年江西省上饶市上饶县二中高一(上)第一次月考数学试卷

2017-2018学年江西省上饶市上饶县二中高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每题5分，共60分）1．（5分）下列表述正确的是（）A．∅={0}B．∅⊆{0}C．∅⊇{0}D．∅∈{0}2．（5分）若全集U={0，1，2，3}且∁U A={2}，则集合A的真子集共有（）A．3个 B．5个 C．7个 D．8个3．（5分）如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a取值范围是（）A．a≤﹣3 B．a≥﹣3 C．a≤5 D．a≥54．（5分）将二次函数y=5x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的解析式为（）A．y=5（x+2）2+3 B．y=5（x﹣2）2+3 C．y=5（x+2）2﹣3 D．y=5（x﹣2）2﹣3 5．（5分）函数f（x）=的定义域是（）A．[0，1） B．[0，+∞）C．[1，+∞）D．[0，1）∪（1，+∞）6．（5分）已知实数x，y分别满足：（x﹣3）3+2014（x﹣3）=1，（2y﹣3）3+2014（2y﹣3）=﹣1，则x2+4y2+4x的最小值是（）A．0 B．26 C．28 D．307．（5分）已知奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）=0，则不等式xf（x﹣1）＞0的解集是（）A．（﹣3，﹣1）B．（﹣3，1）∪（2，+∞） C．（﹣3，0）∪（3，+∞）D．（﹣1，0）∪（1，3）8．（5分）函数y=|x﹣1|的图象为（）A．B．C．D．9．（5分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列判断中错误的是（）A．图象的对称轴是直线x=1B．一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是﹣1、3C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜3时，y＜0．10．（5分）设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）11．（5分）已知函数f（x）=，若f（a2﹣4a）+f（﹣4）＞15，则a的取值范围是（）A．（﹣1，5）B．（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）C．（﹣∞，1）∪（3，+∞）D．（1，3）12．（5分）函数f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数，设f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下条件：（1）f（0）=0；（2）f（）=f（x）；（3）f（1﹣x）=1﹣f（x），则f（）+f（）=（）A．B．C．1 D．二、填空题（每空5分，共20分）13．（5分）已知集合A={3，m2}，B={﹣1，3，2m﹣1}，若A⊆B，则实数m的值为．14．（5分）函数是幂函数，且在x∈（0，+∞）上是减函数，则实数m=．15．（5分）符号[x]表示不超过x的最大整数，如[π]=3，[﹣1.08]=﹣2，定义函数h（x）=[x]﹣x，那么下列说法：①函数h（x）的定义域为R，值域为（﹣1，0]；②方程h（x）=﹣有无数解；③函数h（x）满足h（x+1）=h（x）恒成立；④函数h（x）是减函数．正确的序号是．16．（5分）设集合M={1，2，3，4，5，6}，S1，S2，…，S k都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的S i={a i，b i}，S j={a j，b j}（i≠j，i、j∈{1，2，3，…，k}），都有（min{x，y}表示两个数x，y中的较小者），则k的最大值是．三、解答题（70分=10+12*5）17．（10分）已知集合A={x|3≤x＜10}，集合B={x|2x﹣8≥0}．（1）求A∪B；（2）求∁R（A∩B）．18．（12分）若集合A={x|x2﹣2x﹣8＜0}，B={x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0}．（1）若m=3，全集U=R，试求A∩∁U B；（2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围；（3）若A∩B=B，求实数m的取值范围．19．（12分）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？20．（12分）已知f（x）为二次函数，且f（x+1）+f（x﹣1）=2x2﹣4x．（1）求f（x）的表达式；（2）判断函数g（x）=在（0，+∞）上的单调性，并证之．21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣2x+a+1．（1）若f（1﹣x）=f（1+x），求实数a的值；（2）当a＞0时，求f（x）在区间[0，2]上的最大值．22．（12分）已知幂函数f（x）=x k（∈Z）满足f（2）＜f（3）（1）求f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=1﹣qf（x）+（2q﹣1）x在区间[﹣1，2]上是减函数，求非负实数q的取值范围．2017-2018学年江西省上饶市上饶县二中高一（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．（5分）下列表述正确的是（）A．∅={0}B．∅⊆{0}C．∅⊇{0}D．∅∈{0}【分析】直接利用空集与非空集合的关系判断选项即可．【解答】解：因为空集是非空集合的子集，所以B正确．故选：B．【点评】本题考查集合之间的关系，空集的定义，是基本知识题目．2．（5分）若全集U={0，1，2，3}且∁U A={2}，则集合A的真子集共有（）A．3个 B．5个 C．7个 D．8个【分析】利用集合中含n个元素，其真子集的个数为2n﹣1个，求出集合的真子集的个数．【解答】解：∵U={0，1，2，3}且C U A={2}，∴A={0，1，3}∴集合A的真子集共有23﹣1=7故选：C．【点评】求一个集合的子集、真子集的个数可以利用公式：若一个集合含n个元素，其子集的个数为2n，真子集的个数为2n﹣1．3．（5分）如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a取值范围是（）A．a≤﹣3 B．a≥﹣3 C．a≤5 D．a≥5【分析】先用配方法将二次函数变形，求出其对称轴，再由“在（﹣∞，4]上是减函数”，知对称轴必须在区间的右侧，求解即可得到结果．【解答】解：∵f（x）=x2+2（a﹣1）x+2=（x+a﹣1）2+2﹣（a﹣1）2其对称轴为：x=1﹣a∵函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数∴1﹣a≥4∴a≤﹣3故选：A．【点评】本题主要考查二次函数的单调性，解题时要先明确二次函数的对称轴和开口方向，这是研究二次函数单调性和最值的关键．4．（5分）将二次函数y=5x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的解析式为（）A．y=5（x+2）2+3 B．y=5（x﹣2）2+3 C．y=5（x+2）2﹣3 D．y=5（x﹣2）2﹣3【分析】根据上加下减，左加右减即可得到函数的解析式．【解答】解：二次函数y=5x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的解析式为y=5（x﹣2）2﹣3，故选：D．【点评】本题考查了函数平移的法则，属于基础题．5．（5分）函数f（x）=的定义域是（）A．[0，1） B．[0，+∞）C．[1，+∞）D．[0，1）∪（1，+∞）【分析】由函数解析式可得被开方数非负，且分母不为0，由此求得函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，x需满足：可得x≥0 且x≠1，故函数的定义域为{x|x≥0且x≠1}，故选：D．【点评】本题考查函数定义域的求解，属基础题，要求：开偶次方根被开方数要大于等于零；分母不为零．注意定义域的表示形式．6．（5分）已知实数x，y分别满足：（x﹣3）3+2014（x﹣3）=1，（2y﹣3）3+2014（2y﹣3）=﹣1，则x2+4y2+4x的最小值是（）A．0 B．26 C．28 D．30【分析】由于（x﹣3）3+2014（x﹣3）=1，（2y﹣3）3+2014（2y﹣3）=﹣1，两式相加再利用乘法公式可得：（x+2y﹣6）[（x﹣3）2﹣（x﹣3）（2y﹣3）+（2y﹣3）2]+2014（x+2y﹣6）=0．由于（x﹣3）2﹣（x﹣3）（2y﹣3）+（2y﹣3）2≥0，可得x+2y﹣6=0，把2y=6﹣x代入z=x2+4y2+4x再利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：∵（x﹣3）3+2014（x﹣3）=1，（2y﹣3）3+2014（2y﹣3）=﹣1，两式相加可得：（x﹣3）3+（2y﹣3）3+2014（x﹣3）+2014（2y﹣3）=0，化为（x+2y﹣6）[（x﹣3）2﹣（x﹣3）（2y﹣3）+（2y﹣3）2]+2014（x+2y﹣6）=0，∴（x+2y﹣6）[（x﹣3）2﹣（x﹣3）（2y﹣3）+（2y﹣3）2+2014]=0，∵（x﹣3）2﹣（x﹣3）（2y﹣3）+（2y﹣3）2≥0，∴必有x+2y﹣6=0，把2y=6﹣x代入z=x2+4y2+4x得到z=x2+（6﹣x）2+4x=2x2﹣8x+36=2（x﹣2）2+28≥28，当且仅当x=2，y=2时取得最小值．故选：C．【点评】本题考查了乘法公式和二次函数的单调性，属于中档题．7．（5分）已知奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）=0，则不等式xf（x﹣1）＞0的解集是（）A．（﹣3，﹣1）B．（﹣3，1）∪（2，+∞） C．（﹣3，0）∪（3，+∞）D．（﹣1，0）∪（1，3）【分析】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合试题．求不等式xf（x﹣1）＞0的解集实质上求分段函数为或的x取值范围．又利用奇函数的性质得出f（﹣2）=0，从而得出和．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，且在（﹣∞，0）上单调递减∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；∵xf（x﹣1）＞0 可变形为（1）或（2）又∵函数f（x）为奇函数，且f（2）=0∴f（﹣2）=﹣f（2）=0；∴不等式组（1）的解为⇒1＜x＜3不等式组（2）的解为⇒﹣1＜x＜0∴不等式xf（x﹣1）＞0的解集是{x|﹣＜x＜0或1＜x＜3}故选：D．【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合试题，属于高考常考提醒．考生在解函数类型的题目时，尤其要注重函数性质的灵活应用．8．（5分）函数y=|x﹣1|的图象为（）A．B．C．D．【分析】由于x﹣1的符号不能确定，故应分x≥1与x＜1两种情况求出函数的解析式，取特殊点验证函数图象．【解答】解：当x≥1时，y=x﹣1，为递增的射线；当x＜1时，y=﹣x+1，为递减的射线；又f（1）=|1﹣1|=0，故函数的图象过（1，0）只有A符合，故选：A．【点评】本题考查的是一次函数的图象，在解答此题时要注意分类讨论．9．（5分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列判断中错误的是（）A．图象的对称轴是直线x=1B．一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是﹣1、3C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜3时，y＜0．【分析】利用二次函数的图象与性质，判断选项的正误即可．【解答】解：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，函数的图象的对称轴是x=1，正确；一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是﹣1、3正确；当x＞1时，y随x的增大而减小，正确；当﹣1＜x＜3时，y＜0，显然不正确；故选：D．【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，是基础题．10．（5分）设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）【分析】当a＞1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R时的a的范围；当a=1时，易得A=R，符合题意；当a＜1时，同样求出集合A，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围．综上，得到满足题意的a范围．【解答】解：当a＞1时，A=（﹣∞，1]∪[a，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤1，∴1＜a≤2；当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；当a＜1时，A=（﹣∞，a]∪[1，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤a，显然成立，∴a＜1；综上，a的取值范围是（﹣∞，2]．故选：B．【点评】此题考查了并集及其运算，二次不等式，以及不等式恒成立的条件，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．11．（5分）已知函数f（x）=，若f（a2﹣4a）+f（﹣4）＞15，则a的取值范围是（）A．（﹣1，5）B．（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）C．（﹣∞，1）∪（3，+∞）D．（1，3）【分析】求得f（﹣4）=﹣22，从而可得f（a2﹣4a）＞37，分析可得a2﹣4a＞0，f（a2﹣4a）＞37，由函数的单调性可得a2﹣4a＞5，从而求得．【解答】解：f（﹣4）=﹣16﹣8+2=﹣22，∵f（a2﹣4a）+f（﹣4）＞15，∴f（a2﹣4a）＞37，当x＜0时，f（x）=﹣x2+2x+2=﹣（x﹣1）2+3≤3；故a2﹣4a＞0，f（a2﹣4a）＞37，又∵f（x）在[0，+∞）上是增函数，而f（5）=37，故可化为a2﹣4a＞5，解得，a＞5或a＜﹣1；故选：B．【点评】本题考查了分段函数的性质应用及分类讨论的思想方法应用，属于中档题．12．（5分）函数f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数，设f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下条件：（1）f（0）=0；（2）f（）=f（x）；（3）f（1﹣x）=1﹣f（x），则f（）+f（）=（）A．B．C．1 D．【分析】由条件（1）（3）分别令x=1，x=，可得f（1）=1，f（）=，结合条件（2）可得f（），f（）==f（）结合由f（x）在[0，1]上为非减函数，可得：f（）=．【解答】解：∵f（0）=0，f（1﹣x）=1﹣f（x），令x=1，则f（0）=1﹣f（1），解得f（1）=1，令x=，则f（）=1﹣f（），解得：f（）=又∵f（）=f（x），∴f（）=f（1）=，f（）=f（）=，f（）=f（）=，又由f（x）在[0，1]上为非减函数，故f（）=，故f（）+f（）=，故选：A．【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，以及对新定义的理解，同时考查了计算能力和转化的思想，属于中档题．二、填空题（每空5分，共20分）13．（5分）已知集合A={3，m2}，B={﹣1，3，2m﹣1}，若A⊆B，则实数m的值为1．【分析】根据题意，若A⊆B，必有m2=2m﹣1，而m2=﹣1，不合题意，舍去，解可得答案，注意最后进行集合元素互异性的验证．【解答】解：若A⊆B，必有m2=2m﹣1，m2=﹣1（舍去），解可得m=1，验证可得符合集合元素的互异性，故答案为1．【点评】本题考查元素的互异性即集合间的关系，注意解题时要验证互异性．14．（5分）函数是幂函数，且在x∈（0，+∞）上是减函数，则实数m=2．【分析】根据幂函数的定义，令幂的系数为1，列出方程求出m的值，将m的值代入f（x），判断出f（x）的单调性，选出符和题意的m的值．【解答】解：是幂函数∴m2﹣m﹣1=1解得m=2或m=﹣1当m=2时，f（x）=x﹣3在x∈（0，+∞）上是减函数，满足题意．当m=﹣1时，f（x）=x0在x∈（0，+∞）上不是减函数，不满足题意．故答案为：2．【点评】解决幂函数有关的问题，常利用幂函数的定义：形如y=xα（α为常数）的为幂函数；幂函数的单调性与指数符号的关系．是基础题．15．（5分）符号[x]表示不超过x的最大整数，如[π]=3，[﹣1.08]=﹣2，定义函数h（x）=[x]﹣x，那么下列说法：①函数h（x）的定义域为R，值域为（﹣1，0]；②方程h（x）=﹣有无数解；③函数h（x）满足h（x+1）=h（x）恒成立；④函数h（x）是减函数．正确的序号是①②③．【分析】根据取整函数的定义，可得函数h（x）=[x]﹣x的最小正周期为1，在区间（k，k+1）（k∈Z）上是减函数，且函数的值域为（﹣1，0]．由此与各个选项加以比较，即可得到本题的答案．【解答】解：对于①，根据[x]的定义，得当x为整数时，[x]=x，从而h（x）=[x]﹣x=0，此时h（x）得最大值；当x的小数部分不为0时，x﹣1＜[x]＜x，故h（x）=[x]﹣x∈（﹣1，0）．综上所述，得h（x）的定义域为R，值域为（﹣1，0]．故①正确．对于②，当x=k+（k∈Z）时，[x]=k，从而h（x）=[x]﹣x=﹣因此，方程h（x）=﹣的解有无数个，故②正确；对于③，因为一个数增加1个单位后，它的小数部分不变，而整数部分增加1，因此[x+1]=x+1，从而得到h（x+1）=[x+1]﹣（x+1）=[x]﹣x∴h（x）满足h（x+1）=h（x）恒成立，得③正确；对于④，函数h（x）=[x]﹣x在区间（k，k+1）（k∈Z）上是减函数但是由于函数h（x）是分段函数，图象不连续，所以函数h（x）不是R上的减函数，故④不正确．故答案为：①②③【点评】本题以取整函数为例，要我们判断关于函数h（x）=[x]﹣x性质的几个命题的真假，着重考查了函数的单调性、周期性和函数的定义域、值域等知识，属于中档题．16．（5分）设集合M={1，2，3，4，5，6}，S1，S2，…，S k都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的S i={a i，b i}，S j={a j，b j}（i≠j，i、j∈{1，2，3，…，k}），都有（min{x，y}表示两个数x，y中的较小者），则k的最大值是11．【分析】含2个元素的子集有15个，但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一个；{1，3}、{2，6}只能取一个；{2，3}、{4，6}只能取一个，由此能求出满足条件的两个元素的集合的个数．【解答】解：含2个元素的子集有15个，但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一个；{1，3}、{2，6}只能取一个；{2，3}、{4，6}只能取一个，故满足条件的两个元素的集合有11个．故答案为：11．【点评】本题考查元素与集合的关系的判断，解题时要认真审题，仔细解答．三、解答题（70分=10+12*5）17．（10分）已知集合A={x|3≤x＜10}，集合B={x|2x﹣8≥0}．（1）求A∪B；（2）求∁R（A∩B）．【分析】（1）求解一次不等式化简集合B，然后直接进行并集运算；（2）首先进行交集运算，然后进行补集运算．【解答】解：（1）由A={x|3≤x＜10}，B={x|2x﹣8≥0}={x|x≥4}．∴A∪B={x|3≤x＜10}∪{x|x≥4}={x|x≥3}．（2）A∩B={x|3≤x＜10}∩{x|x≥4}={x|4≤x＜10}．∴∁R（A∩B）={x|x＜4或x≥10}【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，属于基础题．18．（12分）若集合A={x|x2﹣2x﹣8＜0}，B={x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0}．（1）若m=3，全集U=R，试求A∩∁U B；（2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围；（3）若A∩B=B，求实数m的取值范围．【分析】化简集合A，集合B，（1）根据集合的基本运算即可求A∩∁U B；（2）根据A∩B=∅，建立条件关系即可求实数m的取值范围．（3）根据A∩B=B，建立条件关系即可求实数n的取值范围．【解答】解：由题意集合A={x|x2﹣2x﹣8＜0}={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0}={x|m﹣2≤x≤m+2}．（1）若m=3，则B={x|1≤x≤5}，全集U=R，∴∁U B={x|x＜1或x＞5}，∴A∩（∁U B）={x|﹣2＜x＜1}．（2）若A∩B=∅，则需满足m+2≤﹣2，或m﹣2≥4，解得：m≤﹣4，或m≥6，故得实数m的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[6，+∞）．（3）若A∩B=B，则B⊆A，∴，解得：0＜m＜2．故得实数m的取值范围是（0，2）．【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．19．（12分）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？【分析】（1）由题意月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y=x2﹣200x+45000，两边同时除以x，然后利用基本不等式从而求出最值；（2）设该单位每月获利为S，则S=200x﹣y，把y值代入进行化简，然后运用配方法进行求解【解答】解：（1）由题意可知，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为，∴二氧化碳每吨的平均处理成本为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）当且仅当x=，即x=300时等号成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）故该单位月处理量为300吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为100元．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）该单位每月能获利．设该单位每月获利为S元，则S=200x﹣y=﹣x2+400x﹣45000=﹣（x﹣400）2+35 000，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）因为x∈[300，600]，所以S∈[15 000，35 000]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）故该单位每月获利，最大利润为35000元．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】此题是一道实际应用题，考查了函数的最值和基本不等式，及运用配方法求函数的最值．20．（12分）已知f（x）为二次函数，且f（x+1）+f（x﹣1）=2x2﹣4x．（1）求f（x）的表达式；（2）判断函数g（x）=在（0，+∞）上的单调性，并证之．【分析】（1）设出二次函数，利用已知条件，利用待定系数法，转化求解即可．（2）利用函数的单调性的等于直接证明即可．【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由条件得：a（x+1）2+b（x+1）+c+a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=2x2﹣4x，从而，解得：，所以f（x）=x2﹣2x﹣1；（2）函数g（x）=在（0，+∞）上单调递增．理由如下：g（x）==x﹣，设设任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则g（x1）﹣g（x2）=﹣（）=（x1﹣x2）（1+），∵x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1+＞0，∴g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），所以函数g（x）=在（0，+∞）上单调递增．【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，考查函数的解析式的求法，单调性证明的应用，考查计算能力．21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣2x+a+1．（1）若f（1﹣x）=f（1+x），求实数a的值；（2）当a＞0时，求f（x）在区间[0，2]上的最大值．【分析】（1）利用函数的对称轴，列出方程即可．（2）分类讨论求f（x）在区间[0，2]上的最大值．【解答】解：（1）函数f（x）=ax2﹣2x+a+1．f（1﹣x）=f（1+x），函数的对称轴为x=1=，解得a=1．．（3）当a＞1时，f（x）在区间[0，2]上的最大值为f（2）=5a﹣3；当≥1，即a∈（0，1]时，f（x）在区间[0，2]上的最大值为f（0）=a+1．【点评】本题考查函数的性质，考查函数最大值的求法，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．22．（12分）已知幂函数f（x）=x k（∈Z）满足f（2）＜f（3）（1）求f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=1﹣qf（x）+（2q﹣1）x在区间[﹣1，2]上是减函数，求非负实数q的取值范围．【分析】（1）结合幂函数的性质得到不等式，解出k的值，从而求出函数f（x）的表达式；（2）先表示出函数g（x）的表达式，结合函数的单调性通过讨论q的范围，从而得到答案．【解答】解：（1）依题意可知，﹣k2+k+2＞0，解得：﹣1＜k＜2，又k∈Z，所以k=0或1，则﹣k2+k+1=2，所以：f（x）=x2．（2）g（x）=﹣qx2+（2q﹣1）x+1，（q≥0），当q=0时，g（x）=﹣x+1在[﹣1，2]单调递减成立；当q＞0时，g（x）=﹣qx2+（2q﹣1）x+1开口向下，对称轴右侧单调递减，所以≤﹣1，解得0＜q≤；综上所述，0≤q≤．【点评】本题考查了函数解析式的求法，考查函数的单调性问题，是一道基础题．。