数字信号处理第3篇(1、2)
数字信号处理
数字信号处理数字信号处理（Digital Signal Processing，简称DSP）是指对连续信号进行采样、量化和编码，然后进行数字计算和处理的过程。
在现代通信、音频处理、图像处理、雷达、医学影像等领域，数字信号处理已经成为一项非常重要的技术。
一、概述数字信号处理的基本思想是将连续信号转换为离散信号，然后通过计算机等设备对离散信号进行数字处理。
这样的处理具有更强的灵活性和便利性，可以实现很多传统模拟信号处理无法达到的功能。
数字信号处理将信号分为频域和时域两种处理方式，通过傅里叶变换和快速傅里叶变换等方法，可以实现信号的频谱分析、信号滤波和信号重构等操作。
二、原理与方法数字信号处理的核心是使用数字滤波器对信号进行处理。
常见的数字滤波器包括有限脉冲响应（FIR）滤波器和无限脉冲响应（IIR）滤波器。
FIR滤波器具有线性相位和稳定性等优点，广泛应用于数字通信和音频处理领域；而IIR滤波器具有更快的计算速度，适用于实时处理等场景。
此外，数字信号处理还常用到的方法包括时频分析、小波变换、自适应滤波等。
时频分析可以同时观察信号的频率和随时间变化的特性，常用于语音识别、音乐分析等领域；小波变换可以对信号进行多分辨率分析，适用于信号压缩和图像处理等任务；自适应滤波可以根据信号的特性自动调整滤波器参数，常用于降噪和回声消除等应用。
三、应用领域数字信号处理在通信领域有着广泛的应用。
通过数字信号处理，我们可以实现数字调制、解调、信道均衡等操作，提高信号传输的可靠性和效率。
此外，数字信号处理在音频处理方面也有很多应用，如音频编码、音频增强和音频合成等。
在图像处理领域，数字信号处理可以实现图像滤波、图像增强和图像压缩等功能。
另外，数字信号处理在医学影像、雷达信号处理等领域也发挥着重要的作用。
四、发展趋势随着计算机技术和网络技术的发展，数字信号处理将继续迎来更广阔的发展空间。
在人工智能、物联网等领域，数字信号处理的技术也将得到应用和拓展。
《《数字信号处理》》
《《数字信号处理》》一、数字信号处理的基础知识1. 数字信号处理的概念数字信号由一系列离散的数值组成，数字信号处理就是对这些数值进行采样、量化、编码等操作，使其成为计算机能够处理的数字信号。
具体来说，数字信号处理是对数字信号进行数学分析、滤波、变换和算法处理等操作的一种技术手段。
2. 数字信号处理的方法数字信号处理采用数字技术对信号进行处理，包括采样、量化、编码、滤波、变换和算法等。
数字技术的优势在于其能够快速、精确、稳定地处理信号，并且可在计算机、数字信号处理器等平台上进行。
3. 数字信号处理的流程数字信号处理的流程包括采样、量化、编码、滤波、变换和算法等过程。
其中，采样是将连续的信号转换为离散的信号；量化是将连续的模拟信号转换为离散的数字信号；编码是将数字信号转换为二进制信号；滤波是对数字信号进行低通、高通、带通滤波等处理；变换是对数字信号进行时域变换、频域变换等处理；算法是通过各种算法对数字信号进行加、减、乘、除、求最大值、最小值等计算操作。
二、数字信号处理的应用领域1. 通信领域数字信号处理在通信领域起着重要的作用。
通信领域中的数字信号处理包括数字调制、信道编码、信道估计、信道均衡、信号检测和解调等方面。
数字信号处理技术可以提高通信信号的质量和可靠性，并且可以提高通信系统的效率和容量。
2. 图像处理领域数字信号处理在图像处理领域也有广泛的应用。
图像处理领域中的数字信号处理包括图像压缩、图像增强、图像分割、图像恢复和图像识别等方面。
数字信号处理技术可以提高图像的清晰度、减少噪声干扰，并且可以实现图像的压缩和传输。
3. 音频处理领域数字信号处理在音频处理领域中也有重要的应用。
音频处理领域中的数字信号处理包括音频降噪、音频增强、音频编解码、音频合成和音频识别等方面。
数字信号处理技术可以提高音频的质量和清晰度，并且可以实现音频的压缩和传输。
4. 控制系统领域数字信号处理在控制系统领域中也有广泛的应用。
数字信号处理-原理与实践(方勇)习题答案(1-2)
第一章1-1 有一个连续信号)2cos()(ψπ+=ft t x a ，式中Hz f 20=，2πψ=，（１） 求出)(t x a 的周期；（２） 用采样间隔s T 02.0=对)(t x a 进行采样，写出采样信号)(ˆt xa 的表达式； （３） 画出对应)(ˆt xa 的时域离散信号（序列）)(n x 的波形，并求出)(n x 的周期。
解：（1）)(t x a 的周期是s fT a 05.01==（2）∑∞-∞=-+=n a nT t fnT t x)()2cos()(ˆδψπ∑∞-∞=-+=n nT t nT )()40cos(δψπ（3）)(n x 的数字频率为πω8.0=，252=ωπ周期5=N 。
)28.0cos()(ππ+=n n x ，画出其波形如题1-1图所示。
题1-1图 1-2 设)sin()(t t x a π=，()()sin()a s s x n x nT nT π==，其中s T 为采样周期。
（1）)(t x a 信号的模拟频率Ω为多少？ （2）Ω和ω的关系是什么？（3）当s T s 5.0=时，)(n x 的数字频率ω为多少？ 解：（1）)(t x a 的模拟频率s rad /π=Ω。
（2）Ω和ω的关系是：s T ⋅Ω=ω。
（3）当s T s 5.0=时，rad πω5.0=。
1-3 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。
（1）)873cos()(ππ-=n A n x ，A 为常数；（2）)81()(π-=n j e n x 。
解： （1）πω73=，3142=ωπ，这是有理数，因此是周期序列，周期是14=T ； （2）81=ω，πωπ162=，这是无理数，因此是非周期序列。
1-4 研究一个线性时不变系统，其单位脉冲响应为指数序列)()(n u a n h n =，10<<a 。
对于矩阵输入序列，1,01()0N n N R n ≤≤-⎧=⎨⎩,其他 求出输出序列，并用MA TLAB 计算，比较其结果。
数字信号处理实验三
数字信号处理实验三数字信号处理实验三是针对数字信号处理课程的一项实践性任务。
本实验旨在通过实际操作，加深对数字信号处理理论的理解，并培养学生的实验能力和问题解决能力。
在本实验中，我们将学习和实践以下内容：1. 实验目的本实验的目的是通过使用MATLAB软件进行数字信号处理，加深对数字信号处理基本概念和算法的理解，掌握数字信号的采样、量化、滤波等基本操作。
2. 实验器材在本实验中，我们将使用以下器材：- 个人计算机- MATLAB软件3. 实验步骤本实验的具体步骤如下：步骤一：信号生成首先，我们需要生成一个模拟信号，可以是正弦信号、方波信号或其他类型的信号。
在MATLAB中，我们可以使用相关函数生成这些信号。
生成信号的目的是为了后续的数字信号处理操作提供输入。
步骤二：信号采样在本步骤中，我们将对生成的模拟信号进行采样。
采样是指在一定的时间间隔内对信号进行离散化处理，得到离散时间上的信号序列。
在MATLAB中，我们可以使用采样函数对信号进行采样。
步骤三：信号量化在本步骤中，我们将对采样后的信号进行量化。
量化是指将连续的信号离散化为一组离散的幅值。
在MATLAB中，我们可以使用量化函数对信号进行量化。
步骤四：信号滤波在本步骤中，我们将对量化后的信号进行滤波。
滤波是指通过一系列滤波器对信号进行处理，以去除不需要的频率成分或噪声。
在MATLAB中，我们可以使用滤波函数对信号进行滤波。
步骤五：信号重构在本步骤中，我们将对滤波后的信号进行重构。
重构是指将离散化的信号恢复为连续的信号。
在MATLAB中，我们可以使用重构函数对信号进行重构。
步骤六：信号分析在本步骤中，我们将对重构后的信号进行分析。
分析是指对信号的频谱、功率等特性进行分析，以了解信号的特点和性能。
在MATLAB中，我们可以使用分析函数对信号进行分析。
4. 实验结果在完成以上步骤后，我们可以得到经过数字信号处理的结果。
这些结果可以是经过采样、量化、滤波和重构后的信号波形，也可以是信号的频谱、功率等特性。
数字信号处理(第三版)第1章习题答案
n
0
s(n) am am am am 1
m
mn
mn
m0
1 an 1
1
1 a1 1 a
1 an 1 an a 1 1 a 1 a
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
（2） n>0 时,
s(n)
0
am am
1
m
m0
1 a
最后得到
s(n) 1 [anu(n) u(n 1)] 1 a
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
1.1.1
（1） 信号： 模拟信号、 时域离散信号、 数字信号三 者之间的区别； 常用的时域离散信号； 如何判断信号是周期 性的， 其周期如何计算等。
（2） 系统： 什么是系统的线性、 时不变性以及因果 性、 稳定性； 线性、 时不变系统输入和输出之 间的关系； 求解线性卷积的图解法（列表法）、 解析法， 以及用MATLAB工具箱函数求解； 线性常系数差分方程的递
题1图
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
解：
x(n)=δ(n+4)+2δ(n+2)－δ(n+1)+2δ(n)+δ(n－1)
+2δ(n－2)+4δ(n－3)+0.5δ(n－4)+2δ(n－6)
2． 给定信号：
2n+5
－4≤n≤－1
(x(n)= 6 0
0≤n≤4 其它
(1) 画出x(n)序列的波形， 标上各序列值；
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
解线性卷积也可用Z变换法， 以及离散傅里叶变换求解， 这是后面几章的内容。 下面通过例题说明。
设x(n)=R4(n), h(n)=R4(n)， 求y(n)=x(n)*h(n) 该题是两个短序列的线性卷积， 可以用图解法（列表法） 或者解析法求解。 表1.2.1给出了图解法（列表法）， 用公 式可表示为
数字信号处理(方勇)第三章习题答案
3－1 画出)5.01)(25.01()264.524.14)(379.02()(211211------+--+--=z zz zzzz H 级联型网络结构。
解：243－2 画出112112(23)(465)()(17)(18)z z zH z z zz--------+=--+级联型网络结构。
解：()x n ()y n 243－3 已知某三阶数字滤波器的系统函数为1211252333()111(1)(1)322zzH z z zz-----++=-++，试画出其并联型网络结构。
解：将系统函数()H z 表达为实系数一阶，二阶子系统之和，即：()H z 11122111111322z zzz----+=+-++由上式可以画出并联型结构如题3-3图所示：)题3-3图3－4 已知一FIR 滤波器的系统函数为121()(10.70.5)(12)H z z z z ---=-++，画出该FIR滤波器的线性相位结构。
解： 因为121123()(10.70.5)(12)1 1.30.9H z z z z z z z ------=-++=+-+，所以由第二类线性相位结构画出该滤波器的线性相位结构，如题3-4图所示：()x n 1-1-1z -题3-4图3－5 已知一个FIR 系统的转移函数为：12345()1 1.25 2.75 2.75 1.23H z zzzzz-----=+--++求用级联形式实现的结构流图并用MATLAB 画出其零点分布及其频率响应曲线。
解： 由转移函数可知，6=N ，且)(n h 偶对称，故为线性相位系统，共有5个零点，为5阶系统，因而必存在一个一阶系统，即1±=z 为系统的零点。
而最高阶5-z 的系数为+1，所以1-=z 为其零点。
)(z H 中包含11-+z 项。
所以：11()()(1)H z H z z -=+。
1()H z 为一四阶子系统，设12341()1H z bz cz bz z ----=++++，代入等式，两边相等求得12341()10.2530.25H z z z z z ----=+-++，得出系统全部零点，如图3-5（b ）所示。
数字信号处理答案 唐向宏
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“数字信号处理”课程 习题答案
第一章 1-3：(1) 非周期 (2)周期 N=10 (3)周期 N=2 1-11：N4=N0+N2 N5=N1+N3 1-13：(1)能恢复原始信号 (2)不能 (3)能 1-14：(1) T=0.02s (2)fs=100
h((-m))7 -1 1 1 -1 -1 -1 -1
0
h((1-m))7 -1 -1 1 1 -1 -1 -1
4
h((2-m))7 -1 -1 -1 1 1 -1 -1
-2
h((3-m))7 -1 -1 -1 -1 1 1 -1
-10
h((4-m))7 -1 -1 -1 -1 -1 1 1
-10
h((5-m))7 1 -1 -1 -1 -1 -1 1
(2) (3) (4)
10. 已知两个有限长序列：x(n)={1, 2, 3, 4, 0, 0, 0}0，h(n)={-1, -1, -1, -1, -1, 1, 1}0。
求x(n)⑦h(n)。 m 01
数字信号处理
数字信号处理数字信号处理（Digital Signal Processing，简称DSP）是一种利用数字计算方法对模拟信号进行处理的技术。
随着计算机和数字技术的发展，数字信号处理在通信、音视频处理、生物医学领域等方面得到了广泛应用。
本文将介绍数字信号处理的基本概念、应用领域以及一些常见的算法和方法。
一、数字信号处理的基本概念数字信号处理是一种通过对信号进行数字化来进行处理的技术。
它涉及到信号的采样、量化和编码等过程。
具体而言，数字信号处理包括以下几个基本概念：1. 信号采样：将模拟信号在时间上进行离散采样，以一定的采样频率将连续时间的信号转换成离散时间的信号。
2. 信号量化：将采样得到的离散信号的幅度进行离散量化，将连续幅度的信号转换成离散幅度的信号。
3. 信号编码：将量化后的信号进行编码，以便于存储、传输和处理。
4. 信号重构：将编码后的信号重新恢复成连续时间的信号，以便于后续的处理和分析。
数字信号处理通过对离散信号的处理，可以对信号进行滤波、变换、压缩、解调等操作，从而实现对信号的分析和处理。
二、数字信号处理的应用领域数字信号处理在各个领域都有广泛的应用，其中包括但不限于以下几个方面：1. 通信领域：在通信系统中，数字信号处理可以用于调制解调、信道编码解码、信号增强和降噪等方面。
通过数字信号处理的技术手段，可以提高通信系统的抗干扰能力和传输效率。
2. 音频领域：数字信号处理在音频处理中具有重要的应用。
例如，可以通过数字信号处理技术对音频信号进行降噪、均衡、混响等处理，以改善音质和音效。
3. 视频领域：数字信号处理在视频编码解码、图像增强、视频压缩等方面有广泛应用。
通过数字信号处理的算法和方法，可以实现对视频信号的压缩和优化，以提高视频传输和存储的效率。
4. 生物医学领域：数字信号处理在生物医学领域中被广泛应用于生理信号的检测和分析。
例如，可以对心电图、脑电图等信号进行数字信号处理，以实现对疾病的诊断和监测。
数字信号处理1-2
50
1
ˆ x a ( t ) x a ( n T ) ( t n T )
n
sin ( n ) ( t ) n 2 8 200
1
n
19
x (n ) xa (t )
2 2 1 / 2
t nT
sin ( n ) 2 8
0
冲激函数： T ( t )
m
(t m T )
理想抽样输出：
ˆ xa (t ) xa (t ) T (t )
m
x a ( m T ) ( t m T )
ˆ 求 理 想 抽 样 的 频 谱 X a ( j )
13
X a ( j ) D T F T [ x a ( t )]
2
例 2
经典解法
y(n) 3 y(n 1) 2 y(n 2) 2 u (n)
n
描述某线性时不变离散系统的差分方程为：
试求：当初始状态为 y(-1)=0, y(-2)= ½时，求全响应。
解：(1)求齐次解，特征根为： 1 1, 2 2
yh (n) C1 (1) C2 (2)
于状态变量分析法。 有关，即系统具有记忆功能。 y(n-2), y(n-N) n阶后向差分方程
y (n k ) an 1 y (n k 1) a1 y (n 1) a0 y (n) bm x(n m) bm 1 x(n m 1) b1 x(n 1) b0 x(n)
2 3
6 1
1 2
n
解得：
1 3
数字信号处理1-2
第一种定义
第二种定义
第三种定义
本书将主要采用第二种定义的付氏变换对。
2.序列的运算
移位 翻褶 和 积 累加 差分 时间尺度变换 卷积和
1）移位
序列x(n)，当m>0时 x(n-m)：延时/右移m位 x(n+m)：超前/左移m位
2）翻褶
x(-n)是以n=0的纵轴为 对称轴将序列x(n) 加以翻褶
（6）时移特性
若f (t ) F (),
若F () F () e
j ( )
则f (t t0 ) F ()e
j t 0
;
则f (t t0 ) F () e
j ( ) t0
幅度频谱无变化，只影响相位频谱，
右 相移t0 左 t0 t0
★意义
若F (t )形状与F ()相同， t
则F (t )的频谱函数形状与 f t 形状相同，t , 幅度差2
（2）线性性质
若f1 (t ) F1 () , f 2 (t ) F2 () 则c1 f1 (t ) c2 f 2 (t ) c1F1 () c2 F2 () c1 , c2为常数
后向差分：
x ( n ) x ( n ) x ( n 1)
x ( n ) x ( n 1)
x ( n ) x ( n 1)
7）时间尺度变换
抽取
x(m n)
t nT t m nT
x ( n ) x a (t )
x ( m n ) x a (t )
插值
x(
n m
)
8)卷积
数字信号处理基础pptDSP第3章
(5) 循环右移到h((n−m))LRL(m)，与x(m)相乘相加得 yc(n)
例3-6 x(n)= {1, 2, 3}，0 n 2；h(n)= {1, 2, 2, 1}，0n3。
翻褶 翻褶循环右移1位
§3.2.2 有限长复序列共轭的DFT
DFT[ x*( N n)]N X *(k)， 0 k N 1
DFT[ x*(n)]N X *( N k)， 0 k N 1
证明：
X*(N
k)
N 1
x(n)W
n0
(N N
k
)n
*
N 1
x(n)W
n0
N
kn
n 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
y(n4) 1 4 9 11 8 3
y(n)
1 4 9 11 8 3
yc1(n)
9 7 9 11
3. 循环卷积定理 x(n)长度M，h(n)长度N，L max(M, N) yc(n) = x(n) L h(n)，Yc(k) = X(k)H(k) DFT[x1(n)x2(n)]L = X1(k) L X2(k)/L 0nL1，0kL1
N 4,
X (k)4
1 e j2k 1 e jk 2
4， 0，
k0 1k 3
4 (k),
0 k 3
N 8,
X (k)8
1 e jk 1 e jk 4
，
0
k
7
N 16,
X (k )16
1 e jk 1 e jk
数字信号处理第3章(1、2)
求最佳权矢量可以用(3.2.12)式，通过对Rxx求逆得到，也可以 通过上式，令 ∇ j = 0 ，而求出：
2π 2π W = [ w1 w2 ] = 2 cot ,−2 csc N N
* T
T
第三章 自适应数字滤波器 用(3.2.13)式求最小均方误差：
2π 2 cot N 2π 2 2 T * E[e j ] min = E[d j ] − RdxW = 2 − 0 − sin =0 2π N − 2 csc N
E［ej2］在自适应信号处理中是一个重要的函数，经常称它
为性能函数。为选择权系数，使性能函数到达它的最小点， 一 些有用的自适应方法都是基于梯度法的，我们用 ∇ j 表示E［ej2］ 的梯度向量，它是用E［ej2］对每个权系数求微分而形成的一个 列向量， 用公式表示如下：
第三章 自适应数字滤波器
∂E[e ] ∂E[e ] ∂E[e ∇j = , ,L, ∂w2 ∂wN ∂w1
T (1)是对称矩阵，即 Rxx = Rxx ;
(2) 是正定或半正定的，因为对于任意矢量V满足下式：
V RxxV = E[V XX V ] = E[( X V ) ] ≥ 0
T T T T 2
自相关矩阵的主对角线是输入信号的均方值， 交叉项是输入信 号的自相关值。
第三章 自适应数字滤波器 (3.2.8)式表明，当输入信号和期望信号是平稳随机信号时， 均方误差信号 E ［e2j ］是权系数的二次函数，即将(3.2.8)式展 开时，公式中的权系数均以它的一次幂或二次幂出现。如果只 有一个权系数w1,则E［e2j］是w1的口向上的抛物线；如果有两个 权系数w1w2,则E［ej2］是它们的口向上的抛物面；对于两个权系 数以上的情况，则属于超抛物面性质。
数字信号处理第3节
y(n) x(n) * h(n)
则
Y (e j ) X (e j ) • H (e j )
证:
y(n) x(m) h(n m) m
Y (e j ) DTFT {y(n)} [ x(m) h(n m)] e jn n m
令k=n-m，则
Y (e j )
h(k ) x(m)e jk e jm
X (e j ) x(n)e jnd n
1 [x(n' ) (1)n' x(n' )]e jn' /2
2 n'
ej = -1
1 [x(n) (1)n x(n)]e jn/2
2 n
1 [ x(n)e jn/ 2 e jn x(n)e jn/ 2 ]
2 n
n
1
[X
(e
j / 2 )
f (n) x((n L)) N RN (n)
乘RN(n) 完成取主周期: 0≤n≤N-1
x((n)) N 表示序列 x(n)以N为周期的拓展
x((n)) N x(n qN ) q
圆周(或循环)移位的过程如下图所示。
0
N 1
0
N 1
0
N 1
0
N 1
x(n)
n
x((n)) N x(n qN )
上述例子说明DTFT 通常是不能进行数值计算的！有必要研究切实 可行的数值计算方法来解决上述问题，如离散傅立叶变换（DFT）。
3.3 离散傅立叶变换( DFT )
1.定义:
离散傅立叶变换DFT（Discrete Fourier Transform)要解决的问题:
DFS：周期离散序列 DFS 离散、周期 DFT：从DFS的时域和频域中各抽出一个周期，便可得到时域有限长离
数字信号处理第三版_第一章
第1章 时域离散信号和时域离散系统
1.3.2 时不变系统
如果系统对输入信号的运算关系 T[·] 在整个运算过程 中不随时间变化，则这种系统称为时不变系统。 即：对于任意的延迟n0，系统对x(n-n0)的响应是y(n-n0)。 用公式表示为： 若： 则： y(n) =T[x(n)] y(n-n0) =T[x(n-n0)] (1.3.5)
(2) 2π/ ω0不是整数，是一个有理数时，设2π/ ω0 =P/Q，式中P、Q 是互为素数的整数，取k=Q，那么N=P，则正弦序列是以 P为周期的周期
序列。
例如，sin(4/5)πn， ω0 =(4/5)π，2π/ ω0 =5/2，k=2，该正弦序列是以 5为周期的周期序列。
(3) 2π/ ω0是无理数，任何整数k都不能使N为正整数，因此，此时的
式中n0为任意整数。
第1章 时域离散信号和时域离散系统
[例1.3.2] 检查 y(n) = ax(n)+b 代表的系统是否是时不变系统，
上式中a和b是常数。
解： y (ny(n) = a x (n)+b ) x(n) sin( 0 n ) y(n-n0) = ax(n- n0)+b 4 y(n- n0) = T［x(n- n0)］ y因此该系统是时不变系统。 (n n0 ) x(n n0 ) sin( 0 (n n0 ) ) T [ x(n n0 )] 4
[例1.3.3] 检查y(n)=nx(n)所代表的系统是否是时不变系统。
解： y(n) = nx(n) 而： y(n-n0)=(n- n0)x(n- n0)
数字信号处理(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】西安电子(高西全丁美玉第三版)数字信号处理课后答案1.2 教材第一章习题解答1. 用单位脉冲序列及其加权和表示题1图所示的序列。
解：2. 给定信号：（1）画出序列的波形，标上各序列的值；（2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示序列；（3）令，试画出波形；（4）令，试画出波形；（5）令，试画出波形。
解：（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。
（2）（3）的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。
（4）的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。
（5）画时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，波形如题2解图（四）所示。
3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。
（1），A是常数；（2）。
解：（1），这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14；（2），这是无理数，因此是非周期序列。
5. 设系统分别用下面的差分方程描述，与分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。
（1）；（3），为整常数；（5）；（7）。
解：（1）令：输入为，输出为故该系统是时不变系统。
故该系统是线性系统。
（3）这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证明。
令输入为，输出为，因为故延时器是一个时不变系统。
又因为故延时器是线性系统。
（5）令：输入为，输出为，因为故系统是时不变系统。
又因为因此系统是非线性系统。
（7）令：输入为，输出为，因为故该系统是时变系统。
又因为故系统是线性系统。
6. 给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。
（1）；（3）；（5）。
解：（1）只要，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。
如果，则，因此系统是稳定系统。
（3）如果，，因此系统是稳定的。
系统是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关.（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。
数字信号处理3.1～2
2 T0 2 N
, 频谱重复周期为 s
2 T
N 0
频谱用数字频率表示如下（ T )： , 频谱重复周期为 s 2
14
k是频谱的频率序号，在 一个重复周期内，共 个值。 N
回顾：傅立叶变换的几种可能形式
一、傅立叶变换：连续时间、连续频率 二、傅立叶级数：周期性连续时间、离散频率
j 2 N
X (k )WN nk
其中：e
WN
注意：离散傅里叶变换（DFT）只对有 限长序列作周期延拓或周期序列成立。
2013-5-6 16
x(n)是有限长序列以N为周期延拓的周期序列。 时域采样间隔为T , 序列重复周期为T0 , T0 NT。 N是一个周期内序列的个数。 X (k )是x(n)的傅立叶变换离散后的频谱。 频谱间隔为 0 频谱间隔为0
时域周期化→频域离散化
三、序列的傅立叶变换：离散时间、连续频率
时域离散化→频域周期化
四、离散傅立叶变换（DFT） ：离散时间、离散频率 时域和频域都是离散的、周期的。
2013-5-6
15
非严格意义下的DFT变换公式：
X (k )
N 1 n 0 nk x(n)WN
x ( n)
1 N
N 1 n 0
x(nT )e jnT
X (e jT )e jnT d
2 N
1 s / 2 s s / 2
11
代入 k0和0T
2 N
得：
2 N 1 jnk N X ( k ) x ( n )e n 0 2 N 1 x(n) 1 X (k )e jnk N N n 0
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第三章 自适应数字滤波器
3.2 自适应横向滤波器
自适应滤波器的原理框图如图3.2.1所示，图中x(n)称为输 入信号，y(n)是输出信号，d(n)称为期望信号，或者称为参考信
号、训练信号，e(n)是误差信号。 其中
e(n)=d(n)-y(n)
自适应滤波器H(z)的系数根据误差信号，通过一定的自适应算 法，不断地进行改变， 使输出y(n)最接近期望信号d(n)。 这 里暂时假定d(n)是可以利用的，实际中，d(n)要根据具体情况
不同的信号源到达的瞬时输入，是一个多输入系统， 也可以是
同一个信号源的N个序贯样本，如图 3.2.3 所示。因此它是一
个单输入系统， 实际上这种单输入系统就是一个FIR网络结构，
或者说是一个自适应横向滤波器。其输出y(n)用滤波器的单位脉
冲相应表示成下式：
N1
y(n) w(m)x(nm)
m0
(3.2.1)
进行选取， 能够选到一个合适的信号作为期望信号，是设计
自适应滤波器的一项有创意的工作。如果真正的d(n)可以获得，
我们将不需要做任何自适应滤波器。
第三章 自适应数字滤波器
x(n) H(z)
e(n)
y(n)
－
＋
d(n)
图 3.2.1 自适应滤波器原理图
第三章 自适应数字滤波器 3.2.1 自适应线性组合器和自适应FIR
数以上的情况，则属于超抛物面性质。
E［ej2］在自适应信号处理中是一个重要的函数，经常称它
第三章 自适应数字滤波器
第三章 自适应数字滤波器
3.1 引言 3.2 自适应横向滤波自适应滤波的应用
第三章 自适应数字滤波器
3.1 引 言
自适应数字滤波器和维纳滤波器一样，都是符合某种准则 的最佳滤波器。维纳滤波器的参数是固定的，适用于平稳随机 信号的最佳滤波，但要设计这种滤波器，必须要求输入信号是 平稳的，且具有信号和噪声统计分布规律的先验知识。在实际 中， 常常无法知道这些先验知识，且统计特性还会变化，因 此实现最佳滤波是困难的。
误差信号被用来作为权系数的控制信号。下面采用均方误
差最小的准则，求最佳权系数。由(3.2.4)式，均方误差为
E[e2 j]E[d (jyj)2]
E[d2 j]2E[d (jXT j]WW TE[XjXT j]W(3.2.5)
令
R d xE [ d jX j] E [ d jX T j] W W T E [X jX T j] W (3.2.6)
1. 自适应滤波器的矩阵表示式
图 3.2.2 表示的是一个有N个权系数的自适应线性组合器，
图中N个权系数w1,w2,…,wN受误差信号ej的自适应控制。对于固 定的权系数，输出yj是输入信号x1j,x2j,…,xNj的线性组合，因 此称它为线性组合器。这里的x1j,x2j,…,xNj可以理解为是从N个
Rdx称为dj与Xj的互相关矩阵，是一个N维列矩阵；Rxx是输入信
号的自相关矩阵，
(1)是对称矩阵，即 RxTx Rxx ;
(2) 是正定或半正定的，因为对于任意矢量V满足下式：
V T R x V x E [ V T X T V ] X E [X ( T V ) 2 ] 0
自相关矩阵的主对角线是输入信号的均方值， 交叉项是输入信 号的自相关值。
第三章 自适应数字滤波器
自适应滤波器的特点是：滤波器的参数可以自动地按照某 种准则调整到最佳滤波；实现时不需要任何关于信号和噪声的 先验统计知识，尤其当输入统计特性变化时，自适应滤波器都 能调整自身的参数来满足最佳滤波的需要。 常常将这种输入统 计特性未知，调整自身的参数到最佳的过程称为“学习过程”。 将输入信号统计特性变化时，调整自身的参数到最佳的过程称 为“跟踪过程”，因此自适应滤波器具有学习和跟踪的性能。 由于自适应滤波器有这些特点，自1967年威德诺(B.Widrow)等 人提出自适应滤波器以来，在短短十几年中，自适应滤波器发 展很快，已广泛地用于系统模型识别，通信信道的自适应均衡， 雷达与声纳的波束形成，减少或消除心电图中的周期干扰，噪 声中信号的检测、跟踪、 增强和线性预测等。
第三章 自适应数字滤波器
…
x1j
w1
x2j
w2
xNj wN
yj
－
＋
ej
dj
N1
y(n)w(m)x(nm) m0
图 3.2.2 自适应线性组合器
第三章 自适应数字滤波器
x(n)
z－ 1
x(n－1)
z－ 1
x(n－2)
…
w1
w2
w3
wN－ 1
y(n)
z－ 1
x(n－N)
wN e(n)
d(n)
＋ －
图 3.2.3 自适应FIR滤波器
第三章 自适应数字滤波器 (3.2.8)式表明，当输入信号和期望信号是平稳随机信号时，
均方误差信号E［e2j］是权系数的二次函数，即将(3.2.8)式展
开时，公式中的权系数均以它的一次幂或二次幂出现。如果只
有一个权系数w1,则E［e2j］是w1的口向上的抛物线；如果有两个 权系数w1w2,则E［ej2］是它们的口向上的抛物面；对于两个权系
式：
yj XT jWWTXj
(3.2.3)
式中
W [ w 1 ,w 2 , ,w N ] T ,X j [ x 1 j ,x 2 j , ,x N ] T j
误差信号表示为
e j d j y j d j X T jW d j W T X j (3.2.4)
第三章 自适应数字滤波器 2. 利用均方误差最小准则求最佳权系数和最小均方误差
x1jx1j
x1j x2j
x1j
xNj
Rxx
E[Xj
XTj ]Ex1j
x1j
x1j x2j
x1j
xNj
xNjx1j
xNjx2j
xNjxNj
(3.2.7)
第三章 自适应数字滤波器
将(3.2.6)、 (3.2.7)式代入(3.2.5)式， 得到
E [e2 j]E [d2 j] 2 R d T W x W T R xW x (3.2.8)
第三章 自适应数字滤波器
这里w(n)称为滤波器单位脉冲响应，令：i=m+1,wi=w(i-1),
xi=x(n-i+1)，n用j表示，上式可以写成
N
y j wi xij
(3.2.2)
这里wi也称为滤波器加权系数i。1 用上面公式表示其输出，适合于
自适应线性组合器，也适合于FIR滤波器。将上式表示成矩阵形