电场描述——亥姆霍兹方程推导

《电动力学》公式推导荟萃

1. 电磁场能量守恒定律的推导

应用麦克斯韦方程组

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨

⎧∂∂+

=⨯∇=⋅∇∂∂-=⨯∇=⋅∇t D

J H B t

B

E D 0

ρ

和洛仑兹力公式B v E f ⨯+=ρρ及v J

ρ=，结合公式

E H H E H E ⋅⨯∇-⋅⨯∇=⨯⋅∇)()()(

可给出电磁场对电荷系统所做的功率密度为

E v v B v E v f ⋅=⋅⨯+=⋅ρρρ)(

E

t D H E J

⋅∂∂-⨯∇=⋅=)( E

t D E H

⋅∂∂-⋅⨯∇=)( []

E

t D H E H E

⋅∂∂-⋅⨯∇+⨯⋅∇-=)()( E

t D H t B H E

⋅∂∂-⋅∂∂-⨯⋅-∇=)(

令

H E S

⨯=

H t B E t D t w

⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂

对应的积分形式为

注释:

对于各向同性线性介质，H B E D με==,，由H t B E t D t w

⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂给出

能量密度为

)

(21B H D E w ⋅+⋅=

而H E S

⨯=为能流密度矢量，或称为坡印亭（Poynting ）矢量。

************************************************

练习：将积分形式的麦克斯韦方程组分别应用于介质分界面两侧，试由两个高斯

定理导出法向边值关系、两个安培定理导出切向边值关系。

2. 静电势ϕ满足泊松方程的推导

对于各向同性线性介质，将

E D ε=，ϕ-∇=E

代入f D ρ=⋅∇ 得

f E E E ρϕεϕεεεε=∇-∇⋅-∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇2)(

即

ρϕεε

ϕf -=∇⋅∇+

∇1

2

对于均匀介质, 有0=∇ε

麦克斯韦方程组推导亥姆霍兹方程

麦克斯韦方程组是电磁学中的基本方程，它描述了电场和磁场的相互作用。在电磁波方程的推导过程中，亥姆霍兹方程是一个重要的中间步骤。在本文中，我们将推导麦克斯韦方程组，然后展示如何通过亥姆霍兹方程推导出电磁波方程。

一、麦克斯韦方程组的推导

1.高斯定理

第一个麦克斯韦方程是高斯定理，它描述了电场和电荷密度的关系。根据高斯定理，一个封闭曲面上的电通量等于该曲面内的电荷总量的四倍πε0 (其中ε0是真空介电常数)。

∮ E·ds = 4πε0 Q

这个方程表明了电场的源是带电粒子。如果一个闭合曲面内没有电荷，电场通量将为零。

2.法拉第电磁感应定律

第二个麦克斯韦方程是法拉第电磁感应定律，它描述了磁场和电场的相互作用。根据法拉第电磁感应定律，磁通量变化速率与产生感应电动势的电场强度成正比。

ε = -dΦm/dt

这个方程表明了磁场的变化会产生电场。电场和磁场是紧密相连的。

3.安培环路定理和位移电流定律

第三个和第四个麦克斯韦方程分别是安培环路定理和位移电流定律。安培环路定理描述了磁场和电流的相互作用，而位移电流定律描述了电场和时间变化的磁场之间的关系。

根据安培环路定理，通过一个封闭回路的磁通量之和等于该回路内的电流总和。

∮ B·ds = μ0 I

其中μ0是真空磁导率。

根据位移电流定律，电场的旋转率等于时间变化的磁场的散度的负值。

rot E = - dB/dt

二、亥姆霍兹方程的推导

亥姆霍兹方程是电磁波方程的一个重要的中间步骤。它可以通过麦克斯韦方程和一些向量运算得到。

我们首先从安培环路定律开始:

亥姆霍兹波动方程

亥姆霍兹波动方程（Helmholtz wave equation）是描述二维或

三维空间中波动现象的偏微分方程。其一般形式如下：

∇^2ψ + k^2ψ = 0

其中，∇^2是拉普拉斯算子，ψ是波函数，k是波数。

亥姆霍兹波动方程可以用于描述许多自然现象，如声波、光波、电磁波等。解的形式通常是指数函数或定态振动模式。

亥姆霍兹方程极坐标形式推导

亥姆霍兹方程在物理学和工程学中有广泛应用，其极坐标形式对于解决圆柱对称问题尤为重要。

在极坐标系(r,θ,z)中，亥姆霍兹方程可表示为：

∇2A+k2A=0

其中，∇2 是拉普拉斯算子，A 是待求函数，k 是波数。

利用极坐标下拉普拉斯算子的表达式：

∇2=r1∂r∂(r∂r∂)+r21∂θ2∂2+∂z2∂2

代入亥姆霍兹方程，得到极坐标形式：

r1∂r∂(r∂r∂A)+r21∂θ2∂2A+∂z2∂2A+k2A=0

此即为亥姆霍兹方程在极坐标系下的表达式。

《电动力学》公式推导荟萃

1. 电磁场能量守恒定律的推导

应用麦克斯韦方程组

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨

⎧∂∂+

=⨯∇=⋅∇∂∂-=⨯∇=⋅∇t D

J H B t

B

E D 0

ρ

和洛仑兹力公式B v E f ⨯+=ρρ及v J

ρ=，结合公式

E H H E H E ⋅⨯∇-⋅⨯∇=⨯⋅∇)()()(

可给出电磁场对电荷系统所做的功率密度为

E v v B v E v f ⋅=⋅⨯+=⋅ρρρ)(

E

t

D H

E J

⋅∂∂-⨯∇=⋅=)( E

t D E H ⋅∂∂-⋅⨯∇=)( []

E

t D H E H E

⋅∂∂-⋅⨯∇+⨯⋅∇-=)()( E

t D H t B H E

⋅∂∂-⋅∂∂-⨯⋅-∇=)(

令

H E S

⨯=

H t B E t D t w ⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂

对应的积分形式为

注释:

对于各向同性线性介质，H B E D με==,，由H t B E t D t w

⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂给出

能量密度为

)

(21B H D E w ⋅+⋅=

而H E S

⨯=为能流密度矢量，或称为坡印亭（Poynting ）矢量。

************************************************

练习：将积分形式的麦克斯韦方程组分别应用于介质分界面两侧，试由两个高斯

定理导出法向边值关系、两个安培定理导出切向边值关系。

2. 静电势ϕ满足泊松方程的推导

对于各向同性线性介质，将

E D ε=，ϕ-∇=E

代入f D ρ=⋅∇ 得

f E E E ρϕεϕεεεε=∇-∇⋅-∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇2)(

即

ε

ρϕεε

ϕf -=∇⋅∇+

∇1

2

对于均匀介质, 有0=∇ε

亥姆霍兹方程

C
cos
,
cos
A( cos
,
cos
,)
最后得到两个平行平面之间角谱传播的规律为
A(cos , cos , z) A(cos , cos ,) exp jkz cos cos
20
两平行平面间角谱传播规律的意义
19 0 6
在由已知平面上的光场分布U (x, y,) , 得到其角谱 A(cos , cos ,)
d
dz
A(cos , cos
, z) k cos cos
A(cos , cos
, z)
该二阶常微分方程的一个基本解是
A(cos , cos , z) C cos , cos exp jkz cos cos
z 平面上的角谱为 A(cos , cos ,)因而有
H
fx, fy
A( f x , f y ) A ( f x , f y )
exp jkz
f x f y
进而可以表示为
H
fx, fy
exp
jkz
1 λfx 2
λf y
2
0
f
2 x
f
2 y
1 λ2
其他
因而，可以把光波的传播现象看作一个空间滤波器。它具有有限的带宽（见下图）。在频率平面上的半径为的圆形区域内，传递函数的模为1，对各频率分量的振幅没有影响

齐次亥姆霍兹方程

齐次矢量亥姆霍兹方程可以从麦克斯韦方程组推导出来。在波导条件下，即从麦克斯韦方程组出发，在无源空间，电磁波的亥姆霍兹方程可以表示为：∇²E+k²E=0和∇²H+k²H=0，其中E 和H分别代表电场强度和磁场强度，k是波数。在直角坐标系中，电磁场复矢量的各分量满足标量齐次亥姆霍兹方程。

基尔霍夫亥姆霍兹方程

基尔霍夫亥姆霍兹方程通常被简称为亥姆霍兹方程。

其基本形式为：∇2A+k2A=0，其中A是振幅，k是波数，∇2是拉普拉斯算子。该方程描述了波动方程的解，其中波数k和空间变量x、y、z有关。

此外，亥姆霍兹方程还可以表达为其他的数学形式，例如在考虑波动方程的情况下，可以用分离常数法将方程分离为两个独立的方程，其中一个是波动方程，另一个是亥姆霍兹方程。

在物理学中，亥姆霍兹方程通常用于描述电磁波、声波等波动现象。其中，基尔霍夫公式是亥姆霍兹方程的一个特例，用于计算电路中电流和电压之间的关系。

总之，基尔霍夫亥姆霍兹方程是一个重要的数学模型，用于描述波动现象和电路中电流电压之间的关系。

波动方程和亥姆霍兹方程

霍兹方程表示电磁场与电流的关系，是电磁学的基础方程。波动方程和亥姆霍兹方程有以下几点区别：
描述的物理现象不同：波动方程用于描述系统的波动现象，而亥姆霍兹方程用于描述磁场中电磁波的传播。
应用领域不同：波动方程通常应用于物理学、化学和工程学等领域，而亥姆霍兹方程则主要应用于电磁学。
公式不同：波动方程的公式因系统的性质wk.baidu.com异，而亥姆霍兹方程是电磁学的基础方程，公式固定。
波动方程是物理学中的一种常见方程，用于描述系统的波动现象。波动方程的形式因系统的性质而异，常见的波动方程包括波动方程的波动方程、规范的波动方程、二维波动方程、贝尔方程等。
亥姆霍兹方程是物理学中的一种常见方程，用于描述磁场中电磁波的传播。
亥姆霍兹方程由亥姆霍兹在 1865 年提出，是物理学中最重要的方程之一。亥姆
应用的数学方法不同：波动方程通常使用数学方法如微积分、线性代数等，而亥姆霍兹方程则使用电磁学的数学方法。
研究对象不同：波动方程研究的是系统的波动现象，而亥姆霍兹方程研究的是磁场中电磁波的传播。
波动方程和亥姆霍兹方程在科学研究和工程应用中都有重要意义。波动方程可用于研究物理现象如振动、波动、声音、热力学等，在工程应用中也有广泛的应用。亥姆霍兹方程是电磁学的基础方程，用于研究电磁场的特性和电磁波的传播，在工程应用中也有广泛的应用。

亥姆霍兹方程推导

06
总结与展望
对亥姆霍兹方程推导的总结
亥姆霍兹方程的物理意义
亥姆霍兹方程是描述波动现象的基本方程之一，在电磁学、声学等领域有广泛应用。通过推导亥姆霍兹方程，可以深入理解波动现象的本质和规律。
推导过程的关键步骤
在推导亥姆霍兹方程的过程中，关键步骤包括建立波动方程的普遍形式、引入适当的边界条件和初始条件、以及通过数学变换将波动方程转化为亥姆霍兹方程。这些步骤的合理性和严密性对于保证推导结果的正确性至关重要。
亥姆霍兹方程在声学、电磁学、地震学等领域具有广泛的应用价值。通过推导该方程，可以为这些领域的实际应用提供理论支持，促进相关技术的发展和进步。
02
亥姆霍兹方程的基本概念和性质
亥姆霍兹算子的定义
亥姆霍兹算子
在数学和物理中，亥姆霍兹算子是一个二阶偏微分算子，通常表示为Δ。在三维笛卡尔坐标系中，它表示为∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z²。
亥姆霍兹方程推导
目录
• 引言 • 亥姆霍兹方程的基本概念和性质 • 亥姆霍兹方程的推导过程 • 亥姆霍兹方程在物理学中的应用 • 数值方法求解亥姆霍兹方程 • 总结与展望
01
引言
亥姆霍兹方程的背景和意义
波动现象的描述
亥姆霍兹方程是描述波动现象的基本方程之一，广泛应用于声学、电磁学、地震学等领域。通过求解该方程，可以得到波动场中各点的振幅、相位等信息，进而揭示波动现象的本质和规律。

亥姆霍兹方程十一种正交坐标系下的展开形式和部分解

1. 引言

1.1 引言

亥姆霍兹方程是描述波动现象的重要方程之一，广泛应用于物理学、工程学和数学领域。正交坐标系是一种常用的坐标系，其特点是坐标轴相互垂直且长度可变。在研究亥姆霍兹方程在十一种正交坐标系下的展开形式和部分解之前，我们首先需要了解亥姆霍兹方程的基本概念和正交坐标系的特点。

亥姆霍兹方程是一个二阶偏微分方程，通常用于描述波的传播和振动问题。在物理学中，亥姆霍兹方程可以用来描述声波、光波等波动现象。在工程学和数学领域，亥姆霍兹方程也有广泛的应用，如在电磁场、热传导等问题中。

正交坐标系是一种常用的坐标系，其特点是坐标轴相互垂直且长度可变。在正交坐标系中，任意一个矢量都可以分解成坐标轴上的分量，从而简化了问题的分析和求解过程。十一种正交坐标系分别是直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等，每种坐标系都有其特定的展开形式和求解方法。

通过研究亥姆霍兹方程在十一种正交坐标系下的展开形式和部分解，可以更深入地理解波动现象和振动问题在不同坐标系下的特性。这也为解决实际工程和科学问题提供了重要的理论基础。在接下来的

正文中，我们将具体探讨亥姆霍兹方程在各种正交坐标系下的展开形式和部分解，以及对应的数学推导和物理意义。

2. 正文

2.1 亥姆霍兹方程简介

亥姆霍兹方程是描述波动现象和传播现象中的一个重要方程，广泛应用于物理学、工程学和数学等领域。它是一个偏微分方程，通常用来描述波动方程、热传导方程和扩散方程等。其一般形式可以表示为：

\[

\Delta u + k^2 u = 0

电磁波波动方程——亥姆霍兹方程

2Biblioteka Baidu
(4)
⃗ 满足的椭圆形偏微分方程结合(2)及(4)，我们可以一个E ⃗ − µ0 ϵ0 ∇2 E ⃗ ∂E = 0. ∂t2 (5)
⃗ 满足的方程又可以写为注意到ϵ0 µ0 = 1/c2 ，c为光速，E ⃗− ∇2 E ⃗ 1 ∂E = 0. c2 ∂t2 (6)
2
介质情况
⃗ = ϵ0 E ⃗ +P ⃗ ，其中P ⃗ 为电极化强在介质中电位移矢量与电场强度满足关系D ⃗ = µ0 H ⃗ 依然成立。此时(2)从度矢量。同时我们假设介质的磁化不明显，B 新写为 ( ) ) ∂ ( ⃗ ⃗ ∇× ∇×E =− ∇×B ∂t ) ∂ ( ⃗ ∇×H = −µ0 ∂t (7) ⃗ ∂ 2D = −µ0 2 ∂t ⃗ ⃗ ∂ 2E ∂2P = −ϵ0 µ0 2 − µ0 2 . ∂t ∂t ⃗ 满足的微分方程为结合(6)及(4) 我们得到介质中E ⃗ − µ0 ϵ0 ∇2 E 或者写为 ⃗− ∇2 E ⃗ ⃗ ∂2P 1 ∂E = µ . 0 c2 ∂t2 ∂t2 (9) ⃗ ⃗ ∂E ∂ 2P = µ . 0 ∂t2 ∂t2 (8)
1
真空情况
⃗ = ϵ0 E ⃗ ,B ⃗ = µ0 H ⃗ 。取(1a)式的旋度，同时考在真空情况下，我们有D 虑(1b)式， ( ) 2⃗ ⃗ =−∂ ∇×B ⃗ = −µ0 ϵ0 ∂ E . ∇× ∇×E (2) ∂t ∂t2 利用相关的矢量分析知识 ( ) ( ) ⃗ ⃗ =∇ ∇·E ⃗ − ∇2 E, (3) ∇× ∇×E ⃗ = 0, (3)简化为考虑限制条件∇ · E ( ) ⃗ ⃗ = −∇2 E. ∇× ∇×E 1

亥姆霍兹方程

亥姆霍兹方程（Helmholtz equation）是一条描述电磁波的椭圆偏微分方程，以德国物理学家亥姆霍亥姆霍兹兹的名字命名。亥姆霍兹方程通常出现在涉及同时存在空间和时间依赖的偏微分方程的物理问题的研究中。因为它和波动方程的关系，亥姆霍兹方程出现在物理学中电磁辐射、地震学和声学研究这样的领域里的问题中。如：电磁场中的▽^2 E+k^2 E=0，▽^2 H+k^2 H=0，称为亥姆霍兹齐次方程，是在谐变场的情况下，E波和H波的波动方程。其中：k^2=μω^2(ε-jσ/ω) 为波数，当忽略位移电流时，k^2=μεω^2；以上^2为平方。相关书籍数学上具有(墷2+k2)ψ =f形式的双曲型偏微分方程。式中墷2为拉普拉斯算子，在直角坐标系中为；ψ为待求函数;k2为常数；f为源函数。当f等于零时称为齐次亥姆霍兹方程;f不等于零时称为非齐次亥姆霍兹方程。在电磁学中，当函数随时间作简谐变动时,波动方程化为亥姆霍兹方程。亥姆霍兹方程相关书籍亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程相关书籍相关书籍

大波数亥姆霍兹方程

大波数亥姆霍兹方程是电磁学领域的重要方程之一，它描述了电磁场在高频条件下的行为。本文将详细介绍大波数亥姆霍兹方程的定义、物理意义以及其在电磁学中的应用。

首先，我们来看一下大波数亥姆霍兹方程的定义。在均匀媒质中，电磁场的传播可以用亥姆霍兹方程描述。对于电场E和磁场H，大波数亥姆霍兹方程可以写作：

∇²E + k²E = 0

∇²H + k²H = 0

其中，∇²表示拉普拉斯算子，k为波数，其定义为k = ω/c，其中ω为角频率，c为光速。

大波数亥姆霍兹方程的物理意义非常重要。它描述了电磁场在高频条件下的传播行为，可以应用于光学、电磁波导、天线设计等多个领域。通过求解大波数亥姆霍兹方程，我们可以得到电磁场的分布情况，从而研究电磁波的传播特性。

在光学领域中，大波数亥姆霍兹方程的求解可以帮助我们理解光在不同介质中的传播规律。根据大波数亥姆霍兹方程的解，我们可以得到电场和磁场的分布情况，进而计算出光的传播速度、传播方向等重要参数。这对于设计光学器件、光纤通信等应用具有重要意义。

另外，在电磁波导和天线设计方面，大波数亥姆霍兹方程也发挥着关键作用。通过求解大波数亥姆霍兹方程，可以得到电磁波在波导结构中的传播模式，从而优化波导结构的设计。同时，在天线设计中，大波数亥姆霍兹方程可以帮助我们理解天线的辐射特性，进而提高天线的辐射效率和指向性。

总结起来，大波数亥姆霍兹方程是描述电磁场在高频条件下传播行为的重要方程。它的物理意义涉及光学、电磁波导和天线设计等多个领域。通过求解大波数亥姆霍兹方程，我们可以研究电磁波的传播特性，优化器件设计，并推动相关领域的发展。

吉布斯亥姆霍兹方程的推导过程

吉布斯亥姆霍兹方程是由美国数学家詹姆斯吉布斯亥姆霍兹于1771年提出的一个关于数学分析和微分方程的重要定理，它定义了曲线的切线，并可以用来推导曲线上点的泰勒展开式。它可以被解释为连续点将曲线上的点连接起来，形成一个分析几何形状（如三角形，椭圆形等）的关键定理。

吉布斯-亥姆霍兹方程的形式如下：

$$f(x) = frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

其中，f(x)为一个分量的梯度，f(x + h) - f(x)表示一段距离h之间的差值，h为曲线两点之间的距离，也是根据吉布斯-亥姆霍兹定理判断曲线的切线是否水平的参数。

在本文中，我们将介绍吉布斯-亥姆霍兹方程的推导过程。们首先来看一下吉布斯-亥姆霍兹方程的一个直观解释，首先，它表明当一条曲线经过两点（即f (x)和f (x + h)）时，此曲线的切线的方向量只取决于此曲线的两个偏导数之差，而不受其他因素的影响。

另外，吉布斯-亥姆霍兹方程还可以用来推导曲线上点的泰勒展开式，而泰勒展开式经常用来表示曲线的近似形状，即曲线原本极其精细的形状，通过泰勒展开式可以用较少的项目进行近似表示。

现在我们来证明一下吉布斯-亥姆霍兹方程，首先，我们假设有一条曲线，它有以下函数表示：

$$f(x) = x^2 $$

此曲线的斜率可以表示为：

$$f(x) = frac{d}{dx} (x^2) = 2x $$

而根据吉布斯-亥姆霍兹方程，我们可以求得此曲线在两点间的

斜率为：

$$f(x) = frac{f(x+h) - f(x)}{h} = frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h$$

吉布斯亥姆霍兹方程的详细推导

Gibbs-Helmholtz方程是描述热力学系统的重要方程，它可以

用来描述物质在热力学过程中的能量变化。它的推导步骤如下：

（1）首先，我们考虑一个热力学系统，其中包含N种物质，

每种物质的体系中有n_i个分子，且每种物质的分子数不变。（2）根据热力学第一定律，热力学系统的总能量E为：

E = U + PV

其中U为系统的内能，P为系统的压强，V为系统的体积。

（3）根据热力学第二定律，热力学系统的总能量变化量dE

为：

dE = TdS - PdV

其中T为系统的温度，S为系统的熵，P为系统的压强，V为

系统的体积。

（4）将上式两边乘以n_i，得到：

n_i dE = n_i TdS - n_i PdV

（5）将上式积分，得到：

∫n_i dE = ∫n_i TdS - ∫n_i PdV

（6）根据物质守恒定律，可得：

∫n_i dE = 0

（7）将（5）式和（6）式带入，得到：

∫n_i TdS - ∫n_i PdV = 0

（8）将上式两边除以∫n_i dV，得到：

TdS - PdV = 0

（9）将上式积分，得到Gibbs-Helmholtz方程：∫TdS - ∫PdV = 0