30.3由不共线三点的坐标确定二次函数
冀教版数学九年级下册《30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数》教学设计2
冀教版数学九年级下册《30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数》教学设计2一. 教材分析冀教版数学九年级下册《30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数》这一节主要让学生学会如何利用不共线三点的坐标来确定一个二次函数。
通过这一节的学习，使学生能更好地理解和掌握二次函数的基本性质和图象特征。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经掌握了二次函数的基本形式，即y=ax^2+bx+c，并且已经学会了如何求解二次方程。
但是，对于如何利用三点的坐标来确定二次函数，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实践操作，逐步理解和掌握这一知识点。
三. 教学目标1.让学生掌握利用不共线三点的坐标来确定二次函数的方法。
2.培养学生的动手操作能力和数学思维能力。
3.提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：如何利用不共线三点的坐标来确定二次函数。
2.难点：如何理解和掌握二次函数的图象特征，以及如何将实际问题转化为二次函数问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法，引导学生通过实践操作，自主探究，从而掌握利用不共线三点的坐标来确定二次函数的方法。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实例。
2.准备教学PPT和教学素材。
3.准备计算机和投影仪等教学设备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入二次函数的概念，激发学生的学习兴趣。
示例：某商店进行打折促销，原价为100元，打折后价格为80元，求打折的折扣。
2.呈现（10分钟）呈现三个不共线的点A(1,1)、B(2,4)、C(3,5)，引导学生思考如何利用这三个点来确定一个二次函数。
3.操练（10分钟）学生分组进行讨论，每组选择一个点作为抛物线的顶点，另两个点作为抛物线上的点，尝试利用这三个点来确定一个二次函数。
4.巩固（10分钟）学生汇报各自的结果，教师进行点评，引导学生总结确定二次函数的方法。
5.拓展（10分钟）学生自主探究，尝试解决更复杂的问题，如给定四个点的坐标，如何确定一个二次函数。
最新冀教版九年级数学下册30.3由不共线三点的坐标确定二次函数公开课优质教案
＋ ) 2＋。对称轴是 x＝
，顶点坐标
是
，其中 h ＝
，k=
，所
以，我们把 _____________叫做二次函数地顶点式。
3、已知 A（2，1）、 B（0，-4 ），求经过 A、 式为
把
、
代入得
解得 k=
， b=
所以表达式
为
。
我们把这种方法叫做待定系数法
（ 3）、需要代入几个点地坐标？ （ 4）、用一般式求二次函数地表达式地一般步 骤是什么？ 自我检查与组内互查 根据下列条件求二次函数解析式 1、已知一个二次函数地图象经过了点 A（0，－ 1）， B（ 1，0）， C（－ 1，2）； 2、已知二次函数地图象经过 (0 ，0) ，(1 ， 2) ， (-1 ，-4) 三点； 3、已知二次函数图象与 x 轴交点（ 2，0）(-1 ， 0) 与 y 轴交点是（ 0，-1 ）； 4、已知二次函数 y＝ ax2＋bx＋ c 地图象过 A(0， － 5) ，B(5 ，0) 两点，它地对称轴为直线 x＝ 2。 反思：（ 1）在第四小题中给出对称轴能得到什 么 ?（2）你能进一步总结出待定系数法确定表达式 地一般步骤吗？（共分 4 步） 自主学习
刘荣格
( 二) 在知识运用部分采用猜想、比较、 方法选择等方法引导学生探究问题，从而大大地提 高学生分析问题、解决问题地能力。内容及问题串 如下：
二、不足之处： 1、少数学生地学习热情还有待于进一步调动。 2、个别学生地计算能力不强， 需要在日常教学中 进一步加强。 3、问题地梯度应该再降低一些， 使学生地参与面 更大一些，为学习地进一步学习打好基础。
例 2 已知二次函数地图象经过原点， 且当 x＝ 1 时， y 有最小值－ 1， 求这个二次函数地解析式。 友情提示：条件“当 x=1 时， y 有最小值 -1 ”
冀教版九年级数学下册教学设计：30.3由不共线三点的坐标确定二次函数
冀教版九年级数学下册教学设计：30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数一. 教材分析冀教版九年级数学下册30.3节主要讲述如何由不共线三点的坐标确定二次函数。
通过本节课的学习，学生能够掌握利用三个不共线点的坐标来确定一个二次函数的方法，并能够运用这一方法解决实际问题。
本节课的内容是九年级数学的重要知识点，也是中考的热点，对于学生来说具有一定的难度。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的一般形式和性质，也有一定的函数图像绘制和分析能力。
但是，对于如何利用三个不共线点的坐标来确定二次函数，学生可能还比较陌生，需要通过实例来引导学生理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解二次函数的三个基本要素，掌握利用三个不共线点的坐标来确定二次函数的方法。
2.过程与方法目标：通过实例分析，培养学生分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：利用三个不共线点的坐标确定二次函数的方法。
2.难点：如何引导学生理解和掌握这一方法，并能够运用到实际问题中。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题，引导学生思考；通过分析案例，让学生理解并掌握方法；通过小组合作学习，培养学生的团队合作精神。
六. 教学准备1.准备三个不共线点的坐标实例。
2.准备二次函数图像绘制软件。
3.准备小组合作学习任务单。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式复习二次函数的一般形式和性质，引导学生思考如何由三个不共线点的坐标确定二次函数。
2.呈现（10分钟）呈现三个不共线点的坐标实例，让学生尝试确定二次函数。
在学生尝试的过程中，引导学生关注二次函数的三个基本要素：开口方向、对称轴和顶点坐标。
3.操练（10分钟）让学生利用二次函数图像绘制软件，根据给定的三个不共线点的坐标，绘制出二次函数的图像。
在绘制的过程中，让学生观察和分析二次函数的性质。
由不共线三点的坐标确定二次函数-九年级数学下册课件(冀教版)
∴点P 的坐标为(1，3)．
知识点 2 用顶点式确定二次函数表达式
二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 可化成：y＝a (x-h)2＋k ， 顶点是(h， k ).如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另
一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式.
例2 已知抛物线的顶点坐标为(4，-1)，与y 轴交于点(0，3)
(1)求二次函数的表达式；
(2)设二次函数的图象与x 轴的另一 个交点为D，求点D 的坐标；
(3)在同一坐标系中画出直线 y＝x＋ 1，并写出当x 在什么范围内时，一次函数的值大于
二次函数的值．
解：(1)∵二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图象过A(2，0)，
4a＋2b＋c＝0，
B (0，－1)和C (4，5)三点，∴ c＝－1，
得：
－ －
10 ＋2b＋c＝1， 3 5 －b＋c＝2， 6
解得
bc＝＝11230，.
∴二次函数的表达式为 y＝－5 x 2＋1 x＋10；
6 23
解：(2)如图，设OP 与BD 交于点Q.
∵直线OP 把△BOD 的周长分
成相等的两部分，
且OB＝OD，
∴DQ＝BQ，即点Q 为BD 的中点，
∴点Q
的坐标为
1 2
,
3 2
.
设直线OP 对应的函数表达式为 y＝kx，
将点Q 的坐标代入，得 1 k＝3 ，
22
解得k＝3，
∴直线OP 对应的函数表达式为y＝3x，
代入 y＝－ 5 x 2＋ 1 x＋10 ，
6
23
得－
5 6
x
2＋
1 2
x＋10＝3x，
3
解得x＝1或x＝－4(舍去)．
由不共线三点的坐标确定二次函数
2.你对本节课有什么疑惑？
教师引导学生谈谈自己所学到的知识与方法和自己的疑惑.
梳理学习的内容、方法,形成知识体系,养成系统整理知识的习惯.
五、布置作业,巩固提升
1.必做：教材第40页习题A组第1,2题.
2.选做：教材第40页习题B组第1,2题.
(2)求抛物线y＝a(x－h)2＋k的表达式,只要知道顶点坐标和图像上的异于顶点的另一点坐标即可.
教师组织学生归纳总结.
学生归纳、交流.
通过二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)、y＝a(x－h)2＋k不同的形式,让学生学会运用待定系数法求二次函数表达式的同时,提高了学生学习数学知识的兴趣.
通过归纳用待定数法求二次函数表达式的一般方法和过程,使学生对知识的认识得到升华,同时,培养了学生的语言概括能力.
(补充)已知抛物线y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的顶点为(2,3),点(1,1)也在抛物线上,求此函数的表达式.
复习巩固,查漏补缺.
┃教学小结┃
【板书设计】
由不共线三点的坐标确定二次函数
用待定导学生类比猜想新知识,由此引出新课并板书课题.
由已学过的知识引出新问题,体现复习与求新的关系,暗示了探究新知的方法.
二、师生互动,探究新知
1.探究.
(1)在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中,有几个待定系数？需要图像上的几个点的坐标？若知道(0,1),(1,0),(2,3)三点都在这个函数的图像上,你能求出它的表达式吗？
(2)在二次函数y＝a(x－h)2＋k中,(h,k)就是抛物线顶点的坐标,若知道顶点坐标,再知道一个点的坐标,能求出函数的表达式吗？
教师提出探究题,让学生讨论解决.
30.3由不共线三点的坐标确定二次函数
探究2： 用顶点式求二次函数解析式.
• 变式1：若1题的已知条件改为：已 知二次函数的顶点坐标为（1,4）， 图像过点（0,3），求此函数的表 达式。
• 变式2：已知二次函数的对称轴为x=1,函数的 最大值为4，与y轴的交点为（0,3），求此二 次函数的表达式
思考归纳： 如何用待定系数法求二次函数的表达式？ 1、已知三点求表达式，设一般式 2、已知二次函数的顶点求表达式，设顶 点式
• 变式5：二次函数的图象与轴交与A、B两点， 与y轴交C点，A点坐标为（-3,0）、B点坐 标为（1,0），且△ABC的面积为6，求该 二次函数的表达式.
师生互动，课堂小结
• 这节课你学到了什么？
1、(1)已知三点坐标,设二次函数解析 式为y=ax2+bx+c. (2)已知顶点坐标：设二次函数解析式 为y=a(x-h)2+k. (3)已知抛物线与x轴两交点坐标为 (x1,0),(x2,0)可设二次函数解析式为 y=a(x-x1)(x-x2). 2、注意分类思想的运用
• 则二次函数y=ax2+bx+c =a(x-x1)(x-x2) 我们把y=a(x-x1)(x-x2)叫做二次函数的交 点式也可以叫做双根式。
探究3 用交点式求二次函数解析式
• 变式3：若二次函数过点（3,0），（-1,0）， （0，3），求函数的表达式。
• 变式4：若二次函数过点（3,0）函数与x轴 的两个交点的距离为4，图像过点（0,3）求 函数的表达式
探究3 用交点式二次函数解析式
• 1、求二次函数y=-x2+2x+3与x轴的交点坐标
(3,0) (-1,0)
• 2、把多项式 -x2+2x+3分解因式
冀教版数学九年级下册《30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数》教学设计2
冀教版数学九年级下册《30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数》教学设计2一. 教材分析冀教版数学九年级下册第30.3节《由不共线三点的坐标确定二次函数》的内容是在学生掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行的。
通过这一节的学习，学生能够理解并掌握如何利用不共线的三个点的坐标来确定一个二次函数的解析式。
教材通过具体的例子引导学生探究和发现规律，进而达到解决问题的目的。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的概念和图像有一定的了解。
但是，对于如何利用不共线三点的坐标来确定二次函数的解析式，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生通过观察、操作、思考、讨论等活动，自主探究和发现规律，从而达到理解并掌握知识的目的。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解并掌握如何利用不共线三点的坐标来确定一个二次函数的解析式。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、讨论等活动，培养学生的观察能力、动手能力、思维能力和合作能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够体会数学与实际生活的联系，增强学习数学的兴趣和信心。
四. 教学重难点1.重点：学生能够理解并掌握如何利用不共线三点的坐标来确定一个二次函数的解析式。
2.难点：如何引导学生通过观察、操作、思考、讨论等活动，自主探究和发现规律。
五. 教学方法1.启发式教学法：教师通过提问、引导、讨论等方式，激发学生的思维，引导学生自主探究。
2.直观教学法：教师通过展示实物、图形等直观教具，帮助学生形象地理解知识。
3.小组合作学习法：学生分组讨论，培养学生的合作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.教学课件：教师需要准备相关的教学课件，以便于直观地展示和讲解知识。
2.教学素材：教师需要准备一些实际的例子，以便于引导学生观察和操作。
3.学生活动材料：学生需要准备一些纸张、笔等学习用品，以便于进行观察和操作活动。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节课的主题，引导学生思考如何利用不共线三点的坐标来确定一个二次函数的解析式。
初中数学九年级下册《30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数》PPT课件
解之 得
a
1, 3
b
2 3
,
c 1.
ACO B
x
∴所求抛物线的表达式为
y 1 x 2 2 x 1.
3
3
新乐市实验学校
1．（衢州·中考）下列四个函数图象中，当x＞0时，
y随x的增大而增大的是( )
C
新乐市实验学校
2.（莆田·中考）某同学用描点法画 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时，列出如下表格:
确定二次函数的表达解析式时，应该根据条件的特 点，恰当地选用一种函数表达方式.
新乐市实验学校
一个人如果看到什么都是本分，那就没有感激； 如果看到情分更多，那就会有一种珍重之心.
——佚名
新乐市实验学校
【规律方法】1.求二次函数y=ax2+bx+c的表达式，关键 是求出待定系数a, b, c的值，由已知条件（如二次函数图象 上三个点的坐标）列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c， 就可以写出二次函数的解析式. 2.当给出的坐标或点中有顶点，可设顶点式y=a(x-h)2+k, 将h,k换为顶点坐标，再将另一点的坐标代入即可求出a的 值.
新乐市实验学校
【跟踪训练】
（西安·中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三点. 求该抛物线的表达式.
y
【解析】设该抛物线的表达式为y=ax2+bx+c,
根据题意，得
a b c 0, 9a 3b c 0, c 1.
如何求二次函数的表达式？ 已知二次函数图象上三个点的坐标，可用待定系数法求 其表达式.
30.3 由不共线的三点坐标确定二次函数
第三十章
二次函数
学习新知
检测反馈
学习新知
有一个抛物线形的拱形立交桥,这个桥拱的最大
高度为16 m,跨度为40 m,现把它放在如图所示的
直角坐标系里,若要在离跨度中心点M 5 m处垂直 竖一根立柱支撑这个拱顶,立柱应取多长?
共同探究 已知不共线的三点A(1,3),B(2,-2),C(-1,1),怎样确定过这三 点的二次函数的表达3;b中有 个待定系数, 为y=ax2+bx+c. 将A,B,C三点的坐标分别代入 二次函数中,得
检测反馈
解析:在二次函数的顶点式y=a(x-h)2+k中,h==3.故选B.
b 2 4ac b 2 16 4 =1,k= 2a 2 4a 4
2.(2016· 河南中考)已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点,
该抛物线的顶点坐标是 (1,4)
.
c 3， 解析:∵A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点,∴代入得 4 2b c 3， 解得b=2,c=3,∴y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,顶点坐标为(1,4).故填(1,4).
,顶点坐标为
,
,
抛物线顶点为(2,-4)的二次函数表达式可设为
点(0,3)在抛物线上,所以点的坐标满足函数表达式,所以将点(0,3)代入得 ,
解得
,所以所求函数表达式为
.
解:设所求二次函数为y=a(x-2)2-4.
由已知得函数图像经过点(0,3),所以4a-4=3. 解得a=
7 . 4
所求二次函数表达式为y=
冀教版数学九年级下册《30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数》教学设计1
冀教版数学九年级下册《30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数》教学设计1一. 教材分析冀教版数学九年级下册《30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数》一节，是在学生学习了二次函数的图象与性质、二次函数的一般式等知识的基础上进行的一节内容。
本节主要让学生掌握利用三个不共线点的坐标来确定一个二次函数的方法，并会利用待定系数法求解二次函数的一般式。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了二次函数的基本知识，具备了一定的函数观念和解决问题的能力。
但部分学生对二次函数图象与性质的理解还不够深入，对二次函数的一般式的求解还较为陌生。
因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习情况，引导学生将已有的知识与新的学习内容相结合，提高他们的学习兴趣和自信心。
三. 教学目标1.让学生掌握利用三个不共线点的坐标来确定一个二次函数的方法。
2.让学生学会利用待定系数法求解二次函数的一般式。
3.培养学生的函数观念和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：利用三个不共线点的坐标确定二次函数的方法，待定系数法求解二次函数的一般式。
2.难点：待定系数法在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引出问题，激发学生的学习兴趣。
2.引导发现法：引导学生发现二次函数的性质与坐标之间的关系，自主探究求解方法。
3.小组合作法：学生进行小组讨论，共同解决问题，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次函数的图象与性质，方便学生直观理解。
2.练习题：准备相关练习题，巩固所学知识。
3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引出问题，如：抛物线运动中，如何根据三个不同时间的坐标来确定抛物线的方程？引发学生的思考，引出本节内容。
2.呈现（10分钟）利用课件展示二次函数的图象与性质，让学生直观地感受二次函数的特点。
同时，引导学生发现二次函数的图象与坐标之间的关系，为后续学习奠定基础。
2024年九年级数学下册第30章二次函数30.3由不共线三点的坐标确定二次函数教案(新版)冀教版
a + b + c = 0
4a + 2b + c = 3
解得：a = 3，b = -6，c = 3
所以，该二次函数的解析式为y = 3x^2 - 6x + 3。
例题4：
已知抛物线y = ax^2 + bx + c的图像过点(1, 2)，(2, 5)，(3, 10)，求a、b、c的值。
解答：
由于抛物线过点(1, 0)和(2, 0)，可以设抛物线方程为y = a(x - 1)(x - 2)。
顶点在直线x = 3上，所以顶点坐标为(3, k)。
将顶点坐标代入方程，得到k = a(3 - 1)(3 - 2) = 2a。
由于顶点在抛物线上，所以满足抛物线方程，代入顶点坐标得到k = a(3 - 1)(3 - 2) = 0。
- 在课堂教学中，通过提问、观察和即时测试等方式，了解学生对通过不共线三点的坐标确定二次函数的理解和掌握程度。
- 对学生在小组讨论和互动中的表现进行评估，观察学生的参与度、合作能力和解决问题的策略。
- 及时发现学生在学习过程中的困难和误区，针对性地进行解答和辅导，确保学生能够及时纠正错误，巩固知识点。
解答：
设二次函数的解析式为y = ax^2 + bx + c。
将已知点的坐标代入，得到以下方程组：
4a - 2b + c = 0
a + b + c = 0
4a + 2b + c = 6
解得：a = 1，b = -1，c = -2
所以，该二次函数的解析式为y = x^2 - x - 2。
九．课堂
1. 课堂评价
- 对学生在课堂上的表现给予正面反馈，鼓励学生积极思考、大胆提问，增强学生的学习自信心。
九年级数学下册第三十章二次函数30.3由不共线三点的坐标确定二次函数学案283
由不共线三点的坐标确定二次函数学习目标会用待定系数法求二次函数的表达式会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题重点难点重点：会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题难点：会用待定系数法求二次函数的表达式学情分析激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。
导学流程自主学习一、回顾旧知二次函数一般形式解析式____________________________________.顶点式______________________________________.二、基础知识感知：顶点法求二次函数表达式的步骤是：①设函数表达式是__________ ②先代入顶点坐标，得到关于a 的一元一次方程③将另一点的坐标代入原方程求出a值④a用数值换掉，写出函数表达式三、探究问题【例1】一个二次函数的图象经点 (0，1)，它的顶点坐标为(8，9)，求这个二次函数的表达式【例2】二次函数过点（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式四、基础知识拓展与迁移已知三点A（0，1），B（1，0），C（2，3），试求这三个点所确定的二次函数表达式请及时记录自主学习过程中的疑难：小组讨论问题预设如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题：求抛物线的表达式；若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积提问展示问题预设一般式法法求二次函数表达式的步骤是什么？①设函数表达式为______________ ②代入后得到一个三元一次方程组③解方程组得到a,b,c的值④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式课堂训练问题预设交点法求二次函数表达式的步骤是什么？①设函数表达式是____________②先把两交点的横坐标x1，x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程③将另一点的坐标代入原方程求出a值④a用数值换掉，写出函数表达式整理内化课堂小结2.本节课学习过程中的问题和疑难。
【冀教版】2019年春九年级数学下册：30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数
30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数1．通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法．2．会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式，在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用．一、情境导入某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的抛物线水柱最大高度为3米，此时喷水水平距离为12米，你能写出如图所示的平面直角坐标系中抛物线水柱的解析式吗？二、合作探究探究点：用待定系数法求二次函数解析式 【类型一】用一般式确定二次函数解析式已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，求这个二次函数的解析式．解析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．解：设这个二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝－5，c ＝－4，a ＋b ＋c ＝1，解这个方程组得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝－4.∴这个二次函数的解析式为y ＝2x 2＋3x －4.方法总结：当题目给出函数图象上的三个点时，设一般式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值．【类型二】用顶点式确定二次函数解析式已知二次函数的图象顶点是(－2，3)，且过点(－1，5)，求这个二次函数的解析式．解：设二次函数解析式为y ＝a (x －h )2＋k ，图象顶点是(－2，3)，∴h ＝－2，k ＝3，依题意得：5＝a (－1＋2)2＋3，解得a ＝2，∴y ＝2(x ＋2)2＋3＝2x 2＋8x ＋11.方法总结：若已知抛物线的顶点、对称轴或极值，则设顶点式为y＝a(x－h)2＋k.顶点坐标为(h，k)，对称轴方程为x＝h，极值为当x＝h时，y极值＝k来求出相应的数．【类型三】根据平移确定二次函数解析式将抛物线y＝2x－4x＋1先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，求平移后的函数解析式．解析：要求抛物线平移的函数解析式，需要将函数y＝2x2－4x＋1化成顶点式，然后根据顶点坐标的变换求抛物线平移后的解析式．解：y＝2x2－4x＋1＝2(x2－2x＋1)－1＝2(x－1)2－1，该抛物线的顶点坐标是(1，－1)，将其向左平移3个单位，向下平移2个单位后，抛物线的形状，开口方向不变，这时顶点坐标为(1－3，－1－2)，即(－2，－3)，所以平移后抛物线的解析式为y＝2(x＋2)2－3.即y ＝2x2＋8x＋5.方法总结：抛物线y＝a(x－h)2＋k的图象向左平移m(m>0)个单位，向上平移n(n>0)个单位后的解析式为y＝a(x－h＋m)2＋k＋n；向右平移m(m>0)个单位，向下平移n(n>0)个单位后的解析式为y＝a(x－h－m)2＋k－n.【类型四】根据轴对称确定二次函数解析式已知二次函数y＝2x－12x＋5，求该函数图象关于x轴对称的图象的解析式．解析：关于x轴对称得到的二次函数的图象与原二次函数的图象的形状不变，而开口方向，顶点的纵坐标变化了，开口方向与原图象的开口方向相反，顶点的横坐标不变，纵坐标与原图象的纵坐标互为相反数．解：y＝2x2－12x＋5＝2(x－3)2－13，顶点坐标为(3，－13)，其图象关于x轴对称的顶点坐标为(3，13)，所以对称后的图象的解析式为y＝－2(x－3)2＋13.方法总结：y＝a(x－h)2＋k的图象关于x轴对称得到的图象的解析式为y＝－a(x－h)2－k.【类型五】用待定系数法求二次函数解析式的实际应用科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：科学家经过猜想，推测出与之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为________℃.解析：设l 与t 之间的函数关系式为l ＝at 2＋bt ＋c ，把(－2，49)、(0，49)、(1，46)分别代入得：⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋c ＝49，c ＝49，a ＋b ＋c ＝46，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝49.∴l ＝－t 2－2t ＋49，即l ＝－(t ＋1)2＋50，∴当t ＝－1时，l 的最大值为50.即当温度为－1℃时，最适合这种植物生长．故答案为－1.方法总结：求函数解析式一般采用待定系数法．用待定系数法解题，先要明确解析式中待定系数的个数，再从已知中得到相应个数的独立条件(一般来讲，最直接的条件是点的坐标)，最后代入求解．三、板书设计教学过程中，强调用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目所给条件，合理设出其形式，然后求解，这样可以简化计算.。
翼教版九年级数学下册由不共线三点的坐标确定二次函数
30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数类型一：已知顶点和另外一点用顶点式已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数关系式．练习：已知抛物线的顶点是（－1，－2），且过点（1，10），求其解析式类型二：已知图像上任意三点（现一般有一点在y轴上）用一般式已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．练习：已知抛物线过三点：（－1，2），（0，1），（2，－7）．求解析式类型三：已知图像与x轴两个交点坐标和另外一点坐标，用两根式已知二次函数的图象过（-2，0）、（4，0）、（0，3）三点，求这个二次函数的关系式．练习：已知抛物线过三点：（－1，0）、（1，0）、（0，3）．（1）.求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？巩固练习：1.已知二次函数的图象过（3，0）、（2，-3）二点,且对称轴是x=1，求这个二次函数的关系式．2..已知二次函数的图象过（3，-2）、（2，-3）二点,且对称轴是x=1，求这个二次函数的关系式．3.已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C。
若AC=20,BC=15,∠ACB=90°，试确定这个二次函数的解析式4.已知一个二次函数当x=8时,函数有最大值9,且图象过点（0，1）,求这个二次函数的关系式．小测：1.二次函数y=x2－2x－k的最小值为－5，则解析式为。
2.若一抛物线与x轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为（1, 5），则它们的解析式为。
3.已知一个二次函数的图象经过点(6,0),且抛物线的顶点是(4,－8)，求它的解析式。
4.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，求此二次函数的解析式．5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝－1时有最小值－4，且图象在x轴上截得线段长为4，求函数解析式．6．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式．7.已知二次函数y=ax2＋bx＋c，当x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a、b、c，并写出函数解析式．8.已知抛物线y＝ax2经过点A(2，1)．(1)求这个函数的解析式；(2)写出抛物线上点A关于y轴的对称点B的坐标；(3)求△OAB的面积；(4)抛物线上是否存在点C，使△ABC的面积等于△OAB面积的一半，若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x ＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x ＋15＝0的根，则△ABC的周长是．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x ＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m ＋1)x＋m－1的图象不经过（）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k 、b 是一元二次方程(2x ＋1)(3x －1)＝0的两个根，且k ＞b ，则函数y ＝kx ＋b 的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y ＝(5－m 2)x 和关于x 的一元二次方程(m ＋1)x 2＋mx ＋1＝0中m 的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m 的值是 ．12．(甘孜州中考)若函数y ＝－kx ＋2k ＋2与y ＝k x(k ≠0)的图象有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ． .◆类型三 一元二次方程与二次根式的综合13．(达州中考)方程(m －2)x 2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＞52B ．m ≤52且m ≠2 C ．m ≥3 D ．m ≤3且m ≠214．(包头中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合1．B 2.A 3.A 4.B 5.86．16 解析：设矩形的长和宽分别为x 、y ，根据题意得x ＋y ＝8，所以矩形的周长为2(x ＋y)＝16.7．解：∵一元二次方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，∴(2k －1)2－4(k 2＋3)>0，即－4k －11>0，∴k<－114，令其两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝1－2k ，x 1·x 2＝k 2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x 21＋x 22＝52，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝25，∴(1－2k)2－2(k 2＋3)＝25，∴k 2－2k －15＝0，∴k 1＝5，k 2＝－3，∵k<－114，∴k ＝－3, ∴把k ＝－3代入原方程得到x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4，∴直角三角形的两直角边分别为3和4.8．B9．D 解析：∵一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，∴Δ＜0，∴Δ＝4－4×1×(－m)＝4＋4m ＜0，∴m ＜－1，∴m ＋1＜1－1，即m ＋1＜0，m －1＜－1－1，即m －1＜－2，∴一次函数y ＝(m ＋1)x ＋m －1的图象不经过第一象限．故选D.10．B 11.－2 12.k>－12且k ≠0 13．B 14.k ≥1。
九年级下册数学精品课件30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数
{∴
0=a(8-3)2+b， 4=a(0-3)2+b，
解得
a
1 ,b 4
25 . 4
y 1 x 32 25 .
4
4
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课堂小结
1.求二次函数 y＝ax2 ＋ bx＋c的表达式，关键是求出待定系 数a，b，c的值，由已知条件列出关于a，b，c的方程或方程 组，求出a，b，c，就可以写出二次函数的表达式．
解：∵顶点是（1，2） ∴设y=a(x-1)2+2， 又 ∵抛物线过点（2，3） ∴a(2-1)2+2=3，∴a=1 ∴ y=(x-1)2+2，即y=x2-2x+3.
顶点式
★已知定点坐标（h,k）或对称轴方程x=h时，优 先选用顶点式.
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例4：已知二次函数与x轴两交点横坐标为1，3，且图像过 （0，-3），求二次函数的表达式.
顶点式：y ＝ a(x ＋ h)2 ＋ k (a≠0)
交点式：y ＝ a(x -x 1) (x -x2 ) (a≠0)
(1)已知三点坐标,设二次函数解析式为y=ax2+bx+c (a≠0);
(2)已知顶点坐标：设二次函数解析式为y=a(x-h)2+k (a≠0);
(3)已知抛物线与x轴两交点坐标为(x1,0),(x2,0) 可设二次函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0).
2.当给出的坐标或点中有顶点，可设顶点式 y ＝ a(x ＋ h)2 ＋ k， 将h,k换为顶点坐标，再将另一点的坐标代入即可求出a的值．
3.当给出与x轴的两个交点，可设交点式 y ＝ a(x - x2)(x -x2)， 再将另一点的坐标代入即可求出a的值．
九年级数学 第三十章 二次函数 30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数教学
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当堂(dānɡ tánɡ)练习
1.如图，平面直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)系中，函数图象的表达式应
是 y 3 x2 . 4
注意注 y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)2、 y=a(x-h)2+k一样都是顶点式，只不过前三 者是顶点式的特殊形式.
y
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5.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，
对称轴是x＝－3，请解答下列(xiàliè)问题：
(1)求抛物线的表达式；
解：(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c 得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19. ∵对称轴是x＝－3，∴ ＝b －3，
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例2 一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标(zuòbi函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因此(yīncǐ)， 可以设函数表达式为
y=a(x-8)2+9.
又由于它的图象经过点(0 ,1)，可得 0=a(0-8)2+9. 解得 a 9 .
4 3 2
1
-4 -3 -2 -13-O1
12 x
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2.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式 是 y=-2(x-1)2+6 .
顶点坐标是（1，6）
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3.已知二次函数(hánshù)的图象经过点(－1，－5)，(0，－4) 和(1，1)．求这个二次函数的表达式．
已知几个点的坐标求出它的表达式？
九年级数学下册 第30章 二次函数 30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数课件
4.解（消元）
5. 写（一般形式）
5.写（一般形式）
区 别 巩 固
6.查（回代）
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6.查（回代）
已知顶点坐标，如何设二次函数的表达式？ 1）顶点（1，-2） 设y= a(x -1 )2 -2 2）顶点（-1，2） 设y= a(x +1 )2 +2 3）顶点（-1，-2） 设y= a(x +1 )2 -2 4）顶点 （h, k） 设y= a(x - h )2+ k
1
y =- 2
x2+4x-6
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扩展延伸
有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度 为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里(如 图所示)，求抛物线的表达式．
解：由题意得
y
x= 40 =20
2
∴顶点坐标为（20，16）
16m
O 40m B
x
设y=a(x-20)2+16 （0,0） 0=400a+16
解二元一 次方程组
找三 个点
三个系数需待定
三 个方程
解三元一次方程组
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典例赏析
例
已知一个二次函数的图像过点（0,1）（1,0）
（2,3）三点，求这个函数的表达式.
解：设二次函数为y=ax2+bx+c （a≠0）
（0,1）（1,0） （2,3）
c=1
a+b+c=0
4a+2b+c=3
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a=- 1 25
∴y =- 1 25 y =- 1 25
(x-20)2+16 x2 + 8 x
【冀教数学学九年级(河北)303由不共线三点的坐标确定二次函数
8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像向左平移2个单位长度，向下平移
1个单位长度后得到二次函数y＝x2＋2x的图像，则二次函数y＝ax2＋bx＋ c(a≠0)的表达式为___y_＝__x_2_－__2_x_＋__1__．
9．某同学利用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠＝15，
【解析】(1)把(－2，15)，(1，0)代入 y＝ax2－4x＋c 得
解得
a－4＋c＝0.
a＝1， c＝3.
∴这个二次函数的表达式为 y＝x2－4x＋3；
(2)∵抛物线的对称轴为直线 x＝2，－1<0<2，
∴m＞n＞k；
(3)∵点 P 到 x 轴的距离为 1， ∴点 P 的纵坐标为 1 或－1， 当 y＝1 时，x2－4x＋3＝1， 解得 x1＝2＋ 2 ，x2＝2－ 2 ， 当 y＝－1 时，x2－4x＋3＝－1，解得 x1＝x2＝2， ∴点 P 的坐标为(2＋ 2 ，1)，(2－ 2 ，1)，(2，－1).
6．(素养提升题)定义：对于给定的二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，把形如 y＝
ax2＋bx＋c（x≥0）
的函数称为二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的衍生函数，
－ax2＋bx＋c（x<0）
已知二次函数 y＝x2－2x－2.
(1)写出这个二次函数的衍生函数的表达式；
(2)若点 Pm，－32 在这个二次函数的衍生函数的图像上，求 m 的值；
A．y＝－2x2＋4x＋1 B．y＝－2x2－4x＋1
C．y＝－4x2－4x＋2 D．y＝－4x2＋4x＋2
3．若抛物线经过点(3，0)和(2，－3)，且以直线x＝1为对称轴，则该抛物线
的表达式为( C )
2019-2020学年九年级数学下册配套教案3 由不共线三点的坐标确定二次函数
30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数一、学习目标：1、能根据已知条件设二次函数的解析式。
2、会用待定系数法求二次函数的解析式。
复习提问：1、二次函数常用的几种解析式一般式 y=ax²+bx+c (a≠0)顶点式 y=a(x-h)²+k (a≠0)2、待定系数法求函数解析式的步骤：设---代----解----还原用待定系数法确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。
二、教学过程：（一）课前热身：1、已知抛物线y=ax²+bx+c当x=1时，y=0，则a+b+c=_____经过点（-1,0），则___________经过点（0,-3），则___________经过点（4,5），则___________对称轴为直线x=1，则___________2、已知抛物线y=a（x-h）²+k(1)顶点坐标是（-3,4），则h=_____,k=______代入得y=______________(2)对称轴为直线x=1，则__________代入得y=______________（二）例题讲解：已知一个二次函数的图象过点（0,-3）（4,5）（－1, 0）三点，求这个函数的解析式？解：设所求的二次函数为：y=ax²+bx+c∵二次函数的图象过点（0,-3）（4，5）（－1, 0）∴c=-3 a=116a+4b+c=5解得 b=-2a-b+c=0 c=-3∴所求二次函数为y=x²-2x-3（三）变式练习变式1已知一个二次函数的图象过点（0, -3）（-1,0）（3,0）三点，求这个函数的解析式？已知抛物线的顶点为（1，－4），变式2已知抛物线的顶点为（1，－4），且过点（0，－3），求抛物线的解析式？变式3已知一个二次函数的图象过点（0,-3）（4,5）对称轴为直线x=1，求这个函数的解析式？四、小结五、达标检测根据条件求出下列二次函数解析式：1、过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6；2、已知抛物线y=2x²+bx+c经过 (1,0),(2,3)两点,求此二次函数的解析式。
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(3)已知抛物线与x 轴的两个交点 (x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为 _______________________________ y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) 交点式或两根式
求二次函数表达式的方法总结
（1）抛物线顶点在原点时，
设y=ax2(a≠0)
（2）抛物线关于y轴对称 （顶点在y轴上）时，b=0， 设y=ax2+c(a≠0)
y
(3)抛物线顶点在x轴上时，
x y
设y=a(x-h)2(a≠0)
x
(4)抛物线过原点时，c=0 设y=ax2+bx(a≠0)
2、一般情况（已知不共线的三点）：
如何求二次函数的析式
1、一般式：y=ax2+bx+c(a≠0) 已知抛物线经过（1，3),（2，-2）， （-1，1）三个点，求抛物线的表达式 解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c
例：已知三点A（0，1),B（1，0）， C（2，3），求由这三点所确定的二次 函数表达式.
2、顶点式：y=a(x+h)2+k
已知二次函数图像的顶点是（-1，3），与 y轴的交点（0，2），求抛物线的表达式
3、交点式：y=a(x-x1)(x-x2)
一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)
1 ,0),C( 2
3 3 已知二次函数图像经过A（ ， 2 ）， 2
3 B( 2
,0)三点，求抛物线的表
达式
1、特殊情况：
y x y x
y
5 -1
y=ax2+bx+c(a≠0) y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
4
x
用待定系数法求二次函数解析式
(1)若已知三个一般点,解析式应设为 y=ax² +bx+c(a≠ 0)(一般式). _______________________ (2)若已知顶点(h,k)和另外一个点,解 析式应设为y=a(x-h)² __________________ +k(a≠ 0)(顶点式)