线性代数5-1

§5.1 矩阵的特征值与特征向量
4 例2 求 A = − 3 − 3
解：E − A = λ 3 3
0 的全部特征值与特征向 − 5 0 量。 − 6 1 6
0 −6 λ +5 0 = (λ − 1) 2 (λ + 2) 6 λ −1
λ−4
A的特征值为：λ1 = λ 2 = 1, λ3 = −2
§5.1 矩阵的特征值与特征向量
定义5.3 A = (aij )n×n为n阶矩阵，A的主对角 阶矩阵， 的主对角 定义 阶矩阵 线元素之和称为的迹 之和称为的迹(trace),记为：tr(A)，即： 记为： 线元素之和称为的迹 记为 ，
tr( A) = a11 + a22 + L+ ann
λ 设n阶方阵A = aij 的特征值为 1 , λ2 ,L, λn , 根据特征多项式根与系数的关系： 根据特征多项式根与系数的关系：
λ −3
x1 + x 2 = 0 1 即: ；基础解系：α1 = , A对应于特征值 − 1 x1 + x 2 = 0 λ1 = 4的全部特征向量为：k1α1 (k1 ≠ 0) 对于λ 2 = 2，解齐次线性方程组(2 E − A) X = O − x1 + x 2 = 0 1 即: ；基础解系：α 2 = , A对应于特征值 1 x1 − x 2 = 0 λ 2 = 2的全部特征向量为：k 2α 2 (k 2 ≠ 0)
... ...
− a1n − a2n
... ... ... λ − ann
=0
§5.1 矩阵的特征值与特征向量
定义5.2 阶矩阵， 是一个数， 定义 设A是n阶矩阵，λ是一个数，λE-A称为 是 阶矩阵 称为 A的特征矩阵，它的行列式 λE-A|是一个λ的n次 是一个λ 的特征矩阵，它的行列式| 是一个 次 多项式，称为A的特征多项式, 称为A的 多项式，称为 的特征多项式 |λE-A|=0称为 的 称为 特征方程，特征方程的根就是A的特征值。 特征方程，特征方程的根就是 的特征值。
λ − a11
− a21 λE − A = ... − an1 − a12 λ − a22 ... − an2 ... − a1n ... − a2n ... ... ... λ − ann
( )
= (λ − λ1)(λ − λ2 )(λ − λ3 )L(λ − λn )
§5.1 矩阵的特征值与特征向量
α ≠ o ，则齐次线性方程组 ( λE − A ) X = O 必有非零解（这
是含有 n 个方程，n 个未知量的齐次线性方程组），因此，其 系数行列式 λE − A = 0 。 即： A 的特征值一定是 λE − A = 0 的解。
λ − a11 − a12 − a21 λ − a22 λE − A = ... ... − an1 − an2
§5.1 矩阵的特征值与特征向量
§5.1 矩阵的特征值与特征向量
§5.1 矩阵的特征值与特征向量
一、基本概念 定义5.1 阶矩阵， 是一个数， 定义 设A是n阶矩阵，λ是一个数，如果存 是 阶矩阵 λα， 在n维非零列向量α，使得 Aα=λα，则称λ是 维非零列向量α α λα 则称λ A的一个特征值，向量α称为 对应于 属于 特 的一个特征值， 对应于(属于 的一个特征值 向量α称为A对应于 属于)特 征值λ的特征向量。 征值λ的特征向量。
1 0 0 0 1 0 ε 1 = ，ε 2 = ， ，ε n = ; A的全部特征向量为： L M M M 0 0 1 k1ε 1 + k 2ε 2 + L + k nε n , k1 , k 2 ,L , k n不全为零 即：任意非零列向量都 是数量矩阵 A的特征向量。
A对应于特征值λ1 = λ 2 = 1的全部特征向量为： k1α1 + k 2α 2 (k1 , k 2不全为零)
都等于零， 都等于零， x3是 当然的自由未知量！ 当然的自由未知量！
对于λ 2 = −2，解齐次线性方程组 (−2 E − A) X = O =0 − 6 x1 − 6 x 2 − 1 即 : 3 x1 + 3 x 2 = 0；基础解系：α 3 = 1 , A对应于特征值 1 3 x + 6 x − 3 x = 0 2 3 1 λ3 = −2的全部特征向量为： k3α 3 (k3 ≠ 0)
比 两 λ 的 数 常 项 则 ： 较 端 系 和 数 ， 有
(1) λ1 + λ2 + L+ λn = a11 + a22 + L+ ann ; (2) λ1λ2 Lλn = A.
§5.1 矩阵的特征值与特征向量
三、特征值和特征向量的性质 性质1 阶矩阵 与它的转置A 阶矩阵A与它的转置 性质 n阶矩阵 与它的转置 T具有相同的 特征值. 特征值
证明：E − AT = (λE )T − AT = (λE − A)T = λE − A λ
由于A与 具有相同的特征多项式， 由于 与AT具有相同的特征多项式，因而具有 相同的特征值。 相同的特征值。 [注] 虽然 与AT具有相同的特征值，但特 注 虽然A与 具有相同的特征值， 征向量却不一定相同。 征向量却不一定相同。
(λ0 E − A) X = O 的全部非零解？） 的全部非零解？） 。
例1 求矩阵
3 −1 A= −1 3
的全部特征值和特征向量。 的全部特征值和特征向量。
§5.1 矩阵的特征值与特征向量
1 解：E − A = λ = (λ − 4)(λ − 2) λ −3 1 A的特征值为：λ1 = 4；λ 2 = 2 对于λ1 = 4，解齐次线性方程组(4 E − A) X = O
§5.1 矩阵的特征值与特征向量
a 0 L 0 的全部特征值与 例4 求 A = 0 a L 0 的全部特征值与 L L L L 特征向量。 特征向量。 数量矩阵 0 0 L a n n 解：E − A = (λ − a ) , A的特征值为： λ1 = λ 2 = L = λ n = a λ 对于特征值 λ1 = λ 2 = L = λ n = a，有（aE − A) X = O (aE − A) X = O的系数矩阵是零矩阵， 基础解系可以取为：
§5.1 矩阵的特征值与特征向量
对于λ1 = λ 2 = 1，解齐次线性方程组( E − A) X = O − 3 x1 − 6 x 2 即 : 3 x1 + 6 x 2 3x + 6 x 2 1 =0 − 2 注意：这个方程组 0 注意： = 0 ；基础解系：α1 = 1 , α 2 = ，每一个方程 当中， 当中 0 , 0 中未知量 的系数 1 =0 中未知量x3
0 − 1 无实特征值。 无实特征值。 实矩阵 A = 1 0
§5.1 矩阵的特征值与特征向量
另一方面， 的一个特征值， 另一方面，若 λ0 是 A 的一个特征值，则必有 λ0 E − A = 0 ，所 必有非零解， 以齐次线性方程组 ( λ0 E − A ) X = O 必有非零解， 它的每一个非 的特征向量， 零解都是 A 对应于特征值 λ0 的特征向量，它的全部非零解就 是 A 对 应 于 特 征 值 λ0 的 全 部 特 征 向 量 （ 如 何 表 达
§5.1 矩阵的特征值与特征向量
求矩阵A的全部特征值与特征向量的步骤： 求矩阵 的全部特征值与特征向量的步骤： 的全部特征值与特征向量的步骤 1) 计算矩阵 的特征多项式 λE − A; 计算矩阵A的特征多项式 2) 由A的特征方程 λE − A = 0 求出 的全部的 求出A的全部的 的特征方程 特征值； 特征值； 3) 对于 的每一个特征值λi，求齐次线性方程 对于A的每一个特征值 η 组(λiE-一个基础解系 的全部特征向量为 则A的与特征值λi相对应的全部特征向量为: 的与特征值 相对应的全部特征向量
α = k1α1 + k2α2 + ... + ktαt
仍是A的与特征值λ相对应的特征向量。 仍是 的与特征值λ相对应的特征向量。 的与特征值 4) 一个特征向量只能与一个特征值相对应。 一个特征向量只能与一个特征值相对应。
§5.1 矩阵的特征值与特征向量
二、特征值与特征向量的计算 由于Aα = λα可以写成： E − A)α = O (λ
例如
3 − 1 1 A= ,α = ,λ =，有 2 −1 3 1 3 − 1 1 2 = = 2α Aα = − 1 3 1 2
1 λ = 2是A的一个特征值；α = 1 是A对应于特征值λ = 2的一个特征向量
的一个特征值， 若 λ 是 A 的一个特征值，则一定是特征方程 λE − A = 0 的 因此，又称为特征根。 重根， 根，因此，又称为特征根。若 λ 是 λE − A = 0 的 k 重根，则称 λ 重特征值。 是 A 的 k 重特征值。特征方程 λE − A = 0 在复数范围内有 n 个 重根按重数计算）。 根（重根按重数计算）。
k1η1 + k2η2 +L+ ktηt
（k1, k2 ,L, kt不全为零）
§5.1 矩阵的特征值与特征向量
例3 求
2 −1 A= 0 3 2 1
λ−2
1 的全部特征值与特征向量。 −1 的全部特征值与特征向量。 3
−1 1 = (λ − 2) 2 (λ − 4) λ −3 −1 λ − 3 1
§5.1 矩阵的特征值与特征向量
数量矩阵特征值为常数a,任意一个 维非 数量矩阵特征值为常数 任意一个n维非 任意一个 零向量都是数量矩阵 的与特征值λ=a相对 都是数量矩阵A的与特征值 零向量都是数量矩阵 的与特征值 相对 应的特征向量. 应的特征向量 思考题：对角矩阵的特征值是什么？ 思考题：对角矩阵的特征值是什么？ 上三角形矩阵的特征值是什么？ 上三角形矩阵的特征值是什么？ 下三角形矩阵的特征值是什么？ 下三角形矩阵的特征值是什么