东城区理科数学试卷答案

东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测参考答案

高三数学

（理科） 2016.1

学校___________班级_____________姓名____________考号___________

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

9．10．1；2

3

- 11．58 12．1；0 13．10x y -+=

14．①④

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）

设{}n a 是一个公比为(01)q q q >≠，等比数列，13432a a a ，

，成等差数列,且它的前4项和415s =. ⑴ 求数列{}n a 的通项公式；

⑵ 令2(123)n n b a n n =+=L L ，

，，,求数列{}n b 的前n 项和． 【解析】⑴ 因为{}n a 是一个公比为(01)q q q >≠，等比数列，

所以11n n a a q -=．

因为123432a a a ，，成等差数列， 所以213642,a a a =+即2320q q -+=． 解得21q q ==，（舍）.

又它的前4和415s =，得

41(1)

15(01)1a q q q q

-=>≠-，， 解得11a =． 所以12n n a -=.

9分

⑵ 因为2n n b a n =+，

所以11122(n 1)1n n n

n i i i i i b a i n ====+=++-∑∑∑．

13分

16．（本小题共13分）

已知函数22()sin cos cos ()f x x x x x x =+-∈R ．

⑴ 求()f x 的最小正周期和在[]0π，上的单调递减区间；

⑵ 若α为第四象限角，且3cos 5=α，求7π212f ⎛⎫

+ ⎪⎝⎭α的值.

【解析】⑴

由已知22()sin cos cos f x x x x x =+-

2cos2x x =- π2sin 2.6x ⎛

⎫=- ⎪⎝

⎭

所以，最小正周期2π2π

π2T ω===

由ππ3π

2π22π262k x k k z ，+-+?≤≤. 得

2π10πππ36k x k k z ，++?≤≤

故函数()f x 在[]0π，上的单调递减区间1

5ππ3

6⎡⎤⎢⎥⎣⎦，

9分

⑵ 因为α为第四象限角，且3cos 5

=α，所以4

sin 5=-α．

所以7π212f ⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

α7ππ2sin 2sin 66⎛⎫-+

-=- ⎪⎝⎭αα85=． 13分

17．（本小题共14分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底 面ABCD ，AB AP =，E 为棱PD 的中点． ⑴ 证明:AE CD ⊥；

⑵ 求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值； ⑶ 若F 为AB 中点，棱PC 上是否存在一点M ，使得

FM AC ⊥，若存在，求出

PM

MC

的值，若不存在，说明理由. 【解析】⑴ 证明：因为PA ⊥底面ABCD ，

所以PA CD ⊥． 因为AD CD ⊥， 所以CD ⊥面PAD .

E D C B

A

P

由于AE ⊂面PAD ， 所以有CD AE ⊥．

４分

⑵ 依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），

不妨设2AB AP ==，可得()200B ，，，()220C ，，，()020D ，，，()002P ，，.

由E 为棱PD 的中点，得()011E ，，.()011AE =u u u r ，， 向量()220BD =-u u u r ，，,()202PB =-u u r ，，.

设()n x y z =r ，，为平面PBD 的法向量，则00

n BD n PB ⎧⋅=⎪

⎨⋅=⎪⎩r uu u r

r uur 即220220x y x z -+=⎧⎨-=⎩．

不妨令1y =，可得()111n =r

，，为平面PBD 的一个法向量.

所以cos AE EF =uu u r uu u r ，所以，直线EF 与平面PBD

11分

⑶ 向量(222)CP =--u u r ，，，(220)AC =u u u r ，，，()200AB =u u u r

，，.

由点M 在棱PC 上，设CM λCP =uuu r uu r

，()01λ≤≤.

故(12222)FM FC CM =+=--u u u r u u u r u u u r

λλλ，，. 由FM AC ⊥，得0FM AC ⋅=uuu r uu u r

，

因此，(12)2(22)20-⨯+-⨯=λλ，解得3

4

=

λ. 所以1

3

PM MC =. 13分

18．（本小题共13分）

已知椭圆22

221x y a b

+=（0a b >>）的焦点是1F 、2F ，且122F F =，离心率为12．

⑴ 求椭圆C 的方程；

⑵ 过椭圆右焦点2F 的直线l 交椭圆于A B ，两点，求22AF F B ⋅的取值范围．