北京四中---高中数学高考综合复习 专题十七 算术平.

高中数学高考综合复习专题十七算术平均数与几何平均数

一、知识网络

二、高考考点

1、运用重要不等式a2+b2≥2ab（a、b∈R）或（a、b∈R+）判断或证明所给不等式的命题是否成立；

2、在给定条件下求有关式的取值范围；

3、在给定条件下求有关函数的最大值或最小值；

4、解决实际应用问题，以最优化问题为主要题型。

三、知识要点

（一）不等式的性质

不等式的性质是证明与求解不等式的基本依据，为了便于记忆和运用，我们将不等式的性质划分为“基本性质”和“运算性质”两个类别。

1、关于不等式的“基本性质”

（1）对称性：a>b b

（2）传递性：a>b,b>c a>c

（3）“数加“法则：a>b a+c>b+c

推论：a+b>c a>c-b（移项法则）

（4）“数乘”法则：

a>b,c>0ac>bc;

a>b,c<0ac

2、关于不等式“两边运算”的性质

（1）同向不等式两边“相加”：a>b,c>d a+c>b+d;

（2）同向的正数不等式两边“相乘”：a>b>0，c>d>0ac>bd；

（3）正数不等式两边“乘方”：a>b>0a n>b n>0(n N*);

（4）正数不等式两边“开方”

认知：上述所有不等式的性质均可应用于证明不等式，但只有部分不等式的性质，可应用于解不等式，可应用于求解不等式（保证等价变形）的性质为1（1）；1（3）；1（4）及其2（3）；2（4）

（二）基本定理及其推论

定理1：如果a,b R，那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时等号成立）

推论（平方和不等式）：（当且仅当a=b时等号成立）

定理2：如果a,b R+，那么（当且仅当a=b时等号成立）

推论1（和的平方不等式）：若a,b R+,则（a+b）2≥4ab（当且仅当a=b时等号成立）

推论2（最值定理）：设x,y均为正数，则

（1）当积xy为定值P时，和x+y有最小值（当且仅当x=y时取得）；

（2）当和x+y为定值S时，积有最大值（当且仅当x=y时取得）；

四、经典例题

例1

（1）若x,y R+且的最大值.

（2）若x,y∈R且xy>0，x2y＝2，求u＝xy＋x2的最小值.

分析：注意运用最值定理解题的要领：一正二定三相等

（1）欲求积的最大值，首先致力于“凑因子”，为凑出已知条件下“和为定值”的正数之积而变形u，若u 的表达式的部分因子在根号外，则可考虑使这一部分进入根号或考察u2：

（2）欲求和xy+x2的最小值，首先致力于“凑项”，为凑出已知条件下“积为定值”的正数之和而变形u，若有可能，将u化为一元函数，问题分析会更明朗一些。

解：

（1）注意到这里x>0，u>0，

∴

=（当且仅当）时等号成立）。

（2）由已知得

=3(当且仅当时成立)

∴u min=3（当且仅当x=1且y=2时取得）

点评：遇“积”凑因子，在主体部分凑出“若干因子之和为定值”的形式；

遇“和”则凑项，在主体部分凑出“若干项之积为定值”的形成，完成此番设想后，进而再考察有关各数“相等”的可能性。

例2

（1）若x,y,a,b R+，a≠b，且，求u＝x+y的最小值；

（2）若00，求的最小值.

分析：

对于（1）如何利用,这一条件通常用法多是作“1的替换”或作“三角替换”；

对于（2），注意到这里0

解：

（1）

解法一（利用“1的替换”）：

∵x,y,a,b R+

∴

解法二（运用“三角替换”）：注意到

令

则有x=asec2θ，y=bcsc2θ

∴u= asec2θ+bcsc2θ

=(atan2θ+bcot2θ)+(a+b)

(当且仅当atan2θ＝bcot2θ

时等号成立)

(2)注意到这里0

∴令x=cos2θ,则1-x=sin2θ()

(当且仅当时等号成立）

∴y min=(a+b)2(当且仅当时取得)

点评:对于(1),是明显的;对于(2),x+(1-x)=1是隐蔽的，今后解决函数或代数的其它问题,也要注意认知并利用问题中隐蔽的等量关系或不等关系。

例3

（1）设a,b,c是RtΔABC的三边，c为斜边之长，且a+b+c=4,试求C的取值范围；

（2）设三个数a,b,c成等比数列，且a+b+c=1，试求b的取值范围。

分析：在一定条件下求某个变量的取值范围，基本解题思路有二：

(i)由已知条件与重要不等式导出关于的不等式，而后由这一不等式解出的取值范围；

（ii）立足于已知条件中的等式（内因），借助已知的重要不等式（外因），内外结合推导的取值范围。

解：

（1）由已知得c2=a2+b2(利用三角形的特殊性)①

4-c=a+b（以c为主元整理或变形）②

注意到a,b R+且满足2（a2+b2）≥(a+b)2③

∴将①，②代入③得2c2≥(4-c)2

④

再注意到这里a+b>c(利用三角形的普通性质)a+b+c>2c

又a+b+c=4

∴c<2⑤

于是由④、⑤得

∴所求C的取值范围为