论完全泛函的变分问题_老大中
数学中的泛函方程与变分法
数学中的泛函方程与变分法
泛函方程与变分法是数学中重要的概念和方法，广泛应用于物理学、工程学等领域。本文将介绍泛函方程的定义和变分法的基本原理，并
通过实例来说明其在数学中的应用。
一、泛函方程的定义
泛函方程是指以函数为未知量的方程。与常见的代数方程不同，泛
函方程涉及到函数的变化与整体性质，需要运用变分法来求解。
以泛函方程的典型形式为例，设函数空间F中的函数为y(x)，泛函
方程可写为：
J[y]=∫(a, b) F(x, y, y') dx = 0
其中，a和b是给定的常数；F是一个关于x、y和y'（即y的导数）的已知函数。
二、变分法的基本原理
变分法是通过对泛函进行极值问题的求解方法，其基本原理是最小
作用量原理，即作用量的极值对应于物理系统的真实运动。
对于泛函J[y]，设有函数y(x)在区间[a, b]上有连续的变分δy(x)，则可定义泛函的变分为：
δJ = J[y + δy] - J[y]
根据变分的数学性质，可以将δJ展开为：
δJ = ∫(a, b) [∂F/∂y δy + ∂F/∂y' δy'] dx
其中，δy和δy'分别是y和y'的变分。
根据变分法的基本原理，要使泛函J[y]取得极值，必须满足变分δJ=0的条件。
三、泛函方程与变分法的应用举例
1. 最小作用量原理
最小作用量原理是变分法的典型应用之一。以经典力学中的拉格朗日力学为例，根据哈密顿原理，系统的运动轨迹为使作用量S取极值的轨迹。
作用量S可以表示为：
S = ∫(t1, t2) L(q, q', t) dt
其中，q是广义坐标；q'是广义速度；L是拉格朗日函数。
泛函 变分
泛函变分
泛函和变分是数学中重要的概念和工具，在各个领域都有广泛的应用。本文将从基本概念入手，介绍泛函和变分的定义、性质以及应用。
一、泛函的概念和定义
泛函是一类将函数映射到实数的映射。具体而言，对于给定的函数空间，泛函可以将其中的每个函数映射到一个实数。泛函常常用来描述函数的某种性质或者衡量函数的某种特征。
二、变分的概念和定义
变分是泛函的一种特殊情况，它是一类将函数的微小变动映射到实数的映射。变分可以用来求解极值问题，即找到使得泛函取得极大或极小值的函数。
三、泛函与变分的关系
泛函和变分密切相关，它们在数学中经常一起出现。泛函描述了函数的整体性质，而变分则是对函数的微小变动进行分析和求解。通过变分的方法，可以求解泛函的极值问题，进而得到满足特定条件的函数。
四、泛函的性质和应用
泛函具有一些重要的性质，如可加性、线性性等。这些性质使得泛函能够在各个领域中得到广泛的应用。
在数学分析中，泛函可以用来描述函数的连续性、可导性等性质。例如，利用泛函可以定义函数的Lipschitz连续性，这对于研究函数的性质和解的存在性有重要意义。
在变分法中，泛函和变分被广泛应用于物理学和工程学中的优化问题。例如，通过变分的方法可以求解力学中的最小作用量原理，从而得到物体的运动方程。在工程学中，泛函和变分可以用来求解最优控制问题，从而实现系统的优化和性能改善。
泛函和变分还在偏微分方程中发挥重要作用。通过泛函和变分的理论，可以得到偏微分方程的解的存在性、唯一性以及一些性质。例如，通过变分的方法可以得到椭圆型偏微分方程的变分形式，从而研究其解的性质和存在性。
泛函的变分
泛函的变分
泛函的变分是一种在数学计算中被广泛应用的方法，它可以解决非线性方程、求解非线性最优化问题等数学建模问题。泛函的变分法对于求解复杂的数学建模问题有着重要的作用。
泛函变分法是一种普遍应用的方法，它是1960年代早期发展起来的。当时，美国科学家希尔克曼是这种方法的研究者和运用者，他指出，在许多情况下，可以通过拟合定义在函数空间中的变分问题来求解一般的不可积分泛函方程。随着运筹学中对不可积分泛函方程的深入研究，这种方法也被广泛应用于不可积分泛函方程的求解。
由于变分法求解非线性最优化问题的效率较高，因此它也得到了工程数学的应用，尤其是可逆变换法在用于大数据集分类时，变分法有着显著的优势，并且获得了巨大成功。
另外，变分法也广泛应用于有限元分析中。在工程计算中，有限元法可以解决许多复杂的工程问题，而应用变分法可以使算法更加有效地求解有限元分析问题，从而提高计算速度和准确性。
最后，变分法也被应用于深度学习中，深度学习是一种新兴的机器学习技术，它可以通过不断的自动学习来模拟出各种复杂的模型。而变分法可以用来求解深度学习中的参数优化问题，从而提高模型的准确性和可解释性。
综上所述，泛函变分法在数学建模方面有着重要作用，它可以有效求解非线性及不可积分泛函方程，同时也广泛应用于工程数学、有限元分析以及深度学习等领域，发挥着重要的作用。
此外，泛函变分法的另一个优点是，它可以很好地利用数据的特征，减少模型的复杂度，从而提高模型训练的效率。因此，泛函变分方法也可以用于提高数据分析的准确性和可靠性。
总之，泛函变分法是一种极具发展潜力的方法，它在数学建模、工程数学、有限元分析和深度学习等领域中都发挥着重要作用，为解决复杂问题提供了有效的解决方案，也为提高数据分析准确性和可靠性提供了有效的技术支持。
如何解决数学中的泛函分析与变分问题
如何解决数学中的泛函分析与变分问题
数学中的泛函分析与变分问题是一门重要的数学分支，广泛应用于物理学、工程学和经济学等领域。它研究的是函数的泛函（即对函数进行操作的函数）以及函数的变分（即对函数的微小改变）。在解决数学中的泛函分析与变分问题时，我们可以采用以下方法：
一、定义优化问题
在解决任何数学问题之前，我们首先需要明确定义问题的目标和限制。对于泛函分析与变分问题，我们需要明确函数的约束条件以及我们希望优化的目标。只有明确定义了问题，我们才能有针对性地采取相应的方法和技巧。
二、应用变分原理
变分原理是泛函分析与变分问题的核心思想之一。它可以帮助我们寻找函数的最优解。通过对函数进行微小的变分，我们可以得到泛函的一阶变分和二阶变分，并利用变分原理求解相应的欧拉-拉格朗日方程。利用变分原理，我们可以将优化问题转化为解微分方程的问题，从而得到最优解。
三、使用适当的数学工具
在解决泛函分析与变分问题时，我们需要熟练掌握一些数学工具，如函数空间的性质、分布函数的性质、变分法、紧算子理论等等。这些数学工具有助于我们分析问题、推导解析表达式以及验证解的正确性。
四、求解技巧与方法
在解决具体的数学问题时，我们还需要掌握一些求解技巧与方法。
例如，对于一些常见的泛函，可以利用变分法、拉普拉斯变换、傅里
叶变换等方法来求解。此外，我们还可以运用数值计算的方法对复杂
的泛函进行求解，如有限元法、迭代法、偏微分方程等。
五、数学建模与实际应用
泛函分析与变分问题不仅仅是一门纯粹的数学理论，它也广泛应用
于实际问题的建模与求解。通过将实际问题转化为泛函分析与变分问题，我们可以利用数学的方法来研究问题的性质、寻找最优解，从而
泛函和变分法
泛函和变分的基本概念【四/四】
最简泛函的一阶和二阶变分
其中 d J 称为泛函的一阶变分!!d 二J 称为二阶变分 泛函的极值条件就是一阶变分为零：d J = 0
√
最简泛函的极值问题【一/九】
最简泛函的欧拉方程
最简泛函的极值——欧拉方程
欧拉方程的解仅仅对应极值函数!!不关心泛函的大小
例：拉普拉斯方程的第三类边界问题
x2u2 y2u2 =0,
(uu) =
n
该定解问题转化为以下泛函的极值问题
J [ u ( x ,y )= ] 1[ u () 2 ( u ) 2 ] d x d y ( 12 u -) u d s
2 x y
2
√
泛函和变分用于……【一/一】
斯特姆-刘维型方程
解：
√
四】
依赖于多元函数的泛函
泛函的一般形式
J[u1(x,y)u ,2(x,y)]=DF(x,y,u1,u2,p1,p2,q1,q2)dxdy
p1= u x1,
q1= u y1,
p2= u x2,
q=u2 y
欧拉方程
F - ( F ) - ( F )= 0 , F - ( F ) - ( F )= 0 u 1 x p 1 y q 1 u 2 x p 2 y q 2
i= 1
i= 1
=I(1,2, ,n)
数学的泛函分析与变分法
数学的泛函分析与变分法
泛函分析是数学中的一门重要学科，它研究的是函数的变换与性质。而变分法是泛函分析的一个重要应用领域，用于求解函数的极值。本
文将介绍泛函分析的基本概念和变分法的原理，并探讨它们在实际问
题中的应用。
一、泛函分析的基本概念
1. 范数与内积
在泛函分析中，范数和内积是两个基本的概念。范数是定义在向量
空间上的一种函数，它满足非负性、零向量的范数为零、标量与向量
乘积的齐次性和三角不等式。而内积是一种满足对称性、线性性和正
定性的二元运算。范数和内积可以衡量向量空间中的距离和角度。
2. 巴拿赫空间
巴拿赫空间是一种具有完备性的向量空间，即其中的柯西序列必有
极限。在巴拿赫空间中，可以定义连续性、收敛性和收缩原理等重要
概念。巴拿赫空间在泛函分析中有广泛的应用，如函数空间和算子空
间等。
3. 算子理论
算子是泛函分析中的一个重要概念，它是从一个向量空间映射到另
一个向量空间的操作。算子可以分为线性算子和非线性算子，并且可
以进行加法、乘法和复合等运算。算子理论在泛函分析中具有重要的地位，可以用来描述函数的性质和变换。
二、变分法的原理
1. 极值问题
变分法主要用于求解函数的极值问题。极值问题是指在给定约束条件下，找到使目标函数取得最大值或最小值的函数。变分法通过引入变分函数，将极值问题转化为求解变分函数的欧拉方程，再通过边界条件确定最优解。
2. 欧拉-拉格朗日方程
欧拉-拉格朗日方程是变分法中的关键方程，它描述了变分函数满足的条件。根据欧拉-拉格朗日方程，可以将变分问题转化为求解常微分方程或偏微分方程的问题。欧拉-拉格朗日方程在物理学、力学和优化等领域都有广泛的应用。
偏微分方程中的泛函与变分法
偏微分方程中的泛函与变分法在偏微分方程中，泛函与变分法是一种常用的数学工具和方法。泛
函是一个将函数映射到实数的函数，而变分法则是一种求解泛函的方法。本文将介绍泛函和变分法在偏微分方程中的应用以及其原理和技巧。通过对泛函的定义和变分法的基本理论的阐述，希望读者能够理
解泛函和变分法在偏微分方程中的重要性和应用。
一、泛函的定义与性质
在偏微分方程中，我们常常需要研究一个函数的变化对一个泛函的
影响。因此，我们首先要定义什么是泛函。泛函是一个将一类函数映
射到实数的函数。假设我们有一个函数空间V，其中的函数可以满足
某种条件，例如连续性、可微性等。那么对于一个泛函J，它的定义可
以写作J[y]=\int_a^b F(x,y(x),y'(x))dx，其中y(x)是函数y的表达式，F
是关于x、y、y'的函数。
对于泛函，我们还常常需要研究它的性质。例如，我们可以研究泛
函的可微性、连续性、有界性等。这些性质对于进一步分析泛函的性
质和求解偏微分方程都非常重要。
二、变分法的基本原理
变分法是一种以泛函为基础的求解方法。对于一个给定的泛函J[y]，我们希望找到一个函数y(x)，使得J[y]取得极值。为了求解极值问题，
我们使用变分法。
变分法的基本思想是在一个函数空间中寻找一个函数y(x)，使得
J[y]取得极值。为了寻找这个函数，我们引入一个变分函数ε(t)，并对
y(x)进行微小的变动，即y(x)+ε(t)。然后利用一些数学运算，如极限、
导数等，将泛函转化为一个可以求解的问题。
对于变分法的应用，我们常常需要使用变分法的基本原理。例如，
变分法和泛函分析的研究
变分法和泛函分析的研究
变分法和泛函分析是数学中的两个重要分支。变分法是研究函数极值问题的数学方法，泛函分析则是研究无限维函数空间及其性质的数学方法。本篇文章将简单讨论这两个领域的研究方向和应用。
一、变分法
变分法是研究函数极值问题的数学方法，主要应用于微积分，控制论，力学，量子力学等领域。它的主要思想是将函数极值问题转化为求函数满足一定条件下使得某一个积分或泛函取得最小值。在变分法中，关键是如何寻找函数使得积分或泛函取得最小值。
常见的变分法问题有：
1. 线性泊松方程问题。研究在区域Ω内满足边界条件和齐次边界条件的调和函数u(x,y)的最大值和最小值。
2. 自然边界问题。研究在区域Ω内满足边界条件和齐次边界条件的函数u(x,y)的最大值和最小值。
3. 牛顿优化问题。研究带有约束条件的非线性优化问题。
4. 最小化曲线问题。研究如何使得曲率最小的曲线，或满足特定要求的曲线。
在变分法中，最重要的数学工具是变分和变分运算。
a. 变分
对于一个函数f，定义其变分为δf。变分的数学表达式为：
δf= lim(ε→0) (f(x+ε)-f(x))/ε，
其中ε为一个很小的正数，x为函数的自变量。
b. 变分运算
变分运算就是利用变分对函数进行改变，以求出最小值或最大值。变分运算有以下几种形式：
1. 线性变分
对于一个函数f(x)，它的线性变分为：
δf= ∫ δf(x)φ(x)dx
其中φ为一个定义在R上的函数。
2. 泛函的导数
对于一个泛函F(f)，它的导数为：
dF(f)/dt= lim(ε→0) [F(f+εh)-F(f)]/ε
变分法基础 老大中
变分法基础老大中
变分法是数学和物理学中一种重要的数值计算方法，它在许多领域中都有广泛的应用。本文将介绍变分法的背景和重要性。
变分法源于数学中的变分计算问题，最早起源于的变分问题。它是一种求函数最值的方法，旨在寻找函数的极值点或稳定点。变分法的发展历程经过了数学家们的不断研究和推导，逐渐形成了现代变分法的基础理论。
在物理学中，变分法广泛应用于解决各种力学和场的问题。通过将物理问题转化为最值问题，可以用变分法来求解微分方程和泛函方程，从而获得物理系统的稳定解、极值解或最优解。变分法在力学、电磁学、量子力学等领域起到了重要的作用。
在工程学中，变分法常用于优化设计问题和界面问题的求解。通过对设计参数进行变分，可求解出具有最优性能的工程结构或系统。变分法的应用可以降低系统的能耗、提高系统的效率，并优化系统与环境的交互效果。
总之，变分法作为一种重要的数值计算方法，在数学、物理学和工程学中都有着广泛的应用和重要的意义。通过变分法的运用，可以获得优化问题的解析解或近似解，为各个领域的研究和实践提供有力的支持和指导。
泛函
泛函是一个函数的集合，其中每个函数都将一个输入映射到一个输出。在变分法中，我们将研究泛函的性质和优化问题。
变分
变分是指对函数的微小变化。在变分法中，我们将通过对函数进行变分来研究泛函的性质和优化问题。
变分法公式
变分法公式是一种用于求解泛函优化问题的数学工具。它涉及将变分应用于泛函，并通过求解变分问题来得到泛函的极值。
变分法公式可以表示为：
对于给定的泛函J[y]，寻找函数y 使得J[y]取极值
泛函分析中的变分不等式理论
泛函分析中的变分不等式理论泛函分析是数学中的一个重要分支，研究的是无限维函数空间上的
函数和算子的性质及其应用。在泛函分析中，变分不等式理论是一个
重要而广泛应用的研究方向。本文将介绍泛函分析中的变分不等式理论，分析其基本概念、性质和应用。
一、变分不等式的基本概念
变分不等式是泛函分析中的一种数学不等式，通常用来描述函数或
算子的极值性质。在泛函分析中，我们经常需要研究某个函数或算子
在给定条件下的最小或最大值，而变分不等式正是为了描述这种极值
性质。
在变分不等式中，常常涉及到一个泛函和一组试探函数。泛函是定
义在函数空间上的一种函数，而试探函数是我们用来测试函数性质的
一组函数。通过对泛函和试探函数进行变分运算，我们可以得到不等
式的形式，从而描述出函数或算子的极值性质。
二、变分不等式的性质
变分不等式具有一些特殊的性质，这些性质对于研究函数和算子的
性质具有重要意义。
1. 变分不等式的连续性：对于给定的泛函和试探函数，如果泛函和
试探函数满足一定的连续性条件，例如利普希茨条件或者Hölder条件，那么变分不等式也具有一定的连续性，即当泛函或试探函数发生微小
变化时，变分不等式的解也只会发生微小变化。
2. 变分不等式的唯一性：有时候，给定一个泛函和一组试探函数，
变分不等式可能具有多个解。然而，如果我们对泛函或试探函数做一
些适当的假设，例如凸性或者严格单调性，那么变分不等式的解就会
变得唯一。
3. 变分不等式的最优性：变分不等式描述了函数或算子的极值性质。当变分不等式的解满足一定的条件时，这个解就是函数或算子的最优解，即函数或算子在给定条件下的最小或最大值。
泛函分析：变分法
4、求函数的极值时，微分或导数起着重要的作用。 求泛函的极值时，变分起着类似的作用。我们将求泛 函的极值问题称为变分问题，其相应的方法称为变分 法。
约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却 更为一般化.
欧拉（Euler Lonhard，1707～17Biblioteka Baidu3）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从 而确立了数学的一个新分支——变分学。
2020/6/9
北京师范大学网络教育-云南学习中心
4
第二章 变分法及其在最优控制中的应用
有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提 出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem),向数学 界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂 下，问项链的曲线方程是什么。在大自然中，除了悬垂的项 链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的 蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链 线（catenary）。
答案。
到1691年，也就是雅可比·伯努利提出悬链线问题的第二年， 莱布尼兹、惠更斯（62岁）与约翰·伯努利各自得到了正确答 案，所用方法是诞生不久的微积分，具体说是把问题转化为求
变分法基础 老大中
变分法基础老大中
引言
变分法是一种应用数学中的方法，用于求解函数极值问题。它通过对函数的一
次变化（即变分）来推导出极值条件，从而得到函数的极值。变分法广泛应用于物理学、工程学和经济学等领域，是一种强大且灵活的工具。本文将介绍变分法的基础知识和应用。
变分问题的基本概念
在介绍变分法之前，我们先来了解一下变分问题的基本概念。变分问题通常涉
及一个函数和一个约束条件，我们的目标是找到满足约束条件的函数，使得某个性能指标最优化。
假设我们有一个函数y(x)，其中x为自变量，y为因变量。我们希望找到一个
函数y(x)，使得满足一定的约束条件，并且某个性能指标最小或最大。这个问题
可以表示为一个函数的极值问题，可以通过变分法来解决。
变分法的基本原理
变分法的基本原理是在一个函数的变化上进行优化。我们假设y(x)是我们想要
优化的函数，而y(x)+δy(x)是一个与y(x)相近的函数，其中δy(x)是一个变分。变
分表示函数y(x)的微小变化。通过对变分进行操作，我们可以得到一个优化问题。
欧拉-拉格朗日方程
变分法的重要工具是欧拉-拉格朗日方程。欧拉-拉格朗日方程给出了在满足约束条件的情况下，函数极值点的一种判定方法。欧拉-拉格朗日方程可以通过对变分法的应用来推导出来。
欧拉-拉格朗日方程的一般形式如下：
$$\\frac{{\\partial F}}{{\\partial y}} -
\\frac{{\\mathrm{d}}}{{\\mathrm{d}x}}\\left(\\frac{{\\partial F}}{{\\partial
数学分析中的泛函与变分法
数学分析是数学的一门基础学科，其核心是研究函数与数列的性质、极限和连续，以及这些概念之间的相互关系。在数学分析中，泛函与变分法是重要的研
究工具。泛函理论研究的是函数的函数，即将函数映射到实数或复数的映射。
而变分法则用来求取泛函的最值问题。
泛函理论的研究对象是函数的集合，泛函可以看作是这个函数集合上的运算，
它将每个函数映射到一个实数或复数。通常用J[y]表示泛函，其中y是一类函数，称为变量函数。泛函的定义域是包含该函数的特定集合。在泛函中，存在
函数的极小值或最大值，变分法的目标就是求取这个最值。
变分法是一种专门用来求泛函的最值问题的数学方法。它通过对变量函数进行
微小的变分，即将变量函数加上一个微小的扰动，然后计算泛函在扰动后的变
量函数上的变化。通过对变分的计算，我们可以得到泛函的极值方程，从而求
得泛函的最小值或最大值。
在变分法的推导中，我们需要用到欧拉-拉格朗日方程，它给出了泛函的极值方程。根据欧拉-拉格朗日方程，泛函的极值满足以下条件：对于任意的变分函数
y(x)，当泛函在y(x)处取得极值时，它满足以下方程：[ \frac{\partial
F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial
y'}\right)=0 ]其中F是泛函，y'是y关于x的导数。
变分法在数学和物理学中都有广泛的应用。在数学中，变分法常用于求解极值
问题，比如最短路径、最低能量等。在物理学中，变分法常用于求解泛函积分
方程，如哈密顿原理和变分原理。变分法在经典力学、量子力学、电动力学等
泛函分析中的变分不等式理论
泛函分析中的变分不等式理论泛函分析是数学中的一个重要分支，研究泛函和函数空间之间的关系。在泛函分析中，变分不等式理论是一个重要的研究领域，涉及到
泛函的极值问题和不等式的性质。本文将介绍泛函分析中的变分不等
式理论，包括基本概念、经典结果以及应用。
一、基本概念
在开始介绍变分不等式理论之前，我们首先需要了解一些基本概念。
1. 泛函
在泛函分析中，泛函是将一个函数映射到实数的映射。通常用F表
示泛函，即F：X→R，其中X是函数空间，R是实数空间。
2. 变分问题
给定一个泛函F和一个函数空间X，变分问题是寻找一个函数
u∈X，使得F(u)取得极值。这个问题可以用欧拉-拉格朗日方程来描述，即求解关于u的方程F'(u)=0。
3. 变分不等式
与变分问题类似，变分不等式是寻找函数u∈X，使得泛函F(u)满
足某种不等式条件。变分不等式的研究与变分问题密切相关，但更加
复杂和困难。
二、经典结果
在泛函分析中，变分不等式理论涉及到许多经典的结果和定理。以下将介绍其中的几个重要结果。
1. 范数不等式
在泛函分析中，范数是一种度量向量长度的函数。范数不等式是指对于任意的向量x和常数t，有范数的线性不等式性质，即
∥tx∥≤|t|∥x∥。
2. 广义变分原理
广义变分原理是变分不等式理论的一个重要结果，它提供了判定变分问题的极值是否存在的条件。广义变分原理可以推广到无穷维空间中，其中包含了一些重要的极值条件。
3. 有界变分原理
有界变分原理是变分不等式理论中的一个重要结果，它关注泛函函数的有界性质。有界变分原理可以应用于最优控制问题和微分方程的变分理论中。
泛函分析中的泛函与变分
泛函分析中的泛函与变分
泛函分析是数学中的一个分支领域，研究的是函数的函数。在泛函
分析中，我们经常会遇到泛函和变分的概念。本文将介绍泛函与变分
在泛函分析中的基本概念和应用。
一、泛函的概念与性质
在泛函分析中，泛函是一个将定义域内的函数映射到实数域的映射。具体地说，设X是一个函数空间，那么泛函F是从X到实数域的映射，即F:X->R。
泛函的性质包括线性性、有界性和连续性。首先，泛函F是线性的，即对于任意的函数f和g以及任意的实数α和β，有F(αf + βg) = αF(f) + βF(g)。其次，泛函F是有界的，即存在一个常数M，使得对于任意的
函数f，有|F(f)| ≤ M。最后，泛函F是连续的，即当函数序列{f_n}收敛于f时，有F(f_n)收敛于F(f)。
二、变分的概念与欧拉-拉格朗日方程
在泛函分析中，变分是研究泛函的变化情况以及极值问题的工具。
给定一个泛函F和一组函数g，我们想要找到一个函数f，使得泛函F
在f处取得极值。这就涉及到变分的概念和变分计算的方法。
对于一个函数f，我们可以通过对f进行微小变化来研究泛函F的
变化情况。这个微小变化称为变分，用δf表示。变分需要满足边界条件，即在给定边界上，函数f的变分为零。通过对泛函F在f + εδf处
展开到一阶项，我们可以得到泛函F的一阶变分δF。
欧拉-拉格朗日方程是变分问题中的一种重要的形式化表达方法。对于泛函F，如果函数f是泛函F的一个极值点，那么f必须满足欧拉-拉格朗日方程。欧拉-拉格朗日方程的形式化表达为
δF(f) = 0
其中δF(f)表示泛函F在f处的一阶变分。通过求解欧拉-拉格朗日
§6.2 重积分型泛函的变分问题
=0。
f (ε ) = J [u (x, t ) + εη ( x, y )] 为 ε 的一元函数。
要保证 u ( x, y ) 为泛函的极值函数，即函数 f (ε ) 在 ε = 0 取极值。
∴
df (ε ) dε
df (ε ) dε
ε =0
=0
d dε
D
ε =0
=
= ∫∫ Fuη + Fu xη x + Fu yη y dxdy
2
d ⎧ Fy − Fy ' = 0 ⎪ ⎪ dx ，即 ⎨ d ⎪F − F = 0 z z' ⎪ dx ⎩ d ⎧ 2 z − (2 y ') = 0 ⎪ ⎪ dx ⎨ ⎪2 y − d (2 z ') = 0 ⎪ dx ⎩
整理得
⎧ z − y' ' = 0 ，消去 z 得 ⎨ ⎩ y − z' ' = 0
五、E-L 方程的推广 1、泛函依赖于两个一元函数 y ( x ), z ( x )
J [ y, z ] = ∫ F ( x, y, y ' , z , z ')dx
b a
其中， ⎨
⎧ y (a ) = y1 ⎧ z (a ) = z1 ，⎨ ⎩ y (b ) = y2 ⎩ z (b ) = z2
设 y ( x ), z ( x ) 是 泛 函 的 极 值 函 数 ， 引 入 η1 ( x ),η 2 ( x ) 为 足 够 光 滑 的 函 数 ， 且 满 足
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x
i1 1
x
i2 2
…
x
im m
,
(3 )
该偏微分算子简称算子 .其中 is =i 1 +i2 +…+i m , 且 is , i 1 , i 2 , … , im 都是整数 .若式(3)只含有一个 自变量 , 则偏微分算子化为常微分算子 .这里 , 不排
斥 is 所表示的某些自变量是零的情形 .若某自变量 的上标是零 , 则表示没 有对该自变量 求偏导数 , 例
x =x
1 11
x 1 =x10
d x2 …d xm -
∫Ψ
F Di su x1
δ
u i 1 -1+… +im
x
i 11
-1
…
ximm
d
x1d
x
2
…d
xm
=
∫Ψ-x 1
F Di su δ
u i -1+… +i
1
m
x
i 11
-1
…
x
i mm
x =x
1 11
x =x
1 10
dx 2 …d xm -
∫Ψ-x 1
Abstract:T he variational problems of t he complete functional in calculus of v ariations are studied deperding on the arbit rary arguments , arbit rary multivariable functions and arbit rary-order partial derivat ives of multivariable f unctions .The theorem of the variational problems of the complete functional is proposed and proved .T he complete Euler equat ion set is obtained throug h the int roduction of t he partial diff erential operato r .The complete Euler equatio n set cont ains all kinds of Euler equations of the variational problem s.T he correctness of the complete Euler equation set is verif ied wit h tw o functional examples .
关键词 :变分法 ;完全泛函 ;变分问题 ;偏微分算子 ;完全欧拉方程 组 中图分类号 :O 176 ;O 343 文献标识码 :A
On the Variational Problems of the Complete Functional
LAO Da-zhong
(Schoo l of Mecha tro nic Engineering , Beijing Institute of T echnology , Beijing 100081, China)
收稿日期 :2006 01 06 作者简介 :老大中(1957 —), 男, 副教授 , E-mail :laodazhong @t si nghua .org .cn .
7 50
北 京 理 工 大 学 学 报 第 26 卷
欧拉方程(2)的微分方程组 , 就在一定程度上解决了 具有此类结构的泛函的变分问题 .
=0
.
(8 )
式中 , 大写的 S 表示被积函数 F 中 u 后面 u 的偏导 数项的总项数 , 小写的 s 表示 u 后面 的第 s 项 , 且
s =1 , 2 , …, S . 根据 前面 的 表示 方 法, 如 果 D0u = u , 则
D 0 FD 0 u =D 0F u =Fu .如果把 Fu 看作第 0 项 , 则式
作者研究与完全泛函的变分问题 , 并导出了相 应微分方程组的具体表现形式 .
1 完全泛函的极值函数定理
首先给出并证明依赖于任意多个自变量 、一个
多元函数及该函数任意阶偏导数的泛函极值函数定
理 , 然后利用这个定理给出并证明完全泛函的极值
函数定理 .为此 , 引入偏微分算子
Dis =
i 1 +i2 +… +im
如 , m =3 且 i 5 =i 1 +i 2 +i 3 =3 +0 +2 =5 , 此时 , 算
子并不是写成
5
Dis
=
x
3 1
x
0 2
x
2 3
,
(4 )
而是写成
5
D
i
s
=
x
3 1
x
2 3
.
(5 )
即如果算子中不含对某自变量的偏导数 , 则算子中
对该自变量的偏导数就可略去不写 .如果 is =0 , 那
ximm -1
δ
u xm
xm xm
=xm1
d
=xm 0
x
1d
x2
…
∫ d x m -1 +(-1)is
Ψ
x
i i 11
Fs Di …
su
x
i δu
mm
d
x
1
d
x
2
…d xm
=
∫ Bs +(-1)is
D
Ψ
i
sF
i
D
su
δu
d
x 1d
x2
…d
xm
.
第 8 期 老大中 :论完全泛函的变分问题
n , 则泛函
∫ J[ u]
=
F
Ψ
x 1 , …, xm , u , ux 1 , …, uxm , ux 1 x1 , … ,
ux mx m
,
…,
u x i1 xi2 … xim 12 m
,
…,
u x i1 xi2 12
… xim
m
d x 1d x 2 …d xm =
is
n
∫F(x Ψ
1
,
x
2
,
…,
s =1
δu d x1d x 2 …dx m =0 .
(1 1)
式中 , 由 泛函取极值的必 要条件 δJ =0 , 应分 别有
S
∑ Bs =0 和积分项等 于零 , 而 根据变分法的 基本
s =1
引理 ,δu 是任取的 , 积分项中只能是括号内的部分 等于零 , 于是可得到式(7)～ (10).证毕 .
xm
, u , Di 1 u , D i2 u
,
… , Disu
,
…,
Dnu)d x1d x 2 …dx m
(6 )
的极值函数 u(x 1 , x 2 , …, x m)满足下列方程 .
S
∑ Fu +
(-1)isD
Fi
s Disu
=0
,
s =1
(7 )
或
∑S
F u + (-1)isDis s =1
F Disu
么ຫໍສະໝຸດ Baidu
D
i
s
u
=D 0 u
=u
,
即一个函数对自变量求零阶偏
导数 , 就是没对其求偏导数 , 也就是该函数自身 .
定理 1 设 Ψ是 m 维域 , 自变量(x 1 , x2 , … , x m)∈ Ψ, 函数 u(x 1 , x 2 , … , x m)∈ C 2n , 泛 函所依
赖的函数 u 在泛函中对自变量的最高阶偏 导数是
751
其中 Bs 表示与边界积分有关的各项之和 . 除 u 项外 , 将被积函数的一阶变分的其他所有
项都按上面方法去做 , 将含有 u 的偏导数的变分都
化成 δu 的形式 , 并将所有项求和 , 其中包括 Fuδu 项,得
∑ ∫ ∑ S
S
δJ =
s =1
Bs +
Ψ
Fu +
(-1)isDisFD is u
Key words :calculus of variations ;com plete functio nal ;variational problems ;partial dif ferential operator ;complete Euler equation set
考察最简泛函
∫x
J[ y] = 1 F(x , y , y′)d x ,
Di 1kuk
,
…,
D iskuk , … , D nkuk , … , ul , Di1 lul , … ,
积分取正号 , 这个规律可通过 is 表示出来 , is 是偶 数取正号 , is 是奇数取负号 .掌握这两个规律对上 述公式的应用会带来很大方便 .
根据变分法的理论 , 无论泛函的积分区域是否
固定 , 欧拉方程都相同 , 故无论积分区域是否固定的
泛函的变分问题 , 式(7)～ (10)都成立 .事实上 , 对 于待定边界的变分问题 , 其证明方法是把积分区域
(7)和式(8)可以分别写成
S
∑ (-1)isDi sFDis u =0 ,
s =0
(9 )
S
∑ (-1)isDis
s =0
F Di su
=0
.
(10)
需要指出的是 , 在实际应用中 , u 对某几个自变
量的偏导数往往会以不同的形式出现多次 , 这里的
总项数 S 应正确理解为 u 对自变量偏导数的不同 组合数 .
Ψ的变动部分 δΨ与 Ψ分离出来 , 对区域 δΨ的积
分采用中值定理 , 然后把它和含有边界项的积分归
并到一起 , 再利用 δJ =0 的条件和 δu 的任意性 , 式
(7)～ (10)的成立就可得到证明 .
定理 2 设 Ψ是 m 维域 , 自变量(x 1 , x2 , … ,
x m)∈
Ψ, 函数
理论的产生来源于实际需要 , 然而它一经产生 , 就会按自身的规 律发展 , 并超越实际需要 的限制 . 根据最简泛函的结构 , 可以考虑到一种最普遍的情 况 , 即自变量 x 、未知函数 y 及其导数 y′都不止一 个 , 而是一个集合 , 该集合可以含有任意个自变量 、 任意个多元函数和任意个高阶偏导数 .为研究问题 方便起见 , 可以把具有这种结构的泛函称为完全泛 函 .对于完全泛函的变分问题 , 如果能建立类似于
F Di su x1
δ
u i1 -2 ++im
x
i 11
-2
…
x
i mm
x1 = x11 x =x
1 10
d x2 …d xm +
∫ (-1)2
Ψ
2
F
i
D
su
x
2 1
δ
i
1
-2
+…
+i
m
u
xi11 -2 … ximm d
x1d
x2
…d x m
=… =
∫Ψ-x 1
FD isuδ
u i -1+… +i
1
证明 对泛函(6)取一阶变分 , 并从中取出被积
函数变分的第
s
项
F
i
D
su
δD
is
u
, 该项具有
is
阶偏导
数 , 利用变分与求导可以交换次序的性质 , 对其作分
部积分 i s 次 , 有
∫Ψ-x 1
∫F Ψ
Di
su
δD
isu
d
x
1
d
x
2
…d xm
=
FD isuδ
u i -1+… +i
1
m
x i11 -1 … x imm
m
x i11 -1 … x imm
x 1 =x11 x 1 =x 10
d x 2 …d xm -
∫Ψ-x1
FDi su x1
δ
i1 -2 +… +imu
i -2
x11
…
i
xmm
x =x
1 11
x =x
dx 2 …d xm +… +
1 10
∫ (-1)is -1 Ψ-xm
x
is i11
-1
…
F
i
D
su
x0
无论边界如何 , 泛函的欧拉方程都可写成
(1 )
Fy -ddxFy′=0 .
(2 )
随着泛函所依赖的函数的导数和自变 量的增 加 , 泛函变得越来越复杂 , 后人得到了多个有关泛函 变分问题的方程 , 这些方程都是欧拉方程的推广 , 在 变分法中 , 都称为欧拉方程 , 其具体形式可参见文献
[ 1 -3] .这些方程都 是由泛函取极值的必要条件 ———泛函的一阶变分为零得到的 .
第 26 卷 第 8 期 2006 年 8 月
北 京理 工大 学学 报 T ransactions of Beijing Institute of T echnolog y
文章编号 :1001-0645(2006)08-0749-04
论完全泛函的变分问题
Vol.26 No .8 Aug .2006
式(7)～ (10)有两个规律 , 一个规律是求和项中 有两个相同的算子 , 这表明 F 对含有某些自变量的 导数项求偏导数后 , 要再对这些自变量求偏导数 , 即
两组对自变量求偏导数的自变量相同 .另一个规律
是关于求和项中各项的符号 , 每作一次分部积分 , 被
积函数就改变一次符号 , 这样奇次积分取负号 , 偶次
uk(x 1 ,
x2 ,
…,
x m )∈
C
2
n
k
,
k
=1 ,
2,
…, l , 泛函所依赖的函数 uk 在泛函中对自变量的最
高阶导数是 nk , 则完全泛函
∫ J [ u1 , u2 , … , ul] =
F
Ψ
(x
1
,
…,
xm
,
u1
,
D
i
1
1
u1
,
… , Di s1 u 1
,
…,
D
n
1
u1
,
…,
uk
,
老大中
(北京理工大学 机电工程 学院 , 北京 100081)
摘 要 :研究变分法中依赖于任意个自变量 、任意个多元函数和任意阶多元函数偏导数的完全泛函的变分问题 ;提 出并证明了完全泛函的变分问题的定理 , 采用偏 微分算子 , 给出了完全欧拉方程组 .该方程组涵 盖了变分问题的各 种欧拉方程 .通过两个算例验证了完全欧拉方程 组的正确性 .