【全程复习方略】(陕西专用)2013版高考数学 6.6 直接证明与间接证明课时提能演练 理 北师大版

【全程复习方略】（陕西专用）2013版高考数学 6.6 直接证明与间接证明课时
提能演练 理 北师大版
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1.(2012·宝鸡模拟)用反证法证明“如果a ＜b ，那么33
a b <”，假设的内容应是( )
(A)33
a b =
(B)33a b <
(C)3a ＝3b 且3a ＜3b (D)3a ＝3b 或3a ＞3b 2.证明不等式a ＋1－a<a －1－a －2(a≥2)所用的最适合的方法是( ) (A)综合法 (B)分析法 (C)间接证法 (D)合情推理法 3.在△ABC 中，sinAsinC<cosAcosC ，则△ABC 一定是( ) (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)不确定
4.若a ，b ，c 是不全相等的实数，求证：a 2
＋b 2
＋c 2
>ab ＋bc ＋ca. 证明过程如下：
∵a、b 、c∈R，∴a 2
＋b 2
≥2ab，b 2
＋c 2
≥2bc，c 2
＋a 2
≥2ac， 又∵a，b ，c 不全相等，
∴以上三式至少有一个“＝”不成立，
∴将以上三式相加得2(a 2
＋b 2
＋c 2
)>2(ab ＋bc ＋ac)， ∴a 2
＋b 2
＋c 2
>ab ＋bc ＋ca 此证法是( )
(A)分析法 (B)综合法 (C)分析法与综合法并用 (D)反证法
5.(2012·大同模拟)用反证法证明命题：“设a ，b ，c 大于0，则a ＋1b 、b ＋1c 、c ＋1
a 中至少有一个不小于
2”时，假设的内容是( )
(A)都不小于2 (B)至少有一个不大于2 (C)都小于2 (D)至少有一个小于2
6.(预测题)设函数f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1，f(2)＝3a －4
a ＋1，则a 的取值范围
是( )
(A)a<34 (B)a<3
4且a≠－1
(C)a>34或a<－1 (D)－1<a<34
二、填空题(每小题5分，共15分)
7.设a>0，b>0，c>0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1
c
≥ .
8.(2012·冀州模拟)设P ＝2，Q ＝7－3，R ＝6－2，则P 、Q 、R 的大小顺序是 . 9.(2012·亳州模拟)给出以下四个结论： ①若a ·b ＝b ·c 且b ≠0，则a ＝c ；
②若a 与b 是平行向量，b 与c 也是平行向量，则a 与c 不一定是平行向量； ③在区间[π4，5π
4]上函数y ＝sinx ＋cosx 是增函数；
④直线x ＝π
4是函数y ＝sinx ＋cosx 图像的一条对称轴.
其中正确结论的序号为 (写出所有正确结论的序号) 三、解答题(第10题12分，第11题13分，共25分) 10.求证：若a>0，则
a 2
＋1a 2－2≥a＋1a
－2.
11.(易错题)用反证法证明：关于x 的方程x 2
＋4ax －4a ＋3＝0、x 2
＋(a －1)x ＋a 2
＝0、x 2
＋2ax －2a ＝0，当a≤－3
2或a≥－1时，至少有一个方程有实数根.
【选做·探究题】
凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D 上是凸函数，则对D 内的任意x 1，x 2，…，x n 都有f(x 1)＋f(x 2)＋…＋f(x n )n ≤f(x 1＋x 2＋…＋x n
n ).已知函数f(x)＝sinx 在(0，π)上是凸函数，则
(1)求△ABC 中，sinA ＋sinB ＋sinC 的最大值. (2)判断f(x)＝2x
在R 上是否为凸函数.
答案解析
1.【解析】选D.根据反证法词语的否定形式，“3a ＜3b ”的否定应为“3a ≥
3
b ”，故选D.
2.【解析】选B.欲比较a ＋1－a ，a －1－a －2的大小，只需比较a ＋1＋a －2，a －1＋a ，(a ＋1＋a －2)2
＝2a －1＋2a ＋1·a －2，(a －1＋a)2
＝2a －1＋2a －1·a ，只需比较a ＋1·a －2，a －1·a 的大小，以上证明不等式所用的最适合的方法是分析法，故选B 3.【解题指南】将不等式移项，对两角和的余弦公式进行逆用，得出角的范围即可. 【解析】选C.由sinAsinC<cosAcosC 得 cosAcosC －sinAsinC>0，即cos(A ＋C)>0，
∴A ＋C 是锐角，从而B>π
2
，故△ABC 必是钝角三角形.
4.【解析】选B.由已知条件入手证明结论成立，满足综合法的定义.
5.【解析】选C.根据反证法中词语的否定形式可得：“至少有一个不小于2”的否定为“都小于2”，故选C.
6.【解析】选D.∵f(x)的周期为3，∴f(2)＝f(－1)， 又f(x)是R 上的奇函数，
∴f(－1)＝－f(1)，则f(2)＝f(－1)＝－f(1)， 再由f(1)>1，可得f(2)<－1， 即
3a －4a ＋1<－1，解得－1<a<3
4
. 7.【解题指南】把1a ＋1b ＋1
c 中的1用a ＋b ＋c 代换，利用基本不等式求解.
【解析】∵a ＋b ＋c ＝1，
∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c
≥3＋2
b a ·a b
＋2c a ·a c
＋2c b ·b
c
＝3＋2＋2＋2＝9. 等号成立的条件是a ＝b ＝c ＝1
3.
答案：9
8.【解析】∵P ＝422，Q ＝47＋3，R ＝4
6＋2，
而22<2＋6<3＋7， ∴
122>
1
2＋6>
1
3＋7， 故4
22>4
2＋6>4
3＋7，即P>R>Q. 答案：P>R>Q
9.【解析】当a 与c 不是共线向量，且分别与b 的夹角相等，|a |＝|c |也符合a ·b ＝b ·c ，但a ≠c ，故①错误，当b ＝0时，a 与c 不一定是平行向量，故②正确. 由于y ＝sinx ＋cosx ＝2sin(x ＋π
4
).
当x ∈[π4，5
4
π]时，函数y ＝sinx ＋cosx 是减函数，故③错误.
直线x ＝π4是函数y ＝sinx ＋cosx ＝2sin(x ＋π
4)的一条对称轴，故④正确.
答案：②④
10.【解题指南】利用分析法证明.由a>0，将不等式两边平方，不等式仍成立，最后利用基本不等式得证. 【证明】要证原不等式成立，只需证a 2
＋1a 2＋2≥a ＋1a
＋ 2.∵a >0，∴两边均大于零.
因此只需证a 2
＋1a 2＋4＋4
a 2＋1a 2≥a 2
＋1a 2＋2＋2＋22(a ＋1a
).
只需证2
a 2
＋1a 2≥2(a ＋1a
)，
只需证2(a 2＋1a 2)≥a 2＋1a 2＋2，即证a 2
＋1a 2≥2，
而a 2
＋1a 2≥2显然成立，∴原不等式成立.
【变式备选】已知a>6，
求证：a －3－a －4<a －5－a －6. 【证明】方法一：
要证a －3－a －4<a －5－a －6 只需证a －3＋a －6<a －5＋a －4
⇐(a －3＋a －6)2<(a －5＋a －4)2 ⇐2a －9＋2(a －3)(a －6)<
2a －9＋2(a －5)(a －4)，
⇐(a －3)(a －6)<(a －5)(a －4)，
⇐(a －3)(a －6)<(a －5)(a －4)， ⇐18<20.
因为18<20显然成立， 所以原不等式成立.
方法二：要证a －3－a －4<a －5－a －6 只需证
1
a －3＋a －4<1
a －5＋a －6
只需证a －3＋a －4>a －5＋a －6 ∵a>6，∴a －3>a －4>a －5>a －6>0， 则a －3＋a －4>a －5＋a －6. 所以原不等式成立.
11.【证明】设三个方程都没有实数根，则由判别式都小于零得：⎩⎪⎨⎪⎧
－32＜a ＜12
a ＞1
3或a ＜－1－2＜a ＜0
⇒－3
2
＜a ＜－1
与a ≤－3
2或a ≥－1矛盾，故原命题成立.
【选做·探究题】
【解析】(1)∵f(x)＝sinx 在(0，π)上是凸函数，A 、B 、C ∈(0，π)且A ＋B ＋C ＝π， ∴
f(A)＋f(B)＋f(C)3≤f(A ＋B ＋C 3)＝f(π
3
)，
即sinA ＋sinB ＋sinC ≤3sin π3＝33
2.
所以sinA ＋sinB ＋sinC 的最大值为33
2.
(2)∵f(－1)＝1
2，f(1)＝2，
而f(－1)＋f(1)2＝12＋2
2＝54，
而f(－1＋1
2)＝f(0)＝1，
∴
f(－1)＋f(1)2>f(－1＋1
2
).
即不满足凸函数的性质定理，故f(x)＝2x
在R 上不是凸函数. 【方法技巧】新定义题的解题技巧
(1)对于新型概念的解题问题，要理解其定义的实质，充分利用定义解题是关键.
(2)要证明一个函数满足定义需利用定义加以证明它满足的条件，若想说明它不满足定义，只需用特例说明即可.。