上海中国中学必修第一册第一单元《集合与常用逻辑用语》测试(包含答案解析)

一、选择题1．已知命题2:11x p x <-，命题:()(3)0q x a x -->，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞B ．[1,3]C ．[1,)+∞D ．[3,)+∞ 2．设a R ∈，则“1a =”是“直线1:20l ax y +=与直线()2140+++=：l x a y 平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知实数0x >，0y >，则“1xy ≤”是“224x y +≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．已知全集U =R ，集合{|01},{1,0,1}A x R x B =∈<=-，则()U A B =（ ） A ．{}1-B ．{1}C ．{1,0}-D ．{0,1} 5．m n 是两条不同的直线，α是平面，n α⊥，则//m α是m n ⊥的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．设,a b 为非零向量，则“a b a b +=+”是“a 与b 共线”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设集合{1,2,3,4}A =，{1,0,2,3}B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C ⋃⋂=A ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4} 8．“1x >”是“12log (2)0x +<”的 （ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件9．定义：若平面点集A 中的任一个点00(,)x y ，总存在正实数r ，使得集合{(,)}x y r A <⊆，则称A 为一个开集.给出下列集合： ①22{(,)|1}x y x y +=；②{(,)|20}x y x y ++≥；③{(,)|6}x y x y +<；④22{(,)|0(1}x y x y <+<. 其中是开集的是（ ）A ．①④B ．②③C ．②④D ．③④ 10．“0a =”是“函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知命题2:21,:560p x m q x x -<++<，且p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（ ）A ．12m >B ．12m ≥C ．1mD ．m 1≥第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案12．已知命题P ：∃0x R ∈，20010x x -+≥；命题Q ：若a ＜b ，则1a ＞1b，则下列为真命题的是（ ）A ．P Q ∧B ．P Q ⌝∧C ．P Q ⌝∧D ．P Q ⌝⌝∧二、填空题13．①一个命题的逆命题为真，它的否命题一定也为真：②在ABC 中，“60B ∠=︒”是“,,A B C ∠∠∠三个角成等差数列”的充要条件； ③1{2x y >>是3{2x y xy +>>的充要条件；④“22am bm <”是“a b <”的充分必要条件；以上说法中，判断错误的有_______________.14．若“0,63x ππ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦使得0tan x m ≥”是假命题，则实数m 的取值范围为________. 15．已知集合1,2,3,{}4,5,6X Y Z ⋃⋃=，若1,21,2,3,4,5}{},3{,X Y X Y X ⋂=⋃=∉，则集合X Y Z 、、所有可能的情况有_________种.16．已知集合{}{}22,1,A B a ==，若{}0,1,2A B =,则实数a =________.17．若命题：“2000,10x R ax ax ∃∈-->”为假命题，则实数a 的取值范围是__________．18．已知m R ∈，则“02m <<”是“方程22212x y m m +=-表示焦点在x 轴上的椭圆”的______ 条件(从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选择一个)．19．已知命题，则为_______．20．某学校举办运动会时，高一（1）班共有26名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加球类比赛和田径比赛的学生有__人．参考答案三、解答题21．已知非空集合S 的元素都是整数，且满足：对于任意给定的x ，y ∈S (x 、y 可以相同)，有x +y ∈S 且x -y ∈S .（1）集合S 能否为有限集，若能，求出所有有限集，若不能，请说明理由；（2）证明：若3∈S 且5∈S ，则S =Z .22．已知全集U =R ，集合{}2|2150A x x x =--<，集合()(){}2|210B x x a x a =-+-<. （1）若1a =，求U A 和B ；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.23．设命题p ：实数x 满足x 2﹣4ax +3a 2＜0（a ＞0），命题q ：实数x 满足x 2﹣5x +6＜0． （1）若a ＝1，且p ∧q 为真命题，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．24．已知集合103x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭∣，{}2(1)20B x x m x m =--+-≤∣． （1）若[,][1,4]A a b ⋃=-，求实数a ，b 满足的条件；（2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围．25．设全集U =R ，集合{}12A x x =-≤≤，{}40B x x p =+<.（1）若2p =，求A B ； （2）若U B A ⊆，求实数p 的取值范围.26．已知集合1|11A x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，()(){}|320,1B x x a x a a =--->≤. （1）求集合A 和B ；（2）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】化简命题q ，分类讨论a 解不等式()(3)0x a x -->，根据p 是q 的充分不必要条件列式可解得结果.【详解】 因为211x x <-，所以2101x x x -+<-，所以(1)(1)0x x -+<，所以11x -<<， 当3a <时，由()(3)0x a x -->得x a <或3x >， 因为p 是q 的充分不必要条件，所以1a ≥，所以13a ≤<，当3a =时，由()(3)0x a x -->得3x ≠，满足题意，当3a >时，由()(3)0x a x -->得3x <或x a >，满足题意，综上所述：1a ≥.故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查由充分不必要条件求参数的取值范围，一般可根据如下规则求解： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．2．A解析：A【分析】计算直线平行等价于1a =或2a =-，根据范围大小关系得到答案.【详解】直线1:20l ax y +=与直线()2140+++=：l x a y 平行，则()12a a +=，1a =或2a =-，验证均不重合，满足.故“1a =”是“直线1:20l ax y +=与直线()2140+++=：l x a y 平行”的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.3．B解析：B【分析】通过举反例得到“1xy ≤”推不出“224x y +≤”；再由“224x y +≤”⇒“1xy ≤”.能求出结果．【详解】 解：实数0x >，0y >，∴当3x =，14y =时，13422224x y +=+>， ∴“1xy ≤”推不出“224x y +≤”；反之，实数0x >，0y >，由基本不等式可得22x y +≥由不等式的基本性质得224x y ≤+≤，整理得24x y +≤，2x y ∴+≤， 由基本不等式得212x y xy +⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即“224x y +≤”⇒“1xy ≤”． ∴实数0x >，0y >，则“1xy ≤”是“224x y +≤”的必要不充分条件．故选：B ．【点睛】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中等题． 4．C解析：C【分析】根据补集的运算，求得{|0U x A x =≤或1}x >，再结合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，全集U =R ，集合{|01}A x R x =∈<≤，可得{|0U x A x =≤或1}x >，又由集合{1,0,1}B =-，所以(){1,0}U A B ⋂=-.故选：C.【点睛】 本题考查集合的补集与交集概念及运算，其中解答中熟记集合的交集、补集的概念和运算方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.5．A解析：A【分析】根据线面平行的性质定理、线面垂直的定义结合充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】当//m α时，过直线m 作平面β，使得l αβ=，则//m l ，n α⊥，l α⊂，n l ∴⊥，m n ∴⊥，即//m m n α⇒⊥；当m n ⊥时，由于n α⊥，则m α⊂或//m α，所以，//m n m α⊥⇒/.综上所述，//m α是m n ⊥的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了空间点、线、面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题.6．A解析：A【分析】根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.【详解】 若a b a b +=+，则a 与b 共线，且方向相同，充分性； 当a 与b 共线，方向相反时，a b a b ≠++，故不必要. 故选：A .【点睛】本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.7．C解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果.详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4AB =-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1AB C =-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力. 8．B解析：B【详解】试题分析：12log (2)0x +<211x x ⇒+>⇒>-，故正确答案是充分不必要条件，故选B.考点：充分必要条件. 9．D解析：D【分析】根据开集的定义逐个验证选项，即可得到答案.【详解】①：22{(,)|1}x y x y +=表示以原点为圆心，1为半径的圆，则在该圆上任意取点00(,)x y ，以任意正实数r 为半径的圆面，均不满足{(,)}x y r A <⊆故①不是开集；②{(,)|20}x y x y ++≥，在曲线20x y ++=任意取点00(,)x y ，以任意正实数r 为半径的圆面，均不满足{(,)}x y r A <⊆，故该集合不是开集； ③{(,)|6}x y x y +<平面点集A 中的任一点00(,)x y ，则该点到直线的距离为d ，取r d ＝，则满足{(,)|}x y r A ⊆，故该集合是开集；④22{(,)|0(1}x y x y <+<表示以点()0,3为圆心，1为半径除去圆心和圆周的圆面，在该平面点集A 中的任一点00(,)x y ，则该点到圆周上的点的最短距离为d ，取r d ＝，则满足{(,)}x y r A <⊆，故该集合是开集．故答案选D 项.【点睛】本题属于集合的新定义型问题，考查对新定义的理解并解决问题，属于中档题. 10．C解析：C【分析】先将根据函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数求参数0a =，判断前后两个条件相互等价，即可解题.【详解】解：∵函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数，∴(0)0f =即2sin0cos 00a +=，解得：0a =，∴ 0a =⇔函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数，∴“0a =”是“函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数”的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求参数、判断p 是q 的什么条件，是中档题.11．D解析：D【分析】求出命题q 不等式的解为23x <<，p 是q 的必要不充分条件，得q 是p 的子集，建立不等式求解.【详解】 解：命题2:21,:560p x m q x x -<++<，即: 23x <<， p 是q 的必要不充分条件，(2,3)(,21,)m ∴⊆-∞+，213m ∴+≥，解得m 1≥．实数m 的取值范围为m 1≥．故选：D ．【点睛】本题考查根据充分、必要条件求参数范围，其思路方法：(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时， 一定要注意区间端点值的检验．12．B解析：B【分析】判断命题P 为真命题，命题Q 为假命题，再依次判断每个选项得到答案.【详解】取00x =，则200110x x -+=≥，故命题P 为真命题；取2a =-，1b =，满足a b <，但是11a b<，故命题Q 为假命题. 故P Q ∧为假命题，P Q ⌝∧为真命题，P Q ⌝∧为假命题，P Q ⌝⌝∧为假命题.故选：B.【点睛】本题考查了命题的真假判断，命题的否定，且命题，意在考查学生的计算能力和推断能力.二、填空题13．③④【解析】对于①一个命题的逆命题与其否命题互为逆否命题则若其逆命题为真其否命题也一定为真①正确；对于②若则有则三个角成等差数列反之若三个角成等差数列有又由则故在中是三个角成等差数列的充要条件②正确解析：③④【解析】对于①，一个命题的逆命题与其否命题互为逆否命题，则若其逆命题为真，其否命题也一定为真，①正确；对于②，若60B ∠=，则120A C ∠+∠=，有2A C B ∠+∠=∠，则,,A B C ∠∠∠三个角成等差数列，反之若,,A B C ∠∠∠三个角成等差数列， 有2A C B ∠+∠=∠，又由3=180A B C B ∠+∠+∠=∠，则60B ∠=，故在ABC ∆中，“60B ∠=”是“,,A B C ∠∠∠三个角成等差数列”的充要条件，②正确；对于③， 当19,22x y ==，则满足32x y xy +>⎧⎨>⎩，而不满足12x y >⎧⎨>⎩，则12x y >⎧⎨>⎩是32x y xy +>⎧⎨>⎩的不必要条件，③错误；对于④，若a b <，当0m =时，有22am bm =，则“22am bm <”是“a b <”的不必要条件，④错误，故答案为③④.14．【分析】根据题意写出原命题的否定则其是一个真命题再据此求范围即可【详解】因为使得是假命题所以其否定:是真命题又时所以故答案为:【点睛】本题考查命题的真假关系考查三角函数求最值属于简单题在解决命题真假解析：【分析】根据题意,写出原命题的否定,则其是一个真命题,再据此求范围即可.【详解】因为“0,63x ππ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦使得0tan x m ≥”是假命题, 所以其否定:“,63x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,tan x m <”是真命题,又,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,tan x ∈,所以m >故答案为:)+∞. 【点睛】 本题考查命题的真假关系,考查三角函数求最值,属于简单题.在解决命题真假性相关问题时,若原命题不好求解,可以考虑与之相关的其他命题,比如命题的否定,逆否命题等. 15．【分析】通过确定XYZ 的子集利用乘法公式即可得到答案【详解】根据题意可知由于可知Z 共有种可能而有4种可能故共有种可能所以答案为128【点睛】本题主要考查子集相关概念乘法分步原理意在考查学生的分析能力 解析：128【分析】通过确定X,Y ,Z 的子集，利用乘法公式即可得到答案.【详解】根据题意，可知1,2,1,236{}{},{}Z X Y ⊆⊆⊆，，由于{6}Z ⊆，可知Z 共有 52=32种可能，而(){4},5X Y ⊆⋃有4种可能，故共有432=128⨯种可能，所以答案为128.【点睛】本题主要考查子集相关概念，乘法分步原理，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度较大.16．0【解析】分析：根据集合的并集的含义有集合A 或B 必然含有元素0又由集合AB 可得从而求得结果详解：根据题意若则A 或B 必然含有元素0又由则有即故答案是0点睛：该题考查的是有关集合的运算问题利用两个集合的 解析：0.【解析】分析：根据集合的并集的含义，有集合A 或B 必然含有元素0，又由集合A,B 可得20a =，从而求得结果.详解：根据题意，若{}=0,1,2A B ⋃，则A 或B 必然含有元素0，又由{}{}22,1,A B a ==，则有20a =，即0a =，故答案是0.点睛：该题考查的是有关集合的运算问题，利用两个集合的并集中的元素来确定有关参数的取值问题，属于基础题目.17．【解析】由题意得解析：[]4,0-【解析】由题意得2004040a a a a a <⎧=∴-≤≤⎨∆=+≤⎩或18．必要不充分【解析】因为方程表示焦点在轴上的椭圆所以因此是方程表示焦点在轴上的椭圆的必要不充分条件点睛：充分必要条件的三种判断方法定义法：直接判断若则若则的真假并注意和图示相结合例如⇒为真则是的充分条 解析：必要不充分【解析】 因为方程22212x y m m +=-表示焦点在x 轴上的椭圆，所以22022m m m >->∴<< 因此“02m <<”是“方程22212x y m m +=-表示焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．19．【解析】试题分析：根据全称命题的定义得为故答案为考点：全称命题的否定解析：00,sin 1x R x ∃∈>【解析】试题分析：根据全称命题的定义得为00,sin 1x R x ∃∈>，故答案为00,sin 1x R x ∃∈>．考点：全称命题的否定．20．5【解析】【分析】根据15人参加游泳比赛有8人参加田径比赛同时参加游泳和田径的有3人同时参加游泳和球类比赛的有3人可以求得只参加游泳比赛的人数；再结合总人数即可求得同时参加田径和球类比赛的人数【详解 解析：5【解析】【分析】根据15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类比赛的有3人，可以求得只参加游泳比赛的人数；再结合总人数即可求得同时参加田径和球类比赛的人数．【详解】解：有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，这三项累加时，比全班人数多算了三部分，即同时参加游泳比赛和田径比赛的、同时参加游泳比赛和球类比赛的和同时参加田径比赛和球类比赛的重复算了两次所以15+8+14﹣3﹣3﹣26＝5，就是同时参加田径比赛和球类比赛的人数，所以同时参加田径比赛和球类比赛的有5人．故答案为5．【点睛】本题主要考查集合之间的元素关系，注意每两种比赛的公共部分，属于中档题．三、解答题21．（1）{}0；（2）证明见解析.【分析】（1）若a S ∈，分析0a ≠和0a =可得答案；（2）集合S 的元素都是整数，利用已知得到非空集合S 是所有整数构成的集合.然后再由5S ∈，3S ∈， 532S -=∈得到{}|2,x x k k Z =∈ S ，且{}|21,x x k k Z =+∈ S 可得答案.【详解】（1）能，理由如下：若a S ∈，且0a ≠，由题意知a 的所有整数倍的数都是S 中的元素，所以S 是无限集；若a S ∈，且0a =，则{}0S =，,x y S x y S +∈-∈符合题意，且{}0S =是有限集，所以集合S 能为有限集，即{}0S =.（2）证明：因为非空集合S 的元素都是整数，且()(),x y Z x y Z +∈-∈,由5S ∈，3S ∈，所以532S -=∈，所以321S -=∈，所以112S +=∈，123S +=∈，134S +=∈，， 110S -=∈，011S -=-∈，112S --=-∈，213S--=-∈， 所以非空集合S 是所有整数构成的集合.由5S ∈，3S ∈，所以532S -=∈，因为,x y S x y S +∈-∈，所以224,220S S +=∈-=∈，246,242S S +=∈-=-∈，268,264S S +=∈-=-∈，， 所以2的所有整数倍的数都是S 中的元素，即{}|2,x x k k Z =∈ S ， 且321S -=∈，所以21,x k k Z =+∈也是集合S 中的元素，即{}|21,x x k k Z =+∈ S ，{}|2,x x k k Z =∈{}|21,x x k k Z Z =+∈=，综上所述，S Z =.【点睛】本题考查对集合性质的理解，关键点是理解,x y S x y S +∈-∈，考查了学生分析问题、解决问题的能力，以及推理能力.22．（1）U A ={x ∣x ≤−3或x ≥5}；B =∅；（2）−1≤a【分析】（1）利用一元二次不等式的解法化简集合A 、B ,利用集合的基本运算即可算出结果； （2）因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，对集合B 分等于空集和不等于空集两种情况讨论，求出a 的取值范围．【详解】（1）若1a =，则集合2{|2150}{|35}A x x x x x =--<=-<<，{|3U A x x ∴=-或5}x ， 若1a =，则集合22{|(21)()0}{|(1)0}B x x a x a x x =-+-<=-<=∅，（2）因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，①当B =∅时，221a a =-，解1a =，②当B ≠∅时，即1a ≠时，2{|21}B x a x a =-<<，又由（1）可知集合{|35}A x x =-<<，∴22135a a --⎧⎨⎩，解得15a -，且1a ≠， 综上所求，实数a 的取值范围为：15a-． 【点睛】 本题主要考查了集合的基本运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题． 23．（1）（2，3）（2）[1，2]【分析】（1）根据p ∧q 为真命题，所以p 真且q 真，分别求出命题p 为真命题和命题q 为真命题时对应的x 的取值范围，取交集，即可求出x 的取值范围；（2）先分别求出命题p 为真命题和命题q 为真命题时，对应的集合，再根据充分、必要条件与集合之间的包含关系，即可求出。