第二讲双曲线-学生版

合集下载

一轮复习教案：第10章第2讲双曲线及其性质

则双曲线的顶点为(1,0)，(－1,0)，焦点为(2,0)，(－2,0)．
则双曲线的标准方程为：x2－y2＝1. 3
其渐近线为 y＝± 3x.
解题法
[考法综述] 高考对于双曲线的几何性质的考查以理解和运用为主，双曲线独有的渐近
线是高频考点，常与其他圆锥曲线综合考查，难度较大．
命题法双曲线的几何性质
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
图形
2 等轴双曲线及性质 (1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x2－y2 ＝λ(λ≠0)．
(2)等轴双曲线⇔离心率 e＝ 2⇔两条渐近线 y＝±x 相互垂直． 3 点 P(x0，y0)和双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的关系 (1)P 在双曲线内(含焦点部分)⇔ax202－by202>1； (2)P 在双曲线上⇔ax202－by202＝1； (3)P 在双曲线外(不含焦点部分)⇔ax202－by202<1.
注意点双曲线的离心率与曲线开口大小的关系离心率 e 的取值范围：e>1，当 e 越接近于 1 时，双曲线开口越小；e 越接近于＋∞时，双曲线开口越大.
入门测
1．思维辨析
(1)双曲线方程mx22－ny22＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是mx22－ny22＝0，即mx ±ny＝0.(
16 12
mn
3 －1＝1， n>0)，则 m n
m＋n＝4，
解得 m＝n＝2，故选 C.
3．双曲线 x2 －y2＝1 上的点 P 到点(5,0)的距离是 6，则点 P 的坐标是________． 16 9
答案 (8，±3 3)

第二讲双曲线中常用的结论及解法技巧(学生版)

第二讲双曲线中常用的结论及解法技巧【知识要点】一．双曲线三大定义定义 1．到两定点距离之差的绝对值（小于两定点距离）为定值的点的轨迹是双曲线．几何性质：双曲线上任一点到两焦点的距离之差的绝对值为定值．定义 2．到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为定值（大于1）的点的轨迹是双曲线．几何性质：双曲线上任一点到左（右）焦点的距离与到左（右）准线的距离之比为离心率e ．定义 3．到两个定点的斜率之积为定值（大于0）的点的轨迹是双曲线．几何性质：双曲线上任一点到左右（上下）两顶点的斜率之积为22ab ．二．双曲线经典结论汇总1．AB 是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的不平行于对称轴的弦，),(00y x M 为AB 的中点，则22a b k k ABOM =⋅，即 0202y a x b k AB =．等价形式：21,A A 是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 上关于原点对称的任意两点，B 是双曲线上其它任意一点，直线B A B A 21,的斜率存在，则2221ab k k BA B A =⋅． 2．双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，点P 为双曲线上异于实轴端点的任意一点θ=∠21PF F 则（1）2122||||1cos b PF PF θ=-；（2）双曲线的焦点角形的面积为2tan 221θb S PF F =∆．3．过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 上任一点),(00y x A 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于C B ,两点，则直线BC 有定向且0202y a x b k BC-= （常数）．4．P 为双曲线()0,012222>>=-b a by a x 上任一点，21,F F 为二焦点，A 为双曲线内一定点，则||||2||12PF PA a AF +≤-，当且仅当P F A ,,2三点共线且P 和2,F A 在y 轴同侧时，等号成立．5．已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x ，O 为坐标原点，Q P ,为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥，（1）22221111||||OP OQ a b +=-；（2）22||||OQ OP +的最大值为22224a b b a -；（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b b a -．6．双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的两个顶点为1(,0)A a -，2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于21,P P 时11P A 与22P A 交点的轨迹方程是22221x y a b+=． 7．双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的焦半径公式：),0,(),0,(21c F c F -当),(00y x M 在右支上时，.||,||0201a ex MF a ex MF -=+=当),(00y x M 在左支上时，.||,||0201a ex MF a ex MF --=+-=8．若),(000y x P 在双曲线()0,012222>>=-b a by a x 内，则被0P 所平分的中点弦的方程是222202020by a x b y y a x x -=-． 9．若),(000y x P 在双曲线()0,012222>>=-b a by a x 内，则过0P 的弦中点的轨迹方程是20202222byy a x x b y a x -=-． 10．若),(000y x P 在双曲线()0,012222>>=-b a by a x 上，则过0P 的双曲线的切线方程是12020=-byy a x x ． 11．若),(000y x P 在双曲线()0,012222>>=-b a by a x 外，则过0P 作双曲线的两条切线切点为21,P P ，则切点弦 21P P 的直线方程是12020=-byy a x x ． 12．设双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的两个焦点为P F F ,,21（异于实轴端点）为双曲线上任意一点，在21F PF ∆中，记12F PF α∠=，12PF F β∠=，12F F P γ∠=，则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-．13．若P 为双曲线()0,012222>>=-b a by a x 上异于实轴端点的任一点，21,F F 是焦点，12PF F α∠=，21PF F β∠=，则2cot 2tan βα=+-a c a c （或2cot 2tan αβ=+-a c a c ）．14．设B A ,是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的实轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=， PBA β∠=，BPA γ∠=，e c 、分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αγ=-； (2)2tan tan 1e αβ=-；(3) 22222cot PAB a b S b aγ∆=+．15．过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于N M ,两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =．16．已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x ，B A ,是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点)0,(0x P ，则220a b x a +≥或220a b x a+≤-．17．点P 处的切线PT 平分21F PF ∆在点P 处的内角．18．过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点Q P ,，21,A A 为双曲线实轴上的顶点，P A 1和Q A 2交于点M ，P A 2和Q A 1交于点N ，则NF MF ⊥．【例题解析】【例1】设双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于B A ,两点，与双曲线的其中一个交点为P ，设O 为坐标原点，若),(R n m OB n OA m OP ∈+=→→→，且92=mn ，则该双曲线的离心率为（） A ．223 B ．553 C ．423 D ．89【例2】双曲线134:22=-y x C 的左、右顶点分别为21,A A ，点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是]2,1[，那么直线1PA 斜率的取值范围是（）A ．]43,21[B ．]43,83[C ．]1,21[D ．]1,43[【例3】已知斜率为3的直线l 与双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 交于B A ,两点，若点)2,6(P 是AB 的中点，则双曲线C 的离心率等于（）A ．2B ．3C ．2D ．22【例4】已知双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点分别为21,F F ，直线l 过点1F 且与双曲线C 的一条渐进线垂直，直线l 与两条渐进线分别交于N M ,两点，若||2||11MF NF =，则双曲线C 的渐进线方程为（）A ．x y 33±=B ．x y 3±=C ．x y 22±= D ．x y 2±=【例5】设F 为双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的左焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左、右支交于点Q P ,，若||3||PF FQ =，060=∠FPQ ，则该双曲线的离心率为（） A ．3 B ．31+ C ．32+ D ．323+【例6】已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x ，若存在过右焦点F 的直线与双曲线交于B A ,两点，且→→=BF AF 3，则双曲线离心率的最小值为（）A ．2B ．3C ．2D ．22【例7】已知直线()0y kx k =≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF △的面积为24a ，则双曲线的离心率为（）A B C ．2D【例8】已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，O 为双曲线的中心，P 是双曲线右支上的点，21F PF ∆的内切圆的圆心为I ，且圆I 与x 轴相切于点A ，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，若e 为双曲线的离心率，则（）A ．||||OA e OB = B ．||||OB e OA =C ．||||OB OA =D ．||OA 与||OB 关系不确定【例9】如图，已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，4||21=F F ，P 是双曲线右支上的一点，P F 2与y 轴交于点A ，1APF ∆的内切圆在1PF 上的切点为Q ，若1||=PQ ，则双曲线的离心率是（）A ．3B ．2C ．3D ．2 【课堂练习】【1】如图，21,F F 是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点B A ,．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A ．4B ．7C ．332 D ．3 【2】如图，21,F F 是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点，点P 在第一象限，且满足0)(2211=⋅+→→→P F F F P F ，a P F =→||2，线段2PF 与双曲线交于点Q ，若→→=Q F P F 225，则双曲线的渐近线方程为（）A ．x y 21±= B ．x y 55±= C ．x y 552±= D ．x y 33±=【3】已知21,F F 为双曲线C ：122=-y x 的左、右焦点，点P 在C 上，02160=∠PF F ，则||||21PF PF ⋅等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8【4】已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，由2F 向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为H ，若21HF F ∆的面积为2b ，则双曲线的渐近线方程为____________．【5】已知点P 为双曲线()0,012222>>=-b a by a x 右支上一点，21,F F 分别为双曲线的左右焦点，且ab F F 221||=，I 为21F PF ∆的内心，若2121F IF IPF IPF S S S ∆∆∆+=λλ成立，则λ的值为_______．【6】设双曲线1322=-yx 的左、右焦点分别为21,F F ，若点P 在双曲线上，且21PF F ∆为锐角三角形，则||||21PF PF +的取值范围是_______．【7】已知点P 为双曲线()0,012222>>=-b a by a x 右支上一点，其右焦点为2F ，若直线2PF 的斜率为3，M 为线段2PF 的中点，且||||22M F OF =，则该双曲线的离心率为_______．【课后作业】【1】双曲线的左右焦点分别为，，焦距，以右顶点为圆心的圆与直线相切于点，设与交点为，，若点恰为线段的中点，则双曲线的离心率为（） A ．B ．C ．D ．【2】(2019年全国2卷理数)设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为( ) A ．2B ．3C ．2D ．5【3】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ：的左右焦点分别为21,F F ，过1F 的直线与C的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若以21F F 为直径的圆过点B ，且A 为B F 1的中点，则C 的离心率为（）A ．13+B ．2C ．3D ．2【4】设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线02034=+-y x 过点F且与C 在第二象限的交点为P ，O 为原点， OP OF =,则双曲线C 的离心率为（） A.5 B. 5 C.53 D. 54【5】设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若126PF PF a +=，且12PF F △的最小内角为30︒，则C 的离心率为（）A ．2B ．32C ．3D ．62【6】如图所示，已知双曲线()222210x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于,A B 两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（）A.324 B. 233 C. 305 D. 52【7】已知F 是双曲线2221x a b2y －＝()0,0a b >>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（）A ． ()1,+∞B ． ()1,2C ． ()1,12+D ． ()2,12+【8】双曲线的离心率，右焦点为，点是双曲线的一条渐近线上位于第一象限内的点，，AOF △的面积为，则双曲线的方程为（）A ．B ．C ．D ．【9】已知双曲线与轴交于、两点，点，则面积的最大值为（）A ．2B ．4C ．6D ．8【10】双曲线的右焦点为，左顶点为，以为圆心，过点的圆交双曲线的一条渐近线于两点，若不小于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【11】已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是（）A. 33⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭B. (C. 33⎡⎢⎣⎦D. ⎡⎣ 【12】（2019年全国1卷理数）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【13】已知直线与双曲线交于，两点，为双曲线上不同于，的点，当直线，的斜率，存在时，．2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>e =F A C AOF OAF ∠=∠C 2213612x y -=221186x y -=22193x y -=2213x y -=222214x y b b-=-()02b <<x A B ()0,C b ABC ∆()222210,0x y a b a b-=>>F A F A,P Q PQ (]1,2((]1,3[)3,+∞12y x =22194x y -=A B P A B PA PB PA k PB k PA PB k k ⋅=。

第二讲双曲线中常用的结论及解法技巧(学生版)

C． 3
D． 2
【4】设双曲线 C
x2
：
a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
的左焦点为 F
，直线 4x 3y 20
0 过点 F
且与 C 在第二象限的交点为 P ，O 为原点， OP OF ,则双曲线 C 的离心率为（）
【例
9】如图，已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0,b
0的左、右焦点分别为 F1, F2 ，|
F1F2
|
4，
P 是双曲线右支上的一点， F2P 与 y 轴交于点 A ， APF1 的内切圆在 PF1 上的切点为 Q ，
若 | PQ | 1 ，则双曲线的离心率是（）
4
A． 3
B． 2
C． 3
D． 2
则（1）|
PF1
||
PF2
|
2b2 1 cos
；（2）双曲线的焦点角形的面积为
S F1PF2
b2 ．
tan
2
3．过双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0,b
0 上任一点
A(x0 ,
y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双
曲线于 B,C
两点，则直线 BC 有定向且 kBC
b2 x0 a2 y0
（常数）．
x a
2 2
y2 b2
1a 0,b 0上关于原点对称的任意两点， B 是双曲
线上其它任意一点，直线
A1B, A2B 的斜率存在，则 k A1B
k A2B
b2 a2
．
2．双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0, b

高三数学二轮复习-专题五第二讲-椭圆、双曲线、抛物线课件

答案 6
抛物线的方程及几何性质
(5分)(2011·山东)设M(x0，y0)为抛物线C: x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是
A．(0,2)
B．[0,2]
C．(2，＋∞)
D．[2，＋∞)
【标准解答】 ∵x2＝8y, ∴焦点F的坐标为 (0,2), 准线方程为y＝－2.
∴c2＝a2－b2＝8.∴e＝ac＝2 4 2＝
2 2.
答案 D
4．(2011·辽宁)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该
抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为
3 A.4
B．1
5
7
C.4
D.4
解析 ∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋12＝3，∴xA＋xB＝52.
解析由于直线AB的斜率为－ba，故OP的斜率为－ba，
直线OP的方程为y＝－bax.
与椭圆方程ax22＋by22＝1联立，解得x＝±
2 2 a.
因为PF1⊥x轴，所以x＝－ 22a，
从而－ 22a＝－c，即a＝ 2c. 又|F1A|＝a＋c＝ 10＋ 5，故 2c＋c＝ 10＋ 5，解得c＝ 5，从而a＝ 10.所以所求的椭圆方程为1x02 ＋y52＝1. 答案 1x02 ＋y52＝1
又双曲线的离心率e＝ a2a＋b2＝ a7，所以 a7＝247，所以a＝2，b2＝c2－a2＝3，故双曲线的方程为x42－y32＝1.
答案 x42－y32＝1
圆锥曲线是高考考查的重点，一般会涉及到圆锥曲线的定义、离心率、圆锥曲线的几何性质及直线与圆锥曲线的位置关系等. 在命题中体现知识与能力的综合，一般地，选择题、填空题的难度属中档偏下，解答题综合性较强，能力要求较高，故在复习的过程中，注重基础的同时，要兼顾直线与圆锥曲线的综合问题的强化训练，尤其是对推理、运算能力的训练.

第二讲-4双曲线的参数方程

因为OA ⊥ AA`, 所以OA ⋅ AA` = , 从而
a cos ϕ ( x − a cos ϕ ) − (a sin ϕ ) = . a 解得 x = .记 cos ϕ
cos ϕ = sec ϕ , 则x = a sec ϕ .
y
B` A
M
ϕ
O B
A `
x
因为点B`在角ϕ的终边上,由 y 图 − 三角函数定义有 tan ϕ = , b 即y = b tan ϕ . 所以, 点M的轨迹的参数方程为
S平行四边形MAOB =| OA | ⋅ | OB | sin α xA xB = ⋅ ⋅ sin α cos α cos α
y
A
M
O
x
练习: 练习
1.已知参数方程
1 x = t + t 是参数, 1 (t 是参数 t >0) y = t − t
化为普通方程,画出方程的曲线. 化为普通方程,画出方程的曲线. 画出方程的曲线
x2 y2 与椭圆类似，与椭圆类似， 2 − 2 = 1双 a b
y
B` A
M
ϕ
O B
A `
x
例
图 − , 设M为曲如双
y
x y 线 − = (a,b > ) 上意任 a b 一 , O 原 ,过 M 作曲点为点点双线渐线平线分与两近的行 , 别两近交 A B两 .探平渐线于, 点求行边 M B 的积,由四形 AO 面此可发什结 ? 以现么论
A
M
O
B
x
同理可得点B的横坐标为 a b xB = (sec ϕ − tan ϕ ). 设∠AOx = α , 则 tan α = . a 所以, 平行四边形MAOB的面积为

第2讲双曲线课件理课件.ppt

【互动探究】
1．设双曲线1x62－9y2＝1 上的点 P 到点(5,0)的距离为 15，则 P 点到(－5,0)的距离是( D )
A．7 B．23 C．5 或 23 D．7 或 23 解析：容易知道(5,0)与(－5,0)是给出双曲线的焦点，P 是双曲线上的点，直接从定义入手．设所求的距离为 d，则由双曲线的定义可得：|d－15|＝2a＝8⇒d＝7 或 23.
AB 的方程为 y＝x＋1，
因此 M 点的坐标为12，23， F→M＝－32，32. 同理可得F→N＝－32，－32. 因此F→M·F→N＝－322＋32×－32＝0 综上F→M·F→N＝0，即 FM⊥FN. 故以线段 MN 为直径的圆经过点 F.
的范围变化值需探究；
(3)运用不等式知识转化为 a、b、c 的齐次式是关键．
错源：没有考虑根的判别式例 5：已知双曲线 x2－y22＝1，问过点 A(1,1)是否存在直线 l 与双曲线交于 P、Q 两点，并且 A 为线段 PQ 的中点？若存在求出直线 l 的方程，若不存在请说明理由．
误解分析：没有考虑根的判别式，导致出错．
y2 9
Hale Waihona Puke －2x72 ＝1D．以上都不对
3．已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 26，则双曲线的渐近线方程为( C )
A．y＝±2x B．y＝± 2x
C．y＝±
2 2x
D．y＝±12x
4．已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为 x
＋2y＝0，则双曲线的离心率 e 的值为( A )
正解：设符合题意的直线 l 存在，并设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

双曲线的简单几何性质学生版

(1)9 x2 y2 81
(2)x2 y2 4
2.若双曲线的渐近线方程为y 4 x,则双曲线 3
的离心率为
1.双曲线的简单几何性质：范围、对称性、顶点、渐近线、离心率
2.数学思想方法：“类比”和“数形结合”
体验高考
1.2011安徽高考双曲线2x2 y2 8的实轴长是（）
A.2
y2 - x2 1 (a 0, b 0) a2 b2
y a或y a, x R
对称性
关于x轴、y轴、原点对称
顶点离心率渐近线
A1（- a，0），A2（a，0）
A1（0，-a），A2（0，a）
* ybx a
e c (e 1) a
* yax b
巩固练习
1.求以下双曲线的焦点坐标、顶点坐标、实轴长、虚轴长、渐近线方程、离心率.
1、范围
y a或y a, x R
y
a
o
x
-a
【练习一】写出以下双曲线的范围
x2 y2 (1) 1
4 12 (2) x2 y2 1
20 16
3 y2 x2 1
9 16
探究双曲线
x2 y2 a2 b2 1(a 0, b 0)
的简单几何性质
2、对称性
(-x,y)
y (x,y)
4.双曲线的渐近线
▲规定：直线
ybx a
叫做双曲线
x2 a2
y2 b2
=1的渐近线。
▲思考：①双曲线
y2 a2
x2 b2
1的渐近线方程是什么？ y
a
x
②两种双曲线的渐近线方程，怎样统一记忆？b
x2 y2 a2 b2 =1
y2 a2
x2 b2

双曲线的基本知识点PPT

按方程形式分类
双曲线方程的对称性双曲线的标准方程是(x-a)²/b² - (y-b)²/a² = 1，其具有中心对称性，即点 (a, b)为中心。双曲线的焦距与实轴长度的关系在双曲线中，焦距c与实轴长度2a有固定的数学关系：c² = a² + b²，此式被称为双曲线的基本性质之一。
T 双曲线关于其轴和中心点均具有对称性，这是由其定义决定的。双曲线的渐近线性质双曲线的渐近线是一条直线，该直线与双曲线交于两个无穷远点，这是双曲线的重要特性之一。
05 双曲线的实际应用
双曲线的实际应用:物理中的应用
双曲线的几何特性双曲线是二次曲线的一种，其双曲线的几何特性双曲线是二次曲线的一种，其几何特性包括焦点在两个固定点，且所有到两焦点距离之和为定长的点的集合。双曲线的方程式双曲线的标准方程是(x^2)/a^2 - (y^2)/b^2 = 1，其中a, b > 0, a^2 + b^2 = c^2 双曲线在物理中的应用双曲线广泛应用于物理学中，如电磁场理论、光学、量子力学等，例如，双曲线的焦散线就是光学中的一条重要概念。双曲线与实际问题的联系双曲线的许多性质，如离心率、焦点等，可以用于解决实际问题，如测量物体的距离、角度等。
双曲线的图形特征:焦点和准线
双曲线定义双曲线是平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹。焦点性质双曲线的两个焦点位于实轴两端，距离实轴相等。准线特征双曲线有两条互相垂直的准线，分别交坐标轴于原点和渐近线点。
04 双曲线的性质解析
双曲线的性质解析:主要性质
双曲线的焦点特性双曲线有两焦点位于其对称轴上，距离中心等距。双曲线的对称性双曲线具有旋转对称性和平移对称性。双曲线的渐近线双曲线有两个渐近线，分别代表双曲线在x轴和y轴上的极限状态。实数双曲线的面积实数双曲线的面积是πab/4。

大学数学(高数微积分)专题五第2讲椭圆双曲线(课堂讲义)

热点分类突破
(2)设∠F1PF2＝θ，
本
由||PPFF11||－＝4|P|PFF2|2＝| 2a，
得|PF1|＝83a， |PF2|＝23a，
讲栏目
由余弦定理得cos θ＝17a82－a2 9c2＝187－98e2.
开
关 ∵θ∈(0,180°]，∴cos θ∈[－1,1)，－1≤187－98e2<1，
|x|≥a
本
讲栏
几
顶点
(±a,0)，(0，±b)
(±a,0)
目开
何对称性
关于x轴，y轴和原点对称
关性焦点
(±c,0)
x≥0
(0,0) 关于x轴对称
(p2，0)
质
长轴长2a，短轴实轴长2a，
轴
长2b
虚轴长2b
主干知识梳理
几离心率 e＝ac＝
1－ba22 e＝ac＝
1＋ba22 e＝1
本
3 2.
热点分类突破
∴|AC|＝|y2－y1|＝ 3.
因此菱形的面积S＝12|OB|·|AC|＝12×2× 3＝ 3.
(2)假设四边形OABC为菱形．
讲栏目
又 x1＋x2＝－43m，x1x2＝2m23－2，
开关
∴y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2
＝2m23－2－4m3 2＋m2＝m23－2.
又F为△MPQ的垂心，连接PF，则PF⊥MQ， ∴P→F·M→Q＝0，
热点分类突破
又P→F＝(1－x1，－y1)，M→Q＝(x2，y2－1)， ∴P→F·M→Q＝x2＋y1－x1x2－y1y2 ＝x2＋x1＋m－x1x2－y1y2

5

双曲线PPT课件

椭圆的图像与性质
Y |x|a,|y|≤b B2 关于X,Y轴, 原点对称 (±a,0),(0,±b) (±c,0) A1A2 ; B1B2 A1 A2
F1
o
F2
X
B1
焦点在x轴上的双曲线图像
Y
B2
F1
A1
A2
F2
X
B1
焦点在x轴上的双曲线的几何性质
双曲线标准方程：双曲线性质： 1、范围： x≥a或x≤-a Y B2
4、轴：实轴 B1B2 ; 虚轴 A1A2 5、渐近线方程： 6、离心率： e=c/a
B1
F2
例题1:求双曲线焦点坐标,离心率.渐近线方程。
的实半轴长,虚半轴长,
解：把方程化为标准方程：来自可得:实半轴长a=4 虚半轴长b=3 半焦距c= 焦点坐标是(0,-5),(0,5) 离心率: 渐近线方程: 即
练习题:填表
6
18 |x|≥3 (±3,0)
4
4 |y|≥2 (0,±2)
10
14
|x|≥
|y|≥5 (0,±5)
y=±3x
例2:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线,求证: (1)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线; (2)双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上.
关于x轴，y轴，原点对称。 2、对称性：
3、顶点 A1（-a，0），A2（a，0）
X A1
A2
4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2 5、渐近线方程： 6、离心率： e=
B1
焦点在y轴上的双曲线图像
Y F2
A2
B1
O
B2
X
A1
F1
焦点在y轴上的双曲线的几何性质

双曲线学生版2022

9．6 双曲线1．(2021·河北定兴第三中学模拟)已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线上一点，|PF 1|＝7，则|PF 2|＝( )A ．1或13B ．1C ．13D ．92．双曲线4x 2＋ky 2＝4k 的虚轴长是实轴长的2倍，则实数k 的值是( ) A ．16 B ．116 C ．－16 D ．－1163．(2021·山西长治模拟)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，则该双曲线的实轴长为( )A.233 B ．433 C ．32 D ．34．(2021·江西景德镇一中模拟)双曲线x 2－y 23＝1的顶点到渐近线的距离为( )A.32 B ．12 C ．34 D ．2335．(2021·浙江金华第一中学模拟)设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，下列说法正确的是( )A ．若△F 1PF 2为直角三角形，则△F 1PF 2的周长是27＋4B ．若△F 1PF 2为直角三角形，则△F 1PF 2的面积是6C ．若△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是(27，8)D ．若△F 1PF 2为钝角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是(8，＋∞)1．(2021·北京高考)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过点(2，3)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1B ．x 23－y 2＝1 C ．x 2－3y 23＝1D ．3x 23－y 2＝12．(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为( )A.72 B ．132 C ．7D ．133．(2020·全国Ⅰ卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2－y23＝1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP |＝2，则△PF 1F 2的面积为( )A.72 B ．3 C ．52D ．24．(2020·全国Ⅱ卷)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( )A ．4B ．8C ．16D ．325．(2021·全国乙卷)双曲线x 24－y 25＝1的右焦点到直线x ＋2y －8＝0的距离为________．一、基础知识巩固考点双曲线的定义例1 (2021·江苏苏州中学模拟)双曲线x 225－y 223＝1的两个焦点为F 1，F 2，双曲线上一点P 到F 1的距离为8，则点P 到F 2的距离为( )A．2或12B．2或18 C．18D．2例2(2022·湖北宜昌高三月考)已知双曲线y2m －x22＝1，直线l过其上焦点F2，交双曲线上支于A，B两点，且|AB|＝4，F1为双曲线下焦点，△ABF1的周长为18，则m的值为()A．8B．9C．10D．25 41.(2021·四川威远中学模拟)已知双曲线C：y29－x24＝1，F1，F2分别是双曲线C的两个焦点．点P在双曲线C上，且|PF1|＝7，则|PF2|等于() A．11B．3或11C．13D．1或132．(2021·永昌县第一高级中学模拟)P是双曲线x29－y216＝1的右支上一点，M，N分别是圆(x＋5)2＋y2＝1和(x－5)2＋y2＝4上的点，则|PM|－|PN|的最大值为()A．6B．7C．8D．9双曲线定义的应用策略(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求求出曲线方程．(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．(3)利用双曲线的定义解决问题时的注意点①距离之差的绝对值，若将定义中的绝对值去掉，则点的轨迹是双曲线的一支；②2a＜|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．考点双曲线的标准方程例3(2021·天津模拟)已知双曲线的左、右焦点分别为F1(－3,0)，F2(3,0)，P 为双曲线上一点且||PF1|－|PF2||＝4，则双曲线的标准方程为()A.x24－y25＝1B．x25－y24＝1C.y24－x25＝1D．y25－x24＝1例4(2021·重庆二模)在平面直角坐标系中，一动圆C与x轴切于点A(4,0)，分别过点M(－5，0)，N(5,0)作圆C的切线并交于点P(点P不在x轴上)，则点P 的轨迹方程为()A.x216－y29＝1(x>4) B.x216－y29＝1(x<－4)C.x216－y29＝1(x<－4或x>4) D.x216－y29＝13.(2021·云南丽江第一高级中学模拟)与椭圆C：y216＋x212＝1共焦点且过点(1，3)的双曲线的标准方程为()A．x2－y22＝1B．y2－2x2＝1C.y22－x22＝1D．y22－x2＝14．(2021·山西阳泉模拟)已知曲线E：x2＋y2cosα＝1(α∈[0，π])，则下列描述正确的是()①当π2<α<π时，曲线E为双曲线，焦点在x轴上；②当α＝π2时，曲线E为以原点为圆心，半径为1的圆；③当0≤α<π2时，曲线E围成图形的面积的最小值为π.A．①②B．①③C．②③D．①②③考点双曲线的几何性质例5(2021·汕头市达濠华侨中学期末)双曲线C：x24－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A.25 B ．45 C ．255 D ．455例6 (2021·湖北黄石模拟)已知A ，B ，C 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF ⊥AC 且3|AF |＝|AC |，则该双曲线的离心率是( )A.102 B ．53 C ．173D ．945.(2021·安徽合肥一中期末)直线x ＋3y ＝0是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线，且双曲线的一个顶点到渐近线的距离为3，则该双曲线的虚轴长为( )A ．4B ．8C ．23D ．436．(多选)(2021·辽宁沈阳高三年级质量监测)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F (－1,0)，过F 且与x 轴垂直的直线与双曲线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，△AOB 的面积为32，则下列结论正确的有( )A ．双曲线C 的方程为4x 2－4y 23＝1B ．双曲线C 的两条渐近线所成的锐角为60° C ．F 到双曲线C 的渐近线的距离为3D ．双曲线C 的离心率为2 考点与双曲线有关的最值、范围问题例7 (2021·四川绵阳南山中学模拟)已知双曲线x 2－y23＝1的右焦点为F ，M (4,35)，直线MF 与y 轴交于点N ，点P 为双曲线上一动点，且点P 在以MN 为直径的圆内，直线MP 与以MN 为直径的圆交于点M ，Q ，则|PM |·|PQ |的最大值为( )A ．48B ．49C ．50D ．42例8 (2021·甘肃兰州一中期末)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1的左焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线C 的左、右两支分别于点Q ，P ，若|FQ |＝t |QP |，则实数t 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23－36 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤23－36，1C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，23－36 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤23－36，27.(2021·南京师范大学附属中学模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为103，双曲线上的点到焦点的最小距离为10－3，则双曲线上的点到点A (5,0)的最小距离为( )A ．1B ．62C ．2D ．68．(2021·山东济南模拟)若F 为双曲线C ：x 24－y 25＝1的左焦点，过原点的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，则1|F A |－4|FB |的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，15 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，15C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，15二、核心素养提升例1 (2021·长丰北城衡安学校模拟)如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右支与y 轴及平行于x 轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为1033，下底座外直径为2393，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为( )A ．22πB ．3πC ．23πD ．4π例2 已知一簇双曲线E n ：x 2－y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n 20202(n ∈N *，且n ≤2020)，设双曲线E n 的左、右焦点分别为F n 1，F n 2，P n 是双曲线E n 右支上一动点，△P n F n 1F n 2的内切圆G n 与x 轴切于点A n (a n,0)，则a 1＋a 2＋…＋a 2020＝________.课时作业一、单项选择题1．(2021·玉林市育才中学模拟)“ab <0”是“方程ax 2＋by 2＝c (a ，b ，c ∈R )表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．(2021·深圳市宝安中学模拟)若方程x 21－m －y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为( )A ．(1,2)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)3．(2021·河南新乡模拟)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与双曲线C 的右支在第一象限的交点为A ，与y 轴的交点为B ，且B 为AF 1的中点，若△ABF 2的周长为6a ，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±2xC ．y ＝±32xD ．y ＝±22x4．(2021·湖南岳阳模拟)若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2s －y 2t ＝1(s ，t >0)有相同的焦点F 1和F 2，而P 是这两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是( )A ．m －sB ．12(m －s ) C ．m 2－s 2D ．m －s5．已知双曲线C ：x 28－y 2＝1的左焦点为F ，点M 在双曲线C 的右支上，A (0,3)，当△MAF 的周长最小时，△MAF 的面积为( )A.607 B ．9 C ．37D ．46．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( )A ．x ±2y ＝0B ．2x ±y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝07．(2021·黑龙江铁人中学模拟)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的一条渐近线方程为3x －y ＝0，右焦点为F ，点M 在双曲线左支上运动，点N 在圆x 2＋(y ＋3)2＝1上运动，则|MN |＋|MF |的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．98．(2021·湖南第三次模拟)P 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上一点，F 1，F 2分别为其左、右焦点，O 为坐标原点，若|OP |＝b ，且sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2，则C 的离心率为( )A.2 B ．3 C ．2 D ．6 二、多项选择题9．(2021·河北张家口第三次模拟)已知方程x 2m 2－2＋y 2m 2＋2＝1表示的曲线是双曲线，其离心率为e ，则( )A ．－2＜m ＜2B ．点(2,0)是该双曲线的一个焦点C ．1＜e ≤2D ．该双曲线的渐近线方程可能为x ±2y ＝0 10．(2021·广东六校联考)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：y 2－x 2＝1的上、下焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段F 1F 2为直径的圆经过点P ，则( )A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±xB ．以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1C ．点P 的横坐标为±1D ．△PF 1F 2的面积为211．(2021·山东威海模拟)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 24＝1的左、右焦点，在双曲线右支上取一点P ，使得PF 1⊥PF 2，直线PF 2与y 轴交于点Q ，连接QF 1，△PQF 1的内切圆圆心为I ，则下列结论正确的有( )A ．F 1，F 2，P ，I 四点共圆B ．△PQF 1的内切圆半径为1C ．I 为线段OQ 的三等分点D ．PF 1与其中一条渐近线垂直12．(2021·辽宁沈阳郊联体第三次模拟)已知O 为坐标原点，设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，过抛物线y 2＝4x 的焦点和C 的虚轴端点的直线l 与C 的一条渐近线平行．将C 的两条渐近线分别记为l 1，l 2，右焦点记为F ，若以OF 为直径的圆M 交l 1于O ，A 两点，点B 在l 2上，且BA→＝2AF →，则有( )A ．双曲线C 的实轴长为1B ．双曲线C 的离心率为3 C ．双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1 D ．sin ∠OBA ＝13三、填空题13．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.14．(2021·河北唐山模拟)若双曲线x 2－4y 2＝4的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2的直线交右支于A ，B 两点，若|AB |＝5，则△AF 1B 的周长为________．15．(2021·贵州贵阳模拟)F 1，F 2是双曲线C ：x 2－y 22＝1的左、右焦点，过点F 1的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若l ⊥F 2B ，则F 2A →·F 2B →＝________.16．(2021·江苏扬州模拟)F 1，F 2是双曲线x 22－y 2＝1的左、右焦点，过F 2的直线l 与双曲线的右支交于M ，N .当|F 1M |＋|F 1N |取最小值时，△F 1MN 的周长为________．四、解答题17．(2021·大埔县田家炳实验中学模拟)求下列双曲线的标准方程． (1)与双曲线x 29－y 216＝1有共同渐近线，且过点(－3,23)； (2)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．18．(2021·定远县育才学校模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上除右顶点之外的一点．(1)若∠F 1PF 2＝θ，求△F 1PF 2的面积；(2)若该双曲线与椭圆x 24＋y 2＝1有共同的焦点且过点Q (2,1)，求△F 1PF 2内切圆圆心的轨迹方程．19．(2021·新高考八省联考)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在C 上．当BF ⊥AF 时，|AF |＝|BF |.(1)求C 的离心率；(2)若B 在第一象限，证明：∠BF A ＝2∠BAF .。

4-4第二讲双曲线、抛物线的参数方程经典课件

题组一：写出下列双曲线的参数形式： 2 2 x y 1、 1 9 16 2 2 y x 2、 1 9 7 2 2 x y 3、 1 36 64 2 2 4、 3 x y 75
题组二：已知双曲线的参数形式，写出普通式： 1
２
３
x 2sec y 3tan x 5sec y 7 tan 1 x sec 3 y tan
(0, )
y
x 2 py
2
o
x
令t tan
x 2 pt x 2 pt (t为参数) 2 y 2 pt (t R) y 2 pt2
﹒ ﹒ ﹒
y
图形
o
焦
点
准
线
标准方程
x
y
o
x
y
o
x
y
﹒
o
x
例1：如图，O是直角坐标原点，A、B 是抛物线y2=2px (p>0)上异于顶点的两动点，且OA⊥OB，OM ⊥AB并与AB 相交于点M，求点M的轨迹方程 y
x a sec 所以M的轨迹方程是 (为参数) y b tan
x2 y2 消去参数后，得 2 - 2 =1, a b 这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。
双曲线的参数方程
x2 y2 - 2 =1(a>0,b>0)的参数方程为： 2 a b
a
y

A B' o B
•M
A' x
M
x
2 2 a2(sec2 -tan2 ) = sin2 = a tan a b ab . 4cos2 2 2 a 2
由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，(3) -----抛物线的参数方程

人教A选修第二章双曲线的定义与其标准方程讲课文档

y2 x2 1 (a 0,b 0) a2 b2
又 c 5，故 b2 c2 a2，即有方程为
y2 a2
x2 25 a2
1
代入点
P( 4 7 ,4) ，有 3
16 a2
112 9(25 a2 )
1
解出 a2 9，则其标准方程为 y2 x2 1 9 16
双曲线的定义与其标准方程
4 学以致用、巩固认识
P 所以点P在以A，B为焦点的双曲线靠近B处的那一支上
如图建立坐标系，使x轴经过A，B两点，原点O是线段AB中点
x 由 2a 1360, 2c 2000 得 a 680, c 1000
2
b
c2
a2
537600
所以点P在的曲线是双曲线，它的方程是
x2 y2 1 (x 0) 462400 537600
x2 a2
y2 a2 - c2
1
令 b2 a2 c2
x2 y2 a2 b2 1
(a b 0)
双曲线的定义与其标准方程
设点列出方程
化简再次化简
换元标准方程
3 严谨推导、得出方程
F1(c,0) F2 (c,0) M (x, y)
(x c)2 y2 - (x c)2 y2 2a
（c2 a2）x2 a2 y2 a（2 c2 a2）
4 学以致用、巩固认识
北师大版教材选修1-1 第3章第3节 3.1
5 回顾反思，归纳提炼
数学美
欣赏
实际生活抽象双曲线应用服务生活
类比
椭圆
双曲线的定义与其标准方程
5 回顾反思，归纳提炼
北师大版教材选修1-1 第3章第3节 3.1
6 课后作业，巩固提高

《二讲双曲线》课件

添加标题
双曲线的图像：双曲线有两个分支，在平面坐标系中呈现出“马蹄形”的形状。
添加标题
参数方程与图像的关系：通过参数方程可以绘制出双曲线的图像，而通过图像也可以读取出双曲线的参数方程。
添加标题
参数方程的应用：双曲线的参数方程在物理学、工程学等领域有着广泛的应用，例如在研究天体运动、电磁波传播等问题时常常会用到双曲线的参数方程。
预习内容建议：回顾双曲线的定义、性质和图像
所需准备材料：笔记本、笔、教材等
预习时间安排：建议提前一周开始预习
感谢观看
汇报人：PPT
图像特征：与双曲线渐行渐远
双曲线的离心率
离心率的定义：离心率是双曲线的一个重要几何性质，它表示双曲线与焦点的距离与双曲线实轴长度的比值。
离心率的取值范围：离心率的取值范围是大于1，表示双曲线与焦点的距离大于双曲线实轴长度。
离心率与双曲线形状的关系：离心率越大，双曲线的开口越宽，形状越扁平；离心率越小，双曲线的开口越窄，形状越接近于椭圆。
双曲线的性质
双曲线是平面上的两条曲线，它们在两个不同的方向上弯曲。双曲线的两个焦点位于其对称轴上，并且离原点的距离相等。双曲线的渐近线是与双曲线无限接近的直线，它们与双曲线在同一直线上。双曲线的离心率大于1，这是双曲线与椭圆和圆的区别之一。
双曲线的几何性质
双曲线的对称性
定义：双曲线关于原点对称
双曲线的渐近线：双曲线与坐标轴的交点为渐近线，其斜率为b/a。
双曲线的离心率：离心率e是描述双曲线离散程度的参数，其值为c/a，其中c为焦点到原点的距离。
双曲线的焦点位置：对于中心在原点的双曲线，其焦点位置为x轴正负方向上，距离原点为c的点。

3.2.1双曲线及其标准方程(第二课时)课件-高二上学期数学人教A版选择性2

解： x2 y2 1 24
F1P,求F2
3
PF1F2的面积
a 1,b2 24
c2 a2 b2 25
F1
| PF1 | | PF2 | 2,
（| PF1 | | PF2 |）2 4.| PF1 |2 | PF2 |2 -2 | PF1 || PF2 | 4
|
F1F2
|2 |
PF1
F1F2 ,
F1PF2
2 ,求证：tan
n b
作业：
3.如图，圆C的半径为R，A是圆C外一个定点，M是圆C上的任意一点，线段 MA的垂直平分线l与CM相交于点Q，当点M在圆C上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？
M l
o A
小结：
一、焦点三角形中，常用关系：
1）、| MF1 | | MF2 | 2a
PF1 PF2.| PF1 |2 | PF2 |2 | F1F2 |2
F1
| PF1 |2 | PF2 |2 8 又| PF1 | - | PF2 | 2
| PF1 |2 | PF2 |2 -2 | PF1 || PF2 | 4
| PF1 || PF2 | 2
| PF1 | | PF2 | （| PF1 | | PF2 |）2 | PF1 |2 | PF2 |2 2 | PF1 || PF2 |
2 3
P F2
小结：
焦点三角形中，常用关系：
1）、| MF1 | | MF2 | 2a
2)、S F1PF2
1 2
|
MF1
||
MF2
|
SinF1PF2
3)、| F1F2 |2 | MF1 |2 | MF2 |2 2 | MF1 || MF2 | COSF1PF2

双曲线优秀课件

如果我是双曲线你就是那渐近线如果我是反比例函数你就是那坐标轴虽然我们有缘能够生在同一个平面然而我们又无缘漫漫长路无交点为何看不见等式成立要条件难到正如书上说的无限接近不能达到为何看不见明月也有阴晴圆缺此事古难全但愿千里共婵娟严重腹泻或痢疾时大便每天超过4次者不宜服用小儿麻痹糖丸活疫苗
双曲线优秀课件
如果我是双曲线你就是那渐近线如果我是反比例函数你就是那坐标轴虽然我们有缘能够生在同一个平面然而我们又无缘漫漫长路无交点为何看不见等式成立要条件难到正如书上说的无限接近不能达到为何看不见明月也有阴晴圆缺此事古难全但愿千里共婵娟
解：焦点在 y轴上 .
可设所求双 a 曲线 2 方 5 程为a y2 2b x 2 21
由题意得： 25 a 2
4 b2
1
解得b2 16
所求双曲线方程为y2x21 20 16
（3）若a=6，c=10，焦点在坐标轴上。
解： a6,c10 b2 c2 a2 64
所以双曲线的标准方程为：
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M
F1 o F2
双曲线标准方程推导
求曲线方程的步骤：
y
1.建系
以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系
2.设点
F1
M
O F2 x
设M（x , y）,则F1(-c,0),F. 2(c,0)
3.列式 ||MF1| - |MF2||=2a
根据实验及椭圆定义，你能给双曲线下定义吗？
（1）在纸板上作图说明了什么？
平面内
（2）根据上述绘图原理，双曲线上的动点M应满足说明条件？

第二讲双曲线

第二讲双曲线时间：年月日老师学生：一、兴趣导入（Topic-in)小包拯出生时，额头上有一个弯弯的月牙。

突然有一天，月牙变成了圆圆的月亮，小包拯母亲掐指一算，原来，今天小包拯满月了。

后来有一天醒来，小包拯母亲看到月亮不见了，叹了口气，拿出针来刻下四个字，拍拍小包拯的肩膀说：“既然月飞了，你就去精忠报国吧……”二、学前测试（Testing )1.双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值是常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距. 即||MF 1|-|MF 2||=2a(<|F 1F 2|). M 为动点，F 1、F 2为定点，a 为常数.第二定义：平面内到定点F 的距离和到定直线的距离的比等于常数(大于1)的点的轨迹叫做双曲线，即dMF ||=e(e>1). F 为直线l 外一定点，动点到定直线的距离为d ，e 为大于1的常数. 2.双曲线的标准方程与几何性质3.焦半径公式M(x 0,y 0)为22a x -22by =1右支上的点，则|MF 1|=ex 0+a ，|MF 2|=ex 0-a.三、知识讲解 (Teaching )☆考点一：双曲线的定义及标准方程【例1】：(2010·汕头一模)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为( )A ．x 2－y 2＝1B ．x 2－y 2＝2C ．x 2－y 2＝ 2D ．x 2－y 2＝12【变式1-1】：已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)、F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足1MF ·2MF ＝0，|1MF |·|2MF |＝2，则该双曲线的方程是 ( ) A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y 29＝1 C.x 23－y 27＝1 D.x 27－y 23＝1☆考点二：双曲线的几何性质【例2】：(2009·宁夏、海南高考)双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为 ( )A ．2 3B ．2 C. 3 D ．1【变式2-1】：(2010·普宁模拟)已知离心率为e 的曲线x 2a 2－y 27＝1，其右焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点重合，则e 的值为 ( )A.34B.42323C.43D.234☆考点三:直线与双曲线的位置关系【例3】：(2010·西安调研)过点P (4,4)且与双曲线x 216－y 29＝1只有一个交点的直线有 ( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【变式3-1】：设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．☆考点四:双曲线的综合问题【例4】：P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为________．【变式4-1】：(1)已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x 2＋y 2＝10相交于点P (3，－1)，若此圆过点P 的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程；(2)已知双曲线的离心率e ＝52，且与椭圆x 213＋y23＝1有共同的焦点，求该双曲线的方程．【变式4-2】：已知双曲线C ：x 24－y 2＝1，P 是C 上的任意点． (1)求证：点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；(2)设点A 的坐标为(3,0)，求|PA |的最小值．【变式4-3】：已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA ·OB ＞2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．四、强化练习 (Training )1.(2004北京春季高考)双曲线42x -92y =1的渐近线方程是（）A.y=±23x B.y=±32x C.y=±49x D.y=±94x 2.过点(2，-2)且与双曲线22x -y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是（）A.22y -42x =1B.42x -22y =1C.42y -22x =1D.22x -42y =13.如果双曲线642x -362y =1上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么P 到它的右准线的距离是（）A.10B.7732 C.27 D.5324.与圆A:(x+5)2+y 2=49和圆B ：(x-5)2+y 2=1都外切的圆的圆心P 的轨迹方程为______________.5.已知圆C 过双曲线92x -162y =1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是.6．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦距为16，准线方程为y=±29; (2)虚轴长为12，离心率为45; (3)顶点间的距离为6，渐近线方程为y=±23x.五、训练辅导 (Tutor )高考对接1.(2010四川文) 已知双曲线22:1916x y C -=的左右焦点分别为12,F F ，P 为C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF F ∆的面积等于( C )（Ａ）24 （Ｂ）36 （Ｃ）48 （Ｄ）962(09四川理）如果双曲线12422=-y x 上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 轴的距离是 3.（11年全国文）双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．六、反思总结 (Thinking )附件：堂堂清落地训练（坚持堂堂清，学习很爽心）学生：完成时间：得分：1. 设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（）A ．221+ B ．231+ C ． 21+ D ．31+2. 双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（）AB ．CD ．33. 设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=（00a b >>，）的两个焦点，若1F ，2F ，(02)P b ，是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（） A ．32 B ．2 C ．52D ．3 4. 1F 和2F 分别是双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2F AB △是等边三角形，则双曲线的离心率为（）AB ．C D ．15.已知点()20M-，，()20N ，，动点P 满足条件PM PN -=P 的轨迹为W ．（Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB 的最小值．。

第二讲 双曲线-学生版

一轮复习教案：第10章 第2讲 双曲线及其性质

第二讲 双曲线中常用的结论及解法技巧(学生版)

第二讲 双曲线中常用的结论及解法技巧(学生版)

高三数学二轮复习-专题五第二讲-椭圆、双曲线、抛物线课件

第二讲-4双曲线的参数方程

第2讲双曲线课件理课件.ppt

双曲线的简单几何性质学生版

双曲线的基本知识点PPT

大学数学(高数微积分)专题五第2讲椭圆双曲线(课堂讲义)

双曲线PPT课件

双曲线学生版2022

4-4第二讲双曲线、抛物线的参数方程经典课件

人教A选修第二章双曲线的定义与其标准方程讲课文档

《二讲双曲线》课件

3.2.1双曲线及其标准方程(第二课时)课件-高二上学期数学人教A版选择性2

双曲线优秀课件

第二讲 双曲线

第二讲双曲线-学生版

一轮复习教案：第10章第2讲双曲线及其性质

第二讲双曲线中常用的结论及解法技巧(学生版)

第二讲双曲线中常用的结论及解法技巧(学生版)

第二讲双曲线