3.2.2用向量的方法求二面角
求二面角的六种方法
求二面角的六种方法求解二面角是空间几何学中常见的问题，它在多个领域如物理学、化学和工程学中都有广泛的应用。
本文将介绍六种求解二面角的方法，包括向量法、坐标法、三角法、平面几何法、球面几何法和投影法。
一、向量法向量法是一种简便的求解二面角的方法。
它利用向量的夹角来表示二面角。
首先，我们需要确定两个平面的法向量，然后计算它们之间的夹角。
通过向量的点积和模长运算，可以得到二面角的大小。
二、坐标法坐标法是一种常用的求解二面角的方法。
它利用坐标系中的点来表示二面角。
我们可以通过给定的坐标点，计算两个平面的法向量，然后利用向量夹角的公式求解二面角。
三、三角法三角法是一种基于三角函数的求解二面角的方法。
它利用三角函数的性质来计算二面角的大小。
通过已知的边长和角度，可以利用正弦定理、余弦定理等公式求解二面角。
四、平面几何法平面几何法是一种利用平面几何关系求解二面角的方法。
它通过已知的平面形状和角度关系，利用平面几何的知识来求解二面角的大小。
例如，可以利用平行线的性质、垂直线的性质等来计算二面角。
五、球面几何法球面几何法是一种利用球面几何关系求解二面角的方法。
它通过已知的球面形状和角度关系，利用球面几何的知识来求解二面角的大小。
例如，可以利用球面上的弧长、球面上的角度等来计算二面角。
六、投影法投影法是一种利用投影关系求解二面角的方法。
它通过已知的投影长度和角度关系，利用投影几何的知识来求解二面角的大小。
例如，可以利用平面上的投影线段、平面上的角度等来计算二面角。
通过以上六种方法，我们可以灵活地求解二面角的大小。
不同的问题和场景可能适用不同的方法，我们可以根据具体情况选择合适的方法来解决问题。
这些方法在实际应用中具有重要的意义，能够帮助我们更好地理解和解决相关问题。
总结起来，求解二面角的六种方法分别是向量法、坐标法、三角法、平面几何法、球面几何法和投影法。
每种方法都有其特点和适用场景，我们可以根据具体问题选择合适的方法来求解二面角。
二面角法向量求法
二面角的表示方法
二面角是由两个半平面所组成 的图形，其大小由两个半平面
的夹角决定。
二面角可以用角度制或弧度制 来表示，与平面角和空间角类
似。
二面角的大小与两个半平面的 方向有关，与半平面的大小无 关。
在求解二面角的大小时，通常 需要先找到两个半平面的法向 量，然后计算两个法向量之间 的夹角即可得到二面角的大小 。
二面角法向量求法
汇报人：XX 2024-01-23
• 引言 • 二面角的表示方法 • 法向量的求解方法 • 二面角法向量的性质 • 二面角法向量的应用 • 总结与展望
01
引言
二面角的定义
二面角是由两个半平面所组成的 图形，其大小由这两个半平面的
夹角决定。
二面角的大小范围在0°到180°之 间，当两个半平面重合时，二面 角为0°；当两个半平面形成一条
面积射影定理
根据面积射影定理，二面角的余弦值等于两个半 平面在棱上的投影面积之比。因此，可以通过求 出两个半平面在棱上的投影面积，然后利用面积 射影定理求出二面角的大小。
三垂线定理及其逆定理法
利用三垂线定理或其逆定理，可以构造出与二面 角的棱垂直的线段，进而通过解三角形求出二面 角的大小。
空间向量夹角公式
03
法向量的求解方法
平面法向量的求解方法
直接法
如果平面上的一个向量 已知，则该向量即为平 面的法向量。
待定系数法
设平面的法向量为 n=(x,y,z)，根据平面的 方程可以列出关于x,y,z 的方程组，通过求解方 程组得到法向量。
向量积法
如果平面上有两个不共 线的向量a和b，则平面 的法向量n可以通过计 算向量a和b的向量积得 到，即n=a×b。
求二面角的六种方法
求二面角的六种方法一、引言二面角是几何学中的一个重要概念，它用于描述两个平面的夹角。
求解二面角的方法有多种，本文将介绍六种常用的方法，包括向量法、三角函数法、三边长法、内外法、旋转法和平行四边形法。
对于每种方法，我们将详细介绍其原理和具体步骤，并给出相关的实例来加深理解。
二、向量法向量法是最常用的求解二面角的方法之一，其基本原理是通过两个平面的法向量来计算二面角。
具体步骤如下：2.1 确定两个平面首先，我们需要确定需要求解的两个平面。
平面可以由三个不共线的点或者法向量和过点的方程来确定。
2.2 求解法向量找到两个平面的法向量，分别记作n1⃗⃗⃗⃗ 和n2⃗⃗⃗⃗ 。
2.3 计算二面角的余弦值通过法向量n1⃗⃗⃗⃗ 和n2⃗⃗⃗⃗ 的点积计算二面角的余弦值：cosθ=n1⃗⃗⃗⃗ ⋅n2⃗⃗⃗⃗ ∥n1⃗⃗⃗⃗ ∥∥n2⃗⃗⃗⃗ ∥2.4 计算二面角通过余弦值反函数（如反余弦函数）计算二面角的值：θ=arccos(cosθ)三、三角函数法三角函数法是另一种常用的求解二面角的方法，主要基于三角函数的关系来计算二面角。
具体步骤如下：3.1 确定两个平面同样，我们首先需要确定需要求解的两个平面。
3.2 求解法向量和对应边长求解两个平面的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ 和n 2⃗⃗⃗⃗ ，以及两个平面上的边长。
3.3 计算三角函数的值根据边长和法向量的乘积，分别计算sinα=∥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ×n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥∥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∥∥n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥和cosα=n1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∥∥n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥，其中α为两个边向量构成的夹角。
3.4 计算二面角通过三角函数的反函数（如反正弦函数、反余弦函数）计算夹角α的值，即得到二面角的值。
四、三边长法三边长法是一种适用于三角形的方法，其原理是利用给定的三边长计算三角形的角度，进而求得二面角。
具体步骤如下：4.1 确定三个边长根据具体情况，确定三个边长a 、b 和c 。
空间向量应用-二面角
04
二面角的应用
在几何学中的应用
向量投影
在求解向量的投影时，可以利用二面 角的概念，通过计算向量在某一平面 上的投影长度，来得到该向量与该平 面的夹角。
向量夹角
二面角的概念可以用于计算两个向量 的夹角，通过比较两个向量的夹角与 二面角的夹角，可以判断两个向量的 方向关系。
在物理学中的应用
力的合成与分解
建筑设计
在建筑设计中，利用二面角的概念可以确定建筑物的位置、方向和高度等信息， 以保证建筑物的安全和稳定性。
05
空间向量与二面角的关系
向量与二面角的关联
向量是既有大小又有方向的量，其大 小和方向可以用来表示二面角的大小 和方向。
二面角的大小和方向可以通过两个向 量的夹角来描述，这个夹角就是二面 角的平面角。
二面角的向量定义
总结词
二面角的向量定义是通过向量的投影 和叉积来定义的，它是一个标量值， 其大小等于两个向量的叉积的绝对值 再除以两向量的模的乘积。
详细描述
二面角的向量定义是通过向量的投影和叉积来 描述的。设两非零向量a和b分别属于两个半平 面，那么二面角θ的大小可以用公式 ∣a×b∣/∣a∣∣b∣表示，其中a×b表示向量a和b 的叉积，∣a∣和∣b∣分别表示向量a和b的模。这 个标量值的大小就等于二面角θ的大小。
二面角的性质
总结词
二面角具有一些重要的性质，如二面角的取值范围是[0,π]，二面角的大小与观察方向有关，以及二面角的补角等 于其平面角的补角等。
详细描述
首先，二面角的取值范围是[0,π]，这是由其几何定义直接得出的。其次，二面角的大小与观察方向有关，即观察 方向的不同可能导致二面角的大小发生变化。最后，二面角的补角等于其平面角的补角，这是由向量的性质得出 的。
高中数学求二面角技巧
高中数学求二面角技巧
高中数学中，求解二面角是一项重要的技巧。
二面角是指两个平面相交而形成的角度，常常出现在几何题目中。
以下是一些求解二面角的技巧：
1. 使用向量法求解二面角
向量法是求解二面角的常用方法。
假设有两个平面AB和CD，且它们相交于一条直线EF。
设向量AB=n，向量CD=m，向量EF=a，则二面角θ的余弦值为：
cosθ=(n·m)/( |n|·|m| )
其中，n·m表示n和m的数量积，|n|和|m|表示向量n和向量m 的模长。
2. 利用三角函数求解二面角
如果已知二面角的两个面的斜率，可以使用三角函数求解二面角。
设两个平面的斜率分别为k1和k2，则二面角的正切值为：
tanθ=(k1-k2)/(1+k1k2)
可以使用反正切函数求解出二面角的值。
3. 利用平面几何知识求解二面角
通过平面几何知识，可以求解出两个平面的交线与一个球面的交线，从而求解二面角。
设两个平面在点O处相交，交线为AB和CD，球心为O，球面与交线AB和CD的交点分别为P和Q，则二面角θ等
于∠POQ。
以上是求解二面角的一些常用技巧，希望对高中数学学习有所帮
助。
向量法-求二面角大小
空间向量法---求二面角的大小
运用“空间向量法”---求“二面角的大小”的解题步骤：
① 建立空间直角坐标系； ② 求出所需各点的坐标； ③ 求出两个平面的法向量； ④ 求出两个法向量的夹角； ⑤ 写出所求二面角的大小。
空间向量法---求二面角的大小
运用“空间向量法”---求“二面角的大小”的解题步骤：
(1) 证明: AN⊥平面PAD .
(2) 求二面角C-AM-N的大小 .
P
M
A
D
B
NC
【练习3】 如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面是边长为2的菱形, ∠ABC=60O , PA⊥底面ABCD,PA=2, M,N分别为PC,BC的中点.
(1) 证明: AN⊥平面PAD .
(2) 求二面角C-AM-N的大小 .
∴ cosq =
6
3
得 tanq =
2
2
∴
所求面SCD与面SBA所成二面角的正切值是22
【练习2】 已知点E、F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1、 CC1上的点, 且 BE1=2EB, CF=2FC1 .
(1) 求面AEF与面ABC所成二面角的正切值 .
【练习3】 如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面是边长为2的菱形, ∠ABC=60O , PA⊥底面ABCD,PA=2, M,N分别为PC,BC的中点.
=
3 3
由条件知,二面角A-CD-E为锐角，∴
所求二面角的余弦值为
3 3
【练习1】 如下图, 在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,
∠ABC=90O
,
SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1,
AD=
1 2
.
3.2向量法求二面角
3.2向量法求二面角(16-1)编制人：闵小梅 审核人：王志刚【使用说明及学法指导】 1.完成预习案中的相关问题；2.尝试完成探究案中合作探究部分，注意书写规范；3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课堂讨论质疑。
【学习目标】会用法向量求二面角的大小 【教学重点】向量法求二面角的大小【教学难点】建立适当的坐标系，准确写出点的空间坐标 一、复习引入 【复习】知识点1．向量法求两条异面直线所成的角（范围：]2,0(πθ∈）|||||,cos |cos n m=><=θ知识点2．向量法求直线与平面所成角（范围：[θ∈sin |cos ,|n AB θ=<>=r uu u r类比以上求法，思考如何用向量法求二面角？ 回顾二面角的有关概念： (1) 二面角的定义平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
(2)二面角的平面角①过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角，[0,]AOB π∠∈。
②一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角，[0,]AOB π∠∈。
abαθO12）【引入】知识点3．向量法求二面角（范围：[0,]θπ∈）①方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。
如图，设二面角βα--l 的大小为θ，其中βα⊂⊥⊂⊥CD l CD AB l AB ,,,.结论：②法向量法如图1、2所示时，二面角l αβ--的平面角与平面α、β的法向量1n r ，2n r的夹角12,n n <>r r相等，即 ；如图3、4所示时，二面角l αβ--的平面角与平面α、β的法向量1n r ，2n r的夹角12,n n <>r r相等，即结论：cos θ＝ 或 cos θ＝二面角l αβ--为锐二面角时，cos θ＝二面角l αβ--为钝二面角时，cos θ＝ 【尝试练习】1.已知两平面的法向量分别为1n r =（0，1，0），2n r=（0，1，3）,则两平面所成的二面角余弦值为____ 2．（课本P107练习2改编）二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB 。
求二面角的方法
求二面角的方法求二面角的方法二面角是一个非常重要的概念，在数学、物理、化学等领域都有广泛的应用。
它是指两个平面或曲面之间的夹角，也可以理解为一个三维图形中相邻两个面之间的夹角。
在这里，我们将介绍几种求二面角的方法。
方法一：向量法向量法是一种比较简单易懂的方法。
首先，我们需要找到两个平面或曲面上的法向量，然后计算它们之间的夹角即可得到二面角。
具体步骤如下：1. 找到两个平面或曲面上的法向量。
2. 计算这两个法向量之间的夹角，可以使用余弦定理或内积公式进行计算。
3. 将得到的结果转换为度数制即可得到二面角。
例如，假设我们要求一个正四棱锥中底面和侧棱所在平面之间的二面角。
首先，我们需要找到底面和侧棱所在平面上的法向量。
底面上任意一点处垂直于底面且指向外部的单位法向量为(0,0,-1)，而侧棱所在平面上任意一点处垂直于该平面且指向内部的单位法向量为(1/√2,0,-1/√2)。
然后，我们可以使用余弦定理计算它们之间的夹角，即cosθ=（0×1/√2+0×0+（-1）×（-1/√2））÷（√（0²+0²+1²）×√（（1/√2）²+0²+（-1/√2）²）），得到cosθ=1/3。
将其转换为度数制，即θ≈70.53°，即可得到二面角。
方法二：三角形面积法三角形面积法是另一种求解二面角的方法。
它需要先求出相邻两个面所在平面上的三个顶点，然后计算这三个顶点构成的三角形面积，最后根据正弦定理求出二面角。
具体步骤如下：1. 找到相邻两个面所在平面上的三个顶点。
2. 计算这三个顶点构成的三角形的面积。
3. 根据正弦定理计算出二面角。
例如，假设我们要求一个立方体中相邻两个正方形所在平面之间的二面角。
首先，我们需要找到这两个正方形所在平面上的三个顶点。
可以选择其中一个正方形上任意一点作为第一个顶点，然后在该正方形上选择任意两个相邻的点作为第二和第三个顶点。
用向量求二面角的四种方法
用向量求二面角的四种方法
作者：林明成
来源：《数理化学习·高三版》2008年第12期
向量法求二面角是一种独特的方法，因为它不仅是对传统方法的有力补充，而且还可以最大限度地避开思维的高强度转换和各种辅助线添加的困难，将灵活的逻辑推理转化为机械的代数运算.它降低了问题的难度，简缩了思维的过程，可操作性强.但在具体运用过程中也需针对具体问题采用不同的转化方式.
一、借助空间向量基本定理和向量夹角公式
例1 如图1，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，
SA=AB=BC=1，AD=1/2，求平面SCD与平面SAB所成锐角二面角的大小.。
用向量求二面角大小的五种方法
弦 ，避 开 了判 定 法 向量 的 夹 角和 二面 角 的大 小 关 系 的难 点 ．
二 、检 验 向量 法
例 １ （０ ５年 高考 全 国卷 ｍ） ２０ 如图 １ ，在 四 棱 锥 面 Ａ Ｃ 是正 方 形 ，侧 面 Ｖ Ｄ是 ＢＤ Ａ
互补的关 系，但 “ 等”还是 “ 相 互补”这 个问题始终 困扰 着我 图 １ 示 的空 间 直 角 坐标 系 ０ ｘｚ 所 一 ｙ ，正 方 形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ的 边 长 为 １ ，
则ｏ ，，）Ａ ００，（ １０， （ ００，（ ， ）曰 ｏ ， ．＇ ）
Ｄ１０ ） （０ ） ， ｏ ｖ’ ＇ ＇ｏ ， ．
的法向最． ， ． 与 ｎ ． 若 ｌ 耐 ， ，
同号 ，则 ０： 竹一（。 ｌ ； ，，，） ｌ
收稿 日期 ：２ １— ９ １ ０００—９
作者简介：宋波 （９ １ ，男，甘 肃甘谷人 ，中学高级教 师，甘肃省青年教学能手 ，兰 州市骨干教师 ，兰州市教科研 工作先进个人 ，主要从 １７ 一） 事高 中数 学教 学、解题思想和方法 、高考复习的研究．
如 图 ６ 已 知 四 棱 锥 Ｐ ＡＢ Ｄ 中 ， ， － Ｃ Ｐ Ｌ Ｄ，侧 面 Ｐ Ｄ 是 边 长 为 ２的 Ｂ＿Ａ Ａ
Ｃ
丁３ ， ｘ ｝ 音 ① －
因 为 ＝（ 一， ， ） ，
等边 三 角形 ，底 面 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ是菱 形 ，
于 ＝， ｏ ＝１０ ） 是 （ １） （，， ． １，，
设 平 面 Ｖ Ｄ 的法 向量 为 ， ＝（ Ｂ ｌ ，Ｙ ） １ ，ｚ ，
求二 面角的大小是立 体几何 中学 习的重点 ，也 是高考 的热 点． 用法 向量解决此类 问题 ，把空间几何问题转化 为代数 运算 ，
空间向量二面角求法
空间向量二面角求法空间向量二面角是指两个非零向量之间的夹角。
在空间中，向量的方向和大小都是重要的，因此求解空间向量的二面角是一项重要的任务。
本文将介绍几种常见的方法来计算空间向量的二面角。
一、点乘法点乘法是最简单直接的方法之一。
给定两个向量a和b，它们的点乘结果可以表示为a·b=|a||b|cosθ，其中θ为向量a和b之间的夹角。
通过对点乘结果进行逆余弦运算，可以得到夹角的大小。
然而，点乘法只适用于平面内的向量，对于空间向量则不适用。
二、向量投影法向量投影法是通过将一个向量投影到另一个向量上，然后计算投影向量与原向量之间的夹角来求解二面角。
具体方法是，首先计算向量a在向量b上的投影向量p，然后计算向量a与投影向量p之间的夹角θ。
这种方法适用于空间向量，但需要计算向量的投影，相对复杂一些。
三、向量叉乘法向量叉乘法是一种常用的求解空间向量二面角的方法。
给定两个向量a和b，它们的叉乘结果可以表示为|a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为向量a和b之间的夹角。
通过对叉乘结果进行逆正弦运算，可以得到夹角的大小。
这种方法适用于空间向量，且不需要计算向量的投影，相对简单方便。
四、三角函数法三角函数法是一种基于三角函数的计算方法。
给定两个向量a和b，它们的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ=(a·b)/(∥a∥∥b∥)sinθ=∥a×b∥/(∥a∥∥b∥)tanθ=sinθ/cosθ通过上述公式，可以根据向量的点乘和叉乘结果来计算夹角的大小。
这种方法适用于空间向量，且具有较高的计算准确性。
总结：空间向量的二面角求解是一个重要的问题，涉及到向量的方向和大小。
本文介绍了几种常见的求解方法，包括点乘法、向量投影法、向量叉乘法和三角函数法。
这些方法各有特点，可以根据具体情况选择合适的方法来求解空间向量的二面角。
在实际应用中，需要根据具体问题的要求和计算复杂度来选择合适的方法。
3.2.2立体几何中的向量方法-三种空间角
空间向量的引入为代数方法处理立体几
何问题提供了一种重要的工具和方法，解题
时，可用定量的计算代替定性的分析，从而 避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距 离是立体几何的一类重要的问题，也是高考 的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向 量的办法解决空间角问题。
•引入 •复习 •线线角 •线面角 •二面角 线面角 题型二：线面角
直线与平面所成角的范围： [0, ] 2 A 思考： n
B
O
n, BA 与的关系？
结论： sin
•引入 •复习
|
•线线角
cos n, AB
•线面角
|
•小结
•二面角
题型二：线面角 例二： 在长方体 ABCD A B1C1D1 中， = 5，AD 8, AB 1
关键：观察二面角的范围
•引入 •复习 •线线角 •线面角 •二面角 •小结
题型三：二面角
例三 如所示，ABCD是一直角梯形，∠ABC = 900 , 1 SA ⊥ 平面ABCD,SA = AB = BC = 1 ,AD = ,求面SCD与面SBA 2 所成二面角的余弦值.
S
B
A D
C
解： 建立空直角坐系A - xyz如所示, 1 B - 1, , A ( 0, , C ( 1, 0) D (0, , 0), S (0, 0,1) 0, 0) C 2 1 易知面SBA的法向量n1 AD (0, , 0) 2 A D y 1 1 CD (1, , 0), SD (0, , 1) 2 2 设平面SCD的法向量n2 ( x, y, z), 由n2 CD, n2 SD, 得： y y x 2 0 x 2 任取n2 (1,2,1) y z0 z y 2 2 n n2 6 6 1 cos n1 , n2 即所求二面角得余弦值是 3 | n1 || n2 | 3
利用法向量求二面角
利用法向量求二面角1. 什么是二面角在几何学中，二面角指的是两个平面的夹角，通常用来描述空间中的角度关系。
具体地说，二面角是由两个面的法向量所定义的角度，通过测量一个面对相邻面的法向量之间的夹角来计算。
2. 法向量的概念在三维空间中，平面可以通过一个法向量来定义。
法向量垂直于平面，并且指向平面的外部。
根据向量的定义，法向量具有方向和大小。
法向量的大小表示平面的倾斜程度，而法向量的方向则指示平面的朝向。
3. 利用法向量求二面角的方法要计算两个平面之间的二面角，可以利用它们的法向量。
具体的方法如下：步骤1：首先，确定两个平面的法向量。
可以通过计算平面上的三个非共线点的向量叉积来获得一个平面的法向量。
同样地，另一个平面的法向量也可以通过相同的方法来计算。
步骤2：然后，计算两个法向量之间的夹角。
夹角可以通过计算两个向量的内积的反余弦值来获得。
步骤3：最后，得到的夹角就是两个平面之间的二面角。
根据需要，可以将夹角的单位转换为度数或弧度。
4. 示例为了更好地理解利用法向量求二面角的方法，我们来看一个示例。
假设有两个平面，A和B，它们的法向量分别为n_n=(n,n,n)和n_n=(n,n,n)。
首先，计算法向量的夹角。
夹角n可以表示为n=nn+nn+nn。
然后，得到的角度n就是平面A和平面B之间的二面角。
5. 总结利用法向量可以方便地计算两个平面之间的二面角。
通过计算两个平面的法向量的夹角，可以得到二面角的值。
这个方法在计算几何学和计算机图形学中都有广泛的应用，用于描述三维空间中的角度关系。
以上就是利用法向量求二面角的说明文档，希望对你有所帮助。
如果你有任何问题或需要进一步的解释，请随时向我提问。
3.2利用空间向量求二面角
SD. 得n (2, 1,1)
0, 0)是平面SAB的法向量，
cos AD, n AD n 6 | AD || n | 3
4.求两法向量夹角
所求二面角的余弦值为： 6 3
5.定值
巩固练习1： 正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点Q 是BC的中点，求二面角A—DQ—A1的余弦 值．
3.2利用空间向量求二面角
温故知新
已学习：二面角及二面角的平面角的概念
会：建立空间直角坐标系 进行向量坐标运算 求平面的法向量
已掌握：用向量求解线线角、线面角的方法
温故知新 1.二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
2.二面角的范围： [0, ]
O
探究方法
问题1：
求直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与 平面的法向量的夹角，那么二面角的大小与两个半 平面的法向量有着怎样的关系呢？
高考链接
(2019.18)如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4， AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分别是BC，BB1，A1D 的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A-MA1-N的正弦值．
z
【点睛】
本题考查线面平行关系的证明、空
间向量法求解二面角的问题.求解二
面角的关键是能够利用垂直关系建
立空间直角坐标系，从而通过求解
O
法向量夹角的弦值来得到二面角
的正弦值，属于常规题型.
x
y
n
a
n1 n2
l
探究方法
问题2：二面角的大小与两个平面法向量夹角的关系？
n1，n2
n1，n2
求二面角的方法
解题宝典空间角主要包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角.二面角是指从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.求二面角的大小是一类常见的问题.本文重点介绍求二面角大小的四种方法:定义法、向量法、面积投影法、三垂线定理法.一、定义法过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角.一般地，要求得二面角的大小只需要求出二面角的平面角的大小即可.在求二面角的大小时，我们可以根据二面角的平面角的定义来求解.首先在二面角的棱上选取一点，在两个面内作棱的垂线，则两条垂线的夹角，即为二面角的平面角，求得平面角的大小即可得到二面角的大小.例题：如图1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）证明：BE⊥EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B-EC-C1正弦值．图1图2解：（1）略；（2）由（1）知∠BEB1=90°．由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB=45°，故AE=AB，AA1=2AB．如图2所示，在平面BCE内过B点作BM⊥CE于点M，取棱CC1的中点N，连结MN,EN.因为EC1=EC，所以EN⊥CC1，所以ΔCEN为直角三角形.因为BC⊥BE，所以ΔCEB为直角三角形.令AB=1，则BC=NC=1,BE=EN=2,CE=3，所以RtΔBEC≌RtΔNEC，所以MN⊥EC，则∠BMN即为二面角B-EC-C1的平面角.在RtΔBEC中，sin∠BCE=BE CE=BM BC，所以BM=，MN.在ΔBMN中，cos∠BMN=BM2+MN2-BN22BM∙MN=-12，则sin∠BMN=，故二面角B-EC-C1正弦值.利用定义法求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角.在作图的过程中要充分利用题目条件中隐含的垂直关系，如等腰三角形三线合一的性质、菱形或正方形的对角线相互垂直、直角三角形中勾股定理及其逆定理等.另外在构造二面角的平面角时，常用的方法还有垂面法，即经过两个面的垂线的平面与两个平面的交线所夹的角即为二面角的平面角.二、三垂线法三垂线法是指利用三垂线定理求作二面角的平面角，求得二面角大小的方法.在求作二面角的平面角时，需过其中一个面内的一点作另一个面的垂线，再经过垂足作棱的垂线，连接该点与棱上的垂足，进而构造出与二面角的平面角相关的角，再结合图形中的垂直关系求得二面角的大小.以上述例题为例.解：如图3，连接BD,AC，交点为O，过点O作CE的垂线，垂足为P，连接BP.由三垂线定理可知BP垂直于CE，所以∠BPO即为所求二面角平面角的补角.设AB=1，由（1）可知AE=1，所以BE=2，CE=3.因为BC⊥BE，所以ΔBCE为直角三角形，所以RtΔBCP∽RtΔBCE.陈秀林图342解题宝典所以BP.在Rt△BOP 中，sin ∠BPO =BC BP=，即所求二面角正弦值为.此法与定义法的不同之处是将所求二面角的相关角置于直角三角形中，从而使解题的过程更加简洁.三、向量法向量法是通过空间向量的坐标运算，将所求的二面角转化为两个平面的法向量的夹角的方法.解题的思路是通过建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，根据向量的数量积公式求出夹角，再利用法向量的夹角与二面角的关系来确定二面角的大小.值得说明的是，二面角的平面角与法向量的夹角的关系是相等或互补.以上述例题为例.解：（2）由（1）知∠BEB 1=90°.由题设知Rt△ABE ≌Rt△A 1B 1E ，所以∠AEB =45°，故AE =AB ，AA 1=2AB ．以D 为坐标原点，建立如图4所示的空间直角坐标系D -xyz ，则C (0,1,0),B (1,1,0),C 1(0,1,2),E (1,0,1)，所以 CB =(1,0,0)，CE =(1,-1,1)，CC 1=(0,0,2)．设平面BCE 的法向量为n =(x ,y ,z )，则ìíî CB ∙n =0,CE ∙n =0,即{x =0,x -y +z =0,令y =-1,得n =(0,-1,-1).设平面ECC 1的法向量为m =(x ,y ,z )，则ìíî CC 1∙m =0,CE ∙m =0,即{2z =0,x -y +z =0,令x =1得m=(1,1,0)．于是cos m,n =m ∙n |m |∙|n |=-12.所以二面角B -EC-C 1平面角正弦值为．向量的引入降低了立体几何问题的难度，但对同学们的运算能力提出了更高的要求.求法向量的原则是先找后求，即如果存在一条已知的直线与二面角的某一个平面垂直，则该直线的方向向量即可视为此平面的法向量.四、投影法投影法，即为构造出二面角的两个平面中的一个平面在另外一个平面内的投影，从而利用此平面与其投影的夹角θ来判断所求二面角的大小的方法.若该平面与其投影的面积分别为S 1,S 2，则cos θ=S 1S 2.θ与所求二面角的关系有两种，即相等或互补.以上述例题为例.解：如图5，连接BD 交AC 于点O ，连接EO .因为四边形ABCD 为正方形，所以BD ⊥AC ，所以点B 在面C 1CE 内的投影，三角形EOC 为ECB 的投影.设棱AB =1，由（1）可知AE =1，则AC =BE =2，EC =3，所以三角形OCE 的面积为S 1=12∙OC ∙AE =12，三角形BCE 的面积为S 2=12BC ∙BE =12×1×2.所以S 2S 1=42=12.所以面BCE 与面ECC 1所成锐二面角的余弦值为12，故二面角的正弦值为.在本题中，三角形ECB 与其在面ECC 1上的投影EOC 的夹角即为所求二面角的补角，而两角互补，则其正弦值相等，所以可直接利用投影法来求解.一般地，求二面角的问题主要有两类，即求有棱二面角的大小和无棱二面角的大小，虽然图形有所不同，但解题的方法基本上一致.同学们在解题的过程中要注意仔细审题，择优而用.（作者单位：江苏省大丰高级中学）图5图443。
求二面角的六种常规方法
求二面角的六种常规方法二面角是指两个平面或两条直线的交角，常见的二面角有以下六种常规方法：1.夹角法：即利用两个平面的夹角来计算二面角。
给定两个平面，可以通过计算它们的法向量之间的夹角来得到二面角。
这个方法常用于计算两个平面的夹角，如计算棱镜的二面角、计算物体的棱角二面角等。
2.夹线法：这种方法主要用于计算两条直线的交角。
给定两条直线，可以通过计算它们的斜率之差来得到交角。
这个方法常用于计算直线的交角，如计算两个平面的交线的二面角、计算两个物体的接触面边缘的二面角等。
3.余角法：这种方法是在夹角法的基础上进行的改进。
给定两个平面或两条直线的夹角，可以通过计算其余角来得到二面角。
余角是指二面角的补角，即与二面角相加等于180度的角。
通过计算余角，可以得到二面角的大小和方向。
4.三角函数法：利用三角函数的性质，可以通过已知的边长或角度来求解二面角。
根据已知的边长和角度，可以使用正弦、余弦或正切函数等来求解二面角。
这个方法在计算复杂的三维图形或角度时非常有效。
5.矢量法：这种方法利用矢量的性质来计算二面角。
给定两个平面或两条直线的法向量，可以通过计算它们的夹角来得到二面角。
矢量法常用于计算立体图形的面角二面角、计算两个物体的平行面边缘的二面角等。
6.投影法：这种方法利用到给定的图形在投影面上的投影来计算二面角。
给定两个平面或两条直线的投影面，可以通过计算它们的投影线之间的夹角来得到二面角。
投影法常用于计算物体的棱角二面角、计算物体在投影面上的映射角等。
以上六种常规方法是计算二面角常用的方法，根据具体情况选择合适的方法进行计算，可以提高计算的准确性和效率。
法向量求二面角余弦值公式
法向量求二面角余弦值公式二面角余弦值公式是一种计算二面角的方法，也是数学中最重要的理论之一。
它是基于三角函数的概念而演变而来。
今天，我们将介绍法向量求二面角余弦值公式，它是求解二面角余弦值的简便方法。
法向量求二面角余弦值公式可以用来求解任意给定的二面角的余弦值。
首先，我们需要求出每个角的法向量，比如，角A的法向量是(1, 0, -1)，角B的法向量是(2, 1, -1)。
然后，我们可以使用下面的公式计算它们之间的余弦值：cos = (A B)/ (|A| |B|)其中A、B表示两个角的法向量，AB表示A、B的点积，而|A|和|B|表示A、B的模。
由此，我们可以使用以上公式来求解任意二面角之间的余弦值。
举例来说，若要计算角A（1，0，-1）和角B（2，1，-1）的余弦值，我们只需要将之前的公式中的A、B分别换成这两个角的法向量即可：cos = (12 + 01 + (-1)*(-1))/ (|1|× |2，1，-1|)cos = 3 / (√63)cos = 0.948因此，角A（1，0，-1）和角B（2，1，-1）之间的余弦值为0.948。
通过以上的计算，我们可以得出结论：法向量求二面角余弦值公式是一种用来求解任意二面角之间的余弦值的简便方法。
它也是利用三角函数基础概念而演变而来的基本计算公式之一。
由于它的方法简单易行，所以，它在很多领域，如几何学、地理学、机械工程、电子工程等，都有着广泛的应用。
综上所述，法向量求二面角余弦值公式是一个简单而实用的求解方法，它不仅可以求出二面角之间的余弦值，而且还可以用于几何学、地理学、机械工程、电子工程等多个领域。
它对于改善人们的生活、发展科学技术具有重要意义，为我们现在的生活带来了无穷的便利。
向量法求二面角大小洋葱数学
向量法求二面角大小洋葱数学【最新版】目录一、引言二、向量法求二面角大小的原理1.求出二面角两个面上的法向量2.计算 cos（法向量 1，法向量 2）/（法向量 1 的模长，法向量 2 的模长）3.根据 cos 值的符号判断二面角是锐角还是钝角4.用反三角函数表示二面角的大小三、结论正文一、引言在数学中，二面角是指两个平面之间的夹角，它是一个重要的几何概念。
在实际应用中，求解二面角大小有着广泛的应用。
其中，向量法是求解二面角大小的一种有效方法。
本文将从向量法的原理和具体步骤出发，详细介绍如何用向量法求二面角大小。
二、向量法求二面角大小的原理1.求出二面角两个面上的法向量法向量是垂直于平面的向量，它可以通过求解平面上的两个向量叉乘得到。
假设平面 1 的法向量为 a，平面 2 的法向量为 b，则二面角θ的法向量分别为 a 和 b。
2.计算 cos（法向量 1，法向量 2）/（法向量 1 的模长，法向量 2 的模长）根据向量的点积公式，可以得到 cos（法向量 1，法向量 2）= (法向量 1·法向量 2) / (法向量 1 的模长*法向量 2 的模长)。
其中，法向量 1·法向量 2 表示法向量 1 与法向量 2 的点积，法向量 1 的模长和法向量 2 的模长分别表示它们的模长。
3.根据 cos 值的符号判断二面角是锐角还是钝角根据 cos 值的符号，可以判断二面角是锐角还是钝角。
当 cos（法向量 1，法向量 2）>0 时，表示二面角为锐角；当 cos（法向量 1，法向量 2）<0 时，表示二面角为钝角。
4.用反三角函数表示二面角的大小根据 cos（法向量 1，法向量 2）的值，可以用反余弦函数求出二面角θ的大小。
即：θ = arccos[(法向量 1·法向量 2) / (法向量 1 的模长*法向量 2 的模长)]。
如果需要表示为度数，可以将结果乘以 180/π。
用法向量求二面角的大小及其角度关系的确定
用法向量求二面角的大小及其角度关系的确定我们都知道，向量知识在数学学科里有其非常广泛的应用，尤其是在立体几何求角和距离时，若利用向量知识求解会得到事半功倍的效果，也正体现了向量知识的工具性和灵活性。
而在应用向量知识求解二面角的大小时，不是所有的二面角的两个半平面的法向量的夹角都和二面角相等，有时是互补，那么，什么时候相等，什么时候互补，如何确定其“角度之间的大小关系”一直以来是困扰很多教师和学生的一个难题。
向量有其自身的独特性质—自由性，当一个向量在空间的某一位置时，可以自由移动，只要满足其方向不变，其无论移动到任何位置，向量都是相等的。
根据这一性质，当我们把二面角的某个半平面的法向量求出后，把它的起点放到坐标原点，然后确定其向量的方向的指向，从而确定其法向量的夹角和二面角的大小的关系，在确定了法向量的夹角与二面角的关系后，再利用向量的数量积求出二面角的大小，下面就来具体阐述一下这一做法。
一．规定法向量的指向方向1.当法向量的方向指向二面角的内部时称之为向里指，如：图1中的向量。
1n 2.当法向量的方向指向二面角的外部时称之为向外指，如：图1中的向量。
2n 二．法向量的夹角和二面角大小的关系1.设 分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量21,n n βα,βα--l θ的夹角为，当两个法向量的方向都向里或都向外指时，则有21,n n ϕ（图2）；πϕθ=+2.当两个法向量的方向一个向里指一个向外指时（图3）ϕθ=图2图3三、在坐标系中做出法向量，从而确定法向量的方向指向1.已知二面角，若平面的法向量，由向量的相等条βα--l α)3,4,4(=n 件知，坐标是（4，4，3）的向量有无数多个，根据向量的自由性，我们只需n 做出由原点出发的一个向量便可，如图4所示，从而，我们很容易的判断出平面法向量的方向的指向，是指向二面角的里面。
α2.若平面法向量，同理可做出从原点出发的法向量，如图5α)1,3,4(--=n 所示，显然，方向是指向二面角的外面。
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又SA 面ABCD, SA AB BC 1, AD 求面 SCD 与面 SAB 所成的二面角的余弦值。
S
1 , 2
你能找到所求 二面角的棱吗？
A
B
C
D
探究新知
问题：
二面角的平面角与两个半平面的法向量的夹角有没
有关系？
n1
n2
l
探究新知
n1 , n2
解： 以D为原点建立如图所示的 空间直 角坐标系， 则D (0,0,0), A( 2,0,0), A1 ( 2,0,2), Q (1,2,0) 设平面A1 DQ的一个法向量n （x , y, z ), 则 n DA1 ，n DQ DA1 （ 2， 0， 2） 2 x 2 z 0 DQ （ 1， 2， 0） x 2y 0 1 令x 1, y , z 1 2 1 n (1, ,1) AA 1 平面ADQ 2
探究新知
n1, n2
探究新知
• 问题： 法向量的夹角与二面角的大小是相等或互 补。 • 再次演示课件
细心想一想， 你将有新发现！！
尝试：已知两平面的法向量分别为m=（0，1，0）， n=（0，1，1）,则两平面所成的二面角为( C ) A.45° C.45°或135°
| m || n |
平 又AM∩AD=A，故CE⊥平面AMD.而CE 面
BF DE
CDE，所以平面AMD⊥平面CDE.
(3)解
设平面CDE的法向量为u=（x,y,z)，
x z 0, u CE 0, 则 于是 y z 0. u DE 0. 令x=1,可得u=(1,1,1).
当堂检测
ABC是以B为直角的直角三角形。SA 平面ABC , SA BC 2, AB 4, M 、N 分别是AB、BC的中点。求二面角S NM A的余弦值。
例题精讲
如图， ABCD 是直角梯形，
S
ABC BAD 90,
又SA 面ABCD,
B
C
SA AB BC 1, AD
AD n
1
结论： 利用法向量求二面角的平面角避免了繁难的作、 证二面角的过程。解题的关键是确定相关平面的法向 量，如果图中的法向量没有直接给出，那么必须先创 设法向量。
利用法向量求二面角的平面角的一般步骤： 建立坐标系
找点坐标
求法向量坐标
定值
求两法向量夹角
巩固练习：
正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点Q是BC 的中点，求锐二面角A—DQ—A1的余弦值．
求面 SCD 与面 SAB 所成的锐二面角的余弦值。
【审题指导】本题是求二面角的余弦值，可重点关注向量法求二面角 的余弦值.本题的特点是图中没有出现两个平面的交线，不能直接 利用二面角的平面角或者垂直于棱的向量的夹角解决，利用法向量
1 , 2
A
D
的夹角解决体现了向量求解立体几何问题的优越性
启示：
求二面角的平面角可转化为求两法向量的夹角。 如图，ABCD是直角梯形， ABC BAD 90,
又由题设，平面ACD的一个法向量v=(0,0,1).
所以, cos u, v uv 0 0 1 3 . | u || v | 3 3 1
因为二面角A—CD—E为锐角，所以其余弦值为
3 . 3
课后作业：第111页A组：6、8
•谢谢
z
y x
AA 1 是平面ADQ的一个法向量 AA （ 0， 0， 2） cos n , AA 1 1
n AA1
n AA 1
2 2 3 1 1 1 2 4
2 观察图形可知二面角的 平面是锐角 二面角A DQ A1的平面角的余弦值是 。 3
结论： 利用法向量求二面角的平面角避免了繁难的作、 证二面角的过程。解题的关键是确定相关平面的法向 量，如果图中的法向量没有直接给出，那么必须先创 设法向量。
利用法向量求二面角的平面角的一般步骤： 建立坐标系
找点坐标
求法向量坐标
定值
求两法向量夹角
例2：如图，四棱锥P－ABCD中，PB⊥底面ABCD， CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC， AB＝AD＝PB＝3.点E在棱PA上，且PE＝2EA.求二面角 A－BE－D的余弦值．
又SA 面ABCD, SA
1 AB BC 1, AD 2 ,
求面 SCD
与面SAB 所成的二面角的余弦值。 解：建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz, 则 A (0,0,0), D ( 1 ,0,0), C (1,1,0), S (0,0,1), z S 2 设n ( x, y, z )是面SCD的法向量， 则 y B n DC, n SD. 1 1 A D DC ( 2 ,1,0), SD ( 2 ,0,1),
C
x
1 x y 0 2 1 x z 0 2
x 2 令z=1解之得 y 1
z
n (2,1,1)
S
AD 面SAB
B
1 AD ( ,0,0) 是平面SAB的法向量， 2
y
C
A
D
x
6 cos AD , n 3 | AD || n | 1 6 2 AD, n 就是二面角的平面角， 6 所求锐二面角的余弦值为： 3
小结：
1.利用法向量求二面角大小的优势：
避免了繁难的作、证二面角的过程，将几 何问题转化为数值计算。
2.利用法向量求二面角大小的关键：
确定相关平面的法向量。
3.利用法向量求二面角大小的缺点：
计算量相对比较大。
课后思考
（2009·天津理，19）
如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥ 平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥
1 AD= AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE 2
.
(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小；
(2)证明：平面AMD⊥平面CDE; (3)求锐二面角A—CD—E的余弦值. (1)解 如图所示，建立空间直 角坐标系，点A为坐标原点，设
AB=1，依题意得B(1,0,0),
C(1,1,0)，D(0,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1)，
课题：利用向量方法 求二面角
温故知新
1、二面角的定义： 四、教学过程的设计与实施 从一条直线出发的两个半平面所组成 的图形叫做 二面角 ，这条直线叫做 二面角的棱 ， 这两个半平面叫做 二面角的面 .
2、如何作二面角α—l—β的平面角？
B O A
l
如图， ABCD 是直角梯形， ABC BAD 90,
B.135° D.90°
1 2 2
解析 cos m , n m n 1 2 ,
即〈m,n〉=45°，其补角为135°.
练一练
∴两平面所成二面角为45°或135°.
例1．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB ＝4，AD＝3，AA1＝2，E、F分别是线段AB、BC上的点， 且EB＝FB＝1， (1)求二面角C—DE—C1的正切值； (2)求直线EC1与FD1所成角的余弦值．
练习：若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC ＝1，BC＝ ，求二面角A—PB—C的余 2 弦值．
小结：
1.利用法向量求二面角大小的优势：
避免了繁难的作、证二面角的过程，将几 何问题转化为数值计算。
2.利用法向量求二面角大小的关键：
确定相关平面的法向量。
3.利用法向量求二面角大小的缺点：
计算量相对比较大。
1 1 M ( ,1, ). 2 2
BF (1,0,1), DE (0,1,1), 0 0 1 1 于是 cos BF , DE . 2 2 2 | B的大小为60°.
1 1 由 AM ( ,1, ), CE (1,0,1), AD (0,2,0), (2)证明 2 2 可得CE AM 0， CE AD 0.因此CE AM , CE AD.