曲线坐标系下张量分析

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第三章一般曲线坐标系中的张量分析初步

第三章一般曲线坐标系中的张量分析初步为了对张量有一个全面的了解，本章对一般曲线坐标系中的张量分析做一个初步的介绍。

3.1、曲线坐标，基矢量，度量张量在一般曲线坐标系中，由于必须要用两套基矢量，因此指标要分上标和下标，在正交曲线坐标系中经常用的ij δ应分为i j δ和j i δ，ijk ε也常分为ijk ε和ijkε。

设给定曲线坐标(1q ,2q ,3q )，过空间任一点M 沿每一坐标曲线可得一个切矢量，记为i i qr g ∂∂=i g 是线性独立的矢量，在正交曲线坐标系中，选i g /ig为基矢量。

由于i g 的正交性，有ij j i j i g g g g δ =⋅。

而在一般曲线坐标系中，i g 不一定是相互正交，但任选i g为基矢量（不为单位矢量），称为协变基矢量，在协变基矢量i g的基础上，我们还可以选i g ，使得1g 与2g ，3g 正交，且111=⋅g g ，其他类似。

i g 也是一组基矢量，称为逆变基矢量，i g 与i g是正交的，他们称为互逆基矢量。

我们令j i ij g g g ⋅= j i ij g g g ⋅=i i i j j j g g g g g =⋅=⋅分别称为协变度量张量，逆变度量张量及混合度量张量。

由协变基矢量i g 与逆变基矢量i g的正交性，有i j j i i j g g g δ=⋅=逆变基矢量可以用协变基矢量表示，可以推出j ij i g g g =因为j j ik ij k ij k i k ik g g g g g g g g δ==⋅=⋅=同理有j ij i g g g =可以看到协变度量张量和逆变度量张量起着升标和降标的作用。

注意，在这里我们用了约定求和，不过这里求和中的指标应是一个是上标，另一个是下标。

由于jl il l k jl ik l k jl ik l jl k ik j i i j g g g g g g g g g g g g g g ==⋅=⋅=⋅=δδ)()(可知ij g 和ij g 互为逆矩阵。

张量分析3

2.9克里斯托弗尔符号 ij   i g j  gkk  ig j  gkrgr  gkr ig j g r  gkr ijr(2.9.08) (2.9.09)同样地， ijk  g kr  ijr在基矢量组 g 1 ， g 2 ， g 3 中把  i g j 按下式分解 igj(4)在直线坐标系中， ijk  0 ，  ij  0k(2.9.10)k ij  ijp gp ij g pp(2.9.01) (2.9.02)p ij事实上，因为在斜角和直角坐标系中基矢量 i i 和 e i 均为常量，故  ijk  0 和  (5)克里斯托弗尔符号可用度量张量表示。

事实上，由于g ij , k   gk 0。

 ig j  这里分解系数  ijp 和 分别称为第一类和第二类克里斯托弗尔(Christoffel)符号。

在某些文献中， p 第一类和第二类克里斯托弗尔符号分别用 ij , p  和   表示。

 ij gigj kgi gj g i  k gj  kij   kji(2.9.11) (2.9.12) (2.9.13)对指标进行轮换，则有jk , i  ijk   ikj用 g k 和 g 分别点乘式(2.9.01)和式(2.9.02)两边，则得 ijp gpkg ki , j   jki   jik把式(2.9.12)和式(2.9.13)相加，再减去式(2.9.11)，则得 (2.9.03) (2.9.04) 另外， ijk  1 2 g k   ijp kp k  ijk   i g j  g kk ij  ig j  ggkrjk , i g ki , j  gji , k(2.9.14)现述克里斯托弗尔符号的性质如下。

习题答案—第二章

第二章正交曲线坐标系下的张量分析与场论1、用不同于书上的方法求柱坐标系和球坐标系的拉梅系数及两坐标间的转换关系ij β。

解：①柱坐标系k z j i r++=ϕρϕρs i n c o s ，2222222dz H d H d H ds z ++=ϕρϕρ ()()k dz j d d i d d r d+++-=ϕϕρρϕϕϕρρϕcos sin sin cos()()222222222222222222222222222222c o s s i n s i n c o s c o s s i n 2c o s s i n s i n c o s s i n 2c o s c o s s i n s i n c o s dz d d dz d d d d dz d d d d d d d d dz d d d d r d r d ds ++=++++=+++++-=+++-=⋅=ϕρρϕϕρϕϕρρϕρϕϕρϕϕρϕϕρρϕϕϕρϕρϕϕρρϕϕϕρρϕϕϕρρϕ故：1=ρH ，ρϕ=H ，1=z H ②球坐标系k R j R i R r θφθφθc o s s i n s i n c o s s i n ++=，2222222φθφθd H d H dR H ds R ++=()()()kd R dR j d R d R dR id R d R dR r dθθθφφθθφθφθφφθθφθφθsin cos cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin -++++-+= ()()()2222222222s i n s i n c o s c o s s i n s i n c o s s i n s i ns i n s i n c o s c o s c o s s i n φθθθθθφφθθφθφθφφθθφθφθd R d R dR d R dR d R d R dR d R d R dR r d r d ds ++=-++++-+=⋅=故：1=R H ，R H =θ，θφsin R H = ③两坐标间的转换关系ij βφr re e θe φPθru re e zu ze r(1)圆柱坐标系（2）球坐标系由球坐标系与直角坐标系的坐标变换矩阵为：sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0r e i e j e k θφθφθφθθφθφθφφ⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎢⎥=-⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥-⎣⎦⎩⎭⎩⎭注意，圆柱坐标系中的θ和球坐标系的φ相等。

第四章-曲线坐标系下张量分析

线积分与面积分之间转换定理
对开口曲面S1取一平面面积微元，则沿面元边界的积分所以
然而所以，对平面微元：由于两个平面微元拼装在一起后，上式对拼装后的曲面微元依然成立；而任意曲面可以看作是平面微元的组合，所以上式对一般的曲面成立。设其中是张量
然而
所以例：在极坐标系中
矢量
而极坐标系下的线性应变由于极坐标系下质点的速度
第四章：曲线坐标系张量分析
张量场函数：笛卡尔坐标系下坐标线：只变化一个曲线坐标时，矢径的轨迹。直线坐标系下，坐标线都是直线。当，，，坐标线中至少有一个是曲线时，称为曲线坐标系协变基：所以：基矢量的导数基矢量的导数还是矢量，因而可以用基矢量的线性组合表示：其中称为第二类Christoffel符号，称为第一类Christoffel符号。Christoffel 符号是基矢量导数在协变基下的分解系数。事实上：
藜曼曲率张量描述的是空间的性质。欧式空间中我们中可以选取全局直线坐标使Christoffel符号全部等于零，因此，欧式空间的特征是藜曼曲率张量等于零，矢量（张量）的偏导数次序可以交换。三维空间中的曲面可以看成是二维空间，如果这个二维空间中藜曼曲率张量为零，则这张曲面就可以展开成平面（曲面上一段曲线的长度等于展开后平面上直线段的长度）。如圆柱面、锥面。通过将R-C张量表达为度量张量的函数，可以证明： ①关于前两个指标反对称
质点的加速度其中
所以相对加速度向心加速度切向加速度柯氏加速度
先缩并后求导（自由指标减少2个）
4. 设则有：因此：
Riemann-Christoffel 张量
（二阶张量）互换k,j指标，可得：可以证明：
（后两个指标为求导指标；前两个指标为分量指标）

张量分析(最后附题目)

●
矢量微分元
线元，面元，体元v v v v 例： ∫ F ⋅ dl , ∫ B ⋅ dS , ∫ ρ dV
v v 其中：dl , dS dV 称为微分元。
v dl
v dS
A.直角坐标系在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。 v v r r 线元： dlx = dxa x 面元： dS x = dydzax v v r r dS y = dxdza y dl y = dya y v r v r dS z = dxdyaz dlz = dzaz v r r r 体元： dV = dxdydz dl = dxax + dya y + dzaz
（对各向同性、线性电介质）电极化率，表征了电介质的性质 r r 对各向异性、非线性电介质，并不和 E 简单成正比， P 其方向也不一定平行，“电极化率”不是一个简单的数。 r r r P 当 E 不太强时，和 E 的对应关系仍然是线性关系，可以用分量表示为：
r r ∑ pi 单位体积内所有分子电极化强度矢量：P = 的电偶极矩矢量和 ΔV r r P = αE
直角坐标系（笛卡尔坐标系:Cartesian coordinates ）右手坐标系： r 如果由 e1按右手螺 r r 旋旋转到 e2 可以得到 e3 左手坐标系： r 如果由 e1按左手螺 r r e2 e3 旋旋转到可以得到 b .矢量不变特性
r e3
r e1
r e2
r e3
r e1
r e2
α ϕ x
β
ρ
cosα = (x/r) cosβ = (y/r) cos γ = (z/r) cos2α +cos2β +cos2 γ = 1

张量分析第四章

的系数相等, 令两边 xα ′ 的系数相等得
2 α
不是张量
α′
Γ
α′ β ′γ ′
∂ x ∂x ∂x ∂x β ∂xγ α = ∑ β ′ γ ′ α + ∑ α β ′ γ ′ Γ βγ ∂x ∂x α ∂x ∂x αβγ ∂x ∂x
α
α′
这就是联络 Γ βγ 在坐标变换时的变换规则. 变换时的变换规则
定义则
Γ λ , βγ = ∑ gαλ Γ α r 2r ∂x ∂ x Γ λ , βγ = λ ⋅ β γ ∂x ∂x ∂x
α βγ
Γ λ , βγ = ∑ gαλ Γα βγ
α
看成是将 Γ
αλ
α 的上标下降的结果. βγ 的上标下降的结果
反之, 的第一个下标上升, 反之将 Γ λ , β γ 的第一个下标上升
正好是逆变张量指标α和协变的变换规则. 张量指标βγ的变换规则
§3. 3. 3
克里斯托菲尔符号
α Tβγ 和度规张量 gαβ的关系的关系. 讨论联络 r 将 2r r ∂x 点乘 ∂ x α r xλ = λ = ∑ Γ βγ xα β γ ∂x ∂x ∂x α
r 2r r ∂x ∂ x α r ⋅ β γ = ∑ Γ βγ xα ⋅ xλ gαλ λ ri ri ∂x ∂x ∂x r r α r r ∂x ∂x ∂X ∂X gαβ = xα ⋅ xβ ≡ α ⋅ β = ∑ α ⋅ β ∂x ∂x ∂x i ∂x
Γ λ , βγ + Γ γ ,λβ =
∂g βλ ∂x γ
将三个指标进行轮换λ→β→γ→λ, 得
∂x
λγ β
Γ β ,γλ + Γ λ , βγ =

第二章张量分析

rT
ij
k
r i
g
j
g
k
rT rj k g j k
若 T a ai )
gr [(rai )gi ai pri g p ]
r
ai
r i
ai
p r ri p
rar
ai
r ri
r ri
i (log
g ) r (log
g)
div a rar arr (log
每项偏导只对其后带点的符号求导
2.10.1协变导数
i p
gr[(rT ij k )gi
gj
gk
T ij k
(
g p ri p
gj
gk
g p rj i
gp
gk
g k rp i
gj
g p )]
j p
k p
g r [(rT ij k ) gi
gj
gk
T ijk (
g i
rp i
gj
gk
g j
rp i
iak
ak ;i
iak
ap
k ip
2.10.2 逆变导数
协变导数的指标是张量指标，故可通过逆变度量张量升高协变导数的指标来定义逆变导数如下：
sT ij k g srrT ij k
2.10 不变性微分算子
––– 梯度、散度、旋度、拉普拉斯算子
以三阶混合张量
T T ij k gi g j gk T ij k gij k
若 T a ai gi ，则 curla grr (ai gi ) gr r (ai gi )
gr r ai gi gr gir ai srir ai gs
2.10.4拉普拉斯算子设 T T ij k gi g j gk 2T T rrT ij k gij k

附录：张量解析

【erst】 4．三个矢量a，b，c的混合积(标量) ：
5．三阶行列式的展开式为：
r,s,t正排列 r,s,t逆排
列
6．利用指标符，证明恒等式：
利用δ换标作用，右端⇒左端
由e∼ δ恒等式(一对哑标），可知：
左端＝右端 ∴恒等式成立
一、求和约定、哑标
【利用哑标可把多个项缩写成一项】
爱因斯坦(A．Einstein)求和约定：如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次，则该项在该指标的取值范围内遍历求和。该重复指标称为哑指标，简称哑标（如j）。用哑标代替求和号∑，(A．4) 式简化成
通过哑指标可把多个项缩写成一项
二、自由标二、自由标
⑴ δij定义： ⑵ δij的性质：
❶ δij的分量集合对应于单位矩阵。例如，3D：
❷ 定义表明它对指标i和j是对称的，即
❸ δij具有换标作用（换标符号）即利用δij可以把线元长度平方的公式改写成:
利用δij定义，可以验证：＝ δ11dx1dx1+δ12dx1dx2+δ13dx1dx3 +δ21dx2dx1+δ22dx2dx2+ δ23dx2dx3
❺ 一般地说，不能由等式
(A．12) “两边消去ai来自(A．13)1
≠
如果ai特定取值时(A．12)式可成立，如可取(a1，a2，a3)=(1，0，0) ⇒ b1 ＝c1 同理，若取(a1，a2，a3)=(0，1，0) ⇒ b2 ＝c2 (a1，a2，a3)=(0，0，1) ⇒ b3 ＝c3 所以(A．13)式成立的前提是“ai任意”而不是简单地“消去ai”
练习
同理有：
二、排列（置换）符号erst
⑴符号erst三种定义：

张量分析01

附录I 张量分析近代力学在电子计算机的辅助下冲破了数学求解上的重重困难，取得了突飞猛进的发展，力求对复杂的物理现象和工程问题做出更为系统和真实的描述和研究。

张量分析能以简洁的表达形式和清晰的推导过程来有效地描述复杂问题的本质，已被近代力学文献和教科书普遍采用。

作为入门，此处着重介绍笛卡儿坐标系和正交曲线坐标系中的张量。

I.1 矢量和张量的记法，求和约定力学中常用的量可以分成三类：只有大小没有方向性的物理量称为标量。

例如温度T 、密度ρ、时间t 等。

既有大小又有方向性的物理量称为矢量，常用黑体（或加箭头）表示，为与课堂讲述一致，此处选择用上加箭头表示矢量。

例如矢径r 、位移u 、速度v 、力f 等。

具有多重方向性的更为复杂的物理量称为张量，常用黑体（或加下横）表示，为与课堂讲述一致，此处选择用下加横线表示矢量。

例如一点的应力状态要用应力张量来表示，它是具有二重方向性的二阶张量，记为σ。

矢量可以在参考坐标系中分解。

例如图1 中P 点的位移u 在笛卡儿坐标系()321,,x x x 中分解为∑==++=31332211i i i e u e u e u e u u (I.1)其中1u 、2u 、3u 是位移的三个分量，1e 、2e 、3e是沿坐标轴的三个单位基矢量。

由此引出矢量（可推广至张量）的三种记法： ( l ）实体记法：把矢量或张量的整个物理实体用一个黑体字母或上加箭头来表示。

例如把位移记为u 。

( 2 ）分解式记法：同时写出矢量或张量的分量和相应分解方向的基矢量。

例如用式(I.1)表示位移u 。

( 3 ）分量记法：把矢量或张量用其全部分量的集合来表示，省略相应的基矢量。

例如用三个位移分量()3,2,1=i u i 的集合表示位移u 。

下面详细讨论后两种记法中广泛采用的指标符号。

对于一组性质相关的n 个量可以采用指标符号来表示。

例如，n 维空间中矢量a 的n 个分量1a ，2a ，…，n a 可缩写成()n i a i ,,2,1 =。

【力学中的张量分析】-力学与Mathematica系列03

【力学中的张量分析】-力学与Mathematica系列03张量的推导与计算十分繁杂，因而使用Mathematica进行张量分析本身便是一件很自然的事，但很无奈，网上几乎没有相应的中文教程，与之相应的是，各种论坛上关于使用Mathematica进行张量分析的求助帖基本没本帖系统地总结了一下Mathematica中各种张量函数的用法，并辅以部分例题，为大家展示如何使用Mathematica进行张量分析。

限于篇幅，希望本帖能起到抛砖引玉的作用。

1. 张量的表示在Mathematica中，使用多层列表表示张量。

例如，二阶对称克罗内克符号为二阶张量，我们可以手动输入，或者借助内置函数产生。

里奇-列维塔张量亦是如此。

{{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}} // MatrixFormArray[KroneckerDelta, {3, 3}] // MatrixFormTable[Mod[(j - i) (k - j) (i - k), 3, -1], {i, 1, 3}, {j, 1, 3}, {k, 1, 3}] // MatrixFormLeviCivitaTensor[3] // MatrixForm实际上，Mathematica并不能直接区分协变张量和逆变张量，所以我们需要借助度量张量来实现。

例如在极坐标下，我们已知某一矢量在自然协变基矢量下的逆变分量，求其在逆变基矢量下的协变分量。

Gx = CoordinateChartData["Polar", "Metric", {r, \[Theta]}];Gn = CoordinateChartData["Polar", "InverseMetric", {r, \[Theta]}];Gx // MatrixFormGn // MatrixFormPn = {1, r}Px = Pn.GnPx.Gx张量分析中，有很大一部分是对各种等式的证明，因此抽象表示张量很有必要，Mathematica也提供了这种表示方法，可以看到，这种表示方法可以指定任意维度，数据类型以及对称性等。

第4章张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)

x2
A

• •
b
a
dF ( x) dx F (a ) F (b) dx
微分阶次降了一阶域内转换到边界
l
x1
向二维扩展：Green定理
X 1 ( x1 , x 2 ) 1 2 1 2 1 dx dx X 1 ( x , x )dx 2 x A l X 2 ( x , x ) 1 2 dx dx 1 x A
gi ( x j ) gi ( x j x j )
gi gi ( x , x , x )
1 2 3
O
是坐标的非线性函数
基矢量的导数，Christoffel符号

基矢量的导数与Christoffel符号协变基矢量的导数与第二类Christoffel符号 g j g j k k k ij gk ij i g 定义式 i x x
m Tim m T i j k
i i m T m T j mk m jk
四者之间满足指标升降关系。
张量分量对坐标的协变导数
★张量场函数的梯度特殊张量1：度量张量G
g ij;k 0 G G 0
两个张量的并AB的协变导数
1 ij gg i j x g x
2
张量场函数的散度和旋度
因此，Laplace算子的计算式：
1 ij ( ) ( ) gg i j x g x
2
Euclid空间，只有一个最基本的一阶矢量微分算子，即梯度算子。 Euclid空间，只有一个最基本的二阶标量微分算子，即Laplace算子。
从而可得右梯度和左梯度：
T i T T (r ) i g x

第四章-曲线坐标系下张量分析

第四章：曲线坐标系张量分析张量场函数：()=T f r 在空间中每一点定义一个张量T 曲线坐标系回顾：笛卡尔坐标系下空间一点的矢径 123123x x x =++r e e ei x 坐标线：只变化一个坐标i x 时，矢径的轨迹。

直线坐标系下，坐标线都是直线。

当()i i 123x x ,,=ξξξ，1ξ，2ξ，3ξ坐标线中至少有一个是曲线时，称为曲线坐标系协变基：i i ∂=∂ξrg所以：ki k i x ∂=∂ξg e '''k i i i i i k i i x ∂ξ∂ξ==∂ξ∂∂∂ξξe g gjj mm x∂ξ=∂g e '''j j j j j m m j jx ∂ξ∂∂ξ∂ξ==∂ξ∂ξg e g 原因：k j m jj j m m i i ji ii k m x x x x ∂ξ∂∂ξ⋅=⋅=∂==δ∂∂ξ∂∂ξ∂ξξ∂e e g g 曲线坐标系中，基矢量是曲线坐标的函数基矢量的导数基矢量对曲线坐标的导数还是矢量，因而可以用基矢量的线性组合表示：j k k ij k ij,k i∂=Γ=Γ∂ξg g g其中组合系数kijΓ 称为第二类Christoffel 符号 ij,k Γ称为第一类Christoffel 符号Christoffel 符号是协变基矢量对曲线坐标的导数在基底矢量下的分解系数。

事实上：j k k iji ∂Γ=⋅∂ξg g jij,k k i∂Γ=⋅∂ξg g① 指标对称性第二类Christoffel 符号的两个协变指标用于指示哪一个协变基矢量（第二个协变指标）对哪一个曲线坐标（第一个协变指标）求导数。

然而，根据协变基矢量的定义：j j ∂=∂ξrg 可得：2jk k k i i kk ij ji i j j ∂∂∂=⋅=⋅=⋅=∂ξ∂ξ∂ξΓ∂ξΓg r g g g g2ji k k k i i j ij,kji,j k ∂∂∂=⋅=⋅=⋅=∂ξ∂ξ∂ξΓΓ∂ξg r gg g g 说明Christoffel 符号相对它的前两个协变指标是对称的。

曲面的积分几何与张量分析

曲面的积分几何与张量分析积分几何和张量分析是数学中重要的研究领域，其在曲面理论中的应用尤为广泛。

本文将讨论曲面的积分几何和张量分析的基本概念、原理以及在实际问题中的应用。

一、曲面的参数化表示曲面的参数化表示是理解曲面积分几何和张量分析的基础。

对于一个光滑曲面S，可以用参数化方程来表示：\[ \vec{r}(u,v) = x(u,v)\vec{i} + y(u,v)\vec{j} + z(u,v)\vec{k} \]其中，\( \vec{r}(u,v) \)是曲面上的一点，\( \vec{i} \)、\( \vec{j} \)、\( \vec{k} \)是空间坐标的单位向量，\( x(u,v) \)、\( y(u,v) \)、\( z(u,v) \)是曲面上的函数，而\( u \)、\( v \)是曲面参数。

二、曲面元素的计算曲面上的积分需要对曲面元素进行计算。

在参数化表示下，曲面元素可以通过计算向量的偏导数来得到：\[ d\vec{S} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial\vec{r}}{\partial v} du dv \]其中，\( \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \)和\( \frac{\partial\vec{r}}{\partial v} \)分别是曲面上两个方向的偏导数，\( du \)和\( dv \)是曲面参数的微小增量。

三、曲面积分的定义曲面积分是对曲面上某一量的积分运算。

对于一个光滑曲面S上的标量函数\( f(x, y, z) \)，其曲面积分可以表示为：\[ \iint_S f(u,v) dS = \iint_D f(\vec{r}(u,v)) \left| \frac{\partial\vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} \right| du dv \]其中，\( D \)是曲面S在参数空间上的投影区域。

曲面的热力学几何与度量张量分析

曲面的热力学几何与度量张量分析曲面的热力学几何是研究曲面上的热力学性质与几何结构之间的关系，其中度量张量是一项重要的工具。

本文将介绍曲面的热力学几何的基本概念，并探讨度量张量在曲面上的应用。

一、曲面的热力学几何曲面的热力学几何研究的是曲面上的热力学性质与几何结构之间的联系。

曲面上的热力学性质可以通过度量张量来描述。

度量张量是一种用来度量曲面上距离和角度的工具，通常用曲面的第一基本型来表示。

在曲面上，有两个与度量张量相关的概念，即曲率和切向量。

曲率描述了曲面的弯曲程度，可以通过度量张量的特征值来计算。

切向量表示曲面上某一点的方向，在计算曲率时是必不可少的。

二、度量张量的定义和性质度量张量是一个二阶对称张量，用来度量曲面上的距离和角度。

在局部坐标系下，度量张量可以用一个二阶方阵来表示。

对于曲面上的一个点，度量张量的矩阵形式为：\[g = \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix}\]其中，E、F和G是度量张量的分量，表示在局部坐标系下的度量值。

度量张量具有一些重要的性质。

首先，度量张量是对称的，即E=G。

其次，度量张量的逆矩阵可以表示曲面的逆度量，即度量张量的逆矩阵为：\[g^{-1} = \begin{bmatrix} E^{-1} & -F \\ -F & G^{-1} \end{bmatrix}\]最后，度量张量的行列式称为曲面的度量，用g表示，即：\[g = EG-F^2\]三、度量张量的应用度量张量在曲面上有着广泛的应用。

其中一个重要的应用是计算曲面上的长度和面积。

曲面上两点之间的距离可以通过度量张量来计算。

假设两个点的坐标分别为\((u_1, v_1)\)和\((u_2, v_2)\)，则它们之间的距离可以表示为：\[d = \sqrt{(u_2-u_1)^2E+(v_2-v_1)^2G+2(u_2-u_1)(v_2-v_1)F}\]曲面上的面积也可以通过度量张量来计算。

第二章正交曲线坐标系中的张量分析与场论

第二章正交曲线坐标系中的张量分析与场论上一章讨论了张量的代数运算，而连续介质力学要求研究连续介质微元体之间的关系，这就要求把微积分引入张量的运算中，从而形成了张量分析与场论。

本章我们将重点介绍正交曲线坐标系中的张量分析及一些有关场论的知识，关于一般曲线坐标系中张量分析的知识不在我们课程讲授的范围之内，我们在第三章中给出有关内容的简单介绍，供有兴趣者参考。

相对于一般曲线坐标系，有些文献和教科书上也把正交曲线坐标系称为非完整系物理标架。

2.1、矢量函数、及其导数与微分1）.如果一个矢量A 随着某一参数q 在变化，则称这个矢量()q A为矢量函数，在直角坐标，也称笛卡尔坐标中()q A可表示为()()()()k q A j q A i q A q A z y x++=如果把矢量A 的起点放在原点，随着q 的变化，A的端点将在空间描述出一条曲线，这条曲线称为A的矢端曲线，矢端曲线是以参数形式给出的。

矢端曲线上一点M ，矢量叫做点M 的矢径，用r表示。

矢端曲线的参数方程为A r=，即其分量满足的方程为()q A x x =； ()q A y y =； ()q A z z = 例：圆柱螺旋线。

参数方程为：()k a j a i a rθθθθ++=sin cos其中θ为参数。

2）.矢量函数的导数矢量函数的导数的定义为：如()()qq A q q A q A q q ∆-∆+=∆∆→∆→∆ 00lim lim存在，则称为()q A 在q 点的导数或导矢，记为qA ∆∆或A '。

在直角坐标中，由于i e是常矢量，因此导数的表达式为()()()()i i i i i q i i i i q q e qA e q q A q q A q e q A e q q A q Adq A d∂∂=∆-∆+=∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆000lim lim lim即k dqdA j dq dA i dq dA dq A d z y x++=s导矢()q A '的几何意义：如果导矢A ' 存在，且0≠'A ，则A '的方向表示矢端曲线的切线方向，并指向q 增加的方向。

4.7张量方程的曲线坐标分量表示法

47张量方程的曲线坐标分量表示法由笛卡儿坐标系中相对简单的张量分量方程得到任意曲线坐标系中的张量分量方程的步骤
张量分析及连续介质力学
4.7 张量方程的曲线坐标分量表示法
由笛卡儿坐标系中相对简单的张量分量方程得到任意曲线坐标系中的张量分量方程的步骤：线坐标系中的张量分量方程的步骤：步骤示 1. 运动方程
4.
σ i ;j j + ρf i = ρwi
或
i ij → g ij
或 i ( ) → i (
( ),i → ( );i
ijk
上述做法的理由是张量方程在笛卡儿坐标系中成立，上述做法的理由是张量方程在笛卡儿坐标系中成立，则在任意其它坐标系中也成立。在任意其它坐标系中也成立。
σ xx σ xy σ xz + + + ρf x = ρwx x y z σ yx x + σ yy y + σ yz z + ρf y = ρwy
例
1. 按照笛卡儿坐标系列出方程。方程。
σ zx σ zy σ zz + + + ρf z = ρwz x y z
2. 应用求和约定将上述方程写程指标形式。写程指标形式。
eijk →
e →
ijk
σ ij ; j + ρf i = ρwi
(i = 1,
2, 3)
)
2.
σ ij x
j
+ ρf i = ρwi
(i = 1,
2, 3)
3. 上升和降低指标，使哑指上升和降低指标，标一上一下，标一上一下，自由指标在相同位置。相同位置。
3.
σ i j + ρf i = ρwi j x 或 σ ij + ρf i = ρwi x j

附录：张量分析

3
ui ei (2)分解式记法： u＝u1e1+u2e2+u3e3= i 1
分量和基矢量
(3)分量记法：
ui(i＝1，2，3)的集合
张量是具有多个分量的复杂物理量，为表达简洁，需引入一些记号和约定
指标符号
指标符号：对于一组性质相关的n个量用相同的字母加不同的指标符号来表示
举例——
◈
a的n个分量
∑：通过哑指标可把多个项缩写成一项，通过自由指标又把多个方程缩写成一个方程。
指标符号使书写简洁，但也必须小心，因为许多重要的含义往往只表现在指标的细微变化上。
§ A.2 符号δij与erst
本节介绍两个张量分析中的常用符号
一、符号δij ，称为“Kronecker delta” 【使重复下标求和约定更加方便】
内容梗概
【坐标变换揭示各类量的性质、张量方程的特点等】求和约定: 多项简写自由标: 多个方程简写符号δij 符号erst
哑标
⇒
自由标
⇒
换标符δij
⇒ 排列符erst
张量分析引论
张量分析以简洁的表达形式和清晰的推导过程描述复杂问题，被近代力学文献和教科书普遍采用。本附录着重介绍笛卡儿坐标系和正交曲线坐标系中的张量。
❷ 同一项中出现两对（或几对）的不同哑标，表示重复求和。(共九项求和)
❸ 若对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，一般应加求和号，或者，在多余指标下加一横，表示该指标不计指标数。如：
❹ 当自由指标在同项内出现两次时，应申明该指标不求和。或者，在其中一个指标下加一横，表示该指标不求和。例如：s＝aii原表示s＝a11+a22+a33 , 但
§A.1
矢量和张量的记法，求和约定

曲线坐标系下张量分析

第三章 一般曲线坐标系中的张量分析初步

张量分析3

习题答案—第二章

第四章-曲线坐标系下张量分析

张量分析(最后附题目)

张量分析第四章

第二章张量分析

附录：张量解析

张量分析01

【力学中的张量分析】-力学与Mathematica系列03

第4章 张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)

第四章-曲线坐标系下张量分析

曲面的积分几何与张量分析

曲面的热力学几何与度量张量分析

第二章 正交曲线坐标系中的张量分析与场论

4.7张量方程的曲线坐标分量表示法

附录：张量分析

第三章一般曲线坐标系中的张量分析初步

第4章张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)

第二章正交曲线坐标系中的张量分析与场论