猜想与归纳

①1×12＝1－12 ②2×23＝2－2
3 ③3×34＝3－3
4
④4×45＝4－45
……
猜想与归纳
归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。

其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。

例1观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究其中的规律：
⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：
⑵猜想并写出与第n 个图形相对应的等式。

例2将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，如此循环进行下去，
⑴如果能剪100次，共有多少个正方形？据上表分析，你能发现什么规律？ ⑵如果剪n 次共有A n 个正方形，试用含n 、A n 的等式表示这个规律； ⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？ ⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？
⑸若原正方形的边长为1，设a n 表示第n 次所剪的正方形的边长，试用含n 的式子表示a n ； ⑹试猜想a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系．
例3下图中，图⑴是一个扇形AOB ，将其作如下划分：
第一次划分：如图⑵所示，以OA 的一半OA 1为半径画弧，再作∠AOB 的平分线，得到扇形的总数为6个，分别为：扇形AOB 、扇形AOC 、扇形COB 、扇形A 1OB 1、扇形A 1OC 1、扇形C 1OB 1；
第二次划分：如图⑶所示，在扇形C 1OB 1中，按上述划分方式继续划分，可以得到扇形的总数为11个；第三次划分：如图⑷所示；……依次划分下去.
⑴根据题意，完成下表：
⑵根据上表，请你判断按上述划分方式，能否得到扇形的总数为2005个？为什么？
优化训练
1． 如图，细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：
（1）2＋1＝2 S 1＝12 （2）2＋1＝3
S 2＝22
（3）2＋1＝4 S 3＝
32
⑴请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律； ⑵推算出OA 10的长；
⑶求出S 12＋S 22＋S 32＋…＋S 102的值．
2． 观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，记第n 个图中的小黑点
的个数为y .
A 6 … A 5
1 1 A 4 1 A 3 A 2
1 A 1
1
1 O S 1 S
2 S
3 S
4 S 5
图⑷第三次划分 图⑴ A B O 图⑵第一次划分 A B O A 1 C B 1 C 1 图⑶第二次划分 A B O
A 1 C
B 1
C 1
⑴ ⑵
⑶
⑷
解答下列问题： ⑴填表：
⑵当n ＝8时，y ＝ ___；
⑶你能猜想y 与n 之间的关系式吗？你是怎么得到的，请与同伴交流；
⑷下边给出一种研究方法。

请你根据上表中的数据，把n 作为横坐标，把y 作为纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的各点（n ，y ）.猜一猜上述各点是否在某一函数的图象上？如果在某一函数的图象上，请你求出该函数的关系式。

3． 一个自然数a 恰等于另一个自然数b 的平方，则称自然数a 为完全平方数，如64＝82，64
就是一个完全平方数．若a ＝20022＋20022×20032＋20032，求证：a 是一个完全平方数，并写出a 的平方根．
4． 下列是由同型号黑白两种颜色的正三角形瓷砖按一定规律铺设的图形．
仔细观察图形可知：
图①有1块黑色的瓷砖，可表示为
；
2
1
)11(1⨯+=
图②有3块黑色的瓷砖，可表示为；
2
2
)21(21⨯+=
+ 图③有6块黑色的瓷砖，可表示为；
2
3
)31(321⨯+=++ 实践与探索：⑴请在图④的虚线框内画出第4个图形；（只须画出草图） ⑵第10个图形有 块黑色的瓷砖；（直接填写结果） ⑶第n 个图形有 块黑色的瓷砖．（用含n 的代数式表示）
5． 观察下列图形，如图所示，若第1个图形中的空白面积为1，第2个图形中非阴影部分的面
积为34，第3个图形中非阴影部分的面积为916，第4个图形中非阴影部分的面积为27
64，……
探究：第n 个图形中非阴影部分的面积为多少（用字母n 表示）？
6． 随着信息技术的高速发展，电话进入了千家万户，据调查某校初三⑴班的同学家都装上了电
话，暑假期间全班每两个同学都通过一次电话，如果该班有56名同学，那么同学们之间共通了多少次电话？
为解决该问题，我们可把该班人数n 与通电话次数s 间的关系用下列模型来表示：
⑴若把n 作为点的横坐标，s 作为纵坐标，根据上述模型中的数据，在给出的平面直角坐标系中，描出相应各点，并用平滑的曲线连接起来；
⑵根据图中各点的排列规律，猜一猜上述各点会不会在某一函数的图象上？如果在，求出该函数的解析式； ⑶根据⑵中得出的函数关系式，求该班56名同学间共通了多少次电话．
7． 在数学活动中，小明为了求
23411111
22222
n ++++⋅⋅⋅+的值（结果用n 表示）
，设计如图1所示的几何图形。

⑴请你利用这个几何图形，
求2
3411111
2222
2
n ++++⋅⋅⋅+的值为 ；
⑵请你利用图
2
，再设计一个能求
23411111
22222
n ++++
⋅⋅⋅+
的值的几何图形。

8． 如图，正方形表示一张纸片，根据要求需多次分割，把它分割成若干个直角三角形．操作过
图①
图②
图③
图④
图1 图2
1
2
2
123
1
24
12
①
②
③
……
程如下：第一次分割，将正方形纸片分成4个全等的直角三角形，第二次分割将上次得到的直角三角形中一个再分成4个全等的直角三角形；以后按第二次分割的作法进行下去．
⑴请你设计出两种符合题意的分割方案图；
⑵设正方形的边长为a，请你就其中一种方案通过操作和观察将第二、第三次分割后所得的
⑶在条件⑵下，请你猜想：分割所得的最小直角三角形面积S与分割次数n有什么关系？用
数学表达式表示出来．
9．下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的．
⑵推测第n个图形中，正方形的个数为___ ，周长为___ （都用含n的代数式表示）；
⑶这些图形中，任意一个图形的周长y与它所含正方形个数x之间的关系式为___
．10．定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形。

探究：一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形。

我们把△DEF（图乙）第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图2）……依次规则操作下去。

n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三角形的面积为S n.
⑴若△DEF的面积为10000，当n为何值时，2＜S n＜3？（请用计算器进行探索，要求至少
写出三次的尝试估算过程）
⑵当n＞1时，请写出一个反映S n－1，S n，S n＋1之间关系的等式（不必证明）。

11．据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连结得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五。

后人概括为“勾三、股四、弦五”。

⑴观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；……，发现这些勾股数的勾．都是奇数，且
从3起就没有间断过。

计算
1
2（9－1）、
1
2（9＋1）与
1
2（25－1）、
1
2（25＋1），并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股．和弦．的算式；
⑵根据⑴的规律，用n（n为奇数且
．．．n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾．、股．、弦．，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；
⑶继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；……，可以发现各组的第一个数都是偶数，
且从4起也没有间断过。

运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数且
．．．m＞4）的代数式来表示他们的股．和弦．。