2018广东广州市高三数学复习专项检测试题：03含解析

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2018届广州市高三年级调研测试(文科数学)答案

数学（文科）试题A 第 1 页共 8 页2018届广州市高三年级调研测试文科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一．选择题二．填空题13．10 14．21- 15．1ln 2+ 16．1三、解答题17．解：（1）当1n =时，114a =．………………………………………………………………………1分因为221*123-144+44,4n n n n n a a a a a n --++++=∈N L ， ①所以22123-1-1444,24n n n a a a a n -++++=≥L ． ②……………………………………3分①－②得1144n n a -=．……………………………………………………………………………………4分所以()*1=2,4n n a n n ≥∈N ．……………………………………………………………………………5分由于114a =也满足上式，故*1=()4n n a n ∈N ．…………………………………………………………6分（2）由（1）得421n n n a b n =+=121n +．………………………………………………………………………7分所以()()11111=212322123n n b b n n n n +⎛⎫=- ⎪++++⎝⎭．………………………………………………9分数学（文科）试题A 第 2 页共 8 页故1111111235572123n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪++⎝⎭L ……………………………………………………10分 1112323n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭…………………………………………………………………………………11分 69nn +=．…………………………………………………………………………………………12分18．（1）证明：连接 BD ，交 AC 于点O ，设PC 中点为F ，连接OF ，EF ．因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点，所以OF PA P ，且12OF PA =，因为DE PA P ，且12DE PA =，所以OF DE P ，且OF DE =．…………………………………………………………………………1分所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD EF P ，即BD EF P ．………………………………2分因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥．因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥．因为PA AC A =I ，所以BD ⊥平面PAC ．…………………………………………………………4分因为BD EF P ，所以EF ⊥平面PAC ．………………………………………………………………5分因为FE ⊂平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE ． ………………………………………………6分（2）解法1：因为60ABC ∠=o ，所以△ABC 是等边三角形，所以2AC =．………………………7分又因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥．所以122PAC S PA AC ∆=⨯=．……………………………………………………………………………8分因为EF ⊥面PAC ，所以EF 是三棱锥E PAC -的高． ……………………………………………9分因为EF DO BO ===……………………………………………………………………………10分所以13P ACE E PACPAC V VS EF --∆==⨯…………………………………………………………………11分1233=⨯=．………………………………………………………………………12分解法2：因为底面ABCD 为菱形，且︒=∠60ABC ，所以△ACD 为等边三角形．………………7分取AD 的中点M ，连CM ，则AD CM ⊥，且3=CM ．………………………………………8分数学（文科）试题A 第 3 页共 8 页因为⊥PA 平面ABCD ，所以CM PA ⊥，又A AD PA =I ，所以CM ⊥平面PADE ，所以CM 是三棱锥C PAE -的高．………………………………………9分因为122PAE S PA AD ∆=⨯=．…………………………………………………………………………10分所以三棱锥ACE P -的体积13P ACE C PAE PAE V V S CM --∆==⨯……………………………………11分1233=⨯=．…………………………………………12分19．解：（1）由已知数据可得2456855x ++++==，3444545y ++++==．…………………1分因为51()()(3)(1)000316ii i xx y y =--=-⨯-++++⨯=∑， ………………………………………2分，52310)1()3()(22222512=+++-+-=-∑=i ix x ………………………………………………3分==……………………………………………………4分所以相关系数()()0.95nii xx y y r --===≈∑．………………5分因为0.75r >，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系． …………………………………………6分（2）记商家周总利润为Y 元，由条件可得在过去50周里：当X >70时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行，周总利润Y =1×3000-2×1000=1000元． …………………………………………………………………8分当50≤X ≤70时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行，周总利润Y =2×3000-1×1000=5000元． …………………………………………………………………9分当X<50时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行，周总利润Y =3×3000=9000元． …………………………………………………………………………10分所以过去50周周总利润的平均值10001050003590005460050Y ⨯+⨯+⨯==元，所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元． ………………………………………………12分数学（文科）试题A 第 4 页共 8 页20．解：（1）抛物线的准线方程为2p x =-，所以点E ()2t ，到焦点的距离为232p+=．…………………………………………………………1分解得2p =．所以抛物线C 的方程为24y x =．………………………………………………………………………2分（2）解法1：设直线l 的方程为()10x my m =->．………………………………………………………3分将1x my =-代入24y x =并整理得2440y my -+=，………………………………………………4分由()24160m ∆=->，解得1m >．……………………………………………………………………5分设()11,A x y ， ()22,B x y ， ()11,D x y -，则124y y m +=， 124y y =，……………………………………………………………………………6分因为()()()2212121212·11(1)2484FA FB x x y y m y m y m y y =--+=+-++=-u u u r u u u r ，………………7分因为FA FB ⊥，所以0FA FB =u u u r u u u rg ．即2840m -=，又0m >，解得m =．…………………………………………………………8分所以直线l的方程为10x -+=．设AB 的中点为()00,x y , ，0013x my =-=，……………………………………………………9分所以直线AB的中垂线方程为)3y x -=-．因为AD 的中垂线方程为0y =，所以△ABD 的外接圆圆心坐标为()5,0．……………………………………………………………10分因为圆心()5,0到直线l 的距离为AB ==……………………………………………………………11分所以△ABD 的外接圆的方程为()22524x y -+=．…………………………………………………12分数学（文科）试题A 第 5 页共 8 页解法2：依题意可设直线()():10l y k x k =+>．……………………………………………………3分将直线l 与抛物线C 联立整理得0)42(2222=+-+k x k x k ．………………………………………4分由04)42(422>--=∆k k ，解得10<<k ．………………………………………………………5分设),,(),,(2211y x B y x A 则1,4221221=+-=+x x k x x ．…………………………………………………………………………6分所以4)1(2121221=+++=x x x x k y y ，因为12121224()18FA FB x x x x y y k⋅=-+++=-u u u r u u u r ，…………………………………………………7分因为FA FB ⊥，所以0FA FB =u u u r u u u rg ．所以2480k-=，又0k > ，解得22=k ．…………………………………………………………8分以下同解法1．21．解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞．当2b =时，()2ln f x a x x =+，所以()222a x af x x x x+'=+=．………………………………1分① 当0a >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,+∞上单调递增．………………………………2分 ② 当0a <时，令()0f x '=，解得x =当0x <<()0f x '<，所以函数()f x在⎛ ⎝上单调递减；当x >()0f x '>，所以函数()f x在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增．………………………3分综上所述，当2b =，0a >时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；当2b =，0a <时，函数()f x在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增．………4分（2）因为对任意1,e ex ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()e 1f x ≤-成立，所以()max e 1f x ≤-．……………………………5分数学（文科）试题A 第 6 页共 8 页当0a b +=即a b =-时，()ln b f x b x x =-+，()()11bb b x b f x bx x x---'=+=．令()0f x '<，得01x <<；令()0f x '>，得1x >．所以函数()f x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,e 上单调递增，…………………………………………7分()max f x 为1e e b f b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与()e e b f b =-+中的较大者．…………………………………………8分设()()1e e e 2e b b g b f f b -⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭()0b >，则()e e220bbg b -'=+->=，所以()g b 在()0,+∞上单调递增，故()()00g b g >=所以()1e e f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，从而()max f x =⎡⎤⎣⎦()e e bf b =-+．………………………………………………………………………9分所以e e 1bb -+≤-即e e 10b b --+≤．设()=e e 1bb b ϕ--+()0b >，则()=e 10bb ϕ'->．…………………………………………………10分所以()b ϕ在()0,+∞上单调递增．又()10ϕ=，所以e e 10b b --+≤的解为1b ≤．……………………………………………………11分因为0b >，所以b 的取值范围为(]0,1．………………………………………………………………12分22．解：（1）因为曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），因为2.x x y y '=⎧⎨'=⎩，，则曲线2C 的参数方程2cos 2sin .x y αα'=⎧⎨'=⎩，．………………………………………………2分所以2C 的普通方程为224x y ''+=．……………………………………………………………………3分所以2C 为圆心在原点，半径为2的圆．…………………………………………………………………4分所以2C 的极坐标方程为24ρ=，即2ρ=．…………………………………………………………5分数学（文科）试题A 第 7 页共 8 页（2）解法1：直线l 的普通方程为100x y --=．…………………………………………………………6分曲线2C 上的点M 到直线l的距离+)10|d απ-==．…………8分当cos +=14απ⎛⎫⎪⎝⎭即()=24k k αππ-∈Z 时，d2-．……………9分当cos +=14απ⎛⎫- ⎪⎝⎭即()3=24k k απ+π∈Z 时，d+10分解法2：直线l 的普通方程为100x y --=．…………………………………………………………6分因为圆2C 的半径为2，且圆心到直线l 的距离252|1000|=--=d ，…………………………7分因为225>，所以圆2C 与直线l 相离．………………………………………………………………8分所以圆2C 上的点M 到直线l 的距离最大值为225+=+r d ，最小值为225-=-r d ．…10分23．解：（1）当1=a 时，()|1|=+f x x ．…………………………………………………………………1分①当1x ≤-时，原不等式可化为122x x --≤--，解得1≤-x ．…………………………………2分 ②当112x -<<-时，原不等式可化为122+≤--x x ，解得1≤-x ，此时原不等式无解．……3分 ③当12x ≥-时，原不等式可化为12+≤x x ，解得1≥x ．…………………………………………4分综上可知，原不等式的解集为{1x x ≤-或}1≥x ．…………………………………………………5分（2）解法1：①当3a ≤时，()3,3,23,3,3,.a x g x x a x a a x a -≤-⎧⎪=----<<-⎨⎪-≥-⎩………………………………………6分所以函数()g x 的值域[]3,3A a a =--，因为[2,1]-⊆A ，所以3231a a -≤-⎧⎨-≥⎩，，解得1a ≤．………………………………………………………7分②当3a >时，()3,,23,3,3, 3.a x a g x x a a x a x -≤-⎧⎪=++-<<-⎨⎪-≥-⎩…………………………………………………8分数学（文科）试题A 第 8 页共 8 页所以函数()g x 的值域[]3,3A a a =--，因为[2,1]-⊆A ，所以3231a a -≤-⎧⎨-≥⎩，，解得5a ≥．………………………………………………………9分综上可知，a 的取值范围是(][),15,-∞+∞U ．………………………………………………………10分解法2：因为|+||+3|x a x -≤()+(+3)3x a x a -=-，……………………………………………7分所以()g x =()|+3||+||+3|[|3|,|3|]-=-∈---f x x x a x a a ．所以函数()g x 的值域[|3|,|3|]A a a =---．…………………………………………………………8分因为[2,1]-⊆A ，所以|3|2|3|1a a --≤-⎧⎨-≥⎩，，解得1a ≤或5a ≥．所以a 的取值范围是(][),15,-∞+∞U ．………………………………………………………………10分。

高三数学-2018广东广州质检精品

高三数学训练题2018年2月12日15：00—17：00本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第 I 卷（选择题共60分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人员将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P （A +B ）＝P （A ）+P （B ） S ＝4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ）球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P .334R V π=那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概其中R 表示球的半径率k n kk n n P P C k P --=)1()(一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）若U ＝｛1，2，3，4，5｝，M ＝｛1，2，4｝，N ＝｛3，4，5｝，则U （M ∩N ）＝（A ）｛4｝（B ）｛1，2，3｝（C ）｛1，3，4｝（D ）｛1，2，3，5｝（2）2211lim 21x x x x →-=--（A ）12 （B ）23（C ）0 （D ）2（3）不等式 |x |≤|x ＋2| 的解集是（A ）｛x |x ≥－1｝（B ）｛x |x ≤－1｝（C ）{x |－1≤x ＜1} （D ）{x |x ≥1} （4）直线y ＝m 与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，则m 的值是（A ）1 （B ）3 （C ）1或3 （D ）2或4（5）在△ABC 中，“A ＝3π”是“sinA 2（A ）充分而不必要条件（B ）充分且必要条件（C ）必要而不充分条件（D ）既不充分也不必要条件（6）在等差数列｛a n ｝中，a 1＋a 2＋a 3＝3，a 28＋a 29＋a 30＝165，则此数列前30项和等于（A ）810 （B ）840 （C ）870 （D ）900 （7）椭圆2291x y +=的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作PF 1⊥x 轴，交椭圆于点P ，则|PF 2|＝（A ）173 （B ）53 （C ）13 （D ）83（8）39(x-的展开式中常数项是（A ）84 （B ）－84 （C ）36 （D ）－36（9）已知球的表面积为4π，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为（A（B（C（D（10）函数22()sin 3cos f x x x =+的最小正周期是（A ）4π （B ）2π（C ）π （D ）2π （11）将4名医生分配到3间医院，每间医院至少1名医生，则不同的分配方案共有（A ）48种（B ）12种（C ）24种（D ）36种（12）如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在棱AB 上，且AM ＝13，点P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线A 1D 1的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是（A ）圆（B ）抛物线（C ）双曲线（D ）直线_ B _1_ A _1_ D _1 _ C _1 _ C _ B_ A _ D_ P _ M高三数学训练题第 Ⅱ 卷（非选择题共90分）注意事项：⒈ 第Ⅱ卷共4页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． ⒉ 答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上.（13）设复数12z =-+，则2z z += （14）某单位业务人员、管理人员、后勤服务人员人数之比依次为15∶3∶2.为了了解该单位职员的某种情况，采用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中业务人员人数为30，则此样本的容量n ＝：______ ___________班别：___________姓名：_______ _______学号：_________封线内答题（15）设x ，y 满足约束条件10x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则z ＝3x ＋y 的最大值是（16）已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线 ④一条直线及其外一点在上面结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）. 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本题满分12分）如图，在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关J A 、J B 、J C ，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在某段时间内开关J A 、J B 、J C 能够闭合的概率分别是45、35、25，计算：（Ⅰ）在这段时间内恰好3个开关都闭合的概率；（Ⅱ）在这段时间内线路正常工作的概率.（18）（本题满分12分）已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =.（Ⅰ）当a b ⊥时，求tan 2θ；（Ⅱ）求｜a b +｜的最大值.（19）（本题满分12分）如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝12AA 1，点G 为CC 1上的点，且114CG CC . （Ⅰ）求证：C D 1⊥平面ADG ；（Ⅱ）求二面角C －AG －D 的大小（结果用反余弦表示）：_________________班别：____________姓名：______________学号：______________ D（20）（本题满分12分）已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，3(1)2n n S a =-（n ∈N *）（Ⅰ）求数列｛a n ｝的通项公式；（Ⅱ）求1lim n n n SS →∞+．（21）（本题满分12分）已知抛物线C 的顶点在原点，以双曲线22115y x -=的左准线为准线.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若直线:1(1)l y k x -=-（k ≠0）垂直平分抛物线C 的弦，求实数k 的取值范围._______班别：____________姓名：________ ______学号：_________不要在密封线内答题（22）（本题满分14分）f x a x（a∈R）设()ln（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）证明ln x<高三数学训练题参考答案一、DBACA BAADC DB 二、（13）－1 （14）40 （15）3 （16）①、②、④ 三、（17）解：（Ⅰ）记这段时间内开关J A 能够闭合为事件A ，开关J B 能够闭合为事件B ，开关J C 能够闭合为事件C ，则4()5P A =，3()5P B =，2()5P C = … … … … … 3分根据相互独立事件同时发生的概率公式，在这段时间内恰好3个开关都闭合的概率是43224()()()()555125P A B C P A P B P C ⋅⋅=⋅⋅=⨯⨯=… … … … … 5分答：在这段时间内恰好3个开关都闭合的概率是24125… … … … 6分（Ⅱ）依题意在这段时间内线路正常工作，就是指3个开关中至少有1个能够闭合. 这段时间内3个开关都不能闭合的概率是1236()()()()[1()][1()][1()]555125P A B C P A P B P C P A P B P C ⋅⋅=⋅⋅=---=⨯⨯=… 9分因此，这段时间内线路正常工作的概率是1191()125P A B C -⋅⋅= … … … …11分答：在这段时间内线路正常工作的概率是119125… … … … … 12分（18）解：（Ⅰ）3cos sin 0a b θθ⊥⇔+= … … … … … 2分tan 0tan θθ+=⇔= … … 4分∴22tan tan 21tan θθθ==- … … … … … 6分（Ⅱ）(cos ,sin ))(cos 1)a b θθθθ+=+=+ … … … … 7分｜a b +｜ … … 8分== … … … … … 9分2= … … 10分当0sin(60)1θ+=时，max ||53a b += … … 12分（19）解法1（空间向量法）设AB ＝1，11,,2DA i DC j DD k ===，以i 、j 、k 为坐标向量建立空间直角坐标系D －xyz … … … … … 1分则D （0,0,0），A （1,0,0），C （0,1,0），D 1（0,0,2），B （1,1,0），G （0,1,12）…… 2分（Ⅰ）∵DA ＝（1，0，0），DG ＝（0，1，12）， 1CD ＝（0，－1，2）∴DA ·1CD ＝0， 10DG CD ⋅= ∴1CD DA ⊥，1CD DG ⊥ … … … … 4分由线面垂直判定定理知CD 1⊥平面ADG（Ⅱ）∵BD ＝（－1，－1,0），AG ＝（－1,1，12），CG ＝（0,0，12） ∴BD ·AG ＝0，BD ·CG ＝0 ∴BD ⊥AG ，BD ⊥CG∴BD ⊥平面CAG ，即BD 为平面CAG 的法向量… … … … 8分又C D 1⊥平面ADG ，即1CD 为平面AGD 的法向量∴〈BD ，1CD 〉是二面角C －AG －D 的平面角 … … … … 9分且cos 〈BD ，1CD〉11||||2BD CD BD CD ⋅===…… … 11分故二面角C －AG －D 的大小为 … … … … 12分解法2（综合推理法）（Ⅰ）在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中AD ⊥平面CDD 1，D 1C ⊂平面CDD 1 ∴CD 1⊥AD … … … … 1分在Rt △CDD 1与Rt △GCD 中，1112CD AB DD AA ==，11142CC GC CD AB ==∴1CD GC DD CD= ∴Rt △CDD 1∽Rt △GCD … … … … 3分 ∴∠CD 1D ＝∠GDC ，∠CDG ＋∠DCD 1＝900 ∴CD 1⊥DG … … … … 4分又AD ∩DG ＝D ，AD ⊂平面ADG ，DG ⊂平面ADG ， ∴CD 1⊥平面ADG … … … … 6分（Ⅱ）记DG ∩CD 1＝E ，在平面ACG 中，作CH ⊥AG ，交AG 于H ，连结HE . …7分又CD ⊥平面ADG ，由三垂线定理的逆定理知，EH ⊥AG∴∠CHE 是二面角C －AG －D 的平面角 … … … 9分设CG ＝1，则CC 1＝4CG ＝4，AB ＝AD ＝12AA 1＝12CC 1＝2在Rt △GCD 中，CD CG CE DG ⋅===在Rt △ACG 中，AC CG CH AG ⋅=在Rt △CEH 中，EH∴cosEH CHE CH ∠==CHE ∠=为所求 … … … 12分（20）解（Ⅰ）方法1．由113(1)2S a =-，得113(1)2a a =-，∴13a = … … … 1分当n ≥2时，1133(1)(1)22n n n n n a S S a a --=-=---13n n a a -= … … … … … … 4分 ∴数列｛a n ｝是首项为3，公比为3的等比数列 … … … … 6分 ∴a n ＝3n … … … … … … 8分方法2．由1113(1)2a S a ==-，得13a = … … … … … … 1分由21223(1)2S a a a =+=-，得29a = … … … … … … 2分猜想a n ＝3n（n ∈N ＊） … … … … … … 3分用数学归纳法证明之（略） … … … … … … 8分（Ⅱ）∵a n ＝3n ，∴33(1)(31)22n n n S a =-=- … … … … … … 9分∴1111()311013lim lim lim1313313()3nnn n n n n nn S S +→∞→∞→∞+---====--- … … … … 12分（21）解（Ⅰ）双曲线22115yx -=的左准线方程是14x =- … 2分故抛物线C 的方程为2y x = … 4分（Ⅱ）设抛物线C 被直线l 垂直平分的弦PQ 的方程为0x ky c ++= … 5分 2200y x y ky c x ky c ⎧=⇒++=⎨++=⎩ … … 6分 ∴△＝240k c -> … … ① … … 7分设1122(,),(,)P x y Q x y ，则2121212,()()2y y k x x ky c ky c k c +=-+=-+-+=-又PQ 中点G 22(,)22k c k--在直线1(1)y k x -=-上∴221(1)22k k c k ---=- 即 322k k c k -+=… … … … 9分代入①得322(2)0k k k k-+-> … … … … 10分即 32240,(2)(22)0k k k k k k k-+<+-+<解之得 20k -<<. 故k 的取值范围是（－2,0）. … … … … 12分（22）解（Ⅰ）函数f (x )的定义域为（0，＋∞） … … … … 1分()af x x' （x ＞0） … … … … 3分①若0a ≤，则()a f x x'=-＞0对一切x ∈（0，＋∞）恒成立 … … 4分 ②若a ＞0，则当x ＞0时，()0af x x'>⇔> 2x ⇔>222440x a x a ⇔--> … … … … 5分∴ 222x a >+ … … … … 6分222()0440f x x a x a '<⇔--<∴ 2022x a <<+ … … … … 7分综上所述，当0a ≤时，f (x )在（0，＋∞)内单调递增；当a ＞0时，f (x )在（0，222a +）内单调递减，在（222a +，＋∞)内单调递增. … … … 8分（Ⅱ）由（Ⅰ）知g (x )＝ln x 在（0，2+）内单调递减，在（2+，＋∞)内单调递增. … … … 9分min ()(2ln(2g x g =+=+1ln(2=+ … … … 10分∴ln 1ln(2x ≥+. … … … 11分又 2+5＜2e ，∴ 21ln(21ln 10e +>=> … … … 13分∴ ln x > … … … 14分。

2018届广州市高三年级调研测试(文科数学)答案

2018届广州市高三年级调研测试(文科数学)答案D数学（文科）试题A 第 2 页共 20 页数学（文科）试题A 第 3 页共 20 页数学（文科）试题A 第 4 页共 20 页数学（文科）试题A 第 5 页共 20 页数学（文科）试题A 第 6 页共 20 页设PC 中点为F ，连接OF ，EF ．因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点，所以OF PA ，且12OF PA =，因为DE PA ，且12DE PA =，所以OF DE ，且OF DE =．…………………………………………………………………………1分所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD EF ，即BD EF ．………………………………2分因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥．因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥．因为PA AC A =，所以BD ⊥平面PAC ．…………………………………………………………4分因为BD EF ，所以EF ⊥平面PAC ．………………………………………………………数学（文科）试题A 第 7 页共 20 页………5分因为FE ⊂平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE ． ………………………………………………6分（2）解法1：因为60ABC ∠=，所以△ABC 是等边三角形，所以2AC =．………………………7分又因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥．所以122PAC S PA AC ∆=⨯=．……………………………………………………………………………8分因为EF ⊥面PAC ，所以EF 是三棱锥E PAC -的高． ……………………………………………9分因为EF DO BO ===………………………………10分所以13P ACE E PAC PAC V V S EF --∆==⨯…………………………………………………………………11分1233=⨯=．………………………………………………………………………12分解法2：因为底面ABCD 为菱形，且︒=∠60ABC ，所以△ACD数学（文科）试题A 第 8 页共 20 页为等边三角形．………………7分取AD 的中点M ，连CM ，则AD CM ⊥，且3=CM ．………………………………………8分因为⊥PA 平面ABCD ，所以CM PA ⊥，又A AD PA = ，所以CM⊥平面PADE ，所以CM 是三棱锥C PAE -的高．………………………………………9分因为122PAE S PA AD ∆=⨯=．…………………………………………………………………………10分所以三棱锥ACE P -的体积13P ACE C PAE PAE V V S CM --∆==⨯……………………………………11分123=⨯=．…………………………………………12分19．解：（1）由已知数据可得2456855x ++++==，3444545y ++++==．…………………1分因为51()()(3)(1)000316i i i xx y y =--=-⨯-++++⨯=∑，………………………………………2分数学（文科）试题A 第 9 页共 20 页，52310)1()3()(22222512=+++-+-=-∑=i ix x ………………………………………………3分==……………………………………………………4分所以相关系数()()0.95n i i x x y y r --===≈∑．………………5分因为0.75r >，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系． …………………………………………6分（2）记商家周总利润为Y 元，由条件可得在过去50周里：当X >70时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行，周总利润Y =1×3000-2×1000=1000元． …………………………………………………………………8分当50≤X ≤70时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行，数学（文科）试题A 第 10 页共 20 页周总利润Y =2×3000-1×1000=5000元． …………………………………………………………………9分当X<50时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行，周总利润Y =3×3000=9000元． …………………………………………………………………………10分所以过去50周周总利润的平均值10001050003590005460050Y ⨯+⨯+⨯==元，所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元． ………………………………………………12分20．解：（1）抛物线的准线方程为2p x =-，所以点E ()2t ，到焦点的距离为232p +=．…………………………………………………………1分解得2p =．所以抛物线C 的方程为24y x =．………………………………………………………数学（文科）试题A 第 11 页共 20 页………………2分（2）解法1：设直线l 的方程为()10x my m =->．………………………………………………………3分将1x my =-代入24yx=并整理得2440y my -+=， (4)分由()24160m ∆=->，解得1m >．……………………………………………………………………5分设()11,A x y ， ()22,B x y ， ()11,D x y -，则124y ym+=，124y y =，……………………………………………………………………………6分因为()()()2212121212·11(1)2484FA FB x x y y m y m y m y y =--+=+-++=-，………………7分因为FA FB ⊥，所以0FA FB =．即2840m -=，又m > ，解得m =．…………………………………………………………8分所以直线l 的方程为10x -+=．数学（文科）试题A 第 12 页共 20 页设AB 的中点为()0,x y ,0013x my =-=，……………………………………………………9分所以直线AB的中垂线方程为)3y x -=-．因为AD 的中垂线方程为0y =，所以△ABD 的外接圆圆心坐标为()5,0．……………………………………………………………10分因为圆心()5,0到直线l 的距离为AB ==所以圆的半径…………………11分所以△ABD 的外接圆的方程为()22524x y -+=．…………………………………………………12分解法2：依题意可设直线()():10l y k x k =+>．……………………………………………………3分将直线l与抛物线C联立整理得数学（文科）试题A 第 13 页共 20 页)42(2222=+-+k x k x k ．………………………………………4分由4)42(422>--=∆k k ，解得10<<k ．………………………………………………………5分设),,(),,(2211y x B y x A则1,4221221=+-=+x x kx x ．…………………………………………………………………………6分所以4)1(2121221=+++=x x x x k yy ，因为12121224()18FA FB x x x x y y k ⋅=-+++=-，…………………………………………………7分因为FA FB ⊥，所以0FA FB =．所以2480k -=，又k > ，解得22=k ．…………………………………………………………8分以下同解法1．21．解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞．数学（文科）试题A 第 14 页共 20 页当2b =时，()2ln f x a x x =+，所以()222a x af x x x x+'=+=．………………………………1分① 当0a >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,+∞上单调递增．………………………………2分 ② 当0a <时，令()0f x '=，解得x =当0x <<()0f x '<，所以函数()f x在⎛ ⎝上单调递减；当x >()0f x '>，所以函数()f x在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增．………………………3分综上所述，当2b =，0a >时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；当2b =，0a <时，函数()f x在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增．………4分（2）因为对任意1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()e 1f x ≤-成立，所以()max e 1f x ≤-．……………………………5分数学（文科）试题A 第 15 页共 20 页当0a b +=即a b =-时，()ln bf x b x x =-+，()()11bb b x b f x bx x x---'=+=．令()0f x '<，得01x <<；令()0f x '>，得1x >．所以函数()f x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,e 上单调递增，…………………………………………7分()maxf x 为1e e b f b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与()e e bf b =-+中的较大者．…………………………………………8分设()()1e ee 2ebb g b f f b -⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭()0b >，则()ee 220bb g b -'=+->=，所以()g b 在()0,+∞上单调递增，故()()00g b g >=所以()1e e f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，从而()maxf x =⎡⎤⎣⎦()e e bf b =-+．………………………………………………………………………9分所以e e 1bb -+≤-即ee 10bb --+≤．设()=e e 1b b b ϕ--+()0b >，则()=e 10b b ϕ'->． (10)数学（文科）试题A 第 16 页共 20 页分所以()b ϕ在()0,+∞上单调递增．又()10ϕ=，所以e e 10bb --+≤的解为1b ≤．……………………………………………………11分因为0b >，所以b 的取值范围为(]0,1．………………………………………………………………12分22．解：（1）因为曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），因为2.x x y y '=⎧⎨'=⎩，，则曲线2C 的参数方程2cos 2sin .x y αα'=⎧⎨'=⎩，．………………………………………………2分所以2C 的普通方程为224x y ''+=．……………………………………………………………………3分所以2C 为圆心在原点，半径为2的圆．…………………………………………………………………4分所以2C 的极坐标方程为24ρ=，即2ρ=．…………………………………………………………5分（2）解法1：直线l的普通方程为100x y--=．…………………………………………………………6分曲线2C上的点M到直线l的距离+)10|dαπ-==．…………8分当cos+=14απ⎛⎫⎪⎝⎭即()=24k kαππ-∈Z时，d取到最小值为2．……………9分当cos+=14απ⎛⎫-⎪⎝⎭即()3=24k kαπ+π∈Z时，d取到最大值为+10分解法2：直线l的普通方程为100x y--=．…………………………………………………………6分因为圆2C的半径为2，且圆心到直线l的距离252|100|=--=d，…………………………7分数学（文科）试题A 第 17 页共 20 页数学（文科）试题A 第 18 页共 20 页因为225>，所以圆2C 与直线l相离．………………………………………………………………8分所以圆2C 上的点M到直线l 的距离最大值为225+=+r d ，最小值为225-=-r d ．…10分 23．解：（1）当1=a 时，()|1|=+f x x ．…………………………………………………………………1分 ①当1x ≤-时，原不等式可化为122x x --≤--，解得1≤-x ．…………………………………2分②当112x -<<-时，原不等式可化为122+≤--x x ，解得1≤-x ，此时原不等式无解．……3分 ③当12x ≥-时，原不等式可化为12+≤x x，解得1≥x ．…………………………………………4分综上可知，原不等式的解集为{1x x ≤-或}1≥x ．…………………………………………………5分（2）解法1：①当3a ≤时，()3,3,23,3,3,.a x g x x a x a a x a -≤-⎧⎪=----<<-⎨⎪-≥-⎩………………………………………6分所以函数()g x 的值域[]3,3A a a =--，数学（文科）试题A 第 19 页共 20 页因为[2,1]-⊆A ，所以3231a a -≤-⎧⎨-≥⎩，，解得1a ≤．………………………………………………………7分②当3a >时，()3,,23,3,3, 3.a x a g x x a a x a x -≤-⎧⎪=++-<<-⎨⎪-≥-⎩…………………………………………………8分所以函数()g x 的值域[]3,3A a a =--，因为[2,1]-⊆A ，所以3231a a -≤-⎧⎨-≥⎩，，解得5a ≥．………………………………………………………9分综上可知，a 的取值范围是(][),15,-∞+∞．………………………………………………………10分解法2：因为|+||+3|x a x -≤()+(+3)3x a x a -=-，……………………………………………7分所以()g x =()|+3||+||+3|[|3|,|3|]-=-∈---f x x x a x a a ．所以函数()g x 的值域[|3|,|3|]A a a =---．…………………………………………………………8分数学（文科）试题A 第 20 页共 20 页因为[2,1]-⊆A ，所以|3|2|3|1a a --≤-⎧⎨-≥⎩，，解得1a ≤或5a ≥．所以a 的取值范围是(][),15,-∞+∞．………………………………………………………………10分。

2018年高三最新广东广雅中学2018年高三三模数学试题-旧人教[原创] 精品

广东广雅中学2018年高三三模试题（2018.5.18）数学试卷(共4页)本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分。

考试用时120分钟。

第一部分选择题 (共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案做在答题卡上.(1) =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2212121i i i i(A) i 43+- (B) 0 (C) i 34+- (D) i 34-- (2) 若)cos(2)sin()(ϕϕ+++=x x x f 是奇函数，则=ϕtan (A) 2- (B) 2 (C) 21-(D) 21 (3) 已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，给出下列4个命题，其中正确的命题是 ① 若α∥β，则m l ⊥； ② 若βα⊥，则l ∥m ；③ 若l ∥m ，则βα⊥； ④ 若m l ⊥，则α∥β. (A) ①② (B) ③④ (C) ②④ (D) ①③(4) 过点)8,6(-C 作圆2522=+y x 的两条切线，切点为B A 、，则点C 到直线AB 的距离为(A) 5 (B) 10 (C)215(D) 15 (5)设函数20)()(0)x f x a x x <=⎨⎪+≥⎩，要使)(x f 在),(+∞-∞内连续，则a 的值为 (A) 0 (B)21(C) 1 (D) 2 (6) 设),(y x P 是曲线192522=+y x 上的点，两定点)0,4()0,4(21F F 、-，则必有 (A) 1021≤+PF PF (B) 1021<+PF PF (C) 1021≥+PF PF (D) 1021>+PF PF数学试卷第1页 (共4页)(7) 正三棱锥ABC S -中，N M 、分别是棱BC SC 、的中点，且AM MN ⊥，若32=SA ，则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是(A) π12 (B) π32 (C) π36 (D) π48(8) 已知点),(b a M 在由不等式组⎩⎨⎧≤+≤≥+-200)12)(12(y x y x 所确定的平面区域内，则点),(b a b a N -+所在平面区域的面积是(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8(9) 定义运算：⎩⎨⎧<≥=⊗)()(b a b b a a b a ，设函数x x x f cos sin )(⊗=(∈x R)的最大值为M ，最小值为m ，则=+m M (A) 0 (B) 221+(C) 221- (D) 122- (10) 数列{}n a 满足231=a ，121+-=+n n n a a a )(*N n ∈，则200621111a a a S +++= 的整数部分是(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3第二部分非选择题 (共100分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 其中（13）题第一个空格2分，第二个空格3分. (11) 不等式211>-x的解集是 . (12) 在7)1(+ax 的展开式中，3x 项的系数是2x 项的系数与5x 项的系数的等比中项，则常数a 的值为 .(13) 在平面内，自一点O 至多能引3条射线OC OB OA 、、，使它们两两成等角，且两两所成的角为︒120. 类比到空间，自一点O 至多能引条射线，使它们两两成等角，且两两所成的角为 . (14) 点P 到点)0,21(A 、)2,(a B 及到直线21-=x 的距离都相等，如果这样的点P 恰好只有一个，那么实数a 的值是 .数学试卷第2页 (共4页)三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分12分)在ABC ∆中，已知B A C C A sin 232cos sin 2cossin 22=+. (Ⅰ) 求证：C B A sin ,sin ,sin 成等差数列； (Ⅱ) 求B ∠的取值范围.(16) (本小题满分12分)已知甲盒中有3个正品元件和4个次品元件，乙盒中有5个正品元件和4个次品元件，现从这两个盒子中各取出2个元件.(Ⅰ) 求取得的4个元件中至少有1个次品的概率； (Ⅱ) 求取得正品元件个数ξ的分布列及数学期望.(17) (本小题满分14分)如图，已知⊥AB 平面ACD ，DE ∥AB ，ACD ∆是正三角形，且AB DE AD 2==. (Ⅰ) 在线段CD 上是否存在一点M ，使AM ∥平面BCE ？证明你的结论； (Ⅱ) 求证：平面⊥BCE 平面CDE ；(Ⅲ) 求平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角的大小.ADC BE数学试卷第3页 (共4页)(18) (本小题满分14分)广州某甲公司对西部地区的乙厂进行扶持性技术改造，乙厂的经营现状是：每月收入45 万元，但因设备老化，从下月开始需支付设备维修费，第一个月为3万元，以后逐月递增2 万元. 甲公司决定投资400万元扶持改造乙厂，据测算，改造后乙厂第一个月收入为16万元，在以后的4个月中，每月收入都比上个月增长%50，而后各月收入都稳定在第5个月水平上. 若设备改造时间可忽略不计，那么从下个月开始至少经过多少个月，改造后的乙厂的累计收益多于仍按现状生产所带来的总收益？(19) (本小题满分14分) 设函数xx x f )1ln(1)(++=)0(>x .(Ⅰ) 若∈a R ，试比较)21(-+-a a f 与2ln 1+的大小，证明你的结论； (Ⅱ) 若当0>x 时，不等式1)(+>x kx f 恒成立，求正整数k 的最大值.(20) (本小题满分14分)如图，直线l 与抛物线x y 42=交于B A 、两点，O 为原点，且-=⋅−→−−→−OB OA 4.(Ⅰ) 求证：直线l 恒过一定点；(Ⅱ) 若30464≤≤AB ，求直线l 的斜率k 的取值范围；(Ⅲ) 设抛物线的焦点为F ，试问AFB ∠能否等于︒120？若能，求出相应的直线l 的方程；若不能，请说明理由.x数学试卷第4页 (共4页)广东广雅中学2018年高三三模（2018.5.18）数学试题参考解答及评分标准一、选择题 (每小题5分，共50分)二、填空题 (每小题5分，共20分. 其中 (13) 题第一个空格2分，第二个空格3分.) (11) )31,0()0,1( - (12) 925 (13) 4；31arccos-π (14) 21± 三、解答题 (共80分)(15) (Ⅰ) 证：由已知等式，得B AC C A s i n 232c o s 1s i n 2c o s 1s i n=+⋅++⋅，即 ……2分 B A C C C A A s i n 3c o s s i n s i n c o s s i n s i n =+++，亦即B C A C A s i n 3)s i n (s i n s i n =+++. ……4分∵ B B C A sin )sin()sin(=-=+π， ∴ B C A sin 2sin sin =+，∴ C B A sin ,sin ,sin 成等差数列. ……6分 (Ⅱ) 解：对B C A sin 2sin sin =+应用正弦定理，得b c a 2=+. ……7分由余弦定理，得acac c a ac c a c a acbc a B 82)(32)2(2cos 22222222-+=+-+=-+=……9分 218223=-⨯≥ac ac ac . ……10分∵ ),0(π∈B ，∴ ]3,0(π∈B . ……12分(16) (Ⅰ) 解：设“取得的4个元件中至少有1个次品” 为事件A ，其对立事件为“取得的4个元件均为正品”. ……1分∵1265)(29272523==C C C C A P ……2分∴126121)(1)(=-=A P A P . ……3分答：取得的4个元件中至少有1个次品的概率为126121. ……4分数学答案第1页 (共4页)(Ⅱ) 解：ξ的可能取值为4,3,2,1,0. ……5分211)0(29272424===C C C C P ξ， ……6分 6316)1(2927141524241413=⋅+⋅==C C C C C C C C P ξ， ……7分 12653)2(29271415141325242423=⋅++⋅==C C C C C C C C C C P ξ， ……8分 215)3(2927251413141523=⋅+⋅==C C C C C C C C P ξ，1265)4(==ξP . ……9分故ξ的分布列为……10分∴63124126542153126532631612110=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE . ……12分 (17) (Ⅰ) 解：当M 为CD 的中点时，有AM ∥平面BCE . ……1分下面给予证明：延长DA EB 、相交于F ，连CF . ∵ AB ∥DE ，且DE AB 21=，∴B 为EF 的中点，A 为DF 的中点.当M 为CD 的中点时，由三角形中位线定理，有AM ∥CF . ……3分 ∵ ⊄AM 平面BCE ，⊂CF 平面BCE ，∴ AM ∥平面BCE . ……4分 (Ⅱ) 证：∵ ACD ∆为正三角形，∴ AF AD AC ==，∴ ︒=∠90FCD ，即CD CF ⊥. ① ……6分 ∵ ⊥AB 平面ACD ，DE ∥AB ，∴ ⊥DE 平面ACD .∵ ⊂CF 平面ACD ，∴ CF DE ⊥. ② ……7分又D DE CD = ， ③由①②③，得：⊥CF 平面CDE . ……8分 ∵ ⊂CF 平面BCE ，∴ 平面⊥BCE 平面CDE . ……9分 (Ⅲ) 解：由上知，面 BCE 平面CF ACD =.∵ A 为DF 的中点，∴ 取CF 的中点G ，则有AG ∥CD .∵ CD CF ⊥，∴ CF AG ⊥.A DC BE F M G∵ ⊥AB 平面ACD ，则AG 为BG 在平面ACD 上的射影， ∴ 由三垂线定理，有CF BG ⊥.数学答案第2页 (共4页)∴ AGB ∠为平面BCE 与平面ACD 所成的角. ……12分Rt BAG ∆中，AG AB ⊥，AB AD CD AG ===2121， ∴ ︒=∠45AGB ，即平面BCE 与平面ACD 所成的锐二面角为︒45. ……14分(18) 解：设乙厂仍按现状生产至第n 个月所带来的总收益为n A 万元，技术改造后生产至第n 个月所带来的总收益为n B 万元， ……1分依题意，2243)2(45)]12(53[45n n n n n n n A n -=+-=++++-= . ……3分当5≥n 时，59481400)5()23(16231])23(1[1645-=--⋅+--=n n B n . ……6分当4≤n 时，0]27)23(2[16]27)23(2[16400231])23(1[164<-≤-=---=n n n B .……8分 ∴ 在前4个月对乙厂的技术改造投资未能收回.当5≥n 时，59438)43()59481(22-+=---=-n n n n n A B n n ， ……10分令0>-n n A B ，得0594382>-+n n ，即955)19(2>+n .∵ *19N n ∈+，961312=，∴ 3119≥+n ，即12≥n . ……13分故至少经过12个月，改造后的乙厂的累计收益多于仍按现状生产所带来的总收益. ……14分(19) (Ⅰ) 解：∵0>x ，∴0)1()1ln()1(1)1ln(11)(22'<+++--=+--+=x x x x x x x xx f .……2分 ∴)(x f 在),0(+∞上是减函数. ……3分 ∵∈a R ，则1)2()1(21=---≥-+-a a a a ， ……5分 ∴2ln 1)1()21(+=≤-+-f a a f ， ……6分等号当且仅当0)2)(1(≤--a a 即21≤≤a 时成立. ……7分 (Ⅱ) 解：当0>x 时，1)(+>x k x f 恒成立，必有11)1(+>kf 成立，即 ……8分4)11(2)2ln 1(2=+<+<k 成立，猜想最大的正整数3=k . ……9分数学答案第3页 (共4页)下证3=k 时不等式1)(+>x kx f 恒成立，只需证当0>x 时，021)1ln()1(>-+++x x x 恒成立.令x x x x g 21)1ln()1()(-+++=，则只需证0)(min >x g . ……10分1)1ln()('-+=x x g ，令0)('=x g 得：1-=e x ， ……11分∵ 当)1,0(-∈e x 时，0)('<x g ；当),1(+∞-∈e x 时，0)('>x g ， ……12分 ∴ 03)1()(min >-=-=e e g x g ，故得证. ……13分 ∴ 正整数k 的最大值为3. ……14分 (20) (Ⅰ) 证：设b my x l +=:，代入x y 42=得：0442=--b my y .设),(),(2211y x B y x A 、，则b y y m y y 442121-==+，.由2444422122212121=⇒-=-=+⋅=+=⋅−→−−→−b b b y y y y y y x x OB OA ,故直线2:+=my x l 恒过定点)0,2(. ……4分 (Ⅱ) 解：由2=b 得：821-=y y ，则]304,64[)3216)(1(]4))[(1(22212212∈++=-++=m m y y y y m AB214130)2)(1(6222≤≤⇒≤≤⇒≤++≤⇒m m m m∵m k 1=，∴121≤≤k ，即]1,21[]21,1[ --∈k . ……8分(Ⅲ) 解：)0,1(F ，),1(),1(2211y x y x -=-=，11+=x12+=x .若︒=∠120AFB，则FB FA >=<−→−−→−,cos 21-=02=⋅⇒0)1)(1(])1)(1[(2212121=++++--⇒x x y y x x 032)(3212121=+++-⇒y y x x x x (*).把821-=y y ，444222121=⋅=yy x x 代入(*)得：121-=+x x ，这与0,021>>x x 矛盾！∴ AFB ∠不可能等于︒120. ……14分数学答案第4页 (共4页)。

2018届广州市高三年级调研测试文科数学(解析版)

y A x-2y+3=0 B O z=2x+y 2x-y=0 x
平移直线 z 2 x y ，当该直线经过可行域的顶点 A 1, 2 时，直线在 x 轴的截距最大，此时， z 取最大值，即 zmax 2 1 2 4 ，故选 B. 6.如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为 2 的大正方形，直角三角形中较小的锐角
2

B （
C. 1,3
） D. 1, 0,3
A. 1 【答案】A
B. 1, 0
【解析】 B x x 3x 0 x x 0或x 3 ，因此， A
2

B 1,0,3 ，故选 D.
2.若复数 z 满足 1 i z 1 2i ，则 z （ A.

6
，若在该打正方形区域内随机取一点，则该点落在中间小正方形内的概率是（
）
A.
2 3 2
B.
3 2
C.
1 4
D.
1 2
【答案】A 【解析】在直角三角形中，角所对的边的边长为
1 2 1 ，另一条直角边长为 22 12 3 ， 2
直角三角形的面积为
1 3 3 ，所以，中间小正方形的面积为 2 2 4 1 3 42 3 ， 2 2 2
42 3 2 3 ，故选 A. 4 2
因此，该点落在小正方形内的概率为
7. ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，已知 b 7 ， c 4 ， cos B 面积等于（）
3 ，则 ABC 的 4
数学（文科）试题 A 第 3 页共 17 页

2018届广州市高三年级调研测试(理科数学)答案(可编辑修改word版)

数学（理科）试题 A 第 1 页共 11 页( )2018 届广州市高三年级调研测试理科数学试题答案及评分参考评分说明:1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4. 只给整数分数．选择题不给中间分．一．选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ACBBAADDBACC二．填空题13．1014．415．416．11π三、解答题17．（1）解法 1：由已知，得 a cos B + b cos A = 2c cos A ．由正弦定理，得sin A c os B + sin B cos A = 2 sin C cos A ，… ........................................................... 1 分即sin( A + B ) = 2 s in C cos A ．… ........................................................................................................... 2 分因为sin( A + B ) = sin(- C ) = sin C ， ..................................................................................................... 3 分所以sin C = 2 s in C cos A ．... .. (4)分因为sin C ≠ 0 ，所以cos A =π1． .......................................................................................................... 5 分2因为0 < A < π ，所以 A = ．… .......................................................................................................... 6 分 3a 2 + c 2 -b 2解法 2：由已知根据余弦定理，得 a ⨯= 2c - b ⨯ 2acb 2 +c 2 - a 2 2bc．… ........................... 1 分即b 2 + c 2 - a 2 = bc ． .............................................................................................................................. 3 分 b 2 + c 2 - a 21 所以cos A = = 2bc ． .............................................................................................................. 5 分2数学（理科）试题 A 第 2 页共 11 页⎪ 因为0 < A < π ，所以 A = π ．… .......................................................................................................... 6 分3（2）解法 1：由余弦定理 a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A ，得bc + 4 = b 2 + c 2 ，… .............................................................................................................................. 7 分即(b + c )2 = 3bc + 4 ． ............................................................................................................................... 8 分⎛ b + c ⎫2因为bc ≤ ，… .............................................................................................................................. 9 分2 ⎝ ⎭ 所以(b + c )2 ≤3 (b + c )2 +4 ． 4 即b + c ≤ 4 （当且仅当b = c = 2时等号成立）．... .. (11)分所以 a + b + c ≤ 6 ．故△ ABC 周长 a + b + c 的最大值为6 ．… ........................................................................................... 12 分解法 2：因为a =b =c= 2R ，且 a = 2 ， A = π，sin A sin B sin C 3所以b =sin B ，c = 3sin C ．… ............................................................................................... 8 分 34 34 3 ⎡ ⎛ 2π ⎫⎤所以 a + b + c = 2 + (sin B + sin C ) = 2 +3 3 ⎢sin B + sin 3 - B ⎪⎥ ............................. 9 分 ⎣⎝ ⎭⎦= 2 + 4 s in ⎛B + π ⎫ ．…................................................................................................... 10 分6 ⎪ ⎝ ⎭2π π因为0 < B < ，所以当 B = 3 时， a + b + c 取得最大值6 ． 3故△ ABC 周长 a + b + c 的最大值为6 ．… ........................................................................................... 12 分18．（1）证明：连接 BD ，交 AC 于点O ，设 PC 中点为 F ，P连接OF ， EF ．因为O ， F 分别为 AC ， PC 的中点， FE所以OF PA ，且OF = 1PA ，2A因为 DE P A ，且DE = 1 PA ， O2BC所以OF D E ，且OF = DE ． ............................................................................................................ 1 分4 3 4 3 D数学（理科）试题 A 第 3 页共 11 页2 3 2 2 ⋅ 2所以四边形OFED 为平行四边形，所以ODE F ，即 BD E F ． ................................................... 2 分因为 PA ⊥ 平面 ABCD ， BD ⊂ 平面 ABCD ，所以 PA ⊥BD ．因为 ABCD 是菱形，所以 BD ⊥ AC ．因为 PA AC = A ，所以 BD ⊥ 平面 PAC ． ....................................................................................... 4 分因为 BD E F ，所以 EF ⊥ 平面PAC ． ................................................................................................. 5 分因为 FE ⊂ 平面 PCE ，所以平面 PAC ⊥ 平面 PCE ． ......................................................................... 6 分（2）解法 1：因为直线 PC 与平面 ABCD 所成角为45o，所以∠PCA = 45 ，所以 AC = PA = 2 ． ............................................................................................... 7 分所以 AC = AB ，故△ ABC 为等边三角形．设 BC 的中点为 M ，连接 AM ，则 AM ⊥ BC ．以 A 为原点， AM ， AD ， AP 分别为 x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系 A - xyz （如图）．则 P (0,0，2) ， C( 3,1，0)， E (0,2，1)， D (0,2，0)，PC = ( 3,1，- 2)， CE = (- 3,1，1)， DE = (0,0，1)．…………………………9 分设平面 PCE 的法向量为 n = {x 1, y 1, z 1}，⎧n = 0, ⎧ 3x + y - 2z = 0, ⎪ P C ⎪ 1 1 1 则⎨n 即⎨ ⎩⎪ CE = 0, ⎪⎩- 3x 1 + y 1 + z 1 = 0.令 y = 1, 则⎧⎪x 1 = 3,所以 n = ( 3,1, 2)．… ...................................................................................... 10 分1⎨ ⎩ z 1 = 2.设平面CDE 的法向量为 m = ( x 2 , y 2 , z 2 ) ，⎧⎪m ⋅ = 0, ⎧⎪z 2 = 0,⎧⎪ y = 3,DE 则⎨ 即⎨令 x = 1, 则⎨ 2 所以m = (1, 3, 0)．… .......... 11 分 m ⋅= 0, ⎪- 3x + y + z = 0. 2 ⎪ z = 0. ⎩⎪ CE⎩ 2 2 2 ⎩ 2设二面角 P - CE - D 的大小为，由于为钝角，所以cos= - cos n , m = -= - = - 6 ．4所以二面角 P - CE - D 的余弦值为-6 ．… ................................................................................... 12 分4解法 2：因为直线 PC 与平面 ABCD 所成角为45 ，且 PA ⊥ 平面 ABCD ，z PEADy BMCxn ⋅ m n ⋅ m数学（理科）试题 A第 4 页共 11 页3 2 ⋅ 2⎨ A⎪m ⋅ 5所以∠PCA = 45 ，所以 AC = PA = 2 ．… ........................................................................................... 7 分因为 AB = BC = 2 ，所以∆ABC 为等边三角形．因为 PA ⊥ 平面 ABCD ，由（1）知 PA //OF ，所以OF ⊥ 平面 ABCD ．因为OB ⊂ 平面 ABCD ， OC ⊂ 平面 ABCD ，所以OF ⊥ OB 且OF ⊥OC ．在菱形 ABCD 中， OB ⊥ OC ．以点O 为原点， OB ， OC ， OF 分别为 x ， y ， z 轴，建立空间直角坐标系O - xyz （如图）．则O (0, 0, 0), P (0, -1, 2), C (0,1, 0), D (- 3, 0, 0), E (- 3, 0,1) ，则 CP = (0, -2, 2), CE = (- 3, -1,1), CD = (- 3, -1, 0) ． (9)分设平面 PCE 的法向量为 n = (x 1 , y 1 , z 1 ) ，⎧⎪n ⋅ CP = 0, ⎧⎪-2 y 1 + 2z 1 = 0, z 则⎨n ⋅ = 0, 即⎨- 3x - y + z P= 0.⎩⎪ CE⎩⎪ 1 1 1 令 y = 1 ，则⎧ y 1 = 1,，则法向量 n = (0,1,1) ．……………10 分E1 ⎨z = 1. ⎩ 1设平面CDE 的法向量为 m = (x 2 , y 2 , z 2 ) ，DO⎧⎪m ⋅ C E = 0, 则⎨ ⎩ CD = 0, ⎧⎪- 即⎨⎪⎩- 3x 2 - y 2 + z 2 = 0, 3x 2 - y 2 = 0.xBCy令 x 2= 1，则⎧⎪ y 2 = - ⎪⎩z 2 = 0.3,则法向量 m = (1, - 3, 0)．… ................................................................. 11 分设二面角 P - CE - D 的大小为，由于为钝角，则cos= - cosn , m = -= - = - 6 ． 4所以二面角 P - CE - D 的余弦值为-6 ． ................................................................................... 12 分419．解：（1）由已知数据可得 x =2 + 4 + 5 + 6 + 8= 5, y =3 +4 + 4 + 4 + 5= 4 ．… ............................1 分 55因为∑( xi- x )( y i - y ) = (-3) ⨯ (-1) + 0 + 0 + 0 + 3 ⨯1 = 6 ..................................................... 2 分i =1n ⋅ m n ⋅ m数学（理科）试题 A 第 5 页共 11 页∑ i =1 5(x - x )2i(-1)2 + 02 + 02 + 02 + 122 ∑ i =1n n( x - x ) 2∑ i =1( y - y )2ii2 5 ⋅ 2 910= (-3)2 + (-1)2 + 02 +12 + 322………………………………………………3 分= ．… ....................................................................... 4 分∑( x i- x )( y i- y )6所以相关系数 r =i =1= =≈ 0.95 ．….................... 5 分因为 r > 0.75 ，所以可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系． ................................................................. 6 分（2）记商家周总利润为Y 元，由条件可知至少需安装 1 台，最多安装 3 台光照控制仪．①安装 1 台光照控制仪可获得周总利润 3000 元．… ............................................................................... 7 分 ②安装 2 台光照控制仪的情形：当 X >70 时，只有 1 台光照控制仪运行，此时周总利润 Y =3000-1000=2000 元，当 30<X ≤70 时，2 台光照控制仪都运行，此时周总利润 Y =2×3000=6000 元，故Y 的分布列为所以 EY = 2000 ⨯ 0.2 + 6000 ⨯ 0.8 = 5200 元． (9)分③安装 3 台光照控制仪的情形：当 X >70 时，只有 1 台光照控制仪运行，此时周总利润 Y =1×3000-2×1000=1000 元，当 50≤X ≤70 时，有 2 台光照控制仪运行，此时周总利润 Y =2×3000-1×1000=5000 元，当 30<X ≤70 时，3 台光照控制仪都运行，周总利润 Y =3×3000=9000 元，故Y 的分布列为Y 1000 5000 9000 P0．20．70．1所以 EY = 1000 ⨯ 0.2 + 5000 ⨯ 0.7 + 9000 ⨯ 0.1 = 4600 元． (11)分综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大应该安装 2 台光照控制仪．… ................................... 12 分5 ∑ i =15( y - y )2inY 2000 6000 P0．20．8数学（理科）试题 A 第 6 页共 11 页+= ⎝ 1 1 ⎝⎭ 2 ⎪20．解：（1）因为椭圆C 的离心率为 1 ，所以 c = 1，即a = 2c ．… ................................................... 1 分2a 23y 2x 2又 a 2= b 2+c 2，得b 2=3c 2，即b 2= a 2，所以椭圆C 的方程为 4 a 2 + 3 = 1 ． a 2 4⎛ 2 6 ⎫ 2把点 1, 3 ⎪ 代人C 中，解得 a = 4 ．… ........................................................................................... 2 分⎝ ⎭2 所以椭圆C 的方程为y x 1 ．… ...................................................................................................3 分 43（2）解法 1：设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为 y = kx +2 ，⎧ y = kx + 2, 由 2 2得(3k 2 + 4) x 2 +12kx = 0 ．… ................................................................................... 4 分 ⎨ x + y= 1, ⎪⎩ 3 4设 A ( x A , y A ) ， B ( x B , y B ) ，则有 x A = 0 ， x B = -12k 3k 2 + 4，… ........................................................... 5 分所以 y B =-6k 2 + 8 ．3k 2+ 4⎛ -12k -6k 2 + 8 ⎫所以 B 3k 2 + , 4 3k 2+ 4 ⎪ ..................................................................................................... 6 分 ⎭因为 MO = MA ，所以 M 在线段OA 的中垂线上，所以 y = 1，因为 y = kx+ 2 ，所以 x = - 1 ，即 M ⎛ - 1 ,1⎫．… ........................................... 7 分M M M Mkk ⎪ ⎝ ⎭设 H (x H, 0) ，又直线 HM 垂直l ，所以 k MH = - ，即k 1 - 1 - x kH = - ．… ................................... 8 分 k所以 x= k - 1 ，即 H ⎛ k - 1 , 0 ⎫．… ................................................................................................... 9 分Hkk ⎪ ⎝ ⎭⎛ -12k 4 - 9k 2 ⎫⎛ 1 ⎫又 F 1 (0,1) ，所以 F 1B = 3k 2 +, 2⎪ ， F 1H = k - , -1⎪ ． ⎝4 3k + 4 ⎭ ⎝ k ⎭-12k ⋅⎛1 ⎫ 4 - 9k2 因为 F 1B ⋅ F 1H = 0 ，所以 3k 2 + 4 k - k ⎪ -3k 2 + 4= 0 ，… ....................................................... 10 分数学（理科）试题 A 第 7 页共 11 页2 632 63⎝ ⎭⎪ ( 2)⎪解得 k 2 = 8．…....................................................................................................................................... 11 分3所以直线l 的方程为 y = ±x + 2 ．… ........................................................................................... 12 分解法 2：设直线l 的斜率为k ，则直线l 方程 y = kx +2 ，⎧ y = kx + 2, 由 2 2得(3k 2 + 4) x 2 +12kx = 0 ，… ................................................................................... 4 分 ⎨ x + y= 1, ⎪⎩ 3 4设 A ( x A , y A ) ， B ( x B , y B ) ，则有 x A = 0 ， x B = -12k 3k 2 + 4．… .......................................................... 5 分所以 y B =-6k 2 + 8 ．3k 2+ 4⎛ -12k 4 - 9k 2 ⎫所以 F 1B = 3k 2 + , 4 3k 2 + 4 ⎪ ， F 1H = ( x H , -1) ．… ....................................................................... 6 分-12k 4 - 9k 2 9k 2 - 4因为 F 1B ⋅ F 1H = 0 ，所以 3k 2 + 4 ⋅ x H - 3k 2 + 4 = 0 ，解得 x H = 12k．… ............................... 7 分2 2 22 因为 MO = MA ，所以 x M + y M = x M + ( y M - 2) 1 ⎛ 9k 2 - 4 ⎫，解得 y M = 1．… ......................................... 8 分所以直线 MH 的方程为 y = - k x - 12k ⎪ ． (9)分⎧ y = kx + 2,⎪⎝ ⎭9k 2 + 20 联立⎨ y = - 1 ⎛ x - 9k 2 - 4 ⎫ ⎪ , 解得 y M = 12 (1+ k 2 ) ．… .............................................................. 10 分 ⎩k ⎝ 9k 2 + 20 12k ⎭ 2 8由 y M = = 1 ，解得 k = ．… .......................................................................................... 11 分 12 1+ k 3所以直线l 的方程为 y = ±x + 2 ．… ........................................................................................... 12 分21．解：（1）函数 f ( x ) 的定义域为(0, +∞) ．数学（理科）试题 A 第 8 页共 11 页a- a2 - a 2 - a 2 1 1 a = ⎧ ⎛ 1 ⎫ ⎫ e e ⎭⎝ ⎭ 当b = 2 时， f ( x ) = a ln x + x 2 ，所以 f '( x ) = a + 2x = 2x 2+ a ．… ........................................... 1 分xx① 当 a > 0 时， f '( x ) > 0 ，所以 f ( x ) 在(0, +∞) 上单调递增，… ............................................... 2 分- 1⎛ - 1 ⎫⎛ - 1 ⎫2取 x 0 = e a，则 f e a ⎪ = -1 + e a ⎪ < 0 ，… ................................................................................... 3 分⎝ ⎭ ⎝ ⎭（或：因为0 < x <且 x < 时，所以 f ( x ) = a ln x + x 2 < a ln x + a < a ln + a = 0 ．）e0 0 0 0e因为 f (1) = 1，所以 f ( x 0 ) f (1) < 0 ，此时函数 f ( x ) 有一个零点．… .......................................... 4 分②当 a < 0 时，令 f '( x ) = 0 ，解得 x =当0 < x 时， f '( x ) < 0 ，所以 f ( x ) 在⎛ 上单调递减；当 x f '( x ) > 0 ，所以 f ( x ) 在⎝ a ⎫ - , +∞ 上单调递增．2 ⎪ ⎭要使函数 f ( x ) 有一个零点，则 f= a l n - = 0 即 a = -2e ．… ............................... 5 分 2 综上所述，若函数 f ( x ) 恰有一个零点，则 a = -2e 或a > 0 ．… ....................................................... 6 分（2）因为对任意 x , x ∈⎡1 , e ⎤，有 f ( x ) - f ( x) ≤ e - 2 成立，1 2⎢⎣ e ⎥⎦1 2 因为 f ( x 1 ) - f ( x 2 ) ≤ ⎡⎣ f ( x )⎤⎦max - ⎡⎣ f ( x )⎤⎦min ，所以 ⎡⎣ f ( x )⎤⎦max - ⎡⎣ f ( x )⎤⎦min ≤ e - 2 ．… .............................................................................................. 7 分因为 a + b = 0 ，则 a = -b ．所以 f ( x ) = -b ln x + x b，所以 f '( x ) =-b + bx b -1 = b (x b -1) ．x x当0 < x < 1时， f '( x ) < 0 ，当 x > 1 时， f '( x ) > 0 ，所以函数 f ( x ) 在⎡1 ,1⎫上单调递减，在(1, e ]上单调递增， ⎡ f (x )⎤= f (1) = 1，… ................. 8 分⎢⎣ e ⎪⎣ ⎦min因为 f ⎛ 1 ⎫ = b + e -b与 f (e ) = -b + e b ，所以⎡ f ( x )⎤max f , f (e ) ．… ............... 9 分⎪ ⎣ ⎦max ⎨ ⎪ ⎬ ⎩ ⎝ ⎭ ⎭- a 2 - a 2 - a2数学（理科）试题 A 第 9 页共 11 页222 e ⎪e ⎪ ⎩ 设 g (b ) =f (e ) - f ⎛ 1 ⎫ = e b - e -b- 2b (b > 0) ， ⎝ ⎭则 g '(b ) = e b + e -b - 2 > 2 - 2 = 0 ．所以 g (b ) 在(0, +∞) 上单调递增，故 g (b ) > g (0) = 0 ，所以 f (e ) > f ⎛ 1 ⎫ ．⎝ ⎭从而 ⎡⎣ f ( x )⎤⎦max = 分f (e )= -b + e b ． ............................................................................................................. 10 所以-b + e b -1 ≤ e - 2 即e b - b - e +1 ≤ 0 ，设(b ) =e b - b - e +1 (b > 0) ，则'(b ) =e b -1．当b > 0 时，'(b ) > 0 ，所以(b ) 在(0, +∞) 上单调递增．又(1) = 0 ，所以e b - b - e +1 ≤ 0 ，即为(b ) ≤(1) ，解得b ≤ 1 ． ............................................... 11 分因为b > 0 ，所以b 的取值范围为(0,1] ．............................................................................................... 12 分22．解：（1）因为曲线C 的参数方程为⎧ x = cos（为参数），1⎧ x ' = 2x⎨y = 2 sin⎧ x ' = 2 cos 因为⎨ y ' = y . ，则曲线C 2 的参数方程⎨ y ' = 2 s in . ． ........................................................................ 2 分⎩ ⎩所以C 2 的普通方程为 x '2 + y '2 = 4 ． ...................................................................................................... 3 分所以C 2 为圆心在原点，半径为 2 的圆． ................................................................................................... 4 分所以C 2 的极坐标方程为2= 4 ，即= 2 ． ........................................................................................ 5 分（2）解法 1：直线l 的普通方程为 x - y - 10 = 0 ． ....................................................................................... 6 分|2cos- 2sin - 10||2 2cos(π- 10|曲线C 2 + ) 上的点M 到直线l 的距离d = =4 ． ................ 8 分当cos⎛+ π ⎫ =1即=2k π - π (k ∈ Z ) 时， d 取到最小值为|2 - 10| =5 - 2 ． ...................9 分4 ⎪ 4⎝ ⎭当cos ⎛+ π ⎫ = -1即= 3π + 2k π(k ∈ Z ) 时， d 取到最大值为|2 2 +10| =2 + 5．………10 分4 ⎪ 4 2 ⎝ ⎭解法 2：直线l 的普通方程为 x - y - 10 = 0 ．....................................................................................... 6 分2 e b ⋅ e -b2 2数学（理科）试题 A 第 10 页共 11 页2 2 2 2 ⎨ ⎩⎨⎨ ⎩⎨a - 3 ≥ 1，因为圆C 2 的半径为 2，且圆心到直线l 的距离 d == 5 ，… ................................... 7 分因为5 > 2 ，所以圆C 2 与直线l 相离．… ........................................................................................... 8 分所以圆C 2 上的点 M 到直线l 的距离最大值为 d + r = 5 + 2 ，最小值为 d - r = 5 - 2 ．…10 分23．解：（1）当 a = 1 时， f (x ) =| x +1| ． ................................................................................................... 1 分①当 x ≤ -1时，原不等式可化为-x -1 ≤ -2x - 2 ，解得 x ≤ -1． ................................................. 2 分 ②当-1 < x < - 1时，原不等式可化为 x +1 ≤ -2x - 2 ，解得 x ≤ -1，此时原不等式无解．……3 分2③当 x ≥ - 1时，原不等式可化为 x +1 ≤ 2x ，解得 x ≥ 1． .......................................................... 4 分2 综上可知，原不等式的解集为{x x ≤ -1 或 x ≥ 1} ． .......................................................................... 5 分⎧3 - a , （2）解法 1：①当 a ≤ 3 时， g (x ) = ⎪-2x - a - 3, ⎪a - 3, 所以函数 g ( x ) 的值域 A = [a - 3, 3 - a ] ，x ≤ -3, - 3 < x < -a , x ≥ -a .……………………………………6 分因为[-2,1] ⊆ A ，所以⎧a - 3 ≤ -2解得 a ≤ 1 ． ................................................................................... 7 分⎩3 - a ≥ 1，⎧3 - a , ②当 a > 3 时， g ( x ) = ⎪2x + a + 3, ⎪a - 3, x ≤ -a , - a < x < -3, x ≥ -3.…………………………………………………8 分所以函数 g ( x ) 的值域 A = [3 - a , a - 3] ，因为[-2,1] ⊆ A ，所以⎧3 - a ≤ -2解得 a ≥ 5 ． ................................................................................... 9 分⎩综上可知， a 的取值范围是(-∞,1] [5, +∞) ． .................................................................................. 10 分解法 2：因为| x +a | - | x +3 | ≤ ( x +a ) - (x +3) = a - 3 ， ................................................................... 7 分所以 g (x ) = f (x )- | x +3 |=| x +a | - | x +3 |∈[- | a - 3 |,| a - 3 |] ． | 0 - 0 - 10 |2数学（理科）试题 A 第 11 页共 11 页 ⎨ 所以函数 g (x ) 的值域 A = [- | a - 3 |,| a - 3 |]． (8)分因为[-2,1] ⊆ A ，所以⎧- | a - 3 |≤ -2 解得 a ≤ 1 或 a ≥ 5 ． ⎩| a - 3 |≥ 1，所以a 的取值范围是(-∞,1] [5, +∞) ． ............................................................................................. 10 分。

2018届广州市高三年级调研考(理科数学)

文案秘密★启用前试卷类型： A2018届市高三年级调研测试理科数学2017．12本试卷共5 页，23 小题，满分150 分，考试用时120 分钟.注意事项：1．本试卷分第1卷（选择题）和第2卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2．作答第1卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

写在本试卷上无效.3．第2卷必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}1,0,1,2,3A =-，{}230B x x x =->，则AB =（）A.{}1-B.{}1,0-C.{}1,3-D.{}1,0,3- 2.若复数z 满足()121i z i +=-，则z =（） A.25B.35C.53.在等差数列{}n a 中，已知22a =，前7项和756S =，则公差d =（） A.2 B.3 C.2- D.3-4.已知变量x 、y 满足202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（）A.0B.4C.5D.65.912x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为（）文案A.212-B.92-C.92D.2126.在如图所示的程序框图中，()i f x '是()i f x 的导函数，若()0sin f x x =，则输出的结果是（） A.sin x - B.cos x C.sin x D.cos x -7.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为1CC 的中点，点N 为线段1DD 上靠近1D 的三等分点，平面BMN 交1AA 于点Q ，则AQ 的长为（） A.23 B.12 C.16 D.138.已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为（） A.ln 2 B.1 C.1ln2- D.1ln2+9.某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2名，乙大学2名，丙大学1名，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（） A.36种B.24种 C.22种 D.20种 10.将函数2sin sin 36y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数恰为奇函数，则ϕ的最小值为（）文案A.6π B.12π C.4π D.3π11.在直角坐标系xOy 中，设F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，P 为双曲线C 右支上一点，且OPF ∆为正三角形，则双曲线C 的离心率为（）B.3C.12 12.对于定义域为R 的函数()f x ，若满足①()00f =；②当x R ∈，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<，且12x x =时，都有()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.现给出四个函数：()32132f x x x =-+；()21x f x e x =--；()()3ln 1,02,0x x f x x x -+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩；()411,02120,0xx x f x x ⎧⎛⎫+≠⎪ ⎪=-⎝⎭⎨⎪=⎩.则其中是“偏对称函数”的函数个数为（） A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知向量(),2a x x =-，()3,4b =，若//a b ，则向量a 的模为. 14.在各项都为正数的等比数列{}n a中，若2018a =2017201912a a +的最小值为.15.过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 的直线交抛物线C 于A 、B 两点，若6AF =，3BF =，则p 的值为.16.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须做答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答. （一）必考题：共 60 分.文案17．（本小题满分 12 分）ABC ∆的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足2a =，()cos 2cos a B c b A =-.（1）求角A 的大小；（2）求ABC ∆周长的最大值.18.（本小题满分 12 分）如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ⊥底面ABCD ，//ED PA ，且PA =22ED =.文案（1）证明：平面PAC ⊥平面PCE ；（2）若直线PC 与平面ABCD 所成的角为45，求二面角P CE D --的余弦值.19.（本小题满分 12 分）某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过EDCBAP文案70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y （百斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图.（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0.01）.（若0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：制仪周亏损1000元.以过去50周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：相关系数公式()()niix x y y r --=∑0.55≈0.95≈.20.（本小题满分 12 分）文案如图，在直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10y x C a b a b +=>>的上焦点为1F ，椭圆C 的离心率为12，且过点1,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）设过椭圆C 的上顶点A 的直线l 与椭圆C 交于点B （B 不在y 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与x 轴交于点H ，若110F B F H ⋅=，且MO MA =，求直线l 的方程.21.（本小题满分 12 分）文案已知函数()()ln 0bf x a x xa =+≠.（1）当2b =时，若函数()f x 恰有一个零点，数a 的取值围；（2）当0a b +=，0b >时，对任意1x 、21,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()122f x f x e -≤-成立，数b 的取值围.（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程文案在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），将曲线1C 经过伸缩变换2x xy y'=⎧⎨'=⎩后得到曲线2C ，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos ρθ-sin 100ρθ-=.（1）说明曲线2C 是哪一种曲线，并将曲线2C 的方程化为极坐标方程；（2）已知点M 是曲线2C 上任意一点，求点M 到直线l 的距离的最大值和最小值.23．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲已知函数()f x x a =+.文案（1）当1a =时，求不等式()211f x x ≤+-的解集；（2）若函数()()3g x f x x =-+的值域为A ，[]2,1A -⊆，求a 的取值围.。

广东省广州市天河区2018届高三数学三模试卷(理科)Word版含解析

广东省广州市天河区2018届高三三模试卷（理科数学）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={1，3，4，5}，集合B={x∈Z|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B的子集个数为（）A．2 B．4 C．8 D．162．已知复数Z的共轭复数=，则复数Z的虚部是（）A．B． i C．﹣ D．﹣ i3．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣104．设f（x）=，则f（x）dx的值为（）A． +B． +3 C． +D． +35．执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（）A．B．C．D．6．如图是一个四面体的三视图，这个三视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（）A．B．C．D．27．已知奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（﹣1）=﹣1，则f=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．18．某班班会准备从含甲、乙的7人中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有（）A．720种B．520种C．600种D．360种9．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，且其准线被该双曲线截得的弦长是b，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（φ＞0，﹣π＜φ＜0）的最小正周期是π，将f（x）图象向左平移个单位长度后，所得的函数图象过点P（0，1），则函数f（x）（）A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增11．如图所示，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1内接于半径为的半球O，四边形ABCD为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB的长是（）A．1 B．C．D．212．已知函数f（x）=sin x﹣1（x＜0），g（x）=log a x（a＞0，且a≠1）．若它们的图象上存在关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（﹣∞，﹣1） D．（0，）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．在△ABC中，D为BC上靠近B点的三等分点，连接AD，若=m+n，则m+n= ．14．已知x，y满足约束条件，且z=2x+4y的最小值为6，则常数k= ．15．下面给出四种说法：①用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好；②命题P：“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0”的否定是￢P：“∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”；③设随机变量X服从正态分布N（0，1），若P（x＞1）=p，则P（﹣1＜X＜0）=﹣p④回归直线一定过样本点的中心（，）．其中正确的说法有（请将你认为正确的说法的序号全部填写在横线上）16．已知数列{a n}与{b n}满足a n=2b n+3（n∈N*），若{b n}的前n项和为S n=（3n﹣1）且λa n＞b n+36（n﹣3）+3λ对一切n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c．设S为△ABC的面积，满足S=（a2+c2﹣b2）．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=，求（﹣1）a+2c的最大值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD，E为AD的中点，异面直线AP与CD所成的角为90°．（Ⅰ）证明：△PBE是直角三角形；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求二面角A﹣PE﹣C的余弦值．19．随着社会发展，广州市在一天的上下班时段经常会出现堵车严重的现象．交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T，其范围为，分别有5个级别；T∈上的最大值；（Ⅱ）记函数f（x）图象为曲线C，设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上不同的两点，点M为线段AB 的中点，过点M作x轴的垂线交曲线C于点N．判断曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB？并说明理由．四、选修4-4：坐标与参数方程22．已知曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l过点M（1，0），倾斜角为．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；（Ⅱ）若曲线C经过伸缩变换后得到曲线C′，且直线l与曲线C′交于A，B两点，求|MA|+|MB|．五、选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）＜8的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|3m+1|有解，求实数m的取值范围．广东省广州市天河区2018届高三数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={1，3，4，5}，集合B={x∈Z|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B的子集个数为（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出集合B，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：B={x∈Z|x2﹣4x﹣5＜0}=B={x∈Z|﹣1＜x＜5}={0，1，2，3，4}，则A∩B={1，3，4}，故A∩B的子集个数为23=8个，故选：C2．已知复数Z的共轭复数=，则复数Z的虚部是（）A．B． i C．﹣D．﹣ i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A2：复数的基本概念．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得Z后得答案．【解答】解：由==，得，∴复数Z的虚部是．故选：A．3．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10【考点】83：等差数列；87：等比数列．【分析】利用已知条件列出关于a1，d的方程，求出a1，代入通项公式即可求得a2．【解答】解：∵a4=a1+6，a3=a1+4，a1，a3，a4成等比数列，∴a32=a1•a4，即（a1+4）2=a1×（a1+6），解得a1=﹣8，∴a2=a1+2=﹣6．故选B．4．设f（x）=，则f（x）dx的值为（）A． +B． +3 C． +D． +3【考点】67：定积分．【分析】根据定积分性质可得f（x）dx=+，然后根据定积分可得．【解答】解：根据定积分性质可得f（x）dx=+，根据定积分的几何意义，是以原点为圆心，以1为半径圆面积的，=，∴f（x）dx=+（），=+，故答案选：A．5．执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【分析】从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能．【解答】解：框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，S=0+1=1，k=1+1=2；判断k＞10不成立，执行S=1+，k=2+1=3；判断k＞10不成立，执行S=1++，k=3+1=4；判断k＞10不成立，执行S=1+++，k=4+1=5；…判断i＞10不成立，执行S=，k=10+1=11；判断i＞10成立，输出S=．算法结束．故选B．6．如图是一个四面体的三视图，这个三视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（）A．B．C．D．2【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由四面体的三视图得该四面体为棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中的三棱锥C1﹣BDE，其中E是CD中点，由此能求出该四面体的体积．【解答】解：由四面体的三视图得该四面体为棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中的三棱锥C1﹣BDE，其中E是CD中点，△BDE面积，三棱锥C1﹣BDE的高h=CC1=2，∴该四面体的体积：V==．故选：A．7．已知奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（﹣1）=﹣1，则f=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的性质，推断出函数的周期是8，利用函数奇偶性和周期性进行转化求解即可．【解答】解：∵奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，∴f（0）=0，且f（﹣x+2）=f（x+2）=﹣f（x﹣2），则f（x+4）=﹣f（x），则f（x+8）=﹣f（x+4）=f（x），则函数f（x）的周期是8，且函数关于x=2对称，则f=f（1）=﹣f（﹣1）=﹣（﹣1）=1，f=f（0）=0，则f=0+1=1，故选：D8．某班班会准备从含甲、乙的7人中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有（）A．720种B．520种C．600种D．360种【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】分两类：第一类，甲、乙两人只有一人参加，第二类：甲、乙同时参加，利用加法原理即可得出结论．【解答】解：分两类：第一类，甲、乙两人只有一人参加，则不同的发言顺序有种；第二类：甲、乙同时参加，则不同的发言顺序有种．共有： +=600（种）．故选：C．9．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，且其准线被该双曲线截得的弦长是b，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意可知：抛物线的焦点F（c，0），准线x=﹣c，将x=﹣c代入双曲线方程，解得：y=±，即可求得=b，a=3b，利用双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：由题意可知：抛物线的焦点F（c，0），准线x=﹣c，将x=﹣c代入双曲线方程，解得：y=±，则准线被该双曲线截得的弦长为，∴=b，a=3b，双曲线的离心率e===，则双曲线的离心率e=，故选D．10．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（φ＞0，﹣π＜φ＜0）的最小正周期是π，将f（x）图象向左平移个单位长度后，所得的函数图象过点P（0，1），则函数f（x）（）A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据正弦函数的周期性求得ω，根据函数的图象经过定点求得φ，可得函数f（x）的解析式，再根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（φ＞0，﹣π＜φ＜0）的最小正周期是=π，∴ω=2，将f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位长度后，可得y=sin（2x++φ）的图象，再根据所的图象过点P（ 0，1），∴sin（+φ）=1，∴φ=﹣，故f（x）=sin（2x﹣）．在区间上，2x﹣∈，函数f（x）在区间上单单调递增，故A错误，且B正确．在区间上，2x﹣∈，故函数f（x）在区间上没有单调性，故排除C、D，故选：B．11．如图所示，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1内接于半径为的半球O，四边形ABCD为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB的长是（）A．1 B．C．D．2【考点】LR：球内接多面体．【分析】设AB=a，BB1=h，求出a2=6﹣2h2，故正四棱柱的体积是V=a2h=6h﹣2h3，利用导数，得到该正四棱柱体积的最大值，即可得出结论．【解答】解：设AB=a，BB1=h，则OB=a，连接OB1，OB，则OB2+BB12=OB12=3，∴=3，∴a2=6﹣2h2，故正四棱柱的体积是V=a2h=6h﹣2h3，∴V′=6﹣6h2，当0＜h＜1时，V′＞0，1＜h＜时，V′＜0，∴h=1时，该四棱柱的体积最大，此时AB=2．故选：D．12．已知函数f（x）=sin x﹣1（x＜0），g（x）=log a x（a＞0，且a≠1）．若它们的图象上存在关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（﹣∞，﹣1） D．（0，）【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】利用数形结合的思想，做出函数f（x）=sin x﹣1（x＜0），关于y轴对称的图象，利用g（x）=log a x（a＞0，且a≠1）的图象与函数f（x）=sin x﹣1（x＞0有至少有3对，可得答案．【解答】解：函数f（x）=sin x﹣1（x＜0），关于y轴对称的图象如下．g（x）=log a x（a＞0，且a≠1）的图象与函数f（x）=sin x﹣1（x＞0）有至少有3对，那么：log a5＞﹣2，（0＜a＜1）．可得：a，∵0＜a＜1，∴a∈（0，）．故选A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．在△ABC中，D为BC上靠近B点的三等分点，连接AD，若=m+n，则m+n= 1 ．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用向量的三角形法则和向量共线定理即可得出．【解答】解： =+=+=+（﹣）=+，∵=m+n，∴m=，n=，∴m+n=1，故答案为：114．已知x，y满足约束条件，且z=2x+4y的最小值为6，则常数k= ﹣3 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程斜截式，由图得到可行域内的最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数后由z的值等于6求得k的值．【解答】解：由约束条件作可行域如图，图中以k=0为例，可行域为△ABC及其内部区域，当k＜0，边界AC下移，当k＞0时，边界AC上移，均为△ABC及其内部区域．由z=2x+4y，得直线方程，由图可知，当直线过可行域内的点A时，z最小．联立，得A（3，﹣k﹣3）．∴z min=2×3+4（﹣k﹣3）=﹣4k﹣6=6，解得k=﹣3．故答案为：﹣3．15．下面给出四种说法：①用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好；②命题P：“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0”的否定是￢P：“∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”；③设随机变量X服从正态分布N（0，1），若P（x＞1）=p，则P（﹣1＜X＜0）=﹣p④回归直线一定过样本点的中心（，）．其中正确的说法有②③④（请将你认为正确的说法的序号全部填写在横线上）【考点】BS：相关系数．【分析】①用相关指数R2来刻画回归效果时，R2越大，模型的拟合效果越好；②根据特称命题的否定的全称命题，写出P的否定￢P即可；③根据正态分布N（0，1）的性质，由P（X＞1）=p求出P（﹣1＜X＜0）的值；④回归直线一定过样本点的中心（，）．【解答】解：对于①，用相关指数R2来刻画回归效果时，R2越大，说明模型的拟合效果越好，∴①错误；对于②，命题P：“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0”的否定是￢P：“∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”，②正确；对于③，根据正态分布N（0，1）的性质可得，若P（X＞1）=p，则P（X＜﹣1）=p，∴P（﹣1＜X＜1）=1﹣2p，∴P（﹣1＜X＜0）=﹣p，③正确；对于④，回归直线一定过样本点的中心（，），正确；综上，正确的说法是②③④．故答案为：②③④．16．已知数列{a n}与{b n}满足a n=2b n+3（n∈N*），若{b n}的前n项和为S n=（3n﹣1）且λa n＞b n+36（n﹣3）+3λ对一切n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是（，+∞）．【考点】8H：数列递推式．【分析】由{b n}的前n项和为S n=（3n﹣1）求得b n，进一步得到a n，把a n，b n代入λa n＞b n+36（n﹣3）+3λ，分离λ，然后求出关于n的函数的最大值得答案．【解答】解：由S n=（3n﹣1），得，当n≥2时，，当n=1时，上式成立，∴．代入a n=2b n+3，得，代入λa n＞b n+36（n﹣3）+3λ，得λ（a n﹣3）＞b n+36（n﹣3），即2λ•3n＞3n+36（n﹣3），则λ＞+．由=，得n≤3．∴n=4时， +有最大值为．故答案为：（，+∞）．三、解答题（共5小题，满分60分）17．设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c．设S为△ABC的面积，满足S=（a2+c2﹣b2）．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=，求（﹣1）a+2c的最大值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）利用三角形的面积公式表示出S，利用余弦定理表示出cosB，代入已知等式求出tanB的值，即可求出B，（Ⅱ）先求出A的范围，再根据正弦定理表示出a，c，根据两角和差的正弦公式，正弦函数的图象和性质即可求出最大值【解答】解：（Ⅰ）∵S=acsinB，cosB=即a2+c2﹣b2=2accosB，∴S=（a2+c2﹣b2）变形得： acsinB=×2accosB，整理得：tanB=，又0＜B＜π，∴B=，（Ⅱ）∵A+B+C=π，∴0＜A＜，由正弦定理知a===2sinA，c==2sin（﹣A），∴（﹣1）a+2c=2（﹣1）sinA+4sin（﹣A）=2sinA+2cosA=2sin（A+）≤2，当且仅当A=时取最大值，故（﹣1）a+2c的最大值为2．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD，E为AD的中点，异面直线AP与CD所成的角为90°．（Ⅰ）证明：△PBE是直角三角形；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求二面角A﹣PE﹣C的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LZ：平面与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）由已知证明PA⊥平面ABCD，得PA⊥BE．再由已知证明四边形BCDE为平行四边形，得BE∥CD．结合CD⊥AD，得BE⊥AD．再由线面垂直的判定得BE⊥平面PAD，进一步得到BE⊥PE，得到△PBE是直角三角形；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，CD⊥平面PAD，则∠PDA为二面角P﹣CD﹣A的平面角为45°，设BC=1，得AD=PA=2．在平面ABCD中，过A作Ay⊥AD．以A为原点，分别以AD、Ay、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求得E，P，C的坐标，求出平面PEC与平面PAE的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PE﹣C的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，∵AD∥BC，AD=2BC，∴四边形ABCD为梯形，则AB与DC相交．∵∠PAB=90°，∴PA⊥AB，又异面直线AP与CD所成的角为90°，∴PA⊥CD．∴PA⊥平面ABCD，则PA⊥BE．∵AD∥BC，BC=，∴四边形BCDE为平行四边形，则BE∥CD．∵∠ADC=90°，∴CD⊥AD，∴BE⊥AD．由BE⊥PA，BE⊥AD，PA∩AD=A，得BE⊥平面PAD，∴BE⊥PE，则△PBE是直角三角形；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，CD⊥平面PAD，则∠PDA为二面角P﹣CD﹣A的平面角为45°，设BC=1，则AD=PA=2．在平面ABCD中，过A作Ay⊥AD．以A为原点，分别以AD、Ay、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．则E（1，0，0），P（0，0，2），C（2，1，0）．．设平面PEC的一个法向量为．由，得，取z=1，得．由图可知，平面PAE的一个法向量为．∴cos＜＞=．∴二面角A﹣PE﹣C的余弦值为．19．随着社会发展，广州市在一天的上下班时段经常会出现堵车严重的现象．交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T，其范围为，分别有5个级别；T∈时交通指数的中位数为5+1×．T∈时交通指数的平均数 3.5×0.1+4.5×0.2+5.5×0.24+6.5×0.2+7.5×0.16+8.5×0.1．（2）设事件A为“一条路段严重拥堵”，则P（A）=0.1．则3条路段中至少有两条路段严重拥堵的概率为：P=+．（3）由题意，所用时间x的分布列如下表，即可得出此人经过该路段所用时间的数学期望．【解答】解：（1）由直方图知：T∈时交通指数的中位数为5+1×=．T∈时交通指数的平均数3.5×0.1+4.5×0.2+5.5×0.24+6.5×0.2+7.5×0.16+8.5×0.1=5.92．（2）设事件A为“一条路段严重拥堵”，则P（A）=0.1．则3条路段中至少有两条路段严重拥堵的概率为：P=+=．∴3条路段中至少有两条路段严重拥堵的概率为．（3）由题意，所用时间x的分布列如下表：则Ex=30×0.1+35×0.44+45×0.36+60×0.1=40.6．∴此人经过该路段所用时间的数学期望是40.6分钟．20．已知圆E：（x+）2+y2=16，点F（，0），P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．（Ⅰ）求动点Q的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）直线l过点（1，1），且与轨迹Γ交于A，B两点，点M满足=，点O为坐标原点，延长线段OM与轨迹Γ交于点R，四边形OARB能否为平行四边形？若能，求出此时直线l的方程，若不能，说明理由．【考点】JE：直线和圆的方程的应用．【分析】（I）利用椭圆的定义即可得出E的轨迹方程；（II）讨论直线l的斜率，联立方程组，利用根与系数的关系得出M点坐标，根据平行四边形对角线互相平分得出R点坐标，代入椭圆方程化简即可得出直线l的斜率k．【解答】解：（I））∵|QE|+|QF|=|EQ|+|QP|=4，且|EF|=2＜4，∴点Q的轨迹是以E，F为焦点的椭圆，设椭圆方程为=1，则2a=4，c=，∴a=2，b==1．所以点E的轨迹方程为： +y2=1．（II）（1）当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=1，显然四边形OARB是平行四边形；（2）当直线l与x轴不垂直时，设直线l：y=kx+m，显然k≠0，m≠0，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M）．联立方程组，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，∴x1+x2=﹣，∵=，即M是AB的中点，∴x M==﹣，y M=kx M+m=，若四边形OARB是平行四边形，当且仅当AB，OR互相平分，∴R（﹣，），代入椭圆方程得： +=1，即16k2m2+4m2=16k4+8k2+1，又直线l：y=kx+m经过点（1，1），∴m=1﹣k，∴16k2（1﹣k）2+4（1﹣k）2=16k4+8k2+1，∴32k3﹣12k2+8k﹣3=0，即（4k2+1）（8k﹣3）=0．∴k=，m=，∴直线l的方程为y=x+时，四边形OARB是平行四边形，综上，直线l的方程为x=1或y=x+．21．已知函数f（x）=ax2﹣（2a﹣1）x﹣lnx（a为常数，a≠0）．（Ⅰ）当a＜0时，求函数f（x）在区间上的最大值；（Ⅱ）记函数f（x）图象为曲线C，设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上不同的两点，点M为线段AB 的中点，过点M作x轴的垂线交曲线C于点N．判断曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB？并说明理由．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数f（x）的单调区间，从而求出f（x）的最大值即可；（Ⅱ）设出M的坐标，分别求出直线AB的斜率k1，C在点N处的切线斜率k2，由k1=k2，得到即=﹣，得出矛盾．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=，当a＜0时，由f′（x）=0，得x1=﹣，x2=1，又x∈，则有如下分类：①当﹣≥2，即﹣≤a＜0时，f（x）在上是增函数，所以f（x）max=f（2）=2﹣ln2．②当1＜﹣＜2，即﹣＜a＜﹣时，f（x）在上是减函数，所以f（x）max=f（﹣）=1﹣+ln（﹣2a）．③当﹣≤1，即a≤﹣时，f（x）在上是减函数，所以f（x）max=f（1）=1﹣a．综上，函数f（x）在上的最大值为：f（x）max=；（Ⅱ）设M（x0，y0），则点N的横坐标为x0=，直线AB的斜率k1===a（x1+x2）+（1﹣2a）+，C在点N处的切线斜率k2=f′（x0）=a（x1+x2）+（1﹣2a）﹣，假设曲线C在点N处的切线平行于直线AB，则k1=k2，即=﹣，所以ln=，不妨设x1＜x2，ln=t＞1，则lnt=，令g（t）=lnt﹣，（t＞1），g′（t）=＞0，所以g（t）在（1，+∞）上是增函数，又g（1）=0，所以g（t）＞0，即lnt=不成立，所以曲线C在点N处的切线不平行于直线AB．四、选修4-4：坐标与参数方程22．已知曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l过点M（1，0），倾斜角为．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；（Ⅱ）若曲线C经过伸缩变换后得到曲线C′，且直线l与曲线C′交于A，B两点，求|MA|+|MB|．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）曲线C的极坐标方程化为ρ2﹣4ρcosθ+3ρ2sin2θ=0，由此能求出曲线C的直角坐标方程；由直线l过点M（1，0），倾斜角为，能求出直线l的参数方程．（Ⅱ）由曲线C经过伸缩变换后得到曲线C′，求出曲线C′为：（x﹣2）2+y2=4，把直线l的参数方程代入曲线C′，得：，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=，t1t2=﹣3，由此能求出|MA|+|MB|．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0，∴ρ2﹣4ρcosθ+3ρ2sin2θ=0，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x+3y2=0，整理，得（x﹣2）2+4y2=4，∵直线l过点M（1，0），倾斜角为，∴直线l的参数方程为，即，（t是参数）．（Ⅱ）∵曲线C经过伸缩变换后得到曲线C′，∴曲线C′为：（x﹣2）2+y2=4，把直线l的参数方程，（t是参数）代入曲线C′：（x﹣2）2+y2=4，得：，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=，t1t2=﹣3，∴|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|===．五、选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）＜8的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|3m+1|有解，求实数m的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；（Ⅱ）求出f（x）的最小值，解关于m的不等式，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜8，即|2x+3|+|2x﹣1|＜8，可化为①或②或③，…解①得﹣＜x＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得＜x＜，综合得：﹣＜x＜，即原不等式的解集为{x|﹣＜x＜}．…（Ⅱ）因为∵f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|≥|（2x+3）﹣（2x﹣1）|=4，当且仅当﹣≤x≤时，等号成立，即f（x）min=4，…又不等式f（x）≤|3m+1|有解，则|3m+1|≥4，解得：m≤﹣或m≥1．…。

2018届广东省广州市执信中学高三三模理科数学试题及答案精品

广州市执信中学2018届高三数学（理）三模一、选择题：1.已知全集U=R ，则正确表示集合M= { x |x 2+2x>0}和 N= {-2，－1，0}关系的韦恩（Venn ）图是（）2. 已知(1,),(,4)a k b k ==，那么“2k =-”是“,a b 共线”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．非充分非必要条件 D ．充要条件3. 对任意的实数k ，直线1y kx =+与圆222=+y x 的位置关系是（） A.相离 B.相切 C.相交 D.随k 的变化而变化4.复数21z i=-+的共轭复数．．．．对应的点在（）A.第一象限 .B 第二象限 C.第三象限 D.第四象限5. 若log 1m n =-，则3m n +的最小值为( )A.2 C. 526. 已知数列{}n a 满足()1112,1n n a a n N a +-==∈+,则2014a = ( ) A. 2 B. 13- C. 32- D. 237. 用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( ) A.38π B. 328π C. π28 D. 332π8. 若函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，则()f x 可以是( )A. ()41f x x =-B. ()2(1)f x x =-C. ()1x f x e =-D.()12f x In x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．9. 将容量为n 的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n 等于 * .10.从5男4女中选4位代表，其中至少有2位男生，且至少有1位女生，分配到四个不同的工厂调查，不同的分派方法有 * .11.函数1()sin 2f x x =([0,]x π∈)的图像如图，其中B在()f x 的图像与x 在⊿ABO 内的概率为 * .12.若双曲线22116y x m-=的离心率e=2，则它的焦点坐标为 * .13．不等式组2230204x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩所确定的平面区域D 的面积是 * .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线1C ：cos sin ρθθ+（）=1与曲线2C ：a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上，则a =* .15. （几何证明选讲选做题）过半径为2的⊙O 外一点A 作一条直线与⊙O 交于C ，D 两点，AB 切⊙O 于B ．已知AC =4，AB=则tan DAB ∠= * .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题12分）已知函数1()cos cos 2().2f x x x x x R =⋅-∈（1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（2）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别a 、b 、c，且()1c f C ==，求三角形ABC 的外接圆面积.17．（本小题满分13分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1212112()a a a a +=+， 34534511164()a a a a a a ++=++. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21()n n nb a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18．（本小题13分）如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，M 、N 分别是CC 1，BC 的中点，点P 在线段A 1B 1上，且A 1P →＝λA 1B 1→ （1）证明：无论λ取何值，总有AM ⊥PN ；（2）当λ＝12时，求直线PN 与平面ABC 所成角的余弦值．19．（本小题满分14分）甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满8局时停止．设甲在每局中获胜的概率为1()2p p >，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59．（1）求p 的值；（2）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．20. (本小题满分14分)已知点F 是椭圆22211x y a+=+(0a >)的右焦点，，动点P 到点F 的距离等于到直线x a =-的距离．（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A 、B 两点，直线OA 、OB 与直线x a =-分别交于点S 、T （O 为坐标原点），试判断FS FT ⋅是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 21．(本小题满分14分)已知'''*010211(),()(),()(),,()(),x n n f x xe f x f x f x f x f x f x n N -====∈(1)请写出()n f x 的表达式(不需要证明)，并求()n f x 的极小值；(2)设2()2(1)88n g x x n x n =--+-+， ()n g x 的最大值为a ，()n f x 的最小值为b ，证明：4a b e --≥；（3）设20()|ln[()]1|,(0)x x a f x x a ϕ=+-->，若3(),[1,)2x a x ϕ≥∈+∞恒成立，求a 的取值范围.广州市执信中学2018届高三数学三模参考答案1-8．CACB CABA 9. 60；10. 2400；11. 4π；12.±（0，8）；13.2π；14. 1；. 1. C 【解析】解得M={}02x x x ><-或，M N ⋂=Φ,所以选C 2. A 【解析】“2k =-”可以推导出 “,a b 共线”，但反之不成立，2k =±3.C 【解析】直线1y kx =+过圆内一定点(0,1)所以相交.4. B 【解析】因为i i i i i i z --=--=--+---=+-=12)1(2)1)(1()1(212，共轭复数为i z +-=1，所对应的点在第二象限.5. C 【解析】log 11m n mn =-⇒=，则3m n +≥=6. A 【解析】123420141132,,,2,232a a a a a a ==-=-=∴==7. B 【解析】用与球心距离为1的平面去截球，截面半径为1，则328π8. A 【解析】()41f x x =-的零点为x=41,()2(1)f x x =-的零点为x=1,()1x f x e =-的零点为x=0, ()12f x In x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点为x=23.现在我们来估算()422x g x x =+-的零点，因为g(0)= -1,g(21)=1,所以g(x)的零点x ∈(0, 21),又函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，只有()41f x x =-的零点适合，故选A.9. 60【解析】设第一组至第六组数据的频率分别为2,3,4,6,4,x x x x x x ，则234641x x x x x x +++++=，解得120x =，所以前三组数据的频率分别是234,,202020，故前三组数据的频数之和等于234202020n n n ++=27，解得n=60. 10. 2400 【解析】2231454544()2400C C C C A +=11. 4π 【解析】11224ABO S ππ=⋅⋅=, 设()f x 的图像与x 轴所围成的区域为S,则S=01sin 12xdx π=⎰ 4P π∴=12. ±（0，8）【解析】根据双曲线方程：12222=-b x a y 知， m b a ==22,16，在双曲线中有：222c b a =+，∴离心率e=a c =2⇒422=ac =1616m+⇒m=48，所以双曲线的焦点坐标为±（0，8）13.2π 【解析】D 是圆心角为4π，半径为2的扇形，故面积为22=82ππ⋅ 14. 1 【解析】曲线1C 的直角坐标方程是x+y=1，曲线2C 的普通方程是直角坐标方程222x y a +=，因为曲线C 1：sin )1ρθθ+=与曲线C 2：a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上，所以1C 与x 轴交点横坐标与a 值相等，由y=0得x=1，知a =1.15.4【解析】由切割线定理232484AB AC AD AD AD CD =⋅∴=⨯∴=∴=, CD ∴是直径，过O 做AB的垂线，垂足为B ，tan tanDAB OAB ∴∠=∠==16.解：(1)11()cos cos 22cos 22f x x x x x x =⋅-=- =sin(2)6x π- (2)分1sin(2)16x R x π∈∴-≤-≤()f x ∴的最小值是-1 (4)分22T ππ∴==，故其最小正周期是π ………6分(2) ()1sin(2)00222662f C C C C ππππ=∴-=<<∴-=且,3C π∴= ………9分由正弦定理得到：2R=2sin c C ==(R 为外接圆半径)，1R ∴= ………11分设三角形ABC 的外接圆面积为S,∴S=π ………12分 17.（1）2112122(1)(1),02a q q q a a a q a +=+>⇒== ………2分22263351564(1)(1)64a q q q q a a a q a ++=++⇒== ………4分11,2a q ∴==⇒12n n a -= ………6分(2)1211111(2)4224n n n n n b ----=+=++, ………8分 2121111(1444)(1)2444n n n T n --=++++++++++ (9)分1111(1)4(1)1(14)414444221211433314nn n n n n n n n ------=++=++=++-- .........11 (12)分 ………13分 (4)分.........6分 (8)分………12分直线PN 与平面ABC 13分 19.（Ⅰ）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束．∴有95)1(22=-+p p ．解得32=p 或31=p ． …………6分 21>p ， 32=∴p ． …………7分（Ⅱ）依题意知，依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6，8． ………… 8分设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为95．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有5(2)9P ξ==， 5520(4)(1)9981P ξ==-=， 55580(6)(1)(1)999729P ξ==--⋅=， 55564(8)(1)(1)(1)1999729P ξ==---=．………12分∴随机变量ξ的分布列为：………… 12分故520806425222468981729729729E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………… 14分20、解：（1）椭圆22211x y a+=+右焦点F 的坐标为(,0)a ，………………1分由抛物线定义知，点P 的轨迹C 是以点F 为焦点、直线x a =-为准线的抛物线，……3分C 的方程为24y ax =． ………5分（2）(法一)设直线AB 的方程为x ty a =+，211(,)4y A y a 、222(,)4y B y a，则x y a y l OA 14:=，x y ay l OB 24:=．…………6分由⎪⎩⎪⎨⎧-==a x x y a y ,41，得214(,)a S a y --，同理得224(,)a T a y --．…………………………8分214(2,)a FS a y ∴=--，224(2,)a FT a y =--，则4212164a FS FT a y y ⋅=+． ………9分由⎩⎨⎧=+=ax y a ty x 4,2，得04422=--a aty y ，2124y y a ∴=-．……………………11分则044)4(16422242=-=-+=⋅a a a a a FT FS ． …………………………13分因此，FS FT ⋅的值是定值，且定值为0． …………………………………14分(法二)①当AB x ⊥时， (,2)A a a 、(,2)B a a -，则:2OA l y x =， :2OB l y x =-．由2,y x x a =⎧⎨=-⎩ 得点S 的坐标为(,2)S a a --，则(2,2)FS a a =--．由2,y x x a=-⎧⎨=-⎩ 得点T 的坐标为(,2)T a a -，则(2,2)FT a a =-． (2)(2)(2)20FS FT a a a a ∴⋅=-⨯-+-⨯=． ………………………………………7分②当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为()(0)y k x a k =-≠，),4(121y a yA 、),4(222y ayB ，同解法一，得4212164a FS FT a y y ⋅=+． …………………………………10分由2(),4y k x a y ax=-⎧⎨=⎩，得22440ky ay ka --=，2124y y a ∴=-．……………………11分则044)4(16422242=-=-+=⋅a a a a a FT FS ． …………………………13分因此，FS FT ⋅的值是定值，且定值为0． …………………………………14分21.解：(1)f n (x )＝(x ＋n )·e x (n ∈N *)． …………2分因为f n (x )＝(x ＋n )·e x ，所以f ′n (x )＝(x ＋n ＋1)·e x.因为x ＞－(n ＋1)时，f ′n (x )＞0；x ＜－(n ＋1)时，f ′n (x )＜0， …………3分所以当x ＝－(n ＋1)时，f n (x )取得极小值f n (－(n ＋1))＝－e －(n ＋1) ．………4分(2)由题意 b ＝f n (－(n ＋1))＝－e －(n ＋1)，又a ＝g n (－n ＋1)＝(n －3)2，………5分所以a －b ＝(n －3)2＋e －(n ＋1)．令h (x )＝(x －3)2＋e －(x ＋1)(x ≥0)，则h ′(x )＝2(x －3)－e －(x ＋1)，又h ′(x )在区间[0，＋∞)上单调递增，所以h ′(x )≥h ′(0)＝－6－e －1.又h ′(3)＝－e －4＜0，h ′(4)＝2－e －5＞0，所以存在x 0∈(3，4)使得h ′(x 0)＝0. …………6分所以当0≤x ＜x 0时，h ′(x )＜0；当x ＞x 0时，h ′(x )＞0. 即h (x )在区间[x 0，＋∞)上单调递增，在区间[0，x 0)上单调递减，………7分所以h (x )min ＝h (x 0)．又h (3)＝e －4，h (4)＝1＋e －5，h (4)＞h (3)，所以当n ＝3时，a －b 取得最小值e －4，即a －b ≥e －4. …………8分（3）.由条件可得2()|ln 1|x x a x ϕ=+-,【以下所有f 换成ϕ】 ①当e x ≥时，a x a x x f -+=ln )(2，xa x x f +='2)(，0>a ，0)(>∴x f 恒成立,)(x f ∴在),[+∞e 上增函数,故当e x =时，2min )(e e f y == …………9分②当e x <≤1时，2()ln =-+f x x a x a ，)2)(2(22)(a x a x xxa x x f -+=-='，（i ）当,12≤a即20≤<a 时，)(x f '在),1(e x ∈时为正数，所以)(x f 在区间),1[e 上为增函数,故当1=x 时，a y +=1min ，且此时)()1(e f f <2=e …………10分(ii)当e a <<21,即222e a <<时，)(x f '在)2,1(a x ∈时为负数，在间),2(e a x ∈ 时为正数,所以)(x f 在区间)2,1[a 上为减函数，在],2(e a 上为增函数,故当2ax =时，2ln 223min a a a y -=，且此时)()2(e f af <2=e …………11分 (iii)当e a≥2,即 22e a ≥时，)(x f '在),1(e x ∈时为负数，所以)(x f 在区间[1,e]上为减函数，故当e x =时，2min )(e e f y == …………12分综上所述，函数)(x f y =的最小值为⎪⎩⎪⎨⎧>≤<-≤<+=222min 2,22,2ln 22320,1e a e e a aa a a a y …………13分所以当312a a +≥时,得02a <≤;当33ln 2222a a a a -≥(222a e <<)时,无解；当232e a ≥ （22a e ≥）时,得a ≤不成立.综上,所求a 的取值范围是02a <≤. ………14分。

2018广东广州市高三数学复习专项检测试题：10含解析

三角函数、解三角形及平面向量0437.在△ABC 中，若3sin 4cos 6A B +=，4sin 3cos 1B A +=，则角C 为A.030B. 030或0150C.0150D. 06038.在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，已知b=5c ，cosA=，则sinB=（）D，sinB 39.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2+b 2=3c 2，则cosC 最小值为．40.已知ABC ∆中，，BC=1，sin C C =，则ABC ∆的面积为______．41.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asinA=（2b+c ）sinB+（2c+b ）sinC ．则A 的大小是．42.设△ABC 的内角A 、B,C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足acosB －bcosA ＝35c ，则tan tanA B的值是＿＿＿＿【答案】4【解析】333cos cos sin cos -sin cos =sin =sin(+)5553tan =sin cos +sin cos 2sin cos =8sin cos =4.5tan a B b A c A B B A C A B A A B B A A B B A B-=⇒⇒⇒（） 43.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则“2cos a b C =”是“ABC ∆是等腰三角形”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若2cos a b C =，由正弦定理得sin 2sin cos A B C =，即sin()2sin cos B C B C +=，所以sin()2sin cos sin cos cos sin B C B C B C B C +==+，即sin cos cos sin 0B C B C -=，所以sin()0B C -=，即B C =，所以ABC ∆是等腰三角形。

【高三数学试题精选】2018届高考数学一轮三角函数复习精选试题(广州市天河区含答案)

(Ⅱ）在锐角△ABc中，若，求△AB c的面积．
【答案】(1)
(2)
5
在△ABc中，，
所以∠BAc=380，所以甲船应沿南偏西70方向行驶
答甲船应沿南偏西70方向，用075h能尽快追上乙船
4．已知向量,函数．
(Ⅰ）求函数的最小正周期;
(Ⅱ）已Ⅰ）
因为,所以
5．化简
【答案】原式=
6．已知函数
(I）化简函数f（x）的解析式，并求函数f（x）的最小正周期；
在△ABc中，Ac=28t，Bc=20t，AB=9，∠ABc=1200，
根据余弦定理得，Ac2=AB2+Bc2－2AB Bccs∠ABc
即(28t)2=(20t)2+(20t)2－2×9×20tcs1200，
整理得，128 t2－60t－27=0，(4t－3)(32t+9)=0，
解得或(舍)所以Ac=21，Bc=15，
2018届高考数学一轮三角函数复习精选试题(广州市天河区含答案)
5三角函数02
解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出字说明，证明过程或演算步骤)
1．已知角的终边经过点．
(1)求的值；
【答案】由角的终边过点知，
，，
(1）
=，
(2）=…11分
=。
2．已知函数
(Ⅰ）求函数的值域；
(Ⅱ）在△中，角所对的边分别为，若，且，求的值
【答案】（1）
∵，
∴
∴
∴函数的值域为
(2），
∴，而，∴
在中，，，
∴，得
解得
∵，∴
3．如图所示，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9n ile并以20n ile/h的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28n ile/h的速度航行，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船？

2018广东广州市第十八中学高三数学一轮复习专项检测试题 (4)

集合与常用逻辑用语、函数及不等式0320.若函数在上单调递增，那么的取值范围是（）a ax x y --=21⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,2a A. B. C. D. 1-≥a 214<<-a 211<≤-a 21>a 【答案】 B 【解析】若令　只要 a ax x x f --=2)(2110)2(21(212<≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-⋅--≥a f f a 【规律解读】已知函数单调性求参数范围的问题，解法是根据单调性的概念得到恒成立的不等式，还要注意定义域的限制，并挖掘题目的隐含条件。

讨论函数的单调性时要注意:必须在定义域内进行，即函数的单调区间是定义域的子集。

21.设是定义在上以2为周期的偶函数，已知，()f x x R ∈(0,1)x ∈，则函数在上( )()()12log 1f x x =-()f x (1,2)A ．是增函数且 B ．是增函数且()0f x <()0f x >C ．是减函数且 D ．是减函数且()0f x <()0f x >【答案】D.【解析】已知，单调递增；因为函数是偶函数所(0,1)x ∈()()12log 1f x x =-()f x 以函数在上单调递减；又因为是以2为周期的函数，所以函数()f x (1,0)-()f x 在上单调递减，选择D.()f x (1,2)22.函数的零点所在区间为（）21()log f x x x=-A. B. C. D.1(0,)21(,1)2(1,2)(2,3)【答案】C【解析】函数的定义域是，是增函数，是减函数所以(0,)+∞2log y x =1y x=为其定义域上的增函数，，，21()log f x x x =-1(302f =-<(1)10f =-<，所以,由函数零点存在条件知零点所在区间为.选择1(2)02f =>(3)0f >(1,2)C 。

广东省广州市2018届高三数学下学期3月综合测试试题(一)理

广东省广州市2018届高三数学下学期3月综合测试试题（一）理本试卷共5页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足()21i 4i z -=，则复数z 的共轭复数z =A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i2．设集合301x A xx ⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}3B x x =-≤，则集合{}1x x =≥A ．AB IB ．A B UC ．()()A B R RU痧D ．()()A B R RI痧3．若A ，B ，C ，D ，E 五位同学站成一排照相，则A ，B 两位同学不相邻的概率为A ．45B ．35C ．25D ．154．执行如图所示的程序框图，则输出的S =A ．920B ．49C ．29D ．9405．已知3sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 4x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．45B ．35C ．45-D ．35- 6．已知二项式212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含1x 项的系数是A ．84-B ．14-C ．14D ．847．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为 A．4+B．14+C．10+D ．48．若x ，y 满足约束条件20,210,10,x y y x -+⎧⎪-⎨⎪-⎩≥≥≤ 则222z x x y =++的最小值为A ．12B ．14C ．12-D ．34-9．已知函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>在区间43π2π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则ω的取值范围为 A ．80,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．18,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处的极值为10，则数对(),a b 为A ．()3,3-B ．()11,4-C ．()4,11-D ．()3,3-或()4,11-11．如图，在梯形ABCD 中，已知2AB CD =，25AE AC =uu u r uuu r，双曲线过C ，D ，E 三点，且以A ，B 为焦点，则双曲线的离心率为AB ．C ．3D 1012．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意的实数x ，都有()()22f x f x x +-=，当0x <时，()12f x x '+<，若()()121f a f a a +-++≤，则实数a 的最小值为 A ．12-B ．1-C ．32-D ．2-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(),2m =a ，()1,1=b ，若+=+a b a b ，则实数m = ．14．已知三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰三角形，AB AC ⊥，PA ⊥底面ABC ，1==AB PA ，则这个三棱锥内切球的半径为．15．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()()2cos 2cos 0a B b A c θθ-+++=，则cos θ的值为．16．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，用图①的/三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角形”．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n 行各DC ABE三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足()121215452nn n a a an b b b ⎛⎫+++=-+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）某地1~10岁男童年龄i x （岁）与身高的中位数i y ()cm ()1,2,,10i =L 如下表：对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（1）求y 关于x 的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01）；（2）某同学认为，2y px qx r =++更适宜作为y 关于x 的回归方程类型，他求得的回归方程是20.3010.1768.07y x x =-++．经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm ．与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？附：回归方程y a bx =+$$$中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，a y bx =-$$．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -中，△ABD 为正三角形，︒=∠120BCD ，2CB CD CS ===，︒=∠90BSD ．（1）求证：AC ⊥平面SBD ；（2）若BD SC ⊥，求二面角C SB A --的余弦值．()()()121nx x y y i i i b nx x i i =--∑=-∑=$DCS20．（本小题满分12分）已知圆(2216x y ++=的圆心为M ，点P 是圆M 上的动点，点)N，点G 在线段MP 上，且满足()()GN GP GN GP +⊥-uuu r uu u r uuu r uu u r．（1）求点G 的轨迹C 的方程；（2）过点()4,0T 作斜率不为0的直线l 与（1）中的轨迹C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ，连接BD 交x 轴于点Q ，求△ABQ 面积的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数()ln 1f x ax x =++．（1）讨论函数()x f 零点的个数；（2）对任意的0>x ，()2e xf x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知过点(),0P m 的直线l的参数方程是,1,2x m y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，且2PA PB ⋅=，求实数m 的值．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()f x =23x a x b ++-．（1）当1a =，0b =时，求不等式()31f x x +≥的解集；（2）若0a >，0b >，且函数()f x 的最小值为2，求3a b +的值．参考答案1-5：ADBDD 6-10：ACDBC 11-12：AA13、2 14、36 15、－1216、64 17、18、（2）。

2018届广州市高三年级调研测试(理科数学)试题及答案

秘密 ★ 启用前试卷类型： A2018届广州市高三年级调研测试理科数学2017．12 本试卷共5页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2．作答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

写在本试卷上无效。

3．第Ⅱ卷必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}1,0,1,2,3A =-，{}230B x x x =->，则A B =IA ．{}1-B ．{}1,0-C ．{}1,3-D ．{}1,0,3-2．若复数z 满足()12i 1i z +=-，则z =A ．25B ．35CD3．在等差数列{}n a 中，已知22a =，前7项和756S =，则公差d =A ．2B ．3C ．2-D ．3-4．已知变量x ，y 满足202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，，，则2z x y =+的最大值为A ．0B ．4C ．5D ．65．912x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为A ．212-B ．92-C ．92D ．2126．在如图的程序框图中，()i f x '为()i f x 的导函数，若0()sin f x x =，则输出的结果是 A ．sin x -B ．cos xC ．sin xD ．cos x -7．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为1CC 的中点，点N 为线段1DD 上靠近1D 的三等分点，平面BMN 交1AA 于点Q ，则AQ 的长为 A ．23B ．12C ．16D ．138．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为A ．ln 2B ．1C ．1ln 2-D ．1ln 2+9．某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2名，乙大学2名，丙大学1名，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有 A ．36种B ．24种C ．22种D ．20种10()0ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数恰为奇函数，则ϕ的最小值为 A ．6πB ．12πC ．4π D ．3π 11．在直角坐标系xOy 中，设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，P 为双曲线C 的右支上一点，且△OPF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为 ABC．1 D．2+12．对于定义域为R 的函数()f x ，若满足① ()00f =；② 当x ∈R ，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③ 当120x x <<，且12x x =时，都有()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”．现给出四个函数：()32132f x x x =-+；()2e 1xf x x =--；()()3ln 1,0,0;2,x x f x x x ⎧-+≤⎪= ⎨>⎪⎩()411,0,2120,0.xx x f x x ⎛⎫+≠ ⎪-⎝⎭=⎧⎪=⎨⎪⎩则其中是“偏对称函数”的函数个数为A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(),2x x =-a ，()3,4=b ，若a b P ，则向量a 的模为________． 14．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，若20182a =，则2017201912a a +的最小值为________． 15．过抛物线C ：22(0)y px p => 的焦点F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点．若6AF =，3BF =，则p 的值为________．16．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2a =，cos (2)cos a B c b A =-．（1）求角A 的大小；（2）求△ABC 周长的最大值．18.（本小题满分12分）如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，EDBCA PPA ⊥底面ABCD ，ED PA P ，且22PA ED ==．（1）证明：平面PAC ⊥平面PCE ；（2）若直线 PC 与平面ABCD 所成的角为o45，求二面角D CE P --的余弦值．19.（本小题满分12分）某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y （百斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0．01）．（若75.0||>r ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：周光照量X （单位：小时） 3050X << 5070X ≤≤ 70X >光照控制仪最多可运行台数321若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．以过去50周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：相关系数公式∑∑∑===----=ni in i ini iiy y x x y y x x r 12121)()())((，参考数据55.03.0≈，95.09.0≈．20.（本小题满分12分）如图，在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221y x a b+=()0a b >>的上焦点x y （百斤）54386542（千克）O为1F ，椭圆C 的离心率为12，且过点1,3⎛ ⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）设过椭圆C 的上顶点A 的直线l 与椭圆C 交于点B （B 不在y 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与x 轴交于点H ，若110F B F H •=u u u r u u u u r ，且MO MA =，求直线l 的方程．21.（本小题满分12分）已知函数()ln bf x a x x=+()0a ≠．（1）当2b =时，若函数()f x 恰有一个零点，求实数a 的取值范围；（2）当0a b +=，0b >时，对任意121,,e e x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()12e 2f x f x -≤-成立，求实数b 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩，（α为参数），将曲线1C 经过伸缩变换2x x y y'=⎧⎨'=⎩，后得到曲线2C ．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos sin 100ρθρθ--=．（1）说明曲线2C 是哪一种曲线，并将曲线2C 的方程化为极坐标方程；（2）已知点M 是曲线2C 上的任意一点，求点M 到直线l 的距离的最大值和最小值． 23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()||f x x a =+．（1）当1=a 时，求不等式()211f x x ≤+-的解集；（2）若函数()()3g x f x x =-+的值域为A ，且[]2,1A -⊆，求a 的取值范围．2018届广州市高三年级调研测试理科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一．选择题二．填空题13．10 14．4 15．4 16．11π三、解答题17．（1）解法1：由已知，得cos cos 2cos a B b A c A +=．错误!未找到引用源。

2018届广州市高三年级调研测试(文科数学)试题及答案

2021届广州市高三年级调研测试文科数学2021. 12本试卷共5页,23小题,总分值150分.测试用时120分钟.考前须知：1.本试卷分第I 卷〔选择题〕和第H 卷〔非选择题〕两局部.答卷前,考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在做题卡上,并用 2B 铅笔在做题卡的相应位置填涂考生号.2 .作答第I 卷时,选出每题答案后,用2B 铅笔把做题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.写在本试卷上无效.3 .第n 卷必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在做题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答无效. 4 .考生必须保持做题卡的整洁.测试结束后,将试卷和做题卡一并交回.一、选择题：此题共 12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.6.如下图,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为秘密★启用前试卷类型：A设集合 A 1,0,1,2,33x那么AI B2. 3. 4. 5. A.B.1,0C .1,3D.1,0,3假设复数z 满足1 B.C.10 2D.、.6 2A. 设命题为锐角, cosB.C .D.变量x,1, B.2x命题q :x 00,2x 0 XO,那么以下命题中是真命题的是y 满足x 2y y 0,B. 4p) qC .p ( q)D . ( p) ( q)0,3 0,那么 z 2x y 的最大值为C. 6D. 02的大正方形,直角三角形中较7.8.9.小的锐角一.假设在该大正方形区域内随机地取一点,那么该点落在中间小正方形内的概率是6△ ABC的内角A, B , C所对的边分别为4,的面积等于3、7B. -^―2C. 9D.在如图的程序框图中,输出的结果是A. sinxC. sinxf i(x)为f i(x)的导函数,假设f o(x) sinx,那么D. cosx正方体ABCD AB i C i D i的棱长为2 ,点M为CG的中点,点N为线段DD i上靠近D i的三等分点,平面BMN交AA于点Q ,那么AQ的长为B.1C.一6D.10,将函数y 2sin x —cos 3 的图象向左平移0个单位, 所得图象对应的函数恰为奇函数,那么的最小值为A . 一12B. C.11.在直角坐标系xOy中,设F为双曲线2x""2a2yb21(a 0,b 0)的右焦点,P为双曲线C的右支上一点,且△ OPF为正三角形,那么双曲线C的离心率为12.如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是某三棱锥的三视图,那么该三棱锥的外接球的外表积为11A .—2B.C. 11D.二、填空题：此题共4小题,每题5分, 共20分.13.向量 a x, x 2 , b 3,4 , 假设a//b,那么向量a的模为14.函数一、2x一—f(x) —— a为奇函数, 2x 1 那么实数a15.直线kx 2与曲线y xlnx相切,那么实数k的值为16.在直角坐标系_ _ 2xOy中,直线x J2y 272 0与椭圆C： 3 a 2 yb71 a b 0相切,且椭圆C的右焦点cF c,0关于直线y —x的对称点E在椭圆C上,那么^ OEF的面积为b三、解做题：共70分.解容许写出文字说明、证实过程和演算步骤. 第17〜21题为必考题,每个试题考生都必须做答. 第22、23题为选考题,考生根据要求做答.(一)必考题：共60分.17. (本小题总分值12分)18. PA 数列a n满足a〔4a242a3L 4n1a n ?4(1)求数列(2)设b n(本小题总分值a n的通项公式;4n a n,,士工,求数列2n 112分)如图,多面体PABCDEb n b n 1的底面底面ABCD , ED P PA ,且PA(1)证实：平面PAC 平面PCE的前n项和T n .ABCD是边长为2ED 2.2的菱形,〔2〕假设ABC 60o,求三棱锥P ACE的体积.19.〔本小题总分值12分〕某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜. 过去50周的资料显示,该地周光照量X 〔小时〕者B在30小时以上,其中缺乏50小时的周数有5周,不低于50小时且不超过70小时的周数有35周,超过70小时的周数有10周.根据统计,该基地的西红柿增加量y 〔百斤〕与使用某种液体肥料x 〔千克〕之间对应数据为如下图的折线图.〔1〕依据数据的折线图,是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请计算相关系数r并加以说明〔精确到0. 01〕.〔假设|r| 0.75,那么线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合〕〔2〕蔬菜大棚对光照要求较大,某光照限制仪商家为该基地提供了局部光照限制仪,但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X限制,并有如下关系：周光照量X 〔单位：小时〕30 X 5050 X 70X 70光照限制仪最多可运行台数321假设某台光照限制仪运行,那么该台光照限制仪周利润为3000元；假设某台光照限制仪未运行,那么该台光照限制仪周亏损1000元.假设商家安装了3台光照限制仪,求商家在过去50周周总利润的平均值.n _ _(x x)(y i y)附：相关系数公式r , i 1」 ________ ^参考数据J0.3 0.55, V0.9 0.95.20 .〔本小题总分值12分〕2抛物线C : y 2 Pxp 0的焦点为F ,抛物线C上存在一点E 2,t到焦点F的距离等于3 .〔1〕求抛物线C的方程；〔2〕过点K 1,0的直线l与抛物线C相交于A, B两点〔A, B两点在x轴上方〕,点A关于x 轴的对称点为D ,且FA FB ,求^ ABD的外接圆的方程.21 .〔本小题总分值12分〕函数f x alnx x b a 0 .(1)当b 2时,讨论函数f x的单调性；1(2)当a b 0, b 0时,对任意x 1,e ,有f x e 1成立,求实数b的取值范围. e(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,那么按所做的第一题计分.22 .(本小题总分值10分)选修4 — 4:坐标系与参数方程,一... ................................. x cos , ..... ..... ............. .. ........在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为( 为参数),将曲线C1经过伸缩变换y 2sinx 2x后得到曲线C2 .在以原点为极点, x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为y ycos sin 10 0.(1)说明曲线C2是哪一种曲线,并将曲线C2的方程化为极坐标方程；(2)点M是曲线C2上的任意一点,求点M到直线l的距离的最大值和最小值.23.(本小题总分值10分)选修4—5:不等式选讲函数f(x) | x a |,(1)当a 1时,求不等式f(x) 2x 1 1的解集；(2)假设函数g(x) f (x) x 3的值域为A,且2,1 A ,求a的取值范围.2021届广州市高三年级调研测试文科数学试题答案及评分参考评分说明：1 .本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细那么.2 .对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继局部的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继局部的给分,但不得超过该局部正确解容许得分数的一半；如果后继局部的解答有较严重的错误,就不再给分.3 .解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4 .只给整数分数.选择题不给中间分.・选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DCABBABCDBAC二.填空题三、解做题1 1 _J_23 2n 36n 918. (1)证实：连接BD ,交AC 于点O,设PC 中点为F , 连接OF , EF .由于O , F 分别为AC , PC 的中点,1 所以 OF P PA,且 OF -PA , 213. 1014. 15.1 ln216.117.解：(1〕当由于a 1 4a 242 a 3 +4n 2ann 14 an所以&4a 2a 34n 2 an-1n-1,n 4①一②得 4na n所以a n 2,n1“一也满足上式, 41 ,故r 〔nN〕.〔2〕由〔1〕得 b nn4 a n 2n 1 2n所以b n b n2n2n 2 2n 1 2n 3故T n11111 1 2n 1 2n 310分11分12分BCD1由于 DE P PA ,且 DE -PA , 2所以 OF P DE ,且 OF DE . ......................................................................................... 1 分所以四边形OFED 为平行四边形,所以 OD P EF ,即BD P EF . ............................................ 2分由于PA 平面ABCD , BD 平面ABCD ,所以PA BD . 由于ABCD 是菱形,所以BD AC.由于PAI AC A,所以BD 平面PAC . ............................................................................. 4分由于BD P EF ,所以EF 平面PAC . .............................................................................. 5分由于FE 平面PCE ,所以平面PAC 平面PCE . .................................................................... 6分解法1：由于 ABC 60°,所以△ ABC 是等边三角形,所以 AC 2 . .............................................. 7分又由于PA 平面ABCD, AC 平面ABCD,所以PA AC .~ 「 1 ~ ——所以 S PAC -PA AC 2 . ......................................................................................................... 8 分2由于EF 面PAC ,所以EF 是三棱锥E PAC 的高. .......................................... 9分由于EF DO BO 乖, . (10)分所以 V P ACE V E PAC 二 S PAC EF ....................................................................................................................................................................................... 11 分312m 〞 (12)............................................................................................................................................... 分解法2：由于底面ABCD 为菱形,且 ABC 60 ,所以△ ACD 为等边三角形. .................. 7分取AD 的中点M ,连CM ,那么CM AD ,且CM J 3 . ................................................................... 8分由于PA 平面ABCD ,所以PA CM ,又PA AD A, 所以CM 平面PADE ,所以CM 是三棱锥C PAE 的高. 9分…一 1 _ 一一由于 S PAE -PA AD 2 . ................................................................................................................. 10 分1所以二棱锥 P ACE 的体积 V PACE V C PAE -S PAE CM .................................................................. 11 分P AC 匚C PA 匚 _ PA 匚31 「 7 2-3 八-2 v 3 ----------------- . .............................................................. 12 ------------------------ 分332 4 5 6 8—1〕由数据可得x° 5,yI (为 X)2 & 3)2 ( 1)2 02 12 32 2 ....................................................................................19. 解:5__由于(X ix)( y i y)i 1(3) ( 1) 0 0 0 3 1 6,、...(1)2 02 02 02 12、. 2.(x x )( v' y)所以相关系数r——i 1n二(x X)21(y i才当X >70时,共有10周,此时只有1台光照限制仪运行, 周总利润 Y=1X3000-2X1000=1000 元. ........................................................ 8 ............................................................................................................................................................................... 分当50WXW70时,共有35周,此时有2台光照限制仪运行,周总利润 Y=2X3000-1X1000=5000 元. ........................................................ 9 ............................................................................................................................................................................... 分当X<50时,共有5周,此时3台光照限制仪都运行,周总利润 Y=3X3000=9000元. .......................................................... 10分 1000 10 5000 35 9000 5 一4600 兀,50所以商家在过去 50周周总利润的平均值为 4600元. ........................................ 12分20.解：(1)抛物线的准线方程为 X —,2 所以点E 2, t 到焦点的距离为2 K 3. ................................................................................ 1分 2解得p 2.所以抛物线C 的方程为y 2 4x. ............................................................................................... 2分 (2)解法1 ：设直线l 的方程为 x my 1 m 0 . .......................................................................... 3分将x my 1代入y 2 4x 并整理得y 2 4my 4 0 , .............................................................................. 4分2由 4m 16 0,解得m 1. .................................................................................................. 5分设 A .y 1, B x 2, y 2 , D x 1,y 1, 那么 y 〔 y 4m, Y I Y 2 4 , . (6)分6 2、. 5 J2由于r 0.75,所以可用线性回归模型拟合 y 与x 的关系.(2)记商家周总利润为 Y 元,由条件可得在过去50周里:所以过去50周周总利润的平均值 Y2 2由于FA FB X I 1 x2 1 y1y2 (1 m )y〔y2 2m y〔y2 4 8 4m , ......................... 7 分uu uur c curn uuu由于FA FB ,所以FAgFB 0 .即8 4m 2 0,又m 0 ,解得m 72 . .................................................................................... 8分所以直线l 的方程为x J 2y 1 0 . 设AB 的中点为 x 0,y 0 ,那么 y 0 士―y 2- 2m 2V 2, x 0 my 0 1 3, .......................................................................... 9 分2所以直线 AB 的中垂线方程为 y 2J2 J 2 x 3 . 由于AD 的中垂线方程为y 0,所以△ ABD 的外接圆圆心坐标为 5,0 . ........................................................................... 10分由于圆心 5,0到直线l 的距离为d 273 ,且AB 7l m 2/y i y 2 2 4y l y 2 40 ,। ~所以圆的半径r 』d 2二巴 2瓜 ................................................................................................. 11分设 A(x 1,y)B(x 2,y 2),4 , -贝U x 1 x 22 ),x 1x 2 1 . ................................................................................................................ 6 分k 22所以 y 1y 2 k (x 1x 2 x 1 x 2 1) 4,uuri uuu4由于 FA FB x 1x 2 (x 1 x 2) 1 y 1y 2 8 , .................................................................... 7 分 k 2uuu uuu由于FA FB ,所以FAgFB 0 . 2 ....... .22所以△ ABD 的外接圆的方程为 x 5 2 y 2 24 ............................................................................ 12分解法2：依题意可设直线l : y k x 1 k 0 . ........................................................................... 3分将直线l 与抛物线C 联立整理得k 2x 2 (2k 2 4)x k 2 0. ..................................................................... 4分由(2k 2 4)2 4k 4 0,解得 0 k 1. .......................................................................................... 5 分4.一所以8 f 0 ,又k 0 ,解得k k 2以下同解法1 .21 .解：(1)函数f X 的定义域为 0,①当a 0时, f x 0,所以函数f x 在0, 上单调递增.b =e b b e 1 b 0 ,那么 b=3 1 0.所以 b 在0,上单调递增.当 b 2 时,f x alnx x ,所以 f xc 2a 八 2x a—2x ................. . ....................................... x x②当a 0时,令f x上单调递增.上单调递增；0时,函数上单调递增.(2)由于对任意x1一,e ,有 f x ee 1成立,所以xmaxb 时,f xbln x xb, fb 1bx0,1;令f 所以函数1,1e 上单调递减,1,e 上单调递增,maxb e b 中的较大者.所以2be b0,0,上单调递增,故1b g 00 所以 f e f -,e从而max所以b e b e 1 即 e b b e 1 0. 10分0,解得xa.0,所以函数 f x 在 0,上单调递减;综上所述,当b 2, a0时,函数f x 在0,f x 在0,a 上单调递减,在 a②当1 x3分又 10,所以e b b e 1 0的解为b 1 . .......................................................................... 11分由于b 0,所以b 的取值范围为 0,1 . ............................................................................... 12分x cos22 .解：(1)由于曲线G 的参数方程为(为参数),y 2sin x 2x,x2cos ,由于,那么曲线C 2的参数方程. .................................. 2分y y.y 2sin .所以C 2的普通方程为x 2 y 2 4. .............................................................................................. 3分所以C 2为圆心在原点,半径为2的圆. ..................................................... 4分所以C 2的极坐标方程为24 ,即 2 . ................................................................................... 5分23 .解：(1)当 a 1 时,f(x) |x 1| . ........................................................................................................... 1 分①当x 1时,原不等式可化为 x 1 2x 2,解得x 1 .1 ,一时,原不等式可化为 x 1 2x 2,解得x 1,此时原不等式无解. 2(2)解法1 ：直线l 的普通方程为 x y 10 0 . .................................................................................... 6分2 2cos( + —) 10||2cos 2sin 10|4八曲线C2上的点 M 到直线l 的距离d --------------------- 产 ------------- 1 ---------------- =-4 ------------ . ............... 8分22当 cos +— =1 即=2 k - k 4 4当 cos +— = 1 即=—2k 4 4 解法2：直线l 的普通方程为x y由于圆C 2的半径为2,且圆心到直线l 的距离d |0巴135石, .................................. 7分由于5V2 2 ,所以圆C 2与直线l 相离. .................................................... 8分所以圆C 2上的点M 到直线l 的距离最大值为d r 5v2 2,最小值为d r 或2 2 .…10分时,d 取到最小值为上101二502Z 时,d 取到最大值为 £2115=2 572 .10分10 0.1 ,③当x一时,原不等式可化为x 1 2x ,解得x 1.2综上可知,原不等式的解集为x x 1或x 1 . ................................................................. 5分3 a, x 3,(2)解法1：①当a 3 时,g x 2x a 3, 3 x a, .............................................................. 6 分a 3, x a.所以函数g x的值域A a 3,3 a ,a 3 2.由于[2,1] A,所以a '解得a 1 . ................................................................................................ 7分3 a 1,3 a, x a,②当a 3 时,g x 2x a 3, ax 3, ............................................................................................... 8 分a 3, x 3.所以函数g x的值域A 3 a,a 3 ,一, …3 a 2由于[2,1] A,所以解得a 5. ................................................................ 9分a 3 1,综上可知,a的取值范围是,1 U 5, . ............................................................. 10分解法2：由于|x+a| |x+3| x+a (x+3) a 3 , .............................................................................. 7 分所以g x f(x) |x+3| |x+a| | x+3| [ |a 3|,| a 3|].所以函数g(x)的值域A [ |a 3|,| a 3|] . ..................................................................................... 8分由于[2,1] A,所以1a 3| 2'解得a 1或a 5.|a 3| 1,所以a的取值范围是,1 U 5, . ....................................................................... 10分。

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