旋转抛物面的新定义及其性质
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由上 所述 ， 用点 的轨 迹定 义旋 转 抛物 面如 下 ． 可
［ 稿 日期 ］ ２ ０ —６ 收 ０ ８０ 一
［ 金 项 目］ 盐 城 师 范 学 院 科 研 基 金 资助 项 目（ 目批 准 号 ０ Ｙ ＫＬ ５ ） 基 项 ７ Ｃ ０ ７
第 ２期 定 义
准线 ．
崔 美华 ： 转抛 物 面的新 定 义及其 性质 旋
［ 摘 要 ］ 从 点 的 轨 迹 的角 度 ， 碾 中的 旋 转 抛 物 面定 义 为 ： 将 碾。中 到 一 定 点 与 到 一 定 平 面 （ 不 在 平 面 点 上 ） 离 相 等 的 点 的轨 迹 ． 距 同时 引 入 旋 转 抛 物 面 的 焦 点 、 准平 面 、 线 等 概 念 ， 在 此 基 础 上 证 明关 于 旋 转 抛 物 准 并 面 的焦 点 弦 、 平 面 、 点 、 称 轴 、 平 面 之 间 的 若 干 重 要 性 质 ． 准 顶 对 切
方程 （ ） １ 表示 旋转 轴 为 轴 的旋转 抛 物 面． 反 之 ， Ｐ（ Ｙ ｚ 是满 足 方程 （ ） 设 ｘ， ， ） １ 的点 ， 则 ， ．
ｚ ｙ （ 号。２＋ｚ号 ２ｚ ） （ ） ＋＋一 一 ｚ 一
即
，
பைடு நூலகம்
＋一） 詈 （号 一 Ｉ ｚ 。 ．
所 Ｐｚ ，在 足 定 （ｏ ） 到 平 一 距 相 的 迹 ． 以 （ ） 满 到 点Ｆｏ ， 和 定 面 一 告 离 等 轨 上 ， ，罟
［ 关键词］旋转抛物面 ； 定义 ； 质 ； 性 焦点 弦 ； 切平面 ［ 中图分类号］Ｏ１ ２ ２ ８ ． ［ 文献标识码］Ｃ ［ 文章 编号］１ ７—４ ４ ２ １ ）２０ ９－７ ６ ２１ ５ （０ １０ —１ ２０
在 平 面解析 几何 中 ， 物线 的定 义 为 ： 抛 到一 定 点 与到一 条定 直 线 （ 不在 直线 上 ） 离相 等 的点 的轨 点 距 迹 ． 点称 为抛 物线 的焦点 ， 直线称 为 抛物 线 的准 线． 此定 义 下 ， 明 了抛 物 线 的许 多重 要 性 质 ， 定 定 在 证 对 推 动工 农业 生产 、 防科 技 的发 展具 有很 大 的作 用． 国 而三 维空 间 中的旋 转抛 物 面 ， 没有 专 门 的定义 ， 并 只 是 将其 看成 一 般 旋 转 面 的 一 种 ， 一 般 旋 转 面 的 定 义 是 ： 条 定 曲 线 绕 一 条 定 直 线 旋 转 而 成 的 轨 而 一 迹 引 在这 种定 义下 讨 论旋 转抛 物 面 的性 质 有 一 定 的局 限性 ． ． 因此 ， 文 将 从 点 的轨 迹 的 角 度来 重 新 本 定 义旋 转 抛物 面 ， 并相 应地 引入 旋转 抛 物面 的焦 点 、 准平 面 、 准线 等概 念 ， 而 在此 基础 上证 明出类 似抛 进
。 ＋ 。 － ２ ｚ ｐ＞ ｏ ． ＝ ｐ （ ）
证
设点 Ｐ 的坐标 为 （ ， ） 由 Ｐ ， 。 于 对称 轴 Ｏｚ轴 对称 可 得 Ｐ 一ｚ ， ｙ ， ， Ｐ 关 （ 一 ， ． Ｐ ｚ） Ｏ
方程 为
—
—
ｚ号 ＋
’
丁 一 一下
其 中 ｚｍ 不全 为 ０ ， ．
互
一 一
根据上 述 的旋转 抛 物面 的定义 ， 以推 出关 于旋 转 抛物 面 的焦 点 弦 、 可 准平 面 、 点 、 称 轴 、 平 面 顶 对 切
之间 的若干 性 质． 性质 １ 旋转 抛物 面 的焦点 弦 的长度 等 于两端 点到 准平 面 的距 离之 和． 证 设Ａ ， Ａ 为旋 转抛 物 面过焦 点 Ｆ弦 的两 个 端点 ， Ａ Ａ。 点 垂 直于 准平 面 丌的直线 分 别 过 ， 两
间 角 标 ， 是 设 点 坐 为ＦＯ ， ，平面 方 为 一 等． 设Ｐｘｙｚ 满 直 坐 系 于 可 定 的 标 （ ０ 定 的 程 一 再 （，，是 足 ， ） ）
条件的动点 ， 则由 ｊ ＦＩ 得 Ｐ —ｄ一 ，
一
外
（） １
化简 得
ｚ ＋ 一 ２ ｚ ｐ ．
物线 的许 多具 有重 要 价值 的性 质． 首先 求 。 到一定 点 与到一 定 平面 （ 中 点不 在平 面上 ） 离相 等点 的轨 迹方 程 ． 距
设 Ｐ为定 点 Ｆ 到定 平 面 丌的距离 ． 以定 点 Ｆ 到定平 面 丌的垂 线 为 ｚ轴 ， 垂线 段 中点 为原 点 ， 建立 空
交万于ｃ， Ｄ两点， 由上述定义可知ｊ 。 —ｌ ＋ｌＡ ｆ ＋ｆ。 Ａ ｆ ＦＩ 。＝ｌ Ｃｊ Ｄ１ Ａ Ａ Ｆ Ａ Ａ ．
兰
性质 ２ 设 Ｐ 是 旋转 抛物 面 Ｘ ＋ 。 ｐ （ ＞ Ｏ 上不 与 顶点 重合 的动 点 ， 为 与 Ｐ 。 ＝２ ｚ ｐ ） Ｐ 关 于 旋转 抛 物 面 的对称 轴 对 称 的点 ， Ｐ 过 且 平 行 于 对 称轴 的 直 线 交 ＯＰ 所 在 直 线 于 点 Ｐ， Ｐ 点 轨 迹 方 程 为 则
第 ２ ７卷 第 ２期
２１ ０ １年 ４月
大 学 数 学
ＣｏＬＬＥＧＥ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ Ｍ ＣＳ
Ｖｏ ． ７。 ． １２ № ２
Ａ ｐ ．２ １１ ｒ ０
旋 转 抛 物 面 的新 定 义 及 其 性 质
崔 美 华
（ 城 师 范 学 院 数 学 科 学 学 院 ， 苏 盐 城 ２ ４０ ） 盐 江 ２ ０ ２
１３ ９
。中到一 定点 与到 一定 平 面 （ 点不 在 平 面 上 ） 离 相 等 的 点 的轨 迹 称 为 旋 转 抛 物 面． 点 距 定
称为 旋转 抛物 面 的焦点 ， 平面称 为 旋转 抛物 面 的准平 面 ， 平 面上 过定 点关 于顶 点对 称点 的直 线称 为 定 定
所 对 旋 抛 面 。３ ２ｚ ＞ ） 焦 为ＦＯ ， ，平 丌 方 为 一 鲁，线 以 于 转 物 ＋， ｐ（ ０， 点 （０ 准 面 的 程 一 准 。 其 ＝ ， ）
［ 稿 日期 ］ ２ ０ —６ 收 ０ ８０ 一
［ 金 项 目］ 盐 城 师 范 学 院 科 研 基 金 资助 项 目（ 目批 准 号 ０ Ｙ ＫＬ ５ ） 基 项 ７ Ｃ ０ ７
第 ２期 定 义
准线 ．
崔 美华 ： 转抛 物 面的新 定 义及其 性质 旋
［ 摘 要 ］ 从 点 的 轨 迹 的角 度 ， 碾 中的 旋 转 抛 物 面定 义 为 ： 将 碾。中 到 一 定 点 与 到 一 定 平 面 （ 不 在 平 面 点 上 ） 离 相 等 的 点 的轨 迹 ． 距 同时 引 入 旋 转 抛 物 面 的 焦 点 、 准平 面 、 线 等 概 念 ， 在 此 基 础 上 证 明关 于 旋 转 抛 物 准 并 面 的焦 点 弦 、 平 面 、 点 、 称 轴 、 平 面 之 间 的 若 干 重 要 性 质 ． 准 顶 对 切
方程 （ ） １ 表示 旋转 轴 为 轴 的旋转 抛 物 面． 反 之 ， Ｐ（ Ｙ ｚ 是满 足 方程 （ ） 设 ｘ， ， ） １ 的点 ， 则 ， ．
ｚ ｙ （ 号。２＋ｚ号 ２ｚ ） （ ） ＋＋一 一 ｚ 一
即
，
பைடு நூலகம்
＋一） 詈 （号 一 Ｉ ｚ 。 ．
所 Ｐｚ ，在 足 定 （ｏ ） 到 平 一 距 相 的 迹 ． 以 （ ） 满 到 点Ｆｏ ， 和 定 面 一 告 离 等 轨 上 ， ，罟
［ 关键词］旋转抛物面 ； 定义 ； 质 ； 性 焦点 弦 ； 切平面 ［ 中图分类号］Ｏ１ ２ ２ ８ ． ［ 文献标识码］Ｃ ［ 文章 编号］１ ７—４ ４ ２ １ ）２０ ９－７ ６ ２１ ５ （０ １０ —１ ２０
在 平 面解析 几何 中 ， 物线 的定 义 为 ： 抛 到一 定 点 与到一 条定 直 线 （ 不在 直线 上 ） 离相 等 的点 的轨 点 距 迹 ． 点称 为抛 物线 的焦点 ， 直线称 为 抛物 线 的准 线． 此定 义 下 ， 明 了抛 物 线 的许 多重 要 性 质 ， 定 定 在 证 对 推 动工 农业 生产 、 防科 技 的发 展具 有很 大 的作 用． 国 而三 维空 间 中的旋 转抛 物 面 ， 没有 专 门 的定义 ， 并 只 是 将其 看成 一 般 旋 转 面 的 一 种 ， 一 般 旋 转 面 的 定 义 是 ： 条 定 曲 线 绕 一 条 定 直 线 旋 转 而 成 的 轨 而 一 迹 引 在这 种定 义下 讨 论旋 转抛 物 面 的性 质 有 一 定 的局 限性 ． ． 因此 ， 文 将 从 点 的轨 迹 的 角 度来 重 新 本 定 义旋 转 抛物 面 ， 并相 应地 引入 旋转 抛 物面 的焦 点 、 准平 面 、 准线 等概 念 ， 而 在此 基础 上证 明出类 似抛 进
。 ＋ 。 － ２ ｚ ｐ＞ ｏ ． ＝ ｐ （ ）
证
设点 Ｐ 的坐标 为 （ ， ） 由 Ｐ ， 。 于 对称 轴 Ｏｚ轴 对称 可 得 Ｐ 一ｚ ， ｙ ， ， Ｐ 关 （ 一 ， ． Ｐ ｚ） Ｏ
方程 为
—
—
ｚ号 ＋
’
丁 一 一下
其 中 ｚｍ 不全 为 ０ ， ．
互
一 一
根据上 述 的旋转 抛 物面 的定义 ， 以推 出关 于旋 转 抛物 面 的焦 点 弦 、 可 准平 面 、 点 、 称 轴 、 平 面 顶 对 切
之间 的若干 性 质． 性质 １ 旋转 抛物 面 的焦点 弦 的长度 等 于两端 点到 准平 面 的距 离之 和． 证 设Ａ ， Ａ 为旋 转抛 物 面过焦 点 Ｆ弦 的两 个 端点 ， Ａ Ａ。 点 垂 直于 准平 面 丌的直线 分 别 过 ， 两
间 角 标 ， 是 设 点 坐 为ＦＯ ， ，平面 方 为 一 等． 设Ｐｘｙｚ 满 直 坐 系 于 可 定 的 标 （ ０ 定 的 程 一 再 （，，是 足 ， ） ）
条件的动点 ， 则由 ｊ ＦＩ 得 Ｐ —ｄ一 ，
一
外
（） １
化简 得
ｚ ＋ 一 ２ ｚ ｐ ．
物线 的许 多具 有重 要 价值 的性 质． 首先 求 。 到一定 点 与到一 定 平面 （ 中 点不 在平 面上 ） 离相 等点 的轨 迹方 程 ． 距
设 Ｐ为定 点 Ｆ 到定 平 面 丌的距离 ． 以定 点 Ｆ 到定平 面 丌的垂 线 为 ｚ轴 ， 垂线 段 中点 为原 点 ， 建立 空
交万于ｃ， Ｄ两点， 由上述定义可知ｊ 。 —ｌ ＋ｌＡ ｆ ＋ｆ。 Ａ ｆ ＦＩ 。＝ｌ Ｃｊ Ｄ１ Ａ Ａ Ｆ Ａ Ａ ．
兰
性质 ２ 设 Ｐ 是 旋转 抛物 面 Ｘ ＋ 。 ｐ （ ＞ Ｏ 上不 与 顶点 重合 的动 点 ， 为 与 Ｐ 。 ＝２ ｚ ｐ ） Ｐ 关 于 旋转 抛 物 面 的对称 轴 对 称 的点 ， Ｐ 过 且 平 行 于 对 称轴 的 直 线 交 ＯＰ 所 在 直 线 于 点 Ｐ， Ｐ 点 轨 迹 方 程 为 则
第 ２ ７卷 第 ２期
２１ ０ １年 ４月
大 学 数 学
ＣｏＬＬＥＧＥ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ Ｍ ＣＳ
Ｖｏ ． ７。 ． １２ № ２
Ａ ｐ ．２ １１ ｒ ０
旋 转 抛 物 面 的新 定 义 及 其 性 质
崔 美 华
（ 城 师 范 学 院 数 学 科 学 学 院 ， 苏 盐 城 ２ ４０ ） 盐 江 ２ ０ ２
１３ ９
。中到一 定点 与到 一定 平 面 （ 点不 在 平 面 上 ） 离 相 等 的 点 的轨 迹 称 为 旋 转 抛 物 面． 点 距 定
称为 旋转 抛物 面 的焦点 ， 平面称 为 旋转 抛物 面 的准平 面 ， 平 面上 过定 点关 于顶 点对 称点 的直 线称 为 定 定
所 对 旋 抛 面 。３ ２ｚ ＞ ） 焦 为ＦＯ ， ，平 丌 方 为 一 鲁，线 以 于 转 物 ＋， ｐ（ ０， 点 （０ 准 面 的 程 一 准 。 其 ＝ ， ）