高阶微分方程方程组

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第四章高阶微分方程

第四章
高阶微分方程
本章先从一个实际例子出发，介绍高阶微分方程的一般形式，进一步了解可降阶的微分方程，重点讲述高阶线性方程的基本理论和常系数线性方程的求解方法。最后给出高阶方程的一些应用实例。【例1】鱼雷追击模型一敌舰在某海域内沿着正北方向航行时，我方战舰恰好位于敌舰的正西方向1 公里处。我舰向敌舰发射制导鱼雷，敌舰速度为0.42 公里/分，鱼雷速度为敌舰速度的2倍。试问敌舰航行多远时将被击中？〖解〗设敌舰初始点在Q0 (1, 0) 处，运动方向为平行y 轴的直线，t 时刻到达Q 点，鱼雷的初始点在P0 (0, 0)处，沿曲线y = y (x)追击，敌舰的速度v0 = 0.42，则在时刻t ，鱼雷在点P (x, y )处，此时敌舰在点Q(1, v0 t)，如图4.1。由于鱼雷在追击过程中始终指向敌舰，而鱼雷的运动方向正好是沿曲线y = y (x) 的切线方向，那么，鱼雷的运动方程为 dy v0 t − y = (4.1) dx 1−x 而鱼雷行使的速度为2v0，分为水平方向运动和垂直方向运动，故满足以下关系式 ( 将(4.1)改写为 v0 t − y = (1 − x) 将(4.3)两边同时对x求导数，得 v0 由(4.2)可得 dt 1 = dx 2v0 将(4.5)代入(4.4)中，得 1+( dy 2 ) dx (4.5) dy d2 y dy dt − = (1 − x) 2 − dx dx dx dx (4.4) dy dx (4.3) dx 2 dy ) + ( )2 = 2v0 dt dt (4.2)
−
t t0
(4.15)
a1 (s)ds
,
t, t0 ∈ [a, b]
(4.16)
【例3】验证函数xt是方程出该方程的通解。

常微分方程小结

常微分方程小结姓名：邱俊铭学号：2010104506姓名：李林学号：2010104404姓名：曾治云学号: 2010104509初等积分法：变量分离形式一、一阶微分程：dy/dx=h(x)g(y) ，其中函数h(x)在区间(a,b)上连续，g(y)在区间(c,d)上连续且不等于0.经过分离变量得: dy/g(y)=h(x)dx 两端积分得：G(y)=H(x)+c ,其中c任意的常数且G(y)= ∧dy/g(y)，H(x)= ∧h(x)®x，所以G’(y)=1/g(y)不为0，故G存在逆函数，从而得到：y= (H(x)+c).例1. dy /dx=2xy解：当y ≠0时，分离变量后得：dy/ y =2xdx ,两边积分得：ln|y|=x^2+c1 ，此外y=0也是方程的解，从而方程的解为y=Ce^(x^2),g(y)=0,则y=是方程的解，其中C为任意的常数。

初值问题的解，即y取任意一个数得到的结果，代入通解中，求出具体y 值。

例2.y(1+x^2)dy=x(1+y^2)dx,y(0)=1;解：这是变量分离的方程，分离变量后得：y/(1+y^2)dy=x/(1+x^2),两边积分得其通解为：1+y^2=C(1+x^2),其中C为任意常数，代入初值条件得：C=2.。

故所给的初值问题的解为y=.二、常数变易法一阶非线性方程：dy/dx=a(x)y+f(x).（1）当f(x)=0时，方程为齐次线性方程，解法和上述的一样，通解为y=C ,C为任意的常数。

现在求齐次线性方程的通解，常数C换成x的函数c(x),得到：y= c(x)，对x 求导，然后代入（1）中化简，两端积分，得：y=C +f x e ..例3. dy/dx-2xy=x.解：dy/dx=2xy+x ，这里a(x)=2x,f(x).从而可求出原方程的通解为： Y=exp(2 ∧x ®x)(c+ ∧xexp(-2∧x ®x)®x)=-1/2+ce^(x^2),即-1/2+ce^(x^2)，其中c 为任意的常数。

高数微分方程总结

５、二阶常系数齐次线性方程解法
形如 y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y f ( x)
n阶常系数线性微分方程
y py qy 0 二阶常系数齐次线性方程 y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程
解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.
解（１）由题设可得：
2 p( x)2x 0,
2 x3
p( x)( 1 ) x2
f ( x),
解此方程组，得
p( x) 1 , x
f
(x)
3 x3
.
（２）原方程为 y 1 y 3 .
x
x3
显见 y1 1, y2 x2 是原方程对应的齐次方程的两个线性无关的特解，
又 y* 1 是原方程的一个特解， x
dt 2
即 x g x g , 99
x(0) 0, x(0) 0.
10m
o x
解此方程得
x(t)
1
(e
1 3
gt
1
e3
gt
) 1,
2
整个链条滑过钉子 ,即 x 8,
代入上式得
t 3 ln(9 80). (秒) g
最好的，不一定是最合适的；最合适的，才是真正最好的。最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云快乐的人帮助别人，积极人的肯定自己。——王修强对于每一个不利条件，都会存在与之相对应的有利条件。人必须有自信，这是成功的秘密。人一旦觉悟，就会放弃追寻身外之物，而开始追寻内心世界的真正财富。这世间最可依赖的不是别人，而是你自己。不要指望他人，一定要坚强自立。懂得感恩，感谢帮助你的每一个人。不要因为小小的争执，远离了你至亲的好友，也不要因为小小的怨恨，忘记了别人的大恩。

高(二)阶常系数线性微分方程-齐次方程解法

定义设 y1 , y2 ,, yn为定义在区间 I 内
n 的n个函数．如果存在个不全为零的常
数，使得当x 在该区间内有恒等式成立
k1 y1 k2 y2 kn yn 0，
那么称这 n 个函数在区间 I 内线性相
关．否则称线性无关。
例如当x (, )时， e x，ex , e2x线性无关
例3：求微分方程y''-2y' 5 y 0的通解
解：特征方程2 2 5 0 特征根为一对共轭虚根1 1 2i，2 1 2i
故通解为：y ex (C1 cos 2x C2 sin 2x)
练习1 求方程 y 4 y 4 y 0的通解. 解特征方程为 r 2 4r 4 0 ,
(4)
y c1( x) y1 c2 ( x) y2 c1( x) y1 c2( x) y2
将 y, y, y 代入方程(2), 得
c1( x) y1 c2 ( x) y2 c1( x)( y1 P( x) y1 Q( x) y1) c2( x)( y2 P( x) y2 Q( x) y2 ) f ( x)
y py qy f ( x)
当 f ( x) 0时，二阶常系数线性齐次微分方程
当 f ( x) 0时，二阶常系数线性非齐次微分方程
二、二阶常系数齐次线性微分方程
1.二阶常系数齐次线性微分方程的标准形式:
y py qy 0
(1)
2.二阶齐次微分方程的解的结构:
(2)求出特征方程的两个根1、2
(3)根据特征根的不同情况写出通解
例1：求微分方程y''+4y' 3y 0的通解解：特征方程2 +4 3 0 特征根为1 3，2 1

第四章高阶微分方程常微分方程课件高教社王高雄教材配套ppt

5/8/2021
第四章
10
x1
t 2 , 0,
1 t 0 0t 1
注仅对函数而言线性相关时W(t)≡0的
逆定理一般不成立。
例函数
和
x1
t 2 , 0,
x2
0,
t
2
,
1 t 0 0t 1
1 t 0 0t 1
在区间-1≤t≤1上有W[x1(t),x2(t)]≡0 ,但却线性无关。
证 5/8/2021 用反证法证。
第四章
12
(续)定理4 齐次线性微分方程的线性无关解的伏朗斯基行列式恒不为零
dn x dtn
a1(t)
dn1 x d t n1
an1 (t )
d d
x t
an
(t ) x
0
证用反证法证。设有t0 (a≤t0≤b) 使得W(t0)=0，则t = t0时的 (6)、(7)组成的n个齐次线性代数方程组有非零解 c1 ,c2 ,…,cn。根椐叠加原理，函数 x(t)=c1x1(t)+ c2x2(t)+…+ cnxn(t) 是方程(2)的解，
第四章
13
定理5 齐次线性方程(2)的基本解组必存在且其伏朗斯基行列式恒不为零。
证根据定理1，线性方程(2)的满足初值条件:
的解x1(t),x2(t),…,xn(t)必存在，且有
x1
(t0
)
1,
x1'
(t0
)
0,
x2
(t0
)
0,
x2'
(t0
)
1,
xn
(t0
)
0,
xn'

一阶常微分方程-高阶常微分方程-方程组-差分方程-偏微分方程模型

计可以通过
dN / dt r sN , s r
N
进行线性拟合。其中
Nm
dN / dt N / t
。而
模型的检验也可以通过这两个参数的估计
量与一个实际的人口数量之间进行比较加
以检验。
（5）阻滞增长模型不仅能够大体上描述人口及许多物种的变化规律，而且在社会经
济领域中有广泛的应用，如耐用消费品的销售量也可以用此模型来描述。
新技术推广模型
一项新技术如何在有关企业中推广,是人们最为关心的问题,也就是说,一旦一家企业采用了一项新技术,那么行业中的其他企业将以怎样的速度采用该技术？哪些因素将影响到技术的推广？下面我们在适当的条件下讨论此问题。
记p(t)为t 时刻采用该技术的企业数。并
设 p(t)连续可微。假设未采用该技术者之所以决定采用该技术，是因为其已知有的企业采用了该技术并具有成效。即是以“眼见为实”作为决策依据的,亦即“示范效应” 在起作用。
增长率递增的现象），但是随着人口数的增加，人口的年增长率将呈现逐年递减的现象。再考虑到环境适应程度的制约，想象人口的增长不可能超过某个度。
（2）对于其中常数增长率r 的估计可以使用拟合或者参数估计的方法得到。
（3）在实际情况下，可以使用离散的近似表达式 N (t) N0 (1 r)t 作为人口的预测表达式。
在式 (1) 中，设
A A0ert ( A0 , r 0)
即自发支出有一个常数增长率r ，则式 (2) 的
解为
Y (t)
(
A0
r)
e t
Y0
(
A0
r)
e
t
由此可见：
(1)当
r

含两个参数的高阶微分方程组的正解

ＺＡＮＧｎＨＦａｇ
（ｃｏｌｏａｈｅｔｓ８ｍｐｔｒＳｉｎｅ，ｈｎｉＤａｏｇＵｎｖｒｉｙ，ｔｎ３０９，ｈｎｉＣｈｎ）ＳｈｏｆＭｔｍａｉＬＣｏｕｅｃｅｃＳａｘｔｎｉｅｓｔＤａｏｇ０７０Ｓａｘ，ｉａｃ
的一个和多个正解的存在性，中Ｘ，＞０Ｐ，ＥＮ下面假定（）其＞０ｐ，ｑ．１满足：
Ｈ１（）６）ａ，（）∈Ｃ（ｏ１，Ｏ ∞ ）；Ｅ，１［，）Ｈ２）ｆ，：Ｅ，。 ×［，。一Ｅ，。连续，且极限ｇｏ。）ｏ。）ｏｃ）ｘ并
Ｓｅ．，０１ｐ２０
含两个参数的］．ｒ阶微分方程组的正解＿Ｃｓ＿】ｊ
张芳
（山西大同大学数学与计算机科学学院，西大同０７０）山３０９
摘要：用Ｋｒｓｏｅ’ ｉ不动点定理，究了一类含有两个参数的高阶非线性方程组在适当条件下的正解问题．利ａｎｓｌｋｉｓ研当两个参数在适当的范围内时，到了一个和多个正解存在性的新结果．得关键词：正解；线性微分方程；；动点定理非锥不
中图分类号：７．Ｏ１５８文献标识码：Ａ文章编号：０７６７（０００ — ０５０１０ — ５３２１）３０３ — ５
Ｐｏｉｉｅｓｌｔｏｓｆｒｈｉｈｏｄｅｏｌｎｅｒｏｄｎａｙｓｔｖｏｕｉｎｏｇ — ｒｒｎｎｉａｒｉｒｄｆｅｅｔａｙｔｍｓｗｉｈｔａａｅｅｓｉｆｒｎｉｌｓｓｅｔｗｏｐｒｍｔｒ

高阶微分方程求解

3 2 x 则 ( y ) [ax ( 3a b) x 2bx]e , * 3 2 x ( y ) [ax (6a b) x (6a 4b) x 2b]e , *
* 将 y , ( y ) , ( y ) 代入原方程比较系数得 * *
1 1 a , b , 6 2
[(C0 C1 x C k 1 x k 1 ) cos x ( D0 D1 x Dk 1 x k 1 ) sin x ]e x
若是k重共轭复根 j
4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y py qy f ( x )
二阶常系数非齐次线性方程
y c1 cos x c2 sin x x
例4 设 f (x) 具有连续的二阶导数试确定f (x) 使曲线积分
( 常数) 与路径无关解由曲线积分与路径无关的条件得
f ( x ) e x 2 f ( x ) f ( x )
即
x f ( x) 2 f ( x) f ( x) e
1 x f ( x ) (c1 c2 x )e e ( 1)2
x
例5
解
1 求解方程 y 2 y y ( x cos 2 x ). 2 2 r 4 0, 特征方程
特征根
r1, 2 2i ,
对应的齐方的通解为 Y C1 cos 2 x C2 sin 2 x .
(1) ( 2) 设 y x k e x [ Rm ( x ) cos x Rm ( x ) sin x ],
m maxl , n 其中 R ( x ), R ( x )是m次多项式，
(1) m ( 2) m
; 0 j不是特征方程的根时 k . 1 j是特征方程的单根时

微分方程分类及解法

微分方程分类及解法微分方程是数学中重要的一类方程，广泛应用于自然科学、工程、社会科学等领域中的各种问题。

在掌握微分方程的基本概念和解法后，我们可以更好地理解实际问题中的潜在规律和机理。

本文将介绍微分方程的分类及解法。

一、微分方程的分类微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两类。

常微分方程是只有一个自变量的函数的微分方程，即只与时间、位置、速度等单一变量有关。

常微分方程按阶次可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两类。

一阶常微分方程的一般形式为：$$\frac{dy}{dx} = f(x,y)$$其中y是自变量x的函数，f(x,y)是给定的函数。

高阶常微分方程可表示为：$$F(x,y,y',y'',...y^{(n)})=0$$其中，y是自变量x的函数，n代表微分方程的阶数，y', y'' ,..., y^{(n)}分别表示y的一阶、二阶、n阶导数。

偏微分方程是包含多个自变量的函数的微分方程，通常是用来描述物理现象中的区域上的行为和变化。

偏微分方程按类型可分为椭圆型偏微分方程、抛物型偏微分方程和双曲型偏微分方程。

椭圆型偏微分方程形式为：$$A\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+B\frac{\partial^2u}{\partial x\partial y}+C\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0$$该方程描述的是各方向的扩散速度都一样的过程，比如稳态情况下的热传导方程。

抛物型偏微分方程形式为：$$\frac{\partial u}{\partial t} = a\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+b\frac{\partial u}{\partial x}+cu$$该方程描述的是运动物体的一维热流方程、空气粘弹性和海浪向上传播等。

双曲型偏微分方程形式为：$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=a\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+b\frac{\partial u}{\partial x}+cu$$该方程描述的是颤动或波动过程，比如振动问题或波动方程等。

高数-微分方程总结

解法作变量代换 u y x
3
(3) 一阶线性微分方程
形如 dy P( x) y Q( x) dx
当Q( x) 0,
上方程称为齐次的．
当Q(x) 0,
上方程称为非齐次的.
解法齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
（使用分离变量法）
4
非齐次微分方程的通解为
y [ Q( x)e P( x)dxdx C ]e P( x)dx
y x
C x2
,
所求通解为 xy cos y C . x
23
4
例2 求通解 xy 2 y 3 x3 y3 .
解
原式可化为
y
2
y
3x2
4
y3,
伯努利方程
x
即
4
y3
y
2
1
y3
3x2,
x
令
z
1
y 3,
原式变为 3z 2 z 3x2 ,
x
即 z 2 z x2 , 一阶线性非齐方程 3x
2
(1) f ( x) ex Pm ( x) 型
0 不是根设 y x kexQm ( x) , k 1 是单根 ,
2 是重根
18
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn( x)sinx] 型
设
y
x
k
e
x
[
R(1) m
(
x
)
cosx
R(2 m
)
(
x
)
sin
x
],
其中
R(1) m
对应的齐次方程的通解为 Y (C1 C2 x)e x . 设原方程的特解为 y* x2(ax b)e x , 则 ( y* ) [ax3 (3a b) x2 2bx]e x , ( y* ) [ax3 (6a b)x2 (6a 4b)x 2b]e x ,

高阶齐次线性微分方程

第七章常微分方程7.8 高阶齐次线性微分方程数学与统计学院赵小艳1 2 高阶线性微分方程的概念1主要内容3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质函数的线性相关与线性无关高阶齐次线性微分方程通解的结构1 2 高阶线性微分方程的概念1主要内容3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质函数的线性相关与线性无关高阶齐次线性微分方程通解的结构解受力分析 1 高阶线性微分方程的概念例1 （弹簧的机械振动）如图，弹簧下挂一物体.设在垂直方向有一随时间变化的外力作用在物体上，物体将受外力驱使而上下振动，求物体的振动规律.pt H t f sin )(1= 以物体的平衡位置为坐标原点，x 轴的方向垂直向下. x xo )(1t f ;sin )()1(1pt H t f =外力;)2(kx f -=弹性力v f μ-=0)3(介质阻力,ma F =由x kx t f x m d d μ--=)(2可得.t x d d μ-= 设振动开始时刻为0，t 时刻物体离开平衡位置的位移为x (t ).,ma F =由x kx t f x m d d μ--=)(2可得t t 2d d 物体自由振动的微分方程.0,000====t t t x x d d 还应满足初始条件：一般地，称 )()()(2122t F x t P t x t P t x =++d d d d 为二阶线性微分方程， ,0)(时当≡t F 称为二阶齐次线性微分方程,,0)(时当≠t F 称为二阶非齐次线性微分方程. )()()()()()()()(1)1(1)(t F t x t P t x t P t x t P t x n n n n =++++-- n 阶线性(微分)方程 ,0)(时当≡t F n 阶齐次线性微分方程,t t 2d d .0,000====t t t x x d d 还应满足初始条件：物体自由振动的微分方程)1()()()()()()()()(1)1(1)(t F t x t P t x t P t x t P t x n n n n =++++-- n 阶线性(微分)方程,0)(时当≡t F n 阶齐次线性微分方程， ,0)(时当≠t F n 阶非齐次线性微分方程.其初始条件的一般形式为 )2(.)(,,)(,)()1(00)1(0000--===n n x t x x t x x t x 解的存在唯一性定理].,[,),()2()1(,],[)()(,),(),()1(021b a t t t x b a t F t P t P t P n ∈的解件存在唯一的满足初始条则方程上连续均在区间及中的系数若1 2 高阶线性微分方程的概念1主要内容3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质函数的线性相关与线性无关高阶齐次线性微分方程通解的结构为线性微分算子. ),()()()()(1111t x t P t x t P t x t P t x x L n n n n n n ++++=---d d d d d d 记称 )()()()(1111t P t t P t t P t L n n n n n n ++++=---d d d d d d 性质;0)0()1(=L ;),()()2(为任一常数C x CL Cx L =,x L C x L C x L C x C x C x C L n n n n )()()()()3(22112211+++=+++ .,,,为任意常数其中C C C 2 高阶齐次线性微分方程解的性质 )3(0)()()()()()()(1)1(1)(=++++--t x t P t x t P t xt P t x n n n n 0)(=x L定理1（解的叠和性） ,)3(,,,21的解均是齐次线性方程若n x x x ,)3(2211的解也是齐次线性方程则n n x C x C x C x +++= 问题：例如 ,0=+x x,sin 1t x =t x sin 22=都是它的解，也是它的解， 2211x C x C x +=.sin )2(21t C C x +=这是因为但不是该方程的通解. )3(0)()()()()()()(1)1(1)(=++++--t x t P t x t P t x t P t x n n n n .,,,21为任意常数其中n C C C 不一定！的通解呢？情况下才是方程个任意常数的解在什么具有)3(n 的通解？是否是)3(2211n n x C x C x C x +++=1 2 高阶线性微分方程的概念1主要内容3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质函数的线性相关与线性无关高阶齐次线性微分方程通解的结构定义1（线性相关与线性无关） ,)(,),(),(21个函数内的为定义在区间设n I t f t f t f n 使得个不全为零的常数如果存在),,,2,1(n i C n i =0)()()(2211=+++t f C t f C t f C n n ),,2,1)((n i t f i =则称函数组,值均成立中任何对区间t I ,,,,21维向量是一组设n s ααα 的常数如果存在一组不全为零,02211=+++s s k k k ααα 使得,,,1s k k s ααα,,,21 则称.,则称它是线性无关的关一个向量组不是线性相.是线性相关的在区间 I 线性相关； ,),,2,1(全为零时成立若上式仅当n i C i =线性无关.I n i t f i 在区间则称函数组),,2,1)(( =定义1（线性相关与线性无关） ,)(,),(),(21个函数内的为定义在区间设n I t f t f t f n 使得个不全为零的常数如果存在),,,2,1(n i C n i =0)()()(2211=+++t f C t f C t f C n n ),,2,1)((n i t f i =则称函数组,值均成立中任何对区间t I 在区间 I 线性相关； ,),,2,1(全为零时成立若上式仅当n i C i =线性无关. I n i t f i 在区间则称函数组),,2,1)(( =例如 t t 22sin ,cos ,1线性相关；一般地， ,)()(21常数上若在≠t y t y I 上在与则函数I t y t y )()(21线性无关. .,线性无关而te t例1 .,,,,112上线性无关在任何区间证明函数组I x x x n - 证反证法. 零的常数使得()0,1,2,,1,i C i n =-0112210=++++--n n x C x C x C C 对区间 I 上的所有x 都成立, 但以上n -1 次方程在实数范围内最多有n -1个根. .,,,,112上线性无关在任何区间所以，函数组I x x x n - 即方程有无穷多个根.例如 ,0=+x x,sin 1t x =t x sin 22=都是它的解，是它的解， t C C x C x C x sin )2(212211+=+=但不是通解. 矛盾！.个线性无关的特解关键是求微分方程的n 则必存在n 个不全为假设这n 个函数线性相关, ,要求微分方程的通解t t t e e e 2,,-是否线性无关？,),(时当∞+-∞∈t 例2 解两边同时关于变量t 求一阶和二阶导数, 得:假设 02321=++-t t t e C e C e C 042321=++-t t t e C e C e C 022321=+--t t t e C e C e C 联立, t t t t t t t t t e e e e e e e e e D 22242----=4112111112-=t e ,0≠t e 26-=().,+∞∞-∈t 因此 ,0321===C C C 即tt t e e e 2,,-线性无关. ,),(时当∞+-∞∈t 321,,C C C 关于变量的线性方程组的系数行列式为1 2 高阶线性微分方程的概念1主要内容3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质函数的线性相关与线性无关高阶齐次线性微分方程通解的结构定理2（解的线性无关判别法）线性无关则)(,),(),(21t x t x t x n 0)()()()()()()()()()(0)1(0)1(20)1(100201002010≠=---t x t x t x t x t x t x t x t x t x t w n n n n n n使得中存在一点在,0t I ,)3()(,),(),(21的解的定义于区间是方程若I t x t x t x n 4 高阶齐次线性微分方程通解的结构)3(0)()()()()()()(1)1(1)(=++++--t x t P t x t P t x t P t x n n n n 行列式Wronski .)3(个线性无关的特解的关键是求n ,)3(的通解要求微分方程定理3（齐次线性微分方程通解的结构）个线性无关的解，的是微分方程若n t x t x t x n )3()(,),(),(21 )()()()(2211t x C t x C t x C t x n n +++= .,,,21为任意常数其中n C C C 证明下证任一解 x (t ) 具有以上形式.由齐次方程解的叠加性质，可知上式中的 x (t ) 是(3)的解.任取(3)的解 x (t ) ，且满足初值条件.)(,,)(,)()1(00)1(0000--===n n x t x x t x x t x )3(0)()()()()()()(1)1(1)(=++++--t x t P t x t P t x t P t x n n n n 均可表示为则它的任一解x任取(3)的解 x (t ) ，且满足初值条件.)(,,)(,)()1(00)1(0000--===n n x t x x t x x t x 构造方程组由于Wronski 行列式不等于零，所以以上方程组关于变量 n C C C ,,,21 且满足初值条件. )()()()(0202101t x C t x C t x C t x n n+++= 于是 .,,,00201nC C C )()()()(2211t x C t x C t x C t x n n +++= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧)()()()(00220110t x C t x C t x C t x n n +++= )()()()(00220110t x C t x C t x C t x n n +++=)()()(0)1(0)1(110)1(t x C t x C t xn n n n n ---++=存在唯一一组解定理3（齐次线性微分方程通解的结构） )()()()(2211t x C t x C t x C t x n n +++= .,,,21为任意常数其中n C C C 均可表示为则它的任一解x .,0)(')(",21求其通解的解是方程已知=++y x a y x a y e x x 例1 解 ,011110)0(≠-==w 由于.,线性无关所以x e x ,21x e C x C y +=该方程的通解为.,21为任意常数其中C C 个线性无关的解，的是微分方程若n t x t x t x n )3()(,),(),(21 )3(0)()()()()()()(1)1(1)(=++++--t x t P t x t P t x t P t x n n n n。

可降阶的高阶微分方程

y
( x3 6
ex
2x)dx

x4 24
ex

x2
C3.
再由y x0 1,得C3 2，所以
y x4 ex x2 2为所求的特解. 24
6.4.2 y(n) f ( x, y(n1) )型的微分方程
令 p y(n1)，则原方程化为
例6.40（略）
例6.41
求方程 y(5) 1 y(4) 0 的通解。 x
解令y(4) p, 则y(5) p, 原方程可化为
p
1 x
p
0 .
p

C1e
(
1 x
)dx
C1 x .
y(4) .
y
C1xdx .
C1 2
x2
C2,
y
y ln x d x x ln x x C1，
y ( x ln x x C1)d x
x ln xdx (x C1)d x
x2
ln xd( 2 ) (x C1)d x
x2
x2 1
x2
ln x 2
2
dx x
例6.42 设函数y( x)在区间[0，）上具有连续偏导数，
并且满足关系式y( x) 1 x 2 x ( x t) y(t) y(t)dt,求y(t). 0
解
x
x
y( x) 1 x 2x y(t)y(t)dt 2 ty(t)y(t)dt,
0
0
[
2 x2
e

3 x
dx
dx
C1]

清华大学微积分A习题课_11高阶线性微分方程以及一阶线性微分方程组

2 2x
( y*) ( Ax 2 e 2 x ) ( Ax 2 )e 2 x Ax 2 (e 2 x ) 2 A( x x 2 )e 2 x ( y*) [2 A( x x 2 )e 2 x ] [2 A( x x 2 )]e 2 x 2 A( x x 2 )(e 2 x ) 2 A(1 2 x)e 2 x 4 A( x x 2 )e 2 x 2 A(1 4 x 2 x 2 )e 2 x
特征根为： 1 1， 2， 3 1 i . 所以其实基本解组为：
e t , e t cos t , e t sin t ，
t t
原方程的通解为： y C1e C 2 e （4）求 y' '
cos t C 3 e t sin t .
x 1 y' y 0 的通解。 1 x 1 x
'' ' t 2t
（3）求解方程 x 4 x 4 x e e
2
1
解：特征方程 4 4 0 ， 1, 2 2 ，故有基本解组 e ， te ，对于方程 x 4 x 4 x e ，因为 1 不是特征根，故有形如 x1 (t ) Ae 的特解，
作者：闫浩, 章纪民
2013 年 9 月
微积分 A(1)第十一次习题课参考答案（第十六周）
教学目的:本次习题课练习的是高阶线性微分方程以及一阶线性微分方程组。希望大家掌握的是齐次线性微分方程的特征根法；对特殊的非齐次项需要掌握待定系数法，特殊方程应掌握欧拉方程。对于二阶微分方程，当知道一个特解时，应会变动常数法求通解；线性微分方程组应会基解矩阵的求法。除此之外，应掌握解的结构问题。本次习题课也是本学期最后一次习题课。一、高阶线形微分方程 1.求解下列方程. （1） x 5 x 8 x 4 x 0 解：其特征方程为：

高阶线性微分方程

分析物体表面向外界辐射热量的过程，通过高阶线性微分方程可以求解出物体的辐射强度、辐射功率等。
热传导与热辐射的综合问题
对于同时涉及热传导和热辐射的复杂问题，可以通过建立高阶线性微分方程组来描述物体内部的温度分布和表面的辐射特性，进而分析物体的热平衡状态、热效率等问题。
05
高阶线性微分方程的数值解法
对于难以找到解析解的非线性微分方程，数值方法成为求解的主要手段，如有限元法、有限差分法等。
分数阶微分方程的研究动态
分数阶导数定义
研究者们对分数阶导数的定义进行了深入研究，提出了多种不同的定义方式，如Riemann-Liouville定义、Caputo定义等。
分数阶微分方程的解析解
对于某些特定的分数阶微分方程，研究者们尝试寻找其解析解，并取得了一定的成果。
高阶线性微分方程
目录
• 引言 • 高阶线性微分方程的基本理论 • 高阶线性微分方程的求解方法 • 高阶线性微分方程的应用举例 • 高阶线性微分方程的数值解法 • 高阶线性微分方程的前沿研究与
发展趋势
01
引言
背景与意义
微分方程的重要性
微分方程是数学的一个重要分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域。高阶线性微分方程作为微分方程的一种特殊类型，具有重要的理论和应用价值。
线性微分方程的解的性质
叠加原理
若y1和y2分别是线性微分方程的解，则它们的线性组合c1y1 + c2y2（c1 和c2为任意常数）也是该方程的解。
齐次方程的解的性质
若y1和y2是齐次线性微分方程的解，则它们的差y1 - y2也是该方程的解。
非齐次方程的解的性质
非齐次线性微分方程的通解可以表示为对应齐次方程的通解加上一个特解。

第四章-4.1线性微分方程的一般理论

推论若函数组x1 (t ), x2 (t ) , xn (t )的Wronsky行列式
在区间 [a, b]上某点t0处不等于零,即W (t0 ) 0, 则该函数组在[a, b]上线性无关 .
(2)定理4 如果方程(4.2)的解x1 (t ), x2 (t ) , xn (t )在区间
a t b上线性无关, 则它们Wronsky的行列式在 [ a, b] 上任何点都不等于零 ,即W (t ) 0(a t b)
解： c1 1, c2 1, c3 1
c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) c3 x3 (t ) sin 2 t cos2 t 1 0, t ( , )
12
例3 函数组 1, t, t ,, t , 线性无关。分析：我们假设存在
2 n
2
n
t [a, b]
c1x1 (t ) c2 x2 (t ) ck xk (t ) 0
对于所有 t [a, b] 都成立，则称这些函数是线性相关的，否则就称这些函数在区间[a,b]上是线性无关的。
11
例2
考虑函数组的线性相关性
x1(t ) sin2 t, x2 (t ) cos2 t, x3 (t ) 1, t (, )
8
证明: 由于xi (t )(i 1,2,k )是方程(4.2)的k个解
故有
d n xi (t ) d n1 xi (t ) a1 (t ) an (t ) xi (t ) 0 n n 1 dt dt i 1,2, k
n n 1
上面的k个等式中 , 第i个乘ci , 然后相加得
其系数行列式为W (t0 ) 0 , 故它有非零解 c1 , c2 ,cn ,

高阶常系数线性微分方程

y e x (C 1 cos x C 2 sin x)
可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .
2.已知y1 e , y2 e 是二阶常系数线性齐次方程
r1 x r2 x
的解，如何求微分方程？
特征根为特征方程:
则齐次方程为 :
3.已知y xe 是二阶常系数线性齐次方程的解，
推论.
是 n 阶齐次方程
的 n 个线性无关解, 则方程的通解为
y C1 y1 Cn yn (Ck 为任意常数)
三、二阶常系数齐次线性微分方程
① 和它的导数只差常数因子, 所以令①的解为 y e r x ( r 为待定常数 ), 代入①得
(r pr q ) e
2
rx
0 r 2 pr q 0
§7.4 高阶线性微分方程
一、二阶微分方程：
d2y dy P ( x ) Q( x ) y f ( x ) 2 dx dx
当 f ( x ) 0时，二阶线性齐次微分方程当 f ( x ) 0时，二阶线性非齐次微分方程
其中，P(x)、Q(x)、f(x)为x的已知函数；
当P(x)、Q(x)为常数时，称为常系数二阶线性微分方程；否则为变系数二阶线性微分方程。
r1 x
3. 当 p 2 4 q 0 时, 特征方程有一对共轭复根
这时原方程有两个复数解:
y1 e ( i ) x e x (cos x i sin x ) y2 e ( i ) x e x (cos x i sin x )
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
②
称②为微分方程①的特征方程, 其根称为特征根.

7.1—高阶线性微分方程(2) ...

tI
由(2 4)可知, x(t) 满足初值条件 x(t0 )=x(t0 )= =x（n-1) (t0 )=0 而x 0 也是满足上述初值条件的解,由解的存在唯一性定理可知
x(t) C1*x1 C2*x2 Cn*xn =0 即 x1(t), x2 (t) xn (t) 线性相关,则
tI
t I若W ( t )=0， x1(t), x2 (t) xn (t) 线性相关,矛盾！
得通解为 x t C 1e 1t C 2e 2t ;
情形2 特征方程有重根 1 2
得通解为 x t (C 1 C 2t )e t ;
情形3 特征方程有共轭复根 1 i ; 2 i 则
x1 e1t e i t , x2 e2t e i t为方程的复基本解组故 etcos t, etsin t为方程实的基本解组
dv
V
ax22dv
V
y2 b2
dv
V
z c
2
2dv
解
因为 M
V
x2 a2
y2 b2
z2 c2
dv
V
x2 a2
d
v
V
y2 b2
dv
V
z c
2
2dv
而
V
x2 a 2 dv
a x2 a a2 dx Dx dydz
其中
Dx
dydz等于
椭圆
y2 b2
z2 c2
1
x2 a2
的面积
:
b
1
x2 a2
wt0 称为解组x1t , x2 t ,, xn t 在t0处的Wronski 行列式。
x(n)(t) P1(t)x(n1)(t) Pn1(t)x(t) Pn(t)x(t) 0 (4)

微分方程要点概要

4、全微分方程（恰当方程）
M N M x, y dx N x, y dy 0, 其中 y x
必存在 F x, y 满足 dF x, y M x, y dx N x, y dy 可得解： F x, y c
或选折线 x0 , y0 x, y0 x, y 积分，得
x M x, y0 dx y N x, y dy c
0 0
x
y
若存在 x, y 使 (M )dx (N )dy 0 为全微分方程, 则称 ( x, y) 为积分因子。
由 M N , 得 y M M y x N N x y x
a1 x b1 y c1 dy 2、 f dx a2 x b2 y c2 a1 b1 若 , 令 u a2 x b2 y c2 a2 b2 a1x b1 y c1 0 a1 b1 若 , 先解得唯一解 x0 , y0 a2 b2 a2 x b2 y c2 0 x X x0 dY Y 再令 , 原方程化为 g dX X y Y y0
(1) ( 2) y x k ex [ Rm ( x) cosx Rm ( x) sin x]
0 , 若 i 不是特征根；其中k １，若 i 是特征根．
R ( x) , R ( x) 为两ｍ次多项式， m maxl , n
(1) m ( 2) m
６、特殊代换
二、可降阶的高阶微分方程
一般 F x, y, y, y 0, 其中可求解形式为 y f x, y, y
1、 yn f x : 积分 n 次.

5.1化高阶方程为一阶方程组

微分方程组。这里等价的意义是，如果
y x
是方程
（5.1.6）在区间I上的解，令
d x 1 x x , 2 x , dx d n1 x , n x dx n 1
（5.1.9）
则显然有
这表明
d x y y1 x , y2 , dx
n dyi aij x y j fi x dx j 1
i 1, 2,
n （5.1.12）
其中系数 aij x 和fi x
i, j 1,2,
n 在区间a x b
上都是连续的已知函数。采用矩阵和向量记号 A x a x
（5.1.7）
则它与下面的微分方程组等价
dy1 x y2 x , dx dy2 x y3 x , dx dyn f x, y1 , y2 , dx
（5.1.8）
, yn .
显然方程组（5.1.8）是一个含有未知函数 y1 , y2 , , yn 的形如（5.1.5）的正规型
第四章
线性微分方程（组）的理论与解法
线性微分方程的理论是微分方程理论中发展得比较成熟的部分。在第一章中，曾经给出过线性微分方程的概念，这里系统地介绍它们的一般理论和解法。
5.1 化任意正规型微分方程和方程组为一阶正规型微分方程组
在第一章中，我们给出了微分方程的阶和解等概念，这些概念可以对方程组类似的加以定义。先从两个未知函数的情形说起，这时方程组的一般形式是
i 1, 2,
n （5.1.5）
对于正规型微分方程
dny dy d 2 y f x, y , , 2 n dx dx dx d n 1 y , n 1 （5.1.6） dx