等差数列前n项和公式及性质培训资料
第二讲：等差数列及其前n项和
第二讲：等差数列及其前n 项和知识体系：一、等差数列1、等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
定义的表达式为1,n n a a d d +-=为常数。
2、等差中项：若a 、A 、b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=。
3、等差数列的通项公式及其变形： 通项公式：，其中1a 是首项，d 是公差。
通项公式的变形：(),n m a a n m d n m =+-≠注意：等差数列通项公式的应用：（1）由等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-，可知： ① 已知等差数列的首项和公差，可以求得这个数列的任何一项； ② 已知1,,,n a d n a ,这四个量中的任意三个，可以求得另一个量；（2）由等差数列通项公式变形可知，已知等差数列中的任意两项就可以确定等差数列中的任何一项。
4、等差数列和一次函数的关系由等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-可得1()n a dn a d =+-，如果设1,p d q a d ==-那么n a pn q =+，其中p ，q 是常数。
当p ≠0时，（n ，a ）在一次函数y=px+q 的图像上，即公差不为零的等差数列的图像是直线y=px+q 上的均匀排开的一群孤立的点。
当p=0时，n a q =，等差数列为常数列，此时数列的图像是平行于x 轴的直线（或x 轴）上的均匀排开的一群孤立的点。
等差数列的单调性：当d ＞0时，数列{}n a 为递增数列；当d ＜0时，数列{}n a 为递减数列；当d =0时，数列{}n a 为常数列； 二、等差数列的前n 和：1、等差数列的前n 项和：等差数列的前n 项和公式11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+； 等差数列前n 项和公式与函数的关系：由1(1)2n n n S na d -=+可得21()22n d dS n a n =+-，设1,22d da b a ==-，则有2n S an bn =+。
等差数列的前n项和公式的性质及应用 课件
因为 S2k＝2ka1＋12×2k(2k－1)d＝8a1＋42，
所以 8a1＋42＝54，故 a1＝32，
所以此数列的首项是32，公差是32，项数为 8.
法二：设此数列的首项为 a1，公差为 d，项数为 2k(k∈N*)，
S奇＝24， 根据题意，得S偶＝30，
a2k－a1＝221，
12ka1＋a2k－1＝24， 即12ka2＋a2k＝30，
和 30，最后一项与第一项之差为221，求此数列的首项、公差以及项数． [解析] 法一：设此数列的首项为 a1，公差为 d，项数为 2k(k∈N*)，
S奇＝24， 由已知得S偶＝30，
a2k－a1＝221，
S偶－S奇＝6， 所以a2k－a1＝221，
kd＝6，
k＝4，
即2k－1d＝221， 解得d＝32.
②若项数为 2n－1，则 S2n－1＝(2n－1)an(an 为中间项)且 S 奇－S 偶＝ an ， n－1
SS偶 奇＝___n____.
(3)若 Sn 为数列{an}的前 n 项和，则{an}为等差数列等价于Snn是等差 数列． (4)若{an}、{bn}都为等差数列，Sn、Sn′为它们的前 n 项和，则abmm＝ SS′2m2－ m1－1. (5)项数(下标)的“等和”性质： Sn＝na12＋an＝nam＋2an－m＋1.
()
A．130
B．65
C．70
D．以上都不对
解析：S13＝a1＋2 a13×13＝a5＋2 a9×13＝130.
答案：A
3．已知某等差数列共 20 项，其所有项和为 75，偶数项和为 25，则
公差为( )
A．5
B．－5
C．－2.5
D．2.5
第2讲 等差数列及其前n项和 讲义
1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． 【知识拓展】等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( × )(4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( √ )1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6 答案 B解析 由等差数列的性质，得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，故选B.2．(2016·全国乙卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97 答案 C解析 由等差数列性质，知S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.3．设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7等于( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．35 答案 C解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，∴a 4＝4， ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝28.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 答案 60解析 ∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20， ∴S 30－30＝10＋2×10＝30，∴S 30＝60.5．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．答案 8解析 因为数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，所以a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，所以a 9＜0.故当n ＝8时，其前n 项和最大．题型一 等差数列基本量的运算例1 (1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( )A ．2B ．10 C.52 D.54(2)(2016·北京)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________. 答案 (1)C (2)6解析 (1)由2a n ＋1＝1＋2a n 得a n ＋1－a n ＝12，所以数列{a n }是首项为－2，公差为12的等差数列，所以S 10＝10×(－2)＋10×(10－1)2×12＝52.(2)∵a 3＋a 5＝2a 4＝0，∴a 4＝0. 又a 1＝6，∴a 4＝a 1＋3d ＝0，∴d ＝－2. ∴S 6＝6×6＋6×(6－1)2×(－2)＝6.思维升华 等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A ．13 B ．35 C ．49D ．63(2)(2016·江苏)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________． 答案 (1)C (2)20解析 (1)∵a 1＋a 7＝a 2＋a 6＝3＋11＝14， ∴S 7＝7(a 1＋a 7)2＝49.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋d )2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3， 则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋8×3＝20. 题型二 等差数列的判定与证明例2 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． (1)证明 因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1(n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1(2－1a n)－1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52.所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．(2)解 由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.设f (x )＝1＋22x －7，则f (x )在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数．所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3. 引申探究本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式．解 由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，又a 1＝35，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25， ∴a n ＝n 2－25n .思维升华 等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，可递推得出a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝a n －1－a n －2＝…＝a 2－a 1，根据定义得出数列{a n }为等差数列．(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，得a n ＋1－a n ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，根据S n ，a n 的关系，得出a n ，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．(1)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( ) A ．a n ＝1nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n答案 A解析 由已知式2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知{1a n }是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n.(2)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. ①设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； ②求{a n }的通项公式．①证明 由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2， 得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2， 即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． ②解 由①得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1， 即a n ＋1－a n ＝2n －1.于是∑nk ＝1 (a k ＋1－a k )＝∑nk ＝1(2k －1)，所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2. 题型三 等差数列性质的应用 命题点1 等差数列项的性质例3 (1)(2015·广东)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. (2)已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________. 答案 (1)10 (2)21解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，所以a 5＝5，故a 2＋a 8＝2a 5＝10.(2)因为{a n }，{b n }都是等差数列，所以2a 3＝a 1＋a 5，2b 8＝b 10＋b 6，所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)，即2×15＝9＋(a 5＋b 6)，解得a 5＋b 6＝21. 命题点2 等差数列前n 项和的性质例4 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝－12，S 9＝45，则S 12＝________. (2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 018，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 018的值等于( )A ．－2 018B ．－2 016C ．－2 019D ．－2 017答案 (1)114 (2)A解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列，所以2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，即2(S 6＋12)＝－12＋(45－S 6)，解得S 6＝3. 又2(S 9－S 6)＝(S 6－S 3)＋(S 12－S 9)，即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S 12－45)，解得S 12＝114. (2)由题意知，数列{S nn }为等差数列，其公差为1，∴S 2 0182 018＝S 11＋(2 018－1)×1 ＝－2 018＋2 017＝－1. ∴S 2 018＝－2 018.思维升华 等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n ＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差． (2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .(1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( ) A ．58 B ．88 C ．143D ．176(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( )A.3727 B.3828 C.3929D.4030答案 (1)B (2)A解析 (1)S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝11×162＝88. (2)a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.6．等差数列的前n 项和及其最值考点分析 公差不为0的等差数列，求其前n 项和与最值在高考中时常出现．题型有小题，也有大题，难度不大．典例1 (1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10等于( ) A ．45 B ．60 C ．75D ．90(2)在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________. 解析 (1)由题意得a 3＋a 8＝9，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×92＝45.(2)方法一 设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 则⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10，解得⎩⎨⎧a 1＝1 099100，d ＝－1150.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝－110.方法二 因为S 100－S 10＝(a 11＋a 100)×902＝－90，所以a 11＋a 100＝－2， 所以S 110＝(a 1＋a 110)×1102＝(a 11＋a 100)×1102＝－110.答案 (1)A (2)－110典例2 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值． 规范解答解 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.方法一 由a n ＝20＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－53＝－53n ＋653， 得a 13＝0.即当n ≤12时，a n ＞0，当n ≥14时，a n ＜0. ∴当n ＝12或n ＝13时，S n 取得最大值， 且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53＝130.方法二 S n ＝20n ＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－53 ＝－56n 2＋1256n ＝－56⎝⎛⎭⎫n －2522＋3 12524. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.方法三 由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0.∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.1．(2016·重庆一诊)在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，a 2＝5，则{a n }的前4项和为( )A ．9B ．22C ．24D ．32答案 C解析 由a n ＋1－a n ＝2，知{a n }为等差数列且公差d ＝2，∴由a 2＝5，得a 1＝3，a 3＝7，a 4＝9，∴前4项和为3＋5＋7＋9＝24，故选C.2．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( )A.54钱 B.53钱 C.32钱 D.43钱 答案 D解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝3a 1＋9d ，2a 1＋d ＝52，⎩⎨⎧ a 1＝43，d ＝－16，故选D.3．(2017·佛山调研)已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，S n ＝100，则n 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11答案 C解析 由S n －S n －3＝51，得a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17，又a 2＝3，S n ＝n (a 2＋a n －1)2＝100，解得n ＝10. 4．在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋6，则数列{a n }的前11项和S 11等于( ) A ．24B ．48C ．66D ．132 答案 D解析 方法一 由a 1＋8d ＝12(a 1＋11d )＋6， 得a 1＋5d ＝12，∴a 1＝12－5d .又S 11＝11a 1＋11×102d ＝11a 1＋55d ＝11(12－5d )＋55d ＝132.方法二 由a 9＝12a 12＋6，得2a 9－a 12＝12. 由等差数列的性质得，a 6＋a 12－a 12＝12，a 6＝12，S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11×2a 62＝132，故选D. 5．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －57，且a 1＝5，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 取得最大值的序号n 的值为( )A ．7B ．8C ．7或8D ．8或9 答案 C解析 由题意可知数列{a n }是首项为5，公差为－57的等差数列，所以a n ＝5－57(n －1)＝40－5n 7，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以S n 取得最大值时，n ＝7或n ＝8，故选C.*6.设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n S 2n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为( )A ．b n ＝n －1B ．b n ＝2n －1C ．b n ＝n ＋1 DD ．b n ＝2n ＋1答案 B解析 设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S n S 2n＝k ，因为b 1＝1， 则n ＋12n (n －1)d ＝k [2n ＋12×2n (2n －1)d ]， 即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0.因为对任意的正整数n 上式均成立，所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0，又公差d ≠0，解得d ＝2，k ＝14. 所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.7．(2015·安徽)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．答案 27解析 由题意知数列{a n }是以1为首项，以12为公差的等差数列，∴S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27.8．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝________. 答案 14解析 由已知得1a 10＝1a 1＋(10－1)×13＝1＋3＝4， 故a 10＝14. 9．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________． 答案1941 解析 ∵{a n }，{b n }为等差数列，∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941， ∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝1941. 10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－3，a k ＋1＝32，S k＝－12，则正整数k ＝________. 答案 13解析 S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝－12＋32＝－212， 又S k ＋1＝(k ＋1)(a 1＋a k ＋1)2＝(k ＋1)⎝⎛⎭⎫－3＋322＝－212， 解得k ＝13.11．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n .(2)由(1)可知a n ＝3－2n ，所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2. 由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5.又k ∈N *，故k ＝7.12．已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3. 所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7. 故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列； 当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3. 记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5；当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7)＝5＋(n －2)[2＋(3n －7)]2＝32n 2－112n ＋10. 当n ＝2时，满足此式，当n ＝1时，不满足此式．综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n ≥2. *13.已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4， 即a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)．当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，也即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n－1＝－a n－1，则a n＋a n－1＝1.而a1＝3，所以a2＝－2，这与数列{a n}的各项均为正数相矛盾，所以a n－1＝a n－1，即a n－a n－1＝1，因此数列{a n}是首项为3，公差为1的等差数列．(2)解由(1)知a1＝3，d＝1，所以数列{a n}的通项公式a n＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即a n＝n＋2.。
等差数列前n项和的性质
则
S偶-
S奇=
nd 2
.
特别地, 若 m+n=2p, 则 am+an=2ap .
2.等差中项
b=
a+c 2
3.若数列 {an}是等差数列，则 d k 2d
Sk , S2k Sk , S3k S2k , S4k S3k , 也是等差数列
4.若等差数列 {an} 的前 2n-1 项和为 S2n-1, 等差数列 {bn} 的
前 2n-1 项和为 T2n-1,
则
S2n-1 T2n-1
=
an bn
.
三、判断、证明方法
1.定义法; 2.通项公式法; 3.等差中项法.
{an}为等差数列 an kn b
Sn An2 Bn
注: 三个数成等差数列, பைடு நூலகம்设为 a-d, a, a+d(或 a, a+d, a+2d) 四个数成等差数列, 可设为a-3d, a-d, a+d, a+3d.
一、概念与公式
1.定义 若数列 {an} 满足: an+1-an=d(常数), 则称 {an} 为等差数列.
2.通项公式 an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d.
3.前n项和公式
Sn=na1+
n(n-1)d 2
=
n(a1+an) 2
.
二、等差数列的性质
1.若 m+n=p+q(m、n、p、qN*), 则 am+an=ap+aq .
四、Sn的最值问题
1.若 a1>0, d<0 时,
满足
an≥0, an+1≤0.
第二课时等差数列前n项和的性质 PPT资料共54页
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第一章 数列
∴
d1 2
n2
＋
32d1＋a1－12d1
n
＋
3
a1－12d1
＝
7 2
d2n2
＋
49a1－12d2·7＋d2n＋249a1－12d2
d1＝7d2 ∴d1＋a1＝298a1－52d2
3a1－32d1＝89a1－d2
，∴d1＝194a1 ， d2＝29a1
∴ab55＝ab11＋ ＋44dd12＝a491a＋1＋4×4×19429aa11＝6152.
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第一章 数列
[题后感悟] 方法一、二对条件和等差数列的性质及基本关 系应用比较充分，从而方法比较简单，运算量较小，而方法三 虽然稍显烦琐，但这是求有关比值问题的基本方法，即分子、 分母用相同的参数表示出来，约去参数得到比值．
第二课时 等差数列前n项和的性质
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第一章 数列
1．进一步了解等差数列的定义，通项公式以及前n项和公 式．
2．理解等差数列的性质，等差数列前n项和公式的性质应 用．
3．掌握等差数列前n项和之比问题，以及实际应用．
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第一章 数列
1．对等差数列的通项公式、前n项和公式的考查是本课时 的热点．
2．常与函数、不等式结合命题． 3．多以选择题和解答题的形式考查.
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第一章 数列
3．若等差数列{an}的通项公式为an＝2n－3(n∈N＋且n≤10)， 则a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝35，a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝45，结合等差 数列的性质和前n项和公式，上面的问题可以有多种求法，若记 S奇＝a1＋a3＋a5＋a7＋a9，S偶＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10，则
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第一章 数列
等差数列前n项和性质
例2.在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.
[解 ] 法一：(基本量法)设等差数列{an}的首项为 a1，公差
10a ＋1010－1d＝100， 1 2 为 d，则 100100－1 100a1＋ d＝10. 2
1 099 a ＝ 1 100 ， 解得 d＝－ 11 . 50 110110－1 ∴S110＝110a1＋ d 2 1 099 110×109 11 ＝110× 100 ＋ × ( － 2 50)＝－110.
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n＋1 44 4 ＝ n ＝33＝3，得 n＝3. 又∵S 奇＝(n＋1)· an＋1＝44，∴an＋1＝11. 故这个数列中间项为 11，项数共有 2n＋1＝7 项.
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变式2．项数为2n+1的等差数列，奇数项之和为51， 偶数项之和为42.5，首项为1，求这个数列的项数及通
项公式．
例2.在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.
法三：(新数列法)∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110 －S100，…成等差数列， 10×9 ∴设该数列公差为 d，则其前 10 项和为 10×100＋ d＝10， 2 解得 d＝－22. 10×11 10×11 ∴前 11 项和为 11×100＋ d＝11×100＋ ×(－22)＝ 2 2 －110.
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且lg(Sn＋1)＝n＋1，求
通项公式．
解：因为lg(Sn＋1)＝n＋1， 所以Sn＋1＝10n＋1.即Sn＝10n＋1－1. 当n＝1时，a1＝S1＝102－1＝99， 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝(10n＋1－1)－(10n－1)＝9×10n，
第3节 等差数列的前n项和及其性质
第3节 等差数列的前n 项和及其性质要点一 等差数列的前n 项和公式已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 求和公式S n ＝n (a 1＋a n )2S n ＝na 1＋n (n －1)2d1．等差数列前n 项和公式的推导方法是倒序相加．( √ ) 2．若数列{a n }的前n 项和S n ＝kn (k ∈R )，则{a n }为常数列．( √ ) 3．等差数列的前n 项和，等于其首项、第n 项的等差中项的n 倍．( √ ) 4．1＋2＋3＋…＋100＝100×(1＋100)2.( √ )一、等差数列前n 项和的有关计算 例1 在等差数列{a n }中：(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 10；(2)已知a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d . 解 (1)⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝5a 1＋5×42d ＝5，a 6＝a 1＋5d ＝10，解得a 1＝－5，d ＝3.∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16，S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×(－5)＋5×9×3＝85.(2)由已知得S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(4＋a 8)2＝172，解得a 8＝39，又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5.∴a 8＝39，d ＝5. 反思感悟 等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量a 1，d ，n ，a n 和S n ，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，常与求和公式S n ＝n (a 1＋a n )2结合使用．跟踪训练1 在等差数列{a n }中： (1)a 1＝1，a 4＝7，求S 9； (2)a 3＋a 15＝40，求S 17；(3)a 1＝56，a n ＝－32，S n ＝－5，求n 和d .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 4＝a 1＋3d ＝1＋3d ＝7，所以d ＝2. 故S 9＝9a 1＋9×82d ＝9＋9×82×2＝81.(2)S 17＝17×(a 1＋a 17)2＝17×(a 3＋a 15)2＝17×402＝340.(3)由题意得，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ⎝⎛⎭⎫56－322＝－5，解得n ＝15.又a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，所以d ＝－16，所以n ＝15，d ＝－16.二、等差数列前n 项和的比值问题例2 有两个等差数列{a n }，{b n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5.解 方法一 设等差数列{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nb 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝na 1＋n (n －1)2d 1nb 1＋n (n －1)2d 2＝a 1＋n －12d 1b 1＋n －12d 2，则有a 1＋n －12d1b 1＋n －12d2＝7n ＋2n ＋3，① 又由于a 5b 5＝a 1＋4d 1b 1＋4d 2，②观察①，②，可在①中取n ＝9，得a 1＋4d 1b 1＋4d 2＝7×9＋29＋3＝6512.故a 5b 5＝6512.方法二 设{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ，则有A n B n ＝7n ＋2n ＋3，其中A n ＝(a 1＋a n )n 2，由于a 1＋a 9＝2a 5.即a 1＋a 92＝a 5，故A 9＝(a 1＋a 9)·92＝a 5×9.同理B 9＝b 5×9.故A 9B 9＝a 5×9b 5×9.故a 5b 5＝A 9B 9＝7×9＋29＋3＝6512. 方法三 设{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ， 因为等差数列的前n 项和为S n ＝an 2＋bn ＝an ⎝⎛⎭⎫n ＋ba ， 根据已知，可令A n ＝(7n ＋2)kn ，B n ＝(n ＋3)kn (k ≠0)． 所以a 5＝A 5－A 4＝(7×5＋2)k ×5－(7×4＋2)k ×4＝65k ，b 5＝B 5－B 4＝(5＋3)k ×5－(4＋3)k ×4＝12k .所以a 5b 5＝65k 12k ＝6512.方法四 设{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ，由A 2n －1B 2n －1＝a n b n ，有a 5b 5＝A 9B 9＝7×9＋29＋3＝6512.反思感悟 设{a n }，{b n }的前n 项和为S n ，T n ，则a n ∶b n ＝S 2n －1∶T 2n －1.跟踪训练2 已知等差数列{a n }，{b n }，其前n 项和分别为S n ，T n ，a n b n ＝2n ＋33n －1，则S 11T 11等于( )A.1517B.2532 C ．1 D ．2 答案 A解析 由等差数列的前n 项和公式以及等差中项的性质得S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6，同理可得T 11＝11b 6，因此，S 11T 11＝11a 611b 6＝a 6b 6＝2×6＋33×6－1＝1517.要点二 等差数列前n 项和的性质1．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d2.2．设等差数列{a n }的公差为d ，S n 为其前n 项和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍构成等差数列，且公差为m 2d .3．若等差数列{a n }的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n .4．若等差数列{a n }的项数为2n ＋1，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)·a n ＋1，S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝nn ＋1. 思考 在性质3中，a n 和a n ＋1分别是哪两项？在性质4中，a n ＋1是哪一项？ 答案 中间两项，中间项．要点三 等差数列{a n }的前n 项和公式的函数特征1．公式S n ＝na 1＋n (n －1)d 2可化成关于n 的表达式：S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 当d ≠0时，S n 关于n 的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n ，S n )在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线y ＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 上横坐标为正整数的一系列孤立的点． 2．等差数列前n 项和的最值 (1)在等差数列{a n }中，当a 1>0，d <0时，S n 有最大值，使S n 取得最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0确定；当a 1<0，d >0时，S n 有最小值，使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0确定．(2)S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有最小值；当d <0时，S n 有最大值．当n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值．一、等差数列前n 项和的性质例1 (1)在等差数列{a n }中，S 10＝120，且在这10项中，S 奇S 偶＝1113，则公差d ＝________.解析 由⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝120，S 奇S 偶＝1113，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝55，S 偶＝65，所以S 偶－S 奇＝5d ＝10，所以d ＝2.(2)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m . 解 方法一 在等差数列中，∵S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，∴30,70，S 3m －100成等差数列． ∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210.方法二 在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m 3m 成等差数列，∴2S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m3m .即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210.反思感悟 利用等差数列前n 项和的性质简化计算(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a 1，d ，再求所求，是基本解法，有时运算量大； (2) 等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法．跟踪训练1 (1)已知数列{a n }是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是________． 解析 设等差数列{a n }的项数为2m ，∵末项与首项的差为－28， ∴a 2m －a 1＝(2m －1)d ＝－28，①∵S 奇＝50，S 偶＝34，∴S 偶－S 奇＝34－50＝－16＝md ，②，由①②得d ＝－4. (2)已知一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和． 解 S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100成等差数列．设其公差为d ，前10项和为10S 10＋10×92d ＝S 100＝10，解得d ＝－22，∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)d ＝100＋10×(－22)＝－120，∴S 110＝－120＋S 100＝－110. 二、等差数列前n 项和的最值问题例2 在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 8＝S 18，求前n 项和S n 的最大值． 解 方法一 因为S 8＝S 18，a 1＝25，所以8×25＋8×(8－1)2d ＝18×25＋18×(18－1)2d ，解得d ＝－2.所以S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋26n ＝－(n －13)2＋169.所以当n ＝13时，S n 有最大值为169.方法二 同方法一，求出公差d ＝－2.所以a n ＝25＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋27.因为a 1＝25>0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝－2n ＋27≥0，a n ＋1＝－2(n ＋1)＋27≤0得⎩⎨⎧n ≤1312，n ≥1212.又因为n ∈N *，所以当n ＝13时，S n 有最大值为169.方法三 因为S 8＝S 18，所以a 9＋a 10＋…＋a 18＝0.由等差数列的性质得a 13＋a 14＝0. 因为a 1>0，所以d <0.所以a 13>0，a 14<0.所以当n ＝13时，S n 有最大值．由a 13＋a 14＝0，得 a 1＋12d ＋a 1＋13d ＝0，解得d ＝－2，所以S 13＝13×25＋13×122×(－2)＝169，所以S n 的最大值为169.方法四 设S n ＝An 2＋Bn .因为S 8＝S 18，a 1＝25，所以二次函数图象的对称轴为x ＝8＋182＝13，且开口方向向下，所以当n ＝13时，S n 取得最大值．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 82A ＋8B ＝182A ＋18B ，A ＋B ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－1，B ＝26，所以S n ＝－n 2＋26n ，所以S 13＝169，即S n 的最大值为169.反思感悟 (1)等差数列前n 项和S n 最大(小)值的情形 ①若a 1>0，d <0，则S n 存在最大值，即所有非负项之和． ②若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值，即所有非正项之和． (2)求等差数列前n 项和S n 最值的方法①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0来寻找． ②运用二次函数求最值．跟踪训练2 在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取最小值． 解 (1)设等差数列的公差为d ，因为在等差数列{a n }中，a 10＝18，S 5＝－15，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋52×4×d ＝－15， 解得a 1＝－9，d ＝3，所以a n ＝3n －12，n ∈N *. (2)因为a 1＝－9，d ＝3，a n ＝3n －12，所以S n ＝n (a 1＋a n )2＝12(3n 2－21n )＝32⎝⎛⎭⎫n －722－1478， 所以当n ＝3或4时，前n 项的和S n 取得最小值S 3＝S 4＝－18.三、求数列{|a n |}的前n 项和例3 数列{a n }的前n 项和S n ＝100n －n 2(n ∈N *)． (1)判断{a n }是不是等差数列，若是，求其首项、公差； (2)设b n ＝|a n |，求数列{b n }的前n 项和．解 (1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(100n －n 2)－[100(n －1)－(n －1)2]＝101－2n . ∵a 1＝S 1＝100×1－12＝99，适合上式，∴a n ＝101－2n (n ∈N *)．又a n ＋1－a n ＝－2为常数，∴数列{a n }是首项为99，公差为－2的等差数列． (2)令a n ＝101－2n ≥0，得n ≤50.5，∵n ∈N *，∴n ≤50(n ∈N *)．①当1≤n ≤50时，a n >0，此时b n ＝|a n |＝a n ，∴数列{b n }的前n 项和S n ′＝100n －n 2. ②当n ≥51时，a n <0，此时b n ＝|a n |＝－a n ，由b 51＋b 52＋…＋b n ＝－(a 51＋a 52＋…＋a n )＝－(S n －S 50)＝S 50－S n ，得数列{b n }的前n 项和S n ′＝S 50＋(S 50－S n )＝2S 50－S n ＝2×2 500－(100n －n 2)＝5 000－100n ＋n 2.由①②得数列{b n }的前n 项和为S n ′＝⎩⎪⎨⎪⎧100n －n 2，1≤n ≤50，5 000－100n ＋n 2，n ≥51，n ∈N *. 反思感悟 已知等差数列{a n }，求绝对值数列{|a n |}的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”．跟踪训练3 在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22. (1)数列{a n }前多少项和最大？ (2)求{|a n |}的前n 项和S n .解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝23，a 1＋24d ＝－22，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝50，d ＝－3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53.令a n >0，得n <533，∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0；当n ≥18，n ∈N *时，a n <0，∴数列{a n }的前17项和最大． (2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－32n 2＋1032n .当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2⎝⎛⎭⎫－32×172＋1032×17－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋1032n ＝32n 2－1032n ＋884. ∴S n＝⎩⎨⎧－32n 2＋1032n ，n ≤17，n ∈N *，32n 2－1032n ＋884，n ≥18，n ∈N *.等差数列前n 项和公式的实际应用典例 某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？解 因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意分20次付款，则每次付款的数额依次构成数列{a n }，则a 1＝50＋1 000×1%＝60， a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5， a 3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59， a 4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5，所以a n ＝50＋[1 000－50(n －1)]×1%＝60－12(n －1)(1≤n ≤20，n ∈N *)．所以{a n }是以60为首项，－12为公差的等差数列．所以a 10＝60－9×12＝55.5，a 20＝60－19×12＝50.5.所以S 20＝12×(a 1＋a 20)×20＝10×(60＋50.5)＝1 105.所以实际共付1 105＋150＝1 255(万元)．[素养提升] (1)本题属于与等差数列前n 项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体观．等差数列前n 项和1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 6＝a 8＋6，则S 7等于( ) A ．49 B ．42 C ．35 D ．28 答案 B解析 2a 6－a 8＝a 4＝6，S 7＝72(a 1＋a 7)＝7a 4＝42.2．在等差数列{a n }中，已知a 1＝10，d ＝2，S n ＝580，则n 等于( ) A ．10 B ．15 C ．20 D ．30 答案 C解析 因为S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝10n ＋12n (n －1)×2＝n 2＋9n ，所以n 2＋9n ＝580， 解得n ＝20或n ＝－29(舍)．3．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1等于( ) A ．18 B ．20 C ．22 D ．24 答案 B解析 由S 10＝S 11， 得a 11＝S 11－S 10＝0，所以a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)×(－2)＝20.4．(多选)在等差数列{a n }中，d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，则a 1等于( ) A ．－1 B ．3 C ．5 D ．7 答案 AB解析 由题意知a 1＋(n －1)×2＝11，① S n ＝na 1＋n (n －1)2×2＝35，②由①②解得a 1＝3或－1.5．在等差数列{a n }中，已知a 1＝－12，S 13＝0，则使得a n >0的最小正整数n 为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10答案 B解析 由S 13＝13(a 1＋a 13)2＝0，得a 13＝12，则a 1＋12d ＝12，得d ＝2， ∴数列{a n }的通项公式为 a n ＝－12＋(n －1)×2＝2n －14，由2n －14>0，得n >7，即使得a n >0的最小正整数n 为8.6．已知{a n }是等差数列，a 4＋a 6＝6，其前5项和S 5＝10，则其首项a 1＝________，公差d ＝________. 答案 1 12解析 a 4＋a 6＝a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝6，① S 5＝5a 1＋12×5×(5－1)d ＝10，②由①②联立解得a 1＝1，d ＝12.7．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝________. 答案 5解析 因为S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝a 1＋kd ＋a 1＋(k ＋1)d ＝2a 1＋(2k ＋1)d ＝2×1＋(2k ＋1)×2＝4k ＋4＝24，所以k ＝5.8．在等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d ＝________.答案 12解析 设数列{a n }的公差为d ，由题意得10a 1＋12×10×9d ＝4⎝⎛⎭⎫5a 1＋12×5×4d ，所以10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ， 所以10a 1＝5d ，所以a 1d ＝12.9．在等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50. (1)求数列的通项公式； (2)若S n ＝242，求n .解 (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d .则⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝a 1＋9d ＝30，a 20＝a 1＋19d ＝50， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12＋(n －1)×2＝10＋2n .(2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d 以及a 1＝12，d ＝2，S n ＝242，得方程242＝12n ＋n (n －1)2×2，即n 2＋11n －242＝0，解得n ＝11或n ＝－22(舍去)．故n ＝11.10．已知{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且S 7＝7，S 15＝75，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n项和T n .解 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1， ∴S nn ＝a 1＋n －12d ＝－2＋n －12， ∴S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，且其首项为－2，公差为12.∴T n ＝14n 2－94n .11．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A ．765 B ．665 C ．763 D ．663 答案 B解析 ∵a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100， ∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665.12．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n ·S n ＋1，则S n ＝________. 答案 －1n解析 当n ＝1时，S 1＝a 1＝－1， 所以1S 1＝－1.因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1， 所以1S n －1S n ＋1＝1， 即1S n ＋1－1S n＝－1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以－1为首项，－1为公差的等差数列，所以1S n＝(－1)＋(n －1)·(－1)＝－n ， 所以S n ＝－1n. 13．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ，且a n ∶b n ＝(2n ＋1)∶(3n －2)，则S 9T 9＝________. 答案 1113解析 ∵{a n }，{b n }均为等差数列，∴S 9T 9＝9(a 1＋a 9)29(b 1＋b 9)2＝a 5b 5＝2×5＋13×5－2＝1113.14．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________．答案 10解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 当n ＝19时，S 19＝190.当n ＝20时，S 20＝210>200.∴当n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．15．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N *)个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n 等于( )A.3n 22B.n (n ＋1)2C.3n (n －1)2D.n (n －1)2答案 C 解析 由图案的点数可知a 2＝3，a 3＝6，a 4＝9，a 5＝12，所以a n ＝3n －3，n ≥2，所以a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n ＝(n －1)(3＋3n －3)2＝3n (n －1)2. 16．已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝S n n ＋c(c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，求c 的值． 解 (1)∵S 4＝28，∴(a 1＋a 4)×42＝28，a 1＋a 4＝14， ∴a 2＋a 3＝14，又a 2a 3＝45，公差d >0，∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4， ∴a n ＝4n －3，n ∈N *.(2)由(1)，知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c， ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. 又{b n }也是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2，即2×62＋c ＝11＋c ＋153＋c， 解得c ＝－12(c ＝0舍去)．等差数列前n 项和的性质及应用1．在等差数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和为S n ，若S 88－S 66＝2，则S 10等于( ) A ．10 B ．100 C ．110 D ．120答案 B解析 ∵{a n }是等差数列，a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列且首项为S 11＝1. 又S 88－S 66＝2， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公差是1， ∴S 1010＝1＋(10－1)×1＝10， ∴S 10＝100.2．若等差数列{a n }的前m 项的和S m 为20，前3m 项的和S 3m 为90，则它的前2m 项的和S 2m 为( )A ．30B ．70C ．50D ．60答案 C解析 ∵等差数列{a n }中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，∴2(S 2m －S m )＝S m ＋S 3m －S 2m ，∴2(S 2m －20)＝20＋90－S 2m ，∴S 2m ＝50.3．已知数列{2n －19}，那么这个数列的前n 项和S n ( )A ．有最大值且是整数B ．有最小值且是整数C ．有最大值且是分数D ．无最大值和最小值答案 B解析 易知数列{2n －19}的通项a n ＝2n －19，∴a 1＝－17，d ＝2.∴该数列是递增等差数列．令a n ＝0，得n ＝912.∴a 1<a 2<a 3<…<a 9<0<a 10<….∴该数列前n 项和有最小值，为S 9＝9a 1＋9×82d ＝－81. 4．(多选)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，下列判断正确的是( )A ．d <0B ．S 11>0C ．S 12<0D ．数列{S n }中的最大项为S 11答案 AB解析 ∵S 6>S 7，∴a 7<0，∵S 7>S 5，∴a 6＋a 7>0，∴a 6>0，∴d <0，A 正确；又S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6>0，B 正确； S 12＝122(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0，C 不正确； 数列{S n }中最大项为S 6，D 不正确．故正确的选项是AB.5．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 018，S k ＝S 2 009，则正整数k 为( )A ．2 017B ．2 018C ．2 019D ．2 020答案 D解析 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S 2 011＝S 2 018，S k ＝S 2 009，可得2 011＋2 0182＝2 009＋k 2， 解得k ＝2 020.6．已知在等差数列{a n }中，公差d ＝1，且前100项和为148，则前100项中的所有偶数项的和为________．答案 99解析 由题意，得S 奇＋S 偶＝148，S 偶－S 奇＝50d ＝50，解得S 偶＝99.7．已知在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知S 3＝9，a 4＋a 5＋a 6＝7，则S 9－S 6＝________. 答案 5解析 ∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，而S 3＝9，S 6－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＝7，∴S 9－S 6＝5.8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,7a 5＋5a 9＝0，且a 9>a 5，则S n 取得最小值时n 的值为________．答案 6解析 由7a 5＋5a 9＝0，得a 1d ＝－173. 又a 9>a 5，所以d >0，a 1<0.因为函数y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 的图象的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n 取得最小值时n 的值为6.9．已知在等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值？解 (1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0，得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2，∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝11－2n .(2)方法一 a 1＝9，d ＝－2，S n ＝9n ＋n (n －1)2·(－2)＝－n 2＋10n ＝－(n －5)2＋25，∴当n ＝5时，S n 取得最大值．方法二 由(1)知a 1＝9，d ＝－2<0，∴{a n }是递减数列．令a n ≥0，则11－2n ≥0，解得n ≤112. ∵n ∈N *，∴当n ≤5时，a n >0；当n ≥6时，a n <0.∴当n ＝5时，S n 取得最大值．10．在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n .解 (1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，∴{a n }是等差数列，又∵a 1＝8，a 4＝2，∴d ＝－2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10－2n ，n ∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝8n ＋n (n －1)2×(－2)＝9n －n 2.∵a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5.当n >5时，a n <0；当n ＝5时，a n ＝0；当n <5时，a n >0.∴当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝9n －n 2.当n >5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n＝2×(9×5－25)－9n ＋n 2＝n 2－9n ＋40，∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 9n －n 2，n ≤5，n ∈N *，n 2－9n ＋40，n ≥6，n ∈N *.11．若数列{a n }的前n 项和是S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|等于( )A ．15B ．35C ．66D ．100答案 C解析 易得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1，n ＝1，2n －5，n ≥2.|a 1|＝1，|a 2|＝1，|a 3|＝1，令a n >0，则2n －5>0，∴n ≥3.∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝1＋1＋a 3＋…＋a 10＝2＋(S 10－S 2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝11，S 1515－S 77＝－8，则S n 取最大值时的n 为() A ．6 B ．7 C ．8 D ．9答案 B解析 设数列{a n }是公差为d 的等差数列， 则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为d 2的等差数列． 因为S 1515－S 77＝－8， 故可得8×d 2＝－8，解得d ＝－2； 则a 1＝a 2－d ＝13，则S n ＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，故当n ＝7时，S n 取得最大值．13．已知S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且S n T n ＝2n ＋14n －2(n ∈N *)，则a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝________.答案 4178解析 因为b 3＋b 18＝b 6＋b 15＝b 10＋b 11，所以a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝a 10＋a 11b 10＋b 11＝10(a 10＋a 11)10(b 10＋b 11)＝S 20T 20＝2×20＋14×20－2＝4178. 14．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8＝13，那么S 8S 16＝________. 答案 310解析 设S 4＝k ，S 8＝3k ，由等差数列的性质得S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12构成等差数列．所以S 8－S 4＝2k ，S 12－S 8＝3k ，S 16－S 12＝4k .所以S 12＝6k ，S 16＝10k .S 8S 16＝310.15．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．答案 11 7解析 设等差数列{a n }的项数为2n ＋1(n ∈N *)，S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1， 所以S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433， 解得n ＝3，所以项数2n ＋1＝7，S 奇－S 偶＝a n ＋1， 即a 4＝44－33＝11，为所求的中间项．16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n >0，a 1<2,6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)．(1)求证：{a n }是等差数列；(2)令b n ＝3a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <1. 证明 (1)因为6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)， 所以当n ≥2时，6S n －1＝(a n －1＋1)(a n －1＋2)，两式相减，得到6a n ＝(a 2n ＋3a n ＋2)－(a 2n －1＋3a n －1＋2)，整理得(a n －a n －1)(a n ＋a n －1)＝3(a n ＋a n －1)， 又因为a n >0，所以a n －a n －1＝3，所以数列{a n }是公差为3的等差数列．(2)当n ＝1时，6S 1＝(a 1＋1)(a 1＋2)， 解得a 1＝1或a 1＝2，因为a 1<2，所以a 1＝1，由(1)可知a n －a n －1＝3，即公差d ＝3， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×3＝3n －2，所以b n ＝3a n a n ＋1＝3(3n －2)(3n ＋1)＝13n －2－13n ＋1， 所以T n ＝1－14＋14－17＋…＋13n －2－13n ＋1＝1－13n ＋1<1.。
等差数列求和与性质
合作探究：
计算： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100+101
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创设情景
平行四 三角形 边形
若V形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每 一层都比它下面一层 多放一支，最上面 一层有很多支铅笔， 老师说有n支。问： 这个V形架上共放 着多少支铅笔？ 问题就是： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ (n-1) ＋ n 若用首尾配对相加法，需要分类讨论.
倒序相加法
计算： 1
分析：这 其实是求 一个具体 的等差数 列前n项 和.
2
3 (n 1) n ①
2 ＋1 ②
n ＋ (n-1) ＋ (n-2) ＋…＋
2 1 2 3 (n 1) n n (n 1)
n (n 1) 1 2 3 (n 1) n 2
10 10 1 S10 10 500 50 7250 万元 2
答
变式练习
一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最 上面一层铺瓦片21块，往下每一层多铺1 块，斜面上铺了19层，共铺瓦片多少块？
解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦 片数构成等差数列{an}，且a1=21，d=1， n=19. 于是，屋顶斜面共铺瓦片：
n(n 1) Sn na1 d 2
2．等差数列前n项和五个元素,只要 知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另 两个元素.
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又 a1 an a2 a n1 a3 an2 an a1
n(a1 an ) 2Sn n(a1 an ) 即S n 2
求和公式
等差数列的 前n项和等 等差数列的前n项和的公式： 于首末两项 的和与项数 n(a1 an ) 乘积的一半。
等差数列的前n项求和公式ppt课件
由等差数列的性质 即
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…
2Sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
Sn=n(a1+an)/2
5
如果代入等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，Sn也可 以用首项a1和公差d表示，即 Sn=na1+n(n-1)d/2 所以，等差数列的前n项求和公式是
-------方程、函数思想 3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知 其中三个量，可以求其余两个 -------知三求二
15
A组2、4、5
16
谢谢观赏
17
S
n
n a1 a n 2
或
S
n
n a1
n n 1 d 2
6
例题
例1
54？
等差数列-10，-6，-2， 2，…前多少项的和是
例2
已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前 20项的和是1220 .求等差数列的前n项和的公式
例3
求集合M={m|m=7n, n是正整数, 且m<100}的元素 个数, 并求这些元素的和.
8a 52 d n 2 14n nn 1 d S na d
a
n 1
13 d 0 d 0 2
2
2
解2： S3 S11
即 n=7
a1 0
由等差数列构成的函数图象，可知 n=（3+11）/2=7时，Sn最大
12
an 例8.等差数列 的前项n和S n，且a3 12 ，S12 0, S13 0
等差数列的前n项和公式的性质
例 3. 项数为奇数的等差数列{an }，奇数项之和为 44，偶数项之和为
33，求这个数列的中间项及项数．
解：设等差数列{an}共有(2n＋1)项，则奇数项有(n＋1)项，偶数项
有 n 项，中间项是第(n＋1)项，即 an＋1，
1
S奇 2a1＋a2n＋1n＋1 n＋1an＋1 n＋1 44 4
解法1: 由S3=S11, 得
1
1
3 13 3 2 d 1113 1110 d
2
2
∴ d=－2
1
Sn 13n n(n 1) (2)
2
n2 14n
( n 7)2 49
故当n=7时, Sn取最大值49.
解法2: 由S3=S11, 得d=－2<0
=
5+2
，则
+3
10n 3
67
7
=_______；
=_______；
2n 2
18
8
课堂小结
等差数列的前n项和公式的性质
性质1：数列{an}是等差数列⟺Sn=An2+Bn (A,B为常数)
Sn
性质2: 若数列{an}是公差为d的等差数列, 则数列 也
d
n
是等差数列, 且公差为 2 .
当m=n时，公式变化？
an S 2 n 1
bn T2 n1
例 4.已知{an},{bn}均为等差数列，其前 n 项和分别为 Sn,
5
a5
Sn 2n＋2
Tn，且T ＝
，则b ＝________.
3
n
5
n＋3
变式1. 若
等差数列的前n项和-概念解析
数学教育
等差数列的前n项和公式是数学 教育中的重要内容，是中学数学
课程中的必修知识点。
在物理领域的应用
物理学中的周期性现象
等差数列的前n项和公式可以用于描述物理学中的周期性现象，例如声音的振 动、波动等。
物理学中的序列问题
等差数列的前n项和公式可以用于解决物理学中的序列问题，例如在研究粒子运 动、流体动力学等领域中，可以通过等差数列的前n项和公式来描述一系列物理 量的变化规律。
解答
由于该等差数列是偶数项，所以它的前10项和等于中间两 项之和（第5项和第6项）乘以10除以2，即$(3 - 3) times 10 / 2 = 0$。
习题三：等差数列前n项和的实际应用问题
01 总结词
02 详细描述
03 应用1
04 应用2
05 应用3
掌握等差数列前n项和在实 际问题中的应用
等差数列前n项和在实际问 题中有着广泛的应用，如 计算存款、贷款、工资等 问题。
总结词
详细描述
公式
示例
解答
理解等差数列前n项和的 概念
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和，可以通过公式 或递推关系式来求解。
$S_n = frac{n}{2} times (2a_1 + (n-1)d)$，其中 $a_1$是首项，$d$是公 差，$n$是项数。
求等差数列$1, 3, 5, 7, ldots$的前5项和。
等差数列前n项和的公式推导
等差数列前n项和的公式可以通过数学归 纳法进行推导。
化简得：$S_{k+1} = frac{(k+1)}{2}(2a_1 + kd)$，所以当n=k+1时，公式也成立。
等差数列的前n项和公式
故a1=5
例3
n(a1 an ) 公式 S n 和S n 2
n ( n 1) na1 d 2 2)在等差数列中，a1=-2,S10=-11,求d
分析:若a1 = -2, S10 =-11, n=10,求d,活用公式2
解: S10=-2X10+10(10-1)d/2
所以-11=-20+45d
思考:
n(a1 an ) Sn 2
又因为an=a1+(n-1)d，代入上式 这个式子化简又变成什么呢?
n(n 1) S n na1 d 2
于是得到了求等差数列前n项和的两 个公式：
思考:(1)这两个公式有那些相同的参数,不同的? 可以得到什么结论 ?(2) 每个公式中至少要知道 几个参数,才能求任意的一个? 注意:1) 相同点: 已知a1和n; 不同点:一个已知 an,一个已知d 2) 知三求一
书295页Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1，4，5 B组1，2
先 把 公 式 抄 三 遍 哦
每个人都有一双隐形的翅膀,努力就会成功!
谢谢指导！
感谢高一(1)班的同学!!
答案:500, 做对了吗?
答案: 8900 对了吗?
n ( n 1) n(a1 an ) 公式 Sn 2 和 S n na1 2 d 例3 (1)在等差数列中，a20=15,S20=200, 求a1?
分析：对公式1活用，注意n=20 解: 因为sn=n(a1+an)/2 故S20 =20(a1+a20)/2 200=20(a1+15)/2 =>20= a1+15
三.讲解新课
一般地，把一个数列的前n项和，记做Sn
即有Sn=a1+a2+a3+……+an
等差数列的前n项和性质及应用
性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p= － (m+p)
性质3:若Sm=Sp (m≠p),则 Sp+m= 0
性质4:(1)若项数为偶数2n,则
S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中
间两项), 此时有:S偶－S奇= nd
,
S奇 S偶
an an1
性质4:(1)若项数为奇数2n－1,则
S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( B)
A.63 B.45 C.36 D.27
例2.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且
a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=A( )
A.85 B.145 C.110 D.90
等差数列{an}前n项和的性质的应用
例3.一个等差数列的前10项的和为100, 前100项的和为10,则它的前110项的和 为 －110 .
1.根据等差数列前n项和，求通项公式.
an aS1n Sn1
n1 n2
2、结合二次函数图象和性质求
Sn
d 2
n2
(a1
d )n 2
的最值.
3.等差数列{an}前n项和的性质
在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有
性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n, …也在等差数列, 公差为 n2d
∴当n=7时,Sn取最大值49.
等差数列的前n项的最值问题
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法2 由S3=S11得 d=－2<0
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
实例
总结词
等差数列的实例包括正整数序列、负数序列、斐波那契数列等。
详细描述
正整数序列1, 2, 3, ...是一个等差数列，其中首项a=1，公差d=1；负数序列-1, 2, -3, ...也是一个等差数列，其中首项a=-1，公差d=-1；斐波那契数列0, 1, 1, 2, 3, 5, ...也是一个等差数列，其中首项a=0，公差d=1。
01
求等差数列3, 6, 9, ..., 3n的前n项和。
进阶习题2
02
求等差数列-2, -4, -6, ..., -2n的前n项和。
进阶习题3
03
求等差数列5, 10, 15, ..., 5n的前n项和。
高阶习题
1 2
Байду номын сангаас
高阶习题1
求等差数列-3, -6, -9, ..., -3n的前n项和。
高阶习题2
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数。
详细描述
等差数列通常表示为“an”，其 中a是首项，n是项数，d是公差 （任意两个相邻项的差）。
性质
总结词
等差数列的性质包括对称性、递增性、递减性等。
详细描述
等差数列的对称性是指任意一项与它的对称项相等，即a_n=a_(n+2m)，其中 m是整数；递增性是指如果公差d>0，则数列是递增的；递减性是指如果公差 d<0，则数列是递减的。
PART 04
等差数列前n项和的变式 与拓展
REPORTING
变式公式
01
02
03
04
公式1
$S_n = frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$
等差数列前项和性质PPT资料(正式版)
1 bn 2 an 30 2n 31
易知数列{bn}是以为b1=-29首项,以b2-b1=2为公差的等差数列,
其前n项和Sn
29n
n(n 1) 2
2
n2
30n
(n 15)2
225
由二次函数的性质可知当n 15时,(Sn)min 225
(3)由 ( 2 ) bn 2 n 3 1, 首 项 b1 2 9 , 公 差 d 2 ,
可等(1)由差求a数证n列≥{a0前n，}n是且项等na和n差＋的数1性最列＜质值；0（问，1题求）有得两n的种值方；法：
当 n 1 6时 , T b b ... b b ... b 可已由知a数n列≥0{，an且}是a正n＋数1数＜列0，，且求得n的值；
等等(2)差差当数 数a列列1＞前前0nn，项项d和和＜的的0，最性前值质n问（项2题和）有有n两最种大方值法. ：1
2
15
16
n
(b b ... b ) b b ... b 等差数列前n项和的性质（21）
可可(等2)由由差当aa数ann列1≤≤＞00前， ，0n，且且项daa和1＜nn＋＋的0，11性＞＞前质n002（项，，2和求求）有得得最nn的的大值值值... 1 5
16 17
n
2 ( b b ... b ) ( b b ... b b b ... b ) 等可差由数 an列≤0前，n且项a和n＋的1性＞质0（，1求）得n的值.
由二次函数的性质可知当n=6时,(Sn )min 66
2 .解
: (法
一
)由
S17 =S9 , 得
25 17
17
(1 7 2
1)
d
25 9 9 (9 1) d 解 得 d 2 2
等差数列的性质和前n项和
等差数列的性质和前n 项和[概念与规律]1．等差数列}a {n 具有如下性质： （1）通项公式：dn a a n )1(1-+=，)N m ,n (d )m n (a a m n*∈-+=；（2）若qp mn +=+，则q p m n a a a a +=+（其中m 、n 、p 、*∈Nq ）。
反之未必成立；（3）公差d 的计算方法：① d=n a －1-n a ② d =11--n a a n ③ d =mn a a m n --2．在等差数列}a {n 中，序号成等差的项又组成一个等差数列，即l a ，k l a +，k l a 2+，…，1)k -(m +l a ，mkl a +，…是等差数列，公差为kd 。
3．在等差数列}a {n 中，依次k 个项之和仍组成一个等差数列。
即k S ，kkS S -2，kkS S 23-，…，k)l (lk S S 1--，…（2≥k ，*∈N k ）成等差数列。
4．等差数列的判断方法：①定义法：1+n a －n a =d （d 为常数），②),(为常数q p q pn a n +=⇔数列}a {n 是首项为p+q ，公差为p 的等差数列；③等差中项的定义；④前n 项和Sn=An 2+Bn （A ，B 为常数）⇔数列}a {n 是首项为A+B ，公差为2A 的等差数列。
（附：求n a 和n S 都可用待定系数法）[讲解设计]·重点与难点例1 （1）已知}a {n 是等差数列，且21512841=+-+-a a a a a ，求133a a +的值。
（2）已知在等差数列}a {n 中，若80a 49=，100a 59=，求79a 。
解 ：点评 若由已知去求首项1a 与公差d ，则运算量较大。
例2 已知数列{a n }满足a 1=4,a n =4-14-n a (n ≥2),令b n =21-n a .求证：数列{b n }是等差数列.练习：{a n }为等差数列，公差d ≠0,a n ≠0,(n ∈N *),且a k x 2+2a k +1x +a k +2=0(k ∈N *) (1)求证：当k 取不同自然数时，此方程有公共根； (2)若方程不同的根依次为x 1,x 2,…,x n ,…,求证：数列11,,11,1121+++n x x x 为等差数列.例3 已知等差数列}a {n 的前n 项和为n S ，且100S 10=，10100=S ，试求110S 。
等差数列前n项和性质
公式应用
计算等差数列前n项和
利用等差数列前n项和公式， 可以快速计算出等差数列的前 n项和，避免了逐项相加的繁 琐过程。
判断等差数列的性质
通过等差数列前n项和公式， 可以推导出等差数列的一些性 质，如等差中项、等差数列的 和与项数的关系等。
解决实际问题
等差数列前n项和公式在实际 问题中有着广泛的应用，如计 算存款利息、求解物理问题等 。通过灵活运用公式，可以简 化问题求解过程。
等差数列求和与数学归纳法
数学归纳法是一种证明等差数列前n项和性质的有效方法。 通过数学归纳法，可以证明等差数列前n项和公式的正确性 ，以及推导其他相关性质。
06
总结与展望
总结等差数列前n项和性质
• 等差数列前n项和公式：等差数列前n项和S_n=n/2*[2a_1+(n-1)d]，其中a_1为首项，d为公差，n为项数。该公式用于计 算等差数列前n项的和。
等差数列是数列中的一种特殊情况，学生可以将 所学的知识和方法拓展到等比数列和其他类型的 数列中，加深对数列的理解和掌握。
掌握等差数列的求解方法
在学习等差数列的过程中，学生需要掌握各种求 解方法，如直接代入法、待定系数法、配方法等 。通过不断练习，提高解题速度和准确性。
结合实际问题进行应用
数列在现实生活中有着广泛的应用，如分期付款 、人口增长、物理运动等问题。建议学生结合实 际问题，运用所学的等差数列知识进行求解和分 析，提高解决实际问题的能力。
若两个等差数列的前n项和分别为S_n和T_n，且S_n/T_n=k（k为 常数），则这两个数列的公差之比为k。
对未来学习的建议
深入学习等差数列的性质
除了前n项和性质外，等差数列还有许多其他重 要的性质，如通项公式、中项性质等。建议学生 深入学习这些性质，并理解它们之间的联系和应 用。
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两式相加得 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…
+(an+a1)=n(a1+an),故 Sn= n(a1 an ) .这是一 2
种重要的思想方法,通常称为倒序相加法)
(2)等差数列的前 n 项和公式的两种形式
Sn= n(a1 an ) =na1+ 1 n(n-1)d,在具体应用时,应
试一试:(1)已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该
数列的前 9 项和 S9 等于( C )
(A)18 (B)27 (C)36 (D)45
(2)已知数列{an}中,a1=-7,an+1=an+2,则 a1+a2+…
+a17=
.
解析:(1)∵a1+a9=a2+a8=8,
∴S9= 9(a1 a9 ) = 9 8 =36.故选 C.
名师导引:有了等差数列的奇数项之和与偶 数项之和的值及最后一项与第一项之差,要 求 a1,d,n 应怎样应用条件求解?(法一:设数 列的项 n=2k(k∈N*),由 S 偶-S 奇=kd 及 an-a1=(2k-1)d 建立方程组求解. 法二:根据等差数列中的奇数项依次仍成等 差数列,偶数项依次仍成等差数列可求解)
2
(3)由已知得
naa11
2n 1 11, n n 1 35,
解得
an1
3, 5
或
an1
1, 7.
等差数列前 n 项和性质的
应用
【例 2】 (12 分)一等差数列共有偶数项,且奇 数项之和与偶数项之和分别为 24 和 30,最后一 项与第一项之差为 10.5,求此数列的首项、公差 以及项数.
∴604.5=
,解得 n=26.
2
nn 1
(2)由已知得
m na1 n ma1 m
2 m 2
d,
1
d,
m n 1
两式相减得 a1+
d=-1.
2
n(n 1)
再由 Sn=na1+
d 可得
2
m nm n 1
Sm+n=(m+n)a1+
d
2
m n 1
=(m+n)(a1+
d)=-(m+n).
等差数列前 n 项和公式
你知道高斯是怎样求和的吗? (1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+… +(50+51)=101×50=5050)
如果等差数列{an}的首项为 a1,公差
为 d,第 n 项为 an,则前 n 项和 Sn= n(a1 an ) , 2
若将前 n 项和用 a1,d,n 表示,可表示成
2
2
(2)由题意得 an+1-an=2,
∴数列{an}是公差为 2 的等差数列, 又 a1=-7,
17 16
∴a1+a2+…+a17=17×(-7)+
×2=153.
2
答案:(1)C (2)153
等差数列的前 n 项和的基本
运算
【例 1】 在等差数列{an}中, (1)d=3,an=20,Sn=65,求 n; (2)已知 a16=3,求 S31.
2 13
得 n=10,n= (舍去).
3
(2)S31= (a1 a31) ·31=a16·31=3×31=93. 2
已知等差数列的五个量 a1、d、an、n、 Sn 的任意三个求其他两个量时,常用的思想方法是 什么?(一般需建立方程(组),在求解过程中通常 用到代入消元法或加减消元法.同时要注意等差 数列的性质和整体代入思想的应用)
名师导引:(1)已知 d、an、Sn,求 n 还需知道什 么量?(需知 a1 的值,代入前 n 项和公式
Sn= n(a1 an ) 求解) 2
(2)由 a16 怎么求 S31?(S31=31a16)
解:(1)d=3,an=20,Sn=65,
由 Sn= n(a1 an ) ,得 2
65= n 20 3 n 1 20 .
2.2 等差数列的前 n 项和 第一课时 等差数列前 n 项
和公式及性质
【课标要求】. 2.理解等差数列前 n 项和公式推导所体现的数 学思想. 3.掌握等差数列前 n 项和公式,会应用公式解 决等差数列问题.
栏
目
课前预习
导 航
课堂探究
【实例】 近代数学奠基者之一,德国数学家、物理学 家、天文学家、大地测量学家高斯,与阿基米德、牛 顿、欧拉并列为历史上最伟大的数学家.人们用天才、 早熟、高产、创造力不衰、数学王子等称赞高斯是“人 类的骄傲”,爱因斯坦也说:“高斯对于近代物理学的 发展,尤其是对于相对论的数学基础所作的贡献,其 重要性是超越一切,无与伦比的.”传说高斯 3 岁便能 纠正他父亲的借债账目问题,10 岁时用很短的时间算 出老师布置的任务:对自然数 1 到 100 求和.
n(n 1) Sn= na1 2 d .
质疑探究:(1)等差数列前 n 项和是用什么方法 得出的? (在推导等差数列前 n 项和时,充分利用等差数 列性质 a1+an=a2+an-1=… =ai+an-i+1(i=1,2,…,n-1)
Sn Sn
a1 an
a2 L an1 L
an a1
解:法一 设此数列首项为 a1,公差为 d,项数为 2k(k∈N*), 由已知得
2
2
采取哪种形式运算比较合理?
(在求等差数列的和时,一般地,若已知首项 a1 及末
项 an,用公式 Sn= n(a1 an ) 较好,若已知首项 a1 2
n n 1
及公差 d,用公式 Sn=na1+
d 较好)
2
(3)如何理解等差数列{an}中五个量
a1,an,n,d,Sn 之间的关系?
(由等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d 和
前 n 项和公式
Sn= n(a1 an ) =na1+ 1 n(n-1)d,可以看
2
2
到等差数列中的五个量 a1,an,d,n,Sn,已知
其中的任意三个,可求出剩余的两个)
(4)在等差数列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,… 之间有什么关系? (在等差数列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成 等差数列,公差为 n2d)
跟踪训练 1-1:(1)已知 a1=14.5,an=32,Sn=604.5, 求 n. (2)已知 Sn=m,Sm=n,其中 m≠n,m,n∈N*,求 Sm+n. (3)已知 an=11,Sn=35,d=2,求 a1,n.
解:(1)已知 a1=14.5,an=32,Sn=604.5,
n(14.5 32)