等差数列前n项和公式及性质培训资料
2.3.1等差数列前N项和的公式PPT课件
【公式记忆】 梯形的面积公式
等差数列的前n项和公式类同于
；
用梯形面积公式记忆等差数列前n项和公式， 这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差 数列前n项和的两个公式.
n
例1 等差数列-10，-6，-2，
2，…前多少项的和是54？
sn
na1
n(n 1) d 2
整理后, 得n2 6n 27 0
S= n+(n-1)+(n-2)+…+ 3 + 2 +1
2S n(n 1),
S n(n 1) 2
下一页
下面将对等差数列的前n项和公式进行推导 设等差数列a1,a2,a3,…
它的前n 项和是 Sn=a1+a2+…+an-1+an (1)
若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2)
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
第24讲-等差数列及其前n项和(解析版)
第24讲-等差数列及其前n 项和
一、 考情分析
1.理解等差数列的概念；
2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；
4.体会等差数列与一次函数的关系.
二、 知识梳理
1.等差数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N +，d 为常数).
(2)如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，且A ＝x ＋y
2. 2.等差数列的通项公式与前n 项和公式
(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝n （a 1＋a n ）
2.
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N +).
(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N +)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .
(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N +)是公差为md 的等差数列. (4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列. (5)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭
第二课时等差数列前n项和的性质
栏目导引
方法二：设奇数项与偶数项的和分别为 S 奇，S 偶，
S偶＋S奇＝354， ∴SS偶 奇＝3227，
∴SS偶 奇＝ ＝119622， ，
∴d＝192－6 162＝5，
又∵S 奇＝a1＋a211×6＝3(2a1＋10d)＝162，
∴a1＝2，
∴an＝a1＋(n－1)d＝5n－3.
工具
第一章 数列
栏目导引
方法四：∵S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100 ＝90a112＋a100＝90a1＋2 a110. 又S100－S10＝10－100＝－90， ∴a1＋a110＝－2， ∴S110＝110a12＋a110＝－110.
工具
第一章 数列
栏目导引
方法五：设数列{an}的公差为d. 由于Sn＝na1＋nn－2 1d，则Snn＝a1＋d2(n－1)． ∴数列Snn是等差数列，公差为d2. ∴1S01000－S1100＝(100－10)d2，且1S11100－1S01000＝(110－100)d2， 将已知数值代入上式，消去d，可得S110＝－110.
工具
第一章 数列
栏目导引
1．等差数列的前 n 项和公式与函数
由于等差数列的前 n 项和公式
Sn＝na1＋nn－2 1d＝d2n2＋a1－d2n. (1)当d＝0，a1≠0时，Sn＝ na1 ，它是n的 一次 函数．
等差数列的前n项和公式的性质及应用 课件
[双基自测]
1．设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若 S7＝35，则 a4 等于( )
A．8
B．7
C．6
D．5
解析：Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，则 S7＝7a4＝35，∴a4＝5. 答案：D
2．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，如果 a5＋a9＝20，那么 S13 的值是
因为 S2k＝2ka1＋12×2k(2k－1)d＝8a1＋42，
所以 8a1＋42＝54，故 a1＝32，
所以此数列的首项是32，公差是32，项数为 8.
法二：设此数列的首项为 a1，公差为 d，项数为 2k(k∈N*)，
S奇＝24， 根据题意，得S偶＝30，
a2k－a1＝221，
12ka1＋a2k－1＝24， 即12ka2＋a2k＝30，
解析：由题意可知，各年植树亩数为：100,150,200，…成等差数列， 设植树 n 年可将荒山全部绿化，则： 100n＋nn2－1×50＝2 200， 解之得 n＝8 或 n＝－11(舍去)， 所以到 2017 年可将荒山全部绿化．
等差数列奇数项、偶数项之和
[典例] 一等差数列共有偶数项，且奇数项之和与偶数项之和分别为 24
()
A．130
B．65
C．70
D．以上都不对
解析：S13＝a1＋2 a13×13＝a5＋2 a9×13＝130.
第31讲 等差数列的前n项和 (讲义 练习)(解析版)
第31讲 等差数列的前n 项和
知识点概要
1.等差数列的前n 项和公式 已知量
首项、末项与项数
首项、公差与项数
求和公式
S n = S n =na 1+ d
【思考】
(1)已知等差数列的首项、末项,如何求前n 项和? 答案:运用公式S n =
.
(2)已知等差数列的首项、公差,如何求前n 项和?
提示:运用公式S n =na 1+ d.
2.等差数列的前n 项和公式与二次函数的关系
将等差数列前n 项和公式S n =na 1+d 整理成关于n 的函数可得S n =n 2
+
n.
【思考】
S n =an 2
+bn+c,其中a,b,c 为常数,一定为一个等差数列的前n 项和吗? 答案:不一定.当c=0时,S n =an 2
+bn 是一个等差数列的前n 项和. 2．三个必备结论
(1)若等差数列{a n }的项数为偶数2n ，则①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；
②S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a n
a n ＋1
.
(2)若等差数列{a n }的项数为奇数2n ＋1，则①S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；②S 奇S 偶
＝n ＋1
n .
(3)在等差数列{a n }中，若a 1＞0，d ＜0，则满足⎩
⎪⎨⎪⎧a m ≥0，
a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值S m ；
若a 1＜0，d ＞0，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，
a m ＋1≥0
的项数m 使得S n 取得最小值S m .
3．两个函数
等差数列{a n }，当d ≠0时，a n ＝dn ＋(a 1－d )，是关于n 的一次函数；
等差数列前n项和公式及性质(一)
课题
学习目标
1、通过对等差数列的前n项和Sn的研究发现它的一些性质。
2、能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等 差数列的相关知识解答相应问题。
必备知识
1.等差数列的定义：an1 an d 常数 .
2.等差数列an 的通项公式：
an a1 n 1d ak n k d n N 且k N ，k n
①求{ an }的通项公式；②求Sn，并求Sn的最小值．
收获
1、知识层面
Sn
na1
2
an
na1
nn 1
2
d
Sn Cn2 Dn（二次函数 )
2、方法层面
等差数列前n项和最值方法：
（1）二次函数法
（2）邻项变号法
配方；图象（对称轴
若
a1＞0，d＜0，则满足
am≥0， am＋1≤0
的项数 m 使得 Sn 取得最大值 Sm；
3.等差数列an 的前n项和公式：
Sn
na1 an
2
na1
nn 1 d
2
nN
4.等差数列an中：若正整数m，n，s，t满足m n s t，
a a 则am an
s
t
5.若Sn为等差数列{an}的前n项和，
则Sk，S2k Sk，S3k S2k，是以Sk为首项k 2d为公差的等差数列.
高中数学《等差数列前n项和的性质及应用》知识点讲解及重点练习
第2课时 等差数列前n 项和的性质及应用
学习目标 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式，了解等差数列前n 项和的一些性质.2.掌握等差数列前n 项和的最值问题．
知识点一 等差数列前n 项和的性质
1．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列
{S n n }
也是等差数列，且公差为d
2
.
2．设等差数列{a n }的公差为d ，S n 为其前n 项和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍构成等差数列，且公差为m 2d .
3．若等差数列{a n }的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ，
S 偶S 奇
＝a n ＋1a n
.4．若等差数列{a n }的项数为2n ＋1，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)·a n ＋1，S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇
＝n n ＋1
.
思考 在性质3中，a n 和a n ＋1分别是哪两项？在性质4中，a n ＋1是哪一项？答案 中间两项，中间项．
知识点二 等差数列{a n }的前n 项和公式的函数特征1．公式S n ＝na 1＋
n (n －1)d
2
可化成关于n 的表达式：S n ＝
d 2n 2＋
(a 1－
d 2
)
n .当d ≠0时，S n 关于n
的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n ，S n )在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线y ＝d 2x 2＋
(a 1－
d 2
)
x 上
横坐标为正整数的一系列孤立的点．2．等差数列前n 项和的最值(1)在等差数列{a n }中，
12.12等差数列及前n项和(公开课)
苏(文)
等差数列及其前n项和
江苏省大丰高级中学高三数学备课组
教学目标：
教学重点：
1.掌握等差数列定义、通项公式
2.理解等差数列的性质，并会运用性质 3.掌握等差数列的求和公式
等差数列通项公式 求和公式
教学难点： 等差数列性质的运 用
4.体会整体运算，转化与化归等思想
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
一、等差数列基本量的计算 二、等差数列的判定与证明 三、等差数列前n项和及综合应用 四、等差数列的性质及应用
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
探究收获：
探究一 探究二 探究三
探究四
基础知识 题型分类
基本量法 （a1，d）.
思想方法
练出高分
探究收获：
探究一 探究二 探究三 探究四
基础知识 题型分类
数列的判定 与证明（定义）
基础知识·自主学习
考点梳理
难点正本 疑点清源
1.等差数列的定义及通项公式 2.等差数列的性质 3.等差数列的前n项和
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
预习自测
小组自评,自纠 疑点清源
题 号
1
答案
49
2
3 4 5
13
10
等差数列的前n项和讲课讲稿
已知量
2.2等差数列的前n项和
1 •理解并掌握等差数列的前n项和公式及其推导过程，体会等差数列的前n 项和公式与二次函数的关系.（重点）
2•熟练掌握等差数列的五个基本量a i, d, n, a n, S n之间的联系，能够由其中的任意三个求出其余的两个.（重点）
1.等差数列的前n
2.
n n—1 d 2d
S n= na i + —2—d=㊁门+ a i —2 n.
d M0时，S n是关于n的二次函数，且无常数项.
判断(正确的打“V”，错误的打“x”)
(1) 公差为零的数列不能应用等差数列的前n项和公式.()
(2) 数列｛n2｝可以用等差数列的前n项和公式求其前n项和S n.()
(3) 若数列｛a n｝的前n项和为S n= an2+bn,则｛a n｝是等差数列.()
【解析】(1)任何等差数列都能应用等差数列的前n项和公式.
(2)数列｛n2｝不是等差数列，故不能用等差数列的前n项和公式.
(3)当公差不为0时，等差数列的前n项和是关于n的二次函数(常数项为0).
【答案】(1)x ⑵x (3)V
［小组合作型］
3
(1) 已知等差数列｛a n｝中，a i =2,
1
d= —2，Si= —15, 求n 和a n；
(2) 已知等差数列｛a n｝中，S5= 24,求a2 + a4；
(3) 数列｛a n｝是等差数列，a i= 1，a n= —512, —1 022,求公差d;
⑷已知等差数列｛a n ｝中,a 2 + a 5= 19, S = 40,求a io .
【精彩点拨】 运用方程的思想，根据已知条件建立方程或方程组求解， 另 外
等差数列前n项和性质
谢谢！
解 : 该 等 差 数 列 的 项 数 为10项 ,
S偶
S奇 =n
• d即 15-12.5=5 • d,解 得 d
1 2
10 9 1
又
S偶
S奇
S
1
即
0
1
5
1
2
.5
10a1
2 2
解 得 a1
1 2
a1
1 2
,d
1 2
例 3 ： 已 知 等 差 数 列 { a n } 中 ， 共 有 2 n - 1 项 , S 奇 = 2 9 0 ,S 偶 = 2 6 1 . 求 项 数 与 中 间 项 。
一.知识点回顾
1.等差数列的前n项和公式：
Sn
n(a1 an) 2
Sn
na1
n(n1)d 2
2.等差数列前n项和的性质（1）
由Sn na1n(n21)d
可化成
Sn
dn2 2
(a1d2)n
当d≠0时，是一个常数项为零的二次式.
思考3：一般地，若数列{an}的前n和Sn＝An2＋Bn，那 么数列{an}是等差数列吗？若Sn＝An2＋Bn＋C 呢？ （1）数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn （2）数列{an} 的前n项和是Sn＝An2＋Bn＋C ，则：
1.已知数列{an}的前项和Sn=2n2-23n, （1）求其通项公式an；
《等差数列的前n项和》课件
(3)S31＝a1＋2 a31×31＝a16×31＝3×31＝93.
[变式训练 1] 已知等差数列{an}． (1)a1＝56，an＝－32，Sn＝－5，求 n 和 d； (2)a1＝4，S8＝172，求 a8 和 d.
解析：(1)由题意，得
56－23 2
＝－5，解得 n＝15，
∵a15＝56＋(15－1)d＝－32，∴d＝－16.
1＋) an
2
③na1 ＋
( )－
2d
④r＝0 ⑤An2＋Bn ⑥最大值 ⑦最小值 ⑧k2d
⑨nd
⑩ an an＋1
⑪an
⑫n－n 1
⑬0
⑭－(m＋n)
⑮0 ⑯SS′22mm－－11
1.为何课本上在推导前n项和公式时，没有 首尾相加而是采用倒序相加法？
对于1＋2＋3＋…＋100＝？可用以下方法计算：
(2)等差数列中依次k项和成等差数列，即Sk， S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列，且公差为⑧ ________(d是原数列公差)．
(3)项数为偶数2n的等差数列{an}，有 S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)(an与an＋
1为中间的两项)；
S偶－S奇＝⑨________； ＝⑩________.
等差数列的前n项和
一、等差数列{an}的前n项和公式
一般地，我们称a1＋a2＋a3＋…＋an为数列 {an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝①________.
等差数列及其前n项和全面总结
从而有a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1 = n( n 1) bn-1，（n≥2） 2 ②
∴a8=a6+2d=10+2×3=16,
( a1 a8 ) S8=8× =44. 2 (3)设数列的前三项分别为a-d,a,a+d,依题意有
(a-d)+a+(a+d)=12
(a-d)·a·(a+d)=48, ∴
a=4 a(a2-d2)=48 , ∴ a=4 d=±2.
∵d＞0,∴d=2,a-d=2. ∴首项为2.∴a1=2. 探究提高 方程思想是解决数列问题的基本思想， 通过公差列方程（组）来求解基本量是数列中最 基本的方法，同时在解题中也要注意数列性质的 应用.
从而an+1-an=
题型二
等差数列的基本运算
【例2】在等差数列{an}中， （1）已知a15=33,a45=153,求a61; （2）已知a6=10,S5=5，求a8和S8； （3）已知前3项和为12，前3项积为48，且d＞0,
求a1 .
思维启迪 在等差数列中，五个重要的量，只要 已知三个量，就可求出其他两个量，其中a1和d是
等差数列前n项和性质
返回
n＋1 44 4 ＝ n ＝33＝3，得 n＝3. 又∵S 奇＝(n＋1)· an＋1＝44，∴an＋1＝11. 故这个数列中间项为 11，项数共有 2n＋1＝7 项.
返回
变式2．项数为2n+1的等差数列，奇数项之和为51， 偶数项之和为42.5，首项为1，求这个数列的项数及通
项公式．
等差数列前n项和性质（1）
一.知识点回顾
1.等差数列的前n项和公式：
n(a1 an ) Sn 2
n( n 1)d S n na1 2
Fra Baidu bibliotek
等差数列前n项和的性质（1）
已知等差数列的前n项和Sn，如何求a n ? 利用Sn与a n的关系: S1 , n 1 an = Sn S n 1 , n 2
2.当项数为2n-1（奇数）时： （1）S奇 S偶 S奇 n a中 (中间项,即an )(2) S偶 n 1
证明 : S偶 a2 a4 ... a2 n 2
(n 1) (a2 a2 n 2 ) 2
(n 1) (2 an ) (n 1) an (n 1) a中 2 n (a1 a2 n 1 ) n (2 an ) S奇 a1 a3 ... a2 n 1 2 2 n an n a中 (1) S奇 S偶 n an (n 1) an an a中 S奇 n an n (2) S偶 (n 1) an n 1
等差数列的前n项和的性质
在等差数列{an}中，a1+an=a2+an-1=a3+an-2+Leabharlann Baidu.....
计算：
(1)1+2+3+...+n
(2) 1+3+5+...+(2n-1)
例1
(3) 2+4+6+...+2n
(4) 1-2+3-4+5-6+... +(2n-1)-2n
作业
等差数列 的前n项和的性质及其应用
基本概念 基本公式
性质
等差数列知识点梳理
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同 一个常数，这个数列就叫做等差数列。这个常数就叫做等差数列的 公差(常用字母“d”表示) 通项公式：an=a1+(n-1)d
项数n：n=（an-a1）/d+1
若a，A，b成等差数列，则等差中项A=（a+b）/2
何老师按揭买房,向银行贷款25万元，采取等额本金的
还款方式，即每月还款额比上月减少一定的数额。
2007 年1月，我第一次向银行还款2348元，以后每
月比上月的还款额减少5元，若以2007年1月银行贷款
等差数列的前n项和公式的性质ppt课件
当d≠0时，Sn是常数项为零的二次函数.
可编辑课件
5
思考3：一般地，若数列{an}的前n和Sn＝An2＋Bn，那 么数列{an}是等差数列吗？若Sn＝An2＋Bn＋C 呢？ （1）数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn （2）数列{an} 的前n项和是Sn＝An2＋Bn＋C ，则：
满足an≥0且an+1<0;
（2）若a1<0，d>0，则Sn有小值，且Sn最小时的n
满足an≤0且an+1>0;
可编辑课件
19
『变式探究』
1.首项为正数的等差数列{an}，它的前3项和与前11项 和相等，则此数列前___7_____项和最大？
2.等差数列{an} 前n项和Sn中，以S7最大，且|a7|<| a8|， 则使Sn>0的n的最大值为__1_3__．
例1：（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项
的和为146，且所有项的和为390，则该数列有( A)项。
A.13
B.12
C.11
D.10
可编辑课件
15
『变式探究』
1.已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有(C )
A.a1+a101>0 B.a2+a100<0 C.a3+a99=0 D.a51=51
等差数列的前n项和公式(第1课时)
你能从中得到求数列①的前n项和的方法吗?
对于数列 ①，设an=n，那么高斯的算法可以表示为
(a1+a100)+(a2+a99)+(a3+a97)+⋯+(a50+a51) =101×50 = 5050.
可以发现，高斯在计算中利用了
a1+a100 = a2+a99 = a3+a97 = ⋯ =a50+a51
d (2)
2
11
讲授新课：一、等差数列 {an} 的前n项和
=101×50=5050.
高斯（Gauss，1777－
1855），德国数学家，
近代数学的奠基者之一.
他在天文学、大地测量
高斯的算法实际上解决了求等差数列：
学、磁学、光学等领域
1，2，3，⋯ ，n ， ⋯ ① 前100 项的和的问题. 都做出过杰出贡献.
5
导入新课：
p18你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗?
即等差数列{an}的性质: 若m＋n＝p＋q , 则 am＋an＝ap＋aq.
小结:高斯利用等差数列{an}的性质，使不同数的求和问题转
化成了相同数(即101)的求和，从而简化了运算.
6
导入新课：
思考:你能用高斯的方法求1+2+ ⋯+100+101 吗?
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名师导引:有了等差数列的奇数项之和与偶 数项之和的值及最后一项与第一项之差,要 求 a1,d,n 应怎样应用条件求解?(法一:设数 列的项 n=2k(k∈N*),由 S 偶-S 奇=kd 及 an-a1=(2k-1)d 建立方程组求解. 法二:根据等差数列中的奇数项依次仍成等 差数列,偶数项依次仍成等差数列可求解)
名师导引:(1)已知 d、an、Sn,求 n 还需知道什 么量?(需知 a1 的值,代入前 n 项和公式
Sn= n(a1 an ) 求解) 2
(2)由 a16 怎么求 S31?(S31=31a16)
解:(1)d=3,an=20,Sn=65,
由 Sn= n(a1 an ) ,得 2
65= n 20 3 n 1 20 .
试一试:(1)已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该
数列的前 9 项和 S9 等于( C )
(A)18 (B)27 (C)36 (D)45
(2)已知数列{an}中,a1=-7,an+1=an+2,则 a1+a2+…
+a17=
.
解析:(1)∵a1+a9=a2+a8=8,
∴S9= 9(a1 a9 ) = 9 8 =36.故选 C.
跟踪训练 1-1:(1)已知 a1=14.5,an=32,Sn=604.5, 求 n. (2)已知 Sn=m,Sm=n,其中 m≠n,m,n∈N*,求 Sm+n. (3)已知 an=11,Sn=35,d=2,求 a1,n.
解:(1)已知 a1=14.5,an=32,Sn=604.5,
n(14.5 32)
2
2
采取哪种形式运算比较合理?
(在求等差数列的和时,一般地,若已知首项 a1 及末
项 an,用公式 Sn= n(a1 an ) 较好,若已知首项 a1 2
n n 1
及公差 d,用公式 Sn=na1+
d 较好)
2
(3)如何理解等差数列{an}中五个量
a1,an,n,d,Sn 之间的关系?
(由等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d 和
解:法一 设此数列首项为 a1,公差为 d,项数为 2k(k∈N*), 由已知得
2
2
(2)由题意得 an+1-an=2,
∴数列{an}是公差为 2 的等差数列, 又 a1=-7,
17 16
∴a1+a2+…+a17=17×(-7)+
×2=153.
2
答案:(1)C (2)153
等差数列的前 n 项和的基本
运算
【例 1】 在等差数列{an}中, (1)d=3,an=20,Sn=65,求 n; (2)已知 a16=3,求 S31.
等差数列前 n 项和公式
你知道高斯是怎样求和的吗? (1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+… +(50+51)=101×50=5050)
如果等差数列{an}的首项为 a1,公差
为 d,第 n 项为 an,则前 n 项和 Sn= n(a1 an ) , 2
若将前 n 项和用 a1,d,n 表示,可表示成
ห้องสมุดไป่ตู้
两式相加得 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…
+(an+a1)=n(a1+an),故 Sn= n(a1 an ) .这是一 2
种重要的思想方法,通常称为倒序相加法)
(2)等差数列的前 n 项和公式的两种形式
Sn= n(a1 an ) =na1+ 1 n(n-1)d,在具体应用时,应
2
(3)由已知得
naa11
2n 1 11, n n 1 35,
解得
an1
3, 5
或
an1
1, 7.
等差数列前 n 项和性质的
应用
【例 2】 (12 分)一等差数列共有偶数项,且奇 数项之和与偶数项之和分别为 24 和 30,最后一 项与第一项之差为 10.5,求此数列的首项、公差 以及项数.
∴604.5=
,解得 n=26.
2
nn 1
(2)由已知得
m na1 n ma1 m
2 m 2
d,
1
d,
m n 1
两式相减得 a1+
d=-1.
2
n(n 1)
再由 Sn=na1+
d 可得
2
m nm n 1
Sm+n=(m+n)a1+
d
2
m n 1
=(m+n)(a1+
d)=-(m+n).
n(n 1) Sn= na1 2 d .
质疑探究:(1)等差数列前 n 项和是用什么方法 得出的? (在推导等差数列前 n 项和时,充分利用等差数 列性质 a1+an=a2+an-1=… =ai+an-i+1(i=1,2,…,n-1)
Sn Sn
a1 an
a2 L an1 L
an a1
2 13
得 n=10,n= (舍去).
3
(2)S31= (a1 a31) ·31=a16·31=3×31=93. 2
已知等差数列的五个量 a1、d、an、n、 Sn 的任意三个求其他两个量时,常用的思想方法是 什么?(一般需建立方程(组),在求解过程中通常 用到代入消元法或加减消元法.同时要注意等差 数列的性质和整体代入思想的应用)
2.2 等差数列的前 n 项和 第一课时 等差数列前 n 项
和公式及性质
【课标要求】
1.通过实例了解等差数列前 n 项和公式的推导 过程. 2.理解等差数列前 n 项和公式推导所体现的数 学思想. 3.掌握等差数列前 n 项和公式,会应用公式解 决等差数列问题.
栏
目
课前预习
导 航
课堂探究
【实例】 近代数学奠基者之一,德国数学家、物理学 家、天文学家、大地测量学家高斯,与阿基米德、牛 顿、欧拉并列为历史上最伟大的数学家.人们用天才、 早熟、高产、创造力不衰、数学王子等称赞高斯是“人 类的骄傲”,爱因斯坦也说:“高斯对于近代物理学的 发展,尤其是对于相对论的数学基础所作的贡献,其 重要性是超越一切,无与伦比的.”传说高斯 3 岁便能 纠正他父亲的借债账目问题,10 岁时用很短的时间算 出老师布置的任务:对自然数 1 到 100 求和.
前 n 项和公式
Sn= n(a1 an ) =na1+ 1 n(n-1)d,可以看
2
2
到等差数列中的五个量 a1,an,d,n,Sn,已知
其中的任意三个,可求出剩余的两个)
(4)在等差数列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,… 之间有什么关系? (在等差数列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成 等差数列,公差为 n2d)