《y=Asin(ωx ψ)的图像与性质(A＞0)》进阶练习(一)
高中 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质 知识点+例题 全面
辅导讲义――函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及性质教学内容1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)振幅 周期 频率 相位 初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图 五个特征点的取法：设X =ωx ＋φ，由X 取0，2π，π，23π，π2来求出相应的x 的值，及对应的y 值，再描点作图.如下表所示.x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：[例1] 函数)421sin(2π+=x y 的周期，振幅，初相分别是______________.[巩固1] 函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则ω=______；ϕ=______知识模块1 y ＝A sin(ωx ＋φ)精典例题透析[巩固] 若关于x 的方程01sin sin 2=+-+m x x 有解，则实数m 的取值范围为_____________.[例5] 要得到)21sin(x y -=的图象，只需将)621sin(π--=x y 的图象_______________.[巩固1] 为得到函数)3cos(π+=x y 的图象，只需将函数x y sin =的图象_____________________.[巩固2] 为得到函数)62sin(π-=x y 的图象，只需将函数x y 2cos =的图象_____________________.[例6] 已知函数x x f πsin )(=的图象的一部分如左图，则右图的函数图象所对的函数解析式为_____________.[巩固1] 函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，则)(x f 的解析式为____________.[巩固2] 已知函数),0,)(sin()(πϕπωϕω<<->∈+=R x x A x f 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式 是_______________.[例7] 设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号)[例]（1）已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝_____，φ＝_______.（2）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________．[巩固] 如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段．（1）求其解析式；（2）若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．题型三：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质[例] (2014·重庆改编)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求ω和φ的值；（2）当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．[巩固] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω，A >0,0<φ<π2)的最大值为2，最小正周期为π，直线x ＝π6是其图象的一条对称轴．（1）求函数f (x )的解析式；（2）求函数g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π12)的单调递增区间．1．(2013·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π42．(2013·浙江)函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是__________.3.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是______________.4．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是_____________.5．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是_________________.6．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°， KL ＝1，则f (16)的值为________．，7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6) (x ＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值 为________℃.夯实基础训练。
函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质(一)
你认为应该按怎样的思路进行研究?
答案
能.可以先研究 φ 对函数 y=sin(x+φ)图象的影响,再依次研究 ω,A 对函数
y=Asin(ωx+φ)图象的影响.
问题 2:函数 y=sin x 的图象与 y=sin(x+φ)的图象有什么关系?
π
π
3
3
(2)将函数 y=sin x 的图象上所有的点向右平移 个单位长度得到函数 y=sin 的图象,再把函数 y=sin y=sin
3
-
π
3
的图象.
π
3
的图象上各点的横坐标扩大到原来的 3 倍,就得到函数
课前预学
方法总结
课堂导学
伸缩变换的解题关键及方法
关键:确定伸缩量.
1
解决方法:已知函数 y=f(x)的图象,作函数 y=f(ωx)(ω>0)的图象, 为伸缩量.
π
6
图象上的一点,则点 G'
1
2
, 与 G″(2x,y)分别
在哪个函数图象上?
答案
G'
1
2
, 是 y=sin 2 +
问题 3:(1)函数 y=sin 2 +
π
6
图象上一点;G″(2x,y)是 y=sin
π
1
2
+
π
6
图象上的一点.
π
,x∈R 的图象,可看作是把 y=sin + ,x∈R 图象上
30
+
π
6
π
高考数学(理)一轮规范练【21】函数y=Asin(ωx φ)的图象与性质(含答案)
课时规范练21 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质课时规范练第37页一、选择题1.若把函数f(x)=sinωx的图象向左平移个单位,恰好与函数y=cosωx的图象重合,则ω的值可能是( )A. B. C. D.答案:D解析:将函数y=sinωx的图象向左平移个单位长度,则得到函数y=sinω=sin的图象,因为y=cosωx=cos(-ωx)=sin,所以+2kπ,ω=+6k,k∈Z,所以当k=0时,ω=,选D.2.(2018四川高考)函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,-<φ<的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( )A.2,-B.2,-C.4,-D.4,答案:A解析:由图象可得,∴T=π,则ω==2,再将点代入f(x)=2sin(2x+φ)中得sin=1,[:令+φ=2kπ+,k∈Z,解得,φ=2kπ-,k∈Z,又∵φ∈,则取k=0,[:∴φ=-.故选A.3.已知函数y=2sin(ωx+θ)为偶函数(0<θ<π),其图象与直线y=2的某两个交点的横坐标为x1,x2,若|x2-x1|的最小值为π,则( )A.ω=2,θ=B.ω=,θ=C.ω=,θ=D.ω=2,θ=答案:A解析:∵y=2sin(ωx+θ)为偶函数,0<θ<π,∴θ=.∵图象与直线y=2的两个交点的横坐标为x1,x2,|x2-x1|min=π,∴=π,ω=2.故选A.4.若把函数y=cos x-sin x+1的图象向右平移m(m>0)个单位长度,使点为其对称中心,则m的最小值是( )A.πB.C.D.答案:D解析:y=cos x-sin x+1=2cos+1,把该函数图象向右平移m(m>0)个单位后所得函数的解析式为y=2cos+1,由平移后为其对称中心得1=2cos+1,∴cos=0,∴-m=kπ+(k∈Z),解得m=-kπ+(k∈Z),故m的最小值是.5.函数f(x)=sin,给出下列三个其中正确的是( )A.①③B.①②C.②③D.①②③答案:B[:数理化]解析:∵≤x≤,∴≤2x+,∴f(x)在上是减函数,故①正确.fsin,故②正确.y=sin2x向左平移个单位得y=sincos2x≠f(x),故③不正确.故选B.6.已知函数f(x)=Mcos(ωx+φ)(M>0,ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图象如图所示,AC=BC=,∠C=90°,则f的值为( )A.-B.C.-D.答案:A解析:依题意,△ABC是直角边长为的等腰直角三角形,因此其边A B上的高是,函数f(x)的最小正周期是2,故M==2,ω=π,f(x)=cos(πx+φ).又函数f(x)是奇函数,于是有φ=kπ+,其中k∈Z.由0<φ<π得φ=,故f(x)=-sinπx,f=-sin=-,选A.二、填空题7.将函数y=sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是.答案:y=sin解析:函数y=sin x的图象上的点向右平移个单位长度可得函数y=sin的图象;再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y=sin的图象,所以所求函数的解析式是y=sin.8.已知f(x)=sin(ω>0),f=f且f(x)在区间内有最小值,无最大值,则ω= .答案:解析:∵f=f且f(x)在区间上有最小值,无最大值,∴f(x)在x=处取得最小值.∴ω+=2kπ-(k∈Z).∴ω=8k-(k∈Z).∵ω>0,∴当k=1时,ω=8-;当k=2时,ω=16-,此时函数在区间内已存在最大值.故ω=.9.已知函数y=sinωx(ω>0)在一个周期内的图象如图所示,要得到函数y=sin的图象,则需将函数y=sinωx的图象向平移个单位长度.答案:左[:解析:由图象知函数y=sinωx的周期为T=3π-(-π)=4π,[:∴ω=,故y=sinx.又y=sin=sin,∴将函数y=sinx的图象向左平移个单位长度,即可得到函数y=sin的图象.三、解答题10.函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π,且函数图象关于点对称,求函数的解析式.解:由题意知最小正周期T=π=,故ω=2.又∵2×+φ=kπ(k∈Z),∴φ=kπ+(k∈Z).又∵0<φ<π,∴φ=,∴y=sin.11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图象如图所示:(1)求ω,φ的值;(2)设g(x)=f(x)f,求函数g(x)的单调递增区间.解:(1)由图可知T=4=π,ω==2,又由f=1,得sin(π+φ)=1,sinφ=-1.∵|φ|<π,∴φ=-.(2)由(1)知f(x)=sin=-cos2x.∵g(x)=-cos2x=cos2xsin2x=sin4x,∴2kπ-≤4x≤2kπ+(k∈Z),即≤x≤(k∈Z).故函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z).12.如图,某小区准备在一直角围墙ABC内的空地上植造一块“绿地△ABD”,其中AB长为定值a,BD长可根据需要进行调节(BC足够长).现规划在△ABD的内接正方形BEFG内种花,其余地方种草,且把种草的面积S1与种花的面积S2的比值称为“草花比y”.(1)设∠DAB=θ,将y表示成θ的函数关系式.(2)当BE为多长时,y有最小值?最小值是多少?解:(1)因为BD=atanθ,所以△ABD的面积为a2tanθ.设正方形BEFG的边长为t,则由,得,解得t=,则S2=,所以S1=a2tanθ-S2=a2tanθ-,则y=-1.(2)因为tanθ∈(0,+∞),所以y=-1=≥1,当且仅当tanθ=1时取等号,此时BE=t=.所以当BE长为时,y有最小值1.。
函数y=Asin(ωx+ψ)的图像与性质
函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质1.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.x －φω－φω＋π2ωπ－φω3π2ω－φω 2π－φωωx ＋φ 0 π2π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅 周期 频率 相位 初相A T ＝2πω f ＝1T ＝ω2πωx ＋φ φ3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种途径强化训练1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)将函数y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( )(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.( )(3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )(4)由图象求解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.( )2.(必修4P56T3改编)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的振幅、频率和初相分别为( )A.2，4π，π3B.2，14π，π3C.2，14π，－π3D.2，4π，－π33.(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统计情况：月份x 1 2 3 4 收购价格y (元/斤)6765选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________________________.4.(2019·北京通州区模拟)函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象是( )5.(2016·全国Ⅰ卷)若将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) A.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 B.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 C.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 D.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π36.(2018·济南模拟改编)y ＝cos(x ＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________.考点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换【例1】 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) ⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象.若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值.【训练1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2(2)(2018·青岛调研)若把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6的图象向左平移π3个单位长度，所得到的图象与函数y ＝cos ωx 的图象重合，则ω的一个可能取值是( )A.2B.32C.23D.12考点二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例2】 (1)(一题多解)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________.(2)(2019·长郡中学、衡阳八中联考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，－1，则f (x )图象的对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋5π6，0(k ∈Z)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋5π6，0(k ∈Z)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，0(k ∈Z)【训练2】 (1)(2019·衡水中学一模)已知函数f (x )＝－2cos ωx (ω>0)的图象向左平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为( )A.π6 B.5π6 C.π12 D.5π12(2)(2019·山东省重点中学质检)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，|φ|<π2，ω>0的图象的一部分如图所示，则f (x )图象的对称轴方程是________.考点三 y ＝A sin(ωx ＋φ)图象与性质的应用 角度1 三角函数模型的应用【例3－1】 如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O 离地面1米，点O 在地面上的射影为A .风车圆周上一点M 从最低点O 开始，逆时针方向旋转40秒后到达P 点，则点P 到地面的距离是________米.角度2 三角函数性质与图象的综合应用【例3－2】 已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值.【训练3】 (1)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃.(2)已知函数f (x )＝5sin x cos x －53cos 2x ＋523(其中x ∈R)，求： ①函数f (x )的最小正周期； ②函数f (x )的单调区间； ③函数f (x )图象的对称轴和对称中心.类型1 三角函数的周期T 与ω的关系【例1】 为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为( ) A.98π B.1972π C.1992π D.100π类型2 三角函数的单调性与ω的关系【例2】 若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω的取值范围是( )A.0≤ω≤23B.0≤ω≤32C.23≤ω≤3D.32≤ω≤3类型3 三角函数对称性、最值与ω的关系【例3】 (1)(2019·枣庄模拟)已知f (x )＝sin ωx －cos ωx ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>23，若函数f (x )图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，则ω的取值范围是________.(结果用区间表示) (2)已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是________.【基础巩固题组】 一、选择题1.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 2.(2019·杭州期中)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φ2·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φ2的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值不可能是( )A.－3π4B.－π4C.π4D.5π43.(2019·咸阳模拟)已知点P (32，－332)是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)图象上的一个最低点，M ，N 是与点P 相邻的两个最高点，若∠MPN ＝60°，则该函数的最小正周期是( ) A.3 B.4 C.5 D.64.(2018·天津卷)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( ) A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增 B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0上单调递减C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递增D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减5.(2019·张家界模拟)将函数f (x )＝3sin 2x －cos 2x 的图象向左平移t (t >0)个单位后，得到函数g (x )的图象，若g (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－x ，则实数t 的最小值为( )A.5π24B.7π24C.5π12D.7π12二、填空题6.将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________________.7.(2018·沈阳质检)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.8.已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝____________________________________.三、解答题9.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sinπ12t ，t ∈[0，24). (1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差.10.已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻最高点的距离为π.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.11.(2019·天津和平区调研)已知x ＝π12是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f (x )的图象向右平移3π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为( )A.－2B.－1C.－ 2D.－ 312.函数f (x )＝220sin 100πx －220sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πx ＋2π3，且已知对任意x ∈R，有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立，则|x 2－x 1|的最小值为( ) A.50π B.1100π C.1100D.44013.(2019·广东省际名校联考)将函数f (x )＝1－23·cos 2x －(sin x －cos x )2的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则函数g (x )的单调递增区间是________.14.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示.(1)求函数f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，再把所得的函数图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上的最小值.15.(多填题)已知函数f (x )＝23sinωx2cosωx2＋2cos2ωx2－1(ω>0)的最小正周期为π，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，方程f (x )＝m 恰有两个不同的实数解x 1，x 2，则x 1＋x 2＝________，f (x 1＋x 2)＝________.答 案 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√【解析】 (1)将函数y ＝3sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3cos 2x .(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω.故当ω≠1时平移的长度不相等.2. 【答案】 C【解析】 由题意知A ＝2，f ＝1T ＝ω2π＝14π，初相为－π3.3. 【答案】 y ＝6－cosπ2x 【解析】 设y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)， 由题意得A ＝1，B ＝6，T ＝4，因为T ＝2πω，所以ω＝π2，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ＋6.因为当x ＝2时，y ＝7，所以sin(π＋φ)＋6＝7，即sin φ＝－1，则φ＝－π2＋2k π(k ∈Z)，可取φ＝－π2. 所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π2＋6＝6－cos π2x .4. 【答案】 A【解析】 由y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6可知，函数的最大值为2，故排除D ；又因为函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，故排除B ；又因为函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，2，故排除C. 5. 【答案】 D【解析】 函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D. 6. 【答案】π2＋4【解析】 相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为π2＋4.【例1】【答案】见解析【解析】(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 得g (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)(k ∈Z).令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z，解得x ＝k π2＋π12－θ(k ∈Z). 由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12(k ∈Z)，解得θ＝k π2－π3(k ∈Z). 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6. 【训练1】【答案】 (1)D (2)A【解析】 (1)易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，因此D 项正确. (2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋ω3π－π6和函数y ＝cos ωx 的图象重合，可得ω3π－π6＝π2＋2k π，k ∈Z，则ω＝6k ＋2，k ∈Z.∴2是ω的一个可能值.【例2】【答案】 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 (2)C 【解析】 (1)由题图可知A ＝2，法一 T 4＝7π12－π3＝π4， 所以T ＝π，故ω＝2，因此f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对应五点法作图中的第三个点， 因此2×π3＋φ＝π＋2k π(k ∈Z)，所以φ＝π3＋2k π(k ∈Z). 又|φ|<π2，所以φ＝π3.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 法二 以⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0为第二个“零点”，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2为最小值点， 列方程组⎩⎪⎨⎪⎧ω·π3＋φ＝π，ω·7π12＋φ＝3π2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3， 故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (2)T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π＝2πω，∴ω＝2， 因此f (x )＝sin(2x ＋φ).由五点作图法知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，1是第二点，得2×5π12＋φ＝π2， 2×5π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，所以φ＝－π3＋2k π(k ∈Z)，又|φ|<π2，所以φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 由2x －π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z). ∴f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z). 【训练2】【答案】 (1)C (2)x ＝k π2＋π6(k ∈Z) 【解析】 (1)由题图知，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π， ∴ω＝2πT＝2，∴f (x )＝－2cos 2x ， ∴f (x ＋φ)＝－2cos(2x ＋2φ)，则由图象知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＋φ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋2φ＝2. ∴5π6＋2φ＝2k π＋π(k ∈Z)，则φ＝π12＋k π(k ∈Z). 又0<φ<π2，所以φ＝π12. (2)由图象知A ＝2，又1＝2sin(ω×0＋φ)，即sin φ＝12， 又|φ|<π2，∴φ＝π6. 又11π12×ω＋π6＝2π，∴ω＝2， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 令2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z). ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z). 【例3－1】【答案】 4【解析】 以圆心O 1为原点，以水平方向为x 轴方向，以竖直方向为y 轴方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2米，圆上最低点O 离地面1米，12秒转动一周，设∠OO 1P ＝θ，运动t (秒)后与地面的距离为f (t )，又周期T ＝12，所以θ＝π6t ， 则f (t )＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝3－2cos π6t (t ≥0)， 当t ＝40 s 时，f (t )＝3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×40＝4. 【例3－2】【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋3(2sin 2ωx －1)＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3. 由最小正周期为π，得ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)， 整理得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z). (2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y ＝2sin 2x ＋1的图象； 所以g (x )＝2sin 2x ＋1.令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z)， 所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可.所以b 的最小值为4π＋11π12＝59π12. 【训练3】【答案】 20.5【解析】 因为当x ＝6时，y ＝a ＋A ＝28；当x ＝12时，y ＝a －A ＝18，所以a ＝23，A ＝5，所以y ＝f (x )＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6）， 所以当x ＝10时，f (10)＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4 ＝23－5×12＝20.5. 【答案】见解析【解析】①因为f (x )＝52sin 2x －532(1＋cos 2x )＋532＝5(12sin 2x －32cos 2x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 所以函数的最小正周期T ＝2π2＝π. ②由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)， 所以函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z). 由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)， 得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z)， 所以函数f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z). ③由2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋5π12(k ∈Z)， 所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z). 由2x －π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)， 所以函数f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z). 【例1】【答案】 B 【解析】 由题意，至少出现50次最大值即至少需用4914个周期，所以1974T ＝1974·2πω≤1，所以ω≥1972π.【例2】【答案】 D【解析】 令π2＋2k π≤ωx ≤32π＋2k π(k ∈Z)，得π2ω＋2k πω≤x ≤3π2ω＋2k πω，因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋2k πω≤π3，π2≤3π2ω＋2k πω，得6k ＋32≤ω≤4k ＋3. 又ω>0，所以k ≥0，又6k ＋32<4k ＋3，得0≤k <34，所以k ＝0. 故32≤ω≤3. 【例3】【答案】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，78 (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫ω|ω≤－2或ω≥32 【解析】 (1)f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4， 令ωx －π4＝π2＋k π(k ∈Z)，解得x ＝3π4ω＋k πω(k ∈Z). 当k ＝0时，3π4ω≤π，即34≤ω， 当k ＝1时，3π4ω＋πω≥2π，即ω≤78. 综上，34≤ω≤78. (2)显然ω≠0，分两种情况：若ω>0，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4时，－π3ω≤ωx ≤π4ω. 因函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以－π3ω≤－π2，解得ω≥32. 若ω<0，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4时，π4ω≤ωx ≤－π3ω， 因函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以π4ω≤－π2，解得ω≤－2. 综上所述，符合条件的实数ω≤－2或ω≥32. 【基础巩固题组】1. 【答案】 A【解析】 由题图可知，A ＝2，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π， 所以ω＝2，由五点作图法知2×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)， 所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 2. 【答案】 B【解析】 将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＝12sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位后得到的图象对应的函数为y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ，由题意得π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，∴φ＝k π＋π4(k ∈Z)，当k ＝－1，0，1时，φ的值分别为－3π4，π4，5π4，φ的取值不可能是－π4. 3. 【答案】 D【解析】 由P 是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)图象上的一个最低点，M ，N 是与P 相邻的两个最高点，知|MP |＝|NP |，又∠MPN ＝60°，所以△MPN 为等边三角形.由P (32，－332)，得|MN |＝2×3323×2＝6. ∴该函数的最小正周期T ＝6.4. 【答案】 A【解析】 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π10，将其图象向右平移π10个单位长度，得到函数y ＝sin 2x 的图象.由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，k ∈Z，得k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z.令k ＝0，可知函数y ＝sin 2x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增. 5. 【答案】 B【解析】 由题意得，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 则g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π6， 从而2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－x ＋2t －π6＝－2sin(2x －2t )＝2sin(2x －2t ＋π)，又t >0， 所以当2t －π6＝－2t ＋π＋2k π(k ∈Z)时，即t ＝7π24＋k π2(k ∈Z)，实数t min ＝724π.6. 【答案】 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10―————————―→横坐标伸长到原来的2倍y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10.7. 【答案】 3【解析】 由图象可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，∴T ＝π，∴ω＝2.∵当x ＝π6时，函数f (x )取得最大值，∴2×π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，∴φ＝π6＋2k π(k ∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝2cos π6＝ 3.8. 【答案】 143【解析】 依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4·ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2 (k ∈Z).∴ω＝8k ＋143 (k ∈Z)，因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143. 9. 【答案】见解析【解析】(1)f (8)＝10－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8 ＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2(32cos π12t ＋12sin π12t ) ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3， 又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1； 当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.10. 【答案】见解析【解析】(1)因为f (x )的图象上相邻最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2. 又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称， 所以2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)， 因为－π2≤φ＜π2，所以k ＝0， 所以φ＝π2－2π3＝－π6，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4－π6＝3sin π3＝32. (2)将f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12的图象， 所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，即k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z)时，g (x )单调递减. 因此g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z). 11. 【答案】 B【解析】 ∵x ＝π12是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ图象的一条对称轴，∴π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝k π＋π6(k ∈Z). ∵0<φ<π，∴φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴g (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－1. 12. 【答案】 C【解析】 f (x )＝220sin 100πx －220sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πx ＋2π3 ＝220⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 100πx －⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 100πx ·cos 2π3＋cos 100πx sin 2π3 ＝220⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 100πx ＋12sin 100πx －32cos 100πx ＝2203⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 100πx －12cos 100πx ＝2203×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πx －π6， 则由对任意x ∈R，有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立得当x ＝x 2时，f (x )取得最大值，当x ＝x 1时，f (x )取得最小值，所以|x 2－x 1|的最小值为12T ＝12×2π100π＝1100(T 为f (x )的最小正周期)，故选C. 13. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12 【解析】 ∵f (x )＝1－23cos 2 x －(sin x －cos x )2＝sin 2x －3cos 2x －3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－3， ∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π3－3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－3， 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z)， 得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π(k ∈Z)， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2， ∴函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12.14. 【答案】见解析【解析】(1)设函数f (x )的最小正周期为T ，由题图可知A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2， 即T ＝π，所以π＝2πω，解得ω＝2， 所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，又过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0， 由0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ可得π3＋φ＝2k π(k ∈Z)， 则φ＝2k π－π3(k ∈Z)，因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3， 故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. (2)根据条件得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8时，4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6， 所以当x ＝π8时，g (x )取得最小值，且g (x )min ＝12. 15. 【答案】 π31 【解析】 函数f (x )＝23sinωx 2cos ωx 2＋2cos 2ωx 2－1＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6. 由T ＝2πω＝π，可得ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－1≤f (x )≤2. 画出f (x )的图象(图略)，结合图象知x 1＋x 2＝π3， 则f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝2sin 5π6＝1.。
函数y=Asin(ωx ψ)的图象与性 (1)
函数 y = A sin(ωx +ϕ) 的图象与性质（习题） ➢ 例题示范例 1：把函数 y = tan x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 后， 3 再将其图象向左平移 π 个单位长度，所得函数的解析式为（ ） 4 A. y = tan(1 x + π) B. y = tan(1 x + π )3 4 C. y = tan(3x + π ) 3 12 D. y = tan(3x + 3π )例 2：为得到函数 y = sin(2x + π) 的图象，只需将函数 y = sin x 的 3图象（ ） A. 向左平移π 3 到原来的 1 2 B. 向左平移π 3个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短 ，纵坐标不变个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长 到原来的 2 倍，纵坐标不变 C 1 π ．把各点的横坐标缩短到原来的 2 纵坐标不变，再向左平移 个单位长度， 3D ．把各点的横坐标伸长到原来的 2 度，纵坐标不变 倍，再向左平移π 3个单位长1， 思路分析：由 y = sin x → y = sin(2x + π) ，发现 A 不变，ω，ϕ发生变化，函3数图象既发生了伸缩变换，又发生了平移变例 3：已知函数 f (x ) = 2sin(ωx +ϕ)（ω> 0 ， π π）的部分- <ϕ< 2 2图象如图所示，则ω，ϕ的值分别是（ ）A ． 2 ，- π 6思路分析：B ． 2 ，- π 3C ． 4 ，- π 6D ． 4 π3 观察图象，根据图象的周期可确定ω的值，再代入特殊点坐标， 结合ϕ的范围限制，可确定ϕ的值．由图象可得， 3 T = 5π - (- π) = 3π ，4 12 3 4∴ T = 2π= π，ω ∴ω= 2 ，f (x ) = 2sin(2x +ϕ) ，∵点(- π ，0) 在函数 y = 2sin(2x +ϕ) 的图象上，3代入可得sin(- 2π +ϕ)=0 ，3∴ - 2π +ϕ= k π，k ∈ Z ，即ϕ= 2π + k π，k ∈ Z ，33π π ∵ - <ϕ< ，2 2∴ϕ= - π ，3综上，ω= 2 ，ϕ= - π ，故选 B ．326 3 y = sin(2x + π) = sin 2(x + π) ，故选 A ．26 个单位长度 1 到原来的 ππ向左平移 6 横坐标缩短 y = sin x −−−−−→ y = sin 2x −−−−−→ y = sin 2(x + )3 1 到原来的 23 个单位长度 π横坐标缩短 π 3 y = sin x −−−−−→ y = sin(x + ) −−−−−→ y = sin(2x + )π向左平移， ， ， ➢ 巩固练习1. 将函数 y =sin x 的图象向左平移ϕ（ 0 ≤ϕ< 2π）个单位长度后，得到函数 y = sin(x - π) 的图象，则ϕ的值为（ ）6A ． πB ． 5πC ． 7πD ． 11π 6 6 6 62.为得到函数 y = sin(2x - π) 的图象，可以将函数 y = cos 2x 的图 6 象（ ） A. 向右平移π 6 C π 个单位长度 B. 向右平移 π 个单位长度 3 π．向左平移 6 个单位长度 D ．向左平移 3 个单位长度3. 将函数 y = 3sin(2x + π) 的图象向右平移π 个单位长度后，所得3 2图象对应的函数（ ）A. 在区间[ π 7π] 上单调递减12 12 [ π 7π B. 在区间 ， 12 12] 上单调递增 C. 在区间[- π π] 上单调递减 6 3D.在区间[- π π] 上单调递增 6 34. 将函数 f (x ) = sin(2x +θ) （ - π < θ< π ）的图象向右平移2 2ϕ（ϕ> 1 ）个单位长度后，得到函数 g (x ) 的图象，若 f (x ) ，g (x )的图象都经过点 P (0 ， 3 ) ，则ϕ的值可以是（ ） 2 A ． 5π B ． 5π C ． π D ． π 3 6 2 35. 将函数 y = sin 2x 的图象向右平移π 个单位长度，再把各点横3坐标伸长到原来的 4 倍，所得函数的解析式为（ ）A. y = sin( 1 x - 2π)B. y = sin(8x - π) 2 3 6C. y = sin( 1 x - π)D. y = sin(8x - π) 2 6 36. 函数 f (x ) = sin(2x - π) 的图象的一条对称轴是直线（ ）4A. x = π 8B. x = - π 4C. x = π 4D. x = - π87. 若函数 y = 3cos(2x +ϕ) 的图象关于点( 4π ，0) 中心对称，则ϕ3的最小值为（ ）A ． πB ． πC ． πD ． π6 4 3 28.若函数 y = sin(ωx + π)（ω> 0 ）的图象上相邻两个对称中心间 3 的距离为 A ． 1 2π ，则ω的值为（ ） 2A.1 C ．2 D ．49. 若函数 y = sin(x +ϕ)（0 ≤ϕ≤π ）是 R 上的偶函数，则ϕ的值为（） A ．0 B ．π C ． π D ． π 4222⎨⎪⎧kx +1 （- 2 ≤x < 0 ）10.已知函数y =⎪8π2 sin(ωx +ϕ)（0 ≤x ≤⎩ 3的图象如图所示，则）（）A．k =1，ω=1，ϕ=π2 2 6C．k =-1，ω=2 ，ϕ=π2 6B．k =1，ω=1，ϕ=π2 2 3D．k =-2 ，ω=2 ，ϕ=π31.函数f (x) =A sinωx（A > 0 ，ω> 0 ）在一个周期内的图象如图所示，则f (1) +f (2) +f (3) +f (4) +f (5) +f (6) =（）A.B．22C．2 +D．212. 已知函数y =A s in(ωx +ϕ)（A > 0 ，ω> 0 ，ππ），在同-<ϕ<2 2一周期内，当x =π9时函数取最大值12，当x =4π时函数取最9小值-1，则该函数的解析式为（）2A．y = 2 s in(x-π)3 6C．y = 2 s in(3x -π)6B．y =1sin(3x +π)2 6D．y =1sin(3x -π)2 6213.已知函数f (x) = sin(ωx +π)（x ∈R ，ω> 0 ）的最小正周期为4π，将f (x) 的图象向左平移ϕ个单位长度，若所得图象关于y 轴对称，则ϕ的值可能是（）A．πB．3πC．πD．π2 8 4 814. 已知函数f (x) =A sin(ωx +ϕ)（A > 0 ，ω>0 ，ϕ<π）的最小2值为-2，其图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差为3π，且图象经过点(0，1)．（1）求f (x) 的解析式；（2）求f (x) 的单调区间．【参考答案】➢巩固练习1. D2. B3. B4. B5. A6. D7. A8. C9. C10.A11.A12.B13.D14. （1）f (x) =2 s in(1x +π)3 6（2）单调递增区间为[-2π+ 6kπ，π+ 6kπ]（k ∈Z ）单调递减区间为[π+ 6kπ，4π+ 6kπ]（k ∈Z ）。
高三数学理寒假作业函数y=Asinωx+ψ的图象与性质(1)
(A)(-π,0)(B) (C) (D)
3.(2012·新课标全国卷)已知ω>0，0<φ<π，直线 是函数f(x)= sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ=( )
8.关于 有以下命题：
①若f(x1)=f(x2)=0，则x1-x2=kπ(k∈Z)；
②f(x)图象与 图象相同；
③f(x)在区间 上是减函数；
④f(x)图象关于点 对称.
其中正确的命题是______________.
9.关于x的方程2cos2x-sin x+a=0在区间 上恰好有两个不等实根，则实数a 的取值范围是______________.
(C)向左平移 个单位长度(D)向右平移 个单位长度
6.(2012·临沂模拟)函数y=sin(πx+φ)(φ>0)的部分图象如图，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，则tan∠APB=( )
(A)10(B)8(C) (D)
二、填空题
7.(2012·泰安模拟)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则 的值是_____________.
(A) (B) (C) (D)
4.(2012·济宁模拟)若函数y=cos 2x与函数y=sin(x+φ)在 上的单调性相同，则φ的一个值为( )
(A) (B) (C) (D)
5.为了得到函数y=sin 2x+cos 2x的图象，只需把函数y=sin 2x-cos 2x的图象( )
函数y=Asin(ωx+ψ)的图像与性质
函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质1.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.x －φω－φω＋π2ωπ－φω3π2ω－φω 2π－φωωx ＋φ 0 π2π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅 周期 频率 相位 初相A T ＝2πω f ＝1T ＝ω2πωx ＋φ φ3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种途径强化训练1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)将函数y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( )(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.( )(3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )(4)由图象求解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.( )2.(必修4P56T3改编)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的振幅、频率和初相分别为( )A.2，4π，π3B.2，14π，π3C.2，14π，－π3D.2，4π，－π33.(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统计情况：月份x 1 2 3 4 收购价格y (元/斤)6765选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________________________.4.(2019·北京通州区模拟)函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象是( )5.(2016·全国Ⅰ卷)若将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) A.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 B.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 C.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 D.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π36.(2018·济南模拟改编)y ＝cos(x ＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________.考点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换【例1】 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象.若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值.【训练1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2(2)(2018·青岛调研)若把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6的图象向左平移π3个单位长度，所得到的图象与函数y ＝cos ωx 的图象重合，则ω的一个可能取值是( )A.2B.32C.23D.12考点二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例2】 (1)(一题多解)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________.(2)(2019·长郡中学、衡阳八中联考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，已知A ⎝⎛⎭⎪⎫5π12，1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，－1，则f (x )图象的对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋5π6，0(k ∈Z)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋5π6，0(k ∈Z)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，0(k ∈Z)【训练2】 (1)(2019·衡水中学一模)已知函数f (x )＝－2cos ωx (ω>0)的图象向左平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为( )A.π6 B.5π6 C.π12 D.5π12(2)(2019·山东省重点中学质检)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，|φ|<π2，ω>0的图象的一部分如图所示，则f (x )图象的对称轴方程是________.考点三 y ＝A sin(ωx ＋φ)图象与性质的应用 角度1 三角函数模型的应用【例3－1】 如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O 离地面1米，点O 在地面上的射影为A .风车圆周上一点M 从最低点O 开始，逆时针方向旋转40秒后到达P 点，则点P 到地面的距离是________米.角度2 三角函数性质与图象的综合应用【例3－2】 已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值.【训练3】 (1)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃.(2)已知函数f (x )＝5sin x cos x －53cos 2x ＋523(其中x ∈R)，求：①函数f (x )的最小正周期； ②函数f (x )的单调区间； ③函数f (x )图象的对称轴和对称中心.类型1 三角函数的周期T 与ω的关系【例1】 为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为( ) A.98π B.1972π C.1992π D.100π类型2 三角函数的单调性与ω的关系【例2】 若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω的取值范围是( )A.0≤ω≤23B.0≤ω≤32C.23≤ω≤3D.32≤ω≤3类型3 三角函数对称性、最值与ω的关系【例3】 (1)(2019·枣庄模拟)已知f (x )＝sin ωx －cos ωx ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>23，若函数f (x )图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，则ω的取值范围是________.(结果用区间表示)(2)已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是________.【基础巩固题组】 一、选择题1.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 2.(2019·杭州期中)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值不可能是( )A.－3π4B.－π4C.π4D.5π43.(2019·咸阳模拟)已知点P (32，－332)是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)图象上的一个最低点，M ，N 是与点P 相邻的两个最高点，若∠MPN ＝60°，则该函数的最小正周期是( ) A.3 B.4 C.5 D.64.(2018·天津卷)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0上单调递减C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递增D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减5.(2019·张家界模拟)将函数f (x )＝3sin 2x －cos 2x 的图象向左平移t (t >0)个单位后，得到函数g (x )的图象，若g (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－x ，则实数t 的最小值为( )A.5π24B.7π24C.5π12D.7π12二、填空题6.将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________________.7.(2018·沈阳质检)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.8.已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝____________________________________.三、解答题9.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24). (1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差.10.已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻最高点的距离为π.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值； (2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.11.(2019·天津和平区调研)已知x ＝π12是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f (x )的图象向右平移3π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为( )A.－2B.－1C.－ 2D.－ 312.函数f (x )＝220sin 100πx －220sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πx ＋2π3，且已知对任意x ∈R，有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立，则|x 2－x 1|的最小值为( ) A.50π B.1100π C.1100D.44013.(2019·广东省际名校联考)将函数f (x )＝1－23·cos 2x －(sin x －cos x )2的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则函数g (x )的单调递增区间是________.14.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示.(1)求函数f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，再把所得的函数图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上的最小值.15.(多填题)已知函数f (x )＝23sinωx2cosωx2＋2cos2ωx2－1(ω>0)的最小正周期为π，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，方程f (x )＝m 恰有两个不同的实数解x 1，x 2，则x 1＋x 2＝________，f (x 1＋x 2)＝________.答 案 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√【解析】 (1)将函数y ＝3sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3cos 2x .(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω.故当ω≠1时平移的长度不相等.2. 【答案】 C【解析】 由题意知A ＝2，f ＝1T ＝ω2π＝14π，初相为－π3.3. 【答案】 y ＝6－cos π2x【解析】 设y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)， 由题意得A ＝1，B ＝6，T ＝4，因为T ＝2πω，所以ω＝π2，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ＋6.因为当x ＝2时，y ＝7，所以sin(π＋φ)＋6＝7，即sin φ＝－1，则φ＝－π2＋2k π(k ∈Z)，可取φ＝－π2. 所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π2＋6＝6－cos π2x .4. 【答案】 A【解析】 由y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6可知，函数的最大值为2，故排除D ；又因为函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，故排除B ；又因为函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，2，故排除C. 5. 【答案】 D【解析】 函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D. 6. 【答案】π2＋4【解析】 相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为π2＋4.【例1】【答案】见解析【解析】(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)(k ∈Z).令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z，解得x ＝k π2＋π12－θ(k ∈Z). 由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12(k ∈Z)，解得θ＝k π2－π3(k ∈Z). 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6. 【训练1】【答案】 (1)D (2)A【解析】 (1)易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，因此D 项正确. (2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋ω3π－π6和函数y ＝cos ωx 的图象重合，可得ω3π－π6＝π2＋2k π，k ∈Z，则ω＝6k ＋2，k ∈Z.∴2是ω的一个可能值.【例2】【答案】 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 (2)C 【解析】 (1)由题图可知A ＝2，法一 T 4＝7π12－π3＝π4， 所以T ＝π，故ω＝2，因此f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对应五点法作图中的第三个点，因此2×π3＋φ＝π＋2k π(k ∈Z)，所以φ＝π3＋2k π(k ∈Z).又|φ|<π2，所以φ＝π3.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.法二 以⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0为第二个“零点”，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2为最小值点，列方程组⎩⎪⎨⎪⎧ω·π3＋φ＝π，ω·7π12＋φ＝3π2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π＝2πω，∴ω＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ).由五点作图法知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，1是第二点，得2×5π12＋φ＝π2，2×5π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，所以φ＝－π3＋2k π(k ∈Z)，又|φ|<π2，所以φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.由2x －π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z).∴f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z).【训练2】【答案】 (1)C (2)x ＝k π2＋π6(k ∈Z)【解析】 (1)由题图知，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，∴ω＝2πT ＝2，∴f (x )＝－2cos 2x ，∴f (x ＋φ)＝－2cos(2x ＋2φ)，则由图象知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＋φ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋2φ＝2.∴5π6＋2φ＝2k π＋π(k ∈Z)，则φ＝π12＋k π(k ∈Z).又0<φ<π2，所以φ＝π12.(2)由图象知A ＝2，又1＝2sin(ω×0＋φ)，即sin φ＝12， 又|φ|<π2，∴φ＝π6. 又11π12×ω＋π6＝2π，∴ω＝2， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 令2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z). ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z). 【例3－1】【答案】 4【解析】 以圆心O 1为原点，以水平方向为x 轴方向，以竖直方向为y 轴方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2米，圆上最低点O 离地面1米，12秒转动一周，设∠OO 1P ＝θ，运动t (秒)后与地面的距离为f (t )，又周期T ＝12，所以θ＝π6t ， 则f (t )＝3＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π2＝3－2cos π6t (t ≥0)， 当t ＝40 s 时，f (t )＝3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×40＝4. 【例3－2】【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋3(2sin 2ωx －1)＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3. 由最小正周期为π，得ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)， 整理得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z). (2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y ＝2sin 2x ＋1的图象； 所以g (x )＝2sin 2x ＋1.令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z)， 所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可.所以b 的最小值为4π＋11π12＝59π12. 【训练3】【答案】 20.5【解析】 因为当x ＝6时，y ＝a ＋A ＝28；当x ＝12时，y ＝a －A ＝18，所以a ＝23，A ＝5，所以y ＝f (x )＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6）， 所以当x ＝10时，f (10)＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4 ＝23－5×12＝20.5. 【答案】见解析【解析】①因为f (x )＝52sin 2x －532(1＋cos 2x )＋532＝5(12sin 2x －32cos 2x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 所以函数的最小正周期T ＝2π2＝π. ②由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)， 所以函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z). 由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)， 得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z)， 所以函数f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z). ③由2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋5π12(k ∈Z)， 所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z).由2x －π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)， 所以函数f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z). 【例1】【答案】 B【解析】 由题意，至少出现50次最大值即至少需用4914个周期，所以1974T ＝1974·2πω≤1，所以ω≥1972π.【例2】【答案】 D【解析】 令π2＋2k π≤ωx ≤32π＋2k π(k ∈Z)，得π2ω＋2k πω≤x ≤3π2ω＋2k πω，因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋2k πω≤π3，π2≤3π2ω＋2k πω，得6k ＋32≤ω≤4k ＋3. 又ω>0，所以k ≥0，又6k ＋32<4k ＋3，得0≤k <34，所以k ＝0. 故32≤ω≤3. 【例3】【答案】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，78 (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫ω|ω≤－2或ω≥32 【解析】 (1)f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4， 令ωx －π4＝π2＋k π(k ∈Z)，解得x ＝3π4ω＋k πω(k ∈Z). 当k ＝0时，3π4ω≤π，即34≤ω， 当k ＝1时，3π4ω＋πω≥2π，即ω≤78. 综上，34≤ω≤78. (2)显然ω≠0，分两种情况：若ω>0，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4时，－π3ω≤ωx ≤π4ω. 因函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以－π3ω≤－π2，解得ω≥32. 若ω<0，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4时，π4ω≤ωx ≤－π3ω， 因函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以π4ω≤－π2，解得ω≤－2. 综上所述，符合条件的实数ω≤－2或ω≥32. 【基础巩固题组】1. 【答案】 A【解析】 由题图可知，A ＝2，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π， 所以ω＝2，由五点作图法知2×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)， 所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 2. 【答案】 B【解析】 将y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φ2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＝12sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位后得到的图象对应的函数为y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ，由题意得π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，∴φ＝k π＋π4(k ∈Z)，当k ＝－1，0，1时，φ的值分别为－3π4，π4，5π4，φ的取值不可能是－π4. 3. 【答案】 D【解析】 由P 是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)图象上的一个最低点，M ，N 是与P 相邻的两个最高点，知|MP |＝|NP |，又∠MPN ＝60°，所以△MPN 为等边三角形.由P (32，－332)，得|MN |＝2×3323×2＝6. ∴该函数的最小正周期T ＝6.4. 【答案】 A【解析】 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π10，将其图象向右平移π10个单位长度，得到函数y ＝sin 2x 的图象.由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，k ∈Z，得k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z.令k ＝0，可知函数y ＝sin 2x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增. 5. 【答案】 B【解析】 由题意得，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 则g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π6， 从而2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－x ＋2t －π6＝－2sin(2x －2t )＝2sin(2x －2t ＋π)，又t >0， 所以当2t －π6＝－2t ＋π＋2k π(k ∈Z)时，即t ＝7π24＋k π2(k ∈Z)，实数t min ＝724π.6. 【答案】 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10―————————―→横坐标伸长到原来的2倍y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10.7. 【答案】 3【解析】 由图象可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，∴T ＝π，∴ω＝2.∵当x ＝π6时，函数f (x )取得最大值，∴2×π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，∴φ＝π6＋2k π(k ∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝2cos π6＝ 3.8. 【答案】 143【解析】 依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4·ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2 (k ∈Z).∴ω＝8k ＋143 (k ∈Z)，因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143. 9. 【答案】见解析【解析】(1)f (8)＝10－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8 ＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2(32cos π12t ＋12sin π12t ) ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3， 又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1； 当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.10. 【答案】见解析【解析】(1)因为f (x )的图象上相邻最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2. 又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称， 所以2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)， 因为－π2≤φ＜π2，所以k ＝0， 所以φ＝π2－2π3＝－π6，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4－π6＝3sin π3＝32. (2)将f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12的图象， 所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，即k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z)时，g (x )单调递减. 因此g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z). 11. 【答案】 B【解析】 ∵x ＝π12是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ图象的一条对称轴，∴π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝k π＋π6(k ∈Z). ∵0<φ<π，∴φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴g (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－1. 12. 【答案】 C【解析】 f (x )＝220sin 100πx －220sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πx ＋2π3 ＝220⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 100πx －⎝⎛⎭⎪⎫sin 100πx ·cos 2π3＋cos 100πx sin 2π3 ＝220⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 100πx ＋12sin 100πx －32cos 100πx ＝2203⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 100πx －12cos 100πx ＝2203×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πx －π6， 则由对任意x ∈R，有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立得当x ＝x 2时，f (x )取得最大值，当x ＝x 1时，f (x )取得最小值，所以|x 2－x 1|的最小值为12T ＝12×2π100π＝1100(T 为f (x )的最小正周期)，故选C. 13. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12 【解析】 ∵f (x )＝1－23cos 2 x －(sin x －cos x )2＝sin 2x －3cos 2x －3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－3， ∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π3－3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－3， 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z)， 得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π(k ∈Z)， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2， ∴函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12.14. 【答案】见解析【解析】(1)设函数f (x )的最小正周期为T ，由题图可知A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2， 即T ＝π，所以π＝2πω，解得ω＝2， 所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，又过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0， 由0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ可得π3＋φ＝2k π(k ∈Z)， 则φ＝2k π－π3(k ∈Z)，因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3， 故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. (2)根据条件得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8时，4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6， 所以当x ＝π8时，g (x )取得最小值，且g (x )min ＝12. 15. 【答案】 π31 【解析】 函数f (x )＝23sin ωx 2cos ωx 2＋2cos 2ωx 2－1＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6. 由T ＝2πω＝π，可得ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－1≤f (x )≤2. 画出f (x )的图象(图略)，结合图象知x 1＋x 2＝π3， 则f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝2sin 5π6＝1.。
函数y=Asin(ωx+ψ)(基础知识+基本题型)(含解析)
5.6 函数y=Asin(ωx+ψ)（基础知识+基本题型）知识点一 ,,A ωϕ对函数图象的影响1、ϕ对函数sin(),y x x R ϕ=+∈的图象的影响正弦函数sin y x =的图象向左（右）平移ϕ个单位长度即可得到函数sin()y x ϕ=+的图象。
其中，当0ϕ>时，正弦函数图象向左平移；当0ϕ<时，正弦函数图象向右平移。
可简记为：左加右减“。
这种变换属于平移变换，只改变图象的位置，不改变其大小，可表示为0sin sin()0y x y x ϕϕϕϕϕ=→→=+<向左平移（>）向右平移（）【拓展】（1）当0ϕ>时，函数sin()y x ϕ=+的图象向右平移ϕ个单位长度即可得sin y x =的图象。
（2）当0ϕ<时，函数sin()y x ϕ=+的图象向左平移ϕ个单位长度即可得sin y x =的图象。
（3）当0ϕ>时，函数sin()y x ϕ=-+的图象可由sin y x =-得图象向右平移ϕ个单位长度即可得sin y x =-的图象。
2、(0)ωω>对函数sin(),y x x R ωϕ=+∈的图象的影响函数sin()y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标缩短（或伸长）到原来的1ω倍即可得到函数sin()y x ωϕ=+的图象。
其中，当1ω>时，所有点的横坐标缩短到原来的1ω倍；当01ω<<时，所有点的横左边伸长到原来的1ω倍。
这种图象变换属于伸缩变换，其横坐标发生改变的同时，纵坐标并未发生任何变化，可表示为sin()y x ωϕ=+→sin()y x ωϕ=+【提示】由于正弦函数为周期函数，ω的变化只引起图象上点的横坐标的变化，故ω影响sin()y x ωϕ=+的周期。
由于周期的变化，也就导致了函数sin()y x ωϕω=+≠（1）与函数sin()y x ϕ=+的图象的不同，因此这一变换通常也叫周期变换。
3、A （A ＞0)对函数sin()y A x x R ωϕ=+∈，的图象的影响函数sin()y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（或缩短）到原来的A 倍即可得到函数sin()y A x ωϕ=+的图象。
y=Asin(ωx φ)函数的图象和性质
专题、y=Asin （ωx+φ）函数的图象和性质一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．要想得到函数sin()3y x π=-的图像，只须将sin y x =的图像 ( )A ．向右平移3π个单位 B ．向左平移3π个单位C ．向右平移56π个单位D ．向左平移56π个单位【答案】A 【解析】试题分析：函数sin y x =向左或右平移||ϕ个单位（0ϕ>向左平移，0ϕ<向右平移）得到sin()y x ϕ=+，令3x x πϕ+=-，得3πϕ=-，故选A ．2.将函数sin()6y x π=+的图像向左平移π个单位，则平移后的函数图像（ ）(A)关于直线π3x =对称 (B)关于直线π6x =对称 (C)关于点π03⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称 (D)关于点π06⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称 【答案】A3.将函数 ()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移个单位后，所得的图像对应的解析式为（ ）A ．y =sin 2xB ．y =cos 2xC ．y =D ．y =【答案】C 4．要得到的图象只需将3sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移个单位B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移个单位 D ．向右平移个单位【答案】C5．要得到函数cos 2y x =的图象，只需将cos(2)4y x π=+的图象（）A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度【答案】B 6．函数sin(2)3yx π=+的图像经过下列平移，可以得到偶函数图像的是（ ）A.向右平移6π个单位 B.向左平移6π个单位 C.向右平移512π个单位 D.向左平移512π个单位 【答案】C7．函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)2A πωϕ>><的部分图象如图所示，为了得到sin 2y x =的图象，只需将()f x 的图象( )A ．向右平移3π个单位 B ．向右平移6π个单位C ．向左平移3π个单位D ．向左平移6π个单位【答案】B8. 若将函数sin 64y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再将所得图象沿x 轴向右平移8π个单位长度，则所得图象的一个对称中心是（ ）A.,016π⎛⎫⎪⎝⎭ B.,09π⎛⎫⎪⎝⎭C.,04π⎛⎫⎪⎝⎭ D.,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D9．为了得到函数2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos 2y x =的图象（ ） A ．向左平移6π个单位长度B ．向左平移3π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度 D ．向右平移3π个单位长度【答案】D10.为得到函数sin 2y x =-的图象，可将函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向左平移6π个单位[来源:学&科&网]C.向右平移3π个单位 D ．向右平移23π个单位 【答案】C 11．将函数的图象向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，所得新图象的函数解析式是（ ）A ．y=sin4xB ．y=sinxC ．y=sin （4x ﹣）D ．y=sin （x ﹣）【答案】D12.将函数()3sin(4)6f x x π=+图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象.则()y g x =图象一条对称轴是（ ） A.12x π=B.6x π=C.3x π=D.23x π=【答案】C二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 将函数()()()sin 30f x x ϕϕπ=+<<的图象向右平移12π个单位后，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的值为____________． 【答案】34π 14. 将函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位后，得到的图象对应的函数()f x 为奇函数，则ϕ的最小值为 . 【答案】6π 15.设函数()sin()(0,0,,)22f x A x A x R ππωϕωϕ=+>>-<<∈的部分图象如图所示.则A ωϕ++=【答案】36π+16.对于函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xf x x x x ≤⎧=⎨>⎩给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当2()x k k Z ππ=+∈时，该函数取得最小值－１； ③该函数的图象关于对称；④当且仅当时，.其中正确命题的序号是___________.（请将所有正确命题的序号都填上） 【答案】③④三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知函数()()ϕω+=x A x f sin (其中20,0,0πϕω<<>>A )的周期为π，其图象上一个最高点为⎪⎭⎫⎝⎛2,6πM . （Ⅰ）求()x f 的解析式； （Ⅱ）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πx 时，求()x f 的最值及相应的x 的值. 【答案】(Ⅰ)()⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin 2πx x f ；（Ⅱ）0=x 时， ()x f 取得最小值1，时， ()x f 取得最大值2.18. 已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象（部分）如图所示.（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若），（30πα∈，且34)(=παf ，求αcos . 【答案】（1）)6sin(2)(ππ+=x x f （2）6215+ 19. 某同学用“五点法”画函数()sin()f x k A x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ<）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（1）请将上表空格中所缺的数据填写在答题卡的相应位置上，并直接写出函数()f x 的解析式； （2）把函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 的单调递增区间．【答案】（1）2()3sin()36f x x π=-（2）5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．20. 某同学用“五点法”画函数()sin()(0,)2f x A x πωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数f （x ）的解析式； （2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动6π个单位长度，得到()y g x =的图象，求()y g x =的图象离原点O最近的对称中心.【答案】（1）()5sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭.21. 设函数()sin()f x A x ωφ=+（,,A ωφ为常数，且0,0,0A ωφπ>><<）的部分图象如图所示.（1）求,,A ωφ的值；（2）当[0,]2x π∈时，求()f x 的取值范围. 【答案】（1）3=A ，2=ω，3πφ=； （2）)(x f 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,23.22. 设()4sin(2)3f x x π=-.（1）求()f x 在[0,]2π上的最大值和最小值；（2）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移23π个单位，得到函数()y g x =的图象，求g （x ）的单调减区间．【答案】（1）()f x的最大值是（2）单调减区间是7[2,2]().66k k k Zππππ++∈。
高考数学专题复习：函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质
高考数学专题复习：函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质一、单选题1．将函数sin 2()4y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R 的图象向右平移8π个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，则所得图象的函数解析式为（ ） A ．cos y x =B ．cos 4y x =C ．sin y x =D ．sin 4y x =2．若函数()()sin 046f x x πωω⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度后关于y 轴对称，则ω=（ ）A ．2B ．12C ．1D ．33．函数π()sin 2+4f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像，向右平移π4个单位长度后得到函数()g x 的解析式为（ ）A ．()sin 2g x x =B ．π()sin(2+)4g x x =C ．π()sin(2)4g x x =-D ．3π()sin(2)4g x x =+4．已知函数()sin f x x =，函数()g x 的图象可以由函数()f x 的图象先向右平移6π个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>得到.若方程1()2g x =在(0,)π上恰有6个根，则ω的取值范围是（ ）A ．195,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．195,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2913,62⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．2913,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ个单位，恰与()5sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象重合，则ϕ的取值可能是（ ）A ．3π B ．512π C ．2π D ．712π 6．为了得到sin 2y x =，x ∈R 的图象，只需把cos 2y x =，x ∈R 图像上所有的点（ ）． A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度7．将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到()g x 的图象，若()()129g x g x ⋅=，且[]12,0,2x x π∈，则12x x -的值为（ ）A ．2πB ．πC ．2π D ．4912π8．设函数()sin (0)6f x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的图象如图，则函数f （x ）的图象的对称轴方程为（ ）A ．3x k ππ=+（k ∈Z ） B ．26k x ππ=+（k ∈Z ） C ．26k x ππ=-（k ∈Z ） D ．3x k ππ=-（k ∈Z ）9．已知函数()πsin()cos 3x f x x =+的图像向右平移3π个单位，再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，若()()()121214g x x x x g ⋅=≠，则12||x x -的最小值为（ ） A ．π 4B ．2πC ．πD ．2π10．已知函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()sin g x x =，要得到函数()y f x =的图象，只需将函数y g x 的图象上的所有点（ ）A ．横坐标缩短为原来的12，再向左平移π3个单位得到B ．横坐标缩短为原来的12，再向左平移π6个单位得到C ．横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π3个单位得到D ．横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π6个单位得到11．要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）A ．向左平移3π个单位； B ．向左平移6π个单位；C ．向右平移3π个单位； D ．向右平移6π个单位12．已知函数()()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则下列说法正确的个数为（ ）①3πϕ=；②()f x 在区间,03π⎛-⎫⎪⎝⎭上单调递增；③()f x 的一条对称轴为512x π=；④要想将()f x 变成一个偶函数，可以将()f x 的图象向左平移12π个单位.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题13．将函数()sin 2f x x =的图像向左平移()0ϕϕ>个单位得到函数()cos2g x x =的图像，则ϕ的最小值是________．14．已知函数1()4sin 26f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数f （x ）的图象上所有点的横坐标变成原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）的图象，且当x ∈1,3a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，()[]2,4g x ∈-，则a 的取值范围是________.15．将函数()cos 2f x x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 的图象关于原点对称，则ϕ的一个取值为________．16．已知函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，()sin(2)g x A x ωϕ=-，给出以下说法：①将()y f x =的图象向左平移34个单位长度可以得到()g x 的图象；②()g x 的图象关于直线x =1对称； ③()g x 的图象关于点5(,0)2成中心对称；④()g x 在719(,)44上单调递减.其中所有正确说法的编号是________ 三、解答题 17．已知函数sin ωφf xA xB （其中A ，ω，ϕ，B 均为常数，0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式及其递增区间；（2）若先将函数()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），再将图象向左平移m （0m >）个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 是偶函数，求实数m 的最小值.18．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示：（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值及函数取最大值时相应的x 值．19．已知函数()()sin (0,0,02)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()((0,))2g x f x t t π=+∈为偶函数，求t 的值.20．已知函数()2sin f x x ω=其中常数0>ω.（1）若()y f x =在2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，求ω的取值范围；（2）令2ω=，将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，区间[],a b （,a b ∈R 且a b <）满足：()y g x =在[],a b 上至少含有100个零点，在所有满足上述条件的[],a b 中，求b a -的最小值.21．某同学用“五点法”画函数()sin()0,||2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：（1）请写出上表的122x x y ,,及函数()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象向右平移3π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，求()g x 的解析式及()12log y g x ⎡=⎢⎣⎦的定义域.22．已知函数()2cos(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<． （1）若π=ϕ，完成下列表格并在给定的坐标系中，画出函数f （x ）在[0,]π上的图象；（2）若f （x ）为奇函数，求ϕ；（3）在（2）的前提下，将函数f （x ）的图象向右平移6π个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）的图象，求g （x ）的单调递减区间．参考答案1．D 【分析】根据图象平移，伸缩变换的原则，结合所给方程，化简整理，即可得答案. 【详解】将sin 2()4y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R 的图象向右平移8π个单位长度，得到图象的解析式为sin 2sin 284y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再将sin 2y x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，则所得图象的函数解析式为sin 4y x =， 故选：D ． 2．A 【分析】先求出平称后的函数解析式，再由其图像关于y 轴对称，可得其为偶函数，从而可求出ω的值 【详解】解：函数()()sin 046f x x πωω⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度后的解析式为sin sin 3636y x x πππωπωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为其图像关于y 轴对称， 所以,362k k Z πωπππ-=+∈，解得32,k k Z ω=+∈， 因为04ω<<，所以2ω=， 故选：A 3．C 【分析】由平移变换得解析式．【详解】向右平移π4个单位长度后得：()sin 2()sin(2)444g x x x πππ⎡⎤=-+=-⎢⎥⎣⎦．故选：C ． 4．A 【分析】由图象变换得出()g x 的表达式，求出1()2g x =的解，正数解从小到大排序后，π大于第六个解，不小于第7个解，由此可得结论． 【详解】由题意()sin()6g x x πω=-，由1sin()62x πω-=，得(1)66k x k ππωπ-=+-，1(1)66k x k πππω⎡⎤=++-⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， (1)66k k πππ++-中正数依次为3π，π，73π，3π，133π，5π，193π，…，1()2g x =在(0,)π上恰有6个根，则5193πππωω<≤，解得1953ω<≤．故选：A ． 5．D 【分析】首先根据平移规律，写出平移后的图象，再根据两图象重合，列式求ϕ的值. 【详解】()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向左平移ϕ个单位后得()sin 23y x πϕ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦，0ϕ>，与图象()5sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭重合，所以522,36k k Z ππϕπ-=+∈，解得：7,12k k Z πϕπ=+∈， 当0k =时，712πϕ=. 故选：D 6．B 【分析】由诱导公式可得cos 2sin(2)2y x x π==+，结合sin()y A x ωϕ=+的图像变换规律即可得出结论.【详解】由诱导公式可得cos 2sin(2)sin 2()24y x x x ππ==+=+，所以将函数图像上的点向右平移4π个单位长度，即可得到sin 2y x =的图像. 故选：B 7．B 【分析】根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()g x 的解析式，再利用正弦函数的最大值，可得1()g x 和2()g x 相差一个周期的整数倍，从而判断1232x ππ+=，22232x πππ+=+或1232x ππ+=，22232x πππ+=+，进而求得12x x -的值．【详解】解：将函数()2sin(2)6f x x π=+的图象向左平移12π个单位，再向上平移1个单位，得到()2sin(2)13g x x π=++的图象．若12()()9g x g x ⋅=，则1()g x 和2()g x 都取得最大值3， 故1()g x 和2()g x 相差一个周期的整数倍． 由[]12,0,2x x π∈，则122,2,43333x x πππππ⎡⎤++∈+⎢⎥⎣⎦， 故1232x ππ+=，22232x πππ+=+， 或1232x ππ+=，22232x πππ+=+，所以12x x π-= 故选：B ． 8．B 【分析】由图象得2ω=，再由正弦函数的对称轴方程可得答案. 【详解】 由图象可知，132ω+=，所以2ω=，所以 ()sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令()262x k k Z πππ+=+∈得()26k x k Z ππ=+∈， 故选：B. 9．B 【分析】先对函数化简，得1()sin 223f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数图像变换规律求出()1sin 423g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()()()121214g x x x x g ⋅=≠，可得1x 与2x 都是波峰或波谷的横坐标，从而可得答案 【详解】因为()sin cos 3f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭1sin cos 2x x x ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭1cos24x x =111sin 2sin 22223x x x π⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图像向右平移3π个单位得1sin 2233y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1sin 223x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半得到()1sin 423g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为()()1214g x g x ⋅=，所以()()1212g x g x ==或()()1212g x g x ==-，因为1x 与2x 都是波峰或波谷的横坐标，所以12min2x x T π-==，故选：B ． 10．B 【分析】根据正弦函数图象变化前后的解析式，确定图象的变换过程. 【详解】由()πsin 2()6f x x =+，而()sing x x =，∴将函数yg x 的图象上的所有点横坐标缩短为原来的12，再向左平移π6个单位得到()y f x =.故选：B 11．B 【分析】根据两个函数的解析式的特征，结合正弦型函数图像的变换性质进行求解即可.【详解】因为sin 2sin[2]36y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像向左平移6π个单位即可， 故选：B 12．C 【分析】先根据图象特征求ω和ϕ，判断①正确，得到解析式，再利用代入验证法判断②正确③错误，利用图象平移判断④正确，即得正确说法的个数. 【详解】由图象知，7ππ2π4π123T ω⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，所以2ω=，函数()()2f x x ϕ=+， 由图象过π,03⎛⎫⎪⎝⎭知，2,3k k Z πϕππ⨯+=+∈，而2πϕ<，故π3ϕ=，故①正确，()32πin f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.,03x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，222,,333x πππππ⎛⎫⎛⎫+∈⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭-，所以函数单调递增，②正确；512x π=时，37πsin 2sin 16x π⎛⎫+=≠± ⎪⎝⎭，所以512x π=不是对称轴，③错误；()32πin f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移12π个单位得ππ2221232πy x x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数，所以④正确.综上，说法正确的个数为3个. 故选：C. 13．4π【分析】将cos 2x 化为sin 22x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，进而通过平移得到答案.【详解】由已知可得sin 2()cos2sin 22x x x πϕ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭，∴222k πϕπ=+，∴,4k k πϕπ=+∈Z ，∵0ϕ>，∴ϕ的最小值是4π． 故答案为：4π. 14．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】利用图象变换知识可得()4sin()6g x x ππ=+，结合正弦函数的图象与性质可得结果.【详解】由题意可得()4sin()6g x x ππ=+，当1,3x a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，(),666x a πππππ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦，又()[]2,4g x ∈-，结合正弦函数的图象可得7266a ππππ≤+≤，所以113a ≤≤.故答案为：1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.15．4π 【分析】根据平移后的可得函数()cos(22)g x x ϕ=+，根据题意可得(0)0g =可得22k πϕπ=+，取一值即可得解. 【详解】将函数()cos 2f x x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度， 可得()cos(22)g x x ϕ=+，由函数()g x 的图象关于原点对称， 可得(0)cos(2)0g ϕ==, 所以22k πϕπ=+，42k ππϕ=+， 当0k =时，4πϕ=.故答案为：4π 16．①②③ 【分析】由给定的函数图象求出ω和ϕ并写出()f x ，()g x 的解析式，然后对四个命题逐一分析判断作答.【详解】令函数()f x 周期为T ，观察图象得75()3244T =--=，即6T =，则23T ππω==， 又当74x =时，()f x 取得最大值，于是有72()342k k Z ππϕπ⋅+=+∈，因||2ϕπ<，则有0,12k πϕ==-，所以()sin(),()sin()31236f x A xg x A x ππππ=-=+，因33()sin[()]sin()4341236f x A x A x ππππ+=+-=+，即g (x )的图象可以由y =f (x )的图象向左平移34个单位长度得到，①正确； 由()362x k k Z ππππ+=+∈得函数()g x 图象的对称轴为13()x k k Z =+∈，于是得直线x =1是g (x )图象的一条对称轴，②正确； 由()36x k k Z πππ+=∈得13()2x k k Z =-∈，()g x 图象的对称中心为1(3,0)()2k k Z -∈，则点5(,0)2是()g x 图像的一个对称中心，③正确； 当719(,)44x ∈时，37(,)3644x ππππ+∈，所以()g x 在7(,4)4单调递减，在19(4,)4上单调递增，④错误.故答案为：①②③17．（1）()sin 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；递增区间为：5(,)()1212k k k Z ππππ-++∈；（2）524π. 【分析】（1）根据图象可得函数的解析式为()sin 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再解不等式222232k x k πππππ-<-<+，即可得到答案；（2）由题意()()sin 423g x x m π⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦，()g x sin 4423x m π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，由()g x 是偶函数，得432m k πππ-=+，k ∈Z ，从而求得答案；【详解】 （1）由图可知：3112A -==，3122B +==，31173212122T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， 所以2T ππω==，所以2ω=，所以()()sin 22f x x ϕ=++.由1111sin 21126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得113262k ππϕπ+=+，k ∈Z ， 所以23k πϕπ=-，k ∈Z ，因为2πϕ<，所以3πϕ=-.所以()sin 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.递增区间为：5(,)()1212k k k Z ππππ-++∈.（2）由题意：()()sin 423g x x m π⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦，()g x sin 4423x m π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭因为()g x 是偶函数，所以432m k πππ-=+，k ∈Z ，所以5424k m ππ=+，k ∈Z ， 因为0m >，所以当0k =时，m 的最小值为524π. 18．（1）2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）24x π=时，函数()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π区间上的最大值为2．【分析】（1）根据函数的最值求出A 的值，根据函数的最小正周期求出ω的值，根据函数的最值点求出ϕ的值即得解；（2）首先求出()2sin 43g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据不等式的性质和三角函数的图象和性质求出最大值及函数取最大值时相应的x 值． 【详解】解：（1）如图可知，2,4126A T πππ⎡⎤⎛⎫==⨯--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴22Tπω==． ∵2sin 22122πϕπϕ⎧⎛⎫⨯+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪<⎪⎩， ∴3πϕ=，即函数解析式为2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）根据图象变换原则得()2sin 43g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴44,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴2sin 4[3x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，当432x ππ+=，即24x π=时，函数()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π区间上的最大值为2．19．（1）())3f x x π=+；（2）12π.【分析】(1)利用函数图象信息求出A ，周期T 而得ω，再由最小值点求出ϕ即可作答； (2)利用正余弦型函数的奇偶性列式计算即得. 【详解】（1）由图知A =函数()f x 周期为T ，则373()41264T πππ=--=，T π=，于是得22T πω==，则()()2f x x ϕ=+，由77())1212f ππϕ⋅+=7322,122k k Z ππϕπ⋅+=+∈，解得2,3k k Z πϕπ=+∈，而02ϕπ<<，则3πϕ=，所以函数()f x的解析式为())3f x x π=+；（2）由(1)知()()2)3x t g x f x t π=+++=为偶函数，从而有2,32t k k Z πππ+=+∈，解得,122k t k Z ππ=+∈，又(0,)2t π∈，所以12t π=.20．（1）(30,4⎤⎥⎦；（2）1483π. 【分析】（1）求出()()2sin 0f x x ωω=>的单调递增区间，根据42232ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩解不等式组可得答案；（2）求出()g x 的零点相邻间隔依次为3π和23π，利用三角函数的性质进行求解即可．【详解】（1）由()2222k x k k Z πππωπ-≤≤+∈得()2222k k x k Z ππππωωωω-≤≤+∈，()2sin f x x ω=的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππωωωω⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， 若()y f x =在2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以令0k =，则22x ππωω-≤≤()0ω>， 根据题意有42232ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得304ω<≤所以ω的取值范围是(30,4⎤⎥⎦.（2）由()2sin 2f x x =可得，()2sin 212sin 2163g x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由()0g x =可得1sin 232x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，4x k ππ∴=-或712x k k Z ππ=-∈，，即()g x 的零点相邻间隔依次为3π和23π，故若()y g x =在[],a b 上至少含有100个零点，则b a -的最小值为21484950333πππ⨯+⨯=. 21．（1）1224π7π,,33x x y ===1π()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）()π6g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；2π2π,2π,Z 3k k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.【分析】（1）利用五点法依次代入计算参数,,A ωϕ，即得解析式，再代入计算解得122x x y ,,即可； （2）先利用图象变换得到()g x 的解析式，再根据对数的性质得到()g x ，即解不等式π1sin 62x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，即得结果.【详解】解：（1）依题意可知，20332πωϕππωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得123ωπϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又ππsin 32f A A ⎛⎫=== ⎪⎝⎭1π()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故由11ππ23x +=，21π3π232x +=，解得124π7π,33x x ==，又2221π3π()232f x y x ⎛⎫+== ⎪⎝⎭= （2）函数()f x 的图象向右平移3π个单位，得到1ππ1π23326y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将所得图象上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()π6g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 函数()12log y g x ⎡=⎢⎣⎦中，()0g x >，即()g x 所以()π6g x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π1sin 62x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以ππ5π2π2π,Z 666k x k k +<+<+∈，解得2π2π2π,Z 3k x k k <<+∈， 所以()12log y g x ⎡=⎢⎣⎦的定义域为2π2π,2π,Z 3k k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭. 22．（1）答案见解析；（2）2ϕπ=；（3）52,2()66k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z . 【分析】（1）先填表，再作出函数的图象； （2）由题得2k πϕπ=+，给k 取值即得解；（3）求出()2sin 3g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，再利用复合函数单调性原理和三角函数的图象求解.【详解】解：（1）函数f （x ）在[0,]π的图象如下：（2）由()2cos(2)f x x ϕ=+，因为f （x ）为奇函数，则2k πϕπ=+，又0ϕπ<<，所以2ϕπ=． （3）由（2）知()2sin 2f x x =-，向右平移6π个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍后，可得()2sin 3g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．由22232k x k πππππ--+，得522()66k x k k ππππ-++∈Z ． 从而可得g （x ）的单调递减区间为52,2()66k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ．。
苏教版高考一轮数学理函数y=Asinωx+φ的图象与性质一轮复习限时提分训练基础到提升含精细解析Word版含答案
函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象与性 质及三角分层训练A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2012·盐城调研)函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4－22·sin 2x 的最小正周期为________．解析 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4－2(1－cos 2x )＝cos 2x cos 3π4＋sin 2x sin 3π4＋2cos 2x－2＝22 sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 答案 π2．(2012·苏北四市调研)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的最大值为________．解析 法一 由题意可知y ＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋cos 2x cos π3＋sin 2x sin π3＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以最大值为2.法二 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以最大值为2.答案 23．(2012·北京东直门中学模拟)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点和最低点，且OM →·ON →＝0，则A ·ω＝________.解析 由题图可知，T ＝π，所以ω＝2，易得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝1，又|φ|<π2，所以φ＝π3，因此y ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，又M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，A ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－A ， 若OM →·ON →＝0，则π12×7π12－A 2＝0，所以A ＝712π，因此A ·ω＝2×712π＝76π. 答案76π 4．(2012·泰州学情调查)要使sin α－3cos α＝4m －64－m 有意义，则m 的范围为________．解析4m －64－m ＝sin α－3cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3∈[－2,2]，所以－2≤4m －64－m ≤2，解得－1≤m ≤73.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，73 5．(2012·镇江调研)函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2sin x cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最大值是________．解析 f (x )＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos π4＋cos x sin π4＋2sin x cos x ＝sin x ＋cos x ＋2sin x cosx ．设t ＝sin x ＋cos x ，则t 2＝1＋2sin x cos x ，∴2sin x cos x ＝t 2－1，且由π4≤x ≤π2，得t ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[1，2]，所以y ＝t ＋t 2－1＝t 2＋t －1，当t ＝2时，y max ＝2＋1. 答案2＋16．给出下列命题：①函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π2是奇函数； ②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32；③若α，β是第一象限角且α＜β，则tan α＜tan β； ④x ＝π8是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π4的一条对称轴； ⑤函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0成中心对称图形．其中正确命题的序号为________．解析 ①y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋π2⇒y ＝－sin 23x 是奇函数； ②由sin α＋cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的最大值为2， 2＜32，所以不存在实数α，使得sin α＋cos α＝32.③α＝60°，β＝390°，显然有α＜β，且α，β都是第一象限角，但tan α＝3，tan β＝tan 390°＝33，tan α＞tan β，所以③不成立． ④∵2×π8＋54π＝π4＋54π＝32π，sin 32π＝－1，∴④成立．⑤∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋π3＝1≠0，∴⑤不成立． 答案 ①④二、解答题(每小题15分，共30分)7．(2012·陕西卷)函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值．解 (1)由题意，A ＋1＝3，所以A ＝2.因为函数图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以最小正周期T ＝π，所以ω＝2.故函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝12.又0<α<π2，所以α－π6＝π6，即α＝π3.8．如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面距离为0.8 m ，60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面间的距离为h .(1)求h 与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA 开始转动，经过t 秒后到达OB ，求h 与t 之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？解 (1)以圆心O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则以Ox 为始边，OB 为终边的角为θ－π2，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4.8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2，4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2， ∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2.(2)点A 在圆上转动的角速度是π30，故t 秒转过的弧度数为π30t ，∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π2，t ∈[0，＋∞)．到达最高点时，h ＝10.4 m. 由sin ⎝⎛⎭⎪⎫π30t －π2＝1，得π30t －π2＝π2，∴t ＝30，∴缆车到达最高点时，用的最少时间为30秒．分层训练B 级 创新能力提升1．(2012·江苏海安中学二模)设函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，则x 0＝________.解析 因为函数图象的对称中心是其与x 轴的交点，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π3＝0,2x 0＋π3＝k π，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，解得x 0＝－π6.答案 －π62．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是________安．解析 由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．⎝ ⎛⎭⎪⎫1300，10为五点中的第二个点，∴100π×1300＋φ＝π2. ∴φ＝π6.∴I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋16，当t ＝1100秒时，I ＝－5安．答案 －53．(2013·南通调研)函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (x ∈R )，又f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值等于π2，则正数ω的值为________．解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，由题意得f (x )的最小正周期T ＝4×π2＝2π，所以2πω＝2π，即ω＝1. 答案 14．(2013·菏泽模拟)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ，下列结论：①图象C 关于直线x＝π6对称；②图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；③f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12上是增函数；④函数g (x )＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到f (x )的图象，其中正确的命题序号是________．解析 ①当x ＝π6时，2x －π3＝2×π6－π3＝0，所以C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，所以①不正确．②当x ＝－π6时，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3≠0，所以②不正确．③当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12时，2x －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调增，所以③正确．④g ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝3sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3≠f (x )，所以④不正确，故正确的题号是③.答案 ③5．(2012·华东师大附中模拟)已知函数f (x )＝A sin ωx ＋B cos ωx (A 、B 、ω是常数，ω＞0)的最小正周期为2，并且当x ＝13时，f (x )max ＝2.(1)求f (x )的解析式； (2)在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上是否存在f (x )的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．解 (1)因为f (x )＝A 2＋B 2sin(ωx ＋φ)，由它的最小正周期为2，知2πω＝2，ω＝π，又因为当x ＝13时，f (x )max ＝2，知13π＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋2k π＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(k ∈Z )．故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6. (2)当垂直于x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k ＋13(k ∈Z )，由214≤k ＋13≤234，解得5912≤k ≤6512，又k ∈Z ，知k ＝5，由此可知在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上存在f (x )的对称轴，其方程为x ＝163.6．已知函数f (x )＝23sin x 2＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋sin x＝3cos x ＋sin x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)∵将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin[⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3]＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，g (x )取得最大值2.当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12，g (x )取得最小值－1.。
函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质练习题
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象及其变换练习题一、选择题(每小题5分，共20分)1.(2013·兰州模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到的图象对应的函数解析式为( )．A ．y ＝sin 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 2．(2013·东营模拟)将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值为( )．A.π6B.π3C.π4D.π123．(2012·浙江)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )．4．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，则下列结论中正确的是( )． A ．函数y ＝f (x )·g (x )的周期为2B ．函数y ＝f (x )·g (x )的最大值为1C ．将f (x )的图象向左平移π2个单位后得到g (x )的图象 D ．将f (x )的图象向右平移π2个单位后得到g (x )的图象 二、填空题(每小题5分，共10分)5.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.6．(2012·长沙调研)已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________． 三、解答题(共25分)7．(12分)(2012·陕西)函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f ⎝⎛⎭⎫α2＝2，求α的值．8．(13分)已知函数f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．。
函数y=Asinωx φ的图像与性质一课堂达标有解析北师大版必修四
函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(一)课堂达标（有解析北师大版必修四）
函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(一)课堂达标（有解析北师大版必修四）
1.函数y=2sin(x+)的最大值及振幅分别为()
A.2，2
B.-2,π
C.2,-2
D.2,π
【解析】选A.函数y=2sin(x+)的最大值为2，振幅为2.
2.函数f(x)=,x∈R的最小正周期为()
A.B.πC.2πD.4π
【解析】选D.最小正周期T==4π.
3.(2014深圳高一检测)要得到f(x)=cos(x－2)的图像只需要把f(x)=cos(x+1)的图像()
A．向右平移1个单位B．向左平移1个单位
C．向右平移3个单位D．向左平移3个单位
【解析】选C.由x－2=x－3+1，故应向右平移3个单位.
4.(2014泰州高一检测)将函数y=sin2x的图像向右平移个单位所得函数的解析式为______.
【解析】将函数y=sin2x的图像向右平移个单位所得函数的解析式：
y=sin2(x-)=sin(2x-).
答案：y=sin(2x-)
5.(2014石家庄高一检测)已知函数
f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A0,ω0,0φ)的部分图像如图所示，求函数f(x)的解析式.
【解析】由于最小正周期T=
所以ω==2.
因为点(,0)在函数图像上，
所以Asin(2×+φ)=0,即sin(+φ)=0.
又因为0φ,所以+φ,
从而+φ=π，即φ=.
经检验，符合题意.
又点(0,1)在函数图像上，所以Asin=1,A=2，
故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+).。
函数y=Asin(ωx+φ)的图象练习(含答案)
函数y=Asin(ωx+φ)的图象练习题一、选择题1.把函数y=f(x)的图象沿直线x+y=0的方向向右下方平移22个单位,得到函数y=sin3x 的图象,则( )A.f(x)=sin(3x+6)+2B.f(x)=sin(3x-6)-2C.f(x)=sin(3x+2)+2D.f(x)=sin(3x-2)-22.把函数y=sin(ωx+φ)(ω＞0,|φ|＜2π)的图象向左平移3π个单位,所得曲线的一部分如图所示,则ω、φ的值分别为( )A.1,3π B.1,3π- C.2,3π D.2,3π-3.已知函数f(x)=sinωx 在［0,4π］上单调递增且在这个区间上的最大值为23,则实数ω的一个值可以是( )A.32B.38C.34D.3104.已知函数f(x)=sinx,g(x)=cosx,则下列结论中正确的是( ) A.函数y=f(x)·g(x)是偶函数 B.函数y=f(x)·g(x)的最大值为1C.将f(x)的图象向右平移2π个单位长度后得到g(x)的图象D.将f(x)的图象向左平移2π个单位长度后得到g(x)的图象5.函数y=Asin(ωx+φ)图象的一部分如图所示,则此函数的解析式可以写成( )A.)8sin(π+=x y B.)82sin(π+=x yC.)42sin(π+=x y D.)42sin(π-=x y6.函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b 的图象如图,则f(x)的解析式及S=f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 006)的值分别为( )A.12sin 21)(+=x x f π,S=2 006 B.12sin 21)(+=x x f π,212007=SC.12sin 21)(+=x x f π,212006=SD.12sin 21)(+=x x f π,S=2 0077. 为了得到函数)63sin(2π+=x y ,x ∈R 的图象,只需把函数y=2sinx,x ∈R 的图象上所有的点( )A.向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变)B.向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变)C.向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) D.向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)8.已知函数y=Asin(ωx+φ)+m 的最大值为4,最小值为0,最小正周期为2π,直线3π=x 是其图象的一条对称轴,则下列各式中符合条件的解析式是( )A )44sin(4π+=x y B.2)32sin(2++=πx y C 2)34sin(2++=πx y D.2)64sin(2++=πx y9.把函数x x y sin 3cos -=的图象沿向量a =(-m,m)(m ＞0)的方向平移后,所得的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是( ) A.6π B.3π C.32π D.65π10.如果f(x)=sin(πx+θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期是T,且当x=2时取得最大值,那么( )A.T=2,B.T=1,θ=πC.T=2,θ=πD.T=1,2πθ=二、填空题11.曲线)4cos()4sin(2ππ-+=x x y 和直线21=y 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1,P 2,P 3,…,则|P 2P 4|=____________.12.要得到)42cos(π-=x y 的图象,且使平移的距离最短,则需将y=sin2x 的图象向_______平移____________个单位,即可得到.13.函数)3sin()(x x f -=π的单调递增区间为___________.若将函数的图象向左平移a(a ＞0)个单位,得到的图象关于原点对称,则a 的最小值为______________. 14.函数f(x)=sinx+2|sinx|,x ∈［0,2π］的图象与直线y=k 有且仅有两个不同的交点,则k 的取值范围是_____________. 三、解答题15.已知函数)23sin(2)3cos(2)(x x x f ++-=ππ.(1)用“五点法”画出函数f(x)在［0,35π］上的简图; (2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角A,B,C 的对边,f(A)=1,3=a ,b+c=3(b ＞c),求b,c 的长.16.已知函数f(x)=Asin(x+φ)(A ＞0,0＜φ＜π)(x ∈R )的最大值是1,其图象经过点M(3π,21).(1)求f(x)的解析式;(2)已知α,β∈(0,2π),且53)(=αf ,1312)=(βf ,求f(α-β)的值.函数y=Asin(ωx+φ)的图象练习题参考答案解析:实质上是将y=f(x)向右平移2个单位,向下平移2个单位,得到y=sin3x,逆向思维即得y=f(x)=sin ［3(x+2)］+2=sin(3x+6)+2.故选A. 答案:A解析:将y=sin(ωx+φ)(ω＞0,|φ|＜2π)的图象向左平移3π个单位,得到])3(s i n [ϕπω++=x y .∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++.23)3127(,)33(πϕππωπϕππω 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==.3,2πϕω故选D.解析:∵f(x)=sinωx 在［0,4π］上单调递增,∴当4π=x 时,234sin )(max =∙=ωπx f .检验,当34=ω时,有233sin =π,符合题意.故选C.答案:C 解析:∵f(x)=sinx 是奇函数,g(x)=cosx 是偶函数,∴y=f(x)·g(x)是奇函数.故A 错;∵y=f(x)·g(x)=sinx·cosx=21·sin2x,∴y=f(x)·g(x)的最大值为21.故B 错;∵)2sin(cos )(π+==x x x g ,∴将f(x)=sinx 的图象向左平移2π个单位长度后得到g(x)的图象.故选D.答案:D解析:由图象可知41周期是4π,所以周期是π,再根据原点向左平移了8π,可知)42sin(π+=x y .故选C.答案:C解析:观察题中图象可知,12sin 21)(+=x x f π,f(0)=1,23)1(=f ,f(2)=1,21)3(=f ,f(4)=1,∴f(x)以4为周期.f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=4, 2 006=4×501+2,∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 006)=4×501+f(2 004)+f(2 005)+f(2 006)21200712312004=+++=.故选B.答案:B解析:2sinx 2sin(x+6π) )63sin(2π+x .故选C.答案:C8解析:由最大值为4,最小值为0,得A=2,m=2.由2π=T ,得ω=4.由3π=x 是一条对称轴得234ππϕπ+=+⨯k .∴65ππϕ-=k .令k=1得6πϕ=,∴2)64sin(2++=πx y .答案:D9解析:)3cos(2sin 3cos π+=-=x x x y ,y=cosx(x ∈R )的图象关于y 轴对称,将y=cosx 的图象向左平移π个单位时,图象仍关于y 轴对称.故选C.答案:C10解析:∵22==ππT ,又∵x=2时,有222ππθπ+=+k ,∴2)1(2ππθ+-=k ,k ∈Z . 又0＜θ＜2π,则k=1,2πθ=.故选A.答案:A解析:12sin )4cos()4sin(2+=-+=x x x y ππ,联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==,12sin ,21x y y ∴|P 2P 4|=|x 2-x 4|=π.答案:π 12解析:由y=sin2x 的图象向左平移8π个单位,得到)8(2sin π+=x y 的图象.而)42cos()24cos()]42(2cos[)42sin()8(2sin ππππππ-=-=+-=+=+=x x x x x y .答案:左 8π13解析:(1)∵)3sin()3sin()(ππ--=-=x x x f ,∴22ππ+k ≤3π-x ≤232ππ+k 时,f(x)单调递增,解得函数增区间为［652ππ+k ,6112ππ+k ］(k ∈Z ).(2)向左平移a 个单位,得g(x)=-sin(x+a-3π).因其关于原点对称,∴33ππππ+=⇒=-k a k a ,a 的最小值为3π.答案:［652ππ+k ,6112ππ+k ］(k ∈Z )3π14解析:⎩⎨⎧∈-∈=].2,[,sin ],,0[,sin 3)(πππx x x x x f作图如下:由图知k ∈(1,3).答案:(1,3)16解:(1)x x x x f cos 2)3sin sin 3cos (cos 2)(-+=ππx x x x x cos sin 3cos 2cos sin 3-=-+=)6sin(2)cos 21sin 23(2π-=-=x x x .(2)∵f(A)=1,即1)6sin(2=-πA ,∴21)6sin(=-πA .∵0＜A ＜π,∴-6π＜6π-A ＜65π.∴66ππ=-A .∴3π=A . 由bc a c b A 221cos 222-+==,即(b+c)2-a 2=3bc,∴bc=2.又b+c=3(b ＞c),∴⎩⎨⎧==.1.2c b16解:(1)∵f(x)=Asin(x+φ)(A ＞0,0＜φ＜π)的最大值是1,∴A=1.∵f(x)的图象经过点M(3π,21),∴21)3sin(=+ϕπ.∵0＜φ＜π⇒2πϕ=,∴x x x f cos )2sin()(=+=π.(2)∵f(x)=cosx,∴53cos )(==ααf ,1312cos )(==ββf .已知α,β∈(0,2π),∴54)53(1sin 2=-=α,135)1312(1sin 2=-=β.故f(α-β)=cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=6556135********=⨯+⨯.解:(1)由题图,知最大温差为30-10=20(℃).(2)题图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周期的图象. ∴8614221=-=∙ωπ.∴8πω=. 由题图所示1021030=-=A ,2021030=+=b . 这时20)8sin(10++=ϕπx y ,将x=6,y=10代入上式,可得43πϕ=.综上,所求解析式为20)438sin(10++=ππx y ,x ∈［6,14］.【例2】作出函数y=|sinx|+|cosx|,x ∈［0,π］的图象,并写出函数的值域.解:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-∈+=].,2[),4sin(2],2,0[),4sin(2πππππx x x x y 如下图,函数的值域为［1,2］.。
高考数学高三模拟考试试卷压轴题专题五y=Asinωx+φ函数的图象和性质
高考数学高三模拟考试试卷压轴题专题五y=Asin （ωx+φ）函数的图象和性质测试卷（A 卷）（测试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数的最小正周期为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】函数的最小正周期，选D2．函数的周期,振幅,初相分别是 A., B., C., D.,【答案】C【解析】由题可得，该函数的周期为，振幅为 ，初相为.故选C.3．函数()sin 206y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的周期为π,则ω= （ ） A.12B. 1C. 2D. 4 【答案】B【解析】根据周期公式2,12T ππωω===，选B. 4．要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位 【答案】A5．要得到函数y=sinx 的图像，只需将函数sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像（） A. 向右平移6π个单位 B. 向右平移3π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向左平移6π个单位【答案】C【解析】将函数sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向左平移3π个单位得到sin sin 33y x x ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭.故选C. 6．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度 【答案】C【解析】试题分析：因为函数，所以将函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图像.故应选C.7．函数sin2y x =向右平移6π个单位后得到的图象所对应的函数解析式是（ ） A. sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B. sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】D8．要得到函数sin2y x =的图象，只需将函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象（ ） A. 向右平移6π个单位长度 B. 向左平移6π个单位长度 C. 向右平移3π个单位长度 D. 向左平移3π个单位长度【答案】B【解析】函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度,有sin 2263y x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,故选B.9．若将函数sin2y x =的图象向左平移π6个单位，则平移后的图象（ ） A. 关于点π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B. 关于直线π12x =-对称C. 关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称 D. 关于直线π12x =对称 【答案】D【解析】根据已知条件，平移后的函数表达式为sin26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.令262x k πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,212k x k Z ππ=+∈，则平移后的图象关于直线,212k x k Z ππ=+∈对称，当0k =时， 12x π=. 故本题正确答案为.D10．【中原名校高三第三次联考】将函数()sin 2y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移6π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为（ ） A.3π B. 6π C. 0 D. 4π 【答案】B11．若将函数()cos 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位，所得图象关于原点对称，则ϕ最小时，tan ϕ=（ ）A. 33-B. 33C. 3-D. 3 【答案】B【解析】函数向左平移后得到πcos 226y x ϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，其图像关于原点对称为奇函数，故ππ2π62k ϕ+=+，即ππ26k ϕ=+，min ππ3,tan 663ϕ==. 12．【天津市实验中学高三上第二次段考】如图是函数()()sin f x A x ωϕ=+在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，为了得到这个图象，只需将()cos f x A x ω=的图象A. 向右平移6π个单位长度 B. 向右平移12π个单位长度C. 向右平移8π个单位长度D. 向左平移6π个单位长度【答案】B故选B. 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．将函数()sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩小为原来的12倍（纵坐标不变）得到()g x 的图象，则()g x =__________． 【答案】sin 44x π⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】将函数()sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩小为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数图象的解析式为：()sin 44g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭故答案为sin 44x π⎛⎫-⎪⎝⎭. 14．将函数x x f cos )(=的图象向右平移6π个单位，得到函数)(x g y =的图象，则=)2(πg .【答案】12【解析】由题根据三角函数平移规律不难得到g （x ）的解析式，代入求解即可; 由题()1cos(x ),g cos()62262g x ππππ⎛⎫=-∴=-= ⎪⎝⎭. 15．【东台安丰中学高三第一次月考】函数()()sin f x A x ωφ=+(0,0,)2A πωφ>><的部分图像如图所示，则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，得到的图像解析式y =__________．【答案】sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】由图象可得31131,41264T A πππ==-=，∴,2T πω==，∴()()sin 2f x x ϕ=+。
5.7 函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质-(必修第一册) (教师版)
函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质1 性质(1) 简谐运动可用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0,+∞)表示，A是振幅，周期T=2πω，频率f=1T=ω2π，相位ωx+φ ，初相φ.(2) A,ω,φ对f(x)=Asin(ωx+φ)的影响A影响函数y=f(x)的最值，ω影响周期，φ影响函数水平位置.2 函数的变换(1) 平移变换①y=f(x)⟶ y=f(x±a)(a>0)将y=f(x)图像沿x轴向左(右)平移a个单位(左加右减)；② y=f(x)⟶y=f(x)± b (b>0)将y=f(x)图像沿x轴向上(下)平移b个单位(上加下减).PS f(x)=3sin(2x+π3)向左平移π4个单位，得到的函数不是f(x)=3sin(2x+π4+π3)，而是f(x)=3sin[2(x+π4)+π3].(2) 伸缩变换①y=f(x)⟶ y=A f(x)(A>0)将y=f(x)图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍(A>1伸长，A<1缩短).②y=f(x)⟶ y=f(ω x)(ω>0)将y=f(x)图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的1ω倍( ω>1缩短，ω<1伸长)；问题怎么理解呢？例：若将f(x)=3sin(x+π3)图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的12倍，那得到的函数是f(x)=3sin(2x+π3)还是f(x)=3sin(12x+π3)呢？解析我们把f(x)=3sin(x+π3)的图象想象成一条弹簧，若纵坐标不变，横坐标缩到原来的12倍，那说明弹簧被压缩了，则周期变小，ω会变大(T=2πω,T与ω成反比)，即变换后的函数应该是f(x)=3sin(2x+π3).【题型一】函数图象的变换【典题1】将函数f(x)=Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)的图象上的点的横坐标缩短为原来的12倍，再向右平移π3个单位得到函数g(x)＝2cos(2x+φ)的图象，则下列说法正确的是() A．函数f(x)的最小正周期为πB．函数f(x)的单调递增区间为[2kπ−2π3，2kπ+π3](k∈Z)C．函数f(x)的图象有一条对称轴为x=2π3D．函数f(x)的图象有一个对称中心为(2π3,0)【解析】函数f(x)＝Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)的图象上的点的横坐标缩短为原来的12倍，再向右平移π3个单位得到ℎ(x)＝Asin[2ω(x−π3)+π6]＝Asin(2ωx+π6−2πω3)的图象．与g(x)＝2cos(2x+φ)＝2sin(2x+φ+π2)比较(利用诱导公式转化同函数名)又由于A>0,ω>0，所以A=2,ω=1．所以f(x)=2sin(x+π6)，故函数f(x)的周期为2π，A错误；令2kπ−π2≤x+π6≤2kπ+π2,k∈Z，解得2kπ−2π3≤x≤2kπ+π3,k∈Z，所以函数f(x)单调递增区间为[2kπ−2π3,2kπ+π3](k∈Z)，故B正确；由于f(2π3)=2sin5π6=1，则f(2π3)取不到最值，∴x=2π3不是对称轴，∵f(2π3)≠0，∴(2π3,0)不是对称中心，即C，D错误．故选：B．巩固练习1(★)将函数y=cosx的图象先左移π4，再纵坐标不变，横坐标缩为原来的12，所得图象的解析式为()A．y=sin(2x+π4)B．y=sin(12x+3π4)C．y=sin(12x+π4)D．y=sin(2x+3π4)【答案】D【解析】函数y =cosx =sin(x +π2)，其图象先左移π4个单位，得y =sin(x +3π4)的图象；再纵坐标不变，横坐标缩为原来的12，得函数y =sin(2x +3π4)的图象； 所以函数y 的解析式为y =sin(2x +3π4)．故选：D ． 2(★) 将函数f(x)=3sin(12x −φ)(|φ|<π2 )的图象向左平移π3个单位长度得到函数g(x)的图象．若g(π3)=32，则φ=( ) A ．−π4B ．−π3C ．π6D ．π3【答案】 C【解析】将函数f(x)=3sin(12x −φ)(|φ|＜π2)的图象向左平移π3个单位长度，可得g(x)=3sin[12(x +π3)−φ]=3sin(12x +π6−φ) 的图象， 因为g(π3)=32，所以3sin(π3−φ)=32，即sin(π3−φ)=12， 所以π3−φ=2kπ+π6(k ∈Z)或π3−φ=2kπ+5π6(k ∈Z)．因为|φ|＜π2，所以，φ=π6，故选：C ． 3(★★) 为了得到函数f(x)=sin(2x +3π4)的图象，可以将函数g(x)=cos2x 的图象( )A ．向右平移π4个单位 B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π8个单位D ．向左平移π8个单位【答案】 D【解析】为了得到函数f(x)=sin(2x +3π4)的图象，可以将函数g(x)=cos2x =sin(2x +π2)的图象向左平移π8个单位,sin(2(x +π8)+π2)=sin(2x +3π4)．故选：D ． 4(★★) 已知函数y =sin(ωx +φ)的两条相邻的对称轴的间距为π2，现将y =sin(ωx +φ)的图象向左平移π8个单位后得到一个偶函数，则φ的一个可能取值为( ) A ．3π4 B ．π4C ．0D ．−π4【答案】B【解析】函数y =sin(ωx +φ)的两条相邻的对称轴的间距为π2，所以π2=πω，解得ω=2，现将y =sin(2x +φ)的图象向左平移π8个单位后得到一个g(x)=sin(2x +π4+φ)为偶函数， 则φ+π4=kπ+π2(k ∈Z)，整理得φ=kπ+π4(k ∈Z)， 当k =0时，φ=π4．故选：B ．5(★★) 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，且图象向右平移π12个单位后得到的函数为偶函数，则f(x)的图象( ) A ．关于点(5π12,0)对称 B ．关于直线x =π6对称C ．在[−π12，5π12]单调递增 D ．在[π12,7π12]单调递减【答案】 C【解析】∵f(x)的最小正周期为π，∴T =2πω=π，得ω=2， 此时f(x)=sin(2x +φ)， 图象向右平移π12个单位后得到y =sin[2(x −π12)+φ]=sin(2x +φ−π6)，若函数为偶函数，则φ−π6=kπ+π2，k ∈Z ，得φ=kπ+5π6， ∵|φ|＜π2，∴当k =－1时，φ=−π6， 则f(x)=sin(2x −π3)，则f(5π12)=sin(2×5π12−π3)=sin π2≠0，故f(x)关于点(5π12,0)不对称，故A 错误， f(π6)=sin(2×π6−π3)=sin0≠1，故关于直线x =π6不对称，故B 错误， 当−π12≤x ≤5π12时，−π6≤2x ≤5π6，−π2≤2x −π3≤π2， 此时函数f(x)为增函数，故C 正确，当−π12≤x ≤7π12时，−π6≤2x ≤7π6，−π2≤2x −π3≤5π6， 此时函数f(x)不单调，故D 错误，故选：C ．6(★★★) 将函数f(x)=Asin(ωx +π6)(A >0,ω>0)的图象上的点的横坐标缩短为原来的12倍，再向右平移π3个单位得到函数g(x)=2cos(2x +φ)的图象，则下列说法正确的是( )A．函数f(x)的最小正周期为πB．函数f(x)的单调递增区间为[2kπ−2π3,2kπ+π3](k∈Z)C．函数f(x)的图象有一条对称轴为x=2π3D．函数f(x)的图象有一个对称中心为(2π3,0)【答案】 B【解析】函数f(x)=Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)的图象上的点的横坐标缩短为原来的12倍，再向右平移π3个单位得到：g(x)=Asin(2ωx+π6−2πω3)的图象．与g(x)=2cos(2x+φ)=2sin(2x+φ+π2)比较，又由于A>0,ω>0，所以A=2,ω=1．故sin(2x−π2)=cos(2x－π)=cos(2x+φ)，得到φ=2kπ－π,k∈Z，所以：f(x)=2sin(x+π6),g(x)=－2cos2x．故函数f(x)的周期为2π，A错误；令2kπ−π2≤x+π6≤2kπ+π2,k∈Z，解得2kπ−2π3≤x≤2kπ+π3,k∈Z，函数f(x)单调递增区间为[2kπ−2π3,2kπ+π3](k∈Z)，故B正确；由于f(2π3)=2sin5π6=1，可得C,D错误．故选：B．【题型二】由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式【典题1】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<|φ|<π2)的部分图象如图所示，下述四个结论：①ω=2；②φ=−π3；③f(x+π12)是奇函数；④f(x−π12)是偶函数中，其中所有正确结论的编号是.【解析】由函数图象的最值可得A=1，由34T=π6−(−7π12)=3π4，解得T=π，所以ω=2πT=2，此时f(x)=sin (2x+φ)代入(−7π12,1)得f(−7π12)=sin(−7π6+φ)=1，∴−7π6+φ=π2+2kπ⇒φ=5π3+2kπ，又∵0<|φ|<π2，∴φ=−π3，∴f(x)=sin(2x−π3)，∴①、②正确；∵f(x+π12)=sin[2(x+π12)−π3]=sin(2x−π6)不是奇函数，∴③错误；∵f(x−π12)=sin[2(x−π12)−π3]=sin(2x−π2)=−cos2x，∴f(x−π12)为偶函数，④正确．综上知，正确的命题序号是①②④．【点拨】由函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的部分图象求解析式的方法(1) 求A,B：通过函数最值求解，由{f max=A+Bf min=−A+B得A=f max−f min2， B=f max+f min2；(2) 求ω：根据图象求出周期T，再利用T=2πω求出ω；(3) 求φ：求出A,ω后代入函数图象一最值点，求出φ.【典题2】已知函数f(x)=sin (ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)，f(0)=f(29π)=−f(π3)，且f(x)在(π6,4π9)上单调，则函数y=f(x)的解析式是.【解析】对于函数f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,0<φ<π)，由f(0)=f(2π9)，可得函数的图象关于直线x=12(0+2π9)=π9对称；又f(2π9)=−f(π3)，可得函数的图象关于点(2π9+π32，0)对称，即(5π18,0)；∴T4+kT=5π18−π9=π6，k∈Z, 解得T=2π3(4k+1)，∴ω=2πT=3(4k+1)；∵f(x)在(π6,4π9)上单调∴T 2≥4π9−π6，解得T >5π9，(由单调区间得到周期范围)∴0<ω≤185，又ω=2πT=3(4k +1)， ∴ω=3，∵(5π18，0)是对称中心，∴f (5π18)=0， 即sin (3×5π18+φ)=0，又∵0<φ<π ∴φ=π6，∴f(x)=sin (3x +π6). 【点拨】① 对于函数y =Asin( ωx +φ)， 若f (a )=f(b)，则x =a+b 2是其对称轴；若f (a )=−f(b)，则(a+b 2,0)是其对称中心；② 处理三角函数f(x)=Asin( ωx +φ)，多注意其对称性，结合图象进行分析.巩固练习1(★) 函数f(x)=Asin( ωx +φ) (其中A >0,ω>0，|φ|<π2 )的图象如图，则此函数表达式为 .【答案】 f(x)=3sin(12x +π4)【解析】如图所示，A =3，T4=π，可得T =4π，2πω=4π，解得ω=12，所以f(x)=3sin(12x +φ)， 因为函数过(3π2,0)，代入f(x)， 得3sin(12x +φ)=0，即12×3π2+φ=kπ，φ=kπ−3π4(k ∈z)，当k =1时，φ=π4．所以f(x)=3sin(12x +π4)，故选：B ．2(★★) 如图，函数y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|≤π2)与坐标轴的三个交点P 、Q 、R 满足P(1,0)，∠PQR =π4，M 为QR 的中点，PM =√342，则A 的值为 .【答案】 5√2【解析】由∠PQR =π4，所以OQ =OR ，设Q(m,0)，则R(0,－m)， 又M 为QR 的中点，所以M(m 2,−m2)； 又|PM|=√342，即√(1−m 2)2+(0+m2)2=√342； 整理得m 2－2m －15=0，解得m =5或m =－3(不合题意，舍去)； 所以R(0,－5)，Q(5,0)； 所以12T =4，解得T =8，所以2πω=8，解得ω=π4；把P(1,0)代入f(x)=Asin(π4x +φ)，即Asin(π4+φ)=0， 由|φ|≤π2，得φ=−π4；把R(0,－5)代入f(x)=Asin(π4x −π4)， 得Asin(−π4)=－5，解得A =5√2．3 (★★) 已知函数f(x)=2sin (ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，点A(0,√3)，B(π3,0)，则下列说法中错误的是( )A ．直线x =π12是f(x)图象的一条对称轴B ．f(x)的图象可由g(x)=2sin2x 向左平移π3个单位而得到 C ．f(x)的最小正周期为πD ．f(x)在区间(−π3，π12)上单调递增 【答案】 B【解析】由函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,0＜φ＜π)部分图象，点A(0,√3)，B(π3,0)， ∴2sinφ=√3，∴sinφ=√32，∴φ=π3，∴f(x)=2sin(ωx +π3)．再根据五点法作图可得ω•π3+π3=π，求得ω=2，故 f(x)=2sin(2x +π3)． 令x =π12，求得f(x)=2，为最大值，故直线x =π12是f(x)图象的一条对称轴，故A 正确； 把g(x)=2sin2x 向左平移π3个单位，可得y =2sin(2x +2π3)的图象，故B 不正确； f(x)=2sin(2x +π3)的最小正周期为 2π2=π，故C 正确；在区间(−π3,π12)上，2x +π3∈(−π3,π2)，故f(x)=2sin(2x +π3)单调递增，故选：B ． 4 (★★★) 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)+B(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示． (1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)的单调递增区间和对称中心坐标；(3)将f(x)的图象向左平移π6个单位，再讲横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数g(x)的图象，求函数y =g(x)在x ∈[0,7π6]上的最大值和最小值．【答案】 (1)f (x )=2sin (2x +π3)−1(2) 单调递增区间[kπ−5π12,kπ+π12],k ∈Z ，对称中心坐标 (kπ2−π6,−1),k ∈Z (3)最小值−2 ,最大值√3.【解析】(1)由图象可知{A +B =1−A +B =−3，可得：A =2，B =－1，又由于T2=7π12−π12，可得：T =π，所以ω=2πT =2， 由图象及五点法作图可知：2×π12+φ=π2，所以φ=π3， 所以f(x)=2sin(2x +π3)－1． (2)由(1)知,f(x)=2sin(2x +π3)－1，令2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，得kπ−5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12],k∈Z，令2x+π3=kπ，k∈Z，得x=kπ2−π6，k∈Z，所以f(x)的对称中心的坐标为(kπ2−π6,－1),k∈Z．(3)由已知的图象变换过程可得：g(x)=2sin(x+2π3)，因为0≤x≤7π6，所以2π3≤x+2π3≤11π6，所以当x+2π3=3π2，得x=5π6时，g(x)取得最小值g(5π6)=－2，当x+2π3=2π3，即x=0时，g(x)取得最大值g(0)=√3．5 (★★★) 如图是函数f(x)=A sin (ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象，M、N是它与x轴的两个不同交点，D是M、N之间的最高点且横坐标为π4，点F(0,1)是线段DM的中点．(1)求函数f(x)的解析式及[π,2π]上的单调增区间；(2)若x∈[−π12,5π12]时，函数ℎ(x)=f2(x)−af(x)+1的最小值为12,求实数a的值．【答案】(1) f(x)=2sin(x+π4),[5π4,2π]，(2) 32【解析】(1)取MN的中点为H，则DH⊥MN，因为F为DM的中点，且F在y轴上，则OF//DH且OF=12DH，则OM=OH，所以D(π4,2)，M(−π4,0)，则A=2，T=2πω=4[π4−(−π4)]=2π，所以ω=1所以f(x)=2sin(x+φ)，由f(π4)=2，解得φ=2kπ+π4,k ∈z ， 由0<φ<π2，所以φ=π4， 即f(x)=2sin(x +π4)， 令−π2+2kπ≤x +π4≤π2+2kπ,解得−3π4+2kπ≤x ≤π4+2kπ， 又x ∈[π,2π]，所以函数f(x)在[π,2π]上的单调增区间为:[5π4,2π]； (2)因为−π12≤x ≤5π12，所以π6≤x +π4≤2π3，所以12≤sin(x +π4)≤1，所以1≤f(x)≤2，令t =f(x)，则t ∈[1,2]，则g(t)=t 2－at +1=(t −a 2)2+1−a 24，①当a2≤1，即a ≤2时，g (t )min =g(1)=12，解得:a =32，②当1<a 2<2，即2<a <4时，g (t )min =g(a 2)=1−a 24=12，解得:a =±√2(舍)， ③当a 2≥2即a ≥4时，g (t )min =g(2)=12，解得a =94(舍)， 综合①②③得实数a 的值为32．【题型三】三角函数模型的简单应用一【典题1】已知函数f(x)=sin 2x −2√3sinxcosx +sin(x +π4)sin(x −π4)． (1)求f(x)的最小值并写出此时x 的取值集合； (2)若x ∈[0 ,π]，求出f(x)的单调减区间.【解析】(1)由于f (x )=sin 2x −2√3sinxcosx +sin (x +π4)sin (x −π4)=1−cos2x2−√3sin2x +√22(sinx +cosx)√22(sinx −cosx)（二倍角公式、两角和差公式） =1−cos2x 2−√3sin2x −cos2x 2 =12−(√3sin2x +cos2x) (辅助角公式)=12−2sin(2x+π6)令2x+π6=2kπ+π2，k∈Z，解得x=kπ+π6，k∈Z，可得f(x)的最小值为−32，此时x的取值集合为{x|x=π6+kπ ,k∈Z}；(2)由2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，可得kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，所以f(x)的单调减区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z，因为x∈[0 ,π]，当k=0时，减区间为[0 ,π6 ]；当k=1时，减区间为[2π3,π]．综上，x∈[0 ,π]时的单调减区间为[0 ,π6]和[2π3 ,π]．【点拨】①解析式的化简中用积化和差公式sin(x+π4)sin(x−π4)=12[cosπ2−cos2x]=−12cos2x更简洁些；②本题通过各种公式(两角和差公式、倍角公式、积化和差公式等)转化，最终把函数的解析式转化为f(x)= Asin(ωx+φ)+B或f(x)=Acos(ωx+φ)+B的形式求解函数的各性质(单调性、对称性、周期、最值等).【典题2】已知函数f(x)=4sin2(π4+x2)sinx+(cosx+sinx)(cosx−sinx)−1．(1)求f(x)的对称中心；(2)设常数ω>0，若函数y=f(ωx)在区间[−π2 ,2π3]上是增函数，求ω的取值范围；(3)若函数g(x)=12[f(2x)+af(x)−af(π2−x)−a]−1在区间[−π4 ,π2]上的最大值为2，求a的值．【解析】(1) (函数解析式转化为f(x)=Asin(ωx+φ)+B形式)f(x)=2[1−cos(π2+x)]⋅sinx+cos2x−sin2x−1=sinx(2+2sinx)+1−2sin2x−1=2sinx．所以对称中心(kπ ,0),k∈Z，(2)∵f(ωx)=2sinωx，由−π2+2kπ≤ωx≤π2+2kπ，解得−π2ω+2kπω≤x≤π2ω+2kπω，∴f(ωx)的增区间为[−π2ω+2kπω ,π2ω+2kπω] ,k ∈Z ， ∵f(ωx)在[−π2 ,2π3]上是增函数， ([−π2 ,2π3]是函数f(ωx)增区间的子集，而0∈[−π2 ,2π3]，故k =0) ∴当k =0时，有[−π2 ,2π3]⊆[−π2ω ,π2ω]， ∴{ω>0−π2ω≤−π2π2ω≥2π3，解得0<ω≤34， ∴ω的取值范围是(0 ,34]．(3)g(x)=2sinxcosx +a(sinx −cosx)−12a −1，(注意(sinx −cosx )2=1−sin2x ，(sinx +cosx )2=1+sin2x ) 令sinx −cosx =t ，则t =sinx −cosx =√2sin(x −π4)，∵x ∈[−π4 ,π2] ，∴x −π4∈[−π2 ,π4]，∴−√2≤t ≤1 而sin2x =1−t 2，则y =1−t 2+at −12a −1=−(t −a 2)2+a 24−12a ， (问题转化为动轴定区间最值问题，分对称轴t =a2在区间[−√2,1]左中右) ①当a2<−√2时，即a <−2√2时，y max=−(−√2−a 2)2+a 24−a 2=−√2a −a2−2，令−√2a −a 2−2=2，解得a =82√2+1(舍)． ②当−√2≤a 2≤1时，即−2√2≤a ≤2时，y max =a 24−a2，令a 24−a 2=2，解得a =−2或a =4(舍)，③当a2>1时，即a >2时，在t =1处，y max =a2−1，由a2−1=2，解得a =6，综上所述a =－2或6．【典题3】已知函数f(x)=sin 4x +cos 4x +asinxcosx(a ∈R)． (1)当a =0时，求函数y =f(x)的单调减区间；(2)设方程f (x )−asin2x −1=0在(0 ,π2)内有两个相异的实数根x 1、x 2，求实数a 的取值范围及x 1+x 2的值； (3)若对任意实数x ，f(x)≥0恒成立，求实数a 的取值范围． 【解析】(1) f (x )=sin 4x +cos 4x +asinxcosx =(sin 2x +cos 2x )2－2sin 2x cos 2x +asinxcosx =1−12sin 22x +12asin2x ．当a =0时，f(x)=1−12sin 22x =1−1−cos4x 4=14cos4x +34， (函数化为f (x )=Acos (ωx +φ)+B ) 由2kπ≤4x ≤π+2kπ，得kπ2≤x ≤π4+kπ2，k ∈Z ．∴当a =0时，函数y =f(x)的单调减区间为[kπ2 ,kπ2+π4]，k ∈Z ； (2) (将问题逐步等价转化，化成“最简问题”)方程f (x )−asin2x −1=0在(0 ,π2)内有两个相异的实数根x 1、x 2，即1−12sin 22x +12asin2x −asin2x −1=0在(0 ,π2)内有两个相异的实数根x 1、x 2， 也就是sin 22x +asin2x =0在(0 ,π2)内有两个相异的实数根x 1、x 2， 当x ∈(0 ,π2)时，sin2x ≠0，即a =−sin2x 在(0 ,π2)内有两个相异的实数根x 1、x 2， (数形结合，y =a 与y =−sin2x 在(0 ,π2)内相交于两点) 易得y =−sin2x 在(0 ,π2)内的值域是(−1,0)， 即－1<a <0，此时x 1+x 2=π2； (3)若对任意实数x ，f(x)≥0恒成立， 则1−12sin 22x +12asin2x ≥0恒成立，即sin 22x −asin2x −2≤0恒成立，(换元法化为二次函数恒成立问题) 令t =sin2x(−1≤t ≤1)，则t 2−at −2≤0恒成立．可得{(−1)2+a −2≤012−a −2≤0，即−1≤a ≤1．∴实数a 的取值范围是[−1 ,1]．巩固练习1(★★) 已知函数f (x )=√3sinxcosx −sin 2x ． (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)的单调增区间；(3)求函数f(x)在区间[0 ,π2]上的最大值．【答案】(1) π (2) [−π3+kπ ,π6+kπ]，(k ∈Z ) (3) 12【解析】f(x)=√3sinxcosx －sin 2x =√32sin2x −1−cos2x2=√32sin2x +12cos2x −12 =sin(2x +π6)−12， (1)最小正周期T =2π2=π； (2)令−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ，k ∈Z ，则−π3+kπ≤x ≤π6+kπ，k ∈Z ， 故单调增区间为：[−π3+kπ ,π6+kπ]，(k ∈Z)，(3)当x ∈[0 ,π2]时，2x +π6∈[π6 ,7π6]，则f(x)=sin(2x +π6)−12∈[－1 ,12]， 所以函数f(x)在区间[0 ,π2]上的最大值为12．2(★★) 已知函数f(x)=sin(π−ωx)cosωx −cos 2(ωx +π4)(ω>0)的最小正周期为π． (1)求f(x)图象的对称轴方程；(2)将f(x)图象向右平移π6个单位长度后，得到函数g(x)，求函数g(x)在[0 ,π2]上的值域． 【答案】 (1)x =kπ2+π4(k ∈Z)．(2)[−√32−12 ,12]． 【解析】(1)f(x)=sin(π−ωx)cosωx −cos 2(ωx +π4)=sin(2ωx)2−1−sin2ωx 2=sinωx −12， 由于函数的最小正周期为π，故ω=2，所以f(x)=sin2x −12；令2x =kπ+π2，整理得x =kπ2+π4(k ∈Z)， 故函数的对称轴方程为x =kπ2+π4(k ∈Z)． (2)由于g(x)=sin(2x −π3)−12， 由于x ∈[0,π2]，所以2x −π3∈[−π3,2π3]， 故g(x)∈[−√32−12,12]．3(★★★) 已知函数f(x)=12cos2x +sinxcosx ，其中x ∈R ． (1)求使f(x)≥12的x 的取值范围； (2)若函数g(x)=√22sin(2x +3π4)，且对任意的0≤x 1<x 2≤t ，恒有f (x 1)－f (x 2)<g (x 1)−g(x 2)成立，求实数t 的最大值．【答案】 (1) [kπ ,kπ+π4]，k ∈Z (2)π4【解析】(1)f(x)=12cos2x +sinxcosx =12cos2x +12sin2x =√22sin(2x +π4)，f(x)≥12，即sin(2x +π4)≥√22， 所以2kπ+π4≤2x +π4≤2kπ+3π4，k ∈Z ，解得kπ≤x ≤kπ+π4，k ∈Z ， 即使f(x)≥12的x 的取值范围是[kπ ,kπ+π4]，k ∈Z ． (2)令F(x)=f(x)－g(x)=√22sin (2x +π4)−√22sin (2x +3π4) =√22sin(2x +π4)−√22cos(2x +π4)=sin2x ，因为对任意的0≤x 1<x 2≤t ，恒有f(x 1)－f(x 2)<g(x 1 )－g(x 2)成立， 所以当x ∈[0 ,t]时，F(x)=sin2x 为增函数，所以2t ≤π2，解得t ≤π4， 所以实数t 的最大值为π4．4(★★★★) 已知函数f(x)=√3sin(2ωx +φ)+1(ω>0，−π2<φ<π2 )，函数f(x)的图象经过点(−π12,1)且f(x)的最小正周期为π2．(1)求函数f(x)的解析式；(2)将函数y =f(x)图象上所有的点向下平移1个单位长度，再函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象上所有的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2√33倍，得到函数y =ℎ(x)图象，令函数g(x)=ℎ(x)+1，区间[a ,b](a ,b ∈R 且a <b )满足：y =g(x)在[a ,b]上至少有30个零点，在所有满足上述条件的[a ,b]中，求b −a 的最小值． (3)若m[1+√3(f(x 8−π12)－1)]+12+32cosx ≤0对任意x ∈[0 ,2π]恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】 (1) f(x)=√3sin(4x +π3)+1 (2) 43π3(3) (−∞ ,−2]【解析】(1)∵f(x)=√3sin(2ωx +φ)+1， 又函数f(x)的最小正周期为π2，∴2π2ω=π2，∴ω=2． ∴f(x)=√3sin(4x +φ)+1．又函数f(x)经过点(−π12 ,1)，所以f(−π12)=√3sin(−π3+φ)+1=1， 于是 (4×(−π12)+φ)=kπ ,k ∈Z 因为−π2<ϕ<π2，所以ϕ=π3． 故f(x)=√3sin(4x +π3)+1．(2)由题意，ℎ(x)=2sin(2x +π3)g(x)=2sin(2x +π3)+1． 令g(x)=0得：sin(2x +π3)=−12， ∴2x +π3=2kπ+7π6或2x +π3=2kπ+11π6，k ∈Z 解得：x =kπ+5π12或x =kπ+3π4 ,k ∈Z ∴相邻两个零点之间的距离为π3或2π3．若b －a 最小，则a ,b 均为g(x)的零点，此时在区间[a ,π+a] ,[a ,2π+a] ,… ,[a ,mπ+a](m ∈N ∗)分别恰有3，5，…，2m +1个零点． ∴在区间[a ,14π+a]恰有2×14+1=29个零点． ∴(14π+a ,b]至少有一个零点．∴b −(14π+a)≥π3，即b −a ≥14π+π3=43π3．检验可知，在[5π12 ,5π12+43π4]恰有30个零点，满足题意(可有可无) ∴b －a 的最小值为43π3．(3)由题意得m(3sin x2+1)≤3sin2x2−2．∵x∈[0 ,2π]，∴x2∈[0 ,π]，∴sin x2∈[0 ,1] ,m≤3sin2x2−2 3sin x2+1．设t=3sin x2+1，t∈[1 ,4]．则sin x2=t−13．设y=3sin2x2−2 3sin x2+1．则y=3⋅19(t−1)2−2t=t2−2t−53t=13(t−5t−2)在t∈[1 ,4]上是增函数．∴当t=1时，y min=－2，∴m≤－2．故实数m的取值范围是(－∞ ,－2]．【题型四】三角函数模型的简单应用二【典题1】如图，一个水轮的半径为6m，水轮轴心O距离水面的高度为3m，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中浮现时的起始(图中点P0)开始计时，记f(t)为点P距离水面的高度关于时间t(s)的函数，则下列结论正确的是()A．f(3)=9B．f(1)=f(7)C．若f(t)≥6，则t∈[2+12k,5+12k](k∈N)D．不论t为何值，f(t)+f(t+4)+f(t+8)是定值【解析】方法一几何法图中PB⊥水面，OA⊥PB，(由图f(t)=PA=PA+3，则需了解PA与t的关系，从几何角度求解)∵每分钟转动5圈∴OP每秒钟内所转过的角度为5×2π60=π6，(角速度)则t秒转过的角度π6t，即∠P0OP=π6t如上图依题意可知∠P0OA=π6，即α=π6t−π6在Rt∆POA中，PA=OPsinα=6sin (π6t−π6)∴f(t)=PB=PA+AB=6sin(π6t−π6)+3对于A，f(3)=6sin(π6×3−π6)+3=3√3+3，即A错误；对于B，f(1)=6sin(π6×1−π6)+3=3，f(7)=6sin(π6×7−π6)+3=3，即B正确；(或确定x=1+72=4是函数对称轴也行)对于C，因为f(t)≥6，所以6sin(π6t−π6)+3≥6，即sin(π6t−π6)≥12，所以π6t−π6∈[π6+2kπ,5π6+2kπ]，解得t∈[2+12k,6+12k],k∈N，即C错误；对于D，f(t)+f(t+4)+f(t+8)=6sin(π6t−π6)+3+6sin[π6(t+4)−π6]+3+6sin[π6(t+8)−π6]+3=6sin(π6t−π6)+6sin(π6t+π2)+6sin(π6t+7π6)+9=6[sin(π6t−π6)+cosπ6t−sin(π6t+π6)]+9因为sin(π6t−π6)+cosπ6t－sin(π6t+π6)=0，所以f(t)+f(t+4)+f(t+8)=9，即D正确．故选：BD．方法二待定系数法可知f(x)符合三角函数模型，设f(t)=Asin(ωx+φ)+B(A>0)，依题意可知f(t)的最大值为9，最小为−3，∴A+B=9，且−A+B=−3，可得A=6，B=3；∵每分钟转动5圈，∴1圈要12秒，即T=12s，则ω=2πT =π6，得f(t)=6sin(π6t+φ)+3，(也可由OP每秒钟内所转过的角度为5×2π60=π6得ω=π6)依题意可知f(0)=0，得sinφ=−12，取φ=−π6，(得到φ的一个值便可)故所求的函数解析式为f(t)=6sin(π6t −π6)+3， 接下来如同方法一. 【点拨】① 方法一利用几何性质求出f(t)(即图中的PB )与t 之间的关系；② 方法二是根据题意确定符合三角函数模型，则用待定系数法设函数f(t)=Asin(ωx +φ)+B ，根据题意由最大值和最小值求出A,B 的值，根据周期性由T =2πω求出ω，注意一个特殊情况代入一个点求出φ.【典题2】 某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角△ABC 和以BC 为直径的半圆拼接而成，点P 为半圈上一点(异于B,C )，点H 在线段AB 上，且满足CH ⊥AB ．已知∠ACB =90°，AB =1dm ，设∠ABC =θ．(1)为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足∠ABC =∠PCB ，且CA +CP 达到最大．当θ为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；(2)为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足∠PBA =60°，且CH +CP 达到最大．当θ为何值时，CH +CP 取得最大值，并求该最大值．【解析】依题意∠ABC =∠PCB =θ， 则在直角△ABC 中，AC =sinθ,BC =cosθ；在直角△PBC 中，PC =BC ∙cosθ=cos 2θ，PB =BC ∙sinθ=sinθcosθ； (用变量θ表示CA +CP ，利用函数最值方法求解) (1)AC +CP =sinθ+cos 2θ=sinθ+1−sin 2θ =−sin 2θ+sinθ+1，θ∈(0,π2)，所以当sinθ=12，即θ=π6，AC +CP 的最大值为54；(2)在直角△ABC 中，由S △ABC =12CA ⋅CB =12AB ⋅CH ，(等积法)可得CH =sinθ⋅cosθ1=sinθ⋅cosθ；在直角△PBC 中，PC =BC ⋅sin (π3−θ)=cosθ⋅(sin π3cosθ−cos π3sinθ)=√32cos 2θ−12cosθsinθ，所以CH +CP =√32cos 2θ+12cosθsinθ =14sin2θ+√34cos2θ+√34=12sin(2θ+π3)+√34，θ∈(0,π2)，(函数化为f (x )=Asin(ωx +φ)+B 求最值) 所以当θ=π12，CH +CP 达到最大，最大值为12+√34． 【点拨】① 利用直角三角形等几何性质用θ表示各线段长度；② 题目中体现了函数思想，在求解实际问题中，特别要注意自变量θ的取值范围.巩固练习1(★★) 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点A(3√3,−3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设P 的坐标为(x,y)，其纵坐标满足y =f(t)=Rsin(ωt +φ)(t ≥0,ω＞0,|φ|<π2)．则下列叙述错误的是( ) A ．R =6,ω=π30,φ=−π6B ．当t ∈[35,55]时，点P 到x 轴的距离的最大值为6C ．当t ∈[10,25]时，函数y =f(t)单调递减D ．当t =20时，|PA|=6√3【答案】C【解析】由题意，R =√27+9=6，T =60=2πω，∴ω=π30，点A(3√3,－3)代入可得－3=6sinφ，∵|φ|<π2，∴φ=−π6．故A 正确；f(t)=6sin(π30t −π6)，当t ∈[35,55]时，π30t −π6∈[π,53π]，∴点P 到x 轴的距离的最大值为6，正确； 当t ∈[10,25]时，π30t −π6∈[16π,2π3]，函数y =f(t)单调递减，不正确；当t =20时，π30t −π6=π2，P 的纵坐标为6，|PA|=√27+81=6√3，D 正确，故选：C ．2(★★) 某游乐场中半径为30米的摩天轮逆时针(固定从一侧观察)匀速旋转，每5分钟转一圈，其最低点离底面5米，如果以你从最低点登上摩天轮的时刻开始计时，那么你与底面的距离高度y (米)随时间t (秒)变化的关系式为 .【答案】 y =30sin(π150t −π2)+35 【解析】设y =Asin(ωt +φ)+B ，由题意可得A =30，ω=2π300=π150，B =30×2+5－30=35，(0,5)为最低点， 代入可得5=30sinφ+35，sinφ=－1， φ=−π2+2kπ，k =0时，φ=−π2， ∴y =30sin(π150t −π2)+35，故选：B ．3(★★) 如图，已知扇形AOB 的半径为1，中心角为60°，四边形PQRS 是扇形的内接矩形，P 为AB ̂上一动点，问：点P 在怎样的位置时，矩形PQRS 的面积最大？并求出这个最大值．【答案】当P 为AB̂中点时，矩形PQRS 的面积取到最大值√36【解析】如图，在Rt △OPS 中，设∠POS =α，则OS =cosα，PS =sinα，在Rt△ORQ中，QROR =tan60°=√3，所以OR=√33QR=√33sinα．∴RS=OS－OR=cosα−√33sinα．设矩形ABCD的面积为S，则S=(cosα−√33sinα)sinα=sinαcosα−√33sin2α=12sin2α+√36cos2α−√36=√33(√32sin2α+12cos2α)−√36=√33sin(2α+π6)−√36．由于0<α<π3，所以当2α+π6=π2，即α=π6时，S max=√33−√36=√36．因此，当α=π6时，矩形PQRS的面积最大，最大面积为√36．4(★★★) 如图，某正方形公园ABCD，在ABD区域内准备修建三角形花园BMN，满足MN与AB平行(点N在BD上)，且AB=AD=BM=2(单位：百米)．设∠ABM=θ，△BMN的面积为S(单位：百米平方)．(1)求S关于θ的函数解析式(2)求S(θ)的最大值，并求出取到最大值时θ的值．【答案】(1) S(θ)=2sinθ(cosθ−sinθ)，θ∈(0,π4)(2) S(θ)的最大值为√2−1百米平方，此时θ=π8．5(★★★) 某农场有一块扇形农田，如图所示．已知扇形OAB的圆心角为π4，半径为80米，点P在AB̂上，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D．现要在△OPC和△OPD区域中分别种植甲、乙两种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜单位面积年产值之比为1：√3．设∠AOP=θ，0<θ<π4．(1)用θ分别表示△OPC和△OPD的面积；(2)当θ为何值时，读农场种植甲、乙两种蔬菜的年总产值最大？【答案】(1) △OPC和△OPD的面积分别为1600sin2θ平方米，1600cos2θ平方米；(2) 当θ=π12时，该农场种植甲，乙两种蔬菜的年总产值量大.【解析】(1)直角三角形OPC中，PC=OPsinθ=80sinθ，OC=OPcosθ=80cosθ，所以△OPC的面积为12×PC×OC=3200sinθcosθ=1600sin2θ，同理△OPD的面积为1600sin2(π4−θ)=1600cos2θ．(2)设农场种植甲，乙两种蔬菜的年总产值为y，甲，乙两种蔬菜每平方米年产值分别为t，√3t(t＞0)，则y=1600sin2θ•t+1600cos2θ•√3t=3200tsin(2θ+π3)，∵0<θ<π4∴π3<2θ+π3<5π6．∴当2θ+π3=π2，即θ=π12时，y取得最大值．答：(1)△OPC和△OPD的面积分别为1600sin2θ平方米，1600cos2θ平方米；(2)当θ=π12时，该农场种植甲，乙两种蔬菜的年总产值量大．6(★★★★) 如图，半圆的直径AB=2，O为圆心，C，D为半圆上的点．(1)请你为C点确定位置，使△ABC的周长最大，并说明理由；(2)已知AD=DC，设∠ABD=θ，当θ为何值时，①四边形ABCD的周长最大，最大值是多少？②四边形ABCD的面积最大，最大值是多少？【答案】(1) 2√2+2,此时点C是半圆的中点(2)① θ=π6时，最大值是5．② θ=π6时，最大值是3√34.【解析】(Ⅰ)点C在半圆中点位置时，△ABC周长最大；理由如下：因为点C在半圆上，且AB是圆的直径，所以∠ACB=π2，即△ABC是直角三角形；设BC=a，AC=b，AB=c，显然a，b，c均为正数，则a2+b2=c2；因为a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立，所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2，所以a+b≤√2(a2+b2)=√2c，所以△ABC周长为L=a+b+c≤(√2+1)c=2√2+2，当且仅当a=b时等号成立；即△ABC为等腰直角三角形时，周长取得最大值为2√2+2；此时点C是半圆的中点．(Ⅰ)(Ⅰ)因为AD=DC，所以∠ABD=∠DBC=θ；所以AD=DC=AB•sinθ，CB=AB•cos2θ；设四边形ABCD的周长为p，则p=AD+DC+CB+AB=2ABsinθ+ABcos2θ+2=4sinθ+2(1−2sin2θ)+2=5−4(sinθ−12)2；显然θ∈(0,π4)，所以当θ=π6时，p取得最大值5．(Ⅰ)过O作OE⊥BC于E，设四边形ABCD的面积为s，四边形AOCD的面积为s1，△BOC的面积为s2，则s=s1+s2=12AC⋅OD+12BC⋅OE=12ABsin2θ⋅1+12ABcos2θ⋅sin2θ=sin2θ+cos2θ•sin2θ=sin2θ(1+cos2θ)；所以s2=sin22θ(1+cos2θ)2=(1－cos22θ)(1+cos2θ)2=(1－cos2θ)(1+cos2θ)3=33(1−cos2θ)(1+cos2θ)3≤13[3(1−cos2θ)+(1+cos2θ)2]2(1+cos2θ)2=13[3(1−cos2θ)+(1+cos2θ)2(1+cos2θ)]2≤13[3(1−cos2θ)+(1+cos2θ)2+(1+cos2θ)2]2×2=13[3(1−cos2θ)+(1+cos2θ)+2(1+cos2θ)4]4=13(32)4=2716．当且仅当3(1－cos2θ)=1+cos2θ，即cos2θ=12时，等号成立；显然θ∈(0,π4)，所以2θ∈(0,π2)，所以此时θ=π6；所以当θ=π6时，s=3√34，即四边形ABCD的最大面积是3√34．。
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《(ωψ)的图像与性质（＞）》进阶练习
一、选择题
.将函数的图象向右平移个单位，再向下平移一个单位后得到（）的图象，则函数（）（）（）
（）
.函数)的部分图像如图所示，如果，且，则
. ..
.函数（其中＞，）的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将的图象（）
.向右平移个长度单位
.向右平移个长度单位
.向左平移个长度单位
.向左平移个长度单位
二、填空题
.已知角φ的终边经过点（，），点（，），（，）是函数（）（ωφ）（ω＞）图象上的任意两点，若（）（）时，的最小值为，则的值是．
三、解答题
.如图，甲、乙两个企业的用电负荷量关于投产持续时间（单位：小时）的关系（）均近似地满足函数（）（ωφ）（＞，ω＞，＜φ＜π）．
（）根据图象，求函数（）的解析式；
（）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过，现采用错峰用电的方式，让企业乙比企业甲推迟（＞）小时投产，求的最小值．
参考答案
. . .
.
. （本题满分分）．
解：（）由图象可得：，
解得（分）
周期，∴，（分）
∴，
又∵（）过点（，），∴φ，且＜φ＜π，∴，（分）
∴（分）
（）设乙投产持续时间为小时，则甲的投产持续时间为（）小时
由诱导公式，企业乙用电负荷量随持续时间变化的关系式为：；
同理，企业甲用电负荷量变化关系式为：；
两企业用电负荷量之和；（分）
依题意，有恒成立，
即恒成立，
展开有：恒成立，（分）
∵
（其）；
∴，（分）
整理得到：，（分）
依据余弦函数图象得：，
即≤≤，取得：≤≤
∴的最小值为．（分）
.
解：把函数的图象向右平移个单位，得（），
再向下平移个单位，得．
∴函数（）．
故选：．
根据三角函数的平移关系即可得到结论．
本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减，是基础题．
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试题分析：由图像可知代入得
考点：由图像求解析式
点评：由图像求解解析式时，由振幅求，观察周期求，代入特殊点求
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试题分析：由图像可得．是第三关键点，，故只需将的图象向右平移个长度单位，即可得的图像．
考点：．由三角函数图像确定函数的解析式；．三角函数的图像变换．
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解：∵角φ的终边经过点（，），∴角φ的终边在第四象限，且φ，故可以取φ．
点（，），（，）是函数（）（ωφ）（ω＞）图象上的任意两点，
若（）（）时，的最小值为，
则函数的图象的相邻的条对称轴间的距离等于，故函数的周期为，故，解得ω．
故函数的解析式为（）（），∴（），
故答案为．
由任意角的三角函数的定义求得φ，故可以取φ．再根据函数的图象的相邻的条对称轴间的距离
等于，故函数的周期为，由此求得ω的值，从而求得函数的解析式，即可求得的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，由函数（ωφ）的部分图象求解析式，属于中档题．
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（）由图象可求得，，的值，由周期公式可求ω，又函数图象过点（，），得φ，由范围＜φ＜π，可求φ，从而可得函数（）的解析式；
（）设乙投产持续时间为小时，则甲的投产持续时间为（）小时，依题意，有恒成立，展开由三角函数恒等变换化简整理可得：，依据余弦函数图象得：，取得的范围，从而可求的最小值．
本题考查三角函数图象和性质及其应用、恒等变换等知识，考查建立三角函数模型，数据处理能力、运算求解能力和抽象概括能力，考查函数与方程的思想、转化与化归的思想，属于中档题．。