导数的应用(二)

导数的应用(二)典题导入[例1] 已知函数f (x )＝x 2ln x －a (x 2－1)，a ∈R.(1)当a ＝－1时，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ≥1时，f (x )≥0成立，求a 的取值范围． [自主解答] (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2ln x ＋x 2－1， f ′(x )＝2x ln x ＋3x .则曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为f ′(1)＝3，又f (1)＝0，所以切线方程为3x －y －3＝0.(2)f ′(x )＝2x ln x ＋(1－2a )x ＝x (2ln x ＋1－2a )，其中x ≥1.当a ≤12时，因为x ≥1，所以f ′(x )≥0，所以函数f (x )在[1，＋∞)上单调递增，故f (x )≥f (1)＝0.当a >12时，令f ′(x )＝0，得x ＝e a －12.若x ∈[1，e a －12)，则f ′(x )<0，所以函数f (x )在[1，e a －12)上单调递减．所以当x ∈[1，e a －12)时，f (x )≤f (1)＝0，不符合题意．综上a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12.由题悟法利用导数解决参数问题主要涉及以下方面：(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解．(2)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立的问题． (3)已知函数的零点个数求参数的取值范围：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图象，数形结合求解．以题试法1．设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， ∵f ′(x )＝x ＋e x －(e x ＋x e x )＝x (1－e x )， 若x ＝0，则f ′(x )＝0；若x <0，则1－e x >0，所以f ′(x )<0； 若x >0，则1－e x <0，所以f ′(x )<0. ∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数， 即f (x )的单调减区间为(－∞，＋∞)． (2)由(1)知，f (x )在[－2,2]上单调递减． 故[f (x )]min ＝f (2)＝2－e 2，∴m <2－e 2时，不等式f (x )>m 恒成立． 故m 的取值范围为(－∞，2－e 2)．典题导入[例2] 已知f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e]，g (x )＝ln xx ，其中e 是自然常数，a ∈R.(1)讨论a ＝1时，函数f (x )的单调性和极值； (2)求证：在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12.[自主解答] (1)∵f (x )＝x －ln x ， f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，∴当0<x <1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减； 当1<x <e 时，f ′(x ) >0，此时f (x )单调递增． ∴f (x )的极小值为f (1)＝1.(2)证明：由(1)知[f (x )]min ＝1.又g ′(x )＝1－ln xx 2，∴当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )在(0，e]上单调递增． ∴[g (x )]max ＝g (e)＝1e <12.∴[f (x )]min －[g (x )]max >12.∴在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12.在本例条件下，是否存在正实数a ，使f (x )的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：假设存在正实数a ，使f (x )＝ax －ln x (x ∈(0，e])有最小值3.因为f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x ，当0<1a <e 时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减，在⎝⎛⎦⎤1a ，e 上单调递增， 所以[f (x )]min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1＋ln a ＝3，a ＝e 2，满足条件； 当1a ≥e 时，f (x )在(0，e]上单调递减， [f (x )]min ＝f (e)＝a e －1＝3，a ＝4e(舍去)，所以，此时a 不存在．综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e]时f (x )有最小值3.由题悟法利用导数方法证明不等式f (x )>g (x )在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数的单调性，确定函数的最值证明h (x )>0.以题试法2．已知f (x )＝x ln x .(1)求g (x )＝f (x )＋kx (k ∈R)的单调区间；(2)证明：当x ≥1时，2x －e ≤f (x )恒成立． 解：(1)g (x )＝ln x ＋kx ，∴令g ′(x )＝x －kx 2＝0得x ＝k .∵x >0，∴当k ≤0时，g ′(x )>0.∴函数g (x )的增区间为(0，＋∞)，无减区间； 当k >0时g ′(x )>0得x >k ；g ′(x )<0得0<x <k ， ∴增区间为(k ，＋∞)，减区间为(0，k )． (2)证明：设h (x )＝x ln x －2x ＋e(x ≥1)， 令h ′(x )＝ln x －1＝0得x ＝e ， h (x )，h ′(x )的变化情况如下：故h (x )≥0.即f (x )≥2x －e.典题导入[例3] 某物流公司购买了一块长AM ＝30米，宽AN ＝20米的矩形地块AMPN ，规划建设占地如图中矩形ABCD 的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C 在地块对角线MN 上，顶点B 、D 分别在边AM 、AN 上，假设AB 的长度为x 米．(1)要使仓库的占地面积不少于144平方米，求x 的取值范围；(2)要规划建设的仓库是高度与AB 的长度相同的长方体建筑，问AB 的长度为多少时仓库的库容量最大．(墙地及楼板所占空间忽略不计)[自主解答] (1)依题意得△NDC 与△NAM 相似，所以DC AM ＝ND NA ，即x 30＝20－AD20，故AD＝20－23x ，矩形ABCD 的面积为20x －23x 2(0<x <30)．要使仓库的占地面积不少于144平方米，则20x －23x 2≥144，化简得x 2－30x ＋216≤0， 解得12≤x ≤18.(2)由(1)知仓库的体积V ＝20x 2－23x 3(0<x <30)，令V ′＝40x －2x 2＝0，得x ＝0或x ＝20.当0<x <20时，V ′>0，当20<x <30时，V ′<0，所以当x ＝20时V 取最大值，且最大值为8 0003，即AB 的长度为20米时仓库的库存容量最大．由题悟法利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各个量之间的关系，建立数学模型，写出函数关系式y ＝f (x )； (2)求出函数的导函数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点处的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．以题试法3．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到有关部门的关注，据有关统计数据显示，从上午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间关系可近似地用如下函数给出：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－18t 3－34t 2＋36t －6294，6≤t <9，18t ＋594，9≤t ≤10，－3t 2＋66t －345，10<t ≤12，求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻． 解：①当6≤t <9时， y ′＝－38t 2－32t ＋36＝－38(t ＋12)(t －8)．令y ′＝0，得t ＝－12(舍去)或t ＝8. 当6≤t <8时，y ′>0， 当8<t <9时，y ′<0，故t ＝8时，y 有最大值，y max ＝18.75. ②当9≤t ≤10时，y ＝18t ＋594是增函数，故t ＝10时，y max ＝16.③当10<t ≤12时，y ＝－3(t －11)2＋18， 故t ＝11时，y max ＝18.综上可知，通过该路段用时最多的时刻为上午8点．1．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．af (a )≤f (b )D ．bf (b )≤f (a )解析：选A ∵xf ′(x )≤－f (x )，f (x )≥0， ∴⎝⎛⎭⎫f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2≤－2f (x )x 2≤0.则函数f (x )x 在(0，＋∞)上是单调递减的，由于0<a <b ，则f (a )a ≥f (b )b.即af (b )≤bf (a )．2．(2012·山西适应性训练)若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为( )A ．1百万件B ．2百万件C ．3百万件D ．4百万件解析：选C 依题意得，y ′＝－3x 2＋27＝－3(x －3)(x ＋3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0.因此，当x ＝3时，该商品的年利润最大．3．已知函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________．解析：在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)单调递增．又函数f (x )是R 上的偶函数，所以f (1)＝f (－1)＝0.当x >0时，f (x )<0，∴0<x <1；当x <0时，图象关于y 轴对称，f (x )>0，∴x <－1.答案：(－∞，－1)∪(0,1)4．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是________．解析：令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可得极大值为f (－1)＝2，极小值为f (1)＝－2，如图，观察得－2<a <2时恰有三个不同的公共点．答案：(－2,2)5．已知函数f (x )＝x 2＋ln x .(1)求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值；(2)求证：当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象在g (x )＝23x 3＋12x 2的下方．解：(1)∵f (x )＝x 2＋ln x ，∴f ′(x )＝2x ＋1x.∵x ＞1时，f ′(x )＞0，故f (x )在[1，e]上是增函数， ∴f (x )的最小值是f (1)＝1，最大值是f (e)＝1＋e 2. (2)证明：令F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2－23x 3＋ln x ，∴F ′(x )＝x －2x 2＋1x ＝x 2－2x 3＋1x＝x 2－x 3－x 3＋1x ＝(1－x )(2x 2＋x ＋1)x .∵x ＞1，∴F ′(x )＜0.∴F (x )在(1，＋∞)上是减函数．∴F (x )＜F (1)＝12－23＝－16＜0，即f (x )＜g (x )．∴当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象总在g (x )的图象的下方．6．(2012·乌鲁木齐诊断性测验)已知函数(理)f (x )＝e x－m－x ，(文)f (x )＝1em e x －x ，其中m为常数．(1)若对任意x ∈R 有f (x )≥0成立，求m 的取值范围； (2)当m >1时，判断f (x )在[0,2m ]上零点的个数，并说明理由． 解：(1)依题意，可知f (x )在R 上连续，且f ′(x )＝e x －m －1，令f ′(x )＝0，得x ＝m .故当x ∈(－∞，m )时，e x －m <1，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(m ，＋∞)时，e x－m>1，f ′(x )>0，f (x )单调递增；故当x ＝m 时，f (m )为极小值，也是最小值． 令f (m )＝1－m ≥0，得m ≤1，即对任意x ∈R ，f (x )≥0恒成立时，m 的取值范围是(－∞，1]． (2)由(1)知f (x )在[0,2m ]上至多有两个零点，当m >1时，f (m )＝1－m <0. ∵f (0)＝e－m>0，f (0)·f (m )<0，∴f (x )在(0，m )上有一个零点． 又f (2m )＝e m －2m ，令g (m )＝e m －2m ， ∵当m >1时，g ′(m )＝e m －2>0， ∴g (m )在(1，＋∞)上单调递增． ∴g (m )>g (1)＝e －2>0，即f (2m )>0.∴f (m )·f (2m )<0，∴f (x )在(m,2m )上有一个零点． 故f (x )在[0,2m ]上有两个零点．7．(2013·泰安模拟)某种产品每件成本为6元，每件售价为x 元(6<x <11)，年销售为u 万件，若已知5858－u 与⎝⎛⎭⎫x －2142成正比，且售价为10元时，年销量为28万件． (1)求年销售利润y 关于售价x 的函数关系式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润． 解：(1)设5858－u ＝k ⎝⎛⎭⎫x －2142， ∵售价为10元时，年销量为28万件， ∴5858－28＝k ⎝⎛⎭⎫10－2142，解得k ＝2. ∴u ＝－2⎝⎛⎭⎫x －2142＋5858 ＝－2x 2＋21x ＋18.∴y ＝(－2x 2＋21x ＋18)(x －6) ＝－2x 3＋33x 2－108x －108(6<x <11)．(2)y ′＝－6x 2＋66x －108 ＝－6(x 2－11x ＋18) ＝－6(x －2)(x －9)．令y ′＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝9， 显然，当x ∈(6,9)时，y ′>0； 当x ∈(9,11)时，y ′<0.∴函数y ＝－2x 3＋33x 2－108x －108在(6,9)上是递增的，在(9,11)上是递减的． ∴当x ＝9时，y 取最大值，且y max ＝135，∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．1．(2012·潍坊模拟)已知函数f (x )＝(x 2－3x ＋3)e x ，x ∈[－2，t ](t >－2)． (1)当t <1时，求函数y ＝f (x )的单调区间； (2)设f (－2)＝m ，f (t )＝n ，求证：m <n .解：(1)f ′(x )＝(2x －3)e x ＋e x (x 2－3x ＋3)＝e x x (x －1)， ①当－2<t ≤0，x ∈[－2，t ]时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增； ②当0<t <1，x ∈[－2,0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈(0，t ]时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上，当－2<t ≤0时，y ＝f (x )的单调递增区间为[－2，t ]；当0<t <1时，y ＝f (x )的单调递增区间为[－2,0)，单调递减区间为(0，t ]． (2)证明：依题意得m ＝f (－2)＝13e －2，n ＝f (t )＝(t 2－3t ＋3)e t ，设h (t )＝n －m ＝(t 2－3t ＋3)e t －13e －2，t >－2，h ′(t )＝(2t －3)e t ＋e t (t 2－3t ＋3)＝e t t (t －1)(t >－2)． 故h (t )，h ′(t )随t 的变化情况如下表：由上表可知h (t )的极小值为h (1)＝e －13e 2＝e e2>0，又h (－2)＝0，故当－2<t <0时，h (t )>h (－2)＝0，即h (t )>0，因此，n －m >0，即m <n .2． (2012·资阳模拟)已知函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ，b ∈R)在x ＝2处的切线方程为y ＝9x －14.(1)求f (x )的单调区间；(2)令g (x )＝－x 2＋2x ＋k ，若对任意x 1∈[0,2]，均存在x 2∈[0,2]，使得f (x 1)<g (x 2)，求实数k 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3x 2－3a ，∵f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝9x －14，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝4，f ′(2)＝9，则⎩⎪⎨⎪⎧ 8－6a ＋b ＝4，12－3a ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. ∴f (x )＝x 3－3x ＋2，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)． 由f ′(x )>0，得x <－1或x >1； 由f ′(x )<0，得－1<x <1.故函数f (x )的单调递减区间是(－1,1)；单调递增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)． (2)由(1)知，函数f (x )在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增． 又f (0)＝2，f (2)＝4，有f (0)<f (2)，∴函数f (x )在区间[0,2]上的最大值f (x )max ＝f (2)＝4. 又g (x )＝－x 2＋2x ＋k ＝－(x －1)2＋k ＋1，∴函数g (x )在[0,2]上的最大值为g (x )max ＝g (1)＝k ＋1. ∵对任意x 1∈[0,2]，均存在x 2∈[0,2]，使f (x 1)<f (x 2)成立， ∴有f (x )max <g (x )max ，则4<k ＋1，即k >3. 故实数k 的取值范围是(3，＋∞)．1．已知向量m ＝(x 0，－1)，n ＝⎝⎛⎭⎫12，y 0，x 0，334，y 0成等差数列，2，x 0，y 0成等比数列．(1)求证：m ⊥n ；(2)若存在不为零的实数k 与t ，使得a ＝(t 2－3)m ＋n ，b ＝tm －kn ，且a ⊥b ，|a |≤37，试讨论函数k ＝f (t )的单调性，并求出函数的极值．解：(1)证明：由x 0，334，y 0成等差数列得x 0＋y 0＝332，①由2，x 0，y 0成等比数列得x 0＝2y 0，② 由①与②可得x 0＝3，y 0＝32， 所以m ＝(3，－1)，n ＝⎝⎛⎭⎫12，32，因为m ·n ＝(3，－1)·⎝⎛⎭⎫12，32＝32－32＝0， 所以m ⊥n .(2)由(1)得|m |＝2，|n |＝1，因为|a |≤37，m ⊥n ，所以|a |2＝(t 2－3)2|m |2＋2(t 2－3)m ·n ＋|n |2＝4(t 2－3)2＋1≤37， 所以0≤t 2≤6，所以－6≤t ≤ 6.又a ·b ＝t (t 2－3)|m |2－k (t 2－3)m ·n ＋tm ·n －k |n |2＝4t (t 2－3)－k ＝0，所以k ＝f (t )＝4t (t 2－3)(－6≤t ≤6)，k ′＝f ′(t )＝[4t (t 2－3)]′＝12t 2－12，令12t 2－12＝0，得t ＝±1.当t 变化时，f ′(t )，f (t )的变化情况如下表：的极大值为8，极小值为－8.2．设函数f (x )＝ln x －p (x －1)，p ∈R. (1)当p ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)设函数g (x )＝xf (x )＋p (2x 2－x －1)，对任意x ≥1都有g (x )≤0成立，求p 的取值范围． 解：(1)当p ＝1时，f (x )＝ln x －x ＋1，其定义域为(0，＋∞)． 所以f ′(x )＝1x－1.由f ′(x )＝1x－1>0得0<x <1，由f ′(x )<0得x >1.所以函数f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)由函数g (x )＝xf (x )＋p (2x 2－x －1)＝x ln x ＋p (x 2－1)(x >0)，得g ′(x )＝ln x ＋1＋2px . 由(1)知，当p ＝1时，f (x )≤f (1)＝0， 即不等式ln x ≤x －1成立．①当p ≤－12时，g ′(x )＝ln x ＋1＋2px ≤(x －1)＋1＋2px ＝(1＋2p )x ≤0，即函数g (x )在[1，＋∞)上单调递减，从而g (x )≤g (1)＝0，满足题意； ②当－12<p <0时，若x ∈⎝⎛⎭⎫1，－12p ，则ln x >0，1＋2px >0， 从而g ′(x )＝ln x ＋1＋2px >0，即函数g (x )在⎝⎛⎭⎫1，－12p 上单调递增，从而存在x 0∈⎝⎛⎭⎫1，－12p 使得g (x 0)>g (1)＝0，不满足题意；③当p ≥0时，由x ≥1知g (x )＝x ln x ＋p (x 2－1)≥0恒成立，此时不满足题意． 综上所述，实数p 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－12.集合与常用逻辑用语 函数、导数及其应用(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2012·广州调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≤0，a x ，x >0，若f (1)＝f (－1)，则实数a 的值等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 根据题意，由f (1)＝f (－1)可得a ＝1－(－1)＝2.2．(2012·江西高考)若全集U ＝{}x ∈R|x 2≤4，则集合A ＝{}x ∈R||x ＋1|≤1的补集∁U A为( )A.{}x ∈R|0<x <2B.{}x ∈R|0≤x <2C.{}x ∈R|0<x ≤2D.{}x ∈R|0≤x ≤2解析：选C 因为U ＝{x ∈R|x 2≤4}＝{x ∈R|－2≤x ≤2}，A ＝{x ∈R||x ＋1|≤1}＝{x ∈R|－2≤x ≤0}．借助数轴易得∁U A ＝{x ∈R|0<x ≤2}．3．下列函数中，恒满足f (2x )＝[f (x )]2的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝1x (x ≠0)C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝sin x解析：选C 若f (x )＝e x ，则f (2x )＝e 2x ＝(e x )2＝[f (x )]2.4．(2012·大同调研)已知函数f (x )＝x 2＋bx (b ∈R)，则下列结论正确的是( ) A ．∀b ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数 B ．∀b ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数 C ．∃b ∈R ，f (x )为奇函数 D ．∃b ∈R ，f (x )为偶函数解析：选D 注意到当b ＝0时，f (x )＝x 2是偶函数．5．(2013·龙岩四校联考)已知函数y ＝f (x )的图象在点M (3，f (3))处的切线方程是y ＝13x＋23，则f (3)＋f ′(3)的值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．5解析：选B 因为切点(3，f (3))在切线上，所以f (3)＝1＋23＝53，切点处的导数为切线的斜率，所以f ′(3)＝13，所以f (3)＋f ′(3)＝2.6．(2012·汕头一测)已知集合A 是函数f (x )＝1－x 2|x ＋1|－1的定义域，集合B 是整数集，则A ∩B的子集的个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．16解析：选A 要使函数f (x )有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，|x ＋1|－1≠0，解得－1≤x <0或0<x ≤1，所以函数的定义域A ＝{x |－1≤x <0，或0<x ≤1}．所以A ∩B ＝{1，－1}，其子集的个数为4.7．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＝b <c B ．a ＝b >c C ．a <b <cD ．a >b >c解析：选B ∵a ＝log 23＋log 23＝log 233，b ＝log 29－log 23＝log 233， ∴a ＝b .又∵函数y ＝log a x (a >1)为增函数，∴a ＝log 233>log 22＝1，c ＝log 32<log 33＝1，∴a ＝b >c .8．(2012·南昌一模)函数y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称的图象大致是( )解析：选B 函数y ＝x 12＝x ，该函数的图象就是抛物线y 2＝x 在x 轴及其以上的部分，故函数y ＝x 12－1＝x －1是将上述图象向下平移一个单位得到的，再作其关于x 轴对称的图象，即选项B 中的图象．9．(2012·长春第二次调研)若a >2，则函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在(0,2)内零点的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选C 依题意得f ′(x )＝x 2－2ax ，由a >2可知，f ′(x )在x ∈(0,2)时恒为负，即f (x )在(0,2)内单调递减，又f (0)＝1>0，f (2)＝83－4a ＋1<0，因此f (x )在(0,2)内只有一个零点．10．(2012·河南三市第二次调研)设U 为全集，对集合X ，Y ，定义运算“*”，X *Y ＝∁U (X ∩Y )．对于任意集合X ，Y ，Z ，则(X *Y )*Z ＝( ) A ．(X ∪Y )∩∁U ZB ．(X ∩Y )∪∁U ZC ．(∁U X ∪∁U Y )∩ZD ．(∁U X ∩∁U Y )∪Z解析：选B 依题意得(X *Y )＝∁U (X ∩Y )＝(∁U X )∪(∁U Y )，(X *Y )*Z ＝∁U [(X *Y )∩Z ]＝∁U [∁U (X ∩Y )∩Z ]＝{∁U [∁U (X ∩Y )]}∪(∁U Z )＝(X ∩Y )∪(∁U Z )．11．(2012·重庆高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“f (x )为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的( )A ．既不充分也不必要的条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．充要条件解析：选D 由题意可知函数在[0,1]上是增函数，在[－1,0]上是减函数，在[3,4]上也是减函数；反之也成立．12．下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③“若a >b >0且c <0，则c a >cb”的逆否命题是真命题；④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2－x －1≤0，则命题p ∧(綈q )是真命题．其中真命题为( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④解析：选A 由x 2＋2x >4x －3推得x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0恒成立，故①正确；根据基本不等式可知要使不等式log 2x ＋log x 2≥2成立需要x >1，故②正确；由a >b >0得0<1a <1b ，又c <0，可得c a >cb ，则可知其逆否命题为真命题，故③正确；命题p 是真命题，命题q 是真命题，所以p ∧(綈q )为假命题，故④不正确．二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2013·河北质检)函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝⎛⎭⎫23，＋∞，则a ＝________. 解析：由3x －a >0得x >a 3.因此，函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞，所以a 3＝23，即a ＝2.答案：214． (2012·南通一调)设P 是函数y ＝x (x ＋1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________．解析：依题意得，y ＝x 32＋x 12，y ′＝32x 12＋12x －12(x >0)，当x >0时，y ′＝32x 12＋12x －12≥232x 12×12x －12＝3，即该图象在点P 处的切线的斜率不小于3，即tan θ≥ 3.又θ∈[0，π)，因此π3≤θ<π2，即θ的取值范围是⎣⎡⎭⎫π3，π2. 答案：⎣⎡⎭⎫π3，π215．(2012·山东高考)若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.解析：函数g (x )在[0，＋∞)上为增函数，则1－4m >0，即m <14.若a >1，则函数f (x )在[－1,2]上的最小值为1a ＝m ，最大值为a 2＝4，解得a ＝2，12＝m ，与m <14矛盾；当0<a <1时，函数f (x )在[－1,2]上的最小值为a 2＝m ，最大值为a －1＝4，解得a ＝14，m ＝116<14.所以a ＝14.答案：1416．(2012·福州质检)已知集合M 是满足下列条件的函数f (x )的全体：(1)f (x )既不是奇函数也不是偶函数；(2)函数f (x )有零点．那么在函数①f (x )＝|x |－1，②f (x )＝2x －1，③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >0，0，x ＝0，x ＋2，x <0，④f (x )＝x 2－x －1＋ln x 中，属于M 的有________．(写出所有符合的函数序号)解析：对于①，∵f (－x )＝|－x |－1＝|x |－1＝f (x )，∴f (x )＝|x |－1是偶函数，∴①不符合条件；易知f (x )＝2x －1既不是奇函数也不是偶函数，且有一个零点x ＝0，∴②符合条件；对于③，令x >0，则－x <0，∴f (x )＝x －2，f (－x )＝－x ＋2＝－(x －2)，即f (x )＝－f (－x )，又f (0)＝0，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >0，0，x ＝0，x ＋2，x <0.是奇函数，∴③不符合条件；对于④，函数f (x )＝x 2－x －1＋ln x 的定义域为(0，＋∞)，故它既不是奇函数也不是偶函数，∵f ′(x )＝2x －1＋1x ＝2x 2－x ＋1x ＝2⎝⎛⎭⎫x －142＋78x >0，∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝1－1－1＋0＝－1<0，f (e)＝e 2－e －1＋1＝e(e －1)>0，∴函数f (x )在(1，e)上存在零点，∴④符合条件．答案：②④三、解答题(本题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)已知函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，且x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3，试求f (x )在R 上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间．解：∵f (x )的图象关于原点对称，∴f (－x )＝－f (x )，又当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3， ∴当x <0时，f (x )＝－x 2－2x －3. 当x ＝0时，f (x )＝0.∴函数解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋3，x >0.0，x ＝0，－x 2－2x －3，x <0.作出函数的图象如图．根据图象可以得函数的增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)； 函数的减区间为(－1,0)，(0,1)． 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 3(ax ＋b )的部分图象如右图所示． (1)求f (x )的解析式与定义域；(2)函数f (x )的图象能否由y ＝log 3x 的图象平移变换得到．解：(1)由图可知(2,1)(5,2)是f (x )＝log 3(ax ＋b )上的两点，将其代入函数表达式可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝3，5a ＋b ＝9⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1. ∴f (x )的解析式为f (x )＝log 3(2x －1)． ∵f (x )有意义需满足2x －1>0，∴x >12.∴f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫12，＋∞.(2)∵f (x )＝log 3(2x －1)＝log 3⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －12 ＝log 3⎝⎛⎭⎫x －12＋log 32， ∴f (x )的图象是由y ＝log 3x 的图象向右平移12个单位，再向上平移log 32个单位得到的．故可以由y ＝log 3x 的图象平移得到．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x (x 2－ax －3)． (1)若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝－13是f (x )的极值点，求f (x )在区间[1,4]上的最大值．解：(1)∵f (x )＝x (x 2－ax －3)，∴f ′(x )＝3x 2－2ax －3. ∵f (x )在[1，＋∞)上是增函数， ∴在[1，＋∞)上恒有f ′(x )≥0，即3x 2－2ax －3≥0在[1，＋∞)上恒成立． 得a ≤32⎝⎛⎭⎫x －1x 在[1，＋∞)上恒成立． ∵当x ≥1时，32⎝⎛⎭⎫x －1x ≥32(1－1)＝0， ∴a ≤0.(2)依题意得f ′⎝⎛⎭⎫－13＝0， 即13＋23a －3＝0，得a ＝4， 故f (x )＝x 3－4x 2－3x .令f ′(x )＝3x 2－8x －3＝0，得x 1＝－13，x 2＝3.当x 在[1,4]上变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：所以f (20．(本小题满分12分)经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t (天)的函数，且销售量近似地满足f (t )＝－2t ＋200(1≤t ≤50，t ∈N)．前30天价格为g (t )＝12t ＋30(1≤t ≤30，t ∈N)，后20天价格为g (t )＝45(31≤t ≤50，t ∈N)． (1)写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系； (2)求日销售额S 的最大值． 解：(1)根据题意，得S ＝⎩⎪⎨⎪⎧(－2t ＋200)⎝⎛⎭⎫12t ＋30，1≤t ≤30，t ∈N ，45(－2t ＋200)，31≤t ≤50，t ∈N＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋40t ＋6 000，1≤t ≤30，t ∈N ，－90t ＋9 000，31≤t ≤50，t ∈N. (2)①∵当1≤t ≤30，t ∈N 时，S ＝－(t －20)2＋6 400， ∴当t ＝20时，S 的最大值为6 400.②当31≤t ≤50，t ∈N 时，S ＝－90t ＋9 000为减函数， ∴当t ＝31时，S 的最大值为6 210. ∵6 210<6 400，∴当t ＝20时，日销售额S 有最大值6 400.21.已知函数f (x )＝13x 3＋1－a 2x 2－ax －a ，x ∈R ，其中a >0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a 的取值范围； 解：(1)f ′(x )＝x 2＋(1－a )x －a ＝(x ＋1)(x －a )． 由f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝a >0.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：(2)由(1)知f (x )在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1，0)内单调递减，从而函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点即⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)<0，f (－1)>0，f (0)<0，解得0<a <13.所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，13.22. (2012·安徽名校模拟)已知函数f (x )＝a (x 2－x －1)e x (x ∈R)，a 为正数．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若对任意x 1，x 2∈[0,4]均有|f (x 1)－f (x 2)|<1成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵f (x )＝a (x 2－x －1)e x，∴f ′(x )＝a (2x －1)e x －a (x 2－x －1)e x e 2x ＝－ax (x －3)e x .令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝3. ∵a >0，∴由f ′(x )>0，得0<x <3；由f ′(x )<0，得x <0或x >3.故函数f (x )的单调递增区间为(0,3)，单调递减区间为(－∞，0)，(3，＋∞)．(2)由(1)易知函数f (x )在[0,3]上为增函数，在[3,4] 上为减函数． ∴函数f (x )在[0,4]上的最大值f (3)＝5a e 3，又∵f (0)＝－a <0，f (4)＝11a e －4>0，∴f (0)<f (4)．∴f (x )在[0,4]上的最小值为f (0)＝－a . ∴要使函数f (x )对任意x 1，x 2∈[0,4]均有 |f (x 1)－f (x 2)|<1成立，只需|f (3)－f (0)|<1即可， 即⎪⎪⎪⎪5a e 3＋a <1. ∵a >0，∴0<a <e 35＋e 3.。