2016年秋季新版沪科版九年级数学上学期第23章、解直角三角形单元复习试卷1
沪科版九年级数学第23章解直角三角形单元检测试卷及答案
沪科版九年级数学第23章解直角三角形单元检测试卷及答案一、单选题（共10题；共30分）1.在△ABC中，若tanA=1，sinB= ，你认为最确切的判断是（）A. △ABC是等腰三角形B. △ABC是等腰直角三角形C. △ABC是直角三角形D. △ABC是一般锐角三角形2.在中，∠°，若cosB= ，则sinA的值为( )A. B. C. D.3.汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A 村的俯角为30°，B村的俯角为60°（如图）则A，B两个村庄间的距离是（）米．A. 300B. 900C. 300D. 3004.如图，在4×4的正方形网格中，tanα= （）A. B. C. D.5.如图，已知A点坐标为（5，0），直线与y轴交于点B，连接AB，若∠a=75°，则b的值为( )A. 3B.C.D.6.如图，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC=6米，∠ACB=52°，则拉线AC的长为( )A. °米B. °米C. 6·cos52°米D. °米7.如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则tanA的值为（）A. 2B.C.D.8.如图为K90的化学赛道，其中助滑坡AB长90米，坡角a=40°，一个曲面平台BCD连接了助滑坡AB与着陆坡，某运动员在C点飞向空中，几秒之后落在着陆坡上的E处，已知着陆坡DE的坡度i=1：，此运动员成绩为DE=85.5米，BD之间的垂直距离h为1米，则该运动员在此比赛中，一共垂直下降了（）米．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.76，tan40°≈0.84，结果保留一位小数）A. 101.4B. 101.3C. 100.4D. 100.39.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,则sinB的值为( )A. B. C. D. 110.某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知CD=6米，则旗杆AB的高度为（）A. 9米B. 9（1+ ）米C. 12米D. 18米二、填空题（共10题；共36分）11.如图，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB，AC．若∠B=56°，∠C=45°，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为________米．（°，°）12.计算tan30°tan45°=________13.已知α与β互为余角，且cos（115°﹣α+β）= ，则α=________，β=________．14.请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分．A．如图，DE为△ABC的中位线，点F为DE上一点，且∠AFB=90°，若AB=8，BC=10，则EF的长为________．B．小智同学在距大雁塔塔底水平距离为138米处，看塔顶的仰角为24.8（不考虑身高因素），则大雁塔市约为________米．（结果精确到0.1米）15.如图，□ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAC＝30°，AE＝3，则AC的长等于________．16.如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，如果AB=5，BC=8，sinB= ，那么=________.17.四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC=90 °，tan∠ABD= ，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD=________．18.在△ABC中,∠C=90°,BC=6 cm,sinA= ,则AB的长是________.cm.19.已知：等边△ABC的边长为2，点D为平面内一点，且BD= AD=2 ，则CD=________．20.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点都在格点上，则cos∠ACB的值为________三、解答题（共7题；共54分）21.计算．22.如图，某游乐园有一个滑梯高度AB，高度AC为3米，倾斜角度为58°．为了改善滑梯AB的安全性能，把倾斜角由58°减至30°，调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加多少米？（精确到0.1米）（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）23.甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以12海里/时的速度向北偏东35°航行，乙船向南偏东55°航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C、B两船相距30海里，问乙船的速度是每小时多少海里？24.如图，小明在山脚下的A处测得山顶N的仰角为45°，此时，他刚好与山底D在同一水平线上．然后沿着坡度为30°的斜坡正对着山顶前行110米到达B处，测得山顶N的仰角为60°．求山的高度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．25.如图，为了测得一棵树的高度AB，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得树顶A的仰角为45°，再向树方向前进10m，又测得树顶A的仰角为60°，求这棵树的高度AB．26.如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ的高度．他们采取的方法是：先在地面上的点A 处测得杆顶端点P的仰角是45°，再向前走到B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，这时只需要测出AB的长度就能通过计算求出电线杆PQ的高度．你同意他们的测量方案吗？若同意，画出计算时的图形，简要写出计算的思路，不用求出具体值；若不同意，提出你的测量方案，并简要写出计算思路．27.海中有一个小岛P，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】特殊角的三角函数值【解析】【解答】解：∵tanA=1，sinB= ，∴∠A=45°，∠B=45°．又∵三角形内角和为180°，∴∠C=90°．∴△ABC是等腰直角三角形．故答案为：B．【分析】根据特殊角的三角函数值再结合已知条件可求出∠A、∠B的度数，即可判断△ABC的形状。
沪科版(上海)九年级上册数学第23章解直角三角形单元试卷
沪科版（上海)九年级上册数学 第23章解直角三角形单元试卷 考试时间：100分钟；满分120分 一、单选题（计30分） 1．（3分）tan60︒的值为( ) A ．3 B ．3 C D 2．（3分）小明同学爱好登山运动，一天他沿坡角为60的斜坡登山，此山的坡度是（ ）A ．1:2B ．2:1C ．D 3．（3分）在实数0、tan 45︒、1-中，最大的是（ ） A ．0 B ． C ．0tan 45 D ．-1 4．（3分）在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，AB =5，则cosA 的值是（ ） A ．35 B ．43 C ．34 D ．45 5．（3分）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB 的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC 为（ ） A ．3sin α米 B ．3cos α米 C ．3sin α米 D ．3cos α米 6．（3分）已知：如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，∠C ＝45°，AC ＝，则AB 的长为（ ）A ．4B ．C ．5D ． 7．（3分）如图，一艘轮船从位于灯塔C 的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile 的小岛A 出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C 的南偏东45°方向上的B 处，这时轮船B 与小岛A 的距离是( )A ．n mileB ．60 n mileC ．120 n mileD ．(30+n mile8．（3分）如图，已知点E 是矩形ABCD 的对角线AC 上的一个动点，正方形EFGH 的顶点G 、H 都在边AD 上，若2AB =，5BC =，则tan AFE ∠的值（ ）A ．等于25 B ．等于27C ．等于57 D ．不确定，随点E 位置的变化而变化9．（3分）如图，在54⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC ∆的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin BAC ∠的值为（ ）A ．43 B ．34 C ．35 D ．4510．（3分）如图，小山岗的斜坡AC 的坡度是tan α＝34，在与山脚C 距离200米的D据：sin26.6°＝0.45，cos26.6°＝0.89，tan26.6°＝0.50） A ．300米 B ．250米 C ．400米 D ．100米二、填空题（计30分） 11．（4分）计算：0(2019)2cos 60π︒--=______． 12．（4分）如图，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，则cosA 的值为_______． 13．（4分）如图，在ABC ∆中，1sin 3B =，tan 2C =，3AB =，则AC 的长为_____．14．（4分）如图所示，九()1班数学课外活动小组在河边测量河宽AB （这段河流的两岸平行），他们在点C 测得30ACB ∠︒＝，点D 处测得6080ADB CD m ∠︒＝，＝，则河宽AB 约为_____m （结果保留整数， 1.73≈）． 15．（4分）已知α是锐角，且sin(α+15°)=23，则=_________. 16．（4分）如图：正方形ABCD 的边长为1，点E ，F 分别为BC ，CD 边的中点，连接AE ，BF 交于点P ，连接PD ，则tan APD ∠=______．17．（4分）如图，一轮船在M 处观测灯塔P 位于南偏西30°方向，该轮船沿正南方向以15海里/小时的速度匀速航行2小时后到达N 处，再观测灯塔P 位于南偏西60°方向，若该轮船继续向南航行至灯塔P 最近的位置T 处，此时轮船与灯塔之间的距离PT 为________海里（结果保留根号）18．（4分）如图所示，小亮家在点O 处，其所在学校的校园为矩形ABCD ，东西长 AD ＝1000米，南北长AB ＝600米．学校的南正门在AD 的中点E 处，B 为学校的西北角门．小亮从家到学校可以走马路，路线O →M →E （∠M ＝90°）；也可以走沿河观光路，路线O →B ．小亮在D 处测得O 位于北偏东30°，在B 处测得O 位于北偏东60°小亮从家到学校的两条路线中，长路线比短路线多_____米．（结果保留根号）三、解答题（计58分）19．（701122019()3tan 303-+--+︒；20．（7分）计算：1011)2sin |602+-︒⎛⎫-- ⎪⎝⎭21．（7分）如图，在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶．在航行到B 处时，发现灯塔A 在我军舰的正北方向500米处；当该军舰从B 处向正西方向行驶至达C 处时，发现灯塔A 在我军舰的北偏东60°的方向．求该军舰行驶的路程．（计算过程和结果均不取近似值）22．（7分）如图，在A 处的正东方向有一港口B ．某巡逻艇从A 处沿着北偏东60°方向巡逻，到达C 处时接到命令，立刻在C 处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B ．求,A B 间的距离． 1.73≈ 1.4≈，结果保留一位小数）．23．（7分）某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥，原设计天桥的楼梯长AB=6,∠ABC=45o ，后考虑到安全因素，将楼梯脚B 移到CB 延长线上点D 处，使（如图所示）． （1）求调整后楼梯AD 的长； （2）求BD 的长． （结果保留根号）24．（7分）如图，某校组织学生到A 地开展社会实践活动，乘车到达B 地后，发现A 地恰好在B 地的正北方向，导航显示车辆应沿北偏东60︒方向行驶10公里到达C 地，再沿北偏西45︒方向行驶一段距离才能到达A 地．求A 、C 两地间的距离，25．（8分）如图，某建筑物CD 高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB 的坡度为1:1i =．为了测量山顶A 的高度，在建筑物顶端D 处测得山顶A 和坡底B 的俯角分别为α、β．已知tan 2α=，tan 4β=，求山顶A 的高度AE (C 、B 、E 在同一水平面上)．26．（8分）为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶A 测得C 处的俯角为45°，D 处的俯角为30°，乙在山下测得C ，D 之间的距离为400米．已知B ，C ，D 在同一水平面的同一直线上，求山高AB ．≈1.414≈11.732）参考答案1．C【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值解答即可.【详解】tan60°，故选C.【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．2．D【解析】【分析】根据坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比解答即可．【详解】因为坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，1，故选D．【点睛】本题考查解直角三角形、坡度、坡角、仰角、三角函数等知识，熟练掌握这些知识就解决问题的关键3．C【解析】【分析】正切值是指是直角三角形中，某一锐角的对边与另一相邻直角边的比值，根据正切的定义计算tan45︒=1，然后进行比较.【详解】tan45︒=1，＜－1＜0＜tan45︒答案选：C【点睛】本题主要考查直角三角形中特殊角的三角函数值的大小以及实数的大小比较.4．D【解析】【分析】根据余弦的定义计算即可．【详解】解：如图，在Rt △ABC 中，4cos 5AC A AB ==， 故选：D ．【点睛】 本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦是解题的关键．5．A【解析】【分析】 直接利用锐角三角函数关系得出sin 3BC BC AB α==，进而得出答案． 【详解】 解：由题意可得：sin 3BC BC AB α==， 故()3sin BC m α=．故选：A【点睛】考核知识点：由正弦求边.理解正弦定义是关键.6．A【解析】【分析】过A作AD与BC垂直，在直角三角形ACD中，根据题意确定出AD＝CD，求出AD的长，再利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出AB的长即可【详解】解：过A作AD⊥BC，在Rt△ACD中，∠C＝45°，AC＝，∴AD＝CD＝2，在Rt△ABD中，∠B＝30°，AD＝2，∴AB＝2AD＝4，故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解题的关键．7．D【解析】【分析】过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．【详解】过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60．在Rt△ACD中，cos∠ACD=CD AC，∴CD=AC•cos∠在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°，∴∴．答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（nmile．故选D．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．8．B【解析】【分析】根据题意推知EF∥AD，由该平行线的性质推知△AEH∽△ACD，结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答．【详解】解：在矩形ABCD中，AB=CD=2,AD=BC=5;∵正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上∴EH∥CD，∴△AEH ∽△ACD ， ∴EH AH =CD AD =25． 设EH=2x ，AH=5x ，∴HG=GF=2x ，∵EF ∥AD ，∴∠AFE=∠FAG ，在Rt AGF 中∴tan ∠AFE=tan ∠FAG=GF AG =2x 22x 5x 7=+． 故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的性质与判定以及解直角三角形，此题将求∠AFE 的正切值转化为求∠FAG 的正切值来解答的．9．D【解析】【分析】过C 作CD AB ⊥于D ，首先根据勾股定理求出AC ，然后在Rt ACD ∆中即可求出sin BAC ∠的值．【详解】如图，过C 作CD AB ⊥于D ，则=90ADC ∠︒，∴AC ＝==AC 5． ∴4sin 5CD BAC AC ∠==． 故选D ．【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．10．A【解析】【分析】设AB＝3x米，根据坡度分概念用x表示出BC，根据正切的定义表示出BD，结合图形列式计算即可．【详解】设AB＝3x米，∵斜坡AC的坡度是tanα＝34，∴BC＝4x，在Rt△ADB中，tan∠ADB＝AB BD，∴BD＝tan ABADB∠≈6x，由题意得，6x﹣4x＝200，解得，x＝100，则AB＝3x＝300，故选：A．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．11．0【解析】【分析】按顺序分别进行0次幂的运算、代入特殊角的三角函数值，然后再进行计算即可.【详解】(2019)2cos60π--︒=1 122 -⨯=1-1 =0，故答案为：0.【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了0次幂、特殊角的三角函数值，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.12 【解析】【分析】连接BD ，根据勾股定理的逆定理判断出△ABD 的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】解：如图，连接BD ，∵BD 2=12+12=2，AB 2=12+32=10，AD 2=22+22=8，2+8=10，∴△ABD 是直角三角形，且∠ADB =90°，∴cos AD A AB ====．. 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数和勾股定理，作出适当的辅助线构建直角三角形是解答此题的关键．13【解析】【分析】过A 作AD 垂直于BC ，在直角三角形ABD 中，利用锐角三角函数定义求出AD 的长，在直角三角形ACD 中，利用锐角三角函数定义求出CD 的长，再利用勾股定理求出AC 的长即可．【详解】解：过A 作AD BC ⊥，在Rt ABD ∆中，1sin 3B =，3AB =， ∴sin 1AD AB B =⋅=，在Rt ACD ∆中，tan 2C =，∴AD CD =CD =，根据勾股定理得：AC ===【点睛】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．14．69【解析】【分析】在Rt ABC 中，3060ACB ADB ∠︒∠︒＝，＝，则30DAC ∠︒＝，所以80DA DC ＝＝，在Rt ABD 中，通过三角函数关系求得AB 的长．【详解】在Rt ABC 中，3060ACB ADB ∠︒∠︒＝，＝，30DAC ∴∠︒＝，80DA DC ∴＝＝，在Rt ABD 中，sin sin60AB ADB AD ︒=∠==8069AB AD ∴===≈（米）， 故答案为：69．【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．15．0【解析】【分析】利用特殊角的三角函数值求出α的度数，代入原式计算即可得到结果．【详解】∵α是锐角，且sin （α+15°）=，∴α+15°=60°，即α=45°，则原式=2-4×-1+1=0．【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．2【解析】【分析】连接AF ，先证明Rt ΔABE ≌Rt ΔBCF ，可得BAE CBF ∠∠=，继而证明A 、P 、F 、D 四点共圆，由圆周角定理可得AFD APD ∠∠=，进而根据正切的定义即可求得答案.【详解】连接AF ，E ，F 分别是正方形ABCD 边BC ，CD 的中点， CF BE ∴=，AD 2DF=， 在ΔABE 和ΔBCF 中，AB BC ABE C BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴Rt ΔABE ≌Rt ΔBCF(SAS)，BAE CBF ∠∠∴=，又BAE BEA 90∠∠︒+=，CBF BEA 90∠∠︒∴+=，BPE APF 90∠∠︒∴==，ADF 90∠︒=，ADF APF 180∠∠︒∴+=，∴A 、P 、F 、D 四点共圆，AFD APD ∠∠∴=，AD tan APD tan AFD 2DF∠∠∴===， 故答案为：2．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，四点共圆，正切等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.17．【解析】【分析】根据“若该轮船继续向南航行至灯塔P 最近的位置T 处，此时轮船与灯塔之间的距离为PT”，得PT ⊥MN ，利用锐角三角函数关系进行求解即可【详解】由题意得，MN=15×2=30海里， ∵∠PMN=30°，∠PNT=60°，∴∠MPN=∠PMN=30°，∴PN=MN=30海里，∴PT=PN•sin∠PNT=故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是求得PN 的长度，属于中考常考题．18．1300-【解析】【分析】如图，由题意得，∠OBF＝30°，DOM＝30°，FM＝AB＝600，设DM＝CF＝x，得到BF＝1000+x，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：如图，由题意得，∠OBF＝30°，DOM＝30°，FM＝AB＝600，设DM＝CF＝x，则BF＝1000+x，在Rt△BOF中，∵∠OBF＝30°，∴OF＝3BF＝)3x+，OB＝BF(1000)cos303x︒==+，在Rt△ODM中，DM＝x，∴OMx，∴OF＝OM﹣FM﹣600，x﹣600，解得：x＝，∴OF＝，∴BO＝2OF＝，∴路线O→M→E的长度＝＝＝∴长路线比短路线多（1300﹣故答案为：1300﹣【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，难度适中．解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．19．6【解析】【分析】先分别计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂、三角函数值，然后算加减法.【详解】原式=2－(－3)+3= 2=6.【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握绝对值、零指数幂、负整数指数幂、三角函数值的运算是解题的关键.20．-1.【解析】【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【详解】=-+-原式122=-+-12=-．1【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．该军舰行驶的路程为500m．【解析】【分析】易得∠A的度数为60°，利用60°正切值可得BC的值．【详解】如图，∵CE∥AB，∴∠ECB=90°∴∠A=∠ECA=60°，∴BC=AB×tan60°=500×=500m．答：该军舰行驶的路程为500m．【点睛】考查解直角三角形的应用；用∠A的正切值表示出所求线段长是解决本题的关键．22．A,B间的距离约为114.7海里．【解析】【分析】过点C CD AB ⊥作，垂足为点D ，则6045ACD BCD ∠︒∠︒＝，＝ ，通过解直角三角形可求出BD ，AD 的长，将其相加即可求出AB 的长．【详解】解：过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ，则∠ACD ＝60°，∠BCD ＝45°，如图所示．BD CD Rt BCD sin BCD cos BCD BC BC∠∠在中，＝，＝，•2034220342BD BC sin BCD CD BC cos BCD ∴∠⨯≈∙∠⨯≈＝＝，＝＝ AD Rt ACD tan ACD CD ∠在中，＝，•4272.7AD CD tan ACD ∴∠≈＝＝．72.742114.7AB AD BD ∴++＝＝＝．∴间的距离约为114.7海里．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过解直角三角形，求出BD,AD 的长是解题的关键．23．（1）；（2） 【解析】【分析】(1)在Rt△ABC 中, AC=AB·sin45o =又∠ACD=90O ,∠ADC=30O ，AD=2AC ；（2）由（1）知：AC=BC=,AD=，又∠ACD=90O ,∠ADC=30O ，故DC=AD·cos30o=，BD=DC-BC. 【详解】解法一：(1)在Rt△ABC中，∠ABC=45o∵sin∠ABC=,AB=6∴AC=AB·sin45o=又∵∠ACD=90O,∠ADC=30OAD=2AC=答：调整后楼梯AD的长为（2）由（1）知：AC=BC=,AD=∵∠ACD=90O,∠ADC=30O∴DC=AD·cos30o=∴BD=DC-BC=答：BD的长为解法二：(1)∵∠ACB=90O,∠ABC=45O∴AC=BC设AC=BC=，又AB=6，∴解得，∴AC=BC=∵∠ACB=90O, ∠ADC=30O∴AD=2AC=答：调整后楼梯AD的长为（2）∵∠ACD=90O,AC=,AD=∴DC 2=AD 2-AC 2=∴DC=(负值舍去)∴BD=DC -BC=答：BD 的长为【点睛】解直角三角形的实际应用.24．【解析】【分析】先过点C 向AB 作垂线，构造直角三角形，利用60°和45°特殊角，表示出相关线段，利用已知CB 长度为10公里，建立方程，解出这些相关线段，从而求得A 、C 两地的距离．【详解】解：如图，过点C 作CD AB ⊥于点D ，则60CBD ∠=︒，45DCA ∠=︒，90ADC BDC ∠=∠=︒，在Rt DBC ∆中，60DBC ∠=︒，30DCB ∴∠=︒，10BC =，5BD ∴=，由勾股定理可得：DC ==，在Rt DAC ∆中，AC ===A ∴、C 两地间的距离为【点睛】本题主要考查了勾股定理应用题，正确构造直角三角形，然后利用特殊角表示相关线段，从而求解是解题关键．25．山顶A 的高度AE 为16米．【解析】【分析】作AF ⊥CD 于F ．设AE=x 米．由斜坡AB 的坡度为i=1：1，得出BE=AE=x 米．解Rt △BDC ，求得9624tan 4CD BC β===(米)，则AF=EC=（x+24）米．解Rt △ADF ，得出DF=AF•tanα=2（x+24）米，又DF=DC-CF=DC-AE=（96-x ）米，列出方程2（x+24）=96-x ，求出x 即可．【详解】解：如图，作AF CD ⊥于F ．设AE x =米．∵斜坡AB 的坡度为1:1i =，∴BE AE x ==米．在Rt BDC ∆中，∵90︒∠=C ，96CD =米，DBC β∠=∠， ∴9624tan 4CD BC β===(米)， ∴(24)EC EB BC x =+=+米，∴(24)AF EC x ==+米．在Rt ADF ∆中，∵90AFD ︒∠=，DAF α∠=∠，∴tan 2(24)DF AF x α=⋅=+米，∵(96)DF DC CF DC AE x =-=-=-米，∴2(24)96x x +=-，解得16x =．故山顶A 的高度AE 为16米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．解此题的关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用．26．山高AB为546.4米【解析】【分析】设AB=x，然后根据等腰直角三角形以及特殊角锐角三角函数的值即可求出答案．【详解】设AB＝x，由题意可知：∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，∴AB＝BC＝x，∴BD＝BC+CD＝x+400，在Rt△ADB中，∴AB tan30BD︒=，XX400=+，解得：x546.4=≈. ∴山高AB为546.4米.【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数以及一元一次方程的解法，本题属于中等题型．。
【沪科版】九年级数学上 第23章 解直角三角形单元检测卷(含答案)
第23章解直角三角形单元检测卷（满分：150分时间：120分钟）一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.如图，在平面直角坐标系的第一象限内有一点A，它的坐标为（x，y），直线AO与x轴正半轴的夹角为α，则α的正弦值为…【】A. xy B. yxC.22yx y+2.在Rt△ABC中，若将各边的长都扩大为原来的n倍，则锐角A 的余弦值将………【】A.扩大为原来的n倍B.缩小为原来的n倍C.没有变化D.不能确定3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，则下列关系式：①0＜sin A＜1；②sin A＋sin B＞1；③sin2A＋sin2B＝1；④sin A＝sin B·tan A.其中正确的有…………………【】A.①②③④B.①②C.245D.6第1题图CB第4题图A第7题图4.如图，在△ABC中，AC＝BC＝10，sin∠CAB＝0.6，则AC边上的高为……………【】A.9.8B.9.6C.8D.65.在△ABC中，AC＝5，AB＝13，则tan A的值为………【】A. 125 B. 513C. 1213D.不确定6. 在△ABC中，AB＝12，BC＝AD是BC边上的高，AD＝6，则tan C的值为【】或7C.2D.2或37.如图，某人沿一斜坡前进10m，此时他上升了6m，则此斜坡的坡度i＝……………【】A.1︰43B. 1︰0.75C.35D. 0.830°CB第8题图A135°252m25mCB第9题图A第10题图D CBA8.如图，我校准备从地面A点向国旗杆底座上部B点修建阶梯AB，已知AC＝1.5m，每阶的高不超过15cm≈1.732，最后一阶的高不足15cm时按一阶计）……【】A.4阶B.5阶C.6阶D.7阶9.如图，我市和平小学准备在一块如图所示的三角形空地上种植花草以美化校园，若请园林工人种植花草需2元/m2，,学校发动师生自己动手种植花草需1.5元/m2，则学校发动师生自己动手种植花草可节约资金……………………………【】A.468.75元B.312.5元C.156.25元D.625元10.如图，某水渠的横断面为四边形ABCD，AB∥CD，∠DAB＝∠CBA ＝120°，设AD＝x，四边形ABCD的周长为y，在水流速度一定的情况下，水流量与水渠横断面面积成正比，要使水渠的流量最大，则x 与y 应满足的关系是…………………【 】 A.y ＝3x B. y ＝4x C. y ＝5x D. y ＝6x二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.已知在△ABC 中，∠C ＝90°，两直角边分别为a .b ，且a .b 满足方程a 2－4ab ＋3b 2＝0，则sin B ＝___________.12.如图，在□ABCD 中，DE ⊥AC 于点E ，∠BDE ＝30°，DE ＝1，则DB ＝_____________.13.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，D 为AC 上一点，若tan ∠DBA ＝14，则tan ∠DBC ＝ _______________. 14.如图，为了测量我市电视塔MN 的高度，在塔前的平地上选择一点P ，测得看塔顶的仰角为30°，从P 点向塔底N 走100m 到达Q 点，测得看塔顶的仰角为45°，则电视塔MN 的高度为____________m.O第12题图E DCBA第13题图DC B AQ 第14题图MP三.（本大题共两小题，每小题8分，满分16分） 15．计算：﹣2﹣2°－sin 245°＋21cos 60-︒.16.如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E ，∠CDE ＝∠α，DA ＝8，DC ＝15，试求∠α的三个三角函数值.αEDCBA四.（本大题共两小题，每小题8分，满分16分） 17.已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°. （1）求证：tan A ＝sin cos AA； （2）运用上述结论，解决下列问题，已知α为锐角，且tan α＝2，试求sin 2cos 3sin 4cos αααα＋－的值.18.如图，将两块三角板按如图所示放置，其中∠ACB ＝∠ADF ＝90°，∠AFD ＝45°，∠ABC ＝30°，AF ＝BC ＝3，试求四边形ACED 的周长.FE DCB A五.（本大题共两小题，每小题10分，满分20分）19.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，M 是AB 边的中点，AN ⊥CM ，交CM 的延长线于点N ，BC ＝9，cos B ＝35.（1）求AN 的长； （2）求sin ∠CAN 的值.CBAN M20.如图，我市风景区有两个景点A .B ，为了方便游客，风景区管理处决定在相距2千米的A .B 两景点之间修一条笔直的公路（即图中的线段AB ），经测量，在A 点的北偏东60°方向.B 点的西偏北45°方向的C 处有一个半径为0.8千米的小水塘，试问小水塘会不会影响公路的修建？请说明理由.45°60°CBA六.（本题满分12分）21.如图，为了测量我校教学楼前的一座景观石的高度，在教学楼二楼的C点处测得顶部A点的仰角为30°，底部B点的俯角为45°，又在五楼的D点测得顶部A点的俯角为60°，已知CD＝10m，试求景观石AB≈1.7，结果保留整数）.30°45°60°CBAED七.（本题满分12分）22.如图，我市防汛指挥部发现在我市的长江段有一处长300m ，高6m ，背水坡的坡角为45°的防洪大堤急需加固，其横截面为梯形ABCD ，防汛专家制定方案：背水坡面用土石进行加固，使上底加宽1m ，加固后背水坡EF 的坡比i ＝1︰2. （1）求加固后坝底增加的宽度BE 的长； （2）求完成这项工程需要土石多少立方米？CB AF ED八.（本题满分14分）23.如图，池塘中央有一棵大树，在数学活动课上余老师带领同学们去测量这棵大树的高度，现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，测出这棵树的高 度AB ，要求：（1）请你画出测量示意图并写出测量步骤（测量所得数据均用字母表示）；（2）根据（1）中的数据计算这棵树的高度AB.BA参考答案1.D 解析：如下图，过点A作AB⊥x轴于点B，则OB＝x＝x，AB＝y＝y，在Rt△OAB中，由勾股定理得OA＝22x y+，∴sinα＝ABOA＝22x y+＝22y x y+，∴D对.2.C 解析：锐角三角函数值的大小只与角的度数有关，与其他因素无关，∴C对.3.A 解析：∵a ＜c ，∴0＜ac ＜1，∵sin A ＝a c，∴0＜sin A ＜1，∴①正确；∵sin A ＝a c ，sin B ＝b c ，∴sin A ＋sin B ＝a c ＋b c＝a b c +，∵a ＋b ＞c ，∴a bc +＞1，∴sin A ＋sin B ＞1，∴②正确；∵sin A ＝a c ，sin B ＝b c ，∴sin 2A ＋sin 2B ＝22a c ＋22b c ＝222a b c +，∵a 2＋b 2＝c 2，∴222a b c +＝1，∴sin 2A ＋sin 2B ＝1，∴③正确；∵sin A ＝a c ，sin B ＝b c ，tan A ＝a b，∴sin B ·tan A ＝b c×a b＝a c＝sin A ，∴④正确.∴A 对.4.B 解析：如下图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，过点B 作BE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ，∵AC ＝BC ，∴AD ＝BD ，在Rt △CAD 中，sin ∠CAD ＝CDCA＝0.6，∴CD ＝0.6×CA ＝0.6×10＝6，由勾股定理得AD ＝22CA CD -＝22106-＝8，∴AB ＝16，∵S △ABC ＝12×AB ×CD ＝12×AC ×BE ，∴BE ＝AB CD AC ⨯＝16610⨯＝9.6，,∴B 对.5.D 解析：∵△ABC 不一定是直角三角形，∴tan A 的值不能确定，∴D 对.6.B 解析：当AD 在△ABC 内部时，如下图①，在Rt △ABD 中，由勾股定理得BD 22AB AD -22126-＝3CD ＝BC －BD ＝83－63＝23，在Rt △ADC 中，tan C＝ADCD ＝23＝3；当AD 在△ABC 外部时，如下图②，在Rt △ABD 中，由勾股定理得BD ＝22AB AD -＝22126-＝63，∴CD ＝BC ＋BD ＝83＋63＝143，在Rt △ADC 中，tan C ＝ADCD＝143＝37.∴综上，tan C 的值为3或37.∴B 对. 图①D CBA图②DCB A7.A 解析：如下图，斜坡AB ＝10，过点B 作BC ⊥AC 于点C ，此时斜坡高度BC ＝6，在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝22AB BC -＝22106-＝8，∴斜坡坡度i ＝BC AC ＝68＝34＝1︰43∴A 对.8.C 解析：在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝1.5，∵tan A ＝BCAC，∴BC ＝AC ·tan A ＝1.53330.15≈6（阶），∴C 对.9.C 解析：如下图，过点A 作AD ⊥BC ，交BC 的延长线于点D ，∵∠ACB ＝135°，∴∠ACD ＝45°，又AC ＝2，∴在Rt △ACD 中由sin ∠ACD ＝ADAC得AD ＝AC ×sin45°＝252×22＝25，∴S △ABC ＝12×BC ×AD ＝12×25×25＝312.5，∴可节约的资金为312.5×（2－1.5）＝156.25（元），∴C 对.135°252m 25mD CBA10.B 解析：如下图，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，过点B 作BF ⊥CD 于点F ，由题意得Rt △AED ≌△BFC ，四边形ABFE 为矩形，∵∠DAB ＝∠CBA ＝120°，∴∠D ＝∠C ＝60°，∵AD ＝BC ＝x ，∴DE ＝CF ＝12x ，由勾股定理得AE ＝BF ＝221()2x x ＝3x ，设水渠流量为z ，则z ＝12（y －2x ）×3x ＝﹣3x 2＋3xy ＝﹣3（x －14y ）2＋3y 2，当x ＝14y 时，z 最大，∴当y ＝4x 时，水渠的流量最大，∴B 对.11.22或1010解析：解方程a 2－4ab ＋3b 2＝0，得a ＝b 或a ＝3b ，当a ＝b 时，c ＝2b ，∴sin B ＝bc ＝22；当a ＝3b 时，c ＝10b ，∴sin B ＝b c ＝10.∴sin B ＝22或10. 12.433 解析：在Rt △ODE 中，cos ∠ODE ＝DEOD，∵∠BDE ＝30°，DE ＝1，∴OD ＝cos30DE︒＝3＝23，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴DB ＝2DO ＝43. 13. 35解析：如下图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，在Rt △ABC 中，AC＝BC ＝5，由勾股定理得AB ＝52，在等腰Rt △ADE 中，设AD ＝DE ＝x ，则由勾股定理得AD ＝2x ，在Rt △DEB 中，tan ∠DBE ＝DE BE ＝14，∴BE ＝4x ，∴AB ＝BE ＋AE ＝5x ＝52，∴x ＝2，∴AD ＝2，∴CD ＝3，∴在Rt △DBC 中，tan ∠DBC ＝DC BC ＝35.14. （350） 解析：在Rt △MNQ 中，设MN ＝x ，∵∠MQN ＝45°，tan ∠MQN ＝MN QN ，∴QN ＝tan 45x ︒＝x ，在Rt △MNP 中，MN ＝x ，∵∠MPN ＝30°，tan ∠MPN＝MNPN，∴PN ＝tan 30x ︒，∵PN －QN ＝PQ ，－x ＝100，解得x ＝＋50＝MN .15.解：原式＝﹣14＋3－（2）2＋211()2-＝﹣14＋2－12＋34＝2.16.解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠CDA ＝90°，在Rt △ADC 中，DA＝8，DC ＝15，∴由勾股定理得AC17，∵DE ⊥AC ，∴∠α＝∠CDA ，∴sin ∠α＝sin ∠CDA ＝DCAC＝1517，cos ∠α＝cos ∠CDA ＝DA AC ＝817，tan ∠α＝tan ∠CDA ＝DC DA ＝158. 17.解：（1）∵sin A ＝a c ，cos A ＝b c ，∴sin cos A A ＝ac b c＝a c ×c b ＝ab ，∵tan A ＝ab ，∴tan A ＝sin cos AA； （2）由（1）得tan α＝sin cos αα，又tan α＝2，∴sin cos αα＝2，∴sin α＝2 cos α，代入得sin 2cos 3sin 4cos αααα＋－＝2cos 2cos 6cos 4cos αααα＋－＝2.18.解：在Rt △ABC 中，∠B ＝30°，BC ＝3，tan ∠B ＝ACBC，∴AC ＝BC ×tan30°＝3＝，∴FC ＝AF －AC ＝3，在等腰Rt △ADF 中，∠F ＝45°，AF ＝3，sin ∠F ＝ADAF，∴AD ＝AF ×sin45°＝3×2＝2＝DF ，又在等腰Rt △FCE 中，∠F ＝45°，FC＝EC＝3－3，cos∠F＝FCFE ，∴FE＝cos45FC︒＝3322-＝32－6，∴DE＝DF－EF＝322－32＋6＝6－322，∴AC＋EC＋DE＋AD＝3＋3－3＋6－322＋322＝3＋6，即四边形ACED的周长为3＋6.（2）在Rt△AMN中，由勾股定理得MN22AM AN-227.57.2-2.1，∴CN＝CM＋MN＝7.5＋2.1＝9.6，∴在Rt△ACN中，sin∠CAN＝ANAC＝9.612＝45.20.解：小水塘会影响公路的修建，理由如下：如下图，过点C作CD⊥AB于点D，设CD＝x，在Rt△CDB中，∠CDB＝90°，∠CBD＝45°，tan∠CBD＝CDBD，∴BD＝tan45CD︒＝x，在Rt△CDA中，∠CDA＝90°，∠CAD＝30°，tan∠CAD＝CDAD，∴AD＝tan30CD︒3，又AB＝AD＋BD＝23x＋x＝2，解得x31，∵3－1≈0.732＜0.8，小水塘会影响公路的修建.45°60°东北CBA D21.解：如下图，过点C作CF⊥AB于点F，∵∠ADC＝90°－60°＝30°，∠ACD＝90°－30°＝60°，∴∠CAD＝90°，∵CD＝10，∴AC＝12CD＝5，在Rt△ACF中，AF＝AC sin30°＝5×12＝52，CF＝AC cos30°＝5×32＝532，在Rt△BCF 中，∵∠BCF＝45°，BF＝AC tan30°＝5×3＝53，∴AB＝AF＋BF＝52＋53≈9（m）.答：景观石AB的高度约为9m.22.解：（1）如下图，过点A作AQ⊥BC于点Q，过点F作FP⊥BC于点P，则AF＝PQ＝1，AQ＝FP＝6，在Rt△ABQ中，∠ABQ＝45°，tan∠ABQ＝AQBQ，∴BQ＝tan45AQ＝6，∴BP＝BQ－PQ＝6－1＝5，在Rt△EFP中，i＝1︰2＝FPEP，∴EP＝2FP＝12，∴EB ＝EP －BP ＝12－5＝7；（2）S 梯形AFEB ＝12（FA ＋EB ）×FP ＝12（1＋7）×6＝24，24×300＝7200（m 3）∴完成这项工程需要土石7200立方米.Q P CB AF ED23.解：（1）测量示意图如下图；测量步骤：①用皮尺测出测角仪的高度h ；②在地面上选择点C 安装测角仪并测出此时树顶A 点的仰角∠ADE ＝α；③沿CB 前进到点F ，用皮尺测出点C .F 之间的距离CF ＝l ；④在点F 处安装测角仪，测得此时树顶A 点的仰角∠AGE ＝β.（2）观察测量示意图，设AE ＝x ，在Rt △ADE 中，tan ∠ADE ＝AEDE，∴DE ＝－tan x α，在Rt △AGE 中，tan ∠AGE ＝AEGE，∴GE ＝tan x β，∵DE －GE ＝DG ＝CF ＝l ，∴tan x αtan x β＝l ，解得x ＝tan tan tan tan l αββα•-，∴AB ＝AE ＋EB ＝AE ＋CD ＝tan tan tan tan l αββα•-＋h .。
沪科版九年级数学上册单元综合测试：第23章解直角三角形.docx
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17..我们知道：sin30°= ，tan30°= ，sin45°= ，tan45°=1，sin60°= ，tan60°= ，由此我们可以看到tan30°＞sin30°，tan45°＞sin45°，tan60°＞sin60°，那么对于任意锐角α，是否可以得到tanα＞sinα呢？请结合锐角三角函数的定义加以说明．
第23章《解直角三角形》单元综合测试卷
考试内容：第23章（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
下列各题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确的答案的字母代号填在下面的表格中.
题序
1
2
3
4
5
（1）点B的坐标；
（2）cos∠BAO的值．
解:作BH⊥OA， 垂足为H，
在Rt△OHB中，∵BO=5，sin∠BOA= ，
∴BH=3，∴OH=4，∴点B的坐标为（4，3）;
（2）∵OA=10，OH=4，∴AH=6．
在Rt△AHB中，∵BH=3，∴AB=3 ，
∴cos∠BAO= = ．
六、（本题满分12分）
（参考数据：sin32°≈0.5，cos32°≈0.8，tan32°≈0.6）
解：（1）如图，在Rt△BCE中，
∵sinα= ，∴BC= =1.6，
∵四边形ABCD是矩形∴∠BCD=90°，
∴∠BCE+∠FCD=90°，
又∵在Rt△BCE中，
∴∠EBC+∠BCE=90°，∴∠FCD=32°．
在Rt△FCD中，∵cos∠FCD= ，
(考试真题)第23章 解直角三角形数学九年级上册-单元测试卷-沪科版(含答案)
（考试真题）第23章解直角三角形数学九年级上册-单元测试卷-沪科版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、在△ABC中，已知AC=5，且+ ﹣=0，则BC+AB=（）A.6B.7C.8D.92、在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosB=，则sinB的值得是（）A. B. C. D.3、计算：的值为（）A. B. C. D.4、已知sinα= ，求α，若用计算器计算且结果为“30”，最后按键（）A. AC10 NB. SHIETC. MODED. SHIFT5、在△ABC中，若三边BC、CA、AB满足 BC∶CA∶AB=5∶12∶13，则cosB=（）A. B. C. D.6、若α是锐角，sinα=cos50°，则α的值为( )A.20°B.30°C.40°D.50°7、3tan60°的值为（）A. B. C. D.38、已知90°＜∠A＜180°，90°＜∠B＜180°，甲、乙、丙、丁四个同学计算的结果依次为28°、48°、60°、88°，其中只有一个同学计算结果是正确的，那么计算正确的同学是（）A.甲B.乙C.丙D.丁9、如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）A.20海里B.40海里C. 海里D. 海里10、在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，则sinA等于（）A. B. C. D.111、如图，正六边形的边长是1cm，则线段AB和CD之间的距离为（）A.2 cmB. cmC. cmD.1cm12、已知AB和CD分别是半圆O的直径和弦，AD和BC的夹角为ａ，则S△CDE: S△ABE等于（）A.Sin 2ａB.cos 2ａC.tan 2ａD.sinａ13、的值等于（）A. B. C. D.14、tan30°的值为（）A. B. C. D.15、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为3cm，则圆心O 到弦CD的距离为（）A. cmB.3cmC.2 cmD.9cm二、填空题(共10题，共计30分)16、在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=， AC=2，那么BC=________．17、如图，在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，DE是斜边AC的垂直平分线，分别交AB，AC于点D，E，若BC=2 ，则DE=________.18、如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度（或坡比）i ＝1：2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯视角为20°，则建筑物AB的高度约为（精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0364）________．19、如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是________．20、如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA、OC、BC 相切于点E、D、B，与AB交于点F．已知A（2，0），B（1，2），则tan∠FDE=________．21、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，AB= ，则AC=________．22、在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（ 2，0 ），（4，0），点C的坐标为（m，m）（m为非负数），则CA+CB的最小值是________23、已知中，，，，则的长等于________24、已知为一锐角，化简：________ ．25、如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC=2，则DE+DF=________.三、解答题(共5题，共计25分)26、sin45°﹣cos45°+tan60°﹣30．27、如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B．游轮以20 海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：≈1.41，≈1.73）28、计算：|2- |+（-2016）0+2cos30°+（）-1.29、如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（结果保留整数，参考值：≈1.732）30、如图，在河对岸有一棵大树A，在河岸B点测得A在北偏东60°方向上，向东前进120m到达C点，测得A在北偏东30°方向上，求河的宽度（精确到0.1m）.参考数据：≈1.414，≈1.732.参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、A3、C4、D5、C6、C7、D8、B9、D11、B12、B13、A14、B15、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、28、。
沪科版九年级数学上册试题 第23章《解直角三角形》章节测试卷(含解析)
第23章《解直角三角形》章节测试卷一．选择题（共9小题，满分27分，每小题3分）1．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA =32，cosB =12，则△ABC 是（ ）.A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形2．直角三角形纸片ABC ，两直角边BC =4，AC =8，现将△ABC 纸片按如图那样折叠，使A 与电B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是（ ）A ．12B ．34C ．1D ．433．如图，△ABC 的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则sin ∠BAC 的值为（ ）A ．5B ．55C ．12D ．2534．如图，在△ABC 中，∠C =90°，点D 、E 分别在BC 、AC 上，AD 、BE 交于F ，若BD=CD =CE ，AF =DF ，则tan ∠ABC 的值为( )A ．12B ．23C ．34D ．455．一块直角三角板ABC 按如图放置，顶点A 的坐标为(0,1)，直角顶点C 的坐标为(−3,0)，∠B =30°，则点B 的坐标为（ ）A. (−3−33,33)B ．(−3+3,3)C ．(−3+33,33)D ．(−3−3,33)6．在Rt △ABC 中，∠A =90°，有一个锐角为60°，BC =6，若点P 在直线AC 上（不与点A 、C 重合），且∠ABP =30°，则CP 的长为（ ）A ．6或23B ．6或43C ．23或43D ．6或23或437．如图，延长等腰Rt ΔABC 斜边AB 到D ，使BD =2AB ，连接CD ，则tan ∠BCD 的值为（ ）A ．23B ．1C ．13D ．128．如图，在△ABC 中，∠ACB =90∘，分别以AB ，AC ，BC 为边向外作正方形，连结CD ，若sin∠BCD=35，则tan ∠CDB 的值为（ ）A ．23B ．34C ．710D ．9139．如图1是由四个全等的直角三角形组成的“风车”图案，其中∠AOB =90°，延长直角三角形的斜边恰好交于另一直角三角形的斜边中点，得到如图2，若IJ =2，则该“风车”的面积为（ ）A ．2+1B ．22C ．4−2D ．42二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）10．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，点D ，E 分别在AC ，BC 边上，且AD =3，BE =4，连接AE ，BD ，交于点F ，BD=10，cos ∠AFD=32，则AE 的长为 ．11．如图，在菱形ABCD 中，tan ∠ABC =43，AE ⊥BC 于点E ，AE 的延长线与DC 的延长线交于点F ，则S △ECF :S 四边形ADCE = ．（S 表示面积）12．如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4，E是对角线BD上一动点（点E不与点B，D重合），当△ABE是等腰三角形时，DE=．13．如图，已知点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD，DC延长线的垂线，垂足分别为点E，F．若∠ABC=120°，AB=6，则PE−PF的值为．14．如图，在正方形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，P是线段MN上的一点，BP的延长线交4D 于点E，连接PD，PC，将△DEP绕点P顺时针旋转90°得△GFP，则下列结论：①CP=GP，②tan∠CGF=1；③BC垂直平分FG；④若AB=4，点E在AD边上运动，则D，F两点之间距离的2．其中结论正确的序号有．最小值是3215．如图，△A B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…是等边三角形，直线y=33x+2经过它们的顶点A，A1，A2，A3，…，点B1，B2，B3，…在x轴上，则线段B2022B2023的长度是．16．如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH=CF，AE=CG，∠EHF=60°，∠GHF=45°，若AH=2，AD=5+3，则四边形EFGH的周长为．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）计算：(1)2sin60°−tan45°2−tan30°⋅tan60°−2cos30°+6sin245°． (2)(π−1)0+4sin45°−8+|−3|．18．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD=6，BC=12，tan∠ACD=32．求：(1)CD的长；(2)sin∠ABC的值．19．（8分）（2023春·河南南阳·九年级统考期中）如图，已知点A（7，8）、C（0，6），AB⊥x轴，垂足为点B，点D在线段OB上，DE∥AC，交AB于点E，EF∥CD，交AC于点F．（1）求经过A、C两点的直线的表达式；（2）设OD＝t，BE＝s，求s与t的函数关系式；（3）是否存在点D，使四边形CDEF为矩形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．20．（8分）（1）在如图1的正方形网格图中，每个小正方形的边长为1，A，B，C，D均为格点（小正方形的顶点)．求证：∠ABC=∠D．（2）在如图2所示的正方形网格图中，每个小正方形的边长为1，A，B，C均为格点，请你仅用无刻度的直尺在线段AC上求作一点P，使得∠PBA=∠C，并简要说明理由．21．（9分）如图，小明为测量宣传牌AB的高度，他站在距离建筑楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°．同时测得建筑楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上．）然后，小明沿坡度为i=1:2.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行，小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°．(1)填空：∠DAF=__________度，∠BDC=__________度；(2)求F距离地面CE的高度（结果保留根号）；(3)求宣传牌AB的高度（结果保留根号）．22．（9分）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad），如图①，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=底边腰=BCAB．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad90°=________．(2)对于0°<A<180°，∠A的正对值sadA的取值范围是________．(3)如图②，已知sinA=35，其中∠A为锐角，试求sadA的值．23．（9分）已知：△ABC 中，AB =AC ，D 为直线BC 上一点．(1)如图1，BH ⊥AD 于点H ，若AD =BD ，求证：BC =2AH ．(2)如图2，∠BAC =120°，点D 在CB 延长线上，点E 在BC 上且∠DAE=120°，若AB =6，DB=23，求CE 的值．(3)如图3，D 在CB 延长线上，E 为AB 上一点，且满足：∠BAD=∠BCE ，AE BE=23，若tan ∠ABC =34，BD =5，求BC 的长．答案解析一.选择题1．B【分析】根据特殊角的三角函数值求出∠A=60°，∠B=60°，然后利用三角形内角和定理求出∠C的度数，即可解答．【详解】解：∵sinA=32，cosB=12，∴∠A=60°，∠B=60°，∴∠C=180°−∠A−∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，故选：B．2．B【分析】根据折叠的性质得出BE=AE，设CE=x，则BE=AE=8−x，在Rt△BCE中，根据勾股定理得出B C2+C E2=B E2，列出方程求出x的值，最后根据正切的定义，即可解答．【详解】解：∵△ADE沿DE折叠得到△BDE，∴BE=AE，设CE=x，则BE=AE=8−x，在Rt△BCE中，根据勾股定理可得：B C2+C E2=B E2，即42+x2=(8−x)2，解得：x=3，∴tan∠CBE=CEBC =34，故选：B．3．B【分析】过B作BD⊥AC于点D，根据勾股定理得出AB,AC的值，再利用面积公式求出BD的值，由sin∠BAC=BDBA可得角的正弦值．【详解】解：如图，过B作BD⊥AC于点D根据勾股定理得：AB =32+42=5，AC =32+62=35∴S ΔABC =12AC ⋅BD =4×6−12×3×1−12×3×4−12×6×3=152, ∴BD =5∴sin ∠CAB=BD AB =55故选：B ．4．C 【分析】如图，过A 作AG ∥BC ，交BE 的延长线于G ，证明△AGF ≌△DBF (AAS )，则AG =BD =12BC ，证明△AEG ∽△CEB ，则AE CE =AG BC =12，解得AE =12CE ，AC =32CE ，根据tan ∠ABC =ACBC，计算求解即可．【详解】解：如图，过A 作AG ∥BC ，交BE 的延长线于G ，∴∠G =∠DBF ，在△AGF 和△DBF 中，∵{∠G =∠DBF∠AFG =∠DFB AF =DF，∴△AGF ≌△DBF (AAS )，∴AG =BD =12BC ，∵∠G =∠CBE ，∠AEG =∠CEB ，∴△AEG ∽△CEB ，∴AE CE =AG BC=12，解得AE =12CE ，∴AC =32CE ，∴tan ∠ABC=AC BC =32CE 2CE =34，故选：C ．5．D【分析】过点B 作BE ⊥OC 于点E ，根据ΔABC 为直角三角形可证明ΔBCE ∽ΔCAO ，求出AC =10，求出BC ，再由比例线段可求出BE ，CE 长，则答案可求出．【详解】解：过点B 作BE ⊥OC 于点E ，∵△ABC 为直角三角形，∴∠BCE +∠ACO =90°，∴ΔBCE ∽ΔCAO ，∴ BE OC =BC AC =EC OA ，在Rt △ACO 中，AC =A O 2+C O 2=12+32=10，在Rt △ABC 中，∠CBA=30°，∴ tan ∠CBA=CA BC ，∴ BC =CA tan ∠CBA =10tan30°=30，∴ BE3=3010=EC1，解得BE =33，EC =3，∴ EO =EC +CO =3+3，∴点B 的坐标为(−3−3，33)．故选：D ．6．D【分析】根据点P在直线AC上的不同位置，∠ABP=30°，利用特殊角的三角函数进行求解．【详解】如图1：当∠C=60°时，∠ABC=30°，与∠ABP=30°矛盾；如图2：当∠C=60°时，∠ABC=30°，∵∠ABP=30°，∴∠CBP=60°，∴△PBC是等边三角形，∴CP=BC=6；如图3：当∠ABC=60°时，∠C=30°，∵∠ABP=30°，∴∠PBC=60°−30°=30°，∴PC=PB，∵BC=6，∴AB=3，∴PC=PB=3cos30°=332=23如图4：当∠ABC=60°时，∠C=30°，∵∠ABP=30°，∴∠PBC=60°+30°=90°，∴PC=BCcos30°=632=43故选：D7．A【分析】过点D作DE垂直于CB的延长线于点E，设AC=BC=a，根据勾股定理得AB=2a，由等腰直角三角形的性质得∠ABC=∠BAC=45°，从而得BD=2AB=22a，在Rt△BDE中，解直角三角形得DE=2a，BE=2a，进而求得CE=BC+BE=3a即可求得tan∠BCD．【详解】解：过点D作DE垂直于CB的延长线于点E，如下图，设AC=BC=a，∵AC⊥BC，AC=BC=a，∴AB=A C2+B C2=2a，∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC=∠BAC，∴∠ABC=∠BAC=45°，BD=2AB=22a，∴∠DBE=∠ABC=45°，∵DE⊥CE，∴DE=BD·sin∠DBE=22a·sin45°=2a，BE=BD·cos∠DBE=22a·cos45°=2a，∴CE=BC+BE=3a，∴tan∠BCD=DECE =2a3a=23，故选：A．8．D【分析】过点B作BE⊥CD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，可得△ABC，△BED，△BEC，△BCF都是直角三角形，根据sin∠BCE＝BEBC =35，设BE＝3a，BC＝5 a，得CE＝B C2−B E2＝4 a，过点C作DB延长线于点G，得矩形CFBG，设AC＝x，AB＝y，然后利用勾股定理和三角形的面积可得y2−9＝133，进而利用锐角三角函数即可解决问题．【详解】解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，∴△ABC，△BED，△BEC，△BCF都是直角三角形，∵sin∠BCD＝35，∴sin∠BCE＝BEBC =35，设BE＝3a，BC＝5a，∴CE＝B C2−B E2＝4a，过点C作DB延长线于点G，得矩形CFBG，∴BF＝CG，设AC＝x，AB＝y，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB2﹣AC2＝BC2，∴y2﹣x2＝25a2，∵S△ABC＝12×AB•CF＝12×AC•BC，∴y•CF＝5ax，∴CF＝5axy，在Rt△BCF中，根据勾股定理，得BF＝B C2−C F2＝25a2−(5axy )2＝25ya，∴BF＝CG＝25ya，在正方形ABDH中，AB＝BD＝y，在Rt△BDE中，根据勾股定理，得DE＝B D2−B E2＝y2−9a2，∴CD＝CE+ED＝4a +y2−9a2，∵S△CBD＝12×CD•BE＝12×BD•CG，∴CD•BE＝BD•CG，∴(4a +y2−9a2)×3＝y×25ya，∴y2−9a2＝133a，∴tan∠CDB＝tan∠EDB＝BEDE ＝3ay2−9a2＝913．故选：D．9．B【分析】连接AC,由题意可得Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH，进而说明△OAC为等腰直角三角形，再说明分CD、GI垂直平分AB，进而说明∠OBH=∠OHB=45°，然后再运用解直角三角形求得AI，然后再求得三角形AOB的面积，最后求风车面积即可．【详解】解：如图：连接AC由题意可得：Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH∴OA=OC, ∠OAB= ∠OCD∵∠AOC=∠AOB=90°∴△OAC为等腰直角三角形又∵∠OAB= ∠OCD：∴∠AJD=180°-∠ADJ-∠OAB=180°-∠ODC-∠OCD=90°，即AJ⊥CD又∵CJ=DJ∴AJ垂直平分CD同理：GI垂直平分AB∴AC=AD,AJ是等腰三角形顶角∠CAD的角平分线即∠DAJ=12∠CAD=12×45°=22.5°易得IH=BJ,IJ=IB+BJ=IB+IH 又∵IB=IA∴IJ=IB+BJ=IH+IA= 2在Rt△ABO中，∠ABH=∠BAH=22.5°∴∠OBH=OHB=45°设OB=OH=a，即AH=BH=2OB=2a∴tan∠A=BOAO =aa+2a=2−1∴IHIA=tan∠A=2−1设IH=（2−1）x，AI=x ∴IH+IA=2x=2，即x=1∴S△ABH =12×AB×IH=2−1又∵SΔBOHSΔABH =OHAH=12∴S△BOH =1−22∴S△AOB =S△ABH+S△BOH=2−1+1−22=22∴S风车=4S△AOB=4×22=22．故选B．二．填空题10．53【分析】过点A作AG∥BE，BG∥AE交于点G，连接DG，勾股定理求得DG，过点D作DH⊥BG，证明G,H重合，进而勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，过点A作AG∥BE，BG∥AE交于点G，连接DG，则四边形AGBE是平行四边形，∴AG=BE=4，∵∠C=90°，则BC⊥AC∴AG⊥AC∴△ADG是直角三角形，∴DG=5∵cos∠AFD=32∴∠AFD=30°∵AE∥BG∴∠DBG=30°∵DG=5,DB=10过点D作DH⊥BG，∵sin∠DBG=12∴DH=12DB=5,∴G,H重合，∴AE=BG=BH=53故答案为：53．11．4:21【分析】设AE=4k，则BE=3k，根据勾股定理求出AB=5k，然后证明△CEF∽△DAF，最后根据相似三角形的性质求解即可．【详解】解∶∵tan∠ABC=43，AE⊥BC，∴tan∠ABC=43=AEBE，设AE=4k，则BE=3k，∴AB =A E 2+B E 2=5k ，∵四边形ABCD 是菱形，∴CB ∥AD ，AD =BC =AB =5k ，∴CE =BC −BE =2k ，∵CB ∥AD ，∴△CEF ∽△DAF ，∴S △CEF S△DAF =(CE DA )2=(2k 5k )2=425，∴S △CEFS 四边形ADCE =S △CEF S △DAF −S △CEF =425−4=421．故答案为：4:21．12．2或52或75【分析】分AB =AE,BE =BA,EA =EB 三种情况，分别画出图形，即可求解．【详解】解：在矩形ABCD 中，AB =3,AD =4，∴∠BAD=90°，∴BD =A B 2+A D 2=32+42=5，当AB =AE 时，过点A 作AF ⊥AD 于点F ，则AF ⊥BD ，∴cos ∠ABD=AB BD =BF AB ，∴BF =AB 2BD =95∴DE =BD −BE =BD −2BF =5−185=75，当BA =BE 时，DE =BD −BE =5−3=2，当EA =EB 时，过点E 作EG ⊥AB 于点G ，∴EG ∥AD ，AG =GB ，∴BE ED=BG AG =1，∴DE =12BD=52，综上所述DE = 2或52或75，故答案为：2或52或75．13．33【分析】如图，延长BC 交EP 于M ，由菱形的性质可知，CP 为∠BCD ，∠FCM 的平分线，则PF =PM ，PE −PF =PE −PM =EM ，由题意知，EM 为△ABD 底边AD 上的高，由菱形ABCD ，∠ABC=120°，AB =6，可得∠BAD=60°，根据EM=AB ⋅sin ∠BAD ，计算求解，进而可得结果．【详解】解：如图，延长BC 交EP 于M ，由菱形的性质可知，CP为∠BCD，∠FCM的平分线，∵PF⊥CF，PM⊥CM，∴PF=PM，∴PE−PF=PE−PM=EM，由题意知，EM为△ABD底边AD上的高，∵菱形ABCD，∠ABC=120°，AB=6，∴∠BAD=60°，∴EM=AB⋅sin∠BAD=33，∴PE−PF=33，故答案为：33．14．①②③【分析】延长GF交AD于点H，连接FC，FB，FA，由已知可得MN为AB，CD的垂直平分线，由垂直平分线的性质和图形旋转的性质可得①的结论正确；利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质计算可得∠BCG=45°，由四边形内角和定理通过计算可得∠EHF=90°；利用平行线的性质可得BC⊥FG，则∠CGF=45°，可说明②的结论正确；通过证明点A，B，E，F在以点P为圆心，PA为半径的同一个圆上，利用圆周角定理可得∠FAB=45°，得到A，F，C三点共线，得到△CGF为等腰直角三角形，则③的结论正确；由题意点F在对角线AC上运动，当EF⊥AC时，EF的值最小，连接AC，解直角三角形的知识可得④的结论不正确．【详解】解：延长GF交AD于点H，连接FC，FB，FA，如图，∵正方形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，∴MN是线段BA，CD的垂直平分线．∴PD=PC，PA=PB．∵△FPG是△PED绕点P顺时针旋转90°得到，∴△FPG≌△PED，∴PD=PG．∴PC=PG．∴①的结论正确；∵PD=PC，∴∠PDC=∠PCD=1(180°−∠DPC)．2∵PC=PG，∴∠PCG=∠PGC=1(180°−∠CPG)．2∴∠PCD+∠PCG=1[360°−(∠DPC+∠CPG)]．2∵∠DPC+∠CPG=90°，∴∠PCD+∠PCG=135°．∵∠BCD=90°，∴∠BCG=45°．∵△FPG≌△PED，∴∠DEP=∠GFP．∵∠HFP+∠PFG=180°，∴∠DEP+∠HFP=180°．∵∠DEP+∠HFP+∠EHF+∠EPF=360°，∴∠EHF+∠EPF=180°．∴∠EPF=90°，∴∠EHF=90°．即GH⊥AD．∵AD//BC，∴GF⊥BC．∴∠CGF=45°．∴tan∠CGF=1．∴②的结论正确；∵PA=PB，PM⊥AB，∴∠APM=∠BPM，∵PM//AE，∴∠PEA=∠BPM，∠PAE=APM．∴∠PEA=∠PAE．∴PA=PE．∵PE=PF，∴PA=PB=PE=PF．∴点A，B，E，F在以点P为圆心，PA为半径的同一个圆上．∴∠FAB=12∠FPB=12×90°=45°．∴点F在对角线AC上，∴∠FCB=45°．∵∠BCG=∠CGF=45°，∴△FCG为等腰直角三角形．∵BC平分∠FCG，∴BC垂直平分FG．∴③的结论正确；由以上可知：点F在正方形的对角线AC上运动，∴当EF⊥AC时，EF的值最小．此时点E与点D重合，∴DF=AD⋅sin45°=4×22=22．∴④的结论不正确．综上，结论正确的序号有：①②③，故答案为：①②③．15．220233【分析】设直线y=33x+2与x轴交于点C，求出点A、C的坐标，可得OA=2,OC=23，推出∠C B1A1=90°，∠C B1A=30°，然后求出C B1=2O B1=43=22×3，C B2=2C B1=83=23×3，C B3=2C B2=163=24×3，…，进而可得C B2022=22023×3，C B2023=22024×3，再求出B2022B2023即可．【详解】解：如图所示，设直线y =33x +2与x 轴交于点C ，当x =0时，y =2；当y =0时，x =−23，∴ A (0,2)，C (−23,0)，∴ OA=2，OC =23，∴ tan ∠ACO =OA OC=223=33，∴ ∠ACO=30°，∵ △A B 1A 1是等边三角形，∴ ∠A A 1B 1=∠A B 1A 1=60°，∴ ∠C B 1A 1=90°，∠C B 1A =30°，∴ AC =A B 1，∵ AO⊥C B 1，∴ O B 1=OC =23，∴ C B 1=2O B 1=43=22×3，同理，C B 2=2C B 1=83=23×3，C B 3=2C B 2=163=24×3，……，∴ C B 2022=22023×3，C B 2023=22024×3，∴ B 2022B 2023=22024×3−22023×3=220233，故答案为：220233．16．8+46【分析】先构造15° 的直角三角形，求得15° 的余弦和正切值；作EK ⊥FH ，可求得EH:EF =2:6；作∠ARH=∠BFT =15°，分别交直线AB 于R 和T ，构造“一线三等角”，先求得FT 的长，进而根据相似三角形求得ER ，进而求得AE ，于是得出∠AEH =30°，进一步求得结果．【详解】解：如图1，Rt △PMN 中，∠P =15°，NQ =PQ ，∠MQN =30°，设MN=1，则PQ =NQ =2，MQ=3，PN =6+2，∴cos15°=6+24，tan15°=2−3，如图2，作EK ⊥FH 于K ，作∠AHR =∠BFT =15°，分别交直线AB 于R 和T ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠C ，在△AEH 与△CGF 中，{AE =CG ∠A =∠C AH =CF，∴△AEH ≌△CGF(SAS)，∴EH =GF ，同理证得△EBF ≌△GDH ，则EF =GH ，∴四边形EFGH 是平行四边形，设HK=a ，则EH=2a ，EK =3a ，∴EF =2EK =6a ，∵∠EAH =∠EBF =90°，∴∠R=∠T =75°，∴∠R=∠T=∠HEF=75°，可得：FT=BFcos15°=3+36+24=26，AR=AH⋅tan15°=4−23，△FTE∽△ERH，∴FTER =EFEH，∴26ER =62，∴ER=4，∴AE=ER−AR=23，∴tan∠AEH=223=33，∴∠AEH=30°，∴HG=2AH=4，∵∠BEF=180°−∠AEH−∠HEF=75°，∴∠BEF=∠T，∴EF=FT=26，∴EH+EF=4+26=2(2+6)，∴2(EH+EF)=4(2+6)，∴四边形EFGH的周长为：8+46，故答案为：8+46．三．解答题17．（1）原式=2×32−12−33×3−2×32+6×(22)2=3−12−1−3+6×12=3−1−3+3=2．（2）原式=1+4×22−22+3 =1+22−22+3=4．18．（1）解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ADC中，tan∠ACD=ADCD =32，AD=6，∴CD=4；（2）解：由（2）得CD=4，∴BD=BC−CD=8，∴AB=A D2+B D2=10，在Rt△ABD中，sin∠ABD=ADAB =35，即sin∠ABC=35．19．解：（1）设直线AC的表达式为y＝kx+b 将点A、C的坐标代入，得得：{7k+b=8b=6，解得：{k=27b=6，故直线AC的表达式为：y＝27x+6；（2）∵OD＝t，BE＝s，AB⊥x轴∴则点D（t，0），点E（7，s）∵DE∥AC可设直线DE的解析式为y＝27x+c将点D的坐标代入0＝27t+c解得：c=﹣27t∴直线的表达式为：y＝27x﹣27t，将点E的坐标代入，得s＝2﹣27t（根据点D在线段OB上，可得0＜t＜7）；（3）存在，理由：设点D（t，0），由（2）BE＝2﹣27t，四边形CDEF为矩形，则∠CDE＝90°，∵∠EDB +∠CDO ＝90°，∠CDO +∠OCD ＝90°，∴∠OCD ＝∠BDE ，∴tan ∠OCD ＝tan ∠BDE ，∴ODOC ＝BE BD即t 6＝2−27t 7−t，解得：t ＝127或7（因为0＜t ＜7，故舍去7），故点D 的坐标为（127，0）．20．（1）如图所示，取格点E ，F ，连接BF,AF ，AE,CE ，∵BF =12+12=2，DF =32+32=32，∴tan ∠D =BF DF=232=13，∵CE =1，BE =3，∴tan ∠ABC=CE BE=13，∴tan ∠D =tan ∠ABC ，∴∠ABC=∠D ；（2）解：如图，取格点D ，E ，同理（1）可得，在Rt△AEC中，tan∠ACE=1，2，在Rt△ABD中，tan∠ABD=12∴tan∠ACE=tan∠ABD，∴∠ACE=∠ABD，直线BD与AC的交点为所求的点P．21．（1）解：由题意，得AD⊥DF，∴∠ADF=90°∴∠DAF=90°−∠AFD=90°−45°=45°，由题意，得FD∥CE，∴∠CDF=∠ECD=30°∴∠BDC=∠ADF+∠CDF=90°+30°=120°．（2）解：如图，过点F作FG⊥EC于G，由题意得，FG∥DE,DF∥GE,∠FGE=90°，∴四边形DEGF是矩形．∴FG=DE．在Rt △CDE 中，DE =CE ⋅tan ∠DCE=6×tan30°=23（米），∴FG =23（米）．答：F 距离地面CE 的高度为23米；（3）解：∵斜坡CF 的坡度为i =1:2.5，∴Rt △CFG 中，CG = 2.5FG =23× 2.5=53（米），∴FD =EG =(53+6)（米）．∴在Rt △AFD 中，∠AFD=45°，∴AD =FD =(53+6)米．在Rt △BCE 中，BE =CE ⋅tan ∠BCE =6×tan60°=63（米），∴AB =AD +DE −BE =53+6+23−63=(6+3)（米）．答：宣传牌AB 的高度约为(6+3)米．22．（1）解：如图，∠BAC=90°,AB =AC ,sad90°=BC AB ,∵cos45°=AB BC=22,∴sad90°=BCAB = 2.（2）解：如图，点A 在BC 的中垂线上，当点A 向BC 靠近时，∠A 增大，逐渐接近180°，腰长AB 接近12BC ，AB >12BC 相应的sadA =BC AB <2；当点A 远离BC 时，∠A 减小，逐渐接近0°，腰长AB 逐渐增大，相应的sadA =BCAB 逐渐接近0，sad A =BCAB >0；∴0<sadA <2（3）解：如图，在AB 上截取AH=AC ，过H 作HD ⊥AC 于D ，sinA =35=DH AH ，设HD =3x,AH =AC =5x ，则，AD =A H 2−H D 2=4x ,∴DC =AC −AD =5x −4x =x ．Rt △HDC 中，HC =C D 2+H D 2=10x ，∴sadA =CH AH =10x 5x =105．23．（1）解：证明：如图1，过点A 作AN ⊥BC 于N ，∵AB =AC ，∴BN =12BC ，∵AD =BD ，∴∠ABD =∠BAD ，在△ABN 和△BAH 中，{∠ANB=∠BHA=90°∠ABD=∠DABAB=BA，∴△ABN≌△BAH(AAS)，∴BN=AH，∴12BC=AH，∴BC=2AH；（2）如图2，在AC上取一点F，使EF=EC，连接EF，∵∠BAC=∠DAE=120°，∴∠DAB=∠EAC，∵AB=AC，∴∠ABE=∠C=∠CFE=30°，∴∠ABD=∠AFE=150°，∴△ABD∽△AFE，∴ABAF =BDEF，即6AF=23EF，∴AFEF=3，设EF=a，则AF=3a，∵EF=CE=a，∠C=30°，∴CF=2EF·cos30°=3a，∴6−3a=3a，∴a=3，∴CE=EF=3；（3）如图3，过点A作AP⊥BC于P，作AG∥CE交BC的延长线于G，设AE=2m，BE=3m，则AB=AC=5m，∵tan∠ABC=34=AP BP ，∴ BP AB =45，∴BP =CP =4m ，BC =8m ，∵∠BAD =∠BCE =∠G ，∠ABD =∠GCA ，∴△ABD ∽△GCA ，∴ CG AB =AC BD ，即CG 5m =5m 5，∴CG =5m 2，∵AG ∥CE ，∴ BE AE =BC CG ，∴ 3m 2m =8m5m 2，∴m =1615，∴BC =8m =12815．。
【沪科版】九年级数学上 第23章 《解直角三角形》单元检测卷(3套 含答案)
第23章 解直角三角形一.选择题(每小题4分，共40分)1．在△ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝22，则sin B 等于( ) A. 12 B. 22 C. 32D ．1 2．如图23－Z －1，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A ＝35°，则直角边AC 的长是( )A ．m ·sin35°B ．m ·cos35° C. m sin35° D.mcos35°图23－Z －13．△ABC 在网格中的位置如图23－Z －2所示(每个小正方形的边长为1)，AD ⊥BC 于点D ，下列选项中，错误．．的是( ) A ．sin α＝cos α B ．tan ∠ACD ＝2C ．sin β＝cos βD ．tan α＝1图23－Z －24．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝4，c ＝5，则tan A 的值是( ) A. 34 B. 43 C. 35 D. 455．下列式子中不成立的是( ) A. 2cos45°＝2sin30°B ．sin30°×cos60°＝12sin 245° C ．cos45°－sin45°＝0D ．sin(30°＋30°)＝sin30°＋sin30°6．如图23－Z －3，已知45°＜∠A ＜90°，则下列各式中成立的是( )A ．sin A ＝cos AB ．sin A ＞cos AC ．sin A ＞tan AD ．sin A ＜cos A图23－Z －37．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，sin A ＝35，D 是AB 的中点，则 tan ∠BCD ＋ tan ∠ACD 等于( )A. 2512B. 75C. 43D. 838．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0，3)，点B 在x 轴上，且sin ∠OAB ＝45，则点B 的坐标为( ) A ．(4，0) B ．(－4，0)C ．(4，0)或(－4，0)D ．(5，0)或(－5，0)9．如图23－Z －4所示，小明从A 地沿北偏东30°方向走100 3 m 到B 地，再从B 地向正南方向走200 m 到C 地，此时小明离A 地( )A ．60 mB ．80 mC ．100 mD ．120 m图23－Z －410．如图23－Z －5，在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC＝6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA ＝15，则AD 的长为( ) A ．2 B. 3 C. 2 D ．1图23－Z －5二.填空题(每小题5分，共20分)11．如图23－Z －6，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝15，tan A ＝158，则AB ＝________.图23－Z －612.如图23－Z －7，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，CD ⊥AB ，垂足为D ，则 tan ∠BCD 的值是________．图23－Z －7 13．如图23－Z －8，在菱形ABCD 中， AE ⊥BC 于点E ，已知EC＝1, cos B＝513，则这个菱形的面积是________．图23－Z－814．如图23－Z－9，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，tan∠DCA＝错误!，AC＝8，则AB的长度是________．图23－Z－9三.解答题(共40分)15．(8分)如图23－Z－10，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 3，求AB的长．图23－Z－10 16．(8分)如图23－Z－11是某小区的一个健身器材的示意图，已知BC＝0.15 m，AB＝2.70 m，∠BOD＝70°，求端点A到底面CD 的距离．(结果精确到0.1 m．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)图23－Z－11 17．(12分)如图23－Z－12，某小区①号楼与⑪号楼隔河相望．李明家住在①号楼，他很想知道⑪号楼的高度，于是他测量了一些数据．他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42米高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮助李明计算⑪号楼的高度CD.图23－Z－1218．(12分)如图23－Z－13，台风中心位于点O处，并沿北偏东45°方向﹙OC方向﹚以40千米/时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的正东方向，距离60 2千米的地方有一城市A.(1)A市是否会受到此台风的影响？为什么？(2)在点O的北偏东15°方向上，距离80千米的地方还有一城市B，则B市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受影响，请说明理由．图23－Z－131. B2．B [解析] cosA ＝AC AB ，即cos 35°＝AC m，∴AC ＝m ·cos 35°. 3．C [解析] 先构建直角三角形，再根据三角函数的定义，sinα＝cosα＝22 2＝22，tan ∠ACD ＝21＝2，sinβ＝cos (90°－β)，故选C .4．A 5.D6．B [解析] 根据锐角的正弦值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小判断．也可用特殊值检验．7．A [解析] 如图，由sinA ＝35，设BC ＝3k ，AB ＝5k .由勾股定理得AC ＝4k .根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得CD＝AD ＝BD ，∴∠BCD ＝∠B ，∠ACD ＝∠A ，故tan ∠BCD ＋tan ∠ACD ＝43＋34＝2512.8．C [解析] ①如图，点B 在x 轴的正半轴上．∵sin ∠OAB ＝45， ∴设OB ＝4x ，AB ＝5x ，∴由勾股定理，得32＋(4x )2＝(5x )2，解得x ＝1，∴OB ＝4.则点B 的坐标是(4，0)；②同理，当点B 在x 轴的负半轴上时，点B 的坐标是(－4，0)． 则点B 的坐标是(4，0)或(－4，0)．9．C10．A [解析] 如图，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E .易证△ADE为等腰直角三角形，AE ＝DE .在Rt △BDE 中，tan ∠DBA ＝DE BE ＝AE BE ＝15，所以BE ＝5AE .在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，由勾股定理可求出AB ＝6 2，所以AE ＝ 2.在等腰直角三角形ADE 中，利用勾股定理可求出AD 的长为2.故选A .11．17 [解析] ∵tanA ＝BC AC ，即158＝15AC，∴AC ＝8.根据勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝82＋152＝17.12.34[解析] 在Rt △ABC 与Rt △BCD 中，∵∠A ＋∠B ＝90°，∠BCD ＋∠B ＝90°，∴∠A ＝∠BCD .∴tan ∠BCD ＝tanA ＝BC AC ＝68＝34.故答案为34. 13.3916 [解析] 设BE ＝5x ，由cosB ＝513，得AB ＝13x ，AE ＝12x ，则13x ＝5x ＋1，解得x ＝18.所以菱形的面积＝BC ·AE ＝13x ·12x ＝3916.14．6 [解析] 由题意，得∠DCA ＝∠DAC ＝∠ACB .在Rt △ABC 中求解．15．解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则∠ADC ＝∠BDC ＝90°. ∵∠B ＝45°，∴∠BCD ＝∠B ＝45°，∴CD ＝BD .∵∠A ＝30°，AC ＝2 3，∴CD ＝3，∴BD ＝CD ＝ 3.由勾股定理得AD ＝AC 2－CD 2＝3，∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋ 3.16．解：如图，过点A 作AE ⊥直线CD 于点E ，过点B 作BF ⊥AE 于点F .∵OD ⊥CD ，∠BOD ＝70°，∴AE ∥OD ，∴∠A ＝∠BOD ＝70°.在Rt △ABF 中，∵AB ＝2.7，∴AF ＝2.7×cos 70°≈2.7×0.34＝0.918(m )，∴AE ＝AF ＋BC ≈0.918＋0.15＝1.068≈1.1(m )．答：端点A 到底面CD 的距离约是1.1 m .17．解：如图，过点A 作AE ⊥CD 于点E .在Rt △BCD 中，∵tan ∠CBD ＝CD BD， ∴CD ＝BD ·tan 60°＝3BD .在Rt △ACE 中，∵tan ∠CAE ＝CE AE， ∴CE ＝AE ·tan 30°＝BD ·tan 30°＝33BD . ∵CD －CE ＝AB ，即3BD －33BD ＝42， ∴BD ＝21 3.∴CD ＝3BD ＝63(米)．答：⑪号楼的高度CD 为63米．18．解：(1)不会．理由：如图，过点A 作AE ⊥OC 于点E .在Rt △AOE中，sin 45°＝AE OA， ∴AE ＝60 2×22＝60(千米)． ∵60千米＞50千米，∴A 市不会受到此台风的影响．(2)会．如图，过点B 作BF ⊥OC 于点F .在Rt △BOF 中，∵∠BOF ＝45°－15°＝30°，sin 30°＝BF OB， ∴BF ＝80×12＝40(千米)． ∵40千米＜50千米，∴B 市会受到台风的影响．如图，以B 为圆心，50千米为半径作圆交OC 于点G ，H .在Rt △BGF 中，∵BF ＝40千米，∴GF ＝502－402＝30(千米)．同理，FH ＝30千米．∴GH ＝60千米，60÷40＝1.5(时)，∴B 市受到台风影响的时间为1.5小时．第23章 解直角三角形单元检测卷（满分：150分 时间：120分钟）一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.如图，在平面直角坐标系的第一象限内有一点A ，它的坐标为（x ，y ），直线AO 与x 轴正半轴的夹角为α，则α的正弦值为…【 】A. x yB. y xC. 22y x y + 2.在Rt △ABC 中，若将各边的长都扩大为原来的n 倍，则锐角A 的余弦值将………【 】A.扩大为原来的n 倍B.缩小为原来的n 倍C.没有变化D.不能确定3.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则下列关系式：①0＜sin A ＜1；②sin A ＋sin B ＞1；③sin 2A ＋sin 2B ＝1；④sin A ＝sin B ·tan A .其中正确的有…………………【 】 A.①②③④ B.①② C.245D.6第1题图CB第4题图A第7题图4.如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝10，sin ∠CAB ＝0.6，则AC 边上的高为……………【 】A.9.8B.9.6C.8D.6 5.在△ABC 中，AC ＝5，AB ＝13，则tan A 的值为………【 】A.125 B. 513 C. 1213D.不确定 6. 在△ABC 中，AB＝12，BC ＝AD 是BC 边上的高，AD ＝6，则tanC 的值为【 】或7C.2D.2或37.如图，某人沿一斜坡前进10m ，此时他上升了6m ，则此斜坡的坡度i ＝……………【 】A.1︰43 B. 1︰0.75 C.35D. 0.830°CB第8题图A135°252m25mCB第9题图A第10题图D CB A8.如图，我校准备从地面A 点向国旗杆底座上部B 点修建阶梯AB ，已知AC＝1.5m ，每阶的高不超过15cm≈1.732，最后一阶的高不足15cm时按一阶计）……【】A.4阶B.5阶C.6阶D.7阶9.如图，我市和平小学准备在一块如图所示的三角形空地上种植花草以美化校园，若请园林工人种植花草需2元/m2，,学校发动师生自己动手种植花草需1.5元/m2，则学校发动师生自己动手种植花草可节约资金……………………………【】A.468.75元B.312.5元C.156.25元D.625元10.如图，某水渠的横断面为四边形ABCD，AB∥CD，∠DAB＝∠CBA＝120°，设AD＝x，四边形ABCD的周长为y，在水流速度一定的情况下，水流量与水渠横断面面积成正比，要使水渠的流量最大，则x与y应满足的关系是…………………【】A.y＝3xB. y＝4xC. y＝5xD. y＝6x二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.已知在△ABC中，∠C＝90°，两直角边分别为a.b，且a.b满足方程a2－4ab＋3b2＝0，则sin B＝___________.12.如图，在□ABCD中，DE⊥AC于点E，∠BDE＝30°，DE＝1，则DB＝_____________.13.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，D为AC上一点，若tan∠DBA＝1，则tan∠DBC＝ _______________.414.如图，为了测量我市电视塔MN的高度，在塔前的平地上选择一点P，测得看塔顶的仰角为30°，从P点向塔底N走100m到达Q点，测得看塔顶的仰角为45°，则电视塔MN的高度为____________m.O第12题图E DCBA第13题图DC B AQ 第14题图MP三.（本大题共两小题，每小题8分，满分16分） 15．计算：﹣2﹣2°－sin 245°＋21cos 60-︒.16.如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E ，∠CDE ＝∠α，DA ＝8，DC ＝15，试求∠α的三个三角函数值.αEDCBA四.（本大题共两小题，每小题8分，满分16分） 17.已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°. （1）求证：tan A ＝sin cos AA； （2）运用上述结论，解决下列问题，已知α为锐角，且tan α＝2，试求sin 2cos 3sin 4cos αααα＋－的值.18.如图，将两块三角板按如图所示放置，其中∠ACB ＝∠ADF ＝90°，∠AFD ＝45°，∠ABC ＝30°，AF ＝BC ＝3，试求四边形ACED 的周长.FE DCB A五.（本大题共两小题，每小题10分，满分20分）19.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，M 是AB 边的中点，AN ⊥CM ，交CM 的延长线于点N ，BC ＝9，cos B ＝35. （1）求AN 的长； （2）求sin ∠CAN 的值.CBAN M20.如图，我市风景区有两个景点A .B ，为了方便游客，风景区管理处决定在相距2千米的A .B 两景点之间修一条笔直的公路（即图中的线段AB ），经测量，在A 点的北偏东60°方向.B 点的西偏北45°方向的C处有一个半径为0.8千米的小水塘，试问小水塘会不会影响公路的修建？请说明理由.45°60°东CBA六.（本题满分12分）21.如图，为了测量我校教学楼前的一座景观石的高度，在教学楼二楼的C点处测得顶部A点的仰角为30°，底部B点的俯角为45°，又在五楼的D点测得顶部A点的俯角为60°，已知CD＝10m，试求景观石AB1.7，结果保留整数）.30°45°60°CBAED七.（本题满分12分）22.如图，我市防汛指挥部发现在我市的长江段有一处长300m ，高6m ，背水坡的坡角为45°的防洪大堤急需加固，其横截面为梯形ABCD ，防汛专家制定方案：背水坡面用土石进行加固，使上底加宽1m ，加固后背水坡EF 的坡比i ＝1︰2. （1）求加固后坝底增加的宽度BE 的长； （2）求完成这项工程需要土石多少立方米？CB AF ED八.（本题满分14分）23.如图，池塘中央有一棵大树，在数学活动课上余老师带领同学们去测量这棵大树的高度，现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，测出这棵树的高 度AB ，要求：（1）请你画出测量示意图并写出测量步骤（测量所得数据均用字母表示）；（2）根据（1）中的数据计算这棵树的高度AB.BA参考答案1.D 解析：如下图，过点A作AB⊥x轴于点B，则OB＝x＝x，AB＝y＝y，在Rt△OAB中，由勾股定理得OA＝22x y+，∴sinα＝ABOA＝22x y+＝22y x y+，∴D对.2.C 解析：锐角三角函数值的大小只与角的度数有关，与其他因素无关，∴C对.3.A 解析：∵a ＜c ，∴0＜ac ＜1，∵sin A ＝a c，∴0＜sin A ＜1，∴①正确；∵sin A ＝a c ，sin B ＝b c ，∴sin A ＋sin B ＝a c ＋b c＝a b c +，∵a ＋b ＞c ，∴a bc +＞1，∴sin A ＋sin B ＞1，∴②正确；∵sin A ＝a c ，sin B ＝b c ，∴sin 2A ＋sin 2B ＝22a c ＋22b c ＝222a b c +，∵a 2＋b 2＝c 2，∴222a b c +＝1，∴sin 2A ＋sin 2B ＝1，∴③正确；∵sin A ＝a c ，sin B ＝b c ，tan A ＝a b，∴sin B ·tan A ＝b c×a b＝a c＝sin A ，∴④正确.∴A 对.4.B 解析：如下图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，过点B 作BE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ，∵AC ＝BC ，∴AD ＝BD ，在Rt △CAD 中，sin ∠CAD ＝CDCA＝0.6，∴CD ＝0.6×CA ＝0.6×10＝6，由勾股定理得AD ＝22CA CD -＝22106-＝8，∴AB ＝16，∵S △ABC＝12×AB ×CD ＝12×AC ×BE ，∴BE ＝AB CD AC ⨯＝16610⨯＝9.6，,∴B 对.5.D 解析：∵△ABC 不一定是直角三角形，∴tan A 的值不能确定，∴D 对.6.B 解析：当AD 在△ABC 内部时，如下图①，在Rt △ABD 中，由勾股定理得BD 22AB AD -22126-3CD ＝BC －BD ＝83－63＝23，在Rt △ADC 中，tan C ＝ADCD ＝23＝3；当AD 在△ABC 外部时，如下图②，在Rt △ABD 中，由勾股定理得BD ＝22AB AD -＝22126-＝63，∴CD ＝BC ＋BD ＝83＋63＝143，在Rt △ADC 中，tan C ＝ADCD＝143＝3.∴综上，tan C 的值为3或3.∴B 对. 图①D CBA图②DCB A7.A 解析：如下图，斜坡AB ＝10，过点B 作BC ⊥AC 于点C ，此时斜坡高度BC ＝6，在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝22AB BC -＝22106-＝8，∴斜坡坡度i ＝BC AC ＝68＝34＝1︰43∴A 对.8.C 解析：在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝1.5，∵tan A ＝BCAC，∴BC ＝AC ·tan A ＝1.5×33＝32，32÷0.15≈6（阶），∴C 对. 9.C 解析：如下图，过点A 作AD ⊥BC ，交BC 的延长线于点D ，∵∠ACB ＝135°，∴∠ACD ＝45°，又AC ＝2，∴在Rt △ACD中由sin ∠ACD ＝ADAC得AD ＝AC ×sin45°＝252×22＝25，∴S△ABC＝12×BC×AD＝12×25×25＝312.5，∴可节约的资金为312.5×（2－1.5）＝156.25（元），∴C对.135°252m25mDCBA10.B 解析：如下图，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，由题意得Rt△AED≌△BFC，四边形ABFE为矩形，∵∠DAB＝∠CBA＝120°，∴∠D＝∠C＝60°，∵AD＝BC＝x，∴DE＝CF＝12x，由勾股定理得AE＝BF＝221()2x x＝32x，设水渠流量为z，则z＝12（y－2x）×32x＝﹣32x2＋3xy＝﹣3（x－14y）2＋3y2，当x＝14y时，z最大，∴当y＝4x时，水渠的流量最大，∴B对.11.2210解析：解方程a2－4ab＋3b2＝0，得a＝b或a＝3b，当a＝b时，c2b，∴sin B＝bc2；当a＝3b时，c10，∴sin B＝bc＝1010.∴sin B＝22或1010. 12.43 解析：在Rt △ODE 中，cos ∠ODE ＝DE OD，∵∠BDE ＝30°，DE ＝1，∴OD ＝cos30DE ︒＝3＝23，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴DB ＝2DO ＝43. 13. 35 解析：如下图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，在Rt △ABC 中，AC＝BC ＝5，由勾股定理得AB ＝52，在等腰Rt △ADE中，设AD ＝DE ＝x ，则由勾股定理得AD ＝2x ，在Rt△DEB 中，tan ∠DBE ＝DE BE ＝14，∴BE ＝4x ，∴AB ＝BE ＋AE ＝5x ＝52，∴x ＝2，∴AD ＝2，∴CD ＝3，∴在Rt △DBC 中，tan ∠DBC ＝DC BC ＝35.14. （3＋50） 解析：在Rt △MNQ 中，设MN ＝x ，∵∠MQN ＝45°，tan ∠MQN ＝MN QN ，∴QN ＝tan 45x ︒＝x ，在Rt △MNP 中，MN ＝x ，∵∠MPN ＝30°，tan ∠MPN＝MN PN，∴PN ＝tan 30x ︒3，∵PN －QN ＝PQ ，3－x ＝100，解得x ＝3＋50＝MN .15.解：原式＝﹣14＋332）2＋211()2-＝﹣14＋2－12＋34＝2.16.解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠CDA ＝90°，在Rt △ADC 中，DA ＝8，DC ＝15，∴由勾股定理得AC17，∵DE ⊥AC ，∴∠α＝∠CDA ，∴sin ∠α＝sin ∠CDA ＝DC AC ＝1517，cos ∠α＝cos ∠CDA ＝DA AC ＝817，tan ∠α＝tan ∠CDA ＝DC DA ＝158. 17.解：（1）∵sin A ＝a c ，cos A ＝b c ，∴sin cos A A ＝ac b c ＝a c ×c b ＝a b，∵tan A ＝a b ，∴tan A ＝sin cos A A ； （2）由（1）得tan α＝sin cos αα，又tan α＝2，∴sin cos αα＝2，∴sin α＝2 cos α，代入得sin 2cos 3sin 4cos αααα＋－＝2cos 2cos 6cos 4cos αααα＋－＝2. 18.解：在Rt △ABC 中，∠B ＝30°，BC ＝3，tan ∠B ＝AC BC ，∴AC ＝BC ×tan30°＝3×3FC ＝AF －AC ＝3Rt △ADF 中，∠F ＝45°，AF ＝3，sin ∠F ＝AD AF ，∴AD ＝AF ×sin45°＝3×2＝2＝DF ，又在等腰Rt △FCE 中，∠F ＝45°，FC ＝EC ＝3，cos ∠F ＝FC FE ，∴FE ＝cos 45FC ︒2＝，∴DE ＝DF －EF－3－，∴AC ＋EC ＋DE＋AD＝3＋3－3＋6－322＋322＝3＋6，即四边形ACED的周长为3＋6.（2）在Rt△AMN中，由勾股定理得MN22AM AN-227.57.2-＝2.1，∴CN＝CM＋MN＝7.5＋2.1＝9.6，∴在Rt△ACN中，sin∠CAN＝AN AC ＝9.612＝45.20.解：小水塘会影响公路的修建，理由如下：如下图，过点C作CD⊥AB于点D，设CD＝x，在Rt△CDB中，∠CDB＝90°，∠CBD＝45°，tan∠CBD＝CDBD ，∴BD＝tan45CD︒＝x，在Rt△CDA中，∠CDA＝90°，∠CAD＝30°，tan∠CAD＝CDAD ，∴AD＝tan30CD︒＝3x，又AB＝AD＋BD＝23x＋x＝2，解得x31，3－1≈0.732＜0.8，小水塘会影响公路的修建.45°60°北CB A21.解：如下图，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，∵∠ADC ＝90°－60°＝30°，∠ACD ＝90°－30°＝60°，∴∠CAD ＝90°，∵CD ＝10，∴AC ＝12CD ＝5，在Rt △ACF 中，AF＝AC sin30°＝5×12＝52，CF ＝AC cos30°＝5×32＝532，在Rt △BCF 中，∵∠BCF ＝45°，BF ＝AC tan30°＝5×32＝532，∴AB ＝AF ＋BF ＝52＋53≈9（m ）.答：景观石AB 的高度约为9m.22.解：（1）如下图，过点A 作AQ ⊥BC 于点Q ，过点F 作FP ⊥BC 于点P ，则AF ＝PQ ＝1，AQ ＝FP ＝6，在Rt △ABQ 中，∠ABQ＝45°，tan ∠ABQ ＝AQ BQ ，∴BQ ＝tan 45AQ＝6，∴BP ＝BQ －PQ ＝6－1＝5，在Rt △EFP 中，i ＝1︰2＝FP EP ，∴EP ＝2FP ＝12，∴EB ＝EP －BP ＝12－5＝7；（2）S 梯形AFEB ＝12（FA ＋EB ）×FP ＝12（1＋7）×6＝24，24×300＝7200（m 3）∴完成这项工程需要土石7200立方米.Q P C B A F E D23.解：（1）测量示意图如下图；测量步骤：①用皮尺测出测角仪的高度h ；②在地面上选择点C 安装测角仪并测出此时树顶A 点的仰角∠ADE ＝α；③沿CB 前进到点F ，用皮尺测出点C .F 之间的距离CF ＝l ；④在点F 处安装测角仪，测得此时树顶A 点的仰角∠AGE ＝β.（2）观察测量示意图，设AE ＝x ，在Rt △ADE 中，tan ∠ADE ＝AE DE ，∴DE ＝－tan x α，在Rt △AGE 中，tan ∠AGE ＝AE GE，∴GE ＝tan x β，∵DE －GE ＝DG ＝CF ＝l ，∴tan x αtan x β＝l ，解得x ＝tan tan tan tan l αββα•-，∴AB ＝AE ＋EB ＝AE ＋CD ＝tan tan tan tan l αββα•-＋h .九年级上册数学单元综合测试卷第23章 解直角三角形注意事项：本卷共8大题23小题，满分150分，考试时间120分钟.一.选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tan B 的值是（ ）A.13222.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cos A的值是（）A.34 B.43C.35D.453.如果∠α为锐角，且sinα＝0.6，那么α的取值范围是（）A.0°＜α≤30°B.30°＜α＜45°C.45°＜α＜60°D.60°＜α≤90°4.若α为锐角，且sinα＝45，则tanα的值为（）A.925 B.35C.34D.435.如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标为（3，m），且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是43，则sinα的值为（）A.45 B.54C.35D.53第5题图第8题图第9题图第10题图6. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝1213，则cos A的值为（）A.512 B.125C.1213D.13127.在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sin B的值是（）A.5714 B.2114C.35D.2178.如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AC 于点E，则tan∠CDE的值等于（）A.1013 B.1310C.512D.1259.如图，两条宽度均为40 m的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）的路面面积是（）A.1600sinα(m2) B.1600cosα(m2)C.1600sinα(m2)D.1600cosα(m2)10.如图，一个小球由地面沿着坡度i＝1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（）A.5mB.103m C.45m D.25二.填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）11.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝30°，∠C＝90°，∠ADB＝105°，sin∠BDC＝3，AD＝4．则DC＝___________.第11题图第12题图第13题图第14题图12.如图，在A处看建筑物CD的顶端D的仰角为α，且tanα＝0.7，向前行进3米到达B处，从B处看D的仰角为45°（图中各点均在同一平面内，A.B.C三点在同一条直线上，CD⊥AC），则建筑物CD的高度为___________米．13.如图，已知点A（3，0），直线y＝x+b（b＞0）与x轴.y轴分别相交于点C.B，连接AB，∠α＝75°，则b＝________．14.如图，正方形ABCD中，E是CD中点，FC＝14BC，则tan∠EAF＝________.三.（本题共2小题，每小题8分，满分16分）15.计算：（1）2sin602cos 60︒︒+2sin45°－22cos45tan 60︒+︒；（2）sin30°tan60°－(-tan45)2016+2(tan301)︒-.16.如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于点D ，AB ＝6，AC ＝53，∠A ＝30°. （1）求BD 和AD 的长；（2）求tan C 的值.四.（本题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量某河段的宽度．小明同学在A 处观测对岸C 点，测得∠CAD ＝45°，小英同学在距A 处50米远的B 处测得∠CBD ＝30°，请你根据这些数据计算出河宽．（精确到0.01米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）18.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求tan B的值.五.（本题共2小题，每小题10分，满分20分）19.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD.CB相交于点H.E，AH＝2CH．（1）求sin B的值；（2）如果CD＝5，求BE的值．20.已知，△ABC中，D是BC上的一点，且∠DAC＝30°，过点D作ED⊥AD交AC于点E，AE＝4，EC＝2．（1）求证：AD＝CD；（2）若tan B＝3，求线段AB的长﹒六.（本题满分12分）21.如图，在一笔直的海岸线l上有A.B两个码头，A在B的正东方向，一艘小船从A码头沿它的北偏西60°的方向行驶了20海里到达点P处，此时从B码头测得小船在它的北偏东45°的方向．求此时小船到B码头的距离（即BP的长）和A.B两个码头间的距离（结果都保留根号）﹒七.（本题满分12分）22.如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i＝1：2，且O.A.B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测角器高度忽略不计，结果保留根号形式）八.（本题满分14分）23.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝4，AD＝3，BC＝5，点M是边CD的中点，连接AM.BM.（1）求△ABM的面积；（2）求sin∠MBC的值.第23章《解直角三角形》单元综合测试题参考答案一.选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 DDBDACBCAD二.填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11.2. 12. 7 . 13. 5 . 14.12. 三.（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解答：（1）2sin602cos 60︒︒+2sin45°－22cos45tan 60︒+︒；＝23212()2⨯+2×2－2232⨯+， ＝3+2－32+＝3+2－23+22 ＝32－3；（2）sin30°tan60°－(-tan45)2016+2(tan301)︒-.＝12×3－(－1)2016+23(1)3-＝3－1+1－3＝36.16.解答：（1）∵BD ⊥AC ，AB ＝6，∠A ＝30°， ∴BD ＝12AB ＝3，在Rt△ABD中，AD＝AB cos A＝6×32＝33；（2）∵AC＝53，AD＝33，∴CD＝AC－AD＝23，在Rt△BCD中，tan C＝BDCD ＝23＝3.四.（本题共2小题，每小题8分，满分16分）17.解答：过C作CE⊥AB于E，设CE＝x米，在Rt△AEC中：∠CAE＝45°，∴AE＝CE＝x在Rt△BCE中，∠CBE＝30°，BE＝3CE＝3x，∵BE＝AE+AB，∴3x＝x+50，解得：x＝253+25≈68.30．答：河宽为68.30米．18.解答：∵∠C＝90°，MN⊥AB，∴∠C＝∠ANM＝90°，又∵∠MAN＝∠BAC，∴△AMN∽△ABC，∴ACAB ＝ANAM＝34，设AC＝3x，AB＝4x，由勾股定理得：BC＝22AB AC＝7x，在Rt△ABC中，tan B＝ACBC ＝7x＝37.五.（本题共2小题，每小题10分，满分20分）19.解答：（1）∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD＝BD，∴∠B＝∠BCD，∵AE⊥CD，∴∠CAH+∠ACH＝90°，又∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠ACH＝90°，∴∠B＝∠BCD＝∠CAH，即∠B＝∠CAH，∵AH＝2CH，∴由勾股定理得AC＝5CH，∴CH：AC＝1：5，；∴sin B＝55（2）∵sin B＝5，∴AC：AB＝1：5，∴AC＝2，∵∠CAH＝∠B，，∴sin∠CAH＝sin B＝55设CE＝x（x＞0），则AE＝5x，则x2+22＝(5x)2，∴CE＝x＝1，AC＝2，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，∵AB＝2CD＝25，∴BC＝4，∴BE＝BC－CE＝3．20.解答：（1）证明：∵ED ⊥AD ， ∴∠ADE ＝90°．在Rt △ADE 中，∠DAE ＝30°，AE ＝4， ∴∠DEA ＝60°，DE ＝12AE ＝2，∵EC ＝2， ∴DE ＝EC ， ∴∠EDC ＝∠C ．又∵∠EDC +∠C ＝∠DEA ＝60°， ∴∠C ＝30°＝∠DAE ， ∴AD ＝CD ；（2）解：如图，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，则∠AFC ＝∠AFB ＝90°， ∵AE ＝4，EC ＝2， ∴AC ＝6．在Rt △AFC 中，∠AFC ＝90°，∠C ＝30°， ∴AF ＝12AC ＝3．在Rt △AFB 中，∠AFB ＝90°，tan B ＝3， ∴BF ＝tan AFB ＝1， ∴AB ＝22AF BF ＝10．六.（本题满分12分） 21.解答：过P 作PM ⊥AB 于M ， 则∠PMB ＝∠PMA ＝90°，∵∠PBM ＝90°﹣45°＝45°，∠PAM ＝90°﹣60°＝30°，AP ＝20海里，∴PM ＝12AP ＝10海里，AM ＝AP cos 30°＝103海里，∴∠BPM ＝∠PBM ＝45°， ∴PM ＝BM ＝10海里， ∴AB ＝AM +BM ＝（10+103）海里，∴BP ＝sin 45PM︒＝102海里， 即小船到B 码头的距离是102海里，A .B 两个码头间的距离是（10+103）海里．七.（本题满分12分）22.解答：作PE ⊥OB 于点E ，PF ⊥CO 于点F ， 在Rt △AOC 中，AO ＝100，∠CAO ＝60°， ∴CO ＝AO tan60°＝1003（米）．设PE ＝x 米，∵tan ∠PAB ＝PE AE＝12，∴AE ＝2x ．在Rt △PCF 中，∠CPF ＝45°，CF ＝1003﹣x ，PF ＝OA +AE ＝100+2x ，∵PF ＝CF ， ∴100+2x ＝1003﹣x ，解得x ＝100(31)-（米）， 答：电视塔OC 高为1003米，点P 的铅直高度为100(31)-（米）． 八.（本题满分14分）23.解答：（1）延长AM 交BC 的延长线于点N ， ∵AD ∥BC ，∴∠DAM＝∠N，∠D＝∠MCN，∵点M是边CD的中点，∴DM＝CM，∴△ADM≌△NCM（AAS），∴CN＝AD＝3，AM＝MN＝12AN，∴BN＝BC+CN＝5+3＝8，∵∠ABC＝90°，∴S△ABN＝12×AB BN＝12×4×8＝16，∴S△ABM＝12S△ABN＝8；∴△ABM的面积为8；（2）过点M作MK⊥BC，∵∠ABC＝90°，∴MK∥AB，∴△NMK∽△NAB，∴MKAB ＝MNAN＝12，∴MK＝12AB＝2，在Rt△ABN中，AN＝22AB BN+＝2248+＝45，∴BM＝12AN＝25，在Rt△BKM中，sin∠MBC＝MKBM ＝25＝5，∴∠MBC的正弦值为55．。
沪科数学九年级(上) 第23章 解直角三角形 单元综合测试卷 (含答案)
第2３章解直角三角形单元综合测试卷题号一二三总分得分第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(共10小题)1、cos6０°的相反数是()Ａ、﹣ﻩB、﹣Ｃ、﹣Ｄ、﹣2、如图,AC是电线杆AＢ的一根拉线,测得BC的长为6米,∠ACB=50°,则拉线AＣ的长为( )A。
Ｂ、C。
6coｓ50°Ｄ、3。
如图,为了测量河岸A、B两点的距离,在与AB垂直的方向点C处测得AC＝ａ,∠ACB＝50°,那么AB等于()A、ａｓin50°B、ａtａｎ50°Ｃ、aｃos50°Ｄ、4、如图是边长为１的小正方形组成的网格图,其中点A,B,C均为格点,则sin∠BAC为()A、B。
C、D、5、下列计算错误的个数是()①sin60°﹣sin30°=siｎ30°②sｉn２45°＋cos245°=1③(tａn60°)2= ④tａn30°=A、1个ﻩB、2个ﻩＣ、３个ﻩD、4个６、如图,甲、乙为两座建筑物,它们之间的水平距离BＣ为30日,在Ａ点测得D 点的仰角∠EAD＝4５°,在B点测得D点的仰角为∠CＢD＝60°,测得甲、乙这两座建筑物的高度分别为()米、A、１0√3,３0ﻩB。
30,３0√３C。
30√３﹣3,30D、3０√3﹣30,30√37、△AＢC在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1),AＤ⊥ＢC于D,下列选项中,错误的是()A、sｉｎα=ｃosαﻩB、tａnC=2ﻩＣ、sｉｎβ=D、tanα=1ﻩ8、如图,△ABC的顶点都在正方形网格的格点上,则tan∠BＡC的值为()Ａ、２B、C、Ｄ、9、如图,Rｔ△ABC中,∠CAB=90°,在斜边CB上取点Ｍ,N(不包含C、Ｂ两点),且tａｎB＝tａnC=taｎ∠MＡＮ=1,设ＭN=ｘ,BM=n,CN=ｍ,则以下结论能成立的是()A。
九年级数学上册试题 第23章《解直角三角形》单元测试卷 -沪科版(含答案)
第23章《解直角三角形》单元测试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，4sin 5A =，则AB 的值为()A．8B．9C．10D．122．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，则cos B 的值为()A．13B．12C．22D．323．如图，某游乐场山顶滑梯的高BC 为50米，滑梯的坡比为5:12，则滑梯的长AB 为()A．100米B．110米C．120米D．130米4．如图，ABC ∆的顶点都在正方形网格的格点上，则tan ACB ∠的值为()A．13B．35C．23D．125．下列各式中正确的是()A．sin 46cos 44︒>︒B．2sin 40sin 80︒=︒C．cos 44cos 46︒<︒D．22sin 44sin 461︒+︒=6．如图，在44⨯的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点若ABC ∆的顶点都在格点上，则cos ABC ∠的值是()A．13B．12C．55D．2557．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 在AB 的延长线上，连接CD ，若2AB BD =，2tan 3BCD ∠=，则ACBC的值为()A．1B．2C．12D．328．如图，Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，6AB =，8BC =，D 为AC 边上一动点，且1tan 2ABD ∠=，则BD 的长度为()A．1558B．25C．5D．5119．如图，AC 垂直于AB ，P 为线段AC 上的动点，F 为PD 的中点， 2.8AC m =， 2.4PD m =， 1.2CF m =，15DPE ∠=︒．若90PEB ∠=︒，65EBA ∠=︒，则AP 的长约为()（参考数据：sin 650.91︒≈，cos 650.42︒≈，sin 500.77︒≈，cos500.64)︒≈A．1.2B．1.3m C．1.5m D．2.0m10．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30BAC ∠=︒，延长CA 到点D ，使AD AB =，连接BD ．根据此图形可求得tan15︒的值是()A．23-B．23+C．36D．32二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，设A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，则正确的是．A ．sin a c A =⋅B ．cos b c B =⋅C ．tan a b A =⋅D ．tan a b B=⋅12．有一斜坡AB ，坡顶B 离地面的高度BC 为30m ，斜坡的倾斜角是BAC ∠，若坡比为2:5，则此斜坡的水平距离AC 为．13．在Rt ABC ∆中，90BCA ∠=︒，CD 是AB 边上的中线，8BC =，5CD =，则tan ACD ∠=．14．如图所示，MON ∠是放置在正方形网格中的一个角，则tan MON ∠的值是．15．在ABC ∆中，22AB =，1tan 3B =，BC 边上的高长为2，则ABC ∆的面积为．16．某长江大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB 与水平桥面的夹角是30︒，拉索BD 与水平桥面的夹角是60︒，两拉索底端距离20AD =米，则立柱BC 的高为米．（结果保留根号）17．如图是一款利用杠杆原理设计的平衡灯，灯管AB 与支架AD ，砝码杆AC 均成120︒角，且40AB cm =，18AC cm =，6AD cm =，底座是半径为2cm 的圆柱体，点P 是杠杆的支点．如图1，若砝码E 在端点C 时，当杠杆平衡时，支架AD 垂直于桌面，则此时垂直光线照射到最远点M 到支点P 的距离PM 为cm ．由于特殊设计，灯管的重力集中在端点B ，砝码杆重力集中在砝码E 上，支架AD 的重力忽略不计，由杠杆原理可知，平衡时重力保持垂直水平桌面向下，且1122G h G h ⋅=⋅，如图2．为了使得平衡时砝码杆与桌面平行，则砝码E 到离A 点的距离为cm ．18．用一副如图1所示的七巧板，拼出如图2所示中间有一个空白正方形的“风车图”，则图2中tan ABC ∠=．三、解答题（本大题共8小题，共66分．）19．计算：22sin 456cos303tan 454sin 60︒-︒+︒+︒．20．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，10AB =，6BC =，求sin A ，cos A ，tan A 的值．21．如图，在ABC∆中，90C∠=︒，AB的垂直平分线分别交边AB、BC于点D、E，连接AE．（1）如果25B∠=︒，求CAE∠的度数；（2）如果2CE=，2sin3CAE∠=，求tan B的值．22．如图，在ABC∆中，已知ABC m∠=︒，ACB n∠=︒．090m n︒<︒+︒<︒，1AC=．（1）求AB及BC的长度（用m︒，n︒的三角函数表示）；（2）试判断sin()sin cos cos sinm n m n m n︒+︒=︒︒+︒︒是否成立并说明理由．23．如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为)O 的墙上．当梯子位于AB 位置时，它与地面所成的角60ABO ∠=︒，当梯子底端向右滑动0.5m （即0.5)BD m =到达CD 位置时，它与地面所成的角5118CDO ∠=︒'，求梯子的长．（参考数据：sin 51180.780︒'=，cos 51180.625︒'=，tan 5118 1.248)︒'=24．如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，作BC 的垂直平分线交AC 于点D ，延长AC 至点E ，使CE AB =．（1）若1AE =，求ABD ∆的周长；（2）若13AD BD =，求tan ABC ∠的值．25．在太原郁郁葱葱的西山上，环绕着一条蜿蜒曲折、鲜艳夺目的公路，它就是太原环城旅游公路暨公路自行车赛道，该赛道环西山而建，全长约136千米，将百余处景点串连成一条线．（1）周日，某自行车骑行团组织甲、乙两个赛队在该赛道进行骑行活动，他们从赛道同一端出发，甲队出发25分钟时乙队出发，结果乙队比甲队提前15分钟到达终点（即赛道的另一端）．已知乙队骑行的平均速度为甲队的1.2倍．求甲、乙两个赛队此次活动骑行的平均速度．（2）该赛道一端附近是太原市的摄乐桥如图（1），摄乐桥是太原市第18座跨汾河大桥，也是太原市首座仅靠主塔及缆索承担桥面重量的跨河大桥．某数学兴趣小组的同学们为了测量摄乐桥主塔的高AB，在地面上选取测点C放置测倾仪，测得主塔顶端A的仰角45∠=︒，将测ADM倾仪向靠近主塔的方向前移10m至点E处，测得主塔顶端A的仰角47.7∠=︒，测量示意图AFM如图（2）所示．已知测倾仪的高度 1.5︒≈，=，求摄乐桥主塔的高AB．（参考数据：sin47.70.74CD m︒≈︒≈，tan47.7 1.10)cos47.70.6726．山西省隰县盛产香梨，被称为“隰县玉露香”．县政府运用“互联网+玉露香梨”的发展思路，探索“爱心助农精准脱贫”的方式，构建“隰县玉露香”电商生态圈，使隰县成为中国北方最大的电商孵化基地.2021年春节期间，“隰县玉露香”在网上热销，某电商看准商机，用10000元购进一批“隰县玉露香”，销量可观，于是又用18000元购进一批同款规格的“隰县玉露香”，但第二次的进价比第一次每箱上涨20元，第二次所购数量恰好是第一次的1.5倍．（1）求第一次购进的“隰县玉露香”每箱的价格．（2）政府为推进农村电商高质量可持续发展，在隰县新建一批移动信号发射塔，以提高农村互联网的传输效率．如图，是一个新建的移动信号发射塔AC ，其高15AC m =．用测角仪在山脚下的点B 处测得塔底C 的仰角36.9CBD ∠=︒，塔顶A 的仰角42ABD ∠=︒，点A ，C ，D 在同一条铅垂线上．果农要在山脚B 处修建房屋以方便管理梨园，按国家规定，通讯基站离居民居住地至少100m 就可不受信号塔辐射的影响．请判断在点B 处的房屋是否受信号塔塔顶A 发出的信号辐射的影响．（测角仪、房屋的高度忽略不计；结果精确到0.1m ；参考数据：sin 36.90.60︒≈，cos36.90.80︒≈，tan 36.90.75︒=，sin 420.67︒=，cos 420.74︒=，tan 420.90)︒≈答案一、选择题C ．B .D ．D ．D ．C ．B ．D ．B ．A ．二、填空题11．A 、C ．12．75m ．13．43．14．1．15．7或5．16．．17．165．18．3．三、解答题19．原式22()6314222=⨯-⨯+⨯+⨯2234=⨯-+13=-++4=．20．在Rt ACB ∆中，由勾股定理得：8AC ===，所以63sin 105BC A AB ===，84cos 105AC A AB ===，63tan 84BC A AC ===．21．（1）DE 垂直平分AB ，EA EB ∴=，25EAB B ∴∠=∠=︒．40CAE ∴∠=︒．（2）90C ∠=︒ ，∴2sin 3CE CAE AE ∠==．2CE = ，3AE ∴=，AC ∴=3EA EB == ，5BC ∴=，∴tan AC B BC ==．22．（1）作AD BC ⊥于点D ，在Rt ACD ∆中，1AC =，sin AD n AD AC ︒==，cos CD n CD AC︒==，在Rt ABD ∆中，sin AD m AB ︒=，sin sin sin AD n AB m m ︒∴==︒︒，cos BD m AB︒= ，sin cos cos sin n BD AB m m m ︒∴=⋅︒=︒︒．sin cos cos sin n BC BD CD m n m ︒∴=+=︒+︒︒．（2）成立，理由如下：作CE BA ⊥交BA 延长线于点E ，EAC ∠ 为ABC ∆的外角，EAC B ACB m n ∴∠=∠+∠=︒+︒，在Rt EBC ∆中，sin CE m BC︒=，sin sin (cos cos )sin sin cos cos sin sin n CE BC m m n m m n m n m ︒∴=⋅︒=︒+︒︒=︒︒+︒︒︒．23．设梯子的长为xm ，在Rt ABO ∆中，cos OBABO AB∠=1cos cos 602OB AB ABO x x ∴=∠=︒=在Rt CDO ∆中，cos ODCDO CD∠=cos cos51180.625OD CD CDO x x ∴=∠=︒'≈ ．BD OD OB =- ，0.5BD m =10.6250.52x x ∴-=，解得4x =．故梯子的长是4米．24．（1）如图，连接BD ，设BC 垂直平分线交BC 于点F ，BD CD ∴=，ABD C AB AD BD∆=++AB AD DC=++AB AC =+，AB CE = ，1ABD C AC CE AE ∆∴=+==，故ABD ∆的周长为1．（2）设AD x =，3BD x ∴=，又BD CD = ，4AC AD CD x ∴=+=，在Rt ABD ∆中，AB ==．tanAC ABC AB ∴∠===．25．（1）设甲队骑行的平均速度为/xkm h，则乙队骑行的平均速度为1.2/xkm h．根据题意，得13613625151.26060x x-=+，解得：34x=．经检验，34x=是原方程的根．1.2 1.23440.8x∴=⨯=．答：甲队骑行的平均速度为34/km h，乙队骑行的平均速度为40.8/km h．（2）如图，过点D作DG AB⊥于点G，则DG过点F．由题意得 1.5BG EF CD m===，10DF m=．设FG a=m．在Rt ADG∆中，45ADG∠=︒，(10)AG DG a m∴==+．在Rt AFG∆中，tanAG AFGFG∠=，tan tan47.7 1.10() AG FG AFG a x m∴=⋅∠=︒≈，10 1.10a a∴+=，解得：100a≈，10100110()AG m∴=+=，110 1.5111.5()AB AG BG m∴=+=+=．答：摄乐桥主塔的高AB约为111.5m．26．（1）设第一次购进隰县玉露香的进价为x 元/箱，根据题意可得：10000180001.520x x ⨯=+，解得100x =，经检验，100x =是原方程的解，答：第一次购进的“隰县玉露香”每箱的价格为100元；（2）由题意得，90ADB ∠=︒，在Rt ABD ∆中，tan AD ABD BD∠=，tan 42AD BD ∴=⋅︒，在Rt BCD ∆中，tan CD CBD BD ∠=，tan 36.9CD BD ∴=⋅︒，AC AD CD =- ，15AC m =，15tan 42tan 36.9BD BD ∴=⋅︒-⋅︒，解得100BD m ≈，100135.1()cos 0.74BD AB m ABD ∴=≈≈∠，135.1100> ，∴在点B 处的房屋不会受信号塔塔顶A 发出的信号辐射的影响．。
第23章 解直角三角形数学九年级上册-单元测试卷-沪科版(含答案)
第23章解直角三角形数学九年级上册-单元测试卷-沪科版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，将正方形放在平面直角坐标系中，其中一个顶点放在坐标原点O，将正方形绕点O逆时针旋转得到正方形，若，则点的坐标为（）A. B. C. D.2、如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（）A. B. C. D.3、如图在一笔直的海岸线l上有相距3km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是（）A. kmB. kmC. kmD. km4、某校积极开展综合实践活动，一次九年级数学小组发现校园里有一棵被强台风摧折的大树，其残留的树桩DC的影子的一端E刚好与倒地的树梢重合，于是他们马上利用其测量旁边钟楼AB的高度．如图是根据测量活动场景抽象出的平面图形．活动中测得的数据如下：①大树被摧折倒下的部分DE＝10m；②tan∠CDE＝；③点E到钟楼底部的距离EB＝7m；④钟楼AB的影长BF＝（20 +8）m；⑤从D点看钟楼顶端A点的仰角为60°．（点C，E，B，F在一条直线上）．请你选择几个需要的数据，用你喜欢的方法求钟楼AB的高度，则AB＝（）A.15 mB.（15 +6）mC.（12 +6）mD.15m5、当45°＜θ＜90°时，下列各式中正确的是（）A.tanθ＞cosθ＞sinθB.sinθ＞cosθ＞tanθC.tanθ＞sinθ＞cosθD.cosθ＞sinθ＞tanθ6、4cos60°的值为（）A. B.2 C. D.27、如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为（）A. B.2 C. D.38、如图，经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B(-4，0)，交y轴于点C(0，3)，点D为第二象限内圆上一点.则∠CDO的正弦值是（）A. B. C. D.9、如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC 成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线D0与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线D0通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为( )A.(11-2 )米B.(11 -2 )米C.(11-2 )米D.(11-4)米10、已知在中，，，那么AB的长等于（）A. B. C. D.11、已知sinA=，则锐角A的度数是（）A.30°B.45°C.60°D.75°12、如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B 处与灯塔P的距离为（）A.40 海里B.40 海里C.80海里D.40 海里13、笔直的公路AB一侧有加油站C，已知从西面入口点A到C的距离为60米，西东两个入口A、B与加油站C之间的方位角如图所示，则A、B两个入口间的距离为（）A.20 米B.30 米C.40 米D.60 米14、如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A. B. C. D.15、如图，▱ABCO的顶点B、C在第二象限，点A(﹣3，0)，反比例函数y＝(k＜0)图象经过点C和AB边的中点D，若∠B＝α，则k的值为( )A.﹣4tanαB.﹣2sinαC.﹣4cosαD.﹣2tan二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是的中点，DE⊥AB于点E且DE交AC 于点F，DB交AC于点G，若＝，则＝________．17、定义；在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的γ（a，θ）变换。
沪科版九年级数学上册 第23章《解直角三角形》单元测试卷(含详解)
第23章《解直角三角形》单元测试卷一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列运算正确的是（ ）A ．B ．CD2．如图，一个钟摆的摆长为米，当钟摆向两边摆动时，摆角为，且两边的摆动角度相同，则它摆至最高位置与其摆至最低位置时的高度之差为（）A ．米B ．米C ．米D ．米3．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 分别在x 轴负半轴和y 轴正半轴上，点C 在OB 上，，连接AC ，过点O 作交AC 的延长线于P ．若，则的值是（ ）ABC ．D ．34．如图，在边长为1的的正方形网格中，为与正方形网格线的交点，下列结论中不正确的是（ ）2tan 30tan 60=︒︒sin 70sin 40sin 30︒-=︒︒3=6=OB 1.5BOD ∠2a AC ()1.5 1.5cos α- 1.51.5cos α⎛⎫- ⎪⎝⎭()1.5 1.5sin α- 1.51.5sin α⎛⎫- ⎪⎝⎭:1:2OC BC =OP AB ∥()1,1P tan OAP ∠1344⨯D ABA ．B ．C ．D ．5．综合与实践课上，李老师让同学们以矩形纸片的折叠为主题开展数学活动．如图，将矩形纸片对折，折痕为，再把点A 折叠在折痕上，其对应点为，折痕为，连接，若，的值为（ ）ABCD ．6．中国最早的一部数学著作《周髀算经》中记载着勾股定理，约1400年后的汉代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的证明．这就是如图所示的“赵爽弦图”，若，则小正方形与直角三角形的面积比为（ ）A ．B ．1：1 C ． D ．1：57．任意一张正方形先对折再翻折然后加上废旧的草杆就能做成一个简易的纸风车，迎着风就会哗啦啦转动起来，小小的纸风车带来童年满满的回忆．如图是彤彤折叠的一个纸风车，风车由四个全等的直角三角形组成，其中∠DOG 为90°．延长直角三角形的斜边，恰好交于四个直角三角形的斜边中点，若，那么这个风车的面积为（ ）1tan 2A =90ACB ∠=︒12CD AB ≠cos B =ABCD EF EF A 'DP A B '2AB =BC =tan A BF '∠12sin cos αα-=2IJ =A ．B ．C ． D8．如图，定直线MN PQ ，点B 、C 分别为MN 、PQ 上的动点，且BC=12，BC 在两直线间运动过程中始终有∠BCQ=60°．点A是MN 上方一定点，点D 是PQ下方一定点，且AE BC DF ，AE=4，DF=8，BC 在平移过程中，AB+CD 的最小值为（ ）A ． B ． C ． D．9．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是，点C 的坐标是，点是x 轴上的动点，点B 在x 轴上移动时，始终保持是等边三角形（点P 不在第二象限），连接，求得的最小值为（）A． B ．4 C ． D ．210．如图，MN 是正方形ABCD 的对称轴，沿折痕DF ，DE 折叠，使顶点A ，C 落在MN 上的点G ．给出4个结论：①∠BFE ＝30°；②△FGM ∽△DEG ；③；④．其中正确的是（ ）41+∥∥∥(0,2)(0,2)-(,0)B x ABP V PC 12AP PC +tan 2FDC ∠=+(2DCE DAF S =△△A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．若．12．如图，平面内几条线段满足．AB 、CD 的交点为E ，现测得，，，则CD 的长度为 ．13．如图，中，，以为轴，轴经过点，建立平面直角坐标系，已知，将沿着轴翻折，的对应点为，若抛物线 ，恰好过、、，则14．在平面直角坐标系中，已知，，点是直线上的一点，连接、．当在一定范围内取值时，直线上总存在点，使得，则此时的取值范围为 ．15．如图，菱形绕A 点顺时针旋转，B 、C 、D 的对应点分别为、、，若和D3090αβ︒<<<︒cos βα=10AB BC ==AD BC ⊥AD DE =3tan 4DAE ∠=Rt ABC △90C ∠=︒AB x y C AC =tan 2BCO ∠=ACB V x C C ':l 2()y a x h k =-+A B C 'k =()0,2A -()1B -C y x b =-+AC BC b y x b =-+C 30ACB ∠=︒b ABCD 60︒1B 1C 1D 1B重合，菱形面积为，则阴影的面积＝ ．16．如图，现有一矩形纸片，为矩形的对角线，，为上一点，沿线段将折叠为，交于点，连接，作点关于线段对称的点，点恰好落在对角线上，连接，．则的大小为 ；的长为 ．17．如图，三角形中，于，以为边作菱形，使点落在边上，点在上，交于点，若，，则的长为 ．18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A 在直线上，顶点B 在x 轴上，垂直轴，且在直线上，；过点作直线的垂线，垂足为，交x 轴于，过点作垂直x 轴，交于点，连接，得到第一个；过点作直线的垂线，垂足为，交x 轴于，过点作垂直x 轴，交于点，连接，得到第二个；如此下去，……，则的面积是 ．ABCD 21DCC △2cm ABCD AC ABCD 30CAD ∠=︒AD =E BC DE DEC V DEF V DE AC G FG G DF H H AC DH FH AGD ∠︒CE ABC AD BC ⊥D AB ABEF E BC G EF BG AC M 180AMG F ∠+∠=︒3tan ,104FAM BG ∠==AD ABC V 1:l y x =AB x OB =C 2:l y =2BC l ⊥A 2l 1C 1B 1B 11A B 1l 1A 11A C 111A B C △1A 2l 2C 2B 2B 22A B 1l 2A 22A C 222A B C △202320232023A B C V三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）计算下列的三角函数值（写出计算过程，保留计算结果）：．20．（8分）如图所示，，上有一点，，，（1）用含的表达式表示出AC 的长度（2）用含的表达式表示出点D 到AC的距离sin 60-︒90ABC ∠=︒AB D 3m DB =37DCB ∠=︒()ACB AB BD ϑ∠=>ϑϑ21．（10分）如图．△ABC 中．AC=4．D 为AC的中点．E 、F 分别为AD 、CD 上的动点．过E 作PE ⊥AD ．且DE+2PE=2．连接PF ．（1）求sin ∠C ；（2）连接AP ．①求证AP ∥BC ；②请直接写出的最大值．22．（10分）如图，计划在山顶A 的正下方沿直线CD 方向开通穿山隧道EF ．在点E 处测得山顶A 的仰角为45°，在距E 点80m 的C 处测得山顶A 的仰角为30°，从与F 点相距10m 的D 处测得山顶A 的仰角为45°，点C 、E 、F 、D 在同一直线上，求隧道EF 的长度．23．（10分）圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，被列为第四批全国重点文物保护单位，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，如图，小明为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为6m ，在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得建筑物顶A ，教堂顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得教堂顶C 的仰角为30°，那么小明计算索菲亚教堂的高度为多少？ （保留根号，，24．（12分）（2022·河北石家庄·校联考三模）小明在一段斜坡上进行跑步训练．在训练过程中，始终有一架无人机在小明正上方随他一起运动，无人机速度为，距水平地面的高度总为（在直线上运动）现就小明训练中部分路段作出如图函数图象：已知AB sin15︒=cos15︒=tan15︒=OA AB -3m/s 15m 15y =，斜坡的坡度：，斜坡的坡角为．（1）点坐标为______，段关于的函数解析式为______；（2）小明在斜坡上的跑步速度是______，并求段关于的函数解析式；（3）若小明沿方向运动，求无人机与小明之间距离不超过10m 的时长．（参考数据：，，）OA =OA 1i =3AB 22.5︒A OA y x AB m/s AB y x O A B --5sin22.513︒≈12cos22.513︒≈5tan 22.512︒≈答案1．D【分析】根据锐角三角函数值的计算，以及二次根式的运算，逐一进行判断即可．解：A 、，选项错误，不符合题意；B 、，选项错误，不符合题意；C，选项错误，不符合题意；D，选项正确，符合题意．故选D ．2．A【分析】由题可知，秋千摆到最低点时，点为弧的中心 ，由垂径定理知，．再根据锐角三角函数解三角形求得即可．解：∵点为弧的中点，为圆心，由垂径定理知，，，∵，∴，∵，在中，由三角函数可得，∴，故选：A ．3．C【分析】由可知，OP 与x 轴的夹角为45°，又因为，则为等腰直角形，设OC=x ，OB=2x ，用勾股定理求其他线段进而求解．解：∵P 点坐标为（1，1），则OP 与x 轴正方向的夹角为45°，又∵，则∠BAO=45°，为等腰直角形，2tan 30tan 60≠︒︒=sin 70sin 40sin 30︒︒︒-≠3≠=1046==-=A BD BD AC ⊥BC DC =OC A BD O BD AC ⊥BC DC =»»AB AD =2BOD a ∠=BOA a ∠= 1.5OB OA ==Rt OBC V 1.5cos OC a =1.5 1.5cos AC OA OC a =-=-()1,1P OP AB ∥OAB V OP AB ∥OAB V∴OA=OB ，设OC=x ，则OB=2OC=2x ，则OB=OA=3x ，∴．4．C【分析】由勾股定理分别算出三边的长度，再利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，再根据锐角三角函数进行求解，通过证明继而进行判断即可．解：由题意得，，，是直角三角形，，故B 正确，不符合题意；，故A 正确，不符合题意；，，，，，，，故C 错误，符合题意；D 正确，不符合题意；故选：C ．5．Atan 133OC x OAP OA x ∠===ABC ∆AED AFB ∆∆:2222222222420,125,3425AC BC AB =+==+==+=222AC BC AB ∴+=ABC ∴∆90ACB ∠=︒∴1tan 2BC A AC ===DE BF ∥ ,AED AFB ADE ABF ∴∠=∠∠=∠AED AFB ∴∆∆:12ED AE BF AF ∴==3BF = 32DE ∴=3514222CD AB ∴=-==cos BC B AB =【分析】先证明，，，，，再利用正切的定义求解即可.解：∵矩形纸片对折，折痕为，，，∴，，，由折叠可得：∴，∴，∴.故选A6．B【分析】在中，根据锐角三角函数的定义得出，代入，两边平方得出，由“赵爽弦图”，结合图形可知等于小正方形的边长，那么．再根据，即可求解．解：如图．在中，∵，∴．∵，∴，2EF AB CD===CF BF DE===90DEA∠='︒90A FB'∠=︒AD A D'==32A E'==31222A F'=-=ABCD EF2AB=BC=2EF AB CD===CF BF DE===90DEA∠='︒90A FB'∠=︒AD A D'==32A E'==31222A F'=-=tan A BF'∠==Rt ABC△sin cosBC ACAB ABαα==，sin cosαα-=215BC ACAB-⎛⎫=⎪⎝⎭BC AC-15SS=小正方形大正方形4S S S+=小正方形直角三角形大正方形Rt ABC△90ACB∠=︒sin cosBC ACAB ABαα==，sin cosαα-=22BC ACAB AB⎛⎫-=⎪⎝⎭∴，即．设，则，∴，∴．故选：B ．7．A【分析】连接由题意可得，进而说明为等腰直角三角形，再说明垂直平分、垂直平分，进而说明，然后再运用解直角三角形求得，然后再求得三角形的面积，最后求风车面积即可．解：如图：连接由题意可得： ，为等腰直角三角形又 ：，，即又垂直平分同理：垂直平分是等腰三角形顶角的角平分线即由题意可得又，215BC AC AB -⎛⎫= ⎪⎝⎭15S S=小正方形大正方形S k =小正方形5S k =大正方形()14S S S k =-=直角三角形大正方形小正方形1S kSk==小正方形直角三角形,AC Rt Rt Rt Rt AOB DCO EOF GOH V V V V ≌≌≌OAC V AJ CD G I AB 45OBH OHB ∠=∠=︒A I AOB ACRt Rt Rt Rt AOB DCO EOF GOHV V V V ≌≌≌,OA OC ∴=OAB ∠=OCD∠90AOC AOB ∠=∠=︒ OAC ∴V OAB ∠= OCD ∠180AJD ADJ OAB ∴∠=︒-∠-∠18090ODC OCD =︒-∠-∠=︒AJ CD⊥CJ DJ= AJ ∴CDG I AB,AC AD AJ ∴=CAD ∠DAJ ∠=12CAD ∠=124522.5⨯︒=︒,IH BJ IJ IB BJ IB IH ==+=+IB IA = IJ IB BJ IH IA ∴=+=+=在中，，，设，即 ，，设），，，即，，又，．故选A ．8．C【分析】如图所示，过点F作交BC 于H ，连接EH ，可证明四边形CDFH 是平行四边形，得到CH=DF=8，CD=FH ，则BH=4，从而可证四边形ABHE 是平行四边形，得到AB=HE ，即可推出当E 、F 、H 三点共线时，EH+HF 有最小值EF 即AB+CD 有最小值EF ，延长AE 交PQ 于G ，过点E 作ET ⊥PQ 于T ，过点A 作AL ⊥PQ 于L ，过点D 作DK ⊥PQ 于K ，证明四边形BEGC 是平行四边形，∠EGT=∠BCQ=60°，得到EG=BC=12，然后通过勾股定理和解直角三角形求出ET 和TF 的长即可得到答案．解：如图所示，过点F 作交BC 于H ，连接EH ，Rt ABO △22.5ABH BAH ∠=∠=︒45OBH OHB ∴∠==︒OB OH a ==AH BH ==OB =atan A ∴∠=1BO AO ==∴tan 1IHA IA==∠IH =1x AI x =IH IA ∴+==1x =∴112ABH S AB IH =⨯⨯=V ΔΔBOH ABHS OH S AH ==∴1BOH S =V ∴11AOB ABH BOH S S S =+=+=V V V ∴44AOB S S ===△风车FH CD ∥FH CD ∥∵，∴四边形CDFH 是平行四边形，∴CH=DF=8，CD=FH ，∴BH=4，∴BH=AE=4， 又∵，∴四边形ABHE 是平行四边形，∴AB=HE ，∵，∴当E 、F 、H 三点共线时，EH+HF 有最小值EF 即AB+CD 有最小值EF ，延长AE 交PQ 于G ，过点E 作ET ⊥PQ 于T ，过点A 作AL ⊥PQ 于L ，过点D 作DK ⊥PQ 于K ，∵，∴四边形BEGC 是平行四边形，∠EGT=∠BCQ=60°，∴EG=BC=12，∴同理可求得，，∴， ∵AL ⊥PQ ，DK ⊥PQ ，∴，∴△ALO ∽△DKO，∴，∴∴，∴，∴，故选C ．BC DF FH CD ∥∥，AE BC ∥EH FHEF +≥MN PQBC AE ∥∥，=cos =6=sin GT GE EGT ET GE EGT ⋅⋅∠，∠8GL AL==，4KF DK ==，2TL =AL DK ∥2AL AODK DO==2133AO AD DO AD ====24OL OK ===，42TF TL OL OK KF =+++=EF ==9．C【分析】如图1所示，以OA 为边，向右作等边△AOD ，连接PD ，过点D 作DE ⊥OA 于E ，先求出点D 的坐标，然后证明△BAO ≌△PAD 得到∠PDA=∠BOA=90°，则点P 在经过点D 且与AD 垂直的直线上运动，当点P 运动到y 轴时，如图2所示，证明此时点P 的坐标为（0，-2）从而求出直线PD 的解析式；如图3所示，作点A 关于直线PD 的对称点G ，连接PG ，过点P 作PF ⊥y 轴于F ，设直线PD 与x 轴的交点为H ，先求出点H 的坐标，然后证明∠HCO=30°，从而得到，则当G 、P 、F 三点共线时，有最小值，即有最小值，再根据轴对称的性质求出点G 在x 轴上，则OG 即为所求．解：如图1所示，以OA 为边，向右作等边△AOD ，连接PD ，过点D 作DE ⊥OA 于E ，∵点A 的坐标为（0，2），∴OA=OD=2，∴OE=AE=1，∴，∴点D 的坐标为；∵△ABP 是等边三角形，△AOD 是等边三角形，∴AB=AP ，∠BAP=60°，AO=AD ，∠OAD=60°，∴∠BAP+∠PAO=∠DAO+∠PAO ，即∠BAO=∠PAD ，∴△BAO ≌△PAD （SAS ），∴∠PDA=∠BOA=90°，∴点P 在经过点D 且与AD垂直的直线上运动，12AP PC GP PF +=+GP PF +12AP PC+DE ==)当点P 运动到y 轴时，如图2所示，此时点P 与点C 重合，∵△ABP 是等边三角形，BO ⊥AP ，∴AO=PO=2，∴此时点P 的坐标为（0，-2），设直线PD 的解析式为，∴，∴，∴直线PD 的解析式为；如图3所示，作点A 关于直线PD 的对称点G ，连接PG ，过点P 作PF ⊥y 轴于F ，连接CG ，设直线PD 与x 轴的交点为H ，∴点H 的坐标为，∴∴∠OCH=30°，y kx b =+12b b +==-⎪⎩2k b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩2y =-0⎫⎪⎭tan OH OCH OC ∠==∴，由轴对称的性质可知AP=GP ，∴，∴当G 、P 、F 三点共线时，有最小值，即有最小值，∵A 、G 两点关于直线PD 对称，且∠ADC=90°，∴AD=GD ，即点D 为AG 的中点，∵点A 的坐标为（0，2），点D 的坐标为，∴AG=2AD=2OA=4，∵AC=4，∠CAG=60°，∴△ACG 是等边三角形，∵OC=OA ，∴OG ⊥AC ，即点G 在x 轴上，∴由勾股定理得∴当点P 运动到H 点时，有最小值，即有最小值，最小值即为OG 的长，∴的最小值为故选：C ．10．D【分析】设，根据折叠的性质得，，根据轴对称的性质得出，即可判断①，从而得出,，继而判断②，设，则，解,即可判12PF PC =12AP PC GP PF +=+GP PF +12AP PC +)OG ==GP PF +12AP PC +12AP PC +,ADF CDE αβ∠=∠=,FDG GDE αα∠=∠=1sin 2DN DGN DG ∠==30DGN ∠=︒15α=︒30β=︒FG AF x ==2FM a x =-Rt GFM △(,2DCE DAF S V V断④．解：设，根据折叠的性质得，，四边形是正方形，则，，设正方形的边长为，则，MN是正方形ABCD 的对称轴，，，，，，，故①正确，，,，，，△FGM ∽△DEG ；故②正确，设，则，在中，，解得，即，，，，,ADF CDE αβ∠=∠=,FDG GDE αα∠=∠= ABCD 2290ADC αβ∠=+=︒45αβ∴+=︒4a4AD DG DC a === 2DN a ∴=1sin 2DN DGN DG ∴∠==30DGN ∴∠=︒90FGD A ∠=∠=︒ 60FGM ∴∠=︒30BFE ∴∠=︒()1180752AFD GFD BFE ∴∠=∠=︒-∠=︒15α∴=︒30β=︒30MFG BFE GDE β∠=∠=︒==∠ 90B DGE C ∠=∠=∠=︒∴FG AF x ==2FM a x =-GFM △cos cos30FM MFG MG ∠==︒=2a x x -∴=(42x a =(42AF a =275FDC AFD αβ∠=+=︒=∠ tan tan 22AD FDC AFD AF ∠=∠===≠30EDC ∠=︒ tan 304EC DC a ∴=⋅︒=，，，，故④正确故①②④正确，故选D ．二、填空题11．【分析】根据锐角三角函数的增减性判断出与的大小、与化简计算即可．解：∵，∴故答案为：12．【分析】延长交于，过作交于，根据“字形”可知，得到相似比，设，在中，根据勾股定理得，结合条件得出，再利用相似比即可求出的长度．21482DCE a a =⨯=△(42,4AF a AD a == ∴(2DAF S △(((21122442822AD AF a a a =⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=(2DCE DAF S =△△1cos βcos αcos β3090αβ︒<<<︒cos cos ,cos βαβ<<cos βαcos cos 1cos ββα=-+-cos cos cos 1cos βαβα=-++-1=1503AD CB F B BG CD ∥AF G A ,ADE AGB FBG FCD ∆∆∆∆::,DE AD BG BFBG AG CD CF==AG BG x ==Rt BFG ∆222FG BF BG +=254x =CD解：延长交于，过作交于，如图所示：，，，，，,,,,,,设，则，在中，根据勾股定理得,，解得，，解得，故答案为：．13．【分析】根据题意得出，进而根据正切的定义，得出的坐标，进而求得点的坐标，根据轴对称的性质求得的坐标，待定系数法求得解析式，进而化为顶点式，即可求解．解：∵中，，，AD CB F B BG CD ∥AF G ,AED ABG FBG C ∴∠=∠∠=∠,A A F F ∠=∠∠=∠ ,ADE AGB FBG FCD ∴∆∆∆∆::,DE AD BG BF BG AG CD CF∴==AD DE = BG AG ∴=AD BC ⊥ 90F ∴∠=︒ 10AB BC ==3tan 4DAE ∠=6,8BF AF ∴==AG BG x ==8FG x =-Rt BFG ∆222FG BF BG +=()22286x x ∴-+=254x =2564106CD ∴=+503CD =503258-BCO CAO ∠=∠,A C B C 'Rt ABC △90C ∠=︒CO AB ⊥∴，∴，∵，∴，设，则，则，∵∴，即，，∵，∴，即，∵将沿着轴翻折，的对应点为，∴，设抛物线解析式为，将点代入得，解得：∴抛物线解析式为故答案为：．14．且【分析】先确定点，点的位置，并连接，过点作轴于，交轴于，作关于的对称点，连接，过点作交轴于，过点作交轴于，解出所在直线的解析式，再证明，由此解出直线，直线的解析式，由此即可求解．解：根据题意，在平面直角坐标系中标出点，点，连接，作图如下，过点作轴于，交轴于，作关于的对称点，连接，过点作交轴于，过点作交轴于，则，直线和直线是符合条件的直90,90ABC CAB ABC COB ∠+∠=︒∠+∠=︒BCO CAO ∠=∠tan 2BCO ∠=tan 2CO CAO AO∠==AO a =2CO a =AC =AC =1,2OA CO ==()1,0A -()0,2C tan 2CO BCO BO∠==4BO =()4,0B ACB V x C C '()0,2C '-()()14y a x x =+-()0,2C '-42a -=-12a =()()()22111325143422228y x x x x x ⎛⎫=+-=--=-- ⎪⎝⎭258-62b -≤≤2b ≠-A B AB B BD y ⊥D BC AB ⊥y C C AB C 'AC 'C CE AB ∥x E C 'C F AB '∥y F AB 30ACB AC B '∠=∠=︒CE C F 'A B AB B BD y ⊥D BC AB ⊥y C C AB C 'AC 'C CE AB ∥x E C 'C F AB '∥y F 30ACB AC B '∠=∠=︒CE C F '线，理由如下，设过点，点的直线方程为，∴，解得，，∴所在直线的解析式为，∵，∴直线，直线是符合条件的直线，∵，，轴，∴，∴，在中，，∴，则，∵，∴，且，∴，∴，把代入得，，∵点与点关于对称，∴，，∵，∴，，∴是等边三角形，y x b =-+()0,2A -()1B -(0)y kx m k =+≠21m m =-⎧⎪⎨+=-⎪⎩2k m ⎧=⎪⎨⎪=-⎩AB 2y =-CE AB ∥CE C F 'y x b =-+()0,2A -()1B -BD y ⊥2,1OA BD OD ==211AD OA OD =-=-=Rt △ABD tan BD BAD AD ∠===2AB ===60BAD ∠=︒30ABD ∠=︒BC AB ⊥30ACB ∠=︒2224AC AB ==⨯=422OC AC OA =-=-=(0,2)C (0,2)C y x b =-+2b =C C 'AB 30AC B ACB '∠=∠=︒BC BC '=C F AB '∥60BAC BAC AC F ''∠=∠=∠=︒4AC AC '==C A F V ¢∴，则，∴，把代入得，∵点不能与点重合，∴，∴的取值范围为且．15．【分析】如图，过作交的延长线于，过作于，由旋转的性质可得：，可得，由菱形面积求解，证明，，可得，，，可得解：如图，过作交的延长线于，过作于，由旋转的性质可得：，∴，∵菱形面积为，∴解得：，由菱形的性质可得：，，∴，∴，4AF AC AC '===246OF OA AF =+=+=(0,6)-F (0,6)-F y x b =-+6b =-C A 2b ≠-b 62b -≤≤2b ≠-C 1CH C D ⊥1C D H B BK AD ⊥K 60BAD ∠=︒sin 60BK AB AB =︒=g 6AB =AB CD ∥16CD C D ==1120ADC ADC ∠=︒=∠1120CDC ∠=︒60CDH ∠=︒sin 60CH CD =︒=g C 1CH C D ⊥1C D H B BK AD ⊥K 60BAD ∠=︒sin 60BK AB AB =︒=g ABCD 22AD AB AB ==g 6AB =AB CD ∥16CD C D ==1120ADC ADC ∠=︒=∠1120CDC ∠=︒∴，∴∴故答案为：．16． 75 【分析】证明，可得；再证明，求出，可得结论．解：由折叠的性质可知，，，关于对称，，，，，，，．，，，，，，，，，，故答案为：75；60CDH ∠=︒sin 60CH CD =︒=g 162S =⨯⨯=阴影8-15CDG FDG ∠=∠=︒AGD ∠AG AD ==CE CG =AC CDG FDG ∠=∠G H DF DF AC ∴⊥30CAD ∠=︒ 60ADF ∴∠=︒90ADC ∠=︒ 906030CDF ∴∠=︒-︒=︒15CDG FDG ∴∠=∠=︒901575AGD ∴∠=︒-︒=︒AD = 90ADC ∠=︒30CAD ∠=︒8cos30ADAC ∴==︒90BCD ADC ∠=∠=︒ 15CDE ∠=︒75CED ∴∠=︒75ADG ∠=︒75AGD CGE ∠=∠=︒ 75ADG AGD ∴∠=∠=︒75CEG CGE ∠=∠=︒AD AG ∴==8CE CG ==-8-17．6【分析】菱形的性质得到，推出，外角的性质，得到，进而得到，过点作于点，推出，利用锐角三角函数和勾股定理求出的长即可．解：∵四边形为菱形，∴，∴，∵，∴，过点作于点，设交于点，则，∵，且，∴，∵，∴，∵，∴，在中，，设，则：，180,BEF F C FAC ∠+∠=︒∠=∠AMG BEF ∠=∠C BGE ∠=∠BGE FAC ∠=∠B BH GE ⊥H AD BH =BH ABEF ,AB BE EF AF BE ==∥180,BEF F C FAC ∠+∠=︒∠=∠180AMG F ∠+∠=︒AMG BEF ∠=∠B BH GE ⊥H ,AC EF N 90BHG ∠=︒,AMG MGN MNG BEF ENC C ∠=∠+∠∠=∠+∠MNG ENC ∠=∠BGE C FAM ∠=∠=∠AD BE ⊥ABEF BE AD EF BH S ⋅=⋅=菱形BE EF =AD BH =Rt BHG V 4t a an 3t n BH BGH HG FAM =∠=∠=3,4BH x HG x ==510BG x ===∴，∴；故答案为：．18．【分析】解直角三角形得出，，求出，，得出，，总结得出，从而得出．解：∵∴，∵轴，∴点A 的横坐标为∵，∴点A∴，∴，∵，∴设，则，∴∴，∴，∵，∴，2x =6AD BH ==6230AOB ∠=︒60BOC ∠=︒ABC S =V 111ABC A B C ∽△△222ABC A B C V V ∽1114A B C ABC S S =V V ()22222242A B C ABC ABC S S S =⋅=⋅V V V ()2222n n n n n A B C ABC ABC S S S ==V V V 2023202320232202322A B C S ⨯==V OB =()B AB x ⊥1:l y x =tan AB AOB OB ∠===30AOB ∠=︒2:l y =(),C C C x y C C y =tan C C yBOC x ∠==60BOC ∠=︒1cos 602OC OB =⨯︒==sin 60BC OB =⨯︒==130AOC BOC AOB ∠=∠-∠=︒1AOB AOC ∠=∠∴平分，∵，，∴∵，，∴，∴∴∴∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，，∵轴，轴，∴，，∵轴，轴，轴，∴，∴，，∵，∴，，OA BOC∠12AC l⊥AB OB⊥1AC AB==1AB AC=OA OA=1Rt RtOAB OACV V≌1OC OB==11CC OC OC=-==12ABC OAB ACC BOCS S S S=--V V V V1112222=⨯⨯=2BC l⊥90BCO∠=︒906030CBO∠=︒-︒=︒112B C l⊥2BC l⊥222B C l⊥2112B BC C B C∥∥112230C B O C B O CBO∠=∠=∠=︒1122C B O C B O CBO AOB∠=∠=∠=∠1AO AB=112A O A B=AB x⊥11A B x⊥112OB OB=1212OB OB=AB x⊥11A B x⊥22A B x⊥1122AB A B A B∥∥11112AB OBA B OB==22214AB OBA B OB==2112B BC C B C∥∥11112BC OBB C OB==22214BC OBB C OB==∴，∵，∴，同理，∴，，∴，∴故答案为：．三、解答题19．20．（1）解：在中，，，，∴，在中，，，∴；（2）解：在中，，，1111AB BC A B B C =111903060ABC A B C ∠=∠=︒-︒=︒111ABC A B C ∽△△222ABC A B C V V ∽1114AB C ABC S S=V V ()22222242A B C ABC ABC S S S =⋅=⋅V V V ()2222n n n n n A B C ABC ABCS S S ==V V V 2023202320232202322A B C S ⨯==V 2sin 60-︒=41=5=Rt BDE △90DBC ∠=︒3m DB =37DCB ∠=︒3m tan 37tan 37DB BC ==︒︒Rt ABC △90ABC ∠=︒()ACB AB BD ϑ∠=>33tan 37m cos cos tan 37cos BC AC ACB ϑϑ︒===∠︒Rt ABC △90ABC ∠=︒()ACB AB BD ϑ∠=>∴，则，设点D 到AC 的距离为h ，由得．21．（1）解：连接BD ，如下图，∵∴是等腰三角形．∵D 为AC 的中点，∴．∵，∴，∴，∴；（2）解：①∵，设，则，∴．3tan m tan 37tan AB BC ϑϑ==︒⋅3tan 3tan 3tan 373tan 37tan 37AD AB BD ϑϑ-︒=-=-=︒︒1122ADC S AC h AD BC =⋅=⋅V 33tan 3tan 37ta 3tan 73t c n 3o 7an 37s AD BC h ACϑϑ⋅︒==︒-︒⨯︒n cos 3tan 33tan ta 773cos ϑϑϑ=-︒︒AB AC ==ABC V BD AC ⊥4AC =122AD DC AC ===1BD ===sin BD C BC ∠===22DE PE +=PE x =+2=2DE x 2-2DE x =∵由（1）得，，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴；②由①，，PE ⊥AD ，∴．∵E 、F 分别为AD 、CD 上的动点，使为中点，则，，∴．∵ ，且，x 不能小于0，∴，解得，∴，∴当时，．22．解：过点A 作AG ⊥CD于点G ，如图所示：由题意得：，∴△EAD 是等腰直角三角形，2AD =2DE AD AE AE =-=-2AE x =1tan 22PE x A AE x ∠===2CD =1tan 2DB C DC ∠==tan tan A C ∠=∠A C ∠=∠AP BC ∥2AE x =PE x =AP =E AP PF ==2AE EF x ==4244CF AE x =-=-22DE PE +=02DE ≤≤02-22x ≤≤01x <≤)44PF x x +=-=1x =PF 80m,10m,45,30CE DF AEF ADE ACE ==∠=∠=︒∠=︒∴AG=EG=DG ，设AG=EG=DG=x ，∴，∴，解得：，∴，∴；答：隧道EF 的长度米．23．解：如图，过作于，则四边形是矩形，∴，，∵，∴设，则，，∴，∵，∴，，解得：∴，tan 30AG CG==︒80x+=40x =()40m AG EG DG ===()()2401070m EF ED DF =-=-=+()70A AF CD ⊥F ABDF 6==DF AB AF BD =15AMB ∠=︒(6212tan15AB MB ===+︒DM x =2CM x =CD 6CF =-12AF BD DM BM x ==+=++30CAF ∠=︒tan 30CF AF︒==)1236x ++=-6x =+618CD ==+=∴索菲亚教堂的高度为米．24．（1）解：如图，过A 点作于点，，，，斜坡的坡度：：，，，点A 坐标为，设段关于的函数解析式为，代入，，解得：，段关于的函数解析式，故答案为：；．（2）解：在中，，，，，，，在训练过程中，始终有一架无人机在小明正上方随他一起运动．无人机速度为，小明在斜坡上跑步的时间为：，()18AC OB ⊥C AC OB ⊥ 90ACO ACB ∠∠∴==︒OA = OA i AC =1OC =310m AC ∴=30m OC =∴()30,10OA y x 0y kx k =≠（）()3010A ，3010k =13k x =OA ∴y x ()10303y x x =≤≤()3010，()10303y x x =≤≤Rt ABC V 10m AC =22.5ABC ∠=︒5sin sin 22.513AC ABC AB ∠==︒≈ 5tan tan 22.512AC ABC BC ∠==︒≈26AB m ∴≈24BC m ≈ 3/m s ∴AB 2438s ÷=（）小明在斜坡上的跑步速度是：，，，，，设段关于的函数解析式为：代入，，得：，解得：，段关于的函数解析式为；故答案为：．（3）解：在段上无人机与小明之间的距离为时，则有：，解得：，无人机飞行的时间为；在段上，无人机与小明之间距离为时，则有：，解得：，无人机飞行的时间为，无人机与小明之间距离不超过的时长为：．∴AB 13268m /s 4÷=（）30m OC = 24m BC =54m OB OC BC ∴=+=()540B ∴，AB y x 0y mx n m =+≠（）3010A （，）540B （，）3010540m n m n +=⎧⎨+=⎩5121356m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩AB ∴y x ()51353054126y x x =-+≤≤134OA 10m 115103x -=15x =∴1535s ÷=（）AB 10m 51351510126x --+=（42x =∴42314s ÷=（）∴10m 1459s -=（）。
九年级数学上册 第23章 解直角三角形 单元测试卷(沪科版)
九年级数学上册第23章解直角三角形单元测试卷（沪科版）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，则下列三角函数表示正确的是()A．sin A＝125B．cos A＝513C．tan A＝1213D．tan B＝125(第1题)(第4题)(第6题)2．在Rt△ABC中，cos A＝12，那么sin A的值是()A.22 B.32 C.33 D.123．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为5米，则这个坡面的坡度为()A．1：2 B．1： 3 C．30°D．60°4．如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为()A．3sin α米B．3cos α米 C.3sin α米 D.3cos α米5．在△ABC中，tan A＝1，cos B＝22，则对△ABC的形状描述最准确的是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．锐角三角形6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，CD⊥AB于点D，设∠ACD ＝α，则cos α的值为()A.45 B.34 C.43 D.357．如图，P是锐角α的边OA上一点，且点P的坐标为(3，4)，则sin α等于()A.35 B.45 C.34 D.43(第7题)(第8题)(第9题) 8．某公路在BC路段限速60 km/h(即最高行驶速度不能超过60 km/h)，管理部门在距离公路100 m处设置了一个速度监测点A，假设公路是笔直的，建立如图所示的直角坐标系，∠BAO＝60°，∠CAO＝45°，点A的坐标为(0，－100)，则限速路段BC等于()A．300 m B．(100 3＋100)mC．200 3m D．100(3＋2)m9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF ⊥AB交AC于点F.若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为()A.35 B.55 C.45 D.2 5510．如图，在矩形ABCD中，E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是()A.24 B.14 C.13 D.23(第10题)(第12题)(第13题)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝2cos 30°，则∠A＝______．12．如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB，BC＝6米，坡角β＝45°，AD的坡角α＝30°，则AD长为________米(结果保留根号)．13．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则tan ∠AOB＝________．14．如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan∠BA2C＝13，tan∠BA3C＝17.(1)计算tan∠BA4C＝________；(2)按此规律，写出tan∠BA n C＝________．(用含n的代数式表示)(第14题)三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15．计算：(π－2 023)0－3tan 30°＋|1－3|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2.16．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，a ＝2 3，b ＝6，解这个直角三角形．(第16题)四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．热气球的探测器显示，从热气球A 看一栋楼顶部B 的仰角α为45°，看这栋楼底部C 的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离为100 m ，求这栋楼的高度(结果保留根号)．(第17题)18．在△ABC中，AB＝6，∠B为锐角且cos B＝12，tan C＝3 3.(第18题)(1)求∠B的度数；(2)求BC的长；(3)求△ABC的面积．五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角∠MBC＝33°，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角∠MEC＝45°(点A，D与N在一条直线上)，求电池板离地面的高度MN的长(结果精确到1米；参考数据sin 33°≈0.54，cos 33°≈0.84，tan 33°≈0.65)．(第19题)20．如图，一个人骑自行车由A地到C地途经B地，当他由A地出发时，发现他的北偏东45°方向有一电视塔P.他由A地向正北方向骑行了3 2 km到达B 地，发现电视塔P在他北偏东75°方向，然后他由B地向北偏东15°方向骑行了6 km到达C地．(第20题)(1)求A地与电视塔P的距离；(2)求C地与电视塔P的距离．六、(本题满分12分)21．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC，AE分别交于点O，E，连接EC.(1)求证：四边形ADCE是菱形；(2)若AB＝AO，求tan∠OAD的值．(第21题)七、(本题满分12分)22．某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼BC的高度．如图所示，其中观景平台斜坡DE的长是20米，坡角为37°，斜坡DE 的底部D与大楼底端C的距离CD为74米，与地面CD垂直的路灯AE的高度是3米，从楼顶B测得路灯AE顶端A处的俯角是42.6°.试求大楼BC的高度．(结果精确到1米；参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 42.6°≈0.68，cos 42.6°≈0.74，tan 42.6°≈0.92)(第22题)八、(本题满分14分)23．(1)观察与猜想：已知当0°<α<60°时，下列关系式有且只有一个正确，正确的是________(填序号)；①2sin (30°＋α)＝sin α＋3；②2sin (30°＋α)＝2sin α＋3；③2sin (30°＋α)＝ 3 sin α＋cos α.(2)探究与证明：如图①，在△ABC中，∠A＝α，∠B＝30°，AC＝1，请利用图①证明(1)中你猜想的结论；(3)应用新知识解决问题：两块分别含有45°角和30°角的直角三角板如图②方式摆＝________．放在同一平面内，BD＝8 2，则S△ABC(第23题)答案一、1.B2.B3.B4.A5.C6.A7.B8.B9．A 【点拨】如图，连接BF .(第9题)∵CE 是斜边AB 上的中线，EF ⊥AB ，∴EF 是AB 的垂直平分线，∴S △AEF ＝S △BEF ＝5，BF ＝AF ，∴S △AFB ＝10＝12AF ·BC ，∠FBA ＝∠A .∵BC ＝4，∴AF ＝5＝BF ，∴在Rt △BCF 中，CF ＝BF 2－BC 2＝52－42＝3.∵CE 是Rt △ABC 的斜边AB 上的中线，∴CE ＝AE ＝BE ＝12AB .∴∠A ＝∠ABF ＝∠ACE .又∵∠BCA ＝90°＝∠BEF ，∴∠CBF ＝90°－∠BFC ＝90°－2∠A ，∠CEF ＝90°－∠BEC ＝90°－2∠A ，∴∠CEF ＝∠CBF ，∴sin ∠CEF ＝sin ∠CBF ＝CF BF ＝35.10．A 二、11.60°12.6213.1314．(1)113(2)1n 2－n ＋1三、15.解：(π－2023)0－3tan 30°＋|1－3|2＝1－3×33＋3－1＋4＝1－3＋3－1＋4＝4.16．解：∵a ＝23，b ＝6，∠C ＝90°，∴c＝a2＋b2＝12＋36＝48＝4 3.∵tan A＝ab＝236＝33，∴∠A＝30°，∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°.四、17.解：在Rt△ADB中，∠BAD＝45°，∴BD＝AD＝100m.在Rt△ADC中，CD＝AD×tan∠DAC＝1003m，∴BC＝BD＋CD＝(100＋1003)m.答：这栋楼的高度为(100＋1003)m.18．解：(1)∵∠B为锐角且cos B＝12，∴∠B＝60°.(2)如图，过点A作AH⊥BC于点H.∵cos B＝1 2，∴BHAB＝12.∵AB＝6，∴BH＝3.在Rt△ABH中，AH＝AB2－BH2＝62－32＝3 3.∵tan C＝33，∴AHCH＝33，即33CH＝33，∴CH＝1，∴BC＝BH＋CH＝3＋1＝4.(3)S△ABC＝12BC·AH＝12×4×33＝6 3.(第18题)五、19.解：如图，延长BC交MN于点H，AD＝BE＝3.5米．设MH＝x米．(第19题)∵∠MEC ＝45°，∴EH ＝x 米．在Rt △MHB 中，tan ∠MBH ＝MH HE ＋EB ＝xx ＋3.5≈0.65，解得x ＝6.5.∴MN ＝1.6＋6.5＝8.1≈8(米)．答：电池板离地面的高度MN 的长约为8米．20．解：(1)如图，过点B 作BD ⊥AP 于点D .(第20题)依题意，得∠BAD ＝45°，则∠ABD ＝45°.在Rt △ABD 中，AD ＝BD ＝22AB ＝22×32＝3(km)．∵∠PBN ＝75°，∴∠APB ＝∠PBN －∠PAB ＝30°，∴PD ＝BDtan 30°＝33km ，PB ＝2BD ＝6km ，∴AP ＝AD ＋PD ＝(3＋33)km ，∴A 地与电视塔P 的距离为(3＋33)km.(2)如图，过点C 作CE ⊥BP 于点E .∵∠PBN ＝75°，∠CBN ＝15°，∴∠CBE ＝60°.∵BC ＝PB ＝6km ，∴△BCP 是等边三角形，∴PC ＝BC ＝PB ＝6km ，∴C 地与电视塔P 的距离为6km.六、21.(1)证明：∵DE ∥AB ，AE ∥BC ，∴四边形ABDE 是平行四边形，∴AE ∥BD 且AE ＝BD .又∵AD 是边BC 上的中线，∴BD ＝CD ，∴AE ＝CD ，∴四边形ADCE 是平行四边形．又∵∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的中线，∴AD ＝BD ＝CD .又∵四边形ADCE 是平行四边形，∴四边形ADCE 是菱形．(2)解：∵四边形ADCE 是菱形，∴AO ＝CO ，∠AOD ＝90°.又∵BD ＝CD ，∴OD 是△ABC 的中位线，∴OD ＝12AB .∵AB ＝AO ，∴OD ＝12AO ，∴在Rt △OAD 中，tan ∠OAD ＝OD OA ＝12.七、22.解：延长AE 交CD 的延长线于点M ，过点A 作AN ⊥BC 于点N ，则四边形AMCN 是矩形，∴NC ＝AM ，AN ＝MC .在Rt △EMD 中，∠EDM ＝37°，∵sin ∠EDM ＝EM ED ，cos ∠EDM ＝DM ED，∴EM ＝ED ×sin 37°≈20×0.6＝12(米)，DM ＝ED ×cos 37°≈20×0.8＝16(米)，∴AN ＝MC ＝CD ＋DM ≈74＋16＝90(米)．在Rt △ANB 中，∠BAN ＝42.6°，∵tan ∠BAN ＝BN AN ，∴BN ＝AN ×tan 42.6°≈90×0.92＝82.8(米)，∴BC ＝BN ＋AE ＋EM ≈82.8＋3＋12≈98(米)．答：大楼BC 的高度约为98米．八、23.(1)③(2)证明：如图①，过点A 作AM ⊥BM ，交BC 的延长线于点M ，过点C 作CE ⊥AB 于点E .(第23题)∵∠AMB ＝90°，∠B ＝30°，∴AM ＝12AB ，即AB ＝2AM .∵∠ACM 为△ABC 的外角，∴∠ACM ＝∠B ＋∠BAC ＝30°＋α.在Rt △ACM 中，AC ＝1，∴AM ＝AC ·sin ∠ACM ＝sin (30°＋α)，∴AB ＝2sin (30°＋α)．在Rt △AEC 中，CE ＝AC ·sin α＝sin α，AE ＝AC ·cos α＝cos α.在Rt △BEC 中，BE ＝CE tan 30°＝3CE ＝3sin α.∴AB ＝BE ＋AE ＝3sin α＋cos α，∴2sin (30°＋α)＝3sin α＋cos α.(3)24＋83【点拨】∵∠ABD ＝45°，∠CBD ＝30°，∴2sin (30°＋45°)＝3sin 45°＋cos 45°＝6＋22，∴sin 75°＝6＋24.如图②，过点A 作AE ⊥BC 于点E .(第23题)在等腰直角三角形ABD 中，BD ＝82，∴AB＝AD＝8.在Rt△BCD中，BD＝82，∴CD＝42，∴BC＝BD2－CD2＝4 6.在Rt△ABE中，sin75°＝AE AB，∴AE＝8×6＋24＝26＋22，∴S△ABC＝12BC·AE＝12×46×(26＋22)＝24＋8 3.。
沪科版九年级数学上册《第23章解直角三角形》单元评估检测试卷(有答案)
13.如图，某地修建高速公路，要从 B 地向 C地修一座隧道（ B、C在同一水平面 上），为了测量 B、C 两地之间的距离，某工程队乘坐热气球从 C地出发垂直上 升 100m 到达 A 处，在 A 处观察 B 地的俯角为 30°，则 BC两地间的距离为 ________ m．
14.某轮船由西向东航行， 在 A 处测得小岛 P 的方位是北偏东 75°，又继续航行 7 海里后，在 B 处测得小岛 P 的方位是北偏东 60°，则此时轮船与小岛 P 的距离 BP=________海里．
sin ??=
????
,
cos??=
????
????
????
∴CD=ACsin ?? = 400sin30 ° =400× 1 =200(m) 2
AD= AC cos?? = 400cos30 ° =400× 3 =200 2
∵ 在 Rt△ BCD中, tanB= ????
????
∴ BD=
???? tan ??
（参考数据：
sin67
°≈1123 ， cos67
5
°≈13 ，
tan67
12
°≈5 ，sin37
3
4
°5≈， cos37 °≈5 ，
3
tan37 °≈4 ）
26.如图，为测量江两岸码头 B、D 之间的距离，从山坡上高度为 50 米的 A 处测 得码头 B 的俯角 ∠ EAB为 15°，码头 D 的俯角 ∠ EAD为 45°，点 C 在线段 BD 的延 长线上， AC⊥BC，垂足为 C，求码头 B、D 的距离（结果保留整数）（ tan15 °＝
A. 5tan40 °
B. 5cos40 °
C. 5sin40 °
【易错题】沪科版九年级上《第23章解直角三角形》单元试卷(学生用)
【易错题解析】沪科版九年级数学上册第23章解直角三角形单元检测试卷一、单选题（共10题；共30分）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，则BC的长为（）A. 7sin35°B. 7cos35°C. 7tan35°D.°2.在△ABC中，∠C=90º，若cosB=，则∠B的值为（）A. °B. °C. °D. °3.要在宽为22米的九州大道AB两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（）A. 米B. 米C. 米D. 米4.已知点A，B分别在反比例函数y= （x＞0），y= （x＞0）的图象上且OA⊥OB，则tanB为（）A. B. C.D.5.如果把Rt△ABC的三边长度都扩大2倍，那么锐角A的余弦值（）A. 扩大到原来的2倍B. 缩小到原来的C. 不变 D. 都不能确定6.在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣tanB）2=0，则∠C的度数为（）A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°7.（2017•滨州）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tan∠DAC的值为（）A. 2+B. 2C. 3+D. 38.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，∠A=α，那么BC的长是（）A. 5cotαB. 5tanαC.D.9.（2017•深圳）如图，学校环保社成员想测量斜坡旁一棵树的高度，他们先在点处测得树顶的仰角为，然后在坡顶测得树顶的仰角为，已知斜坡的长度为，的长为，则树的高度是（）A. B. 30C. D. 4010.将一副三角板如下图摆放在一起，连接AD，则∠ADB的正切值为（）A. B. C.D.二、填空题（共10题；共30分）11.计算：=________．12.计算：sin260°+cos260°﹣tan45°=________．13.若sinA= ，则cos（90°﹣A）=________．14.如图，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB，AC．若∠B=56°，∠C=45°，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为________米．（°，°）15.在△ABC中，AC=6 ，点D为直线AB上一点，且AB=3BD，直线CD与直线BC所夹锐角的正切值为，并且CD⊥AC，则BC的长为________．16.如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，则从C 岛看A，B两岛的视角∠ACB等于________ 度．17.如果一个四边形的某个顶点到其他三个顶点的距离相等，我们把这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点.如图，已知梯形ABCD是等距四边形，AB//CD，点B是等距点. 若BC=10，，则CD的长等于________．18.如图，点A(2，2 ),N(1，0), ∠AON=60°,点M为平面直角坐标系内一点,且MO=MA,则MN的最小值为________.19.如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC= ，AC=6，则BD的长是________．20.（2017•宁波）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上．则cos∠EFG的值为________．三、解答题（共8题；共60分）21.如图，水库大坝的横截面是梯形，坝顶宽5米，坝高20米，斜坡AB的坡比为1：2.5，斜坡CD的坡比为1：2，求大坝的截面面积22.如图，某游客在山脚下乘览车上山．导游告知，索道与水平线成角∠BAC为40°，览车速度为60米/分，11分钟到达山顶，请根据以上信息计算山的高度BC．（精确到1米）（参考数据：sin40°=0.64，cos40°=0.77，tan40°=0.84）23.一轮船在P处测得灯塔A在正北方向，灯塔B在南偏东30°方向，轮船向正东航行了900m，到达Q处，测得A位于北偏西60°方向，B位于南偏西30°方向.（1）线段BQ与PQ是否相等？请说明理由；（2）求A、B间的距离（结果保留根号）.24.如图，某光源下有三根杆子，甲杆GH的影子GM，乙杆EF的影子一部分照在地面上EA，一部分照在斜坡AB上AD．（1）请在图中画出形成影子的光线，确定光源所在的位置R，并画出丙杆PQ 在地面上的影子．（2）在（1）的结论下，若过点F的光线FD⊥AB，斜坡与地面夹角为60°，AD=1米，AE=2米，请求出乙杆EF的高度．（结果保留根号）25.如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）26.（2017•阿坝州）如图，小明在A处测得风筝（C处）的仰角为30°，同时在A正对着风筝方向距A处30米的B处，小明测得风筝的仰角为60°，求风筝此时的高度．（结果保留根号）27.如图，建筑物AB的高为6m，在其正东方向有一个通信塔CD，在它们之间的地面点M（B，M，D三点在一条直线上）处测得建筑物顶端A，塔顶C的仰角分别为37°和60°，在A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高度．（精确到0.01m）28.某海域有A、B、C三艘船正在捕鱼作业，C船突然出现故障，向A、B两船发出紧急求救信号，此时B船位于A船的北偏西72°方向，距A船24海里的海域，C船位于A船的北偏东33°方向，同时又位于B船的北偏东78°方向．（1）求∠ABC的度数；（2）A船以每小时30海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点．（结果精确到0.01小时）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）答案解析部分一、单选题1.【答案】B2.【答案】A3.【答案】B4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】D7.【答案】A8.【答案】B9.【答案】B10.【答案】D二、填空题11.【答案】﹣112.【答案】013.【答案】14.【答案】6015.【答案】或1516.【答案】9017.【答案】1618.【答案】19.【答案】220.【答案】三、解答题21.【答案】解：∵斜坡AB的坡度i=1：2.5，∴，∵斜坡CD的坡度i=1：2，∴，∵BE=20米，∴AE=50米，DF=40米，∵EF=BC，BC=5米，∴EF=5米，∴AD=AE+EF+DF=50+5+40=95米= (AD+BC)×BE= ×100×20=1000(平方米)∴S梯形ABCD22.【答案】解：由题意可得：∠BAC=40°，AB=66米．∵sin40°= ，∴BC≈0.64×660=422.4米≈422米．答：山的高度BC约为422米．23.【答案】（1）相等，理由如下：由图易知，∠QPB＝60°，∠PQB＝60°∴△BPQ是等边三角形，∴BQ＝PQ.（2）由（1）得PQ＝BQ＝900m在Rt△APQ中，AQ＝∠（m），又∵∠AQB＝180°－（60°+30°）＝90°，∴在Rt△AQB中，AB＝＝＝300 （m）.答：A、B间的距离是300 m.24.【答案】解：（1）如图，QN即为PQ在地面的影子．（2）分别延长FD、EA交于点S在Rt△ADS中，∠ADS=90°∵∠DAS=60°，∴∠S=30°又∵AD=1，∴AS=2，∴ES=AS+AE=2+2=4，在Rt△EFS中，∠FES=90°，EF=ES•tan∠FSE=4•tan30°=4×（米）．25.【答案】解：在Rt△BCD中，BD=9米，∠BCD=45°，则BD=CD=9米．在Rt△ACD中，CD=9米，∠ACD=37°，则AD=CD•tan37°≈9×0.75=6.75（米）．所以，AB=AD+BD=15.75米，整个过程中旗子上升高度是：15.75﹣2.25=13.5（米），因为耗时45s，所以上升速度v= =0.3（米/秒）26.【答案】解：∵∠A=30°，∠CBD=60°，∴∠ACB=30°，∴BC=AB=30米，在Rt△BCD中，∠CBD=60°，BC=30，∴sin∠CBD= ，sin60°= ，∴CD=15 米，答：风筝此时的高度15 米27.【答案】解：过点A作AE⊥CD于E，则四边形ABDE是矩形，设CE=xcm．在Rt△AEC中，∠AEC=90°，∠CAE=30°，所以AE= = xcm．在Rt△CDM中，CD=CE+DE=CE+AB=（x+6）cm，DM= = cm．在Rt△ABM中，BM= = cm，AE=BD，所以= + ，解得：x= +3，∴CD=CE+ED= +9≈15.90（cm）．答：通信塔CD的高度约为15.90cm．28.【答案】解：（1）∵BD∥AE，∴∠DBA+∠BAE=180°，∴∠DBA=180°﹣72°=108°，∴∠ABC=108°﹣78°=30°；（2）作AH⊥BC，垂足为H，∴∠C=180°﹣72°﹣33°﹣30°=45°，∵∠ABC=30°，∴AH=AB=12，∵sinC=，=12．∴AC==°则A到出事地点的时间是：≈≈0.57小时．答：约0.57小时能到达出事地点．。
沪科版九年级数学上《第23章解直角三角形》单元检测试题有答案
2020-2020学年度第一学期沪科版九年级数学上册第23章解直角三角形单元检测试题考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.在离地面高度为5米处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60∘的角，则拉线的长是（）A.10B.10√33C.5√32D.5√32.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点都在格点上，则sin∠ACB的值为（）A.√24B.13C.√1010D.3√10103.若某人沿坡度ⅰ=1:8的斜坡前进了65m，则他所在的位置比原来的位置上升的高度是（）A.√65mB.659m C.658m D.√6565m4.如图，已知AD为等腰三角形ABC底边上的高，且tan∠B=43．AC上有一点E，满足AE:EC=2:3．那么，tan∠ADE是（）A.3 5B.23C.12D.135.某落地钟钟摆的摆长为0.5米，来回摆动的最大夹角为60∘，已知在钟摆的摆动过程中，摆锤离地面的最低高度为a米，最大高度为b米，则b−a等于（）A.1 2B.12−√32C.1 2+√34D.12−√346.如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30∘，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为45∘，则该高楼的高度为（）米．A.60(√3+1)B.30(√3−1)C.30(√3+1)D.60(√3−1)7.如图所示，要在离地面5m处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60∘角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的l1=5.2m、l2=6.2m、l3=7.8m、l4=10m四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用（）A.l1B.l2C.l3D.l48.小明沿着坡比为1:√3的山坡向上走了600m，则他升高了（）A.200√3mB.200√2mC.300 mD.200m9.某海轮以30海里/时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60∘，向北航行40分钟后，到达B点，测得油井P在南偏东30∘，海轮改为东偏北30∘航向再航行80分钟到达C点，则P、C间的距离是（）海里．A.20√7B.20√30C.10√7D.10√310.如图．在坡角为a的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A.5cosaB.5cosa C.5sina D.5sina二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东45∘方向的C处，他先沿正东方向走了100m到达B地，再沿北偏东30∘方向走，恰能到达目的地C（如上图），那么，由此可知，B、C两地相距为________m．12.小敏想知道校园内一棵大树的高（如图），他测得CB=10米，∠ACB=60∘，请你帮他算出树高AB为________米．（保留根号）13.如图，小丽家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得图书馆（图中点A处）在她家北偏东30∘的600m处，则图书馆所在的位置到公路的距离AB=________m．14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB，BC=4，AB=6，则cos∠ACD=________．15.某滑雪运动员沿着坡比为1:√3的斜坡向下滑行了100米，则运动员下降的垂直高度为________米．16.如图，已知正方形ABCD的边长为2．如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′点处，那么tan∠BAD′等于________．17.如图，甲、乙两楼相距20m，甲楼高20m，自甲楼顶看乙楼楼顶，仰角为60∘，则乙楼的高为________．（结果可用根式表示）．18.如图，某建筑物直立于水平地面，BC=9米，∠B=30∘，要建造楼梯，使每阶台阶高度不超过20厘米，那么此楼梯至少要建________阶（最后一阶不足20厘米按一阶计算，√3≈1.732）．19.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为6，sinB=1，则线段AC的长是________．320.如图，身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30∘和60∘的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高为（其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高）________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD的高度．如示意图，由距CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为β，在A和C之间选一点B，由B 处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为α．测得A，B之间的距离为4米，tanα= 1.6，tanβ=1.2，试求建筑物CD的高度．22.如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔BC塔尖B的仰角为60∘，沿山坡AM走到D处测得塔尖B的仰角为30∘，已知AC为100米，山坡坡度i=1:3，C、A、E 三点在同一直线上．求此人所在位置点D的铅直高度DE．（结果保留根号形式）23.海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60∘方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45∘方向，求此时灯塔B到C处的距离．24.如图，在海中有一个小岛A，在它周围6nmile内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得小岛A在北偏东55方向，航行6nmlie到达C点，这时测得小岛A在北偏东29∘方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险．参考数据：tan29∘≈0.55，tan35∘≈0.70，tan55∘≈1.43，tan61∘≈1.80．25.如图所示，某小区一栋新建住宅楼AB正前方有一栋高度是10米的旧楼房ED，从新楼顶端A处测得在其正前方的旧楼的顶端E的仰角是30∘，旧楼底端D到新楼前梯坎底边的距离DC是10√3米，梯坎坡长BC是8米，梯坎坡度i=1:√3，春节期间居委会想在AE之间悬挂一条彩带来烘托节日气氛，求这条彩带的长度和新建住宅楼AB的高度．26.某小区为解决小区居民停车难问题，在小区道路旁画停车位，按要求宽度不能超过3.5米，如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位设计示意图，请你参考图中数据，计算车位所占道路的宽度EF是否符合设计要求．参考数据：(sin40∘≈0.64, cos40∘≈0.77, tan40∘≈0.84)答案1.B2.C3.A4.C5.D6.C7.B8.C9.A10.B11.100(√3+1)12.10√313.300√314.2315.5016.√217.20+20√3@20(1+√3)18.2619.420.(2√3+1.6)m21.建筑物高为20.4米．22.此人所在位置点D的铅直高度DE为300−100√3米．323.灯塔B距C处5(√6−√2)海里．24.渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险．25.解：作EF⊥AB于点F，BH⊥CD于点H，如右图所示，由题意可得，∠AEF=30∘，DE=10米，CD=10√3米，梯坎坡长BC是8米，梯坎坡度i= 1:√3，∴BH=4米，CH=4√3米，∴EF=CD+CH=10√3+4√3=14√3米，∴AE=EFcos30∘=√3√32=28米，AF=EF⋅tan30∘=14√3×√33=14米，∴AB=AF+FH−BH=14+10−4=20米，即这条彩带的长度是28米，新建住宅楼AB的高度是20米．26.车位所占道路的宽度EF符合设计要求．。
第23章 解直角三角形数学九年级上册-单元测试卷-沪科版(含答案)
第23章解直角三角形数学九年级上册-单元测试卷-沪科版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、△ABC在网络中的位置如图所示，则cos∠ACB的值为（）A. B. C. D.2、如图，AB，BC是⊙O的弦，∠B=60°，点O在∠B内，点D为上的动点，点M，N，P分别是AD，DC，CB的中点.若⊙O的半径为2，则PN+MN的长度的最大值是（）A. B. C. D.3、如图是一张简易活动餐桌,现测得OA=OB=30cm，OC=OD=50cm，现要求桌面离地面的高度为40cm，那么两条桌腿的张角∠COD的大小应为( )A.150°B.135°C.120°D.100°4、等腰三角形底边长为10cm，周长为36cm，那么底角的余弦等于（）．A. B. C. D.5、在中，，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.6、如图，已知一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是（）A.7 海里B.14 海里C.7海里D.14海里7、如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tan∠DAC的值为（）A. B. C. D.8、如图，在菱形ABOC中，∠A=60°，它的一个顶点C在反比例函数的图象上，若将菱形向下平移2个单位，点A恰好落在函数图象上，则反比例函数解析式为（）A. B. C. D.9、如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m ，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m ，则这棵树的高度为（）（结果精确到0.1m ，≈1.73）．A.3.5 mB.3.6 mC.4.3 mD.5.1 m.10、如图，Rt△ABC中，∠CAB=90°，在斜边CB上取点M，N（不包含C、B两点），且tanB=tanC=tan∠MAN=1，设MN=x，BM=n，CN=m，则以下结论能成立的是（）A.m=nB.x=m+nC.x＞m+nD.x 2=m 2+n 211、若规定，则sin15°=（）A. B. C. D.12、如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的北偏东30°方向有一灯塔B．轮船继续向北航行2小时后到达C处，发现灯塔B在它的北偏东60°方向．若轮船继续向北航行，那么当再过多长时间时轮船离灯塔最近？（）A.1小时B. 小时C.2小时D. 小时13、如图，在ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝8，AD＝6.⊙O分别切边AB，AD于点E，F，且圆心O好落在DE上.现将⊙O沿AB方向滚动到与BC边相切（点O在ABCD的内部），则圆心O移动的路径长为（）A.2B.4C.5﹣D.8﹣214、如图，已知第一象限内的点A在反比例函数 y=的图象上，第二象限内的点B在反比例函数 y =的图象上，且OA⊥OB，tanA=，则k的值为A.-3B.-C.-6D.-215、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A’MN，连结A’C，则A’C长度的最小值是（）.A. B. C. D.2二、填空题(共10题，共计30分)16、计算：2cos45°=________．17、刘徵是我国古代最杰出的数学家之一，他在《九算术圆田术）中用“割圆术”证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法（注：圆周率＝圆的周长与该圆直径的比值）“割圆术”就是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”，刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径R．此时圆内接正六边形的周长为6R，如果将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，可得圆周率为3．当正十二边形内接于圆时，如果按照上述方法计算，可得圆周率为________．（参考数据：sinl5°＝0.26）18、比较大小：sin24°________ cos66°，cos15°________ tan55°．19、如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是________．20、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，sin∠BAC= ，点D是AC上一点，且BC=BD=2，将Rt△ABC绕点C旋转到Rt△FEC的位置，并使点E在射线BD上，连接AF交射线BD于点G，则AG的长为________．21、如图，水平面上有一个坡度i=1：2的斜坡AB，矩形货柜DEFG放置在斜坡上，己知DE=2.5m．EF=2m，BF=3.5m，则点D离地面的高DH为________ m．（结果保留根号）22、已知平面直角坐标系xOy中，△OAB为等边三角形，且点A在x轴上，点B在双曲线y= 上，则△OAB的边长是________．23、在中，，，，________．24、在中，，，，则AC的长为________．25、如图，小华站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角是∠FDC=30°，若小华的眼睛与地面的距离是1.6米，BG=0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡i=4：3，坡长AB=8米，点A、B、C、D、F、G在同一平面内，则此时小船C到岸边的距离CA的长为________ 米．（结果保留根号）三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：27、如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．（结果保留根号）28、热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与楼的水平距离为200，求这栋楼的高度（结果保留根号）.29、如图所示，A、B、C为三个村庄，AB、BC、AD为公路，CD为河宽，现在要从D处开始铺设通往村庄C的一条地下电缆，A、C、D三点共线，经测量得，BC=6 千米，AD=4千米，∠A=60°，∠BCA=45°，请求出河宽CD的长（结果保留根号）。
沪科版九年级数学上学期第23章解直角三角形单元综合测试卷含答案
年级上册数学单元综合测试卷（第23章 解直角三角形）注意事项：本卷共8大题23小题，满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tan B 的值是（ ）A .13B .3CD . 2.在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则cos A 的值是（ ）A .34B .43C .35D .453.如果∠α为锐角，且sin α＝0.6，那么α的取值范围是（ ）A .0°＜α≤30°B .30°＜α＜45°C .45°＜α＜60°D .60°＜α≤90° 4.若α为锐角，且sin α＝45，则tan α的值为（ ） A .925 B .35 C .34 D .435.如图，在平面直角坐标系中，P 是第一象限内的点，其坐标为（3，m ），且OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切值是43，则sin α的值为（ ） A .45 B .54 C .35 D .53第5题图 第8题图 第9题图 第10题图6. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin B ＝1213，则cos A 的值为（ ） A .512 B .125 C .1213 D .13127.在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝4，AC ＝2，则sin B 的值是（ ）A B C D8.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，点D 为BC 的中点，DE ⊥AC 于点E ，则tan ∠CDE 的值等于（ ） A .1013 B .1310 C .512 D .1259.如图，两条宽度均为40 m 的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）的路面面积是（ ） A .1600sin α(m 2) B .1600cos α(m 2) C .1600sin α(m 2) D .1600cos α(m 2)10.如图，一个小球由地面沿着坡度i ＝1：2的坡面向上前进了10m ，此时小球距离地面的高度为（ ）A .5mB .103m C . D .二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）11.如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝30°，∠C ＝90°，∠ADB ＝105°，sin ∠BDC ＝2，AD ＝4．则DC ＝___________.第11题图 第12题图 第13题图 第14题图12.如图，在A 处看建筑物CD 的顶端D 的仰角为α，且tan α＝0.7，向前行进3米到达B 处，从B 处看D 的仰角为45°（图中各点均在同一平面内，A 、B 、C 三点在同一条直线上，CD ⊥AC ），则建筑物CD 的高度为___________米．13.如图，已知点A （0），直线y ＝x +b （b ＞0）与x 轴、y 轴分别相交于点C 、B ，连接AB ，∠α＝75°，则b ＝________．14.如图，正方形ABCD 中，E 是CD 中点，FC ＝14BC ，则tan ∠EAF ＝________. 三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.计算：（1）2sin602cos 60︒︒+2sin45°－22cos45tan 60︒+︒；（2）sin30°tan60°－(-tan4516.如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于点D ，AB ＝6，AC ＝A ＝30°. （1）求BD 和AD 的长； （2）求tan C 的值.四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量某河段的宽度．小明同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD＝45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD＝30°，请你根据这些数据计算出河宽．（精确到0.01 1.414 1.732）18.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求tan B的值.五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）19.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH＝2CH．（1）求sin B的值；（2）如果CD BE的值．20.已知，△ABC中，D是BC上的一点，且∠DAC＝30°，过点D作ED⊥AD交AC于点E，AE＝4，EC＝2．（1）求证：AD＝CD；（2）若tan B＝3，求线段AB的长﹒六、（本题满分12分）21.如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个码头，A在B的正东方向，一艘小船从A码头沿它的北偏西60°的方向行驶了20海里到达点P处，此时从B码头测得小船在它的北偏东45°的方向．求此时小船到B码头的距离（即BP的长）和A、B两个码头间的距离（结果都保留根号）﹒七、（本题满分12分）22.如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测角器高度忽略不计，结果保留根号形式）八、（本题满分14分）23.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝4，AD＝3，BC＝5，点M是边CD的中点，连接AM、BM.（1）求△ABM的面积；（2）求sin∠MBC的值.第23章《解直角三角形》单元综合测试题参考答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DDBDACBCAD二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11.2. 12. 7 . 13. 5 . 14.12. 三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解答：（1）2sin602cos 60︒︒+2sin45°－22cos45tan 60︒+︒；＝23212()2⨯+2×2－2232⨯+，＝3+2－32+＝3+2－23+22 ＝32－3；（2）sin30°tan60°－(-tan45)2016+2(tan301)︒-.＝12×3－(－1)2016+23(1)3- ＝3－1+1－3＝3.16.解答：（1）∵BD ⊥AC ，AB ＝6，∠A ＝30°， ∴BD ＝12AB ＝3， 在Rt △ABD 中，AD ＝AB cos A ＝6×3＝33； （2）∵AC ＝53，AD ＝33， ∴CD ＝AC －AD ＝23，在Rt △BCD 中，tan C ＝BD CD ＝23＝3.四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.解答：过C 作CE ⊥AB 于E ，设CE ＝x 米，在Rt △AEC 中：∠CAE ＝45°， ∴AE ＝CE ＝x在Rt △BCE 中，∠CBE ＝30°，BE ＝3CE ＝3x ， ∵BE ＝AE +AB ， ∴3x ＝x +50，解得：x ＝253+25≈68.30． 答：河宽为68.30米．18.解答：∵∠C ＝90°，MN ⊥AB ， ∴∠C ＝∠ANM ＝90°， 又∵∠MAN ＝∠BAC ， ∴△AMN ∽△ABC ， ∴AC AB ＝ANAM＝34，设AC ＝3x ，AB ＝4x ，由勾股定理得：BC ＝22AB AC ＝7x ， 在Rt △ABC 中，tan B ＝AC BC ＝7x＝37.五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.解答：（1）∵∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，∴CD ＝BD ， ∴∠B ＝∠BCD ， ∵AE ⊥CD ，∴∠CAH +∠ACH ＝90°， 又∠ACB ＝90°，∴∠BCD +∠ACH ＝90°，∴∠B ＝∠BCD ＝∠CAH ，即∠B ＝∠CAH ， ∵AH ＝2CH ，∴由勾股定理得AC ＝5CH ， ∴CH ：AC ＝1：5， ∴sin B ＝55；（2）∵sin B ＝5， ∴AC ：AB ＝1：5， ∴AC ＝2，∵∠CAH ＝∠B ， ∴sin ∠CAH ＝sin B ＝5， 设CE ＝x （x ＞0），则AE ＝5x ，则x 2+22＝(5x )2， ∴CE ＝x ＝1，AC ＝2，在Rt △ABC 中，AC 2+BC 2＝AB 2， ∵AB ＝2CD ＝25，∴BC ＝4，∴BE ＝BC －CE ＝3． 20.解答：（1）证明：∵ED ⊥AD ， ∴∠ADE ＝90°．在Rt △ADE 中，∠DAE ＝30°，AE ＝4， ∴∠DEA ＝60°，DE ＝12AE ＝2， ∵EC ＝2， ∴DE ＝EC ，∴∠EDC ＝∠C ．又∵∠EDC +∠C ＝∠DEA ＝60°， ∴∠C ＝30°＝∠DAE ， ∴AD ＝CD ；（2）解：如图，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，则∠AFC ＝∠AFB ＝90°， ∵AE ＝4，EC ＝2， ∴AC ＝6．在Rt △AFC 中，∠AFC ＝90°，∠C ＝30°， ∴AF ＝12AC ＝3． 在Rt △AFB 中，∠AFB ＝90°，tan B ＝3， ∴BF ＝tan AFB＝1， ∴AB ＝22AF BF ＝10． 六、（本题满分12分）21.解答：过P 作PM ⊥AB 于M ， 则∠PMB ＝∠PMA ＝90°，∵∠PBM ＝90°﹣45°＝45°，∠P AM ＝90°﹣60°＝30°，AP ＝20海里， ∴PM ＝12AP ＝10海里，AM ＝AP cos30°＝103海里，∴∠BPM ＝∠PBM ＝45°， ∴PM ＝BM ＝10海里，∴AB ＝AM +BM ＝（10+103）海里， ∴BP ＝sin 45PM︒＝102海里，即小船到B 码头的距离是102海里，A 、B 两个码头间的距离是（10+103）海里． 七、（本题满分12分）22.解答：作PE ⊥OB 于点E ，PF ⊥CO 于点F ， 在Rt △AOC 中，AO ＝100，∠CAO ＝60°， ∴CO ＝AO tan60°＝1003（米）． 设PE ＝x 米， ∵tan ∠P AB ＝PE AE ＝12， ∴AE ＝2x ．在Rt △PCF 中，∠CPF ＝45°，CF ＝1003﹣x ，PF ＝OA +AE ＝100+2x ， ∵PF ＝CF ，∴100+2x ＝1003﹣x ， 解得x ＝100(31)-（米）， 答：电视塔OC 高为1003米，点P 的铅直高度为100(31)3-（米）． 八、（本题满分14分）23.解答：（1）延长AM 交BC 的延长线于点N ， ∵AD ∥BC ，∴∠DAM ＝∠N ，∠D ＝∠MCN ， ∵点M 是边CD 的中点， ∴DM ＝CM ，∴△ADM ≌△NCM （AAS ）， ∴CN ＝AD ＝3，AM ＝MN ＝12AN ， ∴BN ＝BC +CN ＝5+3＝8， ∵∠ABC ＝90°，∴S △ABN ＝12×AB BN ＝12×4×8＝16， ∴S △ABM ＝12S △ABN ＝8；∴△ABM 的面积为8；（2）过点M 作MK ⊥BC ，∵∠ABC ＝90°， ∴MK ∥AB ，∴△NMK ∽△NAB ，∴MK AB ＝MN AN＝12，∴MK ＝12AB ＝2，在Rt △ABN 中，AN∴BM ＝12AN ＝在Rt △BKM 中，sin ∠MBC ＝MKBM ，∴∠MBC 的正弦值为5．。
沪科版九年级数学上册第23章解直角三角形单元同步测试题附答案
沪科版九年级数学上册第23章解直角三角形单元测试题考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.中，，，，则的值等于（）A. B. C. D.2.如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为，堤坝高为米，则迎水坡面的长度是（）A.米B.米C.米D.米3.如图，已知在中，，是边上一点，，，且，则的长为（）A. B. C. D.4.如图，小黄站在河岸上的点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船的俯角是，若小黄的眼睛与地面的距离是米，米，平行于所在的直线，迎水坡的坡度为，坡长米，则此时小船到岸边的距离的长为（）米．（，结果保留两位有效数字）A. B. C. D.5.如图所示，渔船在处看到灯塔在北偏东方向上，渔船正向东方向航行了海里到达处，在处看到灯塔在正北方向上，这时渔船与灯塔的距离是（）A.海里B.海里C.海里D.海里6.一根竹竿长米，先像靠墙放置，与水平夹角为，为了减少占地空间，现将竹竿像放置，与水平夹角为，则竹竿让出多少水平空间（）A. B.C. D.7.如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为米，那么这两树在坡面上的距离为（）A. B. C. D.8.如果坡角的余弦值为，那么坡度为（）A. B.C. D.9.如果等边三角形的边长为，那么它的外接圆的半径为（）A. B. C. D.10.如图，，，表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，，表示连接缆车站的钢缆．已知，，所处位置的海拔，，分别为米，米，米．由点测得点的仰角为，由点测得点的仰角为，那么和的总长度是（）A. B.C. D.二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.如图，某数学兴趣小组想测量一棵树的高度，他们先在点处测得树顶的仰角为，然后沿方向前行，到达点，在处测得树顶的仰角为（、、三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树的高度是________米．（结果保留根号）12.如图，在某监测点处望见一艘正在作业的渔船在南北偏西方向的处，若渔船沿北偏西方向以海里/小时的速度航行，航行半小时后到达处，在处观测到在的北偏东方向上，则，之间的距离为________海里．13.如图，在高出海平面米的悬崖顶处，观测海平面上一艘小船，并测得它的俯角为゜，则船与观测者之间的水平距离________米．14.一船向东航行，上午时到达处，看到有一灯塔在它的南偏东距离为海里的处，上午时到达处，看到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为________．15.河堤的横断面如图，堤高米，迎水斜坡长米，那么斜坡的坡度是________．16.如图，已知中，，是边的中点，，垂足为点，若，则________．17.为了测量楼房的高度，在距离楼房米的处，测得楼顶的仰角为，那么楼房的高为________．18.如图，中，，，，现将绕点顺时针旋转至，交于点，则线段的长为________．19.如图，在平行四边形中，，，平分，交于点，过点作于点，交于点，则________．20.如图，无人机在空中处测得地面、两点的俯角分别为、，如果无人机距地面高度为米，点、、在同一水平直线上，则、两点间的距离是________米．（结果保留根号）三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.峨眉河是峨眉的一个风景点．如图，河的两岸平行于，河岸上有一排间隔为米的彩灯柱、、、…，小华在河岸的处测得，然后沿河岸走了米到达处，测得，求这条河的宽度（参考数据：，）．22.人要使用斜靠在墙面上的梯子安全地攀到梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．现有一个的梯子．问：使用这个梯子最高可以安全攀到多高的墙？（精确到）当梯子的底端距离墙面时，此时人是否能够安全地使用这个梯子？23.如图，一艘船以每小时海里的速度向西南方向航行，在处观测灯塔在船的南偏西的方向，航行分钟后到达处，这时灯塔恰好在船的正西方向．已知距离此灯塔海里以内的海区有暗礁，这艘船继续沿西南方向航行是否有触礁的危险？为什么？（参考数据：，）24.一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图所示，其中背水面的整个坡面是长为米、宽为米的矩形．现需将其整修并进行美化，方案如下：①将背水坡的坡度由改为；②用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花．求整修后背水坡面的面积；如果栽花的成本是每平方米元，种草的成本是每平方米元，那么种植花草至少需要多少元？25.已知：如图，为了躲避台风，一轮船一直由西向东航行，上午点，在处测得小岛的方向是北偏东，以每小时海里的速度继续向东航行，中午点到达处，并测得小岛的方向是北偏东，若小岛周围海里内有暗礁，问该轮船是否能一直向东航行？26.某海域有、、三艘船正在捕鱼作业，船突然出现故障，向、两船发出紧急求救信号，此时船位于船的北偏西方向，距船海里的海域，船位于船的北偏东方向，同时又位于船的北偏东方向．求的度数；（2）船以每小时海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点．（结果精确到小时）．（参考数据：，）答案1.D2.D3.B4.A5.D6.A7.B8.C9.A10.C11.12.13.14.海里/时15.16.17.18.19.20.21.峨眉河的宽度约为米．22.解：当，则，故，故使用这个梯子最高可以安全攀到的墙；当梯子的底端距离墙面时，，∵ ，，∴ ，∴此时人能够安全地使用这个梯子．23.解：这艘船继续沿西南方向航行有触礁的危险．理由如下：过点作于．由题意得：，，∴ ，…设（海里），在中，（海里）…∵灯塔恰好在船的正西方向．∴∴∴在中（海里）…∵（海里）∵∴，…解得：，…∵海里海里．∴有触礁的危险．…24.解：作于．∵原来的坡度是，∴，设，，∴ ，又∵ 米，∴ ，则米，设整修后的斜坡为，由整修后坡度为，有，∴ ，∴ 米，∴整修后背水坡面面积为米．∵要依次相间地种植花草，则必然有一种是块，有一种是块，而栽花的成本是每平方米元，种草的成本是每平方米元，∴两种方案中，选择种草块、种花块的方案花费较少．∵整修后背水坡面面积为米，∴每一小块的面积是米，∴需要花费元．25.解：过作于点．∵且，∴∴ （海里）∵在直角中，∴海里海里故若继续向东航行则有触礁的危险，不能一直向东航行．26.约小时能到达出事地点．。
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解直角三角形
1、已知：如图，在ΔABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，若∠B ＝30°，CD ＝6，求AB 的长．
2、我国为了维护队钓鱼岛P 的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航．在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（AP ∥BD ），当轮船航行到距钓鱼岛20km 的A 处时，飞机在B 处测得轮船的俯角是45°；当轮船航行到C 处时，飞机在轮船正上方的E 处，此时EC =5km ．轮船到达钓鱼岛P 时，测得D 处的飞机的仰角为30°．试求飞机的飞行距离BD （结果保留根号）．
3、如图，某公路路基横断面为等腰梯形.按工程设计要求路面宽度为10米，坡角为︒55，路基高度为5.8米，求路基下底宽（精确到0.1
米）.
4、为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。
在大直街拓宽工程
中，要伐掉一棵树AB ，在地面上事先划定以B 为圆心，半径与AB 等长的圆形
危险区，现在某工人站在离B 点3米远的D 处，从C 点测得树的顶端A 点的仰角为60°，树的底部B 点的俯角为30°.
C A
D B
︒
60︒
30B
D
C A
问：距离B 点8米远的保护物是否在危险区内？
5、如图，某一水库大坝的横断面是梯形ABCD ，坝顶宽CD ＝5米，斜坡AD ＝16
米，坝高 6米，斜坡BC 的坡度3:1 i .求斜坡AD 的坡角∠A （精确到1分）和坝底宽AB ．（精确到0.1米）
6. 在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下的方案（如图1所示）：
在测点A 处安置测倾器，测得旗杆顶部M 的仰角∠MCE ＝α ； 量出测点A 到旗杆底部N 的水平距离AN ＝m; 量出测倾器的高度AC ＝h 。
根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN 。
如果测量工具不变，请参照上述过程，重新设计一个方案测量某小山高度（如图2） 在图2中，画出你测量小山高度MN 的示意图
2）写出你的设计方案。
7、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=5cm ，∠BAC 的平分线交BC 于D ， AD ＝103
3 cm,求∠B ，AB ，BC.
D C B
A
8、如图，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，此时小方正好站在A处，并测得∠CBD=60°，牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度（结果精确到个位）
9、如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1：2．（1）求加固后坝底增加的宽度AF的长；
（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？
又航行了半小时到D处，望灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A、D两点间的距离。
（结果不取近似值）
11、北方向10海里处的A点有一涉嫌走私船只，正以24海里／小时的速度向正东方向航行．为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以26海里／小时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问⑴需要几小时才能追上？（点B为追上时的位置）⑵确定巡逻艇的追赶方向（精确到0．1°）．
参考数据：sin66．8°≈ 0．9191 cos 66．8°≈ 0．393
sin67．4°≈ 0．9231 cos 67．4°≈ 0．3846 sin68．4°≈ 0．9298 cos 68．4°≈ 0．368l sin70．6°≈ 0．9432 cos70．6°≈ 0．3322
如图，沿江堤坝的横断面是梯形ABCD ，坝顶A D=4m ，坝高AE=6 m ，斜坡AB 的坡比2:1=i ，∠C=60°，求斜坡AB 、CD 的长。
参考答案 1、83
，，即30°=
，=5+20+5=25+525+5k m A D
B
3、18.1米
4、可求出AB= 43米
∵8＞43
∴距离B点8米远的保护物不在危险区内
5、∠A =22 01′ AB=37.8米
6、、1）
2)方案如下：
测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MCE＝α；
测点B处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MDE＝ ；
量出测点A到测点B的水平距离AB＝m;
量出测倾器的高度AC＝h。
根据上述测量数据可以求出小山MN的高度
7、解：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，AD为∠A的平分线，
设∠DAC=α
∴α=30°,
∠BAC=60°，∠B=90°－60°=30°
从而AB=5×2=10(cm)
=20，∠
=10，
=10
+1.5
（
，
，=设CH ＝x ，则DH ＝x 而在Rt△CBH 中，∠BCH=30o
, ∴BH CH ＝tan30° BH ＝3
3 x
∴BD ＝x －
33 x ＝1
2
×20 ∴x ＝15＋5 3 ∴2x ＝30＋10 3
答：A 、D 两点间的距离为（30＋10 3 ）海里。
11．
12．
解：∵斜坡AB 的坡比2:1=i ，
∵AE ：BE=1:2，又AE=6 m ∴BE=12 m
∴==（m ）
作DF ⊥BC 于F ，则得矩形AEFD ，有DF=AE=6 m ，∵∠C=60° ∴CD=DF ·sin60°= m
答：斜坡AB 、CD 的长分别是，。