2006高等数学(上)期末试题和答案

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高等数学上期末试卷(含答案)

一．选择题：（每小题3分，共15分）1. 若当0x →时，arctan x x -与nax 是等价无穷小，则a = ( ) B A. 3 B.13 C. 3- D. 13- 2. 下列函数在[1,1]-上满足罗尔定理条件的是 ( )C A. ()f x x = B. 3()f x x =C. ()e e xxf x -=+ D. 1,10()0,01x f x x -≤≤⎧=⎨<≤⎩3. 如果()e ,xf x -=则(ln )d f x x x'=⎰ ( )B A. 1C x -+ B. 1C x+ C. ln x C -+ D. ln x C + 4.曲线y x=渐近线的条数是( ) C A. 1 B. 2 C. 3 D. 45. 设函数()f x 与()g x 在[,]a a -上均具有二阶连续导数，且()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，则[()()]d aa f x g x x -''''+=⎰( ) DA. ()()f a g a ''+B. ()()f a g a ''-C. 2()f a 'D. 2()g a '二．填空题：（每小题3分，共15分）1. 要使函数2232()4x x f x x -+=-在点2x =连续，则应补充定义(2)f = .142. 曲线2e x y -=在区间上是凸的.(,22-序号3．设函数322(21)e ,x y x x x =+++则(7)(0)y =______________.77!2+4. 曲线231x t y t⎧=+⎨=⎩在2t =点处的切线方程是 . 37.y x =- 5.定积分11(cos x x x -+=⎰ .π2三．解下列各题：（每小题10分，共40分）1．求下列极限（1）22011lim .ln(1)x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦. 解：原式=2240ln(1)lim x x x x→-+ …………..2分 2302211lim.42x xx x x →-+== ………….3分（2）()22220e d lim e d xt xx t t t t-→⎰⎰.解：原式= ()222202e d e limext x x x t x --→⋅⎰………….3分 22000e d e =2lim2lim 2.1x t xx x t x--→→==⎰ …………..2分2. 求曲线0πtan d (0)4x y t t x =≤≤⎰的弧长.解：s x x == …………..5分ππ440sec d ln sec tan |ln(1x x x x ==+=+⎰ ………..5分 3. 设()f x 满足e ()d ln(1e ),x x f x x C =-++⎰求()d .f x x ⎰解：1(),1e xf x -=+ …………..4分 1e ()d d d 1e 1e xx xf x x x x ---=-=++⎰⎰⎰ …………..3分 ln(1e ).x C -=++ …………..3分4. 已知2lim e d ,xc x x x c x x x c -∞→+∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎰求常数.c 解：2lim e ,xc x x c x c →+∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭………….4分 221e d (24cxc c x x -∞=-⎰ …………. 4分 5.2c = …………. 2分四．解下列各题：（每小题10分，共30分）1. 设()f x 在[,]a b 上连续，且()0,f x >且1()()d d ,()xba xF x f t t t f t =-⎰⎰求证：（1）[,],()2;x a b F x '∀∈≥（2）()F x 在(,)a b 内恰有一个零点.证明：（1）1()()2,()F x f x f x '=+≥= ……3分（2）()F x 在[,]a b 上连续 ……1分11()()d d d 0,()()a bb aaa F a f t t t t f t f t =-=-<⎰⎰⎰ ……2分1()()d d ()d 0,()b bb aba Fb f t t t f t t f t =-=>⎰⎰⎰ ……2分由零点定理，()F x 在(,)a b 内至少有一个零点. ……1分又()F x 在[,]a b 上严格单调增，从而()F x 在(,)a b 内恰有一个零点.……1分2. 设直线(01)y ax a =<<与抛物线2y x =所围成图形的面积为1,S 它们与直线1x =围成图形的面积为2.S（1）确定a 的值，使12S S S =+取得最小值，并求此最小值; （2）求该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.解：22(0,0),(,)y ax a a y x=⎧⇒⎨=⎩ ……..2分 1220()d ()d a aS ax x x x ax x =-+-⎰⎰31,323a a =-+21()0,22S a a a '=-=⇒=唯一驻点()20,S a a ''=>最小值2(.26S = ……..4分1222222π[()()]d π[()()]d 22x V x x x x x x =-+-1π.30+=……..4分 3. 设()f x 在[0,1]上二次可微，且(0)(1)0,f f ==证明：存在(0,1),ξ∈使得()()0.f f ξξξ'''+=证明：令()(),F x xf x '=则()F x 在[0,1]上可微， ……..3分(0)(1)0,f f ==()f x 在[0,1]上可微，由罗尔定理存在(0,1),η∈使()=0f η'……..3分(0)()0,F F η==由罗尔定理存在(0,)(0,1),ξη∈⊂使()=0F ξ' ()()()，F x f x xf x ''''=+(0,1),()()=0.f f ξξξξ'''∴∈+ ……..4分。

高数上期末题

一、高等数学试题 2006/1/10一、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分） 1．下列结论中，正确的是[ ]（A ）有界数列必收敛；（B ）单调数列必收敛；（C ）收敛数列必有界；（D ）收敛数列必单调。

2.设函数f (x )在U (x 0，δ)内有定义，对于下面三条性质：① f (x )在x 0点连续；② f (x )在x 0点可导；③f (x )在x 0点可微. 若用“P ⇒ Q ”表示由性质P 推出性质Q ，则应有[ ](A) ②⇒③⇒①；(B) ②⇒①⇒③；(C)③⇒①⇒②； (D) ①⇒②⇒③。

3.曲线xxy -=3[ ] (A)既有水平渐近线，又有垂直渐近线；(B)仅有水平渐近线；(C)仅有垂直渐近线；(D)无任何渐近线。

4.设函数 f (x )在[a ,b ]上有定义，则⎰badx x f )(存在的必要条件是[ ](A) f (x )在[a ,b ]上可导；(B) f (x )在[a ,b ]上连续；(C) f (x )在[a ,b ]上有界；(D) f (x )在[a ,b ]上单调。

5. y = y (x )是微分方程y " + 3y '=e 2x 的解，且y '(x 0) = 0，则必有[ ] (A) y (x )在x 0某邻域内单调增加； (B) y (x )在x 0某邻域内单调减少； (C) y (x )在x 0取极大值；(D) y (x )在x 0取极小值.6.若f (x )的导函数是sin x ，则f (x )有一个原函数是[ ](A) x sin 1+; (B) x sin 1-; (C) x cos 1-; (D) x cos 1+.二、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共9小题, 每小题4分, 共36分）1.．________)11(lim =-+∞→xx x x 2.=+=x xx f 的可去间断点是111)(__________.3.______________,1arctan ==dy xy 则设　. 4.的值是dx xe x ⎰-10_________. 5.．________sin tan lim20=-→xx xx x6..________,~sin 02=α→α+则时，x x x x7..____________)3)(2(0=++⎰+∞x x dx8..____________,322232=⎩⎨⎧-=-=dxyd tt y t t x 则设9.._________________1)1(41==-=-y y y xdx dy 的特解是满足条件微分方程三、(8分)计算不定积分dx x xx ⎰+221arctan . 四、(8分)求曲线412623++-=x x x y 的升降区间, 凹凸区间及拐点. 五、(8分)求微分方程xxey y y -=+'+''323的通解.六、(10分)在[0，1]上给定函数2x y =，问t 为何值时,如图所示阴影部分的面积1S 与2S 的和最小，何时最大？并求此时两图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积。

高中_2006学年第一学期期末考试题

2005-2006学年第一学期期末考试题高一数学本试卷分为第一卷(选择题)和Ⅱ卷(非选择题)两局部，第一卷为1—10题，共50分，第二卷为11—19题，共100分。

全卷共150分，考试时间为120分钟。

考前须知:1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动用橡皮擦干净后，再涂其他答案，不能答在试卷上。

3、考试完毕，监考人员将本试卷和答题卡一并收回。

第一卷 (选择题共50分):(每题只有一个正确选项,每题5分,共计50分)}023|{23=+-=x x x x U 且A C U ={0},那么集合A=( )A.{0,1,2}B.{1}C.{2,1}D.{0,2}2在空间中，以下命题中正确的选项是〔〕 A ．假设两直线b a ,与直线l 所成的角相等，那么b a // B ．假设两直线b a ,与平面α所成的角相等，那么b a //C ．如果直线l 与两平面α，β所成的角都是直角，那么βα//D ．假设平面γ与两平面βα, 所成的二面角都是直二面角，那么βα//),0(+∞上不是增函数的是( )A.2x y =B.x y log 2=C.xy 2=D.122++=x x y4两条平行线l 1:0243=-+y x ,l 2:56=+y ax 的距离等于〔〕A .53 B . 57 C .157 D . 154 b a y x +=的图象不经过第一象限,那么以下选项正确是( )A.2,21-==b a B. 3,2-==b a C.1,21==b a D. 0,3==b a6假设直线()()084123=+-++y a x a 和直线()()07425=-++-y a x a 相互垂直,那么a 值为〔〕 A . 0 B .1 C .10或 D .10-或)0(2)log (2>=x x f x ,那么=)2log (32f ( )8．一个棱柱是正四棱柱的条件是〔〕 A .底面是正方形，有两个侧面是矩形B .底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C .底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D .每个侧面都是全等矩形的四棱柱9如图,ABC S -是正三棱锥且侧棱长为a ，F E ,分别是SC SA ,上的动点，那么三角形BEF 的周长的最小值为a 2侧棱SC SA ,的夹角为〔〕A .300B . 600C .200D .90010.P 是球O 的直径AB 上的动点,x PA =,过P 点且与AB 垂直的截面面积记为的大致图象是( SACB E F第二卷 (本试卷共计70分)(每空4分,共计16分):11过点()21--,P 作圆04222=--+y x y x 的切线,那么切线的方程为________________。

高数(大一上)期末试题及答案

高数(大一上)期末试题及答案第一学期期末考试试卷（1）课程名称：高等数学（上）考试方式：闭卷完成时限：120分钟班级：学号：姓名：得分：一、填空（每小题3分，满分15分）1.lim (3x^2+5)/ (5x+3x^2) = 02.设 f''(-1) = A，则 lim (f'(-1+h) - f'(-1))/h = A3.曲线 y = 2e^(2t) - t 在 t = 0 处切线方程的斜率为 44.已知 f(x) 连续可导，且 f(x)。

0，f(0) = 1，f(1) = e，f(2) = e，∫f(2x)dx = 1/2ex，则 f'(0) = 1/25.已知 f(x) = (1+x^2)/(1+x)，则 f'(0) = 1二、单项选择（每小题3分，满分15分）1.函数 f(x) = x*sinx，则 B 选项为正确答案，即当x → ±∞ 时有极限。

2.已知 f(x) = { e^x。

x < 1.ln x。

x ≥ 1 }，则 f(x) 在 x = 1 处的导数不存在，答案为 D。

3.曲线 y = xe^(-x^2) 的拐点是 (1/e。

1/(2e))，答案为 C。

4.下列广义积分中发散的是 A 选项，即∫dx/(x^2+x+1)在区间 (-∞。

+∞) 内发散。

5.若 f(x) 与 g(x) 在 (-∞。

+∞) 内可导，且 f(x) < g(x)，则必有 B 选项成立，即 f'(x) < g'(x)。

三、计算题（每小题7分，共56分）1.lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)sinx)lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)/x)*x*cosxlim x(e^(2x)-e^(-x))/(sinx/x)*cosxlim (2e^(2x)+e^(-x))/(cosx/x)应用洛必达法则)2.lim {arcsin(x+1) + arcsin(x-1) - 2arcsin(x)}/xlim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - 2arcsin(x)/√(1+x^2)}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x+1)^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x-1)^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)]} π/2 (应用洛必达法则)3.y = y(x) 由 x + y - 3 = 0 确定，即 y = 3 - x，因此 dy/dx = -1.4.f(x) = arctan(2x-9) - arctan(x-3) 的导数为 f'(x) = 1/[(2x-9)^2+1] - 1/[(x-3)^2+1]，因此 f'(x)。

06年高等数学(上)试题及答案

华东交通大学2006—2007学年第一学期考试卷承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。

专业班级学号学生签名：试卷编号：（A ）卷《高等数学(A)Ⅰ》课程 (工科本科06级) 课程类别：必闭卷（√）考试日期：2007.1.15 题号一二三四五总分 12 3 4 5 6 7 1 2分值 10 15 7777777998阅卷人 (全名)考生注意事项：1、本试卷共 6 页，总分 100 分，考试时间 120 分钟。

2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。

一、填空题(每题2分，共10分)______)1(34)( 122=-+-=x x x x x x f 第一类间断点为设函数、___________ 11 2 02=+=⎰dy dt t y x则，设、_______)1 1(1 3==K xy 处的曲率，在点等边双曲线、_________141=+⎰dx x x、__________ } 3 2{}2 1 1{ 5==-=λλ则垂直，，，与，，已知向量、b a二、选择题(每题 3分，共15分)∞=--+∞→ D. 2 C. 1 B. 0 . A )B ()sin 11( 122limx x x x x 、22222221 D. )1(2 C. 12 B. 2 A.) C ( )()1ln(arctan 2t t t dxy d x y y t y t x -++==⎩⎨⎧+==则，确定设、得分评阅人得分评阅人1dx x211+222ln 1-21xx ex e x x x e x xxsin D. C. )ln(1 B. 1 A.)D (0 3><>++<>时成立的是当下列各式中，、1cos D. 1cos C. 1sin B. 1sinA.) A ()1(1sin )( 42C x C x C x C x dx xf xx x f ++-++-='=⎰则，设、⎩⎨⎧==-+⎩⎨⎧==-+⎩⎨⎧==-+=-+⎩⎨⎧=+=++822 D. 0 822 C.0 822 B. 822 A.)D ( 19522222222222z y y x y y y x x y y x y y x xoy z y z y x 为平面上的投影曲线方程在曲线、三、计算题(每题 7分，共49分)x x x ex x 222sin 112lim--→、21 42 21422 1 2222limlimlimlim23042==-=-=--=→→→→xxe xe x xxe x x ex x xx x x xx 原式解：)22(2lim n n n n n --+∞→、 2 21214 224 limlim=-++=-++=∞→∞→nn nn n n nn n 原式解：得分评阅人得分评阅人y e e y xx '++=求，设、 )1ln( 32 xx x x xxxx x x x e ee e e e e e e ee y 222122221 ]2)1(21[11 )1(11+=⋅++++='++++='-解：dxx x ⎰-2214、Cx x xCt t dtt tdttdttttdt dx t x +---=+--=-=====⎰⎰⎰arcsin 1 cot )1(csccot cos sincos cos sin 2222原式则，令解：dxx x ⎰1arctan 5、)1(arctan 121+=⎰x d x 原式解：得分评阅人得分评阅人得分评阅人分扣缺1C。

《高等数学一》期末复习题及答案

《高等数学（一）》期末复习题一、选择题 1、极限2lim()xxxx 的结果是（ C ）（A）0 （B）（C） 12 （D）不存在 2、方程3310xx在区间(0,1)内（ B ）（A）无实根（B）有唯一实根（C）有两个实根（D）有三个实根 3、)(xf是连续函数, 则 dxxf)(是)(xf的（ C ）（A）一个原函数； (B) 一个导函数； (C) 全体原函数； (D) 全体导函数； 4、由曲线)0(sinxxy和直线0y所围的面积是（ C ）（A）2/1 (B) 1 (C) 2 (D) 5、微分方程2xy满足初始条件2|0xy的特解是 ( D ) （A）3x （B）331x （C）23x （D）2313x 6、下列变量中，是无穷小量的为（ A ） (A) )1(lnxx (B) )0(1lnxx (C) cos (0)xx (D) )2(422xxx 7、极限011lim(sinsin)xxxxx 的结果是（ C ）（A）0 （B） 1 （C） 1 （D）不存在 8、函数arctanxyex在区间1,1上（ A ）（A）单调增加（B）单调减小（C）无最大值（D）无最小值 9、不定积分 dxxx12= （ D ） (A)2arctanxC (B)2ln(1)xC (C)1arctan2xC (D) 21ln(1)2xC 10、由曲线)10(xeyx和直线0y所围的面积是（ A ）（A）1e (B) 1 (C) 2 (D) e
8、设sin1,yxx则()2f 1 9、 11(cos1)xxdx 2 10、 231dxx 3arctanxC 11、微分方程ydyxdx的通解为 22yxC 12、1415xdx 2 13、 sin2limxxxx 1 14、设2cosyx，则dy 22sinxxdx 15、设cos3,yxx则()f -1 16、不定积分xxdee Cx2e21 17、微分方程2xye的通解为 212xyeC 22222222222111120,201122xxxxxxxdyyyeyedyedxdxydyedxeCyyxyCeyey代入上式可得到所求的特解为或者 18、微分方程xyln的通解是 xyeC 19、xxx3)21(lim＝ 6e 20、,xyxy设函数则(ln1)xxx 21、)21(lim222nnnnn的值是 12

2005-2006第一学期工商学院高数期末试卷A(8学分)答案

x
2 x 1 2
](1
2 2 ) e 2x 1
1
(cot x) ln x . 2．求极限 lim
x 0 1 ln x
(cot x) 解： lim
x 0
e ＝ lim
x 0
1 ln cot x ln x
e 1
1 ( csc 2 x) ln cot x x cot x 其中 lim lim lim ( ) 1 . x 0 x 0 x 0 1 ln x sin x cos x x
Q
50 Q 10Q 200 2
1 Q 2 15Q 200 2
L(Q) Q 15 ，所以，当 Q 15 时， L(Q) 0 .
当 Q 15 时，工厂日总利润 L 最大.
6

九、(７分)某工厂生产某产品,日总成本为 C 元, 其中固定成本为 200 元, 每多生产一单位产品, 成本增加 10 元. 该商品的需求函数为 Q 50 2 P ,求 Q 为多少时工厂日总利润 L 最大?
得分
解： L(Q) R(Q) C (Q)
Q P (10Q 200)
1 1 ( , ) ，下凸区间为 ( ,1), (1, ) ，极小值为 f (0) 1 . 2 2
x 2 , x 1 七、（５分）确定常数 a 、 b 的值，使函数 f ( x) 在其定义域内可导． ax b , x 1
得分
解：显然函数 f ( x) 在 x 1 及 x 1 时是可导的， x 1 处，
得分
五、证明题（每题５分，共 1０分）
得分
１．函数 f ( x) 和 g ( x) 都在 [0, 1] 上连续，在 (0, 1) 内可导， f (1) g (1) ，且对所有 x (0, 1) 有

2005―2006学年度第一学期期末考试题高一数学参考答案及评分标准

2005―2006学年度第一学期期末考试题高一数学参考答案及评分标准一、选择题：每小题6分.二、填空题：每小题6分（11）()141212-+-nn n（12）51 （13）41 （14） ①、②、③ (15) ()15+=x x f三、解答题(16) 解: ①当0=x 时，1=n S ； -------------------------------------- 2分 ②当1=x 时，()21321+=+⋯+++=n n n S n ------------------------- 6分③当0≠x 且1≠x 时，12321-+⋯+++=n n nx x x S ①()nn nnx xn xx xS+-+⋯++=-1212 ②① －②得 ()nnnn n nx xxnxxx x S x ---=-+⋯+++=--111112∴ ()xnxx xS nn n ----=1112-------------------------- 15分（17）解：①当0<x 时，有xx x ->-112，从而有122-<-x x ，0122>-+x x ，21>x 或1-<x ，此时解为1-<x -------------------- 5分② 当10<<x 时，有xx x 112>-，从而有122-<x x ，0122<+-x x ，此时解集为∅ ----------------------- 9分 ③ 当1>x 时，有x x x 112>- ，从而有122->x x ，0122>+-x x ，R x ∈，此时解为1>x --------------------------------------------- 14分综上，原不等式解集为{}1,1>-<x x x 或 --------------------- 15分(18) 解: 设原计划生产辆数为)0(,,>+-d d a a d a ，则实际生产辆数为600,,200++--d a a d a ------------------- 3分依题意有 ()()()⎪⎩⎪⎨⎧⨯=++++--=②①a d a d a d a a 3326006002002 ------------------- 8分由②得600+=d a 代入①整理，得 01200004002=-+d d--------------- 12分解得200=d 或600-=d （舍）, 从而800=a∴ 原计划生产汽车辆数分别为600、800、1000. --------------------------- 15分 (19) 解: （Ⅰ）设()y x Q ,，∵ p 、Q 两点关于原点对称，∴p 点的坐标为（-x,-y ），又点 p(-x,-y)在函数y=f(x)的图象上，∴-y=log a (-x+1)，即g(x)=-log a (1-x) -------3分（Ⅱ）由2f(x)+g(x)≥0得2log a (x+1)≥log a (1-x)∵0＜a ＜1 ，∴由对数性质有 2x +1>01x >0x (1,0](x +1)1x-∴∈-≤-⎧⎪⎨⎪⎩ ------------ 7分（Ⅲ）由题意知：a ＞1且x ∈[0，1]时2(x 1)lo g m1xa+≥-恒成立。

06年《高等数学》试题及答案

2006年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试《高等数学》试卷题号一二三四五六总分核分人分数一、单项选择题（每小题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内。

不选、错选或多选者，该题无分.1.已知函数)12(-x f 的定义域为]1,0[ ，则)(x f 的定义域为（） A. ]1,21[B. ]1,1[-C. ]1,0[D. ]2,1[-解：B x x ⇒≤-≤-⇒≤≤112110.2.函数)1ln(2x x y -+=)(+∞<<-∞x 是（） A ．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数解：01ln )1ln()1ln()()(22==+++-+=-+x xx xx f x f A ⇒.3. 当0→x 时，x x sin 2-是x 的（） A. 高阶无穷小 B. 低阶无穷小 C. 同阶非等价无穷小 D. 等价无穷小解： 1sin lim2-=-→xx xx C ⇒.4.极限=+∞→nnn n sin 32lim（）A. ∞B. 2C. 3D. 5 解：B nn nnn n n ⇒=+=+∞→∞→2]sin 32[lim sin 32lim.5.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠-=0,10,1)(2x a x xe xf ax，在0=x 处连续，则常数=a （） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解：B a a a aexex f axx axx x ⇒=⇒+===-=→→→1122lim 1lim)(lim 2020.6. 设函数)(x f 在点1=x 处可导，则=--+→xx f x f x )1()21(lim（）A. )1(f 'B. )1(2f 'C. )1(3f 'D. -)1(f ' 解：xx f f f x f xx f x f x x )1()1()1()21(lim)1()21(lim--+-+=--+→→C f xf x f xf x f x x ⇒'=---+-+=→→)1(3)1()1(lim2)1()21(lim207. 若曲线12+=x y 上点M 处的切线与直线14+=x y 平行，则点M 的坐标（） A. （2，5） B. （-2，5） C. （1，2） D.（-1，2）得分评卷人解： A y x x x y ⇒==⇒=⇒='5,2422000.8.设⎪⎩⎪⎨⎧==⎰202cos sin ty du u x t，则=dx dy （） A. 2t B. t 2 C.-2t D. t 2- 解： D t tt t dxdy ⇒-=-=2sin sin 222.9.设2(ln )2(>=-n x x yn ，为正整数),则=)(n y （）A.x n x ln )(+B. x1 C.1)!2()1(---n nxn D. 0解：B xy x y x x yn n n ⇒=⇒+=⇒=--1ln 1ln )()1()2(.10.曲线233222++--=x xx x y （）A. 有一条水平渐近线，一条垂直渐近线B. 有一条水平渐近线，两条垂直渐近线C. 有两条水平渐近线，一条垂直渐近线，D. 有两条水平渐近线，两条垂直渐近线解：A y y y x x x x x xx x y x x x ⇒∞=-==⇒++-+=++--=-→-→±∞→2122lim,4lim ,1lim)2)(1()3)(1(2332.11.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是（） A.]2,0[|,1|-=x y B. ]2,0[,)1(132-=x yC.]2,1[,232+-=x x y D ． ]1,0[,arcsin x x y = 解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等C ⇒.12. 函数xe y -=在区间),(+∞-∞内（）A. 单调递增且图像是凹的曲线B. 单调递增且图像是凸的曲线C. 单调递减且图像是凹的曲线D. 单调递减且图像是凸的曲线解： C ey ey xx ⇒>=''<-='--0,0.13.若⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰=--dx e f e x x )( （） A.C eF exx++--)( B. C eF x+-)( C. C eF exx+---)( D. C eF x+--)(解：D C eF ed ef dx e f e xxxx x ⇒+-=-=⎰⎰-----)()()()(.14. 设)(x f 为可导函数，且xe xf =-')12( ，则 =)(x f （）A.C ex +-1221 B. C ex ++)1(212C.C ex ++1221 D. C ex +-)1(212解：B C ex f e x f e x f x x x⇒+=⇒='⇒=-'++)1(21)1(212)()()12(.15. 导数=⎰batdt dxd arcsin （）A.x arcsinB. 0C. a b arcsin arcsin -D.211x-解：⎰baxdx arcsin 是常数，所以B xdx dxd ba⇒=⎰0arcsin .16.下列广义积分收敛的是（） A. ⎰+∞1dx e xB. ⎰+∞11dx xC. ⎰+∞+1241dx xD. ⎰+∞1cos xdx解：C x dx x⇒-==++∞∞+⎰)21arctan 4(412arctan4141112π. 17.设区域D 由)(),(,),(,x g y x f y a b b x a x ==>==所围成，则区域D 的面积为（）A. ⎰-ba dx x g x f )]()([ B.⎰-badx x g x f )]()([C. ⎰-b adx x f x g )]()([ D. ⎰-badx x g x f |)()(|解：由定积分的几何意义可得D 的面积为 ⎰-badx x g x f |)()(|D ⇒.18. 若直线32311-=+=-z ny x 与平面01343=++-z y x 平行，则常数=n（）A. 2B. 3C. 4D. 5解： B n n n ⇒=⇒=+-⇒-⊥30943}3,43{}3,,1{. 19.设yx y x y x f arcsin)1(),(-+=，则偏导数)1,(x f x '为（）A.2B.1C.-1D.-2 解： B x f x x f x ⇒='⇒=1)1,()1,(. 20. 设方程02=-xyz e z确定了函数),(y x f z = ，则xz ∂∂ = （）A. )12(-z x z B.)12(+z x z C.)12(-z x y D. )12(+z x y解：令xy e F yz F xyz e z y x F zz x z -='-='⇒-=222,),,(A z x z xyxyz yz xyeyz xz z⇒-=-=-=∂∂⇒)12(222.21.设函数xy y x z +=2，则===11y x dz （）A. dy dx 2+B. dy dx 2-C. dy dx +2D. dy dx -2 解：222xydxxdy dy x xydx dz -++=A dy dx dx dy dy dx dzy x ⇒+=-++=⇒==2211.22.函数2033222+--=y x xy z 在定义域上内（） A.有极大值，无极小值 B. 无极大值，有极小值 C.有极大值，有极小值 D. 无极大值，无极小值解：,6)0,0(),(062,06222-=∂∂⇒=⇒=-=∂∂=-=∂∂xz y x y x yz x y xz⇒=∂∂∂-=∂∂2,6222yx z yz 是极大值A ⇒.23设D 为圆周由012222=+--+y x y x 围成的闭区域，则=⎰⎰Ddxdy （）A. πB. 2πC.4πD. 16π 解：有二重积分的几何意义知：=⎰⎰Ddxdy 区域D 的面积为π.24.交换二次积分⎰⎰>a xa dy y x f dx0(),(，常数）的积分次序后可化为（）A. ⎰⎰a ydx y x f dy0),( B.⎰⎰aay dx y x f dy),( C. ⎰⎰aa dx y x f dy00),( D. ⎰⎰ayadx y x f dy),(解：积分区域},0|),{(}0,0|),{(a x y a y y x x y a x y x D ≤≤≤≤=≤≤≤≤=B ⇒.25.若二重积分⎰⎰⎰⎰=20sin 20)sin ,cos (),(πθθθθrdr r r f d dxdy y x f D，则积分区域D 为（）A. x yx 222≤+ B. 222≤+yxC. y yx 222≤+ D. 220yy x -≤≤解：在极坐标下积分区域可表示为：}sin 20,20|),{(θπθθ≤≤≤≤=r r D ，在直角坐标系下边界方程为y yx 222=+，积分区域为右半圆域D ⇒26.设L 为直线1=+y x 上从点)0,1(A 到)1,0(B 的直线段,则=-+⎰Ldy dx y x )(（）A. 2B.1C. -1D. -2 解：L ：,1⎩⎨⎧-==xy x x x 从1变到0，⎰⎰⇒-=+=-+012)(D dx dx dy dx y x L.27.下列级数中，绝对收敛的是（）A ．∑∞=1sinn nπB ．∑∞=-1sin)1(n nnπC ．∑∞=-12sin)1(n nnπD ．∑∞=1cos n n π解： ⇒<22sinnnππ∑∞=π12sinn n收敛C ⇒.28. 设幂级数n n nn a x a (0∑∞=为常数 ,2,1,0=n ），在点2-=x 处收敛，则∑∞=-0)1(n n na（） A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 敛散性不确定解：∑∞=0n nn x a 在2-=x 收敛，则在1-=x 绝对收敛，即级数∑∞=-0)1(n n na 绝对收敛A ⇒.29. 微分方程0sin cos cos sin =+ydx x ydy x 的通解为（） A. C y x =cos sin B. C y x =sin cos得分C. C y x =sin sinD. C y x =cos cos 解：dx xx dy yy ydx x ydy x sin cos sin cos 0sin cos cos sin -=⇒=+C C y x C x y xx d yy d ⇒=⇒=+⇒-=⇒sin sin ln sin ln sin ln sin sin sin sin .30.微分方程xxe y y y -=-'+''2的特解用特定系数法可设为（）A. x e b ax x y -+=*)(B. xeb ax x y -+=*)(2C. xeb ax y -+=*)( D. xaxe y -=*解：-1不是微分方程的特征根，x 为一次多项式，可设xe b ax y -+=*)( C ⇒.二、填空题（每小题2分，共30分）31.设函数,1||,01||,1)(⎩⎨⎧>≤=x x x f 则=)(sin x f _________.解：1)(sin 1|sin |=⇒≤x f x .32.=--+→xxx x 231lim22=_____________.解：=++=++--=--+→→→)31(1lim)31)(2()2(lim231lim2222x x x x x x xxx x x x123341==.33.设函数x y 2arctan =，则=dy __________.解：dx xdy 2412+=.34.设函数bx axx x f ++=23)(在1-=x 处取得极小值-2，则常数b a 和分别为___________.解：b a b a b ax x x f -+-=-=+-⇒++='12,02323)(25,4==⇒b a .35.曲线12323-+-=x x x y 的拐点为 __________.解：)1,1(),(0662632-=⇒=-=''⇒+-='y x x y x x y .36.设函数)(),(x g x f 均可微，且同为某函数的原函数，有1)1(,3)1(==g f 则=-)()(x g x f _________.解：2)1()1()()(=-=⇒=-g f C C x g x f 2)()(=-⇒x g x f . 37.⎰-=+ππdx x x )sin(32 _________.解：3202sin)sin(323232π=+=+=+⎰⎰⎰⎰πππ-ππ-ππ-dx x xdx dx x dx x x .38.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0,0,)(2x x x e x f x，则 ⎰=-20)1(dx x f __________.解：⎰⎰⎰⎰--=--=+=====-211112132)()1(e dx e dx x dt t f dx x f xtx .39. 向量}1,1,2{}2,1,1{-==b a与向量的夹角为__________.解：3,21663||||,cos π>=⇒<==⋅>=<b a b a b a b a. 40.曲线⎩⎨⎧==022z xy L ：绕x 轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为 _________. 解：把x y22=中的2y 换成22y z+，即得所求曲面方程x yz222=+.41.设函数y x xy z sin 2+= ，则 =∂∂∂yx z 2_________.解：⇒+=∂∂y x y xz sin 2y x yx z cos 212+=∂∂∂.42.设区域}11,10|),{(≤≤-≤≤=y x y x D ，则________)(2⎰⎰=-Ddxdy x y .解：⎰⎰⎰⎰⎰-=-=-=--Ddx x dy x y dxdxdy x y 12101122322)()( .43. 函数2)(xex f -=在00=x 处展开的幂级数是________________.解： ∑∞=⇒=0!n n xn xe ∑∑∞=∞=-+∞-∞∈-=-==022),(,!1)1(!)()(2n n nnn xx xn n x ex f .44.幂级数∑∞=+++-0112)1()1(n n n nn x的和函数为 _________.解：∑∑∑∞=∞=-+∞=+++=-=+-=+-011111)21ln()2()1(1)2()1(2)1()1(n n nn n nn n n nx nx n x n x,)22(≤<-x .45.通解为xxeC eC y 321+=-（21C C 、为任意常数）的二阶线性常系数齐次微分方程为_________.解：xxe C eC y 321+=-0323,1221=--⇒=-=⇒λλλλ032=-'-''⇒y y y .三、计算题（每小题5分，共40分）46．计算 xx exxx 2sin1lim322-→--.解：23042320161lim3222lim81lim2sin 1lim2222xexxex xexxx ex xx xx xx xx -=+-=--=---→-→-→-→161lim 161322lim220-=-=-=-→-→xx xx exxe.47.求函数xx x y 2sin 2)3(+=的导数dxdy .解：取对数得：)3ln(2sin ln 2x x x y +=，得分评卷人两边对x 求导得：x xxx x xx y y2sin 332)3ln(2cos 2122++++='所以]2sin 332)3ln(2cos 2[)3(222sin 2x xxx x x x x x y x+++++='x x x x x xx x xx x 2sin )32()3()3ln(2cos )3(212sin 222sin 2+++++=-.48.求不定积分 ⎰-dx xx224.解：⎰⎰⎰====⎰-==-=π<<π-dt t tdt tdt t tdxxxtx t )2cos 1(2sin4cos 2cos 2sin4422sin 22222C x x x C t t x C t t +--=+-=+-=242arcsin2cos sin 22arcsin 22sin 22.49.计算定积分⎰--+12)2()1ln(dx x x .解：⎰⎰⎰+---+=-+=-+11112)1)(2(12)1ln(21)1ln()2()1ln(dx x x xx xdx dx x x⎰=-=+-+=++--=112ln 312ln 322ln 12ln312ln )1121(312ln xx dx xx.50.设),()2(xy x g y x f z ++= ，其中),(),(v u g t f 皆可微，求 yz xz ∂∂∂∂,.解：xv v g xu u g xy x y x f x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂+∂+'=∂∂)2()2(),(),()2(2xy x g y xy x g y x f v u'+'++'= =∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂+∂+'=∂∂yv v g yu u g yy x y x f yz )2()2(),()2(xy x g x y x f v'++'. 51．计算二重积分⎰⎰=Dydxdy x I 2，其中D 由12,===x x y x y 及所围成.解：积分区域如图06-1所示，可表示为：x y x x 2,10≤≤≤≤. 所以 ⎰⎰⎰⎰==10222xxDydy x dxydxdyx I10310323)2(105142122====⎰⎰xdx x ydx x xx.52．求幂级数nn nx n ∑∞=--+0)1()3(1的收敛区间（不考虑区间端点的情况）.解：令t x =-1，级数化为 nn nt n ∑∞=-+0)3(1，这是不缺项的标准的幂级数.xy x y =o12x y 2=图06-1因为 313)3(11)3(1lim1)3(1)3(1limlim11=--+-=+⋅-+-+==∞→+∞→+∞→nnn n nn nn n nn a a ρ，故级数nn nt n ∑∞=-+0)3(1的收敛半径31==ρR ，即级数收敛区间为（-3，3）.对级数nn nx n ∑∞=--+0)1()3(1有313<-<-x ，即42<<-x .故所求级数的收敛区间为），（42-. 53．求微分方程 0)12(2=+-+dy x xy dy x 通解. 解：微分方程0)12(2=+-+dx x xy dy x 可化为 212xx y xy -=+'，这是一阶线性微分方程，它对应的齐次线性微分方程02=+'y xy 通解为2xC y =.设非齐次线性微分方程的通解为2)(xx C y =，则3)(2)(xx C x C x y -'='，代入方程得C xx x C x x C +-=⇒-='2)(1)(2.故所求方程的通解为2211xC xy +-=.四、应用题（每小题7分，共计14分）54. 某公司的甲、乙两厂生产同一种产品，月产量分别为y x ,千件；甲厂月生产成本是5221+-=x xC （千元），乙厂月生产成本是3222++=y yC （千元）.若要求该产品每月总产量为8千件，并使总成本最小，求甲、乙两厂最优产量和相应最小成本.解：由题意可知：总成本8222221++-+=+=y x y x C C C ，约束条件为8=+y x .问题转化为在8=+y x 条件下求总成本C 的最小值 .把8=+y x 代入目标函数得 0(882022>+-=x x x C 的整数）.则204-='x C ，令0='C 得唯一驻点为5=x ，此时有04>=''C . 故 5=x 是唯一极值点且为极小值，即最小值点.此时有38,3==C y . 所以甲、乙两厂最优产量分别为5千件和3千件，最低成本为38千元.55.由曲线)2)(1(--=x x y 和x 轴所围成一平面图形,求此平面图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.解：平面图形如图06-2所示,此立体可看作X 型区域绕y 轴旋转一周而得到。

高数上期末试题及答案

高等数学期末及答案一、填空题（每小题3分，本题共15分）1、.______)31(lim 2=+→xx x 。

2、当k 时，⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=00e)(2x k x x x f x 在0=x 处连续．3、设x x y ln +=,则______=dydx4、曲线x e y x-=在点（0，1）处的切线方程是5、若⎰+=C x dx x f 2sin )(，C 为常数，则=)(x f 。

二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1、若函数xx x f =)(，则=→)(lim 0x f x （）A 、0B 、1-C 、1D 、不存在 2、下列变量中，是无穷小量的为（）A. )0(1ln+→x xB. )1(ln →x xC. )0(cosx→x D. )2(422→--x x x 3、满足方程0)(='x f 的x 是函数)(x f y =的（）．A ．极大值点B ．极小值点C ．驻点D ．间断点 4、下列无穷积分收敛的是（）A 、⎰+∞sin xdx B 、dx e x ⎰+∞-02 C 、dx x ⎰+∞1D 、dx x⎰+∞01 5、设空间三点的坐标分别为M （1，1，1）、A （2，2，1）、B （2，1，2）。

则AMB ∠=A 、3π B 、4π C 、2πD 、π 三、计算题（每小题7分，本题共56分）1、求极限 xx x 2sin 24lim-+→ 。

2、求极限 )111(lim 0--→x x e x 3、求极限 2cos 12limxdt e xt x ⎰-→4、设)1ln(25x x e y +++=，求y '5、设)(x y f =由已知⎩⎨⎧=+=ty t x arctan )1ln(2，求22dx yd 6、求不定积分 dx x x ⎰+)32sin(127、求不定积分x x exd cos ⎰8、设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<+=011011)(x xx e x f x，求⎰-2d )1(x x f四、应用题（本题7分）求曲线2x y =与2y x =所围成图形的面积A 以及A 饶y 轴旋转所产生的旋转体的体积。

2006高数试题与答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2006学年第一学期考试科目：高等数学考试类型：（闭卷）考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业题号一二三四五六七总分得分评阅人一、填空题（每空3分） 1．1.()=-+∞→n n nn 1lim_____2．设()f x 可微，则d (cos 2)f x = ．3．设⎪⎩⎪⎨⎧-=-=3232tt y t t x ，则=22dx yd _____ 4．设22(1),0(),x x x f x a x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，要使()f x 在(,)-∞+∞内连续，则a = ． 5．(2008)(cos(3))x = ．二、选择题（每题3分）1．当0x →时，tan sin x x -是nx 的同阶无穷小，则n 等于． A ．1． B ．2． C ．3． D ．4．2．设函数3()(1)f x x =-，则()f x 的图象在区间[1,3]上．Ａ．上升向上凹．Ｂ．上升向上凸．Ｃ．下降向上凹．Ｄ．下降向上凸．３．设232,0,()0,0,ln(1)3,0.x x x x f x x x e x ⎧--<⎪==⎨⎪++->⎩则0x =是()f x 的间断点．Ａ．无穷．Ｂ．可去．Ｃ．跳跃．Ｄ．振荡．４．0()0f x ''=是00(,())x f x 为曲线()y f x =的拐点的．Ａ．必要条件．Ｂ．充分条件．Ｃ．充分必要条件．Ｄ．既非充分亦非必要条件．三．求下列极限（每题５分）１．01sin 1lim cos 1x x x x →+--．２．10lim()(0,0)2x x x x a b a b →+>>．３．222111lim()12n n n n n→∞++++++ ．四、解答下列各题（每题５分）１．设函数21sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，讨论其在0x =处的可导性．２．设函数()y y x =是由方程tan()ln3y e x x y y +=+-+所确定，求d y ．３．设函数()y y x =由参数方程3238x t y t ⎧=-⎨=+⎩（其中t 为参数）所确定，求22d d yx ．五、计算下列积分（每题６分）１．1d 1xx e +⎰．２．40d xe x ⎰．３．2d 2x x x -∞+∞++⎰．六、应用题（每题６分）１．设π为曲线2xy =与直线2y =，3x =围成的平面图形，求此平面图形的面积以及它绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积．２．求内接于椭圆22221x y a b+=（其中0,0a b >>）且四边平行于坐标轴的面积最大的矩形面积．七、证明题（每题５分）１．设函数()f x 的二阶导数存在且大于零，又(0)0f =，证明函数()()f x F x x=在区间(0,)+∞上是单调增加的．2．设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)(1)0f f ==，12()33f =，试证至少存在一点ξ(0,1)∈，使得()1f ξ'=．答案2006学年第一学期高等数学试卷(A)答案一、填空题（每空３分）（1）4π；（2）2(cos2)sin 2d f x x x '-；（3）(ln )f x x-；（４）2e -；（5）20083cos3x ．二、选择题（每空３分）(１)C ； (２)Ｄ； (３)Ｂ； (４)Ｄ．三、求下列极限（每题５分）１．01sin 1limcos 1x x x x →+--02sin lim1(1sin 12x x xx x x →=-++ （２分） 22lim1(1sin 12x x x x x →=-++（２分） =－１（1分）２．11ln()200lim()lim 2xxa b x x x xx x a b e +→→+= （1分）ln()2limx xx a b xe→+= （1分）ln 2ab e= （2分）ab = （1分）３．因为22222111121n n n nn n n nn ≤++≤+++++（2分）又2lim1n n n n →∞=+，2lim1n n n →∞+＝１（2分）则222111lim()112n n n n n→∞+++=+++ （1分）四、解答下列各题（每题５分）１．因为2211sin0sin y x x x x∆=∆-=∆∆∆ （１分）则0lim x y x ∆→∆∆2001sin1lim lim sin x x x x x x x∆→∆→∆∆==∆∆∆ （２分） 0= （１分）所以函数()f x 在0x =处可导．（１分）２．解将方程两边对x 求导得2d d d 1sec ()(1)d d d y y y ye x y x x x⋅+=++- （２分）则 22d tan ()d tan ()yy x y x e x y +=-+ （２分）所以 22tan ()d d tan ()y x y y x e x y +=-+ （１分）３．解2d y (t)22d x (t)33y t x t t'===-'- （２分） 222d()d d 3d d d y t t x t x-=⨯ （２分） 22422339t t t==-- （１分）五、计算下列积分（每题６分）１．1d 1xx e +⎰d 1xx e x e --=+⎰ （２分） 1d(1)1xx e e --=-++⎰ （２分） ln(1)xe c -=-++ （２分）２．4d xe x ⎰22d ()t te t x t ==⎰令（２分）202[]t t te e =- （３分）22(1)e =+ （１分）３．22d d 172()24x xx x x -∞-∞+∞+∞=++++⎰⎰ （2分）21d()217()24x x -∞+∞+=++⎰ （1分） 221[arctan ()]277x -∞+∞=+ （2分）22()2277πππ=--=-（1分）六、应用题（每题６分）１．解平面图形的面积312(2)d 42ln 3S x x =-=-⎰ （３分）π绕x 轴一周所成的旋转体的体积332211216[2d ()d ]3V x x x ππ=-=⎰⎰ (3分) ２．解设所求矩形在第一象限的顶点坐标为(,)x y ，则矩形的面积为224()4bx S x xy a x a==- （１分）由2222244()b bx S x a x a a a x'=---，令()0S x '=得驻点22a x = （２分）而当202x a <<时，()0S x '>；当22a x a <<时，()0S x '<，所以22ax =为()S x 的最大值点（２分）则最大矩形面积max 2S ab =．（１分）七、证明题（每题５分）１．证明因为2()()(),(0,)xf x f x F x x x '-'=∈+∞ （１分）令()()()x xf x f x ϕ'=-，显然，()x ϕ在(0,)+∞上连续且()()0x xf x ϕ'''=> （２分）x ∈(0,)+∞，故()x ϕ在(0,)+∞上是单调增加的，即()(0)0x ϕϕ>=，从而()0F x '>，故函数()()f x F x x=在区间(0,)+∞上是单调增加．（２分）２．证明设()()F x f x x =- （１分）易知()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，又1211(1)10,()03333F F =-<=-=>，由零点定理可知至少存在一点1(,1)3η∈，使()0F η= （２分）而(0)0F =，根据罗尔定理可知至少存在一点(0,)ξη∈，使()0F ξ'=，即()1f ξ'=，由于(0,)η(0,1)⊂，故至少存在一点ξ(0,1)∈，使得()1f ξ'=．（２分）。

2005-2006学年第一学期期末考试《高等数学》(A)评分标准及标准答案

e y + (xe y − e−y + ye−y ) y′ = 2x
Байду номын сангаас∴ y′ = 2x − e y
(1′)
xey − e−y + ye−y
x=0⇒ y=0
(1′)
∴ y′ x=0 = 1
(1′)
∫ ∫ 5、
x+
3
x
dx
( 2′)
==
(
x
+
−1
x6
) dx =
2
3
x2
+
6
5
x6
+
c
(3′) ；
x
35
∫ ∫ ∫ 6、
x→ 0
x→ 0
(1′)；
∫ 3、 f ′ ( x) = 2x x ln tdt + x2ln x, (3′) ∴ f′ ( e) = e2 (2′) ； e
4、方程两边同时对 x 求导（ y 是 x 的函数），得
e y + xey y′− y′e− y − ye− y (− y′) = 2x
(2′)
0
0
0
0
(1′)
∫ ∫ =
1
e
f(
x) dx
+
xe
f
( x)
0
1 0
−
1 e f (x)dx
0
(2′)
= e f (1)
(1′)
四、解答题
1、①定义域： (−∞, +∞) ；
② y′ = 6x2 −12x −18 = 0,⇒ x = −1, x = 3;
③列表
x (−∞, −1)

期末高等数学上习题及答案

第一学期期末高等数学试卷一、解答以下各题(本大题共16小题，总计 80分) 1、(本小题5分)求极限l im x 312x163 9x 212x4x22x2、(本小题5 分)求x 22dx.(1x) 3、(本小题5分) 求极限limarctanxarcsin 1xx4、(本小题5分)求x dx.1 x5、(本小题 5 分)求dx 2 1t 2dt ．dx 06、(本小题 5 分) 求cot 6xcsc 4xdx.7、(本小题5分)2 1cos 1dx ．求1 x 2x8、(本小题5 分)x e t cost 2y(x),求dy ．设确定了函数y ye 2tsint dx9、(本小题5 分)3求 x1xdx ．10、(本小题5分) 求函数 y 4 2x x 2的单调区间11、(本小题5分)求2sinx dx ．sin 2x0812、(本小题 5 分)设xt )e kt(3cos t 4sin t ，求dx ．( )13、(本小题 5 分)设函数yyx 由方程y 2 l n y 2 x 6所确定 , 求dy ．( )dx14、(本小题 5 分)求函数y e x e x 的极值215、(本小题 5 分)求极限lim (x1)2 (2x1)2(3x1)2(10x 1)2x16、(本小题5分)(10x 1)(11x1)求cos2xdx.1sinxcosx二、解答以下各题(本大题共2小题，总计14分)1、(本小题7分)某农场需建一个面积为512平方米的矩形的晒谷场,一边可用原来的石条围沿,另三边需砌新石条围沿,问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省.2、(本小题7分)求由曲线yx 2 和y x 3 所围成的平面图形绕 ox 轴旋转所得的旋转体的体积.28三、解答以下各题 (本大题6分)设f(x) x(x 1)(x 2)(x3),证明f(x) 0有且仅有三个实根.一学期期末高数考试(答案)一、解答以下各题 (本大题共16小题，总计77分) 1、(本小题3分)解:原式lim 3x 2 12218x12x26x6xlim212x1822、(本小题3分)1dx (1x 2)21 d(1 x 2)2(1 x 2)211x 2c.3、(本小题3分)因为arctanx2 而limarcsinx故limarctanxarcsin1xx4、(本小题3分)xdx1 x1 x 1dx 1x dxdxxln1xc.5、(本小题3分)原式2x1x 4 6、(本小题4分) cot 6xcsc 4xdxcot 6x(1cot 2x)d(cotx)1x1cot7x 1cot9xc.797、(本小题4分)211原式1cos d()x x1 sin2 118、(本小题4分)解：dy e2t(2sint cost)dx e t(cost22tsint2)e t(2sint cost)(cost22tsint2)9、(本小题4分)令1 x u2原式 2 (u4u2)du12(u5u3)12531161510、(本小题5分)函数定义域(,)y22x2(1x)当x1，y0当x，y函数单调增区间为,1 10当x，y函数的单调减区间为1,1011、(本小题5分)原式2dcosx09cos2x13cosx2lncosx0631ln2612、(本小题6分)dx x(t)dte kt(43k)cos t(4k3)sintdt13、(本小题6分)2yy2y6x5yy 3yx5 y2114、(本小题6分)定义域(，),且连续y2e x(e2x1)2驻点：x1ln 12 2由于y2e x e x故函数有极小值,,y(1ln1) 2 215、(本小题 8分)2 2(1 1 )2 (2 1 )2 (3 1 )2(10 1 )2原式lim x xxxx (10 1)(11 1)10 11 21x x6 10 117216、(本小题 10分)解:cos2x dxcos2x dx1 sinxcosx11sin2xd(12sin2x1) 2 11sin2x12sin2x cln12二、解答以下各题(本大题共2小题，总计13 分)1、(本小题5 分)设晒谷场宽为 x,那么长为512米,新砌石条围沿的总长为xL2x 512 (x0)xL2512唯一驻点x16x 2L1024 0即x16为极小值点x 3故晒谷场宽为 16米,长为51232米时,可使新砌石条围沿16所用材料最省2、(本小题8分)解:x 2x 3, 2 2x 3 x 1 ,.28x0x 148V x4 x 2 )2 (x3 2dx 4x4x 6( ) 0()dx284 64(11x 5 41 1x 7)4 564 744( 1 1 ) 51257 35三、解答以下各题(本大题10分)证明:f(x)在( , )连续,可导,从而在[0,3];连续,可导.又f(0)f(1)f(2)f(3)0那么分别在[0,1],[1,2],[2,3]上对f(x)应用罗尔定理得,至少存在1(0,1),2(1,2),3(2,3)使f(1)f(2)f(3)0即f(x)0至少有三个实根,又f(x)0,是三次方程,它至多有三个实根,由上述f(x)有且仅有三个实根参考答案一。

高等数学期末考试题和答案

一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3.若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. =+→xx x sin 2)31(l i m .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnn n ππππ .8.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ．　求，，设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12.设函数)(x f 连续，=⎰1()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13.求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1)求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰q f x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）答案一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.6e . 6.cx x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)c o s ()()x y e y xy xy y +''+++=cos()()cos()x yx ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11.解：1033()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰　令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

高中_2006学年第一学期期末考试题[上学期] 江苏教育出版社

2005-2006学年第一学期期末考试题高一数学本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，共100分。

用时100分钟。

第一卷 (选择题共60分)一、选择题： (本大题共12小题，每题5分，共60分。

每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的，将答案写在第二卷卷首答题栏内。

)1、满足条件M {}1,2=｛1，2，3｝的集合M 的个数是〔〕A ．1B ．2C ．3D ．4 2、集合S ＝｛0，1，2，3，4，5｝，A 是S 的一个子集，当x ∈A 时，假设有x-1∉A ，且x+1∉A ，那么称x 为A 的一个“孤立元素〞，那么S 中无“孤立元素〞的4个元素的子集A 的个数是〔〕A ．4B ．5C ．6D ．7 3、函数)23(log 21-=x y 的定义域是〔〕A ．[)+∞,1B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,32C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,32D ．⎥⎦⎤⎝⎛1,324、函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且0)2(),()3(==+f x f x f ，那么方程0)(=x f 在区间)6,0(内解的个数的最小值为〔〕 A ．2 B ．3 C ．4 D ．55、函数)(x f 为偶函数，当[)+∞∈,0x 时，1)(-=x x f ，那么(1)0f x -<的解集是〔〕 A ．()0,2 B ．()0,2- C ．()0,1- D ．[]2,16、假设函数12)(2+-=x x x f 在区间[]2,+a a 上的最大值为4，那么a 的值为〔〕A ．1或-1B ．1或2C ．0或1D ．-1或27、设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，给出以下四个命题： ①假设,//m n m n αα⊥⊥，则 ②//,m m αββγαγ⊥⊥若//，，则SB 1C 1A 1CBA③//,//,//m n m n αα若则 ④,,//αγβγαβ⊥⊥若则,其中正确命题的序号是〔〕A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④8、在体积为15的斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S －ABC 的体积为3，那么三棱锥S －A 1B 1C 1的体积为〔〕A ．1B ．32C ．2D ．39、点)3,2(-A 、)2,3(--B 直线l 过点)1,1(P ，且与线段AB 相交，那么直线l 的斜率的取值k 范围是〔〕A ．34k ≥或4k ≤- B ．34k ≥或14k ≤- C ．434≤≤-k D ．443≤≤k10、二次函数2()f x ax bx c =++的图象开口向下，对称轴为1x =，图象与x 轴的两个交点中，一个交点的横坐标()12,3x ∈，那么有〔〕A ．0abc >B ．0a b c ++<C ．a c b +<D ．32b c > 11、过点〔1，2〕，且与原点距离最大的直线方程是〔〕A ．042=-+y xB ． 052=-+y xC ．073=-+y xD ．032=+-y x12、三棱锥A-BCD 的所有棱长都相等，P 是三棱锥A-BCD 内任意一点，P 到三棱锥每一个面的距离之和是一个定值，这个定值等于〔〕A ．三棱锥A-BCD 的棱长B ．三棱锥A-BCD 的斜高C ．三棱锥A-BCD 的高 D ．以上答案均不对第 Ⅱ 卷 (非选择题，共90分)考前须知：用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中，答卷前将密封线内的工程填写清楚．一、二、填空题：〔本大题共4小题，每题4分，共16分。

昆明市2005～2006学年高三上学期期末检测理科数学试卷06年1月19日

昆明市2005～2006学年高三上学期期末检测理科数学试卷06年1月19日第Ⅰ卷（选择题，共60分）一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设全集U =N ，{}{}1,2,2,A B x x x Z ==≤∈，则U BC A =（A ）{}0 （B ）{}1 （C ）{}2,1,0-- （D ）∅（2）将函数2xy =的图象按向量n 平移得到函数221x y -=+的图象，则n 的坐标是（A ）()2,1-- （B ）()2,1 （C ）()2,1- （D ）()2,1- （3）方程21(01)x a a -=<<的解的个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （4）已知平面上两点()1,,A Bm ，O 是坐标原点，若AOB ∠是锐角，则m 的取值范围是（A ）(),1-∞ （B ）()1,+∞ （C ）()(),33,1-∞-- （D ）()(),00,-∞+∞（5）已知条件:213p x +<，条件1:82xq ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则p 是q 的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）函数()3113f x x ax =++在(),1-∞-上为增函数，在()1,1-上为减函数，则()1f = （A ）73 （B ）1 （C ）13（D ）1-（7）棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，P Q 、是1CC 上两动点，且2PQ =，则三棱锥P AQD-的体积为（A ）6 （B ）3 （C ）92（D ）9 （8）不等式lg 02xx <-的解集是（A ）()()0,22,+∞ （B ）()2,+∞ （C ）()1,2 （D ）3,22⎛⎫⎪⎝⎭（9）化简2sin 44sin ()tan()44αππαα+-得（A ）sin α （B ）cos α （C ）cos2α （D ）sin 2α（10）设a b c 、、分别是ABC ∆角A B C 、、所对的边，222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，且满足4ab =，则ABC ∆的面积为（A ）1 （B ）2 （C（D（11）已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足()32f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，且()11f =，则()2006f = （A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2006（12）有7名同学站成一排照毕业照，其中甲必须站在中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有（A ）240 （B ）192 （C ）96 （D ）48第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。